R. Rigon
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Ubiquitous Diffusion
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www.the-cryosphere.net/5/469/2011/
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Il manto nevoso
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Massa dell’acqua
liquida
Massa del vapore
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Massa dell’aria
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Notazione di base
I volumi con gli stessi indici delle masse
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Vtw = Vv + Vw + Vi
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Densità del ghiaccio
ice density
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Notazione di base
Contenuto volumetrico d’acqua nella
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Porosità della neve
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Notazione di base
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Proprietà termiche della neve
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Proprietà termiche della neve
La conducibilità termica Kh è una misura della abilità di un materiale di trasmettere
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Proprietà termiche della neve
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Temperatura
La neve è un buon isolante termico. Si generano gradienti di temperatura anche
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Variazione di energia della neve
Il bilancio di energia interno
Neve...
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phase transition
Variazione di energia della neve
Flussi di energia al contorno
Il bilancio di energia interno
Neve...
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Transizioni di fase
Variazione di energia della neve
Flussi di energia
Il bilancio di energia interno
Neve
Energy b...
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Il flusso di calore trasportato dalla precipitazione è calcolato
supponendo che la precipitazione abbia la stessa temp...
!62!62
raffreddamento/riscaldamento per
conduzione
raffreddamento/riscaldamento per
avvezione (principalmente di
acqua liq...
!63!63
Dove il termine di flusso
è dato dal termine riscaldamento/raffreddamento per
conduzione:
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!64!64
gradiente di
temperatura
raffreddamento
/riscaldamento:
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calore
Dove il termine di flusso
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conducibilità
termica
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variazione dell’energia interna
della neve
Neve
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Una parte dipende dalla
temperatura
variazione dell’energia interna
della neve
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!68!68
Una parte dipende dalla
quantità della sostanza
Una parte dipende dalla
temperatura
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Lo scioglimento del manto nevoso
Tradotto in termini del bilancio di energia. Per T < 0
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Lo scioglimento del manto nevoso
Tradotto in termini del bilancio di energia. Per T > 0
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!73
Lo scioglimento del manto nevoso
Nei layer non superficiali, si ha conduzione del calore secondo la legge di
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!74!74
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congiuntamente per la massa di neve
Po...
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Ma i metodi di soluzione
rimangono i medesimi
Le equazioni sono non lineari e discontinue alla
transizione di fase ric...
!76
Grazie per l’attenzione!
G.Ulrici-,2000?
R. Rigon
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Diffusion equationhydrology2014

  1. 1. R. Rigon R. Rigon Ubiquitous Diffusion JacksonPollok,FreeForm,1949,Moma
  2. 2. !2 Objectives •See where diffusion equations appears in hydrology: •The case of Richards’ equation and its extensions •The case of snow thermodynamics ! All presented in a somewhat confuse way ... ! Sorry for the mixed English and Italian …. R. Rigon Introduction
  3. 3. R. Rigon Richards ++ R. Rigon
  4. 4. !4 Four phases Back to the basics R. Rigon
  5. 5. !5 Four phases However, we neglect, at the moment, ice. Soil Water Air Massa Volume VagMag La colonna di neve Mw Vw M⇤ V⇤ R. Rigon Back to the basics
  6. 6. !6 V a r i a z i o n e d i contenuto d’acqua nel suolo nell’unità di tempo Divergenza del flusso volumetrico attraverso il contorno del volume infinitesimo Richards,1931 !6 ⇤ w ⇤t = ⇥ · ⌃Jv(⇥) L’equazione di continuità Back to the basics R. Rigon
  7. 7. !7 Legge di Darcy-Buckingham Flusso volumetrico attraverso il contorno del volume infinitesimo Conducibilità idraulica x gradiente del carico Buckingham,1907,Richards,1931 !7 ~Jv = K(✓w)~r h ]Back to the basics R. Rigon
  8. 8. !8 Il carico idraulico è una energia per unità di volume e si misura in unità di lunghezza h = z + Carico idraulico campo gravitazionale forze capillari - pressione Richards,1931 !8 Legge di Darcy-Buckingham Back to the basics R. Rigon
  9. 9. !9 Per semplificare possiamo pensare vi sia una relazione biunivoca tra pressione e contenuto d’acqua del suolo ⇤ (⇥) ⇤t = ⇤ (⇥) ⇤⇥ ⇤⇥ ⇤t C(⇥) ⇤⇥ ⇤t Capacità idraulica dei suoli !9 Back to the basics R. Rigon
  10. 10. !10 La capacità idraulica è proporzionale alla distribuzione dei pori !10 Interpretations R. Rigon
  11. 11. !11 FORME PARAMETRICHE DELLA SWRC: QUELLA PIU’ USATA E’ QUELLA di van Genucthen Che ha cinque parametri !11 Se ⌘ ✓w ✓r s ✓r = h 1 1 + (↵ )n im ✓r s ↵ n m Parameterisations R. Rigon
  12. 12. !12 si ottiene: K(Se) = KsSv e ⇤ 1 1 S1/m e ⇥m⌅2 (m = 1 1/n) o, esprimendo il tutto in funzione del potenziale di suzione: K(⇥) = Ks 1 ( ⇥) mn [1 + ( ⇥) n ] m ⇥2 [1 + ( ⇥) n ] mv (m = 1 1/n) FORME PARAMETRICHE DELLA CONDUCIBILITA’ IDRAULICA !12 Parameterisations R. Rigon
  13. 13. !13 What I mean with Richards ++ First, I would say, it means that it would be better to call it, for instance: Richards-Mualem-vanGenuchten equation, since it is: Se = [1 + ( ⇥)m )] n Se := w r ⇥s r C(⇥) ⇤⇥ ⇤t = ⇥ · K( w) ⇥ (z + ⇥) ⇥ K( w) = Ks ⇧ Se ⇤ 1 (1 Se)1/m ⇥m⌅2 Water balance Parametric Mualem Parametric van Genuchten C(⇥) := ⇤ w() ⇤⇥ R. Rigon To sum-up
  14. 14. !14 What I mean with Richards ++ Extending Richards to treat the transition saturated to unsaturated zone. Which means: R. Rigon Extensions
  15. 15. !15 Richards equation is part of a more general equation that can be obtained by considering also saturated soil/aquifers* * see for instance, Lu and Godt, 2012, Chapter 4 - Freeze and Cherry, 1979, pg 51 Since the rate of gain/loss of water mass is in general: <latexit sha1_base64="tYHCApFiY8slQcKMwQxwGacE74A=">AAAA+3icSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8XFy8cvEFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKBcQLKBvoGYCBAibDEMpQZoACoHJDdElMRqiRnpmeQSBCG4e0koahuYNHQGhyStfknfsPQoQZGaHyggyo4BQAVIE48g==</latexit> where: <latexit sha1_base64="tYHCApFiY8slQcKMwQxwGacE74A=">AAAA+3icSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8XFy8cvEFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKBcQLKBvoGYCBAibDEMpQZoACoHJDdElMRqiRnpmeQSBCG4e0koahuYNHQGhyStfknfsPQoQZGaHyggyo4BQAVIE48g==</latexit> R. Rigon Extensions
  16. 16. !16 Allora l’equazione generale è ancora C(⇥) ⇤⇥ ⇤t = ⇥ · K( w) ⇥ (z + ⇥) ⇥ purchè (usando la parametrizzazione di van Genuchten): R. Rigon Extensions
  17. 17. !17 Le equazioni sono non lineari e richiedono il metodo di Newton con doppia iterazione interna (nested Newton) per essere risolte R. Rigon Phase Transition
  18. 18. R. Rigon Freezing soil GinoSeverini,BlueDancer,1912-Gugghenaimmuseum,Venice R. Rigon
  19. 19. !19 The Cryosphere, 5, 469–484, 2011 www.the-cryosphere.net/5/469/2011/ doi:10.5194/tc-5-469-2011 © Author(s) 2011. CC Attribution 3.0 License. The Cryosphere A robust and energy-conserving model of freezing variably-saturated soil M. Dall’Amico1,*, S. Endrizzi2, S. Gruber2, and R. Rigon1 1Department of Civil and Environmental Engineering, University of Trento, Trento, Italy 2Department of Geography, University of Zurich, Winterthurerstrasse 190, Zurich, Switzerland *now at: Mountain-eering srl, Via Siemens 19, Bolzano, Italy Received: 29 June 2010 – Published in The Cryosphere Discuss.: 11 August 2010 Revised: 18 May 2011 – Accepted: 19 May 2011 – Published: 1 June 2011 Abstract. Phenomena involving frozen soil or rock are im- portant in many natural systems and, as a consequence, there is a great interest in the modeling of their behavior. Few models exist that describe this process for both saturated and unsaturated soil and in conditions of freezing and thawing, and numerical physically-based (Zhang et al., 2008). Em- pirical and semiempirical algorithms relate ground thawing- freezing depth to some aspect of surface forcing by one or more experimentally established coefficients (e.g. Anisimov et al., 2002). Analytical algorithms are specific solutions to What about soil freezing ? see also Dall’Amico Ph.D thesis: http://eprints-phd.biblio.unitn.it/335/ The long story of soil freezing R. Rigon
  20. 20. !20 Two cases is hydraulic head [L] of water<latexit sha1_base64="tYHCApFiY8slQcKMwQxwGacE74A=">AAAA+3icSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8XFy8cvEFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKBcQLKBvoGYCBAibDEMpQZoACoHJDdElMRqiRnpmeQSBCG4e0koahuYNHQGhyStfknfsPQoQZGaHyggyo4BQAVIE48g==</latexit> R. Rigon in vadose and saturated conditions
  21. 21. !21 Two equations (just one here) first principle potential energy kinetic energy internal energy energy fluxes at the boundaries second principle more details onhttp://abouthydrology.blogspot.com/2013/04/beyond-and-side-by-side-with-numerics.html Back to the basics R. Rigon
  22. 22. !22 Four phases Back to the basics R. Rigon
  23. 23. !23 Water is •often in unsaturated conditions •in pores •it is known that it does not freeze until very negative temperatures are obtained •a relationship (the Soil Water Retention Curves needs to be invoked between water head and water content to close the equations) Back to the basics R. Rigon
  24. 24. !24 Unsaturated conditions means that capillary forces acts, i.e. we have to account for the tension forces that accumulate in curves surfaces Capillarity (and other stuff) R. Rigon
  25. 25. !25 Unsaturated conditions Young-Laplace equation pw = pa wa ⇤Awa(r) ⇤Vw(r) = pa wa ⇤Awa/⇤r ⇤Vw/⇤r = pa wa 2 r := pa pwa(r) Capillarity (and other stuff) R. Rigon
  26. 26. !26 In unsaturated conditions the equilibrium condition: Capillarity (and other stuff) R. Rigon
  27. 27. !27 In unsaturated conditions the equilibrium condition becomes Capillarity (and other stuff) R. Rigon
  28. 28. !28 So, skipping a few passages The situation at the freezing point is the opposite, and represented by the blue arrow Freezing point depression Capillarity (and other stuff) R. Rigon
  29. 29. !29 Because, the smaller the pores, the larger the freezing point depression ! larger pores freezes before than smaller pores Capillarity (and other stuff) R. Rigon
  30. 30. !30 Because by means of the Clausius-Clapeyron equation there is a one-to-one relations between the size of the pores and the temperature depression, and because there is also a one-to-one relationship between the size of the pores and the pressure there is a one-one relation among T and Beyond the Stefan problem R. Rigon
  31. 31. !31 Unsaturated unfrozen Unsaturated Frozen Freezing starts Freezing procedes Capillarity (and other stuff) R. Rigon
  32. 32. !32 pw0 = pa wa ⇥Awa(r0) ⇥Vw = pa pwa(r0) pi = pa ia ⇥Aia(r0) ⇥Vw := pa pia(r0) pw1 = pa ia ⇥Aiar(0) ⇥Vw iw ⇥Aiw(r1) ⇥Vw Two interfaces (air-ice and water- ice) should be considered!!! Curved interfaces with three phases Four phases … well interfaces are phases too, indeed R. Rigon
  33. 33. !33 Now we have enough information to write the right equations ! Perhaps If we do not get lost in simplifications Making it short R. Rigon
  34. 34. !34 A further assuption To make it manageable, we do a further assumption. Mainly the freezing=drying one. Considering the assumption “freezing=drying” (Miller, 1963) the ice “behaves like air” and does not add further pressure terms Freezing=Drying R. Rigon
  35. 35. !35 Unfrozen water content soil water retention curve thermodynamic equilibrium (Clausius Clapeyron) + ⇥w = pw w g pressure head: w(T) = w [⇥w(T)] How this reflects on pressure head Freezing=Drying R. Rigon
  36. 36. !36 Unsaturated unfrozen Unsaturated Frozen Freezing starts Freezing procedes Soil water retention curves Freezing=Drying R. Rigon
  37. 37. !37 Soil water retention curves Freezing=Drying R. Rigon
  38. 38. !38 Soil water retention curves Freezing=Drying R. Rigon
  39. 39. !39 T := T0 + g T0 Lf w0 ice content: i = ⇥w ⇥i w ⇥ ⇥w = ⇥r + (⇥s ⇥r) · ⇤ 1 + ⇤w0 Lf g T0 (T T⇥ ) · H(T T⇥ ) ⇥n⌅ m liquid water content: Total water content: depressed melting point Modified Richards equations = ⇥r + (⇥s ⇥r) · {1 + [ · ⇤w0] n } m Water and ice mass budget R. Rigon
  40. 40. !40 U = Cg(1 s) T + ⇥wcw w T + ⇥ici i T + ⇥wLf w U t + ⌥⇥ • (⌥G + ⌥J) + Sen = 0 ⌃G = T (⇥w0, T) · ⌃⇤T J = w · Jw(⇥w0, T) · [Lf + cw T] 0 assuming freezing=drying U = hgMg + hwMw + hiMi (pwVw + piVi) + µwMph w + µiMph i no expansion: ρw=ρi assuming:0 no flux during phase change Eventually: 0 assuming equilibrium thermodynamics: µw=µi and Mw ph = -Mi ph conduction advection Energy Equation Water and ice energy budget in soil R. Rigon
  41. 41. !41 ⇤ ⌃⇧ ⌃⌅ ⇤U( w0,T ) ⇤t ⇤ ⇤z ⇥T (⇤w0, T) · ⇤T ⇤z J(⇤w0, T) ⇥ + Sen = 0 ⇤ ( w0) ⇤t ⇤ ⇤z ⌥ KH(⇤w0, T) · ⇤ w1( w0,T ) ⇤z KH cos + Sw = 0 1D representation: Finally the “right” equations Water and ice mass and energy budget together R. Rigon
  42. 42. R. Rigon R. Rigon Turner,SnowStorm,1842 Snow
  43. 43. !43 Il manto nevoso Neve, Ghiaccio, Permafrost Acqua (Liquida) Ghiaccio Aria Massa Volume Vag ViMi Mag La colonna di neve Mw Vw M⇤ V⇤ R. Rigon Introduction
  44. 44. !44 Il manto nevoso Il manto nevoso (snow-pack) è: ! - un mezzo poroso (come mostrato nella slide precedente) ! Generalmente composto da strati, più o meno omogenei, di differente spessore e da tipi differenti di neve ! Gli strati sono composti da cristalli e grani che sono, di solito, legati da qualche tipo di coesione. R. Rigon Introduction
  45. 45. !45 Massa dell’acqua liquida Massa del vapore Massa del ghiaccio Massa della neve Massa dell’aria Notazione di base M⇤ = Mag + Mw + Mi M⇤ = Mv + Mw + Mi R. Rigon Introduction
  46. 46. !46 Notazione di base I volumi con gli stessi indici delle masse V⇤ = Vag + Vw + Vi Vtw = Vv + Vw + Vi R. Rigon Introduction
  47. 47. Densità del ghiaccio ice density !47 Densità apparente della neve snow bulk density Notazione di base ⇢i := Mi Vi ⇢⇤ := M⇤ V⇤ = M⇤ Vag + Vw + Vi R. Rigon Introduction
  48. 48. !48 Notazione di base Contenuto volumetrico d’acqua nella neve(adimensionale) Volume fraction of liquid water in snow pores ✓w := Vw Vag + Vw + Vi Contenuto volumetrico adimensionale di ghiaccio nella neve Volume fraction of frozen water (ice) in snow ✓i := Vi Vag + Vw + Vi R. Rigon Introduction
  49. 49. !49 Porosità della neve Notazione di base Saturazione (relativa) della neve ⇤ := Vag + Vw Vag + Vw + Vi S⇤ := ✓w ⇤ R. Rigon Introduction
  50. 50. !50 Notazione di base Equivalente in acqua della neve Volume dell’acqua derivante dalla completa fusione della neve su un area orizzontale corispondente. h⇤ = ✓ ✓w + (1 ⇤) ⇢i ⇢w ◆ V⇤ A = ✓ ✓w + (1 ⇤) ⇢i ⇢w ◆ hsn hsn := V⇤ A h⇤ := Vw(A) + ⇢i ⇢w Vi(A) A R. Rigon Introduction
  51. 51. !51 Proprietà termiche della neve Si assume che il flusso di calore segua la legge di Fourier: ~Jh = Kh ~rT Flusso di calore W m-2 Conducibilità termica W m-1 K-1 Gradiente di Temperatura K m-1 R. Rigon Thermal conductivity
  52. 52. !52 Proprietà termiche della neve La conducibilità termica Kh è una misura della abilità di un materiale di trasmettere calore. un buon conduttore di calore ha un alto valore di K, un isolante ha un basso valore di K (in W/m K). Neve Fresca 0.03 (meglio della lana di vetro!) Neve vecchia 0.4 Ghiaccio 2.1 ~Jh = Kh ~rT   La neve attenua i cambiamenti termici dell’atmosfera. Per esempio un cambio di 1 grado di temperatura dell’aria in 15 minuti, cambia la temperatura a 20 cm di profondità nella neve di soli 0.1 gradi e di 0.01 gradi ad un metro.   R. Rigon Thermal conductivity
  53. 53. !53 Proprietà termiche della neve ~Jh = Kh ~rT Kh cresce con il metamorfismo della neve. Ad esempio, Sturm, 1997 fornisce questa formula parametrica: Kh = 0.138 1.01 ⇢ ⇤ +3.233 ⇢2 ⇤ R. Rigon Thermal conductivity
  54. 54. !54 Temperatura Generalmente nel manto nevoso si presentano due situazioni: ! - E’ presente una variazione di temperatura tra la sommità della neve e il il terreno su cui si posa: la temperatura è normalmente dominata dalla temperatura in superficie e il terreno si trova generalmente a 0 C .... a meno che non si sia in presenza di permafrost. ! - Non è presente alcun gradiente: la neve si trova in uno stato isotermo R. Rigon Thermal conductivity
  55. 55. !55 Temperatura La neve è un buon isolante termico. Si generano gradienti di temperatura anche molto elevati in prossimità della superficie. R. Rigon Phenomenology
  56. 56. !56 050100150 SnowDepth[cm] ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●●●●●●● ● ●● ●● ●● ● ● ●●● ●●●●● ●● ●●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●●● ● ● ● ● ●●●●●●●●● ●● ●●● ●●●●●● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ● ● ●●●● ●●● ● ● ● ●●●●●●●●● ● ●●●●● ● ●●● ●●●● ●●●●●●● ● ● ● ●● ●● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●●●● ● ● ●●●●●●●●●●●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●● ● ●● ● ●●● ● ●●●●●●●●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ●●●●● ●● ●●●● ●●● ●● ● ●●● ●●● ● ● ● ●●● ●●●●●●●● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ●●● ● ● ● ● ● ●● ● SnowD sim Flux to ground Nov 97 Feb 98 May 98 Aug 98 Nov 98 0306090120150 Fluxtoground[W/m^2] ● SnowD meas estateinverno circa 50 W/m2circa 5 W/m2 Temperatura with and without R. Rigon Phenomenology
  57. 57. !57 Scambi di energia attraverso i flussi turbolenti Conduzione di calore verso il terreno Percolazione di acqua verso il terreno Bilancio di radiazione dU⇤ dt = Rn lw + Rn sw H s Ev + G + Pe Variazione di energia dU⇤ dt = Cp dT⇤ dt Capacità termica della neve Variazione di temperatura della neve Il bilancio di energia della neve R. Rigon Energy budget
  58. 58. !58!58 energy fluxes at the boundary phase transition Variazione di energia della neve Il bilancio di energia interno Neve R. Rigon Energy budget
  59. 59. !59!59 phase transition Variazione di energia della neve Flussi di energia al contorno Il bilancio di energia interno Neve Energy budget
  60. 60. !60!60 Transizioni di fase Variazione di energia della neve Flussi di energia Il bilancio di energia interno Neve Energy budget
  61. 61. !61 Il flusso di calore trasportato dalla precipitazione è calcolato supponendo che la precipitazione abbia la stessa temperatura dell’aria e quello trasportato dall’acqua di fusione supponendo che questa sia alla temperatura di 0°C. Una nota sulla precipitazione R. Rigon Precipitation and Energy
  62. 62. !62!62 raffreddamento/riscaldamento per conduzione raffreddamento/riscaldamento per avvezione (principalmente di acqua liquida) Il bilancio di energia interno Neve Energy budget
  63. 63. !63!63 Dove il termine di flusso è dato dal termine riscaldamento/raffreddamento per conduzione: raffreddamento /riscaldamento: il flusso di calore Neve Energy budget
  64. 64. !64!64 gradiente di temperatura raffreddamento /riscaldamento: il flusso di calore Dove il termine di flusso è dato dal termine riscaldamento/raffreddamento per conduzione: Neve Energy budget
  65. 65. !65!65 conducibilità termica Questa è la teoria di Onsager che porta alla legge di Fourier gradiente di temperatura raffreddamento /riscaldamento: il flusso di calore Dove il termine di flusso è dato dal termine riscaldamento/raffreddamento per conduzione: Neve Energy budget
  66. 66. !66!66 L’energia interna della neve variazione dell’energia interna della neve Neve Energy budget
  67. 67. !67!67 Una parte dipende dalla temperatura variazione dell’energia interna della neve L’energia interna della neve nelle sue parti Energy budget
  68. 68. !68!68 Una parte dipende dalla quantità della sostanza Una parte dipende dalla temperatura variazione dell’energia interna della neve L’energia interna della neve nelle sue parti Energy budget
  69. 69. !69 Lo scioglimento del manto nevoso Tradotto in termini del bilancio di energia. Per T < 0 Variazione dell’energia interna del ghiaccio <latexit sha1_base64="tYHCApFiY8slQcKMwQxwGacE74A=">AAAA+3icSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8XFy8cvEFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKBcQLKBvoGYCBAibDEMpQZoACoHJDdElMRqiRnpmeQSBCG4e0koahuYNHQGhyStfknfsPQoQZGaHyggyo4BQAVIE48g==</latexit> R. Rigon Energy budget
  70. 70. !70 Lo scioglimento del manto nevoso Tradotto in termini del bilancio di energia. Per T > 0 Variazione dell’energia interna dell’acqua ... ma in questo caso bisognerebbe fare dei distinguo ... <latexit sha1_base64="tYHCApFiY8slQcKMwQxwGacE74A=">AAAA+3icSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8XFy8cvEFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKBcQLKBvoGYCBAibDEMpQZoACoHJDdElMRqiRnpmeQSBCG4e0koahuYNHQGhyStfknfsPQoQZGaHyggyo4BQAVIE48g==</latexit> R. Rigon Energy budget
  71. 71. !71 Lo scioglimento del manto nevoso ` Variazione dell’energia interna del sistema complessivo acqua + ghiaccio Variazione di entalpia del sistema acqua + ghiaccio dT dt = 0T = 0 dp dt = 0 <latexit sha1_base64="tYHCApFiY8slQcKMwQxwGacE74A=">AAAA+3icSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8XFy8cvEFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKBcQLKBvoGYCBAibDEMpQZoACoHJDdElMRqiRnpmeQSBCG4e0koahuYNHQGhyStfknfsPQoQZGaHyggyo4BQAVIE48g==</latexit> <latexit sha1_base64="tYHCApFiY8slQcKMwQxwGacE74A=">AAAA+3icSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8XFy8cvEFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKBcQLKBvoGYCBAibDEMpQZoACoHJDdElMRqiRnpmeQSBCG4e0koahuYNHQGhyStfknfsPQoQZGaHyggyo4BQAVIE48g==</latexit> R. Rigon Energy budget
  72. 72. !72 Lo scioglimento del manto nevosoLo scioglimento del manto nevoso Le porzioni relative nel volume di controllo di ghiaccio e neve sono determinate dai rispettivi volumi. ! Questi ultimi sono, evidentemente funzione della storia energetica della neve. dT dt = 0T = 0 dp dt = 0 dU⇤ dt = dH dt R. Rigon Phase Transition
  73. 73. !73 Lo scioglimento del manto nevoso Nei layer non superficiali, si ha conduzione del calore secondo la legge di Fourier (se si trascura la percolazione) <latexit sha1_base64="tYHCApFiY8slQcKMwQxwGacE74A=">AAAA+3icSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8XFy8cvEFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKBcQLKBvoGYCBAibDEMpQZoACoHJDdElMRqiRnpmeQSBCG4e0koahuYNHQGhyStfknfsPQoQZGaHyggyo4BQAVIE48g==</latexit> <latexit sha1_base64="tYHCApFiY8slQcKMwQxwGacE74A=">AAAA+3icSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8XFy8cvEFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKBcQLKBvoGYCBAibDEMpQZoACoHJDdElMRqiRnpmeQSBCG4e0koahuYNHQGhyStfknfsPQoQZGaHyggyo4BQAVIE48g==</latexit> R. Rigon Phase Transition
  74. 74. !74!74 le due equazioni di conservazione della massa e dell’energia vengono risolte congiuntamente per la massa di neve Poichè le equazioni sono accoppiate dM⇤ dt = P Ev Gp in superficie all’interno della neve in superficie all’interno della neve R. Rigon Equations
  75. 75. !75 Ma i metodi di soluzione rimangono i medesimi Le equazioni sono non lineari e discontinue alla transizione di fase richiedono il metodo di Newton con doppia iterazione interna R. Rigon Phase Transition
  76. 76. !76 Grazie per l’attenzione! G.Ulrici-,2000? R. Rigon The End
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