Operaciones fundamentales con conjuntos

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Operaciones fundamentales con conjuntos

  1. 1. OPERACIONES FUNDAMENTALES CON CONJUNTOSOPERACIONES CON CONJUNTOS En aritmética se suma, resta y multiplica, es decir, a cada par de números x e y se leasigna un número x + y llamado suma de x e y, un número x - y llamado diferencia de x e yy un número xy llamado producto de x e y. Estas asignaciones se llaman operaciones deadición, sustracción y multiplicación de números. En este capitulo se van a definir lasoperaciones de unión, intersección y diferencia de conjuntos, es decir, se van a asignar o ahacer corresponder nuevos conjuntos a pares de conjuntos A y B.UNION La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos quepertenecen a A o a B o a ambos. Se denota la unión de A y B por A⋃Bque se lee «A unión B».Ejemplo 1-1: En el diagrama de Venn de la Figura 2-1, A ⋃ B aparece rayado, o sea el áreade A y el área de B.Ejemplo 1-2: Sean S = {a, b, c, d} y T = {f, b, d, g}. Entonces
  2. 2. S ⋃ T = {a, b, c, d, f, g}Ejemplo 1-3: Sean P el conjunto de los números reales positivos y Q el conjunto de losnúmeros reales negativos. P ⋃ Q, unión de P y Q, consiste en todos los números realesexceptuado el cero. La unión A ⋃ B se puede definir también concisamente así: A ⋃ B = {x ⃒ x ∈ A o x ∈ B}Observación 2-1: Se sigue inmediatamente de la definición de la unión de dos conjuntosque A ⋃ B y B ⋃ A son el mismo conjunto, esto es: A⋃B=B⋃AObservación 2-2: A y B son ambos subconjuntos de A ⋃ B, es decir, que:
  3. 3. A ⊂ (A ⋃ B) y B ⊂ (A ⋃ B) En algunos libros la unión de A y B se denota por A + B y se la llama sumaconjuntista de A y B o simplemente A más B.INTERSECCIONLa intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que son comunes aA y B, esto es, de aquellos elementos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. Sedenota la intersección de A y B por A⋂Bque se lee «A intersección B».Ejemplo 2-1: En el diagrama de Venn de la Figura 2-2, se ha rayado A ⋂ B, el área comúna ambos conjuntos A y B.Ejemplo 2-2: Sean S = {a, b, c, d} y T = {f, b, d, g}. Entonces S ⋂ T = {b, d}
  4. 4. Ejemplo 2-3: Sea V = {2, 4, 6,…}, es decir los múltiplos de 2; y Sea W = {3, 6, 9,…}, osea los múltiplos de 3. Entonces V ⋂ W = {6, 12, 18,…} La intersección de A y B se puede definir concisamente así: A ⋂ B = {x ⃒ x ∈ A, x ∈ B}Aquí la coma tiene el significado de «y».Observación 2-3: Se sigue inmediatamente de la definición de intersección de dosconjuntos que A⋂B=B⋂AObservación 2-4: Cada uno de los conjuntos A y B contiene al A ⋂ B como subconjunto,es decir, (A ⋂ B) ⊂ A y (A ⋂ B) ⊂ BObservación 2-5: Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, es decir, si A y Bson disjuntos, entonces la intersección de A y B es el conjunto vacío, o sea A ⋂ B = ∅.
  5. 5. En algunos libros, sobre todo de probabilidades, la intersección de A y B se denotapor AB y se llama producto conjuntista de A y B o simplemente A por B.DIFERENCIALa diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos que pertenecen a A, perono a B. Se denota la diferencia de A y B por A–Bque se lee «A diferencia B» o simplemente «A menos B».Ejemplo 3-1: En el diagrama de Venn de la Figura 2-3, se ha rayado A – B, el área de Aque no es parte de B.Ejemplo 3-2: Sean S = {a, b, c, d} y T = {f, b, d, g}. Entonces S – T = {a, c}Ejemplo 3-3: Sea R el conjunto de los números reales y Q el conjunto de los númerosracionales. Entonces R - Q es el conjunto de los números irracionales. La diferencia de A y B se puede también definir concisamente como: A – B = {x ⃒ x ∈ A, x ∉ B}Observación 2-6: El conjunto A contiene al A - B como subconjunto, esto es: (A – B) ⊂ A
  6. 6. Observación 2-7: Los conjuntos (A – B), A ⋂ B y (B – A) son mutuamente disjuntos, esdecir, la intersección de dos cualesquiera es vacía. La diferencia de A y B se denota a veces por A/B o bien por A ∼ B.COMPLEMENTO El complemento de un conjunto A es el conjunto de elementos que no pertenecen aA, es decir, la diferencia del conjunto universal U y del A. Se denota el complemento de Apor A′Ejemplo 4-1: En el diagrama de Venn de la Figura 2-3, se ha rayado el complemento de A.o sea el área exterior a A. Se supone que el conjunto universal U es el área del rectángulo.Ejemplo 4-2: Suponiendo que el conjunto universal U sea el alfabeto, dado T = {a, b, c},entonces T′ = {d, e, f,…, y, z}
  7. 7. Ejemplo 4-3: Sean E = {2, 4, 6,...}, o sea los números pares _ Entonces F = {1, 3, 5,...},que son los impares, Aquí se supone que el conjunto universal es el de los númerosnaturales 1, 2, 3,...También se puede definir el complemento de A concisamente así; A′ = {x ⃒ x ∈ U, x ∉ A}o simplemente: A′ = {x ⃒ x ∉ A}Lo que se establece en seguida resulta de la definición del complemento de un conjunto.Observación 2-8: La unión de cualquier conjunto A y su complemento A′ es el conjuntouniversal, o sea que A ⋃ A′ = U Por otra parte, el conjunto A y su complemento A′ son disjuntos, es decir, A ⋂ A′ = ∅Observación 2-9: El complemento del conjunto universal U es el conjunto vacío ∅ yviceversa, o sea que:
  8. 8. U′ = ∅ y ∅′ = UObservación 2-10: El complemento del complemento de un conjunto A es el conjunto Amismo. Más breve: (A′)′= A La siguiente observación muestra como la diferencia de dos conjuntos podría serdefinida por el complemento de un conjunto y la intersección de dos conjuntos. En efecto,se tiene la siguiente relación fundamental:Observación 2-11: La diferencia de A y B es igual a la intersección de A y el complementode B, o sea: A–B=A⋂BLa demostración de la Observación 2-11 se sigue inmediatamente de las definiciones: A – B = {x ⃒ x ∈ A, x ∉ B} = {x ⃒ x ∈ A, x ∈ B′}= A ⋂ B′

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