Silogismos categóricosvf

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Explicación de cómo se diagraman los silogismos categóricos.

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Silogismos categóricosvf

  1. 1. SILOGISMOS CATEGÓRICOS Y DIAGRAMAS DE vEnn. Elaboración: Mtra. Flor Alejandrina Hernández Carballido Profesora de la Escuela Nacional Preparatoria, ENP, de la UNAM. Todo alumno va a la escuela para aprender a formalizar su pensamiento lógico y poder abordar problemas más complejos. A continuación los lectores encontrarán los siguientes temas correspondientes a los Silogismoscategóricos y la forma de analizar su validez con los Diagramas de Venn: 1. Elementos, Modos y Figuras del Silogismo Categórico. 2. Validez de los Silogismos Categóricos. 3. Uso de los diagramas de Venn en Matemáticas. 4. Técnica de los Diagramas de Venn para Silogismos Categóricos. 5. Ejemplo de Razonamiento: Diagrama y silogismo descifrado 6. Método para descifrar diagramas de Venn 7. Silogismo Categórico válido en otra Figura y Modo. 1. Elementos, Modos y Figuras del Silogismo Categóricos. Apoyándonos en el texto deIntroducción a la Lógica de Irving Copi, en parte de este trabajo, vamos a iniciar definiendo qué se entiendepor Silogismo Categórico, éste es un argumento conformado por dos premisas y una conclusión donde seafirma o niega si una clase está incluida en otra, de manera total o parcial o, incluso, si las clases sonajenas entre ellas. Entendemos por argumento una secuencia finita de enunciados o proposiciones. El últimoenunciado de la secuencia es la conclusión mientras que todos los anteriores constituyen las premisas delargumento. En otras palabras, un silogismo es un argumento deductivo en el que se infiere una conclusión apartir de dos premisas. Las tres proposiciones categóricas de que consta un silogismo contienen específicamente trestérminos, cada uno de ellos aparece sólo en dos de las proposiciones que lo constituyen. La conclusión de unsilogismo categórico es una proposición que contiene dos de los tres términos del silogismo. El término queaparece en la primera premisa y posteriormente como predicado de la conclusión se llama término mayor delsilogismo, y el término que aparece en la segunda premisa y como sujeto de la conclusión es el términomenor. Así, en el silogismo: Ningún delincuente es persona de bien Algunos europeos son delincuentes. Por lo tanto: Algunos europeos no son personas de bien 1
  2. 2. El término “persona de bien” es el término mayor porque es el predicado de la proposición y el término“europeos” es el término menor porque es el sujeto de la proposición. El tercer término que no aparece en laconclusión pero sí aparece en ambas premisas se llama el término medio; en este caso es el término“delincuentes”. Con estos acuerdos básicos, se puede precisar otra característica de un silogismo, queconsiste en que la premisa mayor se enuncia primero, en seguida, la premisa menor y al final la conclusión.Otro elemento de un silogismo es el denominado modo, el modo de un silogismo está determinado por lasproposiciones categóricas, A, E, I, O, que contiene. En el ejemplo anterior, el modo del silogismo es EIO,porque su premisa mayor es una proposición E, su premisa menor es una proposición I y su conclusión unaproposición O. Sin embargo, silogismos que tienen el mismo modo pueden diferir en sus formas,dependiendo de las posiciones relativas de los términos medios. Así, por ejemplo, consideremos lossilogismos: Todos los abogados exitosos son graduados universitarios. Algunos mexicanos son graduados universitarios. Por lo tanto: Algunos mexicanos son abogados exitososY para, Todas las personas individualistas son egoístas. Algunas personas individualistas son pobres. Por lo tanto: Algunos pobres son egoístas.Los dos silogismos son del modo AII, pero de diferentes formas. Si abreviamos el término menor con S, eltérmino mayor con P, el término medio con M y para simbolizar las palabras “por lo tanto” usamos trespuntos, ∴ , entonces las formas o esquemas de estos dos silogismos, respectivamente, son: Todo P es M Todo M es P A lg ún S es M A lg ún M es S ∴ A lg ún S es P ∴ A lg ún S es PEn el primer silogismo, el término medio es el predicado de ambas premisas, mientras que en el segundo eltérmino medio es el sujeto de las dos. Lo que demuestra que la forma de un silogismo está parcialmentedescrita enunciando sólo su modo ya que silogismos que tienen el mismo modo pueden diferir en sus formas,dependiendo de las proposiciones relativas de los términos medios. La forma de un silogismo se puededescribir por completo, enunciando su modo y su figura, la cual indica la posición del término medio en laspremisas.Hay cuatro posibles figuras distintas que pueden tener los silogismos, donde el término medio puede ser elsujeto de la premisa mayor y el predicado de la premisa menor, o puede ser el predicado de ambas premisas,o puede ser le sujeto de la dos premisas, o puede ser el predicado de la premisa mayor y el sujeto de lapremisa menor. Estas diferentes figuras se esquematizan en el siguiente arreglo, Tabla N° 1, donde se hasuprimido la referencia al modo, no representando en ellas cuantificadores ni cópulas: Tabla N° 1. Esquema de las posiciones relativas del término medio: M ------ P P ------ M M ------ P P ------ M S ------ M S ------ M M ------ S ------ S M----------------------------------- -------------------------------- ---------------------------- ------------------------∴ S ------ P ∴ S ------ P ∴ S ------ P ∴ S ------ P Primera Figura Segunda Figura Tercera Figura Cuarta Figura 1
  3. 3. Son sesenta y cuatro los posibles modos diferentes: AAA, AAE, AAO, AEA, AEI, AEO, AIA,…OOO y comocada modo puede aparecer en cada una de las cuatro figuras diferentes, se tendrían 256 formas distintas quepueden tomar los silogismo de forma estándar. Sin embargo, de entre éstas, solamente unas cuantas sonválidas. 2. Validez del Silogismo categórico. La forma de un silogismo es, desde el punto de vista de lalógica, su aspecto más importante. La validez o invalidez de un silogismo cuyas proposiciones soncontingentes dependen exclusivamente de su forma y es por completo independiente de su contenidoespecífico o del tema del cual trata. Así, por ejemplo, cualquier silogismo de la forma AAA-1: Todo M es P A lg ún S es M ∴ Todo S es PEs un argumento válido, más allá del asunto del que trate. Es decir, no importa qué términos se sustituyen enla forma o esquema donde aparecen las letras S, P y M, el argumento resultante será válido. Si se sustituyenlas letras por los términos “veracruzanos”, “humanos” y “mexicanos” se obtiene el argumento válido: Todos los mexicanos son humanos. Todos los veracruzanos son mexicanos. Por lo tanto: Todos los veracruzanos son humanos.Ahora bien, el silogismo también es válido si se sustituyen otros términos, tales como: “Jabones”, “sustanciassolubles en agua” y “sales de sodio” donde están las letras S, P y M de la misma forma se obtienen que elsilogismo también es válido: Todas las sales de sodio son sustancias solubles en agua. Todos los jabones son sales de sodio. Por lo tanto: Todos los jabones son sustancias solubles en agua.Un silogismo válido es un argumento formalmente válido, en virtud sólo de su forma. Esto implica que si unsilogismo es válido, cualquier otro silogismo de la misma forma también será válido. Y si un silogismo esinválido, cualquier otro silogismo de la misma forma también será inválido para proposiciones constitutivascontingentes. El reconocimiento usual de este hecho es atestiguado por el uso frecuente de “analogíaslógicas” en la argumentación. Supongamos que se presenta el siguiente argumento: Todos los perredistas son defensores de las instituciones de seguridad social. Algunos miembros de la administración son defensores de las instituciones de seguridad social. Por lo tanto: Algunos miembros de la administración son perredistas.Se acepta que pese a la verdad o falsedad de sus proposiciones constituyentes, el argumento es inválido. Lamejor forma de demostrar su carácter falaz sería construir otro argumento que tenga exactamente la mismaforma que el primero y cuya invalidez resulte evidente. Por ejemplo: Todos los conejos son veloces. Algunos caballos son veloces. Por lo tanto: Algunos caballos son conejosDe modo que por analogía si el primer razonamiento es inválido -puesto que la forma es independiente delcontenido- al ser este inválido el otro también lo es. Subyacente al método de la analogía lógica se encuentrael hecho de que la validez o invalidez de argumentos como los silogismos categóricos es un asuntomeramente formal. Sin embargo, este método de poner a prueba la validez de los argumentos tiene seriaslimitaciones en los hechos por una u otra razón; se requiere de un método más eficaz para establecer lavalidez formal o la invalidez de los silogismos como veremos en las secciones posteriores. 1
  4. 4. 3. Uso de los diagramas de Venn en Matemáticas. Antes de entrar de lleno a estudiar la técnicapara los Diagramas de Venn en los Silogismos Categóricos, veamos el uso que tienen los Diagramas de Vennen cuestiones de Matemáticas, como lo analiza el Maestro Heriberto Marín, en el aspecto referente a tresconjuntos para el planteamiento y solución de problemas mediante el algebra de conjuntos. Al hacerlo,empezarán a resaltar aspectos que también son útiles para su aplicación en Lógica. Partamos del siguiente problema que se puede presentar en la vida real: por ejemplo, a alguien ledicen que a Pedro, Ana, Carlos, Felipe, Rosa, José y Luis les gusta la natación; que a Rosa, Felipe, Ernesto,Mario, Beatriz y Luis les gusta el baloncesto ; y, que a Rosa, Carlos, Felipe, Mario, Daniel y Sonia están en elclub Pumitas. Le preguntan, de los niños que les gusta alguno de estos dos deportes ¿quiénes están enPumitas? Para resolver este problema en ese momento la persona usa el razonamiento práctico y traza unaestrategia a seguir. Puede considerar por separado a los niños que les gustan la natación (Pedro, Ana,Carlos, Felipe, Rosa, Luis y José) o el baloncesto (Rosa, Ernesto, Mario y Beatriz) y, después, fijándose enquiénes de ellos están en Pumitas, obtiene la respuesta, que son Rosa, Carlos, Felipe y Mario.Esta solución obtenida empíricamente, se puede obtener también de manera formal mediante las operacionesentre conjuntos. Llamemos A al conjunto de niños a los que les gusta nadar, B al conjunto de los que lesgusta el baloncesto y C al conjunto de los niños que están en Pumitas. Así, usando las letras iniciales decada nombre, podemos representar A, B y C como: A = { p, a, c, f , r , j , l } , B = { r , f , e, m, b, l } y C = { r , c, f , m, d , s}¿Qué operaciones entre conjuntos debemos utilizar? Como al razonar empíricamente se ha consideradotener en cuenta a todos los niños que les gusta un deporte, nadar o el baloncesto, debemos escoger una“unión” entre conjuntos para reunir a todos los niños en un solo conjunto, sin repetir elementos, es decir A ∪ B = { p, a, c, f , r , j , l , e, m, b}Ahora bien, como se ha puesto la atención en quiénes de ellos están en Pumitas, nos damos cuenta queformalmente debemos usar la “intersección” entre los conjuntos ( A ∪ B ) y C para obtener los elementos encomún entre ambos conjuntos, ( A ∪ B ) ∩ C = { c, f , r , m}Que son precisamente aquellos niños que les gusta alguno de estos deportes y que además están enPumitas: Carlos, Felipe, Rosa y Mario. Obsérvese que si hubiéramos utilizado primero una resta entre losconjuntos ( A ∪ B ) - C y luego una intersección, no hubiéramos llegado al resultado correcto obtenido demanera empírica. Ahora bien, ¿hay otra manera formal de resolver el problema? la respuesta es que sí.Consideremos, con los mismos conjuntos A, B, y C, las operaciones A ∩ C = { c, f , r } y B ∩ C = { r , f , m}para luego hacer la operación siguiente, ( A ∩ B ) ∪ ( B ∩ C ) = { c, f , r , m}Observamos que se obtiene el mismo resultado. De modo que tenemos dos formas de plantear y resolverformalmente el mismo problema al utilizar el lenguaje de conjuntos. ¿Puede hacerse también de maneraempírica esta otra manera de resolver el problema? La respuesta es que sí, de la siguiente manera: “Nosfijamos primero en los niños a los que les gusta la natación y están en Pumitas que son Carlos, Felipe yRosa.Después nos fijamos en los niños a los que les gusta el baloncesto y que están en Pumitas que son: Rosa,Felipe y Mario. Finalmente, para obtener la solución, consideramos a todos estos niños, sin repetir, en un soloconjunto, que son; Carlos, Felipe, Rosa y Mario. 1
  5. 5. La razón de que haya dos posibles maneras formales de resolver el problema, que corresponden a las dosmaneras prácticas de también resolverlo, es que se está cumpliendo la ley distributiva para la intersecciónentre los conjuntos A, B y C, es decir: ( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C) ∪ ( B ∩ C)De la cual, nuestro caso es un ejemplo particular. Usando diagramas de Venn podemos representar laexpresión anterior (recordar que en matemáticas, a diferencia de Lógica, un sombreado significa que sí hayelementos) como en la figura 1, Representación de la solución a un problema mediante la unión de A y B con la intersección del conjunto C. Fig. 1Que es el resultado de representar primero la operación ( A ∪ B ) mediante el sombreado (con base en rayas)de un lado a otro de los dos conjuntos A y B. Posteriormente se consideró la zona en que los elementos delconjunto C se intersectan con los de ( A ∪ B ). Así, se obtiene el resultado requerido, figura 2 Construcción de la operación ( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) . Los sombreados a base de rayas o de color azul son equivalentes. Fig. 2Obsérvese que de manera natural se han introducido tres conjuntos para plantear y resolver el problema.Donde las zonas que aparecen al traslapar los círculos tienen un significado según el tipo de problema delque se trate. En el siguiente dibujo se hace la descripción correspondiente a cada una de estas zonasgeneradas con tres conjuntos A, B y C, considerados como se muestra en la figura 3: A Luis le gusta el baloncesto y la A Pedro, Ana y José les natación pero no está en Pumitas A Ernesto y Beatriz les gusta elgusta la natación pero no el baloncesto pero no la natación y nobaloncesto y no están en están en Pumitas Pumitas El problema de los niños representado en cada zona según sus elementos. Fig. 3 A Carlos le gusta la natación pero no el baloncesto y está en A Mario le gusta el baloncesto Pumitas. y está en Pumitas pero no le gusta la natación. A Felipe y a Rosa les gusta la natación y el baloncesto, ambos están en Pumitas. Zona que representa a todos Daniel y Sonia están en Pumitas pero los niños que no les gusta la no les gusta la natación ni el natación ni el baloncesto y que Baloncesto no están en Pumitas 1
  6. 6. Como hemos dicho, la zona sombreada, al estilo matemático, representa la operación( A ∪ B ) ∩ C = { c, f , r , m} y es la solución al problema mediante el uso el lenguaje de conjuntos. Estas ochozonas se pueden expresar, en general, como en la figura 4: Elementos de A que Elementos de A que son Elementos de B que Elementos de A que también no son de B ni de C también de B pero no de C no son de A ni de C son de C pero no de B Zonas de tres círculos que traslapan sin referencia a clase alguna. Fig. 4 Elementos de A que también Elementos de B que también Elementos de C que Elementos que no son de son de B y de C son de C pero no de A no son de A ni de C A ni de B ni de C 4. Técnica de los Diagramas de Venn en Silogismos categóricos. El uso de los diagramas deVenn para verificar silogismos es una manera eficaz de comprobar su validez, aunque, hay algunos casos enlos que el silogismo debe ser convertido a otro Modo y Figura para poder ser representado con losdiagramas. Para verificar un silogismo categórico por el método de estos diagramas es necesario representarel contenido de sus dos premisas mediante tres círculos que se traslapan porque éstos contienen trestérminos y clases diferentes, el orden de estos círculos debe ser como lo muestra la siguiente figura: eltérmino menor S, (a la izquierda) el término mayor P (a la derecha) y el término medio M (en la parte deabajo), como se muestra a continuación, figura 5 Orden en que se colocan los círculos para S, P y M con los símbolos de las clases correspondientes. Fig. 5Cada zona corresponde a los miembros de una clase específica. En la Tabla N° 2, se esquematizan losproductos o clases generados con las clases S, P y M para los silogismos sin considerar algunas clases enparticular: 1
  7. 7. Tabla N°2. PRODUCTOS DE LAS CLASES S,P,M CLASE DESCRIPCIÓN todos los S que son P y que son M todos los S que no son P y que no son M todos los S que son P pero no M todos los P que no son S ni son M todos los P que son M pero no son S todos los M que no son S ni son P todos los S que no son P pero son M todos los que no son S ni son P ni son MSi asignamos un contenido a las clases S, P y M, por ejemplo: S (la clase de todos los mexicanos), P (laclase de todos comerciantes) y M (la clase de todos los artistas) tenemos la siguiente descripción de lasclases, en la tabla 3: CLASE Tabla N°3. LOS OCHO PRODUCTOS DE LAS CLASES S,P,M : Mexicanos que son comerciantes y artistas Mexicanos que no son comerciantes ni son artistas Que Mexicanos que son comerciantes pero no son artistas incluye a Comerciantes que no son mexicanos ni son artistas todos Comerciantes que son artistas pero no son mexicanos los, Artistas que no son comerciantes y que no son mexicanos Artistas que no son comerciantes y que son mexicanos Ni son mexicanos ni comerciantes ni artistasObservemos que ambas clases, SPM y SPM , están conformadas por los elementos M que no son P seanmexicanos o no. Por ello, una manera de ayudarnos a entender por qué se sombrea la zona de la figura 6,sería que para diagramar “Todo M (artistas) es P (comerciantes)” no importa que los elementos de la primeraclase tengan además la propiedad S (no mexicanos) y los de la segunda tengan la propiedad S(mexicanos). Al sombrear esa zona, estamos seguros de estar declarando vacía la clase de los artistas queno son comerciantes: MP = 0 (sean mexicanos o no lo sean). Por ello se representa: “Todo M es P”.Si en la figura 5, centramos la atención en los círculos marcados con P y M, al sombrear o insertar una Xpodemos representar cualquier proposición categórica cuyos términos sean P y M independientemente decuál sea su Sujeto y Predicado. Por ejemplo, para representar la proposición “Todo M es P” es necesarioindicar (como lo hemos visto en los apuntes de Lógica y Matemáticas de los Maestros Marín- Hernández)que “no hay M que no sea P” ( MP = 0 ) y sombrear toda la zona del círculo para M que no está “contenidaen” o “traslapada por” P.Obsérvese que al concentrar la atención sólo en la zona de dos círculos se procede como si lo referente a Sfuera algo en segundo plano (por esta razón se ha dibujado el círculo para S un poco más tenue). Se dice queel método para diagramar silogismos así lo requiere puesto que en la proposición que se quiere representarsolo participan la clase M y P. Al proceder con este método, el diagrama se obtenido la figura 6, 1
  8. 8. Para representar que “no hay M que no sea P” ( MP = 0 ), se procede considerando que lo referente a S está en un segundo plano de importancia. Fig. 6De manera semejante, si centramos la atención en los dos círculos S y M (círculos gruesos) sombreándolos oinsertando una X podemos representar cualquier proposición categórica cuyos términos sean S y Mindependientemente de contenido. Para representa la proposición “Todo S es M” ( SM = 0 ) se sombrea todala parte de S que no está contenida en M, o que no se traslapa con M. Esta zona, incluye tanto las clasesmarcadas con SPM y como SPM . El diagrama para esta proposición es el de la figura 7, Para representar la proposición Todo S es M” ( SM = 0 ), se procede considerando que lo referente a S está en un segundo plano de importancia. Fig. 7 4.1 Silogismo categórico: “Modo EAE. Segunda Figura”. Tener tres círculos que traslapanpermite diagramar juntas las dos premisas que todo Silogismo Categórico tiene, en este caso son E y A, acondición de que solamente aparezcan en ellas tres términos diferentes. Como se ilustra en siguiente ejemploque es tema favorito de uno de los alumnos de la clase de Lógica: “Ningún humano es invisible” “Todo dindolindo es invisible” Por lo tanto: “Ningún dindolindo es humano”Donde las clases son, S: “Dindolindo”, P: “Humano” y M: “Invisible”, que están presentes en las premisasE: “Ningún Humano es Invisible”; A: “Todo Dindolindo es Invisible”, y E:”Ningún Dindolindo es Humano” delsilogismo. Cuando ya se tiene práctica, es posible representar las premisas de un silogismo en un solodiagrama. Reconocer la conclusión del silogismo categórico, por inspección del diagrama, debe ser productode haber diagramado correctamente cada una de las premisas. 1
  9. 9. Ahora bien, mientras el lector se acostumbra a diagramar las premisas en un solo diagrama, procedemos paso a paso, como se ilustra en el siguiente ejemplo. Figura 8. Para la primera premisa, Para representar la primera premisa que Diagrama de la corresponde a la Proposición proposición E, se Categórica debe considerarE: “Ningún P es M”. sólo los círculos para P y M (con círculos gruesos). A continuación, la segunda premisa, Para representar la segunda premisa que corresponde a la proposición A, se Diagrama de la debe considerar Proposición sólo los círculos Categórica para S y M (con A: “Todo S es M” círculos gruesos) Finalmente, la conclusión, Diagrama del La conclusión del Silogismo Silogismo Categórico Categórico debe quedar diagramada Modo EAE explícitamente como consecuencia de haber sombreado“Segunda Figura” correctamente cada una de las premisas. Se Ningún P es M consideran sólo los Todo S es M círculos para S y P (con_____________∴ círculos gruesos) Ningún S es P Secuencia para Obsérvese que se ha puesto en la zona central del diagrama el representar un color rosa de manera ligeramente diferente para efectos de poder silogismo. Fig.8 visualizar más fácilmente la zona que representa la conclusión. 1
  10. 10. 4.2 Silotismo categórico: “Modo AII. Tercera Figura”. Cuando se usa un diagrama de Venn paraprobar un silogismo con una premisa universal y una particular, es recomendable representar primero lapremisa universal y a continuación la premisa particular. Por ejemplo, Todos los alumnos son alegres Algunos alumnos son pobres Algunos pobres son alegresAl representar primero la premisa universal se obtiene el diagrama siguiente, Diagrama de la Proposición Categórica A: “Todo M es P”Después, al insertar una X se hace la representación de la premisa particular como se ilustra, Diagrama de la Proposición Categórica I: “Algunos M son S”Obsérvese que la X se puso al centro, sin dudar, porque en el diagrama anterior ya tenía sombreada la otrazona. Finalmente, representando ambas premisas en un solo diagrama, se tiene Diagrama del Silogismo Categórico “Tercera Figura” Modo AII Todo M es P Secuencia para Algunos M son S representar un _____________ ∴ silogismo Algunos S son P representando primero la premisa universal y luego la particular. Fig.9 1
  11. 11. Después de haber representado en el diagrama la información contenida en cada premisa del silogismo, loexaminamos para ver si la conclusión ha quedado representada como consecuencia de haberlas sombreadoo insertado un X correctamente. Para que la conclusión “Algunos pobres son alegres” haya quedadorepresentada, debe aparecer una X en la zona en la que se traslapan los círculos marcados como “Pobres” y“Alegres”. De acuerdo a la figura 5 esta zona consiste en las regiones SPM y SPM que conjuntamenteconstituyen SP. Como hay una X en la zona SPM donde se traslapan todos los SP, la conclusión delsilogismo está representada. Y el silogismo es válido. Obsérvese que si hubiéramos tratado de diagramar primero la premisa particular (antes de que las regionesSPM y SPM estuvieran sombreadas al representar la premisa universal) no habríamos sabido si insertar ono una X en la zona SPM o en la SPM o en ambas de color verde, figura 10. Esta ambigüedad se superadiagramando primero la proposición universal, que da como resultado que la zona donde se debe poner la Xsea única. Para superar cualquier ambigüedad se diagrama primero la proposición universal, que da como resultado que la zona donde se debe poner la X sea única. Fig.10 4.3 Silogismo Categórico: “Modo AAA. Primera Figura”. Representar de manera directa “TodoM es P” ( MP = 0 ) y “Todo S es M” ( SM = 0 ) en un solo diagrama, da como resultado la figura 11 Representación de “Todo M es P” y “Todo Todo M es P S es M” en un solo Todo S es M diagrama, Fig.11 ________________ ∴ Todo S es PAhora bien este silogismo es válido si y solamente si las premisas diagramadas implican la conclusión, esdecir, si juntas dicen lo que dice la conclusión. Así, representar correctamente las premisas de un argumentoválido debe bastar para representar (como consecuencia) la conclusión, sin necesidad de hacer ningún otrotrazo sobre los círculos. Veamos si quedó representada la conclusión “Todo S es P” que requiere desombrearse la zona marcada como SPM y la SPM .Inspeccionando el diagrama que representa las dos premisas, se observa que representa también laconclusión porque la zona de intersección de los círculos S y P, aunque aparece gráficamente con una partevacía, de todos modos la zona en blanco significa que todo S es P. De modo que esa zona es la que en estesilogismo categórico representa la conclusión. Como la zona sombreada no afecta la conclusión, de estehecho se puede concluir que el silogismo es válido. 1
  12. 12. 4.4 Silogismo Categórico: “Modo AAA. Segunda Figura” NO VÁLIDO. Modo y figura no siemprellevan a validez segura. Apliquemos ahora un diagrama de Venn para probar un silogismo inválido, porejemplo, Todas las mujeres son sensibles. Todos los ancianos son sensibles. Por lo tanto: Todos los ancianos son mujeres.Al diagramar ambas premisas se obtiene la figura 12, Un argumento cuyas premisas no implican su conclusión es inválido. Lo que prueba, de hecho, que cualquier silogismo del “Modo AAA. Segunda Figura” es inválido. Fig. 12En este diagrama donde S designa la clase de todos los ancianos, P la clase de todos las mujeres y M laclase de todas las persona sensibles; las zonas SPM , SPM y SPM han sido correctamente sombreadas.Sin embargo la conclusión a la que se refiere este Silogismo Categórico, no ha quedado representada comoconsecuencia de haber representado así las premisas. Es decir, la conclusión no ha quedado representadadespués de haber diagramado las premisas ya que la zona SPM se ha dejado sin sombrear y pararepresentar la conclusión se deben sombrear ambas premisas: SPM y SPM . Vemos así que representarlas dos premisas del silogismo “Modo AAA. Segunda Figura” no basta para diagramar su conclusión, lo queprueba que la conclusión dice algo más de lo que dicen las premisas. Es decir, que las premisas no implicanla conclusión. Un argumento cuyas premisas no implican su conclusión es inválido. Prueba, de hecho, quecualquier silogismo del “Modo AAA. Segunda Figura” es inválida. 5. Ejemplo de Razonamiento. El Diagrama de Venn y el Silogismo Categórico DESCIFRADOhace a un joven obtener un empleo. Dos amigos que acaban de salir de la preparatoria, buscan trabajoaunque sea de medio tiempo. Van al departamento de personal de una compañía que posiblemente loscontrate tras realizarles una entrevista. Mientras esperan su turno ven el dibujo de la figura 13 Diagrama a DESCIFRAR, a partir del dibujo, por jóvenes que buscan trabajo en una empresa. Fig. 13Te acuerdas de los silogismos categóricos –pregunta Heriberto a Jorge. Éste le dice que se acuerda algo.Heriberto le contesta diciendo que ese dibujo – y señala hacia la pared- parece ser el diagrama de unsilogismo. Entonces le pide a Jorge un papel y empieza a tratar de entenderlo. Piensa distraerse con 1
  13. 13. descifrarlo mientras llega el turno de la entrevista. ¿Cuál será? – se pregunta Heriberto, y tras varios intentos,escribe lo siguiente: Todos los puntos de la zona en blanco de P son puntos de la zona en blanco de M Ningún punto de la zona en blanco de M es un punto de la zona en blanco de SYa tengo las premisas –le dice a Jorge. Ahora, saca la conclusión si es que puedes – comenta éste. Está biendice Heriberto. Inspeccionando el dibujo una y otra vez, llega a la conclusión de que “Ningún punto de la zonaen blanco de S es un punto de la zona en blanco de P” Lo que le comunica a Jorge. Y eso qué - dice Jorge-Pues no sé, pero eso quiere decir –cometa Heriberto-. Quiere decir que dejes de pensar tonterías y tepongas abusado porque ya mero pasamos –comenta Jorge. En eso están, cuando la secretaria comunica alos jóvenes que su turno está por llegar de un momento a otro. En ese instante se prende una pantallaelectrónica con la frase: “Todas las personas exitosas son personas interesadas en su trabajo”lo que llama la atención de los jóvenes, pues los colores son muy atrayentes y la frase parpadea varias vecescomo si fuera muy importante –observa Heriberto. Después sale otra frase que dice: “Ninguna persona que está interesada en su trabajo es una persona cuya atención se distrae fácilmente cuando está trabajado”.Jorge le dice a Heriberto, ya ves que no te distraigas y menos con ese dibujo. No, espérate, déjame ver, diceHeriberto -. En ese momento aparece un signo de interrogación en el tablero electrónico. El signo pareceextraño, como si urgiera a contestar algo.Unos segundos después los jóvenes, reciben la instrucción de pasar a la oficina. Ambos pasan a la entrevista,el jefe de personal los saluda, los invita a sentarse y les pregunta: ¿vieron el dibujo? ¿Leyeron las frases? Alo que ambos, casi al mismo tiempo, contestan que sí. Bueno, digan qué es lo que expresa el dibujo o, lo quees lo mismo, que se entiende de las frases y cuál es la respuesta a la interrogación. En ese momento, losjóvenes sintieron que quedarse con el trabajo dependía entonces de responder correctamente. Jorge pensódecir algo pero no se sintió seguro del significado del dibujo ni de las frases, entonces cruzó por su mente lastantas veces que se distrajo en clase de Lógica. Mientras tanto, qué relación había entre los puntossombreados o en blanco del dibujo y las frases de tablero electrónico –pensaba Heriberto.Como el jefe de personal había dicho las palabras: “o lo que es lo mismo” , Heriberto pensó que eso era unaclave y que tenía que haber una relación. Se tardó un poco, pero logró contestar. La respuesta a la pregunta– dijo -es: “Ninguna persona cuya atención se distrae fácilmente cuando está trabajando es una persona exitosa”Por qué sería esa la respuesta, pregunta el jefe de personal, si en el caso del diagrama está viendo puntosdirectamente y en el caso de las oraciones se trata de personas que no se les conoce a todas o las cuales seubican en todas partes del mundo. De modo que – dice el jefe de personal- no podemos estar tan seguros dela validez del silogismo. Al escuchar la palabra silogismo Heriberto, sintió que esa era otra buena pista quedespejaba cualquier duda que había tenido afuera de la oficina.Sintió que tenían que ser lo mismo, es decir que si el silogismo visto en el diagrama, como puntos, daba unaconclusión que se ajustaba a las dos proposiciones o premisas, entonces no tenia por qué dudar, puesto quesu maestra de lógica insistía una y otra vez, que si lo que se ve en un diagrama, como puntos, representa unsilogismo válido entonces será válido para cualquier otro silogismo que cumpla con la misma forma y modo,pero con ciertas clases. Heriberto muy seguro de sí mismo, contestó al jefe de personal: “Como el diagramarepresenta un silogismo acerca de las clases de puntos y es válido; y el silogismo que se refiere a las clasesde personas tiene exactamente la misma forma, entonces éste también es válido”. Acto seguido, el jefe de 1
  14. 14. personal llama a la secretaria y le dice: “proporcione una solicitud de empleo al joven –señalando a Heriberto-y que se presente a trabajar mañana”.Los jóvenes salen del despacho y la secretaria le dice a Heriberto: “felicidades” han venido decenas dejóvenes que no han podido contestar las preguntas de mi jefe. Ambos amigos se retiran y en la calle diceJorge: “nunca me imaginé que la entrevista fuera de ese mugroso círculo”. Heriberto no comento nada. Ahora,se sabe que el camino hacia el éxito para Heriberto empezó ese día. 6. Método para descifrar un Diagrama de Venn. El Silogismo Categórico DESCIFRADO perosiguiendo un método y una estrategia formal a partir de su diagrama. Para descubrirlo consideremos eldiagrama de la figura 14. Hay que tomar en cuenta diversos aspectos tales que: 1) el silogismo es válido y es uno de los 19 que tiene representación mediante diagramas de Venn, 2) en general, cada silogismo tiene un Modo y una Figura pero algunos tienen más de una Figura, 3) todo silogismo tiene tres clases, dos premisas y una conclusión, 4) cada premisa involucra a dos de las clases y se ponen en el orden PM y SM, 5) la representación correcta de las premisas implica la conclusión sin tener que agregar algo más,Empecemos a explorar la solución, para tal fin es razonable preguntarnos,¿Qué premisas y conclusión Para descifrar un silogismo,están representadas? ¿Cuál paso a paso, a partir deles el Modo del silogismo? diagrama es recomendable¿Le corresponde una sola hacerse ciertas preguntas y tener en cuenta la teoría y laFigura? técnica de los Silogismos categóricos. Fig. 14Con esta información y teniendo en mente las preguntas, se puede aplicar la teoría y la técnica pararepresentar silogismos categóricos usando la siguiente estrategia: 1) Al inspeccionar la figura observar primero los círculos correspondientes a P y M. Después los círculos para S y M, por último reconocer la conclusión analizando los círculos S y P. 2) Para especificar el Modo y la Figura usar una tabla de Modos Válidos y de Figuras de los silogismo categórico: FIGURA MODO PRIMERA AAA EAE AII EIO SEGUNDA EAE AEE EIO AOO TERCERA AAI EAO IAI AII EIO OAO CUARTA AAI AEE IAI EAO EIO 1
  15. 15. PRIMERA SEGUNDA TERCERA CUARTA FIGURA (1) FIGURA (2) FIGURA (3) FIGURA (4) M ----- P P ----- M M ----- P P ----- M S ------M S ------M M ------S M ------ S ∴ S ---- P ∴ S ---- P ∴ S----- P ∴ S ---- P 3) Cuando hay una premisa universal y una particular es conveniente representar primero la universal y luego la particular. 4) Si hay más de una Figura poner un ejemplo concreto para S, P y M de cada uno de los silogismos resultantes para diferenciarlos.Considerando la información teórica y de la técnica para diagramar y validar Silogismos Categóricosaplicando la estrategia anterior se tiene que: al haber varias posibles maneras de interpretar las zonasmarcadas en el diagrama dado, consideremos la pareja de círculos “P con M”. De estos dos círculos, figura14, se infiere que la zona sombreada es la de “no hay P que no sea M”, es decir, A: “Todo P es M”Posteriormente, de la zona sombreada para “S con M”, figura 14, se deduce que “no hay M que sea S” y que“no hay S que sea M” lo que implica E: “Ningún M es S” o bien, E: “Ningún S es M”Hasta aquí tenemos ya las dos premisas que podrían ser las del silogismo que se está buscando. Secombinan de la siguiente manera: Todo P es M Todo P es M Ningún M es S Ningún S es MLas premisas indican que el Modo que estamos buscando debe tener las letras iniciales AE. Consultando latabla de modos, observamos que puede ser un AEE, Segunda Figura o bien un AEE, Cuarta Figura.Finalmente, inspeccionando los círculos “S con P” podemos concluir que efectivamente el silogismo es delModo AEE ya que la zona sombreada de la intersección indica que “no hay S que sea P” (E: “Ningún S esP”), tal como se requiere. Así, podemos ya presentar el Silogismo Categórico encontrado en sus dosposibilidades: AEE, Todo P es M AEE, Todo P es M Cuarta Ningún M es S Ningún S es M ______________________ Segunda ______________________ Figura Por lo tanto: Ningún S es P Figura Por lo tanto: Ningún S es PDe lo anterior, concluimos que los Silogismos Categóricos son: AEE, Cuarta Figura y AEE, SegundaFigura. El ejemplo que se pide de cada uno es, Todo aprendizaje es logro valioso Todo aprendizaje es logro valioso Ningún logro valioso es acción tramposa Ninguna acción tramposa es logro valioso ___________________________________________ ___________________________________________ Por lo tanto: Ninguna acción tramposa es aprendizaje 1 Por lo tanto: Ninguna acción tramposa es aprendizaje
  16. 16. 6.1 Siguiendo una estrategia diferente para inspeccionar Silogismos categóricos. Supongamosque usted no aplica la estrategia propuesta, ¿es posible encontrar el silogismo? Veamos, por ejemplo, 1) Si inspeccionamos la zona de intersección de los círculos S y M, una de las premisas del silogismo tendría que ser E: “Ningún S es M” porque está sombreada. 2) Si observamos la intersección de los círculos S y P, la otra premisa podría ser E: “Ningún S es P” porque también está sombreada. 3) Cotejando la lista de los silogismos válidos, ninguno tiene las letras iniciales EE; lo que concuerda con el hecho de que la zona sombreada restante no expresa conclusión alguna.Como sabemos que el Silogismo categórico por DESCIFRAR es válido, vemos que no ha funcionado esteintento. Podrían hacerse otros intentos más, pero el silogismo representado por el diagrama de Venn serádescifrado hasta que finalmente se adopte la estrategia sugerida. 7. Silogismo Categórico válido pero en otra Figura y Modo. Ahora vamos a ver, por ejemplo,que si el Silogismo Categórico EAO, Cuarta Figura, Ningún auto es avión Todo avión es medio de transporte Por lo tanto: Algún medio de transporte no es aviónRepresentado en un diagrama de Venn, siguiendo la técnica para diagramar, se obtiene, figura 15 Aún cuando se han diagramado correctamente las premisas del silogismo no ha quedado la conclusión representada. Fig. 15Ahora bien, inspeccionando el diagrama observamos que la conclusión no ha sido representada comoconsecuencia de haber diagramado correctamente cada premisa tal como pide la técnica para comprobar lavalidez de un silogismo. Tendríamos que pensar que el silogismo no es válido. Sin embargo, al usaradecuadamente las técnicas de conversión de silogismos categóricos de la Lógica, el nuevo silogismo es: Ningún avión es auto Algún medio de transporte es avión Por lo tanto: Algún medio de transporte no es autoQue representado en un diagrama, figura 16, es, Un silogismo categórico, de los 19 válidos que hay, puede no tener una representación en su forma original. Pero si se convierte puede obtener la diagramación correcta. Lo que es 1 prueba de su validez. Fig. 16
  17. 17. Inspeccionando el diagrama observamos que la conclusión ha sido representada como consecuencia dehaber diagramado correctamente cada premisa tal como pide la técnica para comprobar la validez de unsilogismo. Así, el nuevo silogismo es válido y, en consecuencia, también el silogismo original. FIn 1

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