El documento describe los métodos iterativos, que calculan aproximaciones progresivas a la solución de un problema en lugar de obtener una solución exacta. Explica el método general iterativo, que inicia con una aproximación y mejora iterativamente. Luego, detalla los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel para resolver sistemas de ecuaciones, incluyendo pasos, ejemplos y fórmulas para calcular errores. Finalmente, presenta ejercicios para aplicar ambos métodos.

1. Alumno:
Fernando Luz Santiago
Métodos
iterativos

2. Métodos iterativos :
Es un método que va calculando
aproximaciones progresivamente a la
solución de un problema.
A diferencia de los métodos directos, en
los cuales se debe terminar el proceso
para tener la respuesta, en los métodos
iterativos se puede suspender el proceso
al termino de una iteración y se obtiene
una aproximación a la solución.

3. Método iterativo general
Pasos…
1.- Inicia con una solución aproximada (Semilla)
2.- ejecuta una serie de cálculos para obtener o
construir una mejor aproximación partiendo de la
aproximación semilla.
3.- se repite el paso 2 pero usando como semilla la
aproximación obtenida.

4. Ejemplo ..
Encontrar una raíz a una ecuación
cuadrática
Un método directo para resolverlo es aplicar la fórmula
general
Un método iterativo es el método de Newton que consiste en
usar la fórmula de mejora:

5. En donde aumenta con respecto al número de
iteraciones que se vallan realizando y, es la
aproximación y el resultado de las iteraciones que se ha
realizado.
En este caso la ecuación anterior queda …
Ecuación
Derivada
Si tomamos como primera aproximación x0 = 3 (para i = 0),
tendremos

6. Ahora tomamos como aproximación x1 = 2.2 y aplicamos de
nuevo la fórmula
Ventaja y desventajas de los métodos
iterativos aproximaciones al resultado obtenido en los
 Solo calculan
métodos directos
 Se usan cuando no se conoce un método para obtener la
solución exacta
 Se utilizan también cuando el método para obtener la solución
exacta requiere mucho tiempo de calculo y cuando el número
de iteraciones es relativamente reducido

7. Método de Gacobi
Consiste en remplazar en determinada
ecuación ciertos valor es y repetir los
cálculos una determinada cantidad de veces
hasta encontrar la respuesta mas exacta al
sistema de ecuaciones

8. Ejemplo
5x + 2y =1 x=1
x - 4y = 0 y=2
Despegar las variables de la diagonal
Resolver las ecuaciones tomando los
resultados de las iteraciones

9. Tomamos los valores de la primera iteración
para realizar la segunda iteración y así
sucesivamente hasta que los valeres de las
iteraciones se repitan.
Como se muestra en la siguiente tabla….

10. Formula para detener las iteraciones

11. De la cual solo tomamos los valores mas
grandes excepto cuando los valores de
Xi+1 y
Yi+1 se repitan como es el caso de la
ultima iteración en donde se toma .001
Si sustituimos los valores resaltados en las
ecuaciones de recurrencia, los resultados
que obtendremos serán los mismos, lo que
indica que son los valores
mas exactos

12. Formulas para calcular los errores
relativos en ecuaciones de 3 x 3

13. Método de Gauss Seidel
Pasos……….
1.- verificar si el sistema es convergente
2.-definir valores iniciales
3.- despejar las incógnitas que se encuentran
en la diagonal
4.- resolver operaciones
5.- Realizar prueba de escritorio

14. Ejemplo
4x + 2y = 6 x=0
2x + 3y = 5 y=1

15. Sustituir el resultado en la siguiente
ecuación.
Entonces “y” quedaría …

16. Realizar la prueba de escritorio (comprobar
si estos resultados satisfacen la solución de
las ecuaciones).
Entonces…
4x + 2y = 6 4(1) + 2(1) = 6
6 = 6
2x + 3y = 5 2(1) + 3(1) = 5
5 = 5
Por lo tanto los resultados obtenidos en la
primera iteración son la solución del

18. Ejercicios…
Método de Gacobi
4x + .5y + z = 8
x - 10y + z = -6
-x + y + 5z = 10
Método de Gauss –Seidel
10 x - z = -1
4x + 12y - 4z = 8
4x + 4y + 10z = 4