Funcion ces 2

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Funcion ces 2

  1. 1. APLICACIONES DE LA FUNCIÓN CES Andrea PARMA Facultad de Ciencias Económicas - Universidad de Buenos Aires Especialidad: Matemática Aplicada Palabras clave: cálculo, aplicaciones, función de producción, CESResumenEste trabajo continúa el análisis de la función de producción CES, elasticidad de sustitución constante, iniciadoen el año 2006, mostrando su aplicación en la economía española y argentina.En primer lugar se hace una síntesis de las características fundamentales de dicha función y se lleva a cabo unaestimación de la producción agregada para la economía española entre los años 1964 y 1988, que responde aun modelo de Cobb-Douglas con rendimientos constantes a escala.En segundo lugar, se estudia la función CES teniendo en cuenta que representa un modelo de regresión nolineal respecto a las variables y a los parámetros. Se emplea la metodología de Kmenta para estimar la funciónde producción argentina CES entre los años (1980-1997).Finalmente se sintetiza algunos aspectos decisivos que acreditan el reemplazo de la función de Cobb-Douglaspor la función CES en la economía argentina de post-guerra y la relación entre el avance tecnológico y laelasticidad de sustitución en dicho período.
  2. 2. APLICACIONES DE LA FUNCIÓN CES Andrea PARMA Facultad de Ciencias Económicas - Universidad de Buenos Aires Especialidad: Matemática Aplicada Palabras clave: cálculo, aplicaciones, función de producción, CES1. Función de producción CES de ACMSEn 1961 Arrow, Chenery, Minhas y Solow (ACMS) desarrollaron una función de producción generalizada llamadaCES, la cual, como sucede con la de Cobb-Douglas, se caracteriza por una elasticidad de sustitución constante,aunque no necesariamente igual a uno.La función CES está expresada por: [ ] ν − Q = A δ K − ρ + (1 − δ ) L− ρ ρ ( A > 0; v > 0; 0 < δ < 1, ρ > -1 ≠ 0) [1]donde Q representa la cantidad producida, K y L dos factores productivos (en general capital y trabajo), A es elparámetro de eficiencia (indicador de estado de la tecnología), δ es el parámetro de distribución (indicador dela participación relativa del factor en el producto), ν es el parámetro de rendimiento a escala y ρ es elparámetro de sustitución (elasticidad de sustitución constante).La función CES es una función homogénea de grado ν , sus productividades marginales son positivas, susisocuantas son curvas decrecientes y la función de Cobb-Douglas es un caso particular de la misma paraρ → 0 . (Lazzari, Parma, 2006)2. Elasticidad de sustitución de la función de producción CES 1Se puede verificar que la elasticidad de sustitución de la función CES es σ = 1 1+ ρEsto demuestra que σ es una constante cuya magnitud depende del parámetro ρ , y que si:a) ρ → ∞ ⇒ σ → 0La función de producción se transforma en una de coeficientes constantes o proporciones fijas. No existeposibilidad de sustitución entre los factores, sino que se combinan como complementos perfectos y lasisocuantas forman ángulos rectosb) ρ → 0 ⇒ σ → 1En este caso la función de producción CES se aproxima a la de Cobb-Douglas,c) ρ > 0 ⇒ 0 < σ < 11 Lazzari, Parma, 2006. La Función de producción ESC. (Página 5).
  3. 3. Existe sustitución entre los factores, aunque no se da tan fácilmente. Las isocuantas no cortan a los ejes ni sonasintóticas a los mismos.d) −1 < ρ < 0 ⇒ σ > 1Existe sustitución entre los factores. Las isocuantas cortan a los ejes, lo cual sugiere que es posible laproducción con la ausencia de uno de los factores productivos.e) ρ → −1 ⇒ σ → ∞En este caso las isocuantas son rectas y los bienes son sustitutos perfectos.En la figura 1 se relacionan algunos valores de ρ con la forma que adopta la isocuanta en cada caso. K ρ→∞ ρ → −1 ρ→0 L Figura 13. Estimación de la función de producción3.1 Estimación de la función de producción de Cobb-DouglasPara estimar la función de producción de Cobb-Douglas basta aplicar una simple transformación logarítmica Qi = A K i α Li β ln Qi = ln A + α ln K i + β ln Li + εiεi es la perturbación aleatoria en la función de producción o error estocástico del modelo, distribuidonormalmente con esperanza nula (E (ε i ) = 0, ∀i = 1...n ) y varianza constante, pues de lo contrariosi E (ε i ) = a ≠ 0 , este sería un efecto constante y por ello determinista sobre la variable exógena Qi . ln Qi = β1 + β2 ln K i + β3 ln Li + εi [2]La expresión [2] es un modelo de regresión lineal. Por lo tanto resulta muy sencillo utilizar estimacionesmínimocuadráticas ordinarias de β i (i = 1, 2, 3) para aproximar la función de producción de Cobb-Douglas.3.2 La estimación de la función de producción española (1964-1988)
  4. 4. Con el objeto de estimar una función agregada para la economía española, utilizamos la Tabla 1 donde seemplean datos anuales de stock de capital, empleo y PIB, éste último en pesetas constantes de 1980. 2 Año Q K L A B C D 1964 7527,4 11302,5 11703 1 Año ln Q lnK lnL 1965 8004,2 12578,4 11990,9 2 1964 8,926304976 9,332779219 9,3676005 1966 8568,9 14024,7 12123,4 3 1965 8,987721683 9,439736336 9,39190331 1967 8939,1 15471,3 12198,2 4 1966 9,055894649 9,54857534 9,40289275 1968 9544,7 17036,7 12256,5 5 1967 9,098190192 9,646741974 9,40904368 1969 10398 18814,3 12333,6 6 1968 9,163741306 9,74312512 9,41381169 1970 10822,3 20536,9 12330,7 7 1969 9,249368759 9,842372498 9,42008252 1971 11318 22061,6 12427,1 8 1970 9,289364099 9,929978547 9,41984737 1972 12227,1 23888,2 12650,4 9 1971 9,334149658 10,00159382 9,42763485 1973 13166,9 26010,6 12875,4 10 1972 9,411410079 10,08113989 9,44544411 1974 13866,5 28214,8 13041,7 11 1973 9,485461384 10,16625943 9,46307379 1975 13940,9 30094,6 12823 12 1974 9,537231138 10,24760194 9,4759072 1976 14397,2 31819,3 12587,4 13 1975 9,542582245 10,31210103 9,45899571 1977 14829,2 33396 12581,8 14 1976 9,574789022 10,3678283 9,44045159 1978 15044 34774,5 12373,4 15 1977 9,604353489 10,41619141 9,4400066 1979 15023,1 35909,7 12173,9 16 1978 9,61873452 10,45663964 9,42330429 1980 15209,1 36991,9 11811,5 17 1979 9,617344296 10,48876273 9,40704959 1981 15171,3 37892,5 11471,8 18 1980 9,629649212 10,51845425 9,37682891 1982 15355,9 38755,6 11358,3 19 1981 9,627160764 10,54250848 9,34764713 1983 15633,2 39488,6 11279,3 20 1982 9,639255044 10,56503054 9,33770403 1984 15914,5 39966,1 10954,9 21 1983 9,657152137 10,5837673 9,33072447 1985 16282,8 40607,3 10854,9 22 1984 9,674985922 10,59578687 9,30154212 1986 16816,4 41504,4 11111,2 23 1985 9,697864615 10,61170313 9,29237187 1987 17748,7 42851,5 11452,2 24 1986 9,73010988 10,63355472 9,31570889 1988 18676,6 44656,5 11780,6 25 1987 9,784067553 10,66549593 9,34593713 Tabla 1 Economía española entre 1964-1988 26 1988 9,835026682 10,70675515 9,37420939 27 0,322 0,630 0,009 28 0,106 0,013 1,053 29 0,992 0,025 Tabla 2. Función de Cobb-Douglas para la economía española2 Molinas, Sebastián y Zabalza (1991).
  5. 5. En la Tabla 2 se transforman las variables en logaritmos. Utilizando la planilla de cálculo Excel, se realizan lasestimaciones minimocuadráticas ordinarias de β i (i = 1, 2, 3) que aparecen en la fila 27. En el siguiente renglón,se especifican los desvíos típicos. β1 = 0,009 β 2 = 0,630 β3 = 0,322 (1,053) (0,013) (0,106)En la celda B29 se encuentra el coeficiente de determinación R 2 = 0 ,992 que indica una correlación alta.El error estandar para la estimación de Q es 0,025, que es muy pequeño. Se observa que existe una mayorparticipación del capital (próxima a 2/3) respecto al trabajo (próxima a 1/3). A su vez, la suma de laselasticidades estimadas en ambos inputs es próxima a la unidad. Por lo tanto la economía española entre losaños 1964 y 1988 tiene una producción agregada de Cobb-Douglas con rendimientos constantes a escala.3.3. Aproximación de Kmenta para estimar la función de producción CESLa función CES representa un modelo de regresión no lineal respecto a las variables y a los parámetros (modelointrínsecamente no lineal). [ ] ν Qi = A δKi − ρ + (1 − δ )L − ρ − ρ e εi [3] iTomando logaritmos naturales en ambos miembros de [3], se obtiene: ln Qi = ln A − v ρ [ ] ln δK i − ρ + (1 − δ )Li − ρ + ε i 3 [4]Si los K i y Li son no estocásticos (o estocásticos pero independientes de εi ), se puede establecer la funciónde verosimilitud de la manera habitual, calculando las estimaciones maximoverosímiles de A, δ , ν, y ρ con unacalculadora. Es posible obtener una estimación alternativa4 más sencilla de los parámetros de la función CESsustituyendo [4] por su aproximación lineal respecto de ρ mediante el desarrollo en serie de Taylor en unentorno de ρ = 0 . Eliminando los términos en los que ρ aparece con exponentes mayores que la unidad: ln Qi = ln A + νδ ln K i + v(1 − δ ) ln Li − ρνδ (1 − δ ) [ln K i − ln Li ]2 + ε i 1 [5] 2El segundo miembro de la expresión [5] se puede dividir en dos partes, una corresponde a la función de Cobb-Douglas, mientras que la otra representa una corrección para el caso en que ρ no se aproxime a 0. Laexpresión ln Qi = β1 + β 2 ln K i + β 3 ln Li + β 4 [ln K i − ln Li ]2 + ε i [6] corresponde a un modelo de regresiónlineal múltiple. Si la estimación de β 4 , no es significativamente distinta de cero, se rechaza el modelo CES a3 Error estocástico del modelo, distribuido normalmente con esperanza nula.4 Kmenta, J. (1971).
  6. 6. favor del modelo de Cobb-Douglas. Los parámetros de la expresión [6] están relacionados con los de [5] de lasiguiente forma: β2 − 2 β 4 (β 2 + β 3 ) A = anti log β1 δ= ν = β2 + β3 ρ= [7] β2 + β3 β2β3Por lo tanto, se pueden utilizar las estimaciones minimocuadráticas ordinarias de β i (i = 1, 2, 3, 4) para obtenerlas aproximaciones de los parámetros de la expresión [5]. El error de aproximación de la función CES dependede la proximidad de ρ a 0, de la relación de los dos factores productivos y de los valores de los parámetros quese obtienen.3.4. Ejemplo de uso de la metodología de Kmenta para estimar la función de producción.Año PBI K L A C D E F1980 10302,3 16824,41 8331,5 1 Año lnPBI lnK lnL (lnK-lnL)21981 9743,7 17293,46 8304 2 1980 9,2401 9,7306 9,0278 0,49391982 9435,9 17397,98 8446 3 1981 9,1844 9,7581 9,0245 0,53821983 9823,9 17307,33 8502 4 1982 9,1523 9,7641 9,0414 0,52221984 10020,3 17210,27 8705 5 1983 9,1926 9,7589 9,0481 0,50531985 9323,9 17025,02 8814 6 1984 9,2124 9,7533 9,0717 0,46461986 9989,4 16794,71 9154 7 1985 9,1403 9,7424 9,0841 0,43341987 10248,2 16672,41 9419 8 1986 9,2093 9,7288 9,1219 0,36831988 10054,1 16600,8 9595,5 9 1987 9,2349 9,7215 9,1505 0,32611989 9356,7 16395,24 9695 10 1988 9,2157 9,7172 9,1690 0,30051990 9185,4 16008,75 9797 11 1989 9,1438 9,7047 9,1794 0,27601991 10157,1 15714,62 10222 12 1990 9,1254 9,6809 9,1898 0,24111992 11132,8 15777,1 10498 13 1991 9,2259 9,6623 9,2323 0,18491993 11769,9 16105,23 10633 14 1992 9,3177 9,6663 9,2589 0,16601994 12712,2 16649,64 10608,5 15 1993 9,3733 9,6869 9,2717 0,17241995 12201,4 17165,93 10327,5 16 1994 9,4503 9,7201 9,2694 0,20321996 12784,6 17584,22 10442,5 17 1995 9,4093 9,7507 9,2426 0,2582 1997 13896,8 18327,58 11106,5 18 1996 9,4560 9,7748 9,2536 0,2716Tabla 3. Economía argentina 1980-1997 19 1997 9,5394 9,8162 9,3153 0,2509 20 3,17 4,82 1,82 -18,25 21 1,43 1,68 1,58 3,82 22 0,85 0,05 Tabla 4. La función CES para la economía argentina
  7. 7. En primer lugar se realiza la estimación de una función de producción agregada para Argentina. En la Tabla 3 seespecifican por año el PBI a precios constantes de 1986 en millones de pesos (Ministerio de Economía y Obras yServicios Públicos de la Nación), el trabajo en millones de personas (INDEC, datos de Empleo de la Encuestapermanente de hogares) y el capital en millones de pesos5. A partir de esta tabla se utiliza la metodología deKmenta para estimar la función de producción CES para este período de la Argentina. ln Qi = β1 + β 2 ln K i + β3 ln Li + β 4 [ln K i − ln Li ]2 + ε iLa Tabla 4 transforma las variables en logaritmos. Los resultados de la estimación lineal, empleando el Excel, semuestran en el rango de celdas C20:F22, donde la primer fila corresponde a los β i (i = 1, 2, 3, 4) y la segundaa los respectivos desvíos típicos. β1 = −18,25 β 2 = 1,82 β3 = 4 ,82 β 4 = 3,17 (3,82) (1,58) (1,68) (1,43)En la celda C22 se encuentra el coeficiente de determinación R 2 = 0 ,85 que indica una correlación alta.El error estandar para la estimación de Q es 0,05, que es muy pequeño.Como β 4 =3,17 es significativamente distinto de 0, se rechaza el modelo Cobb-Douglas a favor del modeloCES. β2 − 2 β 4 ( β 2 + β3 ) A = anti log β1 δ= ν = β 2 + β3 ρ= β 2 + β3 β 2 β3 A = 1,2.10 −8 δ = 0,6 ν=3 ρ = 2,2Como ρ > 0 ⇒ 0 < σ < 1 σ = 0,3 , existe sustitución entre los factores. Las isocuantas no cortan a los ejes nison asintóticas a los mismos. El parámetro ν = 3 indica rendimiento a escala creciente. El coeficienteA = 1,2.10 −8 nos indica poca influencia de nuevas tecnología para la producción del país.4. Pasaje de la función de Cobb-Douglas a la función CES en la Argentina.4.1. El crecimiento industrial de la post-guerra en la ArgentinaJorge Katz realizó una investigación detallada sobre el crecimiento industrial argentino en el período que seextiende de 1946 a 1961. En esta última sección se señalarán algunos detalles importantes de este trabajo quepermitirán mostrar la pertinencia del reemplazo de la función de Cobb-Douglas por la función de produccióngeneralizada CES en la Argentina en el período de estudio6. Dicho período se puede dividir en dos partes. Unoque se extiende entre 1946 -1953 y el otro entre 1954-1961. Desde fines de los años treinta hasta mediados delos años 50, el capital privado extranjero había desaparecido de la Argentina producto de las nacionalizacionesde los años 1947-1950. Durante 1953-1954 se produjeron muchos cambios en el país tanto en política interna5 Meloni, Osvaldo. “Algunas estimaciones del producto potencial de la Argentina”6 Jorge M. Katz. “Production functions, foreign investment and growth”
  8. 8. como externa7, que fueron determinantes para el crecimiento en la utilización del capital y nuevas tecnologíasen las industrias. A fines de los años 50, las industrias Petroquímicas, Químicas, Automotores, Maquinarias yEquipamiento Eléctrico, Maquinarias para agricultura y Metalúrgicas se expandieron en forma considerable. Otrofactor influyente en el país en materia industrial durante el período mencionado, se refiere a las políticaslaborales. La depresión de 1951-1952, provocó un alza inflacionaria importante e hizo que el gobierno tomaramedidas de ajuste, congelando los sueldos entre 1952-1954. Movilizaciones laborales empezaron a actuar,aumentando los problemas del mercado laboral. Esto último como así también la nuevas tecnologíasintroducidas en el sector industrial, hizo más fácil la sustitución del capital por el trabajo en el período 1954-1961. Período Producción Trabajo Capital 1946-1954 3,5 % 2,2 % 5,8 % 1955-1961 5,2 % 1,7 % 2,1 % 1946-1961 4,6 % 2,1 % 4,2 % Tabla 5. Crecimiento en el sector industrial argentino.En la Tabla 5 se puede observar que en el período 1946-1961 el porcentaje de crecimiento del capital fue másalto que el del trabajo. En segundo lugar, el crecimiento de la producción fue mayor que el de ambos factores.En tercer lugar, el porcentaje de crecimiento de ambos factores productivos, capital y trabajo, cayó entre 1955-1961. Esto último hace pensar que el aumento de producción en el último período tiene que ver más con elavance de la tecnología que con el crecimiento de ambos factores productivos.4.2. El avance de la tecnología en la Argentina partir del modelo de Cobb-DouglasEn la función de Cobb-Douglas Q = A Lδ K 1− δ , A representa un parámetro de eficiencia (indicador del estadode la tecnología), que puede aumentar o disminuir la producción total, dejando la elasticidad de sustitución entrelos factores constante. A su vez, δ es la elasticidad de la producción respecto al trabajo y 1 − δ la elasticidadde la producción respecto al capital. Aplicando logaritmo neperiano en ambos miembros a la expresión anteriorse obtiene ln Q = ln A + δ ln L + (1 − δ ) ln KDerivando ambos miembros y asumiendo que δ es constante, queda la expresión Q ′ A′ L′ K′ = + δ + (1 − δ ) [8] Q A L K Q′La expresión [8] indica que la velocidad relativa de crecimiento de la producción, está determinada no solo Q L′ K′ A′por velocidad relativa de crecimiento del trabajo y del capital sino también de la tecnología . Por lo L K A7 Ley 1957 de inversión extranjera y ley 1958 de promoción de la industria.
  9. 9. A′tanto si se necesita calcular se puede obtener como residuo de la ecuación [8]. En la Tabla 6 se considera la Amedida de la velocidad de cambio de la tecnología en el sector industrial argentino. Se observa allí que, en elperíodo 1955-1961, el acelerado crecimiento en el porcentaje de producción es contemporáneo al porcentaje deaumento de avances en la tecnología. A su vez, la suma de las elasticidades es aproximadamente igual a launidad en ambos períodos y en la totalidad (rendimientos constantes a escala). Si bien el modelo de Cobb-Douglas brinda una primer medida de los cambios tecnológicos en los dos períodos de los años de Post-guerra,el modelo tiene sus limitaciones y no puede ser considerado como un parámetro industrial. % crecimiento en % Período Trabajo Capital la producción progreso en la tecnología 1946-1954 0,63 0,37 3,5 % 0,6 % 1955-1961 0,66 0,34 5,2 % 3,2 % 1946-1961 0,64 0,36 4,6 % 1,3 %Tabla 6. Progreso tecnológico de la economía Argentina4.3. Limitaciones de la función de producción de Cobb-Douglas en la Argentina.La primera limitación es que se trabaja en forma global, sin comparar los comportamientos de diferentes tipos deindustrias del país en los períodos estudiados. La elasticidad de sustitución para la función Cobb-Douglas essiempre igual a uno y se decide a priori, no importando las diferencias entre los diferentes sectores industriales.Puede ocurrir que una industria tenga una elasticidad de sustitución más alta que otra, pudiendo sustituir másfácilmente un factor productivo por otro.4.4. La función de producción CES en la Argentina de post-guerra.Surge entonces la necesidad de aplicar otro tipo de función generalizada como la CES para el análisis de laeconomía industrial argentina de post-guerra que como ya se ha dicho anteriormente se caracteriza por unaelasticidad de sustitución constante, aunque no necesariamente igual a uno. La Tabla 7 muestra laselasticidades de sustitución del capital por el trabajo en 15 industrias argentinas en 1946 y la Tabla 8 laselasticidades de sustitución de 10 industrias argentinas en 1954. Al comparar las mismas 10 industrias, al pasarde 1946 a 1954, la elasticidad de sustitución creció en 5 casos (Químicas, Automotores, Máquinas yEquipamiento Eléctrico, Papelera e Imprenta), se mantuvo estable en dos (Vidrios-Piedras y Tabaco) y decrecióen tres sectores (Productos de cuero, Alimenticia y Metalúrgica). Otra conclusión que se extrae de lacomparación de las tablas anteriores, es que la elasticidad de sustitución es cercana a 0 en sólo 2 casos en1946 (Automotores y Máquinas y Equipamiento Eléctrico) y en un único caso (Metalúrgica) en 1954. Además, delas 15 industrias en 1946, 8 de ellas tienen elasticidad de sustitución significativamente distinta de uno y de las
  10. 10. 10 estudiadas en 1954, 6 tienen elasticidad de sustitución lejana a la unidad. Esto último nos confirma laslimitaciones de las funciones de producción de Cobb-Douglas ( σ = 1 ) y Harrod- Domar ( σ = 0 ). Industria Elasticidad de Sustitución Error standard de σ R2 σ Alimenticia 1,35 0,25 0,71 Tabacalera 1,76 0,30 0,92 Textil 0,98 0,19 0,87 Lechera 0,84 0,07 0,94 Papelera 1,49 0,80 0,65 Imprenta 0,87 0,10 0,85 Químicas 0,90 0,19 0,75 Petroquímicas 2,02 0,60 0,55 Productos de goma 0,92 0,17 0,95 Productos de cuero 0,87 0,10 0,87 Vidrios-Piedras 1,19 0,11 0,92 Madera y mobiliario 0,93 0,18 0,73 Metalúrgica 0,87 0,22 0,70Automotor y maquinaria 0,46 0,20 0,55Máquinas y equipamiento 0,45 0,16 0,76 eléctricoTabla 7. Elasticidad de Sustitución de 15 industrias argentinas en 1946 Industria Elasticidad de Sustitución Error standard de σ R2 σ Alimenticia 0,87 0,16 0,79 Tabacalera 1,73 0,40 0,90 Papelera 1,63 0,30 0,91 Imprenta 0,91 0,18 0,72 Químicas 1,01 0,13 0,90 Productos de cuero 0,71 0,11 0,82 Vidrios-Piedras 1,20 0,06 0,97 Metalúrgicas 0,47 0,20 0,45Automotor y maquinarias 0,68 0,22 0,58Máquinas y equipamiento 1,11 0,20 0,80 eléctricoTabla 8. Elasticidad de Sustitución en 10 industrias argentinas en 1954
  11. 11. Finalmente la Tabla 9 muestra la relación entre el progreso tecnológico de nuestro país en la post-guerra y laelasticidad de sustitución, estimado a partir de la función de producción CES. Se observa en dicha tabla que elaumento en la elasticidad de sustitiución entre capital y trabajo es contemporáneo al avance tecnológico en elperíodo 1954-1961. Períodos Elasticidad de % crecimiento en la Q sustitución σ R2 1946-1953 0,16 (0,09) 0,6 0,7 1954-1961 0,48 (0,13) 4,7 0,75 1946-1961 0,23 (0,12) 2,1 0,8 Tabla 9. Relación entre avance tecnológico y elasticidad de sustitución en 1946-1961Referencias bibliográficas• ALLEN, R.G.D. ( 1960). Mathematical Economics. Londres, Macmillan & Co LTD• CHIANG, A. (1999). Métodos Fundamentales de Economía Matemática. México, McGraw-Hill.• JAMANE, T. (1965). Matemáticas para economistas. Barcelona, Ariel.• KATZ, J.M. (1969). Production functions, foreign investment and growth. Londres, North-Holland Publishing Company.• KMENTA, J. (1967). On estimation of the CES production function. International Economic Review, vol. 8, Nº 2, pp.180-192.• KMENTA, J. (1971). Elements of Econometrics. Nueva York, Macmillan Publishing Company.• LAZZARI, L.; PARMA, A. (2006). La función de producción ESC. Formosa, XXI Jornadas Nacionales de Docentes de Matemática de Facultades de Ciencias Económicas y Afines.• MELONI, O. (2005). Algunas estimaciones del producto potencial en la Argentina. Universidad Nacional de Tucumán y MEyOSP.• MOLINAS, C., SEBASTIÁN, M., ZABALZA, A. (1991). La economía española: una perspectiva macroeconómica. Barcelona, Antoni Bosch.• NOVALES, A. (1993). Econometría. Madrid, McGraw-Hill.• WEBB, S.C. (1994). Economía de la empresa. México, Limusa.

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