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  • 1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” EXTENSIÓN - BARQUISIMETOAPLICACIÓN E IMPORTANCIA DE LOS CIRCUITOS, DEL ÁLGEBRA DE BOOLE Y COMPUERTAS LÓGICAS INTEGRANTE: GERMAN AGÜERO C.I. V- 20.668.605 ÁLGEBRA
  • 2. APLICACIÓN E IMPORTANCIA DE LOS CIRCUITOS, DEL ÁLGEBRA DE BOOLE Y COMPUERTAS LÓGICAS Se realizan estas presentaciones con el fin de demostrar la afinidadexistente entre el álgebra de boole y la lógica proposicional, y con el objeto decimentar el procedimiento de simplificación presentado en la lógica deproposiciones. Las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle porGeorge Boole , constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocuparun lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital. Son usadasampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadoras, y susaplicaciones van en aumento en muchas otras áreas. En el nivel de lógica digitalde una computadora, lo que comúnmente se llama hardware, y que está formadopor los componentes electrónicos de la máquina, se trabaja con diferencias detensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos queforman el nivel. Éstas funciones, en la etapa de diseña del hardware, soninterpretadas como funciones de boole. En el presente trabajo se intenta dar unadefinición de lo que es un álgebra de boole; se tratan las funciones booleanas,haciendo una correlación con las fórmulas proposicionales. Asimismo, se planteandos formas canónicas de las funciones booleanas, que son útiles para variospropósitos, tales como el de determinar si dos expresiones representan o no lamisma función. Pero para otros propósitos son a menudo engorrosas, por tenermás operaciones que las necesarias. Particularmente, cuando estamosconstruyendo los circuitos electrónicos con que implementar funciones booleanas,el problema de determinar una expresión mínima para una función es a menudocrucial. No resultan de la misma eficiencia en dinero y tiempo, principalmente, dosfunciones las cuales calculan lo mismo pero donde una tiene menos variables y lohace en menor tiempo. Como solución a este problema, se plantea un método desimplificación, que hace uso de unos diagramas especiales llamados mapas odiagramas de Karnaugh, y el cual tiene la limitación de poder trabajaradecuadamente sólo con pocas variables. Se realizan estas presentaciones conel fin de demostrar la afinidad existente entre el álgebra de boole y la lógicaproposicional, y con el objeto de cimentar el procedimiento de simplificaciónpresentado en la lógica de proposiciones. Las álgebras booleanas, estudiadas por
  • 3. primera vez en detalle por George Boole , constituyen un área de las matemáticasque ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de lacomputadora digital. Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos dedistribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otrasáreas. En el nivel de lógica digital de una computadora, lo que comúnmente sellama hardware, y que está formado por los componentes electrónicos de lamáquina, se trabaja con diferencias de tensión, las cuales generan funciones queson calculadas por los circuitos que forman el nivel. Éstas funciones, en la etapade diseña del hardware, son interpretadas como funciones de boole. Se intentadar una definición de lo que es un álgebra de boole; se tratan las funcionesbooleanas, haciendo una correlación con las fórmulas proposicionales. Asimismo,se plantean dos formas canónicas de las funciones booleanas, que son útiles paravarios propósitos, tales como el de determinar si dos expresiones representan ono la misma función. Pero para otros propósitos son a menudo engorrosas, portener más operaciones que las necesarias. Particularmente, cuando estamosconstruyendo los circuitos electrónicos con que implementar funciones booleanas,el problema de determinar una expresión mínima para una función es a menudocrucial. No resultan de la misma eficiencia en dinero y tiempo, principalmente, dosfunciones las cuales calculan lo mismo pero donde una tiene menos variables y lohace en menor tiempo. Como solución a este problema, se plantea un método desimplificación, que hace uso de unos diagramas especiales llamados mapas odiagramas de Karnaugh, y el cual tiene la limitación de poder trabajaradecuadamente sólo con pocas variables. Se realizan estas presentaciones conel fin de demostrar la afinidad existente entre el álgebra de boole y la lógicaproposicional, y con el objeto de cimentar el procedimiento de simplificaciónpresentado en la lógica de proposiciones. El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en losvalores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario “ º “ definido en éstejuego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, porejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produceuna sola salida booleana. Para cualquier sistema algebraico existen una serie depostulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y
  • 4. otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea lossiguientes postulados:Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operadorbinario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultadobooleano. Conmutativo. Se dice que un operador binario “ º “ es conmutativo si A ºB = B º A para todos los posibles valores de A y B. Asociativo. Se dice que unoperador binario “ º “ es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos losvalores booleanos A, B, y C. Distributivo. Dos operadores binarios “ º “ y “ % “ sondistributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A,B, y C. Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidadcon respecto a un operador binario “ º “ si A º I = A. Inverso. Un valor booleano Ies un elemento inverso con respecto a un operador booleano “ º “ si A º I = B, y Bes diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A. Para nuestros propósitosbasaremos el álgebra booleana en el siguiente juego de operadores y valores: -Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudollamaremos a éstos valores respectivamente como falso y verdadero. - El símbolo· representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables deuna sola letra se eliminará el símbolo ·, por lo tanto AB representa la operaciónlógica AND entre las variables A y B, a esto también le llamamos el producto entreA y B. - El símbolo “+” representa la operación lógica OR, decimos que A+B es laoperación lógica OR entre A y B, también llamada la suma de A y B. - Elcomplemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en éste textoutilizaremos el símbolo “ „ “ para denotar la negación lógica, por ejemplo, A‟denota la operación lógica NOT de A. - Si varios operadores diferentes aparecenen una sola expresión booleana, el resultado de la expresión depende de laprocedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, paréntesis,operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto eloperador lógico AND como el OR son asociativos por la izquierda. Si dosoperadores con la misma procedencia están adyacentes, entonces se evalúan deizquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo por la derecha.
  • 5. Utilizaremos además los siguientes postulados: P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOTP2 El elemento de identidad con respecto a · es uno y con respecto a + es cero.No existe elemento de identidad para el operador NOT P3 Los operadores · y +son conmutativos. P4 · y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A·(B+C) = (A·B)+(A·C) y A+ (B·C) = (A+B) ·(A+C). P5 Para cada valor A existe unvalor A‟ tal que A·A‟ = 0 y A+A‟ = 1. Éste valor es el complemento lógico de A. P6 ·y + son ambos asociativos, ésto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C). Esposible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstospostulados, además es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremasmás importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes:Teorema 1: A + A = A Teorema 2: A · A = A Teorema 3: A + 0 = A Teorema 4: A ·1 = A Teorema 5: A · 0 = 0 Teorema 6: A + 1 = 1 Teorema 7: (A + B)‟ = A‟ · B‟Teorema 8: (A · B)‟ = A‟ + B‟ Teorema 9: A + A · B = A Teorema 10: A · (A + B) =A Teorema 11: A + A‟B = A + B Teorema 12: A‟ · (A + B‟) = A‟B‟ Teorema 13: AB +AB‟ = A Teorema 14: (A‟ + B‟) · (A‟ + B) = A‟ Teorema 15: A + A‟ = 1 Teorema 16:A · A‟ = 0 Los teoremas siete y ocho son conocidos como Teoremas de DeMorgan en honor al matemático que los descubrió.Características: Un álgebra de Boole es un conjunto en el que destacan lassiguientes características: 1- Se han definido dos funciones binarias (quenecesitan dos parámetros) que llamaremos aditiva (que representaremos por x +y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función monaria (de un soloparámetro) que representaremos por x‟. 2- Se han definido dos elementos (quedesignaremos por 0 y 1) Y 3- Tiene las siguientes propiedades:Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x Conmutativa respecto ala segunda función: xy = yx Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z =x + (y +z) Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz) Distributivarespecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz Distributiva respecto a la segundafunción: (xy) + z = (x + z)( y + z) Identidad respecto a la primera función: x + 0 = xIdentidad respecto a la segunda función: x1 = x Complemento respecto a la
  • 6. primera función: x + x‟ = 1 Complemento respecto a la segunda función: xx‟ = 0Propiedades Del Álgebra De BooleIdempotente respecto a la primera función: x + x = x Idempotente respecto a lasegunda función: xx = x Maximalidad del 1: x + 1 = 1 Minimalidad del 0: x0 = 0Involución: x‟„ = x Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x Inmersiónrespecto a la segunda función: x(x + y) = x Ley de Morgan respecto a la primerafunción: (x + y)‟ = x‟y‟ Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy)‟ = x‟ + y‟Función Booleana Una función booleana es una aplicación de A x A x A x….A enA, siendo A un conjunto cuyos elementos son 0 y 1 y tiene estructura de álgebrade Boole. Supongamos que cuatro amigos deciden ir al cine si lo quiere lamayoría. Cada uno puede votar si o no. Representemos el voto de cada uno porxi. La función devolverá sí (1) cuando el numero de votos afirmativos sea 3 y encaso contrario devolverá 0. Si x1 vota 1, x2 vota 0, x3 vota 0 y x4 vota 1 la funciónbooleana devolverá 0. Producto mínimo (es el número posible de casos) es unproducto en el que aparecen todas las variables o sus negaciones.El número posible de casos es 2n. Siguiendo con el ejemplo anterior. Asignamoslas letras A, B, C y D a los amigos. Los posibles casos son: Votos ResultadoABCD 1111 1 1110 1 1101 1 1100 0 1011 1 1010 0 1001 0 1000 0 0111 1 0110 00101 0 0100 0 0011 0 0010 0 0001 0 0000 0Las funciones booleanas se pueden representar como la suma de productosmínimos (minterms) iguales a 1.En nuestro ejemplo la función booleana será: f(A,B,C,D) = ABCD + ABCD‟ +ABC‟D + AB‟CD + A‟BCDDiagramas De Karnaugh Los diagramas de Karnaugh se utilizan para simplificarlas funciones booleanas. Se construye una tabla con las variables y sus valoresposibles y se agrupan los 1 adyacentes, siempre que el número de 1 sea potenciade 2. En esta página tienes un programa para minimización de funcionesbooleanas mediante mapas de Karnaugh
  • 7. Álgebra Booleana y circuitos electrónicos La relación que existe entre la lógica booleana y los sistemas de cómputoes fuerte, de hecho se da una relación uno a uno entre las funciones booleanas ylos circuitos electrónicos de compuertas digitales. Para cada función booleana esposible diseñar un circuito electrónico y viceversa, como las funciones booleanassolo requieren de los operadores AND, OR y NOT podemos construir nuestroscircuitos utilizando exclusivamente éstos operadores utilizando las compuertaslógicas homónimas Un hecho interesante es que es posible implementar cualquiercircuito electrónico utilizando una sola compuerta, ésta es la compuerta NANDPara probar que podemos construir cualquier función booleana utilizando sólocompuertas NAND, necesitamos demostrar cómo construir un inversor (NOT),una compuerta AND y una compuerta OR a partir de una compuerta NAND, yaque como se dijo, es posible implementar cualquier función booleana utilizandosólo los operadores booleanos AND, OR y NOT. Para construir un inversorsimplemente conectamos juntas las dos entradas de una compuerta NAND. Unavez que tenemos un inversor, construir una compuerta AND es fácil, sóloinvertimos la salida de una compuerta NAND, después de todo, NOT ( NOT (AAND B)) es equivalente a A AND B. Por supuesto, se requieren dos compuertasNAND para construir una sola compuerta AND, nadie ha dicho que los circuitosimplementados sólo utilizando compuertas NAND sean lo óptimo, solo se ha dichoque es posible hacerlo. La otra compuerta que necesitamos sintetizar es lacompuerta lógica OR, ésto es sencillo si utilizamos los teoremas de De Morgan,que en síntesis se logra en tres pasos, primero se reemplazan todos los “·” por “+”después se invierte cada literal y por último se niega la totalidad de la expresión:A OR B A AND B…………………..Primer paso para aplicar el teorema de DeMorgan A‟ AND B‟…………………Segundo paso para aplicar el teorema de DeMorgan (A‟ AND B‟)‟………………Tercer paso para aplicar el teorema de DeMorgan (A‟ AND B‟)‟ = A‟ NAND B‟…..Definición de OR utilizando NAND Si se tiene la necesidad de construir diferentes compuertas de la maneradescrita, bien hay dos buenas razones, la primera es que las compuertas NANDson las más económicas y en segundo lugar es preferible construir circuitos
  • 8. complejos utilizando los mismos bloques básicos. Observe que es posibleconstruir cualquier circuito lógico utilizando sólo compuertas de tipo NOR (NOR =NOT(A OR B)). La correspondencia entre la lógica NAND y la NOR es ortogonalentre la correspondencia de sus formas canónicas. Mientras que la lógica NOR esútil en muchos circuitos, la mayoría de los diseñadores utilizan lógica NAND.Circuitos Combinacionales Un circuito combinacional es un sistema que contiene operacionesbooleanas básicas (AND, OR, NOT), algunas entradas y un juego de salidas,como cada salida corresponde a una función lógica individual, un circuitocombinacional a menudo implementa varias funciones booleanas diferentes, esmuy importante recordar éste echo, cada salida representa una función booleanadiferente. Un ejemplo común de un circuito combinacional es el decodificador de sietesegmentos, se trata de un circuito que acepta cuatro entradas y determina cuál delos siete segmentos se deben iluminar para representar la respectiva entrada, deacuerdo con lo dicho en el párrafo anterior, se deben implementar siete funcionesde salida diferentes, una para cada segmento. Las cuatro entradas para cada unade éstas funciones booleanas son los cuatro bits de un número binario en el rangode 0 a 9. Sea D el bit de alto orden de éste número y A el bit de bajo orden, cadafunción lógica debe producir un uno (para el segmento encendido) para unaentrada dada si tal segmento en particular debe ser iluminado, por ejemplo, elsegmento e debe iluminarse para los valores 0000, 0010, 0110 y 1000. En la siguiente tabla se puede ver qué segmentos deben iluminarse deacuerdo al valor de entrada, tenga en cuenta que sólo se están representandovalores en el rango de 0 a 9, los decodificadores para las pantallas de sietesegmentos comerciales tienen capacidad para desplegar valores adicionales quecorresponden a las letras A a la F para representaciones hexadecimales, sinembargo la mecánica para iluminar los respectivos segmentos es similar a la aquírepresentada para los valores numéricos.
  • 9. 0abcdef1bc2abdeg3abcdg4bc
  • 10. fg5acdfg6cdefg7abc8abcdefg
  • 11. 9abcfgLos circuitos combinacionales son la base de muchos componentes en unsistema de cómputo básico, se puede construir circuitos para sumar, restar,comparar, multiplicar, dividir y muchas otras aplicaciones más.Circuitos Secuenciales Un problema con la lógica secuencial es su falta de“memoria”. En teoría, todas las funciones de salida en un circuito combinacionaldependen del estado actual de los valores de entrada, cualquier cambio en losvalores de entrada se refleja (después de un intervalo de tiempo llamado retardode propagación) en las salidas. Desafortunadamente las computadoras requierende la habilidad para “recordar” el resultado de cálculos pasados. Éste es eldominio de la lógica secuencial. Una celda de memoria es un circuito electrónicoque recuerda un valor de entrada después que dicho valor ha desaparecido. Launidad de memoria más básica es el flip-flop Set/Reset. Aunque recordar un bitsencillo es importante, la mayoría de los sistemas de cómputo requieren recordarun grupo de bits, ésto se logra combinando varios flip-flop en paralelo, unaconexión de éste tipo recibe el nombre de registro. A partir de aquí es posibleimplementar diferentes circuitos como registros de corrimiento y contadores, éstosúltimos también los conocemos como circuitos de reloj. Con los elementosmencionados es posible construir un microprocesador completo.Relación entre la lógica combinacional y secuencial con la programación Es posible implementar máquinas de estado, sin embargo la moraleja deésta lección es muy importante: cualquier algoritmo que podamos implementar ensoftware, lo podemos a su vez implementar directamente en hardware. Ésto
  • 12. sugiere que la lógica booleana es la base computacional en los modernossistemas de cómputo actuales. Cualquier programa que Usted escriba,independientemente del lenguaje que utilice, sea éste de alto ó bajo nivel, sepuede especificar como una secuencia de ecuaciones booleanas. Un hecho igualmente interesante es el punto de vista opuesto, es posibleimplementar cualquier función de hardware directamente en software, en laactualidad ésta es la función principal del lenguaje ensamblador y otros concapacidad de trabajar directamente en hardware, como el C y el C++. Lasconsecuencias de éste fenómeno apenas se están explotando, se infiere laexistencia de un futuro muy prometedor para el profesional de la programación,especialmente aquellos dedicados a los sistemas incrustados (embeddedsystems), los microcontroladores y los profesionales dedicados a la ProgramaciónOrientada a Objetos. Para tener éxito en éstos campos de la investigación esfundamental comprender las funciones booleanas y la manera de implementarlasen software. Aún y cuando Usted no desee trabajar en hardware, es importanteconocer las funciones booleanas ya que muchos lenguajes de alto nivel procesanexpresiones booleanas, como es el caso de los enunciados if-then ó los bucleswhile.Los Teoremas Básicos Del Algebra BooleanaLos Teoremas Básicos del álgebra Booleana son:TEOREMA 1 Ley Distributiva A (B+C) = AB+ACABCB+CABACAB+ACA (B+C)00000
  • 13. 000001100000101000001110000100000001011011111
  • 14. 01101111111111TEOREMA 2A+A = AAA = AAAA+A000111AAAA000111TEOREMA 3RedundanciaA+AB = AABABX000
  • 15. 00 1 0 01 0 0 11 1 1 1A (A+B) = AA B A+B X0 0 0 00 1 1 01 0 1 01 1 1 1TEOREMA 40+A = AEquivalente a una compuerta OR con una de sus terminales conectada atierraA B=0 X0 0 01
  • 16. 0 11A = AEquivalente a una compuerta AND con una de sus terminales conectada a1A B=1 X0 1 01 1 11+A = 1A B=1 X0 1 11 1 10A = 0A B=0 X0 0 01 0 0

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