Prevedo. Sbaglio.                                            Mi correggo!                         Galileo Galilei         ...
In memoria di                         Sandro Marani                          (1936-2012)Friday, October 26, 12
Si impara dai propri errori: per                         questo imparare è così faticoso.Friday, October 26, 12
Elementi di metodo                                                  L’esperimento                   Straulino, Physics Edu...
Elementi di metodo                                                             L’esperimento   Straulino, Physics Educatio...
Elementi di metodo                                              L’esperimento            I rapporti tra le grandezze misur...
Elementi di metodo                         L’esperimento                         Controllato                          Misu...
Prevedo                         Isaac NewtonFriday, October 26, 12
Equazioni: come strumenti per prevedere il futuro                                         Le equazioni         Le equazion...
Equazioni: come strumenti per prevedere il futuro                                     Problemi ai valori iniziali         ...
Equazioni: come strumenti per prevedere il futuro                                Problemi ai valori iniziali              ...
Equazioni: come strumenti per prevedere il futuro                                 Problemi ai valori iniziali             ...
Equazioni e misure                         L’esperimento                          Controllato                           Mi...
Equazioni e misure                         L’esperimento     Traducibile in un linguaggio simbolico e                     ...
Equazioni e misure                                Pierre Simon de Laplace                                      Saggio sull...
Equazioni e misure                                 Pierre Simon de Laplace                                        Saggio s...
Riflessioni                                         Riccardo Rigon                                   Pensa Trasversale    ...
De-costruiamo il processo                          Galileiano-NewtonianoFriday, October 26, 12
Pensa trasversale                                L’esperimento                                 Controllato    Un esperimen...
Pensa trasversale                                                         L’esperimento                                   ...
Pensa trasversale                                                                  L’esperimento                          ...
Pensa trasversale                                L’esperimento                                  Misurato                  ...
Pensa trasversale                                  L’esperimento                                      Misurato            ...
Pensa trasversale                                           L’esperimento                            Non da         mai ri...
“Fare Scienza è oggi una attività che                         non si svolge più nella notte dei secoli                    ...
Pensa trasversale                                             L’esperimento     Traducibile in un linguaggio simbolico e  ...
Pensa trasversale                            La seconda equazione della dinamica                         contiene errori c...
Pensa trasversale      Supporta un problema alle condizioni                    iniziali  Il problema da risolvere è un pro...
Pensa trasversale                 E non ci permette di prevedere il futuro                         con precisione assoluta...
Pensa trasversale                                       c’e’                         anche un altro aspetto trascurato  No...
Pensa trasversale                              Analitica a chi ?        La parola “analitico” è una grande frode. Starebbe...
Pensa trasversale                               Analitica a chi ?         Così, anche le equazioni che hanno soluzioni in ...
Pensa trasversale                                         Per lo più                  Le equazioni si possono risolvere so...
Sbagliato sino in fondo ?                    L’errore può essere “epistemico”           Ovvero anche l’equazione di parten...
Sbagliato sino in fondo ?                         L’errore può essere “epistemico”                                 Albert ...
Riflessioni            Ovviamente essendo la matematica un linguaggio                               formale               ...
Riflessioni                         Quanto illustrato è naturalmente                              il caso semplice        ...
Fluidi                         HokusaiFriday, October 26, 12
Adding complexity                         Un fluido è un oggetto molto più                              complesso di un pu...
Adding complexity                         Un fluido è un oggetto molto più                              complesso di un pu...
Adding complexity                              Senza entrare nei dettagli                              “Accelerazioni”    ...
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Adding complexity                         Avremmo bisogno di                              misure !                        ...
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Riflessioni                                         Inoltre le Geo-scienze        usano gli esperimenti in modo diverso de...
Riflessioni                            Ci si trova quindi nelle condizioni                           di dover ricostruire ...
Riflessioni                                         Fare approssimazioni è dunque inevitabile                             ...
Ciclicità                                     Se guardiamo al moto dei pianeti                                            ...
E il suo contrario                                                  Caos deterministico                         Non è il n...
Impredicibilità                                  Se il sistema è caotico       Preparati due esperimenti con il sistema in...
Impredicibilità                           Se il sistema è caotico    Ogni errore nelle condizioni iniziali (e/o) al contor...
Eterogeneità                         Poco male se le condizioni iniziali                                   e i parametri  ...
Eterogeneità                                           Invece sono anche eterogenei                         Shozo Shimamot...
Eterogeneità                         Per conoscere l’informazione qui                               bastano pochi numeri  ...
Eterogeneità -> Casualità        In fondo un’immagine è solo una sequenza di numeri      Solo che alcune sequenze di numer...
Un esempio              Questa è una immagine o una misura di qualcosa ?                         Landsat Image            ...
Riflessioni                                Maggiore eterogenità                                          =                ...
Dio è buono                                                  A meno che ...                         “ Non si può negare ch...
Problemi diretti e problemi inversi                                             In ogni caso                    Determinar...
Alla luce della nostra ignoranza                             Thomas Bayes                         a little of Bayesian inf...
Bayes                               La probabilità condizionale           Visto che non conosciamo con certezza il valore ...
Bayes                         La probabilità condizionale      Si dice che una probabilità è condizionale, se essa è asseg...
Bayes                         La probabilità condizionale      Si dice che una probabilità è condizionale, se essa è asseg...
Bayes                         La probabilità condizionale                              O più semplicemente:               ...
Bayes                           Probabilità composte      Come negli esempi iniziali, à possibile considerare, il contempo...
BayesBayes Theorem                                  Il Teorema di Bayes        Dice che la distribuzione di probabilità (p...
Bayes                         Probabilità condizionale                              formula di Bayes                      ...
Playing with Bayes                            Ritorniamo ora ad un problema                                    ai valori i...
Playing with Bayes                         Assegnamo per essi/e, non un valore, ma                               una proba...
Playing with Bayes                          Assegnamo per essi/e, non un valore, ma                                una pro...
Playing with Bayes                         Il teorema di Bayes                             è la distribuzione, in genere  ...
Playing with Bayes                                          Parameters                                     si chiama veros...
Playing with Bayes          Senza voler essere conclusivi, in questo argomento                        abbastanza complesso...
Playing with Bayes                         Ma si potrebbero fare molti altri giochi                                       ...
Opinioni finali                         Roden - Il pensatoreFriday, October 26, 12
To sum up             •L’incertezza nelle previsioni è inevitabile             •Si fanno sempre - e spesso deliberatamente...
To sum up      •Dei modelli vanno verificati sia la consistenza delle assunzioni, la struttura      formale e, naturalment...
To sum up                                                        Modelli                                                  ...
Sbagliamo con i modelli ?                         Certo che sbagliamo: ma figuriamoci senza !                             ...
Grazie per l’invito ...                                             Grazie per l’attenzione!                          G.Ul...
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Riflessioni su errori ed incertezza nelle previsioni

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Riflessioni su errori ed incertezza nelle previsioni

  1. 1. Prevedo. Sbaglio. Mi correggo! Galileo Galilei Riccardo RigonFriday, October 26, 12
  2. 2. In memoria di Sandro Marani (1936-2012)Friday, October 26, 12
  3. 3. Si impara dai propri errori: per questo imparare è così faticoso.Friday, October 26, 12
  4. 4. Elementi di metodo L’esperimento Straulino, Physics Education, 2008 Al centro della concezione Galileiana c’è la possibilità di eseguire “sensati esperimenti”. Ovvero di condurre esperienze ideali in cui gli elementi che controllano la dinamica dell’esperimento sono rigorosamente controllati e misurati. 4 R. RigonFriday, October 26, 12
  5. 5. Elementi di metodo L’esperimento Straulino, Physics Education, 2008 Ogni esperimento deve essere riproducibile. Se le condizioni dell’esperimento sono riprodotte, allora i risultati dovranno essere gli stessi. 5 R. RigonFriday, October 26, 12
  6. 6. Elementi di metodo L’esperimento I rapporti tra le grandezze misurate sono poi tradotte in termini matematici, ovvero in un linguaggio simbolico e formale. “Non entri chi non sa la matematica”* *Scritta che si dice fosse sull’entrata dell’Accademia di Platone 6 R. RigonFriday, October 26, 12
  7. 7. Elementi di metodo L’esperimento Controllato Misurato Riproducibile Traducibile in un linguaggio simbolico e formale 7 R. RigonFriday, October 26, 12
  8. 8. Prevedo Isaac NewtonFriday, October 26, 12
  9. 9. Equazioni: come strumenti per prevedere il futuro Le equazioni Le equazioni sono parte di questo linguaggio formale. Esse esprimono relazioni tra quantità (nelle intenzioni misurabili), nella forma di funzioni e di rapporti tra “variazioni”. Nel caso di cui sopra, la seconda legge della dinamica per un oggetto puntiforme, si tratta della variazione della velocità, l’accelerazione, , nel tempo. Equazioni di questo tipo si dicono equazioni differenziali. 9 R. RigonFriday, October 26, 12
  10. 10. Equazioni: come strumenti per prevedere il futuro Problemi ai valori iniziali L’accelerazione è la variazione di velocità: La velocità è la variazione di posizione: 10 R. RigonFriday, October 26, 12
  11. 11. Equazioni: come strumenti per prevedere il futuro Problemi ai valori iniziali Un problema dinamico è risolto quando è risolta l’equazione iniziale, assegnati velocità e posizione iniziale. 11 R. RigonFriday, October 26, 12
  12. 12. Equazioni: come strumenti per prevedere il futuro Problemi ai valori iniziali Per fare questo è necessario: •trovare una funzione che descriva la forza •assegnare la posizione iniziale e la velocità iniziale del sistema •aver misurato la massa inerziale A questo punto, passato, presente e futuro sono completamente determinati 12 R. RigonFriday, October 26, 12
  13. 13. Equazioni e misure L’esperimento Controllato Misurato Riproducibile 13 R. RigonFriday, October 26, 12
  14. 14. Equazioni e misure L’esperimento Traducibile in un linguaggio simbolico e formale Supporta un problema alle condizioni iniziali E ci permette di prevedere il futuro ! 14 R. RigonFriday, October 26, 12
  15. 15. Equazioni e misure Pierre Simon de Laplace Saggio sulle probabilità, 1814 "Tutti gli avvenimenti, anche quelli che per la loro piccolezza non sembrano essere dominati dalle grandi leggi della natura, ne sono una conseguenza così necessaria come le rivoluzioni del Sole. Nellignoranza dei legami che li uniscono allintero sistema delluniverso, li si fa dipendere da cause finali o dal caso. Ma queste cause immaginarie sono state successivamente arretrate fino ai limiti delle nostre conoscenze, e svaniscono del tutto davanti alla sana filosofia, che non vede in esse se non lespressione dellignoranza in cui siamo circa le vere cause. 15 R. RigonFriday, October 26, 12
  16. 16. Equazioni e misure Pierre Simon de Laplace Saggio sulle probabilità, 1814 Unintelligenza che per un dato istante conoscesse tutte le forze da cui la natura è animata e la situazione rispettiva degli esseri che la compongono, se fosse così vasta da sottoporre questi dati allanalisi, abbraccerebbe in ununica e medesima formula i movimenti dei più grandi corpi delluniverso e quelli del più lieve atomo: nulla sarebbe incerto per essa, e lavvenire, come il passato, sarebbe presente ai suoi occhi." 16 R. RigonFriday, October 26, 12
  17. 17. Riflessioni Riccardo Rigon Pensa Trasversale Paradossalmente, Laplace che diceva che Dio è un’ipotesi di cui non aveva bisogno, pone a base del suo determinismo una mente onnipotente ! Io preferisco pensare che, semplicemente ci sono cose conoscibili e cose non conoscibili. Tra queste, per esempio, rientrano le condizioni iniziali di un sistema fisico classico. Tuttavia, come vedremo, il fatto che una certa situazione sia o no conoscibile esattamente non sempre è cruciale 17 R. RigonFriday, October 26, 12
  18. 18. De-costruiamo il processo Galileiano-NewtonianoFriday, October 26, 12
  19. 19. Pensa trasversale L’esperimento Controllato Un esperimento controllato, un classico esperimento ideale, è quello in cui 1, UNA SOLA sola variabile è studiata alla volta e gli sperimentatori tentano di rendere ogni costante variabile dell’esperimento, eccettuata quella lasciata mutare. Spesso gli sperimentatori cercano anche di effettuare degli esperimenti di controllo in cui, per esempio, si cerca di mantenere anche la variabile da controllare costante. 19 R. RigonFriday, October 26, 12
  20. 20. Pensa trasversale L’esperimento Controllato Quando Galileo effettuò i suoi esperimenti con i pesi, lo fece usando diverse sostanze, ma mantenendo la stessa altezza, usò oggetti di forma uguale, cosicchè, alla fine, solo il peso dell’oggetto variava. Magritte - Souvenir de voyage, 1921 20 R. RigonFriday, October 26, 12
  21. 21. Pensa trasversale L’esperimento Controllato Il mancato controllo completo delle variabili dell’esperimento introduce degli errori. Magritte - Souvenir de voyage, 1921 21 R. RigonFriday, October 26, 12
  22. 22. Pensa trasversale L’esperimento Misurato Riproducibile Ovviamente Galileo assume che ci sia qualcosa da misurare, lunghezze, tempi, principalmente. Ma talvolta le grandezze da analizzare non sono direttamente misurabili per confronto. 22 R. RigonFriday, October 26, 12
  23. 23. Pensa trasversale L’esperimento Misurato Riproducibile La misura richiede strumenti che hanno una loro fisica (e talvolta una loro dinamica). Ed una misura non è mai perfetta. Ripetendo l’esperimento spesso si ottengono misure differenti. 23 R. RigonFriday, October 26, 12
  24. 24. Pensa trasversale L’esperimento Non da mai risultati certi Spesso consideriamo l’errore trascurabile ma la misura rimane sempre una stima. Se l’errore sia veramente trascurabile, dipende anche da ciò che vogliamo ottenere. 24Friday, October 26, 12
  25. 25. “Fare Scienza è oggi una attività che non si svolge più nella notte dei secoli bui, nè alla chiara luce dei lumi, ma nel crepuscolo della probabilità ” Paolo Agnoli citando Paolo Vineis che cita John LockeFriday, October 26, 12
  26. 26. Pensa trasversale L’esperimento Traducibile in un linguaggio simbolico e formale se introduciamo gli errori e l’incertezza derivante dalle misure, nella seconda legge della dinamica: non c’e’ errore sull’accelerazione perchè è in funzione della variabile indipendente, la posizione 26 R. RigonFriday, October 26, 12
  27. 27. Pensa trasversale La seconda equazione della dinamica contiene errori combinati in vario modo (in realtà la situazione è più complicata perchè gli errori non sono solo additivi)ed è, fondamentalmente, un’equazione diversa quella che andiamo a risolvere. 27 R. RigonFriday, October 26, 12
  28. 28. Pensa trasversale Supporta un problema alle condizioni iniziali Il problema da risolvere è un problema diverso diquello “standard”, se vogliamo tener conto degli errori. NON SOLO e, ovviamente, anche le condizioni iniziali sono note con incertezza 28 R. RigonFriday, October 26, 12
  29. 29. Pensa trasversale E non ci permette di prevedere il futuro con precisione assoluta ! Roden - Il pensatore Normalmente abbiamo in mano le equazioni giuste solo in apparenza 29 R. RigonFriday, October 26, 12
  30. 30. Pensa trasversale c’e’ anche un altro aspetto trascurato Non di tutte le equazioni esiste ed è unica la soluzione Non di tutte le equazioni esiste una soluzione “analitica” (una formula risolvente esplicita) 30 R. RigonFriday, October 26, 12
  31. 31. Pensa trasversale Analitica a chi ? La parola “analitico” è una grande frode. Starebbe ad intendere una conoscenza assoluta dei valori della funzione. Per lo più, se escludiamo i polinomi, le funzioni, per esempio le funzioni trascendenti, non sono invece note in modo assoluto, ma solo per approssimazioni. 31 R. RigonFriday, October 26, 12
  32. 32. Pensa trasversale Analitica a chi ? Così, anche le equazioni che hanno soluzioni in forma nota, analitica, non sono in realtà, vorrei dire, “in ultima analisi”, ;-), note esattamente, ma solo in astratto, come per il numero pi greco. 32 R. RigonFriday, October 26, 12
  33. 33. Pensa trasversale Per lo più Le equazioni si possono risolvere solo numericamente, cioè con metodi approssimati, portando a risultati incerti. 33 R. RigonFriday, October 26, 12
  34. 34. Sbagliato sino in fondo ? L’errore può essere “epistemico” Ovvero anche l’equazione di partenza può essere sbagliata. Stando all’esempio, non solo Perchè la forza e la massa (i parametri) dell’equazione non sono noti esattamente, ma anche perchè, la seconda legge della dinamica potrebbe non essere quella, ma richiedere piccole (?) modifiche 34 R. RigonFriday, October 26, 12
  35. 35. Sbagliato sino in fondo ? L’errore può essere “epistemico” Albert Einstein Che è, con qualche imprecisione notazionale la seconda legge della dinamica nella relatività ristretta. 35 R. RigonFriday, October 26, 12
  36. 36. Riflessioni Ovviamente essendo la matematica un linguaggio formale Ha dei limiti di rappresentazione Per i greci antichi la matematica era la geometria euclidea. Per i nostri discendenti forse avrà forse una forma diversa 36 R. RigonFriday, October 26, 12
  37. 37. Riflessioni Quanto illustrato è naturalmente il caso semplice Di un corpo puntiforme, con pochi gradi di libertà 37 R. RigonFriday, October 26, 12
  38. 38. Fluidi HokusaiFriday, October 26, 12
  39. 39. Adding complexity Un fluido è un oggetto molto più complesso di un punto Per esempio, l’equazione della dinamica (di Newton!), di un fluido Newtoniano è: conosciuta con equazione di Navier-Stokes 39 R. RigonFriday, October 26, 12
  40. 40. Adding complexity Un fluido è un oggetto molto più complesso di un punto Per esempio, l’equazione della dinamica (di Newton!), di un fluido Newtoniano è: conosciuta con equazione di Navier-Stokes ;-) 40 R. RigonFriday, October 26, 12
  41. 41. Adding complexity Senza entrare nei dettagli “Accelerazioni” densità del fluido “Forze” di vario genere Si tratta di equazioni differenziali alle derivate parziali 41 R. RigonFriday, October 26, 12
  42. 42. Adding complexity Si vuole risolta l’equazione su tutto un determinato dominio ci vuole ben più du Navier-Stokes per descrivere i fenomeni idrologici correlati a quello che vedete 42 R. RigonFriday, October 26, 12
  43. 43. Adding complexity Bisogna assegnare, non solo le condizioni iniziali in ogni punto del dominio ma anche le condizioni al contorno per ogni istante di tempo che si vuole modellare 43 R. RigonFriday, October 26, 12
  44. 44. Adding complexity Avremmo bisogno di misure ! 44 R. RigonFriday, October 26, 12
  45. 45. Adding complexity Non essendo questo possibile introduciamo errori e approsimazioni 45 R. RigonFriday, October 26, 12
  46. 46. Riflessioni Inoltre le Geo-scienze usano gli esperimenti in modo diverso della ricerca puramente Galileiana Non si fanno esperimenti veri e propri ma si registrano invece eventi* e molti eventi (una piena, un terremoto) non sono certamente ripetibili. *Molti miei colleghi arguirebbero qui che loro fanno molti esperimenti in laboratorio ... ma 46 R. RigonFriday, October 26, 12
  47. 47. Riflessioni Ci si trova quindi nelle condizioni di dover ricostruire le condizioni “di controllo” di un esperimento da una serie di misure parziali e di indizi Renè Magritte - La condizione umana, 1933 47 R. RigonFriday, October 26, 12
  48. 48. Riflessioni Fare approssimazioni è dunque inevitabile Ma è così grave ?Renè Magritte - La clef de verre, 1959 48 R. Rigon Friday, October 26, 12
  49. 49. Ciclicità Se guardiamo al moto dei pianeti attorno al soleNASA/JPL reconstruction essi ritornano con una certa regolarità, all’incirca nelle stesse posizioni relative. Se sbagliamo di un po’ la soluzione delle equazioni che li regolano, non abagliamo di molto. I fenomeni sono ciclici, e l’errore di previsione che si fa rimane limitato nel tempo. 49 R. Rigon Friday, October 26, 12
  50. 50. E il suo contrario Caos deterministico Non è il nome di una rock band Lorenz‘s attractor 50 R. RigonFriday, October 26, 12
  51. 51. Impredicibilità Se il sistema è caotico Preparati due esperimenti con il sistema in due in condizioni iniziali qualsivoglia prossime, esso evolverà in direzioni diverse: tanto diverse quanto la variabilità del sistema lo permette. Ogni errore iniziale diventa importante e il sistema diventa impredicibile Il sistema meteorologico terrestre è così 51 R. RigonFriday, October 26, 12
  52. 52. Impredicibilità Se il sistema è caotico Ogni errore nelle condizioni iniziali (e/o) al contorno diventa arbitrariamente grande Può piovere o no, senza che riusciamo a prevederlo 52 R. RigonFriday, October 26, 12
  53. 53. Eterogeneità Poco male se le condizioni iniziali e i parametri fossero ovunque uniformi Rothko - Untitled 53 R. RigonFriday, October 26, 12
  54. 54. Eterogeneità Invece sono anche eterogenei Shozo Shimamoto 54 R. RigonFriday, October 26, 12
  55. 55. Eterogeneità Per conoscere l’informazione qui bastano pochi numeri (è solo un’impressione) Qui ce ne vuole un po’ di più (almeno in funzione della complessità dei patterns) 55 R. RigonFriday, October 26, 12
  56. 56. Eterogeneità -> Casualità In fondo un’immagine è solo una sequenza di numeri Solo che alcune sequenze di numeri possono essere “compresse”, altre di meno. Una sequenza di numeri completamente casuale, non può essere compressa 56 R. RigonFriday, October 26, 12
  57. 57. Un esempio Questa è una immagine o una misura di qualcosa ? Landsat Image 57 R. RigonFriday, October 26, 12
  58. 58. Riflessioni Maggiore eterogenità = Maggiore casualità = Maggiore informazione necessaria = Maggiore incertezza nelle previsioni 58 R. RigonFriday, October 26, 12
  59. 59. Dio è buono A meno che ... “ Non si può negare che il nostro universo non è il caos; noi riconociamo essere, cose, oggetti che noi chiamiamo con nomi. Questi oggetti o cose sono forme, strutture dotate di una certa stabilità; che riempiono una certa porzione di spazio e durano per un certo tempo ...” R. Thom, Structural stabity and morphogenesys,1975 E dunque non si constati che molta informazione non sia rilevante a descrivere queste forme, patterns, e siano importanti solo statistiche di quanto descriviamo. A ben vedere, anche le equazioni di Navier-Stokes, o la stessa seconda legge della dinamica, hanno la valenza di statistica di una realtà soggiacente, ad una scala più fine. 59 R. RigonFriday, October 26, 12
  60. 60. Problemi diretti e problemi inversi In ogni caso Determinare i parametri di un insieme di equazioni, che si assumono note e veritiere, in un’ambito eterogeneo, in funzione di una serie di misure effettuate durante un certo evento è un problema inverso particolarmente mal posto dal punto di vista matematico e consente, al più di selezionare, non un insieme di parametri, ma molti insiemi di parametri “ottimali”, o se vogliamo, “non inacettabili”. 60 R. RigonFriday, October 26, 12
  61. 61. Alla luce della nostra ignoranza Thomas Bayes a little of Bayesian inferenceFriday, October 26, 12
  62. 62. Bayes La probabilità condizionale Visto che non conosciamo con certezza il valore di una variabile, una buona strategia potrebbe essere quella di cercare di attribuire ad essa una probabilità. 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 -2 -1 1 2 Ad ogni valore della variabile, un numero tra 0 ed 1 62 R. RigonFriday, October 26, 12
  63. 63. Bayes La probabilità condizionale Si dice che una probabilità è condizionale, se essa è assegnata in seguito alla conoscenza della realizzazione di uno o più eventi e si scrive: Implicitamente od esplicitamente: ogni distribuzione di probabilità è condizionale 63 R. RigonFriday, October 26, 12
  64. 64. Bayes La probabilità condizionale Si dice che una probabilità è condizionale, se essa è assegnata in seguito alla conoscenza della realizzazione di uno o più eventi e si scrive: La conoscenza che ci ha permesso di assegnare la probabilità Implicitamente od esplicitamente: ogni distribuzione di probabilità è condizionale 63 R. RigonFriday, October 26, 12
  65. 65. Bayes La probabilità condizionale O più semplicemente: se l’evento x è condizionato da y 64 R. RigonFriday, October 26, 12
  66. 66. Bayes Probabilità composte Come negli esempi iniziali, à possibile considerare, il contemporaneo realizzarsi di più insiemi di eventi. Si parla allora di Probabilità composta o multivariata: A, B P (A, B) 65 R. RigonFriday, October 26, 12
  67. 67. BayesBayes Theorem Il Teorema di Bayes Dice che la distribuzione di probabilità (pdf) di due variabili casuali, x e y è data da dove è la probabilità di ottenere x da un campione casuale, una volta che sia stato ottenuto y, èd è chiamata probabilità condizionale di x rispetto ad y, e p(y) è la probabilità di ottenere y. Equivalentemente il teorema si legge anche: vista la simmetria esistente tra le variabili x e y 66 R. RigonFriday, October 26, 12
  68. 68. Bayes Probabilità condizionale formula di Bayes P (A B) P (A|B) = P (B) Ω A B 67 R. RigonFriday, October 26, 12
  69. 69. Playing with Bayes Ritorniamo ora ad un problema ai valori iniziali Abbiamo delle condizioni iniziali Abbiamo delle condizioni al contorno Abbiamo dei parametri che regolano la struttura delle equazioni (e la forma delle loro soluzioni) Abbiamo dei dati che misurano le quantità previste dalle equazioni 68 R. RigonFriday, October 26, 12
  70. 70. Playing with Bayes Assegnamo per essi/e, non un valore, ma una probabilità “a-priori” Che scriviamo per semplicità 69 R. RigonFriday, October 26, 12
  71. 71. Playing with Bayes Assegnamo per essi/e, non un valore, ma una probabilità “a-priori” Con operazioni computazionalmente costose, possiamo calcolare: la probabilità di ottenere una certa previsione assegnato il passato. Possiamo quindi pensare di valutare la previsione media , e la sua variabilità, portando ad una valutazione delle incertezze. Osservate però che la probabilità non è materia di causalità, ma solo di relazioni 70 R. RigonFriday, October 26, 12
  72. 72. Playing with Bayes Il teorema di Bayes è la distribuzione, in genere multivariata, dei parametri assegnata a-priori (prior) è l’evidenza (evidence) che danno i modello 71 R. RigonFriday, October 26, 12
  73. 73. Playing with Bayes Parameters si chiama verosimiglianza (likelihood) la distribuzione dei parametri , etc., condizionata alle simulazioni (posterior) Se si vuole, quest’ultima è uno studio della probabilità delle ipotesi 72 R. RigonFriday, October 26, 12
  74. 74. Playing with Bayes Senza voler essere conclusivi, in questo argomento abbastanza complesso Si osservi, assegnato il nuovo set di parametri si può ripetere l’operazione, sino ad identificare la distribuzione dei parametri compatibile con le informazioni contenute nel modello 73 R. RigonFriday, October 26, 12
  75. 75. Playing with Bayes Ma si potrebbero fare molti altri giochi 74 R. RigonFriday, October 26, 12
  76. 76. Opinioni finali Roden - Il pensatoreFriday, October 26, 12
  77. 77. To sum up •L’incertezza nelle previsioni è inevitabile •Si fanno sempre - e spesso deliberatamente - errori epistemici •Sarebbe bene introdurre nei modelli dei modelli di errore (quelli conosciuti ovviamente) 76 R. RigonFriday, October 26, 12
  78. 78. To sum up •Dei modelli vanno verificati sia la consistenza delle assunzioni, la struttura formale e, naturalmente, i risultati (su molti casi studio). •Le assunzioni andrebbero consolidate sulla base di principi generali 77 R. RigonFriday, October 26, 12
  79. 79. To sum up Modelli Responsabilità Decisioni *Alcuni commenti sulla responsabilità degli scienziati, dei tecnici e dei politici 78 R. RigonFriday, October 26, 12
  80. 80. Sbagliamo con i modelli ? Certo che sbagliamo: ma figuriamoci senza ! S. MaraniFriday, October 26, 12
  81. 81. Grazie per l’invito ... Grazie per l’attenzione! G.Ulrici, 2000 ? 80 R. RigonFriday, October 26, 12
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