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Material construido por Pedro Pablo Montero (supermechon), profesor Szanto para MAT021 USM

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  • 1. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıa Programa Preliminar para Ingenier´ ıa Cuaderno de Estudio Patricio Guzm´n Mel´ndez a e Alumno de Ingenier´ Civil Matem´tica ıa a Pedro Montero Silva Alumno de Licenciatura en Ciencias menci´n Matem´tica o a Iv´n Sz´nt´ Narea a a o Profesor del Departamento de Matem´tica a Marzo de 2009
  • 2. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa ´ INDICE´Indice1. Introducci´n o 32. Preliminares 43. L´gica Simb´lica y Teor´ de Conjuntos o o ıa 6 3.1. L´gica Simb´lica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 6 3.2. Teor´ de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa 84. Funciones 10 4.1. Propiedades de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2. Estudio de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.3. Problemas de Modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155. Geometr´ Anal´ ıa ıtica 18 5.1. La Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.2. C´nicas . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.2.1. Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.2.2. Par´bola . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5.2.3. Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.2.4. Hip´rbola . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.3. Lugares Geom´tricos . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246. N´ meros Naturales u 25 6.1. Inducci´n . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6.2. Sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6.3. Progresiones Aritm´ticas e y Geom´tricas e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6.4. Teorema del Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317. N´ meros Reales u 33 7.1. Axiomas de Cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 7.2. Axiomas de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 7.3. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 7.4. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 7.5. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408. Trigonometr´ ıa 42 8.1. Operatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 8.2. Identidades Trigonom´tricas e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 8.3. Ecuaciones Trigonom´tricas e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 8.4. Problemas con Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 8.5. Miscel´neo . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499. N´ meros Complejos u 51 9.1. Operatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 9.2. Funciones Complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 9.3. Miscel´neo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 a10.L´ ımites y Continuidad 57 10.1. L´ ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 10.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 10.3. Miscel´neo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 a 1
  • 3. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa ´ INDICE11.La Derivada 63 11.1. Operatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 11.2. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 11.3. Miscel´neo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 a12.Aplicaciones de la Derivada 76 12.1. Problemas de Raz´n de Cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 o 12.2. Problemas de Optimizaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 o 12.3. Estudio de Funciones y Trazado de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2
  • 4. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa1. Introducci´n o El Programa Preliminar para Ingenier´ es un programa que se imparte a los alumnos destacados de IV◦ ıaMedio de la Regi´n de Valpara´ que sienten inter´s en el ´rea de la Ingenier´ Ciencias y Tecnolog´ en o ıso, e a ıa, ıa;donde se les inicia en la vida y exigencia universitaria, cursando la asignatura de Matem´tica I (MAT-021) e In- atroducci´n a la Ingenier´ (IWI-101); ambos cursos del primer semestre acad´mico de Ingenier´ y Ciencias en la o ıa e ıaUniversidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıa. Este Cuaderno de Estudio est´ destinado a las clases activas de Matem´tica I, que en la pr´ctica, es una de a a alas partes m´s importantes de la asignatura. Su prop´sito es orientar el aprendizaje a lo largo del curso apuntando a a oidentificar los conceptos claves sobre los cuales se estructura cada unidad. Esto dar´ al estudiante una visi´n global a ode las herramientas entregadas en la asignatura. Este cuaderno est´ dividido en los temas que se ver´n a lo largo del curso, y el n´mero de actividades por temas a a ues variable dependiendo de la importancia del mismo. La metodolog´ a seguir consiste en que el estudiante resuelva los problemas en clases pr´cticas en donde bajo ıa ala supervisi´n del profesor y los ayudantes, el estudiante aplicar´ los conceptos y m´todos entregados en la clase o a ete´rica, y as´ podr´ resolver los diferentes tipos de problemas y aplicaciones. o ı a Esta metodolog´ ayudar´ al estudiante a seguir y a entender mejor los contenidos de la asignatura, pues de esta ıa aforma se concreta lo explicado en las clases te´ricas y adem´s se ejercita, consiguiendo afianzar los conocimientos. o aEl hecho de que el estudiante encuentre dificultades en este cuaderno es un indicador de que no ha alcanzado elnivel de aprendizaje esperado. Se espera ir perfeccionando este cuaderno en todos los sentidos posibles: formato, edici´n del texto, redacci´n y o oniveles de dificultad de los problemas, etc. Este Cuaderno de Estudio, en su segunda versi´n, no habr´ sido posible sin las valiosas recomendaciones o ıay discusiones con el Departamento de Matem´tica de nuestra universidad. Adem´s, parte importante de las a amejoras de esta versi´n se deben a las cr´ o ıticas y comentarios de los alumnos del Programa Preliminar para Ingenier´ ıadel a˜o 2008. n Ayudantes del Departamento de Matem´tica: a Patricio Guzm´n Mel´ndez a e Pedro Montero Silva Profesor del Departamento de Matem´tica: a Iv´n Sz´nt´ Narea a a o Marzo de 2009 3
  • 5. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 2 PRELIMINARES2. Preliminares 1. A Constanza se le pregunta su edad y ella responde: ”Si se a˜aden 13 a˜os al cu´druple de mi edad, se tendr´ n n a ıa lo que falta para tener 98 a˜os”. ¿Cu´l es la edad de Constanza? n a 2. La edad de Ricardo, padre de Pablo, es el triple. La edad de Ricardo hace cuatro a˜os era el doble de la edad n que tendr´ Pablo en siete a˜os. ¿Cu´l es la suma de ambas edades? a n a 3. De dos resistencias en paralelo que difieren en 33 Ω se sabe que la resistencia equivalente es de 22 Ω. Calcular el valor de cada resistencia. 4. Patricio vende a Diego la tercera parte de un terreno, m´s el 45 % del resto; en total vende 5700 m2 . ¿Cu´nto a a mide el terreno que le queda a Patricio?. 5. En un tri´ngulo rect´ngulo los catetos son entre si como 15:35 y la hipotenusa mide 65 cm. Calcular el ´rea a a a del tri´ngulo. a 6. El per´ ımetro de cierto rect´ngulo es de 112 cm y su diagonal mide 40 cm. Calcular el ´rea del rect´ngulo. a a a 7. Si cada lado de un tri´ngulo is´celes disminuye en un 18 %, ¿en cu´nto % disminuye su ´rea?. a o a a 8. Un trazo AC ha sido dividido interiormente en el punto B de modo que AB : BC = 17 : 12. Sea M el punto medio de BC. ¿Qu´ tanto % de AM mide BM ?. e 9. Un cilindro tiene 15 cm de di´metro y 80 cm de altura. Encontrar el radio de un c´ a ırculo cuya ´rea sea igual a al 50 % de la superficie total del cilindro. 10. Suponga que el radio basal de un cono circular recto aumenta en un 15 %, mientras que su altura disminuye en un 20 %. ¿En cu´nto % var´ la superficie basal, total y el volumen del cono?. a ıa 11. El ancho de un anillo circular mide 8 % m´s que el radio de la circunferencia interior. ¿Qu´ tanto % del ´rea a e a del anillo es el ´rea del c´ a ırculo interior si el di´metro del c´ a ırculo interior es de 70 cm?. 12. Suponga que el di´metro de un c´ a ırculo mide 30 % menos que el de otro c´ ırculo conc´ntrico. Expresar el ´rea e a del anillo en tanto % del ´rea del c´ a ırculo interior. 13. El volumen de cierto cono es igual a la mitad del volumen de una esfera de 18 cm de radio. Calcular el radio basal del cono si su altura mide el 35 % del radio de la esfera. 14. Considere el rect´ngulo cuya base y altura est´n en la proporci´n b : a = 27 : 21. Si la base ”b” aumenta a a o en 1 m y la altura ”a” en 3 m el rect´ngulo se transforma en un cuadrado. ¿Cu´nto mide la diagonal del a a rect´ngulo? a 15. Considere el s´lido formado por una semiesfera en la parte superior, un cilindro en el centro y un cono en la o parte inferior. El radio de la semiesfera, el cilindro y el cono es de x. La altura del cono es de x y del s´lido o es de 5x. Si el volumen del s´lido es de 256π, encuentre el valor de x. o 16. Un auto y un tren se mueven juntos a lo largo de trayectorias paralelas a 25 m/s, con el auto adyacente a la parte trasera del tren. Debido a una luz roja el auto adquiere una aceleraci´n uniforme de -2,5 m/s2 (el auto o est´ desacelerando) y llega al reposo. Permanece en reposo durante 45 s y luego acelera hasta llegar a una a rapidez de 25 m/s. ¿A qu´ distancia de la parte posterior del tren se encuentra el auto cuando este alcanza la rapidez de 25 m/s, e suponiendo que la rapidez del tren permanece constante?. 4
  • 6. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 17. Un adolescente tiene un auto que acelera a 3 m/s2 y desacelera a 4 m/s2 . En un viaje a una tienda acelera desde el reposo hasta los 12 m/s, maneja con rapidez constante durante 5 s y luego se detiene en una esquina. Acelera despu´s hasta los 18 m/s, maneja con rapidez constante durante 20 s, desacelera durante 2 s, continua e durante 4 s a esta rapidez y luego se detiene al llegar a la tienda. a) ¿Cu´nto dura el recorrido y cu´nta distancia recorre? a a b) Si usted camina a 1,5 m/s ¿cu´nto tardar´ en llegar a la tienda? a ıa 18. La l´ ınea de Watt’s S.A., productora de mermeladas requiere determinar el n´mero de m´quinas a utilizar u a durante los siguientes tres a˜os para su producci´n de mermelada de frambuesa. n o La demanda de mermelada de frambuesa para los siguientes tres a˜os, en toneladas, es: n A˜o 1 n A˜o 2 n A˜o 3 n 30 50 40 En la siguiente tabla se pueden ver los ingredientes en la producci´n de una tonelada de mermelada, y tambi´n o e la velocidad de procesamiento de cada ingrediente en la m´guina que cuesta $15.000.000 que se desea comprar: a Ingredientes Pulpa de Frambuesa Agua Otros Procesamiento 0,5 ton/hr 0,1 ton/hr 0,7 ton/hr La m´quina es capaz de procesar 0,6 ton/hr. Por otro lado, las condiciones operacionales son: ocho horas por a turno, cinco d´ a la semana y cuatro semanas al mes. Se debe operar doce meses al a˜o. ıas n Para los siguientes tres a˜os determine el n´mero de m´quinas requeridas y el costo de adquirilas. n u a 19. Forestal Minin S.A. es una empresa forestal que opera en la octava regi´n. Esta requiere determinar el n´mero o u de m´quinas para un nuevo aserradero que permitir´ explotar un fundo forestal en la zona de Tehualco. a a El fundo cuenta con 1.100 hect´reas las cuales ser´n explotadas en los siguientes tres a˜os seg´n el siguiente a a n u plan: A˜o 1 n A˜o 2 n A˜o 3 n Demanda (Hect´reas) a 300 360 440 El rendimiento esperado por hect´rea es de 15 toneladas por madera procesada. a Las m´quinas existentes en el mercado tienen una capacidad de procesamiento de 0,7 ton/hr. Cada m´quina a a tiene un costo de $20.000.000 y requiere para su operaci´n un operario capacitado por turno cuyo costo total o anual es de $3.000.000. Los costos operacionales asociados a insumos, energ´ y personal son proporcionales a ıa las toneladas de madera procesada y se han estimado en $1.500 por tonelada procesada. Por otro lado, las condiciones operacionales del aserradero son: ocho horas por turno, cinco d´ a la semana ıas y cuatro semanas al mes. El aserradero deber´ operar los doce meses al a˜o. a n Para los siguientes tres a˜os determine: n a) N´mero de m´quinas requeridas u a b) Costo total considerando los gastos de inversi´n y operaci´n. o o 5
  • 7. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 3 LOGICA SIMBOLICA Y TEOR´ DE CONJUNTOS ´ ´ IA3. L´gica Simb´lica y Teor´ de Conjuntos o o ıa3.1. L´gica Simb´lica o o 1. Demuestre, utilizando tablas de verdad y/o propiedades, las siguientes equivalencias. a) (p ⇒ q) ⇔ (p ∨ q) b) (p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] c) [p ∧ (p ∨ q)] ⇔ p d) [p ∨ (p ∧ q)] ⇔ p e) [p ∧ (p ∨ q)] ⇔ (p ∧ q) f) [p ∨ (p ∧ q)] ⇔ (p ∨ q) g) (p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ p) h) (p ⇒ q) ⇔ [(p ∧ q) ⇒ F ] i) [p ∧ q ⇒ r] ⇔ [(p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r)] j) [p ⇒ (q ∧ r)] ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)] k) [p ⇒ (q ∨ r)] ⇔ [(p ⇒ q) ∨ (p ⇒ r)] l) [p ∨ q ⇒ r] ⇔ [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)] 2. Demuestre que las siguientes expresiones son tautolog´ ıas. a) p ⇒ (p ∨ q) b) (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] c) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) d) (p ⇒ q) ⇒ [(p ∨ r) ⇒ (q ∨ r)] 3. Simplifique las siguientes expresiones. a) [p ⇒ (q ∧ r)] ⇒ (p ⇒ q) b) (p ⇒ q) ⇒ [(p ∧ r) ⇒ (q ∧ r)] c) [p ∨ (p ∧ q)] ⇔ p d) p ⇒ [q ⇒ (p ⇒ q)] 4. Sean p y q proposiciones l´gicas. Se define p × q por la siguiente tabla. o p q p×q V V F V F V F V V F F V Demuestre que se cumple que: a) p ≡ p × p. b) p ∨ q ≡ (p × q) × (p × q). c) p ∧ q ≡ (p × q) × (q × q). 5. Sean p, q y r proposiciones tales que p es verdadera, q es verdadera y r es falsa. Hallar el valor de verdad de [(p ⇒ q) ⇒ (p ∧ q)] ∧ (r ⇒ q) 6. Si p ∧ q ⇒ r es falsa, determinar el valor de verdad de (p ∨ q) ⇔ (r ∨ p) 6
  • 8. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 3.1 L´gica Simb´lica o o 7. Si la proposici´n p ⇒ q es falsa. Determine el valor de verdad de la proposici´n o o [p ∨ (q ∧ r)] ⇔ [(p ∨ r) ∧ q] 8. Encontrar el valor de verdad de la proposici´n: o [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] ⇒ [q ∨ (p ⇒ r)] sabiendo que p ⇒ (q ∨ r) es falsa. 9. Determinar el valor de verdad de las proposiciones p, q y r si se sabe que la proposici´n compuesta o {[(p ⇔ q) ⇔ (p ∨ r)] ∧ [p ⇒ (q ∧ r)]} es verdadera. 10. Sean p, q, r y s proposiciones l´gicas. Se definen los conectivos o y de la siguiente forma: p q≡p⇒q r s≡r∨s Encuentre el valor de verdad de la siguiente proposici´n: o [p ∧ (p r)] ∨ [(p q) ∨ (s p)] 11. Para cada una de las siguientes definiciones obtenga su negaci´n. o a) S ⊂ R es acotado si: (∃M ∈ R+ )(∀x ∈ S)(|x| ≤ M ). b) Una funci´n f : I ⊆ R −→ R es inyectiva en I si: o (∀x, y ∈ I)(f (x) = f (y) ⇒ x = y). c) Una funci´n f : A −→ B es sobreyectiva si: o (∀y ∈ B)(∃x ∈ A)(y = f (x)). d ) Una funci´n f : R −→ R es continua en x0 ∈ R si: o (∀ > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ R)(|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ). 12. Dadas las siguientes funciones proposicionales p(x) : x2 + y ≤ xy q(x) : x+y ≤1 a) Determine el valor de verdad de la proposici´n (∀x ∈ N)(∃y ∈ Z)(p(x, y) ⇒ q(x, y)). o b) Escriba la negaci´n de la proposici´n anterior. o o 13. Para x ∈ R considere las siguientes funciones proposicionales: p(x) : x2 − 3x − 10 ≥ 0 q(x) : 3x + 1 ≥ 13 Determine todos los x ∈ R de modo que la proposici´n p(x) ∨ q(x) sea verdadera. o 7
  • 9. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 3 LOGICA SIMBOLICA Y TEOR´ DE CONJUNTOS ´ ´ IA3.2. Teor´ de Conjuntos ıa 1. Sean A, B, C ⊆ U. Demuestre que: a) (A ∩ B)c = Ac ∪ B c b) (A ∪ B)c = Ac ∩ B c c) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) d) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C) e) A ⊂ B ⇔ B c ⊂ Ac f) A⊂B ⇒ A∩B =A y A∪B =B 2. Sean A, B, C ⊆ U.Simplifique utilizando propiedades. a) [A ∩ (A ∩ B)c ] ∪ [B ∪ (B ∩ C c )]c ∪ B c b) [A ∩ (A − B)] ∪ B c) [(A ∩ B c ) ∩ (A − B c )]c ∪ Ac 3. Sean A, B, C ∈ U. Demuestre lo que: a) A − B = A − (A ∩ B). b) A ∩ B = ∅ ⇔ (A ∪ B) ∩ B c = A. c) A ∩ C = ∅ ⇔ (A − B) − C = A − (B − C). d) A ∩ B ∩ C = ∅ ⇔ [(A − B) − (B − C) − (C − A)] = A ∪ B ∪ C. 4. Considere los conjuntos: a) A = {x ∈ R / 5 ≤ |x|} b) B = {x ∈ R / x2 + 6 = 7x} c) C = {x ∈ R / − 7 ≤ x ≤ 3} d) D=∅ e) E=R Determine: B ∩ C, A ∩ C, A ∪ B, B ∪ C, A ∪ E, B ∩ E, D − A y A − C. 5. Considere los conjuntos P = {x N / 2x2 − 3x + 1 = 0} y C = {x Z / x ≥ −3 ∧ x < 7}. a) Determine expl´ ıcitamente los conjuntos P y C. b) Calcule |P | + |C| y |P ∪ C|. 6. Dadas las siguientes funciones proposicionales p(x) : 2x − 10 ≥ 20 q(x) : |x| < 40 a) Determine expl´ ıcitamente los conjuntos A = {x ∈ R / p(x) ∧ q(x) es Verdadero } B = {x ∈ R / p(x) ⇒ q(x) es Falso } b) Encuentre A − B. 8
  • 10. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 3.2 Teor´ de Conjuntos ıa 7. Sean A, B ⊂ U. Se define la diferencia sim´trica entre A y B como A B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B}. Observar e que el conjunto A B es el conjunto de los elementos que pertenecen a A o a B pero no a los dos. Sean A, B, C ⊂ U. Demuestre las siguientes propiedades: a) A B = (A − B) ∪ (B − A) b) A B = (A ∪ B) − (A ∩ B) c) A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C) d) (A B) (B C) = A C e) A B=C⇔A C=B 8. Sea A ⊂ U un conjunto. Se define el conjunto potencia de A, denotado por P(A), como el conjunto cuyos ımbolos viene dado por P(A) = {B ⊂ U / B ⊂ A}. elementos son todos los subconjuntos de A. Escrito en s´ Sean A, B ⊂ U. Entonces se cumple que: a) P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B). b) P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B). c) P(A) = P(B) ⇔ A = B. 9. Se entender´ por |P | como el n´mero de elementos del conjunto P. Sean A y B conjuntos disjuntos, es decir, a u conjuntos que cumplen con A ∩ B = ∅, entonces se tendr´ que |A ∪ B| = |A| + |B|. a Sean A, B, C ⊂ U. Demuestre que: a) Si A ∩ B = ∅ entonces |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. b) Si A ∩ B ∩ C = ∅ entonces |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|. Indicaci´n: Para a) escriba los conjuntos A ∪ B y B como uni´n de conjuntos disjuntos. o o 10. Se realiz´ una encuesta a 160 Sansanos de primero a˜o respecto a la lectura de libros de ciencias: Matem´tica o n a (M ), F´ısica (F ) y Qu´ ımica (Q), obteniendo los siguientes resultados: 65 leen M , 70 leen F , 73 leen Q, 30 leen M y F , 109 leen F o Q, 106 leen M o Q, 105 leen M o F y finalmente 40 no leen (no porque no sepan leer, sino porque no tienen inter´s). e Determine: a) N´mero u de Sansanos que leen los 3 libros. b) N´mero u de Sansanos que lee 1 solo libro. c) N´mero u de Sansanos que leen libros de Matem´tica o F´ a ısica, pero no ambas. d) N´mero u de Sansanos que leen libros de F´ ısica y Qu´ ımica. 11. Una encuesta realizada a 100 personas sobre sus deportes favoritos revel´ que 50 practican f´tbol, 79 prac- o u tican f´tbol o tenis, 68 practican f´tbol o handball, 68 practican tenis o handball, 35 practican handball, 45 u u practican tenis y finalmente 6 personas practican los tres deportes. Determine: a) N´mero u de personas que practican f´tbol. u b) N´mero u de personas que practican f´tbol y tenis. u c) N´mero u de personas que practican handball o tenis pero no f´tbol. u d) N´mero u de personas que a lo menos practican tres de estos deportes e) N´mero u de personas que no practican tenis. 9
  • 11. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 4 FUNCIONES4. Funciones4.1. Propiedades de Funciones 1. Sea p > 0 e I = [−p, p]. Considere la funci´n f : I ⊆ R −→ R. Obtenga la negaci´n de las siguientes o o definiciones. a) Una funci´n f se dice par en I si: o (∀x ∈ I)(f (−x) = f (x)). b) Una funci´n f se dice impar en I si: o (∀x ∈ I)(f (−x) = −f (x)). 2. Considere la funci´n f : I ⊆ R −→ R y A ⊆ I. Obtenga la negaci´n de las siguientes definiciones. o o a) Una funci´n f se dice creciente en A si: o (∀x, y ∈ A)(x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y)). b) Una funci´n f se dice decreciente en A si: o (∀x, y ∈ A)(x ≥ y ⇒ f (x) ≥ f (y)). 3. Sea f : A −→ B, A0 ⊆ A y B0 ⊆ B . Demostrar las siguientes propiedades: a) [f (A0 )]c = f (Ac ). 0 b) [f −1 (B0 )]c = f −1 (B0 ). c 4. Sea f : A −→ B una funci´n. Sean A0 ⊆ A y B0 ⊆ B. Demostrar las siguientes propiedades: o a) A0 ⊆ f −1 (f (A0 )) y que se da la igualdad si f es inyectiva. b) f (f −1 (B0 )) ⊆ B0 y que se da la igualdad si f es sobreyectiva. Recomendaci´n: Para ilustrar estas propiedades considere las funciones f (x) = x2 y g(x) = x, y luego haga o los c´lculos para ambas funciones con los conjuntos A0 = [0, 1] y B0 = [−1, 1]. a 5. Sea f : A −→ B y B0 , B1 ⊂ B. Demostrar las siguientes propiedades: a) B0 ⊆ B1 ⇒ f −1 (B0 ) ⊆ f −1 (B1 ). b) f −1 (B0 ∪ B1 ) = f −1 (B0 ) ∪ f −1 (B1 ). c) f −1 (B0 ∩ B1 ) = f −1 (B0 ) ∩ f −1 (B1 ). d ) f −1 (B0 − B1 ) = f −1 (B0 ) − f −1 (B1 ). Recomendaci´n: Para ilustrar estas propiedades elija una funci´n (como f (x) = x) y luego haga los c´lculos o o a con B0 y B1 elegidos adecuadamente. 10
  • 12. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 4.1 Propiedades de Funciones 6. Sea f : A −→ B y A0 , A1 ⊆ A. Demostrar las siguientes propiedades: a) A0 ⊆ A1 ⇒ f (A0 ) ⊆ f (A1 ). b) f (A0 ∪ A1 ) = f (A0 ) ∪ f (A1 ). Recomendaci´n: Para ilustrar estas propiedades elija una funci´n (como f (x) = x) y luego haga los c´lculos o o a con A0 y A1 elegidos adecuadamente. 7. Sea f : A −→ B y A0 , A1 ⊆ A. Demostrar las siguientes propiedades: a) f (A0 ∩ A1 ) ⊆ f (A0 ) ∩ f (A1 ). La igualdad se tiene si f es inyectiva. b) f (A0 − A1 ) ⊆ f (A0 ) − f (A1 ). La igualdad se tiene si f es inyectiva. Recomendaci´n: Para ilustrar estas propiedades elija dos funciones, una inyectiva y otra no, y luego haga o todos los c´lculos con A0 y A1 elegidos adecuadamente. a 8. Sean f y g funciones biyectivas. Demuestre que: a) f ◦ g y g ◦ f son biyectivas. b) (f ◦ g)−1 = g −1 ◦ f −1 . 9. Sea f : I ⊆ R −→ R. Muestre: a) Si f es una funci´n estrictamente creciente en I entonces la funci´n es inyectiva. o o b) Si f es una funci´n estrictamente decreciente en I entonces la funci´n es inyectiva. o o 11
  • 13. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 4 FUNCIONES4.2. Estudio de Funciones 1. Para las siguientes funciones: grafique y determine si presenta alg´n tipo de paridad; determine su dominio u y recorrido; ¿es biyectiva la funci´n? si no lo es, encuentre un intervalo maximal de modo que lo sea; y, si es o posible, determine su funci´n inversa y luego graf´ o ıquela. 5x + 3 a) f (x) = −x2 + 3x + 10 b) g(x) = x2 + 4x + 5 c) h(x) = x−4 4 x−2 4x − 2 d) f (x) = 2(x − 1) + e) g(x) = | | f) h(x) = x−1 x+7 x+2 x g) f (x) = h) g(x) = x 1 − x2 i) h(x) = 2− 2 − x2 |x| − 1 √ 1 x x j) f (x) = √ k) g(x) = √ l) h(x) = √ 3 + x2 − 4 1+ x x+1−1 x2 + x + 1 m) f (x) = |x − 2| + 2 n) g(x) = |x2 − 8x + 7| − 2 o) h(x) = x − 1 + |x|    x|x| , |x| < 1  x−1 , x<1 p) f (x) = q) g(x) =  √ x/|x| , |x| ≥ 1 x−1 , x≥1  2. Halle las composiciones f ◦ g y g ◦ f de las siguientes funciones, y luego indique sus dominios y recorridos. √ a) f (x) = x2 g(x) = x. b) f (x) = 1 − x g(x) = x − x2 .   2  3x + 4 , 0≤x≤2  x , 2≤x≤5 c) f (x) = g(x) = x+1 , 2<x<4 4 , 5 < x < 12      2x − 2 , −3≤x≤6  x , − 10 ≤ x ≤ 7 d ) f (x) = g(x) = 10 , 6 < x ≤ 10 x2 , 7 < x ≤ 15   3. Encuentre f ◦ f ◦ f de las siguientes funciones. 1 1 x a) f (x) = b) f (x) = c) f (x) = √ x 1+x 1 + x2 4. Para cada problema encuentre la funci´n y = f (x) que satisface la condici´n dada: o o a) f (x + 1) = x2 − 3x + 2. 1 1 b) f (x + ) = x2 + 2 con x = 0. x x 1 c) f ( ) = x + 1 + x2 con x > 0. x 12
  • 14. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 4.2 Estudio de Funciones 1 x 5. Sean f (x) = y g(x) = funciones. Sea x2 +1 1+x f (x + h) − (f ◦ g)(x + h) P (h) = f (x+h) (f · g)(x + h) − g(x+h) a) Calcule A(h) en funci´n de h y x. o b) Calcule A(1) y A(−1). 6. Sea U el conjunto universo. Considere la funci´n que a un conjunto finito le asigna el n´mero de elementos. o u a) Escriba esta funci´n en t´rminos de f : Conjunto de Entrada −→ Conjunto de Llegada o e b) ¿Es biyectiva esta funci´n? o 7. Considere la funci´n que a un elemento de los n´meros reales le asigna su valor absoluto. o u a) Escriba esta funci´n en t´rminos de f : Conjunto de Entrada −→ Conjunto de Llegada o e b) ¿Es biyectiva esta funci´n? o 8. Sea p > 0 y f : [0, p] ⊆ R −→ R una funci´n. Se define: o a) La extensi´n par de f como: o   f (x) , 0≤x≤p Pf (x) = f (−x) , − p ≤ x < 0  b) La extensi´n impar de f como: o   f (x) , 0≤x≤p If (x) = −f (−x) , − p ≤ x < 0  Pruebe que la extensi´n par de f es una funci´n par, y que su extensi´n impar es una funci´n impar. o o o o 9. Para a, b, c, d ∈ R considere la funci´n definida por: o ax + b f (x) = cx + d a) ¿Qu´ condiciones deben satisfacer los par´metros a, b, c, d ∈ R para que f tenga inversa? e a b) Halle el dominio de f −1 y determine una expresi´n para ella. o c) Las funciones de esta forma reciben el nombre de Transformaciones de M¨bius. Pruebe que la com- o posici´n de transformaciones de M¨bius es una transformaci´n de M¨bius. o o o o 13
  • 15. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 4 FUNCIONES ex − e−x 10. El Seno Hiperb´lico de x viene dado por sinh x = o y el Coseno Hiperb´lico viene dado por o 2 ex + e−x cosh x = . Demuestre las siguientes propiedades: 2 a) cosh x > 0 ∀x ∈ R y sinh x ≥ 0 si y solo si x ≥ 0. b) El seno hiperb´lico es una funci´n impar y el coseno hiperb´lico es una funci´n par. o o o o c) cosh x + sinh x = ex y cosh x − sinh x = e−x . d ) cosh2 x − sinh2 x = 1. e) sinh (x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y. f ) cosh (x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y. g) Sea n ∈ N, entonces (cosh x + sinh x)n = cosh nx + sinh nx. 11. Una funci´n f se dice convexa en I ⊆ R si o f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ∀x, y ∈ I ∀λ ∈ [0, 1] f se dice c´ncava si −f es convexa. Muestre que las siguientes funciones son convexas en R: o a) f (x) = x b) g(x) = |x| c) h(x) = |x|2 Adem´s muestre que las funciones lineales son convexas. a 12. Sean f (x) = ax + b y g(x) = cx + d con a, c = 0. Muestre que f · g es convexa si a y c tienen el mismo signo, y si tienen el signo contrario son c´ncavas. o 14
  • 16. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 4.3 Problemas de Modelado4.3. Problemas de Modelado 1. Una hoja tiene un ´rea de impresi´n de 25 cm2 rodeados por m´rgenes de 2 cm a cada lado y 4 cm en la a o a parte superior e inferior. Exprese el ´rea total de la hoja. a 2. Encuentre el ´rea de un rect´ngulo inscrito en la semielipse x2 + 4y 2 = 4 con y ≥ 0, si un lado debe estar a a sobre el eje x. 3. Encuentre la capacidad de una canaleta para aguas de lluvia construida en una plancha de lat´n de 6 m de o largo y 80 cm de ancho. 4. Se ha fabricado un envase de lata (un cilindro con tapas) con capacidad de 1 litro. Determine en funci´n del o radio basal la cantidad de material utilizado en su fabricaci´n. o 5. Considere un cilindro recto con tapa cuyo radio basal mide R cm y su altura mide H cm. Determine el volumen del cilindro en funci´n de su radio sabiendo que su superficie lateral es de 15 cm2 . o 6. Un rect´ngulo con lados paralelos a los ejes coordenados tiene un v´rtice en el origen, uno en el eje x positivo, a e uno en el eje y positivo y su cuarto v´rtice en el primer cuadrante sobre la recta 2x + y = 100. ¿Cu´l es el e a a ´rea m´xima de dicho rect´ngulo? a a 7. Un hotel que cobra 80 d´lares diarios por habitaci´n hace promociones a grupos que reserven entre 30 y 60 o o habitaciones. Si se reservan entre 30 y 60 habitaciones el precio disminuye un d´lar por cada cuarto. En estas o condiciones ¿cu´ntas habitaciones producen el ingreso m´ximo? a a 8. Un nadador est´ en un punto A en la orilla de un estanque circular de centro O, de 200 m de di´metro. El a a nadador desea llegar a un punto B que est´ diametralmente opuesto a ´l. Para hacerlo, camina hasta el punto a e P de la orilla de modo que el ´ngulo AOP = 60◦ , y despu´s nada en l´ a e ınea recta de P a B. El nadador camina con una rapidez de ´ngulo de 50 m/min y nada con una rapidez de 100 m/min. Determine la distancia a recorrida como funci´n del tiempo. o 9. Un empleado dispone de dos opciones para ocupar un puesto en una empresa de la uni´n europea. En un o puesto le pagan 12, 5 euros en una hora m´s 0, 75 euros por unidad producida. En el otro puesto le pagan a 9, 20 euros en una hora m´s 1, 30 euros por unidad producida. a a) Exprese los salarios en una hora en t´rminos de el n´mero de unidades producidas para cada una de las e u opciones. b) ¿C´mo usar´ esta informaci´n para seleccionar la opci´n correcta si su objetivo fuera obtener el mayor o ıa o o sueldo por hora? 10. Considere un alambre de largo L. A una distancia x de uno de sus extremos, al alambre se le hace un corte dej´ndolo en dos partes. Con una parte se forma una circunferencia. A la otra parte, a un distancia y de uno a de sus extremos, se le hace un corte dej´ndolo en dos partes. Con una parte de hace un tri´ngulo equil´tero a a a y con la otra un cuadrado. a) Encuentre una f´rmula, A(x, y), que calcule la suma de las ´reas. o a b) Si y = x, determine el dominio y recorrido de la funci´n A(x). o c) Grafique A(x). 15
  • 17. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 4 FUNCIONES 11. Considere la siguiente figura: a) Encuentre el volumen, V (x), del s´lido en funci´n de la altura x. o o b) Determine el dominio y recorrido de V (x). c) Grafique V (x). 12. Considere la siguiente figura: a) Encuentre el ´rea achurada, A(x), en funci´n de la base x. a o b) Determine el dominio y recorrido de A(x). c) Grafique A(x). 13. Considere la siguiente figura: a) Encuentre el volumen del cono, V (x), en funci´n de la altura x. o b) Determine el dominio y recorrido de V (x). c) Grafique V (x). 16
  • 18. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 4.3 Problemas de Modelado 14. Para a, b > 0 considere la siguiente figura: a) Encuentre el ´rea, A(x), del rect´ngulo inscrito en el tri´ngulo en funci´n de x. a a a o b) Grafique la funci´n A(x) cuyo dominio es el intervalo [0, 2a]. ¿Cu´l es su recorrido? o a c) ¿Cu´l es el ´rea m´xima del rect´ngulo inscrito? a a a a 17
  • 19. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 5 GEOMETR´ ANAL´ IA ITICA5. Geometr´ Anal´ ıa ıtica5.1. La Recta 1. Hallar la ecuaci´n de la recta que pasa por el punto A(1, 5) y tiene pendiente 2. o 2. Hallar la ecuaci´n de la recta cuya pendiente es −3 y cuya intercepci´n con el eje Y es −2. o o 3. Hallar la ecuaci´n de la recta que pasa por los puntos C(4, 2) y B(−5, 7). o 4. Los v´rtices de un cuadril´tero son A(0, 0), B(2, 4), C(6, 7) y D(8, 0). Hallar la ecuaci´n de la recta de sus e a o lados. 5. Encontrar la recta que pasa por el punto A(7, 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B(−2, 2) y C(3, −4). 6. Hallar la ecuaci´n de la recta cuya pendiente es −4 y que pasa por el punto de intersecci´n de las rectas o o 2x + y − 8 = 0 y 3x − 2y + 9 = 0. 7. Determine el valor de las constantes A y B de modo que los puntos (−3, 1) y (1, 6) pertenezcan a la recta Ax − By + 4 = 0. 8. Halle el valor de la constante k para que la recta kx + (k − 1)y − 18 = 0 sea paralela a la recta 4x + 3y + 7 = 0. 9. Determine el valor de la constante k para que la recta k 2 x + (k + 1)y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta 3x − 2y − 11 = 0. 10. Grafique que las rectas 2x − y − 1 = 0, x − 8y + 9 = 0, 2x − y − 8 = 0 y x − 8y + 3 = 0, y luego pruebe forman un paralel´gramo. o 11. Las coordenadas del punto P son (2,6), y la ecuaci´n de la recta L es 4x + 3y = 12. Determinar la distancia o del punto P a la recta L siguiendo los siguientes pasos: a) Halle la pendiente de L. b) Halle la ecuaci´n de la recta L que pasa por P y es perpendicular a L. o c) Determine las coordenadas del punto P que es el punto de intersecci´n entre L y L . o d ) Calcule la distancia entre el punto P y P . 12. Hallar la distancia de la recta 4x − 5y + 10 = 0 al punto (2, −3). 13. Hallar la distancia comprendida entre las rectas paralelas 3x − 4y + 8 = 0 y 6x − 8y + 9 = 0. 18
  • 20. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 5.1 La Recta 14. Hallar la ecuaci´n de la recta paralela a la recta 5x + 12y = 12 que es 4 unidades distante de ella. ¿Es unica o ´ esta soluci´n? Justifique geom´tricamente. o e 15. Hallar la ecuaci´n de la recta que pasa por el punto (3, 1) tal que la distancia, de esta recta, al punto (−1, 1) √ o es 2 2. ¿Es unica esta soluci´n? Justifique geom´tricamente. ´ o e 16. Determine el ´rea del tri´ngulo cuyos v´rtices son los puntos A(1, 1), B(5, 4) y C(3, 7). a a e 17. Considere el tri´ngulo cuyos v´rtices son C(−2, 1), L(4, 7) y G(6, −3). a e a) Hallar la ecuaci´n de la recta de sus lados. o b) Determine el valor de sus alturas. c) Determine su centro de gravedad. d ) Encuentre su ´rea. a e) ¿Qu´ tipo de tri´ngulo es? e a 18. Hallar el ´rea del tri´ngulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuaci´n es 5x + 4y + 20 = 0. a a o 19. Determinar el valor de la constante k para que la recta 4x + 5y + k = 0 forme con los ejes coordenados un 5 tri´ngulo rect´ngulo de ´rea 2 unidades cuadradas. a a a 20. El tri´ngulo ABC con v´rtice C = (3, 4) tiene un ´rea de 10 cm2 . Los otros dos v´rtices est´n sobre la recta a e a e a L1 : x − 2y = 0. Si se sabe que L2 , que pasa por C y tiene pendiente m2 = −2, es una transversal de gravedad del tri´ngulo ABC, determine los v´rtices A y B. a e 21. Demuestre que el ´rea del tri´ngulo formado por el eje Y y las rectas y = m1 x + b1 e y = m2 x + b2 , con a a m1 = m2 , viene dada por: 1 (b2 − b1 )2 A= 2 |m2 − m1 | 19
  • 21. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 5 GEOMETR´ ANAL´ IA ITICA5.2. C´nicas o5.2.1. Circunferencia 1. Determine la ecuaci´n de las siguientes circunferencias: o a) Centro es el punto (2, −6) y su radio es 6. b) El segmento de recta que une A(1, 1) y B(−8, 6) es un di´metro. a c) El centro est´ en el punto (4, 2) y la circunferencia pasa por el punto (−1, −1). a d ) La circunferencia es tangente a la recta 3x − 4y = 32 y el centro est´ en el punto (0, 7). a 2. Hallar la ecuaci´n de las siguientes circunferencias. o a) La circunferencia pasa por los puntos (0, 0), (3, 6) y (7, 0). b) La circunferencia pasa por los puntos (2, −2), (−1, 4) y (4, 6). c) La circunferencia pasa por los puntos (4, −1), (0, −7) y (−2, −3). 3. Halle la ecuaci´n de la recta tangente a las siguientes circunferencia en los puntos dados. o a) x2 + y 2 − 2x − 6y − 3 = 0 P0 = (−1, 6) 2 2 b) x + y + 2x − 2y − 39 = 0 P0 = (4, 5) 4. Demostrar que las circunferencias C1 : x2 + y 2 − 3x − 6y + 10 = 0 y C2 : x2 + y 2 − 5 = 0 son tangentes. Hallar la ecuaci´n de la circunferencia tangente a C1 y C2 en su punto en com´n y que pasa por el punto (7, 2). o u Adem´s compruebe que el centro de esta circunferencia est´ sobre la recta de los centros de C1 y C2 . a a 5. Hallar la ecuaci´n de la cirunferencia que para por el punto (−10, −2) y por las intersecciones de la circun- o ferencia x2 + y 2 + 2x − 2y − 32 = 0 y la recta x − y + 4 = 0. 6. Hallar los valores de a ∈ R de modo que la circunferencia de ecuaci´n x2 + y 2 − 2ax + a2 − 1 = 0 y la recta o con interceptos en los puntos (0, 2) y (2, 0): a) Se corten en un unico punto. ´ b) Se corten en dos puntos. c) No se corten. 20
  • 22. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 5.2 C´nicas o5.2.2. Par´bola a 1. Escriba la definici´n de la Par´bola como un lugar geom´trico y luego deduzca su ecuaci´n. o a e o 2. Hallar la ecuaci´n de las siguientes par´bolas. o a a) V´rtice en el origen y foco en el punto (3, 0). e b) V´rtice en el origen y que tiene como directriz la recta y − 5 = 0. e c) Foco en el punto (3, 4) y tiene como directriz la recta x − 1 = 0. d ) V´rtice en el punto (2, 0) y foco en el origen. e 3. En los siguientes ejercicios lleve la ecuaci´n a su forma can´nica y luego determine: coordenadas del v´rtice y o o e del foco, ecuaciones de la directriz y del eje, y la longitud del lado recto. a) 4y 2 − 48x − 20y = 71 b) 9x2 + 24x + 72y + 16 = 0 c) y 2 + 4x = 7 d ) 4x2 + 48y + 12x = 159 e) y = ax2 + bx + c 4. Hallar la ecuaci´n de la par´bola cuyo eje es paralelo al eje x y que pasa por los puntos (0, 0), (8, −4) y (3, 1). o a 5. Determine la ecuaci´n de la par´bola cuyo v´rtice est´ en el punto (4, −1), como eje la ecuaci´n y + 1 = 0, y o a e a o que pasa por el punto (−3, 3). 6. Considere la ecuaci´n de la par´bola y 2 = 4px. Demuestre que la ecuaci´n de la recta tangente a una par´bola o a o a en el punto P0 (x0 , y0 ) es: y0 y = 2p(x + x0 ). 7. Determine la ecuaci´n de la recta tangente y normal en el punto indicado de las siguientes par´bolas: o a a) y 2 − 4x = 0 P0 (1, 2) 2 b) y + 4x + 2y + 9 = 0 P0 (−6, 3) 2 c) x − 6x + 5y − 11 = 0 P0 (−2, 1) 21
  • 23. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 5 GEOMETR´ ANAL´ IA ITICA5.2.3. Elipse 1. Escriba la definici´n de la Elipse como un lugar geom´trico y luego deduzca su ecuaci´n. o e o 2. En los siguientes ejercicios determine las coordenadas de los v´rtices y focos, la longitud de los ejes mayor y e menor, y finalmente grafique. a) 9x2 + 4y 2 = 36 b) 4x2 + 9y 2 = 36 c) 16x2 + 25y 2 = 400 d ) x2 + 3y 2 = 6 3. Hallar la ecuaci´n de la elipse cuyos v´rtices son los puntos (4, 0) y (−4, 0), y sus focos son los puntos (3, 0) o e y (−3, 0). 4. Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje x. Hallar su ecuaci´n sabiendo que √ √ o pasa por los puntos ( 6, −1) y (2, 2). √ 5. Hallar la ecuaci´n de la elipse que pasa por los puntos (1, 3), (−1, 4), (0, 3 − o 3/2) y (−3, 3); y tiene sus ejes paralelos a los ejes coordenados. 6. En cada uno de los siguiente ejercicios llevar la ecuaci´n a su forma can´nica y luego determinar: coordenadas o o de los v´rtices, focos y centro, longitudes de los ejes mayor y menor, y finalmente grafique. e a) x2 + 4y 2 − 6x + 16y + 21 = 0 b) 4x2 + 9y 2 + 32x − 18y + 37 = 0 c) x2 + 4y 2 − 10x − 40y + 109 = 0 d ) 9x2 + 4y 2 − 8y − 32 = 0 7. Considere la ecuaci´n de la elipse b2 x2 + a2 x2 = a2 b2 . Demuestre que la ecuaci´n de la recta tangente a una o o elipse en el punto P0 (x0 , y0 ) es: b2 x0 x + a2 y0 y = a2 b2 . 8. Determine la ecuaci´n de la recta tangente y normal en el punto indicado de las siguientes elipses: o a) 2x2 + 3y 2 = 5 P0 (1, −1) 2 2 b) 6x + 2y = 14 P0 (1, 2) 2 2 c) 3x + y = 21 P0 (2, 3) 22
  • 24. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 5.2 C´nicas o5.2.4. Hip´rbola e 1. Escriba la definici´n de la Hip´rbola como un lugar geom´trico y luego deduzca su ecuaci´n. o e e o 2. En los siguientes ejercicios determine las coordenadas de los focos, v´rtices y centro, longitudes del lado e transverso y conjugado, y finalmente grafique. a) 9x2 − 4y 2 = 36 b) 4x2 − 9y 2 = 36 c) 16x2 − 25y 2 = 400 d ) x2 − 3y 2 = 6 3. Determine la ecuaci´n de las siguientes hip´rbolas y luego graf´ o e ıquelas. a) Focos en los puntos (−7, 3) y (−1, 3) y su longitud del lado transverso es de 4 unidades. b) Los v´rtices de una hip´rbola vienen dados por los puntos (2, 0) y (−2, 0), y sus focos son los puntos e e (3, 0) y (−3, 0). c) La hi´rpola pasa por el punto (3, −1), su origen est´ en el centro, su eje transverso est´ sobre el eje x y e √ a a la ecuaci´n de una de sus as´ o ıtotas es 2x + 3 2y = 0. d ) La hi´rpola pasa por el punto (2, 3), su origen est´ en el centro, su eje transverso est´ sobre el eje y y la e √ a a ıtotas es 2y − 7y = 0. ecuaci´n de una de sus as´ o 4. En cada uno de los siguiente ejercicios llevar la ecuaci´n a su forma can´nica y luego determinar: coordenadas o o de los v´rtices, focos y centro, longitudes de los ejes transverso y conjugado, ecuaci´n de sus as´ e o ıntotas y finalmente grafique. a) x2 − 9y 2 − 4x + 36y − 41 = 0 b) x2 − 4y 2 − 2x + 1 = 0 c) 9x2 − 4y 2 + 54x + 16y + 29 = 0 d ) 3x2 − y 2 + 30x + 78 = 0 5. Considere la ecuaci´n de la elipse b2 x2 − a2 x2 = a2 b2 . Demuestre que la ecuaci´n de la recta tangente a una o o hip´rbola en el punto P0 (x0 , y0 ) es: b2 x0 x − a2 y0 y = a2 b2 . e 6. Determine la ecuaci´n de la recta tangente y normal en el punto indicado de las siguientes hip´rbolas: o e a) 3x2 − y 2 = 2 (1, 1) 2 2 b) x − 9y = 7 (4, −1) 2 2 c) x − y = 5 (3, 2) 23
  • 25. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 5 GEOMETR´ ANAL´ IA ITICA5.3. Lugares Geom´tricos e 1. Un punto se mueve de tal manera que su distancia a la recta x + y + 1 = 0 es siempre igual a su distancia al punto (-2,-1). Hallar la ecuaci´n de su lugar geom´trico. o e 2. Hallar la ecuaci´n del lugar geom´trico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de la recta o e x − 2 = 0 es siempre 3 unidades mayor que su distancia al punto (−1, −3). 3. Un punto se mueve de tal manera que su distancia del punto (2, −2) es siempre igual a un tercio de la distancia del punto (4, 1). Hallar e identificar la ecuaci´n del lugar geom´trico. o e 4. Un punto se mueve de tal manera que el cuadrado de su distancia del punto (1, 2) es siempre igual al doble de su distancia de la recta 3x + 4y − 1 = 0. Hallar e identificar la ecuaci´n del lugar geom´trico. o e 5. Hallar e identificar la ecuaci´n del lugar geom´trico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia o e de la recta x + 3 = 0 es siempre 2 unidades mayor que su distancia del punto (1, 1). 6. Haller e identificar la ecuaci´n del lugar geom´trico del centro de una circunferencia que es siempre tangente o e a la recta y = 1 y a la circunferencia x2 + y 2 = 9. 7. Hallar e identificar la ecuaci´n del lugar geom´trico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia o e de la recta y + 8 = 0 es siempre igual al doble de su distancia del punto (0, −2). 8. Hallar e identificar la ecuaci´n del lugar geom´trico de un punto que se mueve tal manera que su distancia al o e punto (6, 0) es siempre igual al doble de su distancia a la recta 2x − 3 = 0. 24
  • 26. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa6. N´ meros Naturales u6.1. Inducci´n o 1. Demuestre que el producto de 3 naturales consecutivos es siempre divisible por 6. 2. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que: o 1 1 + 4 + 7 + . . . + (3n − 2) = n(3n − 1) 2 3. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que: o 1 2 13 + 23 + 33 + . . . + n3 = n (n + 1)2 4 4. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que: o 1 12 + 32 + 52 + . . . + (2n − 1)2 = n(4n2 − 1) 3 5. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que: o 5 + (4n − 1)5n+1 1 · (5) + 2 · (5)2 + 3 · (5)3 + . . . + n · (5)n = 16 6. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se tiene que: o 1 1 1 n(n + 3) + + ... + = 1·2·3 2·3·4 n(n + 1)(n + 2) 4(n + 1)(n + 2) 7. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que [n(n + 1)]2 es divisible por 4. o 8. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que (xn − y n ) es divisible por (x − y). o 9. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N mayor que 2 y par se tiene que (2n − 1) es divisible por 3. o 10. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que 4n3 + 8n es divisible por 12. o 11. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que 8n3 + 10n es divisible por 6. o 12. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que 32n − 1 es divisible por 8. o 13. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que 32n+1 + 2n+2 es divisible por 7. o 25
  • 27. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 6 ´ NUMEROS NATURALES 14. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que 22n+1 − 9n2 + 3n − 2 es divisible por 54. o 15. Demuestre que la desigualdad n2 ≥ 6n + 5 es verdadera a partir de cierto n0 ∈ N; encuentre dicho n0 . 16. Demuestre que la desigualdad 5n > n2 + 25 es verdadera a partir de cierto n0 ∈ N; encuentre dicho n0 . 17. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que n2 + n + 2 es un n´mero par. o u 18. Calcule la suma 3 + 9 + 33 + ... + (22n−1 + 1) y demuestre que ∀n ∈ N la suma de los t´rminos es siempre e divisible por 3. 19. Sea {un }n∈N una sucesi´n definida por recurrencia tal que u1 = 0 y un+1 = (1+x)un −nx en donde x ∈ R{0}. o 1 Probar que un = [1 + nx − (1 + x)n ] ∀n ∈ N. x 20. Demuestre utilizando inducci´n que ∀k ∈ N se cumple que: o 1 1 1 k+1 + ... + + = 1·2 k · (k + 1) (k + 1) · (k + 2) k+2 21. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que: o n k+j−1 n+j = j j+1 k=1 22. Considere que una funci´n f : R → R tiene la propiedad f (xy) = f (x) + f (y). Demostrar por inducci´n que o o f (an ) = nf (a) ∀n ∈ N. 1 1 1 1 √ 23. Demuestre que para todo n´mero natural mayor o igual que 2 se cumple √ + √ + √ + · · · + √ > n u 1 2 3 n n 1 1 1 24. Demuestre que para todo n´mero natural n vale la siguiente desigualdad u < 1 + + + ··· + n ≤ n. 2 2 3 2 −1 25. Sea {un }n∈N la sucesi´n de Fibonacci. Es decir u1 = 1, u2 = 1 y un+1 = un + un−1 para n = 2, 3, . . . o n a) Calcule uk . k=1 b) Demuestre que un+2 · un = u2 + (−1)n+1 . n+1 26. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que: o n (−1)k nk 1 = (k + 2)(k + 3) (n + 2)(n + 3) k=0 26
  • 28. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 6.2 Sumatorias6.2. Sumatorias 1. Calcule las siguientes sumatorias. n n n n a) k b) k2 c) k3 d) k4 k=1 k=1 k=1 k=1 n 2. Calcular f (k) si: k=1 3 a) f (k) = 2k−1 + 8k 3 − 6k 2 b) f (k) = k 3 + k 2 3. Si para k = 1, . . . , 200 se tiene que ak viene dado por  1 k  (3) , k = 1, . . . , 99 ak = (k + 1)2 , k = 100, . . . , 200  200 calcule ak k=1 n 2k − 1 4. Calcule usando la identidad: k(k + 2)2 k=1 n 3 1 1 3 2n + 3 = − 2 k(k + 2)2 4 2 (n + 1)(n + 2) k=1 Ayuda: 2k − 1 = 2k − 1 + k 2 + 2k + 5 − k 2 − 2k − 5 5. Calcule las siguientes sumatorias. n n n k 1 a) b) 2 + 2k c) kak , a = 1 (k + 1)! k k=1 k=1 k=1 n n n+1 k · 2k d) e) k · (k!) f) (k + 1)(−3)k (k + 2)! k=1 k=1 k=1 n+1 k n n k+2 1 k4 + k2 + 1 1 g) h) i) √ √ k(k + 1) 2 k4 + k k(k + 1)( k + 1 + k) k=1 k=1 k=1 n n n n (−1)k k+2 n (−1)k j) k) l) k k+1 k(k + 1)2k k (k + 1)(k + 2) k=1 k=1 k=0 27
  • 29. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 6 ´ NUMEROS NATURALES 6. Calcule las siguientes sumatorias. n 2 n n n 1 1 a) b) 1+ 2 + c) (k 2 + 1)k! k k (k + 1)2 k=0 k=1 k=1 n n m 2k 1 1 d) 4 + k2 + 1 e) f) log (1 + ) k k(k + 1) k k=1 k=1 k=n n n n 2k + 1 n g) (−1)k (n − k)!(n + k)! h) i) (a + bk) k 2 (k + 1)2 k k=0 k=1 k=1 n n 2 j) k k k=1 n 1 7. Sea x = xk . Demuestre que ∀n ∈ N vale la siguiente identidad: n k=1 n n ((xi − x)2 + xi (x − 1)) = x2 − nx i i=1 i=1 28
  • 30. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 6.3 Progresiones Aritm´ticas y Geom´tricas e e6.3. Progresiones Aritm´ticas y Geom´tricas e e 1. Determine x de modo que los n´meros 7, x y 252 sean tres t´rminos consecutivos de una progresi´n geom´trica. u e o e 2. Una expedici´n avanza 20 km el primer d´ de ah´ en adelante, cada d´ avanza 4 km m´s que el d´ anterior. o ıa, ı ıa a ıa ¿Cu´ntos d´ demoran en avanzar 504 km? a ıas 3. En cierto cultivo, las bacterias se duplican cada 20 minutos. ¿Cu´ntas veces el n´mero original de bacterias a u hay en el cultivo al cabo de 2 horas? Suponga que ninguna bacteria muere. 4. El primer d´ se entrena 7 minutos y cada d´ siguiente se entrena el doble que el d´ anterior. ¿Cu´nto tiempo ıa ıa ıa a se habr´ entrenado en una semana? a 5. Sea Sn la suma de los n primeros t´rminos de una progresi´n aritm´tica. Encuentre los primeros cuatro e o e n2 t´rminos si se sabe que Sn = e − n. 4 6. Si a, b, c y d son n´meros que est´n en progesi´n geom´trica, demuestre que (b−c)2 +(c−d)2 +(d−b)2 = (a−d)2 . u a o e 7. En un c´ ırculo de radio R se inscribe un cuadrado, en este cuadrado se inscribe un c´ ırculo, y en este c´ ırculo se inscribe un cuadrado; as´ sucesivamente. ¿Cu´l es el l´ ı a ımite de las sumas de las ´reas de los cuadrados y de a los c´ ırculos? 8. De tres n´meros, que forman una progresi´n geom´trica, el tercero es el 12. Si el 12 es reemplazado por 9, los u o e tres n´meros forman una progresi´n geom´trica. Encuentre los dos n´meros restantes. u o e u 9. Utilizando progresiones demuestre que xn+1 − y n+1 xn + xn−1 y + xn−2 y 2 + . . . + xy n−1 + y n = x−y 10. En una progresi´n geom´trica los tres primeros t´rminos suman −6. Si al segundo t´rmino se le resta 9 resulta o e e e una progresi´n aritm´tica. Determinar ambas progresiones. o e 11. Suponga que la suma de una progresi´n aritm´tica es igual tanto para p elementos como para q elementos. o e Demostrar que la suma de p + q elementos es cero. 12. Determinar tres n´meros reales de modo que est´n en progresi´n geom´trica y que su producto sea 2744; y u e o e que si al primer n´mero se le resta 1, al segundo se le resta 2 y al tercero se le resta 4, se obtiene una nueva u progresi´n geom´trica. o e 13. Sean {a1 , . . . , an } y {b1 , . . . , bn } dos progesiones aritm´ticas con diferencias d1 y d2 respectivamente. Si sabe- e mos que n n ai = 2 bi i=1 i=1 ¿Qu´ relaci´n hay entre d1 y d2 ? e o 29
  • 31. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 6 ´ NUMEROS NATURALES 14. La suma de cuatro n´meros, que est´n en progresi´n aritm´tica, es 48. Si el producto de los extremos es al u a o e producto de los medios como 27 es a 35, determine los n´meros. u 15. Encuentre tres n´meros que est´n en progresi´n aritm´tica tales que sumen 24 y que su producto sea 440. u e o e 16. En una progresi´n aritm´tica, los t´rminos que ocupan los lugares 54 y 4 son −61 y 64 respectivamente. Hallar o e e el primer t´rmino de la progresi´n, la raz´n y el t´rmino que ocupa el lugar 23. e o o e 17. Considere una progresi´n aritm´tica cuyo primer t´rmino es a. Si la suma de los primeros p t´rminos es cero, o e e e a · q · (p + q) demuestre que la suma de los q t´rminos siguientes es e . 1−p 18. El t´rmino de lugar p de una progresi´n aritm´tica es q, y el t´rmino de lugar q es p. Hallar el t´rmino de e o e e e lugar n. 19. Para cada n ∈ N, las sumas de los primeros n t´rminos de dos progresiones aritm´ticas est´n en la raz´n de e e a o (7n + 1) : (4n + 27). Hallar la raz´n de los t´rminos que ocupan el lugar 11. o e 20. En una progresi´n geom´trica el primer t´rmino es 7 y el ultimo t´rmino es 448. Si la suma de los t´rminos o e e ´ e e es 889 ¿cu´l es la raz´n? a o 21. Hallar tres n´meros cuya suma sea 21 y que est´n simult´neamente en progresi´n aritm´tica y geom´trica. u e a o e e 22. Tres n´meros est´n en progresi´n geom´trica. Si al segundo n´mero se le aumenta en 8 los n´meros quedan u a o e u u en progresi´n aritm´tica; pero si en esta, al ultimo n´mero se le aumenta en 64, la progresi´n vuelve a ser o e ´ u o geom´trica. Determinar los n´meros. e u 23. Sean a, b ∈ R. Suponga que los n´meros x1 , . . . , xn forman una progresi´n aritm´tica tal que: u o e x1 + . . . + xn = a x2 n + ... + x2 n = b2 a) Exprese a y b en t´rminos de x1 ,n y a. e b) De la parte anterior obtenga la progresi´n aritm´tica. o e 30
  • 32. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 6.4 Teorema del Binomio6.4. Teorema del Binomio n n! 1. Para n, k ∈ N tal que n ≥ k se tiene que = . Sean n, m, k ∈ N de modo que m ≥ n ≥ k. k k!(n − k)! Demuestre las siguientes propiedades: n a) = 1. 0 m m−n m b) = . n+1 n+1 n n n n+1 c) + = . k−1 k k m+1 m+1 m d) = . n+1 n+1 n Observaci´n: Recuerde que 0! = 1. o x2 x 2. Determine el sexto t´rmino en el desarrollo de ( e − )8 . 2 3 2 15 3. Determine, si es que existe, el coeficiente de x18 en el desarrollo de (x2 + ) . x 1 9 4. Calcule el t´rmino independiente de x y el t´rmino central, en caso de que existan, del binomio (x − e e ) . x2 5. Obtenga el coeficiente de x8 en el desarrollo de (1 + x2 − x3 )9 . 6. Determine el coeficiente de x5 en el desarrollo de (1 + x + x2 )10 . 7. Sea n ∈ N. Determine el coeficiente de x4 en (1 + x)(1 − x)n . 8. Sea n ∈ N. Determine el coeficiente de xn en (1 − x + x2 )(1 + x)n . 9. Determine la suma de todos los coeficientes del polinomio con respecto a la variable x que resulta de la expansi´n binomial de (3x − 4)17 . o 2 10. En caso de existir, obtenga el coeficiente x7 en el desarrollo de ( + x + x3 )8 . x3 √ 1 11. Si es que existe, determine el coeficiente del t´rmino independiente de x en el desarrollo de ( 3 x + )6 . e x 1 12. Determine si existe un valor de n ∈ N para que los cuartos t´rminos en los desarrollos de (x2 + )n y e x 1 (x3 + 2 )n coincidan. x 31
  • 33. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 6 ´ NUMEROS NATURALES 1 1 13. Encuentre el valor de n ∈ N para que los terceros t´rminos en los desarrollos de (x2 + 2 )3n y (x + 2 )3n e x x coincidan. n n n 14. Demuestre que + (−1)k = 2n . k k k=0 Indicaci´n: Considere el Teorema del Binomio. o 15. Determine una relaci´n entre a y n de modo que en el desarrollo de (1+a)n aparezcan dos t´rminos consecutivos o e iguales. 16. Determine los n´meros C y L de manera que para todo n´mero natural se tenga que u u n n n n3 = 6 +C +L 3 2 1 17. Sean a, b, c ∈ R y n ∈ N. Encontrar una f´rmula para el desarrollo de (a + b + c)n ocupando el Teorema del o Binomio y las propiedades de sumatoria. 18. Se tiene que (1 + 2x)(1 + x2 )n = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . . + a2n+1 x2n+1 . Demuestre que si {a0 , a1 , a2 } est´n en progresi´n geom´trica entonces n = 4. a o e 32
  • 34. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa7. N´ meros Reales u7.1. Axiomas de Cuerpo 1. El tr´ (R, +, ·) es llamado cuerpo puesto que se satisfacen los siguientes axiomas: ıo Axioma Suma Multiplicaci´n o Asociatividad (x + y) + z = x + (y + z) (x · y) · z = x · (y · z) Conmutatividad x+y =y+z x·y =y·x Distributividad x · (y + z) = x · y + x · z (x + y) · z = x · z + y · z Elemento Neutro x+0=0+x=x x·1=1·x=x Elemento Inverso x + (−x) = 0 = (−x) + x x · x−1 = 1 = x−1 · x En donde ”0” representa el elemento neutro para la suma y ”1” el elemento neutro para la multiplicaci´n; o ”(−x) = x” el elemento inverso para la suma de un x ∈ R y ”x−1 = 1/x” el elemento inverso para la multiplicaci´n de un x ∈ R. o Sean a, b, c ∈ R. Utilizando los axiomas de cuerpo en los n´meros reales demuestre: u a) Si a + b = a + c ⇒ b = c. En particular el elemento neutro para la suma es unico. ´ b) b − a = b + (−a). c) −(−a) = a. d ) a(b − c) = ab − ac. e) 0 · a = a · 0 = 0. f ) Si ab = ac y a = 0 ⇒ b = c. En particular el elemento neutro para la multiplicaci´n es unico. o ´ g) Si a = 0 entonces (a−1 )−1 = a. h) Si ab = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0. i ) (−a)b = −(ab) = a(−b). 2. Sean a, b, c ∈ R. Utilizando los axiomas de cuerpo en los n´meros reales demuestre: u a) −0 = 0 y 1−1 = 1 b) 0 no tiene elemento inverso multiplicactivo. c−b c) Si a = 0 entonces la ecuaci´n ax + b = c tiene soluci´n unica de la forma x = o o ´ . a d ) Si a, b = 0 entonces (ab)−1 = b−1 a−1 . e) (−a)2 = a2 y (−a)3 = −a3 . 33
  • 35. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 7 ´ NUMEROS REALES 3. Suponga que se define la operaci´n ∗, en el conjunto de los n´meros naturales N, definido por x ∗ y = xy . o u ¿Esta operaci´n satisface el axioma de asociatividad? ¿Y el axioma de conmutatividad?. o 4. Sea G un conjunto no vac´ y considere la operaci´n ∗ : G × G −→ G. El par (G, ∗) es llamado grupo si se ıo o satisfacen los siguientes axiomas: a) ∀a, b, c ∈ G se cumple que (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). Esto quiere decir que la operaci´n ∗ es asociativa en G. o b) ∃ e ∈ G tal que ∀x ∈ G se cumple que e ∗ x = x ∗ e = x. Esto quiere decir que ”e” es el elemento neutro de G. c) ∀a ∈ G ∃ a ∈ G tal que a ∗ a = a ∗ a. Esto quiere decir que ”a” es el elemento inverso de un a ∈ G. Adem´s si ∀x, y ∈ G se cumple que x ∗ y = y ∗ x (esto quiere decir que la operaci´n ∗ es conmutativa en G) a o entonces al grupo se le llamar´ grupo conmutativo o grupo abeliano. a Como ejemplo se tiene que (R, +) y (Z, +) son grupos abelianos, sin embargo, (N, +) y (Z, ·) no son grupos. Sea (G, ∗) un grupo y a, b, c ∈ G. Demuestre que: a) a ∗ b = a ∗ c ⇒ b = c y b ∗ a = c ∗ a ⇒ b = c. b) El elemento neutro e inverso son unicos. ´ c) Las ecuaciones a ∗ x = b y y ∗ a = b tienen soluci´n unica en G. o ´ x·y 5. Considere el par (Q {0}, ∗) con x ∗ y = ∀x, y ∈ Q {0}. Muestre que (Q {0}, ∗) es un grupo abeliano. 3 √ √ √ 6. Sea Q[ 2] = {a + 2b / a, b ∈ Q}. ¿(Q[ 2], ·) es un grupo? 7. Sea U el conjunto universo. Muestre que (U, ), en donde es la diferencia sim´trica de conjuntos, es un e grupo abeliano. 8. Sea B el conjunto de todas las funciones biyectivas. Muestre que (B, ◦), en donde ◦ es la composici´n de o funciones, es un grupo. 34
  • 36. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 7.2 Axiomas de Orden7.2. Axiomas de Orden 1. El conjunto de los n´meros positivos, R+ , verifica los axiomas de orden, los cuales son: u Axioma Si x, y ∈ R+ ⇒ x + y ∈ R+ Si x, y ∈ R+ ⇒ x · y ∈ R+ ∀ x ∈ R+ se cumple que x ∈ R+ −x ∈ R+ x=0 Para x, y ∈ R podemos decir que: Nomenclatura Condici´n o Notaci´n o x es igual a y x=y x=y x es menor que y y − x ∈ R+ x<y x es menor o igual que y x = y ∨ y − x ∈ R+ x≤y x es mayor que y = x − y ∈ R+ x>y x es mayor o igual que y x = y ∨ x − y ∈ R+ x≥y Sean a, b, c, d ∈ R. Muestre que: a) a ≤ b ∧ c ∈ R ⇒ a + c ≤ b + c. b) a ≤ b ∧ c ∈ R+ ⇒ ac ≤ bc. c) a ≤ b ∧ −c ∈ R+ ⇒ ac ≥ bc. d ) a ≤ b ∧ c ≤ d ⇒ a + c ≤ b + d. e) a ≤ b ∧ c ≤ d ⇒ ac ≤ bd. 2. Demuestre las siguientes desigualdades. a) Si a ≥ b con a > 0 ∧ b > 0 ⇒ an ≥ bn ∀ n N. m m b) Si a ≥ b con a < 0 ∨ b < 0 ⇒ a ≤b ∀ n = par N. m m c) Si a ≥ b con a < 0 ∨ b < 0 ⇒ a ≥b ∀ n = impar N. 35
  • 37. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 7 ´ NUMEROS REALES7.3. Desigualdades 2ab 2ac 2bc 1. Sean a, b, c > 0. Demuestre que + + ≤ a + b + c. a+b a+c b+c 2ab a+b Indicaci´n: Primero muestre que o ≤ . a+b 2 2. Sean a, b, c > 0. Demuestre que 8abc ≤ (a + b)(b + c)(c + a). √ Indicaci´n: Primero muestre que a + b ≥ 2 ab. o 3. Si a + b = 1 pruebe que: a) ab ≥ 1/4. b) a2 + b2 ≥ 1/2. c) a4 + b4 ≥ 1/8. 4. Sean ∀x, y, z ∈ R+ . Muestre que: 2xy 2xz 2yz a) + + ≤ x + y + z. x+y x+z y+z x+y+z √ 3 b) ≥ 3 xyz ≥ 1 1 1 . 3 x + y + z 1 c) ∀x, y, z ∈ R+ . Muestre que x + ≥ 2. x 1 1 2 d) + > . x y x+y x+y √ 2 e) ≥ xy ≥ 1 1 . ¿Cu´ndo se obtiene la igualdad? a 2 x + y 5. Considere los n´meros a1 , . . . , an y b1 , . . . , bn y la funci´n u o n f (x) = (ak x + bk )2 ≥ 0 k=1 Muestre que n n n 0 ≤ f (x) = x2 a2 k +x 2 ak bk + b2 k k=1 k=1 k=1 y que solo toma valores en R+ . 0 Utilizando este resultado concluya que (a1 b1 + . . . + an bn )2 ≤ (a2 + . . . + a2 )(b2 + . . . + b2 ) 1 n 1 n Observaci´n: Es un caso especial de la Desigualdad de Cauchy-Schwarz. o 36
  • 38. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 7.3 Desigualdades 6. Utilizando el resultado anterior demuestre las siguientes desigualdades. a) Desigualdad del Cuadril´tero: a (ab + cd)2 ≤ (a2 + c2 )(b2 + d2 ) b) Desigualdad de Nesbit: a b c 3 + + a, b, c > 0 b+c a+c a+b 2 c) Sean a1 , a2 , ..., an ≥ 0, definimos la Media Aritm´tica (A) y la Media Cuadr´tica (C) como: e a a1 2 + a2 2 + ... + an 2 a1 + a2 + ... + an C= , A= n n Demuestre que C ≥ A. d ) Lema de Tittu: Sean x1 , x2 , ..., xn , y1 , y2 , ..., yn n´meros reales positivos. Entonces se cumple: u x1 2 x2 2 xn 2 (x1 + x2 + ... + xn )2 + + ... + ≥ y1 y2 yn y1 + y2 + ... + yn 7. Sean x, y, z n´meros reales, todos diferentes de 1, tales que xyz = 1. Pruebe que: u x2 y2 z2 2 + 2 + ≥1 (x − 1) (y − 1) (z − 1)2 Indicaci´n: Haga cambios de variables adecuados. o 37
  • 39. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 7 ´ NUMEROS REALES7.4. Inecuaciones 1. Resuelva las siguientes inecuaciones en el campo de los n´meros reales. u a) 2x − 8 ≥ 18 b) x2 − 3x + 8 ≥ 1 + 5x √ c) 2x2 − 12x + 5 ≤ x(x − 8) d) 28 − 4x2 < x2 + 1 √ √ e) x + 14 > x + 2 f) 2x + 29 > x − 3 x−1 x x−1 x−2 g) ≥0 h) − 2 ≤ x+5 x+2 x −4 x+2 i) |x − 3| ≥ 7 j) |x − 5| ≤ −4 √ k) |x − 3| < x2 − 1 l) 4 − |x + 1| ≤ 1 m) |x| + |x − 5| < |x − 9| n) |2x − 1| − 4 < x − 2 x2 − 2x + 1 o) ≤x−1 p) |x2 + 6x − 8| ≥ 1 x2 + 2x + 1 q) |2x − 3| + |6 − 4x| ≤ |x2 + 2| r) |x + 2| > x − |x − 1| 2. Resuelva las siguientes inecuaciones en el campo de los n´meros reales. u √ √ a) −x2 + 9 ≥ −5 b) x2 − x − 2 ≤ x √ x−2 c) x−1≤ x2 − 1 d) ≥0 x2 + 7x + 12 2x2 + x + 3 3 12 e) >0 f) + < −1 x3 − x x+4 x−5 √ (3 − 2x)(x + 5) (x2 + 1) x − 1 g) >0 h) <0 (x2 − 25)(x + 1) x2 − 7x + 10 √ (x2 + 11x + 24) x − 6 1 + |2x − 3| i) ≥0 j) <1 (x2 + 7)(x − 1) |x + 5| x2 + x + 8 k) ≥0 l) |3x − 1| − 2 < |6x − 5| − 4 1− |x| − 3 x − 2 − x2 (x − 3)2 ( 1 − |x − 3| − 4 − |x|) m) >0 n) ≤0 |x| − x2 x2 + x + 1 (x − 2)4 (x2 − 9) x2 − 3x + 2 o) ≤0 p) ≤0 (x − 1)(x2 + x + 1) |x − 1| x2 − |x − 2| − 4 |x − 1| − |x + 1| |x − 1| q) >0 r) 2 − 1| ≤ |x − 2| |x x+1 38
  • 40. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 7.4 Inecuaciones 3. Considere la ecuaci´n cuadr´tica x2 + (2k + 1) + k(k + 9) = 0. Determine k tal que la ecuaci´n tenga: o a o a) Ra´ ıces reales distintas. b) Ra´ ıces reales iguales. c) No tenga ra´ ıces reales. 4. Considere las inecuaciones x2 − 5x + 6 ≤ 0 y |x − a| ≤ 0. ¿Qu´ valores deben tener las constantes a y b para e que el conjunto de soluci´n de ambas inecuaciones sean la misma? o 5. Sea f (x) = |x − 2| − |x − 6| − |x − 10|. a) ¿Para qu´ valores de x ∈ R f (x) > 0? e b) ¿Para qu´ valores de x ∈ R f (x) < 0? e c) Encuentre las ra´ ıces de f (x). 39
  • 41. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 7 ´ NUMEROS REALES7.5. Polinomios 1. Sea p(x) = x4 + bx3 − 13x2 − 14x + 24. a) Determinar b ∈ R de modo que −2 sea ra´ de p(x). ız b) Determinar las otras ra´ ıces del polinomio encontrado en a). 2. Considere el polinomio p(x) = (k − 3)x3 − 3(k − 1)x2 + 8kx − 6k. a) Demuestre que x = 1 es una ra´ de p(x). ız b) Encuentre los valores de k ∈ R de modo que todas las ra´ ıces de p(x) sean reales. ıces y a factorizaci´n en factores de primer grado de p(x) = x4 − 3x2 + 2x. 3. Encuentre las ra´ o 4. Dividir (x3 + 2x + 3) por (2x2 − 3x + 1) indicando el cuociente y el resto. 5. Dividir (3x3 − 4x + 2) por (x + 3) indicando el cuociente y el resto. 6. En cada una de las siguientes ecuaciones compruebe, por divisi´n sint´tica, que el valor indicado para x0 es o e ra´ de la ecuaci´n, y determine las otras ra´ ız o ıces reales, si es que existen. a) 4x3 + 3x2 − 5x − 2 = 0 , x0 = 1. b) x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0 , x0 = −2. c) 2x3 − 11x2 + 17x − 6 = 0 , x0 = 2. 7. En cada una de las siguientes ecuaciones compruebe, por divisi´n sint´tica, que el valor indicado para x0 es o e ra´ de la ecuaci´n, y determine las otras ra´ ız o ıces reales, si es que existen. a) x3 − 7x2 + 13x − 3 = 0 , x0 = 3. 3 2 b) x + 3x − 2x − 4 = 0 , x0 = −1. 3 2 c) x − 7x + 12x − 10 = 0 , x0 = 5. 8. ¿Para qu´ valores de P y G el polinomio 3x2 + Gx − G2 − P es divisible por x + 2, pero al dividirlo por (x − 1) e da resto 1? ıces de la ecuaci´n 4x4 + ax3 + bx2 + 5x − 4 = 0, determine sus 9. Sabiendo que x1 = 1/2 y x2 = −1/2 son ra´ o otras ra´ ıces. 10. Sea p(x) = 2x5 + 10x4 − 14x3 − bx2 + ax. Si p(1) = p(−5) = 0, escribir p(x) como producto de factores de primer grado. 11. Determine los valores de k ∈ R para los cuales el polinomio p(x) = 2k 2 x3 + 3kx2 − 2 es divisible por (x − 1) y tiene solo ra´ ıces reales. 40
  • 42. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 7.5 Polinomios 12. Sea p(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d con a, b, c, d ∈ Q, tal que p(0) = 2b, al dividirlo por (x + 1) tiene resto √ igual a (4a + c) y 2 es un cero. Resuelva p(x) = 0. 13. Determine K ∈ R de manera que las ra´ de la ecuaci´n x3 +3x2 −6x+K = 0 est´n en progresi´n aritm´tica. ıces o e o e 14. Resuelva la ecuaci´n 4x3 − 24x2 + 23x + 18 = 0 sabiendo que las ra´ o ıces est´n en progresi´n aritm´tica. a o e 15. Muestre que la ecuaci´n cu´rtica x4 + 5x3 + 4x2 − 5x + 1 = 0 puede ser llevada a la forma y 2 + 5y + 6 = 0 o a con el cambio de variable y = x − x−1 (siempre y cuando x = 0). Resuelva la ecuaci´n 2x8 − 3x7 − 12x6 + o 12x5 + 22x4 − 12x3 − 12x2 + 3x + 2 = 0. 16. Suponga que a, b, c ∈ R de modo que a = b, ambos no nulos. x x a) Muestre que si a y b son ambos positivos o negativos, entonces la ecuaci´n o + = 1 tiene dos x−a x−b soluciones reales distintas. x x 4ab b) Muestre que la ecuaci´n o + = 1 + c tiene exactamente una soluci´n real si c2 = − o . x−a x−b (a − b)2 41
  • 43. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 8 TRIGONOMETR´ IA8. Trigonometr´ ıa8.1. Operatoria 1. Encuentre el valor exacto de: 1) sin(15◦ ) 2) cos(75◦ ) 3) tan(135◦ ) 4) π cos( 12 ) 5) tan( 5π ) 12 6) sin(255◦ ) 2. Se tiene que α est´ en el segundo cuadrante y β est´ en el tercer cuadrante. Calcule las siguientes expresiones a a sabiendo que cos α = −4/5 y sin β = −12/13. 1) sin(α + β) 2) cos(α − β) 3) tan(α + β) 4) sin(2α) 3. Si cos α = 1/3 y α est´ en el cuarto cuadrante determine: a 1) sin(α/2) 2) cos(α/2) 3) tan(π − α/2) 4) sin(π/3 + α) 4. Escribir las siguientes funciones en la forma A sin (ωx + ϕ). ¿Cu´l es el valor m´ximo y m´ a a ınimo que puede tomar la funci´n?, ¿en qu´ puntos sucede esto?. Grafique. o e √ √ a) f (x) = 23 cos x + sin(x + π/3) b) g(x) = cos(π − 2x) − 3 cos(2x + π ) 2 π 3x π c) h(x) = cos (2x) + 2 cos(x) cos(x − π ) 2 d) f (x) = cos 2x + + sin − 3 2 4 5. Demuestre las siguientes identidades. x 1) sin(arc cos x) = 1 − x2 2) sin(arctan x) = √ x2 + 1 x 3) cos(arcsin x) = 1 − x2 4) tan(arcsin x) = √ 1 − x2 Indicaci´n: Construya un tri´ngulo adecuado. o a 42
  • 44. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 8.2 Identidades Trigonom´tricas e8.2. Identidades Trigonom´tricas e 1. Demuestre las siguientes identidades. a) sin2 x + cos2 x = 1 b) sin (2p) = 2 sin p cos p 2 tan p c) cos (2p) = cos2 p − sin2 p d) tan (2p) = 1 − tan2 p x 1 1 x 1 1 e) cos2 ( ) = + cos x f) sin2 ( ) = − cos x 2 2 2 2 2 2 g) 2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α − β) h) 2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α − β) i) 2 sin α sin β = cos (α − β) − cos (α + β) j) cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x k) tan α + cot α = sec α csc α l) sec2 x + csc2 x = sec2 x csc2 x 1 − cos4 α cos θ 1 − sin θ m) sin2 α + tan2 α = n) − = 2 tan θ cos2 α 1 − sin θ cos θ 1 1 1 + sin θ o) + = 2 sec2 α p) (tan θ + sec θ)2 = 1 + sin α 1 − sin α 1 − sin θ q) csc4 θ − cot4 θ = csc2 θ(sin2 θ + 2 cos2 θ) r) sec2 x csc2 x = (tan x + cot x)2 2. Demuestre las siguientes identidades. x x x x 1 a) tan + cot = 2 csc x b) sin4 + cos4 = 1 − sin2 x 2 2 2 2 2 3 1 1 1 − tan2 ϕ c) cos4 x = + cos 2x + cos 4x d) = cos (2ϕ) 8 2 8 1 + tan2 ϕ 1 + sin β − cos β β e) = tan f) (1 + tan2 x)(1 − sin2 x) = 1 1 + sin β + cos β 2 tan2 α 1 + cot2 α g) 2 · = sin2 α sec2 α h) (1 − sin C + cos C)2 = 2(1 − sin C)(1 + cos C) 1 + tan α cot2 α tan α − cot β i) (sec θ + tan θ − 1)(sec θ − tan θ + 1) = 2 tan θ j) = tan α cot β tan β − cot α tan α + cot β tan α k) tan2 α + sec2 β = tan2 β + sec2 α l) = tan β + cot α tan β m) cot α tan β(tan α + cot β) = cot α + tan β n) sin2 α cos2 β − cos2 α sin2 β = sin2 α − cos2 β sin (α + β) o) = tan α + tan β p) cos (α + β) cos (α − β) = cos2 α − sin2 β cos α cos β q) sin (α + β) sin (α − β) = cos2 α − cos2 β r) sin (α + β) sin (α − β) = sin2 α − sin2 β 43
  • 45. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 8 TRIGONOMETR´ IA 3. Demuestre las siguientes identidades. cos 7x − cos 5x + cos 3x − cos x a) cot 2x = sin 7x − sin 5x − sin 3x + sin x α α 2 1 + cos(−2α) π b) sin + cos + = 1 + cos α − + cot2 α 2 2 1 + sin 2α − π 2 2 c) cos (α + β) + sin (α − β) = (cos α + sin α)(cos β − sin β) d ) cos (α − β) − sin (α + β) = (cos α − sin α)(cos β − sin β) 4. Determine A y B de modo que sin3 x = A sin x + B sin 3x sea una identidad en R 5. Muestre que si cos(α + β) = 0 entonces sin(α + 2β) = sin α 6. Muestre que si α y β son ´ngulos complementarios entonces (sin α + sin β)(cos α + cos β) = 1 + sin 2α a π √ α−β 7. Si α + β = entonces cos α + sin α = 2 cos 2 2 44
  • 46. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 8.3 Ecuaciones Trigonom´tricas e8.3. Ecuaciones Trigonom´tricas e 1. Resuelva las siguientes ecuaciones. 1 √ √ a) cos 2x = cos x − sin2 x b) 3 sin 3x − cos 3x = 3 2 1 − tan x x x 5 c) = 1 + sin 2x d) sin4 + cos4 = 1 + tan x 3 3 8 x x 2 e) sin + cos +1=0 f) sin 2x + sin 4x = cos 4x + cos 6x 2 2 g) tan3 x − 3 sec x = 0 h) sec x + sec 2x + sec x sec 2x = 0 x √ x √ i) 2 sin x cos 2x − sin x + 4 cos 2x − 2 = 0 j) 2 sin cot (2x) − 2 3 sin = cot (2x) − 3 2 2 1 k) sin3 x + cos3 x = 1 − sin 2x l) 2 sin (2x) − 1 = 0 2 √ m) 2 sin2 x − 1 = 0 n) 3 sin x − sec x cos2 x = 0 o) 3 tan3 x + 3 tan2 x + tan x + 1 = 0 p) tan4 x − 9 = 0 q) sin3 x + cos3 x = 0 r) 3 sec2 x = 4 tan2 x 2. Resuelva las siguientes ecuaciones. π a) tan x + = 1 + tan x b) 2 sin2 x − cos x − 1 = 0 4 x c) tan2 x + sec2 x = 7 d) tan = sin x 2 x x x e) cot + sin x = 0 f) cos2 − sin2 = cos2 x 2 2 2 x √ g) 4 cos2 −2= 3 h) 2 cos2 (2x) − sin (2x) − 1 = 0 2 i) sin (3x) cos x − cos (3x) sin x + 1 = 0 j) cos (3x) cos x + sin (3x) sin x = 0 √ √ 1 1 k) cos (3α) + 3 sin (3α) = 3 l) − cos x + tan (3x) − tan (3x) cos x = 0 2 2 √ √ 2 2 m) − cos x − sin (2x) + sin (2x) cos x = 0 2 2 3. Si x + y = π/2, resuelva la ecuaci´n trigonom´trica sin (x − y) = 2 sin x sin y. o e 45
  • 47. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 8 TRIGONOMETR´ IA8.4. Problemas con Enunciado 1. Un observador, ubicado a nivel de la calle, determina que el ´ngulo de elevaci´n de la parte superior de un a o edificio es de 30◦ . Avanza 100 m hacia el edificio y el ´ngulo de elevaci´n es el doble que el primero. Calcule a o la altura del edificio. 2. Un observador determina que el ´ngulo de elevaci´n de una torre es α. Avanza a m hacia la torre y el ´ngulo a o a de elevaci´n queda en 45◦ . Avanza b m y el ´ngulo de elevaci´n queda en 90◦ − α. Determine la altura de la o a o torre en t´rminos de a y de b. Suponga que a = b. e 3. Un cohete de h m de longitud est´ en su plataforma de lanzamiento a d m de distancia de un observador. La a visual del observador a la punta del cohete hace un ´ngulo α con la horizontal. Poco despu´s del lanzamiento a e en tiro vertical, la visual al mismo punto del cohete hace un ´ngulo β con la horizontal. Muestre que la a distancia s que ha recorrido el cohete viene dado por: d sin(α − β) s= cos α cos β 4. Si se observa la cima de una monta˜a desde un punto P se tendr´ que el ´ngulo de elevaci´n es α, y si es vista n a a o desde un punto Q que est´ a d metros de P , el ´ngulo de elevaci´n ser´ β. Exprese la altura de la monta˜a h a a o a n en t´rminos de d, α, β y el seno de estos ´ngulos. e a Un canal de regad´ de largo 100 m tiene una secci´n transversal ıo o como se muestra en la figura; en donde los par´metros C, L > 0 a 5. y θ ∈ ] 0, π [. Encuentre el volumen de agua que puede tener el 2 canal en funci´n de sus par´metros y del ´ngulo θ. o a a 6. Determine el valor exacto de sen γ 7. Un helic´ptero se halla suspendido a una altura de 3400 m de altura sobre la cumbre de una monta˜a que o n tiene 1730 m de altura. Desde la cima de dicha monta˜a, y desde el helic´ptero, puede verse la c´spide de n o u otra monta˜a m´s alta que la anterior; y desde el helic´ptero el ´ngulo de depresi´n es de 45◦ . Desde la cima n a o a o de la primera monta˜a el ´ngulo de elevaci´n es de 30◦ . n a o a) Determine la distancia entre las cimas de las monta˜as. n b) Calcule la altura de la monta˜a m´s alta. n a 46
  • 48. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 8.4 Problemas con Enunciado 8. Un poste y una antena se encuentran a una distancia D en un camino horizontal. Del pie del poste se mide el a ´ngulo de elevaci´n de la antena y del pie de la antena el del poste, encontr´ndose que el primer ´ngulo es el o a a doble del segundo. Si un observador se ubica en el punto medio M del trazo que una las bases del poste y de la antena, observa que los ´ngulos de elevaci´n medidos desde M al poste y a la antena son complementarios. a o Calcular la altura de la antena y del poste. La altura H de la torre de la figura es desconocida. Se conocen los ´ngulos a de elevaci´n α y β medidos desde dos puntos A y B del suelo, separados o 9. por una distancia de L y formando con la base de la torre un ´ngulo γ. a Dado que la torre es vertical con respecto al suelo calcule H en t´rminos e de L, α, β y γ cuando α = β y luego cuando α = β. El paralel´gramo de la figura tiene per´ o ımetro 2p. Su diagonal mide d, con 10. d < p y α ∈ ] 0, π [. Muestre que el ´rea del paralel´gramo viene dado por a o p2 −d2 α A = xy sin α = 2 tg( 2 ). 11. Un edificio de 10 pisos de A m de altura cada uno, est´ ubicado al borde de una avenida. El ´ngulo subtendido a a por los dos pisos inferiores es equivalente al ´ngulo subtendido por los tres pisos superiores. Calcular el ancho a de la avenida. 12. Un observador, ubicado a nivel de la calle, determina que el ´ngulo de elevaci´n de la parte superior de un a o edificio es de φ. Avanza 110 m hacia el edificio y el ´ngulo de elevaci´n se duplica. Luego avanza otros 50 m a o m´s y ve que el ´ngulo de elevaci´n triplica al ´ngulo de elevaci´n inicial. Determine la altura del edificio. a a o a o Se intenta mover un tubo de largo L de un corredor de ancho a a un corredor de ancho b, con a = b. Los corredores se encuentran en ´ngulos rectos, como se ve en la figura, y el tubo no se dobla. a Muestre que se lograr´ mover el tubo si se cumple que a 13. L ≤ a csc θ + b sec θ a en donde θ satisface tan3 θ = . b 47
  • 49. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 8 TRIGONOMETR´ IA Se intenta mover una mesa rectangular, de ancho w y largo l, de un corredor de ancho a a un corredor de ancho b, con a = b. Los corredores se encuentran en ´nguls rectos, como se ve en la figura. a Muestre que se lograr´ mover la mesa si se cumple que a 14. l ≤ a csc β + b sec β − 2w csc 2β a − b tan3 β en donde β satisface w = cos β. 1 − tan2 β 48
  • 50. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 8.5 Miscel´neo a8.5. Miscel´neo a 1. Considere un ABC. Demuestre que se cumple lo siguiente: a2 = b2 + c2 − 2bc cos α sin α sin β sin γ b2 = a2 + c2 − 2ac cos β ⇔ = = c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ a b c 2. Sean α,β y γ los ´ngulos interiores de un tri´ngulo. Demuestre que: a a a) tan α + tan β + tan γ = tan α · tan β · tan γ. ¿Ser´ v´lido si α + β + γ = nπ con n ∈ Z? a a α β γ b) sin α + sin β + sin γ = 2cos · cos · cos . ¿Ser´ v´lido si α + β + γ = nπ con n ∈ Z? a a 2 2 2 3. Considere un ABC. Demuestre que si se verifican simult´neamente las propiedades: a 3 a) sin β · sin γ = . 4 b3 + c3 − a3 b) a2 = . b+c−a Entonces el ABC es equil´tero. a 4. Pruebe que si en un ABC se verifica que sin2 γ = sin2 β + sin2 α entonces el ABC es rect´ngulo. a 5. Sea f (x) = P sin x + G sin 2x + M sin 3x con P, G, M ∈ R. a) Demuestre que sin 3x = sin x(4 cos2 x − 1). b) Muestre que si G2 < 4M (P − M ) entonces los unicos valores de x tales que f (x) = 0 vienen dados por ´ x = mπ con m ∈ Z. 6. Considere g(x) = sin 2nx + sin 4nx − sin 6nx, en donde n es un entero positivo y 0 < x < π/2. Encuentre una expresi´n para la ra´ m´s grande de g(x). Distinga entre los casos cuando n es par o impar. o ız a 7. Muestre que: 1 1 1 2 sin θ cos rθ = sin (r + )θ − sin (r − )θ 2 2 2 Encuentre todas las soluciones de la ecuaci´n o cos aθ + cos (a + 1)θ + . . . + cos(b − 2)θ + cos(b − 1)θ = 0 en donde a y b son n´meros naturales que satisfacen a < b − 1. u ırculo x2 + y 2 = R2 en los puntos A y B. Muestre que el ´rea del 8. La recta y = d con d > 0 intersecta el c´ a segmento menor AB viene dado por: d R2 arc cos −d R2 − d2 R 49
  • 51. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 8 TRIGONOMETR´ IA π 9. Muestre que sin P = cos G si y solo si P = (4n + 1) ± B para alg´n entero n. Adem´s muestre que u a 2 √ | sin x ± cos x| ≤ 2 ∀x ∈ R Finalmente deduzca que la ecuaci´n sin (sin x) = cos (cos x) no tiene soluci´n. o o 10. Muestre que para −1 < a, b < 1 se cumple que a+b arctan (a) + arctan (b) = arctan 1 − ab Considere los n´meros positivos a, b y c que satisfacen bc = a2 + 1. Pruebe que: u 1 1 1 arctan + arctan = arctan a+b a+c a 11. Considere los n´meros positivos p, q, r, s, t, u y v que satisfacen st = (p+q)2 +1, uv = (p+r)2 +1 y qr = p2 +1. u Pruebe que: 1 1 1 1 1 arctan + arctan + arctan + arctan = arctan p+q+s p+q+t p+r+u p+r+v p Finalmente, con esto demuestre que: 1 1 1 1 1 arctan + arctan + arctan + arctan = arctan 13 21 82 187 7 12. Suponga que cos A, cos B y β no nulos. Muestre que la ecuaci´n o α sin (A − B) + β cos (A + B) = γ sin(A + B) se reduce a (tan A − m)(tan B − n) = 0 en donde m y n son independientes de A y B si y solo si α2 = β 2 + γ 2 . 50
  • 52. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa9. N´ meros Complejos u9.1. Operatoria 1. Realice las siguientes operaciones. a) (4 − 3i) + (2i − 8) b) 3(−1 + 4i) − 2(7 − i) c) (3 + 2i)(2 − i) d) (i − 2)[2(1 + i) − 3(1 − i)] 2 − 3i e) f) (4 + i)(3 + 2i)(1 − i) 4−i (2 + i)(3 − 2i)(1 + 2i) 4 2−i g) h) (2i − 1)2 ( + ) (1 − i)2 1−i 1+i i4 + i9 + i16 1+i 2 1−i 3 i) j) 3( ) + 2( ) 2 − i5 + i10 − i15 1−i 1+i 2. Exprese los siguientes n´meros complejos en su forma polar, y luego ub´ u ıquelos en el plano complejo. √ a) 2 − 2i b) −1 + 3i √ √ c) 2 2 + 2 2i d) −i √ √ 3 3i e) −2 3 − 2i f) − 2 2 g) 7 h) 1+i i) 3 + 3i 3. Exprese los siguientes n´meros complejos en su forma rectangular, es decir, en la forma a + bi. u iπ iπ a) 7e 3 b) 2e 6 c) (5cis20◦ )(3cis40◦ ) d) (2cis50◦ )6 iπ −5iπ 5iπ (8cis40◦ )3 (3e 6 )(2e 4 )(6e 3 ) e) f) (2cis60◦ )4 (4e 2iπ 3 )3 √ √ (− 3 + i)23 (2 − 2i)12 g) ( 3 + i)7 h) √ (5 − 5 3i)35 4. Calcule las ra´ ıces de los siguientes n´meros. u √ 1 1 a) (2 3 − 2i) 2 b) (−4 + 4i) 5 √ 1 1 c) (2 + 2 3i) 3 d) (−16i) 4 √ 3 √ 4 e) 8 f) 16 √ 1 √ g) (−8 − 8 3i) 4 h) 2i 51
  • 53. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 9 ´ NUMEROS COMPLEJOS 5. Halle las ra´ ıces c´bicas de la unidad, y luego grafique los puntos en el plano complejo. ¿Qu´ figura se forma u e si une los puntos? 6. Halle las ra´ ıces quintas de la unidad, y luego grafique los puntos en el plano complejo. ¿Qu´ figura se forma e si une los puntos? 7. ¿Qu´ figura esperar´ si graficara las ra´ e ıa ıces n-´simas de la unidad? e 8. Represente geom´tricamente el conjunto de puntos determinados por las siguientes condiciones. e a) |z − i| = 2 b) |z + 2i| + |z − 2i| = 6 c) |z − 3| − |z + 3| = 4 d) z(¯ + 2) = 3 z e) Im{z 2 } = 4 f) Re{¯ − i} = 2 z g) Re{z 2 } > 1 h) Im{2z} − Re{6z} = 8 i) |z − 1 + i| ≤ 4 j) 1 < |z + i| ≤ 2 k) z2 + z2 = 2 ¯ l) |z + 2 − 3i| + |z − 2 + 3i| < 10 9. Resuelva las siguientes ecuaciones en el campo de los n´meros complejos. u a) z 4 + 8iz = 0 b) z 4 + 2z 2 + 2 = 0 c) z 3 + 3z 2 + z − 5 = 0 d) 9z 2 + 6(4 − 3i)z − (1 + 9i) = 0 e) z3 − 1 + i = 0 f) 2z 4 + z 2 − z + 1 = 0 (ra´ c´bica de la unidad es una ra´ ız u ız) 10. Sea ω una ra´ c´bica compleja de la unidad y z1 , z2 ∈ C, demuestre que: ız u a) z1 3 + z2 3 = (z1 + z2 )(z1 + ωz2 )(z1 + ω 2 z2 ) b) (1 − ω)(1 − ω 2 )(1 − ω 4 )(1 − ω 5 ) = 9 11. Si ϕ es una ra´ s´ptima de la unidad, distinta de 1, demuestre que: ız e ϕ ϕ2 ϕ3 2 + 4 + = −2 1+ϕ 1+ϕ 1 + ϕ6 12. Hallar los valores de n ∈ N que resuelven la ecuaci´n: o √ 2n √ 2n 3−i 3+i √ − =i 3 2 2 1 1 13. Si z + = 2 cos α muestre que z n + n = 2 cos(nα) ∀n ∈ N. z z 52
  • 54. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 9.1 Operatoria m m 1+i 1−i √ 14. Hallar los m ∈ Z tales que √ + √ = 2 2 2 √ √ √ 2+i 2 1+i 3 15. Sean z = yω= . Encuentre el n ∈ N tal que z n = ω n = 1. 2 2 √ 16. Sea xn + iyn = (1 + i 3)n con n ∈ N. Demuestre la relaci´n de recurrencia: o √ xn−1 yn − xn yn−1 = 22n−2 3 1 17. Sea ω la soluci´n de la ecuaci´n z 7 + 1 = 0 que se encuentre en el tercer cuadrante. Calcule |1 − o o |. ω 18. Demuestre que ∀n ∈ N, (1 − i)n + (1 + i)n ∈ R. 19. Sea z ∈ C, demuestre que |z + i| = |z − i| ⇔ z ∈ R. 53
  • 55. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 9 ´ NUMEROS COMPLEJOS9.2. Funciones Complejas z 1. Sea z = x + iy y f (z) = . Determine f (z) y f (z) en la forma a + bi. ¿Qu´ puede decir de ellos?. e z2 +1 z−w 2. Pruebe que | | = 1 para |z| = 1 o |w| = 1. 1 − zw 1 3. Sea g(z) = . Pruebe que la imagen, bajo g, de una circunferencia es una circunferencia, y la de una recta es z una recta. z(z − a) 4. Considere la funci´n φ : C −→ C definida por φa (z) = o , con a ∈ R tal que |a| < 1. Estudie su az − 1 restricci´n al c´ o ırculo unitario. 5. Para las siguientes funciones estudie su dominio, recorrido, inyectividad, sobreyectividad, y, en el caso de existir, su inversa. 1 a) f (z) = z . b) g(z) = z . c) h(z) = z. z−i 6. Considere la funci´n ψ : C −→ C definida por ψ = o z+i . Estudie su restricci´n al semiplano superior extendido o H = {z C/Re{z} ≥ 0}. √ √ 7. Encuentre z ∈ C que cumpla con θ ∈ [π, 3π/2], Re{z} = 3Im{z} y que |z|2 + 3 z · z − 4 = 0. z−i 8. Considere la transformaci´n φ : C−1 −→ C definida por φ(z) = o . z+1 a) Determine todos los z ∈ C tales que φ(z) = z. b) Sea z ∈ C tal que z = z. Encuentre |φ(z)|. c) Demuestre que si z ∈ C y [φ(z)]4 + [φ(z)]3 + [φ(z)]2 + [φ(z)] + 1 = 0 entonces z ∈ R. 54
  • 56. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 9.3 Miscel´neo a9.3. Miscel´neo a 1. Sean z1 , . . . , zn n´meros complejos. u a) Probar que |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |. b) Utilizando inducci´n pruebe que |z1 + . . . + |zn | ≤ |z1 | + . . . |zn |. o c) Utilizando la parte a) demuestre que ||z1 | − |z2 || ≤ |z1 − z2 |. d ) Interprete geom´tricamente lo demostrado en los puntos anteriores. e Indicaci´n: Para a) primero demuestre que |Re{z}|, |Im{z}| ≤ |z|, y recuerde que z · z = |z|2 . o Observaci´n: La desigualdad que se demuestra es conocida como la Desigualdad Triangular. o 2. Dado que eiθ = cos θ + i sin θ y que eiα eiβ = ei(α+β) demuestre: a) sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β. b) cos(α ± β) = cos α cos β sin α cos β. 3. Pruebe las siguientes identidades trigonom´tricas utilizando la forma compleja del seno y del coseno. e 3 1 a) sin3 θ = sin θ − sin 3θ. 4 4 4 1 1 3 b) cos θ = cos θ + cos 2θ + . 8 2 8 4. Pruebe las siguientes identidades: 1 sin 2 (n + 1)α 1 a) cos θ + cos(θ + α) + . . . + cos(θ + nα) = cos(θ + nα). sin( 1 α) 2 2 1 sin 2 (n + 1)α 1 b) sin θ + sin(θ + α) + . . . + sin(θ + nα) = sin(θ + nα). sin( 1 α) 2 2 Indicaci´n: Primero demuestre los siguientes puntos: o i) Re{eiθ } = cos θ e Im{eiθ } = sin θ. ei(n+1)θ − 1 ii) Si S = eiθ + ei2θ + ... + einθ entonces S = . eiθ − 1 eiθ + e−iθ eiθ − e−iθ iii) cos θ = y que sin θ = . 2 2i iv) Si z es un n´mero complejo y λ un n´mero real entonces Re{λz} = λ Re{z}. u u 5. Sea n ≥ 2. Pruebe las siguientes identitades: 2π 4π 6π 2(n − 1)π a) cos + cos + cos + ... + cos = −1. n n n n 2π 4π 6π 2(n − 1)π b) sin + sin + sin + ... + sin = 0. n n n n ıces del polinomio z n − 1 = 0, entonces z1 + . . . + zn = 0. Indicaci´n: Pruebe que si z1 , . . . , zn son las ra´ o 55
  • 57. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 9 ´ NUMEROS COMPLEJOS 6. Sea m ≥ 2. Pruebe la siguiente identidad: π 2π 3π (m − 1)π m a) sin · sin · sin · ... · sin = m−1 . m m m m 2 Indicaci´n: Primero demuestre los siguientes puntos: o 2πi 4πi 2(m−1)πi i) z m − 1 = (z − 1)(z − e m )(z − e m ) · · · (z − e m ). −iz ii) 1 − eiz =1−e . 2 iii) z · z = |z| . n n n n 7. Considere los n´meros reales S = u cos(kα) y S = sin(kα), α ∈ R. k k k=0 k=0 a) Demuestre que S + iS = (1 + cos α + i sin α)n . b) Lleve 1 + cos α + i sin α a su forma polar y demuestre que: α nα α nα S = 2n cosn cos y S = 2n cosn sin 2 2 2 2 Indicaci´n: Considerar sin 2x y cos 2x. o 56
  • 58. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa10. L´ ımites y Continuidad10.1. L´ ımites 1. Calcule los siguientes l´ ımites. √3 x−1 x3 − 1 x2 − 3x − 10 a) l´ √ ım 4 b) l´ ım c) l´ ım x→1 x−1 x→1 x2 − 1 x→5 25 − x2 √ √ √ √ 1 − x2 1+x− 1−x x− a d) l´ ım 2 e) l´ ım f) l´ ım x→−1 x + 3x + 2 x→0 x x→a x−a √ 1 − 1 − x2 x2 − 2x + 7 x2 + 5 g) l´ ım h) l´ ım i) l´ ım x→0 x2 x→∞ 2x2 + 5x − 9 x→2 x2 − 3 √ x (x − 1) 2 − x 1 1 j) l´ ım k) l´ ım l) l´ ( ım − 2 ) x→1 1−x x→1 x2 − 1 x→1 x(x − 2)2 x − 3x + 2 √ √ xm − 1 x−1 m x4 + x2 m) l´ ım n n) ım √ l´ o) l´ ım x→1 x − 1 x→1 n x − 1 x→∞ x 3 · 2x + 3x √ √ 2x − 6 p) l´ ım q) l´ ım x+a− x r) l´ ım √ x→∞ 5x x→∞ x→3 x− x+6 2. Calcule los siguientes l´ ımites. √ x2 − |x − 5| − 25 x−8 |x| a) l´ ım b) ım √ l´ c) l´ ım x→5 |x − 5| x→64 3 x − 2 x→0 x √ 1 3 2− x−3 x2 − (a + b)x + ab d) l´ ( ım − ) e) l´ ım f) l´ ım x→−1 1 + x 1 + x3 x→7 x2 − 49 x→a x2 − (a + c)x + ac 1 − 2 cos x cos x − sin x π g) l´ ım h) l´ ım i) l´ ım ( − x) tan x x→π/3 π − 3x x→π/4 cos 2x x→π/2 2 sin 5x − sin x sin x + 1 − cos x j) l´ csc x − cot x ım k) l´ ım l) l´ ım x→0 x→0 x x→0 x sin(ax) sin x − cos x x − sin 2x m) l´ ım n) l´ ım o) l´ ım x→0 sin(bx) x→π/4 1 − tan x x→0 x + sin 3x sin(xn ) n 3π p) l´ ım q) l´ x sin ım r) l´ ım ( − 3x) tan x x→0 sinm x x→∞ x x→π/3 2 3. Calcule los siguientes l´ ımites. √ √ tan(2x) sin(sin x) a) l´ (sin x + 1 − sin x) ım b) l´ ım c) l´ ım x→∞ x→0 sin(3x) x→0 x 1 1 4 sin(5x) sin2 (2x) d) l´ ( ım − ) e) l´ ım f) l´ ım x→0 sin x tan x x→0 3x x→0 x2 sin x − 2x g) l´ ım x→0 3x + 4 sin x 57
  • 59. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 10 L´ IMITES Y CONTINUIDAD   4 − x2 , x<1 4. Considere la f (x) = |5 − 3x| + 1 , x≥1  ¿Existen los siguientes l´ ımites? (−1 + h) − f (−1) a) l´ ım h→0 h f (x) − f (1) b) l´ ım x→1 x−1 58
  • 60. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 10.2 Continuidad10.2. Continuidad 1. Determine el valor de la constante C de modo que la siguiente funci´n sea continua en x = 7. o 2  2 + x − 49   , x>7 f (x) = x−7  Cx2 + 5  , x≤7 2. Explique por qu´ la siguiente funci´n no es continua en R. e o  (x − 24) sin xπ  , x = 26 52  g(x) =  1 , x = 26  3. Determine el valor de k ∈ R de manera que la siguiente funci´n sea continua en R. o  cos πx  , |x| ≤ 1 2  h(x) =  k|x − 1| , |x| > 1  4. Determine los valores de P y C de modo que la siguiente funci´n sea continua en R. o   −2 sin x  , x ≤ −π/2    f (x) = P sin x + C , − π/2 < x < π/2     cos x , π/2 ≤ x  5. Encuentre el valor de la constante C de modo que la siguiente funci´n sea continua en x = 0. o   sin(Cx) + 2  , x≤0 x   g(x) = √  1 − cos( 2x)  , x>0   x2 6. Estudie la continuidad en R de la siguiente funci´n. o   2 1  (x − 9) sin  , x>3    x−3  h(x) =  x−3  , 3>x>0     2x3 − 3x2 − 5 , x≤0  59
  • 61. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 10 L´ IMITES Y CONTINUIDAD 7. Determine los valores de las constantes C y L para que la siguiente funci´n sea continua en x = 1. o  πx  C(1 − x) tan( ) , 0 < x < 1    2    f (x) = 2L , x=1     x−1   √  3 , x>1 x−1 8. Determine los valores de las constantes P y G de modo que la siguiente funci´n sea continua en x = 0. o  (P x + G)2 − G2   , 0<x<1 Px       g(x) = −14 , x=1      cos(P x) − cos(Gx)  , x>1   x2 9. Sea h :]0, π[−→ R definida por  x tan x − π sec x  , 0 < x < π/2 2  h(x) =  ax − 1 , π/2 ≤ x < π  ¿Existe alg´n valor para a de modo que h sea continua en x = π/2? u 10. Analice la continuidad, en R, de la funci´n definida por: o  cos x  , |x| ≥ 1 2  f (x) =  |x − 1| , |x| > 1  60
  • 62. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 10.3 Miscel´neo a10.3. Miscel´neo a 1. Sea f : R −→ R tal que f (x + y) = f (x)f (y) ∀x, y ∈ R. Probar f es continua en R si y solo si f es continua en x = 0.Adem´s si f (p) = 0 para alg´n p ∈ R entonces f (x) = 0 ∀x ∈ R. a u 2. Una funci´n g : R −→ R se dice aditiva si ∀x, y ∈ R se cumple que g(x + y) = g(x) + g(y). o a) Probar que las funciones aditivas son continuas en R si y solo si son continuas en x = 0. b) Probar que una funci´n aditiva mon´tona (creciente o decreciente) es continua en R. o o 3. La Derivada Para la funci´n f considere el siguiente operador: o f (x + h) − f (x) D[f ] = l´ ım h→0 h a) Sea α un n´mero real, y suponga que existen D[f ] y D[g]. Demuestre las siguientes propiedades: u a.1) D[f +g] = D[f ]+D[g] a.2) D[αf ] = αD[f ] f D[f ] · g − f · D[g] a.3) D[f ·g] = D[f ]·g+f ·D[g] a.4) D[ ] = g g2 Indicaci´n: Para a.4) utilice a.3) y para b.5) a b.8) utilize las propiedades. o b) Calcule D[f ], definido en el ejercicio anterior, para las siguientes funciones: b.1) f (x) = Constante b.2) f (x) = xn b.3) f (x) = sin x b.4) f (x) = cos x b.5) f (x) = tan x b.6) f (x) = x2 sin x b.7) f (x) = 7+x3 cos x+x b.8) f (x) = sin x cos x 4. Teorema del Acotamiento a) Suponga que f : Ω −→ R continua de modo que existen constantes A y B tal que A ≤ f (x) ≤ B en Ω. Si x0 Ω entonces A ≤ l´ x→x0 f (x) ≤ B. ım b) Suponga que f, g, h : Ω −→ R continuas de modo que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) en Ω. Si x0 Ω entonces l´ x→x0 f (x) ≤ l´ x→x0 g(x) ≤ l´ x→x0 h(x). ım ım ım 61
  • 63. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 10 L´ IMITES Y CONTINUIDAD c) Utilizando los puntos anteriores calcule los siguientes l´ ımites: 1 1 c.1) l´ x2 sin( ) ım c.2) l´ (x − 1)3 cos( ım ) x→0 x x→1 x−1 3x − sin x 5x + 2 cos x c.3) l´ ım c.4) l´ ım x→∞ 4x + 5 x→∞ 3x − 14 5. Descomposici´n en Fracciones Parciales o Sea P (x) un polinomio de cualquier grado y Q(x) un polinomio de grado m. Sean x1 , ..., xm m ceros distintos de Q(x). Adem´s suponga que P (x) y Q(x) no tienen ceros en com´n. a u Existe un teorema que dice que toda funci´n racional se puede descomponer en fracciones parciales, es decir, o en este caso en particular, que: Existen C1 , ..., Cm R tal que: P (x) P (x) C1 Cm = = + ... + Q(x) (x − x1 ) · ... · (x − xm ) x − x1 x − xm a) Bajo las hip´tesis de este problema, encuentre las m constantes C1 , ..., Cm . o Indicaci´n: Multiplique por (x − xi ) para i = 1, ..., m y luego tome el l´ o ımite cuando x → xi . b) Descomponga en fracciones parciales las siguientes funciones racionales: x−2 x+3 b.1) b.2) x2 + 4x − 21 (x − 6)(x + 8) 7 x+7 b.3) b.4) (x − 1)(x − 3)(x − 5) (x − 1)(x + 3)(x − 5) Observaci´n: Este es un caso particular de descomposici´n en fracciones parciales. o o Observaci´n: La demostraci´n del teorema mencionado anteriormente es an´loga al ejercicio a). o o a 62
  • 64. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa11. La Derivada11.1. Operatoria 1. Calcule la derivada con respecto a x de las siguientes expresiones. a) f (x) = 3x5 − 2x4 + x2 b) g(x) = (3x2 − 1)(5 + 3x) c) h(x) = (4 − 2x)2 d) i(x) = x(x2 − 1)(x + 1) 6 x+3 e) f (x) = + 10 f) g(x) = x3 x−5 1 1 2x g) h(x) = − h) i(x) = x+1 x−1 1 + x2 1 + x − x2 √ i) f (x) = j) g(x) = x 1 − x2 1−x 1+x x k) h(x) = l) i(x) = √ 1−x 1 + x2 m) f (x) = x sin(2x) n) g(x) = sin2 (3x) x o) h(x) = cos(sin x) p) i(x) = sin( ) x−1 sin x − x cos x q) f (x) = r) g(x) = tan(7x) cos x + x sin x 2. Calcule la derivada con respecto a x de las siguientes expresiones. a b x a) i(x) = x7x b) f (x) = ( )x ( )a ( )b b x a (1 − x4 )2/3 cos(x3 ) c) g(x) = cos2 x [ sin2 (10x) + cos2 (10x) ] d) h(x) = sin(2x) x−2 e) i(x) = x2 cos [ 3 ] (x + 2)(x − 1) 3. Utilizando la definici´n, calcule la derivada de las siguientes funciones en el punto indicado. o a) f (x) = 3x2 + 2 en x = 3 b) g(x) = sin x cos x en x = π/4 x−2 c) h(x) = x en x = 4 1 x sin( x ) , x = 0 d ) i(x) = en x = 0 0 ,x=0 63
  • 65. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 11 LA DERIVADA 4. Considere   x+2 , x<1 f (x) = 2x2 − 6x + 7 , x≥1  Determine f (x) y el dominio de f (x). 5. Dadas las ecuaciones param´tricas x = f (t) e y = g(t) demuestre que: e dx d2 y d2 x dy d2 x dt · dt2 − dt2 · dt = dx 3 dx2 ( dt ) d dy d2 y Indicaciones: = . Utilice la regla de la cadena. dx dx dx2 6. Calcule la primera y segunda derivada de las siguientes funciones definidas param´tricamente. e  x=t+ 1  t   a)  y =t− 1   t  √  x = 2t2 + 1 b) y = (2t + 1)2  7. Calcule la primera y segunda derivada de las siguientes funciones definidas param´tricamente. e  √  x = t 2t + 5 a) √ 3 y= 4t   x= t−1   t+1   b)  y = t+1    t−1 8. Considere las curvas P1 y P2 definidos por P1 := {(t, t2 − 1) / t > 1} P2 := {(x, y) ∈ R2 / (x2 + y 2 + 1)2 − 4x2 = 8} Determine el ´ngulo de intersecci´n de ambas curvas. a o 64
  • 66. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 11.1 Operatoria d2 y 9. Calcule en el punto (0, 0) si se sabe que x = 3t2 − 2t e y = sin t. dx2 10. Considere la siguiente curva definida param´tricamente: e   x = t2 − 2t √ , 0≤t≤1 y= t  d2 y Encuentre en el punto − 3 , √2 4 1 dx2 d2 y 11. Calcular para x = t2 − 3t e y = t3 − 1 en el punto (0, 26). dx2 dy dx 12. Recordando que · = 1 calcule las derivadas, con respecto a x, de las siguientes expresiones. dx dy a) f (x) = arcsin x b) g(x) = arc cos x c) h(x) = arctan x 13. Calcule la derivada con respecto a x de las siguientes expresiones. a) y = x2 ex b) y = e2x [ 2 cos(3x) + 3 sin(3x) ] ex 1 x c) y = ln ( ) d) y= (e + e−x ) 1 + ex 2 1 x ex − e−x e) y= (e − e−x ) f) y= 2 ex − e−x g) y = earcsin x h) y = (1 + 2x)e−2x ax − 1 ax i) y = (9x2 − 6x + 2)e3x j) y= e a2 2 k) y = x2 e−x l) y = arctan(ex ) n d y 14. Determine una expresi´n para la derivada de orden n ( dxn n ∈ N) de las siguientes funciones. o a) y = sin x 1 b) y = x c) y = x cos x x d) y = x+1 65
  • 67. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 11 LA DERIVADA dy 15. Determine para las siguientes expresiones. dx x−1 a) x2 + y 2 = 1 b) y2 = x+1 c) x2 + xy = 2 d) x3 − xy + y 3 = 1 x−y 1 1 e) x2 = f) + =1 x+y x y 1 g) x2/3 + y 2/3 = 1 h) y2 = 1 + x2 16. Halle las rectas tangentes y normales en el punto P0 para las siguientes curvas. a) x2 + xy − y 2 = 1 , P0 = (2, 3) b) x2 + y 2 = 25 , P0 = (3, −4) x−y c) =2 , P0 = (3, 1) x − 2y d ) y − x2 = 2x + 4 , P0 = (6, 2) 17. Sea a ∈ R. Considere las curvas f (x) = x2 − a2 y g(x) = a2 − x2 . Estas curvas se intersectan en el punto P de abscisa x = a. ¿Para qu´ valores de a, el ´ngulo de intersecci´n entre las curvas en P , es π ? e a o 4 18. Sea f una funci´n que tiene derivadas en todos los ´rdenes. Pruebe que: o o a) Si f es par entonces f (2n−1) (0) = 0 ∀n ∈ N. b) Si f es impar entonces f (2n) (0) = 0 ∀n ∈ N. π 2 19. Encuentre la derivada con respecto a x de y = 2x sin x + x2 cos x que pasa por el punto ,π . 2 dy π 20. Encuentre, si es que existe, en el punto , 0 de sin (x + y) + y 2 = 1. dx 2 √ du 21. Si u = 2 tan v y v = 3 x sin2 x, determine . dx dy 22. Si ey + x arcsin y = cos x, determine, en caso de existir, para x = 0. dx 23. Considere una punto en la circunferencia x2 + y 2 = 1. Encuentre los puntos sobre la circunferencia para los cuales la ordenada decrece en la misma raz´n con que crece la absisa. o 66
  • 68. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 11.1 Operatoria dy 24. Determine a ∈ R de modo que la derivada exista en el punto (0, 2); sabiendo que la funci´n y satisface la o dx ecuaci´n o a2 x3 cos y − y 2 + ay − 2x − 2a + =0 4 π 25. Encuentre la ecuaci´n de la recta tangente a la curva sin xy + 3y = 4 en el punto o 2,1 . dy 26. ¿Qu´ condiciones se deben cumplir para que exista e en el punto (2, 1) si 4xy 3 − x2 y − 5x + 6 = 0 dx 27. Encuentre la ecuaci´n de la recta normal a la curva dada por sin xy + exy = eπ en el punto (π, 1). o x−4 28. Considere los puntos de intersecci´n de la gr´fica de la funci´n y = o a o con los ejes coordenados. Compruebe x−2 que las rectas tangentes a la gr´fica de la funci´n en dichos puntos son paralelas. a o 29. ¿Para qu´ valores de a y b en R se tiene que el punto (1, 3) es un punto de inflexi´n de y = ax3 + bx2 . e o √ 3 30. Determine, en caso de existir, los puntos de inflexi´n de la funci´n f (x) = 2 − x − o o x5 definida en R+ . 31. Dada la funci´n o x2 a3 f (x) = + 2 x con x > 0 y a > 0. a) Determine, en caso de existir, los valores extremos de f . b) ¿Para qu´ valor de a ∈ R+ se tiene que f (x) ≥ 3 ∀x > 0? e c) Grafique f con el valor de a determinado en b). x2 32. ¿Para qu´ valores de x ∈] − 1, +∞[ se tiene que f (x) > 0 si se sabe que f (x) = ln (x + 1) − e + x − 1? x+2 √ √ 33. Determine el valor de a para que el valor m´ximo de la funci´n f (x) = x ax − x2 sea 3 3. a o 3 2 34. Considere la funci´n f (x) = ax3 + bx2 + x − con a, b ∈ R. Determine a y b de modo que f tenga un o 2 3 m´ximo en x = 1 y un m´ a ınimo en x = 3. 35. Sean a, b, c ∈ R y considere las curvas f (x) = x2 + ax + b y g(x) = x3 + cx. ¿Para qu´ valores de estos e par´metros se tiene que ambas curvas tienen una recta tangente en com´n en el punto (2, 2)? a u 36. Sea f : − π , π :−→ R definida por f (x) = tan x + sin x. Calcule, si es que existe, (f −1 ) (0). 2 2 67
  • 69. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 11 LA DERIVADA 1 37. Considere f (x) = x3 − x definida en , +∞ . Determine, si es que existe, (f −1 ) (0). 2 1 38. Sea f (x) = ax2 + 3x y P = (1, f (1)). Determine a ∈ R si se sabe que (f − ) (f (1)) = . 2 2x2 + 2 39. Si f (x) = y f (1) = 2. Argumente que se puede aplicar el teorema de la funci´n inversa en un intervalo o |x| + 1 abierlo que contiene al 1. Calcule (f −1 ) (2). 40. Dada la funci´n f (x) = (x − a)m (x − b)n con n, m ∈ N y a < b. El Teorema de Rolle asegura la existencia de o un x0 ∈ (a, b) tal que f (x0 ) = 0. Demuestre que el punto x0 divide al intervalo [a, b] en la raz´n m : n. o 41. Demuestre por inducci´n la siguiente f´rmula para la derivada en´sima de un producto de funciones. o o e n n (n−k) [f (x) · g(x)](n) = f (x) · g (k) (x) k k=0 68
  • 70. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 11.2 Diferenciabilidad11.2. Diferenciabilidad 1. Sea f : Ω ⊆ R −→ R diferenciable. Pruebe que f es continua en Ω. Observaci´n: Si la funci´n no es diferenciable nada se puede decir sobre su continuidad. o o 2. Demuestre que los polinomios son diferenciables en R. 3. Ejemplifique: a) Funci´n que sea continua pero no diferenciable en un punto. o b) Funci´n que sea continua en todo R pero no diferenciable en un n´mero finito de puntos. o u 4. Explique por qu´ las siguientes funciones no son derivables en sus respectivos intervalos. e a) M (x) = x|x − 1| I =]0, 2[ 1 b) C(x) = x I =] − 7, 3[ c) L(x) = |x| + |x − 1| + |x − 2| I =] − 2, 5[   x+1 , x<7 d ) G(x) = I=R 2x − 6 , x≥7  5. Determine si f es diferenciable en R. Estudie la continuidad de f (x).  2  x +x−1 , x<1 f (x) = x3 , x≥1  6. Determine el valor de las constantes reales C y L de modo que la siguiente funci´n sea diferenciable en R. o   sin x , x<π f (x) = Cx + L , x≥π  7. Determinar el valor de las constantes reales P y G para que la siguiente funci´n sea derivable en x = 1. o  x−P  1+x , x≥1 f (x) =  Gx−x2 2 , x<1 69
  • 71. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 11 LA DERIVADA 8. Dada la funci´n o  2  x − 5x + 6 , x≤1 f (x) = ax + b , x>1  Halle los valores de las constantes a y b de modo que f se continua y derivable en R.   x , x≤1 9. Dada la funci´n: f (x) = o ¿Es f derivable en x = 1? 1 , x>1  x 10. Dada la funci´n o  2  x − 2ax + 3b , x≤1 f (x) = ax3 − 3ax2 + 2bx , x>1  Determinar a, b ∈ R de modo que f sea: a) Continua en R. b) Derivable en x = 1. 11. Dada la funci´n o 1   |x| , |x| > 1 f (x) = a + bx2 , |x| ≥ 1  Halle los valores de las constantes a y b de modo que f (1) exista.  2  x +2 , x≤1 12. Dada la funci´n: f (x) = o ¿Es f derivable en x = 1? 4−x , x>1  70
  • 72. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 11.3 Miscel´neo a11.3. Miscel´neo a 1. Determine todos los A ∈ R tal que la funci´n y(x) = sin sin x satisfaga la ecuaci´n o o Ay (x) + tan xy x + y(x) cos2 x = 0 2. Considere la curva definida param´tricamente por las ecuaciones e  x = 1t − 3   2 2 , t∈R , k>0  y = cos kt  d2 y Determine si la funci´n y = y(x) satisface o no la ecuaci´n o o + 4k 2 y(x) = 0 dx2 d2 y 3. Demuestre que la funci´n f (x) = 2 sin x + cos x es soluci´n de la ecuaci´n diferencial ordinaria: o o o dx2 + y = 0. 4. Demuestre que la funci´n f (x) = sin x + (x2 + a) cos x, a constante real, es soluci´n de la ecuaci´n diferencial: o o o dy dx + y tan x = sec x + 2x cos x. 5. Determine el valor de la constante M de modo que la funci´n y = M x2 e2x sea soluci´n de la siguiente ecuaci´n o o o diferencial y (x) − 4y (x) + 4y(x) = 6e2x . 6. Determine el valor de la constante G de modo que la funci´n y = Ge2x sin(3x) sea soluci´n de la siguiente o o ecuaci´n diferencial y (x) − 4y (x) = −13e2x sin(3x). o 7. Determine el valor de la constante L de modo que la funci´n y = Lxe2x sea soluci´n de la siguiente ecuaci´n o o o diferencial y (x) + 4y (x) − 11y(x) = −16e2x − 2xe2x 8. Demuestre, utilizando la derivada, las siguientes identidades: π a) arcsin x + arc cos x = 2 1 π b) arctan x + arctan ( ) = x 2 9. Sea m un entero natural. Muestre que (1 + x)m + (1 − x)m = 0 ∀x ∈ R. Considere la funci´n definida por o (1 + x)m − (1 − x)m f (x) = (1 + x)m + (1 − x)m Encuentre f (x) y simplifique al m´ximo. a ex − e−x 10. Demuestre que la funci´n f (x) = o satisface la ecuaci´n diferencial f (x) = 1 − (f (x))2 . o ex + e−x 71
  • 73. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 11 LA DERIVADA 11. Si a y b son constantes positivas, demuestre que el m´ximo valor que toma la funci´n f (x) = a sin x + b cos x √ a o es a2 + b2 . √ ınimo de la funci´n f (x) = aekx + be−kx es 12. Demuestre que si a, b, k ∈ R+ son constantes, entonces el valor m´ o 2 ab 13. Sea f una funci´n continua con segunda derivada continua en R tal que f (x) > 0 y f (x) = −x · f (x) ∀x ∈ R. o Para f hallar: a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Intervalos de convexidad y concavidad. c) ¿Cu´les son sus puntos de inflexi´n? a o 14. Suponga que f es una funci´n que satisface las siguiente identidad o f (x + y) = f (x) + f (y) + x2 y + xy 2 ∀x, y ∈ R. Adem´s suponga que a f (x) l´ ım =1 x→0 x Encuentre f (0) y f (x). 15. Suponga que f es una funci´n diferenciable y α ∈ R. Encuentre la derivada, con respecto a x, de f (xα ) y o [f (x)]α . x+1 16. Sea g(x) = f ( ) ∀x ∈ R1. Si se sabe que f (x) = x2 calcule g (x). x−1 17. Sea f : R −→ R una funci´n derivable, positiva y creciente, y sea g : R → R una funci´n derivable, negativa o o y decreciente. Pruebe que la funci´n h : R → R definida por: o f (g(x)) h(x) = g(x) es creciente. 1+x a+x 18. Muestre que las funciones f (x) = ln y g(x) = f tienen la misma derivada ∀a ∈ R. 1−x 1 + ax 19. Demuestre que si f es una funci´n tal que ∀x, y ∈ R se tiene que |f (x) − f (y)| < (x − y)2 , entonces f es o constante. 20. Sea f (x) una funci´n derivable tal que f (2x) = 2f (x) para todo x ∈ R+ . Demuestre que ∀x ∈ R+ existe c > x o f (x) tal que f (c) = . x Indicaci´n: Utilize el Teorema del Valor Medio. o 72
  • 74. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 11.3 Miscel´neo a 21. Considere n reales estrictamente positivos, denotados por λ1 , ..., λn . Demuestre que si ∀x ∈ R se cumple que λx + λx + ... + λx ≥ n 1 2 n entonces necesariamente λ1 · λ2 · · · λn = 1 ıtico de f (x) = λx + λx + ... + λx . Indicaci´n: Estudie si x = 0 es o no punto cr´ o 1 2 n 22. Sea f : R −→ R dos veces derivable en R. Demostrar que si para todo x ∈ R se cumple que f (x) > 0 y f (x) · f (x) ≥ (f (x))2 , entonces la funci´n definida en R por g(x) = ln(f (x)) es convexa. o 23. Dado n n´meros a1 , . . . , an , determine el valor de x para que u (a1 − x)2 + . . . + (an − x)2 alcance su valor m´ ınimo. 24. Considere los n´meros a1 , . . . , an y b1 , . . . , bn y la funci´n u o f (x) = (a1 x + b1 )2 + . . . + (an x + bn )2 Demuestre que (a1 b1 + . . . + an bn )2 ≤ (a2 + . . . + a2 )(b2 + . . . + b2 ) 1 n 1 n Observaci´n: Es un caso especial de la Desigualdad de Cauchy-Schwarz. o 25. Teorema del Valor Medio Sea y = f (x) una funci´n continua en [a, b] y diferenciable en ]a, b[. Entonces existe c ∈ (a, b) tal que: o f (b) − f (a) = f (c)(b − a). Indicaciones para demostrar este teorema: a) Encuentre la ecuaci´n de la recta y que pasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)). o b) Considere la funci´n g(x) = f (x) − x f (b)−f (a) . o b−a c) Vea si puede utilizar el Teorema de Rolle. 26. Utilizando el Teorema de Valor Medio demuestre los siguientes Teoremas: Teorema 1: Sea f una funci´n continua en [a, b] y diferenciable en ]a, b[ tal que f (x) = 0 ∀x ∈]a, b[. Entonces o f (x) ≡ constante. Teorema 2: Sean f y g funciones continuas en [a, b] y diferenciables en ]a, b[ tales que f (x) = g (x) ∀x ∈]a, b[. Entonces f (x) − g(x) = constante. Teorema 3: Sea y = f (x) una funci´n continua en [a, b] y diferenciable en ]a, b[. o a) Si f (x) > 0 ∀ x ]a, b[ entonces f es una funci´n creciente en [a, b]. o b) Si f (x) < 0 ∀ x ]a, b[ entonces f es una funci´n decreciente en [a, b] o 73
  • 75. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 11 LA DERIVADA 27. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Considere la siguiente ecuaci´n diferencial ordinaria de segundo orden con coeficientes constantes: o d2 y dy a +b + cy = 0 (1) dx2 dx Demuestre lo que sigue: a) Sean C1 , C2 R. Si y1 e y2 son soluciones de (1) entonces C1 y1 + C2 y2 tambi´n lo es. e b) Si se sustiye y = eαx en (1) el problema de solucionar la ecuaci´n diferencial se transforma en el problema o de solucionar la ecuaci´n cuadr´tica aα2 + bα + c = 0. o a Ahora se pueden distinguir tres casos: 1) Si b2 − 4ac > 0 entonces y = C1 eα1 x + C2 eα2 x es soluci´n de (1), y en donde α1 y α2 son soluciones de o la ecuaci´n cuadr´tica. o a 2) Si b2 − 4ac = 0 entonces y = (C1 + xC2 )eαx es soluci´n de (1), y en donde α es soluci´n de multiplicidad o o 2 de la ecuaci´n cuadr´tica. o a 3) Si b2 − 4ac < 0 la ecuaci´n cuadr´tica tendr´ soluciones de la forma: o a a √ −b ± 4ac − b2 i α1,2 = = A ± Bi 2a entonces y = C1 eAx cos(Bx) + C2 eAx sin(Bx) es soluci´n de (1). o Indicaci´n: Para el punto 3) considere que y = e(A±Bi)x = Re{y} ± iIm{y}, y demuestre que y1 = Re{y} e o y2 = Im{y} son soluciones de (1). 28. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias: d2 y dy d2 y dy d2 y dy a) 2 +2 − 15y = 0 b) 3 2 − 12 + 12y = 0 c) 2 −4 + 13y = 0 dx dx dx dx dx dx 29. Funciones Lipschitz Una funci´n se dice que es de Lipschitz en un intervalo (a, b) si: Existe un K > 0 tal que |f (x)−f (y)| ≤ K|x−y| o ∀x, y ∈ (a, b). La constante K es llamada constante de Lipschitz. Demuestre lo que sigue: a) Sea f una funci´n Lipschitz en (a, b), entonces f es continua en (a, b). o b) Sea f una funci´n continua en [a, b] y diferenciable en ]a, b[ tal que |f (x)| ≤ K ∀x ∈]a, b[. Entonces f es o Lipschitz con constante K. 30. Pruebe que las siguientes funciones son Lipschitz. a) y = sin x b) y = arctan x √ c) y = 1 + x2 74
  • 76. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 11.3 Miscel´neo a 31. Funciones Convexas Sea f : I ⊆ R −→ R diferenciable en I. Muestre que son equivalentes: a) f es convexa en I. b) f (x) ≥ f (y) + f (y) · (x − y) ∀x, y ∈ I. c) [f (x) − f (y)] · (x − y) ≥ 0 ∀x, y ∈ I. d ) f (x) > 0 ∀x ∈ I. 32. Sea g una funci´n convexa y estrictamente creciente y f una funci´n convexa. Muestre que la funci´n definida o o o por h(x) = g(f (x)) es convexa. n 33. Sean α1 , . . . , αn escalares positivos tales que αk = 1. Luego para x1 , . . . , xn escalares positivos cualquiera k=1 se cumple que xα1 · xα2 · . . . · xαn ≤ α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn 1 2 n La igualdad se cumple si x1 = x2 = . . . = xn . Indicaci´n: Muestre que − ln x es una funci´n convexa en (0, ∞) y luego pruebe el resultado para n = 2. o o 75
  • 77. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 12 APLICACIONES DE LA DERIVADA12. Aplicaciones de la Derivada12.1. Problemas de Raz´n de Cambio o 1. Las dimensiones de un rect´ngulo var´ de modo que su ´rea permanece constante. ¿Cu´l es la rapidez con a ıan a a que decrece la altura del rect´ngulo en el momento que la base y altura tienen son iguales? Suponga que la a base crece con rapidez de 5 m/s. 2. De un globo esf´rico escapa el gas de modo que el radio de la esfera disminuye a raz´n de 2 cm/s. ¿Con e o qu´ rapidez escapa el aire y con qu´ rapidez disminuye el di´metro del globo cuando el radio es de 10 cm?. e e a 3. Una barra de metal tiene la forma de un cilindro circular recto. Cuando se calienta, su longitud L y su radio R aumentan a raz´n de 0, 005 cm/min y 0, 002 cm/min respectivamente. ¿A qu´ raz´n aumenta el volumen o e o de la barra en el momento que el largo mide 40 cm y su radio mide 1, 5 cm. 4. Una persona de 2 m de altura camina a una rapidez constante de 3 m/s, alej´ndose de un poste de alumbrado a de 6 m de altura. ¿Con qu´ rapidez se alarga la longitud de la sombra?. e Un telef´rico asciende desde la base hasta la cima de e una monta˜a. El ´ngulo de elevaci´n de la base a la n a o 5. cima es de 30◦ . Si el telef´rico se desplaza a 5 m/s e ¿con qu´ rapidez cambia la altura del telef´rico con e e respecto a la base de la monta˜a?n 6. Una c´mara de TV sigue desde el suelo el despegue vertical de un cohete, que se produce de acuerdo con la a ecuaci´n s = 50t2 (s es la altura con respecto al suelo medido en metros y t en segundos). La c´mara est´ a o a a 2000 m del lugar de despegue. Halle como var´ el ´ngulo de elevaci´n de la c´mara despu´s de 10 s del ıa a o a e despegue del cohete. 7. Un hombre est´ pintando una pared parado en el tope de una escalera que tiene 13 unidades de longitud. a En cierto momento, la escalera empieza a resbalar a raz´n de 6 unidades/min. ¿A qu´ rapidez desciende el o e hombre si se mantiene parado en el tope de la escalera, cuando la base de la escalera est´ a 12 unidades de a la pared?. El puente levadizo que se muestra en la figura est´ siendo jalado desde C de modo que el cable BC a se desliza a raz´n de 4 m/min. La altura del castil- o 8. lo es de 24 m y la longitud del puente es de 12 m. ¿Con qu´ rapidez est´ subiendo el extremo B (con e a respecto al suelo) del puente cuando θ = 60◦ ? 9. Dos barcos, A y B, parten de un mismo punto O seg´n direcciones que forman un ´ngulo de 120◦ . El barco u a A navega a 20 km/h y el barco B a 30 km/h. ¿Con qu´ rapidez est´ variando la distancia entre ellos en el e a instante que OA = 8 km y OB = 6 km?. 76
  • 78. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 12.1 Problemas de Raz´n de Cambio o 10. Un dep´sito de agua tiene la forma de un cono circular recto con su v´rtice hacia abajo. Su altura es de 10 m o e y el radio de la base es de 15 m. Al mismo tiempo, se vierte agua en el dep´sito a una raz´n de A m3 /s y el o o agua sale por el fondo a una raz´n de 1 m3 /s. Calcule el valor de A de modo que el nivel de agua ascienda a o una raz´n de 4 m3 /s en el instante en que el agua alcanza la altura de 8 m. o 2 2 11. Un punto P = (x0 , y0 ) se mueve sobre la semielipse x + y4 = 1 con y ≥ 0 de manera que su rapidez horizontal 9 es constante igual a 4 m/s. Sea A el punto de intersecci´n de la recta tangente en P con el eje x. Determinar o la rapidez de A cuando x0 = 1 m. 12. Un tren de pasajeros pasa por un cruce a las 12 hrs. y va en direcci´n al Norte con una rapidez constante de o 120 km/h. Luego a las 13 hrs. pasa por el cruce un tren de carga en direcci´n Este y va a 90 km/h. ¿Con o qu´ rapidez se est´n alejando entre si los trenes a las 15 hrs. con 20 minutos?. e a La barra r´ıgida AB de longitud de 3 m se mueve de modo que el extremo A se desliza sobre la recta y = 0, mientras que el extremo B lo hace sobre la 1 13. curva y = 1 + x con x > 0. Si la rapidez vertical del punto B es de dy = −6 ¿cu´nto es la rapidez dt a horizontal de A en el instante en que B est´ en el a punto (1, 2)? 14. Un helic´ptero deja una base, elev´ndose verticalmente a una rapidez de 15 pies/s. Al mismo tiempo que o a despega el helic´ptero, un observador parte desde un punto situado a 100 pies de la base, y se mueve en o l´ ınea recta, alej´ndose a 80 pies/s. ¿Con qu´ rapidez crece el ´ngulo de elevaci´n del helic´ptero respecto del a e a o o observador cuando este ultimo est´ a 400 pies de la base?. ´ a 15. Una barra de metal tiene secci´n rectangular. Al ser enfriada sus dimensiones disminuyen. El ancho, el alto y o el largo, disminuyen a una raz´n de 0,001 cm/min, 0,002 cm/min y 0,005 cm respectivamente. ¿A qu´ raz´n o e o disminuye el volumen en el momento que la barra mide 60 cm de largo, 10 cm de ancho y 3 cm de alto o grosor?. La figura muestra el corte longitudinal de una pisci- na rectangular de 12 m de ancho. Si la piscina se 16. est´ llenando a una raz´n de 256 lt/min, calcule la a o rapidez con que sube el nivel del agua en el instante t0 , en el cual la profundad es de 1 m. 77
  • 79. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 12 APLICACIONES DE LA DERIVADA12.2. Problemas de Optimizaci´n o 1. Pruebe que entre todos los rect´ngulos de un per´ a ımetro dado, el de ´rea m´xima es el cuadrado. a a 2. Encuentre las dimensiones del rect´ngulo de ´rea m´xima inscrito en una semicircunferencia. a a a 3. Pruebe que de todos los tri´ngulos is´celes inscritos en una circunferencia, el tri´ngulo equil´tero es el de a o a a per´ ımetro m´ximo. a 4. Encuentre las dimensiones del cono circular recto inscrito en una esfera cuyo volumen sea m´ximo. a 5. Encuentre las dimensiones del cilindro inscrito en una esfera cuyo volumen sea m´ximo. a 6. Un granjero tiene 200 m de barda con las que desea construir tres lados de un corral rectangular; una pared ya existente formar´ el cuarto lado. ¿Qu´ dimensiones maximizar´n el ´rea del corral?. a e a a 7. Un alambre de 20 cm de largo se dobla para formar un sector cirular. Determine el radio del sector circular de manera que se encierre la mayor ´rea posible. a 8. Un observatorio, de volumen de V m3 , debe tener la forma de un cilindro rematado por una b´veda semiesf´ri- o e ca; ambos con el mismo radio. Si la construcci´n de la b´veda semiesf´rica cuesta el doble por metro cuadrado o o e que la del muro cil´ ındrico ¿cu´les son las proporciones que se deben emplear para que la construcci´n tenga a o un costo m´ınimo?. 9. Considere un punto en el plano, P1 : (x1 , y1 ), y la recta : ax + by + c = 0 con a, b, c ∈ R. Si P1 ∈ / muestre que la distancia m´ ınima entre el punto y la recta viene dada por: |ax1 + by1 + c| √ a2 + b2 10. Encuentre la ecuaci´n de la recta tangente a la elipse b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2 , en el primer cuadrante, y que forma o con los ejes coordenados un tri´ngulo de ´rea m´ a a ınima. Una pieza de metal es rectangular y mide 50 cm de ancho y 80 cm de largo. Se cortan cuadrados congru- entes en sus cuatro esquinas (ver figura). La pieza 11. resultante se dobla para formar una caja sin tapas. ¿C´mo se debe cortar de modo que el volumen de la o caja sea lo mayor posible? 12. Se desea dise˜ar un envase cil´ n ındrico, con tapa, de radio R y altura H. La base y la tapa deben hacerse de cobre, con un costo de 3 pesos/cm2 . La cara curva o manto se debe hacer con aluminio a un costo de 2 pesos/cm2 . Determine las dimensiones del envase que maximice el volumen de la lata si se cuenta con 300π pesos para su construcci´n. o 78
  • 80. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 12.2 Problemas de Optimizaci´n o Dos postes de antenas de TV se encuentran en un techo, afianzados mediante alambres sujetos en un 13. mismo punto entre los dos postes (ver figura). ¿En d´nde debe ubicarse este punto de modo que se min- o imice la cantidad de alambre a ocupar? 14. Un alambre de 100 cm de longitud se corta en tres partes. Un pedazo se dobla formando una circunferencia, otro se dobla formando un cuadrado y el ultimo pedazo se dobla formando un tri´ngulo equil´tero. Si el ´ a a per´ ımetro del cuadrado debe ser el doble que del tri´ngulo ¿c´mo deber´ ser cortado el alambre para que la a o a suma de sus ´reas sea m´xima?. a a En la ribera de un r´ de 3 km de ancho hay una ıo planta el´ctrica; en la otra rivera, 4 km corriente ar- e riba hay una f´brica. El costo de tender un cable a 15. por tierra es de 30 d´lares por metro y 50 d´lares o o por metro si se tiende bajo el agua .¿Cu´l es la ruta a m´s econ´mica para tender el cable desde la planta a o el´ctrica a la f´brica?. ¿Cu´l es su costo?. e a a 16. Considere un cilindro circular recto de radio r y altura h que est´ inscrito en un cono circular recto de radio a R y altura H. Encuentre el valor de r que maximice el ´rea total del cilindro. a 79
  • 81. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 12 APLICACIONES DE LA DERIVADA12.3. Estudio de Funciones y Trazado de Curvas Se entender´ por estudio completo de una funci´n el determinar, si es que es posible, el dominio, recorrido, a ora´ ıces, condiciones de paridad, as´ ıntotas, puntos de discontinuidad, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntoscr´ ıticos, puntos de inflexi´n, intervalos de concavidad y convexidad, y la gr´fica aproximado de la funci´n. o a o 1. Haga un estudio completo de las siguientes funciones. x−2 x3 − 2x x2 − 3x + 2 a) f (x) = b) g(x) = c) h(x) = x2 − 1 x−5 x2 − 4 (x − 1)(x + 2) 1 3x2 d) f (x) = e) g(x) = 2 + f) h(x) = x2 (x + 1) 1 + x2 x2 − 2x − 3 1 4 g) f (x) = 7x + h) g(x) = 2(x − 1) + i) h(x) = (x2 − 1)(x + 2) 2x + 5 x−1 j) f (x) = x2 − 3x + 2 k) g(x) = (x2 − 4)(x − 1)2 l) h(x) = x3 − x2 m) f (x) = x2 − x4 n) g(x) = (x2 − 8x + 15)(x − 1) o) h(x) = x4 + 1 p) c(x) = x3 − 4x + 2 q) l(x) = −x3 + x2 − 1 r) g(x) = x4 − 4x2 − 2 80

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