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Unidad 6. progresion aritmetica-GONZALO REVELO PABON
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Unidad 6. progresion aritmetica-GONZALO REVELO PABON

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  • 1. Luis Gonzalo Revelo Pabón 59 Dpto. de Matemáticas - GorettiPROGRESIÓN ARITMÉTICA (P.A)Definición: Una sucesión de números reales es una progresión aritmética, si la diferencia entre un tér-mino cualquiera de la sucesión y el inmediatamente anterior es un valor constante.De la definición de progresión aritmética obtenemos que: Donde el número d recibe elnombre de diferencia o razón de la progresión aritmética. Termino enésimo de la progresión aritmética. Termino enésimo menos uno de la progresión aritmética. Razón o diferencia. 1, 2, 3, 4, 5, 6,………….Proposición: En toda progresión aritmética, cada término después del primero se lo obtiene sumándoleal termino anterior una cantidad constante llamada razón o diferencia (d). Es decir:EjemploLas siguientes sucesiones son progresiones aritméticas: a) 2, 4, 6, 8, 10…………… la razón o diferencia es b) 5, 10, 15, 20, 25, ……… la razón o diferencia es c) 7, 12, 17, 22, 27,……… la razón o diferencia esEjemploDeterminar la razón o la diferencia de las siguientes progresiones aritméticas. a) 13, 20, 27, 34, ………. la razón o diferencia es b) 68, 59, 50, 41,……….. la razón o diferencia esEjemplos:Formar la progresión aritmética, dada la siguiente información. a) b) c)Termino General o Enésimo ( : En toda progresión aritmética de razón o diferencia d, el términoenésimo o término general de la progresión viene dado por la siguiente ecuación algebraica: (Dónde: Termino enésimo de la progresión aritmética. Primer término de la progresión aritmética Razón o diferencia 1, 2, 3, 4, 5, 6,………….De esta manera, podemos determinar todos los términos de una progresión aritmética, conociendo sola-mente el primer término de la sucesión y la diferencia o razón (d) entre dos términos consecutivosde la progresión.Ejemplos: calcular el término que se indica, en cada una de las siguientes progresiones aritméticas.
  • 2. Luis Gonzalo Revelo Pabón 60 Dpto. de Matemáticas - Goretti a) 9, 14, 19,………….. calcular el termino 16. Como ( . . . .Remplazamos: ( (Prueba: b) 15, 24, 33,………….. calcular el termino 12 ( Como: . . . .Remplazamos: ( (Prueba: c) 8, 20, 32………….. calcular el termino 6 ( Como: . . . .Remplazamos: ( (Prueba:EjemplosDada la siguiente información: a) Como ( remplazamos ( (Prueba: b) Como ( Si n= 14 remplazamos ( . . Remplazamos
  • 3. Luis Gonzalo Revelo Pabón 61 Dpto. de Matemáticas - Goretti ( . .Prueba: c) Como ( Si n= 13 remplazamos ( . . RemplazamosPrueba:EjemplosCalcular el término general o enésimo de las siguientes progresiones aritméticas. a) -1, 1, 3, 5, 7, 9…..Para calcular el término general o enésimo aplicamos la ecuación: ( . ( . . .Remplazamos: ( ( . b) 3, 6, 9, 12, 15, 18…… Para calcular el término general o enésimo aplicamos la ecuación: ( . . . . Remplazamos: ( ( . c) 5, 6, 7, 8, 9, 10……Para calcular el término general o enésimo aplicamos la ecuación: ( . . . .Remplazamos: ( ( .TALLER1. Hallar los términos que se indican en las siguientes progresiones aritméticas. a. El termino 20 en: 1, 6, 11, 16,……..
  • 4. Luis Gonzalo Revelo Pabón 62 Dpto. de Matemáticas - Goretti b. El termino 12 en: -4, 0, 4, 8…….. c. El termino 6 en: 3, 7, 11, 15…….. d. El termino 10 en: 2, 5, 8, 11…… e. El termino 8 en: 7, 11, 15, 19…….2. Hallar el término general o enésimo de las siguientes progresiones aritméticas. a. 1, 3, 5, 7, 9…………….. b. 4, 7, 10,, 13, 16, 19…………… c. 1, 4, 7, 10, 13, 16…………… d. 20, 15, 10, 5………… e. 5, 10, 15, 20………..3. Hallar los términos de las siguientes progresiones aritméticas. a. b. c. d. e.4. (Estudiarlo profundamente- Sistema de ecuaciones) En una progresión aritmética y . Hallar el termino y la razón o diferencia Solución: ,5. (Estudiarlo profundamente- Sistema de ecuaciones) En una progresión aritmética y . Hallar el termino y Solución: ,Corolario (Consecuencia) Dados dos términos y de una progresión aritmética, con la condiciónde que el entonces se cumple que: (Dónde: Termino y de la P.A Termino x de la P.A Razón o diferenciaEjemplos: a) En una progresión aritmética, se sabe que y . hallar la razón o diferencia y es- cribir la progresión. 5 b) En una progresión aritmética, se sabe que y . hallar la razón o diferencia y es- cribir la progresión. ( = 10
  • 5. Luis Gonzalo Revelo Pabón 63 Dpto. de Matemáticas - Goretti c) En una progresión aritmética, se sabe que y . hallar la razón o diferencia y es- cribir la progresión. =5INTERPOLACION: Interpolar medios aritméticos entre dos números a y b, es formar una progresión arit-mética, cuyos extremos de la progresión son los dos números a y b.Si intercalamos n números entre los números a y b, entonces para encontrar la razón o diferencia d entreellos es igual a la siguiente expresión: Termino extremo izquierdo de la progresión aritmética. Termino extremo derecho de la progresión aritmética. Numero de términos a intercalar entre a y b. Razón o diferenciaLos términos que intercalamos entre los dos números extremos a y b reciben el nombre de medios aritmé-ticos Para resolver este problema, lo único que se necesita es obtener el valor de la diferencia d queexiste entre dos términos consecutivos de la progresión aritmética, para ello se aplica la anterior ecuaciónEjemplos:Interpolar los términos que se indican en cada uno de los literales. a) Cuatro términos entre 7 y 17 . 2 b) Cinco términos entre 32 y 14 .
  • 6. Luis Gonzalo Revelo Pabón 64 Dpto. de Matemáticas - Goretti c) Seis términos entre -18 y 17 . ( 5SUMA DE TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA: La suma de los n términos consecutivosde una progresión aritmética es igual a la mitad de los n términos de la suma de los dos términos extre-mos. Es decir: ( O también [ ( ] Suma de los n términos de la P.A Numero de términos de la P.A Término primero de la P.A Termino enésimo de la P.A Razón o diferencia 1, 2, 3, 4, 5, 6,………….Ejemplos:Hallar la suma de los: 1. 8 primeros términos de la P.A: 15, 19, 23, ………… 8 15 . [ ( ] [ ( ( ] ( . 2. 19 primeros términos de la P.A: 31, 38, 45,……… 19 31 . [ ( ] [ ( ( ] [ ( ] . 3. 24 primeros términos de la P.A: 42, 32, 22,………. 24 42 . [ ( ]
  • 7. Luis Gonzalo Revelo Pabón 65 Dpto. de Matemáticas - Goretti [ ( ( ( ] 12[ ( ( ] ( 4. 50 primeros términos de la P.A: -5, -13, -21,…. 50 -5 ( . [ ( ] [ ( ( ( ] [ ( ( ] [ ]TALLER: 1. En una PA . Hallar . Respuesta . 2. Hallar la PA de los 12 primeros términos, sabiendo que . 3. Hallar la PA de los 10 primeros términos, sabiendo que . 4. Interpolar los términos que se indican, de modo que resulte una progresión aritmética a. Cuatro términos entre 15 y 30 b. Seis términos entre 3 y 38. c. Cuatro términos entre 15 y 5 d. Cinco términos entre 1 y 25. Respuesta: a)d=3, b)d= 5 c)d=-2 d)d=4 5. Si entre los números 8 y 16 hay tres medios. ¿Cuál es la diferencia? Respuesta d=2 6. Calcular la diferencia de la progresión aritmética, sabiendo que entre 12 y 52 hay tres medios aritméticos. Respuesta d=10. 7. Hallar la suma de los 100 primeros números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6…………100. Respuesta 5050 8. Hallar la suma de los 50 primeros números pares: 2, 4, 6, 8,……….100. Respuesta 2550. 9. Hallar el termino enésimo y la suma de los n términos de la progresión aritmética: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16……………….. Respuesta a) 2n b) n(n+1) 10. Hallar el termino enésimo y la suma de los n términos de la progresión aritmética: 1, 3, 5, 7, 9 , 11……………….Respuesta: a) 2n-1 b) 11. Hallar el termino enésimo y la suma de los n términos de la progresión aritmética: 3, 6, 9, 12, 15……………Respuesta a) 3n b) ( . 12. Cuantos términos hay que sumar en la progresión aritmética: 4, 8, 12, 16…… para ob- tener como suma total 220. Respuesta n=10. 13. Calcular la suma de los términos de una PA dada la siguiente información: a. . Solución: b. . Solución: c. . Solución: d. ; . Solución: 14. El quinto término de una progresión aritmética es 44 y el 12 término es igual a 100. Calcular la suma de los 16 términos de la progresión aritmética. Respuesta 1152.Problema 1: Un estudiante de 9 grado del IEM. Goretti, se propone el día 1 de septiembre re-pasar matemáticas durante 15 días, haciendo cada día 2 ejercicios más que el día anterior. Siel primer día empezó haciendo un ejercicio. a)¿Cuántos ejercicios le tocara hacer el día 15 deseptiembre?. b)¿Cuántos ejercicios hará en total en los 15 días? Respuesta a) 29 ejercicios b)225 ejercicios.Problema 2: En un edificio, el primer piso se encuentra a 7,40 mts de altura y la distancia entredos pisos consecutivos es de 3,80 mts. a) ¿A qué altura esta el 9 piso? b) ¿Obtenga un formulaque nos indique la altura a la que se encuentre el piso n?. Respuesta: a) 37.80 mts b) 3,8n +36
  • 8. Luis Gonzalo Revelo Pabón 66 Dpto. de Matemáticas - GorettiProblema 3: En una urbanización realizaron la instalación del gas natural en el año de 1999.Consideramos que en ese año se hizo la primera revisión. Sabiendo que las revisiones sucesi-vas se realizan cada 3 años, responder, a)¿en qué año se realizara la décima revisión?b)¿Cuál es el número de revisiones que se realizara en el año 2035? Respuesta: a)2026 b) n=13.Problema 4: El alquiler de una bicicleta cuesta 5000 pesos la primera hora y 2000 pesos máscada nueva hora. a) Cual es el precio del alquiler a la 7 hora. b) Hallar la fórmula que de élprecio de alquiler de la bicicleta si se la alquila n horas. Respuesta: a) 17000 pesos b) 2000n +3000.

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