EJERCICOS RESUELTOS DE RESISTENCIA DE MATERIALES II - METODO DE CASTIGLIANO - M. TRES MOMENTOS - M, GIROS Y DESPLAZAMIENTOS

1. ING.CIVIL
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS
Código: 120430 Método: Castigliano
I. Para las siguientes vigas simplemente apoyadas
determínese la deflexión indicada. Por los
métodos geométricos y los energéticos
PROBLEMA NRO.: 1
2
3
L
3
L
W
RESOLUCIÓN
Aplicamos una fuerza imaginaria 0P  , en el
punto 2.
2
3
L
3
L
W
1YR 3YR
P
11 13
121XR
Por ESTÁTICA:
 0XF   1 0XR 
 0YF   1 3 0
2
Y Y
WL
R R P   
 1 3
2
Y Y
WL
R R P    ...... 1
 2 0M   1 3
2
0
3 3
Y Y
L L
R R
   
     
   
 1 3
2
3 3
Y Y
L L
R R
   
   
   
 1 32 Y YR R  ...... 2
Reemplazando (2) en (1):
 1 3
2
Y Y
WL
R R P    3
3
2 2
Y
Y
R WL
R P  
 33
2 2
YR WL
P   3
3
2 2
Y
WL
R P
 
  
 
,
entonces: 1
1
2 2
Y
WL
R P
 
   
 
1. Por Superposición de cargas:
2
3
L
3
L
W
1YR 3YR
P
11 13
121XR
W
3
2
W
3
2
W
a
aP
x
aM
aM
1YR
1
3
2
w
Y x
L
 
3
1
4
w
M x
L
 
2
1
3
4
w
V x
L
 
2
9 2
2 3
w L
Y x
L
  
2
2
9 2
4 3
w L
V x
L
  
3
2
3 2
4 3
w L
M x
L
  

2. 2MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II
 1 3 2y w
x L
  1
3
2
w
y x
L
 
1
2
1
3
1
3
2
3
4
4
w
Y x
L
w
V x
L
w
M x
L
 
 
 
 1 3 2
2 3 3
y w
x L L


 2
9 2
2 3
w L
Y x
L
  
2
2
2
3
2
9 2
2 3
9 2
4 3
3 2
4 3
w L
Y x
L
w L
V x
L
w L
M x
L
  
  
  
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
  
3
3
1
2 3 2
3 4 4 3
Y
L w w L
Ma R x P x x x
L L
 
        
 
3. Determinamos
Ma
P


:

2 2 2 3
3 3 2 3 2
Ma L L x L x
x x
P


 
         
 
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:

M M
dx
EI P



 
  
 
 ,
" "P Carga concentrada ficticia 0P 
 
3
3
1
3 2 2 3
4 4 3 3 2
Y
w w L L x
R x x x dx
L L

   
             

 
3
3
1
3 2 2
4 4 3 3
Y
w w L L
R x x x dx
L L

   
             

 
3
3
1
3 2 3
4 4 3 2
Y
w w L x
R x x x dx
L L
   
            

 
3
3
1
3 2 2
4 4 3 3
Y
w w L L
R x x x dx
L L

   
             

 
3
3
1
3 2 3
4 4 3 2
Y
w w L x
R x x x dx
L L
   
            

5. Deflexión en 2, para: 2 3x L

2 3
3 5 4
0
2
12 20 405
x L
x
wL w w
EI x x L
L



       
            
      
2 32 4
2 4
0
2
12 24 81
x L
x
w L w L
x w L


    
      
  

4 4 4 4 4
2 8 2 2
81 1215 405 27 243
wL wL wL wL wL
EI
     
         
     
42
81
wL
 
  
 

426
3645
wL
EI

 
  
 
Rpta.:
4
2 3
26
3645
x L wL
EI
 
 
  
 
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS
Código: 120430 Método: Castigliano
L
Sen
x
W
L
 
 
 
RESOLUCIÓN
Aplicamos una fuerza imaginaria 0P  , en el punto
2.
L
Sen
x
W
L
 
 
 
1YR
1XR
3YR
11
12
13
a
a
aM
Por ESTÁTICA:

3. 3Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
 0XF   1 0XR 
 0YF   1 3 0
Sen 0
L
Y Y
x
R R W dx P
L
 
    
 

 1 3
2
Y Y
WL
R R P

    ...... 1
 2 0M   1 3 0
2 2
Y Y
L L
R R
   
     
   
 1 3Y YR R  1 3Y YR R  ...... 2
Reemplazando (2) en (1):
 1 3
2
Y Y
WL
R R P

    1 1
2
Y Y
WL
R R P

  
 1
2
2 Y
WL
R P

   1 3
2
Y Y
WL P
R R

  
1. Carga aplicada:
L
Sen
x
W
L
 
 
 
Sen
x
W
L
 
 
 
2
L
2
L
1YR
1YR
1XR
3YR
P
11
12
13
a
a
aM
a
a
aM
x
P
Ecuación del momento en la sección:
 1 10
Sen
x
a Y Y
x
V dV R W dx R P
L
 
     
 
 
 1
0
Cos
x
a Y
WL x WL
V R P
L

 
 
    
 
 1
0
Cos
x
a Y
WL x WL
M R P dx
L

 
  
        


2
2
0
Sen
2
x
a
WL P WL x WL x
M x Px
L

  
    
         
    

2
2
0
Sen
2
x
a
WL P WL x WL x
M x Px
L

  
    
         
    

2
2
Sen
2
a
WL x Px
M
L


 
  
 
1
0
2
2
Cos
Sen
2
x
a Y
a
WL x WL
V R P
L
WL x Px
M
L

 


 
    
 
 
  
 
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:

2
2
Sen
2
WL x Px
Ma
L


 
  
 
3. Determinamos
Ma
P


:

2
Ma x
P


 
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:

M M
dx
EI P



 
  
 
 ,
" "P Carga concentrada ficticia 0P 

2
2
20
Sen
2
L WL x x
EI dx
L



     
     
    


4
4
L W
EI

  
4
4
L W
EI

 

4
4
1WL
EI


  
Rpta.:
4
2 4
1
x L
WL
EI


   
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS
Código: 120430 Método: Castigliano
L
4
L
W
n
RESOLUCIÓN

4. 4MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II
Aplicamos una fuerza imaginaria 0P  , en el punto
1.
L
4
L
W
n
W
n
2YR 3YR
P
P
a
a
a
a
x
aM
aM
2YR 3YR
Por ESTÁTICA:
 0YF  
 2 3 0
1
Y Y
Wa
R R P
n
   


 2 3
5
1 4
Y Y
W L
R R P
n
   

 ...... 1
 2 0M 
  
2
2
5
0
4 ( 1)( 2)
Y
L WL
R L P
n n
 
    
  
 2
5
4 ( 1)( 2)
Y
WL
R P
n n
 
  
  
 2
5
4 ( 1)( 2)
Y
WL
R P
n n
 
  
  
 ...... 2
Reemplazando (2) en (1):

 1 3
4
1 5
Y Y
W L
R R P
n
   


 3
4 5
1 5 4 ( 1)( 2)
Y
W L WL
R P P
n n n
 
     
   

 3
4 1 1
1 5 2 4
Y
WL
R P
n n
   
     
    

 3
4 1 1
1 5 2 4
Y
WL
R P
n n
   
     
    
1. Carga aplicada:
L
4
L
W
n
W
n
2YR 3YR
P
P
a
a
a
a
x
aM
aM
2YR 3YR
  
1
1
1
2
1
1
1 2
n
n
n
Y kx
kx
V
n
kx
M
n n






 
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
  
  
2
2
4 1 2
n
Y
L kx
Ma R x P x
n n

 
    
  
3. Determinamos
Ma
P


:
  
5 5
4 4 4 16
Ma L x L
x x
P


   
       
   
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:

M M
dx
EI P



 
  
 
 ,
" "P Carga concentrada ficticia 0P 
  
2
2
5
4 1 2 4 16
n
Y
L kx x L
R x dx
n n


    
             

  
2
5
( 1)( 2) 4 1 2 4 16
n
WL L kx x L
x dx
n n n n


    
               


5. 5Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR

0
5
( 1)( 2) 4 4 16
x WL L x L
x dx
n n

   
      
     

  
2
0
5
1 2 4 16
n
x kx x L
dx
n n

   
         


2 2
0
5 5
( 1)( 2) 4 16 16 64
xWL x L Lx L
x dx
n n

  
          

  
3 2
0
5
1 2 4 16
n n
xk x Lx
dx
n n
 
   
         


3 2 2
2
0
5 5
( 1)( 2) 12 32 32 64
x
WL x L Lx L
x x
n n

  
          
      
4 3
0
5
1 2 4 4 16 3
x
n n
k x Lx
n n n n
 
   
          

3 2
23 5
( 1)( 2) 12 16 64
WL x L L
x x
n n

  
         
        
4 3
1 5
1 2 4 4 16 35 4
n n
n
W x Lx
n n n nL
    
              

3 2
23 5
( 1)( 2) 12 16 64
WL x L L
x x
n n

  
         
        
4 3
1 5
1 2 4 4 16 35 4
n n
n
W x Lx
n n n nL
    
              
5. Deflexión en 1, para: 0x 

    0
625
6144 1 2 3 4
x
WL
EI
L n n n
 
 
   
    
  4
30 16
6 3 4
5 25n
n n
 
    
 
    
  
0
4
625
6144 1 2 3 4
30 16
6 3 4
5 25
x
n
WL
L n n n
n n
 

 
   
    
 
    
 
Aplicamos una Fuerza Ficticia " "P en el Punto
2, donde 0P  :
6. Planteamos la ecuación de fuerza interna:

  
2
2
4 4 1 2
n
Y
L L kx
Ma R x P x
n n

   
       
    
7. Determinamos
Ma
P


:

5
4 4 4 4 4
Ma L L x L
x x
P


     
          
     
8. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:

M M
dx
EI P



 
  
 
 ,
" "P Carga concentrada ficticia 0P 
  
2
2
4 1 2 4 4
n
Y
L kx x L
R x dx
n n


    
             

  
2
( 1)( 2) 4 1 2 4 4
n
WL L kx x L
x dx
n n n n


    
               


0 ( 1)( 2) 4 4 4
x WL L x L
x dx
n n

   
      
     

  
2
0 1 2 4 4
n
x kx x L
dx
n n

   
         


2 2
0( 1)( 2) 4 4 16 16
xWL x L Lx L
x dx
n n

  
          

  
3 2
01 2 4 4
n n
xk x Lx
dx
n n
 
   
         


3 2
2
0
5
( 1)( 2) 12 32 16
x
WL x L L
x x
n n

  
         
      
4 3
0
1 2 4 4 4 3
x
n n
k x Lx
n n n n
 
  
         

3 2
25
( 1)( 2) 12 32 16
WL x L L
x x
n n

  
         
        
3
1
1 2 4 4 35 4
n
n
W x x L
n n n nL
     
                 
9. Deflexión en 2, para: 4x L

 
3 2 2
4
4 5
( 1)( 2) 12 32 4 16 4
x L
LWL L L L L
n n
 
      
        
         
        
3
1 4 4
1 2 4 4 35 4
n
n
L L
W L
n n n nL

      
                                 

 
3 3 2
4
5
( 1)( 2) 64 12 4 32 4
x L
LWL L L L L
n n
 
      
        
         

  
2
2
5
4 1 2 4 16
n
Y
L kx x L
R x dx
n n


    
             


6. 6MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II
        
3
1 4
1 2 4 4 4 35
n
L
W L L
n n n n
  
                          
 

3
4
11
( 1)( 2) 1536
x L
WL L
n n
 
  
        
    
 
  
4
3 131
1 2 256 4 3 45
n
nW L
n n n n
      
                

4
4
11
1536( 1)( 2)
x L
WL
n n
 
 
  
  
 
    
4
3 13
1024 5 1 2 3 4n
nWL
n n n n
  
         

 
     
4
4
3 1311
512 3 2 5 1 2 3 4
x L n
nWL
n n n n
 
  
   
       
  
     
4
4
3 1311
512 3 2 5 1 2 3 4
x L n
nWL
EI
n n n n
 
  
   
       

 
     
4
4
3 1311
512 3 2 5 1 2 3 4n
x L
nWL
n n n n
EI
 
  
  
       
Rpta.:
    
  
0
4
625
6144 1 2 3 4
30 16
6 3 4
5 25
x
n
WL
L n n n
n n
 

 
   
    
 
    
 
II.En el siguiente grupo de ejercicios hiperestáticos
levante el grado de hiperestaticidad y determine
deformaciones en los puntos indicados por los
métodos geométricos y energéticos.
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS
Código: 120430 Método: Castigliano
PROBLEMA NRO.: 4
2
3
L
3
L
W
RESOLUCIÓN
Levantamos el grado de indeterminación o hiperes-
tacidad:
2
3
L
3
L
W
1YR
1
3
2
aM
3YR
3XR
3M
a
aP
Por ESTÁTICA:
 0YF   1 3 0
2
Y Y
WL
R R P   
 1 3
2
Y Y
WL
R R P    ...... 1
 2 0M   1 3 3
2
0
3 3
Y Y
L L
R R M
   
      
   
 1 3 3
2
0
3 3
Y Y
L L
R R M
   
      
   
 ...... 2
Reemplazando (2) en (1):
 3 3 3
2
0
2 3 3
Y Y
WL L L
P R R M
    
         
    
 3 3
2
0
2 3 3
Y
WL L L
P R M
    
        
    
1. Por Superposición de cargas:

7. 7Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
2
3
L
3
L
W
1YR
P
11
13
12
W
3
2
W
3
2
W
a
aP
x
aM
aM
1YR
a
a
3YR
3XR
3M
3YR
3XR
3M
 1 3 2y w
x L
  1
3
2
w
y x
L
 
1
2
1
3
1
3
2
3
4
4
w
Y x
L
w
V x
L
w
M x
L
 
 
 
 1 3 2
2 3 3
y w
x L L


 2
9 2
2 3
w L
Y x
L
  
2
2
2
3
2
9 2
2 3
9 2
4 3
3 2
4 3
w L
Y x
L
w L
V x
L
w L
M x
L
  
  
  
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
  
3
3
1
2 3 2
3 4 4 3
Y
L w w L
Ma R x P x x x
L L
 
        
 
3. Determinamos
Ma
P


:

2 2
3 3
Ma L L
x x
P


 
      
 
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:

M M
dx
EI P



 
  
 
 ,
" "P Carga concentrada ficticia 0P 
 
3
3
1
3 2 2
4 4 3 3
Y
w w L L
R x x x x dx
L L

   
              

 
3
2 4
1
3 2
4 4 3
Y
w w L
R x x x x dx
L L

 
          
 

3
3
1
2 2
3 6 2 3
Y
L w w L
R x x x dx
  
         

 
3
2 41 3 2
2 2 4 4 3
wL w w L
x x x x dx
L L

  
            

3
31 2 2
2 2 3 6 2 3
wL L w w L
x x x dx
   
            

5. Deflexión en 2 , para: 2 3x L

4 4 4
31 2 5
4374 1215 648
WL WL WL
EI   

4
199
87480
L
EI


Segundo Teorema de Castigliano:
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
  
3
3
1
3 2
4 4 3
Y
w w L
Ma R x x x
L L
     
3. Determinamos
1
Ma
R


:

1Y
Ma
x
R



4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:

4199
87480
wL
EI

 
  
 
1
3
2
w
Y x
L
 
3
1
4
w
M x
L
 
2
1
3
4
w
V x
L
 
2
9 2
2 3
w L
Y x
L
  
2
2
9 2
4 3
w L
V x
L
  
3
2
3 2
4 3
w L
M x
L
  

8. 8MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II

M M
dx
EI P



 
  
 
 ,
 
3
3
1
3 2
4 4 3
Y
w w L
R x x x xdx
L L

 
       
 

3 4 4
1 7
0
3 20 3240
YR L WL WL
    
4
1
31
216
Y
WL
R 
Rpta.:
4
2 3
199
87480
x L wL
EI
 
 
  
 
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS
Código: 120430 Método: Castigliano
L
Sen
x
W
L
 
 
 
RESOLUCIÓN
Aplicamos una fuerza imaginaria 0P  , en el punto
2.
L
Sen
x
W
L
 
 
 
1YR
11
12
13
a
a
aM
P
3YR
3XR
3M
Por ESTÁTICA:
 0XF   1 0XR 
 0YF   1 3 0
Sen 0
L
Y Y
x
R R W dx P
L
 
    
 

 1 3
2
Y Y
WL
R R P

    ...... 1
 2 0M   1 3 3` 0
2 2
Y Y
L L
R R M
   
      
   
 1 3 3` 0
2 2
Y Y
L L
R R M
   
      
   
 ...... 2
Reemplazando (2) en (1):
 1 3
2
Y Y
WL
R R P

    1 1
2
Y Y
WL
R R P

  
 1
2
2 Y
WL
R P

   1 3
2
Y Y
WL P
R R

  
1. Carga aplicada:
L
Sen
x
W
L
 
 
 
Sen
x
W
L
 
 
 
2
L
2
L
1YR
1YR
P
11
12
13
a
a
aM
a
a
aM
x
P
3YR
3XR
3M
3XR
3M
3YR
Ecuación del momento en la sección:
 1 10
Sen
x
a Y Y
x
V dV R W dx R P
L
 
     
 
 
 1
0
Cos
x
a Y
WL x WL
V R P
L

 
 
    
 
 1
0
Cos
x
a Y
WL x WL
M R P dx
L

 
  
        


2
2
0
Sen
2
x
a
WL P WL x WL x
M x Px
L

  
    
         
    

2
2
0
Sen
2
x
a
WL P WL x WL x
M x Px
L

  
    
         
    

2
2
Sen
2
a
WL x Px
M
L


 
  
 

9. 9Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
1
0
2
2
Cos
Sen
2
x
a Y
a
WL x WL
V R P
L
WL x Px
M
L

 


 
    
 
 
  
 
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
 Sen
2
WL x Px
Ma x L
L


  
    
  
3. Determinamos
Ma
P


:

2
Ma x
P


 
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:

M M
dx
EI P



 
  
 
 ,
" "P Carga concentrada ficticia 0P 

2
0
Sen
2 2
L WL x Px x
EI x L dx
L



      
       
     


4 4 4 4 4
3 3 4 3
3
48 48 48 4
L W L W L W L W L W
EI
    
      

4
3
3 1
16
WL
EI
 
 
  
 

4
3
3 1 1
16
WL
EI

 
 
   
 
Segundo Teorema de Castigliano:
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
 Sen
2
WL x Px
Ma x L
L


  
    
  
3. Determinamos
1Y
Ma
R


:

1 2Y
Ma x
R


 
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:

M M
dx
EI P



 
  
 
 ,
Sen
WL x
x L xdx
L



   
    
   

1 3
3
Y
WL WL
R
 
 
   
Rpta.:
4
2 3
3 1 1
16
x L
WL
EI

 

 
   
 
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS
Código: 120430 Método: Castigliano
L
W
n
4
L
RESOLUCIÓN
Aplicamos una fuerza imaginaria 0P  , en el punto
1.
L
4
L
W
n
W
n
2YR 3YR
P
P
a
a
a
a
x
aM
aM
2YR
3YR
3XR
3M
3XR
3M
3YR
Por ESTÁTICA:
 0YF  
 2 3 0
1
Y Y
Wa
R R P
n
   


 2 3
5
1 4
Y Y
W L
R R P
n
   

 ...... 1

10. 10MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II
 2 0M 
  
2
2 1
5
0
4 ( 1)( 2)
Y
L WL
R L P M
n n
 
     
  
 2 1
5
4 ( 1)( 2)
Y
WL
R P M
n n
 
   
  
 2 1
5
4 ( 1)( 2)
Y
WL
R P M
n n
 
   
  
 ...... 2
1. Carga aplicada:
L
4
L
W
n
W
n
2YR 3YR
P
P
a
a
a
a
x
aM
aM
2YR
3YR
3XR
3M
3XR
3M
3YR
  
1
1
1
2
1
1
1 2
n
n
n
Y kx
kx
V
n
kx
M
n n






 
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
  
  
2
2
4 1 2
n
Y
L kx
Ma R x P x
n n

 
    
  
3. Determinamos
Ma
P


:
  
5 5
4 4 4 16
Ma L x L
x x
P


   
       
   
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:

M M
dx
EI P



 
  
 
 ,
" "P Carga concentrada ficticia 0P 
  
2
2
5
4 1 2 4 16
n
Y
L kx x L
R x dx
n n


    
             

  
2
5
( 1)( 2) 4 1 2 4 16
n
WL L kx x L
x dx
n n n n


    
               


0
5
( 1)( 2) 4 4 16
x WL L x L
x dx
n n

   
      
     

  
2
0
5
1 2 4 16
n
x kx x L
dx
n n

   
         


2 2
0
5 5
( 1)( 2) 4 16 16 64
xWL x L Lx L
x dx
n n

  
          

  
3 2
0
5
1 2 4 16
n n
xk x Lx
dx
n n
 
   
         


3 2 2
2
0
5 5
( 1)( 2) 12 32 32 64
x
WL x L Lx L
x x
n n

  
          
      
4 3
0
5
1 2 4 4 16 3
x
n n
k x Lx
n n n n
 
   
          
5. Deflexión en 1, para: 0x 

  0
625
256( 1)( 2) 3 4
x
WL
EI
n n n n
 
 
       
 4
11 3 4
8 108 5n
n

 
  
  
  
 
0
4
625
256( 1)( 2) 3 4
11 3 4
8 108 5
x
n
WL
n n n n
n
 

 
       
 
  
  
Rpta.:
  
 
0
4
625
256( 1)( 2) 3 4
11 3 4
8 108 5
x
n
WL
n n n n
n
 

 
       
 
  
  
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS
Código: 120430 Método: Castigliano

11. 11Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
2
3
L
3
L
W
RESOLUCIÓN
Levantamos el grado de indeterminación o hiperes-
tacidad:
2
3
L
3
L
W
1YR
1
3
2
aM
3YR
3XR
3M
a
aP
1XR
1M
1M
Por ESTÁTICA:
 0YF   1 3 0
2
Y Y
WL
R R P   
 1 3
2
Y Y
WL
R R P    ...... 1
 2 0M   1 3
2
0
3 3
Y Y
L L
R R
   
     
   
 1 3
2
3 3
Y Y
L L
R R
   
   
   
 1 32 Y YR R  ...... 2
Reemplazando (2) en (1):
 1 3
2
Y Y
WL
R R P    3
3
2 2
Y
Y
R WL
R P  
 33
2 2
YR WL
P   3
3
2 2
Y
WL
R P
 
  
 
,
entonces: 1
1
2 2
Y
WL
R P
 
   
 
1. Por Superposición de cargas:
2
3
L
3
L
W
1YR
P
1
1
13
12
W
3
2
W
3
2
W
a
aP
x
aM
aM
1YR
a
a
3YR
3XR
3M
3YR
3XR
3M
1YR
1M
 1 3 2y w
x L
  1
3
2
w
y x
L
 
1
2
1
3
1
3
2
3
4
4
w
Y x
L
w
V x
L
w
M x
L
 
 
 
 1 3 2
2 3 3
y w
x L L


 2
9 2
2 3
w L
Y x
L
  
2
2
2
3
2
9 2
2 3
9 2
4 3
3 2
4 3
w L
Y x
L
w L
V x
L
w L
M x
L
  
  
  
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
 
3
3
1 1
2 3 2
3 4 4 3
Y
L w w L
Ma R x P x x x M
L L
 
         
 
1
3
2
w
Y x
L
 
3
1
4
w
M x
L
 
2
1
3
4
w
V x
L
 
2
9 2
2 3
w L
Y x
L
  
2
2
9 2
4 3
w L
V x
L
  
3
2
3 2
4 3
w L
M x
L
  

12. 12MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II
3. Determinamos
Ma
P


:

2 2
3 3
Ma L L
x x
P


 
      
 
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:

M M
dx
EI P



 
  
 
 ,
" "P Carga concentrada ficticia 0P 
 
3
3
1
3 2 2
4 4 3 3
Y
w w L L
R x x x x dx
L L

   
              

 
3
2 4
1
3 2
4 4 3
Y
w w L
R x x x x dx
L L

 
          
 

3
3
1
2 2
3 6 2 3
Y
L w w L
R x x x dx
  
         

 
3
2 41 3 2
2 2 4 4 3
wL w w L
x x x x dx
L L

  
            

3
31 2 2
2 2 3 6 2 3
wL L w w L
x x x dx
   
            

5. Deflexión en 2 , para: 2 3x L
 
3
2 41 3 2
2 2 4 4 3
wL w w L
x x x x dx
L L

  
            

3
31 2 2
2 2 3 6 2 3
wL L w w L
x x x dx
   
            


431
21870
wL
EI

 
  
 
Segundo Teorema de Castigliano:
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
  
3
3
1 1
3 2
4 4 3
Y
w w L
Ma R x M x x
L L
      
3. Determinamos
Ma
P


:

1Y
Ma
x
R



1
1
Ma
M


 
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:

M M
dx
EI P



 
  
 
 ,
 
3
3
1
3 2
0
4 4 3
Y
w w L
R x x x xdx
L L

 
        
 

   
3
3
1
3 2
1 0
4 4 3
Y
w w L
R x x x dx
L L

 
         
 

Entonces, resolviendo:
1
23
108
Y
WL
R 
2
1
5
108
WL
M 
Rpta.:
4
2 3
31
21870
x L wL
EI
 
 
  
 
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS
Código: 120430 Método: Castigliano
L
Sen
x
W
L
 
 
 
RESOLUCIÓN
Aplicamos una fuerza imaginaria 0P  , en el punto
2.
1YR
1XR
11
12 3
a
a
aM
P
3YR
3XR
3M
1M
Por ESTÁTICA:
 0XF   1 0XR 
 0YF   1 3 0
Sen 0
L
Y Y
x
R R W dx P
L
 
    
 

 1 3
2
Y Y
WL
R R P

    ...... 1
 2 0M   1 3 1 0
2 2
Y Y
L L
R R M
   
      
   

13. 13Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
1. Carga aplicada:
L
Sen
x
W
L
 
 
 
Sen
x
W
L
 
 
 
2
L
2
L
P
12
13
a
a
aM
a
a
aM
x
P
3YR
3XR
3M
3XR
3M
3YR
1YR
1
1XR
1M
1YR
1XR
1M
Ecuación del momento en la sección:
 1 10
Sen
x
a Y Y
x
V dV R W dx R P
L
 
     
 
 
 1
0
Cos
x
a Y
WL x WL
V R P
L

 
 
    
 
 1
0
Cos
x
a Y
WL x WL
M R P dx
L

 
  
        


2
2
0
Sen
2
x
a
WL P WL x WL x
M x Px
L

  
    
         
    

2
2
0
Sen
2
x
a
WL P WL x WL x
M x Px
L

  
    
         
    

2
2
Sen
2
a
WL x Px
M
L


 
  
 
1
0
2
12
Cos
Sen
2
x
a Y
a
WL x WL
V R P
L
WL x Px
M M
L

 


 
    
 
 
   
 
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:

2
12
Sen
2
WL x Px
Ma M
L


 
   
 
3. Determinamos
Ma
P


:

2
Ma x
P


 
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:

M M
dx
EI P



 
  
 
 ,
" "P Carga concentrada ficticia 0P 

2
2
120
Sen
2 2
L WL x Px x
EI M dx
L



     
      
    


4
2 2
1 1 1
2 4
WL
EI
  
 
    
Rpta.:
4
2 2 2
1 1 1 1
2 4
x L
WL
EI

  

 
     
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS
Código: 120430 Método: Castigliano
2
3
L
3
L
n
n
W
RESOLUCIÓN
Aplicamos una fuerza imaginaria 0P  , en el punto
1.
2
3
L
3
L
n
n
W
3
3YR
3XR
3M
1YR
1
1XR
1M a
a
Por ESTÁTICA:
 0YF  
 2 3 0
1
Y Y
Wa
R R WL P
n
    


 2 3
5
1 4
Y Y
W L
R R P
n
   

 ...... 1
 2 0M 

14. 14MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II
  
2
2
5
0
4 ( 1)( 2)
Y
L WL
R L P
n n
 
    
  
 2
5
4 ( 1)( 2)
Y
WL
R P
n n
 
  
  
 2
5
4 ( 1)( 2)
Y
WL
R P
n n
 
  
  
 ...... 2
Reemplazando (2) en (1):

 1 3
4
1 5
Y Y
W L
R R P
n
   


 3
4 5
1 5 4 ( 1)( 2)
Y
W L WL
R P P
n n n
 
     
   

 3
4 1 1
1 5 2 4
Y
WL
R P
n n
   
     
    

 3
4 1 1
1 5 2 4
Y
WL
R P
n n
   
     
    
1. Carga aplicada:
2
3
L
3
L
n
n
W
3
3YR
3XR
3M
1YR
1
1XR
1M a
a
3YR
3XR
3M
1YR
1XR
1M
2 0YR 
W
W
2M
aM
a
a
1
1
2
1
2
Y W
V Wx
Wx
M



  
1
1
1
2
1
1
1 2
n
n
n
Y kx
kx
V
n
kx
M
n n






 
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
  
  
2
2
4 1 2
n
Y
L kx
Ma R x P x
n n

 
    
  
3. Determinamos
Ma
P


:
  
5 5
4 4 4 16
Ma L x L
x x
P


   
       
   
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:

M M
dx
EI P



 
  
 
 ,
" "P Carga concentrada ficticia 0P 
  
2
2 1
5
4 1 2 4 16
n
Y
L kx x L
R x M dx
n n


    
              

  
2
2 1
5
4 1 2 4 16
n
Y
L kx x L
R x M dx
n n


    
              


0
5
( 1)( 2) 4 4 16
x WL L x L
x dx
n n

   
      
     

  
2
0
5
1 2 4 16
n
x kx x L
dx
n n

   
         

5. Deflexión en 1, para: 0x 
    
3 2
2
0
0 3 5
0 0
( 1)( 2) 12 16 64
x
WL L L
EI
n n
 
  
         
      
 
 
34
5 01 0
1 2 4 4 16 35 4
nn
n
LW
n n n nL
    
                
 4
12 5 927
13122 ( 1)( 2)( 3)( 4)
nWL
EI n n n n

  
    
      
Rpta.:
 4
2 3
12 5 927
13122 ( 1)( 2)( 3)( 4)
x L
nWL
EI n n n n
 
  
    
      

15. 15Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS Método: Tres Momentos
Código: 120430
III. En los siguientes vigas continuas y marcos simples determinar las reacciones en los apoyos diagrama
de la estructura deformada y diagramada de fuerzas axiales, cortante y momentos por los métodos de
los tres momentos; giros y desplazamientos y rigideces según corresponda.
5Sen
5
x 
 
 
4 /Ton m 4 / mTon
4m 2m 4m 2m
6m 5m 6m
60cm
30cm
60cm
30cm
15cm
40cm
15cm
RESOLUCIÓN
5Sen
5
x 
 
 
4 /Ton m 4 / mTon
4m 2m 4m 2m
6m 5m 6m
60cm
30cm
60cm
30cm
15cm
40cm
15cm
0L 1L 2L 3L 4L

16. 1. Determinamos las constantes de carga:
)A
2
3
L
3
L
W
)B
L
Sen
x
W
L
 
 
 
Tenemos:
.a De Área de Momentos, se obtiene:
2
3
L
3
L
W
1YR
2
4
WL
1YR L
3YR
2
36
WL



Por ESTÁTICA:
 0YF   1 3 0
2
Y Y
WL
R R  
 1 3
2
Y Y
WL
R R 
 2 0M    1 0
2 3
Y
WL L
R L
 
   
 
 1
6
Y
WL
R   1
6
Y
WL
R   ...... 1
.b Determinamos centroides:
 Área cx dx
1  
2
1 1
2 2
Y YR L R L
L 
2
3
L
3
L
2
2 3
4 3 1 16
WL L WL
 

4
5
L
5
L
3
2 3
1
36 3 1 3 432
WL L WL 
  
  
4
15
L
15
L
.c Determinamos
6Aa
L
y
6Ab
L
:

2 3 3
16 6 2 4 4
2 3 16 5 432 15
YR LAa L WL L WL L
L L
      
        
      
,

3 4 4
16 6
3 20 1620
YR LAa WL WL
L L
 
   
 
,

3 4 4
6 6
6 3 20 1620
Aa WL L WL WL
L L
  
    
  
,

4 4 4 4
6 6 6
18 20 1620 162
Aa WL WL WL WL
L L L
   
      
   
,

3
6
27
Aa WL
L


2 3 3
16 6
2 3 16 5 432 15
YR LAb L WL L WL L
L L
      
        
      
,

3 4 4
16 6
6 80 6480
YR LAb WL WL
L L
 
   
 
,

3 4 4
6 6
6 6 80 6480
Ab WL L WL WL
L L
  
    
  
,

4 4 4 4
6 6 6 5
36 80 6480 324
Ab WL WL WL WL
L L L
   
      
   
,

17. 17Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR

3
6 5
54
Ab WL
L
 ,
.a De Área de Momentos, se obtiene:
L
Sen
x
W
L
 
 
 
2
2
Sen
WL x
L


 
 
 
2
L
2
L
1YR
1YR
3YR

Por ESTÁTICA:
 0YF   1 3 0
Sen 0
L
Y Y
x
R R W
L
 
    
 

 1 3
0
2
Cos
2
L
Y Y
WL x WL
R R
L

 
 
    
 
Por Simetría: 1 3Y YR R
 1
2 1
2
Y
WL
R

 
  
 
 1Y
WL
R

  ...... 1
.b Determinamos centroides:
 Área cx dx
1
3
3
WL

L

L

2
3
3
WL
 2 2
L L L

 
2 2
L L L

 
.c Determinamos
6Aa
L
y
6Ab
L
:

3 3
3 3
6 6
2 2
Aa WL L WL L L L
L L    
    
       
    
,

3 3
3 3
6 6Aa WL L WL L
L
L L    
    
      
    
,

4
4
6 6Aa WL
L L 

4 4
3 4
WL WL
 
 
4 3
3 3
6 6WL WL
L  
   
    
    
,

3
3
6 6Aa WL
L 

Por Simetría:
6 6Aa Ab
L L


3
3
6 6 6Aa Ab WL
L L 
 
2
3
L
3
L
W
3
6
27
Aa WL
L

3
6 5
54
Ab WL
L

L
Sen
x
W
L
 
 
 
3
3
6 6 6Aa Ab WL
L L 
 
Por Tres Momentos:
Considerando dos apoyos ficticios (Apoyo 0 y Apoyo
5), ya que existen dos empotramientos es posible:

18. 18MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II
5Sen
5
x 
 
 
4 /Ton m 4 / mTon
4m 2m 4m 2m
6m 5m 6m
0L 1L 2L 3L 4L
1. TRAMO 0 – 1:
   0 0
0 0 1 0 1 2 1
6 6
2 0
Aa Ab
M L M L L M L
L L
     
Como en el Tramo 0 -1 los factores:
 06
0
Aa
L
 y 0 0M 
 0 0M L 1 02M L   0
1 2 1
6Aa
L M L
L
   06
0
Ab
L
 
     0
1 2
6
2 6 6 0
Ab
M M
L
   , entonces:
 33
0
4 66
32
27 27
Ab WL
L
  
 1 212 6 32 0M M    ...... 1
2. TRAMO 1 – 2:
   0 0
1 1 2 1 2 3 2
6 6
2 0
Aa Ab
M L M L L M L
L L
     
       0 0
1 2 3
6 6
6 2 6 5 5 0
Aa Ab
M M M
L L
     
 0 0
1 2 3
6 6
6 22 5 0
Aa Ab
M M M
L L
     , entonces:
 33
0
5 4 66 5
80
54 54
Aa WL
L

  
3 3
0
3 3 3
6 6 6 5 5 3750Ab WL
L   
 
  
 1 2 3 3
3750
6 22 5 80 0M M M

      ...... 2
3. TRAMO 2 – 3:
   0 0
2 2 3 2 3 4 3
6 6
2 0
Aa Ab
M L M L L M L
L L
     
       0 0
2 3 4
6 6
5 2 5 6 6 0
Aa Ab
M M M
L L
     
 0 0
2 3 4
6 6
5 22 6 0
Aa Ab
M M M
L L
     , entonces:
3 3
0
3 3 3
6 6 6 5 5 3750Aa WL
L   
 
  
 33
0
4 66
32
27 27
Ab WL
L
  
 2 3 4 3
3750
5 22 6 32 0M M M

      ...... 3
4. TRAMO 3 – 4:
   0 0
3 3 4 3 4 5 4
6 6
2 0
Aa Ab
M L M L L M L
L L
     
Como en el Tramo 4 -5 (Tramo ficticio) los factores:
 5 56 6
0
Aa Ab
L L
  y 5 0M 
  3 4 46 2 6M M L   5 4M L 0 06 6Aa Ab
L L
  0
 0
3 4
6
6 12 0
Aa
M M
L
   , entonces:
 33
0
5 4 66 5
80
54 54
Aa WL
L

  
 3 46 12 80 0M M    ...... 4
De (1), (2), (3) y (4):
1
3
2
3
3
4
32
12 6 0 0 3750
80
6 22 5 0
0 5 22 6 3750
32
0 0 6 12
80
M
M
M
M


 
   
    
        
    
    
  
1
2
3
4
1.722
8.777
3.636
4.848
M
M
M
M
   
      
   
   
  
5. Cálculo de reacciones:
Tramo 1 – 2:
2
3
L
3
L
4 /Ton m
1YR 2YR
8.7771.722

19. 19Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
Por ESTÁTICA:
 0YF  
 
1 2
4 6
0
2
Y YR R  
 1 2 12Y YR R   1 212Y YR R   ...... 1
 2 0M 
 1 2
2 6 6
1.722 8.777 0
3 3
Y YR R
   
       
   
 1 24 2 7.055 0Y YR R     ...... 2
Reemplazando (1) en (2):
 26 40.945 0YR    2
40.945
6.824
6
YR  
 1 12 6.824 5.176YR     1 5.176YR 
Tramo 2– 3:
L
5Sen
5
x 
 
 
2YR
3YR
8.777 3.636
Por ESTÁTICA:
 0YF   2 3
2
0Y Y
WL
R R

  

 
2 3
2 5 5
Y YR R

   2 3
50
Y YR R

   ...... 1
 2 0M  (Momento en el centro de la luz)
 2 3 8.777 3.636 0
2 2
Y Y
L L
R R
   
       
   
 2 35 5 5.141 0Y YR R      2 35 5.141Y YR R  
  2 3
5.141
5
Y YR R    ...... 2
Reemplazando (1) en (2):
 2
50 5.141
2
5
YR

   2 7.444YR 
 3
50
7.444 8.471YR

    3 8.471YR 
Tramo 1 – 2:
2
3
L
3
L
4 /Ton m
3YR 4YR
4.8483.636
Por ESTÁTICA:
 0YF  
 
3 4
4 6
0
2
Y YR R  
 3 4 12Y YR R   3 412Y YR R   ...... 1
 2 0M  (Momento en el centro de la luz)
 3 4
2 6 6
3.636 4.848 0
3 3
Y YR R
   
       
   
 3 44 2 1.212 0Y YR R     ...... 2
Reemplazando (1) en (2):
 46 46.788 0YR    4
46.788
7.798
6
YR  
 3 12 7.798 4.202YR     3 4.202YR 
6. Finalmente:
1 5.176YR Ton
2 6.824 7.444 14.268YR Ton  
3 8.471 4.202 12.673YR Ton  
4 7.798YR Ton
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS
Código: 120430 Método: Giros y Desplazamientos
2
4 /Ton m
6 Ton
6 Ton
2m
1m
1m
2m5m4m
8 /Ton m
4 /Ton m

20. 20MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II
1. Por Superposición de cargas:
L
2W
W
a
a
x
3YR
3XR
3M
1YR
1XR
1M
Levantamos el grado de libertad:
 1 3 2
2 3 3
y w
x L L


 2
9 2
2 3
w L
Y x
L
  
1
2
1
3
2
1
2
6
Wx
Y W
L
Wx
V Wx
L
Wx
M Wx
L
 
 
 
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
  
3
2
1 1
6
Y
Wx
Ma R x M Wx
L
   
3. Determinamos
1Y
Ma
R


y
1
Ma
M



1Y
Ma
x
R


 y
1
1
Ma
M


 
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:

1Y
M Ma
dx
EI R



 
  
 
 ,
1
M Ma
dx
EI M



 
  
 

   
3
2
1 1
6
Y
Wx
R x M Wx x dx
L

 
    
 

 
4
2 3
1 1
6
Y
Wx
R x M x Wx dx
L

 
    
 

 
2 4 5
31 1
0
0
3 2 8 30
L
YR M x Wx Wx
x
L

 
     
 
3 2 4 4
1 1
0
3 2 8 30
YR L M L WL WL
     ...... 1
   
3
2
1 1 1 0
6
Y
Wx
R x M Wx dx
L

 
      
 

 
3
2
1 1 0
6
Y
Wx
R x M Wx dx
L

 
      
 

 2 3 4
1
1
0
0
2 2 24
L
YR x Wx Wx
M x
L

 
      
  
2 3 3
1
1 0
2 2 24
YR L WL WL
M L      ...... 2
5. De (1) y (2), se obtiene:
1
2
1
13
20
103
120
Y
WL
R
WL
M




5. Por Estática:
3
2
3
43
20
7
8
Y
WL
R
WL
M


1. Por Superposición de cargas:
L
a
a
x
3YR
3XR
3M
1YR
1XR
1M
P P
2
L
2
L
Levantamos el grado de libertad:
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
  1 1
3
4 4
Y
L L
Ma R x M P x P x
   
        
   
3. Determinamos
1Y
Ma
R


y
1
Ma
M



1Y
Ma
x
R


 y
1
1
Ma
M


 

21. 21Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:

1Y
M Ma
dx
EI R



 
  
 
 ,
1
M Ma
dx
EI M



 
  
 

   1 1
3
4 4
Y
L L
R x M P x P x x dx
    
         
    

 2
1 1
3
4 4
Y
L L
R x M x Px x Px x dx
    
         
    

 2
1 1
3
4 4
Y
L L
R x M x Px x Px x dx
    
         
    

3 2 3 3
1 1 5
0
3 2 24 24
YR L M L PL PL
     ...... 1
   1 1
3
1
4 4
Y
L L
R x M P x P x dx
    
          
    

 1 1
3
4 4
Y
L L
R x M P x P x dx
    
          
    

2 2 2
1
1 0
2 4 4
YR L PL PL
M L      ...... 2
5. De (1) y (2), se obtiene:
Por Simetría:
1 3
1 3
2
Y YR R P
PL
M M
 
 
2
L
2
L
n
n
W
3YR
3XR
3M
1YR1XR
1M
a
a
x
 
  
2
1 3
4
12 1 3
n n WL
M M
n n

 
 
L
2W
1W
a
x
3YR
3XR
3M
1YR
1XR
1M
a
  22
2 11
1
12 30
W W LW L
M

 
  22
2 11
3
12 20
W W LW L
M

  
Sean las ecuaciones de giros y desplazamientos:
6
4 2ij ij ij i j
ij
M M K
l
 
 
     
 
6
2 4ji ji ji i j
ij
M M K
l
 
 
     
 
Determinando la rigideces relativas:
Considerando: 20I 
12
23
24
45
20 / 4 5
20 / 4 5
20 / 5 4
20 / 4 5
K
K
K
K
 
 
 
 
Tenemos:
12
336
55
M  21
1312
165
M


23 12M  32 12M  
24
425
33
M  42
150
11
M


45
16
15
M  54
16
15
M  
Planteamiento de ecuaciones
12 1
336
5 4
55
M   2
6
2
ijl


  2
336
10
55

 
   
 
 
21 1
1312
5 2
165
M 

  2
6
4
ijl


  2
1312
20
165

  
   
 
 
23 2 3 2 3
6
12 5 4 2 12 20 10
ij
M
l
   
 
        
 

22. 22MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II
32 2 3 2 3
6
12 5 2 4 12 10 20
ij
M
l
   
 
          
 
24 2 4 2 4
425 6 425
4 4 2 16 8
33 33ij
M
l
   
 
        
 
42 2 4 2 4
150 6 150
4 2 4 8 16
11 11ij
M
l
   
   
        
 
45 4 5 4 5
16 6 16
5 4 2 20 10
15 15ij
M
l
   
 
        
 
54 4 5 4 5
16 6 16
5 2 4 10 20
15 15ij
M
l
   
   
        
 
Por Continuidad:
21 23 24 0M M M  
2 3 4
931
56 10 8 0
55
       ...... 1
32 0M 
2 312 10 20 0      ...... 2
42 45 0M M 
2 4 5
2074
8 36 10 0
165
  

     ...... 3
54 0M 
4 5
16
10 20 0
15
      ...... 4
De (1), (2), (3) y (4):
2
3
4
5
0.532
0.866
0.526
0.209
rad
rad
rad
rad




 


 
 12 2
336
10
55
M   , 21 2
1312
20
165
M 

 
 12 0.789M  , 21 18.952M  
 23 2 312 20 10 10.02M     
 32 2 312 10 20 0M      
 24 2 4
425
16 8 2.695
33
M     
 42 2 4
150
8 16 8.575
11
M  

   
 45 4 5
16
20 10 9.497
15
M     
54 4 5
16
10 20 0.013
15
M  

   
Rpta.:
2
3
4
5
0.532
0.866
0.526
0.209
rad
rad
rad
rad




 


 

23. Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS Método: Trabajo Virtual
Código: 120430
IV. Para las armaduras mostradas determine los grados de libertad en todos los puntos por los métodos
de trabajo virtual y castigliano. NOTA: Si la armadura es hiperestática levante su grado de
indeterminación.
2 Ton
4 Ton 4 Ton
5m
2m
4m 4m
De la figura, se obtiene:
2 Ton
4 Ton 4 Ton
5m
2m
2m 2m 2m 2m
1YR 5YR
5XR1XR

24. 24MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II
Por ESTÁTICA:
 0XF   1 52X XR R   5 1 2X XR R   ...... 1
 0YF   1 5 4 4 0Y YR R     1 5 8Y YR R   ...... 2
 1 0M          54 2 2 7 4 6 8 0YR      5
46
8
YR   ...... 3
Reemplazando (3) en (2):
 1 5 8Y YR R   1 58Y YR R   1
46 18
8
8 8
YR     1
18
8
YR 
Liberamos el grado de indeterminación:
2 Ton
4 Ton 4 Ton
5m
2m
2m 2m 2m 2m
1YR
5XR
1XR
5
4 4
5
7 7
5 / 2 5 / 2
3m
11
13
12 14
15
A) Armando la matriz de cosenos: 1M
1XR 1YR 5XR 12S 13S 23S 24S 34S 35S 45S
1X 1 0 0
5
221
4
41
0 0 0 0 0
1Y 0 1 0
14
221
5
41
0 0 0 0 0
2X 0 0 0
5
221

0
3
5
1 0 0 0
2Y 0 0 0
14
221

0
4
5

0 0 0 0
3X 0 0 0 0
4
41
 3
5

0
3
5
4
41
0
3Y 0 0 0 0
5
41
 4
5
0
4
5
5
41

0
4X 0 0 0 0 0 0 1
3
5

0
5
221

25. 25Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
4Y 0 0 0 0 0 0 0
4
5

0
5X 0 0 0 0 0 0 0 0
4
41

5Y 0 0 1 0 0 0 0 0
5
41
B) Matriz de cargas: 2M
Real 2 XR 2 yR 3XR 3yR 4 XR 4 yR 5XR 5yR
1X 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1Y 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2X 2 1 0 0 0 0 0 0 0
2Y 4 0 1 0 0 0 0 0 0
3X 0 0 0 1 0 0 0 0 0
3Y 0 0 0 0 1 0 0 0 0
4X 0 0 0 0 0 1 0 0 0
4Y 4 0 0 0 0 0 1 0 0
5X 3.1 0 0 0 0 0 0 1 0
5Y 0 0 0 0 0 0 0 0 1
DEFORMACIONES:
2 3 2
40 4 10A cm m
   , 6 2 12
2 10 2 10E Kg cm Ton   
Nodos:
Barra L S S2x S2y S3x S3y SLS2x SLS2y SLS3x SLS3y
1_2 7.430
6.403
2.500
3.000
2.500
6.403
7.430
-1.670 -0.719 1.319 -1.199 0.959 8.921 -16.366 14.877 -
11.899
1_3 -0.849 1.988 -0.710 2.246 -0.516 -10.807 3.860 -12.210 2.805
2_3 -3.012 0.847 -0.302 1.411 -1.129 -6.378 2.274 -10.625 8.501
2_4 -0.750 -1.750 0.625 -1.250 1.000 3.938 -1.406 2.813 -2.250
3_4 -0.762 1.976 -0.706 1.411 -1.129 -3.764 1.345 -2.688 2.151
3_5 -3.019 0.904 -0.323 0.645 -0.516 -17.475 6.244 -12.468 9.975
4_5 -3.590 -1.678 0.599 -1.199 0.959 44.758 -15.978 31.982 -
25.580
Barra L S S4x S4y S5x S5y SLS4x SLS4y SLS5x SLS5y
1_2 7.430
6.403
2.500
3.000
2.500
-1.670 -0.719 0.599 -2.398 0 8.921 -7.432 29.755 0.0
1_3 -0.849 1.988 -0.323 2.892 0 -10.807 1.756 -15.721 0.0
2_3 -3.012 0.847 -0.706 2.823 0 -6.378 5.316 -21.257 0.0
2_4 -0.750 -0.750 0.625 -2.500 0 1.688 -1.406 5.625 0.0
14
221

5
221

14
221

26. 26MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II
3_4 6.403
7.430
-0.762 1.976 -0.302 2.823 0 -3.764 0.575 -5.378 0.0
3_5 -3.019 0.904 -0.710 2.892 0 -17.475 13.725 -55.904 0.0
4_5 -3.590 -1.678 1.319 -2.398 0 44.758 -35.183 63.964 0.0
Nodo 5:
 1
5
XS S L
u
EA
 

 
1.083
u
EA
  3
1.3528 10u 
 
 1
5
YS S L
v
EA
 

 
0
v
EA
  0v 
TENSIONES COMBINADAS
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS
Código: 120430 Tema: T.C.
V. Para el elemento mostrado, halle el rango de
valores de xy para el cual el esfuerzo cortante
máximo en el plano es igual o menor que 20 .ksi
8ksi
16ksi
xy
Mediante el Círculo de Morh, ubicamos los esfuerzos,
el punto se sitúa en el R.
El radio de los círculos limitante es 20Ksi:
8ksi
16ksi
1C 2C
D
1x 2x


R
Sea 1C la ubicación del radio del círculo que limita
más a la izquierda y 2C sea el de la derecha.
 1 20C R ksi y 2 20C R ksi
Además 1C DR y 2C DR son triángulos rectángulos:

2 2 2
1 1C D DR C R  
2 2 2
1 8 20C D  
 1 4 21C D   ...... 1
Coordenadas del punto 1C :
   1 0,16 4 21 0, 2.330C ksi   
Coordenadas del punto 2C :
   2 0,16 4 21 0,34.330C ksi  
Asimismo:
Coordenadas del punto 1x :
   1 2.330 4 21, 8 20.660 , 8x ksi ksi      
Coordenadas del punto 2x :
   2 34.330 4 21, 8 52.660 , 8C ksi ksi    

27. 27Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
El punto  ,xy xy  debe encontrarse en la línea
1 2x x : 20.660 52.660xyksi ksi  
Rpta.: 20.660 52.660xyksi ksi  
COLUMNAS
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS
Código: 120430 Tema: Columnas
VI. Un marco consta de 4 elementos en L
conectados por cuatro resortes torsionales de
constante K, cada uno. Si se aplican fuerzas P
iguales en A y D halle la carga crítica crP para el
sistema
P P
A
E
B
F
C
D
G
H
k
k k
k
2
L
2
L
2
L
2
L
Sea " " la rotación del elemento en forma de L
Cambio de ángulo a través de cada resorte de
torsión es 2
A
E
B
F
C
D
G
H
k k
k
2
L
2
L
2
L
2
L
Tenemos:
 2k 
E
A
H
P
P
 2k 

El radio de los círculos limitante es 20Ksi:

2 2
L L
x Sen   y 2 20C R ksi
Además 0EM 
    2 2 0k k Px      4Px k 

4k
P
x


Entonces
8
cr
k
P
L

Rpta.:
8
cr
k
P
L
