Unidad 5. numeros complejos - GONZALO REVELO PABON

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Unidad 5. numeros complejos - GONZALO REVELO PABON

  1. 1. Luis Gonzalo Revelo Pabón 50 Dpto. de Matemáticas – Goretti.LOS NÚMEROS COMPLEJOSCuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado ax  bx  c  0 se analizó, el discrimi- 2nante , cuando podría ser positivo, negativo o cero y a la vez la relación que tiene el discrimi-nante con las soluciones de la ecuación cuadrática.Si el discriminante era negativo se dijo que la ecuación no tenía raíces reales sino que las raíces eranimaginarias o complejas. Vamos ahora a estudiar los números complejos que nos darán la idea completade la solución de la ecuación de segundo grado, además estudiaremos lo que se llama la definición axio-mática del conjunto de los números complejos, formando así una extensión de los conjuntos numéricos.NUMEROS IMAGINARIOS: toda expresión algebraica escrito de la forma √ donde n es un númeroPAR y –a es un número negativo, se le llama Numero Imaginario puro.Así, por ejemplo: √ , √ , √ , √ , √ , √ , √ , √ , √ , son números imagi-narios puros.UNIDAD IMAGINARIA. La unidad imaginaria de los números imaginarios es √ y se la representa porla letra i.Por lo tanto i = √ al elevar al cuadrado ambos miembros tenemos que:SIMPLIFICACION DE LOS NUMEROS IMAGINARIOS PUROS√ √ =√ .√ =Xi√ √ =√ .√ =2i√ √ =√ .√ =4i√ √ =√ .√ =√ i√ √ =√ .√ =√ iTALLERDadas las siguientes expresiones algebraicas convertirlas a un número imaginario puro de la formaz = bi, donde b es un número real. 1) Z=√ 6) Z=√ 2) Z=√ 7) Z=√ 3) Z=√ 8) Z=√ 4) Z=√ 9) Z=√ 5) Z=√ 10) √Solución:1.) z = 2i 2.) z = √ i 3.) z = √ i 4.) z = 4i 5.) z= 9i 6.) z =10i 7.) z=11i 8.) z =13i 9.) z =√ i 10.) z = √ iDefinición y operaciones en el conjunto de los números complejos.Definición. El conjunto de los números complejos está formado por el conjunto de todas las parejas or-denadas Z= (a, b), donde a y b son números reales. A este conjunto de los números complejos se lo de-nota con la letra .Al número complejo Z = (a, b), está formado por dos partes o componentes, a la primera componente a sele llama parte real y a la segunda componente b se le denomina parte imaginaria. Es decir:a = Es la primera componente o componente realb = Es la segunda componente o componente imaginariaZ1 = (a, 0) es un número realZ2 = (0, b) es un número imaginario puroZ = (a, b) es un número complejo.Formas de expresar un número complejo. A un número complejo se lo puede escribir de tres maneras:- De forma de pareja ordenada o vectorial: Z = (a, b)- De forma binómica: √ = a + bi- De forma Polar: Z = = r (Cos + Sen )
  2. 2. Luis Gonzalo Revelo Pabón 51 Dpto. de Matemáticas – Goretti.Ejemplo de números complejos, escritos en forma de pareja ordenada y binómica.Z = (2,3) = 2+3i,Z1 = (5, -4) = 5-4i,Z3 = (-7, 3) = -7+3i,Z4 = (8, 6) = 8+6i,Z5 = (-2, -5) = -2-5i,CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJOSi Z = x + yi es un número complejo, entonces el conjugado del número Z, es un número complejo ̅ = x - yi, es decir, el número complejo conjugado ̅ tiene la misma parte real que el número complejo Zpero la parte imaginaria tiene signo opuesto o contrario.Ejemplo. Si Z = 3+ 2i, entonces ̅ = 3- 2i y si Z = 3- 2i, entonces ̅ = 3+ 2i. Numero complejo Numero complejo conjugado Z ̅ 8-2i 8+2i -3+5i -3-5i -4-7i -4+7i 9+12i 9-12iTALLERDados los siguientes números complejos, Z1 = 2+3i, Z2 = 5-2i, Z3 = -4 - 5i, Z4 = -2+8i, Z5 =12 -11i,Z6 =8+7i, Z7 =9+6i, Z8 =-2+7i, Z9 =-8-3i, Z10 =-5-3i, encontrar el número complejo conjugado en cada unode ellos: 1) 6) 2) 7) 3) 8) 4) 9) 5) 10)Solución:1) = 2-3i .2) = 5+2i 3.) = -4 + 5i 4.) = -2- 8i 5.) = 12 +11i. 6.) = 8- 7i 7.) = 9- 6i8.) =-2-7i 9.) = -8 + 3i 10.) = -5 + 3iSUMA DE NUMEROS COMPLEJOS: Para sumar dos o más números complejos se suman las partesreales y las partes imaginarias entre sí. Es decir:Sean los números complejos Z1 = a + bi y Z2 =c + di, entonces la suma de Z1 + Z2 será igual a:.Z = Z1 + Z2.Z = (a + bi) + (c + di).Z = (a + c) + (b + d)i , puesto que a, b, c, d son todos números reales..Ejemplo. Si Z1 = (3,2) y Z2 = (4,-1), halle .Z = Z1 + Z2.Z = Z1 + Z2.Z = (3, 2) + (4,-1).Z = (3+ 2i) + (4 – i).Z = 7 + iEjemplo: Si Z1 = (-4,5) y Z2 = (3,-6), halle .Z = Z1 + Z2.Z = Z1 + Z2.Z = (-4, 5) + (3, -6).Z = (-4+ 5i) + (3 – 6i).Z = -1 - iEjemplo:Sumar 1. Z1 = 2+5i y Z2 = 3-2i 2. Z1 = -3 -3i, Z2 = 5-2i, y Z3 = 4+5i 3. Z1 = 12+3i, Z2 = -10+12i, Z3 = -5-8i, y Z4 = 3+2iSolución
  3. 3. Luis Gonzalo Revelo Pabón 52 Dpto. de Matemáticas – Goretti. 1. Z = Z1 + Z2 =( 2+5i) + (3-2i) = 5 -3i 2. Z = Z1 + Z2 + Z3 = (-3 -3i) + (5-2i) + (4+5i) = 6 3. Z = Z1 + Z2 + Z3 +Z4 = (12+3i) + (-10+12i) + (-5-8i) + (3+2i) = 12+3i -10+12i -5-8i + 3+2i = 9i.TALLERDados los siguientes números complejos, Z1 = 2+3i, Z2 = 5-2i, Z3 = -4 - 5i, Z4 = -2+8i, Z5 =12 -11i, Z6=8+7i. Encontrar: 1) Z = Z1 + Z2 6) Z = Z2 + Z3 2) Z = Z1 + Z3 7) Z = Z2 + Z4 3) Z = Z1 + Z4 8) Z = Z2 + Z5 4) Z = Z1 + Z5 9) Z = Z2 + Z6 5) Z = Z1 + Z6 10) Z = Z3 + Z4Solución:1.) Z = 7 + i 2.) Z = -2 – 2i 3.) Z = 11i 4.) Z = 14 – 8i 5.) Z = 10 +10i 6.) Z = 1-7i 7.) Z = 3+6i8.) Z = 17 -13i 9.) Z = 13 + 5i 10.) Z = -6 +3iDIFERENCIA DE NUMEROS COMPLEJOS: Para restar números complejos se restan las partes reales ylas partes imaginarias entre sí. Es decir:Sean los números complejos Z1 = a + bi y Z2 =c + di, entonces de Z1 restar Z2 será igual a:Z = Z1 - Z2Z = (a + bi) - (c + di)Z = a +bi –c -diZ = (a - c) + (b - d) i, puesto que a, b, c, d son todos números reales.Ejemplo:De Z1 = 5+7i restar (quitarle) Z2 = 4 +2iZ = Z1 - Z2Z = (5+7i) – (4+2i)Z = 5+7i -4-2iZ = 1+5i.EjemploRestar (quitarle) Z1 = -3-7i de Z2 = 8-11iZ = Z2 – Z1Z = (8-11i) – (-3-7i)Z = 8-11i +3+7iZ = 11 - 4iTALLERDados los siguientes números complejos, Z1 = 2+3i, Z2 = 5-2i, Z3 = -4 - 5i, Z4 = -2+8i, Z5 =12 -11i,Z6 =8+7i. Encontrar la diferencia de los dos números complejos que se indican a continuación: 1) Z = Z1 - Z2 6) Z = Z2 - Z3 2) Z = Z1 - Z3 7) Z = Z2 - Z4 3) Z = Z1 - Z4 8) Z = Z2 - Z5 4) Z = Z1 - Z5 9) Z = Z2 - Z6 5) Z = Z1 - Z6 10) Z = Z3 - Z4Solución:1) Z = --3 + 5i 2) Z = 6 + 8i 3) Z = 4 - 5i 4) Z = --10 + 14i 5) Z = --6 -- 4i 6) Z = 9 + 3i7) Z = 7—10i 8) Z = 17 -13i 9) Z = --3 –9i 10) Z = -2 --13iMULTIPLICACION DE NUMEROS COMPLEJOS: Para multiplicar dos números complejos, se los multi-plica como dos expresiones algebraicas compuestas, teniendo en cuenta que: = -1. Es decir: 2 2(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi = (ac - bd) + (ad + bc)i porque i = -1.Ejemplo:Multiplicar los siguientes números complejos 1. Z1 = 3 –4i por Z2 = 5 –3i 2. Z1 = 3+5i por Z2 = 4 –3i 3. Z1 = -4 –3i por Z2 = -7+4i
  4. 4. Luis Gonzalo Revelo Pabón 53 Dpto. de Matemáticas – Goretti.Solución:Z = Z1. Z1 = 3+29iZ = Z1. Z1 = 27 – 29iZ = Z1. Z1 = 40 + 5iTALLERDados los siguientes números complejos, Z1 = 2+3i, Z2 = 5-2i, Z3 = -4 - 5i, Z4 = -2+8i, Z5 =12 -11i,Z6 =8+7i. Encontrar el producto de los siguientes números complejos. 1) Z = Z1. Z2 6) Z = Z2. Z3 2) Z = Z1. Z3 7) Z = Z2. Z4 3) Z = Z1. Z4 8) Z = Z2. Z5 4) Z = Z1. Z5 9) Z = Z2. Z6 5) Z = Z1. Z6 10) Z = Z3. Z4Solución:1) Z = 16 + 11i 2) Z = 7 – 22i 3) Z = --28 +10i 4) Z = 57 + 14i 5) Z = --5 +38i 6) Z = --30 - 17i7) Z = 6+ 44i 8) Z = 38 - 79i 9) Z = 54 + 19i 10) Z = 48 –22iDIVICION DE NUMEROS COMPLEJOS: Para dividir dos números complejos, en primer lugar la divisiónse la expresa en forma de un número fraccionario, luego se racionaliza a la fracción, para ello se multipli-ca al numerador y al denominador de la fracción por el numero complejo conjugado del denominador. Esdecir: ̅ ( )( ) ̅EjemploDividir Z1. = 5 + 2i entre Z2. = 4-3i ( )( )Dividir Z1. = -3 +4i entre Z2 = -5-7i ( )( )TALLERDados los siguientes números complejos, Z1 = 2+3i, Z2 = 5-2i, Z3 = -4 - 5i, Z4 = -2+8i, Z5 =12 -11i,Z6 =8+7i, Z7 =9+6i, Z8 =-2+7i, Z9 =-8-3i, Z10 =-5-3i, encontrar el cociente de los siguientes números com-plejos: 1) 6) 2) 7)
  5. 5. Luis Gonzalo Revelo Pabón 54 Dpto. de Matemáticas – Goretti. 3) 8) 4) 9) 5) 10)Solución:1) Z = 2) Z = 3) Z = 4) Z = 5) Z =6) Z = 7) Z = 8) Z = 9) Z = 10) Z =Raíces con números complejas de la ecuación de segundo grado:Cualquier ecuación de segundo grado con coeficientes reales que no tenga solución real, tiene dos solu-ciones imaginarias que son números complejos conjugados.Ejemplo. Resolver la ecuación x  2 x  6  0 . 2 2 2X - 2X + 6 = 0 al comparar con AX + BX + C = 0 se deduce que: {Resolvemos la ecuación cuadrática, mediante la expresión algebraica: √Remplazamos: √ √ √ √Solución: Las raíces complejas de la ecuación son: yTALLERResolver las siguientes ecuaciones cuadráticas. 2 2 1) X +3X + 4 =0 6) X + 9 =0 2 2 2) X +3X + 12 =0 7) 3X –8X +16 =0 2 2 3) X –5X + 7 =0 8) 5X +4X + 4 =0 2 2 4) X +2X + 8 =0 9) 6X –9X +7 =0 2 2 5) X –2X + 8 =0 10) 5X –4X + 7 =0Solución: 1) –1, 5 1,32i 2) –1, 5 3,12i 3) 2, 5 0,86i 4) –1 2, 64 5)1 2,64i 6) 3i 7) 1, 33 1,85i8) –0,4 0,8i 9) 0,75 0,77i 10) 0,4 1,11i
  6. 6. Luis Gonzalo Revelo Pabón 55 Dpto. de Matemáticas – Goretti.Módulo y argumento de un número complejoSea z = (a, b) = a + bi un numero complejo, entonces el módulo o Valor Absoluto del número complejo zsimbolizado por | | o simplemente r, que es un número real definido por la siguiente expresiónr=| | √ .El módulo o Valor Absoluto | | se interpreta como la distancia que existe entre el origen del plano carte-siano al punto de la pareja z =(a, b).Por otra parte, llamaremos argumento del número complejo z  a  bi , al ángulo formado entre el semieje positivo de las x y el radio vector r que determina el módulo z .El argumento del número complejo z se denota por arg( z ) y se calcula mediante la siguiente expresión:.arg (z) = tang ( ) -1 donde {.Ejemplo:Dado los siguientes números complejos: 1. z = (3, 4) = 3 + 4i 2. z = (-4, 5) = -4 +5i 3. z = (-5, -6) = -5 -6i 4. z = (2, -2) = 2 - 2iRepresentarlos en el plano cartesiano, encontrar el módulo| |, y el argumento de z.Solución 1. z = (3, 4) = 3 + 4iComo:.a = 3.b = 4EntoncesPor definición de módulo o Valor Absoluto del númerocomplejo z se tiene que:| | √ . Remplazamos| | √| | √ = 5.Por definición de argumento o ángulo se tiene que:
  7. 7. Luis Gonzalo Revelo Pabón 56 Dpto. de Matemáticas – Goretti..arg (z) = tang ( ) -1 remplazamos:.arg (z) = tang ( ) -1.arg (z) = 53,13º.arg (z) = 53º 7´ 2. z = (-4, 5) = -4 +5iComo:.a = -4.b = 5EntoncesPor definición de módulo o Valor Absoluto delnúmero complejo z se tiene que:| | √ . Remplazamos| | √| | √Por definición de argumento o ángulo se tieneque:.arg (z) = tang ( ) -1 remplazamos:.arg (z) = tang ( ) -1.arg (z) = -51,34º.arg (z) = - 51,34º + 180º.arg (z) = 128º 39º 3. z = (-5, -6) = -5 -6iComo:a = -5.b = -6EntoncesPor definición de módulo o Valor Absoluto delnúmero complejo z se tiene que:| | √ . Remplazamos| | √| | √Por definición de argumento o ángulo se tieneque:.arg (z) = tang ( ) -1 remplazamos:.arg (z) = tang ( ) -1.arg (z) = 50,19º.arg (z) = 50,19º + 180º.arg (z) = 230,19º
  8. 8. Luis Gonzalo Revelo Pabón 57 Dpto. de Matemáticas – Goretti.z = (2, -2) = 2 - 2iComo:a=2.b = -2EntoncesPor definición de módulo o Valor Absoluto delnúmero complejo z se tiene que:| | √ . Remplazamos| | √| | √Por definición de argumento o ángulo se tieneque:.arg (z) = tang ( ) -1 remplazamos:.arg (z) = tang ( ) -1.arg (z) = -45º.arg (z) = -45º + 180º.arg (z) = 135ºTALLERDado los siguientes números complejos. Representarlos en el plano cartesiano, encontrar el módulo | |,y el argumento de z. 1) z = (3, 4) = 3 + 4i 2) z = (-4, 5) = -4 +5i 3) z = (-5, -6) = -5 -6i 4) z = (2, -5) = 2 - 5i 5) z = (3, -7) = 3 - 7i 6) z = (-4, -5) = -4 - 5i 7) z = (-5, -6) = -5 -6i,Solución: 1) | | = 5, 53,13º 2) | | = 6,40 128,65º 3) | | =7,81 230,19º 4) | | = 5,38 291.80º 5) | | =7,61 293,19º 6) | | = 6,4; 231,34º 7) | | = 7,81 230,19º.Un número complejo escrito en forma polar: Un numero escrito en forma Polar tiene la forma de: Z = a +bi =Dónde:Z: Número complejo : Número complejo escrito en forma polar = [ ]: Modulo del número complejo. : Angulo formado por el vector del número com-plejo, y el semi eje positivo de las X.El número complejo ZZ= = r (Cos + Sen )Porque: z= a + bi {Dónde:Cos: Función trigonométricaSen: Función trigonométrica.Ejemplo.Escribir en forma polar los siguientes números complejos: A) z= 3 + 2 i, B) z =1 - i, C) z = -2 - 5 i.
  9. 9. Luis Gonzalo Revelo Pabón 58 Dpto. de Matemáticas – Goretti.Solución.A) Z = 3 + 2i - El modulo del número complejo está definido por: √Remplazamos: √ =√ =3,60 - El argumento o ángulo del número complejo Z, está definido por: Z =Remplazamos: -1 tang ( = 33,69º El complejo dado se encuentra en el primer cuadrante.Por lo tanto, el número complejo escrito en forma Polar está definido por:Z = a + bi = remplazamos.Z = 3+2i =B) Z = 1 – i - El modulo del número complejo está definido por: √Remplazamos: √ =√ =1,41 - El argumento o ángulo del número complejo Z, está definido por: Z =Remplazamos: -1 tang ( = -- 45º El complejo dado se encuentra en el cuarto cuadrante. Entonces: = 360º -- 45º = 315ºComo el número complejo escrito en forma Polar está definido por:Z = a + bi = remplazamos.Z=1–i=C) Z = -2 – 5i - El modulo del número complejo está definido por: √Remplazamos: √ =√ = 5,38 - El argumento o ángulo del número complejo Z, está definido por: Z =Remplazamos: -1 tang ( = 68,19º El complejo dado se encuentra en el tercer cuadrante. Entonces: =180º + 68,19º = 248,19ºComo el número complejo escrito en forma Polar está definido por:Z = a + bi = remplazamos.Z = --2 –5i =Ejemplo. Representar en forma binómica los complejos los siguientes números complejos escritos enforma polar: a) 350°, b) 2180°, y c) 1220°Solución:Un número complejo escrito en forma polar, trigonométrica y binómica es igual a:Z = = r (Cos + Sen ) = a+ biPor lo tanto al remplazar en la ecuación anterior la información dad, se tiene:a) Z = 350° = 3.(Cos 50° + i.Sen 50°) = 3(0,643 + 0,766 i) = 1,929 + 2,298 ib) Z = 2180° = 2.(Cos 180° + i.Sen 180°) = 2 (-1 + 0 i) = - 2c) Z = 1220° = 1.(Cos 220° + i.Sen 220°) = - 0,766 - 0,643 i

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