Conjuntos de números

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Conjuntos de números

  1. 1. CONJUNTOS DE NUMEROSCONJUNTOS DE NUMEROS Aunque la teoría de conjuntos es completamente general, en la matemáticaelemental se encuentran ya conjuntos importantes que son conjuntos de números. Departicular interés, en especial en el análisis, es el conjunto de los números reales, que sedenota por RAcá se supone de hecho, al menos que se diga otra cosa, que el conjunto universal es elconjunto de los números reales. Se revisarán en primer lugar algunas propiedadeselementales de los números reales antes de aplicar los principios fundamentales de la teoríade conjuntos a conjuntos de números. El conjunto de los números reales con suspropiedades se llama el sistema de los números reales.NUMEROS REALES, R Una de las propiedades más importantes de los números reales es el poderlosrepresentar por puntos de una línea recta. Como en la Fig. 3-1, se elige un punto llamadoorigen, para representar el 0, y otro punto, por lo común a la derecha, para representar el 1.Resulta así de manera natural una correspondencia entre los puntos de la recta y losnúmeros reales, es decir, que cada punto representa un número real único y que cadanúmero real viene representado por un punto único. Llamando a esta recta la recta real,podrán emplearse uno por otro los conceptos de punto y de número. Los números a la derecha del 0, o sea al mismo lado que el 1, son los llamadosnúmeros positivos, y los números a la izquierda del 0 son los llamados números negativos.El 0 mismo no es ni positivo ni negativo.ENTEROS, Z Los enteros son los números reales ..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3,…Se denotan los enteros por Z; así que se escribe Z = {...,- 2, - 1, 0, 1, 2,…} Propiedad importante de los enteros es que son «cerrados» respecto de lasoperaciones de adición, multiplicación y sustracción; es decir, que la suma, producto ydiferencia de dos enteros es a su vez un entero. Nótese que el cociente de dos enteros, por
  2. 2. ejemplo, 3 y 7, no es necesariamente un entero; así que los enteros no son cerrados respectode la operación división.NUMEROS RACIONALES, QLos números racionales son los reales que se pueden expresar como razón de dos enteros.Se denota el conjunto de los números racionales, por Q, así que, Q = {x ⃒ x = p/q donde p ∈ Z, q ∈ Z}Obsérvese que todo entero es un numero racional, ya que, por ejemplo, 5 = 5/ 1; por tanto,Z es un subconjunto de Q. Los números racionales son cerrados no solo respecto de las operaciones de adición,multiplicación y sustracción, sino también respecto de la división (excepto por 0). Es decir,que suma, producto, diferencia y cociente (excepto por 0) de dos números racionales es unnúmero racional nuevamente.NUMEROS NATURALES, N Los números naturales son los enteros positivos. Se denota el conjunto de losnúmeros naturales por N; así que: N = {1, 2, 3,…} Los números naturales fueron el primer sistema de números que se forma y se lesusaba primordialmente antes para contar. Nótense las relaciones siguientes entre losanteriores sistemas de números: N⊂Z⊂Q⊂R Los números naturales son cerrados respecto de las operaciones de adición ymultiplicación solamente. La diferencia y el cociente de dos números naturales no esnecesariamente un número natural. Los números primos, son los naturales p, excluido el 1, que solo son divisibles por 1y por p mismo. He aquí los primeros números primos: 2, 3, 7, 11, 13, 17, 19,…NUMEROS IRRACIONALES, Q′ Los números irracionales son los reales que no son racionales, esto es, el conjuntode los números irracionales es el complemento del conjunto de los números racionales Q en
  3. 3. los números reales R, por eso se denotan los números irracionales por Q′. Ejemplos denúmeros irracionales son √3, π, √2, etc.DIAGRAMA LINEAL DE LOS SISTEMAS NUMERICOS La Fig. 3-2 siguiente es un diagrama lineal de los distintos conjuntos de númerosvistos hasta ahora. (Para que quede completo, se incluye en el diagrama el conjunto de losnúmeros complejos, que son los de la forma a + bi, con a y b reales. Obsérvese que elconjunto de los números complejos es un superconjunto del conjunto de los números reales.DECIMALES Y NUMEROS REALES Todo número real se puede representar por un «decimal con infinitas cifras». Larepresentación decimal de un número racional p/q se encuentra «dividiendo el numerador ppor el denominador q». Si la división dicha se acaba, como en 3/8 = 0,375se escribe 3/8 = 0,375000…o bien 3/8 = 0,374999…Si la división P por q no acaba, se sabe entonces que hay un tramo de cifras que se repitecontinuamente; por ejemplo: 2/11 = 0,181818... Ahora bien, lo que caracteriza a los números reales respecto de los decimales, esque en tanto que los números racionales corresponden precisamente a los decimales en quese repite continuamente un tramo de cifras, los números irracionales corresponden a losotros decimales de infinitas cifras.
  4. 4. DESIGUALDADESSe introduce el concepto de «orden» en el sistema de los números reales por laDefinición: El número real a es menor que el número real b, lo que se escribe: a<bsi b - a es un número positivo.Se pueden demostrar las propiedades siguientes de la relaci6n a < b. Sean los númerosreales a, b y c; entonces:P1: O bien a < b, o a = b, o b < a.P2: Si a < b, y b < c, entonces a < c.P3: Si a < b, entonces a + c < b + c.P4: Si a < b y c es positivo, entonces ac < bc.P5: Si a < b y c es negativo, entonces bc < ac. Geométricamente, si a < b el punto a sobre la recta real está a la izquierda del puntob. También se indica a < b por b>alo que se lee: «b es mayor que a». Asimismo, se escribe a≤b ob≥asi a < b o a = b, es decir, si a no es mayor que b.Ejemplo 1-1: 2 < 5; -6 ≤ - 3 y 4 ≤ 4; 5 > - 8.Ejemplo 1-2: La notación x < 5 significa que x es un número real menor que 5; así que xesta a la izquierda de 5 en la recta real. La notaci6n 2 < x < 7 significa 2 < x y x < 7; con loque x estará entre 2 y 7 en la recta real.Observación 3-1: Es de notar que el concepto de orden, o sea la relación a < b, se definemediante el concepto de número positivo. La propiedad fundamental de los númerospositivos que se utiliza para demostrar propiedades de la relación a < b, es que talesnúmeros son cerrados respecto de las operaciones de adición y multiplicación. Hecho que,además, esta ligado íntimamente al de que los números naturales también son cerradosrespecto de las operaciones de adición y multiplicación.Observación 3-2: Son ciertas las afirmaciones siguientes para a, b y c números realescualesquiera:(1) a ≤ a.(2) Si a ≤ b y b ≤ a entonces a = b.(3) Si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c.VALOR ABSOLUTO
  5. 5. El valor absoluto de un numero real x, denotado por │x│se define así:x= x si x≥0 -x si x<0es decir, que si x es positivo o cero, entonces │x│ es igual a x , y si x es negativo, entonces│x│ es igual a -x. En consecuencia, el valor absoluto de cualquier número es siempre nonegativo, esto es, │x│ ≥ 0 para todo x ∈ R. Desde el punto de vista geométrico, el valor absoluto de x es la distancia del punto xde la recta real al origen, esto es, al punto 0. Asimismo, la distancia entre dos puntoscualesquiera, o sea entre dos números reales a y b, es │a - b│ =│b - a│.Ejemplo 2-1: │-2│ =│2│, │7│ =│7│, │-π│ =│π│, │3 - 8│ =│-5│= 5, │8 - 3│ =│5│= 5, │-3 - 4│ =│-7│= 7Ejemplo 2-2: La re1ación │x│ < 5significa que la distancia entre x y el origen es menor que 5, esto es, que x debe estar entre- 5 y 5 sobre la recta real. Dicho de otro modo: │x│ < 5 y - 5 < x < 5tienen el mismo significado. De modo análogo │x│ ≤ 5 y - 5 ≤ x ≤ 5significan lo mismo.INTERVALOS Examínense los siguientes conjuntos de números: A1 = {x ⃒ 2 < x < 5} A2 = {x ⃒ 2 ≤ x ≤ 5} A3 = {x ⃒ 2 < x ≤ 5} A4 = {x ⃒ 2 ≤ x < 5}
  6. 6. Nótese que los cuatro conjuntos contienen solamente los puntos que están entre 2 y 5 conlas excepciones posibles de 2 y/o 5. Estos conjuntos se llaman intervalos y los números 2 y5 son los extremos de cada intervalo. Por otra parte, A1 es un intervalo abierto, pues nocontiene los extremos; A2 es un intervalo cerrado, ya que contiene ambos extremos, y A3 yA4 son abierto-cerrado y cerrado-abierto; respectivamente. Se representan gráficamente estos conjuntos sobre la recta real como sigue:Obsérvese que en cada diagrama se encierran con un círculo los extremos 2 y 5 y que serepinta el segmento entre dichos puntos. Cuando un intervalo incluye un extremo, esto sehace ver llenando el círculo del extremo. Como los intervalos aparecen con mucha frecuencia en las matemáticas, se empleageneralmente una notación abreviada para designar intervalos. Por ejemplo, los intervalosanteriores se denotan, a veces, por A1 = ]2, 5[ A2 = [2, 5] A3 = ]2, 5] A4 = [2, 5[Nótese que se usa un corchete al revés para designar un extremo abierto, es decir, unextremo que no pertenece al intervalo, y que se usa un corchete para designar un extremocerrado.INTERVALOS INFINITOS Los conjuntos de la forma A = {x ⃒ x > 1} B = {x ⃒ x ≥ 2} C = {x ⃒ x < 3} D = {x ⃒ x ≤ 4}
  7. 7. E = {x ⃒ x ∈ R}se llaman intervalos infinitos y se les denota también por A = (1, ∞), B = [2, ∞[, C = (- ∞, 3), D = ]- ∞, 4], E = ( -∞, ∞)Se representan estos intervalos infinitos sobre la recta real como sigue:

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