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Aula1 proposicoes e conectivos

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    Aula1 proposicoes e conectivos Aula1 proposicoes e conectivos Presentation Transcript

    • RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO- LÓGICA PROPOSICIONAL.
    • • A Lógica é um ramo da Filosofia e da Matemática e estuda osprincípios e métodos de argumentação.• A Lógica tem por objetivo estudar os métodos e princípios quepermitem distinguir raciocínios válidos de outros não válidos;• A Lógica cuida das regras do bem pensar, se preocupabasicamente com a estrutura do raciocínio.• A História da Lógica teve início em 384–322 a.C., com o filósofogrego Aristóteles e já com a teoria dos silogismos (certa formade argumento válido).• Os fundamentos da Álgebra da Lógica só foram publicadosentre 1840 e 1910.• “Eu sustento que a descoberta da forma dos silogismos é umadas mais belas conquistas da mente humana. É uma espéciede matemática universal, cuja importância não ésuficientemente conhecida". (LEIBNIZ)INTRODUÇÃO
    • EXEMPLOS DE SILOGISMO• Toda regra tem exceção.Isto é uma regra.Logo, deveria ter exceção.• Portanto, nem toda regra tem exceção.• Deus é amor.O amor é cego.Steve Wonder é cego.• Logo, Steve Wonder é Deus.
    • Para pensar: A maçã• Há 2 pais e 2 filhos em uma salacom 1 maçã. A maçã está cortadaem 4 partes iguais. Cada 1 delescomeu 1 fatia da maçã e aindarestou 1 fatia. Como isso é possívelsem alterar nada das 4 fatias?
    • PROPOSIÇÕES E CONECTIVOSChama-se PROPOSIÇÃO a todo o conjunto de palavras ousímbolos que exprimem um pensamento completo.Tecnicamente, uma proposição é uma frase que pode ser apenasverdadeira ou falsa, são os chamados valores lógicos de umaproposição.Exemplos:1. Dez é menor que sete.2. Ela é muito talentosa!3. Existem formas de vida em outros planetas do universo.A frase 1 é uma proposição pois é falsa.Na frase 2, “Ela” não está especificada, a frase não é portantonem verdadeira nem falsa, logo não temos uma proposição.A frase 3 é uma proposição, embora não saibamos se éverdadeira ou falsa, apenas uma das opções ocorre.
    • • Costuma-se usar a palavra “proposição” para designaro significado de uma sentença ou oração declarativa.• Exemplo: “João ama Maria” é o mesmo que “Maria éamada por João”.Mais uma vez…• Toda proposição é uma frase (mas nem toda frase éuma proposição); uma frase é uma proposição apenasquando admite um dos dois valores lógicos: Falso (F)ou Verdadeiro (V). Exemplos:• Frases que não são proposições– Pare!– Quer uma xícara de café?– Eu não estou bem certo se esta cor me agrada.• Frases que são proposições– A lua é o único satélite do planeta terra (V)– A cidade de Salvador é a capital do estado do Amazonas (F)– O numero 712 é ímpar (F)– Raiz quadrada de dois é um número irracional (V)
    • PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO:Uma proposição não pode ser VERDADEIRA e FALSA aomesmo tempo.PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO:Toda proposição ou é VERDADEIRA ou é FALSA, isto é,verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro....EM RESUMO:Toda proposição tem um, e somente um, dos valores Vou F.PRINCÍPIOS OU AXIOMAS DASPROPOSIÇÕES
    • Proposição SIMPLES é aquela que não possui nenhumaoutra proposição como parte integrante de si mesma.Representadas pelas letras p, q, r, s,..., minúsculas.p: 19 é número primo.q: O triângulo que tem 3 lados diferentes é isósceles.Proposição COMPOSTA é aquela formada pelacombinação de duas ou mais proposições.Representadas pelas letras P, Q, R, S..., maiúsculas.P: 4 é a raiz de 16 e 9 é o cubo de 2.Q: Mercúrio é um planeta do sistema solar e a lua é osatélite da terra.TIPOS DE PROPOSIÇÃO
    • O valor lógico de uma proposição simples é indicadopor:V(p) = F ou V(p) = Vou ainda, se for composta,V(P) = F ou V(P) = VO valor lógico de uma proposição composta dependeunicamente dos valores lógicos das proposiçõessimples que a compõem.VALOR DE UMA PROPOSIÇÃO
    • É possível construir proposições a partir deproposições já existentes. Este processo éconhecido por Composição deProposições. Suponha que tenhamos duasproposições,A = "Maria tem 23 anos"B = "Maria é menor"COMPOSIÇÃO DE PROPOSIÇÕES
    • "Maria não tem 23 anos" (não(A))"Maria não é menor“ (não(B))"Maria tem 23 anos" e "Maria é menor" (A e B)"Maria tem 23 anos" ou "Maria é menor" (A ou B)"Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B)"Maria não tem 23 anos" ou "Maria é menor" (não(A) ou B)"Maria tem 23 anos" ou "Maria não é menor" (A ou não(B))"Maria tem 23 anos" e "Maria não é menor" (A e não(B))Se "Maria tem 23 anos" então "Maria é menor" (A B)Se "Maria não tem 23 anos" então "Maria é menor" (não(A) B)"Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B)"Maria tem 18 anos" é equivalente a "Maria não é menor“ (C não(B))COMPOSIÇÃO DE PROPOSIÇÕES
    • "Maria não tem 23 anos" (nãoA)"Maria não é menor“ (não(B))"Maria tem 23 anos" e "Maria é menor" (A e B)"Maria tem 23 anos" ou "Maria é menor" (A ou B)"Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B)"Maria não tem 23 anos" ou "Maria é menor" (não(A) ou B)"Maria tem 23 anos" ou "Maria não é menor" (A ou não(B))"Maria tem 23 anos" e "Maria não é menor" (A e não(B))Se "Maria tem 23 anos" então "Maria é menor" (A => B)Se "Maria não tem 23 anos" então "Maria é menor" (não(A) => B)"Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B)"Maria tem 18 anos" é equivalente a "Maria não é menor"(C <=> não(B))Note que, para compor proposições usou-se os símbolosnão (negação), e (conjunção), ou (disjunção),(implicação) e, finalmente, (equivalência).São os chamados conectivos lógicos.Note, também, que usou-se um símbolo para representaruma proposição: C representa a proposição Maria tem 18anos.Assim, não(B) representa Maria não é menor, uma vezque B representa Maria é menor.COMPOSIÇÃO DE PROPOSIÇÕES
    • Palavras usadas para formar novas proposições apartir de outras. Com eles formamos proposiçõescompostas.P: O sol é uma estrela e Júpiter é um planeta.Q: Hélio é Engenheiro ou Advogado.R: Dia 01 de agosto não é feriado.S: Se sua nota for superior a 60, então você seráaprovado.T: O aluno fará nova prova se e somente se puderjustificar sua falta.CONECTIVOS – voltando ao assunto
    • • De forma simplificada podemos perceber queestas palavras (conectivos), são representadasatravés de letras sentenciais combinadas comas expressões:– não negação– e conjunção– ou disjunção– se ... então implicação oucondicional– se e somente se bi-implicação,equivalência ou bicondicional• Essas expressões são chamadas deoperadores ou conectivos lógicos.CONECTIVOS – voltando ao assunto
    • • Para facilitar o reconhecimento ecomparação, cada operador lógico érepresentado por um símbolo:–não : ~ ou ┐–e: Λ ou &–ou: ν–se ... então:–se e somente se:CONECTIVOS – Formalização
    • De modo resumido podemos dizer que:• A partir de uma proposição podemosconstruir uma outra correspondente com asua negação;• Com duas proposições ou mais, podemosformar:– Conjunções: a Λ b (lê-se: a e b)– Disjunções: a ν b (lê-se: a ou b)– Condicionais: a b (lê-se: se a então b)– Bicondicionais: a b (lê-se: a se somente se b)CONECTIVOS – Formalização
    • A TABELA-VERDADE é um recurso utilizado paradeterminar todos os possíveis valores lógicos de umaproposição composta, a partir de todas as possíveisatribuições de valores lógicos dados às proposiçõessimples que a compõem.O resultado depende do conectivo que gera aproposição composta. Conectivos diferentes geramtabelas-verdade diferentes.O número de linhas de uma tabela-verdade é dadopor 2n, onde “n” é o número de proposições simples.TABELAS-VERDADE
    • • Para uma proposição simples:Ex: São Luís é a capital do Maranhão.TABELA-VERDADEpVF
    • • Para duas proposições simples, ligadas por umconectivo:Ex: Brasília é a capital do Brasil e Lima é a capital doPeru.TABELA-VERDADEp q valoraçõesV V VVV F VFF V FVF F FF
    • pVFqqVFVFp qV VV FF VF FTABELA-VERDADE
    • • Para três proposições simples:Ex:João é cantor, músico epintor.TABELA-VERDADEp q n valoraçõesV V V VVVV V F VVFV F V VFVV F F VFFF V V FVVF V F FVFF F V FFVF F F FFF
    • Conectivos Binários: conectivos que atuam emduas expressões para gerar uma terceira. Geramproposições compostas.Exemplos de conectivos binários são:• conjunção: “e”Notações: p q (lê-se p e q)O valor lógico de uma conjunção será verdadeiroquando ambas proposições forem verdadeiras, e falsonos outros casos.CONECTIVOS LÓGICOS
    • Tabela-verdade da CONJUNÇÃO:EXEMPLOS:“Elefantes são grandes e bolas são redondas.”“A lua é quadrada e a neve é branca .”p q p qV V VV F FF V FF F FCONECTIVOS LÓGICOS
    • Vamos analisar outra situação:Exemplo: Considere as proposiçõesp: João vai ao cinema.q: Maria não vai viajar.p q: João vai ao cinema e Maria não vai viajar.Perceba que esta última proposição somente seráverdadeira se João de fato for ao cinema e se de fato Marianão for viajar.Por exemplo, se João for ao cinema e Maria viajar, asentença torna-se falsa.Logo: a proposição composta da conjunção somente seráverdadeira se todas as proposições envolvidas na operaçãoforem verdadeiras.CONECTIVOS LÓGICOS
    • Uma maneira mais fácil de entender a conjunção “e” seriapensarmos nas sentenças simples como promessas de um pai aum filho:“eu te darei uma bola e te darei uma bicicleta”Ora, pergunte a qualquer criança! Ela vai entender que apromessa é para os dois presentes.Caso o pai não dê nenhum presente, ou dê apenas um deles, apromessa não terá sido cumprida. Terá sido falsa!No entanto, a promessa será verdadeira se as duas partesforem também verdadeiras!Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos,por meio de um diagrama, a conjunção "p e q" corresponderá àinterseção do conjunto p com o conjunto q. Teremos:CONECTIVOS LÓGICOS
    • IMPORTANTE:A expressão “mas” pode ser utilizada como conectivo daconjunção quando o conectivo “e” for usado com sentidoadversativo.Exemplo: Ana vai viajar e Bruno não vai ao cinema.Esta proposição composta poder ser também representadacomo:“Ana vai viajar, mas Bruno não vai ao cinema”.CONECTIVOS LÓGICOS
    • •disjunção : “ou”Notação: p ν q (lê-se p ou q)O valor lógico de uma disjunção será verdadeiroquando pelo menos uma das proposições forverdadeira, e falso quando ambas forem falso.p q p qV V VV F VF V VF F FEXEMPLOS:“A lua é redonda ou aneve é branca.”“Hoje é terça ouquarta.”Tabela-verdade da DISJUNÇÃO:CONECTIVOS LÓGICOS
    • Vamos analisar outra situação:Exemplo: Considere as proposiçõesp: João vai ao cinema.q: Maria não vai viajar.p q: João vai ao cinema ou Maria não vai viajar.Perceba que esta última proposição será verdadeira seJoão de fato for ao cinema ou se de fato Maria não forviajar. Bastando não que necessariamente as duasocorram, mas somente uma delas.Por exemplo, se João for ao cinema e Maria viajar, asentença torna-se verdadeira.Logo: a proposição composta da disjunção será verdadeirase qualquer uma das proposições envolvidas na operaçãofor verdadeira.CONECTIVOS LÓGICOS
    • Seremos capazes de criar uma tabela-verdade para uma proposiçãodisjuntiva? Claro! Basta nos lembrarmos da tal promessa do pai paraseu filho! Vejamos:“eu te darei uma bola ou te darei uma bicicleta.”Neste caso, a criança já sabe, de antemão, que a promessa é porapenas um dos presentes! Bola ou bicicleta! Ganhando de presenteapenas um deles, a promessa do pai já valeu! Já foi verdadeira!E se o pai for abastado e resolver dar os dois presentes? Pense nacara do menino! Feliz ou triste? Felicíssimo! A promessa foi mais doque cumprida.Só haverá um caso, todavia, em que a bendita promessa não secumprirá: se o pai esquecer o presente, e não der nem a bola e nem abicicleta. Terá sido falsa toda a disjunção.Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos pormeio de um diagrama, a disjunção "p ou q" corresponderá à união doconjunto p com o conjunto q,CONECTIVOS LÓGICOS
    • •Disjunção exclusiva : “ou p ou q”Notação: p v q (lê-se ou p ou q)O valor lógico de uma disjunção exclusiva seráverdadeiro quando as proposições envolvidas naoperação tiverem valores contrários, ou seja, se uma forverdadeira e outra for falsa..p q p v qV V FV F VF V VF F FTabela-verdade da DISJUNÇÃO EXCLUSIVA:CONECTIVOS LÓGICOS
    • Para compreendermelhor, basta fixarque:A proposição (p v q) éverdadeira se esomente se uma dasproposições p ou qsão verdadeiras. Nãoquando ambas sãoverdadeiras e muitomenos, ambas falsas.Disjunção ExclusivaP Q P v QVerdadeiro Verdadeiro FVerdadeiro Falso VFalso Verdadeiro VFalso Falso FEduardo é Pernambucano ou Paraibanoq: Eduardo é Pernambucanop: Eduardo é Paraibanoq v p = ?Eduardo é ou Pernambucano ou ParaibanoCONECTIVOS LÓGICOS
    • Temos três casos a considerar sobre a disjunção exclusiva:1º caso: disjunção exclusiva com o uso de palavrasantônimas.Exemplo: João é alto ou baixo.2º caso: disjunção exclusiva com a indicação denacionalidades ou naturalidades.Exemplo: Alberto é maranhense ou paulista.3º caso: disjunção exclusiva com o acréscimo da expressão“mas não ambos”.Exemplo: Jô Soares é gordo ou inteligente, mas não ambos.CONECTIVOS LÓGICOS
    • CUIDADO! Este novo tipo de proposição composta, é bem parecidocom a disjunção, mas com uma pequena diferença. Comparemos asduas sentenças abaixo:“Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”“ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”A diferença é sutil, mas importante.Reparemos que na primeira sentença vê-se facilmente que se aprimeira parte for verdade (te darei uma bola), isso não impediráque a segunda parte (te darei uma bicicleta) também o seja.Já na segunda proposição, se for verdade que “te darei uma bola”,então teremos que não será dada a bicicleta. E vice-versa, ou seja, sefor verdade que “te darei uma bicicleta”, então teremos que não serádada a bola. Resumindo, se uma for verdade a outra não será.Ou seja, a segunda estrutura apresenta duas situações mutuamenteexcludentes, de sorte que apenas uma delas pode ser verdadeira, e arestante será necessariamente falsa. Ambas nunca poderão ser, aomesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca poderão ser, ao mesmotempo, falsas.CONECTIVOS LÓGICOS
    • Pois bem na segunda sentença acima, o tipo de construção éuma disjunção exclusiva, e isto se evidencia pela presença dosdois conectivos “ou”, que determina que uma sentença énecessariamente verdadeira, e a outra, necessariamente falsa.Se as proposições p e q forem representadas como conjuntospor meio de um diagrama, a disjunção exclusiva “ou p ou q"corresponderá à diferença do conjunto p com o conjunto q, ouà diferença do conjunto q com o conjunto p,CONECTIVOS LÓGICOS
    • •condicional : se entãoNotação: p q (lê-se se p então q)O valor lógico de uma condicional será falso quando“p” for verdadeira e “q” for falsa, e verdadeiro nosdemais casos.Tabela-verdade da CONDICIONAL:p q p qV V VV F FF V VF F VEXEMPLOS:“Se tem fumaça entãotem fogo.”“Se hoje é domingoentão tem jogo natelevisão.”CONECTIVOS LÓGICOS
    • Quando estivermos analisando proposições compostas apartir do conectivo “se p então q”, é preciso entender que:1. A primeira proposição (p) é chamada de antecedente,hipótese ou condição suficiente;2. A segunda proposição (q) é chamada de consequente oucondição necessária;3. A proposição composta resultante da operaçãocondicional de uma proposição em outra somente seráfalsa, se a proposição antecedente for verdadeira e aconsequente for falsa. Em todos os outros casos, aproposição resultante será verdadeira.CONECTIVOS LÓGICOS
    • Exemplos de proposição condicional e suas variações:“Se João passou de ano, então João passou emmatemática”.Fique atento para algumas variações frequentes:“João passará em matemática, se João passar de ano”.“João passar de ano é condição suficiente para que Joãopasse em matemática”.“João passar de ano é condição necessária para que Joãopasse em matemática”.João passará de ano somente se João passar emmatemática”.CONECTIVOS LÓGICOS
    • Vamos analisar outra situação:Exemplo: Considere as proposiçõesp: João passou de ano.q: João passou em matemática.p q: Se João passou de ano, então João passou emMatemática.Perceba que nesta última proposição, fica evidente que: seJoão passou de ano, é por que também passou emmatemática.E que há apenas um caso em que ela se torna falsa: Joãopassou de ano, associado com João não passou emmatemática.Logo: A proposição composta resultante da operaçãocondicional de uma proposição em outra somente será falsa,se a proposição antecedente for verdadeira e a consequentefor falsa.CONECTIVOS LÓGICOS
    • Muita gente tem dificuldade em entender o funcionamento dessetipo de proposição. Convém, para facilitar nosso entendimento,que trabalhemos com a seguinte sentença.“Se nasci em Fortaleza, então sou cearense”.Vamos analisar um exemplo mais simples:“Se nasci em Imperatriz, então sou Maranhense”.E assim por diante.Agora me responda: qual é a única maneira de essa proposiçãoestar incorreta?Ora, só há um jeito de essa frase ser falsa: se a primeira partefor verdadeira, e a segunda for falsa.Ou seja, se é verdade que eu nasci em Imperatriz, entãonecessariamente é verdade que eu sou maranhense. Se alguémdisser que é verdadeiro que eu nasci em Imperatriz, e que éfalso que eu sou maranhense, então este conjunto estará todofalso.CONECTIVOS LÓGICOS
    • Percebam que o fato de eu ter nascido em Imperatriz é condiçãosuficiente (basta isso!) para que se torne um resultadonecessário que eu seja maranhense. Mirem nessas palavras:suficiente e necessário.→ Uma condição suficiente gera um resultado necessário.Percebam, pois, que se alguém disser que:“Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica”,então nós podemos reescrever essa sentença, usando oformato da condicional. Teremos: “Pedro ser rico é condiçãosuficiente para Maria ser médica” é igual a: “Se Pedro for rico,então Maria é médica”.Por outro lado, se ocorrer de alguém disser que: “Maria sermédica é condição necessária para que Pedro seja rico”,também poderemos traduzir isso de outra forma: “Maria sermédica é condição necessária para que Pedro seja rico” é iguala: “Se Pedro for rico, então Maria é médica”CONECTIVOS LÓGICOS
    • O conhecimento de como se faz essa tradução das palavrassuficiente e necessário para o formato da proposiçãocondicional já foi bastante exigido em questões de concursos.Não podemos, pois esquecer disso:→ Uma condição suficiente gera um resultado necessário.Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos,por meio de um diagrama, a proposição condicional "Se p entãoq" corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto q (pestá contido em q):CONECTIVOS LÓGICOS
    • Outros exemplos da proposição condicional:Exemplo 1: Se 4 é maior que 2, então 10 é menor que 20.p: 4 é maior que 2q: 10 é menor que 20p qV V  Resultado VExemplo 2: Se o mês de Maio tem 31 dias, então a Terra éplanaO mês de Maio tem 31 dias: pA Terra é plana: qp qV F  Resultado FCONECTIVOS LÓGICOS
    • •bicondicional : se e somente seNotação: p q (lê-se p se e somente se q)O valor lógico de uma bicondicional será falsoquando p e q tiverem valores (V ou F) diferentes , everdadeiro nos demais casos.Tabela-verdade da BICONDICIONAL:p q p qV V VV F FF V FF F VEXEMPLOS:“José faz aniversário see somente se estamosno mês de abril.”“Hoje é domingo se esomente se tem jogo natelevisão.”CONECTIVOS LÓGICOS
    • A proposição bicondicional é denominada condiçãosuficiente e necessária ao mesmo tempo.Simbolicamente podemos representar a bicondicional apartir de duas condicionais ligadas pelo conectivo “e”.p q (p q) (q p)Exemplo:“João vai ao cinema, se e somente se, Maria não viajar”.Perceba que:1. Maria não viajar é condição suficiente e necessária paraJoão ir ao cinema.2. João ir ao cinema é condição suficiente e necessária paraMaria não viajar.CONECTIVOS LÓGICOS
    • Outros exemplos de proposição bicondicional:Exemplo 1: Roma fica na Europa se e somente se aneve é brancap: Roma fica na Europaq: Neve é brancap q  Resultado VExemplo 2: Roma fica na Europa se e somente se aneve é azulp: Roma fica na Europaq: Neve é azulp q  Resultado FCONECTIVOS LÓGICOS
    • Exemplo 3: Roma fica na África se e somente se a neveé brancap: Roma fica na Áfricaq: Neve é brancap q  Resultado FExemplo 4: Roma fica na África se e somente se a neveé azulp: Roma fica na Áfricaq: Neve é azulp q  Resultado VCONECTIVOS LÓGICOS
    • Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos,por meio de um diagrama, a proposição bicondicional "p se esomente se q" corresponderá à igualdade dos conjuntos p e q.Observação: Uma proposição bicondicional "p se e somentese q" equivale à proposição composta: “se p então q e se qentão p”, ou seja,“ p ↔ q “ é a mesma coisa que “ (p → q) e (q → p) “São também equivalentes à bicondicional "p se e somente seq" as seguintes expressões:CONECTIVOS LÓGICOS
    • → A se e só se B.→ Se A então B e se B então A.→ A somente se B e B somente se A.→ A é condição suficiente para B e B é condiçãosuficiente para A.→ B é condição necessária para A e A é condiçãonecessária para B.→ Todo A é B e todo B é A.→ Todo A é B e reciprocamente.Via de regra, em questões de prova, só se vê mesmo abicondicional no seu formato tradicional: “p se e somentese q”.CONECTIVOS LÓGICOS
    • Tabela-verdade resumo dos conectivos binários:CONECTIVOS LÓGICOSp q p q p q p v q p q p qV V V V F V VV F F V V F FF V F V V V FF F F F F V V
    • CONECTIVOS LÓGICOSConectivo Unário: conectivo o que atua apenas emuma expressão para gerar uma outra. Um exemplo deconectivo unário é a:• negação: é a negação de uma proposição.Notações:p’ ou ¬p ou ~p – proposições simples.A’ ou ¬A ou ~A – proposições compostas.O valor lógico de uma negação será verdadeiroquando a proposição for falsa, e será falso quando aproposição for verdadeira.Logo “~p” tem valor lógico oposto ao de “p”.
    • Tabelas-verdade da NEGAÇÃO:proposição simples proposição compostaUsa-se o vocábulo NÃO antes do verbo para se construir anegação de proposições simples.Exemplo: “Alex NÃO é engenheiro.”Em proposições compostas utiliza-se as expressõesNÃO É VERDADE QUE....É FALSO QUE...p ~pV FF VA ~AV FF VCONECTIVOS LÓGICOS
    • Observação importante:Às vezes uma proposição contradiz outra, sem queseja sua negação.Exemplo: a proposição “O carro de João é preto”,contradiz, mas não é a negação da proposição “Ocarro de João é branco”.Perceba que a negação da proposição “O carro deJoão é branco” seria:“O carro de João não é branco”.CONECTIVOS LÓGICOS
    • • Negação das proposições simples: não pNotação: ~p ou ¬p (lê-se não p)Modos de negação de uma proposição simples:1º modo: Negação formal:Exemplo:(p) Arthur vai ao cinema.(¬p) É falso dizer que, Arthur vai ao cinema.2º modo: Antepondo-se a expressão “não” ao seuverbo:Exemplo:(p) Paulo é irmão de Pedro.(¬p) Paulo não é irmão de Pedro.CONECTIVOS LÓGICOS
    • 3º modo: Retirando-se a expressão “não” antes doverbo:Exemplo:(p) Maria não gosta de ir à praia.(¬p) Maria gosta de ir à praia.4º modo: Substituindo-se um dos termos daproposição por um de seus antônimos:Exemplo:(p) João é alto.(¬p) João é baixo.CONECTIVOS LÓGICOS
    • • Negação das proposições compostas:O que veremos aqui seria o suficiente para acertarmos algumasquestões de concurso. Já sabemos negar uma proposiçãosimples. Mas, e se for uma proposição composta, como fica?Aí, dependerá de qual é a estrutura em que se encontra essaproposição.• Negação de uma Proposição Conjuntiva: ~(p e q)Para negarmos uma proposição no formato de conjunção (p eq), faremos o seguinte:1) Negaremos a primeira (~p);2) Negaremos a segunda (~q);3) Trocaremos e por ou.E só!CONECTIVOS LÓGICOS
    • Daí, a questão dirá:“Não é verdade que João é médico e Pedro é dentista”,e pedirá que encontremos, entre as opções de resposta, aquelafrase que seja logicamente equivalente a esta fornecida.Analisemos: o começo da sentença é “não é verdade que...”. Ora,dizer que “não é verdade que...” é nada mais nada menos quenegar o que vem em seguida.E o que vem em seguida? Uma estrutura de conjunção! Daí, comonegaremos que “João é médico e Pedro é dentista”? Da formaexplicada acima:1) Nega-se a primeira parte: (~p): “João não é médico”2) Nega-se a segunda parte: (~q): “Pedro não é dentista”3) Troca-se e por ou, e o resultado final será o seguinte:“João não é médico ou Pedro não é dentista”.Traduzindo para a linguagem da lógica, diremos que:~(p ∧ q) = ~p ∨ ~qCONECTIVOS LÓGICOS
    • Como fomos chegar à essa conclusão? Ora, por meio dacomparação entre as tabelas-verdade das duas proposiçõesacima. Vejamos como foi isso. Primeiro, trabalhemos a tabela-verdade do ~(p ∧ q).Tudo começa com aquele formato básico, que já é nossoconhecido:Daí, faremos a próxima coluna, que é a da conjunção (e).Teremos:CONECTIVOS LÓGICOS
    • Por fim, construiremos a coluna que é a negativa desta terceira.Ora, já sabemos que com a negativa, o que é verdadeiro virafalso, e o que é falso vira verdadeiro.Logo, teremos:Agora, construamos a tabela-verdade da estrutura ~p v ~q, ecomparemos os resultados.No início, teremos:CONECTIVOS LÓGICOS
    • Faremos agora as duas colunas das duas negativas, de p e deq. Para isso, conforme já sabemos, quem for V virará F, e vice-versa. Teremos:Agora, passemos à coluna final: ~p v ~q. Aqui nos lembraremosde como funciona uma disjunção. A disjunção é a estrutura doou. Para ser verdadeira, basta que uma das sentençastambém o seja. Daí, teremos:CONECTIVOS LÓGICOS
    • Finalmente, comparemos a coluna resultado (em destaque)desta estrutura (~p ∨ ~q) com aquela que estava guardada daestrutura ~(p ∧ q). Teremos:Resultados idênticos! Daí, do ponto de vista lógico, para negar pe q, negaremos p, negaremos q, e trocaremos e por ou.CONECTIVOS LÓGICOS
    • • Negação de uma Proposição Disjuntiva: ~(p ou q)Para negarmos uma proposição no formato de disjunção (p ou q),faremos o seguinte:1) Negaremos a primeira (~p);2) Negaremos a segunda (~q);3) Trocaremos ou por e.Se uma questão de prova disser: “Marque a assertiva que élogicamente equivalente à seguinte frase: Não é verdade que Pedro édentista ou Paulo é engenheiro”.Pensemos: a frase em tela começa com um “não é verdade que...”, ouseja, o que se segue está sendo negado! E o que se segue é umaestrutura em forma de disjunção. Daí, obedecendo aos passosdescritos acima, faremos:1) Nega-se a primeira parte: (~p): “Pedro não é dentista”2) Nega-se a segunda parte: (~q): “Paulo não é engenheiro”3) Troca-se ou por e, e o resultado final será o seguinte:“Pedro não é dentista e Paulo não é engenheiro”.CONECTIVOS LÓGICOS
    • Na linguagem apropriada, concluiremos que:~(p ∨ q) = ~p ∧ ~qPodemos chegar a esta mesma conclusão por meio de tabelas-verdade:Vamos agora analisar a tabela-verdade para a estrutura: ~p ∧ ~qCONECTIVOS LÓGICOS
    • Resultados idênticos! Daí, do ponto de vista lógico, para negar “pou q”, negaremos p, negaremos q, e trocaremos ou por e.•Negação de uma Proposição Condicional: ~(p → q)Esta negativa é a mais cobrada em prova! Como é que se negauma condicional?Da seguinte forma:1º) Mantém-se a primeira parte; e2º) Nega-se a segunda.Por exemplo, como seria a negativa de “Se chover, então levarei oguarda-chuva”?1º) Mantendo a primeira parte: “Chove” e2º) Negando a segunda parte: “eu não levo o guarda-chuva”.Resultado final: “Chove e eu não levo o guarda-chuva”.Na linguagem lógica, teremos que:~(p → q) = p ∧ ~qCONECTIVOS LÓGICOS
    • •Negação de uma disjunção exclusiva: ~(p v q)Observando a tabela-verdade abaixo vamos concluir que temosduas formas de negar a disjunção exclusiva.Da tabela-verdade acima podemos dizer que:CONECTIVOS LÓGICOS
    • Para entender melhor vamos analisar o exemplo abaixo:Ex.: A negação da proposição “Ou Maria é rica ou João é rico,mas não ambos” é dada por:Representando a proposição “Ou Maria é rica ou João é rico,mas não ambos” por (A v B) , temos:¬(A v B): É falso dizer que, ou Maria é rica ou João é rico, masnão ambos. (Negação formal).(A↔B): Maria é rica se somente se João é rico.(A → B) ∧ (B → A): Se Maria é rica, então João é rico e se Joãoé rico, então Maria é rica.•Negação da Bicondicional: ¬(A ↔ B)Já vimos que a negação da disjunção exclusiva é feita com abicondicional, portanto a negação da bicondicional será feita com adisjunção exclusiva, observe a tabela-verdade abaixo:CONECTIVOS LÓGICOS
    • Ex.: A negação da proposição “Maria viaja se somente se Joãonão vai ao cinema”, é dada por:Primeiro vamos Representar a proposição “Maria viaja sesomente se João não vai ao cinema”, por (A↔B) , temos:¬(A ↔ B): É falso dizer que Maria viaja se somente se João não vaiao cinema. (Negação formal)CONECTIVOS LÓGICOS
    • Ex.: A negação da proposição “Maria viaja se somente se Joãonão vai ao cinema”, é dada por:¬(A ↔ B): É falso dizer que Maria viaja se somente se João nãovai ao cinema. (Negação formal)(A ∧ ¬B) ∨ (B ∧ ¬A): Maria viaja e João vai ao cinema ou Joãonão vai ao cinema e Maria não viaja.(A v B): Ou Maria viaja ou João não vai ao cinema, mas nãoambos.CONECTIVOS LÓGICOS
    • OUTROS EXEMPLOS:Exemplo 1: p: “Vai chover hoje”;~p: “Não vai chover hoje”;Exemplo 2: A: Peter é baixo e gordo;~A: Peter é alto ou magro;Neste caso entende-se que dizer que Peter não é nembaixo nem gordo, equivale a dizer que ele é alto ou émagro.Exemplo 3: B: Julie detesta manteiga ou adora nata;~B: Julie adora manteiga e detesta nata;Neste caso entende-se que dizer que não é verdade queJulie detesta manteiga ou adora nata, equivale a dizer queJulie adora manteiga e detesta nata.CONECTIVOS LÓGICOS
    • ATIVIDADES PROPOSTAS:01. Sejam as proposições,p: Jorge é rico.q: Carlos é feliz.Traduzir para linguagem corrente as seguintes proposições:a) p ν ~qb) ~p → qc) q ↔ ~p;
    • Observações:• Podemos gerar novas proposições encadeandoproposições, conectivos e parênteses. Seus valores lógicosserão definidos pela construção de tabelas-verdade.• É importante lembrar que "ou" pode ter dois sentidos nalinguagem habitual: inclusivo ou disjunção (quando podeocorrer uma coisa ou a outra ou ambas) e exclusivo(quando pode ocorrer apenas uma das coisas).CONECTIVOS LÓGICOS
    • ATIVIDADES PROPOSTAS:02. Sejam as proposições,p: O livro é interessante.q: O livro é de lógica.Traduzir para linguagem corrente as seguintes proposições:a) ~pb) p ν qc) p ~qd) ~(p ν q)e) q ↔ ~p;
    • ATIVIDADES PROPOSTAS:03. Traduzir para a linguagem simbólica, considerando:p = Josefa é ricaq = Josefa é felizr = Josefa é estudante.a) Josefa é rica ou infeliz.b) Se Josefa é estudante e rica então é estudante e feliz.c) Josefa é pobre, mas feliz.d) Josefa é pobre e infeliz.e) Josefa é pobre ou rica, mas é infeliz.f) Se Josefa é pobre então é feliz.g) Josefa é rica se e somente se não for pobre.h) Se Josefa é estudante então é rica se e somente se é feliz.i) Josefa é pobre, infeliz, estudante ou rica.j) Josefa estuda, mas é feliz se e somente não for pobre.
    • ATIVIDADES PROPOSTAS:04. Indicar as proposições simples abaixo por letras minúsculas etraduzir as sentenças para notação simbólica:a) Se Janet vencer ou perder, ela estará cansada;Exemplo: p: Janet vence, q: Janet perde, t: Janet está cansada;Notação simbólica: (p ν q) → t;b) Ou vai chover ou vai nevar, mas não ambos;c) Se os preços subirem, as construções ficarão mais caras, masse as construções não forem caras, elas serão muitas;d) Ou Janet irá vencer ou, se perder, ficará cansada;e) Se a quantidade de água é suficiente então o crescimento dasplantas é sadio;
    • ATIVIDADES PROPOSTAS:05. Escreva fórmulas para as sentenças abaixo utilizando asseguintes proposições:p: Paula vai à festa. q: Quincas vai à festa.r: Ricardo vai à festa. s: Sara vai à festa.a) Paula não vai.b) Paula vai, mas Quincas não vai.c) Se Paula for, então Quincas também irá.d) Paula irá, se Quincas for.e) Paula irá se e somente se Quincas for.f) Nem Paula nem Quincas irão.g) Paula e Quincas não irão.h) Paula não irá, se Quincas for.i) Se Ricardo for, então se Paula não for, Quincas irá.j) Se nem Ricardo nem Quincas forem, então Paula irá.
    • ATIVIDADES PROPOSTAS:05. Escreva fórmulas para as sentenças abaixo utilizando asseguintes proposições:p: Paula vai à festa. q: Quincas vai à festa.r: Ricardo vai à festa. s: Sara vai à festa.k) Se Ricardo ou Quincas forem, então Paula irá e Sara não irá.l) Se Sara for, então Ricardo ou Paula irão, e se Sara não for, entãoPaula e Quincas irão.
    • ATIVIDADES PROPOSTAS:06. Identifique dentre as expressões abaixo, quais são proposições:a) Sete mais três é igual a dez.Declaração (afirmativa)b) Marcone é professor de Contabilidade.Declaração (afirmativa ou negativa)c) Maria é linda?Interrogativad) Levante-se.Imperativa
    • ATIVIDADES PROPOSTAS:07. Analise e resolva a situação proposta:“Dois monges estão perdidos numa mata e estãopassando fome. E só existe uma planta que podem comer.Mas para comê-la deverá ser fervida durante exatos 30segundos senão os matara. Mas para marcar o tempo elessó tem 2 ampulhetas uma que marca 22 e outra de 14segundos. Como é que conseguirão marcar o tempo?”
    • ATIVIDADES PROPOSTAS:08. Achar o erro (absurdo) da demonstração algébrica abaixo:I. Vamos admitir que certo a seja igual a certo b:II. Multiplicando ambos os membros da igualdade por a:III. Diminua b2de ambos os membros da igualdade:IV. Fatore ambos os membros da igualdade:V. Dividindo ambos os membros da igualdade por (a - b), aexpressão resultante será:VI. Lembrando que a = b, teremos:VII. Dividindo ambos os membros da igualdade por b, teremos:a b 2a ab2 2 2a b ab ba b a b b a ba b b2b b2 1