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Unidad 1 valor absoluto-GONZALO REVELO PABON
 

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    Unidad 1 valor absoluto-GONZALO REVELO PABON Unidad 1 valor absoluto-GONZALO REVELO PABON Document Transcript

    • Luis Gonzalo Revelo Pabón 1 Dpto. de Matemáticas - GorettiENUNCIADOS DE DESIGUALDADEn la siguiente figura se dice que: “a es menor que b”, porque el punto a se encuentra a la izquier-da del punto b, y se escribe a<b, (< simboliza menor).En la gráfica también se observa que el punto b se encuentra a la derecha del punto a, y se escribea>b (> simboliza mayor).Nótese que el símbolo de la desigualdad “apunta” hacia el punto de menor valor numérico entre losdos números y “se abre” hacia el punto de mayor valor numérico entre los dos números.He aquí dos ejemplos del empleo de estos dos símbolos de desigualdad. 3<7 se lee 3 es Menor que 7 5>-2 se lee 5 es mayor que -2. SIMBOLOS DE DESIGUALDADES EJEMPLOS LECTURA < Menor 3<4 3 es menor que 4 > Mayor 5>1 5 es mayor que 1 Menor o igual x 4 X es menor o igual a 4 Mayor o igual x 3 X es mayor o igual a 3PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS DESIGUALDADES1.- Propiedad de la Tricotomía: Para dos números reales a y b, se cumple uno y solamente unode los siguientes casos: a<b; a>b; o a=b2.- Propiedad de orden de la Suma: Para todos los números reales a, b y c se cumple que: a) Sí a<b, entonces a+c < b+c b) Sí a>b, entonces a+c > b+c.Es decir, el mismo número se lo puede sumar o restar a cada uno de los miembros de la desigual-dad y el sentido de la desigualdad no cambia.3.- Propiedad de Orden de la Multiplicación: Para todos los números reales a,b y c se cumpleque: a) Sí a<b, y c es positivo, entonces ac<bc b) Sí a<b y c es negativo, entonces –ac>-bc.Ejemplo 1:Como 5< 10, entonces 5+3 < 10+3 esto es igual a: 8< 13Como 9>3, entonces 9-2 > 3-2 esto es igual a: 7> 1Ejemplo 2:Resolver las siguientes desigualdades a) -4x - (3 - 5x)>8 b) 5x +2 < 12 c) X-(4-x) > 12Solución: a) -4x - (3 - 5x)>8 -4x – 3 + 5x >8 X - 3>8 aumentamos a ambos miembros +3 x -3 + 3> 8+3 x>11
    • Luis Gonzalo Revelo Pabón 2 Dpto. de Matemáticas - Goretti b) 5x + 2 < 12 disminuimos a ambos miembros -2 5x + 2 -2<12 - 2 5x< 10 multiplicamos a ambos miembros por 1/5 1/5(5x) < 1/5(10) .x<2 c) 2x –(4 + x)>12 2x - 4 - x > 12 x – 4>12 sumamos a ambos miembros +4 x - 4+4>12 + 4 x> 16.Ejemplo:Determinar el conjunto solución de las siguientes desigualdades o inecuaciones: a) 3x + 7 2x – 1 b) 2x – 4 x +2Solución: a) 3x + 7 2x – 1 sumamos a cada miembro -7 3x + 7 - 7 2x – 1 – 7 3x 2x -8 sumamos a cada miembro -2x 3x – 2x 2x – 8 - 2x .x -8 b) 2x – 4 x+2 sumamos a cada miembro +4 2x – 4 + 4 x+2+4 2x x +6 sumamos a cada miembro – x 2x – x x+ 6 –x .x 6Ejemplo: dada la siguiente desigualdad 8<12, multiplicarla por las siguientes cantidades 2, -3,1/4, -3/2. a) 8<12 multiplicamos ambos miembros por 2 2(8)< 2(12) 16 < 24 se conserva el signo de la desigualdad. b) 8<12 multiplicamos ambos miembros por - 3 -3(8) < -3(12) - 24 > -36 el signo de la desigualdad se invierte. c) 8<12 multiplicamos ambos miembros por 1/4 (1/4)(8)< (1/4)(12) 8/4 < 12/4 se conserva el signo de la desigualdad. 2<3 d) 8<12 multiplicamos ambos miembros por -3/2 -3/2(8) < -3/2(12) -24/2 > - 36/2 el signo de la desigualdad se invierte. - 12 > - 18Ejemplo: resuelva las siguientes desigualdades o inecuaciones. a) 5(3 – 2x) 10 b) .x/2 + 3 x/3 – 2
    • Luis Gonzalo Revelo Pabón 3 Dpto. de Matemáticas - GorettiSolución: a) 5(3 – 2x) 10 15 – 10x 10 sumamos a ambos miembros -15 15 – 10x – 15 10 -15 -10x -5 multiplicamos ambos miembros por -1/10 (-1/10)(-10x) (-1/10)(-5) .x 5/10 el signo de desigualdad se invierte .x 1/ 2 b) .x/2 + 3 x/3 – 2 multiplicamos todos los términos por 2 2(x/2) + 2(3) 2(x/3) – 2(2) X+6 2x/3 – 4 multiplicamos todos los términos por 3 3x + 3(6) 3(2x/3) – 3(4) 3x + 18 2x -12 sumamos ambos miembros -2x 3x + 18 – 2x 2x -12 – 2x .x + 18 -12 sumamos ambos miembros - 18 .x + 18 - 18 -12 – 18 .x - 30 TALLER No 1Determinar el conjunto solución de las siguientes desigualdades: 1) x + 3 <12 2) - x – 5 < 13 3) x -1 > 8 4) - x +7 > 2 5) x – 5 9 6) - x – 3 -5 7) 3x + 8 < 2x + 12 8) 3x – 6 x + 8 9) - 5(x + 7) 3x – 7 10) 2(x – 1) 5x + 1 11) x/4 +2 > x/5 -2
    • Luis Gonzalo Revelo Pabón 4 Dpto. de Matemáticas - GorettiGRAFICOS de DESIGUALDADES (Intervalos)Ejemplo:Exprese cada una de las siguientes desigualdades con una notacion de intervalo a) -6 x<0 b) X<5 c) x -1 d) -2<x<4 e) x>2Solucion: a) -6 x<0 entonces el intervalo es [-6,0) b) X<5 entonces el intervalo es ( , 5) c) x -1 entonces el intervalo es ( ,-1] d) -2<x<4 entonces el intervalo es (-2,4) e) x>2 entonces el intervalo es (2, )Ejemplo:De cada uno de los siguientes intervalos graficarlos en la recta real a) (-3,-1) b) [0,5] c) (3,5] d) ( 0] e) [2,+ )Solucion:
    • Luis Gonzalo Revelo Pabón 5 Dpto. de Matemáticas - GorettiEjemplo:Grafique el conjunto solucion (intervalo) de las siguientes desigualdades: a) -2(x-1) 4 b) 3x + 5< - 3x + 1 c) -2x + 1 19Solucion: a) -2(x-1) 4 -2x + 2 4 sumamos a ambos miembros -2 -2x + 2 – 2 4 -2 -2x 2 multiplicamos a ambos miembros por -1/2 (-1/2)(-2x) (-1/2)(2) .x - 1 conjunto solucion b) 3x + 5< - 3x + 1 sumamos a ambos miembros -5 3x + 5 – 5 < -3x + 1 – 5 3x < -3x -4 sumamos a ambos miembros +3x 3x +3x < -3x – 4 +3x 6x < - 4 multilicamos a ambos miembros por 1/6 (1/6)(6x) < (1/6)(- 4) X < - 0,666 c) -2x + 1 19 sumamos a ambos miembros -1 -2x + 1 -1 19 – 1 -2x 18 multiplicamos ambos miembros por -1/2 (-1/2)(-2x) (-1/2)(18) .x -9
    • Luis Gonzalo Revelo Pabón 6 Dpto. de Matemáticas - Goretti TALLER1.- Exprese cada una de las siguientes desigualdades con una notacion de intervalo a) -5 x<2 b) -10<x<10 c) x -1 d) -2 x e) 0<x<72.- De cada uno de los siguientes intervalos graficarlos en la recta real a) [-3,-1) b) (0,5) c) [3,5) d) ( -2] e) (2,+ )3.- Grafique el conjunto solucion (intervalo) de las siguientes desigualdades: a) 3x + 5 17 b) 2(x+1)< x + 1 c) 3x/4 + 2 < 5x/8 – 3 d) X – 7 - 3 e) 3x +12> 2x – 5 f) -5x< 50 g) -2x +1 19 h) -5x + 5 < -3x +1 i) 3x + 5 + x >2(x-1)
    • Luis Gonzalo Revelo Pabón 7 Dpto. de Matemáticas - GorettiDEFINICION DE VALOR ABSOLUTO Para cualquier número real X, se cumple que: X sí x 0 ………… (1) |X| = - X sí x 0 ………… (2)¿Qué tienen en común los números -5 y +5? Es obvio que son números diferentes y que son lascoordenadas de dos puntos distintos en la recta real. Sin embargo, ambos números están a unamisma distancia del cero (0) u origen de la recta.Es decir, el punto -4 está a la misma distancia a la izquierda del cero (0), que el punto +4 a la dere-cha del cero (0). Este hecho se lo indica con la notación del Valor Absoluto.|-4| = 4 quiere decir “El valor absoluto de -4 es 4”.|+4| = 4 quiere decir “El valor absoluto de +4 es 4”PROPIEDAD 1: |x| = k entonces (1) +x = k y (2) –x = -(-k) = k, esta propiedad es una con-secuencia directa de la definición de valor absolutoPROPIEDAD 2: |x| k entonces -k k, es lo mismo que escribir: (1) x -k y (2) x kPROPIEDAD 3: |x| k entonces x -k y x kEjemplo: Resolver las siguientes ecuaciones lineales (igualdad) con valor absoluto: a) |5-x| = 7 b) |-x +7| = 10 c) |x+2| = -12 d) |2x – 3| = 9Solución: a) |5-x| = 7 aplicando la propiedad 1, tenemos que efectuar dos pasos a saber: (1) Si (5-x) es positivo, entonces 5 –x =7 -x = 7-5 -x = 2 X = -2 (2) Si –(5-x) es negativo, entonces - 5 +x = 7 +x = 7 +5 .x = 12 Rta: x=-2 y x= 12Comprobación:|5- (-2)|=|5+2|=7|5-(12)|=|5-12|=|-7|=7 b) |-x +7| = 10 aplicando la propiedad 1, tenemos que efectuar dos pasos a saber: (1) Si (-x +7) es positivo, entonces –x + 7 = 10 -x = 10 -7 -x = 3 X = -3 (2) Si –(-x+7) es negativo, entonces +x - 7 = 10 +x = 10 + 7 .x = 17 Rta: x= - 3 y x = 17Comprobación:|-(-3) + 7|=|3+7|=10
    • Luis Gonzalo Revelo Pabón 8 Dpto. de Matemáticas - Goretti|-17 + 7|=|-10|=10 c) |x+2| = -12 aplicando la propiedad 1, tenemos que efectuar dos pasos a saber: (1) Si (x+2) es positivo, entonces x+2 =-12 x = - 12 - 2 x= - 14 (2) Si (x+2) es negativo, entonces -x - 2 = -12 -x = -12 +2 -.x = - 10 X= 10 Rta: x= 10 y x= -14Comprobación:|-14+2|=|-12|=12|10 +2|=|12|=12 d) |2x -3| = 9 aplicando la propiedad 1, tenemos que efectuar dos pasos a saber: (1) Si (2x-3) es positivo, entonces 2x -3 =9 2x = 9+3 2x = 12 X = 12/2 = 6 (2) Si –(2x-3) es negativo, entonces --2x + 3 = 9 -2x = 9 - 3 .-2x = 6 2x = -6 X =- 3 Rta: x= 6 y x=- 3Comprobación:|2(6)-3|=|12-3|=|9|=9|2(-3)- 3|=|-6-3|=|-9|=9.Ejemplo 2:Resolver las siguientes inecuaciones lineales (o desigualdad) con valor absoluto. a) |x-2| 3 b) |3-x| 12 c) |-x +4| 20 d) |-2+2x| 10Solución: a) |x-2| 3 aplicando la propiedad (2), se tiene que: -3 x-2 3 a cada miembro de la desigualdad le aumentamos +2 -3+ 2 x-2 +2 3 +2 -1 x 5Respuesta: todos los números comprendidos entre -1 y 5, incluidos el -1 y el 5. b) |3-x| 12 aplicando la propiedad (2), se tiene que: -12 3-x 12 a cada miembro de la desigualdad le disminuimos -3 -12 -3 3-x -3 12-3 - 15 x 9 multiplicamos por -1 15 x -9 ordenamos este intervalo para obtener -9 x 15Respuesta: todos los números comprendidos entre -9 y 15, incluidos el -9 y el 15 c) |-x+4| 20 aplicando la propiedad (2), se tiene que: -20 -x + 4 20 a cada miembro de la desigualdad le disminuimos -4 -20 -4 -x +4-4 20 -4 -24 -x 16 multiplicamos por -1 24 x -16 ordenamos el intervalo
    • Luis Gonzalo Revelo Pabón 9 Dpto. de Matemáticas - Goretti - x 24Respuesta: todos los números comprendidos entre -16 y 24, incluidos el -16 y el 24 d) |-2+2x| 10 aplicando la propiedad (2), se tiene que: -10 -2+2x 10 a cada miembro de la desigualdad le aumentamos +2 -10+2 -2+2x+2 10+2 -8 2x 12 dividimos a cada una de las desigualdades entre 2 -4 x 6Respuesta: todos los números comprendidos entre -4 y 6, incluidos el -4 y el 6.Ejemplo 3:Resolver las siguientes inecuaciones lineales (o desigualdades) con valor absoluto. a) |x+1| 2 b) |-x+7| 12 c) |2x-8| 4 d) |-x -3| -5Solución a) |x+1| 2 aplicando la propiedad (3), se tiene que: (1) x+1 -2 entonces x -3 (2) x+1 2 entonces x 1 respuesta: x -3 y x 1Solución b) |-x+7| 2 aplicando la propiedad (3), se tiene que: (1) -x+7 -12 entonces -x 19 multiplicamos por -1. x -19 (2) -x+7 12 entonces -x 5 multiplicamos por -1 x -5 respuesta: x -5 y x -19Solución c) |2x-8| 4 aplicando la propiedad (3), se tiene que: (1) 2x-8 - 4 entonces 2x 4 dividimos cada miembro entre 2 x 2 (2) 2x-8 4 entonces 2x 12 dividimos cada miembro entre 2 x 6 respuesta: x 2yx 6Solución d) |-x-3| -5 aplicando la propiedad (3), se tiene que: (1) -x-3 -(-5) entonces -x - 3 5 sumamos a cada miembro entre +3 -x- 3+3< 5+3 -x < 8 multiplicamos a cada miembro por -1 .x -8 (2) -x-3 - 5 entonces -x -3+3 -5+3 -x> -2 multiplicamos a cada miembro por -1 .x<2 respuesta: x 2 y x - 8
    • Luis Gonzalo Revelo Pabón 10 Dpto. de Matemáticas - Goretti TALLER1.- Despeje x de cada una de las siguientes expresiones algebraicas:a) |x| = ½b) |3x – 4|=0c) |4-x| = 3d) |3x| = 3e) |6 – 2x| = 42.- Despeje x de cada una de las siguientes expresiones algebraicas y las soluciones grafíquelasen la recta real:a) |3x – 6|<9b) | x – 1 | 3c) |x +2 | 3d) |x +1| 3e) |2x – 1| 7