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  1. 1. 1 Engenharia Elétrica 4º / 5° Semestre Conceitos Básicos Sistemas de Numeração Aritmética Digital Álgebra Booleana Simplificação de Expressões Booleanas Minimização de Funções Booleanas CIRCUITOS LÓGICOS – APOSTILA Prof Daniel Hasse Flip-Flops e Multivibradores Registradores de Deslocamento (Shift Register) ContadoresCircuito Digital-Analógico com Amplificador Operacional Multiplex Demultiplex SÃO JOSÉ DOS CAMPOS, SP
  2. 2. ÍNDICE1 CONCEITOS BÁSICOS 011.1 Representações Núméricas 011.2 Sistemas Digitais e Analógicos 021.3 Sistemas Numéricos Digitais 051.4 Representação das Quantidades Binárias 081.5 Circuitos Digitais 092 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO 102.1 Introdução 102.2 Conversão Binário - Decimal 112.3 Conversão Decimal - Binário 122.4 O Sistema Octal 122.5 Sistema Numérico Hexadecimal 153 ARITMÉTICA DIGITAL 193.1 Intrtodução 193.2 Adição Binária 193.3 Subtração Binária 213.4 Representação de Números com Sinal 223.5 Multiplicação de Números Binários 234 ALGEBRA BOOLEANA 254.1 Introdução 254.2 Função E ou AND 264.3 Função OU ou OR 284.4 Função NÃO ou NOT 304.5 Função NÃO E, NE ou NAND 314.6 Função NÃO OU, NOU ou NOR 324.7 Resumo 344.8 Bloco OU EXCLUSIVO ou XOR 344.9 Bloco Coincidência 355 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANAS 365.1 Funções Booleanas 365.2 Formas Canonicas 37
  3. 3. 5.3 Teoremas e Propriedades da Álgebra Booleana 395.4 Propriedades Booleanas 406 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS 466.1 Mapa de Karnaugh 467 FLIP – FLOPS E MULTIVIBRADORES 577.1 Introdução 577.2 Flip - Flop RS 587.3 Flip - Flop RS Comandado por Pulso de Clock 607.4 Flip - Flop JK 607.5 Flip - Flop JK com Entradas PRESET e CLEAR 617.6 Flip - Flop Mestre Escravo 627.7 Flip - Flop Mestre Escravo com Entradas PRESET e CLEAR 637.8 Flip - Flop Tipo T (TRIGGER) 637.9 Flip - Flop Tipo D (DELAY) 648 REGISTRADORES DE DESLOCAMENTO (SHIFT REGISTER) 658.1 Conversores Série - Paralelo 658.2 Conversor Paralelo - Série 678.3 Registrador de Entrada Série e Saída Série Siso 688.4 Registrador de Entrada Paralela e Saída Paralela Pipo 688.5 Entrada Série e Saída Paralela 688.6 Conversor Paralelo Série 698.7 Entrada Paralela e Saída Série 698.8 Entrada Paralela e Saída Série 698.9 Registrador Entrada Série E Saída Série 708.10 Entrada Serial e Saída Serial 708.11 Registrador de Entrada Paralela e Saída Paralela 70 Registrador de Deslocamento Utilizado Como Multiplicador8.12 70 Ou Divisor Por 29 CONTADORES 719.1 Condutores Assíncronos 729.2 Contador de Década Assíncrono 739.3 Contador Sequencial de 0 A N 749.4 Contadores Assíncronos Decrescentes 749.5 Contadores Assíncrono Crescente E Decrescente 749.6 Contadores Síncronos 75
  4. 4. CIRCUITO DIGITAL - ANALÓGICO COM10 76 AMPLIFICADOR OPERACIONAL10.1 Conversor Digital - Analógico Com Chave Seletora 7910.2 Conversor Digital - Analógico Com Rede R-2r 7910.3 Conversor Digital - Analógico Com Rede R-2r Com A. O. 8110.4 Conversão de Um Número de Mais e Um Algarismo 8110.5 Conversores Analógico-Digital 8210.6 Aplicações de Conversores A/D 8511 MULTIPLEX 8612 DEMULTIPLEX 88
  5. 5. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital ELETRÔNICA DIGITAL1 CONCEITOS BÁSICOS1.1 REPRESENTAÇÕES NUMÉRICAS Lidamos constantemente com quantidades, não só nas áreas de ciência etecnologia, como nas de negócios, comércio, etc. Quantidades são medidas,monitoradas, gravadas, manipuladas aritmeticamente, observadas e, de certa forma,utilizadas na maioria dos sistemas físicos. Quando lidamos com quantidades, é desuma importância saber representar seus valores de maneira eficiente e precisa.Basicamente, existem duas formas de representação dos valores numéricos dasquantidades, a analógica e a digital. Representação Analógica Analogicamente, uma quantidade é representadapor outra que é proporcional à primeira. No velocímetro de um automóvel, porexemplo, a deflexão do ponteiro é proporcional à velocidade do veículo. A posiçãoangular do ponteiro representa o valor da velocidade do veículo, e qualquervariação é imediatamente refletida por uma nova posição do ponteiro. Outro exemplo é o termômetro, onde a altura da faixa de mercúrio éproporcional à temperatura do ambiente. Quando ocorrem mudanças natemperatura, a altura da coluna de mercúrio também muda proporcionalmente. Outro exemplo bastante familiar é o do microfone. Neste dispositivo, a tensãode saída é proporcional à amplitude das ondas sonoras que o atingem. As variaçõesda tensão de saída seguem as mesmas variações do som na entrada. Quantidades analógicas como as que acabamos de exemplificar têm umacaracterística importante: elas variam continuamente dentro de uma faixa devalores. A velocidade do automóvel pode assumir qualquer valor entre zero e,digamos, 100 Km por hora. Similarmente, a saída do microfone pode assumirqualquer valor dentro de uma faixa de zero a 10 mV. Representação Digital Na representação digital, as quantidades sãorepresentadas por símbolos chamados dígitos, e não por valores proporcionais. Como exemplo, tomamos o relógio digital que apresenta as horas, minutose às vezes os segundos, na forma de dígitos decimais. Como sabemos, o tempovaria continuamente, mas o relógio digital não mostra as variações de formacontínua; pelo contrário, o valor é apresentado em saltos de um em um segundo ouminuto. Em outras palavras, a representação digital do tempo varia em passos 1
  6. 6. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digitaldiscretos, quando comparada com a representação analógica do tempo em umrelógio analógico, onde a leitura fornecida pelos ponteiros muda continuamente. A principal diferença entre uma quantidade analógica e uma digital podeentão ser descrita como segue:analógica ≡ contínuadigital ≡ discreta (passo a passo) Em virtude da natureza discreta da representação digital, as leituras nestesistema não apresentam problemas de ambigüidade, em contraposição ao sistemaanalógico, onde as leituras deixam margem à interpretação do observador.Exercícios1) Quais das seguintes posições são quantidades digitais, e quais são analógicas ?a) Chave de 10 posiçõesb) Medidor de corrente elétricac) Temperaturad) Grãos de areia na praiae) Controle de volume do rádio2) Resumidamente, descreva a maior diferença existente entre uma quantidadedigital e uma analógica1.2 SISTEMAS DIGITAIS E ANALÓGICOS Um sistema digital resulta da combinação de dispositivos desenvolvidospara manipular quantidades físicas ou informações que são representadas na formadigital; isto é, tal sistema só pode manipular valores discretos. Na sua grandemaioria, estes dispositivos são eletrônicos, mas também podem ser mecânicos,magnéticos ou pneumáticos. As calculadoras e os computadores digitais, osrelógios digitais, os controladores de sinais de tráfego e as máquinas de controle deprocessos de um modo geral, são exemplos familiares de sistemas digitais. Um sistema analógico é formado por dispositivos que manipulamquantidades físicas representadas sob forma analógica. Nestes sistemas, asquantidades variam continuamente dentro de uma faixa de valores. Por exemplo, aamplitude de sinal de saída no auto-falante de um rádio pode assumir qualquer valorentre zero e o seu limite máximo. Os odômetros dos automóveis, os equipamentosde reprodução e gravação de fitas magnéticas e a maioria dos sistemas telefônicossão outros exemplos comuns de sistemas analógicos. Vantagens das Técnicas Digitais A utilização das técnicas digitaisproporcionou novas aplicações da eletrônica bem como de outras tecnologias,substituindo grande parte dos métodos analógicos existentes. As principais razõesque viabilizam a mudança para a tecnologia digital são: 2
  7. 7. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital 1. Os sistemas digitais são mais fáceis de projetar. Isto é devido ao fato de oscircuitos empregados nos sistemas digitais serem circuitos de chaveamento, ondeos valores exatos da tensão ou corrente dos sinais manipulados não são tãoimportantes, bastando resguardar a faixa de operação (ALTO ou BAIXO) destessinais. 2. O armazenamento da informação é fácil. Circuitos especiais dechaveamento podem reter a informação pelo tempo que for necessário. 3. Precisão e exatidão são maiores. Os sistemas digitais podem trabalhar comtantos dígitos de precisão quantos forem necessários, com a simples adição de maiscircuitos de chaveamento. Nos sistemas analógicos, a precisão geralmente élimitada a três ou quatro dígitos, porque os valores de tensão e corrente dependemdiretamente dos componentes empregados. 4. As operações podem ser programadas. É relativamente fácil e convenientedesenvolver sistemas digitais cuja operação possa ser controlada por um conjuntode instruções previamente armazenadas, chamado programa. Os sistemasanalógicos também podem ser programados, mas a variedade e a complexidadedas operações envolvidas são bastante limitadas. 5. Circuitos digitais são menos afetados por ruído. Ruídos provocados porflutuações na tensão de alimentação ou de entrada, ou mesmo induzidosexternamente, não são tão críticos em sistemas digitais porque o valor exato datensão não é tão importante, desde que o nível de ruído não atrapalhe a distinçãoentre os níveis ALTO e BAIXO. 6. Os circuitos digitais são mais adequados à integração. É verdade que odesenvolvimento da tecnologia de integração (CIs) também beneficiou os circuitosanalógicos, mas a sua relativa complexidade e o uso de dispositivos que não podemser economicamente integrados (capacitores de grande capacitância, resistores deprecisão, indutores, transformadores) não permitiram que os circuitos analógicosatingissem o mesmo grau de integração dos circuitos digitais. Limitações das Técnicas Digitais Só existe uma grande desvantagem parao uso das técnicas digitais: O MUNDO REAL É PREDOMINANTEMENTE ANALÓGICO A grande maioria das variáveis (quantidades) físicas são, em sua natureza,analógicas, e geralmente elas são as entradas e saídas que devem ser monitoradas,operadas e controladas por um sistema. Como exemplos temos a temperatura, apressão, a posição, a velocidade, o nível de um líquido, a vazão e outros mais. Viade regra, expressamos estas variáveis digitalmente como dizemos que atemperatura é de 64º (63,8º para ser mais preciso); na realidade, porém, estamosfazendo uma aproximação digital de uma quantidade eminentemente analógica. 3
  8. 8. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital Para se tirar proveito das técnicas digitais quando lidamos com entradas esaídas analógicas, três etapas devem ser executadas: 1. Converter o "mundo real" das entradas analógicas para a forma digital. 2. Processar (ou operar) a informação digital. 3. Converter as saídas digitais de volta para o mundo real, em sua formaanalógica. Veremos abaixo o diagrama de blocos para um sistema de controle detemperatura, onde a temperatura, que é uma quantidade analógica, é medida, e seuvalor é então transformado em uma quantidade digital por um conversoranalógico-digital ( A/D ). O valor digitalizado é processado por circuitos digitais que poderão ou nãoincluir um computador digital. A saída digital é novamente convertida à sua formaanalógica original por um conversor digital-analógico ( D/A ).O valor resultantealimenta um controlador que atua no sentido de ajustar a temperatura. A necessidade das conversões AD/DA da informação pode ser consideradauma desvantagem, porque introduz complexidade e maior custo aos sistemas. Outrofator muito importante é o tempo extra gasto na conversão. Em muitas aplicações,este tempo é compensado pelas inúmeras vantagens advindas da técnica digital,sendo então muito comum o emprego de conversões AD/DA na tecnologia atual. Em determinadas situações , porém, o uso das técnicas analógicas é maissimples e econômico. Por exemplo, o processo de amplificação de sinais é muitomais fácil quando realizado por circuitos analógicos. Hoje em dia, é muito comum a utilização de ambas as técnicas em ummesmo sistema, visando as vantagens de cada um. No projeto destes sistemashíbridos, o mais importante é determinar quais partes serão digitais e quais serãoanalógicas. Finalmente, vale observar que, devido aos benefícios econômicosproporcionados pela integração dos circuitos, as técnicas digitais serão utilizadascom intensidade cada vez maior. 4
  9. 9. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica DigitalExercícios1) Quais são as vantagens das técnicas digitais sobre as analógicas ?2) Qual a principal limitação do uso das técnicas digitais ?1.3 SISTEMAS NUMÉRICOS DIGITAIS Os sistemas numéricos mais usados pela tecnologia digital são o decimal, obinário e o hexadecimal. O sistema decimal nos é familiar por ser uma ferramentaque usamos diariamente. Examinar algumas de suas características nos ajudará aenterder melhor os outros sistemas. Sistema Decimal O sistema decimal compõe-se de 10 algarismos ousímbolos. Estes símbolos são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; usando estes símboloscomo dígitos de um número, podemos expressar qualquer quantidade. O sistemadecimal, também chamado de base 10, devido aos seus 10 dígitos, é o sistemanaturalmente usado pelo homem pelo fato dele possuir 10 dedos. De fato, a palavra"dígito" vem do latim, e significa "dedo". O sistema decimal é do tipo posicional, porque o valor do dígito depende desua posição dentro do número. Considere o número decimal 453, sabemos que odígito 4, o mais significativo (MSD - Most Significant Digit), representa 4 centenas, odígito 5 representa 5 dezenas e o dígito 3, o menos significativo (LSD - LeastSignificant Digit), representa três unidades. Considere outro exemplo, 27,35. Este número é igual a duas dezenas maissete unidades, mais três décimos, mais cinco centésimos, ou 2 x 10 + 7 x 1 + 3 x 0,1+ 5 x 0,01. A vírgula é usada para separar a parte inteira do número de sua partefracionária. De maneira mais precisa, podemos afirmar que as posições relativas à vírgulacarregam pesos que podem ser expressos como potências de 10. O número2745,214 ilustra o exemplo dado abaixo. Valores Posicionais (pesos) 2 1 0 103 10 10 10 2 7 4 5 ,2 1 4 Vírgula Decimal A vírgula decimal separa as potências de 10 positivas das negativas. Assimsendo, o número representado é igual a ( 2 x 10+3 ) + (7 x 10+2) + (4 x 10+1) + (5 x100) + (2 x 10-1) + (2 x 10-2) + ( 1 x 10-3). Qualquer número é igual à soma dosprodutos de cada dígito com seu respectivo valor posicional. 5
  10. 10. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital Sistema Binário infelizmente, o sistema decimal não é adequado aossistemas digitais, porque é muito difícil implementar circuitos eletrônicos quetrabalhem com 10 níveis diferentes de tensão (cada nível representando um dígitodecimal, de 0 a 9). Por outro lado, é muito fácil implementar circuitos eletrônicos queoperem com dois níveis de tensão. Por isso, quase todos os sistemas digitais usamo sistema de numeração binário (base 2) como sistema básico para suasoperações, embora outros sistemas também possam ser utilizados. No sistema binário existem somente dois símbolos ou dígitos, o 0 e o 1.Apesar disso, o sistema de base 2 pode ser usado para caracterizar qualquerquantidade que possa ser representada em decimal ou em qualquer outro sistemade numeração. É claro que, por possuir apenas dois dígitos, os números bináriossão extensos. Todas as afirmações já feitas em relação ao sistema decimal aplicam-seigualmente ao sistema binário. Tal sistema também é um sistema posicional, ondecada dígito tem um peso expresso em potência de 2. Observe na figura abaixo que àesquerda da vírgula situam-se as potências positivas, e à direita estão as potênciasnegativas. Valores Posicionais (pesos) 23 22 21 20 2-1 2-3 1 0 1 1 ,1 0 1 Vírgula Binária O número 1011,101 apresentado na figura pode ser transformado em decimalutilizando simplesmente a soma dos produtos de cada valor do dígito (0 ou 1) peloseu correspondente valor posicional:1101,1012= (1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20) + (1 x 2-1) + (0 X 2-2) + (1 x 2-3) = 8 + 0 + 2 + 1 + 0.5 + 0 0.125 = 11,62510 Observe que os subscritos 2 e 10 indicam a base em que se encontra onúmero. Esta convenção evita confusão, quando são empregados mais de umsistema numérico ao mesmo tempo. No sistema binário, o termo dígito binário é abreviado para bit. Daqui parafrente, ele será usado com freqüência. No número 1101,1012 existem quatro bits àesquerda da vírgula binária que representam a parte inteira e três à direita querepresentam a parte fracionária. O bit mais significativo (MSB) é o primeiro daesquerda para a direita, e o menos significativo (LSB) é o primeiro da direita para aesquerda. 6
  11. 11. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital Contagem Binária Quando lidamos com números binários, usualmenteficamos restritos a representá-los por meio de um certo número de bits. Estarestrição está relacionada ao circuito utilizado na representação de valores binários.Vamos ilustrar nosso exemplo de contagem binária, usando números de quatro bits. 3 2 1 0 Equivalente 2 =8 2 =4 2 =2 2 =1 em decimal 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 0 1 1 3 0 1 0 0 4 0 1 0 1 5 0 1 1 0 6 0 1 1 1 7 1 0 0 0 8 1 0 0 1 9 1 0 1 0 10 1 0 1 1 11 1 1 0 0 12 1 1 0 1 13 1 1 1 0 14 1 1 1 1 15 A seqüência começa com todos os bits em zero; é chamada de contagemzero. Para cada contagem sucessiva, a posição das unidades (20) comuta, ou seja,ela muda de um valor binário para outro. Cada vez que o bit das unidades muda de1 para 0, a posição de ordem 2, (21) também comuta. Cada variação de 1 para 0 naposição de ordem 2 ocasiona uma mudança na posição de ordem 4 (22). O mesmoocorre na posição de ordem 8 (24) em relação à posição de ordem 4. Para númerosmaiores do que quatro bits, o processo de contagem é uma continuação do queacabamos de ver. Como pudemos observar observar, a seqüência de contagem binária temuma característica importante. O bit das unidades (LSB) muda de valor a cada passode contagem. O segundo bit (ordem 2) permanece em 0 por dois passos, em 1 pordois passos, e assim por diante. O bit 3 (ordem 4) só muda de valor a cada quatropassos de contagem, e o bit 4 (ordem 8) a cada oito passos. Os grupos dealternância sempre acontecem em 2N-1. Por exemplo, usando a quinta posiçãobinária,a alternância sempre ocorrerá em grupos de 25-1 = 16 passos. De forma análoga ao sistema decimal, com N bits podemos contar 2N valores.Por exemplo, com dois bits teremos 22=4 combinações possíveis (002 até 112); comquatro bits chegaremos a 24=16 combinações (00002 até 11112); e assim por diante.O último valor é sempre constituído exclusivamente de 1s e equivale a 2N-1 em 7
  12. 12. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digitaldecimal. Assim, com quatro bits, o maior valor obtido na contagem é igual a11112=24-1=1510.Exercícios1) Qual é o maior número que se pode representar com oito bits ?2) Qual é o equivalente decimal de 11010112 ?3) Qual o número binário que vem logo após 101112 ?4) Qual o maior valor decimal que se pode representar com 12 bits?1.4 REPRESENTAÇÃO DAS QUANTIDADES BINÁRIAS A informação a ser processada por um sistema digital geralmente seapresenta na forma binária. Os valores binários podem ser representados porqualquer dispositivo que só tenha dois estados ou condições de operaçõespossíveis. Por exemplo, uma chave tem apenas dois estados: aberta ou fechada.Abitrariamente podemos definir a condição aberta como 0 e representar a condiçãofechada como o binário 1. Com esta definição, podemos representar qualquernúmero binário conforme mostrado abaixo, onde o estado das chaves representa obinário 100102. 1 0 0 1 0 Existem vários outros dispositivos que só apresentam dois estados ou queoperam em duas condições extremas. Alguns deles são: lâmpada elétrica (acesa ouapagada), diodo (conduzindo ou não conduzindo), relé (energizado oudesenergizado), transistor (saturado ou em corte), fotocélula (iluminada ou não),termostato (aberto ou fechado), embreagem mecânica (engatada ou desengatada) efita magnética (magnetizada ou desmagnetizada). Nos sistemas digitais eletrônicos, a informação binária é representada portensões (ou correntes) que estão presentes nas entradas e saídas dos circuitos.Geralmente, os valores binários são representados por dois níveis nominais detensão que podem ser 0V (zero volt) para o binário 0, e +5V para o binário 1. Narealidade, considerando as variações nos circuitos, as tensões são tomadas dentrode uma faixa. 8
  13. 13. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital 5V Binário 1 2V Não 0,8V Usado 0V Binário 0 Podemos observar que qualquer tensão entre 0 e 0,8V representa o bináriozero e qualquer tensão entre 2 e 5V representa o binário 1. Todos os sinais deentrada e saída estarão dentro de uma destas duas faixas, quando estáveis, e sóestarão fora, ou entre elas, durante a transição de um nível para outro. Podemos observar outra diferença entre um sistema digital e um analógico.Nos sistemas digitais, o valor exato das tensões não é tão importante; por exemplo,uma tensão de 3,6V e outra de 4,3V representam o mesmo valor binário para ocircuito, mais precisamente o valor 1. Nos sistemas analógicos, o valor exato datensão é de extrema importância. Exemplificando: se a tensão analógica forproporcional à temperatura medida por um transdutor, o valor 3,6V representariauma temperatura bem diferente daquela representada por 4,3V. Em outras palavras,nos sistemas analógicos, o valor preciso da tensão carrega uma informaçãosignificativa. Esta característica implica em projetos de circuitos analógicos deprecisão, o que os torna muito mais difíceis de implementar, em função da maneiracomo os valores de tensão vão sofrer variações devido aos parâmetros internos doscomponentes, da temperatura e, principalmente em virtude da ação do ruído.1.5 CIRCUITOS DIGITAIS Como já foi explicado na Seção 1.4., os circuitos digitais são projetados paraproduzirem tensões de saída que se situam dentro dos níveis de tensão previstospara 0 e 1. Por outro lado, as entradas serão excitadas do mesmo modo, ou seja, ocircuito responderá a faixas de tensão definidas como 0 e 1, e não a valores exatos.Isto significa que um circuito digital responderá da mesma forma para todas astensões de entradas situadas na faixa permitida para o "0" binário; similarmente, elenão vai distinguir entre tensões de entrada que se situam dentro da faixa do "1"binário. 9
  14. 14. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital Para exemplificar, a figura abaixo representa um circuito digital com entrada vie saída v0. A saída nos mostra a resposta a dois sinais de entrada diferentes.Observe que v0 é igual nos dois casos, apesar das diferenças nos valores de tensãodos sinais de entrada. caso 1 5V vi 0V 4V 0V vi Circuito v0 digital v0 caso 2 vi 3,7V 0,5V 4V 0V v0 Circuitos Lógicos A maneira pela qual um circuito digital responde aossinais de entrada é chamada de lógica do circuito. Cada tipo de circuito digitalobedece a um certo conjunto de regras lógicas. Por isso, os circuitos digitaistambém são chamados de circuitos lógicos. Usaremos ambos os termos ao longodo curso.Exercícios1) Um circuito digital pode produzir a mesma tensão de saída para diferentestensões de entrada ?2) Um circuito digital também é conhecido como ...................................2 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO2.1 INTRODUÇÃO O sistema numérico de maior importância utilizado pelos sistemas digitais é obinário, embora existam alguns outros também importantes. Um deles, o decimal,tem relativa importância em função de ser universalmente usado para representarquantidades utilizadas fora dos sistemas digitais. Isto significa que, em determinadassituações, os valores decimais têm de ser convertidos em valores binários antes deserem utilizados em sistemas digitais. Por exemplo, quando teclamos um númerodecimal em nossa calculadora, ou em nosso computador, um circuito interno destasmáquinas converte o valor decimal digitado para seu correspondente em binário. 10
  15. 15. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital Da mesma forma, existem situações onde os valores binários presentes nasaída de um circuito digital devem ser convertidos para valores decimais, que serãoapresentados no display de sua calculadora ou no dispositivo de saída de seucomputador. Por exemplo, sua calculadora (ou computador) usa números bináriospara calcular o resultado de determinada operação solicitada, e então converte talresultado em decimal, colocando-o no display neste formato. Além dos sistemas decimal e binário, dois outros são utilizados em sistemasdigitais, o sistema octal (base 8) e o hexadecimal (base 16). Ambos os sistemas sãoutilizados para a mesma finalidade: representar números binários muito grandes deuma forma eficiente e simples, pois, como veremos adiante, as conversões octal-binário, hexadecimal-binário e vice-versa, são realizadas de maneira extremamentesimples. Em sistemas digitais, três ou quatro destes sistemas numéricos podem serutilizados simultaneamente, de forma que há necessidade de se conhecer osmétodos de conversão entre tais sistemas numéricos. Nos tópicos a seguir,mostraremos como realizar tais conversões. Embora nem todos os códigosestudados sejam de uso imediato, precisaremos conhecê-los para podermos usá-losem estudos posteriores.2.2 CONVERSÃO BINÁRIO - DECIMAL Conforme discutido anteriormente, o sistema de numeração binário é posicional,onde a cada dígito binário (bit) são atribuídos dois valores: o valor absoluto e o valorposicional. O valor absoluto é 0 ou 1, e o posicional é uma potência inteira de 2,começando de 20 (bit menos significativo), que depende da posição do bit emrelação ao bit menos significativo. Qualquer número binário pode ser convertido emdecimal simplesmente somando os valores posicionais de todos os bits com valorabsoluto igual a 1. Como exemplo, observe o valor binário abaixo: 1 1 0 1 12 (binário) 4 3 2 1 0 2 2 2 2 2 = 16 + 8 + 2 + 1 = 2710 (decimal) Vejamos outro exemplo: 1 0 1 1 1 0 1 12 7 5 4 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 = 18110 Observe que o procedimento resume-se em descobrir os pesos, ou seja, aspotências de 2, para cada posição preenchida com um bit de valor absoluto igual a1, e então somar os valores obtidos. O bit mais significativo neste exemplo possuipeso 27, apesar de ser o oitavo bit, pois o bit menos significativo, que é o primeirobit, tem peso 20. 11
  16. 16. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica DigitalExercícios1) Converta o valor binário 100011011011 para decimal.2) Qual o peso do bit mais significativo de um número binário de 16 bits?2.3 COVERSÃO DECIMAL - BINÁRIO O método mais confiável para conversão decimal-binário utiliza as divisõessucessivas por 2. No exemplo a seguir, o número decimal 25 é dividido várias vezespor 2, sendo os restos destas divisões colocados à parte, até que o quociente sejaigual a zero. Observe que o valor binário equivalente é obtido, escrevendo-se oprimeiro resto como o bit menos significativo e o último como o mais significativo.Veja o exemplo a seguir:Exercícios1) Converta o número decimal 83 em binário.2) Converta o número decimal 729 em binário e verifique sua resposta, covertendode volta o valor binário obtido em decimal.2.4 O SISTEMA OCTAL O sistema numérico octal é muito importante no estudo dos computadoresdigitais. Este sistema utiliza a base oito, o que significa que ele tem oito dígitos: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6 e 7. Os pesos de cada dígito no sistema octal são mostrados na tabelaabaixo: 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 , Vírgula octal 12
  17. 17. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital Coversão Octal-Decimal Um valor octal pode ser facilmente convertido emdecimal multiplicando-se cada dígito octal por seu valor posicional (peso). Porexemplo: 3728 = 3 x 82 + 7 x 81 + 2 x 80 = 3 x 64 + 7 x 8 + 2 x 1 = 25010 Conversão decimal-Octal Um valor decimal inteiro pode ser convertido emseu equivalente octal pelo vas, conforme já visto para o caso da conversão decimal-binário, só que utilizando divisões por oito em vez de por 2. Observe o exemplo aseguir: Atente para o fato de que o resto da primeira divisão passa a ser o dígitomenos significativo do número octal, e o resto da última divisão é o bit maissignificativo. Conversão Octal-Binário A principal vantagem do sistema octal é afacilidade para se converter um número binário em octal e vice-versa. Para passarde octal para binário, cada dígito octal deve ser convertido em seu equivalentebinário. Dígito Octal 0 1 2 3 4 5 6 7 Equivalente Binário 000 001 010 011 100 101 110 111Por exemplo, podemos converter o valor octal 472 em binário da seguinte forma: 13
  18. 18. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica DigitalPortanto, o octal 472 é igual ao binário 100111010. Como outro exemplo, considerea conversão de 54318 para binário. Conversão Binário-Octal A conversão binário-octal é obtida através deprocesso inverso do descrito anteriormente. Os bits do número binário devem seragrupados de 3 em 3, a partir do menos significativo, e convertidos no seuequivalente octal. Para ilustrar, considere a conversão de 1001110102 em octal. Nem sempre o número binário tem grupos completos de três bits. Nestescasos, podemos acrescentar um ou dois zeros à esquerda do bits mais significativodo número binário. Observe o seguinte exemplo, onde p valor 110101102 deve serconvertido em seu equivalente octal. Observe que um zero é colocado à esquerda do bit mais significativo demaneira a produzir grupos completos de três bits cada um. Contando em Octal O maior dígito octal é 7, de modo que para contar emoctal basta começar do zero e incrementar uma unidade até chegar a 7. Ao alcançar7, devemos recomeçar a contagem do zero, acrescentando uma unidade ao dígitoimediatamente superior. Isto é ilustrado nas seguintes seqüências de contagemoctal: (a) 65, 66,67,70,71,..... (b) 275, 276, 277, 300,301,..... Com N dígitos octais, pode-se contar de zero até 8N-1, num total de 8Nvalores diferentes. Por exemplo, com três dígitos octais pode-se contar de 0008 até7778, perfazendo um total de 83 = 51210 números octais diferentes.Exercícios1) Converter 6148 em decimal. 14
  19. 19. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital2) Converter 14610 em binário, passando por octal.3) Converter 100111012 em octal.4) Complete a seqüência em octal: 624, 625, 626,____,____,____.5) Converter 97510 em binário, passando por octal.6) Converter o valor binário 1010111011 em decimal, passando por octal.2.5 SISTEMA NUMÉRICO HEXADECIMAL O sistema hexadecimal, também conhecido como sistema hexa, utiliza a base16. Portanto, este sistema tem 16 dígitos, representados pelos dígitos decimais de 0a 9 e pelas letras maiúsculas de A a F. Hexadecimal Decimal Binário 0 0 0000 1 1 0001 2 2 0010 3 3 0011 4 4 0100 5 5 0101 6 6 0110 7 7 0111 8 8 1000 9 9 1001 A 10 1010 B 11 1011 C 12 1100 D 13 1101 E 14 1110 F 15 1111 Observe que cada dígito hexadecimal é representado por um grupo de quatrobits. É importante lembrar que os dígitos hexa de A a F são equivalentes aos valoresdecimais de 10 a 15, respectivamente. Conversão Hexadecimal-Decimal Um número em hexa pode serconvertido em seu equivalente decimal através do valor posicional (peso) que cadadígito ocupa no número. O dígito menos significativo tem peso igual a 160 = 1, o 15
  20. 20. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digitalseguinte 161 = 16, o seguinte 162 = 256, e assim por diante. O processo deconversão é mostrado nos exemplos seguintes: 35616 = 3 x 162 + 5 x 161 + 6 x 160 = 768 + 80 + 6 = 85410 2AF16 = 2 x 162 + 10 x 161 + 15 x 160 = 512 + 160 + 15 = 68710 Observe que, no segundo exemplo, o valor 10 substituiu o dígito hexadecimalA, e o valor 15 entrou no lugar do dígito hexa F, na conversão em decimal. Conversão Decimal-Hexadecimal Para converter decimal em bináriousamos a divisão por 2 repetidas vezes, e na conversão decimal-octal empregamosa divisão por 8. desta mesma forma, para convertermos um número decimal emhexa, devemos dividí-lo sucessivamente por 16. Os exemplos seguintes ilustrarão oprocesso. Converter 42310 em hexa: Converter 21410 em hexa: Observe novamente como os restos formam os dígitos do número hexa. Alémdisso, os restos maiores que 9 são representados pelas letras de A a F. 16
  21. 21. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital Conversão Hexa-Binário Assim como o sistema octal, a principal utilidadedo sistema hexadecimal é "abreviar" a representação de seqüências binárias muitograndes. Cada dígito hexa é convertido em seu equivalente binário de quatro bits. Conversão Binário-Hexa Converter de binário para hexa é justamente fazerao contrário o processo que acabamos de ver. O número binário é separado emgrupos de quatro bits, e cada grupo é convertido no seu equivalente hexa.Acrescenta-se zeros à esquerda, se for necessário completar o grupo: Para realizar conversões entre números binários e hexa, é imprescindívelsaber a equivalência entre os dígitos hexa e os números binários de quatro bits(0000 até 1111). Uma vez memorizadas, as coversões não precisam de calculadora.Essa é uma das razões da utilidade destes sistemas (hexa e octal) na representaçãode grandes números binários. Contando em Hexadecimal Quando contamos em hexa, cada dígito de 0 aF deve ser incrementado de 1. Ao chegar a F, esta posição volta a zero, e a próximaposição é então incrementada. As seqüências abaixo ilustram contagens em hexa: (a) 38, 39, 3A, 3B, 3C, 3D, 3E, 3F, 40, 41, 42 (b) 6F8, 6F9, 6FA, 6FB, 6FC, 6FD, 6FE, 6FF, 700Exercícios1) Converta 24CE16 para decimal.2) Converta 311710 para hexa e depois para binário.3) Converta 10010111101101012 para hexa.4) Encontre os quatro números seguintes da seqüência hexa: E9A, E9B, E9C,E9D,_____,_____,_____.5) Converta 35278 para hexa. 17
  22. 22. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica DigitalMais exercícios1) Converta os seguintes números binários em decimal: a) 10110 d) 1111010111 b) 10001101 e) 10111111 c) 1001000010012) Converta os seguintes valores decimais em binário: a) 37 d) 205 b) 14 e) 2313 c)189 f) 5113) Qual o maior número decimal que pode ser representado por um número bináriode oito bits ? E de 16 bits ?4) Converta cada número octal em seu equivalente decimal: a) 743 d) 257 b) 36 e) 1204 c) 37775) Converta cada número decimal em binário: a) 59 c) 65535 b) 372 d) 2556) Converta cada número octal do item 4 em binário:7) Converta cada número binário do item 1 em octal:8) Liste todos os números octais entre 1658 e 2008.9) Converta os seguintes números hexa em decimal: a) 92 d) 2C0 b) 1A6 e) 7FF c) 37FD10) Converta os seguintes números decimais em hexa: a) 75 d) 25619 b) 314 e) 4095 c) 204811) Converta os números binários do item 1 em hexa.12) Converta os números hexa do item 10 em binário. 18
  23. 23. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital13) Na maioria dos microcomputadores o endereço das células de memória éhexadecimal. tais endereços são números seqüenciais que identificam cada posiçãode memória. a) Um determinado microcomputador pode armazenar números de oito bitsem cada célula de memória. Sabendo-se que a faixa de endereçamento vai de000016 até FFFF16, quantas células existem nesta memória ? b) Outro microcomputador tem 4096 células. Qual a faixa de endereçamentoem hexadecimal desta memória ?14) Liste seqüencialmente, em hexadecimal, os números de 28016 até 2A016.15) execute as conversões abaixo: a) 141710 =___________ 2 g) 2358 = __________ 10 b) 25510 = ___________ 2 h) 43168 = __________ 10 c) 110100012=_________ 10 i) 7A916 = __________ 10 d) 111010100012 = _______ 10 j) 3E1C16 = ___________ 10 e) 249710 = ___________ 8 k) 160010 = ___________ 16 f) 51110 = ___________ 8 l) 3818710 = ___________ 163 ARITMÉTICA DIGITAL3.1 INTRODUÇÃO Os computadores digitais e as calculadoras executam diversas operaçõesaritméticas com números representados na forma binária. A aritmética digital podevir a ser um assunto extremamente complexo, se desejarmos enterder a fundo suametodologia de operação e toda a teoria existente por trás de tal metodologia.Felizmente, este nível de conhecimento não é necessário à maioria dos profissionaisenvolvidos com circuitos digitais, pelo menos até que eles adquiram bastanteexperiência no assunto. Nossa atenção será concentrada nos princípios básicosnecessários ao entendimento de como os sistemas digitais realizam as operaçõesaritméticas. Em primeiro lugar, vamos examinar como as diversas operações aritméticassão feitas com números binários, utilizando a técnica do "lápis e papel", e entãopassaremos a estudar os circuitos lógicos que executam efetivamente taisoperações em um sistema digital.3.2 ADIÇÃO BINÁRIA A adição de números binário é feita da mesma forma que a adição denúmeros decimais. Na verdade, a adição binária é bem mais simples, pois só trata 19
  24. 24. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digitalcom dois algarismos, comparando-se com os 10 empregados no sistema decimal.Teremos, a seguir, uma pequena revisão da adição decimal. O dígito menos significativo é operado em primeiro lugar, produzindo umasoma cujo valor é 7. A operação com os dígitos da segunda posição tem comoresultado 13, mantendo-se o dígito 3 na segunda posição do resultado, e gerandoum dígito de carry de valor 1 para a terceira posição. A adição dos dois dígitos daterceira posição, cuja soma deve ser adicionada ao carry, produz um valor 8 comoresultado. Os mesmos casos deverão ser seguidos na adição binária. As possibilidadesexistentes na adição de dígitos binários (bits) estão descritas a seguir: Este último caso ocorre quando há dois bits em determinada posição, e ocarry gerado pela posição anterior é 1. Seguem dois exemplos de adição de doisnúmeros binários: Não é necessário considerar a adição de mais de dois números bináriossimultaneamente, pois em todos os sistemas digitais os circuitos que efetivamenterealizam a adição manipulam dois números binários por vez. Quando hánecessidade de se adicionar mais de dois números, os dois primeiros devem seradicionados, sendo então sua soma adicionada ao terceiro número, e assim pordiante. Este fato não representa nenhuma limitação séria, uma vez que os circuitosmodernos podem realizar uma operação de adição em poucos nanosegundos. Aadição é a operação aritmética mais importante realizada pelos sistemas digitais.Como veremos adiante, as operações de subtração e multiplicação, realizadas pelagrande maioria dos computadores modernos, usam a adição como sua operaçãobásica. 20
  25. 25. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica DigitalExercícios1) Adicione aritmeticamente os seguintes pares de números binários:a) 10110 + 00111 b) 11101 + 10010 c) 10001111 + 00000001.3.3 SUBTRAÇÃO BINÁRIA Quando o minuendo é maior que o subtraendo, o método de resolução éanálogo a uma subtração no sistema decimal. Temos, então: Observe que para o caso 0 - 1, o resultado será igual a 1, porém haverá umtransporte (carry) para a coluna seguinte que deve ser acumulado no subtraendo e,obviamente, subtraído do minuendo. Para exemplificar, veja a subtração abaixo: Agora, para melhor esclarecer o caso 0-1, vamos resolver a operação 10002 -1112. Assim sendo, temos:Exercícios1) Efetue as subtrações aritméticas: a) 10102-10002 d) 100102 - 100012 b) 110002 - 1112 e) 101010112 - 10001002 c) 1001012 - 100112 21
  26. 26. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital3.4 REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS COM SINAL Nos sistemas digitais, os números binários são representados por um conjuntode dispositivos de armazenamento. Cada dispositivo representa um bit. Porexemplo, um registrador formado por 6 dispositivos pode armazenar númerosbinários na faixa entre 000000 e 111111 (em decimal, de 0 a 63). Isto representa amagnitude do número. Uma vez que tanto computadores quanto calculadorasprecisam tratar números positivos e negativos, deve haver formas de se representaro sinal do número ( + ou - ). Isto é feito usualmente através de um bit de sinal,agregado aos bits de magnitude do número. Em geral, convencionou-se que 0 nobit de sinal representa um número positivo e 1 um número negativo O registrador A contém os bits 0110100. O bit mais à esquerda, A6, é o bit desinal e, por conter 0, faz com que o número representado pelos demais bits, cujamagnitude é 1101002, 52 em decimal, seja considerado positivo. Ou seja, o númeroarmazenado no registrador A é + 5210. Da mesma forma, o número armazenado noregistrador B é - 5210, uma vez que seu bit de sinal é 1, representando -. Em resumo, o bit de sinal é utilizado para distinguir os números positivos dosnegativos. Este sistema de representação de números binários com sinal édenominado de sinal-magnitude.Exercícios1 Represente cada um dos valores como um número binário de 5 bits: (a) + 13, (b) -7, (c) –16.2) Qual a faixa de números decimais com sinal que pode ser representadautilizando-se 12 bits, aí incluído o bit de sinal ? 22
  27. 27. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital3) Quantos bits são necessários para representar valores decimais situados na faixade - 50 até + 50 ?4) Qual é o maior valor decimal negativo que pode ser representado utilizando-seum total de 16 bits ? SUBTRAÇÃO COM REGRA DE COMPLEMENTOS Infelizmente, o método tradicional não é suficiente quando se precisa efetuaruma subtração onde o minuendo é menor que o subtraendo. Para estes casos,utiliza-se a regra dos complementos.1.Complemento falso: Substitui-se todos os zeros do resultado por uns e vice-versa.2.Complemento verdadeiro: Adiciona-se uma unidade ao complemento falso. Para exemplificar, vamos subtrair 610 de 810. Observe que o resultado parcial (11102) é 1410, ou seja, está incorreto,verifique também que o resto da quarta coluna (carry de 0-1) se transforma no bit desinal, e que nele não se aplica a regra dos complementos.Exercícios1) Efetue as subtrações binárias: a) 10011-11011 d) 11-1001 b) 11111-111110 c) 1001-111013.5 MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS BINÁRIOS A multiplicação de números binários é levada a efeito da mesma forma que amultiplicação de números decimais. Na verdade, no caso dos binários, o processo ébem mais simples, pois os dígitos do multiplicador são sempre o ou 1, e, por contadisso, estaremos efetuando apenas multiplicações por 0 e 1, o que torna a operação 23
  28. 28. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digitalextremamente simples de executar. O exemplo seguinte utiliza números sem sinalpara ilustrar o processo de multiplicação. Neste exemplo, tanto o multiplicando quanto o multiplicador estão em suaforma binária pura, não sendo considerados os bits de sinal. Os passos seguidos noprocesso de multiplicação binária são os mesmos usados no caso da multiplicaçãode números decimais. Em primeiro lugar, examinamos o bit menos significativo domultiplicador, que vale 1 em nosso exemplo. Tal valor é então multiplicado pelomultiplicando, gerando 1001 como resultado, que deve ser escrito imediatamenteabaixo do multiplicador, sendo considerado o primeiro produto parcial. A seguir,devemos examinar o segundo bit do multiplicador. Como seu valor também é 1,1001 é tomado como segundo produto parcial. Observe que este segundo produtodeve ser escrito abaixo do primeiro, deslocado de uma posição à esquerda, emrelação a este último valor. O terceiro bit do multiplicador é zero, portanto 0000 é oterceiro produto parcial. Novamente, este valor é escrito abaixo do produto anterior,deslocado uma posição à esquerda do mesmo. O quarto bit do multiplicador é 1, oque faz com que o último produto parcial seja outra vez 1001, escrito abaixo doproduto anterior, deslocado uma posição à esquerda. Os quatro produtos parciaissão, então, somados para se obter o produto final da multiplicação.Exercícios1) Adicione os seguintes grupos de números binários, utilizando as regras da adiçãobinária. a) 1010 + 1011 b) 1111 + 0011 c) 10111101 + 111 d) 1011 + 1111 e) 10011011 + 100111012) Represente cada um dos números decimais com sinais listados abaixo. Use umtotal de 8 bits, incluindo um bit de sinal. a) +32 e) -1 b) -14 f) -128 c) +63 g) +169 d) -104 h) 0 24
  29. 29. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital3) Cada um dos números a seguir representa um valor decimal com sinal.Determine, em cada caso, o valor decimal correspondente. a) 01101 e) 01111111 b) 11101 f) 100000 c) 01111011 g) 11111111 d) 10011001 h) 100000014) Determine: a) Qual a faixa de valores decimais com sinal que podem ser representadosusando 12 bits, incluindo o bit de sinal ? b) Quantos bits são necessários para representar os números decimaissituados na faixa de - 32768 a + 32767, incluindo ambos ?5) Liste, em ordem crescente, os números binários com sinal que podem serrepresentados em cinco bits.6) Qual a faixa de números decimais sem sinal que podem ser representados em 10bits ? E qual a faixa dos decimais com sinal que podem ser representados usandoos mesmos 10 bits ?7) Efetue as subtrações abaixo. a)1100-1010 c)1011001-11011 b)10101-1110 d)100000-11100 e)11110 -11118) Resolva as subtrações. a)1010-1100 d)11011-1011001 b)10101-1110 e)11100-100000 c)1111-111109) Multiplique os seguintes pares de números. a)111 x 101 d)1100 x 100 b)1011 x 1011 e) 111111 x 1001 c)1101 x 1011 f) 10111 x 1114 ÁLGEBRA BOOLEANA4.1 INTRODUÇÃO Em meados do século XIX G. Boole desenvolveu um sistema matemático deanálise lógica. Esse sistema é conhecido como "álgebra de Boole". 25
  30. 30. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital No início da era eletrônica, todos os problemas eram resolvidos por sistemasanalógicos, também conhecidos por sistemas lineares. Com o avanço da tecnologia, esses mesmos problemas começaram a sersolucionados através da eletrônica digital. Esse ramo da eletrônica é empregado nasmáquinas, tais como: computadores, processadores de dados, sistemas de controlee de comunicação digital, codificadores, decodificadores, etc. A álgebra de Boole é baseada em apenas dois valores. Esses dois valorespoderiam, por exemplo, ser representados por tensão alta e tensão baixa outensão positiva e tensão negativa. Na álgebra comum os valores têm um significado numérico, enquanto que naÁlgebra de Boole têm um valor lógico. Observe que muitas coisas apresentam duassituações estáveis. Exemplo: verdade ou mentira; alto ou baixo; sim ou não; ligado ou desligado;aceso ou apagado; positivo ou negativo; etc. Essas coisas são ditas binárias epodem ser representadas por 0 ou 1. Exemplo: Ligado 0 e Desligado 1 Uma variável booleana tem o mesmo significado da variável da álgebracomum. Entretanto, a variável booleana pode assumir apenas 2 valores, cada qualem instantes diferentes. Exemplo de variáveis booleanas: A, B, C, a, b, c, x, y, z, P, Q,...A seguir,estudaremos as diversas funções e suas portas lógicas.4.2 FUNÇÃO E OU AND A função E é aquela que executa a multiplicação de duas ou mais variáveisbinárias. S = A . B onde se lê: A e BPara melhor compreensão, representaremos a função E através do circuito: CH.A CH.B Convenções: chave aberta = 0 E chave fechada = 1 lâmpada apagada = 0 Lâmpada acesa = 1 26
  31. 31. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital1) Se tivermos a chave A aberta (0) e a chave B aberta (0), neste circuito nãocirculará corrente, logo a lâmpada permanecerá apagada (0). ( A=0, B=0, A.B=0)2) Se tivermos a chave A aberta (0) e a chave B fechada (1), a lâmpadapermanecerá apagada.( A=0, B=1, A.B = 0)3) Se tivermos a chave A fechada (1) e a chave B aberta (0),a lâmpadapermanecerá apagada. (A=1, B=0, A.B =0)4)Se tivermos agora, a chave A fechada (l) e a chave B fechada (1) a lâmpada iráacender, pois circulará corrente. ( A=1, B=1, A.B =1) Analisando as situações, concluímos que só teremos a lâmpada acesaquando as chaves A e B estiverem fechadas. TABELA DA VERDADE DA FUNÇÃO E OU “AND” A B S = A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Porta E ou “AND” A porta E é um circuito que executa a função E, portanto segue a tabela vistaanteriormente.. Símbolos A S A A S B E S B B Até agora, descrevemos a função E para duas variáveis de entrada.Podemos estender este conceito para qualquer número de entradas. Teremos neste 27
  32. 32. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digitalcaso uma porta E de N entradas e somente uma saída. A saída permanecerá no“estado um” se, e somente se as N entradas forem iguais a um e permanecerá no “estado zero” nos demais casos. A B C S S =A.B.C....N .... N Para exemplificar, vamos mostrar uma porta E de três entradas e sua tabelada verdade. A B C S S=A.B.C 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 A 0 1 1 0 B S 1 0 0 0 C 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 Notamos que a tabela da verdade anterior mostra as oito possíveiscombinações das variáveis de entrada e seus respectivos resultados de saída. O número de situações possíveis é igual a 2N , onde N é o número devariáveis. No exemplo anterior: N=3, portanto, 23 = 8, que são as oito combinaçõespossíveis para 3 variáveis de entrada.4.3 FUNÇÃO OU ou OR A função OU é aquela que assume o valor um na saída quando uma ou maisvariáveis de entrada forem iguais a um e assume o valor zero se, e somente se,todas as variáveis de entrada forem iguais a zero.É representada da seguinteforma: S = A + B onde se lê S = A ou B CH. A As convenções são as mesmas do cir- E cuito representativo CH. B da porta E. 28
  33. 33. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica DigitalSituações possíveis.1) Se tivermos as chaves A e B abertas ( 0 e 0 ), no circuito não circulará corrente,logo, a lâmpada permanecerá apagada (0).2) Se tivermos a chave A aberta (0) e a chave B fechada (1), circulará uma correntepela chave B e a lâmpada acenderá (1).(A=0, B=1, A+B =1)3) Se tivermos a chave A fechada (1) e a chave B aberta (0), o circuito agora ficaráfechado através da chave A e em consequência a lâmpada permanecerá acesa (1).( A=1, B=0, A+B = 1).4) Se tivermos as duas chaves fechadas (A=1 e B=1), a corrente circulará atravésdessas chaves e a lâmpada permanecerá acesa (1). (A=1,B =1, A+B=1) O sinal "+" é um símbolo de soma booleana, portanto não se deve estranhar quando 1 + 1 = 1. TABELA DA VERDADE DA FUNÇÃO OU Nesta tabela da verdade teremos todas as situações possíveis com osrespectivos valores que a função OU assume. A B S 0 0 0 S=A+B 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Porta OU ou "OR" É a porta lógica que executa a função OU. Símbolos A A S OU S B B A porta OU executa a tabela da verdade da função OU, ou seja, teremos asaída 1 (um) quando uma ou mais variáveis de entrada forem iguais a 1 (um), e 29
  34. 34. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digitalteremos a saída no estado (0) se, e somente se todas as entradas forem iguais azero.Podemos estender o conceito das portas OU para mais de duas variáveis: A B C S S = A + B + C +...+ N N Exemplo de porta OU de 3 variáveis de entrada: A B C S 0 0 0 0 A 0 0 1 1 B S 0 1 0 1 0 1 1 1 C 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 As três variáveis de entrada possibilitam 23 = 8 combinações possíveis.4.4 FUNÇÃO NÃO ou NOT A função não ou função complemento é aquela que inverte o estado davariável, ou seja, se a entrada estiver em 0 (zero) a saída será 1 (um), e se aentrada estiver em 1 (um) a saída será 0 (zero). A função complemento érepresentada da seguinte forma: S = A onde se lê: "A barrado" ou "complemento de A" Esta barra sobre a letra que representa a variável significa que esta sofreráuma inversão. Podemos também dizer que Ā significa a negação de A. Para entendermos melhor a função "não", vamos representá-la pelo circuito aseguir. 30
  35. 35. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital R E CH A LSituações possíveis:1) Quando a chave A estiver aberta (0), passará corrente pela lâmpada e estaacenderá (1): A=0 e Ā =1.2) Quando a chave A estiver fechada (1), curto-circuitaremos a lâmpada e esta seapagará (0): A=1 e Ā =0. TABELA DA VERDADE A A S=A 0 1 1 0 Porta inversora ou "Inversor" O inversor é o bloco lógico que executa a função NÃO, e sua representação é A A ou A A após um outro bloco lógico antes de um outro bloco lógico A porta inversora a tabela da função NÃO e só poderemos ter uma entrada euma saída.4.5 FUNÇÃO NÃO E , NE ou NAND Como o próprio nome NÃO E diz: essa função é uma combinação da funçãoE com a função NÃO, ou seja, teremos a função E INVERTIDA. Esta função érepresentada da seguinte forma: 31
  36. 36. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital S = A.B onde se lê: A e B barrados TABELA DA VERDADE A B S 0 0 1 S = AB 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Pela tabela da verdade, podemos notar que esta função, realmente é oinverso da função E, e tem como característica o nível 1 na saída, toda vez que umadas entradas tiver o nível lógico 0. Porta NE ou NAND A porta NE ou NAND é o bloco lógico que executa a função NAND e suarepresentação será: A S A S A E S B B B Podemos notar pela tabela da verdade, que formamos uma porta NE ouNAND a partir de uma porta E e um bloco inversor ligado à sua saída. A S B A porta NAND, como os outros blocos lógicos, pode ter duas ou maisentradas.4.6 FUNÇÃO NÃO OU, NOU OU NOR Analogamente à função NAND, a função NOR é a composição da função OUcom a função NÃO, ou seja, a função NOR será o inverso da função OU. Estafunção é representada da seguinte forma: 32
  37. 37. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital S = A+B onde se lê: A ou B barrados TABELA DA VERDADE A B S 0 0 1 S=A+B 0 1 0 1 0 0 1 1 0 Note que a função NOR realmente é a função OU invertida, e tem comocaracterística o nível 0 (zero) em S, toda vez que uma das variáveis de entradaapresentar nível 1 (um). Porta NOU ou NOR A porta NOU é o bloco lógico que executa a função NOR. Sua simbologia émostrada abaixo: A A S OU S B B Este bloco executa a tabela da verdade da função NOU e como os outrosblocos lógicos, pode ter duas ou mais entradas. Podemos notar pela tabela da verdade, que formamos uma porta NOR apartir de uma porta OU e um bloco inversor ligado à sua saída. A S B O termo mais utilizado como referência a esta porta é NOR. As portas NAND e NOR são chamadas de portas universais, porque todos os circuitos podem ser construídos somente com estas portas. 33
  38. 38. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital4.7 RESUMO Blocos Lógicos Básicos PORTA SÍMBOLO USUAL TABELA DA VERDADE FUNÇÃO LÓGICA Função E: Assume E A valor 1 quando todas S as variáveis de AND B entrada forem iguais a 1, e zero nos demais casos. Função OU: Assume OU valor zero quando A todas as variáveis S OR B forem iguais a zero, e assume valor um nos demais casos. Função NÃO:inverte NÃO a variável aplicada à NOT A A sua entrada INVERSOR Blocos Lógicos Universais TABELA DA PORTA SÍMBOLO USUAL FUNÇÃO LÓGICA VERDADE Função NE: Inverso NE da função E.Haverá A 1 na saída se uma S B das entradas NAND assumir nível lógico 0. Função NOU: Inver- NOU so da função OU.Ha- A verá nível 0 na saída S B se uma das entra- NOR das assumir valor 1.4.8 BLOCO OU EXCLUSIVO OU “XOR” A função que este bloco executa, como o próprio nome diz, consiste emfornecer 1 à saída quando as variáveis de entrada forem diferentes entre si. Comesta pequena apresentação podemos montar sua tabela da verdade e, obter pelomesmo processo visto até aqui, sua expressão característica e, posteriormente,esquematizar o circuito: 34
  39. 39. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital A B S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Da expressão esquematizamos o circuito representativo da função OUEXCLUSIVO A B S A notação algébrica que representa a função OU EXCLUSIVO é S=A⊕B,onde se lê A OU EXCLUSIVO B, sendo S=A⊕B = Ā.B + A. B . O circuito OUEXCLUSIVO pode ser representado pelo símbolo abaixo. A S B Uma importante observação é que, ao contrário dos outros blocos lógicos, ocircuito OU EXCLUSIVO só pode ter 2 variáveis de entrada, fato este devido à suadefinição básica. O circuito OU EXCLUSIVO também é conhecido comoEXCLUSIVE OR (EXOR).4.9 BLOCO COINCIDÊNCIA A função que o bloco COINCIDÊNCIA executa é a de fornecer 1 à saída quandohouver uma coincidência nos valores das variáveis de entrada. A B S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 A partir da expressão, podemos esquematizar o circuito 35
  40. 40. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital A B S. A notação algébrica que representa a função COINCIDÊNCIA é S=A B,onde se lê A COINCIDÊNCIA B, sendo S=A B = A.B + A.B.O símbolo do circuitoCOINCIDÊNCIA é visto abaixo. A S B Se compararmos as tabelas da verdade dos blocos OU EXCLUSIVO eCOINCIDÊNCIA, iremos concluir que estes são complementares, ou seja, teremos asaída de um invertida em relação à saída do outro. Assim sendo, podemos escrever: A⊕B=A B5 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANAS5.1 FUNÇÕES BOOLEANAS Uma função booleana de N variáveis mostra as relações entre essas variáveisatravés dos operadores (.) e (+). Exemplo: F = A.B.C + A.B.C A função booleana é obtida, geralmente, de um problema qualquer, oupodemos escrever a expressão booleana que é executada por qualquer circuitológico. Exemplo de um problema: Convenção: Chave do torno: S.............ligada: S=0 desligada: S=1 Medida do eixo................correta: A=0 36
  41. 41. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital errada: A=1 Término do eixo.............fazendo: B=0 fim do eixo: B=1 Operário.............................bom: C=0 machucado: C=1 função S (A,B,C) = ? Constrói-se a tabela da verdade com três variáveis e verifica-se, de acordocom a convencão adotada, os níveis que a chave do torno (S) deverá ter. A B C S 0 0 0 0 Função S = A + B + C 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 A 1 0 1 1 B S 1 1 0 1 C 1 1 1 1 Verificando a tabela da verdade, notamos que é a tabela da função OU comtrês variáveis. Uma vez identificada a função, é só contruir o circuito lógico. Quando a tabela obtida não coincide com nenhuma das funções vistas anteriormente, a função poderá ser escrita após o conhecimento da forma canônica5.2 FORMAS CANÔNICAS Toda função booleana de N variáveis pode ser escrita na forma canônicadisjuntiva ou conjuntiva.5.2.1 Disjuntiva Chama-se forma canônica disjuntiva àquela obtida da tabela da verdadeescrevendo-se: a) Um termo para cada linha onde a função é igual a 1. b) Os termos serão ligados pela operação "OU" (+). 37
  42. 42. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital c) Em cada termo as variáveis serão ligadas pela operação "E"(.). d) A variável será barrada ou não, conforme seu valor seja 0 ou 1 naquelalinha.Exemplo: Seja a tabela: A B C F 0 0 0 1 ABC 0 0 1 0 1ª Linha: A B C 0 1 0 0 4ª Linha: A B C 0 1 1 1 ABC 5ª Linha: A B C 1 0 0 1 ABC 8ª Linha: A B C 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 ABC • F = A B C + A B C + A B C + ABC5.2.2 Conjuntiva Chama-se forma canônica conjuntiva àquela obtida da tabela da verdadeescrevendo-se: a) Um termo para cada linha onde a função tem valor 0. b) Os termos serão ligados pela operação "E " (.). c) Em cada termo as variáveis serão ligadas pela operação "OU" (+). d) A variável será barrada se naquela linha seu valor é 1 e não barrada se seuvalor é 0. Exemplo: A função é igual a zero na 2ª, 3ª, 6ª e 7ª linhas. 2ª Linha: A + B + C 3ª Linha: A + B + C 6ª Linha: A + B + C 7ª Linha: A + B + C ( )( )( F = A+B+C.A+B+C.A+B+ C + A+B+C ) ( ) 5.4. Princípio da DualidadeTroca - se 38
  43. 43. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital + por . . por + 0 por 1 1 por 0 Seja F uma função booleana. Define-se a função dual de F como sendoaquela obtida quando mudamos os operadores + por . e . por + e os valores 0 por 1e 1 por 0. Observando os postulados do item seguinte, nota-se que os da direita (b)são perfeitos duais dos da esquerda (a). Postulados da Dualidade 1a) X = 0 se X ≠ 1 1b) X = 1 se X ≠ 0 2a) X = 1 se X = 0 2b) X = 0 de X = 1 3a) 0 . 0 = 0 3b) 1 + 1 = 1 4a) 1 . 1 = 1 4b) 0 + 0 = 0 5a) 1 . 0 = 0 . 1 = 0 5b) 0 + 1 = 1 + 0 = 15.3 TEOREMAS E PROPRIEDADES DA ÁLGEBRA BOOLEANA5.3.1 Teorema da Dualidade Já demonstrado e comprovado através de seus princípios itens ateriores5.3.2 Teoremas de De Morgan5.3.2.1 1º Teorema de De Morgan "O complemento do produto é igual a soma dos complementos" A.B=A+BPodemos comprovar este teorema através da tabela da verdade. Tabela da verdade de uma porta NAND A B A B A.B A.B A+B 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 39
  44. 44. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital5.3.2.2 2º Teorema de De Morgan "O complemento da soma é igual o produto dos complementos" A+B=A.B Este teorema pode ser comprovado pela tabela da verdade: Tabela da verdade de uma porta NOR A B A B A+B A+B A.B 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 PORTAS LÓGICAS EQUIVALENTES Pelo teorema de De Morgan, temos: a) Portas NAND A S A S B B b) Portas NOR A S A S B B5.4 Propriedades Booleanas5.4.1 Propriedade da Intersecção Esta propriedade está relacionada com as portas "E". Os dois casos que seencaixam aqui são: 1 A.1=A 40
  45. 45. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital 2 A.0=0 Esta propriedade é válida também para portas E com mais de duasentradas 1 A.B.1=A.B 2 A.B.0=05.4.2 Propriedade da União Esta propriedade está relacionada com as portas ou e está dividida em doiscasos: 1 B + (1) = 1 2 B + (0) = B Da mesma forma, esta propriedade também é válida para portas OU commais de duas entradas: 1 A + B + (1) = 1 2 A + B + (0) = A + B5.4.3 Propriedade da Tautologia Esta propriedade pode ser aplicada tanto para portas "E" como para portas"OU", e trata dos seguintes casos: 1 A.A=A 2 A+A=A Por exemplo F = XYZ + XYZ + AC F = XYZ + AC5.4.4 Propriedade dos Complementos Se aplicarmos um sinal lógico e seu complemento a uma porta lógica,simultaneamente a saída será "0" ou "1", dependendo do tipo de porta, ou seja: 41
  46. 46. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital A. A =0 A+ A =15.4.5 Propriedade da Dupla Negação Esta propriedade afirma que o complemento do complemento de A é igual aA. Em forma de expressão matemática, temos: Em outras palavras, podemos concluir que complementando um sinal duasvezes ou qualquer número par de vezes, teremos como resultado sempre o sinaloriginal. E complementar um certo sinal por um número ímpar de vezes é o mesmoque complementá-lo uma só vez. Na prática, porém, pode ocorrer da saída não ser igual a entrada, quando umsinal é complementado um número par de vezes, pois se este sinal não for estático,ou seja, se ele variar constantemente, a saída levará um certo tempo para assumir ovalor correto. Isto é devido a um fator existente em circuitos lógicos práticos,chamado de tempo de propagação. Em um circuito com várias portas, o atrasototal é igual à soma do atraso em cada uma das portas.5.4.6 Propriedade Comutativa Esta propriedade é semelhante à da álgebra convencional. Divide-se,também, em dois casos: 1 A . B = B. A 2 A+B=B+A Por exemplo: W+X+Y=X+W+Y JML = LMJ = MLJ ...5.4.7 Propriedade Associativa Esta é outra propriedade semelhante à álgebra comum: 42
  47. 47. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital (A . B) . C = A . (B . C) = A . B . C A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C5.4.8 Propriedade Distributiva Também é parecida com a da álgebra convencional. AB + AC = A ( B+ C) Existem outras versões da propriedade distributiva, são elas: 1 AB + A B = A (B + B ) AB + A B = A (1) AB + A B = A 2 A + AB = A (1 + B) A + AB = A (1) A + AB = A 3 (A + B) . (A + C) = A + (BC) Multiplicando -se o termo (A + B) por (A + C), obtemos: AA + AC + AB + BC = A + AC + AB + BC A (1 + C + B) + BC = A(1) + BC (A + B) . (A + C) = A + (BC) 4 (A + B) . (A + B ) = A Multiplicando-se (A + B) por (A + B ), obtemos: AA + A B + AB + B B = A + A B + AB + 0 A + A B + AB = A (1 + B + B) (A + B) . (A + B ) = A5.4.9 Propriedade da Absorção Há várias versões desta propriedade, são elas: 1 A . (A + B) = A Porque: AA + AB = A + AB = A . (1 + B) = A 2 A . ( A + B) = A . B Porque: A A + AB = 0 + AB = A . B 3 AB + B = A + B 43
  48. 48. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital Porque: A B + B . (A + 1) = AB + A B + B = A . (B + B ) + B A . (1) + B 4 AB + B = A + B Da mesma forma que na anterior: AB + B . (A + 1) = AB + AB + B = A . (B + B) + B = A . (1) + B 5 AC + A C B = AC + AB Seja: AC(B + 1) + A C B = ACB + AC + A C B = AC + AB (C + C ) = AC + AB 6 AB + BC + A C = AB + A C O termo BC deve ser absorvido, desta forma, basta analizarmos asimplificação que será adequada para a função: AB( C + 1) + BC ( A +A) + A C = AB C + AB + A BC + ABC + A C = AB( C + 1 + C) + A (BC + C) = AB(1) + A C = AB + A CExercícios1) Usando a tabela da verdade, verifique a igualdade: A + AB = A + B2) Prove as seguintes identidades através das propriedades e teoremas da álgebraBooleana a) A B + B C + A C = A B + B C + A C b) (A + B) ( A + C) = AC + A B3) Ache o complemento da seguinte função: F = (A + B) ( A C + D)4) Usando a tabela da verdade, verifique as igualdades: a) A + BC = (A+B) (A+C) b) A + B = A . B c) A . B = A + B d) A . (A+B) = A 44
  49. 49. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital5) Provar as seguintes identidades através das propriedades booleanas e teoremas. a) A + A = A b) A + A B = A + B c) (A + C) (B + C) = A C + B D d) B + A = A B + B e) A ( A + B) = A . B f) AB + A C + BCD = AB + A C g) AB + BC + A C = AB + A C6) Ache os complementos das seguintes funções: a) F = A + BC b) F = AB + B C + A CD7) Prove que as suas respostas estão corretas mostrando que: F. F =0 F+ F =18) Simplificar as seguintes expressões: a) Y = A B + A + A C b) Y = ABC + A + B C c) Y = A C C + A B C + A B C + A C d) Y = A B C + A B C + A B C + A B C e) Y = (A + B + C ) ( A + B + C ) f) Y = ( A + B + C) (A + B + C ) ( A + B + C)9) Utilizando os Teoremas de De Morgan, simplifique as expressões: a) F = (A + B) (A + C) (B + C) b) F = ABC + A + C c) F = (X + Y + Z) (X + Z) d) F = X Y Z + X Y Z 45
  50. 50. REMAN - Apostilas Técnicas Eletrônica Digital6 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS O número de funções booleanas pode ser dado por 22N , sendo N o númerode variáveis de entrada. Vimos que a representação de uma função booleana em termos dasoperações definidas não é única, e que um modo de identificar a função é colocá-lana sua forma canônica. Visando a utilização do menor número de blocosfundamentais e, assim, o menor número de componentes no circuito final, procura-se minimizar as funções booleanas. Devido às diferentes tecnologias deimplementação de circuitos utilizados, não existe um critério único de minimizaçãoque resulte num circuito final mínimo. Um método que pode ser usado paraminimizar funções é a utilização das propriedades algébricas. Existem outros métodos mais simples que permitem a simplificação defunções booleanas. Entre os principais métodos existentes, podemos citar os de Veitch-Karnaugh,Quine Mc Cluskey, método do cubo n e o método da transformada numérica. O número de funções booleanas cresce muito rapidamente com o número devariáveis, como se pode ver nas ilustração seguinte. No caso de n variáveis, temostabelas da verdade com 2N linhas, e podemos dispor de dois elementos de repetiçãodessas linhas de 22N maneiras diferentes. N 2 n 2 1 4 2 16 3 256 4 65.636 5 4.294.967.296 Vamos estudar nas seções seguintes apenas o método de Veitch-Karnaugh,que satisfaz para a simplificação de funções de até 5 variáveis.6.1 MAPA DE KARNAUGH O mapa de Karnaugh é uma forma ordenada para simplificar uma expressão,que geralmente nos leva a um circuito com configuração mínima. Não utiliza a tabelada verdade, e pode ser facilmente aplicado em funções envolvendo de duas a cincovariáveis. Para seis ou mais variáveis, o método começa a se tornar incômodo epodemos usar outras técnicas mais elaboradas. Também pode ser usado paradeterminar de portas duais ou complementares tornarão o circuito mais simples. 46

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