2. MATEMATICAS
FINANCIERAS
Las Matemáticas Financieras o Ingeniería
Económica tienen como objetivo
fundamental el estudio y análisis de todas
aquellas operaciones y planteamientos en
los cuales intervienen las magnitudes de:
Capital, Interés, Tiempo y Tasa.
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
2
3. MATEMATICAS
FINANCIERAS
La Matemática Financiera la podemos
asociar con dos símbolos es decir el de los
números (#) y el de los pesos ($), ya, que
cuando hablamos de Matemáticas
automáticamente hacemos relación con los
números; y cuando hablamos de Finanzas lo
relacionamos con el signo pesos; de allí la
asociación.
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
3
4. MATEMATICAS
FINANCIERAS
Variables financieras:
Capital C
Tiempo t
Tasa i
Interés I
Cuota R
Monto M
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
4
5. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
NUNCA SE DEBEN
SUMAR VALORES
EN FECHAS
DIFERENTES
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
5
6. INTERES
ES LO QUE SE
PAGA O SE RECIBE
POR CIERTA
CANTIDAD DE
DINERO TOMADA
O DADA EN
PRESTAMO
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
6
7. INTERES SIMPLE
Es aquel interes
que se genera
sobre un capital
que permanece
constante en el
tiempo.
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
7
8. INTERES SIMPLE
Formula general de la tasa de interés:
i=I/C
Si condicionamos esta formula a la
expresión de unidades de tiempo se obtiene
la siguiente ecuación:
I=i.C.t
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
8
9. INTERES SIMPLE
Clasificación del interés simple:
Interés simple comercial en forma ordinaria
Interés simple comercial en forma exacta
Interés simple exacto en forma comercial
Interes simple exacto en forma ordinaria
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
9
10. INTERES SIMPLE
Clasificación del interés simple
Interés simple comercial:
360 días al año, 180 días al semestre, 90 días al
trimestre, 30 días al mes
Interés simple exacto:
365 días al año
Tabla o calculadora para las demás equivalencias
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
10
11. INTERES SIMPLE
Valor futuro a interés simple:
Tambien conocido como monto. Se deduce
de la suma entre el capital y los intereses
que se generan durante determinado período
de tiempo
M=C+I
M = C + ( i . C . t ), luego por factorización
M=C(1+i.t)
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
11
12. INTERES SIMPLE
Conceptode Equivalencia Financiera:
Es la relación de igualdad que se establece
entre una o unas deudas y uno o unos
pagos en un momento determinado en el
tiempo denominado fecha focal (momento
de la negociación)
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
12
13. INTERES SIMPLE
Equidad entre el tiempo y la tasa:
- La tasa y el tiempo siempre deben ir
expresadas en la misma unidad de base.
- La tasa es la que condiciona la expresión
del tiempo.
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
13
14. INTERES SIMPLE
Series uniformes a interés simple:
Valor futuro
Series vencidas:
Valor presente
Valor futuro 0 1 2 3 4 5 6
Valor presente
Series anticipadas Valor futuro
Valor presente
Valor futuro
0 1 2 3 4 5 6
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
Valor presente 14
15. INTERES COMPUESTO
Concepto:
Es el interés que se genera
sobre intereses.
Los intereses que se
generan en el primer
período de capitalización
se convierten en capirtal
para generar mas intereses
para el segundo periódo
de capitalización y así
sucesivamente.
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
15
16. INTERES COMPUESTO
Comparativo entre el interés simple y el
interés compuesto
Capital $ 100.000
Tasa 10% Anual
Tiempo 5 Años
Periodo Interés simple Interés compuesto Diferencia
en años Monto Interes Int. Acumul. Monto Interes Int. Acumul. en intereses
0 0 0 0 0 0
1 110.000 10.000 10.000 110.000 10.000 10.000 0
2 120.000 10.000 20.000 121.000 11.000 21.000 1.000
3 130.000 10.000 30.000 133.100 12.100 33.100 3.100
4 140.000 10.000 40.000 146.410 13.310 46.410 6.410
5 150.000 10.000 50.000 161.051 14.641 61.051 11.051
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
16
17. INTERES COMPUESTO
Comparativo entre el interés simple y el
interés compuesto
Periodo Int. Sim. Int. Com.
en años Monto Monto
0
0,5 105.000 104.881
1 110.000 110.000
2 120.000 121.000
3 130.000 133.100
4 140.000 146.410
5 150.000 161.051
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
17
19. INTERES COMPUESTO
EXCEL
Capitalo valor presente: VA
Tasa: TASA
Monto o valor futuro: VF
Tiempo: NPER
Cuota: PAGO
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
19
26. INTERES COMPUESTO
Tabla para el calculo de las tasas de interés de equivalencia:
MANUAL DE INGENIERÍA ECONÓMICA
CONVERSIÓN DE TASAS DE INTERÉS
SIMULADOR
Para obtener la tasa efectiva Para obtener la tasa nominal
Tasa nominal Tasa efectiva
Periodicidad Periodicidad
Modalidad Modalidad
Tasa efectiva 0,0000% Tasa nominal 0,0000%
Periodicidad: Modalidad
Anual A Vencida V
Semestral S Anticipada A
Cuatrimestral C Preparado por: Rodolfo Enrique Sosa Gómez
Trimestral T Peguntas o comentarios:
Bimestral B e-mail: rodolfososa83@hotmail.com
Mensual M Teléfonos: (5)4307551 Cel: (315) 722 7258
Diaria D Condominio Cañaveral Casa 135. Santa Marta.
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
26
27. INTERES COMPUESTO
Tabla para el calculo de las tasas de interés de equivalencia:
MANUAL DE INGENIERIA ECONOMICA
TABLA DE CONVERSIÓN DE TASAS DE INTERÉS
POR: RODOLFO SOSA GÓMEZ
O R I G E N D E S T I N O
CONOCIENDO LA T A S A: PARA OBTENER LA T A S A:
PERIODICA NOMINAL VENCIDA EFECTIVA ANUAL NOMINAL VENCIDA PERIODICA
1/m
m
J J= 1+ i E.A. -1 .m
i E.A. = 1+ -1
m
J
J= ip . m NOMINAL ANTICIPADA i E.A. NOMINAL ANTICIPADA ip =
J m
1/m
m
i E.A. = 1+ -1
J 1+ i E.A. -1
1-
m
J = 1/ m . m
1+ 1+ i E.A. -1
COMPLEMENTOS: Tasa de Interés Continua
iE.A. ó i p = Tasa efectiva o periódica / 100 i ANTICIPADA
J i VENCIDA =
J = Tasa nominal% / 100 i E.A.= e - 1
1- i ANTICIPADA
m = Número de periodos contenidos en un año i VENCIDA
e = 2,71828182846 i ANTICIPADA =
1+ i VENCIDA
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
27
28. INTERES COMPUESTO
FORMULAS
MANUAL DE INGENIERIA ECONÓMICA B = Saldo insoluto C.P.Eq. = Costo Periódico Equivalente
FORMULAS FINANCIERAS: Pc = Precio de contado R.B.C. = Relación Beneficio Costo
Rodolfo Sosa Gómez Ci = Cuota inicial T.I.R. = Tasa Interna de Retorno
C = Capital o Valor Presente R1 = Valor de la primera cuota i = Rentabilidad Real
M = Monto o Valor Futuro g = gradiente en $ o % r
I = Interés V.P.N. = Valor Presente Neto F = Inflación
i = Tasa de interés V.P.I. = Valor Presente de los Ingresos D = Devaluación
t = Tiempo: número de períodos, pagos o cuotas V.P.E. = Valor Presente de los Egresos E = Tasa Extrangera
m = Periódos contenidos en un año V.P.Eq. = Valor Periódico Equivalente i = Tasa Total
R = Valor del pago o cuota I.P.Eq. = Ingreso Periódico Equivalente T
INTERÉS SIMPLE: VENTAS A PLAZOS:
I 2.m.I
1 i= 2 M=C+I 3 I = i.C.t 4 M=C(1+i.t) 5i= 6 I=(R.t)-B 7 B = Pc - Ci
C B ( t + 1 ) - I ( t - 1)
SERIES PERIÓDICAS VENCIDAS A INTERES SIMPLE SERIES PERIÓDICAS ANTICIPADAS A INTERES SIMPLE
2t + ti . ( t - 1 ) 2t + ti . ( t + 1 )
R. R.
2t + ti . ( t - 1 ) 2 2t + ti . ( t + 1 ) 2
8M= R. 9 C= 10 M = R . 11 C =
2 ( 1 + ti ) 2 ( 1 + ti )
INTERÉS COMPUESTO
t -t Ln ( M / C ) Log ( M / C ) 1/t
12 M = C ( 1 + i ) 13 C = M ( 1 + i ) 14 t = 15 t= 16 i=(M/C) - 1
Ln ( 1 + i ) Log ( 1 + i )
SERIES PERIÓDICAS VENCIDAS A INTERES COMPUESTO
t - t
(1+i) -1 1-(1+i) R
17 M= R 18 C= R 19 Perpetuidad: C =
i i i
SERIES PERIÓDICAS ANTICIPADAS A INTERES COMPUESTO
t - t
(1+i) -1 1-(1+i) R
20 M= R ( 1 + i ) 21 C= R (1+i) 22 Perpetuidad: C = R +
i i i
También puede ser:
t+1 -(t-1)
(1+i) -1 1-(1+i)
23 M= R -1 24 C= R 1+
i i
GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO CRECIENTE Y DECRECIENTE
Cálculo de la cuota uniforme: Infinito: Cálculo de una cuota:
1 t R1 g
25 R = R1 + / - g . - 26 C= + 27 Cuota = R1 + / - ( ( t - 1 ) . g )
2 t
t i i
i (1+i) - 1
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
28
29. INTERES COMPUESTO
FORMULAS
GRADIENTE GEOMETRICO O EXPONENCIAL CRECIENTE
Si g es diferente de i: Si g es igual a i:
t t t -t
(1+i)-(1+g) R1. ( 1 + g ) . ( 1 + i ) - 1 R1. t
28 C = R1. 29 C= 30 C=
t g-i 1+i
(i-g).(1+i)
t t t t
(1+i)-(1+g) t R1. (1+g)-(1+ i) t-1
31 M = R1. ( 1 + i ) 32 M= 33 M = R1 . t . ( 1 + i )
t g-i
(i-g).(1+i)
Infinito, si i es mayor que g: Cálculo de una cuota en gradientes geómetricos o exponenciales, crecientes y decrecientes:
R1 t-1
34 C= 35 Cuota = R1 . ( 1 + / - g )
i-g t
GRADIENTE GEOMETRICO O EXPONENCIAL DECRECIENTE
t t t t
(1+i)-(1-g) (1+ i)-(1-g)
36 C = R1. 37 M = R1.
t (i+g)
(i+ g).(1+i)
EVALUACIÓN DE PROYECTOS:
V.P.N.
38 T.M.A.R. = T.I.O. + Spreads 39 V.P.N. = V.P.I. - V.P.E. 40 V.P.Eq. =
- t
1-(1+ i)
V.P.I. V.P.E.
41 I.P.Eq. = 42 C.P.Eq. = i
- t - t
1-(1+i) 1-(1+ i)
43 R.B.C. = V.P.I. / V.P.E.
i i Resultado ideal: R.B.C. > 1
Nota:
V.P.N. . ( i - i ) V.P.N. . ( i - i ) i Para V.P.N. > 0
2 2 1 1 2 1 1
2 1
44 T.I.R. = i - 45 T.I.R. = i + i > i
2 V.P.N. - V.P.N. 1
2 V.P.N. - V.P.N. i Para V.P.N. < 0 2 1
2 1 1 2 2 2
Rentabilidad real: Rentabilidad en moneda extranjera: Suma de tasas efectivas: Resta de tasas efectivas:
i - F 1 + i Nota:
1
46 i = 47 i = ( 1 + i.D ) . ( 1 + i.E) - 1 48 i = ( 1 + i ) . (1 + i ) - 1 49 i = 1 i >i
r 1 + F r T 1 2 T 1+ i 1 2
2
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
29
38. GRADIENTES
LINEALES O ARITMETICAS:
CRECIENTES Y DECRECIENTES
VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO
CALCULO DE CUOTA
GRADIENTE DIFERIDA
GRADIENTE PERPETUA
GRADIENTE PERPETUA DIFERIDA
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
38
39. GRADIENTES
EXPONENCIALES O GEOMETRICAS
CRECIENTES Y DECRECIENTES
VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO
CALCULO DE CUOTA
GRADIENTE DIFERIDA
GRADIENTE PERPETUA
GRADIENTE PERPETUA DIFERIDA
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
39
42. GRADIENTES
GRADIENTE LINEAL O ARITMETICO
CRECIENTE DECRECIENTE
R1 (1ra Cuota) R1 (1ra Cuota)
g (Gradiente en $) g (Gradiente en $)
i % (Tasa) i % (Tasa)
n (Tiempo) n (Tiempo)
Ru (Cuota Uniforme) #¡DIV/0! Ru (Cuota Uniforme) #¡DIV/0!
V.F. ( Monto ) 0,00 V.F. ( Monto ) x #¡DIV/0!
V.P. ( Capital ) 0,00 V.P. ( Capital ) x #¡DIV/0!
CUOTA No. 24 CUOTA No.
VALOR 0,00 VALOR 0,00
INFINITO 0,00
GRADIENTE EXPONENCIAL O GEOMETRICO
CRECIENTE DECRECIENTE
R1 (1ra Cuota) R1 (1ra Cuota)
g (Gradiente en %) g (Gradiente en %)
i % (Tasa) i % (Tasa)
n (Tiempo) n (Tiempo)
V.F. ( Monto ) Si i dif.g 0,00 V.F. ( Monto ) Si i dif.g 0,00
V.P. ( Capital ) Si i dif.g 0,00 V.P. ( Capital ) Si i dif.g 0,00
V.F. ( Monto ) Si i = g 0,00
V.P. ( Capital ) Si i = g 0,00
CUOTA No. CUOTA No.
VALOR 0,00 VALOR 0,00
INFINITO Si i > g Rodolfo Enrique Sosa Gómez
0,00 42
43. EVALUACIONES
FINANCIERAS
FLUJO DE CAJA
FLUJO DE CAJA NETO
V.P.N.
T.I.R.
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
43
45. U.V.R.
Procedimiento para el calculo de la U.V.R.
Del 31 de Julio al 5 de Agosto:
El DANE pública los resultados de la inflación del mes de
Julio de 2002
Del 6 de Agosto al 15 de Agosto:
El Banco de la Republica le informa los valores de la UVR
que regirán entre el 16 de Agosto y el 15 de Septiembre.
El sistema financiero actualiza sus bases de datos
15 de Agosto:
U.V.R. $127,7596: Valor ya calculado del mes anterior
Del 16 de Agosto al 15 de Septiembre:
Nuevos valores de la U.V.R. Que aplican entre el
16 de Agosto y el 15 de Septiembre
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
45
46. U.V.R.
- UVR t = Valor de la moneda legal colombiana de la UVR
Del día t del período de calculo.
-UVR 15 = Valor de la moneda legal colombiana de la UVR
el día 15 de cada mes.
- i = Variación mensual del IPC durante el mes calendario
inmediatamente anterior al mes de inicio del período de calculo
-t = Número de días calendario transcurridos desde el inicio
de un período de calculo hasta el día de calculo de la UVR.
Por lo tanto, t tendrá valores entre 1 y 31 de acuerdo con el
número de días calendario del respectivo período de calculo.
- d = Número de días calendario del respectivo período de calculo
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
46
47. U.V.R.
DATOS VALORES
VALOR DE LA UVR 127,9002 RESUMEN DEL CREDITO
FECHA DE REGISTRO 16-Nov-02 VECES QUE SE PAGO EL CREDITO 3,35
TASA DE INFLACION 6,00% SALDO EN PESOS MAS ALTO 25.561.151,08
TASA DE INFLACION MENSUAL 0,49% MES EN EL QUE SE OBTUVO EL SALDO + ALTO 66
TASA DE INTERES E.A. 12,00% FECHA DEL SALDO MAS ALTO 18-Abr-08
TASA DE INTERES MENSUAL 0,95% INTERESES PAGADOS 35.740.735,91
VALOR PRESTAMO O DEUDA 23.000.000 CAPITAL PAGADO 41.245.432,84
TIEMPO EN AÑOS 15 TOTAL PAGADO 76.986.168,74
TIEMPO EN MESES 180
PAGO TABLA DE AMORTIZACION EN U.V.R. TABLA DE AMORTIZACION EN PESOS
PERI FECHA VALOR UVR CUOTA EN ABONO A INTERESES SALDO EN UVR CUOTA EN ABONO A INTERESES EN SALDO EN
CAPITAL EN CAPITAL EN
ODO UVR UVR EN UVR PESOS PESOS PESOS PESOS
0 16-Nov-02 127,9002 179.827,7094 0,00 0,00 0,00 23.000.000,00
1 16-Dic-02 128,5228 2.087,7769 381,4290 1.706,3479 179.446,2804 268.326,86 49.022,31 219.304,54 23.062.931,35
2 15-Ene-03 129,1484 2.087,7769 385,0483 1.702,7286 179.061,2320 269.632,95 49.728,36 219.904,59 23.125.462,98
3 14-Feb-03 129,7770 2.087,7769 388,7020 1.699,0750 178.672,5300 270.945,40 50.444,57 220.500,83 23.187.582,76
4 16-Mar-03 130,4087 2.087,7769 392,3903 1.695,3866 178.280,1397 272.264,24 51.171,10 221.093,14 23.249.278,39
5 15-Abr-03 131,0435 2.087,7769 396,1136 1.691,6633 177.884,0261 273.589,50 51.908,10 221.681,41 23.310.537,33
6 15-May-03 131,6813 2.087,7769 399,8722 1.687,9047 177.484,1539 274.921,21 52.655,70 222.265,51 23.371.346,85
7 14-Jun-03 132,3223 2.087,7769 403,6666 1.684,1104 177.080,4873 276.259,41 53.414,08 222.845,33 23.431.693,98
8 14-Jul-03 132,9664 2.087,7769 407,4969 1.680,2801 176.672,9905 277.604,11 54.183,38 223.420,74 23.491.565,56
9 13-Ago-03 133,6136 2.087,7769 411,3635 1.676,4134 176.261,6270 278.955,37 54.963,75 223.991,61 23.550.948,19
10 12-Sep-03 134,2640 2.087,7769 415,2669 1.672,5101 175.846,3601 280.313,19 55.755,37 224.557,82 23.609.828,25
11 12-Oct-03 134,9175 2.087,7769 419,2072 1.668,5697 175.427,1529 281.677,63 56.558,39 225.119,24 23.668.191,89
12 11-Nov-03 135,5742 2.087,7769 423,1850 1.664,5919 175.003,9678 283.048,71 57.372,97 225.675,74 23.726.025,04
13 11-Dic-03 136,2341 2.087,7769 427,2005 1.660,5764 174.576,7673 284.426,47 58.199,29 226.227,18 23.783.313,37
14 10-Ene-04 136,8973 2.087,7769 431,2541 1.656,5228 174.145,5132 285.810,93 59.037,51 226.773,42 23.840.042,35
15 9-Feb-04 137,5636 2.087,7769
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
435,3462 1.652,4307
47 173.710,1670 287.202,13 59.887,80 227.314,33 23.896.197,16
