Unidad6. identidades y ecuaciones trigonometricas gonzalo revelo pabon
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Unidad6. identidades y ecuaciones trigonometricas gonzalo revelo pabon

on

  • 6,655 views

 

Statistics

Views

Total Views
6,655
Views on SlideShare
6,655
Embed Views
0

Actions

Likes
1
Downloads
100
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Unidad6. identidades y ecuaciones trigonometricas gonzalo revelo pabon Unidad6. identidades y ecuaciones trigonometricas gonzalo revelo pabon Document Transcript

  • Luis Gonzalo Revelo Pabón 57 Dpto. de Matemáticas - GorettiLA IGUALDAD: son expresiones numéricas o algebraicas que se encuentran en el primero y segundomiembro de una igualdad, separadas por el signo de igualdad (=). Donde la igualdad puede ser falsa overdadera.La igualdad es numérica si solo tiene números y la igualdad es algebraica (o literal) si tiene números yletras.Por ejemplo, son Igualdades Numéricas y Algebraicas 1. 3+2 = 5 Es una expresión numérica VERDADERA. 2 2 2 2. 4 -3 =1 Es una expresión numérica FALSA 2 2 2 3. (a+b) =a +2ab+b Es expresión algebraica VERDADERA, para cualquier valor numérico, que tome las variables a y b. 4. Es expresión algebraica VERDADERA, solamente se cumple para x =21 y para to- dos los valores que tome x diferentes a 21, la expresión algebraica es FALSA.Por tanto hay dos tipos de igualdades a saber: La Identidad algebraica y La Ecuación algebraica.LA IDENTIDAD ALGEBRAICA: Es una igualdad que se cumple para todos los valores que tome la(s)variable(s).Ejemplo 1: La igualdad algebraica es una identidad, ya que es verdaderapara todos los valores que tome x.Ejemplo 2: La igualdad algebraica es una identidad, ya que es verdadera paratodos los valores que tome x, y.Ejemplo 3: La igualdad algebraica es una identidad, ya que es verdadera paratodos los valores que tome x, y.LA ECUACION ALGEBRAICA: Es una igualdad que se cumple solamente para algunos valores quetome la(s) variable(s).Ejemplo 1: La igualdad algebraica 2x = 8 es una ecuación, ya que solamente es válida para x = 4Ejemplo 2: La igualdad algebraica 4x – 3 = 2x +1 es una ecuación ya que solamente se cumple para x = 2Ejemplo 3: La igualdad algebraica 4 = 2x(x – 1), es una ecuación, ya que se cumple solamente cuando lavariable x toma los valores de x = 2 y x = – 1IDENTIDAD TRIGONOMETRICAUna identidad trigonométrica es una igualdad entre dos expresiones que contienen funciones trigonomé-tricas y es válida o verdadera para todos los valores permisibles que tome o se le asigne a la variableangular.Ejemplo 1: La igualdad es una Identidad trigonométrica, ya que se cumple para todoslos valores que tome el ángulo A.Ejemplo 2: La igualdad ⁄ , es una identidad trigonométrica, ya que es verdadera paratodos los valores que tome el ángulo A.Ejemplo 3: La igualdad ⁄ , es una identidad trigonométrica, ya que es verdadera para to-dos los valores que tome el ángulo A. Existen tres tipos de identidades llamadas Identidades fundamentales a saber: Identidades trigonométri-cas por Cociente, Identidades trigonométricas Reciprocas e Identidades trigonométricas Pitagóricas.RAZONES TRIGONOMETRICAS ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄
  • Luis Gonzalo Revelo Pabón 58 Dpto. de Matemáticas - GorettiIDENTIDADES TRIGONOMETRICAS POR COCIENTE:Denominamos así a las siguientes identidades porque cada una de ellas representa la divicion o cocienteentre dos razones trigonometricas. 1. Tang A = 2. Cotag A =IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS RECIPROCASLas siguientes identidades se cumplen o son verdaderas para cualquier valor que se le asigne al ángulode la función trigonométrica, con la única excepción de que el denominador no debe ser cero. Las siguien-tes expresiones se denominan identidades recíprocas: 1. Sen A = 4. Cotag A = 2. Cos A = 5. Sect A = 3. Tang A = 6. Cosec A =Demostración:1.- Por definición de razón trigonométrica del Sen A, es igual a: Sen A =El reciproco o inverso de Sen A, será igual a: = Cosec ADe igual manera se efectúa, para demostrar a las demás identidades trigonométricas reciprocas.IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PITAGORICASSe denominan identidades Pitagóricas, porque son el resultado de la aplicación del teorema de Pitagóri-cas con las razones trigonométricas. 1. 2. 3.Demostración: De acuerdo al teorema de Pitágoras se tiene que: Al dividir cada uno de los términos de la ecuación entre Se obtiene que: ( ) ( )
  • Luis Gonzalo Revelo Pabón 59 Dpto. de Matemáticas - GorettiPero:Al remplazar en la ecuación anterior se obtiene que: ……..(1)Ahora, al dividir cada uno de los términos de la ecuación pitagórica (1), entre se obtiene que:De igual manera al dividir cada uno de los términos de la ecuación pitagórica (1), entre se obtieneque:EJERCICIOS CON LAS IDENTIDADES TRIGONOMETRICASCon las identidades trigonométricas fundamentales se puede realizar las siguientes tipos de ejercicios: 1. Tipo Simplificación. 2. Tipo Demostración.1.- TIPO SIMPLIFICACION: En este tipo de ejercicios se busca reducir hasta la más mínima expresión, ala expresión trigonométrica que se haya planteado.Para la simplificación o reducción de la expresión trigonométrica que se haya plantado o dado, esta sim-plificación se la obtiene mediante la ayuda de las identidades trigonométricas fundamentales (Identidadestrigonométricas por cociente, inversas y Pitagóricas) y con la realización de factorizaciones, como de laelaboración de las operaciones que se encuentran en la expresión.Ejemplos: Efectuar las operaciones indicadas, en cada de las siguientes expresiones:1.2.3.4.5.6.Solución1. =2. =3. = .4.5.6.Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones1.2.3.4.5.Solución:1.2.3.4.5.
  • Luis Gonzalo Revelo Pabón 60 Dpto. de Matemáticas - GorettiEjemplos: Simplificar cada una de las siguientes expresiones, hasta la más mínima expresión:1.2.3.4.5.6.7. +Solución:1. ⁄2. ⁄ ⁄ ⁄3. = ⁄4. ⁄5.6. ⁄ ⁄7. + =TALLERSimplificar cada una de las siguientes expresiones, hasta la más mínima expresión:1.2.3.4.5.6.7.8.9. * +10.2.- TIPO DEMOSTRACION. Para demostrar (verificar) si una Identidad Trigonométrica es verdadera, seelige a uno cualquiera de los dos miembros de la igualdad y por medio de operaciones algebraicas y de laaplicación en cada paso que se efectué de las Identidades inversas, Identidades por cociente como delas Identidades pitagóricas al miembro que se haya elegido, hasta llegar a demostrar que el miembroelegido es igual al otro miembro de la igualdad.
  • Luis Gonzalo Revelo Pabón 61 Dpto. de Matemáticas - GorettiEn general, se inicia con el miembro de la igualdad más complicado.Para tener éxito en la demostración o verificación de la Identidad Trigonométrica se requiere tener:  Una completa familiaridad con la Identidades fundamentales  Una completa familiaridad con los procedimientos de factorización, y operaciones con fracciona- rios, etc.  Practicar.Ejemplos: Demostrar las siguientes Identidades.1.2.3.4.5.Solución:1.Para demostrar esta identidad elegimos el segundo miembro de la igualdad. Así:2.Para verificar esta identidad elegimos el segundo miembro de la igualdad. Así: =3.Para demostrar esta identidad elegimos el segundo miembro de la igualdad. Así:4.
  • Luis Gonzalo Revelo Pabón 62 Dpto. de Matemáticas - GorettiPara demostrar esta identidad elegimos el primer miembro de la igualdad. Así: Dividimos cada termino entre Cos A5.Para demostrar esta identidad elegimos el primer miembro de la igualdad. Así:TALLERDemostrar las siguientes Identidades.1.2.3. ⁄4.5.6.7.8.
  • Luis Gonzalo Revelo Pabón 63 Dpto. de Matemáticas - Goretti9. 110.11.12.13.LA ECUACION TRIGONOMETRICA: Es una igualdad que contiene funciones trigonométricas y es ver-dadera solamente para algunos valores que tome la variable angular.Resolver una ecuación trigonométrica, es determinar los valores del ángulo desconocido de una funcióntrigonométrica.ECUACION TRIGONOMETRICA DE PRIMER GRADO Y SEGUNDO GRADO.El método para resolver una ecuación trigonométrica con una incógnita de segundo grado consiste enreducirla a una ecuación algebraica, tomando a la funci ón trigonométrica como una incógnita auxiliar.Luego se efectúa los siguientes pasos: A) Se elige como incógnita a una letra cualquiera del abecedario, a la función trigonométrica cuyo ángulo se desea encontrar. Donde cada una de las raíces aceptadas, tiene una ecuación trigonométrica de las siguientes formas: B) Se remplaza en la ecuación donde se encuentra la función trigonométrica por la letra elegida C) Por medio de los procedimientos ordinarios del algebra se resuelve la ecuación algebraica, con relación a la incógnita auxiliar y se analizan las raíces teniendo en cuenta las condiciones de la magnitud a las cuales está sujeta la función trigonométrica. D) En este estudio únicamente se ofrecerán soluciones particulares que oscilen entre 0º grados y 360º grados. (Si se buscan todas las soluciones se tiene en cuenta (180º ) o (360º ), de cada resultado obtenido dependiendo del cuadrante donde se encuentre el ángulo y el signo que le corresponde a función trigonométrica en cada uno de los cuadrantes. Ahora sí el ángulo es negativo para convertirlo en un ángulo positivo aplicamos la expresión 360º+ (-Angulo negativo))Ejemplos: Determinar los valores del ángulo x entre 0º y 360º que satisfacen cada una de las siguien-tes ecuaciones:1.2.3.4. √5.Solución:1...La función seno es positiva en el primero y segundo cuadrante, por lo tanto el ángulo del segundo cua-drante es igual a 180º- 30º = 150º. Respuesta: 30º y 150º2...La función coseno es positiva en el primero y cuarto cuadrante, por lo tanto el ángulo en cuarto cuadrantees igual a 360º - 0º = 360º. Respuesta 0º y 360º3...
  • Luis Gonzalo Revelo Pabón 64 Dpto. de Matemáticas - GorettiComo el ángulo negativo lo convertimos en un ángulo positivo mediante la ecuación: 360º + (-n), rempla-zamos para obtener: 360º+ (-13,562151º) = 346,437849ºAhora:La función seno es negativa en el tercero y cuarto cuadrante, por lo tanto el ángulo del tercer cuadrantees igual a 180º+ 13,562151º = 193,562151º. Respuesta: 346,437849º y 193,562151º4. √. √ ..El ángulo negativo lo convertimos a un ángulo positivo mediante la expresión: 360º+(-n), remplazamospara obtener: 360º - 79,97501214º = 280,0249879ºAhora, la función tangente es negativa en el segundo y cuarto cuadrante, por lo tanto el ángulo en el se-gundo cuadrante es igual a 180º - 79,97501214º = 100,0249879º. Respuesta: 280,0249879º y100,0249879º.5...La función coseno es negativa en el segundo y tercer cuadrante, por lo tanto el ángulo del tercer cuadran-te es igual a 180º+ 60º = 240º. Respuesta: 120º y 240ºEjemplos: Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas.1.2.3.4.5.6.Solución:1.. ⁄.. √... a) ... Convertimos a un ángulo positivo..Ahora la función seno sus valores son negativos en tercero y cuarto cuadrante. Por lo tanto en el cuartocuadrante el ángulo que satisface a esta ecuación es: b) . Esta ecuación No tiene solución, porque el valor máximo de la función seno esRespuesta: X=321,8275º y 218,1724º2..
  • Luis Gonzalo Revelo Pabón 65 Dpto. de Matemáticas - Goretti.. √... a) ... Convertimos a un ángulo positivo.. b) . .. Respuesta: A= 30º y 270º3.... √.. a) ... . b) . .. Respuesta: X= 0º y 60º4.... ... √.. a) ...
  • Luis Gonzalo Revelo Pabón 66 Dpto. de Matemáticas - Goretti b).Esta ecuación No tiene solución, porque el valor máximo de la función seno es :Respuesta: X=30º5.. 3( ) +5. 3( ) +5..... √. = a) ⁄ . (3) . (3) Esta ecuación no tiene solución porque, porque el valor máximo que toma la funcióncoseno es . b) ⁄ . (0,5) . (0,5). . Ahora la función coseno tiene un valor positivo, en el primero y cuarto cuadrante. Por lo tanto el ánguloque satisface esta ecuación en el cuarto cuadrante es igual a 360º , remplazando se obtiene:360º-60º= 300ºRespuesta: Las soluciones de esta ecuación trigonométrica son: 60º y 300º6... √. = a) ⁄ . (2) . (2) Esta ecuación no tiene solución porque, porque el valor máximo que toma la funcióncoseno es . b) ⁄ . (1) . (1)
  • Luis Gonzalo Revelo Pabón 67 Dpto. de Matemáticas - Goretti. . y 360ºRespuesta: Las soluciones de esta ecuación trigonométrica son: 0º y 360ºTALLER.Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas.1. Rta: 60º y 300º2. Rta: 210º y 330º3. Rta: 45º y 225º4. √ ⁄ Rta: 65º5. . Rta: 35º6. Rta: 17º7. Rta:0º, 90º, 360º8. Rta: 90º9. Rta: 45º, 225º10. √ Rta: 60º, 120º11. Rta: 90º,210º,330º12. Rta: 30º, 150º, 210º, 330º13. Rta:30º, 150º14. Rta: 210º, 270º, 330º15. Rta: 0º, 270º16. Rta: 90º, 180º, 270º17. Rta: 114,46º y 245,54º