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Unidad5 reduccion de angulos al 1 cuadrante gonzalo revelo pabon

  1. 1. Luis Gonzalo Revelo Pabón 45 Dpto. de Matemáticas - GorettiCIRCULO TRIGONOMETRICOSe llama círculo trigonométrico, al círculo que tiene como centro al origen del plano cartesiano y la longi-tud de su radio es igual a uno.En el círculo trigonométrico la intersección o cruce de los dos ejes dividen al plano cartesiano en cuatrocuadrantes, cuyas razones trigonométricas del Seno y Coseno, en cada uno de los cuatro cuadrantes, semuestran en los siguientes gráficos. 1 Cuadrante 2 Cuadrante 3 Cuadrante 4 Cuadrante Sen A = Sen A = Sen A = Sen A = Cos A = Cos A = Cos A = Cos A =SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS: Seno y Coseno
  2. 2. Luis Gonzalo Revelo Pabón 46 Dpto. de Matemáticas - GorettiAl analizar el desplazamiento del radio vector en cada uno de los cuatro cuadrantes, se deduce que elsigno de las funciones trigonométricas son las siguientes:Función 1 Cuadrante 2 Cuadrante 3 Cuadrante 4 CuadranteSeno A + + - -Coseno A + - - +Tangente A + - + -Ejemplo:El Sen 30° es positivo y el Cos 30° es positivo.El Sen 135° es positivo y el Cos 135° es negativo.El Sen 225° es negativo y el Cos 225° es negativo.El Sen 315° es negativo y el Cos 315° es positivo.VALORES DE LOS ANGULOS CUADRANTALESFunción 0º 90º 180º 270º 360ºSeno 0 1 0 -1 0Coseno 1 0 -1 0 1Tangente 0 0 0RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLESPor definición se tiene que: La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°.CASO 1: Si a un cuadrado cuya longitud de sus lados es igual a la unidad (1), se traza una diagonal,entonces observamos que se genera dos triángulos rectángulos, con un ángulo de 90° y dos ángulos de45°, en cada uno de ellos.Caso 2: Si a un triángulo equilátero cuya longitud de sus lados es igual a dos (2), entonces sus tres ángu-los tienen una magnitud de 60°. Ahora al trazar la altura del triángulo de uno de sus vértices, da origende dos triángulos rectángulos, donde cada uno de los triángulos tiene un ángulo de 90°, uno de 60° y otrode 30°. A los ángulos de 30°, 45° y 60° se les llama ángulos notables.CASO 1: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ÁNGULO DE 45°Para encontrar las funciones trigonométricas de un ángulo de 45°, se utiliza como referencia un cuadradode lado igual a uno. Así:Al cuadrado de la figura se traza una diagonal, de tal manera que el cuadrado queda dividido en dostriángulos rectángulos, donde los valores de los catetos es igual a 1, y el valor de la hipotenusa es igual a√ , cuyo valor es obtenido aplicando el teorema de Pitágoras así: √
  3. 3. Luis Gonzalo Revelo Pabón 47 Dpto. de Matemáticas - GorettiDe esta manera, encontramos las funciones trigonométricas para el ángulo de 45°. √ √ √ √ Sen 45º = Cos 45º = Tag 45º = √ √ √ √ √ √CASO 2: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS DE 30° Y 60°Para hallar las funciones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60° grados, tomamos un triángulo equi-látero, cuyos lados tienen una longitud igual de 2 unidades.Ahora, tomemos como punto de referencia al triángulo equilátero DBC, y desde el ángulo C que tieneuna magnitud angular de 60º grados, bajamos una bisectriz y observamos que el ángulo C se divide endos ángulos iguales de 30º grados cada uno y el triángulo equilátero DBC, se ha dividido en dos triángu-los rectángulos siendo uno de ellos el triángulo ABC, cuya altura de este triángulo es ̅̅̅̅.Para encontrar las funciones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60° (ángulos A y B), en el triánguloABC, es necesario en primer lugar encontrar el valor de la altura ̅̅̅̅ del triángulo rectángulo, ya que lodesconocemos. Para ello aplicamos el teorema de Pitágoras, así: √Ahora, como ya conocemos los valores de los catetos y de la hipotenusa del triángulo ABC, entonces sípodemos encontrar los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de 30º y 60º, así: √ √ √ Sen 30º = Cos 30º Tag 30º = √ √ √ √ √ Sen 60º = Cos 60º = Tag 60º = √Resumiendo en un cuadro general las funciones trigonométricas para los Ángulos Notables de 30°, 45°y 60°, tenemos: Función 30º 45º 60º Seno √ √ Coseno √ √ √ Tangente √
  4. 4. Luis Gonzalo Revelo Pabón 48 Dpto. de Matemáticas - GorettiCOFUNCION: Es una función trigonométrica donde a los ángulos de 90º grados y 270º grados al aumen-tarles o disminuirles un ángulo A, es decir (90º , entonces la función trigonométrica essustituida por otra función trigonométrica. Así:FUNCION Seno Coseno Tangente Cotangente Secante CosecanteCOFUNCION coseno Seno Cotangente Tangente Cosecante SecanteREDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE.Dado un ángulo (d), que se encuentre ubicado en el segundo, tercero o cuarto cuadrante del plano carte-siano, es posible encontrar un ángulo (A), que se encuentra en el primer cuadrante, de tal manera quelas razones trigonométricas para los dos ángulos (d) y (A) sean iguales.1 CASO: REDUCCION DE ANGULOS DEL SEGUNDO CUADRANTE AL PRIMERO.Parte 1: “Si nos dan un ángulo (d), que se encuentra ubicado en el segundo cuadrante de un plano car-tesiano, entonces el ángulo dado (d) es igual, a 90º grados más un ángulo (A) que se encuentra en elprimer cuadrante”, es decir: d = 90º +A, entonces el ángulo del primer cuadrante será igual a:A = d – 90ºPor lo tanto, para encontrar las funciones trigonométricas de un ángulo dado (d), que se ubica en el se-gundo cuadrante de un plano cartesiano, para convertirlo a un ángulo (A) que está ubicado en el primercuadrante, se debe aplicar las siguientes ecuaciones:Sen (d) = Sen (90º + A) = Cos ACos (d) = Cos (90º + A) = - Sen ATang (d) = tang (90º + A) = - Cotag ACotag (d) = Cotag (90º + A) = - Tang ANota:Tang (d) = = - Cotag ACotag (d) = = - tang AParte 2: “Si nos dan un ángulo (d), que se encuentra ubicado en el segundo cuadrante de un plano car-tesiano, entonces el ángulo dado (d) es igual a 180º menos el ángulo (A) del primer cuadrante”, es decird= 180º - A, entonces el ángulo del primer cuadrante será igual a: A = 180º- d
  5. 5. Luis Gonzalo Revelo Pabón 49 Dpto. de Matemáticas - GorettiPor lo tanto, para encontrar las funciones trigonométricas de un ángulo dado (d), que se halla en el se-gundo cuadrante de un plano cartesiano, para convertirlo a un ángulo (A) que está en el primer cuadran-te, se debe aplicar las siguientes ecuaciones:Sen (d) = Sen (180º - A) = Sen ACos (d) = Cos (180º - A) = - Cos ATang (d) = Tang (180º - A) = - tang ACotag (d) = Cotag (180º - A) = - Cotag A.Nota:Tang (d) = = - tang ACotag (d) = = - Cotag AEjemplos:Determine las razones trigonométricas seno, coseno, tangente y cotangente, para los ángulos de a) 120º,b) 135º. a) Solución para el ángulo de 120ºPrimera forma de resolverlo:El ángulo dado es d= 120º pero d = 90º +A 120º = 90º +A, entonces A = 120º - 90º = 30ºSen (d) = Sen (90º + A) = Cos A remplazamosSen 120º = Sen (90º + 30º) = Cos 30º =0, 8660Cos (d) = Cos (90º + A) =- Sen A remplazamosCos 120º = Cos (90º +30º) = - Sen 30º = - 0,5Tang (d) = tang (90º + A) = - Cotag A remplazamosTang 120º = tang (90º+30º) = - Cotag 30º = - 1,732Cotag (d) = Cotag (90º + A) = - Tang A remplazamosCotag 120º = Cotag (90º +30º) = - Tang 30º = - 0,5773Segunda forma de resolverloEl ángulo dado es d= 120º pero d = 180º - A 120º = 180º - A, entonces A = 180º - 120º = 60ºSen (d) = Sen (180º - A) = Sen A remplazamosSen 120º = Sen (180º - 60º) = Sen 60º =0,8660Cos (d) = Cos (180º - A) = - Cos A remplazamosCos 120º = Cos (180º - 60º) = - Cos 60º = -0,5Tang (d) = Tang (180º- A) = - tang A remplazamosTang 120º = Tang (180º - 60º) = - tang 60 = - 1,7320Cotag (d) = Cotag (180º - A) = - Cotag A remplazamosCotag 120º = Cotag (180º - 60º) = - Cotag 60º = -0,5773
  6. 6. Luis Gonzalo Revelo Pabón 50 Dpto. de Matemáticas - Goretti b) Solución para el ángulo de 135ºPrimera forma de resolverlo:El ángulo dado es d= 135º pero d = 90º +A 135º = 90º +A, entonces A = 135º - 90º = 45ºSen (d) = Sen (90º + A) = Cos A remplazamosSen 135º = Sen (90º + 45º) = Cos 45º = 0,7071Cos (d) = Cos (90º + A) = - Sen A remplazamosCos 135º = Cos (90º +45º) = - Sen 45º = - 0,7071Tang (d) = tang (90º + A) = - Cotag A remplazamosTang 135º = tang (90º+45º) = - Cotag 45º = - 1Cotag (d) = Cotag (90º + A) = - Tang A remplazamosCotag 135º = Cotag (90º +45º) = - Tang 45º = - 1Segunda forma de resolverloEl ángulo dado es d= 135º pero d = 180º - A 135º = 180º - A, entonces A = 180º - 135º = 45ºSen (d) = Sen (180º - A) = Sen A remplazamosSen 135º = Sen (180º - 45º) = Sen 45º = 0,7071Cos (d) = Cos (180º- A) = - Cos A remplazamosCos 135º = Cos (180º - 45º) = - Cos 45º = - 0,7071Tang (d) = Tang (180º - A) = - tang A remplazamosTang 135º = Tang (180º - 45º) = - tang 45º = -1Cotag (d) = Cotag (180º - A) = - Cotag A remplazamosCotag 135º = Cotag (180º - 45º) = - Cotag 45º = -12 CASO: REDUCCION DE ANGULOS DEL TERCER CUADRANTE AL PRIMERO.Parte 1: “Si nos dan un ángulo (d), que se encuentra ubicado en el tercer cuadrante de un plano carte-siano, entonces el ángulo dado (d) es igual, a 180º más un ángulo (A) que se encuentra en el primercuadrante”, es decir: d = 180º +A, entonces el ángulo del primer cuadrante será igual a: A = d – 180ºPor lo tanto, para encontrar las funciones trigonométricas de un ángulo dado (d), que se ubica en el ter-cer cuadrante de un plano cartesiano, para convertirlo a un ángulo (A) que está en el primer cuadrante,se debe aplicar las siguientes ecuaciones:
  7. 7. Luis Gonzalo Revelo Pabón 51 Dpto. de Matemáticas - GorettiSen (d) = Sen (180º + A) = - Sen ACos (d) = Cos (180º + A) = - Cos ATang (d) = tang (180º + A) = tang ACotag (d) = Cotag (180º + A) = Cotag ANota:Tang (d) = = Tag ACotag (d) = = Cotag AParte 2: “Si nos dan un ángulo (d), que se encuentra ubicado en el tercer cuadrante de un plano carte-siano, entonces el ángulo dado (d) es igual a 270º menos el ángulo (A) del primer cuadrante”, es decird= 270º - A, entonces el ángulo del primer cuadrante será igual a: A = 270º- dPor lo tanto, para encontrar las funciones trigonométricas de un ángulo dado (d), que se ubica en el ter-cer cuadrante de un plano cartesiano, para convertirlo a un ángulo (A) que está en el primer cuadrante,se debe aplicar las siguientes ecuaciones:Sen (d) = Sen (270º - A) = - Cos ACos (d) = Cos (270º - A) = - Sen ATang (d) = Tang (270º - A) = Cotag ACotag (d) = Cotag (270º - A) = Tang A.Nota:Tang (d) = = Cotag ACotag (d) = = tag AEjemplos:Determine las razones trigonométricas seno, coseno, tangente y cotangente, para los ángulos de a) 192º,b) 255º. a) Solución para el ángulo de 192ºPrimera forma de resolverlo:El ángulo dado es d= 192º pero d = 180º +A 192º = 180º +A, entonces A = 192º - 180º = 12ºSen (d) = Sen (180º + A) = - Sen A remplazamosSen 192º = Sen (180º + 12º) = - Sen 12º = -0,2079
  8. 8. Luis Gonzalo Revelo Pabón 52 Dpto. de Matemáticas - GorettiCos (d) = Cos (180º + A) = - Cos A remplazamosCos 192º = Cos (180º + 12º) = - Cos 12º = -0,9781Tang (d) = tang (180º + A) = tang A remplazamosTang 192º = tang (180º + 12º) = tang 12º = 0,2125Cotag (d) = Cotag (180º + A) = Cotag A remplazamosCotag 192º = Cotag (180º + 12º) = Cotag 12º = 4,7046Segunda forma de resolverloEl ángulo dado es d= 192º pero d = 270º - A 192º = 270º - A, entonces A = 270º - 192º = 78ºSen (d) = Sen (270º- A) = - Cos A remplazamosSen 192º = Sen (270º - 78º) = - Cos 78º = -0,2079Cos (d) = Cos (270º - A) = - Sen A remplazamosCos 192º = Cos (270º - 78º) = - Sen 78º= -0,9781Tang (d) = Tang (270º- A) = Cotag A remplazamosTang 192º = Tang (270º - 78º) = Cotag 78º= 0,2125Cotag (d) = Cotag (270º - A) = Tang A. remplazamosCotag 192º = Cotag (270º - 78º) = Tang 78º= 4,70463 CASO: REDUCCION DE ANGULOS DEL CUARTO CUADRANTE AL PRIMERO.Parte 1: “Si nos dan un ángulo (d), que se encuentra ubicado en el cuarto cuadrante de un plano carte-siano, entonces el ángulo dado (d) es igual, a 270º más un ángulo (A) que se encuentra en el primercuadrante”, es decir: d = 270º +A, entonces el ángulo del primer cuadrante será igual a:A = d – 270ºPor lo tanto, para encontrar las funciones trigonométricas de un ángulo dado (d), que se halla en el cuartocuadrante de un plano cartesiano, para convertirlo a un ángulo (A) que está en el primer cuadrante, sedebe aplicar las siguientes ecuaciones:Sen (d) = Sen (270º + A) = - Cos ACos (d) = Cos (270º + A) = Sen ATang (d) = tang (270º + A) = - Cotag ACotag (d) = Cotag (270º + A) = - Tang AParte 2: “Si nos dan un ángulo (d), que se encuentra ubicado en el cuarto cuadrante de un plano carte-siano, entonces el ángulo dado (d) es igual a 360º menos el ángulo (A) del primer cuadrante”, es decird= 360º - A, entonces el ángulo del primer cuadrante será igual a: A = 360º- d
  9. 9. Luis Gonzalo Revelo Pabón 53 Dpto. de Matemáticas - GorettiPor lo tanto, para encontrar las funciones trigonométricas de un ángulo dado (d), que se halla en el cuartocuadrante de un plano cartesiano, para convertirlo a un ángulo (A) que está en el primer cuadrante, sedebe aplicar las siguientes ecuaciones:Sen (d) = Sen (360º - A) = - Sen ACos (d) = Cos (360º - A) = Cos ATang (d) = Tang (360º - A) = - Tang ACotag (d) = Cotag (360º - A) = - Cotag A.Nota:Tang (d) = = - Tag ACotag (d) = = - tag AEjemplos:Determine las razones trigonométricas seno, coseno, tangente y cotangente, para los ángulos de a) 349º,b) 295º. a) Solución para el ángulo de 349ºPrimera forma de resolverlo:El ángulo dado es d= 349º pero d = 270º +A 349º = 270º +A, entonces A = 349º - 270º = 79ºSen (d) = Sen (270º + A) =- Cos A remplazamosSen 349º = Sen (270º + 79º) = - Cos 79º = -0,1908Cos (d) = Cos (270º + A) = Sen A remplazamosCos 349º = Cos (270º + 79º) = Sen 79º= 0,9816Tang (d) = tang (270º + A) = - Cotag A remplazamosTang 349º = tang (270º + 79º) = - Cotag 79º = -0,1943Cotag (d) = Cotag (270º + A) = - Tang A remplazamosCotag 349º = Cotag (270º + 79º) = - Tang 79º = -5,1445Segunda forma de resolverloEl ángulo dado es d= 349º pero d = 360º - A 349º = 360º - A, entonces A = 360º - 349º = 11ºSen (d) = Sen (360º - A) = - Sen A remplazamosSen 349º = Sen (360º - 11º) = - Sen 11º= -0,1908
  10. 10. Luis Gonzalo Revelo Pabón 54 Dpto. de Matemáticas - GorettiCos (d) = Cos (360º - A) = Cos A remplazamosCos 349º = Cos (360º -11º) = Cos 11º= 0,9816Tang (d) = Tang (360º - A) = - Tang A remplazamosTang 349º = Tang (360º - 11º) = - Tang 11º= -0,1943Cotag (d) = Cotag (360º - A) = - Cotag A. remplazamosCotag 349º = Cotag (360º - 11º) = - Cotag 11º= -5,1445.TALLERI.- Encontrar el valor de cada una de las siguientes expresiones:1) Sen 30º + tan 45º2) Cos 45º + Cos 60º3) Sen 30º Cos 60º + Cos 30º Sen 60º4) Cos 30º Cos 60º - Sen 30º Sen 60º5)6) √ √Respuestas: 1) 3/2 2) 3) 1 4) 0 5) 6) 1.II.- Expresar en dos formas diferentes, cada una de las siguientes funciones trigonométricas:1) Sen 130º 2) Cos 155º 3) tang 162º 4) Cotag 135 5) Sen 110º6) Sen 200º 7) Cos 210º 8) tang 255º 9) Cotag 274º 10) Cos 181º11) Cos 275 12) Sen 345º 13) Tang 284º 14) Cotag 305º 15)Sen 300º.III.- Encontrar los valores exactos del seno, del coseno, y de la tangente de los siguientes ángulos.a) 120º b) 210º c) 315º d) 215º e) 133ºIV.- Encontrar el valor de las siguientes funciones trigonométricas: a) Sen 125º14´ b) Cos 169º 40´ c) tang200º 23´ d) Sen 341º 52´REDUCCION DE UN ANGULO MAYOR A 360º AL PRIMER CUADRANTE.Cuando un ángulo dado (d) es mayor a 360º grados, entonces para reducirlo al primer cuadrante se efec-túa los siguientes pasos:1.- Se divide al ángulo dado (d) entre 360º grados, entonces el ángulo dado (d) será igual a: .d = 360ºn + r donde:.d: ángulo dado mayor a 360º.r: residuo..n: número de ciclos o vueltas. Siendo n un número entero positivo, negativo o cero2.- Las razones trigonométricas: Seno, Coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante del ángulodado (d) que es mayor a 360º son iguales a las mismas relaciones trigométricas del residuo (r). Es decir:Sen (d) = Sen (360ºn + r) = Sen (r).Cos (d) = Cos (360ºn + r) = Cos (r)Tang (d) = tang (360ºn + r) = tang (r).3.- Sí las razones trigonométricas: Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante del RE-SIDUO (r), es menor a 90º grados, entonces la conversión habrá concluido, pero si el RESIDUO (r), esmayor a 90º grados y menor a 360º grados, entonces debemos aplicar cualquiera de los métodos apli-cados en los casos anteriores de Reducción de Ángulos al Primer Cuadrante.Ejemplos:Sen 400 = Sen (360º (1) +40º) = Sen 40º = 0,6427
  11. 11. Luis Gonzalo Revelo Pabón 55 Dpto. de Matemáticas - GorettiCos 850º = Cos (360º (2) + 130º) = Cos 130º = - Cos 50º = -.0,6427Tang 1000º = tang(360º (2) +280º) =- tang 280º = - tang 80º = -5,6712Sen 1949º = Sen (360º (5) + 149º) = Sen 149º = Sen 31º = 0,5150REDUCCION PARA ANGULOS NEGATIVOSDEFINICION 1: dos ángulos son opuestos si la suma de las magnitudes de sus ángulos es igual a cerogrados (0º).DEFINICION 2: dos ángulos son opuestos si tienen igual magnitud, y sentidos contrarios.Por ejemplo -3 y +3; -120º y 120º son ángulos opuestos.)Cuando el ángulo dado (d) es negativo se sigue los siguientes pasos:1.- Si el ángulo negativo es menor o igual a - 360º, entonces al ángulo negativo se lo convierte a unángulo positivo, para ello se emplea las siguientes ecuaciones, llamadas ecuaciones de los ANGULOSOPUESTOS.Ahora, por definición –d y +d son ángulos opuestos, entonces se cumple que:Sen (-d) = Sen (360º - (+d))Cos (-d) = Cos (360º - (+d))Tang (-d) = Tang (360º - (+d))2.- Sí el ángulo negativo es mayor a – 360º, entonces al ángulo negativo se lo convierte a un ángulo posi-tivo, empleando como argumento la siguiente expresión: (360ºn – (+d)), en cada una de las relacionestrigonométricas, con la condición de que . Así:Sen (-d) = Sen (360ºn - (+d))Cos (-d) = Cos (360ºn - (+d))Tang (-d) = Tang (360ºn - (+d))3.- Una vez convertido el ángulo negativo a un ángulo positivo, se aplican los criterios de reducción deángulos que se encuentran en el segundo, tercer y cuarto cuadrante como en los casos anteriores.
  12. 12. Luis Gonzalo Revelo Pabón 56 Dpto. de Matemáticas - GorettiEjemplos:Sen (-100) = Sen (360º - (+100º)) = Sen (260º) = Sen (180º + 80º) = - Sen 80º = - 0,9848Cos (- 200) = Cos (360º - (+200º)) = Cos (160º) = Cos (180º - 20º) = - Cos 20º = - 0,9396Sen ( -300) = Sen (360º - (+300º)) = Sen (60º) = 0,8660Tang ( - 290) = Tang( 360º - (+290º) = tang 70º = 2,7474Cos (- 680º) = Cos (360ºn – (+680º)) n = 2 vueltasCos (- 680º) = Cos (360º( 2) – (+680º)) = Cos (720º - 680º) = Cos 40º = 0,7660Sen (- 2011) = Sen (360ºn – 2011) n = 6 vueltasSen (- 2011) = Sen (360º(6) – 2011) = Sen (149º) = Sen (180º -149º) = Sen 31º = 0,5150Tang (-1975) = tan (360ºn -1975º) n = 6 vueltas = tan (360º(6) -1975º) = tan (185º) = tang (180º +5º) = tag 5ºTALLER1.- Encontrar el valor de las siguientes funciones trigonométricas:a) Sen 455ºb) Cos 659ºc) tang 1234ºd) Sen 2361ºe) Cos 4231º2.- Encontrar el valor de las siguientes funciones trigonométricasa) Sen ( -23º)b) Cos ( -234º)c) tang ( – 354º)d) Sen ( – 2356º)e) Cos (– 1234º)f) Tang ( – 379º)g) Sen ( – 1256º)h) Cos ( – 435º)

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