Unidad 4. sistema de ecuaciones lineales 2 x2 GONZALO REVELO PABON

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Unidad 4. sistema de ecuaciones lineales 2 x2 GONZALO REVELO PABON

  1. 1. Luis Gonzalo Revelo Pabón 33 Dpto. de Matemáticas- GorettiSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.Estudiaremos Sistemas de Ecuaciones Lineales de 2 × 2 es decir, Sistemas de Ecuaciones Lineales formados por dosecuaciones con dos variables.Estos sistemas tienen la siguiente forma:El problema a resolver en el sistema de ecuaciones lineales, es el de encontrar el valor de las variables X, Ytales que satisfaga a las dos ecuaciones.Al resolver un sistema de ecuaciones lineales siempre se tiene cumple uno y solamente uno de los siguientes trescasos.1. El sistema tiene una única solución.2. El sistema no tiene solución.3. El sistema tiene infinitas soluciones.1. Un criterio que nos permitirá saber si el Sistema de Ecuaciones Lineales tiene o no, una solución única es que ´ ´ se tiene que cumplir: Tiene solución Única sí se cumple que: O tambiénGráficamente en el plano cartesiano las dos líneas rectas se cortan en un punto.2.- Si todos los coeficientes de la primera ecuación lineal, son múltiplos de todos los coeficientes de la segundaecuación o viceversa. Entonces el sistema de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones. Es decir Tiene infinitas soluciones sí: ; O también se cumple que :Gráficamente en el plano cartesiano las dos rectas se cortan en infinitos puntos (las dos líneas rectan se superpo-nen una encima de la otra).3.- Si los coeficientes de las variables X, Y de la primera ecuación lineal ( ), son múltiplos de los coefi-cientes de las variables X, Y de la segunda ecuación ( ) o viceversa, pero los términos independientes( ) no son múltiplos entre sí, entonces el sistema de ecuaciones lineales No tiene solución. Es decir No tiene solucion sí: ; O también se cumple que:Gráficamente en el plano cartesiano las dos rectas son paralelas, por lo tanto NO se cortan. Ejemplo 1 Consideremos el sistema 2x + 3y = 1 - x+ y =2 Como: (2)(1) (3)(-1) 2 −3 Entonces el sistema tiene una solución única. (Gráficamente las líneas rectas se cortan en un punto)
  2. 2. Luis Gonzalo Revelo Pabón 34 Dpto. de Matemáticas- GorettiEjemplo 2 Consideremos el sistema 2x + y = 6 2x + y = 5Como (2)(1) (1)(2) Y (1)(5) (1)(6) 2=2 5 6Entonces el sistema NO tiene solución. (Gráficamente las líneas rectas sonparalelas)Ejemplo 3 Consideremos el sistema 3x + 4y = 4 6x + 8y = 8 Como (3)(8) = (6)(4) Y (8)(4) = (8)(4) 24 = 24 Y 32 = 32 Entonces el sistema tiene infinitas soluciones (Gráficamente las líneas rectas se superponen). ME ´TODOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 2x2, se tiene los siguientes métodos. 1. El método Grafico 2. El método de Igualación. 3. El método de sustitución. 4. El método de Reducción o Suma y Resta. 2.- EL METODO DE IGUALACIÓN.Procedimiento. 1. Se enumera las ecuaciones lineales. Así (1) y (2) 2. Se despeja la variable X de las ecuaciones enumeradas como (1) y (2) y a las ecuaciones obtenidas se las denomina por (3) y (4) 3. Se iguala los segundos miembros, de las ecuaciones (3) y (4) 4. Se despeja la incógnita o variable Y. Con el fin de obtener el valor numérico de esta variable. 5. Remplazamos el valor numérico de la variable Y, en la ecuación (1) o (2), para obtener así el valor numérico de la variable X.Ejemplo: Resolver por el método de igualación, el siguiente sistema:X + 6y = 277x – 3y = 9.SoluciónPaso 1: Enumeramos las ecuaciones lineales..x + 6y = 27 …………………… (1)7x – 3y = 9. …………………… (2)
  3. 3. Luis Gonzalo Revelo Pabón 35 Dpto. de Matemáticas- GorettiPasó 2: despejamos la variable X, de las ecuaciones (1) y (2). Así:.x + 6y = 27 x= 27 - 6y ….. (3)7x – 3y = 9. x= ….. (4)Paso 3: Se iguala los segundos miembros, de las ecuaciones. (3) y (4). Así: 27 - 6y = multiplicamos a cada término de la ecuación por 7.189 – 42y = 9 + 3y. Ahora, transponemos términos.Paso 4: Se despeja la incógnita o variable Y. así:189 – 42y = 9 + 3y. Ahora, transponemos términos.– 42y -3y = 9 -189 reducimos términos semejantes. – 45y = - 180 multiplicamos por - 1 45 y = 180 .y = 180/ 45 .y = 4Paso 5: remplazamos y =4 en la ecuación (1) o (2). .x + 6y = 27………. (1) si y=4 entonces:.x + 6(4) = 27 .x + 24 = 27 transponemos términos. .x = 27 – 24 .x = 3.Respuesta: La solución del sistema es: x= 3; y = 4Ejemplo: Resolver por el método de igualación, el siguiente sistema:3x – 2y = -25x + 8y = -60Solución:Paso 1: Enumeramos las ecuaciones lineales.3x - 2y = -2 ……………………… (1)5x + 8y = -60. …………………… (2)Pasó 2: despejamos la variable X, de las ecuaciones (1) y (2). Así:3x - 2y = -2 x= ….. (3)5x + 8y = -60. x= ….. (4)Paso 3: Se iguala los segundos miembros, de las ecuaciones. (3) y (4). Así: = el producto de la diagonal principal, es igual a la diagonal secundaria. Así: 5(- 2 + 2y) = 3(-60 -8y)Paso 4: Se despeja la incógnita o variable Y. así: 5(- 2 + 2y) = 3(-60 -8y) -10 + 10y = -180 – 24y Ahora, transponemos términos. 10y +24y = -180 +10 reducimos términos semejantes. 34y = -170 .y = -170 / 34 .y = -5
  4. 4. Luis Gonzalo Revelo Pabón 36 Dpto. de Matemáticas- GorettiPaso 5: remplazamos y = -5 en la ecuación (1) o (2). 3x - 2y = -2………. (1) si y= -5 entonces:3x - 2(-5) = -2 3x + 10 = -2 transponemos términos. 3x = -2 -10 3x = -12 .x = -12/3 .x = -4Respuesta: La solución del sistema es: x= -4; y = -5.TALLERResuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por medio del Método de igualación: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.Respuestas: 1) x  1, y  3 2) x  7, y  3 3) x  3, y  4 4) x  6, y  2 5) x  2, y  4 6) x  2, y  5 7) x  6, y  8 8) x  2, y  4
  5. 5. Luis Gonzalo Revelo Pabón 37 Dpto. de Matemáticas- Goretti 3.- Método de Sustitución.Procedimiento. 1. Se enumera las ecuaciones lineales. Así (1) y (2) 2. Se despeja la variable X de la ecuación (1) { o de la ecuación (2)} 3. Se remplaza la expresión algebraica obtenida de la variable X, en la ecuación (2) {o en la ecuación (1)} 4. Se despeja la incógnita o variable Y. Con el fin de obtener el valor numérico de esta variable. 5. Remplazamos el valor numérico de la variable Y, en la ecuación (1) o (2), para obtener así el valor numérico de la variable X.Ejemplo: Resolver por el método de sustitución, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:.x + 3y = 65x – 2y = 13Solución:Paso 1: Enumeramos las ecuaciones lineales..x + 3y = 6 ………………...…… (1)5x - 2y = 13. …………………… (2)Paso 2: Se despeja la variable X de la ecuación (1). Así:x + 3y = 6 x = 6 – 3yPaso 3: Se remplaza la expresión algebraica obtenida de la variable X, en la ecuación (2) 5x - 2y = 13. ………… (2) Si x = 6 – 3y entonces: 5(6 – 3y) -2y = 13 30 – 15y -2y = 13 30 -17y = 13Paso 4: Se despeja la incógnita o variable Y 30 – 17y = 13 -17y = 13 -30 multiplicamos por -1, a cada uno de los términos de la ecuación 17y = -13 + 30 17y = 17 .y= 17/17 .y=1.Paso 5: Remplazamos el valor numérico de la variable Y, en la ecuación (1).x + 3y = 6 …………………… (1) si y= 1, entonces.x + 3(1) = 6.x = 6 – 3.x = 3Respuesta: x= 3; y = 1Ejemplo: Resolver por el método de sustitución, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 5x + 7y = - 1-3x + 4y = -24Solución:Paso 1: Enumeramos las ecuaciones lineales.5x + 7y = - 1 …………………….(1)-3x + 4y = -24 ………………….. (2)Paso 2: Se despeja la variable x de la ecuación (1). Así:
  6. 6. Luis Gonzalo Revelo Pabón 38 Dpto. de Matemáticas- Goretti5x + 7y = -1 x=Paso 3: Se remplaza la expresión algebraica obtenida de la variable X, en la ecuación (2) -3x + 4y = -24. ………… (2) Si x = entonces: -3 + 4y = -24 multiplicamos todos los términos por 5. Así:-3(-1-7y) + 20y = -120 3 + 21y + 20y =-120 3 + 41y =-120Paso 4: Se despeja la incógnita o variable Y3 + 41y =-120 .y = .y = -123/41 .y = -3Paso 5: Remplazamos el valor numérico de la variable Y, en la ecuación (1) 5x + 7y = - 1 …………………….(1) si y = -3, entonces5x + 7(-3) = -1 5x -21 = -1 5x = -1 +21 5x = 20 .x= 20/5 .x=4Respuesta: x= 4; y = -3TALLERResuelva los siguientes sistemas de ecuaciones, por medio del Método de Sustitución 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.Respuestas: 1) x  1, y  3
  7. 7. Luis Gonzalo Revelo Pabón 39 Dpto. de Matemáticas- Goretti 2) x  7, y  3 3) x  3, y  4 4) x  6, y  2 5) x  2, y  4 6) x  2, y  5 7) x  6, y  8 8) x  2, y  4 4.- Método de Reducción o de Suma y Resta.Procedimiento. 1. Se enumera las ecuaciones lineales. Así (1) y (2) 2. El coeficiente de la variable X de la ecuación (2), se lo multiplica por todos los términos de la ecuación (1) y el coeficiente de la variable X de la ecuación (1), se lo multiplica por todos los términos de la ecua- ción (2), de tal manera que los coeficientes de las variables X, sean iguales y de signos contrarios. 3. Se suma algebraicamente las nuevas ecuaciones (3) y (4). 4. Se despeja la incógnita o variable Y, de la ecuación resultante. 5. Remplazamos el valor numérico de la variable Y, en la ecuación (1) o (2), para obtener así el valor numérico de la variable X.Ejemplo: Resolver por el método de Suma y Resta, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:6x -5y = -94x + 3y = 13Solución:Paso 1: Se enumera las ecuaciones lineales.6x -5y = -9 ………………… (1)4x + 3y = 13 ………………… (2)Paso 2: Como los signos de los coeficientes de la variable X, tienen el mismo signo (positivos) entonces multipli-camos el coeficiente de la variable X de la ecuación (2) que es el 4, por todos los términos de la ecuación (1) yel coeficiente de la variable X de la ecuación (1) que es el 6, lo multiplicamos por todos los términos de la ecua-ción (2), pero como los productos de los coeficientes de las variables X, deben ser iguales y de signos contrarios,entonces los multiplicamos por -6. Así: 24x – 20y = -36 ………….. (3)-24x + 18y = -78 ………….. (4)Paso 3: Se suma algebraicamente las ecuaciones (3) y (4). Para obtener: 24x – 20y = -36 ………….. (3)-24x - 18y = -78 ………….. (4)_____________ -38y = -114Paso 4: Despejamos la variable y. -38y = -114 multiplicamos por -1 38y = 114 .y = 114/38 = 3Paso 5: Remplazamos el valor numérico de la variable Y, en la ecuación (1). 6x -5y = -9 remplazamos y = 36x – 5(3) = -9 6x -15 = -9 despejamos x .x = .x = 1
  8. 8. Luis Gonzalo Revelo Pabón 40 Dpto. de Matemáticas- GorettiRespuesta x=1; y = 3Ejemplo: Resolver por el método de Suma y Resta, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:7x -15y = 1 -x -6y = 8Solución:Paso 1: Se enumera las ecuaciones lineales. 7x -15y = 1 ………………… (1)-1x - 6y = 8 ………………… (2)Paso 2: Como los signos de los coeficientes de la variable X, tienen signos contrarios, entonces únicamente mul-tiplicamos el coeficiente de la variable X de la ecuación (2), que es el 1, por todos los términos de la ecuación(1) y el coeficiente de la variable X de la ecuación (1) que es el 7, lo multiplicamos por todos los términos de laecuación (2). Así: 7x – 15y = 1 ………….. (3) -7x - 42y = 56 ………….. (4)Paso 3: Se suma algebraicamente las ecuaciones (3) y (4). Para obtener: 7x – 15y = 1 ………….. (3)-7x - 42y = 56 ………….. (4)_____________ -57y = 57Paso 4: Despejamos la variable y. -57y = 57 multiplicamos por -1 57y = -57 .y = -57/57 = -1Paso 5: Remplazamos el valor numérico de la variable Y, en la ecuación (1). 7x -15y = 1 remplazamos y = -17x -15(-1) = 1 7x +15 = 1 despejamos x.x =.x = -2Respuesta x=-2; y = -1TALLERResuelva los siguientes sistemas de ecuaciones, por medio del método de Suma y Resta 1. 2. 3. 4. 5.
  9. 9. Luis Gonzalo Revelo Pabón 41 Dpto. de Matemáticas- Goretti 6. 7. 8.Respuestas: 1) x  1, y  3 2) x  7, y  3 3) x  3, y  4 4) x  6, y  2 5) x  2, y  4 6) x  2, y  5 7) x  6, y  8 8) x  2, y  4SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES FRACCIONARIAS CON DOS VARIABLESProcedimiento. 1. Se enumera las ecuaciones lineales fraccionarias. Así (1) y (2) 2. Se transforma la ecuación lineal fraccionaria, en una ecuación lineal entera, para ello se multiplica a cada uno de los términos de la ecuación fraccionaria por el denominador o denominadores que tenga la ecua- ción lineal fraccionaria. 3. Se resuelve las ecuaciones lineales enteras, que se hayan obtenido, por cualquiera de los métodos de eliminación o reducción, que se han estudiado.Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales fraccionarias:Solución:Paso 1: Se enumera las ecuaciones lineales fraccionarias.Paso 2: Multiplicamos a cada uno de los términos de las ecuaciones fraccionarias (1) y (2) por 2. Para obtener:Paso 3: Aplicamos cualquiera de los métodos de reducción a este último sistema de ecuaciones lineales enteras,para obtener x=6; y=2Solución:Paso 1: Se enumera las ecuaciones lineales fraccionarias.
  10. 10. Luis Gonzalo Revelo Pabón 42 Dpto. de Matemáticas- GorettiPaso 2: Multiplicamos por 12 (3x4=12) a cada uno de los términos de la ecuación fraccionaria (1) y a la ecuaciónfraccionaria (2) la multiplicamos por 10 (2x5=10). Para obtener:Efectuamos las operaciones y reducimos los términos semejantes en las ecuaciones (3) y (4), para obtener:Paso 3: Aplicamos cualquiera de los métodos de reducción a este último sistema de ecuaciones lineales enteras,(5) y (6), se obtiene que: x=6; y=8.Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales fraccionarias:Solución:Paso 1: Se enumera las ecuaciones lineales fraccionarias.Paso 2: Multiplicamos por 216 (2x3x36=216) a cada uno de los términos de la ecuación fraccionaria (1) y a laecuación fraccionaria (2) la multiplicamos por 18 (3x2x3=18). Para obtener:Efectuamos las operaciones y reducimos los términos semejantes en las ecuaciones (3) y (4), para obtener:Paso 3: Aplicamos cualquiera de los métodos de reducción a este último sistema de ecuaciones lineales enteras,(5) y (6), se obtiene que: x=1/2; y=4/3TALLERResolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales fraccionarias de 2x2 1. 2. 3.
  11. 11. Luis Gonzalo Revelo Pabón 43 Dpto. de Matemáticas- Goretti 4.Respuestas:1. x  5, y 72. x  3, y  43. x  5, y  44. x  2, y  4SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES EN LOS DENOMINADORES.Procedimiento: 1. Se enumera las ecuaciones lineales fraccionarias. Así (1) y (2) 2. El sistema de ecuaciones con dos variables en los denominadores, se sustituye las variables y . para obtener así un sistema de ecuaciones lineales enteras. 3. Se resuelve las ecuaciones lineales enteras, que se hayan obtenido, por cualquiera de los métodos de eliminación o reducción que se han estudiado. Para obtener los valores de las variables u y v. 4. Los valores de las variables x; y serán iguales a:Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos variables en los denominadores.Solución:Paso 1: Se enumera las ecuaciones con dos variables en los denominadores.Paso 2: El sistema de ecuaciones con dos variables en los denominadores, se sustituye las variables y . Así:Paso 3: Se resuelve las ecuaciones lineales fraccionarias, que se hayan obtenido, por cualquiera de los métodosde eliminación o reducción que se han estudiado. Para obtener que u= 19/76 = 1/4 , v = 1/3.Paso 4: Los valores de las variables x; y serán iguales a: remplazamos:Respuesta: x=4; y= 3
  12. 12. Luis Gonzalo Revelo Pabón 44 Dpto. de Matemáticas- GorettiRESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE 2X2Para resolver problemas que hagan referencia a Sistemas de Ecuaciones formados por dos ecuaciones linealescon dos incógnitas o dos preguntas podemos seguir los siguientes pasos:Paso 1. Asignar las Variables X e Y, las dos preguntas que hace el problema.Paso 2. Plantear las dos ecuaciones lineales, para ello se traduce el problema escrito en español, al lenguajealgebraico.Estos dos pasos los resumimos mediante la siguiente tabla.Paso 3. Resolver el sistema de ecuaciones lineales de 2x2, por cualquier método estudiado.Paso 4. Por último siempre se comprueba que la solución es correcta o al menos que tiene sentido.PROBLEMAS RESUELTOSEjemplo: Una señora compra 10 kilos de frijol y 4 kilos de arroz y paga $ 58.000, pesos. Otra señora compra 3kilos de frijol y 5 kilos de arroz y paga $25.000, pesos. ¿Cuánto cuesta 1 kilo de arroz? ¿Cuánto cuesta 1 kilo defrijol?1. Paso. Las preguntan son: ¿Cuánto cuesta 1 kilo de frijol?, ¿Cuánto cuesta 1 kilo de arroz? Entonces asignamos a las preguntas las siguientes variablesx = precio de 1 kilo de frijol.y = Precio de 1 kilo arroz2. Paso. Se plantean las dos ecuaciones.Señora 1: compra 10 kilos de frijol y 4 kilos de arroz y paga $ 58.000, pesos , entonces: La Ecuación 1 seria: 10x +4y =58000.Señora 2: compra 3 kilos de frijol y 5 kilos de arroz y paga $25.000, pesos entonces:La Ecuación 2 seria: 3x + 5y = 25000.O sea: X:FRIJOL (Kilos) Y: ARROZ (kilos) Termino Independiente TOTAL (dinero) Ecuación 1 (SEÑORA 1) 10 4 58.000 Ecuación 2 (SEÑORA 2) 3 5 25.000Paso 3: Al resolver el sistema de ecuaciones lineales, por cualquier método que se ha estudiado se obtiene que:X= $5.000 pesos (1 kilo de frijol), Y= $2.000 pesos (1 kilo de arroz).Paso 4: Al sustituir estos valores de X, Y en la ecuación 1 o 2 se obtiene una igualdad.Ejemplo: En un corral hay conejos y gallinas. En total hay 168 patas y 58 cabezas. ¿Cuántos conejos y cuantasgallinas hay en el corral?1. Paso. Las preguntan son: ¿Cuántos conejos hay en el corral? ¿Cuántas gallinas hay en el corral? Entonces asignamos a las preguntas las siguientes variablesx = Conejosy = Gallinas.
  13. 13. Luis Gonzalo Revelo Pabón 45 Dpto. de Matemáticas- Goretti2. Paso. Se plantean las dos ecuaciones.Ecuación de las Patas:4 patas de los conejos + 2 patas de las gallinas = 168 patasEcuación de las Cabezas.1 cabeza de los conejos + 1 cabeza de la gallina = 58 cabezasO sea: X: CONEJOS Y:GALLINAS Termino Independiente TOTAL Ecuación 1 (PATAS) 4 2 168 Ecuación 2 (CABEZAS) 1 1 58Paso 3: Al resolver el sistema de ecuaciones lineales, por cualquier método que se ha estudiado se obtiene que:X=26 Conejos, Y= 32 gallinas.Paso 4: Al sustituir estos valores de X, Y en la ecuación 1 o 2 se obtiene una igualdad.Ejemplo: para un espectáculo se vendieron 300 boletos, cuyos boletos tenían un precio de $20.000 pesos y de$ 30.000 pesos ¿Cuántos boletos se vendieron de cada precio, si el total de dinero recibido por la venta de bole-tería fue de $8.000.000 pesos?1. Paso. Las preguntan son: ¿Cuántos boletos se vendieron de cada precio?Entonces asignamos a las preguntas las siguientes variablesx = número de boletos de $20.000y = número de boletos de $30.000.2. Paso. Se plantean las dos ecuaciones.Ecuación del número de boletas:X + Y = 300 boletas.Ecuación del dinero.20.000X + 30.000Y = 8.000.000O sea: X: boletas de $20.000 Y: boletas de $30.000 Termino Independiente TOTALEcuación 1 (número de boletos) 1 1 300Ecuación 2 (dinero) 20.000 30.000 8.000.000Paso 3: Al resolver el sistema de ecuaciones lineales, por cualquier método que se ha estudiado se obtiene que:X=100 boletas de $20.000, Y= 200 boletas de $30.000 pesos.Paso 4: Al sustituir estos valores X, Y en la ecuación 1 o 2 se obtiene una igualdad.Ejemplo: Un ganadero vendió a un señor A, 50 terneras y 220 ovejas por un valor de $6.900.000 pesos, y mástarde con el mismo precio vendió al señor B, 40 terneras y 180 ovejas por un valor de $5.600.000 pesos. Hallar elprecio de venta de cada ternera y el precio de cada oveja.1. Paso. Las preguntan son: ¿Hallar el precio de una ternera?¿Hallar el precio de una oveja?
  14. 14. Luis Gonzalo Revelo Pabón 46 Dpto. de Matemáticas- GorettiEntonces asignamos a las preguntas las siguientes variablesx = Precio de la ternera.y = Precio de la oveja.2. Paso. Se plantean las dos ecuaciones.Señor A: 50x + 220y = 6.900.000Señor B: 40x + 180y = 5.600.000O sea: X:TERNERAS Y: OVEJAS Termino Independiente TOTALEcuación 1 (señor A) 50 220 6.900.000Ecuación 2 (señor B) 40 180 5.600.000Paso 3: Al resolver el sistema de ecuaciones lineales, por cualquier método que se ha estudiado se obtiene que:X= $50.000 (Precio de una ternera), Y=$20.000 (Precio de una oveja).Paso 4: Al sustituir estos valores X, Y en la ecuación 1 o 2 se obtiene una igualdad.PROBLEMAS DE EDADESEn los problemas propuestos que hacen referencia a edades, el TIEMPO es uno de los elementos más importan-tes que sobresale en la dificultad del problema propuesto, ya que dentro de sus condiciones ocurren en tiemposdiferentes: pasado, presente y futuro y el éxito de la solución depende de su correcta interpretación.En estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras diferentes indicando en unalínea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas, presentes o futuras, según corresponda, de esta manera:Ejemplo: La edad actual de un padre es 20 años más que la edad de su hijo. Al cabo de 8 años la edad del padreserá 5 años más que el doble de la edad de su hijo. ¿Cuál es la edad actual del padre y la edad actual del hijo?1. Paso. Las preguntan son: ¿Cuál es la edad actual del padre? ¿Cuál es la edad actual del hijo?.Entonces asignamos a las preguntas las siguientes variablesp = edad del padre.h = edad del hijo.2. Paso. Se plantean las dos ecuaciones teniendo en cuenta la tabla del tiempo. Así: Tiempo p: Edad del Padre h: Edad del hijo ECUACIONESVariables de Edad Actual p .h p = 20 + hVariables de la Edad Futura (dentro de 8 años) p+8 h+8 p + 8 = 5 + 2(h +8)Ecuación 1:” La edad actual de un padre es 20 años más que la edad de su hijo” p = 20 + hEcuación 2: “Al cabo de 8 años la edad del padre será 5 años más que el doble de la edad de su hijo”:p + 8 = 5 + 2(h +8)
  15. 15. Luis Gonzalo Revelo Pabón 47 Dpto. de Matemáticas- GorettiO sea: Entonces:Paso 3: Al resolver el sistema de ecuaciones lineales, (1) y (2) por cualquier método que se ha estudiado se ob-tiene que: p= 27 años y h= 7 años.Paso 4: Al sustituir estos valores p, h en la ecuación 1 o 2 se obtiene una igualdad.Ejemplo: La suma de las edades actuales de Juan y Pedro es de 65 años y dentro de 10 años la edad de Pedroserá los 5/12 de la edad de Juan. ¿Cuál es la edad de Juan? ¿Cuál es la edad de Pedro?Paso 1. Las preguntan son: ¿Cuál es la edad actual del padre? ¿Cuál es la edad actual del hijo?.Entonces asignamos a las preguntas las siguientes variablesj = edad de Juan.p = edad de Pedro.Paso 2. Se plantean las dos ecuaciones teniendo en cuenta la tabla del tiempo. Así: Tiempo j: Edad de Juan p: Edad de Pedro ECUACIONESVariables de la Edad Actual j .p J + p = 65Variables de la Edad Futura (dentro de 10 años) j + 10 p + 10 P +10 = 5/12(j +10)Ecuación 1:” La suma de las edades actuales de Juan y Pedro es de 65 años” j + p = 65Ecuación 2: “dentro de 10 años la edad de Pedro será los 5/12 de la edad de Juan”: p +10 = 5/12 (j +10)O sea: Entonces:Paso 3: Al resolver el sistema de ecuaciones lineales, (1) y (2) por cualquier método que se ha estudiado se ob-tiene que: p= 15 años y j= 50 años.Paso 4: Al sustituir estos valores p, j en la ecuación 1 o 2 se obtiene una igualdad.Ejemplo: El doble de la edad de Juan más la de su hermano Pedro son 44 años. Y dentro de dos años la edad deJuan será el doble que la de Pedro ¿Cuántos años tienen cada uno?Paso 1. Las preguntan son: ¿Cuál es la edad actual de juan? ¿Cuál es la edad actual de Pedro?.Entonces asignamos a las preguntas las siguientes variablesj = edad de Juan.p = edad de Pedro.Paso 2. Se plantean las dos ecuaciones teniendo en cuenta la tabla del tiempo. Así: Tiempo j: Edad de Juan p: Edad de Pedro ECUACIONES Variables de la Edad Actual j p 2J + p = 44 Variables de la Edad Futura (dentro de 2 años) j+2 p+2 j + 2 = 2(p+2)Ecuación 1:” El doble de la edad de Juan más la de su hermano Pedro son 44 años” 2j + p = 44Ecuación 2: “dentro de dos años la edad de Juan será el doble que la de Pedro”: j + 2 = 2(p +2)O sea: Entonces:Paso 3: Al resolver el sistema de ecuaciones lineales, (1) y (2) por cualquier método que se ha estudiado se ob-tiene que: p= 8 años y j= 18años.
  16. 16. Luis Gonzalo Revelo Pabón 48 Dpto. de Matemáticas- GorettiPaso 4: Al sustituir estos valores p, j en la ecuación 1 o 2 se obtiene una igualdad.Ejemplo: La edad de un padre más el doble de la de su hijo suman hoy 120 años y hace 5 años la edad del padreera el triple de la del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno?Paso 1. Las preguntan son: ¿Cuál es la edad actual del padre? ¿Cuál es la edad actual del hijo?Entonces asignamos a las preguntas las siguientes variablesp = edad del padre.h = edad del hijo.Paso 2. Se plantean las dos ecuaciones teniendo en cuenta la tabla del tiempo. Así: Tiempo p: Edad del padre h: Edad del hijo ECUACIONES Variables de la Edad Actual p h p +2h=120 Variables de Edad Pasada (de hace 5 años) p-5 h-5 p - 5 = 3(h – 5)Ecuación 1:” La edad de un padre más el doble de la de su hijo suman hoy 120 años” p + 2h = 120Ecuación 2: “hace 5 años la edad del padre era el triple de la del hijo”: p - 5 = 3(h - 5)O sea: Entonces:Paso 3: Al resolver el sistema de ecuaciones lineales, (1) y (2) por cualquier método que se ha estudiado se ob-tiene que: p= 68 años y h= 26 años.Paso 4: Al sustituir estos valores p, j en la ecuación 1 o 2 se obtiene una igualdad.Ejemplo: Félix tiene 9 años más que su hermana María y hace tres años Félix tenía el doble de la edad de María.¿Cuántos años tienen actualmente cada uno?Paso 1. Las preguntan son: ¿Cuántos años tiene Félix? ¿Cuántos años tiene María?Entonces asignamos a las preguntas las siguientes variablesf = edad de Félix.m = edad de María.Paso 2. Se plantean las dos ecuaciones teniendo en cuenta la tabla del tiempo. Así: Tiempo f: Edad de Félix m: Edad de María ECUACIONES Variable de la Edad Actual f .m .f = 9 + m Variable de la Edad Pasada (hace 3 años) f-3 .m -3 f- 3 =2(m-3).Ecuación 1:” Félix tiene 9 años más que su hermana María” f = 9 + mEcuación 2: “hace tres años Félix tenía el doble de la edad de María”: f -3 = 2 (m - 3)O sea: Entonces:Paso 3: Al resolver el sistema de ecuaciones lineales, (1) y (2) por cualquier método que se ha estudiado se ob-tiene que: f= 21 años y m= 12 años.Paso 4: Al sustituir estos valores p, j en la ecuación 1 o 2 se obtiene una igualdad.
  17. 17. Luis Gonzalo Revelo Pabón 49 Dpto. de Matemáticas- GorettiTALLER1. Seis camisetas y cinco gorras cuestan 227 dólares. Cinco camisetas y 4 gorras cuestan 188 dólares. Halle elprecio de una camiseta y de una gorra. (Solución: 32 dólares vale una camiseta, 7 dólares vale una gorra)2. He comprado un cuaderno que costaba 3000 pesos y para pagarlo he utilizado nueve monedas, unas de 200pesos y otras de 50 pesos. ¿Cuántas monedas de cada valor monetario he utilizado? (Solución: 5 monedas de200 pesos, y 4 de 500 pesos)3. En un examen tipo test de 30 preguntas se obtienen 0,75 puntos por cada respuesta correcta y se restan 0,25por cada respuesta con error. Si un alumno tiene una calificación 10,5 puntos ¿Cuántos preguntas correctas? y¿Cuántas preguntas con errores ha cometido?(Solución: 18 respuestas correctas, 12 respuestas incorrectas)4. Dos números suman 191 y su diferencia es de 67. ¿Cuáles son esos dos números? (Solución: primer número129 y segundo número 62)5. La diferencia de dos números es de 14 y la cuarta parte de su suma es 13. Halla dichos números.(Solución: primer número 33 y segundo número 19)6. Dos números suman 21. Si el primero lo dividimos entre 3 y le restamos la sexta parte del segundo, nos da 1.Halla el valor de los dos números. (Solución: primer número 9 y segundo número 12)7. Ente María y Pedro tienen un total de 65 CD’s. Si que Pedro tiene 7 CD’s más que María. ¿Cuántos CD’s tienecada uno? (Solución: María tiene 29 CD’s y Pedro 36CD´s)8. Calcule las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 80 m y la altura es igual a los 2/3 de su base. (So-lución: base 24 m y altura 16m)9. En el aula de 3º A hay doble número de alumnos que en el aula de 3ºB. Si se pasan 8 alumnos del curso 3º Aal curso 3ºB ambas aulas tendrán el mismo número de alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en cada aula?(Solución: En el aula de 3º A hay 32 alumnos y en el aula del 3ºB hay 16 alumnos)11. Tenemos dos grifos A y B. Si abrimos el grifo A durante 3 minutos y al grifo B lo abrimos durante 1 minuto,entonces salen en total 50 litros de agua. Ahora si abrimos el grifo B durante 2 minutos y al grifo A durante 1 minu-to, entonces salen en total 40 litros ¿Cuántos litros de agua arroja cada grifo en 1 minuto? (Solución: Grifo A 12litros en un minuto y grifo B 14 litros en un minuto)12. Javier dispone de un capital de 8000 euros. De dicho dinero una parte la ahorra en un banco que paga al 5%anual y otra parte del dinero la ahorra en otro banco que paga al 6% anual. Calcule la cantidad de dinero quedeposito en cada banco, sabiendo que el capital recibido por los dos bancos después de un año es fue de 8450euros. (Solución: El capital depositado en el banco que pago al 5% anual fue de 3000 euros y capital depositadoen el banco que pago al 6% fue de 5000 euros)13. Una empresa que fabrica jarrones tiene una producción mensual de Y jarros. Al planificar la producción se dancuenta de que si fabrican 250 jarrones al día, faltarían 150 jarrones para obtener ese nivel de producción y si fabri-can 260 jarrones diarios entonces les sobrarían 80 jarrones del nivel de producción. ¿Cuántos días del mes laborala fábrica y cuántos jarrones produce mensualmente la empresa? (Solución: trabajan 23 días en un mes y laproducción mensual es de 5900 jarrones.14. La edad de mi primo dentro de 14 años será 31 años. ¿Cuál fue su edad hace 4 años? (Solución 17 años).15. Cristina tiene 8 años más que Mateo y hace dos años Cristina tenía el doble de edad que él, ¿Cuántos añostiene cada uno? (Solución: Cristina tiene 18 años y Mateo tiene 10 años)16. La edad actual de un padre es el triple que la de su hijo y dentro de 14 años será el doble. ¿Qué edad tienecada uno? (Solución. El padre tiene 42 años, y el hijo tiene 14 años)

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