Volatilitat i Correlació
Gerard Albà
Xavier Noguerola
FME UPC – febrer 2014
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
1. Introducció
2. Volatilitat
2.1 Volatilitat històrica.
2.2 Volatilitat im...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

3. Correlació
3.1 Introducció. Covariància i correlació.
3.2 Correlació hi...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4 Models de volatilitat
•

Històricament, s’observa:
–

Moviments reduït...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4 Models de volatilitat
•

i en la volatilitat implícita:
–

Les volatil...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
•

Índex S&P500 des del 1990 a 2005

6
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
•

Moviments superiors al 4% i volatilitat. Salts en ambdós.

7
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4 Models de volatilitat
•

Els models de volatilitat poden ser utilitzat...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4.1 Models de volatilitat discrets: EWMA, GARCH
• Per tal de calcular la...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4.1 Models de volatilitat discrets: EWMA, GARCH
• En el model de mitjana...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4.1 Models de volatilitat discrets: EWMA, GARCH

γ +α + β = 1

• Model G...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4.1 Models de volatilitat discrets: EWMA, GARCH
• Model GARCH de Heston:...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

13
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

14
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

15
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local,
Estocàstica i Ju...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local,
Estocàstica i Ju...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local,
Estocàstica i Ju...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local,
Estocàstica i Ju...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local,
Estocàstica i Ju...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local,
Estocàstica i Ju...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local,
Estocàstica i Ju...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local,
Estocàstica i Ju...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local,
Estocàstica i Ju...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local,
Estocàstica i Ju...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local,
Estocàstica i Ju...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local,
Estocàstica i Ju...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local,
Estocàstica i Ju...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
Select Case CallPutFlag
Case "CALL":
cpflag = 1
Case "PUT"
cpflag = -1
Case...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

Function BoxMuller()
Dim x As Double
Dim y As Double
Dim dist As Double
Do...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

31
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

32
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local,
Estocàstica i Ju...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local,
Estocàstica i Ju...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local,
Estocàstica i Ju...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local,
Estocàstica i Ju...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local,
Estocàstica i Ju...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local,
Estocàstica i Ju...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local,
Estocàstica i Ju...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.5 Trading de volatilitat. Swaps de volatilitat
• Un swap de volatilitat ...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.5 Trading de volatilitat. Swaps de volatilitat

• Si la volatilitat fixa...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.5 Trading de volatilitat. Swaps de volatilitat

• Els swaps de volatilit...
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2.5 Trading de volatilitat. Swaps de volatilitat
• Exemple: Valoració d’un...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Volatility models and their applications in Finance (3/4) - Handouts: Volatilitat i correlació_2014-3

290
-1

Published on

Introduction to Volatility models and their applications in Finance. Part 3 of 4.

Published in: Economy & Finance
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
290
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
1
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Volatility models and their applications in Finance (3/4) - Handouts: Volatilitat i correlació_2014-3

  1. 1. Volatilitat i Correlació Gerard Albà Xavier Noguerola FME UPC – febrer 2014
  2. 2. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Introducció 2. Volatilitat 2.1 Volatilitat històrica. 2.2 Volatilitat implícita. 2.3 Volatilitat implícita vs real. Sessió Pràctica 1: Gregues. Gestió del risc d’una opció. Gestió d’un llibre de derivats. Informació de mercat sobre volatilitat. 2.4 Models de volatilitat. 2.4.1 Models de volatilitat discrets: EWMA, GARCH. 2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Volatilitat. Local, Volatilitat Estocàstica i Jump diffusion 2.5 Trading de volatilitat. Swaps de volatilitat. 2
  3. 3. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 3. Correlació 3.1 Introducció. Covariància i correlació. 3.2 Correlació històrica i implícita. 3.3 Models de correlació. 3.4 Trading de correlació. 3.5 Inconvenients de la correlació. 3.6 Altres mesures de dependència. Exemple: Opció Composite. 3.7 Efectes de la correlació en la valoració i càlcul de gregues. 3.8 Inconvenients en l’ús de paràmetres no observables. Provisions. 3
  4. 4. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4 Models de volatilitat • Històricament, s’observa: – Moviments reduïts de l’acció venen seguits d’altres moviments reduïts, i moviments accentuats venen seguits de més moviments accentuats (clustering). – Reversió a la mitjana de la volatilitat històrica. – Correlació negativa entre rendibilitats de l’acció i volatilitat implícita 4
  5. 5. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4 Models de volatilitat • i en la volatilitat implícita: – Les volatilitats de curt termini es mouen més que les de llarg termini. – Les volatilitats implícites en strikes “a la baixa” més elevades que les volatilitats per strikes “a l’alça” (skew). – Les volatilitats implícites es mouen més quan la volatilitat implícita és més alta. – L’skew de la volatilitat implícita a curt termini molt més accentuat que a llarg termini (salts – jumps-) 5
  6. 6. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers • Índex S&P500 des del 1990 a 2005 6
  7. 7. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers • Moviments superiors al 4% i volatilitat. Salts en ambdós. 7
  8. 8. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4 Models de volatilitat • Els models de volatilitat poden ser utilitzats tant en la predicció del nivell de volatilitat actual com en la valoració d’opcions. • Existeixen dues famílies de models de volatilitat: – Models discrets (usats en la predicció) • • – EWMA ARCH i GARCH Models continus (usats en la valoració d’opcions) • • • Volatilitat local Volatilitat estocàstica Jump diffusion. 8
  9. 9. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4.1 Models de volatilitat discrets: EWMA, GARCH • Per tal de calcular la volatilitat actual, l’estimador de la m σ n2 = volatilitat 1 2 ∑ rn−i m i =1 es pot modificar assignant diferents ponderacions α i a les observacions, de manera que les observacions més recents contribueixin més: m σ n = ∑ α i ⋅ rn −i 2 2 αi < α j i > j i =1 m ∑α i =1 i =1 • També podem afegir al model una volatilitat mitjana V a llarg termini amb un cert pes γ: m σ n = γ ⋅V + ∑ α i ⋅ rn −i 2 m γ + ∑α i = 1 2 i =1 i =1 • Model ARCH(m): m σ n = ω + ∑ α i ⋅ rn −i 2 2 i =1 9
  10. 10. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4.1 Models de volatilitat discrets: EWMA, GARCH • En el model de mitjana mòbil exponencial (EWMA) s’usa un factor λ (λ ≤1 per assignar els pesos a cada observació. ) • A les observacions més recents se’ls assigna una ponderació major que les anteriors: α i = λ ⋅ α i −1 • S’obté la següent expressió pel càlcul successiu de les volatilitats: σ n 2 = λ ⋅ σ n −12 + (1 − λ ) ⋅ rn −12 • El model EWMA s’usa sobretot en càlculs de riscos VaR. Podeu veure “RiskMetrics-Technical Document” de RiskGroup (JPMorgan et al) (λ=0.94 per diària; 30 dies aprox és el periode d’observació efectiu. λ=0.97 per mensual; 100 dies) 10
  11. 11. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4.1 Models de volatilitat discrets: EWMA, GARCH γ +α + β = 1 • Model GARCH(1,1): σ n = γ ⋅V + α ⋅ rn −1 + β ⋅ σ n −1 2 2 • EWMA és GARCH(1,1) amb α + β <1 2 γ = 0 α = 1− λ β = λ • GARCH presenta reversió a la mitjana, tal com s’observa en els mercats. EWMA no té reversió. • Model GARCH(p,q) calcula σ n a partir de les p observacions més recents i les q darreres estimacions de la variància. 2 • GARCH(1,1) σ n = ω + α ⋅ rn −1 + β ⋅ σ n −1 es calibra ajustant els paràmetres amb funcions de màxima versemblança. Implica càlcul massiu, sobretot en cas multivariant. 2 2 2 11
  12. 12. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4.1 Models de volatilitat discrets: EWMA, GARCH • Model GARCH de Heston: 1 2 rn = µ − σ n + σ n ⋅ ε n 2 σ n 2 = ω + α ⋅ rn −12 + β ⋅ ε n −12 – – εn µ segueix una distribució N(0,1) tipus d’interès compost continu • Es poden calibrar els paràmetres mitjançant preus de mercat d’opcions europees, ja que en aquest model es té fórmula tancada per la seva valoració. • En el límit quan el pas de temps tendeix a 0, aquest model ens dóna un model continu de volatilitat estocàstica. 12
  13. 13. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 13
  14. 14. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 14
  15. 15. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 15
  16. 16. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion • Els models més importants de modelització de la volatilitat i de valoració d’opcions més enllà de Black-Scholes són: Volatilitat Local Volatilitat Estocàstica Jump diffusion 16
  17. 17. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion • Black-Scholes: dSt = µt dt + σ t ⋅ dWt St ∂Vt σ t St ∂ 2Vt ∂V + + µt St t − rVt = 0 ∂t 2 ∂St 2 ∂St 2 2 17
  18. 18. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion • Volatilitat Local: – És una metodologia pràctica i simple per valorar opcions exòtiques de manera consistent amb l’skew de volatilitat del mercat de les opcions vainilles. Extensió Black-Scholes. – És conegut que la funció de densitat (risc neutral) per la distribució de probabilitats dels preus d’un actiu subjacent St a venciment T (és a dir, distribució d’ST) es pot obtenir dels preus d’opcions europees: {C (S o , K , T ); K ∈ (0, ∞ )} – Donada la distribució dels preus ST per cada T amb preu inicial S0, ∃! procès de difusió que la genera. dS t = µ t dt + σ (S , t ; S 0 )dWt St 18
  19. 19. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion • Volatilitat Local: – Per tant, donats els preus d’opcions europees per diferents strikes {C (S o , K , T ); K ∈ (0, ∞ )} , ∃! procès de difusió que genera aquests preus. És a dir, existeix una única funció (Volatilitat Local) σ (S , t ; S ) que calibra els preus de mercat de les opcions 0 europees. 19
  20. 20. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion • Volatilitat Local: – Com calculem la funció Volatilitat Local? dS t = µ t dt + σ (S , t ; S 0 )dWt permet – El Lema d’Ito aplicat a: St obtenir EDP pel preu de l’opció europea (anàleg a BlackScholes.): ∂C σ t K 2 ∂ 2C ∂C   = + µt ⋅  C − K  2 ∂T 2 ∂K ∂K   2 T ∫ µt dt – o bé, equivalentment, si C=C(FT, K, T) amb FT = S 0 ⋅ e 0 ∂C σ 2 K 2 ∂ 2 C = ∂T 2 ∂K 2 20
  21. 21. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion • Volatilitat Local: ∂C ∂T σ 2 (K , T , S 0 ) = 1 2 ∂ 2C K ⋅ 2 ∂K 2 21
  22. 22. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion • Volatilitat Local: Per tant, amb el preu d’una opció en un cert instant de temps, amb els preus de dues opcions d’strikes adjacents i el d’una opció amb venciment a l’instant posterior, podem calcular la volatilitat local en aquest instant. És a dir, amb butterflies i calendar spreads d’opcions podem obtenir (garantir-nos) volatilitats implícites futures (anàleg a tipus d’interès forward). Podem usar volatilitats locals en arbres, MonteCarlo, diferències finites per EDPs per valorar derivats complexos. 22
  23. 23. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion • Volatilitat Local: – Avantatges: Calibració exacta de la superfície de volatilitats de mercat. Mercat complet (existeix cartera replicant) i tots els paràmetres són observables. Solució senzilla pel pricing (EDP,Crank Nicholson. Aproximacions analítiques per opcions amb barrera). – Inconvenients: Dinàmica de l’skew no realista. L’estructura de volatilitat futura (implícita) que resulta no correspon a la realitat. Especialment, per dates futures allunyades es perd l’skew. La calibració és molt sensible a interpolació/extrapolació dels preus discrets observats de mercat. 23
  24. 24. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion • Volatilitat Estocàstica: – Els models de volatilitat estocàstica modelitzen la volatilitat mitjançant un procés continu estocàstic. – Els models poden ser integrats en els processos habituals de modelització de preus. – Existeixen diversos models de volatilitat estocàstica: – Heston – Hull & White – Ornstein-Uhlenbeck 24
  25. 25. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion • Model de Heston: ( ) dσ t2 = κ θ 2 − σ t2 dt + γσ t dWt (2 ) σ0 θ κ γ Volatilitat a curt termini Volatilitat a llarg termini Velocitat de reversió a la mitjana κ > 0 Volatilitat de la Volatilitat γ ≥ 0 dS t = µ t dt + σ t dWt (1) St • dWt (1) , dWt ( 2 ) amb distribució N (0, dt ) i correlació ρ. 25
  26. 26. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion • Model de Heston: – Modelitza reversió a la mitjana i correlació entre la volatilitat i el preu de l’actiu subjacent. – Suposant σ t < θ , el model implica que a l’instant següent t+dt, la volatilitat haurà augmentat en mitjana, ja que θ 2 − σ 2 > 0 i t l’esperança de l’altre terme és 0. Anàlogament, la volatilitat disminueix si σ t > θ . La velocitat de reversió a la mitjana determina la força de retorn cap a la mitjana θ . – La correlació ρ afecta l’skew de volatilitat. Per exemple, per una correlació positiva, un augment de la rendibilitat de l’actiu vindrà acompanyat, en mitjana, d’un augment de la volatilitat. És a dir, la volatilitat implícita augmenta amb l’strike. – El paràmetre de volatilitat γ afecta a la kurtosi (fat tails). 26
  27. 27. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion • Model de Heston: – Existeix fórmula tancada de valoració d’opcions vainilla europees – S’usa per valorar altres opcions exòtiques, calibrant el model a partir dels preus de mercat de vainilles. – Sovint es valora usant MonteCarlo o diferències finites, calibrant amb preus de mercat. – Valoració usant MonteCarlo: 27
  28. 28. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion Exemple de valoració usant simulacions de Montecarlo: Option Explicit Option Base 1 Global Const Pi = 3.14159265358979 Function opcioPVHeston( _ ByVal CallPutFlag$, _ ByVal data1 As Date, _ ByVal data2 As Date, _ ByVal S0#, _ ByVal K#, _ ByVal r#, _ ByVal div#, _ ByVal vol#, _ ByVal kappa#, _ ByVal theta#, _ ByVal lambda#, _ ByVal rho#, _ ByVal N&, _ ByVal m&) 'kappa=Velocitat de reversió a la mitjana (>0) 'theta=Volatilitat a llarg termini 'lambda=Volatilitat de la volatilitat (>=0) 'rho=correlació entre les variables aleatories ' del preu del subjacent i la volatilitat 'N=nombre de tirades de MC 'm=discretització de temps Dim Dim Dim Dim rnd1#, rnd2# S#, v#, dt# i&, j&, cpflag% valor valor = 0 28
  29. 29. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers Select Case CallPutFlag Case "CALL": cpflag = 1 Case "PUT" cpflag = -1 Case Else: opcioPVHeston = "ERROR EN TIPUS D'OPCIÓ!!!" Exit Function End Select 'Comprovem si la data d'inici es superior a la de venciment If data1 >= data2 Then valor = Max(cpflag * (S0 - K), 0) Else 'Definim tic de temps dt = (data2 - data1) / (365 * m) For i = 1 To N v = vol * vol S = S0 For j = 1 To m 'Generem dos nombres aleatoris correlacionats rnd1 = BoxMuller() rnd2 = rho * rnd1 + Sqr(1 - rho * rho) * BoxMuller() S = S * Exp((r - div - 0.5 * v) * dt + Sqr(v * dt) * rnd1) v = v + kappa * (theta * theta - v) * dt + lambda * Sqr(v * dt) * rnd2 If v < 0 Then v = -v End If Next 'payoff valor = valor + Max(cpflag * (S - K), 0) Next opcioPVHeston = valor / N End If End Function 29
  30. 30. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers Function BoxMuller() Dim x As Double Dim y As Double Dim dist As Double Do x = 2 * Rnd() - 1 y = 2 * Rnd() - 1 dist = x * x + y * y Loop While dist >= 1 Or dist = 0# BoxMuller = x * Sqr(-2 * Log(dist) / dist) End Function 30
  31. 31. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 31
  32. 32. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 32
  33. 33. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion • Altres models de volatilitat estocàstica: – Hull&White: (Volatilitat sense reversió a la mitjana) dσ t2 = κσ t2 dt + γσ t2 dWt ( 2) – Ornstein-Uhlenbeck: (La variància pot resultar negativa) ( ) dσ t2 = κ θ − σ t2 dt + γdWt ( 2 ) 33
  34. 34. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion • Volatilitat Estocàstica: – Avantatges: Calibració adequada de l’smile de mercat pels terminis llargs. Dinàmica de l’smile realista. – Inconvenients: Calibració inadequada de l’smile per terminis curts. Problemes en un mercat incomplet o amb paràmetres no observables. Solució numèrica complexa. 34
  35. 35. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion • Jump diffusion: dSt = (µt − λ ⋅ M )dt + σ t dWt + M ⋅ dPt St – λ es la mitjana de salts a l’any (nombre de salts) – M és la magnitud mitjana del salt (%) – dP amb distribució de Poisson (independent de t freqüència λ ⋅ dt : dWt ) amb dPt ~ Poisson(λ ⋅ dt ) 35
  36. 36. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion • Jump diffusion: – Avantatges: Calibració adequada de l’smile de mercat pels terminis curts. Dinàmica de l’smile realista. Existeix fórmula analítica de valoració de vanilles europees. – Inconvenients: Calibració inadequada a l’smile per terminis llargs. Problemes en un mercat incomplet o amb paràmetres no observables. Solució numèrica complexa. 36
  37. 37. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion • Models Universals: Els models universals corresponen a combinacions dels tres models anteriors (volatilitat local, estocàstica i de jump difussion), alguns fins i tot amb jumps en la volatilitat. Aquestes combinacions permeten obtenir models que reuneixen els avantatges dels models inicials però també presenten més problemàtica en altres aspectes (per exemple, en la complexitat de càlcul dels paràmetres). 37
  38. 38. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion. Exemple. • Model de volatilitat local estocàstica (SLV): = ∙ ∙ = − ∙ ∙ + , ∙ − ∙ ∙ + = ∙ ∙ ∙ ∙ on: , ∙ | = = , ⇒ , = ∙ | = = , , !" | #$ 38
  39. 39. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion. Exemple. Valoració alternativa sense model específic de volatilitat per a opció exòtica (per exemple, opció FX amb barrera): o Calcular preu teòric usant entorn B-S (volatilitat ATM constant). o Considerar skew: Portfolio de vainilles que replica aproximadament la Vega de l’opció exòtica (implica, doncs, opcions OTM, i.e., utilització de l’skew). Es determinen nominals usant, per ex., mínims quadrats i un univers finit de vainilles. Calcular cost/benefici (primes) de la cartera respecte valoracions ATM. o Preu exòtica = Valor teòric + cost/benefici de l’skew. 39
  40. 40. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.5 Trading de volatilitat. Swaps de volatilitat • Un swap de volatilitat és un derivat que té com a subjacent la volatilitat d’un cert actiu durant un període de temps. • Tal com un swap de tipus d’interès que permet intercanviar un tipus fix per un de flotant, els swaps de volatilitat permeten intercanviar una volatilitat fixada per la volatilitat futura real. • Permeten tenir una exposició a la volatilitat d’un subjacent, independentment de moviments direccionals d’aquest. 40
  41. 41. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.5 Trading de volatilitat. Swaps de volatilitat • Si la volatilitat fixa és Vf (també anomenada strike) i la volatilitat real (anualitzada) al llarg del termini del contracte és Vh, el payoff del swap de volatilitat és: Payoff=Nominal x (Vh-Vf) • La volatilitat real (històrica) es calcula segons una font, freqüència i fórmula pactats inicialment. 41
  42. 42. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.5 Trading de volatilitat. Swaps de volatilitat • Els swaps de volatilitat són útils per a especular sobre valors futurs de la volatilitat. • També són molt útils per a market-makers d’opcions, ja que permeten cobrir-se del diferencial entre la volatilitat real i la implícita. El market-maker té un risc de volatilitat realitzada en el delta-hedging, però les opcions es negocien segons valors de volatilitat implícita. 42
  43. 43. Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2.5 Trading de volatilitat. Swaps de volatilitat • Exemple: Valoració d’un swap de volatilitat usant el model de Heston: – Swap cost zero: E [σ − K ] = 0 ⇒ K = E [σ ] E [σ ] ≈ [ ] [ ] ([ ] E σ +σ Var σ + E σ − σ 0 − 3 2σ 0 8σ 0 2 2 0 2 2 ) 2 2 – Model de Heston: [ ] Eσ 2 1 − e −κT 2 = σ 0 −θ 2 +θ 2 κT ( ) γ 2 e −2κT [2(− 1 + e2κT κT )(σ 02 − θ 2 )+ (− 1 + 4eκT − 3e2κT + 2e2κTκT )θ 2 ] Var [σ ] = 2κ 3T 2 2 43
  1. A particular slide catching your eye?

    Clipping is a handy way to collect important slides you want to go back to later.

×