Ecuaciones y sistemas de ecuaciones
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  • 1. ECUACIONES Muchos de los problemas que nos acontecen en la vida diaria, basan su soluciónen el conocimiento de distintos factores que lo involucran, como por ejemplo, esnecesario conocer la distancia y el tiempo del que dispongo para llegar a algún lugarpara determinar la velocidad a la que necesitaré ir. Por lo tanto se hace muy importantebuscar formas de obtener valores que nos son desconocidos, y sin duda, la forma másexacta de encontrarlas es lograr interpretarlos matemáticamente en algo quedenominamos ecuación.CONCEPTOS BÁSICOSEcuación: Las ecuaciones son expresiones algebraicas formadas por dos miembrosseparados de una igualdad (=). Uno o ambos de éstas partes debe tener a lo menos unavariable conocida como incógnita. Las ecuaciones se satisfacen sólo para determinados valores de la o lasincógnitas, los cuales son conocidos como soluciones o raíces de la ecuación.Ecuación Algebraica: Es aquella ecuación en que ambos miembros son polinomios.Identidad: Las identidades son expresiones similares a las ecuaciones, pero la igualdadentre los miembros que la componen es válida para cualquier valor de la incógnita, porejemplo x2 = x · x se cumple para cualquier valor de x, por lo tanto ésta sería unaidentidad. A diferencia x + 1 = 2 es válida sólo si x = 1, por lo tanto ésta sería unaecuación.Solución o Raíz: Es el valor real para el que una ecuación tiene sentido, es decir, es elvalor que necesita ser la incógnita para que la ecuación se transforme en una identidad.ECUACION DE PRIMER GRADO Las ecuaciones de primer grado son aquellas en las cuales la o las variablespresentes están elevadas a 1 (por esta razón se llaman de primer grado), veamos comopodemos resolver éstas ecuaciones. Empecemos viendo algunas reglas que nos servirán para la resolución deecuaciones: 1. A toda igualdad se le puede agregar o quitar una cantidad sin alterarla, siempre que se haga sobre ambos lados de dicha igualdad. Por ejemplo; todos sabemos que 2 = 1 + 1, si agregamos una unidad a cada lado de la igualdad obtenemos 2 + 1 = 1 + 1 + 1 lo que implica que 3 = 1 + 1 + 1 que también resulta ser verdadero. 2. Toda igualdad puede ser multiplicada y/o dividida en ambos lados por cualquier número real distinto de 0 manteniéndose la igualdad inalterable. 3. Toda ecuación de primer grado con una variable se puede escribir de la forma ax + b = 0, y es de los valores de a y b de los cuales depende la cantidad de soluciones que vamos a tener. • Si a ≠ 0, entonces existe una única solución. • Si a = 0 y b = 0, existen infinitas soluciones. • Si a = 0 y b ≠ 0, no existen soluciones.Ahora, veamos el método básico de resolución con un ejemplo.
  • 2. Ejemplo. Resolver la ecuación 5x + 7 = 21 − 9xutilizando la primera regla podemos sumar a ambos lados el número 9x, nos da 5x + 7 + 9x = 21 − 9x + 9xsumando el primer y el tercer término del lado izquierdo y el segundo y el tercertérmino del lado derecho, se tiene 14x + 7 = 21 + 0así 14x + 7 = 21ahora podemos sumar −7 a ambos lados 14x + 7 − 7 = 21 – 7sumando el segundo y el tercer término del lado izquierdo, se tiene 14x + 0 = 14por tanto 14x + 0 = 14luego utilizando la segunda regla podemos dividir a ambos lados por 14, de modo que 14x ÷ 14 = 14 ÷ 14obteniendo finalmente x=1
  • 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal con dos incógnitas (o variables) x e y es de la formaax + by = c, en donde a, b, c son constantes y a, b distintos de cero. Dos ecuaciones deeste tipo a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2constituyen un sistema de ecuaciones lineales, en este caso de dos ecuaciones con dosincógnitas. Todo par de valores de x e y que satisfagan ambas ecuaciones,simultáneamente, recibe el nombre de solución del sistema.Por ejemplo, la solución del sistema x + y = 7 y x - y = 3 es x = 5, y = 2.SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS A continuación, se exponen tres métodos para resolver un sistema de ecuacioneslineales.A) Método de reducción. Cuando sea necesario, se pueden multiplicar las ecuacionesdadas por números, de manera que los coeficientes de una de las incógnitas en ambasecuaciones sea el mismo. Si los signos de los términos de igual coeficiente son distintos,se suman las ecuaciones; en caso contrario, se restan. Consideremos 2x – y = 4 (1) x + 2y = -3 (2)Para eliminar y, se multiplica (1) por 2 y se suma con (2), obteniendo 2 × (1): 4x - 2y = 8 (2): x + 2y = -3 Suma: 5x = 5 o sea x = 1.Sustituyendo x = 1 en (1), se obtiene 2 - y = 4, o sea y = -2.Por tanto, la solución del sistema formado por (1) y (2) es x = 1, y = -2. Comprobación: Sustituyendo x = 1, y = -2 en (2) se obtiene 1 + 2(-2) = -3,-3 = -3.B) Método de sustitución. Consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones ysustituir su valor en la otra. Por ejemplo, consideremos el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2)anteriores. De (1) se obtiene y = 2x - 4 y sustituyendo este valor en (2) resulta
  • 4. x + 2(2x - 4) = -3, de la que se deduce la solución x = 1. Sustituyendo x = 1 en (1), o en(2), se obtiene y = - 2.C) Método gráfico. Consiste en trazar, en un sistema de coordenadas dado, las dosrectas que representan las ecuaciones. La solución del sistema viene dada por lascoordenadas (x, y) del punto de intersección de ambas. De la Fig. (a) se deduce que lasolución del sistema formado por (1) y (2) es x = 1, y = -2, o bien (1, -2). Si las rectas son paralelas, el sistema de ecuaciones es incompatible, es decir, notiene solución. Por ejemplo, el sistema formado por x+ y=2 (3) 2x + 2y = 8 (4)es incompatible, como indica la Fig. (b) Obsérvese que si se multiplica la ecuación (3)por 2 se obtiene 2x + 2y = 4 que, evidentemente, es incompatible con (4).Las ecuaciones dependientes están representadas por una misma recta. Por consiguiente,todos los puntos de la recta constituyen una solución y, en definitiva, el sistema tendráinfinitas soluciones. Por ejemplo, x+ y=1 (5) 4x + 4y = 4 (6)son ecuaciones dependientes; obsérvese que si se multiplica por 4 la ecuación (5) seobtiene la ecuación (6).SISTEMA DE TRES ECUACIONES LINEALES CON TRES INCOGNITAS Se resuelve eliminando una incógnita en dos cualesquiera de las ecuaciones y acontinuación eliminando la misma incógnita en otras dos.
  • 5. DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESDETERMINANTES DE SEGUNDO ORDEN El símbolo a1 b1 a2 b2formado por los cuatro números a1, b1, a2, b2, ordenados en una matriz de dos filas y doscolumnas representa un determinante de segundo orden o determinante de orden dos.Los cuatro números anteriores se denominan elementos de la matriz o del determinante.Por definición, el determinante de una matriz de segundo orden es el polinomio a1 b1 a2 b2 =a1b2-b1a2 Por ejemplo, 2 3-1 -2 =2-2- 3-1=-4+3=-1Los elementos 2 y 3 constituyen la primera fila y los -1 y -2 la segunda fila. Loselementos 2 y -1 forman la primera columna y los elementos 3 y -2 la segunda columna. Un determinante de primer orden es un solo número.LOS SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Estos sistemas se pueden resolver empleando el concepto de determinante deuna matriz de segundo orden. Dado el sistema de ecuaciones
  • 6. a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2(1)aplicando uno de los métodos vistos arriba (reducción o sustitución), se obtiene lasoluciónx=c1b2-b1c2a1b2-b1a2, y=a1c2-c1a2a1b2-b1a2 (a1b2-b1a2≠0)Estos valores de x e y se pueden expresar en función de determinantes de segundo ordencomo sigue: x= c1 b1 c2 b2 a1 b1 a2 b2 , y= a1 c1a2 c2 a1 b1 a2 b2 (2)La regla de aplicación es: 1. Los denominadores de (2) son el determinante:a1 b1 a2 b2en el que sus elementos son los coeficientes de x e y dispuestos como en las ecuacionesdadas (l). Este determinante, que se suele representar por la letra griega ∆ recibe elnombre de determinante de los coeficientes. 2. El numerador correspondiente a cada una de las incógnitas se forma a partir del determinante de los coeficientes, sustituyendo la columna de los coeficientes de la incógnita que se despeja, por la columna de términos independientes, de las ecuaciones (1), pasados al segundo miembro.
  • 7. Ejemplo. Resolver el sistema2x+3y=8x-2y=-3el denominador de x e y es∆= 2 31 -2 =2-2-31=-7luego x= 8 3-3 -2 -7=8-2-3(-3)-7=-7-7=1ey= 2 81 -3 -7=2-3-8(1)-7=-14-7=2El método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante determinantes sellama regla de Cramer.DETERMINANTES DE TERCER ORDEN El símbolo a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
  • 8. formado por nueve números ordenados en una matriz de tres filas y tres columnasrepresenta el determinante de una matriz de tercer orden. Por definición, el valor de estedeterminante viene dado por el polinomioa1b2c3+b1c2a3+c1a2b3-c1b2a3-a1c2b3-b1a2c3que se llama desarrollo del determinante. Con objeto de recordar fácilmente cómo se obtiene este desarrollo, se propone lanorma siguiente: Se escriben, al lado del determinante, las dos primeras columnas delmismo: 1. Se multiplican los elementos de las tres diagonales, en el sentido de izquierda a derecha y de arriba abajo, afectando a cada producto del signo más. 2. Se multiplican los elementos de las otras tres diagonales, en el sentido de derecha a izquierda y de arriba abajo, afectando a cada producto del signo menos. 3. La suma algebraica de los seis productos obtenidos en los pasos 1) y 2) es el desarrollo del determinante.Ejemplo. Desarrollar 3 -2 2 6 1 -1-2 -3 2Se escribe, 3 -2 2 6 1 -1-2 -3 2 3 -2 6 1 -2 -3El valor del determinante es(3)(1)(2) + (-2)(-1)(-2) + (2)(6)(-3) - (2)(1)(-2) - (3)(-1)(-3) - (-2)(6)(2) = -15
  • 9. La regla de Cramer se aplica también en la resolución de sistemas de tres ecuacioneslineales con tres incógnitas x, y, z. a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3 (3) En realidad, es una generalización de la regla de Cramer para los sistemas deecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolviendo el sistema de ecuaciones (3) poruno de los métodos explicados arriba (reducción o sustitución), se obtieneEsta solución se puede expresar por medio de determinantes como sigue:x= d1 b1 c1 d2 b2 c2 d3 b3 c3 ∆ y= a1 d1 c1 a2 d2c2 a3 d3 c3 ∆ z= a1 b1 d1 a2 b2 d2 a3 b3 d3 ∆ (4)
  • 10. siendo ∆= a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 el determinante de loscoeficientes de x, y, z en las ecuaciones (3) suponiendo que sea distinto de cero. La regla de aplicación práctica es la siguiente:1. Los denominadores de (4) son el determinante ∆ cuyos elementos son los coeficientesde las incógnitas x, y, z dispuestos como en las ecuaciones dadas (3).2. El numerador correspondiente a cada una de las incógnitas se forma a partir deldeterminante de los coeficientes, ∆, sustituyendo la columna de los coeficientes de laincógnita que se despeja por la columna de términos independientes, del sistema (3),pasados al segundo miembro.Ejemplo. Resolver el sistema x+2y-z=-33x+y+z=4x-y+2z=6∆= 1 2 -13 1 11 -1 2 =2+2+3+1+1-12=-3x= -3 2 -1 4 1 1 6-1 2 -3=-6+12+4+6-3-16-3=-3-3=1y= 1 -3 -1 3 4 1 1 6 2 -3=8-3-18+4-6+18-3=3-3=-1z= 1 2 -3 3 1 4 1 -1 6 -3=6+8+9+3+4-36-3=-6-3=2