RELATORE: PHD PROF. RICCARDO RIGON CORRELATORI: PHD EMANUELE CORDANO, PHD GIUSEPPE FORMETTA
Patterns for the application o...
Motivazioni
I modelli matematici ricoprono un ruolo fondamentale in molti campi
sia dell’ingegneria sia in ambiti scientifi...
Motivazioni
Obiettivo della tesi
Progettare una infrastruttura informatica che ospiti un codice astratto per
implementare ...
Indice
1. Un ambiente moderno per il calcolo scientifico
2. L’equazione di Boussinesq per le acqua sotterranee
3. Implement...
Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzio...
Strumenti Informatici
Per massimizzare produttività ed efficienza in team work, sono necessari:
Version Control System
IDE ...
Programmazione Orientata agli Oggetti
Tutti i linguaggi di programmazione forniscono una sorta di
astrazione dalla realtà,...
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L’equazione di Boussinesq
Forma conservativa delle BEq implementata (Cordano and Rigon [3],
Brugnano e Casulli [1] e Casul...
Schema conservativo per la massa
L’equazione di Boussinesq non lineare parabolica è stata discretizzata:
1. nello spazio, ...
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Implementazione del software
Due sotto-problemi (implementazione guidata):
1. definire opportunamente la mesh
2. risolvere ...
Implementazione del software
Due sotto-problemi (implementazione guidata):
1. definire opportunamente la mesh
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Implementazione del software
Due sotto-problemi (implementazione guidata):
1. definire opportunamente la mesh
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Griglia per metodi numerici
1. Struttura base
MESH for
NUMERICAL
METHOD
Structured mesh Unstructured mesh
Adjacency
Matrix...
Griglia per metodi numerici
2. Gerarchia di classi
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Problema fisico
PHYSICAL PROBLEMS
ODEPDEDifferential Equation
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dependence
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simulationTimeStep
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Conclusioni
1. Un ambiente moderno per il calcolo scientifico
2. L’equazione di Boussinesq per le acqua sotterranee
3. Impl...
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Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzio...
Bibliografia
Luigi Brugnano and Vincenzo Casulli.
Iterative solution of piecewise linear systems.
SIAM Journal on Scientific...
PDE non lineare parabolica, metodo
semi-implicito ai volumi finiti
Algorithm 1: Algoritmo per l’implementazione di una PDE ...
PDE non lineare parabolica, metodo
semi-implicito ai volumi finiti
Algorithm 2: Algoritmo per l’implementazione di una PDE ...
Costruzione dei termini della PDE
Considerando la forma generale della PDE parabolica
αut = · D u + f, → MUn+1
+ Tn
Un+1
=...
Costruzione dei termini della PDE
Considerando la forma generale della PDE parabolica
αut = · D u + f, → MUn+1
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Costruzione dei termini della PDE
30 public double [] assemblePdeTerm (double [] u, AbstractRCAdjacencyMatrixBased mesh ,
...
Costruzione dei termini della PDE
1 public abstract class AbstractPde {
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PDE non lineare parabolica, metodo
semi-implicito ai volumi finiti
Algorithm 3: Algoritmo per l’implementazione di una PDE ...
Costruzione del sistema lineare
Una struttura astratta per costruire la matrice A e il vettore b del sistema
lineare Ax = ...
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Una struttura astratta per costruire la matrice A e il vettore b del sistema
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semi-implicito ai volumi finiti
Algorithm 4: Algoritmo per l’implementazione di una PDE ...
Risoluzione del sistema lineare
Per la risoluzione del sistema lineare sono stati usati:
Gradiente Coniugato [7]
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Precondizionatore
Tecniche di precondizionamento
Le tecniche di precondizionamento riducono il numero di iterazioni
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Precondizionatore
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PiezometricHead[m]
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Presentation given by Francesco for is degree

  1. 1. RELATORE: PHD PROF. RICCARDO RIGON CORRELATORI: PHD EMANUELE CORDANO, PHD GIUSEPPE FORMETTA Patterns for the application of modern informatics to the integration of PDEs: the case of the Boussinesq Equation Tesi magistrale in Ingegneria per l’Ambiente ed il Territorio Francesco Serafin | 21 luglio 2014 KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu
  2. 2. Motivazioni I modelli matematici ricoprono un ruolo fondamentale in molti campi sia dell’ingegneria sia in ambiti scientifici come fisica, economia, ecc. Sono in continua evoluzione: 1. nuovi metodi numerici vengono sviluppati per risolvere PDEs; 2. sviluppo hardware permette di ridurre i tempi computazionali. Codice "dinamico" Il codice in cui vengono scritti i modelli matematici deve essere "dinamico" ed essere facilmente sviluppabile, modificabile, debuggabile e mantenibile (Formetta et al. [5]) Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 2/34
  3. 3. Motivazioni Obiettivo della tesi Progettare una infrastruttura informatica che ospiti un codice astratto per implementare ogni tipo di modello matematico descritto da PDEs Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 3/34
  4. 4. Indice 1. Un ambiente moderno per il calcolo scientifico 2. L’equazione di Boussinesq per le acqua sotterranee 3. Implementazione del software 4. Confronto con la soluzione analitica Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 4/34
  5. 5. Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 5/34 Un ambiente moderno per il calcolo scientifico
  6. 6. Strumenti Informatici Per massimizzare produttività ed efficienza in team work, sono necessari: Version Control System IDE (Integrated Development Environment) UML: per applicare i principi dell’ingegneria del software 1. progettazione del software 2. sviluppo del software 3. manutenzione del software 4. test del software Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 6/34
  7. 7. Programmazione Orientata agli Oggetti Tutti i linguaggi di programmazione forniscono una sorta di astrazione dalla realtà, OOP può essere visto come una sorta di “Crescendo di Astrazione” (Eckel [4]) Linea dell’astrazione Proprietà dell’OO Ereditarietà Incapsulamento Polimorfismo Linguaggio Orientato agli Oggetti: Java Modeling Framework: OMS3 (Formetta [6]) Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 7/34
  8. 8. Programmazione Orientata agli Oggetti Tutti i linguaggi di programmazione forniscono una sorta di astrazione dalla realtà, OOP può essere visto come una sorta di “Crescendo di Astrazione” (Eckel [4]) Linea dell’astrazione Proprietà dell’OO Ereditarietà Incapsulamento Polimorfismo Linguaggio Orientato agli Oggetti: Java Modeling Framework: OMS3 (Formetta [6]) Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 7/34
  9. 9. Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 8/34 L’equazione di Boussinesq per le acque sotterranee
  10. 10. L’equazione di Boussinesq Forma conservativa delle BEq implementata (Cordano and Rigon [3], Brugnano e Casulli [1] e Casulli [2]): ∂hw (η, x, y) ∂t = · KS(x, y, z)h(η, x, y) η + Q(x, y) (1) hw : volume d’acqua totale accumulato in una colonna di suolo per unità d’area; ks: conducibilità idraulica satura; h: spessore dell’acquifero; η: carico piezometrico incognito (quota della falda freatica); Q: termine sorgente per unità d’area; Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 9/34
  11. 11. Schema conservativo per la massa L’equazione di Boussinesq non lineare parabolica è stata discretizzata: 1. nello spazio, considerando una mesh non strutturata 2. nel tempo, con un metodo semi-implicito L’equazione discretizzata (1) è riscritta con notazione indiciale: Vi (ηn+1 i ) + Np i=1 Tij ηn+1 j = bi . (2) Per risolvere il sistema lineare, Brugnano e Casulli [1] hanno proposto un metodo numerico rigoroso che simula la presenza di celle asciutte e bagnate senza l’introduzione di condizioni ad hoc all’interno dello schema iterativo. Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 10/34
  12. 12. Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 11/34 Implementazione del software
  13. 13. Implementazione del software Due sotto-problemi (implementazione guidata): 1. definire opportunamente la mesh 2. risolvere l’equazione differenziale (con la BEq come esempio applicativo) Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 12/34
  14. 14. Implementazione del software Due sotto-problemi (implementazione guidata): 1. definire opportunamente la mesh 2. risolvere l’equazione differenziale (con la BEq come esempio applicativo) Classe Astratta è una classe che contiene metodi astratti. Non può essere instanziata direttamente e può presentare una implementazione incompleta o addirittura assente. Interfacce Permette allo sviluppatore di definire come si determinano metodi, nomi, lista degli argomenti e variabili di ritorno di una classe, ma senza implementare il corpo dei metodi. Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 12/34
  15. 15. Implementazione del software Due sotto-problemi (implementazione guidata): 1. definire opportunamente la mesh 2. risolvere l’equazione differenziale (con la BEq come esempio applicativo) Step evolutivi per la realizzazione della struttura orientata agli oggetti 1. struttura base di analisi del problema 2. riempire la struttura base per ottenere una gerarchia di classi completa Implementazione del codice Questo è l’ultimo step, ma è al di fuori della fase di progettazione. Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 12/34
  16. 16. Griglia per metodi numerici 1. Struttura base MESH for NUMERICAL METHOD Structured mesh Unstructured mesh Adjacency Matrix Based Neighbour Matrices Based Column com- pressed format Row com- pressed format Triplet format
  17. 17. Griglia per metodi numerici 2. Gerarchia di classi Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 14/34
  18. 18. Problema fisico PHYSICAL PROBLEMS ODEPDEDifferential Equation Time coordinate dependence TIME DERIVATIVE INDEPENDENT (static resolution) ELLIPTIC · D u = f TIME DERIVATI- VE DEPENDENT (dynamic resolution) HYPERBOLIC αutt = · D u PARABOLIC αut = ·D u +f Type of PDE Equation Linearity Linear Non linear Type of Mesh Unstructured MeshStructured Mesh Numerical Method Finite Difference Finite Volume Finite Element Time dependent approach Explicit method Semi-implicit method Implicit method Compression format of Matrix Dense format Row Compressed format Column Compressed format Triplet format Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 15/34
  19. 19. Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 16/34 Confronto con la solutione analitica[8]
  20. 20. 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0 25 50 75 Domain [m] PiezometricHead[m] simulationTimeStep 0360.txt 0900.txt 1800.txt 3600.txt song.txt Comparison between Song and Boussinesq solution Simulation time: 10 days − KS = 0.001 m s−1 , s = 0.4 Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 17/34
  21. 21. Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 18/34 Conclusioni
  22. 22. Conclusioni 1. Un ambiente moderno per il calcolo scientifico 2. L’equazione di Boussinesq per le acqua sotterranee 3. Implementazione del software 4. Confronto con la soluzione analitica Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 19/34
  23. 23. Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 20/34 Grazie per l’attenzione
  24. 24. Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 20/34
  25. 25. Bibliografia Luigi Brugnano and Vincenzo Casulli. Iterative solution of piecewise linear systems. SIAM Journal on Scientific Computing, 30(1):463–472, 2008. Vincenzo Casulli. A high-resolution wetting and drying algorithm for free-surface hydrodynamics. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 60(4):391–408, 2009. E Cordano and R Rigon. A mass-conservative method for the integration of the two-dimensional groundwater (boussinesq) equation. Water Resources Research, 49(2):1058–1078, 2013. Bruce Eckel. Thinking in JAVA. Prentice Hall Professional, 2003. G Formetta, A Antonello, S Franceschi, O David, and R Rigon. Hydrological modelling with components: A gis-based open-source framework. Environmental Modelling & Software, 55:190–200, 2014. Giuseppe Formetta. Hydrological modelling with components: the OMS3 NewAge-JGrass system. PhD thesis, University of Trento, 2013. Jonathan R Shewchuk. An introduction to the conjugate gradient method without the agonizing pain. Technical report, Pittsburgh, PA, USA, 1994. Zhi-yao Song, Ling Li, and Lockington David. Note on barenblatt power series solution to boussinesq equation. Applied Mathematics and Mechanics, 28(6):823–828, 2007.Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 21/34
  26. 26. PDE non lineare parabolica, metodo semi-implicito ai volumi finiti Algorithm 1: Algoritmo per l’implementazione di una PDE non lineare parabolica risolta con un metodo ai volumi finiti semi implicito Input: initial conditions Output: solution to the physical problem 1 for time = 0 to endTime do 2 building of the PDE terms 3 while newton iteration convergence do 4 building of the linear system 5 solve the linear system 6 end 7 end Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 22/34
  27. 27. PDE non lineare parabolica, metodo semi-implicito ai volumi finiti Algorithm 2: Algoritmo per l’implementazione di una PDE non lineare parabolica risolta con un metodo ai volumi finiti semi implicito Input: initial conditions Output: solution to the physical problem 1 for time = 0 to endTime do 2 building of the PDE terms 3 while newton iteration convergence do 4 building of the linear system 5 solve the linear system 6 end 7 end Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 22/34
  28. 28. Costruzione dei termini della PDE Considerando la forma generale della PDE parabolica αut = · D u + f, → MUn+1 + Tn Un+1 = bn . (3) Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 23/34
  29. 29. Costruzione dei termini della PDE Considerando la forma generale della PDE parabolica αut = · D u + f, → MUn+1 + Tn Un+1 = bn . (3) 1 public abstract class AbstractPdeTerm { 2 3 /** 4 * this variable is true if the abstract class is implemented for 5 * a matrix , otherwise it has to be false 6 */ 7 public boolean matrix; 8 9 /** 10 * this method has to be implemented if the derived class 11 * is for an array term 12 */ 13 public abstract double computeArrayTerm (double [] u, 14 AbstractRCAdjacencyMatrixBased mesh , int polygonIndex ); 15 16 /** 17 * this method has to be implemented if the derived class 18 * is for a matrix term 19 */ 20 public abstract double computeMatrixTerm (double [] u, 21 AbstractRCAdjacencyMatrixBased mesh , int polygonIndex , int sideIndex ); 22 23 } Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 23/34
  30. 30. Costruzione dei termini della PDE 30 public double [] assemblePdeTerm (double [] u, AbstractRCAdjacencyMatrixBased mesh , 31 AbstractPdeTerm pdeTerm ){ 32 33 double [] term; 34 35 if (term.matrix ){ 36 term = assembleMatrix (u, mesh , pdeTerm ); 37 } else { 38 term = assemblyArray (u, mesh , pdeTerm ); 39 } 40 41 return term; 42 43 } 44 45 /** 46 * this method has to be implemented if the derived class is 47 * for an array term 48 */ 49 public abstract void temporalLoop (mesh ); 50 51 } Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 24/34
  31. 31. Costruzione dei termini della PDE 1 public abstract class AbstractPde { 2 3 public double [] assembleArray (double [] u, AbstractRCAdjacencyMatrixBased mesh , 4 AbstractPdeTerm pdeTerm ){ 5 6 double [] term = new double[mesh. polygonsNumber ]; 7 8 for (int i = 0; i < mesh. polygonsNumber ; i++){ 9 term[j] = pdeTerm. computeArrayTerm (u, mesh , i, j); 10 } 11 12 return term; 13 14 } 15 16 public double [] assembleMatrix (double [] u, AbstractRCAdjacencyMatrixBased mesh , 17 AbstractPdeTerm pdeTerm ){ 18 19 double [] term = new double[mesh.Ml.length ]; 20 21 for (int i = 0; i < mesh. polygonsNumber ; i++){ 22 for (int j = mesh.Mp[i]; j < mesh.Mp[i + 1]; j++){ 23 term[j] = pdeTerm. computeMatrixTerm (u, mesh , i, j); 24 } 25 } 26 27 return term; 28 29 } Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 24/34
  32. 32. PDE non lineare parabolica, metodo semi-implicito ai volumi finiti Algorithm 3: Algoritmo per l’implementazione di una PDE non lineare parabolica risolta con un metodo ai volumi finiti semi implicito Input: initial conditions Output: solution to the physical problem 1 for time = 0 to endTime do 2 building of the PDE terms 3 while newton iteration convergence do 4 building of the linear system 5 solve the linear system 6 end 7 end Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 25/34
  33. 33. Costruzione del sistema lineare Una struttura astratta per costruire la matrice A e il vettore b del sistema lineare Ax = b è complesso, in quanto assemblare questi termini dipende dal tipo di equazione risolta. Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 26/34
  34. 34. Costruzione del sistema lineare Una struttura astratta per costruire la matrice A e il vettore b del sistema lineare Ax = b è complesso, in quanto assemblare questi termini dipende dal tipo di equazione risolta. Matrici Sparse Grazie all’utilizzo del row compressed format, l’intero codice è basato su vettori 1D, per cui gli argomenti di un generico metodo sono vettori. Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 26/34
  35. 35. Costruzione del sistema lineare Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 26/34
  36. 36. PDE non lineare parabolica, metodo semi-implicito ai volumi finiti Algorithm 4: Algoritmo per l’implementazione di una PDE non lineare parabolica risolta con un metodo ai volumi finiti semi implicito Input: initial conditions Output: solution to the physical problem 1 for time = 0 to endTime do 2 building of the PDE terms 3 while newton iteration convergence do 4 building of the linear system 5 solve the linear system 6 end 7 end Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 27/34
  37. 37. Risoluzione del sistema lineare Per la risoluzione del sistema lineare sono stati usati: Gradiente Coniugato [7] precondizionatore per ridurre il tempo di convergenza Entrambi, implementati nelle Parallel Colt, funzionano in parallelo. Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 28/34
  38. 38. Precondizionatore Tecniche di precondizionamento Le tecniche di precondizionamento riducono il numero di iterazioni richieste per la convergenza del metodo di risoluzione iterativo del gradiente coniugato. Un sistema precondizionato è: C−1 Ax = C−1 b (4) dove C è una matrice non singolare chiamata precondizionatore. Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 29/34
  39. 39. Precondizionatore Caratteristiche del precondizionatore C C tale per cui C−1 A è essere prossimo alla matrice identità il precondizionatore deve essere computazionalmente economico in termini di memoria velocità di calcolo Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 30/34
  40. 40. 0360.txt 0900.txt 1800.txt 3600.txt 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0 25 50 75 0 25 50 75 0 25 50 75 0 25 50 75 Domain [m] PiezometricHead[m] Comparison between Song and Boussinesq solution Simulation time: 10 days − KS = 0.001 m s−1 , s = 0.4 Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 31/34
  41. 41. 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0 10 20 30 40 Domain [m] PiezometricHead[m] simulationTimeStep 0360.txt 0900.txt 1800.txt 3600.txt song.txt Comparison between Song and Boussinesq solution Simulation time: 10 days − KS = 0.0001 m s−1 , s = 0.4 Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 32/34
  42. 42. 0360.txt 0900.txt 1800.txt 3600.txt 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 Domain [m] PiezometricHead[m] Comparison between Song and Boussinesq solution Simulation time: 10 days − KS = 0.0001 m s−1 , s = 0.4 Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 33/34
  43. 43. 0.0 0.1 0.2 0.3 0e+00 1e+05 2e+05 3e+05 4e+05 Time [s] Linf−norm[−] SimulationType TIME STEP 0.01 TIME STEP 0.1 TIME STEP 1 Maximum norm between analytical and numerical solution Error computed like maximum norm in nondimensional simulations Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 34/34
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