Geo jeca plana

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Geo jeca plana

  1. 1. Geometria plana. Resumo teórico e exercícios. 3º Colegial / Curso Extensivo. Autor - Lucas Octavio de Souza (Jeca)
  2. 2. Relação das aulas. PáginaAula 01 - Conceitos iniciais................................................................ 02Aula 02 - Pontos notáveis de um triângulo......................................... 17Aula 03 - Congruência de triângulos.................................................. 27Aula 04 - Quadriláteros notáveis........................................................ 36Aula 05 - Polígonos convexos............................................................ 45Aula 06 - Ângulos na circunferência................................................... 58Aula 07 - Segmentos proporcionais................................................... 70Aula 08 - Semelhança de triângulos................................................... 80Aula 09 - Relações métricas no triângulo retângulo........................... 94Aula 10 - Relações métricas num triângulo qualquer....................... 107Aula 11 - Circunferência e círculo.....................................................121Aula 12 - Inscrição e circunscrição de polígonos regulares............. 131Aula 13 - Áreas das figuras planas................................................... 141 Autor - Lucas Octavio de Souza (Jeca) Jeca 01
  3. 3. Geometria plana Aula 01 Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca Conceitos iniciais de Geometria Plana. (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP)I) Reta, semirreta e segmento de reta. Definições. A B a) Segmentos congruentes. reta AB Dois segmentos são congruentes se têm a mesma medida. A B semirreta AB b) Ponto médio de um segmento. A B Um ponto P é ponto médio do segmento AB se pertence ao semirreta BA segmento e divide AB em dois segmentos congruentes. A B segmento AB c) Mediatriz de um segmento. É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médioII) Ângulo. A Definições. a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas de O a mesma origem. b) Ângulos congruentes. B Dois ângulos são ditos congruentes se têm a mesma OA - lado OB - lado medida. O - vértice ângulo AOB ou ângulo a c) Bissetriz de um ângulo. É a semirreta de origem no vértice do ângulo que divide esse ângulo em dois ângulos congruentes.IIa) Unidades de medida de ângulo. a) Grau. b) Radiano. A medida de uma volta completa é 360º. A medida de uma volta completa é 2p radianos. º - grau 1º = 60 - minuto Um radiano é a medida do ângulo central de uma 1 = 60" " - segundo circunferência cuja medida do arco correspondente é igual à medida do raio da circunferência.IIb) Classificação dos ângulos. Definições. a = 0º - ângulo nulo. a) Ângulos complementares. 0º < a < 90º - ângulo agudo. É o par de ângulos cuja soma das medidas é 90º. a = 90º - ângulo reto. 90º < a < 180º - ângulo obtuso. b) Ângulos suplementares. a = 180º - ângulo raso. É o par de ângulos cuja soma das medidas é 180º.IIc) Ângulos formados por duas retas paralelascortadas por uma reta transversal. a) Ângulos correspondentes (mesma posição). t exemplo - b e f. Propriedade - são congruentes. a r d b) Ângulos colaterais (mesmo lado). b c exemplo de colaterais internos - h e c. exemplo de colaterais externos - d e g. r // s Propriedade - são suplementares (soma = 180º) e c) Ângulos alternos (lados alternados). s h f exemplo de alternos internos - b e h. g exemplo de alternos externos - a e g. Propriedade - são congruentes. Jeca 02
  4. 4. III) Triângulos. Classificação dos triângulos. Ângulo externo. vértice a) quanto aos lados: O ângulo externo - triângulo equilátero. de qualquer polígono - triângulo isósceles. convexo é o ângulo - triângulo escaleno. lado i - ângulo interno e - ângulo externo formado entre um e lado e o b) quanto aos ângulos: i Num mesmo prolongamento do vértice, tem-se - triângulo retângulo. outro lado. - triângulo obtusângulo. i + e = 180º - triângulo acutângulo.Propriedades dos triângulos. 2) Em todo triângulo, a medida de 1) Em todo triângulo, a soma das um ângulo externo é igual à soma medidas dos 3 ângulos internos b das medidas dos 2 ângulos b é 180º. internos não adjacentes. a e=a+b a + b + g = 180º e a g 3) Em todo triângulo, a soma das 4) Em todo triângulo isósceles, e3 medidas dos 3 ângulos externos os ângulos da base são congru- é 360º. entes. Observação - A base de um triângulo isósceles é o seu lado e1 e1 + e2 + e3 = 360º diferente. e2 a aExercícios.01) Efetue as operações com graus abaixo solicitadas.a) 48º 27 39" + 127º 51 42" c) 90º - 61º 14 44" e) 4 x (68º 23 54")b) 106º 18 25" + 17º 46 39" d) 136º 14 - 89º 26 12" f) 3 x (71º 23 52") Jeca 03
  5. 5. g) 125º 39 46" h) 118º 14 52" 4 3i) 125º 12 52" j) 90º 5 1302) Determine o ângulo que é o dobro do seu comple- 03) Determine o ângulo que excede o seu suplementomento. em 54º 04) Determine o ângulo cuja diferença entre o seu 05) Dois ângulos são suplementares. O menor é o suplemento e o triplo do seu complemento é igual a complemento da quarta parte do maior. Determine as 54º. medidas desses ângulos. 06) As medidas de dois ângulos somam 124º. Deter- 07) Determine um ângulo sabendo que o suplemento mine esses ângulos sabendo que o suplemento do da sua quinta parte é igual ao triplo do seu comple- maior é igual ao complemento do menor. mento. Jeca 04
  6. 6. 08) Em cada figura abaixo, determine a medida do ângulo x.a) b) 11 r 6 º x r // s s 41º xc) d) (Tente fazer de outra maneira) x r x r 53º r // s 53º r // s 39º s 39º se) f) r r 55º 35º 62º x r // s 40º s x s 38º 47ºg) h) r 28º 54º x r // s 88º º s x 21º 126i) j) AB = AC B x 73º A x 2 º 14 11 3º Ck) AC = BC C l) x 46º 158º 38º x 67º A B Jeca 05
  7. 7. 09) A figura abaixo mostra dois quadrados sobrepos- 10) Na figura abaixo, estão representados um triângulotos. Qual é o valor de x + y, em graus ? equilátero e um retângulo. Sendo x e y as medidas dos ângulos assinalados, determine a soma x + y. x x y y11) Na figura abaixo, determinar x + y + z + t. 12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das medidas dos ângulos x, y, z, t e u. 30º y x x t z y z u t13) Na figura abaixo, calcule o valor de x em função de 14) (IBMEC-SP) Sejam a, b, g, l e q as medidas emm. graus dos ângulos BAC, ABC, CDF, CEF e DFE da figura, respectivamente. A soma a + b + g + l + q é igual a: x F a) 120º 4m b) 150º c) 180º 3m d) 210º C e) 240º m D E A B15) (ITA-SP) Em um triângulo de papel ABC fazemos 16) Determine x, sabendo-se que ABCD é um retângu-uma dobra PT de modo que o vértice C coincida com lo e que F e E são pontos médios dos lados AB eo vértice A, e uma dobra PQ de modo que o vértice B AD, respectivamente.coincida com o ponto R de AP. Sabemos que o triân- D E Agulo AQR formado é isósceles com ARQ = 100º; cal-cule as medidas dos ângulos internos do triânguloABC. A x R F T Q 25º B C C B P Jeca 06
  8. 8. Respostas desta aula.01)a) 176º 19 21" b) 124º 05 04"c) 28º 45 16" d) 46º 47 48"e) 273º 35 36" f) 214º 11 36"g) 31º 24 56" h) 39º 24 57"i) 25º 02 34" j) 06º 55 23"02) 60º03) 117º04) 72º05) 60º e 120º06) 17º e 107º07) 225º / 708)a) 41º b) 64º c) 14º d) 14º e) 47ºf) 36º g) 62º h) 33º i ) 75º j) 34ºk) 113º l) 53º09) 270º10) 240º11) 210º12) 180º13) 2m14) c15) 70º, 80º e 30º16) 25º Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 07
  9. 9. Geometria plana Conceitos iniciais de Geometria Plana. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca Exercícios complementares da aula 01. (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP)01) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.a) b) r r 57º 43º r //s r // s x x s sc) d) r r 45º 45º x r // s x r // s 62º s 62º s (Resolver de forma diferente da letra c))e) f) r x 147º r // s 82º 126º r s r // s x 80º sg) h) (Resolver de forma diferente da letra g)) r r 140º 140º 65º 65º r // s r // s x x s s 150º 150º i) j) r 42º r 48º º 40 r // s r // s 2º x -1 5x s 43º sk) l) s r // s 55º r 85º 135º x x Jeca 08
  10. 10. m) r // s n) r // s r t // u x t // u r s 43º t 58º s x u u to) p) 52º 62º 79º x x 67ºq) r) 52º 21x x 18x 15x 81ºs) (Triângulo isósceles) t) (Triângulo isósceles) A AB = AC AB = AC A 38º x 138º B C x B Cu) AB = AC v) A 152º y y 62º 98º x x B Cx) AB = BC = CD z) AB = BD = DE D D 98º B E x x y y A C A B C Jeca 09
  11. 11. 02) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x. a) b) 37 73º º 116º x 24º 148º x 31ºc) d) x 34 x º triz 128º se bis 1º 10 36º 38ºe) D é o ponto de encontro das 3 bissetrizes. f) A AD e BD são bissetrizes. 40º º D 72 x D x 42º C Bg) h) 68º r x 60º r // s 5y 2x s 3y º x + 30 i) j) 9x 43º x 12x 60º 62º 6x k) ABCD é um quadrado. l) A B 30º x x 11 8º D C Jeca 10
  12. 12. m) AC = CD n) AB = BC = CD = DE e AD = AE A D 38 B x º A x C E B C Do) AB = BC = CD = DE = EF e AE = AF p) AB = AC , BD = BE e CE = CF. B F D D B x EA x A 44º C E F Cq) ABC é um triângulo equilátero r) BCD é um triângulo equilátero A e DEFG é um quadrado. e ABDE é um quadrado. A B G F C x x E D B D E Cs) CDE é um triângulo equilátero t) BFE é um triângulo equilátero, ABFG e BCDE são e ABCD é um quadrado. quadrados.A A C B x E B x G DD C F Eu) ACE e BDF são triângulos v) AB = AC e DE = DF. A B C equiláteros. A D x 70º x 65º F E D B E C Fx) z) AB = AC AB = AD = BD = DC e AC = BC. AD é bissetriz de BÂC A AE é bissetriz de BÂD. A D C x x 38º B B E D C Jeca 11
  13. 13. 03) Na figura abaixo, determine x, y e z. 04) Na figura abaixo, determinar x, y e z. 4x x x 2y 37º y z z05) Na figura abaixo, determinar x, y, z e t. 06) Na figura abaixo, sendo BD a bissetriz do ângulo CBE, determinar x + y. E D t z 40º 2x y y 4x x 4x A B C07) Na figura abaixo, determinar o valor de x. 08) Na figura abaixo, determinar o valor do ângulo x, sabendo-se que OD é bissetriz de AOE, OC é bissetriz de AOD e OB é bissetriz de AOC. D C E x 57º B x 28º A F O09) Na figura abaixo, determine os valores de x, y e 10) Determinar os valores de x, y e z, sabendo que osz. mesmos formam uma progressão aritmética de razão 10º. z + 26º 2x y y 2z - 84º z x Jeca 12
  14. 14. 11) (FUVEST) Na figura abaixo, determine o valor de x. 12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma x + y + z + t + u + v, sabendo-se que CEF é um triângulo inscrito no quadrado ABCD. x A E B y z t t // s s x F 120º v 140º t u D C13) Na figura abaixo, AB = AC = BC = CD. Determi- 14) Na figura abaixo, AD = AC = BC e AC é a bis-ne o valor de x. setriz do ângulo BAD. Determine o valor de x. A A x 2xB C D E x B C D15) Na figura abaixo, determine a medida do ângulo x 16) (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Determine yem função de y. em função de x. 5y D y y x 2y x A B C17) Na figura abaixo mostre que vale a relação : 18) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles a + b = c + d. r mede 100º. Determinar a medida do ângulo agudo a formado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos c internos. b r // s d s19) Mostre que a soma das medidas dos ângulos 20) Na figura abaixo, determinar x em função de y e deexternos de um triângulo é 360º. z. e2 r x y r // s e1 z s e3 Jeca 13
  15. 15. 21) Na figura abaixo, o quadrado ABCD é cortado por 22) Na figura abaixo, determinar o valor da soma dasduas retas paralelas, r e s. Com relação aos ângulos medidas dos ângulos x, y, z, t e u.x e y podemos afirmar que :a) x = y y rb) x = -yc) x + y = 90º s A B zd) x - y = 90º x xe) x + y = 180º y t D C u23) Na figura abaixo, calcule o ângulo x, sendo y o triplo 24) (FUVEST-SP) No retângulo abaixo, qual o valorde z e t o sêxtuplo de z. em graus de x + y ? z 40º y x x y t 80º25) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo Â, 26) Na figura abaixo, o ângulo EAB mede 38º, ABCDdemonstre que vale a relação z - y = x - t. é um retângulo e AB é congruente a AE. A medida do A ângulo CBF é : D a) 38º A b) 27º c) 18º d) 19º e) 71º y z x t B D C C E F B27) Na figura abaixo, sendo AB // DE, determinar a 28) Determinar a medida do ângulo x, sabendo-se quesoma das medidas dos ângulos x, y e z. os triângulos ABE e CDE são isósceles e que o triângulo BCE é equilátero. A B A x y C x E z E D B C D Jeca 14
  16. 16. 29) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 30) Na figura abaixo, determine a soma das medidasdos ângulos x, y, z, t, u e v. dos ângulos x, y, z e t. x r x v y y u r // s z s t t z31) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 32) Um retângulo de papel é dobrado de forma que odos ângulos x, y, z e t. vértice D pertença ao lado BC, conforme a figura. Sendo EF a dobra feita, calcule a medida do ângulo x, y conhecendo a medida de 140º do ângulo assinalado. A’ 140º z A E B x t D’ x D F C33) Na figura, AM = AN, x > y e as reta MN e BC 34) Na figura abaixo, os ângulos ABC, ACB e CAB’interceptam-se em P. Mostre que o ângulo MPB é medem respectivamente 30º, 80º e 30º. Sendo AD uma A dobra de tal forma que o lado AB’ é simétrico do lado ABigual a x-y. em relação a AD, determine a medida do ângulo ADB. 2 A N M x y B C P D B C B’35) Na figura, sendo AB congruente a AC, AEcongruente a AD, calcule a medida do ângulo CDE,sabendo-se que BAD = 48º. A E B D C Jeca 15
  17. 17. Respostas desta aula.01) 21) ca) 43º b) 123º c) 107º d) 107º e) 49ºf) 46º g) 55º h) 55º i) 30º j) 49º 22) 540ºk) 55º l) 130º m) 43º n) 122º o) 39ºp) 119º q) 133º r) 10º/3 s) 71º t) 96º 23) 50ºu) 104º v) 46º x) 123º z) 108º 24) 130º02)a) 48º b) 51º c) 29º d) 112º e) 18º 25) demonstraçãof) 111º g) 42º h) 70º i) 40º/3 j) 45ºk) 90º l) 43º m) 14º n) 180º/7 o) 20º 26) dp) 68º q) 30º r) 15º s) 75º t) 60ºu) 120º v) 60º x) 150º z) 116º 27) 360º03) 143º, 37º e 143º 28) 45º04) 36º, 18º e 144º 29) 360º05) 20º, 60º, 80º e 60º 30) 180º06) 100º 31) 540º07) 33º 32) 65º08) 19º 33) demonstração09) 22º, 44º e 110º 34) 130º10) 50º, 60º e 70º 35) 24º11) 70º12) 270º13) 10º14) 36º15) x = 8y16) y = 3x17) demonstração18) 40º19) demonstração20) x = y - z Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 16
  18. 18. Geometria plana Aula 02 Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca Pontos notáveis de um triângulo. (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) Segmentos notáveis do triângulo. Mediana - É o segmento que une o vértice ao ponto médio do lado oposto. mediana altura Mediatriz - É a reta perpendicular ao lado do triângulo mediatriz pelo seu ponto médio. Bissetriz - É a semi-reta de origem no vértice que divide o ângulo em dois ângulos congruentes. M Altura - É a distância entre o vértice e a reta suporte bissetriz do lado oposto. ponto médio Todo triângulo tem: Pontos notáveis do triângulo 3 medianas B - baricentro 3 mediatrizes I - incentro 3 bissetrizes C - circuncentro 3 alturas O - ortocentroBaricentro (G). Incentro (I). É o ponto de encontro das 3 medianas do triângulo. É o ponto de encontro das 3 bissetrizes do triângulo.Propriedade. Propriedade. O baricentro divide cada mediana em 2 segmentos. O incentro é o centro da circunferência inscrita (inter-O segmento que contém o vértice é o dobro do segmen- na) no triângulo.to que contém o ponto médio do lado oposto. O incentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3(razão 2 : 1) lados do triângulo. Observação - As três medianas dividem o triângulooriginal em seis triângulos de mesma área. g A g S Área de cada triângulo AG = 2.GM 2x BG = 2.GN S S CG = 2.GP I P N G b S S r a b a x S S r - raio da circunferência inscrita. B M CCircuncentro (C). Ortocentro (O). É o ponto de encontro das 3 mediatrizes do triângulo. É o ponto de encontro das 3 alturas do triângulo. APropriedade. Propriedade. O circuncentro é o centro da circunferência circuns- Não tem.crita (externa) ao triângulo. O circuncentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3 A hAvértices do triângulo. hB mediatriz hA O hC C B A B h ponto médio B C C hC hA R hB O O hC R - raio da circunferência ortocentro B C circunscrita. Jeca 17
  19. 19. Observações. 3) Num triângulo isósceles, os quatro 4) No triângulo retângulo, o ortocen- ponto notáveis (BICO: baricentro, in- tro é o vértice do ângulo reto e o cir-1) O baricentro e o incentro sempre centro, circuncentro e ortocentro) es- cuncentro é o ponto médio da hipo-estão localizados no interior do tão alinhados. tenusa. medianatriângulo. mediatriz ortocentro bissetriz circuncentro2) O circuncentro e o ortocentro alturapodem estar localizados no exterior mediatrizdo triângulo. C mediana G R C R bissetriz I hipotenusa O altura Triângulo eqüilátero. (importante) Em todo triângulo eqüilátero, os r R quatro pontos notáveis (baricentro, R = 2r incentro, circuncentro e ortocentro) l r l h e estão localizados num único ponto. BICO h = 3r r r l - lado do triângulo eqüilátero. r - raio da circunferência inscrita. R - raio da circunferência circunscrita. l h - altura do triângulo.01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 10 cm, determinar :a) a altura do triângulo. Rb) o raio da circunferência inscrita no triângulo. l l hc) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. Od) o que o ponto O é do triângulo. r l02) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está 03) Na figura abaixo, a circunferência de centro O estáinscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BAO inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BOCmede 33º e que o ângulo ABC mede 56º, deter- mede 126º , encontre a medida do ângulo BAC.mine a medida do ângulo AOC. A A O O B C B C Jeca 18
  20. 20. 04) Na figura abaixo, o ponto I é o incentro do triângulo. Utilizando o quadriculado, traçar as três medianas, astrês mediatrizes, as três bissetrizes e as três alturas e determinar o baricentro, o circuncentro e o ortocentro dotriângulo. A I C B05) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.b) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.c) o lado do triângulo. R l l h r l06) Na figura abaixo, os pontos E, F e G são os pontos 07) Na figura abaixo, F é o ortocentro do triângulo ABC.médios dos lados do triângulo ABC. Se AB = 2x, Determine a medida do ângulo DFE sabendo que osAC = 2y, BC = 2z, AG = 3w, BE = 3k e FC = 3n, ângulos BAC e BCA medem, respectivamente, 58ºdetermine o perímetro do triângulo BDG, em função de e 70º.x, y, z, w, k e n. A A E F E F D B G C B C D Jeca 19
  21. 21. 08) Na figura abaixo, E é o ortocentro do triângulo 09) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e oequilátero ABC. Sabendo que CD = k, determine, em mapa da localização faz menção a três grandes árvoresfunção de k, as medidas dos segmentos CE, ED e do local. O tesouro foi enterrado no terceiro vértice deAE. um triângulo, onde o jatobá é o primeiro, a sibipiruna é o C segundo e a peroba é o ortocentro do triângulo. Como é possível localizar o tesouro no local ? Sibipiruna Peroba E Jatobá A D B 210) O triângulo ABC da figura tem área 120 cm . 11) No triângulo ABC abaixo, F, D e E são os pontosSendo BD = DE = EC e AF = FG = GE, avalie se as médios dos respectivos lados. Sendo 30º a medida doafirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). ângulo BCA, BC = 14 cm e AC = 12 cm, determine: a) a área do triângulo ABC; A b) a área do triângulo AFG; c) a área do quadrilátero BCAG. F A G B D C F E E G( ) G é o baricentro do triângulo ABC. 2( ) A área do triângulo AEC é 40 cm . B C 2 D( ) A área do triângulo BFG é 40 cm .12) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivas 13) A prefeitura de uma cidade mandou colocar, nacasas, sendo que as casa não são colineares e estão praça central, uma estátua em homenagem a Tiraden-localizadas na mesma fazenda. Eles desejam abrir um tes. Descubra, na planta a seguir, em que local essapoço de modo que ele fique à mesma distância das estátua deve ser colocada, sabendo que ela deverátrês casas. Supondo que a fazenda é “plana”, com ficar a uma mesma distância das três ruas queseus conhecimentos de geometria, que sugestão determinam a praça.poderia das a eles ? Justifique o seu raciocínio. 1 Rua a3 Ru Ru a2 Jeca 20
  22. 22. Respostas desta aula.01) 04)a) (5 3 / 2) cmb) (5 3 / 6) cmc) (5 3 / 3) cm Ad) Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro.02) 118º03) 72º G C I04) Desenho ao lado. O05)a) 1 cm B Cb) 2 cmc) 2 3 cm06) 2k + w + z07) 128º08) 2k / 3 , k / 3 e 2k / 3 09) Sibipiruna09) Desenho ao lado. Peroba10) F , V e F O11) 2 Jatobáa) 42 cm 2b) 7 cm 2c) 28 cm tesouro12) O poço deve localizar-se no circuncentro dotriângulo cujos vértices são as três casas.13) A estátua deve ser colocada no incentro dotriângulo formado pelas três ruas. Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 21
  23. 23. Geometria plana Pontos notáveis de um triângulo. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca Exercícios complementares da aula 02. (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP)01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é k, determinar :a) a altura do triângulo; Rb) o raio da circunferência inscrita no triângulo; k k hc) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo; Od) o que o ponto O é do triângulo. r k02) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita de um triânguloeqüilátero mede 5 cm, determinar : Ra) o raio da circunferência inscrita no triângulo;b) a altura do triângulo; l l h Oc) o lado do triângulo; rd) o perímetro do triângulo;e) o que o ponto O é do triângulo. l03) Na figura, AG e AF, dividem o ângulo BAC em três 04) (Unifesp) Numa circunferência de raio R > 0 eângulos congruentes. Da mesma forma, CD e CE, divi- centro O consideram-se, como na figura, os triângulosdem o ângulo ACB em três ângulos congruentes. equiláteros T1, inscrito, e T2, circunscrito. DetermineAssinale a alternativa correta. a razão entre a altura de T2 e a altura de T1. A D T2 P E S R Q T1 C B G F O Ra) P é incentro de algum triângulo construído na figura.b) Q é incentro de algum triângulo construído na figura.c) R é incentro de algum triângulo construído na figura.d) S é incentro de algum triângulo construído na figura.e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira. Jeca 22
  24. 24. 05) Na figura abaixo, os pontos M, N e P são médios 06) Na figura abaixo, o ponto I é o centro da circunfe-dos lados a que pertencem. Provar que G é o baricentro rência inscrita no triângulo ABC. Sendo DE paralelo ado triângulo ABC e que BG = 2.GN. BC, AB = 8 cm e AC = 11 cm, determinar o perímetro do A triângulo ADE. A M N G I D E B P C B C07) No triângulo ABC da figura, BC = 10 cm e M é o 08) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em C, osponto médio de BC. Sabendo que D e E são os pés segmentos AD e DB são congruentes e o ângulo CADdas alturas BD e CE, determine o valor de EM + DM. mede 65º. Determine a medida do ângulo BDC. A C D E B A D B M CRESOLUÇÃO - Todo triângulo retângulo pode ser inscrito emuma semi-circunferência.09) No triângulo ABC abaixo, ABC = 70º e ACB = 40º. 10) No triângulo ABC abaixo, D é ponto médio do la-Determine a medida do ângulo BOC, sabendo-se que o do AC e CE é a bissetriz do ângulo ACB. Determineponto O é o ortocentro do triângulo ABC. a medida do ângulo BFC. A A 40º O D E F B C B C11) Na figura abaixo, D é o centro da circunferência 12) (Fuvest) Um triângulo ABC, tem ângulos A = 40ºinscrita no triângulo retângulo ABC. Determine a me- e B = 50º. Qual é a medida do ângulo formado pelasdida do ângulo ADC. alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo ? a) 30º A b) 45º c) 60º d) 90º e) 120º D B C Jeca 23
  25. 25. 13) Considere o triângulo ABC da figura e assinale a 14) No triângulo ABC da figura abaixo, as medianasafirmativa falsa. A AD e BE são perpendiculares entre si. Sabendo que BC = 6 e AC = 8, determine a medida de AB. E A D F E B Ca) F é o ortocentro do DABC.b) A é o ortocentro do DFBC. B D Cc) Os circuncentros do DBDC e do DBEC coincidem.d) BF = 2.FE.e) O DABC é acutângulo.15) Na figura abaixo, o círculo inscrito no triângulo 16) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, noABC tem área S e os ângulos A e B medem 50º e triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o incentro do70º, respectivamente. Determine as áreas dos setores triângulo. Acirculares S1, S2 e S3, em função de S. B 0º 110º 12 S3 S1 D 130º S2 B C A C17) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no 18) Na figura, a circunferência de centro O estátriângulo ABC abaixo, sabendo que D é o circuncen- inscrita no setor circular de centro A, raio AB = 15 cm etro do triângulo. ângulo central BAC = 60º. Determine o raio da circun- A ferência. B O 13 A 0º 0º 12 D 110º B C C19) O triângulo ABC da figura é retângulo em A e os 20) No triângulo ABC da figura, BAC = 50º. Se P fortriângulos ABD, BCD e ACD são equivalentes (têm a o incentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPCmesma área). Sendo BC = 18 cm, determine a medida é x; no entanto, se P for o ortocentro do triângulodo segmento AD. ABC, a medida do ângulo BPC é y. Determine a razão entre x e y. A A A D B C P P B C B C Jeca 24
  26. 26. 21) Na figura, ABCD é um retângulo, M é ponto mé- 22) (UFMG) Na figura abaixo, AD = BD, ACD = 60º edio de AD e o triângulo BMC é equilátero. Determine o ângulo DAC é o dobro do ângulo DBA. Determine aa medida do segmento PM, sabendo que BC = 12 cm. razão AC / BC. A A M D P B D C B C23) No triângulo ABC ao lado, sendo M, N e P pontos 24) Na figura ao lado, O é o centro da circunferênciamédios dos respectivos lados e MR = 7 cm, NR = 6 cm inscrita no triângulo ABC que é retângulo em B. Sendoe AR = 10 cm, determinar : m(ACB) = 30º, determinar as medidas dos ângulos a,a) O que são os segmentos AP, BN e CM para o b, g e q e dizer o que a semirreta CO significa para otriângulo ABC. ângulo ACB.b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R. Ac) Quais as medidas dos segmentos CR, BR e PR. q A O g M N b a R B C B P C25) Na figura abaixo, as retas FD, ED e GD encon- 26) (UEM-PR) Em um plano a, a mediatriz de umtram-se no ponto D, e os pontos E, F e G são os segmeno de reta AB é a reta r que passa pelo pontopontos médios dos lados do triângulo ABC. Para o médio do segmento de reta AB e é perpendicular atriângulo ABC, dizer como se denomina o ponto D e o esse segmento. Assinale a alternativa incorreta.que é a reta FD. A a) Tomando um ponto P qualquer em r, a distância de P ao ponto A é igual à distância de P ao ponto B. b) A intersecção das mediatrizes de dois lados de um F E triângulo qualquer em a é o circuncentro do triângu- lo. D c) Qualquer ponto do plano a que não pertença à reta r não equidista dos extremos do segmento AB. d) As mediatrizes dos lados de um triângulo podem B C G se interceptar em três pontos distintos. e) A reta r é a única mediatriz do segmento de reta AB em a. Jeca 25
  27. 27. Respostas desta aula.01) 17) 55º, 65º e 60ºa) k 3 / 2b) k 3 / 6 18) 5 cmc) k 3 / 3d) BICO 19) 6 cm02) 20) 23 / 26a) (5 / 2) cmb) (15 / 2) cm 21) 4 cmc) 5 3 cmd) 15 3 cm 22) 1 / 2e) BICO 23)03) d a) medianas b) baricentro04) 2 c) 14 cm, 12 cm e 5 cm05) 24) 15º, 45º, 120º, 30º e bissetriz A S é ponto médio de BG R é ponto médio de CG 25) circuncentro e mediatriz MNRS é um paralelogramo Portando, SG = GN = BS 26) d M N Razão 2 : 1 G S RB P C06) 19 cm07) 10 cm08) 130º09) 110º10) 105º11) 135º12) d13) d14) 2 515) 23 S / 7216) 80º, 40º e 60º Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 26
  28. 28. Geometria plana Aula 03 Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca Congruência de triângulos. (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) A D Dois triângulos são congruentes se têm os lados dois a dois ordenadamente congruentes e os ângu- los dois a dois ordenadamente congruentes. A D B E DABC DDEF C F AB DE B C E F AC DF BC EF Casos de congruência. Caso especial (CE). Observação.1) L.A.L. Dois triângulos retângulos são A posição de cada elemento do2) A.L.A. congruentes se têm as hipotenusas triângulo (lado ou ângulo) no dese-3)L.L.L. congruentes e um cateto de um nho é muito importante na caracteri-4) L.A.AO triângulo é congruente a um cateto zação do caso de congruência.5) Caso especial (CE) do outro triângulo L.A.L. - dois lados e o ângulo entreOnde: eles.L - lado. A.L.A. - dois ângulos e o lado entreA - ângulo junto ao lado. eles.AO - ângulo oposto ao lado.01) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e os segmentos AD e CDsão congruentes. Prove que os triângulos ABD e CBD são congruentes. A B D C02) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e BD é a bissetriz do ângu-lo ABC. Prove que os ângulos ABD e CBD são congruentes. A B D C03) Na figura ao lado, os segmentos AB e BC são congruentes e os segmen-tos AD e CD também. Prove que os ângulos A e C são congruentes. A B D C Jeca 27
  29. 29. 04) (importante) Na figura abaixo, AB é uma corda da circunferência de centro C. Provar que se o raio CD éperpendicular à corda AB, então E é ponto médio de AB. C A E D B05) (Importante) Provar que em todo triângulo isósceles a altura relativa à base também é bissetriz, mediana emediatriz. A B H C06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio,provar que qualquer ponto da mediatriz é eqüidistante das extremidades A e B do segmento. P A B M mediatriz07) Dadas as retas r e s, e os pontos O, M e P, tal que M seja ponto médio do segmento OP, determine ospontos A pertencente a r e B pertencente a s, de modo que o ponto M também seja ponto médio dosegmento AB. r M P O s Jeca 28

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