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Apuntes acustica

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  • 1. Introducci´ n a los Conceptos o ´Fundamentales de la Acustica III Jos´ Dami´ n Mellado Ram´rez e a ı Marcos Vera Coello 28/9/2005
  • 2. ´Indice1. Propagaci´ n de las ondas sonoras o 1 1.1. Definici´ n. Tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . 1 1.2. La ecuaci´ n de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . 3 1.3. Ondas ac´ sticas tridimensionales . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . 6 1.4. Amortiguaci´ n del sonido en una y tres dimensiones o . . . . . . . . . . . . 6 1.5. Ejercicios y cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. Soluciones de la ecuaci´ n de ondas o 8 2.1. Ondas arm´ nicas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . 8 2.1.1. Impedancia ac´ stica . . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . 9 2.1.2. Intensidad ac´ stica . . . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . 9 2.2. Ondas esf´ ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . 9 2.2.1. Impedancia ac´ stica . . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . 10 2.2.2. Intensidad ac´ stica . . . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . 11 2.3. Suma de sonidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4. Ac´ stica geom´ trica: ondas y rayos . . . . . . . . . . . u e . . . . . . . . . . 12 2.4.1. Introducci´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . 12 2.4.2. Ecuaci´ n fundamental de la ac´ stica geom´ trica o u e . . . . . . . . . . 12 2.4.3. La ley de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5. Transmisi´ n y reflexi´ n de las ondas ac´ sticas . . . . . . o o u . . . . . . . . . . 16 2.5.1. Coeficientes de transmisi´ n y reflexi´ n . . . . . o o . . . . . . . . . . 16 2.5.2. Incidencia normal en un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.5.3. Incidencia oblicua en un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.6. Absorci´ n de las ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . 19 2.7. Ejercicios y cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203. An´ lisis en frecuencia a 21 3.1. Superposici´ n de soluciones . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2. Descomposici´ n en arm´ nicos . . . . . . . . o o . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3. Funciones peri´ dicas y desarrollo de Fourier . o . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.4. Espectro continuo. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.5. Teorema de Parseval y espectro de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.6. Ejercicios y cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 I
  • 3. ´INDICE II4. Modelos de Fuentes sonoras 26 4.1. Modelo de esfera pulsante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.2. Fuente lineal sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.3. Pist´ n pulsante . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.4. Factor de directividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.5. Ejercicios y cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295. Sumario de t´ rminos e 30 5.1. Velocidad del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.2. Frecuencia, per´odo, longitud de onda y tonos puros ı . . . . . . . . . . . . . 30 5.3. Presi´ n sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . 31 5.4. Velocidad de las part´culas fluidas . . . . . . . . . ı . . . . . . . . . . . . . 31 5.5. Intensidad, potencia y densidad de energ´a sonora . ı . . . . . . . . . . . . . 32 5.6. Factor de directividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.7. El decibelio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.8. Adici´ n de niveles de ruido . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . 35 5.9. Sonoridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Referencias 37
  • 4. Cap´tulo 1 ıPropagaci´ n de las ondas sonoras o1.1. Definici´ n. Tipos de ondas o Una onda es una perturbaci´ n de una magnitud f´sica que se propaga en el espacio y o ıen el tiempo. Matem´ ticamente se expresa como una funci´ n de la posici´ n y del tiempo, a o opudiendo corresponder a magnitudes tan dispares como la altura de una ola de agua, losimpulsos el´ ctricos que rigen los latidos del coraz´ n, o incluso la probabilidad de encontrar e ouna part´cula en mec´ nica cu´ ntica. Otro ejemplo de ondas son las ondas el´ sticas (longitu- ı a a adinales o transversales) que aparecen en los s´ lidos. Nosotros nos centraremos aqu´ en las o ıondas de presi´ n correspondientes a las ondas sonoras. En este caso, la funci´ n representa o olas perturbaciones de presi´ n que se propagan en el seno de un fluido formando lo que se o ´conoce como campo acustico. Veamos qu´ caracter´sticas debe tener una funci´ n del espacio y del tiempo, que en prin- e ı ocipio no tiene por qu´ propagar informaci´ n, para que represente efectivamente una onda e oque se propaga. Empecemos por el caso mas sencillo. Imaginemos una funci´ n que, en lugar de depender ode la posici´ n y del tiempo por separado, lo hace a trav´ s de la combinaci´ n ψ = x − at, o e oesto es f (x, t) = g(x − at) = g(ψ).donde c es una constante y la funci´ n g(ψ) puede ser todo lo general que queramos. Pues obien, para cada valor de ψ existe un unico valor de g (en nuestro caso tendr´amos un valor ´ ıde la presi´ n). Sin embargo, a cada valor de ψ no le corresponden unos valores de t y x odeterminados un´vocamente, sino todos los que cumplan x − at = ψ. De este modo, un ıcierto valor de g(ψ) va a repetirse (propagarse) en el tiempo y el espacio. Analicemos con un poco m´ s de detalle en qu´ consiste en este caso la propagaci´ n. a e oRecordemos que g se mantiene constante si ψ permanece constante, y esto ocurre sobre larecta x − at = cte. Desplazarse sobre esta recta una distancia ∆x supone esperar un tiempo∆x = a∆t, pues de no ser as´ dejar´amos de estar sobre la recta. Conforme pasa el tiempo, ı ıpermanecer en la recta supone moverse a velocidad a, en cuyo caso g es una constante. Estoes, un valor dado de g se propaga a velocidad a. Este es el sentido de la propagaci´ n de las ofunciones de la forma g(x − at). A las funciones de esta forma se las llama ondas. 1
  • 5. ´ ´CAPITULO 1. PROPAGACION DE LAS ONDAS SONORAS 2 De manera similar, tambi´ n se les puede llamar ondas a funciones de la forma f (x, t) = eA(x, t)g(x−a(x, t)t), porque el valor de f se propaga. La diferencia respecto al caso anteriores que la onda se deforma debido a que los coeficientes A(x, t) y a(x, t), que representan re-spectivamente la amplitud de la onda y la velocidad de propagaci´ n, ya no son constantes. oEl criterio para poder llamar onda a un proceso f´sico se hace un poco difuso a medida que ıA(x, t) y a(x, t) empiezan a depender fuertemente de la posici´ n y del tiempo.1 o Como ejercicio, se recomienda al alumno que dibuje en funci´ n de la distancia y para ovarios instantes de tiempo una magnitud arbitraria que represente una onda en el sentidoarriba explicado. f(x-ct) 1 0.5 0 10 5 10 x 5 t Figura 1.1: Onda viajera que no se deforma. A(x,t)f(x-c(x,t)t) 1.5 1 0.5 0 10 5 10 x 5 t Figura 1.2: Onda viajera que se deforma. 1 En estas notas consideraremos unicamente ondas cuya velocidad es independiente de la longitud de onda, ´conocidas como ondas no dispersivas. Por el contrario, las ondas cuya velocidad var´a con la longitud de onda ıse denominan dispersivas.
  • 6. ´ ´CAPITULO 1. PROPAGACION DE LAS ONDAS SONORAS 31.2. La ecuaci´ n de ondas o Para derivar la ecuaci´ n que gobierna la propagaci´ n de las ondas tomaremos aqu´ el o o ıejemplo m´ s sencillo: la propagaci´ n del sonido en una dimensi´ n. Vamos a ocuparnos a o oaqu´ de la propagaci´ n en gases, pues la derivaci´ n para l´quidos y s´ lidos es completamente ı o o ı oan´ loga. En resumidas cuentas, la f´sica del fen´ meno de las ondas sonoras comprende tres a ı oprocesos:2 1. El gas se mueve y var´a la densidad. ı 2. La variaci´ n de densidad provoca variaciones de presi´ n. o o 3. Las variaciones de presi´ n generan movimientos en el gas, y volvemos al punto 1. o Consideremos primero el punto 2 relacionando las variaciones de densidad con las depresi´ n. Antes de que llegue la onda, tenemos equilibrio a una presi´ n p0 y una densidad o oρ0 . En general, la presi´ n p del gas est´ ligada con la densidad por una relaci´ n del tipo o a op = f (ρ) y, en particular, la presi´ n p0 de equilibrio est´ dada por p0 = f (ρ0 ). En el caso del o asonido, las variaciones de presi´ n, p ′ = p − p0 , y de densidad, ρ′ = ρ − ρ0 , respecto a los ovalores de equilibrio son extremadamente peque˜ as.3 Podemos entonces desarrollar en serie nde Taylor las variaciones de presi´ n en funci´ n de las variaciones de densidad y quedarnos o ocon el primer t´ rmino del desarrollo: e ∂p p′ = ρ′ (1.1) ∂ρ 0Como establece el principio de estado de la termodin´ mica [6], cualquier variable termodin´ - a amica de un sistema simple compresible (en nuestro caso un gas) puede determinarse comofunci´ n de dos propiedades termodin´ micas independientes. La relaci´ n anterior ser´a en- o a o ıtonces incorrecta, pues faltar´a sumar la derivada de la presi´ n respecto a una segunda vari- ı oable multiplicada por las variaciones de dicha variable. Sin embargo, realizando estimacionesde ordenes de magnitud se puede demostrar que en una onda sonora el tiempo en que una ´cierta porci´ n de aire se comprime, y por lo tanto se eleva su presi´ n y temperatura, es mu- o ocho m´ s corto que el tiempo que tardar´a esa porci´ n de aire en transmitir calor por difusi´ n a ı o oa otras regiones vecinas menos comprimidas y por tanto mas fr´as. Esto quiere decir que el ıproceso de compresi´ n es tan r´ pido que no ha tenido tiempo de ceder ni recibir calor de los o aalrededores, lo que nos permite suponer que los procesos de compresi´ n y expansi´ n del gas o o 2 La derivaci´ n de la ecuaci´ n de ondas que se presenta aqu´ se basa en la discusi´ n sobre las ondas sonoras o o ı oque realiza Feynman [3, Cap. 47]. 3 Para el o´do humano, el umbral de sonido, por debajo del cual no se percibe sonido alguno, corresponde a ıperturbaciones de presi´ n, p ′ = p − p0 , del orden de p ′ /p0 ∼ 10−10 , mientras que perturbaciones tales que op ′ /p0 ∼ 10−1 corresponden al umbral de dolor. En ambos casos, las variaciones de presi´ n son mucho m´ s o apeque˜ as que la propia presi´ n, es decir, p ′ /p0 ≪ 1. (Una discusi´ n m´ s detallada de las escalas espaciales y n o o atemporales y del orden de magnitud de las perturbaciones que aparecen en las ondas sonoras puede encontrarseen el libro de Barrero y P´ rez-Saborid [4, Cap. 11].) e
  • 7. ´ ´CAPITULO 1. PROPAGACION DE LAS ONDAS SONORAS 4 ξ(x, t) Volumen Nuevo Original Volumen x x + ∆x x + ξ(x, t) x + ∆x + ξ(x + ∆x, t) ξ(x + ∆x, t)Figura 1.3: El desplazamiento del gas en x es ξ(x, t), y en x + ∆x es ξ(x + ∆x, t). Elvolumen original de aire para un area unitaria de la onda plana es ∆x; el nuevo volumen es ´∆x + ξ(x + ∆x, t) − ξ(x, t).en la propagaci´ n de las ondas sonoras suceden de manera adiab´ tica. La adiabaticidad es o amuy importante porque implica que se conserva la entrop´a, de manera que si escribimos la ıpresi´ n en funci´ n de la densidad y la entrop´a, p = p(ρ, s), la variaci´ n de la densidad se o o ı oproduce a entrop´a constante y podemos despreciar el t´ rmino que falta en la ecuaci´ n (1.1). ı e o Consideremos a continuaci´ n el punto 1 para tratar de relacionar los desplazamientos del ogas respecto a su posici´ n inicial de equilibrio con las variaciones de densidad ocasionadas. oSupondremos que x es la posici´ n de equilibrio de una part´cula fluida, es decir la posici´ n o ı oque ten´a dicha porci´ n de fluido antes de que ninguna onda pasara por all´; esta es la posi- ı o ıci´ n a la que regresar´ la part´cula despu´ s de que pasen las ondas.4 Como comentamos m´ s o a ı e aarriba, nos centraremos en el caso de propagaci´ n de ondas unidimensionales y cuando es- ocribamos alguna relaci´ n entenderemos que estamos hablando de magnitudes por unidad de oarea de la onda plana. Vamos a llamar ξ(x, t) al desplazamiento en tiempo t debido al sonido´de la part´cula fluida respecto de su posici´ n de equilibrio, x; n´ tese que debido a la peque˜ a ı o o nintensidad de las ondas de presi´ n, este desplazamiento va a ser muy peque˜ o. La cantidad o nde masa inicial que se encontraba antes de que hubiera ninguna onda en la porci´ n de fluido oque se encuentra entre x y x + ∆x era ρ0 ∆x. Como se muestra en la Fig. 1.3, cuando la ondaesta pasando, la part´cula fluida que inicialmente se encontraba en el punto x ocupa ahora ıla posici´ n x + ξ(x, t), y la part´cula que se encontraba en x + ∆x ocupa ahora la posici´ n o ı ox + ∆x + ξ(x + ∆x, t). La cantidad de masa que hay ahora entre estas dos part´culas fluidas ıpuede expresarse en la forma ρ[x + ∆x + ξ(x + ∆x, t) − x − ξ(x, t)], donde ρ es la densidadmedia de la regi´ n de fluido considerada en el instante t. Si tomamos ∆x muy peque˜ o la o nrelaci´ n anterior se convierte en una diferencial, e igualando la masa inicial y final tenemos o ∂ξ ρ′ = −ρ0 (1.2) ∂x 4 Hasta ahora y de aqu´ en adelante estamos suponiendo que no existe movimiento convectivo del gas, ısolamente movimiento ocasionado por las ondas sonoras; evidentemente, si hubiera corrientes convectivas laspart´culas fluidas se mover´an y el movimiento del sonido habr´a que superponerlo al movimiento convectivo ı ı ıdel fluido.
  • 8. ´ ´CAPITULO 1. PROPAGACION DE LAS ONDAS SONORAS 5La expresi´ n anterior se puede generalizar f´ cilmente al caso de una onda plana que se o apropaga en una direcci´ n arbitraria del espacio dada por el vector de desplazamiento ξ(x, t), oen cuyo caso hubi´ ramos obtenido e ρ′ = −ρ0 |∇ξ| (1.3)donde ∇(·) = ∂(·)/∂x i + ∂(·)/∂y j + ∂(·)/∂z k representa el operador nabla. Para terminar consideremos el punto 3. Necesitamos una ecuaci´ n para describir el de- osplazamiento producido por las variaciones de presi´ n. Para ello aplicaremos la segunda ley ode Newton para relacionar las variaciones espaciales de presi´ n con las aceleraciones gener- oadas en el fluido. En resumen, la resultante de las fuerzas exteriores (de presi´ n) que act´ an o usobre la regi´ n de fluido situada entre x y x + ∆x es igual al producto de la masa de fluido ocontenida en el elemento por la aceleraci´ n que experimenta el fluido. Procediendo de un omodo similar al utilizado para derivar las dos ecuaciones anteriores (se deja como ejercicioal lector), se obtiene ∂p ′ ∂2ξ = −ρ0 2 (1.4) ∂x ∂tAl igual que antes, resulta f´ cil generalizar esta expresi´ n para el caso de una onda plana que a ose propaga en una direcci´ n arbitraria del espacio o ∂2ξ ∂u ∇p ′ = −ρ0 2 = −ρ0 (1.5) ∂t ∂t Combinando las ecuaciones (1.1), (1.2) y (1.4) obtenemos finalmente la ecuaci´ n de oondas para el desplazamiento ξ(x, t): ∂2ξ ∂2ξ ∂p = c2 2 0 siendo c2 = 0 , (1.6) ∂t2 ∂x ∂ρ Sdonde hemos a˜ adido el sub´ndice S a la constante (∂p/∂ρ)S para enfatizar que la derivada n ıha de tomarse a entrop´a constante. La ra´z cuadrada de esta cantidad, que tiene dimen- ı ısiones de velocidad, representa la velocidad de propagaci´ n de las peque˜ as perturbaciones o no velocidad del sonido, y se suele designar por c0 . Es f´ cil comprobar que las variaciones ade densidad, presi´ n y velocidad, ρ′ , p ′ y ∂ξ/∂t, satisfacen todas exactamente la misma oecuaci´ n de ondas que el desplazamiento, ξ. Pero como la magnitud que se puede medir m´ s o af´ cilmente de las tres es la presi´ n, a partir de ahora hablaremos de ondas de presi´ n. a o o Veamos por qu´ se llama a esta ecuaci´ n diferencial la ecuaci´ n de ondas. El motivo e o oes muy sencillo, si introducimos las funciones correspondientes a ondas que hemos visto,p ′ = f (x ± at), comprobamos que la ecuaci´ n (1.6) se cumple si la velocidad de la onda a ocoincide con la velocidad del sonido c0 . Esto nos dice que las soluciones a la ecuaci´ n (1.6) oson efectivamente ondas que se mueven a velocidad c0 , motivo por el cual a esta constantese la denomina velocidad del sonido. Las soluciones a la ecuaci´ n (1.6) son por tanto: o p ′ = f (x ± c0 t) (1.7)
  • 9. ´ ´CAPITULO 1. PROPAGACION DE LAS ONDAS SONORAS 6 f(r-ct)/r 1 0.5 0 -0.5 20 15 10 5 0 20 y -5 15 10 -10 5 0 -15 -5 -10 x -15 Figura 1.4: Variaciones de presi´ n de una onda acustica tridimensional sin viscosidad. o ´1.3. Ondas acusticas tridimensionales Si hubi´ ramos realizado el an´ lisis de la secci´ n anterior suponiendo que las ondas se e a opropagan radialmente de manera is´ tropa en el espacio a partir de un punto formando esferas ohubi´ ramos obtenido, en lugar de (1.6), la ecuaci´ n de ondas tridimensional e o ∂2p ′ ∂2p ′ ∂2p ′ ∂2p ′ − c2 0 + + =0 (1.8) ∂t2 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2Las soluciones a la ecuaci´ n diferencial (1.8) que s´ lo dependen del radio son del tipo o o p ′ = f (r ± c0 t)/r (1.9)donde r es la distancia radial recorrida por la onda. (Para el alumno interesado, esta solu-ci´ n se obtiene introduciendo la parte radial del laplaciano en coordenadas esf´ ricas ∆ ≡ o e 1 ∂ 2 ∂r 2 ∂r r ∂r y haciendo el cambio P = p r.)′1.4. Amortiguaci´ n del sonido en una y tres dimensiones o Si nos detenemos en las soluciones (1.7) y (1.9), observamos una diferencia esencial entreambas. Las ondas sonoras unidimensionales no se amortiguan (salvo por efectos debidosa viscosidad, que aqu´ estamos despreciando), mientras que las ondas tridimensionales s´. ı ıEstas ultimas avanzan, pero la amplitud de las perturbaciones de presi´ n decae con el inverso ´ ode la distancia al origen de la perturbaci´ n. o1.5. Ejercicios y cuestiones 1. Explique en qu´ consiste la linealidad de la ecuaci´ n de ondas ac´ stica. Comente e o u qu´ pasar´a si las variaciones de presi´ n y densidad fueran del mismo orden que la e ı o presi´ n y densidad atmosf´ ricas. o e
  • 10. ´ ´CAPITULO 1. PROPAGACION DE LAS ONDAS SONORAS 7 2. Explique por qu´ una onda sonora tridimensional se hace cada vez mas d´ bil mientras e e que una onda plana mantiene su amplitud. 3. Definiendo la impedancia ac´ stica como Z = p ′ /u, calcule el valor de esta impedancia u para una onda plana unidimensional de la forma u = sin[w(x/c − t)]. Calcule este mismo valor para una onda ac´ stica tridimensional de la forma u u = sin[w(r/c − t)]/r. Nota: en el siguiente cap´tulo se explicar´ c´ mo es mas util ver las soluciones de onda ı a o ´ planas como funciones de variable compleja, defini´ ndose a continuaci´ n la impedan- e o cia compleja ac´ stica, que en general ser´ una cantidad compleja. u a 4. Represente gr´ ficamente una onda tridimensional en el ordenador. a
  • 11. Cap´tulo 2 ıSoluciones de la ecuaci´ n de ondas o2.1. Ondas arm´ nicas planas o Como se vio en el cap´tulo anterior, las ondas arm´ nicas planas son soluciones de la ı oecuaci´ n de ondas de la forma o p ′ = A cos(wt − kx + φ). (2.1)Es com´ n utilizar funciones exponenciales en lugar de trigonom´ tricas para representar estas u eondas, puesto que es mucho m´ s f´ cil operar con exponenciales que con senos y cosenos. El a ac´ lculo elemental de variable compleja establece que a exp(iθ) = cos θ + i sen θ, (2.2)luego la onda plana (2.1) se puede escribir como la parte real de una funci´ n compleja o p ′ = Re{A exp[i(wt − kx + φ)]} = Re{A′ exp[i(wt − kx)]}, (2.3)donde A′ = A exp(iφ) (2.4)representa una amplitud compleja. Esta notaci´ n es tan utilizada que normalmente cuando oescribimos una onda en forma compleja se sobreentiende que se toma la parte real, por loque se suele escribir p ′ = A′ exp[i(wt − kx)], (2.5)sabiendo que la presi´ n es en realidad la parte real de esta expresi´ n. La forma compleja o otambi´ n puede utilizarse para expresar la velocidad u, la densidad ρ′ y todas las dem´ s vari- e aables que satisfacen la ecuaci´ n de ondas, sobreentendi´ ndose siempre que se debe tomar la o eparte real. Gracias a la linealidad de la ecuaci´ n de ondas cualquier suma de ondas planas es tambi´ n o esoluci´ n de la ecuaci´ n de ondas. Esta propiedad ser´ analizada con mayor detalle en el o o acap´tulo siguiente, en el que se expondr´ la teor´a de descomposici´ n de una onda arbitraria ı a ı ocomo superposici´ n de ondas planas (arm´ nicos). o o 8
  • 12. ´ ´CAPITULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDAS 9 ´2.1.1. Impedancia acustica En el cap´tulo anterior obtuvimos la ecuaci´ n de cantidad de movimiento para el campo ı oac´ stico u ∂u ρ0 = −∇p ′ . (2.6) ∂tPara una onda plana expresada en su forma compleja, esta ecuaci´ n permite escribir o p′ u= . (2.7) ρ0 c0 Se define la impedancia acustica, Z, como la cantidad, en general compleja, ´ p′ Z= . (2.8) uSin embargo, seg´ n la ecuaci´ n (2.7), para una onda plana la impedancia ac´ stica es una u o ucantidad real Zonda plana = ρ0 c0 . (2.9) ´2.1.2. Intensidad acustica Se define la intensidad acustica, I, como la media temporal en un punto del espacio del ´producto de la presi´ n por la velocidad (ambas magnitudes reales), es decir o T 1 I = < Re[p ′ ] Re[u] >T = Re[p ′ ] Re[u] dt. (2.10) T 0Esta cantidad representa la cantidad de energ´a que atraviesa por unidad de tiempo (potencia) ıla unidad de superficie perpendicular a la direcci´ n de propagaci´ n de la onda. Por definici´ n o o ola intensidad ac´ stica es siempre una magnitud real. u Para una onda plana tenemos T 1 cos2 (wt − kx + φ) A2 Ionda plana = A2 dt = T 0 ρ0 c0 2ρ0 c02.2. Ondas esf´ ricas e Las ondas esf´ ricas son soluciones con simetr´a esf´ rica de la ecuaci´ n de ondas tridi- e ı e omensional ∂2p ′ − c2 ∇2 p ′ = 0. 0 (2.11) ∂t2Como vimos en el cap´tulo anterior, tienen la forma general ı 1 1 p ′ = f1 (c0 t − r) + f2 (c0 t + r), (2.12) r r
  • 13. ´ ´CAPITULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDAS 10lo que se puede comprobar f´ cilmente si escribimos la parte radial del laplaciano en esf´ ricas a e ∂2 2 ∂ ∇2 = r + . (2.13) ∂r 2 r ∂ry sustituimos (2.13) y (2.12) en la ecuaci´ n de ondas (2.11). El primer t´ rmino de la soluci´ n o e ogeneral (2.12) representa una onda divergente que se propaga radialmente hacia todos ladosa partir del origen de coordenadas, mientras que el segundo t´ rmino representa una onda que econverge hacia el centro. Vemos que las ondas planas no son soluci´ n de la ecuaci´ n de ondas esf´ rica, pero sin o o eembargo s´ que son soluciones funciones de la forma ı A p′ = cos(wt − kr + φ) (2.14) rque, como las ondas planas, tambi´ n pueden representarse en forma compleja e A′ p ′ = Re exp[i(wt − kr)] (2.15) rdonde A′ = A exp(iφ) vuelve a ser una amplitud compleja. Conviene hacer notar que estasondas tambi´ n pueden expresarse como superposici´ n de ondas planas siempre que hagamos e oesta superposici´ n para cada punto fijo del espacio, en cuyo caso r ser´ fijo y su contribuci´ n o a opodr´ absorberse en el coeficiente A′ . a ´2.2.1. Impedancia acustica Para calcular el campo de velocidades en el caso de ondas esf´ ricas introducimos (2.15) een la ecuaci´ n de cantidad de movimiento o ∂u ∂p ′ A′ A′ ρ0 =− = 2 exp[i(wt − kr)] + i k exp[i(wt − kr)], (2.16) ∂t ∂r r re integramos una vez con respecto al tiempo, de donde se obtiene A′ 1 i 1 − i/kr u= exp[i(wt − kr)] − = p′ (2.17) r ρ0 c0 ρ0 c0 kr ρ0 c0lo que nos permite observar que en este caso la impedancia ac´ stica u p′ ρ0 c0 (kr)2 kr Z= = = ρ0 c0 2 + iρ0 c0 . (2.18) u 1 − i/kr 1 + (kr) 1 + (kr)2no es real, sino compleja. ´ A la parte real de la impedancia se le denomina resistencia acustica espec´fica, y a la ıparte imaginaria se le llama reactancia acustica espec´fica. Cuando kr → ∞ la impedancia ´ ı
  • 14. ´ ´CAPITULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDAS 11ac´ stica tiende a contener tan solo la parte real, que adem´ s coincide con la de las ondas u aplanas. Podemos calcular el m´ dulo y la fase de la impedancia de una onda esf´ rica, o e Z = |Z| exp(iψ), (2.19)donde ρ0 c0 kr |Z| = = ρ0 c0 cos ψ, (2.20) 1 + (kr)2 1 kr ψ = arcsen = arccos . (2.21) 1+ (kr)2 1 + (kr)2 ´2.2.2. Intensidad acustica La intensidad ac´ stica de una onda esf´ rica viene dada por (el resultado es trivial y se u edeja como ejercicio al lector) T 1 A2 I= Re[p ′ ]Re[u]dt = , (2.22) T 0 2ρ0 c0 r 2que como puede observarse decae con el cuadrado de la distancia al origen. Desde un puntode vista f´sico, esto se debe al hecho de que el flujo total de energ´a asociado a la onda se ı ıreparte sobre una superficie cuyo area crece proporcionalmente al cuadrado de la distancia ´al origen. Obs´ rvese que la expresi´ n para la intensidad coincide con la de una onda plana e osi definimos una amplitud de presi´ n que decaiga linealmente con la distancia al origen, oP = A/r, en cuyo caso P2 I= . (2.23) 2ρ0 c02.3. Suma de sonidos En esta secci´ n estudiaremos la suma en un punto del espacio de los sonidos provenientes ode dos o m´ s fuentes distintas. En general los sonidos tendr´ n distinta amplitud, fase y fre- a acuencia. Debido a la linealidad de la ecuaci´ n de ondas, la presi´ n resultante en dicho punto o oser´ la suma de las presiones individuales a n n p ′total = Re[A′j exp(iwj t)] = Ai cos(wi t + φ), (2.24) j=1 i=1aunque con car´ cter general no podremos decir nada sobre la amplitud de este sonido. Sin aembargo, la intensidad del sonido resultante ser´ (en este caso T ya no representa el per´odo, a ısino un intervalo de tiempo suficientemente grande como para que est´ n incluidos muchos e
  • 15. ´ ´CAPITULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDAS 12ciclos de todos los sonidos) T n n 1 ′ I= Re pi Re ui dt T 0 i=1 i=1 n T n n T 1 1 = Re[p ′i ]Re[ui ]dt + Re[p ′i ]Re[uj ]dt. (2.25) i=1 T 0 i=1 j=1 T 0 j=iEl primer t´ rmino de la derecha representa la suma de las intensidades de todos los sonidos, ey es un t´ rmino siempre positivo. El segundo t´ rmino representa una suma de integrales de e eproductos de pares de funciones peri´ dicas de frecuencias que no son iguales. Es casi im- oposible que estas integrales no tiendan a cero (dicho matem´ ticamente el conjunto de valores ade frecuencias que hacen que estas integrales no tiendan a cero tiene volumen cero en el es-pacio de frecuencias). De este modo, en primera aproximaci´ n la intensidad total podremos ocalcularla simplemente como la suma de las intensidades de los sonidos individuales, es decir n A2i I≃ . (2.26) i=1 2ρ0 c0Sin embargo, si los sonidos son producidos por fuentes id´ nticas la frecuencia ser´ la misma, e acon lo que si en alg´ n punto del espacio coincide la fase o es casi igual, la intensidad del usonido resultante ya no ser´ igual a la suma de las intensidades de los sonidos por separado. a ´2.4. Acustica geom´ trica: ondas y rayos e2.4.1. Introducci´ n o Una onda plana se distingue porque su direcci´ n de propagaci´ n y su amplitud son las o omismas en todo el espacio. En el mundo real las ondas sonoras no gozan de esta propiedad,en lugar de ondas planas encontramos haces de sonido cuya secci´ n transversal y direcci´ n o ode propagaci´ n van cambiando al atravesar el medio. Sin embargo, existen casos donde una oonda sonora no plana puede considerarse como plana en una peque˜ a regi´ n del espacio. Para n oello es necesario que la amplitud y la direcci´ n de la onda var´en muy poco en distancias del o ıorden de la longitud de onda. Cuando se satisface esta condici´ n, resulta conveniente introducir la noci´ n de rayos en o oel sentido de l´neas cuyas tangentes coinciden en todo punto con la direcci´ n de propagaci´ n ı o ode la onda [5, Cap. 8]. Se puede hablar entonces de la propagaci´ n del sonido a lo largo de los orayos sin prestar atenci´ n a su naturaleza ondulatoria. El estudio de las leyes de propagaci´ n o o ´ ´del sonido se enmarca entonces en el ambito de la acustica geom´ trica. e o ´2.4.2. Ecuaci´ n fundamental de la acustica geom´ trica e En muchas ocasiones resulta por tanto m´ s util pensar en t´ rminos de rayos que en lugar a ´ ede ondas. Esta utilidad se debe a la idea intuitiva, justificada matem´ ticamente bajo ciertas a
  • 16. ´ ´CAPITULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDAS 13Figura 2.1: La aproximaci´ n de un haz de sonido por un rayo est´ justificada si la secci´ n o a otransversal del haz es grande frente a la longitud de onda, A ≫ λ. En el centro, el haz secomporta como una onda plana. En el borde, donde la amplitud var´a en distancias del orden ıde la longitud de onda, deja de ser v´ lida la aproximaci´ n por rayos. a oFigura 2.2: Ejemplo de aplicaci´ n de la ac´ stica geom´ trica: debido a la difracci´ n la barrera o u e ocontra el sonido es m´ s efectiva para las frecuencias altas que para las bajas. acondiciones, de que la energ´a viaja a lo largo de los rayos. De un modo formal, un rayo se ıdefine como una l´nea perpendicular en todos los puntos a las superficies de fase constante. ıPara poder interpretar las ondas en t´ rminos de rayos estas han de cumplir las siguientes econdiciones: 1. La amplitud de la onda no debe de cambiar apreciablemente en longitudes del orden de la longitud de onda. 2. La velocidad del sonido no debe cambiar apreciablemente en longitudes del orden de la longitud de onda.En ese caso, si ∇Γ es un vector perpendicular a las superficies de fase constante y n =c0 /c(x, y, z) es el ´ndice de refracci´ n, definido como la velocidad del sonido en alg´ n punto ı o ufijo dividida por la velocidad del sonido como funci´ n del espacio, obtenemos la ecuaci´ n o ode la Eikonal en una de sus formas d (∇Γ) = ∇n. (2.27) dsEn los ejercicios de final de cap´tulo se exploran m´ s a fondo las consecuencias de esta ı aecuaci´ n. o
  • 17. ´ ´CAPITULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDAS 14 Figura 2.3: Evoluci´ n temporal de una porci´ n de superficie de fase constante. o o Quiz´ s la consecuencia mas notable y digna de recordar es que si un sonido consiste aen un haz de una determinada secci´ n transversal A, tal que A1/2 ≫ λ, entonces podemos oaproximarlo por un haz de rayos, que en definitiva se comporta como una onda plana (v´ aseeFig. 2.2). En el borde del haz de sonido, donde la amplitud var´a r´ pidamente, no se puede ı aaproximar las ondas por rayos, pues aparece la difracci´ n. En resumen, la ac´ stica geom´ tri- o u eca ser´ tanto m´ s aproximada cuanto menor sea la longitud de onda del sonido, o mayor sea a ala frecuencia. A continuaci´ n se da la demostraci´ n matem´ tica de (2.27), que por su complejidad se o o adeja como lectura voluntaria. Consideremos la ecuaci´ n de ondas tridimensional o ∂2p ′ − [c(x, y, z)]2 ∇2 p ′ = 0 (2.28) ∂t2donde la velocidad del sonido c puede ser funci´ n de la posici´ n. Deseamos obtener una ecuaci´ n o o opara un vector perpendicular a las superficies de fase constante. Para un haz de sonido que atraviesaun fluido homog´ neo (c = cte) o inhomog´ neo (c =funci´ n de la posici´ n), podemos esperar que e e o ola amplitud de la onda var´e con la posici´ n y que las superficies de fase constante est´ n dadas por ı o efunciones complicadas de la posici´ n. As´ pues, probamos soluciones de la forma o ı p ′ (x, y, z) = A(x, y, z) exp{iw[t − Γ(x, y, z)/c0 ]} (2.29)donde A tiene unidades de presi´ n, Γ tiene unidades de longitud y c0 es una constante arbitraria que orepresenta la velocidad del sonido de referencia. Las superficies de fase constante son por definici´ n olas superficies Γ(x, y, z) = cte, de modo que ∇Γ es un vector perpendicular en cada punto a una deestas superficies. Por ejemplo, si A = cte y Γ = x, la soluci´ n (2.29) se reduce a p ′ = A exp[iw(t − ox/c0 )], que es una soluci´ n de (2.28) de tipo onda plana si c = cte = c0 . Asimismo, n´ tese que o o∇Γ = i tiene modulo unidad y apunta siempre en la direcci´ n de propagaci´ n de la onda (la direcci´ n o o ox en este sencillo ejemplo). Introduciendo la soluci´ n de prueba (2.29) en la ecuaci´ n de ondas (2.28) se obtiene o o 2 ∇2 A w w 2 w ∇A − ∇Γ · ∇Γ + −i 2 · ∇Γ + ∇2 Γ =0 (2.30) A c0 c c0 A
  • 18. ´ ´CAPITULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDAS 15Esta ecuaci´ n es tan complicada que aparentemente el tratamiento de ondas por rayos no ofrece oninguna ventaja. Sin embargo (w/c0 )2 es la longitud de onda al cuadrado. Vemos que si la longitudde onda es mucho mas peque˜ a que las longitudes caracter´sticas de variaci´ n de A o Γ en el problema n ı olos dos t´ rminos dominantes en la ecuaci´ n resultan ser el segundo y el tercero. La ecuaci´ n (2.30) e o oadopta entonces la forma simplificada ∇Γ · ∇Γ = n2 (2.31)donde c0 n(x, y, z) = (2.32) c(x, y, z)es el denominado ´ndice de refracci´ n. La ecuaci´ n (2.31) se conoce como ecuaci´ n de la Eikonal, ı o o oy las simplificaciones que introduce ya s´ que justifican el tratamiento de las ondas por rayos. La ıecuaci´ n de la Eikonal implica que ∇Γ debe tener la forma o ∇Γ = n (cos θx i + cos θy j + cos θz k) (2.33)donde cos θx , cos θy y cos θz representan los cosenos directores del vector ∇Γ, paralelo en todos lospuntos a los rayos. Si llamamos s a la distancia medida a lo largo de un rayo, la derivada del vector∇Γ con respecto a s viene dada por la ecuaci´ n 1 o d (∇Γ) = ∇n (2.34) dsque es precisamente la ecuaci´ n (2.27). o2.4.3. La ley de Snell Un resultado muy potente que se deriva de (2.27) es la conocida como Ley de Snell. Sepuede obtener un enunciado simple de esta ley si consideramos que la velocidad del sonidoes s´ lo funci´ n de x. Si nos restringimos por sencillez a la propagaci´ n en el plano x, y, el o o ovector ∇Γ se puede escribir ∇Γ = n(cos ϕ i + sen ϕ j) (2.35)donde ϕ es el angulo de elevaci´ n del rayo sobre la horizontal, definida por el eje x. En el ´ ocaso n = n(x) las dos componentes de (2.27) se reducen a d c0 d c0 c0 dc sen ϕ = 0, cos ϕ =− . (2.36) ds c ds c c2 dxIntegrando la primera ecuaci´ n se obtiene la siguiente relaci´ n o o sin ϕ = cte, (2.37) c(x) 1 La demostraci´ n de este resultado puede encontrarse en el libro de Kinsler et al. [1, Sec. 5.13] o
  • 19. ´ ´CAPITULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDAS 16que constituye uno de los enunciados de la ley de snell. Esta ley establece que la direcci´ n oen que se propaga un rayo, ϕ, queda determinada de manera un´voca una vez conocida la ıdirecci´ n ϕ0 del rayo en otra posici´ n x0 donde la velocidad del sonido c0 es conocida: o o sin ϕ sin ϕ0 = (2.38) c(x) c0Conviene destacar que (2.38) sigue siendo v´ lida incluso si la funci´ n c(x) es discontinua. a oComo veremos m´ s abajo esto permite, por ejemplo, ligar los angulos de la onda incidente a ´y transmitida en la incidencia oblicua de una onda plana en la interfase con un fluido dedistintas propiedades. o o ´2.5. Transmisi´ n y reflexi´ n de las ondas acusticas Cuando una onda plana viaja en un medio 1 e incide sobre la superficie de separaci´ n ocon otro medio 2, la onda sufre en general una reflexi´ n y una refracci´ n, produci´ ndose dos o o enuevas ondas cuyas amplitudes y fases son en general distintas a las de la onda incidente.Parte de la energ´a transportada por la onda incidente contin´ a propag´ ndose por el segundo ı u amedio, dando lugar a lo que se conoce como onda transmitida, mientras que otra parterebota en la entrefase entre los dos medios y vuelve como una onda reflejada en sentidocontrario a la original. De este modo, en el medio 1 el movimiento resulta de la superposici´ n ode dos ondas (la incidente y la reflejada) mientras que en el medio 2 s´ lo hay una (la onda otransmitida o refractada). La relaci´ n existente entre estas tres ondas viene determinada por olas condiciones de contorno en la superficie de separaraci´ n. Estas condiciones de contorno ose resumen en que la presi´ n y la velocidad normal a la entrefase deben ser continuas a trav´ s o ede la misma.2.5.1. Coeficientes de transmisi´ n y reflexi´ n o o Si p i es la presi´ n compleja de la onda incidente y p t y p r las de las ondas transmitidas ′ o ′ ′y reflejadas, respectivamente, podemos definir los coeficientes de transmisi´ n y reflexi´ n o ode presi´ n, que en general ser´ n complejos, como o a pt ′ p ′r T = ′, R= ′. (2.39) pi piTambi´ n se suelen usar los coeficientes de transmisi´ n y reflexi´ n de intensidad denotados e o opor TI y RI respectivamente, definidos como los cocientes entre las intensidades de la ondaincidente y las transmitidas y reflejadas respectivamente, It Ir TI = , RI = . (2.40) Ii IiEstos coeficientes son reales y pueden expresarse en funci´ n de los anteriores como o ρ01 c1 2 TI = |T | , RI = |R|2 (2.41) ρ02 c2
  • 20. ´ ´CAPITULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDAS 17 En general no tendremos ondas planas, sino haces de sonido, pero vimos en la secci´ n oanterior que cuando el area de la secci´ n de los haces es grande frente a la longitud de onda, ´ oestos se comportan como una onda plana en un dominio finito; en ese caso los coeficientesde transmisi´ n y reflexi´ n son igualmente aplicables. Evidentemente, aun teniendo un haz o oque cumpla las condiciones de rayo, si el objeto que provoca la reflexi´ n es de tama˜ o o ncomparable a la longitud de onda se producen interferencias (difracci´ n) y las relaciones oque presentamos aqu´ dejan de ser aplicables. ı Un par´ metro importante en un haz de sonido es la potencia que transmite el haz. Esta a ´se calcula multiplicando la intensidad del haz por su area de secci´ n. De manera an´ loga a ´ o ala presi´ n e intensidad se pueden definir coeficientes de transmisi´ n y reflexi´ n de potencia, o o oTπ y Rπ , que no coincidir´ n en general con los de intensidad, porque aunque el area del haz a ´reflejado es igual al area del incidente (Ai ), cuando el haz incide oblicuamente a la entrefase ´el haz transmitido tiene un area distinta (At ), de donde ´ At ρ01 c1 2 Tπ = |T | , Rπ = |R|2 (2.42) Ai ρ02 c2Como consecuencia de la conservaci´ n de la energ´a, la potencia del rayo incidente debe o ırepartirse entre los rayos transmitido y reflejado, luego se debe cumplir que Tπ + Rπ = 1. (2.43)2.5.2. Incidencia normal en un fluido Los coeficientes de transmisi´ n y reflexi´ n para el caso de incidencia normal en la fron- o otera entre dos fluidos se obtienen de aplicar el hecho de que tanto la presi´ n como la veloci- odad normal a la frontera han de ser continuas en la dicha frontera, y resultan ser 1 − r1 /r2 2 Rπ = , TI = , (2.44) 1 + r1 /r2 1 + r1 /r2donde se han definido las impedancias ri = ρi ci . Los coeficientes de transmisi´ n y reflexi´ n o ode intensidad son 2 1 − r1 /r2 r1 /r2 RI = , TI = 4 , (2.45) 1 + r1 /r2 (1 + r1 /r2 )2que son iguales a los de potencia, puesto que el area de los tres haces es igual en este caso. ´ El coeficiente de reflexi´ n es positivo cuando r1 < r2 , y negativo en caso contrario, lo ocual implica que en la frontera entre los dos fluidos la onda reflejada puede o bien estaren fase con la onda incidente o bien desfasada 180o con ella. Por el contrario, T siemprees positivo, por lo que en la frontera la onda transmitida siempre est´ en fase con la onda aincidente.
  • 21. ´ ´CAPITULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDAS 18 1 2 ONDA INCIDENTE ONDA TRANSMITIDA ONDA REFLEJADAFigura 2.4: Reflexi´ n y refracci´ n por la incidencia normal de una onda en una frontera de o odos fluidos.2.5.3. Incidencia oblicua en un fluido Cuando una onda incide oblicuamente formando un angulo θi con la frontera de sep- ´araci´ n entre dos fluidos como muestra la figura, resulta que de aplicar la continuidad de opresiones obtenemos que el angulo de la onda reflejada, θr , debe cumplir ´ sen θi = sen θr , (2.46)mientras que por la ley de Snell el angulo de la onda transmitida, θt , viene dado por ´ sen θi sen θt = . (2.47) c1 c2 √Utilizando ahora la relaci´ n trigonom´ trica cos θt = 1 − sen2 θt junto con la expresi´ n o e oanterior se obtiene cos θt = 1 − (c2 /c1 )2 sin2 θi . (2.48)Este resultado permite extraer una importante conclusion. Para que exista onda transmitidadebe cumplirse la relaci´ n o sen θi c2 < 1. (2.49) c1Como vemos, es posible que esta ultima ecuaci´ n no tenga soluci´ n, lo cual ocurrir´ para ´ o o aangulos de incidencia θi tales que´ c1 sen θi > , (2.50) c2en cuyo caso no existir´ onda transmitida y se producir´ una reflexi´ n total. Existe por tanto a a oun angulo de incidencia cr´tico θc , definido por ´ ı c1 θc = arcsen , (2.51) c2tal que para angulos de incidencias mayores no existe onda transmitida. ´
  • 22. ´ ´CAPITULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDAS 19 1 2 θr θt θiFigura 2.5: Reflexi´ n y refracci´ n por la incidencia oblicua de una onda en una frontera de o odos fluidos. Aunque podr´a parecer que siempre deber´a existir onda reflejada, esto no es cierto. De ı ıaplicar continuidad en la componente normal de la velocidad obtenemos la siguiente expre-si´ n para el coeficiente de reflexi´ n R, que solo es aplicable cuando existe onda transmitida, o osiendo igual a uno en caso contrario, (ρ2 c2 /ρ1 c1 ) − (cos θt / cos θi ) R= . (2.52) (ρ2 c2 /ρ1 c1 ) + cos θt / cos θiVemos que cuando ρ2 c2 /ρ1 c1 = cos θt / cos θi el valor de R es igual a cero por lo que deja deexistir onda reflejada y toda la onda es transmitida. Eliminando cos θt obtenemos el valor delangulo de incidencia θI para el que esto ocurre, llamado angulo de intromisi´ n, que viene´ ´ odado por 1 − (ρ1 c1 /ρ2 c2 )2 sen θI = . (2.53) 1 − (ρ1 /ρ2 )22.6. Absorci´ n de las ondas sonoras o Aunque no ha habido ninguna menci´ n sobre el efecto de la disipaci´ n del sonido debido o oa que hemos considerado en todo momento que los fluidos eran ideales, finalmente una ondasonora va perdiendo amplitud hasta que finalmente es disipada convirti´ ndose en energ´a e ıt´ rmica. Las causas de esta disipaci´ n se encuentran tanto en el seno del propio fluido como e oen la frontera de este fluido con superficies s´ lidas u otros fluidos que se hacen importantes oen medios porosos, en tubos finos o en conductos peque˜ os. Las causas de estas p´ rdidas son n evarias, siendo las mas importantes las p´ rdidas por viscosidad, las p´ rdidas por conducci´ n e e ot´ rmica y las p´ rdidas por intercambios moleculares. e e Un estudio completo del efecto de estas p´ rdidas cae fuera del objetivo de estas notas. eAqu´ solo queremos se˜ alar que el efecto m´ s importante es en su forma m´ s simple provocar ı n a a
  • 23. ´ ´CAPITULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDAS 20un decaimiento en la amplitud de tipo exponencial, de manera que la soluci´ n en lugar de oser por ejemplo una onda plana es de la forma p ′ = A′ exp[i(wt − kx)] exp(−x/δ) (2.54)donde δ es una distancia caracter´stica de relajaci´ n que depende en general de la frecuen- ı ocia. Normalmente los fen´ menos de disipaci´ n de la energ´a ac´ stica ocurren a lo largo de o o ı umuchas longitudes de onda, siendo por tanto δ ≫ λ.2.7. Ejercicios y cuestiones 1. Repita el problema 3 del cap´tulo anterior usando esta vez la impedancia compleja. ı 2. Calcule num´ ricamente la suma de tres sonidos de frecuencias y fases arbitrarias en un e punto fijo del espacio. Calcule (I1 + I2 + I3 )2 y compare este valor con I1 + I2 + I3 . 2 2 2 3. Considerando la propagaci´ n de un rayo en el eje x, y, demuestre que si la velocidad o del sonido c es s´ lo funci´ n de x, entonces dϕ/ds = (sin ϕ0 /c0 ) dc/dx, con ϕ = ϕ0 o o para c = c0 , donde ϕ es el angulo de elevaci´ n del rayo sobre la horizontal. Determine ´ o el radio de curvatura R del rayo en el caso dc/dx = cte. 4. Calcule los angulos de reflexi´ n y refracci´ n de una onda plana que viaja en el aire e ´ o o incide con un angulo de incidencia de 30o sobre el agua. ´
  • 24. Cap´tulo 3 ıAn´ lisis en frecuencia a3.1. Superposici´ n de soluciones o Debido a la linealidad de la ecuaci´ n de ondas, si tenemos dos soluciones de la forma o p ′1 = A 1 exp[i(w1 t − k1 x)], ′ (3.1) p ′2 = A 2 exp[i(w2 t − k2 x)], ′ (3.2)la suma p 12 = p1 + p2 tambi´ n es soluci´ n de la ecuaci´ n. Esta nueva soluci´ n no tendr´ una ′ e o o o afrecuencia definida, sino que ser´ la suma de dos ondas de frecuencias distintas. Se dice que ala nueva onda p ′12 contiene dos arm´ nicos de frecuencias w1 y w2 . En general podemos oobtener una onda con tantos arm´ nicos como queramos simplemente sumando otras tantas oondas elementales de frecuencias puras. En lo que sigue supondremos que estamos en un punto fijo del espacio y analizaremos lapresi´ n en dicho punto como funci´ n del tiempo. Consideraremos por tanto arm´ nicos de la o o oforma p ′n = An ′ exp(iwn t). (3.3)3.2. Descomposici´ n en arm´ nicos o o Los resultados de la secci´ n anterior son m´ s o menos triviales, y se pueden resumir o acomo sigue: sumando ondas de frecuencia pura (tonos puros) podemos obtener distintasondas sonoras que no son puras. Sin embargo, tambi´ n se puede demostrar en sentido inverso egracias al an´ lisis de Fourier: cualquier onda puede descomponerse como suma de ondas de afrecuencia pura (tonos puros o arm´ nicos). En general, har´ n falta infinitos arm´ nicos para o a oreconstruir una onda gen´ rica f (t), esto es e f (t) = A 1 exp(iw1 t) + A ′2 exp(iw2 t) + A 3 exp(iw3 t) + · · · ′ ′ (3.4) 21
  • 25. ´ ´CAPITULO 3. ANALISIS EN FRECUENCIA 223.3. Funciones peri´ dicas y desarrollo de Fourier o En vista de los resultados de la secci´ n anterior, nos planteamos ahora el siguiente pro- oblema: dada una funci´ n f (t) peri´ dica de per´odo T deseamos calcular los arm´ nicos de o o ı oforma que, multiplicados por ciertos coeficientes y sumados, nos den la funci´ n original of (t). Para ello, suponemos que f (t) puede desarrollarse como suma de arm´ nicos, o ∞ f (t) = An exp(iwn t). (3.5) n=−∞N´ tese que, en principio, la funci´ n f (t) puede ser compleja. A este desarrollo se le llama o odesarrollo de Fourier para funciones peri´ dicas, y a los coeficientes An , que en general son on´ meros complejos, se les llama coeficientes de Fourier. Al ser la funci´ n f (t) peri´ dica de u o operiodo T , se puede demostrar que los arm´ nicos tambi´ n han de serlo. Esto implica que las o efrecuencias wn s´ lo pueden ser las siguientes, o 2π 4π 2πn wn = 0, , , ··· , , ··· (3.6) T T Tluego el desarrollo para f (t) queda de la forma, ∞ i2πnt f (t) = An exp . (3.7) n=−∞ TPara calcular los coeficientes An aplicamos la condici´ n de ortogonalidad de las funciones obase. Multiplicando los dos miembros de (3.7) por exp(−iwm t) e integrando en un per´odo, ıse obtiene T ∞ T −i2πmt i2π(n − m)t f (t) exp dt = An exp dt. (3.8) 0 T n=0 0 TLa integral del t´ rmino de la derecha se anula si m = n, al tratarse de la integral de una efunci´ n peri´ dica sobre un per´odo, s´ lo es distinta de cero si m = n, en cuyo caso o o ı o T −i2πnt f (t) exp dt = T An , (3.9) 0 Tde donde se obtiene finalmente la conocida expresi´ n para los coeficientes de Fourier, o T 1 −i2πnt An = f (t) exp dt. (3.10) T 0 T Es interesante estudiar lo que sucede cuando el per´odo de f (t) tiende a infinito. Lo ıprimero que se observa es que la diferencia wn − wn+1 entre los valores de las frecuenciasde dos arm´ nicos consecutivos tiende a cero, de forma que cabe esperar que el desarrollo ode Fourier de una se˜ al no peri´ dica contenga un espectro de frecuencias continuo. Lo n o
  • 26. ´ ´CAPITULO 3. ANALISIS EN FRECUENCIA 23segundo es que la amplitud de los arm´ nicos An tiende a cero, lo que significa que los oarm´ nicos individuales cuentan cada vez menos a la hora de evaluar la se˜ al. Esto es l´ gico si o n opensamos que en una cierta regi´ n del espacio de las frecuencias, de espesor δw, se acumula oun n´ mero creciente de arm´ nicos al aumentar el periodo T , n´ mero que se hace infinitos u o uen el l´mite T → ∞. De este modo, si queremos que su suma total sea finita, la amplitud de ıcada uno debe de tender a cero. En la siguiente figura se muestran los arm´ nicos de una onda cuadrada de amplitud ounidad y periodo 2π, cuyo desarrollo de Fourier viene dado por f (t) = ∞ An sen(nt) n=0con An = 4/nπ para n impar y An = 0 para n par (la demostraci´ n se deja como ejercicio oal lector). n=1 n=3 n=5 1.5 1.5 1.5 1 1 1 0.5 0.5 0.5 0 0 0−0.5 −0.5 −0.5 −1 −1 −1−1.5 −1.5 −1.5 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 x/π x/π x/π n=7 n=9 n = 11 1.5 1.5 1.5 1 1 1 0.5 0.5 0.5 0 0 0−0.5 −0.5 −0.5 −1 −1 −1−1.5 −1.5 −1.5 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 x/π x/π x/πFigura 3.1: Representaci´ n de Fourier de una onda cuadrada utilizando n = 1, 3, 5, 7, 9 y 11 oarm´ nicos. o
  • 27. ´ ´CAPITULO 3. ANALISIS EN FRECUENCIA 243.4. Espectro continuo. Transformada de Fourier Los resultados de la secci´ n anterior sugieren c´ mo se debe actuar para calcular la des- o ocomposici´ n en arm´ nicos de una funci´ n no peri´ dica. A la funci´ n que da la amplitud o o o o ode un arm´ nico de frecuencia dada cuando el espectro es continuo se llama transformada ode Fourier. Vemos pues que la transformada de Fourier es una funci´ n distinta para cada oonda, y que asocia para cada valor de frecuencia un n´ mero que representa la amplitud del uarm´ nico de dicha frecuencia en la onda original, como se representa en la siguiente ecuaci´ n o o ∞ f (t) = f (w) exp(iwt)dw. (3.11) −∞La transformada inversa de Fourier permite obtener de forma expl´cita los coeficientes ı ∞ 1 f (w) = f (t) exp(−iwt)dt. (3.12) 2π −∞3.5. Teorema de Parseval y espectro de frecuencias Es f´ cil demostrar la siguiente ecuaci´ n: a o ∞ ∞ ∗ 1 f (t)f (t)dt = f (w)f ∗ (w)dw, (3.13) −∞ 2π −∞que se conoce como el teorema de Parseval, y relaciona la energ´a de una se˜ al como integral ı nen el tiempo con la energ´a en el dominio de la frecuencia. Esto permite asociar al valor de ıf (w)f ∗ (w)dw/2π como la cantidad de energ´a contenida en un intervalo de frecuencias dw ıen torno a w. El conocimiento de las bandas de octava de un sonido gen´ rico es una informaci´ n muy e outil, pues el contenido en frecuencias de un sonido, como se ver´ mas adelante, es fundamen-´ atal a la hora de caracterizarlo. El espectro de frecuencias de un sonido real siempre decae parafrecuencias altas, por lo que a veces se suele dibujar el logaritmo de la densidad de energ´a ıcomo funci´ n de la frecuencia, log[f (w)f (w)]. La figura 3.2 representa el espectro t´pico o ∗ ıde un ruido.3.6. Ejercicios y cuestiones 1. Represente gr´ ficamente el primer arm´ nico de la descomposici´ n de Fourier de una a o o onda cuadrada. Represente a continuaci´ n tres, cinco, diez y veinte arm´ nicos. Com- o o pruebe que a pesar de las discontinuidades que presenta una onda cuadrada, que po- dr´an inducir a pensar que los arm´ nicos de altas frecuencias son importantes, la ampli- ı o tud de los arm´ nicos va decreciendo con la frecuencia. Compruebe que en los puntos o de discontinuidad el desarrollo tiende al valor intermedio.
  • 28. ´ ´CAPITULO 3. ANALISIS EN FRECUENCIA 25 2 log(|f(w)| ) w Figura 3.2: Espectro t´pico de un ruido. ı 2. Calcule el espectro de Fourier para ondas cuadradas de distintos periodos. Observe c´ mo al crecer el periodo los distintos arm´ nicos se van juntando y su amplitud va o o decreciendo, de manera que al hacer tender el periodo a infinito, lo que se corresponde con una onda no peri´ dica el espectro de frecuencias tiende hacia el continuo. o 3. Represente los arm´ nicos de la onda cuadrada pero con una fase arbitraria. Pese a o que esto no se parece en nada a una onda cuadrada, curiosamente el o´do humano no ı distingue entre las fases de manera que esta onda la percibimos exactamente igual que una onda cuadrada.
  • 29. Cap´tulo 4 ıModelos de Fuentes sonoras4.1. Modelo de esfera pulsante Consideremos una esfera de radio a que est´ pulsando peri´ dicamente, es decir, aumen- a otando y disminuyendo de radio de manera peri´ dica con cierta amplitud. Supondremos que ola amplitud de las pulsaciones es mucho menor que el radio de la esfera, de manera que este-mos dentro de la aproximaci´ n de la ac´ stica lineal. El objetivo es calcular el campo ac´ stico o u ugenerado en el exterior de la esfera pulsante. Como hemos visto en cap´tulos anteriores la soluci´ n con simetr´a esf´ rica a la ecuaci´ n ı o ı e ode ondas tiene de la forma A′ p ′ (r, t) = exp[i(wt − kr)], (4.1) rque ser´ la soluci´ n al problema una vez hayamos determinado la constante A ′ . Para cal- a ocular esta constante debemos imponer la condici´ n de contorno en la superficie de la esfera opulsante, donde la velocidad es conocida, u(a, t) = U0 exp[i(wt + φ)]. (4.2)La presi´ n en la superficie de la esfera la obtenemos sin m´ s que multiplicar la velocidad o apor la impedancia ac´ stica evaluada en r = a. La impedancia ac´ stica es, como sabemos, la u ucorrespondiente a una onda esf´ rica evaluada en r = a, e Z(a) = ρ0 c0 cos ψa exp(iψa ), (4.3)donde, como vimos en el cap´tulo 2, ı 1 ψa = arcsen . (4.4) 1 + (ka)2As´ pues la presi´ n a una distancia r del centro de la fuente viene dada por ı o a p ′ (r, t) = ρ0 c0 U0 cos ψa exp[i(wt − k(r − a) + ψa + φ)]. (4.5) r 26
  • 30. ´CAPITULO 4. MODELOS DE FUENTES SONORAS 27La intensidad ac´ stica media es u 1 2 a 2 I = ρ0 c0 U0 cos2 ψa . (4.6) 2 rEs interesante observar que cuando ka → 0 la intensidad tiende a cero, de modo que unaesfera cuyo radio sea muy peque˜ o comparado con la longitud de onda del sonido que emite napenas radia energ´a ac´ stica. ı u4.2. Fuente lineal sonora En esta secci´ n consideraremos el campo ac´ stico generado por una varilla de dimensi´ n o u olongitudinal L y radio nulo como muestra la figura 3.1. Aunque no es muy dif´cil obtener ıanal´ticamente el campo ac´ stico generado por una varilla pulsante de dimensi´ n finita, el ı u odesarrollo matem´ tico se sale de los objetivos de este documento introductorio. Sin embargo, as´ se debe mencionar que el procedimiento es realizar una serie de simplificaciones que ıpermiten escribir la amplitud del campo ac´ stico a distancias grandes comparadas con las udimensiones de la varilla como el producto de dos funciones, una depende s´ lo de la distancia oa la varilla, y la otra depende del angulo al eje de la varilla, como muestra la figura 3.1, ´ p ′ (r, θ, t) = Pax (r)H(θ) exp[i(wt − kr)]. (4.7) ´Este procedimiento se usa frecuentemente para describir el campo acustico lejano de fuentescomplicadas. Para la varilla se puede obtener una expresi´ n anal´tica para estas funciones, o ıresultando 1 a sen v Pax (r) = ρ0 cU0 kL, H(θ) = , (4.8) 2 r vdonde v = 1/2kLsenθ. Es com´ n representar gr´ ficamente las funciones H(θ) como funci´ n del angulo para u a o ´obtener una idea significativa de las direcciones en las que el sonido va a ser m´ s fuerte. aEs mas com´ n representar 20 log H(θ). A estos gr´ ficos se les denomina patrones de rayos. u aEn los ejercicios propuestos al final de esta lecci´ n se invita al alumnos a que represente el opatr´ n de rayos tanto para la varilla como para el pist´ n pulsantes. o o4.3. Pist´ n pulsante o En esta secci´ n consideraremos el campo ac´ stico generado por un pist´ n plano pul- o u osante de radio a, como muestra la figura 3.2. Al igual que con la varilla, se puede obteneruna expresi´ n anal´tica para el campo ac´ stico generado pero aqu´ nos limitaremos a dar o ı u ıla expresi´ n para las funciones Pax (r) que coincide con la expresi´ n para la varilla, y para o oH(θ), 1 a 2J1 (v) Pax (r) = ρ0 cU0 kL, H(θ) = , (4.9) 2 r vdonde v = ka sen(θ) y J1 (v) es la funci´ n de Bessel de primera clase y orden 1. o
  • 31. ´CAPITULO 4. MODELOS DE FUENTES SONORAS 28 kL=24 0.1 abs(sin(12.*sin(t))/(12.*sin(t))) 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Figura 4.1: Patron de rayos para la varilla vibrante con kL = 24. ka=10 0.15 abs(2.*besj1(10.*sin(t))/(10.*sin(t))) 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.15 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Figura 4.2: Patron de rayos para el piston pulsante con ka = 10.4.4. Factor de directividad Como hemos visto, las fuentes sonoras no radian sonido por igual en todas las direc-ciones. La potencia total Π radiada por una fuente proviene de integrar la intensidad de laenerg´a sonora en una superficie cerrada que contenga la fuente. Si descomponemos la pre- ısi´ n en el campo lejano como hemos hecho para la varilla y el pist´ n en una funci´ n que o o odepende del radio por una funci´ n que depende de los angulos tenemos: o ´ 1 1 2 2 Π= P 2 (r, θ, φ)r 2dΩ = r Pax H 2 (θ, φ)dΩ, (4.10) 2ρ0 c0 4π 2ρ0 c0 4πdonde hemos escogido una esfera de radio r para integrar y dΩ es el diferencial de angulo ´s´ lido. Si esta fuente radiara igual en todas las direcciones entonces la intensidad Io que ohabr´a a una distancia r no depender´a de los angulos y ser´a ı ı ´ ı Π .Io = (4.11) 4πr 2Se define el factor de directividad de una fuente en una determinada direcci´ n como el ocociente entre la intensidad de energ´a sonora realmente radiada en esa direcci´ n Ir y la que ı o
  • 32. ´CAPITULO 4. MODELOS DE FUENTES SONORAS 29radiar´a si la fuente fuese omnidireccional Io . El factor de directividad se designa por la letra ıQ y no tiene dimensiones: Ir Q= . (4.12) Io4.5. Ejercicios y cuestiones 1. Represente gr´ ficamente mediante ordenador las funciones H(θ) y 20 log H(θ), para a la varilla y el pist´ n pulsante. o 2. Calcular el factor de directividad para una fuente que radia de manera is´ tropa pero o solo en un semiespacio.
  • 33. Cap´tulo 5 ıSumario de t´ rminos e En esta secci´ n vamos a concretar y resumir todas las magnitudes que caracterizan el osonido. Muchos de los conceptos ya han quedado explicados anteriormente, pero los repe-tiremos aqu´ para que esta secci´ n sirva de referencia y contenga todas las magnitudes im- ı oportantes, por lo que no ser´ n explicados en detalle. a5.1. Velocidad del sonido Es la velocidad a la que se propagan las perturbaciones en un medio material el´ stico. La avelocidad del sonido depende de la densidad y del grado de elasticidad del medio a trav´ s edel cual se transmite. En el caso de un gas ideal, como puede ser considerado el aire, hemosvisto que ∂p c2 = 0 , (5.1) ∂ρ Spero, del primer principio de termodin´ mica para procesos reversibles, a p du = T dS − pd(1/ρ) → cv dT = −pd(1/ρ) → cv d = −pd(1/ρ), (5.2) Rg ρy usando que Rg = cp − cv y γ = cp /cv , tenemos, para un gas ideal, γp c0 = = γRg T . (5.3) ρ En el aire y en condiciones normales de presi´ n y temperatura (p = 1 atm T = 300K), oresulta ser c0 = 344 m/s.5.2. Frecuencia, per´odo, longitud de onda y tonos puros ı La frecuencia es el n´ mero de ciclos que ocurren en la unidad de tiempo en una posici´ n u odel espacio fija. La unidad es el ciclo o Hercio (Hz) y se representa por f . Algunas veces se 30
  • 34. ´ ´CAPITULO 5. SUMARIO DE TERMINOS 31usa el concepto de frecuencia angular, la cual est´ relacionada con la frecuencia mediante ala expresi´ n w = 2πf . Si tenemos una onda sonora de la forma p′ = sin(wt + kx), la ofrecuencia angular es w. El o´do humano s´ lo es capaz de ser excitado por sonidos cuya frecuencia est´ compren- ı o edida entre 20 y 20.000 Hz, conoci´ ndose a los sonidos de frecuencia menor de 20 Hz como einfrasonidos y a los de frecuencia mayor a 20.000 Hz como ultrasonidos. La frecuencia nos indica el tono de un sonido, y nos ayuda a diferenciar subjetivamentelos sonidos de baja frecuencia (tono grave) de los de alta frecuencia (tono agudo). En generalel sonido estar´ compuesto por una suma de sonidos de distintas frecuencias, si el sonido solo acontiene una frecuencia se le llama tono puro. El per´odo (T ) es la inversa de la frecuencia, ıT = 1/f . An´ logamente al caso de una onda del tipo p ′ = sen(wt + kx), donde w representa la afrecuencia angular, k representa el numero de ondas angular, y la cantidad K = k/2π, ´ ´el numero de ondas, que es el n´ mero de ciclos que ocurren en la unidad de espacio para uun instante de tiempo determinado. La inversa de K es la longitud de onda λ = 1/K, yrepresenta la distancia espacial que hay entre dos picos consecutivos de una onda peri´ dica. oLa longitud de onda se relaciona con la frecuencia y la velocidad del sonido mediante laexpresi´ n λ = c0 /f . o5.3. Presi´ n sonora o Se define la presi´ n sonora como la variaci´ n de presi´ n producida en un punto como o o oconsecuencia del paso de una onda sonora que se propaga a trav´ s del medio. Es decir, lo eque hemos llamando p ′ en estos apuntes. Como el valor medio en el tiempo de la presi´ n osonora normalmente es nulo, para cuantificar la amplitud de la variaci´ n se utiliza la presi´ n o oeficaz (Prms ), que es la ra´z cuadrada del valor cuadr´ tico medio de la presi´ n sonora: ı a o T 1 Prms = p ′2 (t)dt. (5.4) T 0En el caso de ondas sinusoidales, se tiene: p′ Prms = √0 , (5.5) 2siendo p 0 el valor m´ ximo, o amplitud, de la presi´ n sonora. ′ a o Las variaciones de presi´ n m´ s peque˜ as que son audibles por el ser humano tienen un o a nvalor eficaz de aproximadamente 2 · 10−4 µbar (2 · 10−5 Pa). Para una presi´ n media eficaz omayor de 200 µbar (20 Pa) aparecen efectos dolorosos en el o´do humano. ı5.4. Velocidad de las part´culas fluidas ı Si observamos la ecuaci´ n (1.4), e introducimos para la presi´ n la expresi´ n para la o o odiferencia de presiones o presi´ n sonora, p = p 0 sen(kx − wt), y sabiendo que la velocidad o ′ ′
  • 35. ´ ´CAPITULO 5. SUMARIO DE TERMINOS 32de las part´culas fluidas es u = dξ/dt, tenemos: ı ∂p ′ ∂u k ′ p′ = −ρ0 = kp ′0 cos (kx − wt) → u = p 0 sen (kx − wt) = , (5.6) ∂x ∂t ρ0 w c0 ρ0luego u = p ′ /c0 ρ0 , y tenemos relacionada la velocidad con la presi´ n sonora para una onda osinusoidal. Esta relaci´ n es completamente v´ lida sea o no la onda sinusoidal, bastando con o aque p = f (x − ct). Un valor t´pico de la impedancia ac´ stica es ρ0 c0 = 413 kg/m2 s para el ′ ı ucaso del aire a temperatura y presi´ n ambientes. o5.5. Intensidad, potencia y densidad de energ´a sonora ı La energ´a sonora que atraviesa por unidad da tiempo la unidad de superficie perpen- ıdicular a la direcci´ n de propagaci´ n se denomina intensidad sonora y viene dada por la o oexpresi´ n o I = |p′ u| (5.7)donde las barras verticales indican que estamos haciendo la media temporal. Es f´ cil ver que apara una onda plana la intensidad sonora es 2 Prms I= . (5.8) ρ0 c0 La potencia sonora (W ) a trav´ s de un area muy peque˜ a ∆A es el producto de la e ´ nintensidad sonora por ese area, ´ 2 Prms ∆W = I ∆A = ∆A. (5.9) ρ0 c0Si queremos calcular la potencia sonora a trav´ s de un area grande, la dividimos en areas lo e ´ ´suficientemente peque˜ as para que la intensidad sonora sea constante en ellas, y sumamos ntodas las potencias que pasan por cada una de ellas: W = Ii ∆Ai , (5.10) idonde el sub´ndice i nombra a cada una de las sub´ reas. Por ejemplo, si tenemos una inten- ı asidad uniforme (no depende del espacio), la potencia sonora que atraviesa un area igual a A ´perpendicularmente a la direcci´ n de propagaci´ n es o o W = AI. (5.11) La densidad de energ´a sonora (D) se define como la cantidad de energ´a sonora con- ı ıtenida en la unidad de volumen del medio, se mide en J/m3 , y se expresa para una intensidadde energ´a sonora uniforme como ı P2 D = rms . (5.12) ρ0 c2 0
  • 36. ´ ´CAPITULO 5. SUMARIO DE TERMINOS 335.6. Factor de directividad Las fuentes sonoras, bien sea por su propia naturaleza o por su situaci´ n en el espacio, ono radian la misma cantidad de energ´a en todas las direcciones. En general la radiaci´ n se ı opuede concentrar en una cierta direcci´ n o direcciones y se aparta del patr´ n de radiaci´ n o o oesf´ rico u omnidireccional. e Se define como factor de directividad de una fuente en una determinada direcci´ n al ocociente entre la energ´a (intensidad de energ´a sonora) realmente radiada en esa direcci´ n y ı ı ola que radiar´a (para una misma potencia total) si la fuente fuese omnidireccional. Se designa ıpor la letra Q y no tiene dimensiones: Ir Q= , (5.13) Iodonde Ir es la intensidad de energ´a en esa direcci´ n y Io es la intensidad que se radiar´a para ı o ıel caso de radiaci´ n is´ tropa. o o Veamos para fijar ideas un ejemplo sencillo de c´ mo se calcular´a el factor de directividad o ıpara una fuente sonora arbitraria. Primero elegimos una superficie esf´ rica alrededor de la efuente sonora (A), luego dividimos esta superficie esf´ rica en superficies peque˜ as donde la e nintensidad sonora sea uniforme (∆Ai ). Medimos todas las intensidades sonoras (Ii ) en cadauna de las superficies peque˜ as. A continuaci´ n calculamos la potencia total radiada multi- n oplicando las intensidades calculadas por las superficies y sumando (W = i Ii ∆Ai ). A con-tinuaci´ n calculamos la intensidad que radiar´a la fuente esf´ rica homog´ nea (I0 = W/A). o ı e eFinalmente calcular´amos los factores de directividad en esas direcciones (Qi = Ii /I0 ). ı5.7. El decibelio Si se tiene en cuenta que el margen de presi´ n sonora que el o´do humano es capaz o ıde interpretar se extiende en un rango que comprende desde 2 · 10 P a hasta 20 P a, es −5evidente la imposibilidad de utilizaci´ n de una escala lineal de medida compuesta por un omill´ n de unidades. Adem´ s, es conocido que el organismo humano tiene una respuesta o aaproximadamente logar´tmica a los est´mulos sonoros. Por todo ello se recurre en ac´ stica a ı ı uexpresar las magnitudes en decibelios (unidad logar´tmica) al hablar de niveles de presi´ n, ı ointensidad y potencia. El Belio (B) es la divisi´ n fundamental de una escala logar´tmica utilizada para expresar o ıla relaci´ n de dos medidas de potencia. Se define el n´ mero de Belios como el logaritmo o udecimal del cociente entre las dos cantidades y es por lo tanto una magnitud que no tienedimensiones. Si W es la potencia que se considera, W0 es una potencia de referencia y N el n´ mero ude Belios que representa la relaci´ n W/W0 , entonces se tiene: o W N = log . (5.14) W0
  • 37. ´ ´CAPITULO 5. SUMARIO DE TERMINOS 34 Por ejemplo, si W es diez veces mayor que W0 la relaci´ n W/W0 ser´ 10 y log 10 = 1, o a 2si la relaci´ n es de 100, entonces log 100 = log 10 = 2, vemos pues que el Belio crece en ouna unidad cada vez que la magnitud de potencia se multiplica por diez. Por razones pr´ cticas se usa el decibelio (dB) que es la d´ cima parte de un Belio. Por a etanto el n´ mero de decibelios (n) es igual al n´ mero de Belios multiplicado por diez: u u W n = 10 log . (5.15) W0Como las intensidades ac´ sticas son directamente proporcionales a las potencias ac´ sticas u uque las producen, se dice que en un punto del espacio el nivel de intensidad es de n deci-belios, dados por la ecuaci´ n o I n = 10 log . (5.16) I0En general estos valores de decibelios para la intensidad y para la presi´ n no tienen porqu´ co- o eincidir. Su igualdad depende de los valores de referencia que se utilicen para intensidad ypotencia I0 y W0 . De igual manera, las potencias son proporcionales a los cuadrados de las presiones efi-caces, por lo que igual que hemos hecho para la intensidad podemos definir decibelios depresi´ n como: o 2 Prms Prms n = 10 log 2 = 20 log , (5.17) P0 P0y de igual manera estos decibelios corresponder´ n o no con los de potencia e intensidad adependiendo del valor que se tome para la presi´ n de referencia P0 . o Por acuerdo internacional se han tomado como valores de referencia las siguientes can-tidades: Potencia sonora W0 = 10−12 watios. Intensidad sonora I0 = 10−12 watios/m2 Presi´ n sonora P0 = 20 × 10−6 Pa (N/m2 ). oCuando se utilizan estas referencias normalizadas, los s´mbolos que se emplean interna- ıcionalmente para expresar respectivamente los niveles de presi´ n, intensidad y potencia son oLp , Li . Lw . En el aire, en condiciones normales, los niveles de presi´ n (Lp ) y de intensidad (Li ) son o 2 2 2num´ ricamente iguales debido a que I = Prms /ρ0 c0 = Prms /413 (donde I y Prms est´ n e amedidos en unidades S.I): 2 2 Prms Prms 2 Lp = 10 log 2 = 10 log = 94 + 10 log Prms , (5.18) P0 20 · 10−6 I P 2 /413 2 Prms Li = 10 log = 10 log rms = 10 log 2 = 93,9 + 10 logPrms , (5.19) I0 I0 413 · 10−12de manera que Lp ≃ Li .
  • 38. ´ ´CAPITULO 5. SUMARIO DE TERMINOS 355.8. Adici´ n de niveles de ruido o Cuando se superponen dos o m´ s sonidos de frecuencias distintas, estad´sticamente la a ıintensidad sonora resultante es la suma de las intensidades de cada uno de los sonidos, o loque es lo mismo, el cuadrado de la presi´ n sonora eficaz es la suma de los cuadrados de las opresiones sonoras eficaces de los distintos ruidos. Si queremos sumar tres ruidos de presiones eficaces P1 , P2 , P3 , tendremos: 2 2 2 P1 + P2 + P3 Lp = 10 log 2 . (5.20) P0 Por ejemplo, si sumamos dos ruidos de igual intensidad: 2 2 2P1 P1 Lp = 10 log 2 = 10 log 2 + 10 log(2) = Lp1 + 3,0103, P0 P0lo que nos indica que la suma de dos niveles sonoros iguales, sea el que fuere su valor, solose incrementa en 3 dB en el nivel sonoro global.5.9. Sonoridad La respuesta del o´do, adem´ s de no ser lineal en intensidad, tampoco lo es en frecuencia, ı aexistiendo una sensaci´ n diferente para tonos de igual nivel sonoro y distinta frecuencia. Esta osensaci´ n sonora o intensidad subjetiva es conocida como sonoridad. o Mediante ensayos subjetivos se han determinado las curvas de igual sonoridad dadas porRobinson y Dadson (1956, National Physical Laboratory, ISO 226, 1961) donde en abscisasse indican las frecuencias de los tonos puros que percibe el o´do humano y en ordenadas el ınivel de presi´ n sonora. Las curvas, que se muestran en la Fig. 5.1, unen puntos de igual osensaci´ n sonora, por ello llamadas is´ fonas, correspondiendo cada una a un n´ mero de o o uFonios igual al nivel de presi´ n sonora en decibelios a 1000 Hz. o La percepci´ n de sonoridad para sonidos complejos es asimismo compleja y es objeto de o ´estudio de la psicoacustica.
  • 39. ´ ´CAPITULO 5. SUMARIO DE TERMINOS 36Figura 5.1: Is´ fonas dentro del rango de audici´ n humano, obtenidas en un experimento en o ocampo abierto, de acuerdo con Robinson y Dadson. A 1000 Hz, el nivel de presi´ n sonora ocoincide con los decibelios. Se observa que el rango din´ mico y el humbral de audici´ n son a opeores en la regi´ n de bajas frecuencias del espectro. Asimismo, se observa que para altos oniveles de presi´ n sonora la dependencia con la frecuencia es menor (las curvas situadas m´ s o aarriba son m´ s planas que las de m´ s abajo). a a
  • 40. Referencias[1] L. E. Kinsler, A. R. Frey, A. B. Coppens y J. V. Sanders, Fundamentals of Acoustics, John Wiley & Sons, 1982.[2] M. Recuero, Ingenier´a Ac´ stica, Ed. Paraninfo, 2000. ı u[3] R. P. Feynman, R. B. Leighton y M. Sands, F´sica, Volumen I: Mec´ nica, Radiaci´ n y ı a o Calor, Addison-Wesley Iberoamericana, 1987.[4] A. Barrero y M. P´ rez-Saborid, Fundamentos y Aplicaciones de la Mec´ nica de Flui- e a dos, McGraw Hill, 2005.[5] L. D. Landau y E. M. Lifshitz, Curso de F´sica te´ rica. Tomo VI. Mec´ nica de fluidos, ı o a Revert´ , 1991. e[6] M. J. Moran y H. N. Shapiro, Fundamentos de Termodin´ mica T´ cnica, Revert´ , 1993. a e e[7] T. Penick, TEI Controls, Engineering Acoustics EE 363N http://www.teicontrols.com/notes/readme.html[8] Campanella Associates, Acoustics FAQ http://www.campanellaacoustics.com/faq.htm[9] D. Russell, Kettering University, Acoustics and Vibration Animations http://www.gmi.edu/ drussell/Demos.html 37