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  • 1. INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CALKINI EN EL ESTADO DECAMPECHEINGENIERIA INDUSTRIAL PRIMER SEMESTREFISICA 1UNIDAD III TRABAJO, ENERGIA CINETICA Y CONSERVACION DE ENERGIA.Q. B. B. MARCOS MARTIN KU KUMULCLAKINI, CAMPECHE, ENERO DE 2006.1
  • 2. 2.- PRESENTACION.En términos generales el presente paquete didáctico contiene losconceptos de trabajo mecánico, tanto cuando la fuerza aplicada es paralela a lahorizontal, como cuando la fuerza forma un ángulo con respecto a la horizontal.De igual forma contiene las definiciones de energía, energía potencial, energíacinética, sus ecuaciones y la resolución de problemas.Asimismo también se presenta el teorema de conservación de la energíamecánica, así como la resolución de sus problemas, el concepto de potenciamecánica y sus problemas.En la última parte se presentan los conceptos y resolución de problemasde oscilaciones armónicas.2
  • 3. 3.- INDICE DE CONTENIDO.Contenido Número de páginaPortada 0Presentación 1Indice de contenido 2Objetivos generales de laUnidad temática 4Instrucciones generalespara el uso del paquetedidáctico 4Temas integrantes de laUnidad temática 5Instrucciones específicaspara el autoaprendizaje 5Objetivos por tema 6Desarrollo del tema3.1. Concepto de trabajo 7Ejercicios de aplicación del trabajo mecánico 7Evaluación del tema 3.1 11Bibliografía específica deltema 3.1. 12Desarrollo del tema 3.2.Teorema del trabajo y la energía 12Ejercicios de energía cinética 13Evaluación del tema 3.2 14Bibliografía específica 15del tema 3.2Desarrollo del tema 3.3. 15Potencia mecánicaEjercicios de potencia mecánica 163
  • 4. Evaluación del tema 3.3 18Bibliografía específica deltema 3.3 19Desarrollo del tema 3.4. 19Fuerzas conservativas y no conservativasEjercicios de energía potencial 20Evaluación del tema 3.4. 21Bibliografía específica del tema 3.4 22Desarrollo del tema 3.5.Teorema de la conservación de la energía mecánica 22Ejercicios del teorema de conservación de 24la energía mecánica.Evaluación del tema 3.5 26Bibliografía específica del tema 3.5. 26Desarrollo del tema 3.6 Oscilaciones armónicas 26Ejercicios de Oscilaciones armónicas 34Evaluación del tema 3.6. 35Bibliografía especifica del tema 3.6 36Evaluación de la UnidadTemática III. Trabajo, energía cinética y conservación de 37la energía.4.- OBJETIVOS GENERALES DE LA UNIDAD TEMATICA4
  • 5. 1.- El alumno conocerá el concepto de trabajo mecánico y resolverá problemascuando la fuerza aplicada se efectúa en forma horizontal y con un cierto ángulorespecto a la horizontal.2.- El alumno enunciará el concepto de energía, energía cinética y resolveráproblemas de energía cinética.3.- El alumno enunciará el concepto de potencia mecánica, conocerá susecuaciones y sus unidades así como resolverá problemas de potenciamecánicas.4.- El alumno enunciará el concepto de energía potencial, sus ecuaciones,unidades y resolverá problemas de energía potencial5.- El alumno enunciará el concepto del teorema de la conservación de laenergía mecánica, su ecuación, y resolverá problemas del teorema.6.- El alumno enunciará el concepto de oscilaciones armónicas, suscaracterísticas, y resolverá problemas de oscilaciones armónicas.7.- El alumno enunciará el concepto de fuerzas no conservativas, susecuaciones y resolverá problemas.5.- INTRUCCIONES GENERALES PARA EL USO DEL PAQUETEDIDACTICO1.- Conocer el concepto de trabajo mecánico, sus ecuaciones, despeje de lasmismas y su utilización para resolver problemas.2.- Conocer el concepto de energía, energía cinética, sus ecuaciones despejede las mismas y utilizarlas en la resolución de problemas.3.- Solucionar problemas de potencia mecánica, utilizando sus ecuaciones, ydespejándolas para hallar los otros parámetros, así como convertir susunidades como watts, caballos de fuerza y caballos de vapor.4.- Conocer e interpretar la energía potencial, utilizar sus ecuaciones ydespejarlas para hallar los otros parámetros en la resolución de problemas.5.- Conocer e interpretar el concepto del teorema de conservación de laenergía mecánica, utilizar sus ecuaciones en la resolución de problemas ydespejarlas para hallar los otros parámetros.6.- Conocer e interpretar las oscilaciones armónicas, sus características y lautilización de sus ecuaciones para resolver problemas.6.- TEMAS INTEGRANTES DE LA UNIDAD TEMATICA.5
  • 6. a.- UNIDAD III. Trabajo, energía cinética, y conservación de energía.Tema 3.1. Concepto de trabajoSubtema 3.1.1. Trabajo efectuado por fuerzas paralelas a lahorizontal.Subtema 3.1.2. Trabajo efectuado por fuerzas que forman unángulo con la horizontal.Tema 3.2. Teorema del trabajo y la energía.Subtema 3.2.1. Concepto de energía cinética.Subtema 3.2.2. Resolución de problemas de energía cinética.Tema 3.3. Potencia mecánicaSubtema 3.3.1. Definición, ecuaciones y unidades de la potenciamecánica.Subtema 3.3.2. Resolución de problemas de potencia mecánica.Tema 3.4. Fuerzas conservativas y no conservativas.Subtema 3.4.1. Concepto de energía potencial, sus ecuaciones ysus unidades.Subtema 3.4.2. Resolución de problemas de energía potencial.Tema 3.5. Teorema de la conservación de la energía mecánicaSubtema 3.5.1. Enunciado del teorema de conservación de laenergía mecánica.Subtema 3.5.2. Resolución de problemas del teorema de laconservación de la energía mecánica.Tema 3.6. Oscilaciones armónicasSubtema 3.6.1. Definición, características y ecuaciones de lasoscilaciones armónicas.Subtema 3.6.2. Resolución de problemas de oscilacionesarmónicas.b. INSTRUCCIONES ESPECIFICAS PARA EL AUTOAPRENDIZAJE.1.- Conocer el concepto trabajo mecánico, sus ecuaciones y resolución deproblemas2.- Enunciar el concepto de energía cinética conocer sus ecuaciones yutilizarlas en la resolución de problemas.3.- Definir el concepto de potencia mecánica, conocer sus ecuaciones yutilizarlas en la resolución de problemas4.- Definir el concepto de energía potencial, conocer sus ecuaciones yutilizarlas en la resolución de problemas.5.- Definir el concepto del teorema de conservación de la energía mecánica,sus ecuaciones y sus unidades y resolver problemas.6.- Definir el concepto de oscilaciones armónicas, sus características, yresolver sus problemas.c. Objetivos por tema.6
  • 7. 1.- Aprender el concepto de trabajo mecánico2.- Utilizar las ecuaciones del trabajo mecánico para resolver problemas alrespecto.3.- Aprender el concepto de energía cinética y resolver sus problemas.4.- Aprender el concepto de potencia mecánica, y resolver sus problemas5.- Aprender el concepto del enunciado del teorema de conservación de laenergía mecánica.6.- Aprender el concepto de oscilaciones armónicas, sus características yresolver problemas de oscilaciones armónicas.e. Desarrollo del Tema 3.1. Concepto de trabajo.7
  • 8. TEMA 3.1. CONCEPTO DE TRABAJO. SUBTEMA 3.1.1. CALCULO DELTRABAJO PARA FUERZAS PARALELAS A LA HORIZONTAL.El trabajo es una magnitud escalar producido sólo cuando unafuerza mueve un cuerpo en su misma dirección. Su valor se calculamultiplicando la magnitud de la componente de la fuerza localizada en la mismadirección en que se efectúa el movimiento del cuerpo, por el desplazamientoque éste realiza.Si la fuerza que mueve el cuerpo se encuentra totalmente en la mismadirección en que se efectúa el desplazamiento, el ángulo θ es igual a cero o90° ya que el coseno de 0 ó 90° es igual a 1, donde el trabajo será igual a:T = F d.Se realiza un trabajo de un joule (1 J) cuando al aplicar una fuerza de unNewton a un cuerpo, este se desplaza un metro. De donde:1 J = N.m.Resolución de problemas de trabajo mecánico.1.- Una persona levanta una silla cuyo peso es de 49 Newtons hasta una alturade 0.75 metros. ¿Qué trabajo realiza?Datos Fórmula Sustitución.P = F = 49 N T = Fd T = 49 N x0.75 m.d = h = 0.75 m T =36.75N.mT = T = 36.75Joules2.- Determinar el trabajo realizado al desplazar un bloque 3 metros sobre unasuperficie horizontal, si se desprecia la fricción y la fuerza aplicada es de 25Newtons.Datos Fórmula SustituciónT = T = Fd T = 25 N x 3 md = 3 m T = 75 N.mF = 25 N T = 75 N.m3.- ¿Qué peso tendrá un cuerpo si al levantarlo a una altura de 1.5 metros serealiza un trabajo de 88.2 Joules?.Datos Fórmula Sustitución8
  • 9. P = F F = T/d F = 88.2 N.mh = d = 1.5 m 1.5 mT = 88.2 J F = 58.8 N= 88.2 N.m4.- Un ladrillo tiene una masa de 1 kg, ¿a qué distancia se levantó del suelo sise realizó un trabajo de 19.6 Joules?.Datos Fórmulas Sustituciónm = 1 kg P = mg P = 1 kg x 9.8 m/seg2.g = 9.8 m/seg2. d = T/F P = F= 9.8 kgm/seg2.T = 19.6 J F = 9.8 Newtons19.6 N.m d = 19.6 N.md = h= 9.8 NP = F d = 2 metros5.- Un viajero levanta su petaca de 196 Newtons hasta una altura de 0.5metros. ¿Qué trabajo realiza?Datos Fórmula SustituciónF = 196 N T = Fd T = 196 N x 0.5 m =h = d = 0.5 m T = 98 Joules.T = ¿1.- Un bloque cuya masa es de 3 kg es jalado por una fuerza de 45 Newtonscon un ángulo de 30° respecto a la horizontal, desplazándolo 5 metros.Calcular el trabajo realizado para mover el bloque.Datos Fórmula SustituciónF = 45 N T = Fd cos θ T = 45 N x 5 mx cos 30°θ = 30° T = 45 N x 5 m x0.8660d = 5 m T = 194.85 N.mT = T = 194.85 Joules2.- Calcular el trabajo realizado por una fuerza de 200 Newtons que forma unángulo de 25° respecto a la horizontal, al desplazar 2 metros al cuerpo.Datos Fórmula SustituciónT = ¿ T = F d cos θ T = 200 N x 2 m x0.9063F = 200 N T = 362.52 N.m9
  • 10. d = 2 m T = 362.52Joules.θ = 25°3.- ¿A que distancia, se desplazará un cuerpo, si se le aplica una fuerza de 350N, con un ángulo de 60° respecto a la horizontal y se realiza un trabajo de 500Joules?.Datos Fórmula Sustitución.d = ¿ d = T/F cos θd = 500 N.m/350 N x0.5d = 500/175 = 2.85 mF = 350 Nθ = 60°T = 500 J4.- ¿A que distancia se desplazará un cuerpo, si se le aplica una fuerza de 600N, con un ángulo de 75° respecto a la horizontal y se realiza un trabajo de 750Joules?Datos Fórmula Sustituciónd = ¿ d = T/F cos θd = 750 N.m/600 N x0.2588d = 500N.m/155.28 N= 3.22 metros.F = 600 Nθ = 75°T = 750 J5.- ¿Con que ángulo se desplazará un cuerpo, si sobre él se realiza un trabajode 825 Joules y se desplaza una distancia de 5.25 metros, al aplicarle unafuerza de 450 Newtons?Datos Fórmula Sustitución.θ = ¿ cos θ = T/Fd cos θ = 825 N.m/450 N x5.25 m.T = 825 J cos θ = 825 N.m/2362.5N.m.F = 450 N cos θ = 0.3492d = 5.25 m θ = cos-10.3492 = 69.5°.10
  • 11. 1.- Este término se define como una magnitud escalar, producido solo cuandouna fuerza mueve un cuerpo en su misma dirección.A. ÍmpetuB. ImpulsoC. TrabajoD. MomentoE. Energía2.- ¿Cuál es el trabajo realizado por una fuerza de 20 newtons que actúa através de una distancia paralela de 8 metros?A. 190 JoulesB. 165 JoulesC. 170 JoulesD. 178 JoulesE. 160 Joules3.- Un remolcador ejerce una fuerza constante de 4000 newtons sobre unbarco, cuando lo desplaza a una distancia de 15 metros. ¿Cuál es el trabajorealizado?A. 98 kJB. 75 kJC. 85 kJD. 60 kjE. 92 kj4.- Un empuje de 30 libras se aplica a lo largo de un asa de una cortadora decésped, produciendo un desplazamiento horizontal de 40 pies. Si el asa formaun ángulo de 30° con el suelo. ¿Qué trabajo fue realizado por la fuerza de 30libras?A. 1048 lb.ftB. 1040 lb-ftC. 2033 lb.ftD. 1150 lb.ftE. 2200 lb.ft5.- ¿Qué trabajo realiza una fuerza de 60 newtons al arrastrar un bloque através de una distancia de 50 metros, cuando la fuerza es transmitida pormedio de una cuerda que forma un ángulo de 30° con la horizontal?A. 2550 JoulesB. 2300 JoulesC: 2490 JoulesD. 2330 JoulesE. 2600 Joules11
  • 12. e. Desarrollo del Tema 3.2. Teorema del trabajo y la energía.TEMA 3.2. TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍASUBTEMA 3.2.1. CONCEPTO DE ENERGIA CINETICASUBTEMA 3.2.2. APLICACIONES DE LA ENERGIA CINETICA.Energía CinéticaEncontrar una definición precisa para la energía no esalgo sencillo, sin embargo podemos decir:La energía es una propiedad que caracteriza lainteracción de los componentes de un sistema físico que tiene lacapacidad de realizar un trabajo. Es importante señalar que laenergía de diferentes formas, sin embargo, no se crea de la nada, yaque cuando hablamos de producir energía, en realidad nos referimosa sus transformación de una energía a otra, ya que la energía no secrea ni se destruye sólo se transforma. En conclusión: un cuerpotiene energía si es capaz de interaccionar con el sistema del cualforma parte, para realizar un trabajo. La unidad de energía en elSistema internacional es el Joule (J).Dos de los principales tipos de energía son la energía potencialy energía cinética.Energía cinética. Todo cuerpo en movimiento tieneenergía cinética. Por ejemplo una persona cuando camina o corre, unavión en pleno vuelo o al momento de adquirir velocidad para sudespegue, una corriente de agua, un disco que gira, la rueda de lafortuna, un pájaro al volar, una canica al rodar por el suelo, unamanzana que cae de un árbol y en fin, todo aquello que está enmovimiento tiene energía cinética.Un cuerpo suspendido a cierta altura, al ser soltado transforma suenergía potencial gravitacional en energía cinética traslacional. Porejemplo, para construir la Torre Latinoamericana, edificio ubicado enel centro de la Ciudad de México, fue necesario reforzar el sueloblando de esa área, mediante pilotes, los cuales fueron introducidoso clavados por medio de un martinete, elaborado básicamente por ungran mazo dentro de guías para mantenerlo correctamente en ladirección del blanco u objetivo.La ecuación que representa a la energía cinética es la siguiente:Ec = ½ mv2.Donde Ec = energía cinética en Joulesm = masa del objeto en kgv = velocidad del objeto en m/seg.Teorema del trabajo.- El trabajo de una fuerza externa resultantesobre un cuerpo es igual al cambio de la energía cinética delcuerpo.12
  • 13. PROBLEMAS DE ENERGIA CINETICA.1.- Calcular en joules la energía cinética traslacional que lleva unabala de 8 gramos si su velocidad es de 400 m/seg.Datos Fórmula SustituciónEc= Ec = ½ mv2. Ec= 0.5 x 0.008 kg(400 m/seg)2.m = 8 gr= 0.008 kg Ec = 640 Joulesv = 400 m/seg2.- Calcular la masa de un cuerpo cuya velocidad es de 10 m/seg ysu energía cinética traslacional es de 1000 Joules.Datos Fórmula Sustituciónm = m = 2Ec m= 2 (1000 N.m) =v = 10 m/seg v2. (10 m/seg)2Ec = 1000 J m = 20 kg= 1000 N.m3.- Determinar la velocidad que lleva un cuerpo cuya masa es de 3kg si su energía cinética traslacional es de 200 Joules.Datos Fórmula Sustituciónv = v = √2Ec v= √2 (200 N.m)m = 3 kg m 3 kgEc = 200 J v = 11.55 m/seg= 200 N.m4.- Calcule la energía cinética de un mazo de 4 kg en el instante enque su velocidad es de 24 m/seg.Datos Fórmula SustituciónEc = ¿ Ec = ½ mv2. Ec = 0.5 x 4 kg x (24m/seg)2.m = 4 kg Ec = 1152 Joules.v = 24 m/seg5.- Calcule la energía cinética de un automóvil de 3200 lb de pesoque viaja a 88 pies/seg. Utilice para los cálculos el valor de lagravedad del sistema inglés (32 pies/seg2.)13
  • 14. Datos Fórmula SustituciónP= 3200 lb m = P/g m = 3200 lb/32 ft/seg2.m = 100 slugsv = 88 ft/seg Ec = ½ mv2. Ec = 0.5 x 100 slugs x(88ft/seg)2.g = 32 ft/seg2. Ec = 3.87 E 5 lb.ft.e. Evaluación del tema 3.2. Teorema del trabajo y la energía.1.- Un martillo de 0.6 kg se mueve a 30 m/seg inmediatamente antesde golpear una alcayata. Calcule su energía cinética.A. 345 JoulesB. 270 JoulesC. 322 JoulesD. 288 JoulesE. 290 Joules2.- Se define como una propiedad que caracteriza la interacción delos componentes de un sistema físico que tiene la capacidad derealizar un trabajo.A. ÍmpetuB. ImpulsoC. Cantidad de movimientoD. EnergíaE. Trabajo3.- Es la energía que posee un cuerpo debido a su movimientoA. Energía EólicaB. Energía radianteC. Energía químicaD. Energía potencialE. Energía cinética4.- La energía cinética de un cuerpo con relación a la velocidad tienela siguiente relación.A. Es igual al cuadrado de la velocidadB. Es igual a la raíz cuadrada de la velocidad.C. Es igual al cubo de la velocidadD. Es igual a la mitad de la velocidadE. Es igual a la raíz cúbica de la velocidad.5.- La energía cinética de un cuerpo con relación a la masa delmismo tiene la siguiente relación:14
  • 15. A. Es igual al cubo de la masaB. Es igual al doble de la masaC. Es igual al cuadrado de la masaD. Es igual a la mitad de la masaE. Es igual a la raíz cuadrada de la masa.f. Bibliografía específica del tema 3.2. Teorema del trabajo y laenergía.d. Desarrollo del tema 3.3. Potencia mecánica.TEMA 3.3. POTENCIA MECANICA.SUBTEMA 3.3.1. DEFINICION DE POTENCIA MECANICASUBTEMA 3.3.2. RESOLUCION DE PROBLEMAS DE POTENCIAMECANICA.La potencia mecánica se define como la rapidez con que se realizaun trabajo. Se mide en watts (W) y se dice que existe una potencia mecánicade un watt cuando se realiza un trabajo de un joule por segundo:1 W = J/seg.Por ejemplo, mientras una persona sube por una escalera un bulto decemento de 50 kg a un departamento que se encuentra en reparación en elcuarto piso de un edificio, otra persona utilizando una polea, sube otro bulto de50 kg hasta el mismo piso en un menor tiempo, ¿quién realiza mayor trabajo?puesto que cada quien elevó un bulto de 50 kg a la misma altura el trabajorealizado es el mismo, sólo que uno lo efectuó en menor tiempo.El hombre siempre ha buscado realizar su trabajo en el menor tiempoposible, de ahí la necesidad de introducir un nuevo concepto que señaleclaramente con qué rapidez se hace un trabajo, este concepto recibe el nombrede potencia. Por definición: Potencia mecánica es la rapidez con que serealiza un trabajo. Su expresión matemática es:P = Ttdonde P = potencia en Joules/seg = watts (W).T = trabajo realizado en Joules (J).t = tiempo en que se realiza en trabajo en segundos (seg).Como se observa, la unidad usada en el Sistema Internacional paramedir potencia es el watt y significa trabajo de un joule realizado en unsegundo. (En honor al escocés James Watt, 1736-1819, famoso por laconstrucción de una máquina de vapor).Sin embargo, todavía se emplean las siguientes unidades prácticas: elcaballo de fuerza (H.P.) y el caballo de vapor (C.V.)1 H.P. = 746 Watts 1 C. V. = 736 Watts.Como el trabajo es igual a T = Fd y como la potencia es P = T/d = Fd/t,pero d/t = v (velocidad) entonces la potencia es igual a:P = Fv.P = Potencia mecánica en Watts.15
  • 16. F = Fuerza en en Newtons.v = velocidad en metros por segundo (m/seg).Esta expresión permite calcular la potencia si se conoce la velocidad queadquiere el cuerpo, misma que tendrá una dirección y un sentido igual a la dela fuerza que recibe.Para conocer la eficiencia (η) o rendimiento de una máquina queproduce trabajo, tenemos la expresión:η = Trabajo producido por la máquina x 100.Trabajo suministrado a la máquina.RESOLUCION DE PROBLEMAS DE POTENCIA MECANICA.1.- Calcular la potencia de una grúa que es capaz de levantar 30 bultos decemento hasta una altura de 10 metros en un tiempo de 2 segundos, si cadabulto tiene una masa de 50 kg.Datos FórmulaP = ¿ P = T/t = Fd/tm = 30 x 50 kgm = 1500 kgh = 10 mt = 2 segSolución : Para elevar los 30 bultos a velocidad constante, debe desarrollarseuna fuerza igual a su peso, donde :F = P = 1500 kg x 9.8 m/seg2. = 14 700 Newtons.P = 14700 N x 10 m/2 seg = 73500 Watts.2.- Calcular el tiempo que requiere un motor de un elevador cuya potencia esde 37500 Watts, para elevar una carga de 5290 Newtons hasta una altura de70 metros.Datos Fórmulat = ¿ P = Fd/t despejando t tenemos:P = 37500 Watts t = Fd/P.F = 5290 Newtonsh = 70 m.Sustitución y resultado:t = 5290 N x 70 m/37500 N.m/seg. = 9.87 seg.3,. La potencia de un motor eléctrico es de 50 H.P.¿A qué velocidad constantepuede elevar una carga de 9800 Newtons?Datos Fórmula16
  • 17. P = 50 H.P. P = Fv despejando v tenemos: v = P/F.v = ¿F = 9800 N.Sustitución y resultados.Conversión de unidades:50 H. P. x 746 W = 37300 Watts.1 H.P.v = 37300 N.m/seg = 3.81 seg.9800 N4.- Determinar en watts y en caballos de fuerza, la potencia que necesita unmotor eléctrico para poder elevar una carga de 20 x 103N a una altura de 30metros en un tiempo de 15 segundos.Datos Fórmula. Sustitución.P = ¿ P = Fd/t P = 20 x 103N x 30 mF = 20 x 103N 15 segd = 30 m P = 40000 Watts.t = 15 seg P = 40000 W x 1 H.P/746 W = 53.62 H.P.5.- Un motor cuya potencia es de 70 H.P. eleva una carga de 6 x 10 3 N a unaaltura de 60 metros. ¿En qué tiempo la sube?Datos Fórmula.P = 70 H.P. P = Fd/t. despejando t tenemos: t = Fd/P.F = 6 x 103N.h = d = 60 mSustitución y resultado:Conversión de la potencia a watts:70 H.P. x 746 Watts = 52220 Watts.1 H.P.t = 6 x 103N. x 60 m = 6.89 seg.52220 N.m/seg.e. Evaluación del tema 3.3. Potencia mecánica.1. Este parámetro se define como la rapidez con que serealiza un trabajo, su unidad es el watt.A. ImpulsoB. Ímpetu17
  • 18. C. Cantidad de movimientoD. Potencia mecánicaE. Energía cinética.2.- Este parámetro se obtiene al dividir el trabajo mecánicoentre el tiempo que se emplea en realizar dicho trabajo.A. Cantidad de movimientoB. Potencia mecánicaC. ÍmpetuD. Energía CinéticaE. Impulso3.- La potencia mecánica con relación al trabajo mecánico,tiene la siguiente relación:A. Es igual a la raíz cuadrada del trabajoB. Es inversamente proporcionalC. Es igual al cuadrado del trabajoD. Es igual al doble del trabajoE. Es directamente proporcional4. La potencia de un motor eléctrico en watts es de 1960 watts¿Cuál es la potencia en caballos de vapor (C.V.)A. 3.88B. 1.55C. 3.57D. 2.66E. 4.355. Si un estudiante de 50 kg de masa sube al tercer piso de suescuela, que se encuentra a 11 metros de altura, en 15segundos. ¿Qué trabajo realiza por unidad de tiempo?A. 299.44 wattsB. 156.23 wattsC. 188.44 wattsD. 250.25 wattsE. 123.56 wattsf. Bibliografía específica del tema 3.3. Potenciamecánica. Física General. Héctor Pérez Montiel.Publicaciones Cultural. Cuarta reimpresión 2004.d. Desarrollo del tema 3.4. Fuerzas conservativas y noconservativas.18
  • 19. TEMA 3.4. FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVASSUBTEMA 3.4.1. CONCEPTO DE ENERGIA POTENCIAL.SUBTEMA 3.4.2. APLICACIONES DE LA ENERGIA POTENCIAL.Energía Potencial. Cuando levantamos un cuerpocualquiera, a una cierta altura (h), debemos efectuar un trabajo igualal producto de la fuerza aplicada por la altura a la que fuedesplazado. Este trabajo se convierte en energía potencialgravitacional, llamada así pues su origen se debe a la atraccióngravitacional ejercida por la tierra sobre el cuerpo. Así pues, debido ala atracción de la tierra, si el cuerpo se deja caer, será capaz derealizar un trabajo del mismo valor sobre cualquier objeto en el quecaiga, ya que puede comprimir un resorte, perforar el piso e introducirpilotes hechos de hormigón armado en terrenos frágiles.Como el trabajo (T) realizado para elevar un cuerpo es igual a laenergía potencial gravitacional (EPG), tenemos:EPG = T = Ph.La fuerza requerida para elevar un cuerpo a una cierta altura es iguala su peso, por lo tanto:F = P = mgDonde la energía potencial gravitacional es igual a:EPG = Ph = mgh.g = 9.8 m/seg2. Sistema Internacionalg = 32.2 ft /seg2. Sistema Inglés.La energía potencial gravitacional de un cuerpolocalizado a una cierta altura depende del nivel tomado comoreferencia. Por ejemplo, si un bloque de madera de 2 kg de masaestá sobre una mesa cuya altura es de 1 metro y se levanta a unaaltura de 0.6 metros arriba de la mesa, el bloque tendrá una energíapotencial gravitacional respecto a la mesa igual a:EPG = mgh = 2 kg x 9.8 m/seg2x 0.6 m= 11.76 J.Pero respecto al suelo, su altura es de 1.6 metros, por lo tantoconsiderando este nivel de referencia su energía potencialgravitacional es de:EPG = mgh = 2 kg x 9.8 m/seg2x 1.6 m = 31.36 J.PROBLEMAS DE ENERGÍA POTENCIAL.1.- Un cuerpo de 4 kg se encuentra a una altura de 5 metros. ¿Cuáles su energía potencial gravitacional?.Datos Fórmula Sustitución19
  • 20. m = 4 kg Ep = mgh Ep = 4 kg x 9.8 m/seg2x 5 mh = 5 metros Ep = 196 JoulesEp =?2.- Calcular la altura a la que debe estar una persona, cuya masa esde 60 kg, para que su energía potencial gravitacional sea de 5000Joules.Datos Fórmula Sustituciónh= h = Ep h= 5000 N.mm = 60 kg mg 60 kg x 9.8 m/seg2.Ep 5000 J h = 8.5 metros.= 5000 N.mg = 9.8 m/seg2.3.- Calcular la masa de una piedra que tiene una energía potencialgravitacional de 49 Joules si se eleva a una altura de 2 metros.Datos Fórmula Sustituciónm = m = Ep m = 49 N.m______ =Ep = 49 J gh 9.8 m/seg2.x 2 m= 49 N.m m = 2.5 kgh= 2 m4.-Un carburador de 250 gramos se mantiene a 200 mm sobre unbanco de trabajo que está a 1 metro del suelo. Calcule la energíapotencial con (a) respecto a la parte superior del banco (b) el piso.Datos Fórmula Sustituciónm = 0.250 kg EP= mgh a) Ep = 0.250 kg x 9.8 m/seg2x0.200 m.h1 = 0.200 m a) Ep = 0.49 Joules.h2 = 1.2 m b) Ep = 0.250 kg x 9.8 m/seg2x1.2 m.g = 9.8 m/seg2. b) Ep = 2.94Joules.a) Ep = banco= ?b) Ep = piso = ?5.- Una unidad comercial de aire acondicionado de 800 libras depeso es elevada por medio de un montacargas a 22 pies del piso.¿Cuál es la energía potencial con respecto del piso?.Datos Fórmulas Sustitución.P = 800 lb Ep = Ph Ep = 800 lb x 22 ft =h = 22 ft20
  • 21. Ep = ¿ Ep = 17600 lb.ft.e. Evaluación del Tema 3.4. Fuerzas conservativas y noconservativas.1. Un bloque de 2 kg reposa sobre una mesa a 80 cm del piso.Calcule la energía potencial del bloque en relación al piso.A. 22.3 joulesB. 18.4 joulesC. 15.7 joulesD. 25.6 joulesE. 12.3 joules2.- Es la energía que posee un cuerpo debido a su posiciónA. Energía eléctricaB. Energía potencialC. Energía eólicaD. Energía químicaE. Energía potencial3.- Es el parámetro indispensable para hacer cálculos de laenergía potencial.A. pesoB. velocidadC: masaD. gravedadE. fuerza4.- En un problema de energía potencial, la misma esdirectamente proporcional a estos dos parámetros.A. aceleración y velocidadB. peso y fuerzaC. masa y alturaD. aceleración angular y velocidad angularE. masa y velocidad.5.- La energía potencial, con respecto al peso de un cuerpotiene la siguiente relación.A. Es igual a la raíz cuadrada del peso.B. Es inversamente proporcionalC. Es igual al doble del pesoD. Es igual a la mitad del pesoE. Es directamente proporcional.21
  • 22. f. Bibliografía específica del tema 3.4. Fuerzas conservativas yno conservativas. Física General. Héctor Pérez Montiel.Publicaciones Cultural. Cuarta reimpresión 2004.d. Desarrollo del tema 3.5. Teorema de la conservación de laenergía mecánica.SUBTEMAS 3.5.1. Y 3.5.2. DEMOSTRACION DEL TEOREMA DECONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA, Y APLICACIONES DELTEOREMA.Con mucha frecuencia, a velocidades relativamente bajas tiene lugar unintercambio entre las energías potencial y cinética. Por ejemplo, supongamosque se levanta una masa m hasta una altura h y, luego se deja caer, como semuestra en la figura siguiente:Una fuerza externa ha incrementado la energía del sistema, dándole unaenergía potencial, Ep = mgh en el punto más alto. Esta es la energía totaldisponible para el sistema y no puede modificarse, a menos que se enfrente auna fuerza de resistencia externa. A medida que la masa cae, su energíapotencial disminuye debido a que se reduce la altura sobre el piso. Ladisminución de energía potencial reaparece en forma de energía cinética acausa del movimiento. En ausencia de la resistencia del aire, la energía totalpermanece igual (Ep + Ec). La energía potencial sigue transformándose enenergía cinética hasta que la masa llegue al piso (h = 0). En esta posición final,la energía cinética es igual a la energía total, y la energía potencial es cero. Esimportante señalar que la suma de Ep y Ec es la misma en cualquier puntodurante la caída.Energía total = Ep + Ec = constante.Se dice que la energía mecánica se conserva. En nuestro ejemplo, laenergía total en el punto más alto es mgh y la energía total a ras de suelo es ½Máxima= Ep = mgh Ec = 0hYEp + Ec = mgY. + ½ mv2.= mgh= ½ mv2f.Ep = 0, final Ec = ½ mv2f.VfOV22
  • 23. mv2, si se desprecia la resistencia del aire. Ahora podemos enunciar el principiode la conservación de la energía mecánica:Conservación de la energía mecánica: En ausencia de resistencia del aire ode otras fuerzas disipativas, la suma de las energías potencial y cinéticases una constante, siempre que no se añada ninguna otra energía alsistema.Siempre que se aplique este principio resulta conveniente pensar en elinicio y el final del proceso de que se trate. En cualquiera de esos puntos, si lavelocidad no es igual a cero, existe una energía cinética, y si la altura no escero hay una energía potencial. Así pues, podemos escribir:(Ep + Ec)inicial = (Ep + Ec) Final. (1)mgho + ½ mv2o. = mghf + ½ mv2f. (2)Los subíndices o y f indican los valores iniciales y finales, respectivamente. Laecuación (2), por supuesto, se aplica cuando no participan fuerzas de fricción.En el ejemplo donde se plantea el caso de un objeto que cae a partir delreposo desde una posición inicial ho, la energía total inicial es igual a mgho (Vo= 0) y la energía total final es 1/2mv2f (h=0).mgho = 1/2mv2f. (3)Resolviendo esta ecuación para vf obtenemos una ecuación útil paradeterminar la velocidad final, a partir de las consideraciones generales sobre laenergía de un cuerpo que cae desde el reposo sin que lo afecte la fricción.vf = √2gho. (4).Una gran ventaja de este método es que la velocidad final se determinaa partir de los estados de energía inicial y final. La trayectoria real no tieneimportancia cuando no hay fricción. por ejemplo, se obtiene la misma velocidadfinal si el objeto sigue una trayectoria curva partiendo de la misma altura inicialho.PROBLEMAS DE LA CONSERVACION DE LA ENERGÍA MECANICA.1.- Una masa de 40 kg se impulsa lateralmente hasta que queda 1.6 metros porarriba de su posición más baja. Despreciando la fricción, a) ¿Cuál será suvelocidad cuando regrese a su punto más bajo?. ¿Cuáles son sus energíaspotencial y cinética?Solución: a) La conservación de la energía total requiere que (Ep + Ec) sea lamisma al principio y al final. Por lo tanto:23
  • 24. mgho + 0 = 0 + 1/2mv2f. De donde se puede eliminar las masas y obtener:_____ __________________vf = √2gho. = √2 (9.8 m/seg2) x 1.6 m = 5.60 m/seg.Ep = mgh = 40 kg x 9.8 m/seg2.x 1.6 m = 627 Joules.Ec = ½ mv2. Ec = 0.5 x 40 kg x (5.60 m/seg)2.= 627 Joules.2.- Si se arroja una pelota de 0.200 kg verticalmente hacia arriba, con unavelocidad inicial de 27.77 m/seg, ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?Despréciese la fuerza de rozamiento.?Ec = Ep = 1/2mv2= mgh. despejando h tenemos:h = 1/2mv2./mg = 0.5 x 0.200 kg x (27.77m/seg)2/0.200 kg x 9.8 m/seg2. = 39.34 metros.3.-Se deja caer una piedra de 500 gr, desde la azotea de una casa de 6 metrosde altura. ¿Con qué velocidad llega a la superficie terrestre?. No considere lafuerza de rozamiento.____ ________________vf = √2gho. = √2 x 9.8 m/seg2x 6 m = 10.84 m/seg4.- ¿A qué altura se encontrará una piedra de 500 gr que se deja caer, si suenergía potencial es de 29.4 Joules y la velocidad con que llega al suelo es de5.42 m/seg?Solución: Cuando se suelta la piedra, su energía cinética es cero y la Energíapotencial 29.4 joules, así que la energía mecánica total es:ET = Ec + Ep . ET = 0 + 29.4 J = 29.4 Joules.Ahora calculamos la energía cinética cuando la piedra lleva una velocidad de5.42 m/seg :Ec = ½ mv2. = 0.5 x 0.5 kg x (5.42 m/seg)2. = 7.34 Joules.Como se conserva la energía mecánica total, la energía potencial en ese puntoes:Ep = ET- Ec = 29.4 J – 7.34 J = 22.06 JDespejando h de la fórmula de Ep:Ep = mgh. h = Ep/mg = 22.06 N.m/0.5 kg x 9.8 m/seg2. =22.06 N.m/4.9 N = 4.50 metros.5.- Una bala de plomo de 10 gramos choca contra un bloque de madera,firmemente sujeto a la pared, con una velocidad de 500 m/seg, penetrando enel bloque a una distancia de 15 cm. ¿Qué cantidad de calor se produce debidoa la fuerza de rozamiento que detiene a la bala? ¿Cuál es el valor de la fuerzade rozamiento?24
  • 25. Solución: La energía cinética de la bala, antes del choque, se convierte en calordebido al trabajo realizado por la fuerza de rozamiento. Por lo tantocalcularemos primero la energía cinética:Ec = ½ mv2. = 0.5 x 0.010 kg x (500 m/seg)2. = 1250 Joules.El calor es igual a la energía cinética; esto es, 1250 Joules que convertidos acalor nos dan 298.61 calorías mediante la conversión con el equivalentemecánico del calor.1 cal = 4.186 Joules. 1250 Joules (1 cal/4.186 Joules) = 298.61 cal.La fuerza de rozamiento la obtenemos de la fórmula del trabajo:T = Fd. despejando F = T/d. F = 1250 N.m/0.15 m = 8333.33 N.e. Evaluación del tema 3.5. Teorema de Conservación de la energía mecánica.1.- El enunciado “La energía total de un sistema seconserva cuando no hay fuerzas de rozamiento”.Corresponde a:A. Conservación de la potencia mecánicaB. Conservación de la energía cinética totalC. Conservación de la energía potencial totalD. Conservación de la energía mecánica totalE. Conservación del trabajo total.2.- El enunciado “En ausencia de resistencia del aire ode otras fuerzas disipativas, la suma de las energíaspotencial y cinéticas es una constante, siempre que nose añada ninguna otra energía al sistema.”A. Conservación de la energía cinética totalB. Conservación de la energía potencial totalC. Conservación de la energía mecánica totalD. Conservación de la potencia totalE. Conservación del trabajo total3.- De acuerdo a la teoría de la conservación de laenergía mecánica, esta es:A. VariableB. ConstanteC. Es igual a la unidadD. Es igual al 100%E. Es igual al 50%.4.- De acuerdo a la teoría de la conservación de laenergía mecánica, un cuerpo antes de ser soltado a25
  • 26. una cierta altura con relación al suelo, su energíapotencial con respecto a la energía total es de:A. 90 %B. 50%C. 0%D. 1 %E. 100%5.- De acuerdo a la teoría de la conservación de laenergía mecánica, cuando se suelta un cuerpo desdeuna cierta altura y este llega al suelo, este tendrá unaenergía potencial igual al:A. 25%B. 100%C. 50%D. 0%E. 90%f. Bibliografía específica del tema 3.5. Teorema deconservación de la energía mecánica. Física, conceptosy aplicaciones. Paul E. Tippens. Ed. McGraw-Hill. SextaEdición 2001.d. Desarrollo del tema 3.6. Oscilaciones armónicas.TEMA 3.6. OSCILACIONES ARMONICASEl movimiento armónico simple es un movimiento periódico, esdecir se repite a intervalos iguales de tiempo. Puede ser descrito enfunción del movimiento circular uniforme, considerándolo como laproyección sobre cualquier diámetro de un punto que se mueve en unatrayectoria circular con velocidad constante como se ve en la figura siguiente.26
  • 27. Al observar el movimiento armónico que describe el punto A de la figuraanterior al moverse de un lado a otro de la línea recta formada por P y Q,podemos apreciar que su velocidad cambia en forma constante: cuando estáen el punto central O su velocidad es la máxima, mientras en P y Q la velocidades momentáneamente nula; después aumenta poco a poco hasta llegar a Odonde es máxima para de nuevo disminuir hasta llegar a cero en el otroextremo de la trayectoria.Es evidente que si la velocidad va cambiando, existe una aceleración.Dicha aceleración siempre se dirige a la posición central de equilibrio y su valorvaría de la siguiente forma: cuando se inicia el movimiento en cualquiera de losextremos P o Q hacia el centro o punto O, en los extremos se tiene la mayoraceleración, la cual disminuye a medida que se acerca al centro donde se hacenula; después de pasar el punto central, nuevamente aumenta la aceleraciónhasta llegar a su valor máximo, cuando llega al otro extremo, en el que lavelocidad de hace nula. Por lo tanto en la posición de equilibrio la aceleraciónes nula y la velocidad tendrá su valor máximo, y en los extremos la aceleracióntendrá su valor máximo y la velocidad nula.En el movimiento armónico simple resultan útiles los siguientesconceptos:Elongación.- Es la distancia de una partícula a su punto deequilibrio. Puede ser positiva o negativa, según esté hacia la derecha o a laizquierda de la posición de equilibrio.Amplitud. Es la máxima elongación cuyo valor será igual al radio dela circunferencia.Para calcular la elongación de una partícula oscilatoria en cualquierinstante de tiempo t se usa la expresión: Y = r cos 2 π F t. obtenida mediante lasiguiente deducción:Al representar a la elongación con la letra Y y al considerar que laelongación de una partícula oscilatoria es igual a la proyección sobre eldiámetro horizontal del radio r descrita por el móvil de la figura siguiente setiene que el valor de Y equivale al cateto adyacente, por lo cual su valor es:Y = r cos θ. (1), como θ = ω t (2), ω = 2 π F (3), sustituyendo 2 y 3 en 1:P QAOrVLa27
  • 28. Y = r cos 2 π F t.Donde: Y = elongación de la partícula en metros.r = radio de la circunferencia en metros.F = frecuencia en ciclos/segt = tiempo en segundos (seg)Velocidad de oscilación.- Es el resultado de proyectar la velocidad linealdel movimiento circular de un cuerpo sobre el diámetro de lacircunferencia como se ve en la figura siguiente, de modo que la expresiónmatemática de la velocidad de oscilación será:v = - vL sen θ (1), como θ = ω t (2), ω = 2 π F (3), vL = ω r (4), sustituyendo 2, 3y 4 en 1 queda:v = - 2 π F r sen 2 π F t.donde v = velocidad de oscilación en m/seg.F = frecuencia en ciclos/seg.r = radio de la circunferencia en metros (m)t = tiempo en segundos (seg).VLYrθACD BVLVLVLVLvθθ28
  • 29. Como se observa en la figura anterior, cuando la velocidad lineal esparalela al diámetro (puntos A y C), la velocidad de oscilación del cuerpo serámayor y tendrá un valor igual a la velocidad lineal. Cuando la velocidad lineales perpendicular al diámetro (puntos B y D) su proyección sobre el diámetro esnula, por lo tanto su valor es cero.Aceleración de una partícula oscilante.- En el MAS, la aceleraciónde una partícula oscilante tiene un valor igual a la proyección sobre eldiámetro de la aceleración radial ar, del movimiento circular uniforme deun cuerpo como se ve en la figura siguiente, por lo que la expresiónmatemática de la aceleración de una partícula oscilante será:a = - ar cos θ.como ar = ω2r.ω = 2 π Fθ = ω tθ = 2 π F t.tendremos que :a = - 4 π2F2r cos 2 π F t.puesto Y = r cos 2 π F t., la ecuación de la aceleración de una partículaoscilante también se puede expresar como:a = - 4 π2F2Y.donde a = aceleración en m/seg2.F = frecuencia en ciclos/seg.Y = elongación en metros (m).El signo de la aceleración de una partícula oscilante es negativa, por quesu sentido es siempre contrario al sentido del movimiento.Si observamos la ecuación de la aceleración de una partícula oscilante,tenemos que ésta es directamente proporcional a la elongación, pero desentido contrario. De la ecuación de la aceleración de una partícula oscilantepuede despejarse la frecuencia quedando de la siguiente manera:___________ ____F = √ - a/4 π 2Y = 1 / 2 π √ - a/YaarθθVL29
  • 30. GRAFICAS SINUSOIDALES DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLEEn el movimiento armónico simple (MAS) la elongación, lavelocidad y la aceleración se expresan en funcionestrigonométricas sencillas de un ángulo. Se le denomina simple paradistinguirlo de un movimiento amortiguado. Una curva senoide es lagráfica del seno de un ángulo trazada en función del ángulo. Toda ondade esta forma recibe el nombre de senoide o sinusoide. Para trazar lasgráficas sinusoidales del MAS, recordemos lo siguiente :1.- La Elongación Y es la distancia que separa al móvil del centro oposición de equilibrio. Es positiva si está a la derecha de su posición deequilibrio y negativa si está a la izquierda. Su valor a un tiempo t secalcula con la expresión:Y = r cos ω t .Nota: La amplitud es la máxima elongación, cuyo valor es igual al radio r de lacircunferencia.2.- La velocidad de oscilación v, es el resultado de proyectar la velocidadlineal vL del movimiento circular de un cuerpo, sobre el diámetro de lacircunferencia. Su valor a un tiempo t se calcula con la expresión:v = - vL sen θ. como VL = ω r y θ = ω t por lo tanto:v = - ω r sen ω t.La velocidad de oscilación será positiva si el móvil va a la derechay negativa si va a la izquierda.3.- La aceleración de una partícula oscilante a, tiene un valor igual a laproyección sobre el diámetro de la aceleración radial ar del movimientocircular uniforme de un móvil. Su valor a un tiempo t se calcula con laexpresión: a = - ar cos θ.como ar = ω2r y θ = ω t, por lo tanto:a = - ω2r cos ω t.Oscilador Armónico.Otro ejemplo de movimiento armónico simple es el que presentael resorte de la figura siguiente, el cual tiene suspendido un cuerpo en suextremo inferior:30
  • 31. Al darle un tirón hacia abajo al cuerpo que tiene suspendido elresorte, éste se estira (inciso b de la figura) y al soltar el cuerpo la fuerzade restitución del resorte tratará de que recupere su posición deequilibrio, pero al pasar por ella y debido a la velocidad que lleva, porinercia sigue su movimiento comprimiendo el resorte (inciso c de lafigura), por ello vuelve a actuar la fuerza de restitución ahora hacia abajoy nuevamente el cuerpo pasa por su posición de equilibrio. Sin embargo,por la inercia no se detiene y se estira nuevamente, así actúa otra vez lafuerza de restitución jalándolo hacia arriba. Se repiten en forma sucesivaestos movimientos de abajo hacia arriba y el cuerpo se comporta comoun oscilador armónico. Si no existieran fuerzas de fricción, el movimientodel cuerpo, a uno y otro lado de su posición de equilibrio, continuaríaindefinidamente.Conforme aumenta la fuerza del tirón aplicado al cuerpo, la fuerzade restitución encargada de que el cuerpo recupere su posición deequilibrio, también aumenta en la misma proporción. Según la Ley deHooke la fuerza de restitución que actúa para que un cuerporecupere su posición de equilibrio es directamente proporcional aldesplazamiento del cuerpo. Como la fuerza de restitución es opuestaal desplazamiento su signo es negativo y la expresión matemáticasiguiente resume lo expuesto:F = - kd.donde F = fuerza de restitución en Newtons (N)k = constante del resorte cuyo valor depende del tipo dematerial elástico de que se trate y cuyas unidades son N/m.d = desplazamiento experimentado por el cuerpo elástico deque se trate en metros (m).El periodo de un vibrador armónico simple, como es el casodel resorte de la figura anterior depende de su rigidez. Por lo tanto, a(a) posición deequilibrio(b) Fuerzadebida altirón.(c) Fuerza derestitución.31
  • 32. mayor rigidez del resorte, menor es su periodo. Si un resorte es másrígido que otro realizará una fuerza de restitución mayor para undesplazamiento dado y su aceleración también será mayor. La rigidezdel resorte se expresa mediante la constante del resorte k equivalente ala fuerza de restitución por unidad de desplazamiento.donde: k = F/d (1).Por ejemplo, si para un resorte que se desplaza 0.1 metros actúa unafuerza de restitución de 0.98 Newtons, y cuando se desplaza 0.2 metrosactúa una fuerza de 1.9 Newtons, su constante del resorte será igual a:k = 0.98 N/0.1 m = 9.8 N/m ó bien k = 1.96 N/0.2 m = 9.8 N/mDe acuerdo con la Ley de Hooke: F = - kd, el signo (-) significaque el sentido de la fuerza de restitución es opuesto al deldesplazamiento o elongación del resorte; y de la Segunda Ley deNewton tenemos: F = ma, siendo a, la aceleración del resorte encualquier instante, de donde:F = ma = -kd (2). por consiguiente : a = - (k/m) d (3).La ecuación 3 nos indica que la aceleración de un cuerpovibrador con un movimiento armónico simple, es directamenteproporcional a su desplazamiento o elongación en cualquierinstante.En forma experimental se ha encontrado que el periodo de unvibrador armónico simple es directamente proporcional a la raízcuadrada de su masa, e inversamente proporcional a la raízcuadrada de la constante del resorte (k). Estos resultadosexperimentales se expresan matemáticamente con la siguienteecuación, la cual nos permite calcular el periodo de vibración de uncuerpo con un MAS, y en el que se observa que su valor esindependiente de la amplitud.___________T = 2 π √ m/k (4)donde T = periodo en segundos (seg)m = masa del cuerpo vibrador en kilogramos (kg).k = constante del resorte en N/m.PENDULO SIMPLE.Un péndulo simple está constituido por un cuerpo pesadosuspendido en un punto sobre un eje horizontal por medio de unhilo de masa despreciable. Cuando se separa un péndulo de suposición de equilibrio y después se suelta, oscila a uno y otro lado delmismo efecto de su peso, como se ve en la figura siguiente:32
  • 33. El movimiento de un péndulo es otro ejemplo de movimiento armónicosimple (MAS) y su periodo puede ser calculado con la siguienteecuación:_______T = 2 π √ l/gDonde: T = periodo del péndulo en segundos (seg).l = longitud del péndulo en metros (m) se mide desde elpunto donde está suspendido hasta el centro de gravedad delcuerpo pesado que constituye al péndulo).g = aceleración de la gravedad igual a 9.8 m/seg2.De la ecuación anterior se desprenden las dos leyes del péndulo:1ª.- El periodo de las oscilaciones, por muy pequeñas que sean, nodepende de la masa del péndulo ni de la amplitud del movimiento, sinode su longitud.2ª.- El periodo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de lalongitud del péndulo, e inversamente proporcional a la raíz cuadrada dela aceleración debido a la acción de la gravedad.La ecuación empleada para calcular el periodo de un péndulo, se puedededucir a partir de la figura anterior. En ella representamos la longituddel péndulo con l, al peso con P, a la masa m, y al desplazamiento cond. Como P = mg y sus dos componentes rectangulares son F y F’, y siademás consideramos pequeño al ángulo θ, por lo cual los triángulosabc, y cde, son prácticamente iguales, tenemos lo siguiente:F/mg = d/l (1)reordenando términos: F/d = mg/l = k (2).De acuerdo con la ecuación 4 de la sección anterior sabemos que:T = 2 π √ m/k (3).aθlbd cF F’eP = mg33
  • 34. Sustituyendo 2 en 3 tenemos:______T = 2 π √ m/mg/l (4)___Por lo tanto T = 2 π √ l/gRESOLUCION DE PROBLEMAS DE MOVIMIENTO ARMONICOSIMPLE.1.- Un cuerpo describe un movimiento armónico simple con un radio de 0.1 m.Si su periodo es de 3 segundos. Calcular a) Su elongación a los 6segundos. b) su velocidad a los 6 segundos. c) Su velocidad máxima.Datos Fórmulasr = 0.1 m F = 1/TT = 3 seg a) Y = r cos 2 π F ta) Y 6 seg = ¿ b) v = - 2 π F r sen 2 π F tb) v 6 seg = ¿ c) V max = - 2 π F r sen 90°.c) V max = ¿Sustitución y resultados:F = 1/3 seg = 0.33 ciclos/seg.a) Y = 0.1 m cos 2 x 3.14 x 0.33 ciclos/seg x 6 segY = 0.1 m cos 12.43 radianes.12.43 rad x 57.3°/1 rad = 712.24°.cos 712.24° = cos (720°- 712.24°) = cos 7.76° = 0.9909Y = 0.1 m x 0.9909 = 0.099 m.b) v = -2 x 3.14 x 0.33 ciclos/seg x 0.1 m x sen 712.24°sen 712.24° = - sen (720° - 712.24°) = - sen 7.76° = - 0.1349v = - 0.21 m/seg x -0.1349 = 0.028 m/seg.c) La velocidad maxima se tiene cuando el cuerpo está pasando por un puntode equilibrio y la elongación es cero. Situación que se presenta cuandoel ángulo es de 90° o bien de 270°.v max = -2 x 3.14 x 0.33 ciclos/seg x 0.1 m x (+-1) = +- 0.21 m/seg ( lavelocidad máxima es positiva si elegimos el ángulo de 270°.2.- Un cuerpo cuyo radio mide 0.15 metros describe un MAS con un periodo de4 segundos. Calcular: a) Su elongación, es decir su posición a los 3.6segundos. b) Su velocidad a los 3.6 segundos. c) Su velocidad máxima.d) su aceleración máxima.Datos Fórmulasr = 0.15 m F = 1/TT = 4 seg a) Y = r cos 2 π F t34
  • 35. a) Y 3.6 seg = ¿ b) v = - 2 π F r sen 2 π F tb) v 3.6 seg = ¿ c) V max = - 2 π F r sen 90°.c) V max = ¿ d) a max = - 4 π 2F2Ymaxd) a max= ¿Sustitución y resultados:F = ¼ seg = 0.25 ciclos/seg.a) Y = 0.15 m cos 2 x 3.14 x 0.25 ciclos/seg x 3.6 seg = 0.15 m x 5.65 radianes.5.65 rad x 57.3°/ 1 rad =323.86°.cos 323.86° = cos (360° - 323.86°) = cos 36.14° = 0.8073Y 3.6 seg = 0.15 m x 0.8073 = 0.12 metros.b) V 3.6 seg = -2 x 3.14 x 0.25 ciclos/seg x 0.15 m x sen 323.86°sen 323.86° = - sen (360°-323.86°) = - sen 36.14 = - 0.5901.V 3.6 seg = -0.236 m/seg x – 0.5901 = 0.14 m/seg.c) V max = - 2 x 3.14 x 0.25 ciclos/seg x 0.15 m x sen 90° = - 236 m/seg.d) a max = - 4 (3.14)2(0.25 ciclos/seg)2(0.15 m) = - 0.37 m/seg2.3.- Determine el periodo de un péndulo y su frecuencia, si su longitud es de 40cm,Datos Fórmulas Sustitución___l = 40 cm = 0.40 m T = 2 π √ l/g T = 2 x 3.14 √0.4 m/9.8m/seg2T = 1.27 seg.F = 1/T F = 1/1.27 seg = 0.79 ciclos/seg.g = 9.8 m/seg2.T = ¿F = ¿e. Evaluación del tema 3.6. Oscilaciones armónicas.1.- Se define como un movimiento periódico, es decir, se repite aintervalos iguales de tiempo.A. Movimiento circular uniformeB. Movimiento armónico simpleC. Movimiento rotacionalD. Movimiento tangencial35
  • 36. E. Movimiento lineal2.- Se define como la distancia de una partícula a su punto de equilibrioA. Aceleración de la partícula oscilanteB. AmplitudC. Velocidad de oscilaciónD. ElongaciónE. Longitud de onda de la partícula oscilante3.- Se define como la máxima elongación cuyo valor es igual al radio dela circunferencia.A. Velocidad de oscilaciónB. Aceleración de la partícula oscilanteC. Longitud de onda de la partícula oscilanteD. ElongaciónE. Amplitud4.- Se define como el resultado de proyectar la velocidad linealdel movimiento circular de un cuerpo sobre el diámetro de lacircunferencia.A. Velocidad de oscilaciónB. AmplitudC. ElongaciónD. Longitud de onda de la partícula oscilanteE. Aceleración de la partícula oscilante5.- Este parámetro tiene un valor igual a la proyección sobre eldiámetro de la aceleración radial, del movimiento circularuniforme de un cuerpoA. Velocidad de oscilaciónB. ElongaciónC. Aceleración de la partícula oscilanteD. AmplitudE. Longitud de onda de la partícula oscilante.f. Bibliografía específica del tema 3.6. Oscilaciones armónicas.Física General. Héctor Pérez Montiel. Publicaciones Cultural.Cuarta reimpresión 2004.36
  • 37. 7. Evaluación de la Unidad Temática III. Trabajo, energía yconservación de la energía.a.- Trabajo Documental. Los equipos 1 y 2 investigarán enlibros y sitios de internet, el concepto de trabajo mecánico yresolverán 10 problemas de trabajo mecánicoLos equipos 3 y 4 investigarán en libros y en sitios deinternet, el concepto de energía, tipos de energía, el conceptode energía cinética y resolverán 10 problemas de energíacinética, hallando la misma, así como la masa y la velocidaddel objeto.Los equipos 5 y 6 investigarán en libros y en sitios deinternet, el concepto de potencia mecánica, sus unidades,ecuaciones y resolverán 10 problemas de potencia mecánica,en la cual se hallen la potencia, trabajo mecánico, velocidaden que se realice el trabajo y el tiempo en que se realiza eltrabajo.Los equipos 7 y 8, investigarán en libros y en sitios deinternet, el concepto de energía potencial, sus ecuaciones, yresolverán 10 problemas de energía potencial, calculando lamisma, la masa del objeto, el peso del mismo y la altura a lacual se encuentra.Los equipos 9 y 10, investigarán en libros y en sitios deinternet, el teorema de conservación de la energía mecánica,su ecuación principal y resolverán 10 problemas de aplicacióndel teorema, hallando energía cinética, energía potencial, lavelocidad final con que llega un cuerpo al suelo, la alturadesde la cual se encuentra un cuerpo.Los equipos 11, 12 y 13, investigarán en libros y en sitiosde internet, las oscilaciones armónicas, sus características yresolverán 10 problemas de aplicación.b. Reactivos de evaluación de la Unidad Temática III Trabajo,energía cinética y conservación de la energía.1.- Calcular el trabajo realizado por una fuerza de 200 Newtons queforma un ángulo de 25°, respecto a la horizontal, al desplazar 2metros a un cuerpo hacia el este . ¿Cuál es el trabajo si la fuerza esparalela al desplazamiento?A. T1= 400 J, T2= 362.525 JB. T1= 84.52 J, T2=51.76 JC. T1= 51.76 J, T2= 84.525 JD. T1= 362.2 J, T2= 400 JE. T1= 93.26 J, T2= 87.70 J2. Una persona levanta un bulto de cemento de 490 Newtons desdeel suelo hasta colocarlo sobre su hombro a una altura de 1.45 metrosA. 1030.22 J37
  • 38. B. 32.09 JC. 675.86 JD. 378.3 JE. 710.5 J3. Una persona aplica una fuerza de 20 Newtons a una caja paradeslizarlo hacia el este, formando un ángulo de 37° con la horizontaly la desplaza 80 cm, ¿Qué trabajo realiza la persona?A. 160 NewtonsB. 12.77 NewtonsC. 16.33 NewtonsD. 43.44 NewtonsE. 67.77 Newtons4.- ¿Qué trabajo realiza una grúa al levantar, con velocidadconstante, un contenedor de 20000 Newtons a una altura de15 metros?A. 30000 JoulesB. 150000 JoulesC. 300000 JoulesD. 20000 JoulesE. 200000 Joules5. Una persona ejerce una fuerza de 50 Newtons, paradetener un carrito de supermercado, logrando detenerlo a unadistancia de 5 metros. ¿Qué trabajo realiza?A. -125 JoulesB. -75 JoulesC. -225 JoulesD. -250 JoulesE. -150 Joules6.- Una bala disparada por un revólver tiene este tipo deenergía.A. PotencialB. CaloríficaC. CinéticaD. MecánicaE. Eléctrica.7.- ¿Con qué velocidad llega una pelota de 100gramos al guante de un jugador , si lleva una energíacinética de 31.25 Joules?A. 12.25 m/seg38
  • 39. B. 44 m/segC. 33.24 m/segD. 25 m/segE. 18.44 m/seg.8.- Si la potencia del motor de una bomba es de746 watts, ¿A qué velocidad constante puedeelevar 200 litros de agua? (La masa de un litrode agua es de 1 kg)A. 0.50 m/segB. 2.22 m/segC. 1.5 m/segD. 0.80 m/segE. 0.38 m/seg9.- Una carga de 40 kg se eleva hasta una alturade 25 metros. Si la operación requiere de unminuto, encuentre la potencia en watts y encaballos de fuerza (H.P.)..A. 550 watts, 0.345 H.P.B. 250 watts, 0.850 H.P.C. 400 watts, 0.450 H.P.D. 163 watts, 0.219 H.PE. 200 watts, 0.570 H.P.10.- Un cuerpo que se encuentra enganchado aun resorte, se estira 4 cm hacia abajo y alsoltarlo vibra con un movimiento armónicosimple. Si su frecuencia es de 0.3 ciclos/seg.Calcular a) Su elongación a los 2 segundos, b)Su velocidad a los 2 segundos c) su velocidadmáxima.A. Y= -2.35 cm, 6.1 cm/seg + o – 7.53 cm/segB. Y= -4.44 cm, 8.2 cm/seg, + o -8.34 cm/segC. Y= -6.55 cm, 4.3 cm/seg, + o -4.5 cm/segD. Y=- 3.55 cm, 2.34 cm/seg, + o – 3.37 cm/segE. Y= -1.22 cm, 4.66 cm/seg, + o - -2.22 cm/seg39

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