Secções Planas

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Secções Planas

  1. 1. 4.4 Secções planas de superfícies e sólidos Geometria Descritiva 2006/2007
  2. 2. Secções planas de superfícies e sólidos <ul><li>Quando um plano intersecta uma superfície geométrica determina sobre ela uma linha plana que pertence à superfície </li></ul><ul><ul><li>A linha obtida pode ser </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>uma circunferência </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>rectas (problema mais simples) </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>A linha pode ser uma curva complexa </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Ela terá que ser identificada ponto a ponto </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>É útil conhecer a tangente à secção plana em cada ponto </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>A tangente à secção plana é a recta de intersecção do plano secante que gera a secção plana com o plano tangente à curva nesse ponto </li></ul></ul></ul></ul>
  3. 3. Secções planas de poliedros <ul><li>Aplicação a prismas pirâmides e outros poliedros </li></ul><ul><li>1º caso : O plano secante é projectante </li></ul><ul><ul><li>A secção fica determinada pela intersecção de cada aresta do sólido com o plano secante projectante </li></ul></ul><ul><li>2º caso : O plano secante não é projectante </li></ul><ul><ul><li>A secção é obtida através da intersecção do plano que contém cada face do sólido com o plano secante </li></ul></ul>
  4. 4. Secções planas de poliedros <ul><li>Aplicação a prismas pirâmides e poliedros </li></ul><ul><ul><li>Determinar a secção plana definida pelo plano de frente  1 com o prisma hexagonal regular com bases de nível </li></ul></ul><ul><ul><li>A secção é o rectângulo MNN’M’ </li></ul></ul>X (h  1 ) N 1  N’ 1 N 2 N’ 2 M 1  M’ 1 M 2 M’ 2
  5. 5. Secções planas de poliedros <ul><li>Aplicação a prismas pirâmides e poliedros </li></ul><ul><ul><li>Determinar a secção plana definida pelo plano vertical  com uma pirâmide pentagonal regular assente em  0 </li></ul></ul><ul><ul><li>A secção é o polígono MNPQR </li></ul></ul><ul><ul><li>Para se obter a secção em verdadeira grandeza fez-se o seu rebatimento sobre o plano horizontal </li></ul></ul>X N 2 M 2 P 2 Q 2 R 2 N 1 M 1 P 1 Q 1 R 1 h  f  Nr 1 Pr 1 Mr 1 Qr 1 Rr 1
  6. 6. Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas <ul><li>1º caso : O plano secante passa pelo vértice da superfície </li></ul><ul><ul><li>O plano intersecta a directriz </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Num ponto : </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>A secção plana é a geratriz da superfície que passa nesse ponto </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Em vários pontos : </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>A secção plana é constituída por geratrizes </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><li>O plano não intersecta a directriz </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>A secção plana reduz-se a um ponto (o vértice da superfície) </li></ul></ul></ul>
  7. 7. Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas <ul><li>A superfície é definida pelo vértice V e pela directriz d (num plano  de topo) </li></ul><ul><li>O plano secante é definido pelas rectas r e s concorrentes em V (portanto o plano contém o vértice da superfície) </li></ul><ul><li>Determinar a secção definida na superfície pelo plano secante </li></ul>V 1 V 2 d 1 d 2 (f  )   i 2 <ul><ul><li>Identificam-se as geratrizes que definem a secção plana identificando dois dos seus pontos pertencentes à directriz (pontos A e B) </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>O plano secante intersecta o plano que contém a directriz segundo a recta i, que determina sobre a directriz os pontos A e B </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>A secção plana é constituída pelas geratrizes g e g’ </li></ul></ul></ul>X A 2 A 1 g 2 B 2 B 1 g’ 2 r 2 s 2 r 1 s 1 i 1 g 1 g’ 1
  8. 8. Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas <ul><li>2º caso : O plano secante não passa pelo vértice da superfície </li></ul><ul><ul><li>A secção não contém nenhuma geratriz </li></ul></ul><ul><ul><li>A secção é constituída pelos pontos de intersecção de cada uma das geratrizes com o plano secante </li></ul></ul>
  9. 9. Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução <ul><li>As secções planas de superfícies cónicas ou cilíndricas de revolução são cónicas : </li></ul><ul><ul><li>Elipses </li></ul></ul><ul><ul><li>Parábolas </li></ul></ul><ul><ul><li>Hipérboles </li></ul></ul><ul><ul><li>Considerando que </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>uma circunferência é o caso particular de uma elipse </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>um ponto é um caso particular de uma circunferência </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>duas rectas paralelas são uma parábola degenerada </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>duas rectas coincidentes são uma parábola degenerada </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>duas rectas concorrentes são uma hipérbole degenerada </li></ul></ul></ul>
  10. 10. Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução <ul><li>2º caso : O plano secante não passa pelo vértice da superfície </li></ul><ul><ul><li>Se o plano secante intersecta todas as geratrizes da superfície a cónica é uma elipse (curva fechada) </li></ul></ul><ul><ul><li>Se o plano secante é paralelo apenas a uma das geratrizes a cónica é uma parábola </li></ul></ul><ul><ul><li>Se o plano secante é paralelo apenas a duas geratrizes a cónica é uma hipérbole </li></ul></ul>
  11. 11. Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução Hipérbole Parábola Círculo Elipse Paralelo
  12. 12. Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução <ul><li>Note-se que: </li></ul><ul><ul><li>A secção plana de uma superfície cilíndrica nunca pode ser uma parábola ou uma hipérbole </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>O plano secante não pode ser paralelo a uma ou a duas geratrizes sem ser paralelo a todas </li></ul></ul></ul><ul><li>Para determinar se a secção plana de uma superfície cónica é uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole faz-se passar pelo vértice um plano  paralelo ao plano secante  </li></ul><ul><ul><li>O plano  determina quais são as geratrizes paralelas a  </li></ul></ul>
  13. 13. Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução <ul><li>Determinar que tipo de superfície é a secção plana definida pelo plano  na porção de superfície cónica de revolução indicada </li></ul><ul><ul><li>Considera-se uma recta r, de frente, paralela ao plano  e que passa no vértice </li></ul></ul><ul><ul><li>Considera-se o plano  paralelo a  e que contém r </li></ul></ul><ul><ul><li>Este plano intersecta a superfície segundo duas geratrizes AVA’ e BVB’ que são portanto paralelas a  </li></ul></ul><ul><ul><li>A secção plana é portanto uma hipérbole </li></ul></ul>Nota : Se a directriz da superfície cónica não estivesse sobre o plano frontal de projecção teríamos que o colocar nessa posição fazendo uma mudança do plano frontal de projecção ou determinando nova directriz sobre este plano X V 2 V 1 h  f  f  h  r 2 r 1 A 2 A’ 2 B 2 B’ 2 A 1 A’ 1 B’ 1 B 1
  14. 14. Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução <ul><li>Determinar a secção plana definida pelo plano de topo  no cone indicado </li></ul><ul><ul><ul><li>A projecção cilíndrica de uma elipse é sempre uma elipse </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Determinam-se os pontos de intersecção do plano com as geratrizes </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>A elipse resultante é ABCDEFGH </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Para que apareça em verdadeira grandeza fez-se o seu rebatimento </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Circunferência (caso particular de uma elipse) </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Segmento rectilíneo (elipse degenerada) </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><li>O plano de topo  intersecta todas as geratrizes do cone, logo a secção plana é uma elipse </li></ul></ul>X (f  ) A 1 E 1 D 1 F 1 C 1 G 1 B 1 H 1 B 2 A 2 D 2 C 2 E 2  F 2  H 2  G 2 Ar 1 Hr 1 Gr 1 Fr 1 Er 1 Br 1 Cr 1 Dr 1
  15. 15. Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução <ul><li>Determinar a secção plana definida pelo plano  no cone indicado </li></ul> h  1 <ul><ul><li>O plano  não é projectante </li></ul></ul><ul><ul><li>Faz-se uma mudança do plano frontal de projecção de forma a transformá-lo num plano de topo </li></ul></ul><ul><ul><li>O plano  intersecta todas as geratrizes do cone, logo a secção plana é uma elipse </li></ul></ul><ul><ul><li>Determinam-se os pontos de intersecção do plano com as geratrizes </li></ul></ul><ul><ul><li>A elipse resultante é ABCDEFGH </li></ul></ul><ul><ul><li>Para que as elipses apareçam em verdadeira grandeza será necessário fazer o seu rebatimento </li></ul></ul>X f  h  P 1 P 2 f  1 X 1 P 21
  16. 16. Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução <ul><li>Determinar a secção plana definida pelo plano  no cone indicado </li></ul> h  1 <ul><ul><li>O plano  não é projectante </li></ul></ul><ul><ul><li>Faz-se uma mudança do plano frontal de projecção de forma a transformá-lo num plano de topo </li></ul></ul><ul><ul><li>O plano  intersecta todas as geratrizes do cone, logo a secção plana é uma elipse </li></ul></ul><ul><ul><li>Determinam-se os pontos de intersecção do plano com as geratrizes </li></ul></ul><ul><ul><li>A elipse resultante é ABCDEFGH </li></ul></ul><ul><ul><li>Para que as elipses apareçam em verdadeira grandeza será necessário fazer o seu rebatimento </li></ul></ul>X f  h  f  1  H 21  G 21 A 21 E 21 B 21 C 21 D 21  F 21 A 1 E 1 D 1 F 1 C 1 G 1 B 1 H 1 X 1
  17. 17. Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução <ul><li>Determinar a secção plana definida pelo plano  no cone indicado </li></ul> h  1 <ul><ul><li>O plano  não é projectante </li></ul></ul><ul><ul><li>Faz-se uma mudança do plano frontal de projecção de forma a transformá-lo num plano de topo </li></ul></ul><ul><ul><li>O plano  intersecta todas as geratrizes do cone, logo a secção plana é uma elipse </li></ul></ul><ul><ul><li>Determinam-se os pontos de intersecção do plano com as geratrizes </li></ul></ul><ul><ul><li>A elipse resultante é ABCDEFGH </li></ul></ul><ul><ul><li>Para que as elipses apareçam em verdadeira grandeza será necessário fazer o seu rebatimento </li></ul></ul>X f  h  f  1  H 21  G 21 A 21 E 21 B 21 C 21 D 21  F 21 A 1 E 1 D 1 F 1 C 1 G 1 B 1 H 1 A 2 B 2 D 2 C 2 E 2 F 2 G 2 H 2 X 1
  18. 18. Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução <ul><li>Determinar a secção plana definida pelo plano  no cone indicado </li></ul> h  1 <ul><ul><li>O plano  não é projectante </li></ul></ul><ul><ul><li>Faz-se uma mudança do plano frontal de projecção de forma a transformá-lo num plano de topo </li></ul></ul><ul><ul><li>O plano  intersecta todas as geratrizes do cone, logo a secção plana é uma elipse </li></ul></ul><ul><ul><li>Determinam-se os pontos de intersecção do plano com as geratrizes </li></ul></ul><ul><ul><li>A elipse resultante é ABCDEFGH </li></ul></ul><ul><ul><li>Para que as elipses apareçam em verdadeira grandeza será necessário fazer o seu rebatimento </li></ul></ul>X f  h  A 1 E 1 D 1 F 1 C 1 G 1 B 1 H 1 A 2 B 2 D 2 C 2 E 2 F 2 G 2 H 2
  19. 19. Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução <ul><li>Determinar a secção plana definida pelo plano  no cone indicado </li></ul> f  1 <ul><ul><li>O plano  não é projectante </li></ul></ul><ul><ul><li>Faz-se uma mudança do plano horizontal de projecção de forma a transformar  num plano vertical </li></ul></ul><ul><ul><li>O plano  é paralelo apenas a uma geratriz do cone (que passa no vértice e no ponto A), logo a secção plana é uma parábola </li></ul></ul><ul><ul><li>Determina-se as suas projecções através das projecções dos pontos de intersecção do plano com as geratrizes </li></ul></ul>X P 1 P 2 X 1 h  1 P 11 A 11 A 2 h  f 
  20. 20. Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução <ul><li>Determinar a secção plana definida pelo plano de topo  no duplo cone indicado </li></ul><ul><ul><li>Considera-se o plano  paralelo a  e que passa pelo vértice do duplo cone </li></ul></ul><ul><ul><li>O plano  intersecta o cone segundo duas geratrizes AVA’ e BVB’ que são paralelas a  </li></ul></ul><ul><ul><li>Logo a secção plana definida pelo plano  é uma hipérbole </li></ul></ul><ul><ul><li>Os pontos M e N são os vértices da hipérbole e C é o ponto médio do eixo transverso MN da hipérbole </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>O plano frontal  é um plano de simetria da hipérbole, logo o eixo transverso é frontal </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>Para que a hipérbole apareça em verdadeira grandeza é necessário fazer o seu rebatimento </li></ul></ul>V 2 V 1 X h  f  C 2 M 2 N 2 f  h  C 1 A’ 2  B’ 2 A 2  B 2 A 1 A’ 1 B’ 1 B 1 h 
  21. 21. Secções planas de superfícies de revolução <ul><li>1º caso : O plano secante contém o eixo da superfície </li></ul><ul><ul><li>A secção plana é uma meridiana da superfície </li></ul></ul><ul><li>2º caso : O plano secante é perpendicular ao eixo da superfície </li></ul><ul><ul><li>A secção plana é um paralelo da superfície </li></ul></ul><ul><li>3º caso : O plano secante é oblíquo ao eixo da superfície </li></ul><ul><ul><li>A secção plana é determinada por pontos que podem ser determinados sobre cada paralelo ou sobre cada meridiana </li></ul></ul><ul><ul><li>Determina-se a recta de intersecção do plano secante com o plano do paralelo ou da meridiana e consideram-se os pontos comuns à recta obtida e ao paralelo ou à meridiana </li></ul></ul>
  22. 22. Secções planas de uma esfera <ul><li>A secção plana de uma esfera é sempre um círculo </li></ul><ul><ul><li>O centro do círculo é o pé da perpendicular baixada do centro da esfera para o plano secante </li></ul></ul><ul><ul><li>As projecções do círculo são elipses </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>O eixo maior é a projecção do diâmetro paralelo ao plano de projecção respectivo (projecta-se em verdadeira grandeza) </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>O eixo menor é a projecção do diâmetro perpendicular ao diâmetro paralelo ao plano de projecção em questão. </li></ul></ul></ul>
  23. 23. Secções planas de uma esfera <ul><li>Determinar a secção plana definida pelo plano de topo  na esfera representada </li></ul><ul><ul><li>O centro do círculo correspondente à secção plana é o ponto C </li></ul></ul><ul><ul><li>A projecção frontal da secção reduz-se ao segmento de recta A 2 B 2 </li></ul></ul><ul><ul><li>A projecção horizontal é a elipse com </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>centro em C 1 , </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>eixo maior E 1 D 1 =A 2 B 2 </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>eixo menor A 1 B 1 </li></ul></ul></ul>X O 1 O 2 (f  ) A 2 B 2 A 1 F 2  G 2 C 2  D 2  E 2 I 2  J 2 C 1 B 1 F 1 G 1 E 1 D 1 J 1 I 1 (f  ) (f  )
  24. 24. 4.5 Intersecção de rectas com sólidos Geometria Descritiva 2006/2007
  25. 25. Intersecção de rectas com sólidos <ul><li>Faz-se passar pela recta um plano auxiliar que intersectará o sólido segundo uma secção plana </li></ul><ul><li>Os pontos comuns à recta e à secção plana são os pontos procurados </li></ul>
  26. 26. Intersecção de rectas com sólidos <ul><li>Determinar a intersecção de um octaedro regular com 3 cm de aresta e uma diagonal vertical, tendo o ponto de menor cota a cota zero, com a recta r </li></ul>C 1 r 1 r 2  (f  ) V 1 A 1 B 1 R 2   S 2 F 1 <ul><ul><li>Considera-se o plano de topo  que contém a recta r </li></ul></ul><ul><ul><li>Determina-se a secção plana definida no octaedro pelo plano  </li></ul></ul><ul><ul><li>A secção obtida é um polígono com vértices A, B, C, D, E e F </li></ul></ul><ul><ul><li>Determinam-se os pontos de intersecção da secção plana com a recta r (pontos R e S) </li></ul></ul><ul><ul><li>Para obter a secção em verdadeira grandeza pode rebater-se o plano  </li></ul></ul>X A 2  B 2 D 2  E 2 C 2  F 2 S 1 R 1 D 1 E 1
  27. 27. Intersecção de uma recta com superfícies cónicas e cilíndricas <ul><li>Faz-se passar pela recta um plano auxiliar que intersectará a superfície segundo uma secção plana </li></ul><ul><ul><li>Por exemplo o plano que passa pelo vértice </li></ul></ul><ul><li>Os pontos comuns à recta e à secção plana são os pontos procurados </li></ul>
  28. 28. Intersecção de uma recta com superfícies cónicas e cilíndricas <ul><li>Determinar a intersecção da recta s com a superfície </li></ul> i 2 <ul><ul><li>Considera-se o plano auxiliar definido pela recta s e pela direcção das geratrizes </li></ul></ul><ul><ul><li>A intersecção deste plano com o plano  que contém a directriz é a recta i </li></ul></ul><ul><ul><li>A intersecção da recta i com a directriz define os pontos A e B </li></ul></ul><ul><ul><li>Por A e B passam as geratrizes g e g’ que constituem a secção plana </li></ul></ul><ul><ul><li>A intersecção da recta s com a secção plana (são complanares) definem os pontos procurados P e Q </li></ul></ul>cilíndrica definida pela directriz d (situada num plano de topo) e pela direcção das geratrizes r X d 1 s 2 r 1 r 2 s 1 (f  )  d 2 A 2 A 1 r’ 1 B 2 B 1 g 2 g 1 P 1 P 2 r’ 2 g’ 2 Q 1 Q 2 i 1 g’ 1
  29. 29. <ul><li>Utiliza-se um plano auxiliar projectante que contém a recta </li></ul><ul><li>Determina-se a secção plana formada na esfera pelo plano auxiliar </li></ul><ul><li>Determina-se a intersecção da secção plana com a recta </li></ul><ul><ul><li>Para se obter a posição dos pontos com maior precisão pode rebater-se a secção plana e a recta em torno por exemplo de uma recta frontal f </li></ul></ul>Intersecção de uma recta com uma esfera  (f  )  f 2 X O 1 O 2 C 2 C 1 r 1 r 2 f 1 rr 2 P 2 P 1 B 1 Br 2 B 2 Pr 2 Ar 2 A 2 A 1

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