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TEOREMA DE THALES DE MILETO 2
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Cuadriláteros
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  1. 1. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti! 1! " DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS Definición: Un angulo es una figura geometrica que esta formada por dos lados que se les llama semirectas, que se cortan en un punto llamado vertice. Los angulos según su medida angular se clasifican en: Angulo Agudo, Angulo Recto, Angulo Obtudo y Angulo Llano. Es decir: Angulo Definicion Angulo agudo ! 0º <!! < 90º Angulo recto ! !=90º Angulo obtuso ! 90º <!! < 180º Angulo llano ! ! = 180º Los angulos al tomarlos de dos en dos o en parejas (!!!!!) se clasifican en: Angulos Complementarios, y en Angulos Suplementarios. Pareja de Angulos Definicion Ejemplos Angulos Complementarios ! + ! = 90º ! = 21º!!!! = 79º; ! = 30º!!!! = 60º ! = 48º!!!! = 42º. Angulos Suplementarios ! + ! = 180º ! = 21º!!!! = 159º; ! = 30º!!!! = 150º ! = 48º!!!! = 132º. TALLER 1.) Dado el angulo ! encontrar el valor del angulo complementario !. a. 34º b. 54º c. 46º d. 23º e. 78º f. 14º g. 87º h. 12º i. 76º j. 39º 2.) Dado el angulo ! encontrar el valor del angulo suplementario !. a. 34º b. 89º c. 132º
  2. 2. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti 2 d. 156º e. 67º f. 37º g. 89º h. 123º i. 176º SISTEMAS DE MEDICION DE ANGULOS. Existen dos sistemas para medir angulos: El Sistema Sexagecimal y el Sistema Circular. En el Sistema Sexagecimal, la unidad fundamental de medida de los angulos es el grado, que es igual a la 360º ava parte (1/360º) de la longitud de la circunferencia. El grado se divide en 60 minutos y su vez el minuto se divide en 60 segundos. En el Sistema Circular, la unidad de medida de los ángulos es el radián, que: “Es la medida de un ángulo central que se encuentra en una circunferencia, cuyo arco comprendido entre el lado inicial y el lado final del angulo central es igual a la longitud del radio de la circunferencia”. Es decir: ! !"#$"% = !(!"#$%&'(!!"#!!"#$) !(!"#$%) Para convertir grados sexagecimales a radianes o de radianes a grados sexagesimales, simplemente se efectua una simple regla de tres simple, teniendo encuenta que: 180º = !!!"# = 3,1416!!"#.. " Ejemplo: Convertir los siguientes grados sexagesimales a radianes. a.) 38° b.) 238° c.) 125° Solución: a.) 38° Planteamos una regla de tres simple así: 180º !!!"# 38º ! . Entonces ! = (38º)(!!!"#) 180º! ! = (38º)(3,1416!!"#) 180º! = 0,6632!!"# b.) 238º Planteamos una regla de tres simple así: 180º !!!"# 238º ! . Entonces ! = (238º)(!!!"#) 180º! ! = (238º)(3,1416!!"#) 180º! = 4,1538!!"#
  3. 3. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti! 3! " c.) 125º Planteamos una regla de tres simple así: 180º !!!"# 125º ! . Entonces ! = (125º)(!!!"#) 180º! ! = (125º)(3,1416!!"#) 180º! = 2,1816!!"# Ejemplo: Los ángulos siguientes están dados en radianes, expresarlos en grados. a.) 2!!!"# b.) 3!!!"#/2 c.) 0,5!!!"# Solucion a.) 2!!!"# Planteamos una regla de tres simple así: 180º !!!"# x 2!!!"# . Entonces ! = (180º)(2!!!"#) π!rad! ! = 180º!2 = 360º b.) 3!/2!!"# Planteamos una regla de tres simple así: 180º !!!"# x 3!!/2!"# . Entonces ! = (180º)(3!/2!!"#) π!rad! ! = 180º!3/2 = 270º c.) 0,5!!!"# Planteamos una regla de tres simple así: 180º !!!"# x 1,5!!!"# . Entonces ! = (180º)(0,5!!!"#) π!rad! ! = 180º!0,5 = 90º TALLER 1.) Convertir los siguientes grados sexagesimales a radianes. a.) 18° b.) 200° c.) 127º d.) 225º e.) 300º 2.) Los ángulos siguientes están dados en radianes, expresarlos en grados. a.) 6!!"# b.) 4,5!!"# c.) 1,5!!"# d.) 3,6!!"# e.) 5,7!!"#
  4. 4. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti 4 ÁNGULOS EN RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA LÍNEA TRANSVERSAL Definición. Se llama Línea transversal de dos o más líneas rectas paralelas, a toda línea recta que las corta. Sea XY la línea transversal que corta a las líneas rectas AB y CD. De esta manera se forman 8 ángulos que se muestran en la siguiente figura: A los ángulos a, d, g, f se les llama ángulos internos. Y a los ángulos b, c, h, e, se les llama ángulos externos. Ahora, tomemos los ángulos de dos en dos así: d y f, a y g, se les llama ángulos alternos internos b y h, c y e, se les llama ángulos alternos externos; b y f, c y g, e y a, h y d, se les llama ángulos correspondientes. Cuando las lineas rectas AB y CD de la figura son paralelas, entonces se cumplen las siguientes propiedades: ! Los ángulos alternos internos son iguales. ! Los ángulos alternos externos son iguales. ! Los ángulos correspondientes son iguales. ! Los ángulos externos situados de un mismo lado de latransversal, así como los internos, son suplementarios (en la figura, los pares e y b, h y c, f y a, d y g, son suplementarios), llamados conjugados externos e internos, respectivamente TALLER 1) Considere dos lineas rectas paralelas cortadas por una linea transversal tal y como se muestra en la siguiente figura. Si el angulo x es igual a 60º . ¿Cuál es el valor de cada uno de los otros siete ángulos? 2) Consideremos la figura siguiente en donde !" es paralela a !", !" es la transversal que las corta en los puntos P y Q respectivamente. 3) a) Si el ∡!"# = 65º; !!!!∡!"# = 115º. ¿cuál es el valor en grados de cada uno de los 8 ángulos? b) Si el ∡!"! = 135º , ¿cuál es el valor de los 7 ángulos restantes? c) Supóngase que el ∡!"# = !!!!!!!"!!!!!∡!"# = ! . ¿Cuáles son los valores de los angulos ∡ x e ∡ y, considerando que: x − y = 100º ? d) Dados el angulo ∡!"! = ! y el angulo ∡!"# = !. Y la condicion de que ! = !/5. Entonces encontrar los valores angulares de los angulo ∡!; ∡!
  5. 5. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti! 5! " UNIDADES DE ÁREA O SUPERFICIE: Las unidades de área o superficie salen siempre de multiplicar dos unidades de longitud, y por ello, el resultado será una unidad de longitud elevada al cuadrado. Dichas unidades son, de mayor a menor: Unidades De área o superficie !"! !"! !"! !"! !! !"! !"! !!! Potencias con base 10 (10! !)! (10! !)! (10! !)! (10! !)! (10! !)! (10!! !)! (10!! !)! (10!! !)! Potencias con base 10 10! !! 10! !! 10! !! 10! !! 1!! 10!! !! 10!! !! 10!! !! Para convertir una Unidad de Superficie que nos hayan Dado (USD), a una Unidad de Superficie Pedida (USP), se aplica la siguiente expresión algebraica. . ! ∗ !"# = n ∗ !"#$%&'(!!"#!!"#$!10!!"!!"!!"! ∗ !"! !"#$%&'(!!"#!!"#$!10!!"!!"!!"! ! = ! ∗ !"# ! !: !ú!"#$!!"#$ Ejemplo: Convertir 2,34!!"! a !"! 2,34 Hm 2 = !,!"!!"! !"!! dm 2 = 2,34x10 6 dm 2 = 2340000 dm 2 Ejemplo: Convertir 543.267!!"! a !! 543.267 cm 2 = !"#.!"#!!"!! ! m 2 = 543.267x10 -4 m 2 = 54,3267m 2 Ejemplo: Convertir 234,25!!"! a !"! 234,25 Dm 2 = !"#,!"!!"! !"!! dm 2 = 234,25x10 4 dm 2 = 2342500 dm 2 Ejemplo: Convertir 3.462.967.455!!!! a !"! 3.462.967.455 mm 2 = !.!"#.!"#.!""!!"!! !"! Dm 2 = 3.462.967.455x10 -8 Dm 2 = 34,62 Dm 2 TALLER ¿Cuántos cm 2 son 40 m 2 ? Solución: 400000 cm 2 . ¿Cuántos m 2 son 500 mm 2 ? Solución: 0.0005 m 2 . ¿Cuántos dm 2 son 7 km 2 ? Solución: 700000000 dm 2 . ¿Cuántos mm 2 son 0.125 hm 2 ? Solución: 1250000000 mm 2 . PERÍMETRO Y ÁREA DE LAS FIGURAS PLANAS Antes de ver todas y cada una de las fórmulas que nos permiten averiguar el área de cualquier figura plana, es conveniente tener conocimientos sobre qué es el perímetro y el área de un polígono, así como las unidades en las que los podemos medir. Perímetro (P): Es igual a la suma de las longitudes de todos los lados de un polígono. Área (A): Es la superficie que queda limitada por el perímetro. El cálculo del área se realiza de forma indirecta, es decir, hay que recurrir a diferentes Ecuaciones matemáticas para conocerla, no podemos medirla como hacemos con las longitudes (con regla podemos "leer" directamente la longitud de un segmento). Para mediar las áreas o superficies de las figuras planas, hay que utilizar las unidades de “superficie” del Sistema Métrico Decimal, las cuales son las mismas que las de longitud, pero elevadas al cuadrado.
  6. 6. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti 6 MEDIDA INDIRECTA: El Teorema de Pitágoras El teorema de Pitágoras dice que: “En todo triángulo rectángulo se cumple que la hipotenusa elevada al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos”. Es decir: !! = !! + !! Representación Grafica. Los casos posibles que nos encontramos para aplicar el teorema de Pitágoras son dos. " Que en un problema conozcamos los dos catetos y nos pidan la hipotenusa. " Que en un problema conozcamos un cateto y la hipotenusa y nos pidan el otro cateto. Ejemplo. En un triángulo rectángulo los catetos miden 8 cmts y 6 cmts. Hallar la hipotenusa. .a=8 cmts (cateto) .b=6 cmts (cateto) .a=? (hipotenusa) !! = !! + !! !! = (8!!"#$)! + (6!!"#$)! !! = 64!!"#$! + 36!!"#$! !! = 100!!"#! !! = 100!!"#$! ! = 10!!"#$ Ejemplo. En un triángulo rectángulo un cateto mide 12 cmts y la hipotenusa mide 20cmts. Cuánto mide el otro cateto. .b=12 cmts (cateto) .a= 20 cmts (hipotenusa) .c=? (Cateto) !! = !! + !! (20!!"#$)! = (12!!"#$)! + !! !! = (20!!"#$)! − (12!!"#$)! !! = 400!!"#$! − 144!!"#$! !! = 256!!"#$! !! = 256!!"#$! ! = 16!!"#$ . " " "
  7. 7. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti! 7! " ÁREA Y PERIMETRO DEL TRIANGULO TRIÁNGULO: Es un polígono de tres lados. determinado por tres rectas que se cortan de dos en dos en tres puntos diferentes. Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de las rectas son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman a un ángulo interior del triángulo. Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices. Los elementos característicos de un triangulo son: lados, base, altura, vértices y ángulos. BASE DE UN TRIÁNGULO (b): La base de un triángulo es uno cualquiera de sus lados. ALTURA DE UN TRIÁNGULO (h): La altura de un triángulo es el segmento perpendicular bajada desde un vértice del triangulo a su lado opuesto o a la prolongación del lado- base. PERÍMETRO (P): Es igual a la suma de todos sus lados. SEMIPERIMETRO (S): Es igual al perímetro dividido entre dos. ÁREA (A): Es igual al producto de la base por la altura, sobre dos PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS 1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos lados. 2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOS Los triángulos se clasifican según la longitud de sus lados y según la medida de sus ángulos. CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN LA LONGITUD DE SUS LADOS Según sus lados se clasifican en: ! Triangulo Equilátero: Sí los tres lados son iguales. ! Triangulo Isósceles: Cuando dos lados tienen igual longitud y el tercer lado es desigual a ellos. ! Triangulo Escaleno: Cuando los tres lados sus longitudes son diferente. " " "
  8. 8. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti 8 CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS Según sus ángulos se clasifican en: ! Acutángulo: Sí los tres ángulos son agudos. ! Rectángulo: Sí un ángulo es recto. ! Obtusángulo: Sí un ángulo obtuso. Ejemplo: En un triangulo isósceles la base es igual a 18 mts y su altura es igual a 7 mts. Encontrar su perímetro, semiperimetro, y área. Por el teorema de Pitágoras tenemos que: !! = (9!"#)! + (7!!"#)! !! = 81!! + 49!"#! !! = 130!"#! !! = 130!"#! ! = 11,40!!"# Por lo tanto, el perímetro será igual a: ! = ! + ! + 18!"# ! = 11,40!"# + 11,40!!"s + 18!!"# = 40,8!"# Ahora el Semiperímetro será igual a: ! = ! 2 = !",!"!"# ! = 20,4!!"# Calculemos al área del triangulo: ! = !" ! ! = 18!"# (7!"#) 2 ! = 63!"#! Calculemos el área por medio de la ecuación de Herón: ! = ! ! − ! ! − ! (! − !) ! = 20,4!"# 20,4!"# − 18!"# 20,4!"# − 11,40!"# (20,4!"# − 11,40!"#) ! = 20,4!"# 2,4m!! 9!"# (9!"#) ! = 3.965,76!"#! ! = 62,97!"#! ≅ 63!"#! Ejemplo: En un triangulo rectángulo sus catetos tienen una longitud de 8,5 cmts y 3 cmts respectivamente. Encontrar el valor del perímetro, Semiperímetro y área. Por el teorema de Pitágoras tenemos que: !! = (3!"#$)! + (8,5!!"#$)! !! = 9!"#$! + 72,25!"#$! !! = 81,25!!"#s! !! = 81,25!!"#$! ! = 9,01!!"#$ Por lo tanto, el perímetro será igual a: ! = ! + ! + ! ! = 9,01!!"#$ + 3!!"#$ + 8,5!!"#$ = 20,51!!"#$ " " "
  9. 9. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti! 9! " Ahora el Semiperímetro será igual a: ! = ! 2 = !",!"!!"#$ ! = 10,255!!"#$ Calculemos al área del triangulo: ! = !" ! ! = 8,5!!"#$ (3!!"#$) 2 ! = 12,75!!"#$! Calculemos el área por medio de la ecuación de Herón ! = ! ! − ! ! − ! (! − !) ! = 10,255!!"#$ 10,255!"#$ − 9!!"#$ 10,255!"#$ − 3!!"#$ (10,255!"#$ − 8,5!!mt!) ! = 10,25!!"#$ 1,25!"#$ 7,25!"#$ (1,75!"#$) ! = 162,55!!!"#! ! = 12,749!!"#! ≅ 12,75!!!"#! Ejemplo: En un triangulo rectángulo-isósceles sus lados iguales tienen una longitud de 10 mts Encontrar el valor del perímetro, Semiperímetro y área Por el teorema de Pitágoras tenemos que: !! = (10!"#$)! + (10!!"#$)! !! = 100!"#$! + |00!"#$! !! = 200!!"#$! !! = 200!!"#$! ! = 14,14!!"t! Por lo tanto, el perímetro será igual a: ! = ! + ! + ! ! = 14,14!!"#$ + 10!!"#$ + 10!!"#$ = 34,14!!"#$ Ahora el Semiperímetro será igual a: ! = ! 2 = !",!"!"#$ ! = 17,07!!"#$ Calculemos al área del triangulo: ! = !" ! ! = 10!!"#$ (10!!"#$) 2 ! = 50!!"#$! Calculemos el área por medio de la ecuación de Herón ! = ! ! − ! ! − ! (! − !) ! = 17,07!!"#$ 17,07!"#$ − 14,14!!"#$ 17,07!"#$ − 10!!"#! (17,07!"#$ − 10!!"#$) ! = 17,07!!"#$ 2,93!"#$ 7,07!"#$ (7,07!"#$) ! = 2.499,99!!!"#! ! = 49,99!!"#! ≅ 50!!!"#! Ejemplo: En un triangulo equilátero sus lados son iguales a una longitud de 26 mts Encontrar el valor del perímetro, Semiperímetro y área Por el teorema de Pitágoras tenemos que: !! = ℎ! + (13!!"#)! (26!!"#)! = ℎ! + !169!!!"#! 676!!"#! = ℎ! + 169!"#! ℎ! = 676!!"#! − 169!"#! ℎ! = 507!"#! ℎ! = 507!!"#! ℎ = 22,51!!"# " "
  10. 10. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti 10 Por lo tanto, el perímetro será igual a: ! = ! + ! + ! ! = 26!!"! + 26!!"# + 26!!"# = !78!!"# Ahora el Semiperímetro será igual a: ! = ! 2 = !"!!"# ! = 39!!"# Calculemos al área del primer triangulo rectángulo: ! = !" ! ! = 13!!"# (22,51!!"#) 2 ! = 146,31!!"#! Calculemos al área del segundo triangulo rectángulo: ! = !" ! ! = 13!!"# (22,51!!"#) 2 ! = 146,315!!"#! Por la tanto el área total de los dos triángulos es igual a: ! = 146,315!!"#! + 146,315!!"#! = 292,63!"#! Calculemos el área por medio de la ecuación de Herón ! = ! ! − ! ! − ! (! − !) ! = 39!"!! 39!!"s − 26!!"# 39!!"# − 26!!"# (39!!"# − 26!!"#) ! = 39!!"# 13!!"# 13!!"# (13!!"#) ! = 85.683!!!"#! ! = 292,71!"#! TALLER 1) En un triangulo isósceles la base es igual a 18 mts y su altura es igual a 7 mts. Encontrar su perímetro, Semiperímetro, y área. Rta: 24,74 m; 12,37m; 63 m 2 . 2) En un triangulo rectángulo sus catetos tienen una longitud de 12 mts y 12 mts respectivamente. Encontrar el valor del perímetro, Semiperímetro y área. Rta: 40,97m; 20,485m; 72 m 2 . 3) En un triangulo escaleno la base tiene una longitud de 13 mts y una altura de 5 mts.. Encontrar el valor del área. Rta 32,5 m 2 4) En un triangulo rectángulo-isósceles sus lados iguales tienen una longitud de 20 mts Encontrar el valor del perímetro, Semiperímetro y área. Rta: 68,28m; 34,14; 200m 2 . 5) En un triangulo equilátero sus lados son iguales a una longitud de 48 mts Encontrar el valor del perímetro, Semiperímetro y área. Rta: 144m; 72m; 997,66m 2 . 6) Calcular la base de un triángulo isósceles, que tiene un área de 14 cm 2 y una altura de 4 cm. Rta: 7 cm. 7) Calcular la altura de un triángulo isósceles, que tiene una área de 735 cm 2 y una base de 42 cm. Rta: 35cm. 8.) Determinar el área de los triángulos cuyos lados son: a) 4, 5, 6. Rta: 9,92 b) 5, 6, 7. Rta: 14,69 9.) Determinar las áreas de los triángulos cuyas bases y alturas son las siguientes respectivamente: a) 45mm y 2cm (la respuesta darla en !"! ). Rta: 4,5 cm 2 b) 48 Dm y 275m (la respuesta darla en !"! ). Rta: 660 Dm 2 c) 120 m y 234 Dm (la respuesta darla en !"! ). Rta:1.404.000.000 cm 2 d) 23 Hm y 34 m (la respuesta darla en !! ). Rta: 39100 m 2 e) 456 Km y 112 Hm (la respuesta darla en !! ). Rta:2.553.600.000 m 2 10.) Calcular las alturas de los triángulos cuyas áreas y bases son respectivamente: a) 0.06 !"! y 4cm (en cm.). Rta: 3 cm b) 150000!!"! y 0.5 Dm (en Dm).Rta: 0,6 Dm
  11. 11. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti! 11! " RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO Altura. Es la perpendicular trazada desde un vértice, hasta el lado opuesto o a su prolongación. El punto donde concurren las tres alturas de un triángulo se llama ortocentro. Bisectriz. Es la recta que divide al ángulo en dos partes iguales. El punto donde concurren las tres bisectrices se llama incentro. Mediatriz. Es la perpendicular en el punto medio de cada lado del triángulo. El punto donde concurren las tres mediatrices se le conoce como circuncentro. Mediana. Es el segmento trazado desde el vértice hasta el punto medio del lado opuesto. El punto de intersección de las tres medianas de un triángulo se llama baricentro. " TRIÁNGULOS CONGRUENTES Dos triángulos se dicen que son congruentes cuando sus lados y sus ángulos correspondientes son iguales. El símbolo de congruencia es:!≅ Es decir: !!"!!l!∆!"# ≅ ∆!"#!!"#$"%!&!!"!!"#$%&!!"#: ! = !; !! = !; !! = !; !∡! = ∡!; !∡! = ∡!; !∡! = ∡!
  12. 12. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti 12 SEMEJANZAS Figuras semejantes son aquellas que son exactamente iguales en su forma geometrica, pero que se diferencian en el tamaño. La caracteristica fundamental de las figuras semejantes es que: “Sus ángulos son iguales y sus lados son proporcionales”. RAZÓN DE SEMEJANZA Los lados guardan uno a uno la misma proporción. Es decir: ! ! = ! ! = ! ! = ! ! = ! La proporción entre ellos es la misma. A esta proporción k se le denomina “razón de semejanza o escala” Veamos un ejemplo: Los lados horizontales miden 3 y 2 respectivamente, la proporción entre ellos es: 3 / 2 = 1,5 Los lados verticales miden 1,5 y 1 respectivamente, la proporción entre ellos es: 1,5 / 1 = 1,5 Por lo tanto, la razón de semejanza de estas dos figuras es 0,66. Ejemplo: ¿Son semejantes los rectángulos interior y exterior del grafico siguiente? !!! !! ≠ ! !" Como las razones tienen valores diferentes, entonces se concluye que los dos rectangulos no son semejantes. Ejemplo : En un mapa, de escala 1:250 000, (1 cm en el mapa: representa 250000 cm en la realidad) si, la distancia de dos pueblos en el mapa es de 1,3 cm. a) ¿Cuál es la distancia real entre ambos pueblos? b) ¿Cuál sería la distancia en ese mapa, entre otros dos pueblos que en la realidad distan 15 km? a) !"!!"!!"#" 1!!" 1,3!!" !!!!!!!!! !"!!"!!"#$%&!" 250000!!" ! ! = (1,3!!")(250000!!") !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1!!"!!!!!!!!!!! = 325000!" = 3,25!!" b) !"!!"!!"#" 1!!" ! !!!!!!!!! !"!!"!!"#$%&#& 250000!!" 1500000!!" ! = (1!")(1500000!!") !!!!!!!!!!250000!!"!!!!!!!!!!! = 6!!" En el mapa, los dos pueblos están separados 6 cm. Ejemplo : En un mapa, dos poblaciones aparecen separadas 7,5 cm. a) ¿Cuál será la escala de ese mapa si la distancia real entre ambas poblaciones es de 153 km? b) ¿cuál es la distancia real entre las dos poblaciones que distan en el mapa 12,25 cm? a) En el mapa 7,5 cm representan 153 km reales, (153000 m=15300000 cm) entre las dos poblaciones. Por lo tanto: Escala = !"#$%&'"%!!"!!"#!!"#$%&!!"!!"!!a!!(!"!!") !"#$%&'"%!!"!!"#!!"#$%&!!"!!"!!"#$%&#&(!"!!") = 7,5!!" 15300000!!" = 1 2040000 La escala es de 1:2040000
  13. 13. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti! 13! " b) !"!!"!!"#" 1!!" 12,25!!" !!!!!!!!! !"!!"!!"#$%&#& 2040000!!" ! ! = (12,25!!")(2040000!!") !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1!!"!!!!!!!!!!! = 24990000!" = 249,9!!" TALLER 1.) En un mapa cuya escala es 1:1 500 000, la distancia entre dos ciudades es 2,5 cm. a) ¿Cuál es la distancia real entre ellas? Rta: 37,5 Km b)¿Cuál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades A y B cuya distancia real es 360 km? Rta: 24 cm 2.) En una fotografía, María y Fernando miden 2,5 cm y 2,7 cm, respectivamente; en la realidad, María tiene una altura de 167,5 cm. ¿A qué escala está hecha la foto? ¿Qué altura tiene Fernando en la realidad? Rta: escala=1:67; altura de Fernando = 180,9 cm 3.) En un mapa, de escala 1:250 000, la distancia entre dos pueblos es de 1,3 cm. a) ¿Cuál es la distancia real entre ambos pueblos? Rta: 3,25 km b) ¿Cuál sería la distancia en ese mapa, entre otros dos pueblos que en la realidad distan 15 km?Rta: 6 cm. 4.) Marcos ha realizado este plano de su habitación a escala 1:50. Calcular ¿el área de la habitación y las dimensiones de la cama? Rta: 10,2375 m 2 ; 1,90 m x1,35 m 5.) En un mapa, dos poblaciones aparecen separadas 7,5 cm. ¿Cuál será la escala de ese mapa si la distancia real entre ambas poblaciones es de 153 km? En ese mismo mapa, ¿cuál sería la distancia real entre dos poblaciones que distan 12,25 cm? Rta: 1:2.040.000; 249,9 Km 6.) Representa la longitud real de 9 km en 9 cm y 18 cm y determina sus respectivas escalas.1:100.000; 1:50.000 7.) Imagina que quieres representar las longitudes de 12 km, 24 km y 48 km en 12 cm. ¿Cuál será la escala correspondiente para cada uno de los 3 casos? Rta: 1:100.000; 1:200.000; 1:400.000 8.) ¿Cuál será la medida del diámetro del dibujo de un plano circular que en la realidad mide 7.5 m y está representado a una escala 1:50? Rta: 15 cm 9.) ¿Cuánto medirá un terreno rectangular si su dibujo, representado a escala 1:75, mide 16cm x 20cm? Rta: 12 m x15 m 10.) ¿A qué escala está representado un terreno rectangular que en la realidad mide 15 m x 20m y en el dibujo mide 30 cm x 40 cm? Rta: 1:50 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son semejantes “si sus ángulos son iguales y sus lados respectivos a los angulos son proporcionales”. El símbolo de semejanza es ∼ Es decir: ! !"!!"!∆!"C ∼ ∆!"#!!"#$"%!&!!"!!"#$%&!!"#:!∡! = ∡!; !∡! = ∡!; !∡! = ∡!!!!! ! ! = ! ! = ! ! = !
  14. 14. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti 14 Ejemplo : Los triángulos siguientes son semejantes : En efecto: ∡! = ∡!`; !!∡! = ∡!`; !∡! = ∡!`!!!!!!! ! ! = ! ! = !" ! = 2 Ejemplo : ¿Son semejantes los triángulos TMQ y CJX ? como 18 12 = 15 10 = 12 8 = 1,5 entonces ∆!"#~∆!"# TEOREMA DE THALES DE MILETO 1: Este teorema dice que: ”Si en un triángulo se traza una línea paralela a uno cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado”. Por lo tanto, se obtiene la siguiente proporcion: !" !" = !" !" = ! Tambien la anterior proporcion se la puede escribir: !" !" = !" !" = ! A esta forma de escribir a la proporcion se le llama: “La doble L, aplicada a los angulos E y B” CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 1.- CRITERIO Ángulo - Ángulo ( A - A ) Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos internos iguales. 2.- CRITERIO Lado - Ángulo - Lado ( L .A .L ) Dos triángulos que tienen un ángulo igual y estos angulos estan formados por lados proporcionales son semejantes.
  15. 15. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti! 15! " 3.- CRITERIO Lado - Lado - Lado ( L . L . L . ) Dos triángulos que tiene sus tres lados proporcionales son semejantes. Ejemplo: Dado el siguiente grafico, encontrar el valor del segmento X. Como los triangulos ∆!"#~∆!"# son semejantes, entonces aplicamos la proporcion doble L, aplicada a los angulos E y C, asi: 3 5 = 3 + 12 ! 3 5 = 15 ! ! = 5(15) 3 = 25 Ejemplo: Dado el siguiente grafico encontrar el valor de x y los valores de los segmentos !"!!!!". Como los triangulos ∆!"#~∆!"# son semejantes, entonces aplicamos la proporcion “La doble L, aplicada a los angulos E y B”, asi: ! + 3 8 = ! + 3 + ! 12 ! + 3 8 = 2! + 3 12 12 ! + 3 = 8 2! + 3 12! + 36 = 16! + 24 12! − 16! = 24 − 36 −4! = −12 ! = 3 Por lo tanto: !" = ! + 3 = 3 + 3 = 6 !" = ! = 3. Ejemplo: Determinar la altura de un arbol que proyecta una sombra de 1,83 m y en el mismo momento se observa otro arbol de 1,56 m de altura proyecta una sombra de 1,2 m. Como los triangulos ∆!"#~∆!1!1!1 son semejantes, entonces aplicamos la proporcion “La doble L, aplicada a los angulos C y C1”, asi: !!!! 1,56!m 1,2!! = x 1,83!m
  16. 16. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti 16 1,2m ! = (1,83!m) 1,56!m ! = (1,83!m)(1,56!m) 1,2!m = 2,37!! Por lo tanto: La altura del arbol es 2,37 m Ejemplo: Un ingeniero tomo las medidas que se indican en la figura siguiente, con el fin de obtener el ancho del rio. Si los segmentos !"!!!!!!!"!!!!"#!!"#!"$%&'()*#"+!!"!!"#$"%&'!!!".!! ¿Cuál es el ancho del rio? Como los triangulos ∆!"#~∆!"# son semejantes, entonces aplicamos la proporcion “La doble L, aplicada a los angulos A y D”, asi: 15!! 24!! = 20!! ! 15! = 24!(20!) ! = 24!(20!) 15! = 32! Ejemplo: Cuando se toma una fotografia, la imagen que se forma en el nagativo es semejante al objeto que se a tomado la fotografia. Encuentre la dimension real del objeto según los datos proporcionados en el siguiente grafico. Como los dos triangulos son semejantes, entonces aplicamos la proporcion “La doble L, aplicada a los angulos A ’ y B,”, asi: 4!!" 10!!! = ! 4m !(10!") = 4!(4!") ! = 4!(4!") 10!" = 1,6! Por lo tanto la altura del arbol es de 1,6 m Ejemplo: Dos personas observan un automovil desde los puntos !!!!!! que se encuentran en los pies de dos edificios que se encuentran a 24 m de distancia uno del otro. El edificio de uno de los observadores tiene una altura de 9 m y la altura del edificio del otro observador es de 12m. ¿A que distancia esta el automovil de ambos observadores?
  17. 17. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti! 17! " Como los triangulos son semejantes, entonces aplicamos la proporcion “La doble L, aplicada a los angulos B y B´ ”, asi: 9! 24 − ! = 12! ! !(9) = 12(24 − !) 9! = 288 − 12! 21! = 288 ! = 288 21 = 13,71 Por lo tanto: !"! = 13,71!!;!!!" = 24 − ! = 24 − 13,71 = 10,29! TALLER 1.) Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m., respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden 12m., 16 m. y 24 m., respectivamente. Determina si son o no semejantes, justificando tu respuesta. 2.) Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54 m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 24 m., hallar los otros dos lados de este triángulo. Rta:28; 36 3.) La razón de semejanza del triángulo ABC con el triángulo A’B’C’ es 3:4. Si los lados del primero son 18, 21 y 30, determina los lados del segundo. Rta: 13,5; 15,75; 22,5. 4.) Los lados de un triángulo rectángulo miden 6 m., 8 m. y 10 m. respectivamente. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m.? Rta: 9; 12; 15. 5.) Los lados de un triángulo miden 2 cm., 1,5 cm. y 3 cm. Construya un triángulo semejante de tal manera que sea 5 veces mayor que él. Rta: 10; 75; 15. 6.) Encuentra el valor de !" sì !" = 25. Rta: 20 7.) Calcular el valor de la variable x, en cada uno de los lados de los siguientes triángulos semejantes. 7.1) 7.2) 7.3) 7.4) 7.5) 7.6) 7.7) 7.8)
  18. 18. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti 18 TEOREMA DE THALES DE MILETO 2 Si dos rectas transversales (!!, !!) se cortan en un punto O y dos o mas lineas paralelas las cortan a ellas, entonces los segmentos que se forman en la linea transversal !!, son proporcionales a los segmentos que se forman en la otra linea transversal !! Ejemplo: !!, ∥ !!, ∥ !!!!!!!!, !!! son transversales. Encontrar el valor del segmento x, dado el siguiente grafico: ! 8 = 15 24 ! = 8(15) 24 = 5 Ejemplo: !!, ∥ !!, ∥ !!!!!!!!, !!! son transversales. Encontrar el valor los segmentos: x, !"!!!!" dado el siguiente grafico. ! + 4 3 = ! + 1 2 3 ! + 1 = 2(! + 4) 3! + 3 = 2! + 8 ! = 8 − 3 = 5 Por lo tanto: !" = ! + 4 = 5 + 4 = 9. !!" = ! + 1 = 5 + 1 = 6. TALLER 1.) Aplicar el teorema de Thales, para encontrar el valor del segmento x 2.) Aplicar el Teorema de Tales para calcular las medidas de x, y, z.
  19. 19. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti! 19! " 3.) Hallar el valor del segmento x, en cada uno de los siguientes graficos: 4.) !!, ∥ !!, ∥ !!!!!!!!, !!! son transversales. Encontrar el valor los segmentos: !"!; !!" ; !"; !!!" dado el siguiente grafico. CUADRILÁTEROS: Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°. La notación de un cuadrilátero se indica por las letras mayúsculas de sus vértices. Los cuadriláteros se clasifican en: Los cuadriláteros se clasifican en: Paralelogramos, Trapecios y Trapezoides. PARALELOGRAMO: Es un cuadrilátero que tienen los lados paralelos dos a dos, cuyos dos pares de lados opuestos son iguales entre sí. Los Paralelogramos se clasifican en: Cuadrados, Rectángulos, Rombos y Romboides -Cuadrado: Tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos. En el Cuadrado las diagonales son iguales y perpendiculares. -Rectángulo: Tiene los lados iguales d e dos en dos y sus cuatro ángulos son rectos. -Rombo: Tiene los cuatro lados iguales y dos de sus ángulos son mayores que los otros dos. En el rombo las diagonales son desiguales y perpendiculares. -Romboide: Tiene los lados vecinos o contiguos desiguales y dos de sus ángulos son mayores que los otros dos. Sus diagonales son desiguales y oblicuas.
  20. 20. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti 20 PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS Propiedad 1.- Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos. En la figura, !" ! ∥ !"!!y !" ! ∥ !"! Propiedad 2.- Cada diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes. En la figura, Δ!"# ≅ Δ!"# y Δ!"# ≅ Δ!"# Propiedad 3.- Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales. En la figura, !" = !"!!y!!!" = !" Propiedad 4.- Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales. En la figura, ∡! = ∡!!!!!!∡! = ∡! Propiedad 5.- Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios. Entonces en la figura se cumple que: ∡! + ∡! = 180º; !!!∡! + ∡! = 180º; !∡! + ∡! = 180º; !!!!∡! + ∡! = 180º; Propiedad 6.- Las diagonales de un paralelogramo se cortan en segmentos iguales. En la figura se tiene que:! !" = !"!!y!!!" = !" Ejemplo: Dado el cuadrilátero ABCD. Aplicar las propiedades mencionadas anteriormente. Para encontrar los valores de las variables x, y. ¿cuáles son las longuitudes de los segmentos:!!";!!"!;!!!"!!!!!" De la propiedad 3, se tiene que: !" = !"!!y!!!" = !", entonces: 2! = ! + 1 2! − 2 = 3! ⇛ −! + 2! = 1 2! − 3! = 2 Al resolver este sistema se obtiene que: ! = 4 ! = 7 Por lo tanto, la longuitud de los segmentos es: !" = !" = 8!y!!!" = !" = 12 Ejemplo: El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo. Aplicar las propiedades mencionadas anteriormente. Para encontrar los valores de las variables x, y. ¿cuáles son las longuitudes de los segmentos:!!";!!"!;!!!"!!!!". De la propiedad 6, se tiene que: !" = !"!!y!!!" = !" , entonces: ! = 4! − 8 25 − 3! = 4! ⇛ ! − 4! = −8 −4! − 3! = −25 Al resolver este sistema se obtiene que: ! = 3 ! = 4 Por lo tanto, la longuitud de los segmentos es: !" = !" = 4!!y!!!" = !" = 16 Ejemplo: Si ABCD, es un paralelogramo y su perimetro es igual a 84. ¿Encontrar los valores de las variables x, y?. ¿cuáles son las longuitudes de los segmentos:!!";!!"!;!!!"!!!!!" Como el perimetro es igual a la suma de sus lados, entonces se tiene que: !" + !!!" + !!" + !!!" = 84 Remplazamos: 5! + ! + 5! + ! = 84 11! + ! = 84!!!"#$!! = !!(!"#!$%&!"!3) 11! + ! = 84 12! = 84 ! = 84 12 = 4
  21. 21. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti! 21! " Como x=y =4 Ahora:!" = 5! = 5 4 = 20; !" = 5 4 = 20;!!!" = ! = 4; !!!" = ! = 4. TALLER 1.) Dado el cuadrilátero ABCD. Aplicar las propiedades mencionadas anteriormente. Para encontrar los valores de las variables x, y. ¿Cuáles son las longuitudes de los segmentos: !!";!!"!;!!!"!!!!!" . ¿Cuál es su perimetro? a. !" = 6!;!!" = 5! − 9; !" = 3!;!!!!" = 13 − 4! b. !" = 11!;!!" = 2 + 9!; !" = 13!;!!!!" = 15! − 2 c. !" = 19!;!!" = 236 − 8!; !" = !;!!!!" = 15! − 40 d. !" = 8!;!!" = 7! − 5; !" = 6!;!!!!" = 3! + 6 e. !" = 3!;!!" = 2! − 6; !" = 2!;!!!!" = 17! − 10 2.) Si ABCD es un paralelogramo, calcular los valores de x e y en los siguientes casos. ¿Cuál es le valor de su perimetro? a. !" = !;!!" = 27 − 6!; !" = 7!;!!!" = 9 + 3! b. !" = !;!!" = 6 − 3!; !" = 5!;!!!" = 13 + 2! c. !" = 6! − 5!;!!" = −9; !" = 4!;!!!" = 13 − 3! d. !" = 11!;!!" = 2 + 9!; B! = 13!;!!!" = 15! − 2 e. !" = 15! − !;!!" = 40; !" = 19! + 8!;!!!" = 236 TRAPECIO: Es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y los otros dos lados no paralelos. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia entre ellos, se llama altura. El trapecio puede ser: Trapecio Rectángulo: Tiene dos ángulos rectos Trapecio Escaleno: No tiene ningún lado igual ni ángulo recto Trapecio Isósceles: Tiene dos lados no paralelos de igual longitud. TRAPEZOIDE: Es un cuadrilátero que no tiene ningún lado de igual longitud y no tiene lados paralelos. " " " " " " " " " " " " "
  22. 22. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti 22 ÁREA DE CUADRILÁTEROS Cuadriláteros Paralelogramos (TienelosladosparalelosdeDosenDos) Nombre Figura Geométrica Ecuación del área de la figura geométrica Cuadrado ! = ! ∗ ! Rectángulo ! = ! ∗ ℎ Rombo ! = ! ∗ ! 2 Romboide ! = ! ∗ ℎ Trapecios (TieneDOSladosparalelos) Trapecio Rectángulo ! = ℎ(! + !) 2 Trapecio Isósceles Trapecio Escaleno Trapezoide no tiene ningún lado de igual longitud y no tiene lados paralelos Se divide al trapezoide en dos triángulos, se calcula sus áreas y se suman sus áreas " " " " " " " " " " "
  23. 23. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti! 23! " Ejemplo: Calcular el área de un cuadrado cuyos lados tienen una longitud de 4 cm. ! = !! . ! = (4!")! . ! = 16!"! . Ejemplo: Calcular el área de un rectangulo que tiene 4 m de largo (base) y 3 m de ancho. ! = !ℎ. ! = 4! 3! . ! = 12!! . Ejemplo: Calcular el área de un romboide de 15 m de largo (base) y 4 m de altura. ! = !ℎ ! = 15! 4! . ! = 60!! . Ejemplo: Calcular el área de un rombo cuyas diagonales tienen una longiutud de 9m y 6m respectivamente. ! = !" 2 . ! = 9m(6m) 2 . ! = 27!! . Ejemplo: Calcular el área de un rapecio Isóceles cuya altura es de 5m y la longitud de sus bases son de 13m y 9m respectivamente. ! = h(B + b) 2 . ! = 5m(13m + 9m) 2 . ! = 55!! . Ejemplo: Calcular la longitud de un lado de un cuadrado cuya área es igual a 169 !! ! = !! ! = !! 169!!! = ! ! = 13! Ejemplo: calcular la base de un rectángulo que tiene 52 !"! de área y su altura es igual a 4 cm. ! = !ℎ ! = ! ℎ ! = 52!!"! 4!!" ! = 13!" Ejemplo: el área de un rombo es igual a 40!! . Encontrar el valor de la longitud de la diagonal mayor, sabiendo que la diagonal menor tiene una longitud de 8m. ! = !" 2 ! = 2! ! ! = 2(40!! ) 8! ! = 10! Ejemplo: el área de un romboide es igual a 450 !! . Encontrar el valor de la altura sabiendo que su base es igual a 30m. ! = !ℎ ℎ = ! ! ℎ = 450!!! 30! ℎ = 15!
  24. 24. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti 24 Ejemplo: calcular la altura de un trapecio, sabiendo que sus lados bases miden 18m y 38m y tiene un área de 196 !! ! = h(B + b) 2 ℎ = 2! ! + ! ℎ = 2(196!!! ) 38! + 18! ℎ = 392!!! 56! ℎ = 7! Areas de Figuras Complejas: Para encontrar el área de una figura compleja, la mejor manera de encontrar el área de ella, es dividirla en otras figuras geometricas planas más sencillas, de las cuales sepamos encontrar se área. Por ejemplo: encontrar el área del siguiente grafico: !"!!"#$%&'!!"#$%&'% !"!!"#$%"&"'(#)!!!"!!" !"#$%&'!!"!á!"#$!!"#"!$%&'!!"#: Dividimos la figura en tres partes y luego calculamos el área de cada una de ellas. Así: 𝑷𝒂𝒓𝒕𝒆 𝟏: Á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 = 𝟐 𝒎𝒙𝟏, 𝟑 𝒎𝒕𝒔 = 𝟐, 𝟔!! 𝑷𝒂𝒓𝒕𝒆 𝟐 Á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 = 𝟐, 𝟏𝒎𝒙𝟕, 𝟏𝒎𝒕𝒔 = 𝟏𝟒, 𝟗𝟏!! 𝑷𝒂𝒓𝒕𝒆 𝟑: Á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒕𝒓𝒂𝒑𝒆𝒄𝒊𝒐 = (𝟐, 𝟔𝒎)(𝟒, 𝟔𝒎 + 𝟐𝒎)/𝟐 = 𝟖, 𝟓𝟖!! Á𝒓𝒆𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟐, 𝟔!! + 𝟏𝟒, 𝟗𝟏!! + 𝟖, 𝟓𝟖!! = 𝟐𝟔, 𝟎𝟗 !! Encontrar el ára del siguiente grafico: !"!!"#$%&'!!" !"#$%&'"(#('%!!"!!" !!!"#$%&'!!!!á!"#$!!"#"!$%&' Dividimos la figura a) en tres partes y luego calculamos el área de cada una de ellas. Así: 𝑷𝒂𝒓𝒕𝒆 𝟏: Á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 = 𝟐, 𝟖𝒎𝒙𝟐, 𝟔𝒎𝒕𝒔 = 𝟕, 𝟐𝟖!! 𝑷𝒂𝒓𝒕𝒆 𝟐 Á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 = 𝟏, 𝟖𝒎𝒙𝟐, 𝟔𝒎𝒕𝒔 = 𝟒, 𝟔𝟖 !! 𝑷𝒂𝒓𝒕𝒆 𝟑: Á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒕𝒓𝒊𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 = 𝟐, 𝟖𝒎𝒙𝟐, 𝟐𝒎𝒕𝒔/𝟐 = 𝟑, 𝟎𝟖 !! Á𝒓𝒆𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟕, 𝟐𝟖!! + 𝟒, 𝟔𝟖!! + 𝟑, 𝟎𝟖!! = 𝟏𝟓, 𝟎𝟒!!
  25. 25. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti! 25! " TALLER 1) ¿Cuánto costará vallar una finca cuadrada de 14 metros de lado a razón de 4500 pesos el metro lineal de alambrada? 2) Pintar una pared de 8 m de larga y 75 dm de ancha ha costado 15000 pesos. ¿A qué precio se habrá pagado el metro cuadrado de pintura? 3) Una finca rectangular que mide 1698 m de largo por 540 m de ancho se sembró de trigo. Al realizar la cosecha cada Decámetro cuadrado de terreno ha producido 7890 kg de trigo. ¿Cuántos kg se han cosechado? Si el trigo se vende a 600 pesos el kg, ¿Cuánto dinero se obtendrá? 4) Un terreno mide 1000 metros cuadrados de superficie. Si el terreno ha costado 37.000.000 de pesos, ¿a qué precio se compro el metro cuadrado? 5) ¿Cuánto costará un espejo rectangular de 1,36 m de altura y 0,97 m de anchura, si el decímetro cuadrado vale 6250 pesos? 6) ¿Cuánto cuesta un pequeño terreno cuadrado de 8 metros de lado a razón de 15.000.000 de pesos la hectárea (!"! )? 7) ¿Cuál es la distancia máxima que se puede recorrer, en línea recta, dentro de un campo rectangular de 80 m. de largo y 60 m. de ancho? 8) Se necesita cercar un huerto rectangular, de 180 m de longitud y 150 m de anchura, con tela metálica. El metro lineal de valla cuesta 37500 pesos. Al mismo tiempo, es necesario abonarlo con abono nitrogenado. El fabricante del abono recomienda 25 kg por hectárea. a) Calcular la longitud de la tela metálica y el coste de la misma para cercar el huerto. b) Calcular la cantidad de abono nitrogenado necesario para abonarlo. 9) Hay que embaldosar una habitación de 5 metros de largo y 3,36 m de ancho. ¿Cuántas baldosas de 80 centímetros cuadrados de superficie se necesitan? 10) El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área. PROBLEMAS DE ÁREAS DE TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS 1.) Calcular el número de baldosas cuadradas que hay en un salón de forma rectangular cuyas dimensiones son de 6 m de largo y 4,5 m de ancho, si cada baldosa mide 30 cm de lado. 2.) Calcular cuál es el precio de un mantel cuadrado de 3,5 m de lado si el !! de tela cuesta 1.200 pesetas. 3.)Calcula el área del cuadrado A, de los rectángulos B y C y el triángulo D de la figura. 4.)Calcula el número de árboles que se pueden plantar en un terreno que tiene una forma geométrica de un romboide cuyo lado –base (largo) tiene una longitud de 32 m y 30 m de ancho (altura), sabiendo que cada árbol necesita para desarrollarse 4!! . 5.) Calcular las longitudes de las diagonales de un rombo que se encuentra inscrito en un rectángulo. Sabiendo que el área del rectángulo es igual a 210 c!! de área y tiene uno de sus lados una longitud de 30 cm. ¿Cuál es el área del rombo? 5.) Calcula lo que costará sembrar césped en un jardín que tiene una forma geometrica de trapecio isósceles tal como se muestra en la figura, siguiente, sabiendo que 1 !! de césped plantado cuesta 8000 pesos.
  26. 26. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti 26 6.) Una piscina tiene 210!! de área y tiene la forma geométrica de un rectángulo para uso exclusivo de adultos y una piscina en forma geométrica de un trapecio para uso de los niños. Observa el dibujo y calcula: a) El área para cada una de las piscinas. b) ¿Cuál es la longitud de la piscina de adultos?. 7.) Lucía está haciéndose una bufanda de rayas trasversales de muchos colores. La bufanda mide 120 cm de largo y 30 cm de ancho y cada franja mide 8 cm de ancho. a) ¿Cuántas rayas de colores tiene la bufanda? b) Calcula el área de cada franja y el área total de la bufanda. 8.)Las casillas cuadradas de un tablero de ajedrez miden 4 cm de lado. Calcula cuánto miden el lado y el área del tablero de ajedrez. Sabiendo que cada lado del tablero tiene tiene 8 casillas cuadradas. 9.) Observa la figura y calcula el área total. a)¿Cuál es el área del cuadrado? b) ¿Cuál es el área del trapecio? c) ¿Cuál es el área del rectángulo? d) ¿Cuál es el área total de la figura? 10.) Eduardo y Marina están cada uno forrando sus libros. Cada uno tiene un rollo de plástico de 1,5 m de largo y 1 m de ancho. Para realizar su labor necesitan para cada libro un plástico de forma rectangular de 49 cm de largo y 34 cm de ancho. Observa en los dibujos cómo ha cortado cada niño los rectángulos. Calcular en cada caso cuántos !"! de plástico les han sobrado. ¿Quién ha aprovechado mejor el rollo de plástico de forrar? 11.) Encontrar el área de la figura siguiente:
  27. 27. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti! 27! " CIRCUNFERENCIA. Se llama circunferencia a la línea, formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro punto llamado centro. Círculo. Es el conjunto de puntos encerrados por la circunferencia. NOTA: Es importante no confundir la circunferencia, que es una línea, y el círculo es una superficie. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA Arco es la parte de circunferencia comprendida entre dos de sus puntos. Cuerda es un segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia. Radio es un segmento de recta que une el centro de la circunferencia con uno de sus puntos. Diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. El diametro es el doble del radio. Ángulo central. (!): Es un ángulo cuyo vértice se encuentra en el centro de la circunferencia y los lados del ángulo son radios de la circunferencia. Arco: Es una parte o porcion de la circunferencia. Cuya longitud del arco (L) esta definida por la siguiente expresion algebraica. ! = 2!"# 360º donde ! es un Ángulo Central, medido en grados sexagecimales FIGURAS CIRCULARES POSICIÓN DE UNA RECTA RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA Una recta puede ocupar tres posiciones respecto de una circunferencia.
  28. 28. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti 28 LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA (PERÍMETRO DEL CIRCULO) Y ÁREA DEL CÍRCULO Al dividir la longitud de la circunferencia entre su diámetro, siempre obtenemos el número 𝜋, cuyo valor aproximado es igual a.𝜋 = 3,1416. La Longitud de la circunferencia o perímetro = diámetro (𝜋 )= 2𝜋𝑟 El Área del círculo = 𝜋!! El área de la corona circular es igual a la diferencia de las áreas de los dos círculos que la forman. !! =𝜋!! ! !! =𝜋!! ! 𝐶𝑜𝑟𝑜𝑛𝑎 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 = !! − !! 𝐶𝑜𝑟𝑜𝑛𝑎 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 = 𝜋!! ! − π!! ! 𝐶𝑜𝑟𝑜𝑛𝑎 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 = 𝜋(!! ! − !! ! ) Ejemplo: Un disco compacto tiene un radio de 5 cm. ¿Cuál es la longitud de su borde exterior? ¿Cual es su área? Por definición de perímetro o longitud de la circunferencia, tenemos que: 𝑃 = 2𝜋𝑟 𝑃 = 2(3,1416)(5 𝑐𝑚) 𝑃 = 31,41 𝑐𝑚 Por definición de área del círculo, tenemos que: 𝐴 = 𝜋!! 𝐴 = 3,1416(5 𝑐𝑚)! 𝐴 = 78,54 𝑐!! AREAS DE FIGURAS COMPLEJAS Ejemplo: Este es el plano del jardín de Nicolás. ¿Cuántos metros de alambre necesitará para cubrir su perímetro? Calcular la superficie del jardín en !! . Para hallar el área de figuras complejas, como el presente grafico, la dividimos la figura en dos partes y luego calculamos el área de cada una de ellas. Así: 𝑷𝒂𝒓𝒕𝒆 𝟏: Á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 = 𝟒 𝒎𝒙 𝟑𝒎 = 𝟏𝟐 !! 𝑷𝒂𝒓𝒕𝒆 𝟐 Á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒔𝒆𝒎𝒊𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒍𝒐 = 𝟑, 𝟏𝟒𝟏𝟔(𝟐!)! /𝟐 𝑷𝒂𝒓𝒕𝒆 𝟐 Á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒔𝒆𝒎𝒊𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒍𝒐 = 𝟔, 𝟐𝟖!! Á𝒓𝒆𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟏𝟐!! + 𝟔, 𝟐𝟖!! = 𝟏𝟖, 𝟐𝟖!! Ejemplo: En un jardín cuadrado de 20 m de lado construimos una piscina de 6 m de radio. Calcular la zona verde que quedara. 𝑷𝒂𝒓𝒕𝒆 𝟏: Á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 = 𝟐𝟎 𝒎𝒙 𝟐𝟎𝒎 = 𝟒𝟎𝟎!! 𝑷𝒂𝒓𝒕𝒆 𝟐 Á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒍𝒐 = 𝟑, 𝟏𝟒𝟏𝟔(𝟔!)! = 𝟏𝟏𝟑, 𝟎𝟗!! Á𝑟𝑒𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑎 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 − á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 Á𝑟𝑒𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑎 = 400!! − 113,09!! = 289,91!!
  29. 29. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti! 29! " Ejemplo: En la pared del colegio se van a pintar de diferentes colores 6 coronas circulares iguales, con las dimensiones que se muestran en la figura siguiente. ¿Qué superficie de la pared se va a pintar? Á𝑟𝑒𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 1 = 𝜋(3 𝑐!)! = 28,27𝑐!! Á𝑟𝑒𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 2 = 𝜋(1 𝑐!)! = 3,14𝑐!! 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑛𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜1 − Á𝑟𝑒𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜2 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑛𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 = 28,27𝑐!! − 3,14𝑐!! 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑛𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 = 25,13𝑐!! TALLER 1) Calcular el área y la longitud de un círculo de 2 metros de radio. 2) Calcular el área y la longitud de un círculo de 6 metros de diámetro. 3) Calcular el radio y el área de un círculo cuya longitud de la circunferencia mide 25,12 cm. 4) Calcular el radio y la longitud de un círculo cuya área mide 28,26 decímetros cuadrados. 5) Calcular el área de un círculo si su longitud de la circunferencia es de 628 m. 6) He rodeado con una cuerda un balón. A continuación he medido la longitud del trozo de cuerda que he utilizado para rodear el balón. ¿Cuál es el radio del balón, si el trozo de cuerda mide 94,20 cm de longitud? 7) Calcular el área de una corona circular que tiene de radio grande 7 mts y de radio pequeño 3 mts. 8) Calcular el área circular A y de las coronas circulares B, C de una diana, sabiendo que los radios de las tres circunferencias concéntricas son respectivamente 5 cm, 10 cm y 15 cm. 9) Calcular el área de un cristal de un ventanal como el que se muestra en la figura siguiente, que hay en la pared de una catedral. 10) Se quiere recortar de un cartón cuadrado que tiene 144 𝑐!! de área, el mayor círculo posible. a) ¿Cuánto medirá su radio? b) ¿Cuál es su área? c) ¿Cuántos 𝑐!! de cartón se desperdiciarán (sombreado)?
  30. 30. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti 30 11) Encontrar el valor del área sombreada de la figura siguiente: 12) Encontrar el valor del área de la figura siguiente: 13) Encontrar el valor del área de la figura siguiente:

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