CISM 2000 - ANALISI DELLA CAPACITA’ RESISTENTE  E DELLA VITA RESIDUA  DELLE STRUTTURE ESISTENTI
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Lezione tenuta nel 2000 al CISM sulla analisi e valutazione della capacita' portante e della vita residua di costruzioni esistenti.

Lezione tenuta nel 2000 al CISM sulla analisi e valutazione della capacita' portante e della vita residua di costruzioni esistenti.

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CISM 2000 - ANALISI DELLA CAPACITA’ RESISTENTE E DELLA VITA RESIDUA DELLE STRUTTURE ESISTENTI Document Transcript

  • 1. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 1 - www.stronger2012.com ANALISI DELLA CAPACITA’ RESISTENTE E DELLA VITA RESIDUA DELLE STRUTTURE ESISTENTI Franco BONTEMPI Professore Ordinario di Tecnica delle Costruzioni Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Università di Roma "La Sapienza". franco.bontempi@uniroma1.it
  • 2. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 2 - www.stronger2012.com INDICE. 1. CONSIDERAZIONI GENERALI SULLA VALUTAZIONE DELLA CAPACITA’ PRESTAZIONALE DI UNA STRUTTURA ESISTENTE. 2. ASPETTI CONCETTUALI DELL’ANALISI STRUTTURALE IN CAMPO NON LINEARE. 3. VERIFICA DELLA SICUREZZA STRUTTURALE. 4. DEFINIZIONE DEGLI STATI LIMITE. 5. MODELLAZIONE DI STRUTTURE INTELAIATE PIANE IN CAMPO NON LINEARE 6. CONSIDERAZIONI SULLA MODELLAZIONE DEL SISTEMA STRUTTURALE 7. MODELLAZIONE PROBABILISTICA
  • 3. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 3 - www.stronger2012.com 1. CONSIDERAZIONI GENERALI SULLA VALUTAZIONE DELLA CAPACITA’ PRESTAZIONALE DI UNA STRUTTURA ESISTENTE. Le situazioni che richiedono di accertare la capacita’ resistente di una struttura in c.a./c.a.p. sono, in generale, di due tipi: a) diminuzione delle caratteristiche meccaniche dei materiali costitutivi per fenomeni di deterioramento provocati da cause ambientali e che evolvono nel tempo, b) incremento dei livelli di carico richiesti in conseguenza di variazioni nella destinazione d’uso o nella categoria di appartenenza, come accade nel caso dei ponti e viadotti stradali. A queste situazioni di carattere generale, rappresentate nella Fig.1.a,b (dove in ascissa si ha il tempo e in ordinata la capacita’ prestazionale della struttura e la domanda), vanno aggiunte quelle relative a danneggiamenti dovuti a fenomeni particolari, come le azioni impulsive o le alte temperature da incendio.
  • 4. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 4 - www.stronger2012.com Fig.1: Aspetti concettuali dell’andamento (a) deterministico, (b) stocastico, della capacita’ prestazionale di una struttura nel tempo.
  • 5. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 5 - www.stronger2012.com Appare evidente il ruolo fondamentale che le attivita’ di controllo e di monitoraggio hanno nell’attivare le verifiche sulla capacita’ prestazionale e nel determinare il loro livello di accuratezza. Tali attivita’, per risultare economiche, devono 1) non interferire con il normale servizio della struttura, avvalendosi di misurazioni in condizioni ambientali; 2) richiedere pochi punti di misura; 3) essere robusti e affidabili attraverso una ridondanza interna nel processo di stima. Non puo’ quindi sfuggire l’analogia con le tecniche relative alle diagnosi mediche.
  • 6. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 6 - www.stronger2012.com 4 STRUCTURE ifor(t) iseg(t) 12 3 3 ifor(t) iseg(t) h(t) 4 5 RN h(t) 6 7 RN h(t) 8 p 0 25 0 1 Fig.2: Stima del degrado strutturale basata sull’errore di previsione del comportamento dinamico della struttura esistente da parte di una rete neurale-fuzzy, addestrata inizialmente sul comportamento strutturale integro (nominale): (1) punto di misura (non strettamente necessario) della forzante ambientale (2) ifor(t), (3) punto di misura della risposta strutturale (4) iseg(t).
  • 7. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 7 - www.stronger2012.com Senza dimenticare le caratteristiche proprie di un’opera di ingegneria civile (unicita’ e non ripetibilita’), tale controllo continuo dell’opera d’arte richiama procedimenti di controllo di qualita’ di prodotti industriali e, piu’ in generale, lo stesso concetto di qualita’ come si è affermato attualmente nell’ottica delle norme internazionali ISO9000. In questa ottica, la qualita’ e’ intesa come quella caratteristica di un bene in grado di soddisfare le necessita’ di un cliente: in particolare l’introduzione del sistema qualita’ in una organizzazione produttiva vuole tendere a minimizzare le non conformita’ di prodotto, ricercando a ritroso, nel processo produttivo, le ragioni di tale eventuale insuccesso. Un’opera strutturale e’ intesa come prodotto e, in quanto tale, attraverso l’auditing di verifica prestazionale se ne valutano le caratteristiche .
  • 8. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 8 - www.stronger2012.com Mutuando i metodi operativi del controllo di qualita’,  si agevola la focalizzazione e la visione globale del problema di verifica,  si guida l’analisi di dettaglio,  si estrapola dai dati il massimo livello di informazione,  si possono tenere in conto gli errori sviluppatisi in fase di concezione e progettazione dell’opera, che possono essere i punti di partenza dell’inadeguatezza o del degrado della capacita’ prestazionale.
  • 9. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 9 - www.stronger2012.com Tab.1. Strumenti per la gestione della qualita’ e controllo prestazionale di un’opera d’arte. Nome: Scopo: diagramma di flusso Permette di rappresentare un flusso di attivita’/fasi secondo la sequenza logico- temporale di svolgimento delle stesse: permette l’impostazione e la programmazione delle analisi di verifica, prospettando le possibili alternative decisionali; ne risulta una rappresentazione grafica immediatamente leggibile che descrive il processo di verifica passo per passo, aiutando a focalizzare le scelte alternative e le possibili fonti d’errore; Analisi delle funzioni Consente di prospettare e correlare le caratteristiche e le esigenze funzionali di un’opera d’arte, e quindi di valutarne le capacita’ della stessa di soddisfarle; la concezione piu’ rigorosa impone di esprimere stringatamente ogni funzione e di fare riferimento a caratteristiche misurabili: deve essere individuato almeno un parametro di controllo, con il relativo intervallo accettabile di variazione. Albero delle funzioni (Functional family tree) Prevede un’organizzazione grafica facilmente leggibile in cui requisisti e/o caratteristiche vengono elencati e correlati fra loro; procedendo dall’alto al basso, diminuisce il grado di importanza delle funzioni o aumenta il grado di dettaglio dell’analisi. Diagramma causa-effetto (diagramma di Ishikawa) E’ un metodo di organizzazione dei dati utile per l’analisi di problemi e per l’eliminazione di effetti indesiderati, malfunzionamenti, non conformita’: si seleziona l’effetto da analizzare e si prospettano tutte le possibili cause, ordinandole in base alla maggiore probabilita’ di incidenza sull’effetto in analisi, e correlandole in funzione dell’interazione reciproca; i dati vengono strutturati in una rappresentazione grafica chiamata diagramma a lisca di pesce per la sua forma caratteristica. La prima operazione consiste nell’individuare le diverse categorie di cause; ad ogni causa si associa il maggior numero di informazioni possibili; si scompone ogni causa primaria negli elementi secondari; si costruisce il diagramma. Albero dei guasti Permette di visualizzare e di sviluppare l’analisi di un difetto, di una conformita’ o di un fatto non previsto (il guasto), relativo all’opera o a una sua parte. Per quanto riguarda il progetto, gli errori possono essere a) nei processi (progettazione, raccolta, elaborazione e trasmissione dei dati, redazione degli elaborati progettuali, controllo), b) negli strumenti (di supporto alla progettazione, di supporto all’elaborazione grafica, di misura e controllo), c) umani. Per quanto concerne le opere, gli errori possono essere: a) di progetto (scelte, contenuti, leggibilita’ degli elaborati, qualita’ e quantita’ delle informazioni rese); b) di realizzazione (metodologie scorrette, strumenti inadeguati, materiali scadenti, personale incompetente), c) mancata previsione di condizione al contorno o di eventi eccezionali. Suddivisione del prodotto (Product breakdown structure) Sono metodologie sviluppate dai tecnici aerospaziali statunitensi allo scopo di gestire il progetto e la realizzazione di prodotti complessi: in questo senso, un’opera di ingegneria civile, pur presentando in genere meno difficolta’ e meno rischi del progetto di un veicolo spaziale, non puo’ essere definito semplice. L’organizzazione grafica e’ un diagramma composto da caselle e linee di correlazione; al vertice si trova una sola casella entro la quale e’ specificata l’opera da scomporre: da qui si individuano i sottosistemi, che a loro volta possono essere suddivisi in sotto-sottosistemi.
  • 10. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 10 - www.stronger2012.com La valutazione della capacita’ resistente di una struttura richiede un processo di analisi che ha delle premesse concettuali sostanzialmente differenti da quelle che sono alla base delle procedure utilizzate usualmente nella progettazione di una nuova struttura. Infatti:  Le normative fanno riferimento a situazioni generali e, quindi, generiche: da cio’ segue che i dati di ingresso relativi alle caratteristiche dei materiali sono fissati a priori e quelli relativi ai carichi sono stabiliti da apposite norme, comuni a tutte le costruzioni di una data tipologia (edifici per abitazioni, scuole, ponti,…). La valutazione di una struttura esistente e’ invece un processo sviluppato caso per caso per ciascuna costruzione, situata in una ben definita localita’, realizzata con materiali aventi specifiche caratteristiche e soggetta ad uno spettro di carico specifico.
  • 11. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 11 - www.stronger2012.com  Per quanto riguarda gli schemi statici, i meccanismi resistenti, le condizioni di vincolo, in fase di progetto essi sono definiti dal progettista sulla base di opportune ipotesi, cosi’ che possono essere considerati noti. Per le strutture gia’ esistenti, invece, possono essere ritenute piu’ sicuramente determinabili le loro dimensioni geometriche, ed anche i parametri di resistenza dei materiali, qualora vengano ottenuti da accurate misurazioni ed indagini in situ, mentre sono piu’ incerte le situazioni di vincolo ovvero le posizioni delle armature all’interno dei getti o ancora l’efficienza dei cavi di precompressione all’interno delle guaine.  I differenti requisiti che si impongono in fase di progetto ai componenti strutturali, come, ad esempio, le percentuali e le disposizioni delle armature, sono relativamente facili e poco onerosi da soddisfare in tale fase, mentre possono essere estremamente costose e difficili da considerare in una struttura esistente.
  • 12. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 12 - www.stronger2012.com  Le prestazioni sviluppate nel passato da strutture esistenti, contribuiscono comunque a ridurre le incertezze insite in ogni opera nella fase della sua progettazione.  Diverse opere d’arte, possono trovarsi in situazioni di non conformita’ nel caso di variazioni delle disposizioni normative, mentre non mancano esempi di costruzioni che hanno raggiunto e superato la durata convenzionale della vita di servizio, con prestazioni da considerarsi tuttora pienamente valide. Problematiche particolari possono essere poste, inoltre, dalle costruzioni che presentano particolari caratteri storici da salvaguardare, come e’ il caso di certi ponti in pietra o in muratura ed anche, ormai, a struttura metallica.
  • 13. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 13 - www.stronger2012.com Tabella 3. Suddivisione delle analisi In base alla complessita’ geometrica 1D o 2D 3D Analisi statica o quasi statica I III Analisi dinamica II IV Tabella 4. Suddivisione delle analisi in base agli aspetti meccanici considerati Lineare Non lineare Deterministica A C Stocastica B D
  • 14. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 14 - www.stronger2012.com Tabella 5. Complessita’ dei livelli di analisi. Peso = Costo Caso Significato 1 IA Analisi 1D o 2D statica o quasi statica lineare deterministica 2 IB IIA Analisi 1D o 2D statica o quasi statica lineare stocastica Analisi 1D o 2D dinamica lineare deterministica 3 IC IIIA Analisi 1D o 2D statica o quasi statica non lineare deterministica Analisi 3D statica o quasi statica lineare deterministica 4 ID IIB IVA Analisi 1D o 2D statica o quasi statica non lineare stocastica Analisi 1D o 2D dinamica lineare stocastica Analisi 3D dinamica lineare deterministica 6 IIC IIIB Analisi 1D o 2D dinamica non lineare deterministica Analisi 3D statica o quasi statica lineare deterministica 8 IID IIIB Analisi 1D o 2D dinamica non lineare stocastica Analisi 3D statica o quasi statica lineare stocastica 9 IIIC Analisi 3D statica o quasi statica non lineare deterministica 12 IIID IVC Analisi 3D statica o quasi statica non lineare stocastica Analisi 3D dinamica non lineare deterministica 16 IVD Analisi 3D dinamica non lineare stocastica
  • 15. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 15 - www.stronger2012.com Tabella 2. Livelli di certezza degli aspetti che caratterizzano il comportamento strutturale. Situazione: Aspetti globali (schema statico, meccanismo resistente, vincoli,..) Aspetti locali (parametri dei materiali, intensita’ dei carichi,..) Progetto (design) + certi - certi Verifica (assessment) - certi + certi
  • 16. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 16 - www.stronger2012.com 2. ASPETTI CONCETTUALI DELL’ANALISI STRUTTURALE IN CAMPO NON LINEARE. Si considera una struttura discretizzata con i criteri del metodo degli elementi finiti, impostato negli spostamenti. Sulla struttura si pensano agenti delle azioni che possono essere sintetizzate nel vettore dei carichi equivalenti P . Incognite primarie del problema strutturale sono gli spostamenti dei nodi che individuano la suddivisione in elementi della struttura: tali spostamenti, in numero finito, sono raccolti nel vettore q . Da questo vettore, si potranno ottenere: (1) il campo di spostamenti    u P N P q q , e di deformazioni     P B P q q , in qualunque punto P della struttura; (2) il campo di sforzi (in particolare i diagrammi delle azioni interne); (3) le reazioni vincolari.
  • 17. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 17 - www.stronger2012.com Il problema strutturale risulta lineare se: i. il materiale di cui e’ composta la struttura e’ elastico lineare; ii. gli spostamenti sono piccoli: le equazioni di equilibrio si possono scrivere nella configurazione indeformata della struttura, e si ritengono valide le usuali approssimazioni analitiche, quali confondere un angolo piccolo con il suo seno o la sua tangente; iii. i vincoli presenti nella struttura, sono considerati bilateri. In tali condizioni si verifica in particolare che:  la soluzione del problema strutturale esiste ed e’ unica;  vale il principio di sovrapposizione degli effetti: con riferimento alla Fig.2, se ad un carico PA corrisponde uno spostamento q A e ad un carico PB uno spostamento qB , alla somma dei carichi P P PA B C   corrisponde la somma degli spostamenti q q qC A B   .
  • 18. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 18 - www.stronger2012.com Mancando le ipotesi i, ii, iii, si hanno, rispettivamente, non linearita’ di materiale, non linearita’ geometrica e non linearita’ di vincoli. In tali casi, la soluzione del problema strutturale puo’ non esistere, e se esiste puo’ non essere unica: chiaramente, non vale piu’ il principio di sovrapposizione degli effetti. Fig.2: Linearita’ e non linearita’ nella risposta strutturale.
  • 19. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 19 - www.stronger2012.com E' bene sottolineare subito che, in campo non lineare, per ottenere un insieme di risultati attendibili si deve considerare l'evoluzione della struttura nel suo complesso dallo stato iniziale fino al collasso. La determinazione di una singola configurazione di equilibrio per un determinato livello di carico, e' assolutamente insufficiente, in quanto non permette di valutare quale sia la risposta della struttura a variazioni di livello del carico stesso: a differenza di quanto succede quasi sempre in campo lineare, i risultati ottenibili da un programma non lineare, anche se corretti dal punto di vista numerico, possono essere assolutamente privi di significato ingegneristico e totalmente errati dal punto di vista meccanico. Non potendo piu' applicare il principio di sovrapposizione degli effetti, ogni fissata combinazione deve essere studiata con un’analisi specifica. Questo comporta un impegno computazionale notevole.
  • 20. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 20 - www.stronger2012.com Un modello strutturale efficiente dovra’ quindi essere in grado di cogliere gli aspetti meccanici essenziali, evitando l’introduzione di parametri incogniti inutili ai fini della rappresentazione che si vuol dare della struttura. Con le ipotesi di struttura discretizzata nell’ottica del metodo degli elementi finiti negli spostamenti, e con ipotesi abbastanza generali, il problema da risolvere e’ quello di trovare la soluzione q al sistema di equazioni algebriche non lineari:    R q t F q t, , (1) in cui la sequenza di situazioni di carico e’ associata a t . La successione delle soluzioni q al variare di F descrive il percorso di equilibrio della struttura per l’assegnata storia di carico.
  • 21. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 21 - www.stronger2012.com Si osserva che il termine noto di questa equazione, ovvero  F q t, , e’ funzione della soluzione q della stessa equazione. Dal punto di vista meccanico cio’ sta ad indicare che il vettore dei carichi agenti sulla struttura puo’ essere funzione della sua configurazione deformata, come accade ad esempio nei sistemi soggetti a forze di tipo non conservativo o con la presenza di distorsioni impresse che da’ luogo ad azioni statiche la cui intensita’ e’ legata alla rigidezza della struttura. L’equazione di equilibrio per l’intera struttura (1) è ottenuta per assemblaggio di elementi in C.A./C.A.P. La sua soluzione va ricercata per via iterativa e richiede:  la definizione del procedimento col quale giungere al vettore di spostamenti q I corrispondenti all’I-esima iterazione;  la definizione dei criteri per valutare se la soluzione approssimata q I converge o no alla soluzione incognita qEX e per arrestare, di conseguenza, il procedimento iterativo.
  • 22. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 22 - www.stronger2012.com In una formulazione secante, il vettore R delle forze nodali equivalenti, in termini di lavoro, agli sforzi agenti all’interno della struttura è espresso come    R R q K q q K q     ovvero dal prodotto di una matrice di rigidezza secante  K K q per il vettore incognito q . Quindi, per una prefissata condizione di carico, lo schema iterativo e’ composto dai seguenti passi:  e’ nota la soluzione approssimata q I 1 all’iterazione I 1;  si valuta la matrice di rigidezza secante  K q I 1 ;  la soluzione all’iterazione I e’    q K q F q I I I     1 1 1 ;  ad essa compete il vettore delle forze dei residui non equilibrati (di squilibrio) fra carichi esterni e reazioni interne      r q F q R q I I I   ;  si effettuano i test di convergenza: se positivi si e’ trovata la soluzione, altrimenti si incrementa I e si ricomincia il ciclo dal primo passo.
  • 23. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 23 - www.stronger2012.com Il procedimento iterativo viene arrestato al manifestarsi di uno dei seguenti stati significativi:  convergenza della soluzione, ovvero raggiungimento di uno stato di equilibrio;  collasso per raggiungimento del valore di deformazione ultima di uno dei materiali componenti la struttura;  mancata convergenza della soluzione nel numero massimo di iterazioni previste (in genere intorno a 20). Questa situazione e’ associata in genere ad una condizione di carico che supera la capacita’ portante della struttura.
  • 24. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 24 - www.stronger2012.com 1 q q q q q R(q) F(q) F 1 10 0 1 2 0 1 2 exact F F F R 1 2 R K(q) K(q) q R(q) F F0 Fig.3: Soluzione di un problema non lineare col metodo secante con riferimento ad un solo grado di liberta'. (a) Rappresentazione geometrica delle prime due iterazioni. (b) Caso di mancata convergenza della soluzione.
  • 25. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 25 - www.stronger2012.com Il percorso di equilibrio Spostamento x Carico y
  • 26. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 26 - www.stronger2012.com Definizione e caratteristiche del percorso di equilibrio di una struttura.  Nella trattazione che segue si fa riferimento a problemi nei quali  R R x e  F F t , escludendo le altre possibilita’ prima citate. Si pone inoltre    F t t y  , con y un vettore costante e   t un fattore moltiplicativo.  Introdotte queste ipotesi, l’equazione di equilibrio (1), si riscrive nella forma piu’ semplice:          t y R x t r x y r t     , 0  La coppia     x t t y,  al variare di t descrive il percorso di equilibrio della struttura per l’assegnata storia di carico: t rappresenta soltanto un parametro, e puo’ essere identificato con una generica ascissa curvilinea s .
  • 27. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 27 - www.stronger2012.com  Si consideri adesso la Fig.5: in essa e’ rappresentato simbolicamente il percorso di equilibrio “0” della struttura, in un diagramma che ha in ascissa il vettore spostamenti x e in ordinata il vettore dei carichi   y . Questo percorso fondamentale parte dal punto O, situazione che rappresenta la struttura scarica e indeformata, e arriva alla generica configurazione equilibrata S, individuata dall’ascissa s.  Lungo tale percorso di equilibrio fondamentale “0”, si origina nel punto di biforcazione semplice A un nuovo percorso di equilibrio “1”. Nel punto di biforcazione non semplice F ne nascono due, indicati con “2” e “3”. I punti B, E e G sono invece punti limite.  In un punto singolare, di biforcazione o limite, si ha una molteplicita’ della soluzione in un intorno infinitesimo del punto singolare: ad esempio nel caso del punto limite B questa molteplicita’ e’ illustrata dalla vicinanza dei punti B1 e B2; mentre nel caso del punto di biforcazione A, dalla presenza dei punti A1 e A2.
  • 28. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 28 - www.stronger2012.com  Nei punti C e D la “pendenza” del percorso di equilibrio e’, in termini analitici, infinita: essi possono essere considerati punti limite in quanto, se si scambiassero gli assi x e y , ovvero si ruotasse il diagramma del percorso di equilibrio attorno alla bisettrice del primo quadrante, risulterebbero anch’essi a tangente nulla.  Il punto H e’ definito invece punto di rottura della struttura, nascendo dai limiti convenzionali di deformazioni massime sopportabili dai materiali di cui e’ composta la struttura in oggetto, ovvero, piu’ in generale, dalle condizioni poste da un criterio di rottura.
  • 29. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 29 - www.stronger2012.com  La situazione ideale o perfetta descritta fino ad ora, e’ alterata dalla presenza di: 1. imperfezioni strutturali, 2. aspetti dinamici.  Nella Fig.5, sono evidenziati ad esempio i due percorsi quasi statici perturbati “P1” e “P2”, in cui sono scomparsi i punti di biforcazione, ma che mantengono la somiglianza con i percorsi ideali “0”, “1”,”2”.  I punti singolari limite che, anche in presenza di imperfezioni casuali per le quali il percorso di equilibrio e’ perturbato, tendono a mantenersi inalterati, risultano quindi caratterizzati da quella proprieta’ che e’ detta nella teoria dei sistemi dinamici stabilita’ strutturale  Questa caratteristica non e’ posseduta dai punti di biforcazione: essi scompaiono se la struttura e’ imperfetta. Praticamente, esistono quindi solo punti limite, essendo comunque la struttura reale soggetta ad imperfezioni.
  • 30. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 30 - www.stronger2012.com  Dal punto di vista teorico, la presa in considerazione delle imperfezioni strutturali, permette la valutazione della sensibilita’ della struttura alle condizioni e ai parametri iniziali, e sfocia in campo dinamico nella teoria del caos.  Dal punto di vista ingegneristico si e’ interessati al ramo di equilibrio con la piu’ piccola capacita’ portante, perche’ esso rappresenta la condizione piu’ pericolosa per la struttura: ad esempio dal punto di biforcazione non semplice F, il percorso “2” e’ quello ingegneristicamente critico.  Nel caso di strutture in C.A., le imperfezioni strutturali, intese come disomogeneita’ di resistenza e rigidezza del calcestruzzo e disomogeneita’ dimensionali degli elementi strutturali sono sicuramente aspetti fondamentali. Essi hanno un duplice effetto: da un lato, tendono dunque a far scomparire i punti di biforcazione, alleggerendo il procedimento di calcolo; dall’altro per la presenza di comportamenti softening e di discontinuita’ meccaniche quali l’insorgere della fessurazione e la parzializzazione delle sezioni, essi tendono a rendere estremamente irregolare il percorso di equilibrio.
  • 31. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 31 - www.stronger2012.com 3. VERIFICA DELLA SICUREZZA STRUTTURALE.  In termini generali, la verifica di sicurezza di una struttura riguarda il confronto tra una grandezza A significativa della sollecitazione a cui e’ sottoposta la struttura e una grandezza R significativa della resistenza della struttura.  A seconda del livello a cui si effettua questa verifica, puntuale/sezionale/globale, tale verifica puo’ essere organizzata come nello schema seguente: Tipo di verifica  Verifica puntuale: sullo sforzo Verifica sezionale: sulle azioni interne Verifica globale: sui carichi Carico applicato FA FA FA verifica: A= FA<FR=R? Analisi strutturale    Azione interna SA SA SR verifica: A= SA<SR=R? Analisi sezionale    Sforzo puntuale TA TR TR verifica: A= TA<TR=R?
  • 32. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 32 - www.stronger2012.com  A differenza del livello puntuale/sezionale/globale considerato, risulta quindi traslata la posizione in cui si esegue effettivamente la verifica.  Il livello puntuale e’ quello naturalmente connesso alle tensioni ammissibili, quello sezionale alla metodologia degli stati limite in forma lineare o pseudo-lineare, mentre quello globale a livello dei carichi e’ quello connaturato ad una verifica con analisi non lineare.  In campo lineare la verifica di sicurezza e’ indipendente dal livello al quale viene svolta, dal momento che vale il principio di sovrapposizione degli effetti.  In campo non lineare, il problema e’ piu’ complesso. Si consideri, ad esempio, lo schema seguente:
  • 33. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 33 - www.stronger2012.com Lineare Non lineare Carico medio FM Carico medio FM Carico caratteristico FK=1FM per = 0 1, Analisi Carico di progetto FD=2FK Livello di carico F=FM Strutturale Azione di progetto AD  Azione di livello AD Analisi Verifica: R A sD D  Verifica: 2121    s A R D M Strutturale nel suo Analisi Azione resistente di progetto: RD Azione resistente media: complesso Sezionale Resistenza di progetto: TD= TK/2 RM Resistenza caratteristica: TK =TM/1 Resistenza media: TM Resistenza media: TM
  • 34. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 34 - www.stronger2012.com  In campo lineare (o meglio pseudo-lineare), analisi strutturale e sezionale sono separate.  In campo non lineare, questa divisione non puo' essere operata: l'applicazione del coefficiente  che diminuisce la resistenza caratteristica dei materiali, non puo' essere applicata prima dell'analisi strutturale. Infatti cosi’ facendo si abbatterebbero artificialmente i moduli di rigidezza dei materiali, falsando i risultati dell'analisi strutturale: si ricorda infatti che dalla rigidezza/deformabilita’ degli elementi che compongono la struttura dipendono sia la ripartizione delle intensita’ delle azioni iperstatiche, sia l’influenza degli effetti geometrici.  Inoltre non e' sempre a favore di sicurezza considerare il carico gia' moltiplicato per il suo fattore maggiorativo  .
  • 35. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 35 - www.stronger2012.com  Si consideri ad esempio la Fig.7.a: in generale a) in presenza di softening materiale non e' piu' possibile ritenere convesso il dominio di rottura sezionale, per cui fra due situazioni (A) e (C) che vi appartengono e' possibile trovare, oltre chiaramente alla (D), una situazione (B) che comporta la rottura. Tale situazione non puo' che essere trovata facendo crescere monotonamente il carico.  Infine, in presenza anche solo di effetti geometrici, al crescere del moltiplicatore del carico, non e' detto che si percorra un tratto rettilineo nel piano che contiene il dominio di rottura. Ad esempio, in Fig.7.b., e' rappresentato un percorso curvilineo (A)-(B)-(C)-(D), in cui un punto intermedio causa la rottura della sezione. Si deve quindi considerare  crescente da zero a uno. Fig.7. Verifica della sicurezza: (a) dominio non convesso; (b) percorso di carico curvilineo.
  • 36. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 36 - www.stronger2012.com 4. DEFINIZIONE DEGLI STATI LIMITE. Le funzioni di stato limite che possono essere considerate in maniera convenzionale sono diverse. Stati limite di esercizio Tensioni di compressione nel calcestruzzo troppo elevate possono innescare fessurazioni longitudinali ed amplificare gli effetti della viscosità. Eccessivi livelli tensionali nell'acciaio (normale o da precompressione) conducono inoltre a quadri fessurativi non accettabili. Criteri di durabilità suggeriscono quindi di limitare lo stato tensionale nei materiali, ad esempio nella forma: E1) ckcc f  E2) sykss f  E3) pykpp f  Infine, a spostamenti q elevati si accompagna in genere una perdita della funzionalità strutturale. Per tale motivo devono anch'essi essere controllati: E4) maxmin qqq 
  • 37. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 37 - www.stronger2012.com Stati limite ultimi La crisi di una sezione trasversale coincide con il raggiungimento dei seguenti limiti di deformazione nel calcestruzzo e/o nell'acciaio (normale o da precompressione): U1) cuc   U2) sus   U3) pup   Comunque, come già precisato, la crisi di una singola sezione non implica il collasso dell'intera struttura, che risulta invece associato al raggiungimento di un livello di carico per il quale l'equilibrio non può più essere verificato: U4) RF  Si possono comunque avere definizioni piu’ generali di stato limite, come ad esempio quelle legate al collasso progressivo che possono essere investigate in dettaglio, data la loro estrema importanza.
  • 38. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 38 - www.stronger2012.com 5. MODELLAZIONE DI STRUTTURE INTELAIATE PIANE IN CAMPO NON LINEARE La formulazione efficace e robusta del metodo di analisi in campo non lineare e’ il prerequisito fondamentale per poter affrontare il problema della capacita’ prestazionale di una struttura esistente. Con formulazione robusta si intende un procedimento di analisi che dia ampia garanzia di convergere ad una soluzione meccanicamente corretta, se essa esiste, o che, altrimenti, sia in grado di cogliere l'impossibilita' di ottenere uno stato equilibrato conforme all’effettiva capacita' portante della struttura.
  • 39. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 39 - www.stronger2012.com Per la costruzione di un modello realistico di una struttura intelaiata, si considerano i seguenti aspetti: I. La sezione del generico elemento ruota restando piana (modello di Timoshenko) e perpendicolare all’asse deformato dell’elemento (modello di Bernoulli-Navier) (Fig.4). Tramite la sovrapposizione di piu’ elementi semplici di questo tipo, si possono rappresentare situazioni generalizzate, in cui esistono scorrimenti relativi, come nei casi in cui si modellano esplicitamente fenomeni di aderenza (bond-slip, Fig.5) o si vogliono considerare fenomeni di scorrimento in travi composte.
  • 40. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 40 - www.stronger2012.com  y x i ui vi i j uj vjj ne x l y x y 0 x Fig.4: (a) Sistema di riferimento locale e gradi di liberta'. (b) Sezione corrente dell'elemento trave Fig.5: Sovrapposizione di elementi semplici, per rappresentare fenomeni di aderenza/scorrimento.
  • 41. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 41 - www.stronger2012.com II. Il calcestruzzo presenta un comportamento asimmetrico a trazione e a compressione: si considerano dei legami costitutivi convenzionali, come ad esempio il modello di Saenz mostrato in Fig. 6, che rappresentano mediamente il comportamento del materiale. Per l'acciaio, normale e da precompressione, si adottano i legami mostrati sempre in Fig.6. Attraverso questi legami puntuali, si riesce a cogliere il fattore che maggiormente influisce sulla risposta risposta strutturale di travi/telai in c.a./c.a.p., cioe’ la parzializzazione della sezione, qui riprodotta in modo diffuso (smeared). Non si coglie quindi lo sviluppo e la distribuzione delle singole fessure, ma si rappresenta globalmente il comportamento strutturale, in particolare la diminuzione della rigidezza. Va ricordato come la valutazione corretta della distribuzione della rigidezza all’interno della struttura, consenta anche una corretta valutazione degli effetti indotti da coazioni impresse, quali spostamenti imposti (cedimenti) o variazioni di temperatura, ma, soprattutto, degli effetti della precompressione.
  • 42. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 42 - www.stronger2012.com fct c c fc cu c1 Ec0 arctg ctu ct1 fsy s -fsy sy su sy  su  s fpy p fpy py pu py  pu p    Fig.6. Legami costitutivi: (a) calcestruzzo; (b) acciaio normale; (c) acciaio da precompressione.
  • 43. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 43 - www.stronger2012.com  Al crescere del carico, per effetto della parzializzazione delle sezioni, la parte reagente varia.  Per conseguenza, la sezione effettivamente reagente non ha, in generale, baricentro coincidente con quello della sezione iniziale. In tal modo, per effetto di momenti statici non nulli, si crea un accoppiamento fra il regime flessionale e quello assiale, che usualmente si puo’ assumere, in assenza di effetti geometrici, disaccoppiato nell’analisi del solido di De Saint Venant.  Da cio’, assume importanza fondamentale la corretta interpretazione e imposizione dei vincoli strutturali: da essi dipende o meno lo sviluppo del cosiddetto effetto arco, che rappresenta un importante meccanismo resistente delle travature in cls..
  • 44. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 44 - www.stronger2012.com l h b 2 l1 aa Q Q q a2 a1 (a) (b) (c) (a) (b) b a spostamento carico (c) Fig.7: Parzializzazione delle sezioni con modellazioni ad elementi mono- dimensionali per un carico concentrato in mezzeria di ogni campata: influenza dei vincoli strutturali di estremità (a) carrello-cerniera; (b) cerniera-cerniera; (c) diagrammi carico-spostamento corrispondenti: la curva piu’ rigida e’ ottenuta con cerniere fisse a terra.
  • 45. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 45 - www.stronger2012.com III. Non linearita’ geometrica (effetti geometrici): Con formulazioni diverse si tengono in conto i cosiddetti effetti geometrici P (a livello del singolo elemento) e P   (sull’intera struttura): particolare attenzione ed accuratezza richiede l'analisi di strutture strallate e con precompressione esterna. IV. Non linearita’ dei vincoli: una cura particolare va posta nell’individuazione della configurazione iniziale della struttura oggetto di indagine e delle sue condizioni al contorno.
  • 46. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 46 - www.stronger2012.com Deformate al crescere del carico 1 2 3 4 Parzializzazione al collasso. Diagramma dell'azione flettente Diagrama dell'azione tagliante. Diagramma dell'azione assiale. Fig.9: Evoluzione del quadro statico al crescere di un carico uniformemente distribuito su meta' luce.
  • 47. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 47 - www.stronger2012.com sezione 1 sezione 2 sezione 3 sezione 4 sezione 5 sezione 6 sezioe 7 sezione 8 Fig.10: Discretizzazione delle sezioni e rappresentazione nei domini di rottura dell'evoluzione delle azioni sezionali (M-N) nelle sezioni dei vari elementi al crescere del carico.
  • 48. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 48 - www.stronger2012.com 6. CONSIDERAZIONI SULLA MODELLAZIONE DEL SISTEMA STRUTTURALE  La modellazione e’ quell’insieme di teorie, decisioni e aspetti operativi che permettono di estrarre dalla realta’ informazioni utili e coerenti del sistema che si studia.  Queste informazioni sono organizzate nel modello del sistema reale: tale modello, comporta, generalmente, una riduzione delle informazioni proprie del sistema reale; esso riassume la realta’, mantenendone gli aspetti che sono ritenuti utili ed eliminando gli altri.
  • 49. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 49 - www.stronger2012.com Vale la pena sottolineare che la modellazione e’:  un processo decisionale, e quindi soggettivo ed inizialmente arbitrario, guidato in misura uguale da conoscenze teoriche ed operative;  un processo riduttivo: la realta’ e’ comunque semplificata e riassunta, attraverso un processo che, in termini matematici, puo’ essere descritto come la proiezione da uno spazio ad un sottospazio;  un processo utilitaristico: trova cioe’ la sua giustificazione in base ai risultati che si ottengono dal modello.
  • 50. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 50 - www.stronger2012.com  Introducendo una analogia dalla topografia, il modello e’ come la mappa di un territorio: essa non contiene tutti i particolari del territorio che rappresenta, ma risulta utile, ad esempio, per conoscere la distanza fra due localita’.  E’ chiaro quindi che, come esistono differenti sezioni topografiche e punti di vista di uno stesso territorio, possono presentarsi differenti modelli per lo stesso sistema, a seconda di cosa e’ utile evidenziare.
  • 51. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 51 - www.stronger2012.com Il processo complessivo della modellazione e’ rappresentato nel seguente diagramma di flusso, dove sono usati i seguenti simboli Simbolo Nome Significato extract Estrarre le caratteristiche merge Assorbire, fondere, riunire le caratteristiche process Processo decision Processo decisionale e per caratteristiche sono intese quelle del sistema reale oggetto di studio. In tal modo, nella parte superiore dello schema seguente e’ bene evidenziato il procedimento di estrazione del modello dalla realta. Nella parte inferiore dello schema, sono invece qualitativamente evidenziate le sfere d’influenza di quelle conoscenze che possono essere definite globali, o generali, relativamente al problema in esame, e di quelle conoscenze che possono essere definite locali, ovvero pertinenti ai diversi approcci operativi della modellazione.
  • 52. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 52 - www.stronger2012.com modellazione processo utilitaristico processo decisionale processo riduttivo modello fisico modello concettuale modello interpretabile (trasparente) modello fenomenologico (opaco) meccanicistico: assemblato da elementi semplici procedurale: insieme di regole funzionale: mappatura fra dati iningresso e dati in uscita sistema esperto interpolazione e approssimazione modello discretizzato ad elementi finiti conoscenzeglobali conoscenzelocali
  • 53. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 53 - www.stronger2012.com output O (t) decisioni per l'analisi o la sintesi del sistem a reale environm ent E (t) input I(t) m odello del sistem a reale S (t) param etri P (t) S (t) = struttura del m odello: - analitica; - num erica; - algoritm ica. P (t) = param etri che entrano nella struttura del m odello. contesto - N orm ative; - Q ualita'; - O ne off / m ass production; - P rogettazione evolutiva o innovativa.
  • 54. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 54 - www.stronger2012.com p ro b lem a stu rttu rale d escrizio n e d el d o m in io co n d izio n i al co n to rn o m ateriale g eo m etria v in co li carich i g eo m etria (elem en ti fin iti, ..) leg am e co stitu tiv o (o lo n o m o , an o lo n o m o , ..) in teg razio n e (p u n ti d i G au ss, G au ss-L o b atto , ..) tecn ica riso lu tiv a - m eto to d i co n tin u azio n e (secan te, tan g en te, ..) d iscretizzazio n e d el p ro b lem a stru ttu rale ro b u stezza d ell' an alisi stru ttu rale: - efficien za; - o b iettiv ita'; - accu ratezza.
  • 55. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 55 - www.stronger2012.com M O D E LLA ZIO N E S T R U T T U R A LE AN ALISI ST R U T T U R ALE (VER IFIC A) SIN T ESI ST R U T T U R ALE (PR O G ET T O E O T T IM IZZAZIO N E) D ET ER M IN IST IC A PAR AM ET R IC A PR O BABILIST IC A FU ZZY N O N LIN EAR ELIM IT ELIN EAR E
  • 56. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 56 - www.stronger2012.com Single realization of the structural response 0 1 2 1 4 7 10 13 16 19 Generalized displacement Generalized restoring force/load Serie1
  • 57. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 57 - www.stronger2012.com Realizations of the structural response 0 1 2 3 1 4 7 10 13 16 19 Generalized displacement Generalized restoring force/load Serie1 Serie2 Serie3 Serie4 Serie5 Serie6 Serie7 Serie8 Serie9 Serie10
  • 58. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 58 - www.stronger2012.com Mean structural response 0 1 2 3 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 Generalized displacement Generalized restoringforce /load
  • 59. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 59 - www.stronger2012.com Interval of the structural resposnse 0 1 2 3 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 Generalized displacement Generalized restoringforce /load
  • 60. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 60 - www.stronger2012.com input I(t) m odello del sistem a reale S (t) param etri P i(t) output O i(t)A N A L IS I P A R A M E T R IC A dato il m odello S (t), si scelgono un certo num ero di valori dei param etri P i(t), per i quali dall'input I(t) si ottiene l'output O i(t)
  • 61. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 61 - www.stronger2012.com input Ii(t) m odello del sistem a reale S (t) param etri P i(t) output O i(t) S IM U L A Z IO N E D I M C 2 dato il m odello S i(t), si generano i param etri P i(t) e l'input Ii(t), per ottenere i diversi output O i(t)
  • 62. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 62 - www.stronger2012.com input Ii(t) m odello del sistem a reale Si(t) param etri Pi(t) environm ent Ei(t) output O i(t)SIM U LA ZIO N E D I M C 3 e' dato il m odello S(t) e si sceglie lo scenario Ei(t), si generano i param etri Pi(t) e l'input Ii(t), per ottenere gli output O i(t) Scenario Insiem e organizzato e coerente di situazioni plausibili e significative, poste alla base del processo di analisi
  • 63. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 63 - www.stronger2012.com input Ii(t) m odello del sistem a reale S i(t) param etri P i(t) environm ent E i(t) output O i(t)S IM U L A Z IO N E D I M C 4 scelti di volta in volta il m odello S i(t) e lo scenario E i(t), si generano i param etri P i(t) e l'input Ii(t), per ottenere gli output O i(t)
  • 64. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 64 - www.stronger2012.com CRITERIO DI CONVERGENZA. input Ii(t) modello del sistema reale S(t) parametri Pi(t) environment E(t) output Oi(t) Errore Modelli i-esimi Intervallo di ottimalita’
  • 65. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 65 - www.stronger2012.com IL MODELLO
  • 66. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 66 - www.stronger2012.com LA SENSIBILITA’ DEL MODELLO
  • 67. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 67 - www.stronger2012.com LA VALUTAZIONE PARAMETRICA DEL MODELLO
  • 68. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 68 - www.stronger2012.com ESPLORAZIONE COMBINATORIA DEL MODELLO
  • 69. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 69 - www.stronger2012.com LA PROPAGAZIONE DELL’INCERTEZZA ALL’INTERNO DEL MODELLO
  • 70. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 70 - www.stronger2012.com 7. MODELLAZIONE PROBABILISTICA  Una struttura è sicura se le azioni applicate S non superano la sua resistenza R. A causa delle incertezze nella stima delle caratteristiche geometriche e meccaniche, nella determinazione dell’entità e della distribuzione dei carichi, nella definizione del modello strutturale, ecc., le quantità R ed S devono considerarsi come variabili aleatorie.  Indicando con r ed s particolari realizzazioni di tali variabili, la probabilità di crisi può essere valutata integrando la funzione di densità di probabilità congiunta ),(, srf SR nel dominio D = { r, s | rs }: )(d)d,()( ,  D SRF srsrfSRPP (1) essendo  la funzione di distribuzione cumulata normale standard e  un indice di affidabilità. Tale indice )(1 FP  costituisce una misura convenzionale di affidabilità generalmente più conveniente di )1( FP .
  • 71. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 71 - www.stronger2012.com  In alternativa, il problema può essere formulato in termini di fattore di sicurezza SR/ .  In questo caso la probabilità di crisi risulta dall’integrazione della funzione di densità di probabilità )(f nel dominio D = {  |  1}: )(d)()1(     D F fPP (2)  Questa formulazione appare più utile in quanto, considerando i carichi permanenti ed eventualmente il sistema di precompressione come proprietà del sistema strutturale, a livello di carico il fattore di sicurezza  può essere visto come il moltiplicatore dei carichi variabili associato allo stato limite .1  In pratica la funzione )(f non è nota e informazioni risultano in genere disponibili solo per un insieme di n variabili aleatorie T nXXXX ]...[ 21 che definiscono il problema strutturale (caratteristiche geometriche e meccaniche del sistema, carichi, sistema di precompressione, ecc.).
  • 72. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 72 - www.stronger2012.com co m p o rtam en to stru ttu rale stati lim ite P Q 1 
  • 73. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 73 - www.stronger2012.com  Comunque, essendo )(X , qualora risulti possibile definire una funzione di stato limite 0)( Xg in modo che la crisi risulti ad esempio rappresentata dalla condizione 0)( Xg , la probabilità FP può valutarsi integrando la funzione di densità di probabilità congiunta )(xfX nel dominio D = { x | 0)( xg }: )(d)(  D XF xxfP (3)  Sfortunatamente, nella progettazione strutturale le funzioni di stato limite sono formulate in termini di m variabili aleatorie T mYYYY ]...[ 21 che descrivono la risposta strutturale (tensioni, deformazioni, ecc.). Pertanto, dato che in regime non lineare la relazione )(XYY  risulta in genere definita soltanto in forma implicita, il precedente integrale non può essere valutato direttamente.
  • 74. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 74 - www.stronger2012.com  Le difficoltà insite in tale approccio possono essere superate mediante un procedimento di simulazione tipo Monte Carlo, nel quale ripetute analisi non lineari vengono eseguite con realizzazioni casuali delle variabili X in accordo con le loro ni ,...,1 funzioni di densità di probabilità marginali )( iX xf i .  Sulla base dei risultati associati alle singole realizzazioni, per ogni assegnato stato limite 0)( Yh si costruisce la funzione )(f e si valuta il relativo indice di affidabilità .  La fase di stima dei parametri della funzione )(f risulta in genere alquanto delicata per i seguenti motivi: 1.in problemi di affidabilità strutturale si devono stimare probabilità di rovina estremamente basse, dell’ordine di 59 1010   , risultanti dall’integrale sulle code delle relative distribuzioni di densità: si deve quindi valutare l’accuratezza di numeri estremamente vicini allo zero; 2.al fine di limitare l'onere computazionale, il numero di simulazioni su cui numericamente si stima la probabilità di rovina deve essere basso: generalmente si opera quindi su un campione incompleto, le cui irregolarità risultano più evidenti proprio nelle code dove si hanno pochi dati.
  • 75. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 75 - www.stronger2012.com  Tenendo presenti tali aspetti, oltre alla natura convenzionale della stima della probabilita’ di crisi, si può procedere alla stima dell'indice per via puramente numerica:      N i i N i i NN 1 2 1 1 , 1       
  • 76. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 76 - www.stronger2012.com Definizione delle imperfezioni strutturali nella modellazione probabilistica Occorre definire come rendere imperfetta la struttura. Va subito detto che a priori non si conoscono quelle imperfezioni che portano a convergere sui rami del percorso di equilibrio che sono piu’ interessanti dal punto di vista ingegneristico, cioe’ quelli che presentano una risposta strutturale minore. Si deve quindi procedere per tentativi, eseguendo le analisi con perturbazioni differenti, in modo da essere sicuri di aver perturbato nella maniera cattiva, ovvero nella maniera che esalta le possibilita’ di collasso della struttura. Appare quindi evidente la completezza del Metodo di Monte Carlo nella valutazione della risposta strutturale.
  • 77. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 77 - www.stronger2012.com Si possono considerare nello specifico tre possibilita’:  introdurre delle imperfezioni di carico: detta F la grandezza rappresentativa del carico applicato sulla struttura, si dispongono delle componenti di carico in direzione qualsiasi e con modulo pari a 5%F-0.1%F;  introdurre delle imperfezioni geometriche nella struttura: detta G la dimensione massima rappresentativa della struttura, si possono perturbare le coordinate dei nodi della struttura spostandoli arbitrariamente fino a 5%G-0.1G% dalla posizione originale;  introdurre delle imperfezioni meccaniche: anche qui si possono introdurre delle variazioni di 5%-0.1% sulle caratteristiche di rigidezza e resistenza dei materiali, in modo da innescare localizzazioni, ecc..
  • 78. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 78 - www.stronger2012.com Come distribuire realisticamente le perturbazioni sulla struttura conduce all’analisi strutturale stocastica. A livello minimo, e’ sufficiente considerare distribuzioni uniformi del tipo: v v n vcorrente no    dove il valore corrente vcorrente della grandezza che si perturba e’ dato dal valore nominale vno piu’ la massima variazione ammessa v moltiplicata per un numero casuale n compreso fra -1 e +1. Dal punto di vista numerico, perturbazioni piu’ rilevanti portano ad esaltare rapidamente altri meccanismi come l’effetto P   .
  • 79. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 79 - www.stronger2012.com Definizione delle variabili nella modellazione probabilistica Nel seguito si fa riferimento essenzialmente all'analisi di affidabilità di strutture a telaio in C.A. e C.A.P., introducendo le variabili aleatorie X che definiscono il problema strutturale e i relativi modelli probabilistici adottati nel processo di simulazione: tranne i casi in cui specifiche correlazioni vengono indicate, le variabili X sono considerate statisticamente indipendenti. Tali variabili sono:  le resistenze dei materiali cf , syf , pyf , sono considerate variabili aleatorie con distribuzione lognormale definita dai parametri in Tab. 6. Nel caso in cui i valori nominali non siano disponibili, i valori medi possono essere stimati usando i valori caratteristici associati al frattile al 5%.  i parametri geometrici: - la posizione (x, y) dei nodi degli elementi strutturali; - le dimensioni lineari d delle loro sezioni trasversali; - le aree 1sA , 1pA , di ogni barra d'armatura, rispettivamente ordinaria e precompressa; - le relative profondità sy , py .
  • 80. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 80 - www.stronger2012.com Per tutte queste variabili si assume una distribuzione di tipo normale definita dai parametri elencati in Tab. 6.  Le proprietà statistiche della forza di precompressione P dipendono in genere dal problema specifico che si considera, in quanto il suo valore dipende dalla variabilità di numerosi parametri. Nell'applicazione che verrà presentata nel seguito, a causa dell'assenza di informazioni circa l'effettivo livello di precompressione nella fase di carico considerata, la precompressione verrà considera come variabile aleatoria con distribuzione uniforme fra i valori nommin P e nommax P . I coefficienti min e max vengono definiti in funzione del livello di incertezza nella quantificazione di P rispetto al suo valore nominale nomP , il quale deve naturalmente tenere conto di tutte le perdite, istantanee e differite.  I carichi permanenti G, ovvero il peso proprio degli elementi strutturali e non strutturali, e i carichi variabili Q si considerano come variabili aleatorie con distribuzione normale.
  • 81. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 81 - www.stronger2012.com Tralasciando per semplicità la distinzione di natura probabilistica fra elementi gettati in opera e prefabbricati, si possono ad esempio assumere i parametri e le distribuzioni della Tabella 6. Tab. 6. Parametri del modello probabilistico (valore medio  e scarto quadratico ). Variabile Tipo   cf MPa LN nomc,f 5 syf MPa LN nom,syf 30 pyf MPa LN nom,pyf 100 (x, y)mm N nom),( yx 50 dmm N nomd 5 y mm N nomy 5 1A mm2  N nom1A 0.025 nom1A G N nomG 0.10 nomG Q N nomQ 0.40 nomQ
  • 82. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 82 - www.stronger2012.com GENERAZIONE DI NUMERI ALATORI CON DEFINITE PROPRIETA’ STATISTICHE: parte I. VARIABILE CASUALE R CON DISTRIBUZIONE UNIFORME IN [0,1]. C..................linearkongruenzgeneratoren DOUBLE PRECISION FUNCTION RANDO() IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z) COMMON /RAN/ U,V,RN PI=3.141592654 A=9821. B=.211322 ALFAU=(A*U+B) ALFAV=(A*V+B) UINT=IDINT(ALFAU) VINT=IDINT(ALFAV) U=ALFAU-UINT V=ALFAV-VINT RN=DSQRT(-2.*DLOG(U))*DCOS(2.*PI*V) RETURN END N.B.: U, V distribuiti uniformemente, con semi pari a U=0.6,V=0.4; RN normale standard. Variabile casuale z con distribuzione normale (gaussiana) standard: valore medio 0, deviazione standard 1.            2 2 1 exp 2 1 )( zzf  -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 r f(r) uniforme -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 z f(z) normale standard
  • 83. CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 83 - www.stronger2012.com Variabile casuale x con distribuzione normale (gaussiana): valore medio x , deviazione standard x .                   2 2 1 exp 2 1 )( x x x x xf    N.B.: trasformazione fra la variabile x e la variabile z: x x xx x zzx      -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x f(x) normale Variabile positiva casuale y con distribuzione lognormale la variabile ausiliaria  yw ln e’ distribuita normalmente: valore medio w e deviazione standard w .                     2 ln 2 1 exp 2 1 )( w w w y y yf    N.B.: nota w, si ottiene y dalla trasformazione  wy exp -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 y f(y) lognormale
  • 84. Str o N GER www.stronger2012.com CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 84 - www.stronger2012.com GENERAZIONE DI NUMERI ALATORI CON DEFINITE PROPRIETA’ STATISTICHE: parte II.  Generare la variabile casuale t definita statisticamente dalla distribuzione f(t) e dalla cumulata F(t), a partire dalla variabile r uniformemente distribuita in [0-1].  Graficamente si opera come segue: f(t) t r f(r) F(t) t = F-1 (r) t  Numericamente: 1. Si genera un numero casuale r in [0,1]; 2. Si risolve l’equazione r = F(t), utilizzando ad esempio il metodo di bisezione; 3. La soluzione t e’ il numero aleatorio con le date caratteristiche statistiche cercato.
  • 85. Str o N GER www.stronger2012.com CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE. PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA” www.francobontempi.org - 85 - www.stronger2012.com Str o N GER www.stronger2012.com