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Unidad 7. progresion geometrica- GONZALO REVELO PABON

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  1. 1. Luis Gonzalo Revelo Pabón 67 Dpto. de matemáticas - GorettiPROGRESION GEOMETRICA.Una progresión geométrica, es una sucesión de números reales llamados términos tales que, cada unode ellos es igual al término anterior multiplicando por un número constante o fijo llamado razón de laprogresión geométrica, que se simboliza por la letra r. Es decir:Dónde: Termino enésimo. Termino enésimo, menos uno Razón 1, 2, 3, 4, 5, 6………Ejemplos:Escribir los 6 primeros términos de las progresiones geométricas cuyo primer término y razón se indican acontinuación. a) b) c) d) e)Ejemplos.Encontrar la razón r dadas las siguientes progresiones. a) 1, 3, 27, 81,………. b) 90, 30, 10, 10/3, 10/9……. c) 3, 6, 12, 24, 48,……….TALLER 1. Encontrar la Progresión Geométrica dada la siguiente información: a. a1 = 4; r = 3; n = 5.
  2. 2. Luis Gonzalo Revelo Pabón 68 Dpto. de matemáticas - Goretti b. a1 = 3; r = -5; n = 4. 2. Indicar la razón de las siguientes progresiones geométricas: a. 7, 21, 63, 189,... b. 512, 128, 32, 8,... c. 1, 4, 16, 64,…. d. 3, 9, 27, 81,…. e. 2, 10, 50, 250,… f. 27, 9, 3, 1,… 3. Encontrar seis términos de una Progresión Geométrica, dada la siguiente información: a. a1 = 2; r = 5 b. a1 = 7; r = 4. c. a1 = 2916; r = 1/3 d. a1 = 256; r = ¾ECUACION DEL TERMINO GENERAL O ENESIMO DE UNA PROGRESION GEOMETRICA.Dada una progresión geométrica de razón r, entonces para calcular cualquier término o el término gene-ral o enésimo de una progresión geométrica, se aplica la siguiente ecuación:Dónde: Termino general o enésimo. Primer término. Razón. Numero de términosEjemplos: 1. Calcular el término 7º de la progresión: 3, 6, 12…… . . . . Remplazamos. ( ) ( ) ( ) 2. Calcular el octavo término de una progresión geométrica, sabiendo que el primer término es igual a , y la razón es igual a 2. . . . . Remplazamos. ( ) ( ) ( ) 3. Calcular el noveno término de una progresión geométrica que tiene 9 términos, sabiendo que el primer término igual a 2 y la razón es igual a 5. . .
  3. 3. Luis Gonzalo Revelo Pabón 69 Dpto. de matemáticas - Goretti . . Remplazamos. ( ) ( ) ( )COROLARIO: (Conclusión-Consecuencia) Dados dos términos cualesquiera y de una progresióngeométrica, tales que el se cumple que:Por lo tanto, la razón geométrica es igual a: √Ejemplos: a) En una progresión geométrica se sabe que el y . Hallar la razón r y la progre- sión geométrica. . . √ √ b) En una progresión geométrica se sabe que el y . Hallar la razón r y la progre- sión geométrica. . . √ √ c) El octavo término es 384 y el sexto término es 96. Formar la progresión geométrica . . √ √
  4. 4. Luis Gonzalo Revelo Pabón 70 Dpto. de matemáticas - GorettiINTERPOLACION DE TERMINOS EN UNA PROGRESION GEOMETRICASi queremos intercalar entre dos números extremos a y b, de una progresión, otros n números de talmanera que formen entre ellos una progresión geométrica, entonces la razón está definida por la si-guiente ecuación. √ Razón geométrica Numero de términos Termino extremo izquierdo de la progresión geométrica. Termino extremo derecho de la progresión geométrica. Numero de términos a intercalar entre a y b.Ejemplo:Intercalar entre los términos 3 y 96 cuatro números de tal manera que forman una progresión geométrica . , . . √ Remplazamos √ √Por lo tanto, la progresión geométrica es:Ejemplo:Intercalar 4 términos entre 4 y 972 de modo que formen una progresión geométrica. . , . . √ Remplazamos √ √Por lo tanto, la progresión geométrica es:Ejemplo:Interpolar 6 terminos entre 64 y ½, de tal manera que formen una progresion geometrica. . , . . √ Remplazamos
  5. 5. Luis Gonzalo Revelo Pabón 71 Dpto. de matemáticas - Goretti √ √ √ √Por lo tanto, la progresión geométrica es:Taller 1. Hallar el término decimo de la progresión geométrica: 2, 4, 8,… Solución 2. Hallar el término decimo de la progresión geométrica: 1/64, 1/32, 1/16… Solución 3. El término de una progresión geométrica vale 324 y la razón vale 3. Hallar . Solución 4 4. Calcular el octavo término de la progresión geométrica: 3, 6, 12, 24…. Solución:384 5. En una progresión geométrica y . Encontrar el término quinto. Solución: 160. 6. En una progresión geométrica y , encontrar la razón y los 5 primeros términos de la progresión geométrica. 7. En una progresión geométrica y , encontrar la razón y los 4 primeros términos de la progresión geométrica. 8. En una progresión geométrica y , encontrar la razón y los 4 primeros términos de la progresión geométrica. 9. En una progresión geométrica y la razón es igual a 0,5. Hallar el término octavo. solu- ción 10. En una progresión geométrica y . Hallar la razón y el primer término. 11. Intercalar 3 términos entre 7 y 567 de modo que resulte una progresión geométrica. Solución: 7, 21, 63, 189, 567… 12. Intercalar 4 términos entre 2 y 486 de modo que resulte una progresión geométrica. Solución: 2, 6, 18, 54, 162, 486… 13. Intercalar 5 términos entre 1 y 4096 de modo que resulte una progresión geométrica. Solución: 1, 4, 16, 64, 256, 1024, 4096…. 14. Intercalar 2 términos entre 50 y 400 de modo que resulte una progresión geométrica. Solución: 50, 100, 200, 400… 15. Intercalar 2 términos entre 6 y 3072 de modo que resulte una progresión geométrica. Solución: 6, 48, 384, 3072.SUMA DE TERMINOS EN UNA PROGRESION GEOMETRICA.Para encontrar la suma de los n términos consecutivos de una progresión geométrica, aplicamos la si-guiente ecuación: ( ) : Suma de los n primeros términos de la P.G. : Primer término de la P.G : Razón de la progresión geométrica. : numero de términos.Ejemplo:Hallar la suma de los 5 primeros términos de la progresión geométrica. 3, 6, 12, 24, 48, 96 ( ) =5 =? =3 =2
  6. 6. Luis Gonzalo Revelo Pabón 72 Dpto. de matemáticas - Goretti ( ) ( )Ejemplo:Hallar la suma de los 8 primeros términos de la progresión geométrica. 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320,640, 1280 ( ) =8 =? =5 =2 ( ) ( ) = 1.275Ejemplo:¿Cuál es la suma de los 4 primeros términos de la progresión geométrica. 2, 10, 50, 250, 1250. ( ) =4 =? =2 =5 ( ) ( ) = 312PRODUCTO DE TERMINOS EN UNA PROGRESION GEOMETRICA.el producto de n terminos consecutivos de una progresion geometrica es igual a la raiz cuadrada de lapotencia n-ésima del producto de los dos numeros o terminos extremos . Es decir: √( )EjemploDada la siguiente: 1, 3, 9, 27, 81…… encontrar el producto de los 5 primeros términos de la progresióngeométrica. . . . . √( ) √( ) √( ) √EjemploDada la siguiente: 2, 6, 18, 54, 162…… encontrar el producto de los 4 primeros términos de la progre-sión geométrica. . . . . √( )
  7. 7. Luis Gonzalo Revelo Pabón 73 Dpto. de matemáticas - Goretti √( ) √( ) √Taller 1. En una progresión geométrica y , encontrar la razón y la suma de los 5 primeros términos de la progresión geométrica. Solución: 2. En una progresión geométrica y , encontrar la razón y la suma de los 4 prime- ros términos de la progresión geométrica. Solución: 3. En una progresión geométrica y , encontrar la razón y la suma de los 4 primeros términos de la progresión geométrica. Solución: 4. El tercer término de una progresión geométrica vale 80 y la razón es 4. Encontrar la suma de los cinco primeros términos. Solución: 5. La razón de una progresión geométrica es 3 y el tercer término vale 45. Hallar la suma de los ocho primeros términos. Solución:RESUMEN PROGRESIÓN ARITMÉTICA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA ( )Termino Enésimo o general Termino Enésimo o general ( )Dados 2 términos de una Progresión Aritmética Dados 2 términos de una progresión Geométrica ( ) √Interpolación en una Progresión Aritmética Interpolación en una Progresión Geométrica a⏟ b a⏟ b √Suma de los n primeros términos de una PA Suma de los n primeros términos de una PG * ( ) + ( )

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