Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal
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Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal Presentation Transcript

  • SISTEMAS DE NUMERACIÓN OCTAL Y HEXADECIMAL Juan Ballester Freyder Espinosa Juanjo Alfonso
  • SISTEMA HEXADECIMAL:
    • El sistema hexadecimal , a veces abreviado como hex , es el sistema de numeración posicional de base 16 —empleando por tanto 16 símbolos. Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación , pues los computadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria .
    • En principio dado que el sistema usual de numeración es de base decimal y, por ello, sólo se dispone de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras del alfabeto latino para suplir los dígitos que nos faltan. El conjunto de símbolos sería, por tanto, el siguiente:
    • 0123456789 + A B C D E y F
    • Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor numérico de cada dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedando multiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en este caso es 16,u 8 en caso del sistema octal. Por ejemplo: 3E0,A 16 = 3×16 2 + E×16 1 + 0×16 0 + A×16 -1 = 3×256 + 14×16 + 0×1 + 10×0,0625 = 992,625 .
  • SISTEMA OCTAL:
    • El sistema de numeración posicional en base 8 se llama octal y utiliza las cifras de 0 a 7.
    • Los números octales pueden construirse a partir de números binarios agrupando cada tres cifras consecutivas de estos últimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal.
    • Por ejemplo, el número binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 001 010. De modo que 74 en octal es 112.
    • En informática, a veces es utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal . Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de las cifras decimales.
  • CONVERSIONES ENTRE LOS DIFERENTES SISTEMAS
  • Conversión de Binario a Decimal
    • Únicamente tenemos que tomar los datos del valor en sistema binario y aplicar la fórmula V*B ^p, en donde v es el valor (en este caso 1 o 0), B es el valor de la base del sistema de conversión (en este caso 2 ya que es binario) y p es la posición ordenada que ocupa el valor dentro de la expresión binaria de izquierda a derecha. Por ejemplo:
    Número Binario de 4 Bits: 1010 Conversión por posiciones: (1 x 2 a la 3ª ) + (0) + (1 x 2 a la 1ª ) + (0) Número Decimal: 8 + 0 + 2 + 0 = 10
  • Conversión de Decimal a Binario
    • Existen un par de métodos para realizar esta conversión, pero el mas sencillo y práctico es el denominado “por división repetida”.
    • Tal método consiste en ir dividiendo entre 2 el valor que deseamos convertir, e ir añadiendo un o si el resto de la división es un número entero o un 1 en caso contrario. Al final de las sucesivas divisiones anotaremos los valores (los 0 y 1s) y los escribiremos de izquierda a derecha en sentido inverso a como los hemos ido hallando en la descomposición. Con un ejemplo todo se verá mucho mas claro:
    • En este caso el resultado final sería 10010110.
  • Conversión del Sistema Octal a Decimal
    • La conversión de un número octal a uno decimal es muy sencilla, sólo necesitamos multiplicar cada uno de los dígitos por el valor que corresponde a su posición. Para convertir el número 435 comenzamos por:
    • Tres posiciones. 8 a la 2ª , 8 a la 1ª , 8 a la 0.
    • Primer Bit Octal (5 x 8 a la 0) = 5 x 1 = 5
    • Segundo Bit Octal (3 x 8 a la 1ª ) = 3 x 8 = 24
    • Tercer Bit Octal (4 x 8 a la 2ª ) = 4 x 64 = 256
    • Número decimal = (5 + 24 + 256 ) = 285
  • Conversión del Sistema Decimal a Octal
    • Un número Decimal ENTERO puede convertirse al sistema Octal utilizando también la "División Repetida", pero en este caso, nuestro factor para dividir será el 8, de la misma manera, el residuo de la primera división será el LSB, y el residuo de la última división será el MLB. Para poder saber el número que se convierte en cada Bit octal, se multiplica la fracción del residuo por 8, y se toma el número entero para volver a dividir entre 8. Convertir el decimal 285 a Octal nos daría:
  • Conversión del Sistema Octal a Binario
    • Este proceso se realiza convirtiendo cada número Octal en su equivalente del Sistema Binario, pero con la diferencia que se utilizan forzosamente 3 Bits. De manera que Cada Bits Octal es convertido por separado en su equivalente Binario. Convertir el número Octal 561 al sistema Binario sería:
  • Conversión del Sistema Binario a Octal
    • Lo primero que hacemos es agrupar todos los bits del número Binario en grupos de tres, iniciando con el LSB (Primer Bit). Ya que tenemos separados los Bits, se convierte cada trío a su equivalente del Sistema Octal. En el caso de que en el último grupo de Bits (MLB) no se pueda hacer un trío, se agregan ceros hasta lograrlo. Convertir un número Binario que tiene sus tríos completos, 101110001 al Sistema Octal sería:
    • Se agrupan los bits en tríos (101110001) = 101 - 110 - 001
    • Se convierte el Primer trío (donde se encuentra el LSB) 001 = 1
    • Se convierte el Segundo trío 110 = 6
    • Se convierte el Tercer trío (donde se encuentra el MSB) 101 = 5
    • Número Octal = 561
  • Convertir un número Binario que no tiene sus tríos completos, 10101110001 al Sistema Octal sería: Se agrupan los bits en tríos (10101110001) = 10 - 101 - 110 - 001 Completar los tríos (agregando un 0) = 010 - 101 - 110 - 001 Se convierte el Primer trío (donde se encuentra el LSB) 001 = 1 Se convierte el Segundo trío 110 = 6 Se convierte el Tercer trío 101 = 5 Se convierte el Cuarto trío (donde se encuentra el MSB) 010 = 2 Número Octal = 2561
  • Conversión del Sistema Hexadecimal a Decimal
    • Para convertir un número del Sistema Hex a su equivalente Decimal necesitamos primero recordar que la posición de los números en del Sistema Hex, basan su valor en una potencia de 16. El Primer Bit (LSB) sería 16 a la 0 = (1), el segundo Bit sería 16 a la 1ª = (16), el tercer Bit sería 16 a la 2ª = (256), aumentando las potencias de 16 hasta llegar al último Bit (MLB). La conversión se realiza entonces de la siguiente manera: Convertir el número Hex 182 al Sistema Decimal :
    • Convertir el número Hex 6AF al Sistema Decimal:
  • Conversión del Sistema Decimal a Hexadecimal Nuevamente acudimos a la “División repetida” para lograr esta conversión. pero esta vez, la división será por 16. Al igual que antes, si el residuo contiene fracciones decimales, se multiplican por 16 y se toma el número entero para la nueva división por 16. Para convertir los números 1711 y 386 del Sistema decimal al hexadecimal haríamos lo siguiente:
  • Conversión del Sistema Hexadecimal a Binario
    • Al igual que en la conversión del Sistema Octal (que se convierten en tríos de Bits Binarios), en la conversión del Sistema Hexadecimal a Binario, cada Bit Hex se convierte en cuartetos de Bits Binarios. Convertir el número del Sistema Hex 8A1 a Binario sería:
  • Conversión del Sistema Binario a Hexadecimal
    • La forma de convertir un número del Sistema Binario a Hex, es completamente opuesta a la presentada arriba. Se forman cuartetos de Bits Binarios (comenzando desde el LSB) hasta el MSB. Al igual que en la conversión de Sistema binario a Octal, en caso de que no se completen los cuartetos, se agregan los ceros necesarios para completar lo últimos cuatro Bits. Convertir el número del Sistema Binario 100010100001 a Hex sería:
    • Se agrupan los bits en cuartetos (100010100001) = 1000 - 1010 - 0001
    • Se convierte el Primer cuarteto (donde se encuentra el LSB) 0001= 1
    • Se convierte el Segundo trío 1010 = 10 = A
    • Se convierte el Tercer trío (donde se encuentra el MSB) 1000 = 8
    • Número Hex = 8A1
  • Conversión de Hexadecimal a octal
    • Únicamente hay que pasarlo a binario y de ahí a octal. F5 para pasarlo a binario , traducir la F y el 5 a su valor correspondiente en binario. F=1111 5=0101 entonces F5= 11110101 y ahora en binario, separar en 3 de derecha a izquierda 101 110 011 y ese valor de binario lo paso a decimal 365
  • Conversión de octal a hexadecimal
    • y a la inversa, lo mismo, se pasa primero a binario: 3=011 6=110 5=101 en binario queda 011110101 y ahora tomo 4 valores: 0101=5 1111=F Resultado F5
  • SISTEMA DE REPRESENTACION TRINARIO
    • Para todo sistema de representación, deben tenerse en cuenta lo valores asignados a cada uno sus símbolos y no el valor que a priori pudiese tener en los sistemas de numeración ya existentes.
    • “ Se ha de tener en cuenta que a veces la gente común, al estar acostumbrada al uso diario del sistema decimal, da por hecho que un número colocado a la izquierda de otro representa siempre múltiplos de 10; y da por hecho que 10+90 es 100, por poner un ejemplo cualquiera, y no le es posible concebir una forma distinta de representar las cantidades mediante el uso de los mismos símbolos decimales con otros valores y funciones asignadas en cada sistemas de representación numérica.”
    • En el caso particular del sistema trinario que esta siendo objeto de nuestro estudio, y previa asignación de los valores, análisis de sus equivalencia y conversiones al sistema decimal u otros sistemas y acogiéndonos a la metodología de otros sistemas de representación posicional; podemos decir con gran convencimiento que los símbolos utilizados no son un condicionante puesto que puedes asignar valores de modo conveniente independientemente que los símbolos utilizados sean numéricos, alfabéticos, alfa-numéricos o en su caso gráficos.
    • Podemos concluir que un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos en el sistema.
    • Un sistema de numeración puede representarse:
    • N= (S,R)
    • Donde:
    • N es el sistema de numeración considerado.
    • S es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema
    • R son las reglas que nos indican que números son validos en el sistema y cuales no, pudiendo ser estas reglas diferentes para cada sistema de numeración considerado pero una regla común a todos es que para construir números validos en un sistema de numeración determinado solo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema.
  • En nuestro sistema de representación trinario los símbolos a utilizar serán 0, 1 y 2 siendo por tanto su base 3. Operamos así: ∑ V.B^p
  • Tomemos por ejemplo el número 33 del sistema decimal, para representarlo en el sistema trinario debemos dividir sucesivamente por su base (3), y tomar los cocientes en orden inverso a su obtención. Ej. 33| 3 _ 0 0 11| 3 _ 2 3 | 3 _ 0 1 | 3 _ Con lo cual el número resultante en trinario sería 1020 , que operando de la forma común en los sistemas de numeración posicional y teniendo en cuenta ∑V.B^p , quedaría así: 1 0 2 0 => 1*3 + 0*3 + 2*3 + 0*3 = 33 27 + 0 + 6 + 0 = 33 3 2 1 0 0 1 2 3
  • Suma en binario La suma binaria se puede realizar cómodamente siguiendo las tres reglas descritas: Si el número de unos (en sentido vertical) es par el resultado es 0. Si el número de unos (en sentido vertical) es impar el resultado es 1. Acarreo tantos unos como parejas (completas) de números 1 haya. Por ejemplo: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0 se pone 0 y se acarrea un 1 a la posicion siguiente. Para sumar 1010 (que en decimal es 10) y 1111 (que en decimal es 15). 10 + 15 = 25
  • Resta en binario Las cuatro reglas básicas para la resta de números binarios son: 0 - 0 = 0 1 – 1 = 0 1 – 0 = 1 0 – 1 = 1 ( con acarreo negativo de 1) Al restarse números algunas veces se genera un acarreo negativo que pasa a la siguiente columna de la izquierda. En binario solo se produce este acarreo cuando se intenta restar 1 de 0 (4ª regla). Ejemplo sobre esta situación, restar 011 de 101: 101 – 011 = 010 Detalle de la operación: en la columna derecha se realiza la resta de 1 – 1 = 0 en la columna central se produce un acarreo negativo de 1 a la columna siguiente (4ª regla) que da lugar a 1 en esta columna, luego 0 - 1 = 1 con acarreo de 1 a la siguiente columna en la columna izquierda, se resta 1 del acarreo producido en la anterior columna y da como resultado 0, luego se resta 0 – 0 = 0
  • Multiplicación en binario La multiplicación binaria es tan sencilla como la decimal, y es que funcionan de la misma manera. Aquí tienen un ejemplo de multiplicación binaria. Supongamos que multipliquemos 10110 por 1001: Vamos multiplicando por cada dígito de 1001 el conjunto 10110 y luego procedemos a hacer la suma. Hay otro tipo de procedimientos para realizar esta multiplicación sin signo y es el llamado "Multiplicación por el método de Suma-Desplazamiento".