Funcion cuadratica gonzalo revelo pabon

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Funcion cuadratica gonzalo revelo pabon

  1. 1. Luis Gonzalo Revelo Pabón 25 Dpto. de Matemáticas - GorettiFUNCION CUADRATICA. 2Se llama función cuadrática a la función: Y = AX + BX + C, donde A, B y C son números reales y el coe-ficiente A 0.Dónde:Y: Variable DependienteX: Variable independiente. 2AX : Coeficiente cuadrático.BX: Coeficiente lineal.C: Termino independiente.La función cuadrática representa en el plano cartesiano, una gráfica llamada Parábola. 2CARACTERISTICAS DEL GRAFICO DE LA FUNCION CUADRATICA: Y = AX + BX + C.Paso 1.- ORIENTACIÓN O CONCAVIDADUna primera característica de la parábola es la orientación o concavidad- Si el coeficiente A es positivo (A>0), entonces las ramas o brazos de la parábola se dirigen hacia arriba(Parábola Cóncava).- Si el coeficiente A es negativo (A<0), entonces las ramas o brazos de la parábola se dirigen hacia abajo(Parábola Convexa).Paso 2.- INTERSECCESION CON EL EJE YPara encontrar el punto de corte de la Parábola con el eje Y, hacemos X= 0, en la ecuación cuadrática: 2Y = AX + BX + C. Para obtenerY=CPor lo tanto el punto de corte de la parábola con el eje Y es el coeficiente C.Paso 3.- INTERSECCESION CON EL EJE XPara encontrar el punto de corte de la Parábola con el eje X, hacemos Y= 0, en la ecuación cuadrática: 2Y = AX + BX + C. Para obtener 2AX + BX + C = 0 Resolvemos la ecuación cuadrática, mediante la expresión algebraica: √ 2 B -4AC: Discriminante SI > 0, (Es positivo) entonces la Parábola corta al eje X, en dos puntos X1, X2.
  2. 2. Luis Gonzalo Revelo Pabón 26 Dpto. de Matemáticas - Goretti SI = 0, entonces la Parábola corta al eje X, en UN SOLO punto X1 = X2. SI < 0, (Es negativo) entonces la Parábola NO corta al eje X.Paso 4.- EJE DE SIMETRIALos puntos de la Parábola son simétricos con relación a la línea recta X= (Se lo obtiene cuando eldiscriminante vale cero).Paso 5.- VERTICE (V)El vértice V(x, y) es el punto más alto o más bajo de la Parábola y está definido por la siguiente expresiónalgebraica:V(x, y) = ( ( ))  Si el coeficiente A es positivo (A>0), entonces el vértice de la parábola es mínimo.  Si el coeficiente A es negativo (A<0), entonces el vértice de la parábola es máximo.
  3. 3. Luis Gonzalo Revelo Pabón 27 Dpto. de Matemáticas - GorettiRESUMIENDO:Para dibujar la gráfica de una función cuadrática, debemos tener en cuenta los siguientes datos:La orientación, la intersección con el eje y, la intersección con el eje x, el eje de simetría, y el vértice. Así:Paso 1 1.) Si A>0, entonces las ramas o brazos de la parábola están dirigidosOrientación o Concavidad hacia arriba 2.) Si A<0, entonces las ramas o brazos de la parábola están dirigidos hacia abajo.Paso 2 La parábola corta al eje Y en Y = CIntersección con el eje YPaso 3 √Intersección con el eje X 2 B -4AC: discriminante.  Si el discriminante es un número positivo, entonces la parábola corta al eje X, en dos puntos X1 y X2.  Si el discriminante es un número cero, entonces la parábola corta al eje X, en Un punto X1 = X2.  Si el discriminante es un número negativo, entonces la parábola NO corta al eje X.Paso 4Eje de SimetríaPaso 5Vértice V(x,y)= ( ( ))EJERCICIOS RESUELTOS.Graficar en el plano cartesiano, las siguientes ecuaciones cuadráticas. 2 A. Y = -X +2X + 15 2 B. Y = X - 4X +4 2 C. Y = X -4X + 6Solución: 2 2A. Y = -X + 2X + 15 al comparar con la función Y=AX + BX + C se deduce que: { Paso 1.- ORIENTACIÓN O CONCAVIDAD- Como el coeficiente A es un numero negativo (A = -1), entonces las ramas o brazos de la parábola sedirigen hacia abajo (Parábola Convexa).Paso 2.- INTERSECCESION CON EL EJE YPara encontrar el punto de corte de la Parábola con el eje Y, hacemos X= 0, en la ecuación cuadrática: 2Y = -X + 2X + 15. Para obtenerY = 15.Paso 3.- INTERSECCESION CON EL EJE XPara encontrar el punto de corte de la Parábola con el eje X, hacemos Y= 0, en la ecuación cuadrática: 2Y = -X + 2X + 15. Para obtener 2 2-X + 2X + 15 = 0 al comparar con AX + BX + C = 0 se deduce que: {Resolvemos la ecuación cuadrática, mediante la expresión algebraica: √
  4. 4. Luis Gonzalo Revelo Pabón 28 Dpto. de Matemáticas - GorettiRemplazamos: √ √ √Como el Discriminante 64, es positivo, entonces la Parábola corta al eje X, en dos puntos X1, X2.A saber:Paso 4.- EJE DE SIMETRIALos puntos de la Parábola son simétricos con relación a la línea recta X= remplazamos: X=Paso 5.- VERTICE (V)El vértice V(x, y) es el punto más alto o más bajo de la Parábola y está definido por la siguiente expresiónalgebraica:V(x, y) = ( ( )) RemplazamosV(x,y) = ( ( )) = V(1, = V(1,16)Como el coeficiente A es negativo (A=-1), entonces el vértice de la parábola es máximo.Gráfico:
  5. 5. Luis Gonzalo Revelo Pabón 29 Dpto. de Matemáticas - Goretti 2B . Y = X - 4X +4 2 2 Y = X - 4X +4 al comparar con la función Y=AX + BX + C se deduce que: { Paso 1.- ORIENTACIÓN O CONCAVIDAD- Como el coeficiente A es un numero positivo (A = 1), entonces las ramas o brazos de la parábola sedirigen hacia arriba (Parábola Cóncava).Paso 2.- INTERSECCESION CON EL EJE YPara encontrar el punto de corte de la Parábola con el eje Y, hacemos X= 0, en la ecuación cuadrática: 2Y = X - 4X +4. Para obtenerY = 4.Paso 3.- INTERSECCESION CON EL EJE XPara encontrar el punto de corte de la Parábola con el eje X, hacemos Y= 0, en la ecuación cuadrática: 2Y = X - 4X +4 Para obtener 2 2X - 4X +4 = 0 al comparar con AX + BX + C = 0 se deduce que: {Resolvemos la ecuación cuadrática, mediante la expresión algebraica: √Remplazamos: √ √ √Como el Discriminante 0, entonces la Parábola corta al eje X, en un solo punto X1 =X2. A sa-ber:Paso 4.- EJE DE SIMETRIALos puntos de la Parábola son simétricos con relación a la línea recta X= remplazamos: X=Paso 5.- VERTICE (V)El vértice V(x, y) es el punto más alto o más bajo de la Parábola y está definido por la siguiente expresiónalgebraica:V(x, y) = ( ( )) Remplazamos
  6. 6. Luis Gonzalo Revelo Pabón 30 Dpto. de Matemáticas - GorettiV(x,y) = ( ( )) = V(2, = V(2,0)Como el coeficiente A es positivo (A= 1), entonces el vértice de la parábola es mínimo.Gráfico: 2B. Y = X -4X + 6 2 2 Y = x - 4x + 6 al comparar con la función Y=AX + BX + C se deduce que: { Paso 1.- ORIENTACIÓN O CONCAVIDAD- Como el coeficiente A es un numero positivo (A = 1), entonces las ramas o brazos de la parábola sedirigen hacia arriba (Parábola Cóncava).Paso 2.- INTERSECCESION CON EL EJE YPara encontrar el punto de corte de la Parábola con el eje Y, hacemos X= 0, en la ecuación cuadrática: 2Y = X - 4X +6. Para obtenerY = 6.Paso 3.- INTERSECCESION CON EL EJE XPara encontrar el punto de corte de la Parábola con el eje X, hacemos Y= 0, en la ecuación cuadrática: 2Y = X - 4X +6 Para obtener 2 2X - 4X +6 = 0 al comparar con AX + BX + C = 0 se deduce que: {Resolvemos la ecuación cuadrática, mediante la expresión algebraica: √
  7. 7. Luis Gonzalo Revelo Pabón 31 Dpto. de Matemáticas - GorettiRemplazamos: √ √ √Como el Discriminante = -8, es negativo, entonces la Parábola corta al eje X, NO corta al eje X.Paso 4.- EJE DE SIMETRIALos puntos de la Parábola son simétricos con relación a la línea recta X= remplazamos: X=Paso 5.- VERTICE (V)El vértice V(x, y) es el punto más alto o más bajo de la Parábola y está definido por la siguiente expresiónalgebraica:V(x, y) = ( ( )) RemplazamosV(x, y) = ( ( )) = V (2, = V (2,2)Como el coeficiente A es positivo (A= 1), entonces el vértice de la parábola es mínimo.Gráfico:
  8. 8. Luis Gonzalo Revelo Pabón 32 Dpto. de Matemáticas - GorettiEJERCICIOGraficar las siguientes funciones: 1.) Y = X2 - 4X - 5 5.) Y = 4X2 – 12X + 9 2.) Y = -3X2 -11X + 4 6.) Y = -X2 + 4 3.) Y = -X2 +X + 2 7) Y= -X2 +4X 4.) Y = -X2 -10X - 25 8.) Y = -2X2

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