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Relaciones

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  • 1. RELACIONESFUNCIONES LOGICAS, ENUNCIADOS FORMALES Se llama función lógica definida sobre el producto cartesiano A × B de dosconjuntos A y B, una expresión denotada por P(x, y)que se caracteriza porque cuando en P(x, y) se sustituyen las variables x e y,respectivamente, por a y b, se convierte en un enunciado ya verdadero, ya falso, para todopar ordenado (a, b) ∈ A × B. Por ejemplo, si A es el conjunto de autores y B el de dramas,entonces P(x, y) = «x escribió y»es una función lógica sobre A × B. Por ejemplo: P(Shakespeare, Hamlet) = «Shakespeare escribió el Hamlet» P(Shakespeare, Fausto) = «Shakespeare escribió el Fausto»son verdadero y falso, respectivamente. La expresión misma P(x, y) se dice enunciado formal en dos variables, osimplemente, enunciado formal. Ejemplos de enunciados formales son los siguientes:Ejemplo 1-1: «x es menor que y».Ejemplo 1-2: «x pesa y kilos».Ejemplo 1-3: «x divide a y».
  • 2. Ejemplo 1-4: «x es la esposa de y».Ejemplo 1-5: «El cuadrado de x más el cuadrado de y da dieciséis», o sea «x2 + y2 = 16».Ejemplo 1-6: «El triángulo x es semejante al triángulo y». En todos estos ejemplos hay dos variables, pero también pueden darse enunciadosen una variable, como «x esta en las Naciones Unidas», o en más de dos variables, como «xpor y igual z».RELACIONES Una relación R consiste en lo siguiente: (1) Un conjunto A. (2) Un conjunto B. (3) Un enunciado formal P(x, y) tal que P(a, b) es verdadero o falso para todo par ordenado (a, b) de A × B.Se dice entonces que R es una relación entre A y B y se la denota por R = (A, B, P(x, y))Además, si P(a, b) es verdadero, se escribe aRbque se lee «a está relacionado con b»; y si P(a, b) es falso, se escribeque se lee «a no está relacionado con b».Ejemplo 2-1: Sea R1 = (R, R, P(x, y)), donde P(x, y) se supone significar «x es menor quey». Es claro que R1, es una relación, porque P(a, b), o lo que es lo mismo, «a < b», es
  • 3. verdadero o falso para todo par ordenado (a, b) de números reales. Así, pues, comoP(2, π) es verdadero, se puede escribir 2 R1 πy puesto que P(5, √2) es falso,Ejemplo 2-2: Sea R2 = (A, B, P(x, y)), donde A es el conjunto de los hombres, B es elconjunto de las mujeres y P(x, y) es «x es el marido de y». R2 es una relación ciertamente.Ejemplo 2-3: Sea R3 = (N, N, P(x, y)), donde N es el conjunto de los números naturales yP(x, y) se lee «x divide a y». R3 es entonces una relación y evidentemente 3 R3 12yEjemplo 2-4: Sea R4 = (A, B, P(x, y)), siendo A el conjunto de los hombres, B el de lasmujeres y P(x, y) quiere decir «x divide a y». Aquí R4 no es una relación, pues P(a, b),carece de significado si a es un hombre y b una mujer.Ejemplo 2-5: Sea R5 = (N, N, P(x, y)), siendo N los números naturales y donde P(x, y)significa «x es menor que y». Aquí R5 es una relación. Sea R = (A, B, P(x, y)) una relación. Se dice que el enunciado formal P(x, y) defineuna relación entre A y B. Además, si A = B, se dice que P(x, y) define una relación en A oque R es una relación en A.Ejemplo 2-6: El enunciado formal P(x, y), que se lee «x es menor que y», define unarelación en los números racionales.
  • 4. Ejemplo 2-7: El enunciado formal «x es el esposo de y», define una relación entre elconjunto de hombres y el conjunto de mujeres.CONJUNTOS DE SOLUCION Y GRAFOS DE RELACIONES Sea R = (A, B, P(x, y)) una relación. El conjunto de los elementos (a, b) deA × B, para los cuales P(a, b) es verdadero, se llama conjunto solución R* de la relación R.Es decir, R* = {(a, b) │a ∈ A, b ∈ B, P(a, b) es cierto}Es claro que R*, conjunto solución de una relación R entre A y B, es un subconjunto deA × B. Por tanto, R* se puede representa o mostrar en el diagrama de coordenadas deA × B. El grafo de una relación R entre A y B consta de los puntos del diagrama decoordenadas de A × B que pertenecen al conjunto solución de R.Ejemplo 3-1: Sea R = (A, B, P(x, y)), donde A = {2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6} y P(x, y)significa «x divide a y». Entonces el conjunto solución de R es R* = {(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}
  • 5. En el diagrama de coordenadas de A × B que aparece en la Fig. 6-1 se muestra el conjuntosolución de R.Ejemplo 3-2: Sea R la relación definida en los números reales por y<x+1La porción sombreada del diagrama cartesiano de R × R en la Fig. 6-2 consiste en lospuntos que pertenecen a R*, conjunto solución de R, o sea que es el grafo de R. Nótese que R* está formado por los puntos debajo de la recta y = x + 1. La rectay = x + 1 se representa en línea de trazos para indicar que los puntos de esa recta nopertenecen a R*.RELACIONES COMO CONJUNTOS DE PARES ORDENADOS Sea R* un subconjunto de A × B. Puede definirse una relación R = (A, B, P(x, y)),donde P(x, y) signifique
  • 6. «El par ordenado (x, y) pertenece a R*»El conjunto de solución de esta relación R es el conjunto original R*. Así, a toda relaciónR = (A, B, P(x, y)) corresponde un conjunto de solución único R* que es un subconjunto deA × B, y a cada subconjunto R* de A × B corresponde una relación R = (A, B, P(x, y)) dela cual es R* el conjunto de solución. En vista de esta correspondencia inyectiva ysobreyectiva entre relaciones R = (A, B, P(x, y)) y subconjuntos R* de A × B, se puededefinir también una relación así:Definición 6-1: una relación R entre A y B es un subconjunto de A × B. Si bien la Definición 6-1 de una relación puede parecer artificiosa, tiene sinembargo, la ventaja de que no se sirve de conceptos no definidos como «enunciado formal»y «variable» para definir una relación.Ejemplo 4-1: Sean A = {1, 2, 3} y B = {a, b}. Entonces R = {(1, a), (1, b), (3, a)}es una relación entre A y B. Se tiene 1R a y 3R ay yEjemplo 4-2: Sean W = {a, b, c}. Entonces R = {(a, b), (a, c), (c, c), (c, b)}es una relación, y entonces aR b y cR cy yEjemplo 4-3: Sea
  • 7. R = {(x, y) │x ∈ R, y ∈ R, y < x2}Así que R es un conjunto de pares ordenados de números reales, o sea que es unsubconjunto de R × R. Por consiguiente, R es una relación en los números reales que sepodría definir asimismo por R = (R, R, P(x, y))habiéndose de leer P(x, y) «y es menor que x al cuadrado».Observación 6-1: Si el conjunto A tiene m elementos y el B tiene n elementos , hayentonces 2mn relaciones distintas entre A y B, porque A × B, que tiene mn elementos, tiene2mn subconjuntos diferentes.RELACIONES INVERSAS Toda relación R entre A y B time una relación inversa R -1 entre B y A, que se definepor R -1 = {(b, a) │(a, b) ∈ R}Es decir, la relación inversa R -1 consta de los pares ordenados que al ser invertidos, esdecir, permutados, pertenecen a R.Ejemplo 5-1: Sean A = {1, 2, 3} y B = {a, b}. Entonces R = {(1, a), (1, b), (3, a)}es una relación entre A y B. La relación inversa de la R es R -1 = {(a, 1), (b, 1), (a, 3)}Ejemplo 5-2: Sean W = {a, b, c}. Entonces R = {(a, b), (a, c), (c, c), (c, b)}
  • 8. es una relación en W. La relación inversa de esta R es R -1 = {(b, a), (c, a), (c, c), (b, c)}RELACIONES REFLEXIVAS Sea R = (A, A, P(x, y)) una relación en un conjunto A, es decir, sea R unsubconjunto de A × A. Sc dice que R es una relación reflexiva si, para todo a ∈ A, (a, a) ∈ Ro lo que es lo mismo, R es reflexiva si todo elemento de A esta relacionado consigo mismo.Ejemplo 6-1: Sean V = {1, 2, 3, 4} y R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 1), (4, 4)}Esta R no es una relación reflexiva, ya que (2, 2) no pertenece a R. Téngase en cuenta queTodos los pares ordenados (a, a) deben pertenecer a R para que R sea reflexiva.Ejemplo 6-2: Sea A el conjunto de triángulos del plano euclidiano. La relación R definidaen A por el enunciado formal «x es semejante a y» es una relación reflexiva porque todotriangulo es semejante a si mismo.Ejemplo 6-3: Sea R la relación definida en los números reales por el enunciado formal «xes menor que y», es decir, «x < y». Aquí R no es reflexiva puesto que a ≮ a para todonúmero real a.
  • 9. Ejemplo 6-4: Sea A una familia de conjuntos y sea R la relación definida en A por «x esun subconjunto de y». Esta relación R es reflexiva porque todo conjunto subconjunto simismo.RELAClONES SIMETRICAS Sea R un subconjunto de A × A, es decir, sea R una relación en A. Se dice que R esuna relación simétrica si (a, b) ∈ R implica (b, a) ∈ Resto es, que si a está relacionado con b, entonces b está relacionado con a.Ejemplo 7-1: Sean S = {1, 2, 3, 4} y R = {(1, 3), (4, 2), (2, 4), (2, 3), (3, 1)}Aquí R no es una relación simétrica, puesto que (2, 3) ∈ R pero (3, 2) ∉ REjemplo 7-2: Sea A el conjunto de los triángulos del plano euclidiano, y sea R la relaciónen A definida por el enunciado formal «x es semejante a y». Entonces R es simétrica,puesto que si el triángulo a es semejante al triángulo b, entonces el triángulo b es tambiénsemejante al a.
  • 10. Ejemplo 7-3: Sea R la relación en los números naturales N que viene definida por «xdivide a y". Esta R no es simétrica, pues si 2 divide a 4, 4 no divide a 2. Es decir, (2, 4) ∈ R pero (4, 2) ∉ RObservación 6-2: Como (a, b) ∈ R implica que (b, a) pertenece a la relación reciprocaR -1, R es una relación simétrica si, y solamente si, R = R -1RELACIONES ANTISIMETRICAS Una relación R en un conjunto A, o sea un subconjunto de A × A, se dice relaciónantisimétrica si (a, b) ∈ R y (b, a) ∈ R implica a = bO, en otras palabras, si a ≠ b, entonces puede a estar relacionado con b, o bien brelacionado con a, pero no las dos cosas.Ejemplo 8-1: Sea N el conjunto de los números naturales y R sea la relación definida enN por «x divide a y». Esta R es antisimétrica, puesto que a divide a b y b divide a aimplican a = b.Ejemplo 8-2: Sea W = {1, 2, 3, 4} y sea R = {(1, 3), (4, 2), (4, 4), (2, 4)}no es una relación antisimétrica en W, pues
  • 11. (4, 2) ∈ R y (2, 4) ∈ REjemplo 8-3: Sea A una familia de conjuntos, y sea R la relación definida en A por «x esun subconjunto de y». Esta relación R es antisimétrica porque A ⊂ B y B ⊂ A implica A = BObservación 6-3: Sea D la diagonal de A × A, esto es, el conjunto de todos los paresordenados (a, b) ∈ A × A. Entonces una relación R en A es antisimétrica si, y solamente si, R ∩R -1 ⊂ DRELACIONES TRANSITIVAS Una relación R en un conjunto A se dice relación transitiva si
  • 12. (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R implica (a, c) ∈ Ro sea que si a está relacionado con b, y b está relacionado con c, entonces a estárelacionado con c.Ejemplo 9-1: Sea A el conjunto de gentes de la Tierra. Sea R la relaci6n en A definida porel enunciado formal «x ama a y». Si a ama a b y b ama a c, no se sigue necesariamente quea ama a c. Así que R no es una relación transitiva.Ejemplo 9-2: Sea R la relación definida en los números reales por «x es menor que y».Entonces, como ya se ha demostrado, a < b y b < c implica a < cPor tanto, R es una relación transitiva.Ejemplo 9-3: Sean W = {a, b, c} y sea R = {(a, b), (c, b), (b, a), (a, c)}Esta relación R no es transitiva porque (c, b) ∈ R y (b, a) ∈ R pero (c, a) ∉ REjemplo 9-4: Dada A, una familia de conjuntos, sea R la relación definida en A por «x esun subconjunto de y». Aquí R es una relación transitiva porque A⊂ ByB⊂C implica A ⊂ C
  • 13. RELACIONES DE EQUIVALENCIA Una relación R en un conjunto A es una relación de equivalencia si (1) R es reflexiva, esto es, para todo a ∈ A, (a, a) ∈ R. (2) R es simétrica, esto es, (a, b) ∈ R implica (b, a) ∈ R. (3) R es transitiva, esto es, (a, b) ∈ R, y (b, c) ∈ R implican (a, c) ∈ R.Ejemplo 10-1: Sea A el conjunto de triángulos del plano euclidiano. Sea R la relación en Adefinida por «x es semejante a y». Entonces, como se demuestra en geometría, R esReflexiva, simétrica y transitiva y, por tanto, R es una relación de equivalencia.Ejemplo 10-2: El ejemplo mas importante de relación de equivalencia es el de la«igualdad». Para cualesquiera elementos en todo conjunto (1) a = a, (2) a = b implica b = a, (3) a = b y b = c implican a = c.DOMINIO DE DEFINICION Y DOMINIO DE IMAGENES DE UNA RELACION Sea R una relación entre A y B, es decir, sea R un subconjunto de A × B. Eldominio de definición D o dominio simplemente de la relación R es el conjunto de todoslos primeros elementos de los pares ordenados que pertenecen a R, o sea D = {a │a ∈ A, (a, b) ∈ R}
  • 14. El dominio de imágenes E de la relación R consiste en todos los segundos elementos queaparecen en los pares ordenados, o sea E = {b │b ∈ B, (a, b) ∈ R}Se ve que el dominio de definición de una relación entre A y B es un subconjunto de A yque su dominio de imágenes es un subconjunto de B.Ejemplo 11-1: Sean A = {1, 2, 3,4} y B = {a, b, c} y R = {(2, a), (4, a), (4, c)}Aquí el dominio de definición de R es el conjunto {2, 4} y el dominio de imágenes de R esel conjunto {a, c}.Ejemplo 11-2: Sea la relación R definida en los números reales por el enunciado formal«4x2 + 9y2 = 36». Se muestra R en el diagrama de coordenadas cartesianas de R × R en lafigura de abajo. El dominio de definición de R es el intervalo cerrado [-3, 3] y el dominiode imágenes de R es el intervalo cerrado [-2, 2].
  • 15. Observación 6-4: Sea una relación R entre A y B representada en un diagrama decoordenadas de A × B. Entonces a ∈ A esta en el dominio de R si, y solamente si, lavertical por a contiene un punto del grafo de R. Asimismo, b ∈ B esta en el dominio deimágenes de R si, y solamente si, la horizontal por b contiene un punto del grafo de R.RELACIONES Y FUNCIONES Repitamos laDefinición 5-1: Una función f de A en B es un subconjunto de A × B en el cual cada a ∈ Aaparece como primer elemento en un par ordenado de f y solo en uno. Como todo subconjunto de A × B es una relación, una función es un tipo especial derelación. Así, por ejemplo, los términos «dominio de definición» y «dominio de imágenes»aparecen tanto en el estudio de las funciones como en el de las relaciones. Problema importante es en matemáticas el determinar si una relación R definida enlos números reales por una ecuación de la forma F(x, y) = 0es o no una función. Es decir, dada la relación definida por F(x, y) = 0¿define una función y = f (x) esta relación? En general, este problema es en extremo difícil. Aquí solo se esta en posibilidad deresolver tal pregunta en el case de ecuaciones muy sencillas.Ejemplo 12-1: Sea R la relación en los números reales definida por x2 + y2 = 25R se representa en el diagrama cartesiano R × R de la Figura 6-3.
  • 16. R es un círculo de radio 5 con el centro en el origen. Hay, pues, muchas verticalesque contienen más de un punto de R así (3, 4) ∈ R y también (3, -4) ∈ R, de modo que larelación R no es una función.Ejemplo 12-2: Sean A = [-5, 5] , B = [0, ∞) y sea R la relación entre A y B definida por x2 + y2 = 25R se representa en el diagrama de A × B de la Figura 6-4.
  • 17. R es la mitad superior de un círculo, pero aquí i cada vertical contiene un punto, ysolo uno, de R; por tanto, R es una función.Ejemplo 12-3: Sea R la relación definida en los números reales por 2x - 3y = 6y que se representa R, en el diagrama cartesiano de R × R de la Fig. 6-5. Aquí R es una recta y cada vertical contiene un punto, y solo uno, de R; R es, pues,una función. Además, despejando y en la ecuación anterior, se tiene una fórmula que definela función R: y = (2x - 6)/3