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3) 0 < y – 4 < 20+4<y<2+4   4<y<64) y² > 2y² - 2 = 0y² = 2y = ± √2y < - √2 u y > √25) x² ≥ 4x² - 4 = 0x = ±√4x ≤ -2 u x ≥ 2
6) 4 < x² < 9 √4 < x < √9   2< x <3  -3 < x < -27) 1/9 < x² < ¼√1/9 < x < √1/41/3 < x < 1/28) (x – 1)² < 4      x – 1 < √4...
9) (x + 3) ² < 2x + 3 < √2       x + 3 < -√2x < √2 – 3       x < -√2 - 310) x² - x < 0    0<x<111) x² - x – 2 ≥ 0    x² - ...
12) x² - 5x + 6 ≤ 0(x – 3) (x – 2)X=3X=213) –x + 5 ≤ 12 + 3x       2         44(-x + 5) ≤ 2(12+3x)-4x + 20 ≤ 24 + 6x-4x - ...
15) |2x -3|= 72x – 3 = ± 72x = 7 + 3     2x = -7 + 3X = 10/2       x = -4/2X=5            x = -216) |x|<2-2 < x < 217) |x ...
18) |z + 2| < 1Z+2<±1Z<1–2           z < -1 -2Z < -1          z > -319) |y + 3| ≥ ½y+3≥±½y≥½-3          y≥-½-3y ≥ -5/2    ...
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x² - 1x² - 1 ≠ 0x² ≠ 1x² ≠ ± √1Instituto Tecnológico de AcapulcoDepartamento: Económico – AdministrativoCalculo Diferencia...
RANGO:    3) F(x) = _x – 1_      DOMINIO:                            x/x Є R – {2} y {3}                                  ...
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x² ≥ 1          x    F(x)                   Sustitución          -8   7.9    f(-8) = √(-8)² - 1 = √63                     ...
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x≥5                                              x    F(x)                   Sustitución                                  ...
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x         F(x)           0            0       45˚ = π/4     1.414       90˚ = π/2        2      135˚ = 3π/4    1.414      ...
Departamento: Económico – Administrativo      Calculo Diferencial. Modulo I      Octubre 2009      3.- f(x) = -senx       ...
Instituto Tecnológico de Acapulco      Departamento: Económico – Administrativo      Calculo Diferencial. Modulo I      Oc...
6.- f(x) = 2 cos x          x         F(x)           0           2       45˚ = π/4    1.41       90˚ = π/2       0      13...
RANGO: 2a4      8.- f(x) = tan x          x         F(x)           0          2       45˚ = π/4      1      135˚ = 3π/4   ...
Instrucciones:    1) Grafique.    2) Analice que pasa con el dibujo de la función cuando el parámetro a, b, c cambian.1.- ...
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UNIDAD I NUMEROS REALES. RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES DE 1° GRADO CON UNA INCOGNITA Y DE DESIGUALDADES CUADRÁTICAS CON UNA INCOGNITA

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UNIDAD I NUMEROS REALES. RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES DE 1° GRADO CON UNA INCOGNITA Y DE DESIGUALDADES CUADRÁTICAS CON UNA INCOGNITA

  1. 1. Instituto Tecnológico de AcapulcoDepartamento: Económico – AdministrativoCalculo Diferencial. Modulo ISeptiembre 2009 Unidad I.I.Números Reales Unidad Números Reales 1.5 Resolución de Desigualdades de primer grado con una incógnita y de desigualdades cuadráticas con una incógnita. La solución de la desigualdad en una variable es el conjunto de todos los valores para los cualesla desigualdad es verdadera..Ejemplo. x+3>8 x>8–3 x>5 3x + 3 > 8 + 4x 3x – 4x > 8 – 3 -x > 5 x < -5
  2. 2. Instituto Tecnológico de AcapulcoDepartamento: Económico – AdministrativoFundamentos de Investigación. Modulo ISeptiembre 2009Ejercicios.! Representa en la recta numérica y notación los siguientes conjuntos:1) x > 1/3 2) -2 < x ≤ 33) x < -3 u x > 3 4) ½ < x < 1 5) ½ ≤ x ≤ 1
  3. 3. Instituto Tecnológico de AcapulcoDepartamento: Económico – AdministrativoFundamentos de Investigación. Modulo ISeptiembre 2009Ejercicios.! Determinar su figura de las siguientes desigualdades.1) 1 – x < 3 – 2x 2) x + 4 ≥ 4x - 2-x + 2x < 3 – 1 x – 4x ≥ -2 - 4 x<2 -3x ≥ -6 x≤23) 3x – 2 ≤ 2 – x < x + 6 4) 4 ≤ 3x – 2 < 133x + x ≤ 2 + 2 -x – x < 6 – 2 4 + 2 ≤ 3x 3x < 13 + 2 4x ≤ 4 -2x < 4 6 ≤ 3x 3x < 15 x≤1 x > -2 -2 ≤ x x<5 -2 < x ≤ 1 2≤x<5
  4. 4. Instituto Tecnológico de AcapulcoDepartamento: Económico – AdministrativoFundamentos de Investigación. Modulo ISeptiembre 20095) –x + 5 ≤ 12 + 3x 2 44 (-x + 5) ≤ 2 (12 + 3x)-4x + 20 ≤ 24 + 6x-4x - 6x ≤ 24 - 20-10x ≤ 4x ≥ -4/-10x ≥ - 2/5
  5. 5. Instituto Tecnológico de AcapulcoDepartamento: Económico – AdministrativoCalculo Diferencial. Modulo ISeptiembre 2009Ejercicios.! Unidad I.1) 3 > x - 83+8>x 11 > x2) 3 (2 – x) > 2 (3 + x) 6 – 3x > 6 + 2x -3 x – 2x > 6 – 6 -5x > 0 x<0
  6. 6. 3) 0 < y – 4 < 20+4<y<2+4 4<y<64) y² > 2y² - 2 = 0y² = 2y = ± √2y < - √2 u y > √25) x² ≥ 4x² - 4 = 0x = ±√4x ≤ -2 u x ≥ 2
  7. 7. 6) 4 < x² < 9 √4 < x < √9 2< x <3 -3 < x < -27) 1/9 < x² < ¼√1/9 < x < √1/41/3 < x < 1/28) (x – 1)² < 4 x – 1 < √4 x – 1 < - √4 x<2+1 x < -2 + 1 x<3 x < -1
  8. 8. 9) (x + 3) ² < 2x + 3 < √2 x + 3 < -√2x < √2 – 3 x < -√2 - 310) x² - x < 0 0<x<111) x² - x – 2 ≥ 0 x² - x – 2 = 0x= -(-1) ± √(-1)² - 4(-1)²(-2) 2 (1)x= 1 ± √9 2x= 1 ± 3 2x= 1 + 3 = 2 2x= 1 - 3 = -1 2
  9. 9. 12) x² - 5x + 6 ≤ 0(x – 3) (x – 2)X=3X=213) –x + 5 ≤ 12 + 3x 2 44(-x + 5) ≤ 2(12+3x)-4x + 20 ≤ 24 + 6x-4x - 6x ≤ 24 - 20-10 x ≤ 410x ≥ -4X≥-⅖14) 6 – x < 3x – 4 4 22(6 – x) < 4(3x – 4)12 – 2x < 12x – 16-2x – 12x < -16 – 12-14x < -2814x > 28X > 28/14X>2
  10. 10. 15) |2x -3|= 72x – 3 = ± 72x = 7 + 3 2x = -7 + 3X = 10/2 x = -4/2X=5 x = -216) |x|<2-2 < x < 217) |x + 1 | ≥ 1 2X+1≥±1 21(x + 1) ≥ 2(1) 1(x + 1) ≥ 2(-1)X+1≥2 X + 1 ≥ -2X≥1 X ≤ -3
  11. 11. 18) |z + 2| < 1Z+2<±1Z<1–2 z < -1 -2Z < -1 z > -319) |y + 3| ≥ ½y+3≥±½y≥½-3 y≥-½-3y ≥ -5/2 y ≤ -7/220) |2z + 5| < 42z + 5 < ± 42z < 4 – 5 2z < -4 -5Z<-½ z > -9/2
  12. 12. Instituto Tecnológico de AcapulcoDepartamento: Económico – AdministrativoCalculo Diferencial. Modulo ISeptiembre 2009 Unidad II. Funciones Unidad II. Funciones x F(x) Sustitución -4 .066 f(-4)= __1__ = __1__ = _1_ (-4)² - 1 16 – 1 15 -3 .125 f(-3)= __1__ = __1__ = _1_ (-3)² - 1 9 – 1 8 -2 .33 f(-2)= __1__ = __1__ = _1_ (-2)² - 1 4 – 1 3 -1.5 .8 f(-1.5)= __1__ = __1__ = _1_ (-1.5)² - 1 2.25 – 1 1.25 -1.1 4.76 f(-1.1)= __1__ = __1__ = _1_ (-1.1)² - 1 1.21 – 1 .21 -.9 -5.26 f(-.9)= __1__ = __1__ = _1_ (-.9)² - 1 .81 – 1 -.19 -.5 -1.33 f(-.5)= __1__ = __1__ = _1_ (-.5)² - 1 .25 – 1 -.75 -.1 -1.1 f(-.1)= __1__ = __1__ = _1_ (-.1)² - 1 .01 – 1 -.99 0 -1 f(0)= __1__ = __1__ = _1_ (0)² - 1 0 – 1 -1 1.1 4.76 f(1.1)= __1__ = __1__ = _1_ (1.1)² - 1 1.21 – 1 .21 1.5 .8 f(1.5)= __1__ = __1__ = _1_ (1.5)² - 1 2.25 – 1 1.25 1.9 .38 f(1.9)= __1__ = __1__ = _1_ (1.9)² - 1 3.61 – 1 2.61 2 .33 f(2)= __1__ = __1__ = _1_ (2)² - 1 4 – 1 3 3 .125 f(3)= __1__ = __1__ = _1_ (3)² - 1 9 – 1 8 4 .066 f(4)= __1__ = __1__ = _1_ (4)² - 1 16 – 1 15Ejercicios.! Unidad IIINSTRUCCIONES: Hallar el Dominio y el Rango. 1) f(x)= __1__ x² - 1x² - 1 ≠ 0x² ≠ 1x² ≠ ± √1 DOMINIO: x/x Є R – {-1} y {1}
  13. 13. Instituto Tecnológico de AcapulcoDepartamento: Económico – AdministrativoCalculo Diferencial. Modulo ISeptiembre 2009 Unidad II. Funciones Unidad II. Funciones RANGO: 2) F(x) = _x – 1_ DOMINIO: x/x Є R – {-1} y {1} x F(x) Sustitución -4 -.33 f(-4)= -4 – 1 = _-5_ = _-5_ (-4)² - 1 16 – 1 15 -3 -.5 f(-3)= -3 – 1 = _-4_ = _-4_ (-3)² - 1 9 – 1 8 -2 -1 f(-2)= -2 – 1 = _-3_ = _-3_ (-2)² - 1 4 – 1 3 -1.9 -1.1 f(-1.9)= -1.9 – 1 = _-2.9_ = _-2.9_ (-1.9)² - 1 3.61 – 1 2.61 -1.5 -2 f(-1.5)= -1.5 – 1 = _-2.5_ = _-2.5_ (-1.5)² - 1 2.25 – 1 1.25 -1.1 10 f(-1.1)= -1.1 – 1 = _-2.1_ = _-2.1_ (-1.1)² - 1 1.21 – 1 .21 -.9 10 f(-.9)= -.9 – 1 = _-1.9_ = _-1.9 (-.9)² - 1 .81 – 1 -.19 -.5 2 f(-.5)= -.5 – 1 = _-1.5_ = _-1.5_ (-.5)² - 1 .25 – 1 -.75 -.1 1.1 f(-.1)= -.1 – 1 = _-1.1_ = _-1.1_ (-.1)² - 1 .01 – 1 -.99 0 1 f(0)= 0 – 1 = _-1_ = _-1_ (0)² - 1 0 – 1 -1 1.1 .47 f(1.1)= 1.1 – 1 = _.1_ = _.1_ (1.1)² - 1 1.21 – 1 .21 1.5 .8 f(1.5)= -1.9 – 1 = _-2.9_ = _-2.9 (-1.5)² - 1 2.25 – 1 1.25 2 .3 f(2)= 2 – 1 = _1_ = _1_ (2)² - 1 4 – 1 3 3 .25 f(3)= 3 – 1 = _2_ = _2_ (3)² - 1 9 – 1 8 4 .2 f(4)= 4 – 1 = _3_ = _3_ (4)² - 1 16 – 1 15
  14. 14. x² - 1x² - 1 ≠ 0x² ≠ 1x² ≠ ± √1Instituto Tecnológico de AcapulcoDepartamento: Económico – AdministrativoCalculo Diferencial. Modulo ISeptiembre 2009 Unidad II. Funciones Unidad II. Funciones
  15. 15. RANGO: 3) F(x) = _x – 1_ DOMINIO: x/x Є R – {2} y {3} x F(x) Sustitución 8 .23 f(8)=____ 8 – 1____ = ___7___ = _7_ (8)² - 5(8) + 6 64 - 40 + 6 30 7 .3 f(7)=____ 7 – 1____ = ___6___ = _6_ (7)² - 5(7) + 6 49 - 35 + 6 20 6 .41 f(6)=____ 6 – 1____ = ___5___ = _5_ (6)² - 5(6) + 6 36 - 30 + 6 12 5 .6 f(5)=____ 5 – 1____ = ___4___ = _4_ (5)² - 5(5) + 6 25 – 25 + 6 6 4 1.5 f(4)=____ 4 – 1____ = ___3___ = _3_ (4)² - 5(4) + 6 16 – 20 + 6 2 1 0 f(1)=____ 1 – 1____ = ___0___ = _0_ (1)² - 5(1) + 6 1–5+6 2 0 -.16 f(0)=____ 0 – 1____ = ___-1___ = _-1_ (0)² - 5(0) + 6 0–0+6 6 x² - 5x + 6(x-2) (x-3) ≠ 0x1 ≠ 2x2 ≠ 3
  16. 16. Instituto Tecnológico de AcapulcoDepartamento: Económico – AdministrativoCalculo Diferencial. Modulo ISeptiembre 2009 Unidad II. Funciones Unidad II. Funciones RANGO: 4) F(x) = _x² + 1_ DOMINIO: x/x Є R – {2} y {3} x F(x) Sustitución 8 .23 f(8)=____ 8 – 1____ = ___7___ = _7_ (8)² - 5(8) + 6 64 - 40 + 6 30 7 .3 f(7)=____ 7 – 1____ = ___6___ = _6_ (7)² - 5(7) + 6 49 - 35 + 6 20 6 .41 f(6)=____ 6 – 1____ = ___5___ = _5_ (6)² - 5(6) + 6 36 - 30 + 6 12 5 .6 f(5)=____ 5 – 1____ = ___4___ = _4_ (5)² - 5(5) + 6 25 – 25 + 6 6 4 1.5 f(4)=____ 4 – 1____ = ___3___ = _3_ (4)² - 5(4) + 6 16 – 20 + 6 2 1 0 f(1)=____ 1 – 1____ = ___0___ = _0_ (1)² - 5(1) + 6 1–5+6 2 0 -.16 f(0)=____ 0 – 1____ = ___-1___ = _-1_ (0)² - 5(0) + 6 0–0+6 6 x² + x(x+x) (x+1) ≠ 0x1 ≠ -1x2 ≠ 1
  17. 17. Instituto Tecnológico de AcapulcoDepartamento: Económico – AdministrativoCalculo Diferencial. Modulo ISeptiembre 2009 Unidad II. Funciones Unidad II. Funciones RANGO: 5) f(x) = _3x - 1_ DOMINIO: x/x Є R – {-2.5} x F(x) Sustitución 8 1.09 f(8)=_3(8) – 1 = _24 – 1_ = _23_ 2(8) + 5 16 + 5 21 6 1 f(6)=_3(6) – 1 = _18 – 1_ = _17_ 2(6) + 5 12 + 5 17 4 .9 f(4)=_3(4) – 1 = _12 – 1_ = _11_ 2(4) + 5 8+5 12 2 .5 f(2)=_3(2) – 1 = _6 – 1_ = _5_ 2(2) + 5 4+5 9 0 -.2 f(0)=_3(0) – 1 = _0 – 1_ = _-1_ 2(0) + 5 0+5 5 -2 -7 f(-2)=_3(-2) – 1 = _-6 – 1_ = _-7_ 2(-2) + 5 -4 + 5 1 -4 4.3 f(-4)=_3(-4) – 1 = _-12 – 1_ = _-13_ 2(-4) + 5 -8 + 5 -3 -6 2.7 f(-6)=_3(-6) – 1 = _-18 – 1_ = _-19_ 2(-6) + 5 -12 + 5 -7 -8 2.2 f(-8)=_3(-8) – 1 = _-24 – 1_ = _-25_ 2(-8) + 5 -16 + 5 -11 2x + 52x + 5 ≠ 02x ≠ -5X ≠ -⁵∕₂ {-2.5}
  18. 18. Instituto Tecnológico de AcapulcoDepartamento: Económico – AdministrativoCalculo Diferencial. Modulo IOctubre 2009 Unidad II. Funciones Unidad II. FuncionesEjercicios.! Unidad IIINSTRUCCIONES: Hallar el Dominio y el Rango. 1) P(x) = √x DOMINIO: RANGO: 0 ax≥0 x/x Є R ≥ {0} 2 [0, ∞) x F(x) Sustitución 0 0 f(0)= √0 1 1 f(1)= √1 2 1.41 f(2)= √2 3 1.73 f(3)= √3 4 2 f(4)= √4
  19. 19. Instituto Tecnológico de AcapulcoDepartamento: Económico – AdministrativoCalculo Diferencial. Modulo IOctubre 2009 2) P(x) = √x - 1 DOMINIO: RANGO: 0 ax-1≥0 x/x Є R ≥ {1} 1.73x≥1 [1, ∞) x F(x) Sustitución 1 0 f(1)= √1 – 1 = √0 2 1 f(2)= √2 – 1 = √1 3 1.41 f(3)= √3 – 1 = √2 4 1.73 f(4)= √4 – 1 = √3
  20. 20. Instituto Tecnológico de AcapulcoDepartamento: Económico – AdministrativoCalculo Diferencial. Modulo IOctubre 2009 3) P(x) = √x² - 1 DOMINIO: RANGO: 0 ax² - 1 ≥ 0 x/x Є R {-1 ≤ x ≤ 1} 1.73
  21. 21. x² ≥ 1 x F(x) Sustitución -8 7.9 f(-8) = √(-8)² - 1 = √63 RANGO: 0 a -7 6.9 f(-7) = √(-7)² - 1 = √48 -6 5.9 f(-6) = √(-6)² - 1 = √35 1.73 -5 4.8 f(-5) = √(-5)² - 1 = √24 -4 3.8 f(-4) = √(-4)² - 1 = √15 -3 2.8 f(-3) = √(-3)² - 1 = √8 -2 1.7 f(-2) = √(-2)² - 1 = √3 2 1.7 f(2) = √(2)² - 1 = √3 3 2.8 f(3) = √(3)² - 1 = √8 4 3.8 f(4) = √(4)² - 1 = √15 5 4.8 f(5) = √(5)² - 1 = √24 6 5.9 f(6) = √(6)² - 1 = √35 7 6.9 f(7) = √(7)² - 1 = √48 8 7.9 f(8) = √(8)² - 1 = √63 RANGO: 0 a±√x ≥ 1 1.73x₁ ≥ 1-x₂ ≥ 1x₂ ≤ -1
  22. 22. Instituto Tecnológico de AcapulcoDepartamento: Económico – AdministrativoCalculo Diferencial. Modulo IOctubre 2009 4) P(x) = √1 - x² DOMINIO: RANGO: 0 a1 - x² ≥ 0 x/x Є R {-1 ≤ x ≤ 1} 1-x² ≥ -1 x F(x) Sustitución -1 0 f(-1) = √1 - (-2)² = √0 0 1 f(0) = √1 - (0)² = √1 1 0 f(1) = √1- (1)² = √0x² ≤ 1±√x ≤ 1x₁ ≤ 1-x₂ ≤ 1x₂ ≥ -1 5) P(x) = √1 - 9x² DOMINIO: RANGO:1 - 9x² ≥ 0 x/x Є R {-1/9 ≤ x ≤ 1/9} 0.94 a 1-9x² ≥ -1 x F(x) Sustitución - ¹/₉ 0.94 f(- ¹/₉) = √1 - 9(- ¹/₉)² = √⁸/₉ 0 1 f(0) = √1 - 9(0)² = √1 ¹/₉ 0.94 f(- ¹/₉) = √1 - 9(- ¹/₉)² = √⁸/₉x² ≤ 1/9±√x ≤ 1/9x₁ ≤ 1/9-x₂ ≤ 1/9x₂ ≥ -1/9
  23. 23. Instituto Tecnológico de AcapulcoDepartamento: Económico – AdministrativoCalculo Diferencial. Modulo IOctubre 2009 6) P(x) = √4x + 3 DOMINIO: RANGO:4x + 3 ≥ 0 x/x Є R ≥ {-3/4} 0a∞4x ≥ -3 x F(x) Sustitución -.75 0 f(-.75) = √4(-.75) + 3 = √0 -.5 1 f(-.5) = √4(-.5) + 3 = √1 0 1.73 f(0) = √4(0) + 3 = √3 1 2.6 f(0) = √4(1) + 3 = √7 2 3.3 f(0) = √4(2) + 3 = √11 3 3.8 f(0) = √4(3) + 3 = √15x ≥ -3/4 7) P(x) = √x - 5 DOMINIO: RANGO:x-5 ≥0 x/x Є R ≥ {5} 0a∞
  24. 24. x≥5 x F(x) Sustitución 5 0 f(5) = √5 – 5 = √0 10 2.2 f(10) = √10 – 5 = √5 15 3.1 f(15) = √15 – 5 = √10 20 3.8 f(20) = √20 – 5 = √15Instituto Tecnológico de AcapulcoDepartamento: Económico – AdministrativoCalculo Diferencial. Modulo IOctubre 2009 8) P(x) = ³ √x + 2 DOMINIO: RANGO:x+2 ≥0 x/x Є R ≥ {-2} 0a∞x ≥ -2 x F(x) Sustitución -2 0 f(-2) = ³√-2 + 2 = ³ √0 -1 1 f(-1) = ³√-1 + 2 = ³ √1 0 1.25 f(0) = ³√0 + 2 = ³ √2 1 1.4 f(1) = ³√1 + 2 = ³ √3 2 1.5 f(2) = ³√2 + 2 = ³ √4 5 1.9 f(5) = ³ √5 + 2 = ³ √7 10 2.2 f(10) = ³ √10 + 2 = ³ √12 15 2.5 f(15) = ³ √15 + 2 = ³ √17 20 2.8 f(20) = ³ √20 + 2 = ³ √22
  25. 25. Instituto Tecnológico de AcapulcoDepartamento: Económico – AdministrativoCalculo Diferencial. Modulo IOctubre 2009 9) P(x) = ½ √x + 4| -3 DOMINIO: RANGO:x+4 ≥0 x/x Є R ≥ {-4} 0a∞x≥-4 x F(x) Sustitución -4 -3 P(-4) = ½ √-4 + 4| -3 = ½ √0 -3 RANGO: -2 -2.29 P(-2) = ½ √-2 + 4| -3 = ½ √2 -3 0 -2 P(0) = ½ √0 + 4| -3 = ½ √4 -3 0a∞ 2 -1.7 P(2) = ½ √2 + 4| -3 = ½ √6 -3 4 -1.5 P(4) = ½ √4 + 4| -3 = ½ √8 -3 6 -1.4 P(6) = ½ √6 + 4| -3 = ½ √10 -3 8 -1.2 P(8) = ½ √8 + 4| -3 = ½ √12 -3
  26. 26. Instituto Tecnológico de AcapulcoDepartamento: Económico – AdministrativoCalculo Diferencial. Modulo IOctubre 2009 Unidad II. Funciones Unidad II. FuncionesEjercicios.! Unidad II “Funciones Trigonometricas”1.- f(x) = 2senx
  27. 27. x F(x) 0 0 45˚ = π/4 1.414 90˚ = π/2 2 135˚ = 3π/4 1.414 180˚ = π 0 225˚ = π -1.414 270˚ = 3π/2 -2 315˚ = 7π/4 -1.414 360˚ = 2π 0RANGO: -2 a 2 2.- f(x) = senx + 1 x F(x) 0 1 45˚ = π/4 1.70 90˚ = π/2 2 135˚ = 3π/4 1.70 180˚ = π 1 225˚ = π 0.292 270˚ = 3π/2 0 315˚ = 7π/4 0.292 360˚ = 2π 1RANGO: 0a2 Instituto Tecnológico de Acapulco
  28. 28. Departamento: Económico – Administrativo Calculo Diferencial. Modulo I Octubre 2009 3.- f(x) = -senx x F(x) 0 0 45˚ = π/4 -0.7 90˚ = π/2 -1 135˚ = 3π/4 -0.7 180˚ = π 0 225˚ = π 0.7 270˚ = 3π/2 1 315˚ = 7π/4 0.7 360˚ = 2π 0RANGO: -1 a 1 4.- f(x) = cos x x F(x) 0 1 45˚ = π/4 .707 90˚ = π/2 0 135˚ = 3π/4 -0.707 180˚ = π -1 225˚ = π -0.707 270˚ = 3π/2 0 315˚ = 7π/4 0.707 360˚ = 2π 1RANGO: -1 a 1
  29. 29. Instituto Tecnológico de Acapulco Departamento: Económico – Administrativo Calculo Diferencial. Modulo I Octubre 2009 5.- f(x) = -cos x x F(x) 0 -1 45˚ = π/4 -0.7 90˚ = π/2 0 135˚ = 3π/4 0.7 180˚ = π 1 225˚ = π 0.7 270˚ = 3π/2 0 315˚ = 7π/4 -0.7 360˚ = 2π -1RANGO: -1 a 1
  30. 30. 6.- f(x) = 2 cos x x F(x) 0 2 45˚ = π/4 1.41 90˚ = π/2 0 135˚ = 3π/4 -1.41 180˚ = π -2 225˚ = π -1.41 270˚ = 3π/2 0 315˚ = 7π/4 1.41 360˚ = 2π 2RANGO: -1 a 1 Instituto Tecnológico de Acapulco Departamento: Económico – Administrativo Calculo Diferencial. Modulo I Octubre 2009 7.- f(x) = cos x + 3 x F(x) 0 4 45˚ = π/4 3.7 90˚ = π/2 3 135˚ = 3π/4 2.29 180˚ = π 2 225˚ = π 2.29 270˚ = 3π/2 3 315˚ = 7π/4 3.7 360˚ = 2π 4
  31. 31. RANGO: 2a4 8.- f(x) = tan x x F(x) 0 2 45˚ = π/4 1 135˚ = 3π/4 -1 180˚ = π 0 225˚ = π 1 315˚ = 7π/4 -1 360˚ = 2π 0RANGO: -1 a 2 Instituto Tecnológico de Acapulco Departamento: Económico – Administrativo Calculo Diferencial. Modulo I Septiembre 2009
  32. 32. Instrucciones: 1) Grafique. 2) Analice que pasa con el dibujo de la función cuando el parámetro a, b, c cambian.1.- f(x)= x² x F(x) -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9
  33. 33. Instituto Tecnológico de AcapulcoDepartamento: Económico – AdministrativoCalculo Diferencial. Modulo ISeptiembre 2009 Unidad III. Límites Unidad III. LímitesEjercicios.! Aplique las propiedades de los límites y resuelva los siguientes ejercicios. 1) Lim 3 Lim 3 = 3 Lim c = c x  -3 x  -3 xa 2) Lim x Lim x = √2 = 1.4142 Lim x = a x  √2 x  √2 xa 3) Lim x³ Lim x³ = (lim x)³ = (lim 2)³= (2)³ = 8 Lim xⁿ = aⁿ x 2 x 2 xa 4) Lim x² + x Lim x² + x = (lim x)² + lim x = (-3)² + (-3) = 6 Lim [ f(x) + g(x)] x  -3 x  √2 xa 5) Lim x³ + 3 Lim x³ + 3 = (1)³ + 3 = 4 = 4 Lim f(x) = lim f(x) x 1 x x 1 x 1 1 x a xa lim g(x) xa 6) Lim (x³ + 3) ( x - 1) Lim x³ + 3 = (1)³ + 3) (1 – 1) = 0 Lim f(x) = lim f(x) · lim g(x) x 1 x 1 xa xa 7) Lim √x + 2 Lim √x + 2 = √2 + 2 = 2 Lim ⁿ√f(x) = a x 2 x 2 xa

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