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Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un Document Transcript

  • Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un planooblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de 1revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientrasque una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.CENTRO EN EL ORIGEN Elipse con eje paralelo a OX y sin centro en el origen Elipse con eje paralelo a OY y sin centro en el origen CENTRO HK
  • ECUACION GENERAL:Hola eze:x2 + 8x + 16y2 + 7 = 0Es la ecuación general de una elipse o una hipérbola.Para graficarla necesitamos hallar la medida de losejes y el centro, y eso se puede ver en la fórmulacanónica:(x - xc)2 (y - yc)2--------- + --------- = 1 (Elipse "paralela al ejex") a2 b2(y - yc)2 (x - xc)2--------- + ----------- = 1 (Elipse "paralela al ejey") a2 b2(x - xc)2 (y - yc)2--------- - --------- = 1 (Hipérbola "paralela aleje x") a2 b2
  • (y - yc)2 (x - xc)2--------- - --------- = 1 (Hipérbola "paralela aleje y") a2 b2Donde xc e yc son las coordenadas del centro, y "a" y"b" las medidas de los "semiejes".Así que hay que pasar la ecuación de la forma generala la forma canónica. Eso se hace con el procedimientode "completar cuadrados" o "completar el trinomio",que ya expliqué en varias oportunidades (másadelante te doy los enlaces). Así que voy a hacer eso:x2 + 8x + 16y2 + 7 = 0El trinomio con x se completa con 42. Porque8:2 = 4 (el coeficiente del término con "x")En el caso de la "y" no hace falta completar eltrinomio, porque no hay término con "y" (despuésvemos que se hace).Así que queda:x2 + 8x + 42 - 42 + 16y2 + 7 = 0(x2 + 8x + 42) + 16y2 + 7 - 42 = 0(x + 4)2 + 16y2 + 7 - 16 = 0(x + 4)2 + 16y2 - 9 = 0(x + 4)2 + 16(y - 0)2 = 9Agregué el cero restando a la y, para que quede elcuadrado de un binomio como en la fórmula canónica,y así se pueda ver la yc (coordenada "y" del centro).Pero no hace falta hacerlo.Ahora hay que sacar el 16. Como multiplicar por 16 eslo mismo que dividir por su inverso: 1/16, lo voy aponer dividiendo, y así me llego a la fórmula canónica,que no tiene números multiplicando delante delbinomio, sino números dividiendo al binomio. Como elbinomio con x no tiene ningún número multiplicando,pongo el 1 dividiendo, así se ve el valor de "a2" o "b2":(x + 4)2 (y - 0)2-------- + -------- = 9 1 1/16
  • Pero en el segundo miembro tiene que quedar un "1",y hay un "9". Entonces lo paso dividiendo:(x + 4)2 (y - 0)2-------- + -------- 1 1/16---------------------- = 1 9Y eso lo puedo resolver de varias maneras. Porejemplo, puedo usar la propiedad distributiva de ladivisión respecto de la suma:(x + 4)2 (y - 0)2-------- -------- 1 1/16-------- + ------------ = 1 9 9Y si no te es común dividir "fracción sobre fracción",podemos usar que dividir por 9 es lo mismo quemultiplicar por 1/9. Así que queda:(x + 4)2 1 (y - 0)2 1--------.--- + ----------.---- = 1 1 9 1/16 9(x + 4)2 (y - 0)2-------- + -------- = 1 9 9/16Ésa es la fórmula canónica de una elipse, porque esuna suma. El "0" y el "1" los puse para que sevisualicen los elementos que buscamos de la elipse(centro y ejes), pero no hace falta ponerlo. Así queesa fórmula la puedes ver también como:(x + 4)2 y2-------- + ------ = 1 9 9/16En la fórmula canónica se puede ver que el centro dela elipse es:CENTRO = (-4,0)Porque (x + 4)2 es igual a:(x - (-4))2Entonces la "xc" es -4.
  • Y el número que está restando a la "y" es 0. Así que la"yc" es 0.Y las medidas de los "semiejes" son:a2 = 9|a| = V9|a| = 3El semieje mayor es un segmento de medida 3.b2 = 9/16|b| = V(9/16)|b| = 3/4El semieje menor es un segmento de medida 3/4 (ó0,75).Recordemos que en la Elipse, "a" es el semieje mayor,y "b" el menor. Como 9 es mayor que 9/16, planteé laecuación con "a" para el 9, y con "b" para el 9/16.Entonces tenemos los elementos necesarios paragraficar la elipse.CENTRO: (-4,0)SEMIEJE MAYOR: 3SEMIEJE MENOR: 3/4 (ó 0,75)Ésta es una elipse "paralela al eje x", la "a" estádebajo del binomio con "x", entonces el eje mayor esparalelo al eje x: