Unidad4. funciones trigonometricas gonzalo revelo pabon

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Unidad4. funciones trigonometricas gonzalo revelo pabon

  1. 1. Luis Gonzalo Revelo Pabón 30 Dpto. de Matemáticas - GorettiFUNCIONES TRIGONOMETRICAS.Las funciones trigonométricas son funciones muy utilizadas en las ciencias naturales paraanalizar fenómenos periódicos tales como: movimiento ondulatorio, corriente eléctricaalterna, cuerdas vibrantes, oscilación de péndulos, ciclos comerciales, movimiento periódicode los planetas, ciclos biológicos, etc.En aplicaciones de las funciones trigonométricas relacionadas con fenómenos que serepiten periódicamente, se requiere que sus dominios sean conjuntos de números reales.Para la obtención de valores de las funciones trigonométricas de números reales conuna calculadora por ejemplo, se debe usar el modo radián.FUNCION SENOLa función seno está definida por la expresión: f (x) = y= Sen x.Características de la función Seno.1.- Dominio: El conjunto de los números reales ,2.- Codominio: Son los valores comprendidos ente 1; o en el intervalo [1,-1]3.- La función Seno es periódica ya que sus valores se repiten cada 360º o 2 rad. Por lo tantosu periodo es igual a 2 rad.4.- El valor máximo de y = Sen x es 1, y el mínimo valor es -1.5.-La amplitud de la función y=Sen x es 1.TALLERGraficar en el plano cartesiano los siguientes valores que se encuentran en grados sexagesi-males y radianes. 0º 30º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360ºX 0 /6 /3 /2 2 /3 5 /6 7 /6 4 /3 3 /2 5 /3 11 /6 2Y 0 0,5 0,866 1 0,866 0,5 0 -0,5 -0,86 -1 -0,86 -0,5 0
  2. 2. Luis Gonzalo Revelo Pabón 31 Dpto. de Matemáticas - Goretti FUNCION COSENO La función coseno está definida por la expresión: f (x) = y= Cos x. Características de la función Coseno. 1.- Dominio: El conjunto de los números reales , 2.- Codominio: Son los valores comprendidos ente 1; o el intervalo [1,-1] 3.- La función coseno es periódica ya que sus valores se repiten cada 360º o 2 rad. Por lo tanto su periodo es igual a 2 rad. 4.- El valor máximo de y = Cos x es 1, y el mínimo valor es -1. 5.-La amplitud de la función y=Cos x es 1. TALLER Graficar en el plano cartesiano los siguientes valores que se encuentran en grados sexagesi- males y radianes. 0º 30º 60º 90º 120º 150º 180 210º 240º 270º 300º 330º 360ºX 0 /6 /3 /2 2 /3 5 /6 7 /6 4 /3 3 /2 5 /3 11 /6 2Y 0 0,866 0,5 0 -0,5 -0,866 -1 -0,866 -0,5 0 0,5 -0,866 1
  3. 3. Luis Gonzalo Revelo Pabón 32 Dpto. de Matemáticas - Goretti FUNCION TANGENTE La función tangente está definida por la expresión: f (x) = y= tang x. Características de la función Tangente. ( ) 1.- Dominio: -* + 2.- Codominio: 3.- La función tangente, es una función periódica, ya que sus valores se repiten cada 180º o radianes. Por lo tanto su periodo es igual a rad. TALLER Graficar en el plano cartesiano los siguientes valores que se encuentran en grados sexagesi- males y radianes. 0º 30º 60º 90º 120º 150º 180 210º 240º 270º 300º 330º 360ºX 0 /6 /3 /2 2 /3 5 /6 7 /6 4 /3 3 /2 5 /3 11 /6 2Y 0 0,5773 1,7320 + -1,732 -0,5773 0 0,5773 1,7320 + -1,732 -0,5773 0
  4. 4. Luis Gonzalo Revelo Pabón 33 Dpto. de Matemáticas - GorettiFUNCIONES SINUSOIDALESSon funciones relacionadas con las funciones seno y coseno:Y = Asen (Bx + C) + D, Y = A Cos (Bx + C) + D.Dónde:A: ampliación o reducción vertical.B: ampliación o reducción horizontal.C: desplazamiento horizontalD: desplazamiento vertical.CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES SINUSOIDALES. 1. LA AMPLITUD (A): es el máximo valor VERTICAL, que toma la función seno o coseno. 2. EL PERIODO (T): es el máximo valor HORIZONTAL, que toma la función seno o co- seno y está definido por: T ó T 3. EL DESFASE ( ): es el desplazamiento horizontal de la función sinusoidal, desde el origen del plano cartesiano hasta donde inicia la función sinusoidal (desplazamiento de la función hacia la derecha o hacia la izquierda del origen del plano cartesiano). Para determinar este desplazamiento se tiene la siguiente expresión algebraica. = 4. EL DESPLAZAMIENTO VERTICAL: es una traslación vertical en D unidades de la gráfica sinusoidal.Ejemplos:Encontrar la amplitud (A), el desfase ( ) de las siguientes funciones sinusoidales y graficarlasen el plano cartesiano. A) Y = 2 Sen2x B) Y = 5 Cos 4x C) Y = 8 Sen D) Y = 4 Cos . A) Y = 2 Sen 2X al igualar con la ecuación Y = Asen (Bx + C) + D, se deduce que:A=2B=2C=0D=0Por lo tanto, - la amplitud es igual A = 2 - = = = 0 Significa que la función inicia en 0º - T = = 180º significa que la función termina en 180º.Para graficar y tabular la función Y = 2 Sen 2x, al periodo lo dividimos entre cuatro (4), y haeste valor obtenido lo sumamos sucesivamente cuatro veces, iniciando la tabulación desde = 0º con el único fin de obtener los valores cuadrantales de la función. Así:
  5. 5. Luis Gonzalo Revelo Pabón 34 Dpto. de Matemáticas - GorettiT = 180º/4 = 45ºLa tabla de valores será: X 0º 45º 90º 135º 180º Y 0 2 0 -2 0 B) Y = 5 Cos 4X al igualar con la ecuación Y = A Cos (Bx + C) + D, se deduce que:A=5B=4C=0D=0Por lo tanto, - la amplitud es igual A = 5 - = = = 0 significa que la función inicia en 0º - T = = 90º significa que la función termina en 180º.Para graficar y tabular la función Y = 5 Cos 4x, al periodo lo dividimos entre cuatro (4), y haeste valor obtenido lo sumamos sucesivamente cuatro veces, iniciando la tabulación desde = 0º con el único fin de obtener los valores cuadrantales de la función. Así:T = 90º/4 = 22,5ºLa tabla de valores será: X 0º 22,5º 45º 67,5º 90º Y 5 0 -5 0 5
  6. 6. Luis Gonzalo Revelo Pabón 35 Dpto. de Matemáticas - Goretti C) Y = 8 Sen al igualar con la ecuación Y = A Sen(Bx + C) + D, se deduce que:A=8B = 1/2C=0D=0Por lo tanto, - la amplitud es igual A = 8 - = = = 0 significa que la función inicia en 0º - T = = 720º significa que la función termina en 720º.Para graficar y tabular la función Y = 8 Sen x/2, al periodo lo dividimos entre cuatro (4), y haeste valor obtenido lo sumamos sucesivamente cuatro veces, iniciando la tabulación desde = 0º con el único fin de obtener los valores cuadrantales de la función. Así:T = 720º/4 = 180ºLa tabla de valores será: X 0º 180º 360º 540º 720º Y 0 8 0 -8 0
  7. 7. Luis Gonzalo Revelo Pabón 36 Dpto. de Matemáticas - Goretti D) Y = 4 Cos al igualar con la ecuación Y = A Cos (Bx + C) + D, se deduce que:A=4B = 3/2C=0D=0Por lo tanto, - la amplitud es igual A = 4 - = = = 0 significa que la función inicia en 0º - T = = 240º significa que la función termina en 240º.
  8. 8. Luis Gonzalo Revelo Pabón 37 Dpto. de Matemáticas - GorettiPara graficar y tabular la función Y = 4 Sen 3x/2, al periodo lo dividimos entre cuatro (4), y haeste valor obtenido lo sumamos sucesivamente cuatro veces, iniciando la tabulación desde = 0º con el único fin de obtener los valores cuadrantales de la función. Así:T = 240º/4 = 60ºLa tabla de valores será: X 0º 60º 120º 180º 240º Y 4 0 -4 0 4EJEMPLOSDibujar en el plano cartesiano las siguientes funciones sinusoidales, indicando su amplitud,desfasaje y periodo. 1. Y = 4 Sen (2x + 40) 2. Y = 3 Cos (6x - 120) 3. Y = 2 Sen (5x - 60) 1. Y = 4 Sen (2x + 40) al igualar con la ecuación Y = A Sen (Bx + C) + D, se deduce que:A=4B=2C = 40D=0Por lo tanto, - la amplitud es igual A = 4 - = = = -20º significa que la función inicia en - 20º - T = = 180º significa que la función da un ciclo completo cada 180º.
  9. 9. Luis Gonzalo Revelo Pabón 38 Dpto. de Matemáticas - Goretti - La función termina = +T - La función termina = -20º + 180º = 160ºPara graficar y tabular la función Y = 4 Sen (2x + 40), al periodo lo dividimos entre cuatro (4), yha este valor obtenido lo sumamos sucesivamente cuatro veces, iniciando la tabulación desde = -20º con el único fin de obtener los valores cuadrantales de la función. Así:T = 180º/4 = 45ºLa tabla de valores será: X - 20º 25º 70º 115º 160º Y 0 4 0 -4 0 2. Y = 3 Cos (6x - 120) al igualar con la ecuación Y = A Cos (Bx + C) + D, se deduce que:A=3B=6C = - 120D=0Por lo tanto, - la amplitud es igual A = 3 ( ) - = = = 60º significa que la función inicia en 60º
  10. 10. Luis Gonzalo Revelo Pabón 39 Dpto. de Matemáticas - Goretti - T = = 60º significa que la función da un ciclo completo cada 60º. - La función termina = +T - La función termina = 60º + 60º = 120ºPara graficar y tabular la función Y = 3 Cos (6x - 120), al periodo lo dividimos entre cuatro (4), ya este valor obtenido lo sumamos sucesivamente cuatro veces, iniciando la tabulación desde = 60º con el único fin de obtener los valores cuadrantales de la función. Así:T = 60º/4 =15ºLa tabla de valores será: X 60º 75º 90º 105º 120º Y 3 4 0 -4 0 3. Y = 2 Sen (5x - 60) al igualar con la ecuación Y = A Sen (Bx + C) + D, se deduce que:A=2B=5C = - 60D=0Por lo tanto, - la amplitud es igual A = 2 ( ) - = = = 12º significa que la función inicia en 12º - T = = 72º significa que la función da un ciclo completo cada 72º. - La función termina = +T
  11. 11. Luis Gonzalo Revelo Pabón 40 Dpto. de Matemáticas - Goretti - La función termina = 12º + 72º = 84ºPara graficar y tabular la función Y = 2 Sen (5x - 60), al periodo lo dividimos entre cuatro (4), ya este valor obtenido lo sumamos sucesivamente cuatro veces, iniciando la tabulación desde = 12º con el único fin de obtener los valores cuadrantales de la función. Así:T = 72º/4 = 18ºLa tabla de valores será: X 12º 30º 48º 66º 84º Y 0 2 0 -2 0TALLERDibujar en el plano cartesiano las siguientes funciones sinusoidales, indicando su amplitud,desfasaje y periodo. 1. Y = 3 Sen (8x + 40) 2. Y = 4 Cos (3x - 240) 3. Y = 5 Sen (9x - 810) 4. Y = 2 Cos ( )CARACTERISTICAS DE LAS GRAFICAS DE LAS FUNCIONES SINUSOIDALES.Si en un plano cartesiano existe un gráfico de una función Sinusoidal, y nos piden encontrar laecuación algebraica que tienen la forma:Y = Asen (Bx + C) + D, Y = A Cos (Bx + C) + D.Dónde:A: ampliación o reducción vertical.B: ampliación o reducción horizontal.C: desplazamiento horizontalD: desplazamiento vertical.
  12. 12. Luis Gonzalo Revelo Pabón 41 Dpto. de Matemáticas - GorettiEntonces para encontrar el periodo (T) y el desfase ( ) que se encuentran determinados en elgráfico, se debe tener en cuenta que: T = Angulo donde termina la función – Angulo donde inicia la función = Distancia desde punto donde Inicia la función al Origen del plano cartesianoEs decir:Ahora, para establecer los coeficientes B y C, de las ecuaciones Sinusoidales, partimos de lasecuaciones de periodo (T) y desfase ( ), así:T= entonces B= Ahora: = entonces C=Ejemplo:Dadas las siguientes gráficas. Se pide hallar la Amplitud (A), el Periodo (T), el Desplazamientode fase ( ) y escribir la ecuación que tiene la forma: Y = A Sen (Bx + C); Y = A Cos (Bx + C)
  13. 13. Luis Gonzalo Revelo Pabón 42 Dpto. de Matemáticas - GorettiAl observar la gráfica, se obtiene que, el periodo (T) y el desfase ( ) de la función es igual a:T = Los grados donde la función termina – los grados donde la función iniciaT = 500º - 100º = 400º = Distancia desde el origen del plano cartesiano al punto donde inicia la función. = +100ºPero: B = = = 9/10 C= . B = (+100grados)(9/10) = 90grados = 90º.Remplazamos en la función Y = A Sen (Bx + C), para obtener: Y = 2 Sen (9x/10 + 90º)Ejemplo:Al observar la gráfica, se obtiene que, el periodo (T) y el desfase ( ) de la función es igual a:T = Los grados donde la función termina – los grados donde la función iniciaT = 60º - (-60º) = 60º + 60º = 120º = Distancia desde el origen del plano cartesiano al punto donde inicia la función. = - 60ºPero: B = = = 3 C= . B = (- 60 grados)(3) = - 180 grados = -180º.Remplazamos en la función Y = A Sen (Bx + C), para obtener: Y = 4 Sen (3x - 180º)
  14. 14. Luis Gonzalo Revelo Pabón 43 Dpto. de Matemáticas - GorettiEjemplo:Al observar la gráfica, se obtiene que, el periodo (T) y el desfase ( ) de la función es igual a:T = Los grados donde la función termina – los grados donde la función iniciaT = 540º - (-180º) = 540º + 180º = 720º = Distancia desde el origen del plano cartesiano al punto donde inicia la función. = - 180ºPero: B = = = 1/2 C= . B = (- 180 grados)(1/2) = - 90 grados = -90º.Remplazamos en la función Y = A Sen (Bx + C), para obtener: Y = 4 Sen (x/2 - 90º)Ejemplo:
  15. 15. Luis Gonzalo Revelo Pabón 44 Dpto. de Matemáticas - GorettiAl observar la gráfica, se obtiene que, el periodo (T) y el desfase ( ) de la función es igual a:T = Los grados donde la función termina – los grados donde la función iniciaT = 140º - 20º = 120º = Distancia desde el origen del plano cartesiano al punto donde inicia la función. = +20ºPero: B = = = 3 C= . B = (20 grados)(3) = 60 grados = 60º.Remplazamos en la función Y = A Cos (Bx + C), para obtener: Y = 5 Sen (3x + 60º)Ejemplo:Al observar la gráfica, se obtiene que, el periodo (T) y el desfase ( ) de la función es igual a:T = Los grados donde la función termina – los grados donde la función iniciaT = 720º - 0º = 720º = Distancia desde el origen del plano cartesiano al punto donde inicia la función. = +0ºPero: B = = = 1/2 C= . B = (0 grados)(1/2) = 0 grados = 0º.Remplazamos en la función Y = A Cos (Bx + C), para obtener: Y = 4 Sen x/2

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