Notas de Aula - Métodos Matemáticos para Física
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    Notas de Aula - Métodos Matemáticos para Física Notas de Aula - Métodos Matemáticos para Física Document Transcript

    • Notas de AulaEqua¸c˜oes Diferenciais ParciaisLinearesRodney Josu´e Biezuner 1Departamento de Matem´aticaInstituto de Ciˆencias Exatas (ICEx)Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)Notas de aula da disciplina Equa¸c˜oes Diferenciais B do Ciclo B´asico do ICEx.23 de novembro de 20101E-mail: rodney@mat.ufmg.br; homepage: http://www.mat.ufmg.br/∼rodney.
    • Sum´ario0 Introdu¸c˜ao: Condu¸c˜ao do Calor em uma Barra 40.1 Modelagem F´ısica e Matem´atica do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.1.1 A Equa¸c˜ao do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.1.2 Algumas Formas mais Gerais para a Equa¸c˜ao do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80.1.3 Condi¸c˜ao Inicial e Condi¸c˜ao de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.2 Solu¸c˜ao do Modelo Matem´atico: M´etodo de Separa¸c˜ao de Vari´aveis e S´eries de Fourier . . . . 100.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 S´eries de Fourier 151.1 Propriedades das Fun¸c˜oes Seno e Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.1 Periodicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.2 Rela¸c˜oes de Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.3 Produto Interno no Espa¸co das Fun¸c˜oes Quadrado-Integr´aveis . . . . . . . . . . . . . . 181.2 C´alculo dos coeficientes da s´erie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3 Teorema de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.1 Fun¸c˜oes Cont´ınuas por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.2 O Teorema de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4 S´eries de Fourier de Fun¸c˜oes Pares e ´Impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.1 Fun¸c˜oes Pares e ´Impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.2 Extens˜oes Peri´odicas Pares e ´Impares de Fun¸c˜oes Definidas em Intervalos . . . . . . . 301.5 Estimativa dos Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.6 Diferencia¸c˜ao e Integra¸c˜ao Termo a Termo da S´erie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 Equa¸c˜ao do Calor Unidimensional 402.1 Condi¸c˜ao de Dirichlet homogˆenea: extremidades mantidas `a temperatura zero . . . . . . . . . 402.1.1 Existˆencia de solu¸c˜ao para o problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.1.2 Princ´ıpio do m´aximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.1.3 Unicidade e estabilidade de solu¸c˜oes para o problema de Dirichlet geral . . . . . . . . 452.2 Condi¸c˜ao de Dirichlet n˜ao homogˆenea: solu¸c˜ao de estado estacion´ario . . . . . . . . . . . . . 472.3 Condi¸c˜ao de Neumann homogˆenea: extremidades termicamente isoladas . . . . . . . . . . . . 492.4 Condi¸c˜ao de Robin homogˆenea: condi¸c˜oes de fronteira mistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.5 Equa¸c˜ao do calor n˜ao-homogˆenea: equa¸c˜ao de rea¸c˜ao-difus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.5.1 Fonte independente do tempo: m´etodo da solu¸c˜ao de estado estacion´ario . . . . . . . . 542.5.2 Fonte dependente do tempo: m´etodo de varia¸c˜ao dos parˆametros . . . . . . . . . . . . 562.5.3 O problema geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.6 Alguns problemas espec´ıficos de condu¸c˜ao do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.6.1 Problema da barra com convec¸c˜ao de calor em um extremo . . . . . . . . . . . . . . . 592.6.2 Condi¸c˜oes de fronteira de Robin gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.6.3 Problema do anel circular fino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
    • Rodney Josu´e Biezuner 22.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623 Equa¸c˜ao da Onda Unidimensional 653.1 Modelo Matem´atico da Corda Vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.1 Vibra¸c˜oes Livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.2 Condi¸c˜oes Iniciais e de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.1.3 Solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.1.4 Outros Tipos de Vibra¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.2 Solu¸c˜ao pelo M´etodo de Separa¸c˜ao de Vari´aveis e S´eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 693.3 A Solu¸c˜ao de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3.1 Solu¸c˜ao Geral da Equa¸c˜ao da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3.2 Corda Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.3.3 Solu¸c˜ao da Corda Vibrante com Extremidades Fixas pelo M´etodo de D’Alembert . . . 753.4 Harmˆonicos, Energia da Corda e Unicidade de Solu¸c˜ao para a Equa¸c˜ao da Onda . . . . . . . 783.4.1 Harmˆonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.4.2 Energia da Corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.4.3 Unicidade de Solu¸c˜ao para a Equa¸c˜ao da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.6 Apˆendice 1: A Equa¸c˜ao da Onda de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.6.1 Lei de Conserva¸c˜ao Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.6.2 Rela¸c˜oes Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.6.3 Solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao do Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.7 Apˆendice 2: Corda Suspensa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914 Equa¸c˜ao do Calor e da Onda em Dom´ınios Retangulares 934.1 S´eries de Fourier Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.1.1 Defini¸c˜ao e C´alculo dos Coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.1.2 Fun¸c˜oes de Duas Vari´aveis Pares e ´Impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2 Lei de Conserva¸c˜ao no Espa¸co Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.2.1 Rela¸c˜oes Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.3 A Equa¸c˜ao do Calor em Dom´ınios Retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.3.1 Solu¸c˜ao do problema da condu¸c˜ao do calor na chapa retangular com margens mantidas`a temperatura zero por separa¸c˜ao de vari´aveis e s´eries de Fourier . . . . . . . . . . . . 984.3.2 Solu¸c˜ao do problema da condu¸c˜ao do calor na chapa retangular termicamente isoladapor separa¸c˜ao de vari´aveis e s´eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.4 A Equa¸c˜ao da Onda em Dom´ınios Retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.4.1 Problema da Membrana Vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.4.2 Solu¸c˜ao do Problema da Membrana Vibrante pelo M´etodo de Separa¸c˜ao de Vari´aveise S´eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.4.3 Linhas Nodais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045 A Equa¸c˜ao de Laplace 1065.1 A Equa¸c˜ao de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.1.1 Solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao de Laplace no Retˆangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.1.2 O Princ´ıpio do M´aximo e Unicidade de Solu¸c˜ao para a Equa¸c˜ao de Laplace . . . . . . 1095.2 A Equa¸c˜ao de Laplace no Disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.2.1 A Equa¸c˜ao de Laplace em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.2.2 Solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao de Laplace no Disco pelo M´etodo de Separa¸c˜ao de Vari´aveis eS´eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.3 A Equa¸c˜ao de Helmholtz: Autovalores e Autofun¸c˜oes do Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . 1145.4 A Equa¸c˜ao de Poisson: o M´etodo de Expans˜ao em Autofun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
    • Rodney Josu´e Biezuner 36 A Equa¸c˜ao da Onda no Disco: Vibra¸c˜oes de uma Membrana Circular 1176.1 A Membrana Circular Vibrante: Vibra¸c˜oes Radiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.2 Fun¸c˜oes de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.2.1 Solu¸c˜ao Geral da Equa¸c˜ao de Bessel: Fun¸c˜oes de Bessel do Primeiro Tipo . . . . . . . 1186.2.2 Solu¸c˜ao Geral da Equa¸c˜ao de Bessel: Fun¸c˜oes de Bessel do Segundo Tipo . . . . . . . 1216.2.3 Apˆendice: A Fun¸c˜ao Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.3 S´eries de Fun¸c˜oes de Bessel e a Solu¸c˜ao do Problema da Membrana Circular Vibrante . . . . 1226.3.1 Ortogonalidade das Fun¸c˜oes de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.3.2 S´eries de Bessel de ordem p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.3.3 Solu¸c˜ao do Problema da Membrana Circular Vibrante Radial . . . . . . . . . . . . . . 1236.4 A Membrana Circular Vibrante: Vibra¸c˜oes Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.4.1 Uso do Princ´ıpio de Superposi¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257 Equa¸c˜ao de Laplace em Dom´ınios Tridimensionais Sim´etricos 1287.1 A Equa¸c˜ao de Laplace em um Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.1.1 A Equa¸c˜ao de Laplace em Coordenadas Cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.1.2 Solu¸c˜ao de um Problema de Laplace no Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.1.3 Fun¸c˜oes de Bessel Modificadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.1.4 Solu¸c˜ao de outro Problema de Laplace no Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.2 A Equa¸c˜ao de Laplace em uma Bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.2.1 A Equa¸c˜ao de Laplace em Coordenadas Esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.2.2 A Equa¸c˜ao de Legendre e Polinˆomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.2.3 S´eries de Polinˆomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.2.4 Solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao de Laplace na Bola com Simetria Radial . . . . . . . . . . . . . . 1378 Transformada de Fourier 1398.1 A Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1398.1.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.2 A Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.2.1 Defini¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.2.2 Propriedades Operacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458.2.3 Transformada de Fourier da Fun¸c˜ao Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.2.4 Tabela de Transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1508.2.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.3 O M´etodo da Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1528.3.1 A Equa¸c˜ao do Calor para uma Barra Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.3.2 A Equa¸c˜ao da Onda em uma Corda Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1548.3.3 A Equa¸c˜ao de Laplace em um Semiplano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1568.3.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
    • Cap´ıtulo 0Introdu¸c˜ao: Condu¸c˜ao do Calor emuma Barra0.1 Modelagem F´ısica e Matem´atica do Problema0.1.1 A Equa¸c˜ao do CalorConsidere uma barra uniforme de comprimento L, feita de material homogˆeneo condutor de calor. Porbarra uniforme entendemos que a sua se¸c˜ao transversal ´e sempre igual a uma determinada figura geom´etricaplana e portanto tem ´area constante, que denotaremos por A; al´em disso, a barra pode ser imaginadacomo sendo formada atrav´es da transla¸c˜ao desta figura na dire¸c˜ao perpendicular ao seu plano (em outraspalavras, um cilindro reto cuja base pode ser qualquer figura geom´etrica, como por exemplo um disco [cilindrocircular reto], uma elipse [cilindro el´ıptico reto], um triˆangulo [prisma reto], um retˆangulo [paralelep´ıpedoreto], ou qualquer outra figura geom´etrica plana). Suponha que a superf´ıcie lateral da barra esteja isoladatermicamente, de modo a n˜ao permitir transferˆencias de calor atrav´es dela com o ambiente. Transferˆenciasde calor, se ´e que ocorrem, podem ocorrer apenas atrav´es das extremidades da barra.A uniformidade da barra, a homogeneidade do material e o isolamento t´ermico lateral implicam que ofluxo de calor acontece somente na dire¸c˜ao longitudinal, isto ´e, ao longo do comprimento da barra. Portanto,este ´e um problema de condu¸c˜ao de calor unidimensional. Em outras palavras, as vari´aveis f´ısicas s˜aoconstantes em cada se¸c˜ao transversal da barra, podendo variar apenas de uma se¸c˜ao para outra.Consideremos a barra posicionada no eixo x, com uma das extremidades na origem x = 0; a outraextremidade ocupa portanto a posi¸c˜ao x = L. Queremos determinar como a temperatura em cada pontoda barra varia `a medida que o tempo passa. Para isso, vamos analisar o fluxo de calor ao longo da barra.Inicialmente, considere duas se¸c˜oes transversais da barra, localizadas em x e x + ∆x, delimitando uma fatiada barra (veja a Figura 0.1 na p´agina seguinte). Atrav´es destas se¸c˜oes, calor flui (entra ou sai) para estafatia. Denotaremos o fluxo de calor, isto ´e, a quantidade de calor por unidade de tempo fluindo para adireita por unidade de ´area, por ϕ(x, t); no S.I., o fluxo de calor tem como unidades Joules/m2s.ϕ(x, t) = fluxo de calor (quantidade de calor por unidade de tempofluindo para a direita por unidade de ´area).Se ϕ(x, t) < 0, o calor est´a fluindo para a esquerda. A quantidade total de calor que entra na fatia porunidade de tempo ´e dada pela diferen¸ca entre a quantidade de calor que entra pela se¸c˜ao transversal em xe a quantidade de calor que sai pela se¸c˜ao transversal em x + ∆x, isto ´e,ϕ(x, t)A − ϕ(x + ∆x, t)A.4
    • Rodney Josu´e Biezuner 5´E claro que calor pode sair da fatia pela se¸c˜ao transversal em x (se ϕ(x, t) < 0), assim como calor podeentrar na fatia pela se¸c˜ao transversal em x + ∆x (se ϕ(x + ∆x, t) < 0); se a diferen¸ca acima for negativa,ent˜ao o resultado final ´e que calor sai da fatia.Figura 0.1Esta quantidade de calor total que entra ou sai da fatia por instante de tempo pode ser calculada emfun¸c˜ao das temperaturas nas se¸c˜oes transversais que delimitam a fatia atrav´es da Lei de Condu¸c˜ao do Calorde Fourier (esta lei foi empiricamente observada por Fourier no in´ıcio do s´eculo XIX):Lei de Condu¸c˜ao do Calor de Fourier. Sejam P1 e P2 duas placas formadas de um mesmo materiale de mesma ´area igual a A, mantidas respectivamente a temperaturas constantes T1 e T2. Se elasforem colocadas paralelamente a uma distˆancia d uma da outra, haver´a passagem de calor da placamais quente para a placa mais fria e a quantidade de calor transferida de uma placa para a outra porunidade de tempo (ou seja, a taxa de transferˆencia de calor, medida em Joules/s) ´e dada porΦ = kA|T2 − T1|d,onde k ´e uma constante espec´ıfica do material entre as placas, chamada condutividade t´ermica domaterial.Denotemosu(x, t) = temperatura do ponto x da barra no instante de tempo t.As se¸c˜oes transversais da barra, localizadas em x e x + ∆x, fazem o papel das duas placas P1 e P2. Denoteas temperaturas nestas se¸c˜oes no instante de tempo t por T1 = u(x, t) e T2 = u(x + ∆x, t). Ent˜ao, pela Leide Fourier, o fluxo de calor na dire¸c˜ao positiva do eixo x que passa pela se¸c˜ao transversal localizada em x ´edado por (lembre-se que o fluxo de calor ´e definido por unidade de ´area)ϕ(x, t) = − lim∆x→0ku(x + ∆x, t) − u(x, t)∆x= −kux(x, t),de modo que quando a temperatura cresce com x, ux ´e positivo, mas o calor flui para a esquerda, portanto ϕ´e negativo; se a temperatura decresce com x, ux ´e negativo e o calor flui para a direita, portanto ϕ ´e positivo.
    • Rodney Josu´e Biezuner 6Agora fixe um segmento qualquer da barra entre as posi¸c˜oes x = a e x = b. Vamos calcular a quantidadetotal de calor Q que entra neste segmento no per´ıodo de tempo que vai de t0 at´e t1. Esta ´e a diferen¸ca entreo calor que entra na se¸c˜ao transversal que ocupa a posi¸c˜ao x = a e o calor que sai pela se¸c˜ao transversal queocupa a posi¸c˜ao x = b durante o per´ıodo de tempo considerado:Q =∫ t1t0ϕ(a, t)A dt −∫ t1t0ϕ(b, t)A dt=∫ t1t0kA[ux(b, t) − ux(a, t)] dt.Usando o Teorema Fundamental do C´alculo, podemos escreverux(b, t) − ux(a, t) =∫ bauxx(x, t) dx.Logo, como k ´e constante (pois assumimos que a barra ´e feita de um ´unico material homogˆeneo), temosQ = kA∫ t1t0∫ bauxx(x, t) dxdt. (1)Por outro lado, tamb´em ´e observado experimentalmente que a quantidade de calor absorvida por umasubstˆancia em um per´ıodo de tempo ´e diretamente proporcional `a massa desta substˆancia e `a varia¸c˜ao m´ediade sua temperatura durante o intervalo de tempo considerado:Q = cm∆u.A constante de proporcionalidade, denotada por c, depende de cada substˆancia e ´e chamada o calor espec´ıficoda substˆancia; em outras palavras, o calor espec´ıfico nada mais ´e que a quantidade de calor necess´aria paraelevar em um grau a temperatura de uma unidade de massa da substˆancia; no S.I., o calor espec´ıfico temcomo unidades Joules/kgK. Embora o calor espec´ıfico de uma substˆancia em geral varie com a temperaturaem que ela se encontra (isto ´e, c = c(u)), para diferen¸cas de temperaturas n˜ao muito grandes o calor espec´ıfico´e aproximadamente constante.Aplicamos esta lei emp´ırica novamente a um segmento qualquer da barra entre as posi¸c˜oes x = a e x = b.A varia¸c˜ao m´edia da temperatura neste segmento da barra no intervalo de tempo que vai de t0 at´e t1 ´eobtida tomando-se a m´edia das varia¸c˜oes m´edias das temperaturas de todos os pontos da barra, ou seja∆u =1b − a∫ ba[u(x, t1) − u(x, t0)] dx.Pelo Teorema Fundamental do C´alculo segue que∆u =1b − a∫ ba[∫ t1t0ut(x, t) dt]dx.Logo, a quantidade de calor absorvida por este segmento ´e dada porQ = cm∆u =cmb − a∫ ba∫ t1t0ut(x, t) dt dx.sendo m a massa deste segmento e c o calor espec´ıfico do material que constitui a barra. Escrevendom = ρA(b − a), onde ρ ´e a densidade da barra, e trocando a ordem dos limites de integra¸c˜ao, obtemosQ = cρA∫ t1t0∫ baut(x, t) dxdt. (2)
    • Rodney Josu´e Biezuner 7Igualando as duas express˜oes obtidas em (1) e (2) para a quantidade total de calor Q que entra nosegmento da barra entre x = a e x = b no per´ıodo de t0 at´e t1, obtemos a equa¸c˜ao do calor em sua formaintegral:cρ∫ t1t0∫ baut(x, t) dxdt = k∫ t1t0∫ bauxx(x, t) dxdt.Mas a, b, t0, t1 s˜ao arbitr´arios, logo os integrandos s˜ao necessariamente iguais e assim obtemos a equa¸c˜ao docalor na sua forma diferencialut = Kuxx, (3)onde K =kcρ´e chamada a difusividade t´ermica do material. A equa¸c˜ao (3) ´e chamada simplesmentea equa¸c˜ao do calor e representa a lei de varia¸c˜ao da temperatura u(x, t) de uma barra uniforme comsuperf´ıcie lateral termicamente isolada. Ela descreve como o calor se espalha ou se difunde com o passar dotempo, um processo f´ısico conhecido como difus˜ao. Outras quantidades f´ısicas tamb´em se difundem seguindoesta mesma equa¸c˜ao diferencial parcial (em situa¸c˜oes unidimensionais), como por exemplo a concentra¸c˜ao desubstˆancias qu´ımicas, tais como perfumes ou polutantes, e por este motivo a equa¸c˜ao (3) tamb´em ´e chamadamais geralmente de equa¸c˜ao de difus˜ao.Observa¸c˜ao: A forma diferencial da equa¸c˜ao do calor tamb´em pode ser obtida mais diretamente. De fato,diferenciando a lei de Fourierϕ(x, t) = −kux(x, t)em rela¸c˜ao a x obtemosϕx = −kuxx. (4)Por outro lado, vimos acima queQ = −∫ t1t0[ϕ(b, t) − ϕ(a, t)]A dt = cρA∫ ba∫ t1t0ut(x, t) dt dx.Agora, ao inv´es de usar a lei de Fourier na integral do lado esquerdo como fizemos acima para obter (1),usamos o Teorema Fundamental do C´alculo para escrevˆe-la na forma∫ t1t0[ϕ(b, t) − ϕ(a, t)]A dt =∫ t1t0[∫ baϕx(x, t) dx]A dt.Logo,−∫ ba∫ t1t0ϕx(x, t) dt dx = cρ∫ ba∫ t1t0ut(x, t) dt dx.Como a, b, t0, t1 s˜ao arbitr´arios, os integrandos devem ser iguais e portanto obtemos a equa¸c˜aoϕx = −cρut. (5)Igualando as express˜oes (4) e (5) para ϕx, obtemos novamente a equa¸c˜ao do calor. No entanto, ´e sempreprefer´ıvel obter a formula¸c˜ao integral, como fizemos anteriormente, e a partir dela obter a formula¸c˜ao difer-encial. A formula¸c˜ao integral tem a vantagem de valer mesmo em situa¸c˜oes em que u n˜ao ´e diferenci´avel, oumesmo descont´ınua.
    • Rodney Josu´e Biezuner 80.1.2 Algumas Formas mais Gerais para a Equa¸c˜ao do CalorPode acontecer que a condutividade t´ermica ao longo da barra n˜ao seja constante, mas dependa de x. Estasitua¸c˜ao pode ocorrer, por exemplo, se tivermos uma barra formada por v´arias barras, cada uma delasconstitu´ıda por um material diferente. Neste caso, usando a lei de Fourier como fizemos para obter (1),desta vez segue queQ =∫ t1t0A[k(b)ux(b, t) − k(a)ux(a, t)] dt,e usamos o Teorema Fundamental do C´alculo para escreverk(b)ux(b, t) − k(a)ux(a, t) =∫ ba[k(x)ux(x, t)]x dx,de modo queQ = A∫ t1t0∫ ba[k(x)ux(x, t)]x dxdt.Do mesmo modo, pode ocorrer que o calor espec´ıfico do material que constitui a barra varie com x, assimcomo a sua densidade (o que certamente ocorrer´a na situa¸c˜ao dada acima como exemplo). Logo,Q = A∫ t1t0∫ bac(x)ρ(x)ut(x, t) dxdtPortanto, nesta situa¸c˜ao, a equa¸c˜ao do calor que descreve a varia¸c˜ao da temperatura da barra com o passardo tempo se tornac(x)ρ(x)ut = [k(x)ux]x, (6)Esta equa¸c˜ao ´e chamada a equa¸c˜ao do calor na forma divergente.Pode tamb´em ocorrer que exista uma fonte interna de calor em regi˜oes da barra, devida por exemplo area¸c˜oes qu´ımicas, nucleares ou aquecimento el´etrico. Denotemosq(x, t) = quantidade de calor gerada por unidade de volume por unidade de tempo.`A quantidade total de calor Q que entra no segmento da barra entre x = a e x = b no per´ıodo de t0 at´e t1devido ao fenˆomeno de condu¸c˜ao do calor ao longo da barra, deve ser somada a quantidade de calor geradainternamente no segmento durante este per´ıodo, antes de igualar `a express˜ao obtida em (2) (isso nada mais´e que a lei de conserva¸c˜ao do calor, um caso particular da lei de conserva¸c˜ao da energia). Pela defini¸c˜ao deq(x, t), este calor gerado internamente ´e dado por∫ t1t0∫ baq(x, t)A dxdt.Portanto, temos que∫ t1t0∫ ba[kuxx(x, t) + q(x, t)] dxdt = cρ∫ t1t0∫ baut(x, t) dxdte da´ı obtemos a equa¸c˜aout = Kuxx + q(x, t). (7)Esta equa¸c˜ao ´e um exemplo de uma equa¸c˜ao de rea¸c˜ao-difus˜ao.´E claro que nada impede que as duas situa¸c˜oes acima ocorram simultaneamente. Neste caso, a equa¸c˜aocompleta que descreve o fenˆomeno da condu¸c˜ao de calor na barra ser´ac(x)ρ(x)ut = [k(x)ux]x + q(x, t). (8)
    • Rodney Josu´e Biezuner 90.1.3 Condi¸c˜ao Inicial e Condi¸c˜ao de FronteiraA equa¸c˜ao do calor (3) tem um n´umero infinito de solu¸c˜oes. Por exemplo, qualquer fun¸c˜ao constanteu(x, t) = C ou afim u(x, t) = Ax + B, onde A, B, C s˜ao quaisquer constantes reais, satisfaz (3). Umproblema fisico real, no caso obter a distribui¸c˜ao de temperaturas em uma barra, deve ter uma solu¸c˜ao´unica. Portanto, ´e necess´ario impor restri¸c˜oes adicionais sobre o problema, de modo que possamos obteruma solu¸c˜ao ´unica para a equa¸c˜ao do calor.Intuitivamente, parece ´obvio que a distribui¸c˜ao de temperaturas na barra ao longo do tempo depende dadistribui¸c˜ao inicial de temperaturas, chamada a condi¸c˜ao inicial do problema:u(x, 0) = f(x).Esta ´e a ´unica condi¸c˜ao inicial necess´aria. Matematicamente, esta necessidade ´e expressa pelo fato da equa¸c˜aodiferencial parcial (3) possuir uma derivada parcial em rela¸c˜ao ao tempo de primeira ordem (como no caso deequa¸c˜oes diferenciais ordin´arias de primeira ordem, em que ´e necess´ario saber apenas uma condi¸c˜ao inicial,o valor da fun¸c˜ao no instante inicial, para se conhecer a solu¸c˜ao ´unica da equa¸c˜ao).Al´em disso, a distribui¸c˜ao de temperaturas na barra ao longo do tempo tamb´em deve depender do quese passa nas extremidades da barra, que podem n˜ao estar isoladas termicamente e portanto podem permitira entrada ou sa´ıda de calor, influindo na distribui¸c˜ao de temperaturas da barra com o passar do tempo. Ascondi¸c˜oes nas extremidades da barra s˜ao chamadas de condi¸c˜oes de fronteira. Matematicamente, isso sedeve ao fato da equa¸c˜ao diferencial parcial (3) depender tamb´em da vari´avel x. Podemos imaginar v´ariostipos de condi¸c˜oes de fronteira para o problema da barra:1. Extremidades mantidas a temperaturas constantes:u(0, t) = T1 e u(L, t) = T2.2. Temperaturas nas extremidades variando com o tempo de acordo com fun¸c˜oes conhecidas:u(0, t) = g1(t) e u(L, t) = g2(t).3. Extremidades isoladas termicamente (ou seja, o fluxo de calor atrav´es das extremidades ´e nulo e abarra est´a completamente isolada):ux(0, t) = ux(L, t) = 0.4. Fluxo de calor atrav´es das extremidades ´e conhecido:ux(0, t) = h1(t) e ux(L, t) = h2(t).5. Combina¸c˜ao de quaisquer duas das condi¸c˜oes acima:u(0, t) = 0 e ux(L, t) = 0.Com uma condi¸c˜ao inicial e qualquer uma destas condi¸c˜oes de fronteira o problema matem´atico est´abem posto, admitindo uma ´unica solu¸c˜ao, conforme veremos em detalhes em um cap´ıtulo posterior. Umacondi¸c˜ao do tipo 1 ou 2, em que s˜ao dados valores para a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial parcial na fronteira,´e chamada uma condi¸c˜ao de Dirichlet. Uma condi¸c˜ao do tipo 3 ou 4, em que s˜ao dados valores para aderivada da solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial parcial na fronteira em rela¸c˜ao `a vari´avel espacial, ´e chamadauma condi¸c˜ao de Neumann. Uma condi¸c˜ao mista, envolvendo tanto o valor da solu¸c˜ao como o de suaderivada espacial na fronteira, exemplificada pela condi¸c˜ao do tipo 5, ´e chamada uma condi¸c˜ao de Robin.
    • Rodney Josu´e Biezuner 10Observa¸c˜ao: O fato da equa¸c˜ao do calor (3) ter uma derivada parcial em rela¸c˜ao `a vari´avel x de segundaordem n˜ao tem nada a ver com o fato de precisarmos de duas condi¸c˜oes de fronteira. Este fato ´e simples-mente uma conseq¨uˆencia da fronteira de um segmento ser formada por dois pontos (no caso, a fronteira dosegmento [0, L] ´e formada pelos pontos 0 e L). Na verdade, essencialmente temos apenas uma condi¸c˜ao defronteira; o que ocorre ´e que, no caso de um segmento, a fronteira ´e desconexa e esta condi¸c˜ao de fronteira´e mais facilmente expressa por duas senten¸cas. Este conceito ficar´a mais claro quando estudarmos equa¸c˜oesdiferenciais parciais em regi˜oes do plano e do espa¸co.Uma condi¸c˜ao de fronteira de grande interesse pr´atico ocorre quando a barra est´a em contato com umfluido em movimento, como ar ou ´agua. Como exemplo desta situa¸c˜ao, imagine uma barra quente emcontato com ar mais frio em movimento. Calor deixa a barra, aquecendo o ar, que leva o calor embora,sendo substituido por ar mais frio, no conhecido processo de convec¸c˜ao. Experimentos mostram que o fluxodo calor que deixa a barra ´e proporcional `a diferen¸ca de temperatura entre a barra e a temperatura exterior:Kux(0, t) = H[u(0, t) − T];T ´e a temperatura externa e a constante de proporcionalidade H ´e chamada o coeficiente de transferˆencia decalor ou coeficiente de convec¸c˜ao. Esta ´e a chamada lei de resfriamento de Newton. Note que esta condi¸c˜aode fronteira envolve uma combina¸c˜ao linear entre u e ux e ´e uma condi¸c˜ao de Robin. Como pela lei deFourier o fluxo de calor ´e dado por ϕ = −kux, temos que ϕ(0, t) = −kH[u(0, t) − T], de modo que se a barraest´a mais quente que o ambiente exterior (u(0, t) > T), o fluxo ´e negativo, isto ´e, na dire¸c˜ao negativa do eixox, saindo da extremidade da barra localizada em x = 0 para o ambiente externo, e vice-versa. Por causadisso, no caso da outra extremidade, localizada no ponto x = L, a lei de resfriamento de Newton deve ent˜aoser escrita na formaKux(L, t) = −H[u(L, t) − T].A constante H depende do material que forma a barra e das propriedades do fluido (tais como sua velocidade).0.2 Solu¸c˜ao do Modelo Matem´atico: M´etodo de Separa¸c˜ao deVari´aveis e S´eries de FourierO modelo matem´atico que obtivemos para a distribui¸c˜ao de temperaturas em uma barra cuja superf´ıcielateral est´a isolada termicamente com o passar do tempo ´e uma equa¸c˜ao diferencial parcial com condi¸c˜aoinicial e condi¸c˜ao de fronteira. Vamos tentar resolver o problema espec´ıfico em que as extremidades dabarra est˜ao mantidas `a temperatura constante igual a 0 (correspondente `a condi¸c˜ao de Dirichlet 1 da se¸c˜aoanterior, chamada de condi¸c˜ao de Dirichlet homogˆenea):ut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,u(x, 0) = f(x) se 0 x L,u(0, t) = u(L, t) = 0. se t 0.(9)Tentaremos resolver este problema pelo chamado m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis. No m´etodo desepara¸c˜ao de vari´aveis, supomos que a solu¸c˜ao u(x, t) do problema pode ser escrita como o produto de duasfun¸c˜oes de uma vari´avel, uma dependendo apenas de x e a outra dependendo apenas de t:u(x, t) = F(x)G(t). (10)Esta ´e apenas uma suposi¸c˜ao, que pode ou n˜ao ser correta (na verdade, veremos que em geral esta suposi¸c˜aoest´a errada, mas ainda assim ela nos ajudar´a a encontrar a solu¸c˜ao correta para o problema). A vantagemde fazer esta suposi¸c˜ao ´e que ela simplifica consideravelmente o problema, transformando um problema deresolver uma equa¸c˜ao diferencial parcial, que n˜ao sabemos como fazer, em um problema de resolver uma
    • Rodney Josu´e Biezuner 11equa¸c˜ao diferencial ordin´aria, que sabemos como fazer. De fato, substituindo (10) na equa¸c˜ao do calor,obtemosF(x)G′(t) = KF′′(x)G(t)dondeF′′(x)F(x)=1KG′(t)G(t).Note que o lado esquerdo desta equa¸c˜ao depende apenas de x, enquanto que o lado direito depende apenasde t. Isso s´o pode ser poss´ıvel se na verdade ambos os lados forem independentes de x e t, isto ´e,F′′(x)F(x)= σ e1KG′(t)G(t)= σonde σ ∈ R ´e uma constante. Portanto o problema se reduz a resolver duas equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias:• A equa¸c˜ao diferencial de segunda ordemF′′(x) − σF(x) = 0 (11)para 0 < x < L.• A equa¸c˜ao diferencial de primeira ordemG′(t) − σKG(t) = 0 (12)para t > 0.Vamos resolver primeiro (11). Fazemos isso, apesar dela ser uma equa¸c˜ao mais complexa que (12), porqueas condi¸c˜oes de fronteira de (9) implicam que F satisfaz as condi¸c˜oesF(0) = F(L) = 0. (13)De fato, a condi¸c˜ao de fronteira u(0, t) = 0 implica que F(0)G(t) = 0 para todo t > 0, o que por sua vezimplica que F(0) = 0 (a menos que G(t) = 0 para todo t, o que significaria que u ≡ 0, uma solu¸c˜ao que n˜aonos interessa, exceto no caso raro em que a condi¸c˜ao inicial seja tamb´em f ≡ 0); similarmente a condi¸c˜aode fronteira u(L, t) = F(L)G(t) = 0 implica que F(L) = 0. A condi¸c˜ao (13) restringe as solu¸c˜oes de (11), oque ultimamente limitar´a os valores poss´ıveis de σ. Em princ´ıpio, h´a trˆes solu¸c˜oes poss´ıveis, dependendo dosinal de σ:1. σ > 0 : Neste caso, a solu¸c˜ao geral de (11) ´e da formaF(x) = c1e√σx+ c2e−√σx.Logo, a condi¸c˜ao (13) implica que as constantes reais c1, c2 devem satisfazer o sistema{c1 + c2 = 0c1e√σL+ c2e−√σL= 0.Mas a ´unica solu¸c˜ao deste sistema ´e c1 = c2 = 0, o que levaria a F ≡ 0 e portanto u ≡ 0, solu¸c˜ao quen˜ao nos interessa.2. σ = 0 : A solu¸c˜ao geral de (11) neste caso ´e da formaF(x) = c1x + c2.A condi¸c˜ao (13) implica que as constantes reais c1, c2 devem satisfazer o sistema{c2 = 0c1L + c2 = 0.cuja ´unica solu¸c˜ao tamb´em ´e c1 = c2 = 0 e novamente F ≡ 0, o que n˜ao nos interessa.
    • Rodney Josu´e Biezuner 123. σ < 0 : Denotando λ =√−σ, a solu¸c˜ao geral de (11) neste ´ultimo caso ´e da formaF(x) = c1 cos λx + c2 sen λx.A condi¸c˜ao (13) implica que as constantes reais c1, c2 devem satisfazer o sistema{c1 = 0c2 sen λL = 0.Como n˜ao queremos c2 = 0, devemos ter sen λL = 0, o que implica λL = nπ, onde n ∈ N pode ser uminteiro positivo qualquer.Portanto, para cada valor de n uma solu¸c˜ao n˜ao nula para o problema (11), (13) ´e da formaFn(x) = sennπLx, (14)por este motivo chamada uma autofun¸c˜ao para o problema (11),(13) associada ao autovalor−σ = λ2n =n2π2L2. (15)A equa¸c˜ao (12) ´e imediatamente resolvida atrav´es de uma integra¸c˜ao simples. A solu¸c˜ao de (12) ´e daformaG(t) = ceσKt,onde c ∈ R ´e uma constante real. Como os valores de σ para que o problema (9) tenha solu¸c˜oes n˜ao nulass˜ao os dados em (15), segue que para cada valor de n temos uma solu¸c˜ao relevante de (12) dada por (a menosda constante)Gn(x) = e− n2π2L2 Kt. (16)Segue que para cada n = 1, 2, 3, . . ., temos uma fun¸c˜aoun(x, t) = e− n2π2L2 KtsennπLxque ´e uma solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao diferencial parcial do problema (9) satisfazendo `as suas condi¸c˜oes defronteira.Por outro lado, precisamos de uma solu¸c˜ao que tamb´em satisfa¸ca `a condi¸c˜ao inicial u(x, 0) = f(x). Logo,as solu¸c˜oes que encontramos s´o funcionam se a fun¸c˜ao f(x) tem uma forma muito particular, ou seja, sef(x) for um m´ultiplo escalar da fun¸c˜ao seno. Por exemplo,se f(x) = 3 senπLx, ent˜ao (9) tem solu¸c˜ao u(x, t) = 3u1;se f(x) = 17 sen5πLx, ent˜ao (9) tem solu¸c˜ao u(x, t) = 17u5.´E ´obvio que isso raramente ocorre.Na verdade, por´em, ainda podemos obter solu¸c˜oes para o problema (9) a partir destas solu¸c˜oes se f(x)for apenas uma combina¸c˜ao linear de senos. Por exemplo,se f(x) = 3 senπLx + 25 sen9πLx, ent˜ao (9) tem solu¸c˜ao u(x, t) = 3u1 + 25u9;se f(x) = 4 sen2πLx −23sen22πLx +√5 sen901πLx, ent˜ao (9) tem solu¸c˜ao u(x, t) = 4u2 −23u22 +√5u901.Isso ´e verdade porque a equa¸c˜ao do calor ´e uma equa¸c˜ao linear, o que significa que combina¸c˜oes linearesde solu¸c˜oes da equa¸c˜ao diferencial s˜ao tamb´em solu¸c˜oes da equa¸c˜ao diferencial e, al´em disso, as condi¸c˜oes
    • Rodney Josu´e Biezuner 13de fronteira de (9) s˜ao homogˆeneas, logo combina¸c˜oes lineares de solu¸c˜oes que satisfazem as condi¸c˜oesde fronteira continuam satisfazendo as condi¸c˜oes de fronteira (isso pode ser imediatamente verificado e ´edeixado para o leitor se convencer). Assim, qualquer express˜ao da forma (isto ´e, qualquer combina¸c˜ao linearde solu¸c˜oes)u(x, t) =N∑n=1cnun(x, t)´e uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao do calor satisfazendo as condi¸c˜oes de fronteira em (9). Em particular, sef(x) =N∑n=1cn sennπLx,segue queu(x, t) =N∑n=1cne− n2π2L2 KtsennπLx (17)´e uma solu¸c˜ao do problema (9).Mas, na maioria dos casos, f n˜ao ´e uma combina¸c˜ao linear de senos. Ent˜ao Fourier teve a id´eia brilhantede tomar “combina¸c˜oes lineares infinitas”, isto ´e, s´eries infinitas, assumindo que toda fun¸c˜ao pode ser escritacomo uma s´erie infinita de senos. Em outras palavras, assumindo que podemos escrever toda fun¸c˜ao f naformaf(x) =∞∑n=1cn sennπLxpara certos coeficientes bem determinados cn, o que atualmente chamamos a s´erie de Fourier de f, ent˜ao ocandidato para solu¸c˜ao do problema de valor inicial e de condi¸c˜ao de fronteira (9) seria a fun¸c˜aou(x, t) =∞∑n=1cne− n2π2L2 KtsennπLx. (18)Isso nos leva imediatamente `as seguintes indaga¸c˜oes:1. Ser´a que toda fun¸c˜ao f(x) realmente pode ser escrita como uma s´erie de Fourier?2. Se a resposta `a pergunta anterior for negativa, quais s˜ao as fun¸c˜oes que possuem s´eries de Fourier?Ser´a que elas formam uma classe suficientemente grande para abranger todas ou uma quantidadesignificativa das fun¸c˜oes que surgem nos problemas pr´aticos?3. Mesmo que f(x) possa ser representada por uma s´erie de Fourier, ser´a que a s´erie definida acima parau(x, t) converge para uma fun¸c˜ao diferenci´avel em t e duas vezes diferenci´avel em x que ´e a solu¸c˜ao de(9)?Estas perguntas mostram a necessidade de se desenvolver uma teoria para as s´eries de Fourier. Faremos issono pr´oximo cap´ıtulo.Observa¸c˜ao: Note que nem o candidato `a solu¸c˜ao (18), e nem mesmo a solu¸c˜ao (17), s˜ao produtos de duasfun¸c˜oes de uma vari´avel, uma dependendo apenas de x e outra dependendo apenas de t (elas s˜ao na realidadesomas de produtos de fun¸c˜oes de uma vari´avel, soma finita em um caso, soma infinita no outro). Portanto asuposi¸c˜ao inicial de que partimos no m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis ´e errada para a maioria das condi¸c˜oesiniciais, a n˜ao ser que elas sejam m´ultiplos de sen(nπx/L). Mas, usando a linearidade da equa¸c˜ao do calor,pudemos usar as solu¸c˜oes obtidas atrav´es do m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis e a partir delas construir asolu¸c˜ao para o problema geral. Este ´e um m´etodo frequentemente usado em ciˆencias exatas: simplificar umproblema complexo atrav´es de uma suposi¸c˜ao simplificadora que em geral n˜ao ´e v´alida, mas, a partir dasolu¸c˜ao para o problema simplificado, construir a solu¸c˜ao correta para o problema complicado.
    • Rodney Josu´e Biezuner 140.3 Exerc´ıcios1. Mostre que a equa¸c˜ao do calor ´e linear, isto ´e, se u1(x, t) e u2(x, t) s˜ao solu¸c˜oes da equa¸c˜ao diferencialparcial ut = Kuxx, ent˜ao au1(x, t) + bu2(x, t) tamb´em ´e, quaisquer que sejam a, b ∈ R. Al´em disso, seelas satisfazem as condi¸c˜oes de fronteira homogˆeneas u(0, t) = u(L, t) = 0, ent˜ao au1(x, t) + bu2(x, t)tamb´em satisfaz.2. Mostre que a equa¸c˜ao mais geral do calor, c(x)ρ(x)ut = [K(x)ux]x + q(x, t), tamb´em ´e uma equa¸c˜aolinear.3. Proceda como fizemos no texto e encontre um candidato `a solu¸c˜ao para o seguinte problema de valorinicial com condi¸c˜ao de fronteira de Neumann homogˆenea:ut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,ux(0, t) = ux(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = f(x) se 0 x L.
    • Cap´ıtulo 1S´eries de FourierPara determinar a possibilidade de uma determinada fun¸c˜ao poder ser expressa como uma s´erie de Fourier,bem como para obter os coeficientes da s´erie de Fourier da fun¸c˜ao quando isso ocorrer, precisamos estudarcertas propriedades das fun¸c˜oes seno e cosseno.1.1 Propriedades das Fun¸c˜oes Seno e Cosseno1.1.1 Periodicidade1.1 Defini¸c˜ao. Uma fun¸c˜ao f : R −→ R ´e peri´odica se existe T ∈ R, T ̸= 0, tal que f(x + T) = f(x) paratodo x ∈ R. O n´umero real T ´e chamado um per´ıodo para a fun¸c˜ao f.Claramente, se T ´e um per´ıodo para a fun¸c˜ao f, ent˜ao qualquer m´ultiplo inteiro de T tamb´em ´e um per´ıodopara f: 2T, −2T, 3T, −3T, 4T, −4T, etc. Por exemplo,f(x + 3T) = f((x + 2T) + T) = f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).1.2 Defini¸c˜ao. O menor per´ıodo positivo de uma fun¸c˜ao peri´odica f ´e chamado o per´ıodo fundamentalde f.Em geral, o per´ıodo fundamental de uma fun¸c˜ao peri´odica ´e chamado simplesmente de o per´ıodo da fun¸c˜ao.1.3 Exemplo. a) As fun¸c˜oes seno e cosseno s˜ao peri´odicas e ambas tˆem per´ıodo 2π.b) Fun¸c˜oes constantes s˜ao fun¸c˜oes peri´odicas que n˜ao possuem per´ıodo fundamental, pois qualquern´umero real n˜ao nulo ´e um per´ıodo para a fun¸c˜ao constante, logo n˜ao existe um menor per´ıodo positivo.Do mesmo modo, a fun¸c˜aof(x) ={1 se x ´e racional,0 se x ´e irracional,´e uma fun¸c˜ao peri´odica que n˜ao possui per´ıodo fundamental, pois todo n´umero racional n˜ao nulo ´e umper´ıodo para f (mas observe que n´umeros irracionais n˜ao s˜ao per´ıodos para f).c) A fun¸c˜ao f(x) = x − [x], onde [x] ´e a fun¸c˜ao piso, isto ´e, [x] ´e maior inteiro menor que ou igual ax, ´e peri´odica de per´ıodo 1.15
    • Rodney Josu´e Biezuner 16−3 −2 −1 0 1 2 3−1−0.500.511.52Figura 1.1. f(x) = x − [x].d) Podemos encontrar uma infinidade de exemplos de fun¸c˜oes peri´odicas, simplesmente definindo umafun¸c˜ao em um intervalo de comprimento T e declarando que ela ´e peri´odica de per´ıodo T, desta formadefinindo ela na reta toda. Ou seja, suponha que a fun¸c˜ao f foi inicialmente definida no intervalo Ide comprimento T; dado x ∈ R, se x /∈ I determine um inteiro k tal que x + kT ∈ I (k ´e positivo se xest´a localizado `a esquerda do intervalo I e negativo se x est´a `a direita de I) e definaf(x) = f(x + kT).Desta forma, definimos uma fun¸c˜ao f na reta toda que ´e automaticamente peri´odica de per´ıodo T. Porexemplo, podemos definir uma fun¸c˜ao g porg(x) ={−x se − L x < 0,x se 0 x < L,e declar´a-la peri´odica de per´ıodo 2L.−6 −4 −2 0 2 4 6−10123Figura 1.2. L = 2.Para que a defini¸c˜ao desta extens˜ao peri´odica seja consistente, observe que o intervalo I deve ser fechadoem um extremo e aberto no outro ou, se o intervalo I for fechado nos dois extremos, a fun¸c˜ao deve teros mesmos valores nestes extremos.Com rela¸c˜ao aos per´ıodos das fun¸c˜oes que constituem a s´erie de Fourier, fazemos a seguinte importanteobserva¸c˜ao:1.4 Proposi¸c˜ao. As fun¸c˜oes sennπxLe cosnπxLtˆem per´ıodo fundamental igual a2Ln.Prova. De fato, na verdade vale a seguinte afirma¸c˜ao mais geral: para qualquer valor α ∈ R, α ̸= 0,sen αx e cos αx tˆem per´ıodo fundamental igual a2πα.
    • Rodney Josu´e Biezuner 17Isso pode ser determinado atrav´es do argumento a seguir. Queremos encontrar o menor valor positivo de Tpara o qual valesen α(x + T) = sen αx para todo x ∈ R,ou seja,sen αx cos αT + cos αx sen αT = sen αx para todo x ∈ R.Para determinar αT, o que consequentemente determinar´a T, basta obter os valores de sen αT e cos αT,pois um ˆangulo fica completamente determinado quando se conhece os valores de seu seno e de seu cosseno,a menos de m´ultiplos de 2π. Para isso, observamos que a equa¸c˜ao acima ´e v´alida para qualquer valor de x.Em particular, substituindo o valor x = 0 na express˜ao acima, obtemos (j´a que sen 0 = 0 e cos 0 = 1)sen αT = 0,e conclu´ımos que αT deve ser um m´ultiplo de π. Agora, substituindo o valor x =π2αna express˜ao acima,obtemos (j´a que senπ2= 1 e cosπ2= 0)cos αT = 1.Logo, αT ´e necessariamente um m´ultiplo de 2π. Como queremos o menor valor positivo de T, segue queαT = 2πe, portanto,T =2πα.A mesma conclus˜ao vale para a fun¸c˜ao cos αx, j´a que a fun¸c˜ao cosseno nada mais ´e que a fun¸c˜ao seno defasadaπ/2.1.5 Corol´ario. As fun¸c˜oes sennπxLe cosnπxLtˆem um per´ıodo em comum, igual a 2L.Prova. Como qualquer m´ultiplo inteiro do per´ıodo fundamental ´e um per´ıodo, segue do resultado anteriorque n ·2Ln= 2L ´e um per´ıodo comum para sennπxLe cosnπxL.sin(x)sin(2*x)sin(3*x)1 2 3 4 5 6−1.0−0.50.00.51.0xycos(x)cos(2*x)cos(3*x)1 2 3 4 5 6−1.0−0.50.00.51.0xyFigura 1.3. Gr´aficos de sen nx e cos nx para n = 1, 2, 3 (L = π).
    • Rodney Josu´e Biezuner 181.1.2 Rela¸c˜oes de OrtogonalidadePara o c´alculo dos coeficientes da s´erie de Fourier de uma fun¸c˜ao (quando existir), as seguintes rela¸c˜oes deortogonalidade entre as fun¸c˜oes sennπxLe cosnπxLdesempenham um papel fundamental:∫ L−LcosnπxLsenmπxLdx = 0 para todos n, m;∫ L−LcosnπxLcosmπxLdx ={L se n = m,0 se n ̸= m;∫ L−LsennπxLsenmπxLdx ={L se n = m,0 se n ̸= m.Estas rela¸c˜oes podem ser obtidas atrav´es de integra¸c˜ao direta e uso das identidades trigonom´etricas. Porexemplo, se n ̸= m, escrevemos∫ L−LsennπxLsenmπxLdx =12∫ L−L[cos(n − m)πxL− cos(n + m)πxL]dx=121π[1n − msen(n − m)πxL−1n + msen(n + m)πxLL−L= 0.Se n = m, escrevemos∫ L−LsennπxLsenmπxLdx =∫ L−L(sennπxL)2dx =12∫ L−L[1 − cos2nπxL]dx=12[x −L2nπsen2nπxLL−L= L.1.1.3 Produto Interno no Espa¸co das Fun¸c˜oes Quadrado-Integr´aveisO nome rela¸c˜oes de ortogonalidade deve-se ao fato de que as express˜oes acima significam que as fun¸c˜oessennπxLe cosnπxLs˜ao ortogonais no espa¸co vetorial das fun¸c˜oes quadrado-integr´aveis definidas no intervalo[−L, L]. De fato, no espa¸coL2([a, b]) ={u : [a, b] −→ R :∫ bau2(x) dx < ∞}das fun¸c˜oes definidas no intervalo [a, b] cujo quadrado ´e integr´avel, podemos definir um produto interno por⟨u, v⟩ =∫ bau(x)v(x) dx.Porque as fun¸c˜oes s˜ao quadrado-integr´aveis, a integral acima est´a bem definida e ´e finita. De fato, comopara quaisquer A, B ∈ R vale a desigualdade 2AB A2+ B2, segue que∫ bau(x)v(x) dx12∫ bau2(x) dx +12∫ bav2(x) dx < ∞.
    • Rodney Josu´e Biezuner 19Como o ˆangulo entre dois vetores ´e definido por(u, v) = arccos⟨u, v⟩∥u∥ ∥v∥,segue que duas fun¸c˜oes s˜ao ortogonais se∫ bau(x)v(x) dx = 0.1.2 C´alculo dos coeficientes da s´erie de FourierSuponha que possamos expressar uma fun¸c˜ao f : R → R na formaf(x) =a02+∞∑n=1(an cosnπxL+ bn sennπxL), (1.1)ou seja, que a s´erie no lado direito seja convergente e convirja para a fun¸c˜ao f em todo ponto x ∈ R. Olado direito da express˜ao acima ´e chamado a s´erie de Fourier de f. [O motivo de termos escrito a02 aoinv´es de simplesmente a0 ficar´a claro a seguir.] Em particular, f tem que ser peri´odica com per´ıodo 2L,pois este ´e o per´ıodo comum das fun¸c˜oes sennπxLe cosnπxL; portanto, fun¸c˜oes definidas na reta toda quen˜ao satisfazem esta condi¸c˜ao n˜ao possuem s´eries de Fourier. Suponha, al´em disso, que a fun¸c˜ao f sejaintegr´avel no intervalo [−L, L] e que a s´erie do lado direito possa ser integrada termo a termo. Das rela¸c˜oesde ortogonalidade (observando que a fun¸c˜ao identicamente 1 corresponde a cosnπxLpara n = 0) segue que∫ L−Lf(x) dx =a02∫ L−Ldx +∞∑n=1(an∫ L−LcosnπxLdx + bn∫ L−LsennπxLdx)= a0L,dondea0 =1L∫ L−Lf(x) dx. (1.2)Os outros coeficientes tamb´em podem ser obtidos facilmente explorando as rela¸c˜oes de ortogonalidade. Mul-tiplicando ambos os lados da equa¸c˜ao (1.1) por cosnπxLe integrando de −L a L, obtemos∫ L−Lf(x) cosnπxLdx =a02∫ L−LcosnπxLdx +∞∑m=1(am∫ L−LcosmπxLcosnπxLdx + bm∫ L−LsenmπxLcosnπxLdx)= anL,dondean =1L∫ L−Lf(x) cosnπxLdx. (1.3)[Por este motivo escrevemos o termo constante da s´erie de Fourier na forma a02 : deste modo, a f´ormula paraos coeficientes an ´e a mesma, independente se n = 0 ou n ̸= 0.] Analogamente, multiplicando ambos os ladosda equa¸c˜ao (1.1) por sennπxLe integrando de −L a L, obtemosbn =1L∫ L−Lf(x) sennπxLdx. (1.4)
    • Rodney Josu´e Biezuner 201.6 Exemplo. Admitindo que existe uma s´erie de Fourier que convirja para a fun¸c˜ao abaixo, calcule os seuscoeficientes.f(x) =−x se − L x 0,x se 0 x < L,´e peri´odica de per´ıodo 2L.Solu¸c˜ao. Temosa0 =1L∫ L−Lf(x) dx =1L[−∫ 0−Lx dx +∫ L0x dx]=1L(L22+L22)= L.Os outros coeficientes podem ser calculados atrav´es de integra¸c˜ao por partes. Temosan =1L∫ L−Lf(x) cosnπxLdx =1L[−∫ 0−Lx cosnπxLdx +∫ L0x cosnπxLdx]=1L[(−Lnπx sennπxL0−L+Lnπ∫ 0−LsennπxLdx)+(Lnπx sennπxLL0−Lnπ∫ L0sennπxLdx)]=1L[−L2n2π2cosnπxL0−L+L2n2π2cosnπxLL0]=1L[−L2n2π2+L2n2π2cos nπ +L2n2π2cos nπ −L2n2π2]=2Ln2π2(cos nπ − 1)={0 se n ´e par,−4Ln2π2se n ´e ´ımpar.ebn =1L∫ L−Lf(x) sennπxLdx =1L[−∫ 0−Lx sennπxLdx +∫ L0x sennπxLdx]=1L[(Lnπx cosnπxL0−L−Lnπ∫ 0−LcosnπxLdx)+(−Lnπx cosnπxLL0+Lnπ∫ L0cosnπxLdx)]=1L[L2nπcos nπ −L2n2π2sennπxL0−L−L2nπcos nπ +L2n2π2sennπxLL0]= 0.Portanto,f(x) =L2−4Lπ2∞∑n=11(2n − 1)2cos(2n − 1)πxL.Observe que a s´erie do lado direito ´e convergente em todo ponto x, j´a que os coeficientes diminuem naraz˜ao de1(2n − 1)2, cos(2n − 1)πxL1 e a s´erie∑∞n=11n2 ´e sabidamente convergente.Veja na Figura 1.3 a seguir os gr´aficos das somas parciais da s´erie de Fourier de f desde n = 1 at´en = k para k = 1, 2, 3, 4, 5 e 10. Observe como a convergˆencia ´e bastante r´apida. Para k = 10 a somaparcial da s´erie de Fourier de f ´e virtualmente indistinguivel de f dentro da resolu¸c˜ao utilizada.
    • Rodney Josu´e Biezuner 21−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 500.20.40.60.811.21.41.61.82k = 1−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 500.20.40.60.811.21.41.61.82k = 2−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 500.20.40.60.811.21.41.61.82k = 3−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 500.20.40.60.811.21.41.61.82k = 4−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 500.20.40.60.811.21.41.61.82k = 5−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 500.20.40.60.811.21.41.61.82k = 10Figura 1.4. Somas parciais da s´erie de Fourier da fun¸c˜ao f.Por outro lado, a convergˆencia ´e mais lenta nas quinas, isto ´e, nos pontos onde f n˜ao ´e diferenci´avel.Para perceber isso melhor, considere x = L = π, de modoπ =π2−4π∞∑n=11(2n − 1)2cos(2n − 1)πouπ28=∞∑n=11(2n − 1)2= 1 +19+125+149+ . . .
    • Rodney Josu´e Biezuner 22Enquanto que π = 3.1415926536 ´e uma aproxima¸c˜ao para π com 10 casas decimais, temos:8k∑n=11(2n − 1)2=3.141274327 se k = 1000,3.141589470 se k = 100000,3.141592335 se k = 1000000.1.3 Teorema de FourierVamos determinar condi¸c˜oes suficientes para que uma fun¸c˜ao f possua uma s´erie de Fourier e para que estaconvirja para f na maioria dos pontos de seu dom´ınio.Primeiramente, a condi¸c˜ao para que a s´erie de Fourier de f exista (mesmo que ela possa n˜ao convergirpara f em nenhum ponto). Considere uma fun¸c˜ao f : R −→ R peri´odica de per´ıodo 2L e absolutamenteintegr´avel no intervalo [−L, L]. Ent˜ao os coeficientes de Fourier de fan =1L∫ L−Lf(x) cosnπxLdx, n = 0, 1, 2, . . . ,bn =1L∫ L−Lf(x) sennπxLdx, n = 1, 2, . . . ,est˜ao bem definidos, pois∫ L−L|f(x)| dx < ∞e∫ L−Lf(x) cosnπxLdx∫ L−L|f(x)| cosnπxLdx <∫ L−L|f(x)| dx < ∞,∫ L−Lf(x) sennπxLdx∫ L−L|f(x)| sennπxLdx <∫ L−L|f(x)| dx < ∞.Podemos portanto formalmente construir a s´eriea02+∞∑n=1(an cosnπxL+ bn sennπxL).A pr´oxima quest˜ao ´e saber para que pontos x esta s´erie converge e se nestes pontos ela converge para o valorf(x).1.3.1 Fun¸c˜oes Cont´ınuas por Partes1.7 Defini¸c˜ao. Uma fun¸c˜ao real f ´e cont´ınua por partes no intervalo [a, b] se existir um n´umero finitode pontos a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b tais que(i) f ´e cont´ınua em cada subintervalo [xi−1, xi], i = 1, . . . , n;(ii) existem os limites laterais `a esquerda e `a direita nos extremos de cada subintervalo.1.8 Exemplo. a) A fun¸c˜aof(x) =−1 se n < x < n + 1 e n ´e ´ımpar,0 se x = n ∈ Z,1 se n < x < n + 1 e n ´e par.
    • Rodney Josu´e Biezuner 23´e cont´ınua por partes em qualquer intervalo fechado da reta. Seus pontos de descontinuidade s˜ao ospontos com valores inteiros e os limites laterais nestes pontos s˜ao −1 e 1.−3 −2 −1 1 2 3−1.0−0.50.51.0xyFigura 1.5b) A fun¸c˜aog(x) =1 se x < 0,0 se x = 0,sen1xse x > 0,n˜ao ´e cont´ınua por partes no intervalo [−1, 1] pois n˜ao existe o limite lateral `a direita em x = 0.−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−1.0−0.8−0.6−0.4−0.20.20.40.60.81.0xyFigura 1.6c) Similarmente, a fun¸c˜aoh(x) =1|x|se x < 0,0 se x = 0,1 se x > 0,n˜ao ´e cont´ınua por partes no intervalo [−1, 1], pois n˜ao existe o limite lateral `a esquerda em x = 0.
    • Rodney Josu´e Biezuner 24−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5246810121416xyFigura 1.71.3.2 O Teorema de Fourier1.9 Teorema. (Teorema de Fourier) Seja f : R −→ R uma fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo 2L, tal que f e f′s˜ao cont´ınuas por partes no intervalo [−L, L]. Ent˜ao a s´erie de Fourier de fa02+∞∑n=1(an cosnπxL+ bn sennπxL)ondean =1L∫ L−Lf(x) cosnπxLdx, n = 0, 1, 2, . . . ,bn =1L∫ L−Lf(x) sennπxLdx, n = 1, 2, . . . ,converge para f(x) se f ´e cont´ınua em x e para a m´edia dos limites lateraisf(x+) + f(x−)2se f ´edescont´ınua em x.Observe que se f ´e cont´ınua em x, ent˜ao a m´edia dos limites laterais de f em x ´e exatamente igual a f(x); oteorema poderia ter sido enunciado em uma forma mais compacta simplesmente afirmando que se f satisfazas condi¸c˜oes do enunciado, ent˜ao a s´erie de Fourier de f converge sempre para a m´edia dos limites lateraisf(x+) + f(x−)2.1.10 Exemplo. a) Definaf(x) ={x2sen1xse x ̸= 0,0 se x = 0.Observe que f ´e cont´ınua (limx→0x2sen1x= 0), mas f′n˜ao ´e cont´ınua por partes, pois apesar da derivadaexistir em x = 0, n˜ao existe nenhum dos limites laterais da derivada em x = 0:f′(x) ={2x sen1x− cos1xse x ̸= 0,0 se x = 0.
    • Rodney Josu´e Biezuner 25−0.3 −0.2 −0.1 0.1 0.2 0.3−0.05−0.04−0.03−0.02−0.010.010.020.030.040.05xy−0.3 −0.2 −0.1 0.1 0.2 0.3−1.0−0.8−0.6−0.4−0.20.20.40.60.81.0xyFigura 1.8: Gr´aficos de f (acima) e f′(abaixo).b) (Onda quadrada) Defina f : R −→ R porf(x) ={0 se − L < x < 0,L se 0 < x < L,e f peri´odica de per´ıodo 2L. Observe que f satisfaz as hip´oteses do teorema de Fourier, j´a que suaderivada ´e a fun¸c˜ao identicamente nula, exceto nos pontos m´ultiplos de L, onde a derivada n˜ao existe.
    • Rodney Josu´e Biezuner 26−3 −2 −1 0 1 2 30.51.0xyFigura 1.9: L = 1.Vamos calcular a s´erie de Fourier de f. Temosa0 =1L∫ L−Lf(x) dx =∫ L0dx = L,an =1L∫ L−Lf(x) cosnπxLdx =∫ L0cosnπxLdx =LnπsennπxLL0= 0,bn =1L∫ L−Lf(x) sennπxLdx =∫ L0sennπxLdx = −LnπcosnπxLL0=Lnπ(1 − cos nπ)={0 se n ´e par,2Lnπse n ´e ´ımpar.Portanto,f(x) =L2+2Lπ∞∑n=112n − 1sen(2n − 1)πxL.−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5123xyFigura 1.10: Gr´afico das somas parciais desde n = 1 at´e n = k para k = 1, 2, 3, 4, 5 (L = π).
    • Rodney Josu´e Biezuner 27−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5123xyFigura 1.11: Gr´afico da soma parcial desde n = 1 at´e n = 10 (L = π).Para os valores de descontinuidade (x = kL, k ∈ Z), os senos se anulam e a s´erie de Fourier de f temvalor igual a L/2, exatamente a m´edia dos limites laterais nestes pontos. Nos demais pontos, a s´eriede Fourier converge para f, mas com uma convergˆencia lenta, j´a que os seus coeficientes s˜ao da ordemde 1/(2n − 1).c) (Onda triangular) Defina g : R −→ R porg(x) ={−x se − L x < 0,x se 0 x < L,e g peri´odica de per´ıodo 2L. Observe que g ´e cont´ınua e diferenci´avel por partes (isto ´e, g′´e cont´ınuapor partes), logo a s´erie de Fourier de g converge para g em todo ponto. A s´erie de Fourier de g foicalculada no Exemplo 1.6.1.4 S´eries de Fourier de Fun¸c˜oes Pares e ´Impares1.4.1 Fun¸c˜oes Pares e ´ImparesFun¸c˜oes pares e fun¸c˜oes ´ımpares tˆem s´eries de Fourier mais simples que as de outras fun¸c˜oes.1.11 Defini¸c˜ao. Uma fun¸c˜ao real f : R −→ R ´e par se f(−x) = f(x); f ´e ´ımpar se f(−x) = −f(x).1.12 Exemplo. a) As fun¸c˜oes constantes, |x|, x2, x4, x2ne cosnπxLpara qualquer n ∈ N, ex2, s˜ao fun¸c˜oespares.b) As fun¸c˜oes x, x3, x2n+1e sennπxLpara qualquer n ∈ N, s˜ao fun¸c˜oes ´ımpares.c) As fun¸c˜oes ex, x2+ x + 1 n˜ao s˜ao nem pares, nem ´ımpares.1.13 Proposi¸c˜ao. (Propriedades elementares das fun¸c˜oes pares e ´ımpares)(i) A soma de duas fun¸c˜oes pares ´e uma fun¸c˜ao par; a soma de duas fun¸c˜oes ´ımpares ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar.(ii) A soma de uma fun¸c˜ao par e uma fun¸c˜ao ´ımpar n˜ao ´e par, nem ´ımpar (a n˜ao ser que uma delas seja afun¸c˜ao nula).(iii) O produto de duas fun¸c˜oes pares ´e uma fun¸c˜ao par; o produto de duas fun¸c˜oes ´ımpares ´e uma fun¸c˜aopar.
    • Rodney Josu´e Biezuner 28(iv) O produto de uma fun¸c˜ao par e uma fun¸c˜oes ´ımpar ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar.Prova: A verifica¸c˜ao destas propriedades ´e muito f´acil: por exemplo, se f e g s˜ao ´ımpares, ent˜ao(f + g)(−x) = f(−x) + g(−x) = −f(x) + (−g(x)) = −(f + g)(x),(fg)(−x) = f(−x)g(−x) = (−f(x))(−g(x)) = f(x)g(x) = (fg)(x).As demais propriedades s˜ao deixadas para o leitor verificar.1.14 Proposi¸c˜ao. (Integra¸c˜ao de fun¸c˜oes pares e ´ımpares)(a) Seja f : R −→ R uma fun¸c˜ao par, integr´avel em qualquer intervalo limitado. Ent˜ao, para todo L ∈ Rvale ∫ L−Lf(x) dx = 2∫ L0f(x) dx.(b) Seja f : R −→ R uma fun¸c˜ao ´ımpar, integr´avel em qualquer intervalo limitado. Ent˜ao, para todo L ∈ Rvale ∫ L−Lf(x) dx = 0.Prova: Temos ∫ L−Lf(x) dx =∫ 0−Lf(x) dx +∫ L0f(x) dx.Fazendo a mudan¸ca de vari´avel t = −x na primeira integral, se f for par temos∫ L−Lf(x) dx =∫ 0Lf(−t) (−dt) +∫ L0f(x) dx = −∫ 0Lf(t) dt +∫ L0f(x) dx=∫ L0f(t) dt +∫ L0f(x) dx = 2∫ L0f(x) dx,e se f for ´ımpar temos∫ L−Lf(x) dx =∫ 0Lf(−t) (−dt) +∫ L0f(x) dx =∫ 0Lf(t) dt +∫ L0f(x) dx= −∫ L0f(t) dt +∫ L0f(x) dx = 0.Como conseq¨uˆencia destas duas proposi¸c˜oes, obtemos que a s´erie de Fourier para uma fun¸c˜ao par ´e umas´erie de cossenos, enquanto que a s´erie de Fourier para uma fun¸c˜ao ´ımpar ´e uma s´erie de senos:1.15 Proposi¸c˜ao. (S´eries de Fourier de fun¸c˜oes pares e ´ımpares)(a) Seja f : R −→ R uma fun¸c˜ao par que satisfaz as hip´oteses do Teorema de Fourier. Ent˜ao,an =2L∫ L0f(x) cosnπxLdx, n = 0, 1, 2, . . . ,bn = 0 para todo n,logof(x) =a02+∞∑n=1an cosnπxL.
    • Rodney Josu´e Biezuner 29(b) Seja f : R −→ R uma fun¸c˜ao ´ımpar que satisfaz as hip´oteses do Teorema de Fourier. Ent˜ao,an = 0 para todo n,bn =2L∫ L0f(x) sennπxLdx, n = 1, 2, . . . ,logof(x) =∞∑n=1bn sennπxL.1.16 Exemplo. (Onda em dente de serra) Considere a fun¸c˜ao f(x) = x, se −L < x < L, f(−L) = f(L) =0, peri´odica de per´ıodo 2L.−3 −2 −1 1 2 3−1.0−0.8−0.6−0.4−0.20.20.40.60.81.0xyFigura 1.12Como f ´e ´ımpar, temos an = 0 ebn =2L∫ L0f(x) sennπxLdx =2L∫ L0x sennπxLdx =2L[−Lnπx cosnπxLL0+Lnπ∫ L0cosnπxLdx]=2nπ[−L cos nπ +LnπsennπxLL0]= −2Lnπcos nπ=2Lnπ(−1)n+1,logo a s´erie de Fourier de f ´e a s´erie de senosf(x) =2Lπ∞∑n=1(−1)n+1nsennπxL.
    • Rodney Josu´e Biezuner 30−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5−3−2−1123xyFigura 1.13: Gr´afico das somas parciais desde n = 1 at´e n = k para k = 1, 2, 3, 4, 5 (L = π).−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5−3−2−1123xyFigura 1.14: Gr´afico da soma parcial desde n = 1 at´e n = 10 (L = π).1.4.2 Extens˜oes Peri´odicas Pares e ´Impares de Fun¸c˜oes Definidas em IntervalosDada uma fun¸c˜ao f : [0, L] −→ R definida em um intervalo fechado, diferenci´avel por partes, podemos obterv´arias s´eries de Fourier diferentes para f. De fato, para obter uma s´erie de Fourier para f, precisamosextender f a uma fun¸c˜ao definida na reta toda e que seja peri´odica, de per´ıodo 2L. No entanto, estaextens˜ao pode ser realizada de uma infinidade de maneiras diferentes, desde que a fun¸c˜ao resultante satisfa¸caas hip´oteses do Teorema de Fourier. As extens˜oes mais utilizadas na pr´atica s˜ao as extens˜oes de f a umafun¸c˜ao par, de modo que a s´erie de Fourier de f ´e uma s´erie exclusivamente de cossenos, e de f a uma fun¸c˜ao´ımpar, de modo que a s´erie de Fourier de f ´e uma s´erie exclusivamente de senos. Qual delas ´e escolhidadepende da aplica¸c˜ao pr´atica que se tem em mente, como veremos mais tarde, embora `as vezes a escolhatamb´em ´e ditada pela diferen¸ca da velocidade de convergˆencia entre as s´eries obtidas (veja o exemplo aseguir).1. Extens˜ao peri´odica par de f:Defina f(x) = f(−x) para x ∈ [−L, 0] e declare f peri´odica de per´ıodo 2L.
    • Rodney Josu´e Biezuner 31−4 −3 −2 −1 1 2 3 4−2020406080100xyFigura 1.15: Extens˜ao par.2. Extens˜ao peri´odica ´ımpar de f:Defina f(x) = −f(−x) para x ∈ [−L, 0) e declare f peri´odica de per´ıodo 2L.−4 −3 −2 −1 1 2 3 4−100−80−60−40−2020406080100xyFigura 1.16: Extens˜ao ´ımpar.1.17 Exemplo. Considere a fun¸c˜ao f(x) = x se 0 x L. Se tomarmos a extens˜ao peri´odica par de f,obteremos a fun¸c˜aof(x) ={−x se − L x < 0,x se 0 x < L,f(x) = f(x + 2L),que ´e a onda triangular, cuja s´erie de Fourier ´e a s´erie de cossenos que j´a obtivemos anteriormente:f(x) =L2−4Lπ2∞∑n=11(2n − 1)2cos(2n − 1)πxL.Por outro lado, se tomarmos a extens˜ao peri´odica ´ımpar de f (redefinindo f(L) = 0), obteremos afun¸c˜aof(x) = x se − L < x < L,f(x) = f(x + 2L), f(−L) = f(L) = 0,
    • Rodney Josu´e Biezuner 32que ´e a onda em dente de serra, cuja s´erie de Fourier ´e a s´erie de senos calculada acima:f(x) =2Lπ∞∑n=1(−1)n+1nsennπxL.Os coeficientes de Fourier da s´erie de cossenos de f decrescem na ordem de1n2, enquanto que oscoeficientes de Fourier da s´erie de senos de f decrescem na ordem de1n. Portanto, a convergˆencia daexpans˜ao em cossenos de f ´e muito mais r´apida do que a convergˆencia da expans˜ao em senos de f. Issose deve ao fato de que a extens˜ao de f a uma fun¸c˜ao par ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua na reta toda, enquantoque a extens˜ao de f a uma fun¸c˜ao ´ımpar ´e uma fun¸c˜ao que possui descontinuidades nos pontos daforma x = 2kL, k ∈ Z. Em geral, como veremos na se¸c˜ao a seguir, quanto maior a regularidade de f,mais r´apida ´e a convergˆencia da sua s´erie de Fourier.1.5 Estimativa dos Coeficientes de FourierA rapidez da convergˆencia da s´erie de Fourier depende dos coeficientes de Fourier. Seja f peri´odica deper´ıodo 2L. Suponha que1. f ´e absolutamente integr´avel em [−L, L].Neste caso, podemos obter a seguinte estimativa simples para os coeficientes de Fourier:|an| =1L∫ L−Lf(x) cosnπxLdx1L∫ L−L|f(x)| cosnπxLdx1L∫ L−L|f(x)| dx,|bn| =1L∫ L−Lf(x) sennπxLdx1L∫ L−L|f(x)| sennπxLdx1L∫ L−L|f(x)| dx.Definindo a constanteM0 =1L∫ L−L|f(x)| dx,obtemos portanto as seguintes estimativas para os coeficientes de Fourier:|an| , |bn| M0 para todo n. (1.5)Como a fun¸c˜ao ´e apenas integr´avel, tudo o que conseguimos obter ´e que os coeficientes de Fourier s˜aolimitados. A s´erie de Fourier pode nem mesmo convergir. Suponha agora que2. f ´e cont´ınua e sua derivada f′´e absolutamente integr´avel em [−L, L].Desta vez podemos integrar por partes para obteran =1L∫ L−Lf(x) cosnπxLdx =1nπf(x) sennπxLL−L−1nπ∫ L−Lf′(x) sennπxLdxde modo quean = −1nπ∫ L−Lf′(x) sennπxLdx. (1.6)Analogamente,bn =1L∫ L−Lf(x) sennπxLdx = −1nπf(x) cosnπxLL−L+1nπ∫ L−Lf′(x) cosnπxLdx= −1nπ(f(L) cos nπ − f(−L) cos(−nπ)) +1nπ∫ L−Lf′(x) cosnπxLdx
    • Rodney Josu´e Biezuner 33de modo quebn =1nπ∫ L−Lf′(x) cosnπxLdx. (1.7)Denotando os coeficientes de Fourier da derivada f′de f pora′n =1L∫ L−Lf′(x) cosnπxLdx,b′n =1L∫ L−Lf′(x) sennπxLdx,segue quean = −Lnπb′n, (1.8)bn =Lnπa′n.Como j´a vimos antes (no passo 1), temos que|a′n| , |b′n| M1 para todo n, (1.9)ondeM1 =1L∫ L−L|f′(x)| dx. (1.10)Portanto, se M1 =LπM1, segue que|an| , |bn|M1npara todo n ̸= 0. (1.11)Desta vez, com as hip´oteses adicionais sobre f (f mais regular, mais suave), obtivemos que os coeficientesde Fourier convergem para zero quando n tende a infinito. Isso ainda n˜ao assegura que a s´erie de Fourierconverge, ´e claro. Suponha agora que3. f e f′s˜ao cont´ınuas e a derivada segunda f′′´e absolutamente integr´avel em [−L, L].Usando o passo 2 acima, temosa′n = −Lnπb′′n,b′n =Lnπa′′n,dondean = −Lnπb′n = −Lnπ(Lnπa′′n)= −Ln2π2a′′n, (1.12)bn =Lnπa′n =Lnπ(−Lnπb′′n)= −Ln2π2b′′n.Do passo 1, temos que|a′′n| , |b′′n| M2 para todo n ̸= 0, (1.13)ondeM2 =1L∫ L−L|f′′(x)| dx. (1.14)
    • Rodney Josu´e Biezuner 34Portanto, se M2 =L2π2M2, segue que|an| , |bn|M2n2para todo n ̸= 0. (1.15)Nestas condi¸c˜oes, sem usar o Teorema de Fourier conclu´ımos pelo teste da compara¸c˜ao que a s´erie de Fourierconverge, pois a s´erie∞∑n=11n2´e convergente (mas ´e claro que isso n˜ao permite concluir que a s´erie de Fourierconverge para f). Al´em disso, a velocidade de convergˆencia ´e relativamente r´apida, de ordem quadr´atica.Procedendo por indu¸c˜ao, vemos que quanto mais regular ou suave f for, mais rapidamente os coeficientesde Fourier convergem para zero e, consequentemente, maior ser´a a velocidade de convergˆencia da s´erie deFourier.Os c´alculos acima mostram tamb´em que ´e poss´ıvel calcular os coeficientes de Fourier das derivadas deuma fun¸c˜ao a partir dos coeficientes de Fourier da pr´opria fun¸c˜ao.Todos estes resultados s˜ao resumidos no teorema a seguir:1.18 Teorema. (Coeficientes de Fourier das derivadas de uma fun¸c˜ao) Seja f : R −→ R uma fun¸c˜aoperi´odica de per´ıodo 2L, k vezes diferenci´avel, tal que f, f′, f′′, ..., f(k−1)s˜ao cont´ınuas em R e f(k)´eabsolutamente integr´avel em [−L, L]. Ent˜ao, se a(j)n , b(j)n denotam os coeficientes de Fourier de f(j),temos para 2 j ka′n =nπLbn b′n = −nπLana′′n = −n2π2L2an b′′n = −n2π2L2bna′′′n = −n3π3L3bn, b′′′n =n3π3L3an,a(4)n =n4π4L4an, b(4)n =n4π4L4bn,......a(j)n =σjnjπjLjan se n ´e par,σjnjπjLjbn se n ´e ´ımpar,b(j)n =σj+1njπjLjbn se n ´e par,σj+1njπjLjan se n ´e ´ımpar,ondeσj ={1 se j = 0 mod 4 ou j = 1 mod 4,−1 se j = 2 mod 4 ou j = 3 mod 4.Al´em disso, existe uma constante Mk > 0 tal que|an| , |bn|Mknkpara todo n ̸= 0.Prova: Dos resultados que obtivemos acima segue quean = −1nπ∫ L−Lf′(x) sennπxLdx = −Lnπ1L∫ L−Lf′(x) sennπxLdx = −Lnπb′n,bn =1nπ∫ L−Lf′(x) cosnπxLdx =Lnπ1L∫ L−Lf′(x) cosnπxLdx =Lnπa′n.
    • Rodney Josu´e Biezuner 35dondea′n =nπLbn e b′n = −nπLan.O resultado geral segue por indu¸c˜ao:a′′n =nπLb′n =nπL(−nπLan)= −n2π2L2an,b′′n = −nπLa′n = −nπL(nπLbn)= −n2π2L2bn,a′′′n =nπLb′′n =nπL(−n2π2L2bn)= −n3π3L3bn,b′′′n = −nπLa′′n = −nπL(−n2π2L2an)=n3π3L3an,a(4)n =nπLb′′′n =nπL(n3π3L3an)=n4π4L4an,b(4)n = −nπLa′′′n = −nπL(−n3π3L3bn)=n4π4L4bn,a(5)n =nπLb(4)n =nπL(n4π4L4bn)=n5π5L5bn,b(5)n = −nπLa(4)n = −nπL(n4π4L4an)= −n5π5L5bn,e assim por diante.A constante Mk ´e dada porMk =Lkπk(1L∫ L−Lf(k)(x) dx).1.6 Diferencia¸c˜ao e Integra¸c˜ao Termo a Termo da S´erie de FourierQuando formos resolver equa¸c˜oes diferenciais parciais atrav´es de s´eries de Fourier, ser´a importante poderdiferenciar as s´eries de Fourier termo a termo (por exemplo, para calcular uxx para o candidato `a solu¸c˜ao daequa¸c˜ao do calor obtida na Introdu¸c˜ao), portanto ´e necess´ario saber em que condi¸c˜oes isso pode ser feito:1.19 Teorema. (Diferencia¸c˜ao Termo a Termo da S´erie de Fourier) Seja f : R −→ R uma fun¸c˜ao peri´odicade per´ıodo 2L, tal que f ´e cont´ınua em R e f′e f′′s˜ao cont´ınuas por partes, de modo que vale oTeorema de Fourier e a s´erie de Fourier de f ´e dada porf(x) =a02+∞∑n=1(an cosnπxL+ bn sennπxL).Ent˜ao a s´erie de Fourier de f′´e a s´erie obtida derivando termo a termo a s´erie de Fourier de f:f′(x) =∞∑n=1(−nπLan sennπxL+nπLbn cosnπxL).Prova: Pelo Teorema de Fourier, sabemos que f′possui uma s´erie de Fourier que converge para f′nospontos de continuidade de f′e para a m´edia dos limites laterais de f′nos pontos de descontinuidade:f′(x) =A02+∞∑n=1(An cosnπxL+ Bn sennπxL).
    • Rodney Josu´e Biezuner 36Para provar este teorema, basta provar queA0 = 0,An =nπLbn,Bn = −nπLan.TemosA0 =1L∫ L−Lf′(x) dx =1L(f(L) − f(−L)) = 0porque f tem per´ıodo 2L, logo f(L) = f(−L). Assumindo, para simplificar a demonstra¸c˜ao, que f′´econt´ınua, podemos integrar por partes para obter os outros coeficientes:An =1L∫ L−Lf′(x) cosnπxLdx =1L[Lnπf(x) cosnπxLL−L+Lnπ∫ L−Lf(x) sennπxLdx]=Lnπ[1L(f(L) cos nπ − f(−L) cos(−nπ)) +1L∫ L−Lf(x) sennπxLdx]=Lnπbn.Bn =1L∫ L−Lf′(x) sennπxLdx =1L[Lnπf(x) sennπxLL−L−Lnπ∫ L−Lf(x) cosnπxLdx]= −Lnπ[1L∫ L−Lf(x) cosnπxLdx]= −Lnπan.1.20 Exemplo. Se f ´e descont´ınua, ent˜ao a conclus˜ao deste teorema falha: mesmo que f possua uma s´eriede Fourier que converge para f em seus pontos de continuidade, n˜ao podemos derivar a s´erie de Fourierde f termo a termo para encontrar a s´erie de Fourier de f′. Por exemplo, se f : R −→ R ´e a onda emdente de serra, isto ´e, a fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo 2L definida no intervalo fechado [−L, L] porf(x) ={x se − L < x < L,0 se x = L, −L,ent˜ao a s´erie de Fourier de f ´e a s´erie de senos dada porf(x) =2Lπ∞∑n=1(−1)n+1nsennπxL,como vimos anteriormente. Como f′satisfaz tamb´em as hip´oteses do Teorema de Fourier, sabemosque f′tamb´em possui uma s´erie de Fourier que converge para f′nos pontos de continuidade e para am´edia dos limites laterais nos pontos de descontinuidade. No entanto, como f n˜ao ´e cont´ınua, ocorreque esta s´erie de Fourier n˜ao pode ser obtida atrav´es da deriva¸c˜ao termo a termo da s´erie de Fourierde f. De fato, a derivada termo a termo da s´erie de Fourier de f2∞∑n=1(−1)n+1cosnπxL
    • Rodney Josu´e Biezuner 37n˜ao ´e nem mesmo uma s´erie convergente em nenhum ponto, divergindo tanto nos pontos de descon-tinuidade como em pontos de continuidade de f. Por exemplo, no ponto x = 0, a s´erie ´e2∞∑n=1(−1)n+1= 2(1 − 1 + 1 − 1 + ...)que oscila entre os valores 2 e 0, enquanto que no ponto x = L, a s´erie ´e2∞∑n=1(−1)n+1= 2(−1 + 1 − 1 + 1 − ...)que oscila entre os valores −2 e 0. Em geral, a s´erie diverge em qualquer ponto porquelimn→∞cos nx ̸= 0para todo x ∈ R. Para provar isso, suponha por absurdo que limn→∞cos nx = 0 para algum x. Issoimplica evidentemente que limn→∞cos2nx = 0 tamb´em, pois limn→∞cos2nx =(limn→∞cos nx)2. Tamb´emsegue que limn→∞cos 2nx = 0, pois {cos 2nx} ´e uma subseq¨uˆencia de {cos nx}. Mas ent˜ao, tomando olimite quando n → ∞ em ambos os lados da identidade trigonom´etricacos2nx =1 + cos 2nx2,obteremos o absurdo 0 = 1/2. Isso prova que limn→∞cos nx ̸= 0 para todo x ∈ R e portanto a s´eriediverge em todos os pontos.Podemos calcular a s´erie de Fourier de f′diretamente a partir da defini¸c˜ao de f′: temos que f′(x) = 1se −L < x < L, f′n˜ao est´a definida nos pontos m´ultiplos de L (mas podemos redefinir nestes pontoscomo valendo 1) e ´e peri´odica de per´ıodo 2L, logo seus coeficientes de Fourier (note que f′´e par) s˜aoa0 =1L∫ 2L0f(x) dx =1L∫ 2L0dx = 2,an =1L∫ 2L0cosnπxLdx = 0,bn = 0,e sua s´erie de Fourier ´e, portanto,f′(x) ≡ 1.Poder´ıamos ter chegado a este resultado imediatamente, sem precisar de calcular os coeficientes deFourier de f′, porque a s´erie de Fourier de uma fun¸c˜ao definida na reta ´e ´unica.No caso da quest˜ao de se ´e permitido integrar termo a termo a s´erie de Fourier de f, as hip´oteses sobref para que isso seja poss´ıvel s˜ao muito mais fracas. Podemos integrar a s´erie de Fourier de f termo a termopara obter a integral de f mesmo quando a s´erie de Fourier de f n˜ao converge uniformemente para f. De fato,podemos integrar a s´erie de Fourier de f mesmo quando a s´erie de Fourier de f n˜ao converge pontualmentepara f, e mesmo quando ela n˜ao ´e uma s´erie convergente! Para mostrarmos isso, necessitaremos do seguinteresultado elementar:1.21 Proposi¸c˜ao. Seja f : R −→ R uma fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo T. Ent˜ao, para qualquer a ∈ R vale∫ T0f(x) dx =∫ a+Taf(x) dx.
    • Rodney Josu´e Biezuner 38Prova: Definindo uma fun¸c˜ao F : R −→ R porF(a) =∫ a+Taf(x) dx,basta provar que F ´e constante. Para isso, mostraremos que F′≡ 0. De fato, escrevendoF(a) =∫ 0af(x) dx +∫ a+T0f(x) dx = −∫ a0f(x) dx +∫ a+T0f(x) dxsegue do teorema fundamental do c´alculo queF′(a) = −f(a) + f(a + T) = 0.Em outras palavras, este resultado diz que a integral de uma fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo T tem o mesmovalor em qualquer intervalo de comprimento T.1.22 Teorema. (Integra¸c˜ao Termo a Termo da S´erie de Fourier) Seja f : R −→ R uma fun¸c˜ao peri´odica deper´ıodo 2L, tal que f ´e cont´ınua por partes. Ent˜ao, mesmo se a s´erie de Fourier de fa02+∞∑n=1(an cosnπxL+ bn sennπxL)n˜ao for convergente, ainda assim temos∫ t0f(x) dx =a02t +Lπ∞∑n=1[annsennπtL−bnn(cosnπtL− 1)]para todo t ∈ R.Prova: DefinaF(t) =∫ t0[f(x) −a02]dx.Observe que F satisfaz as hip´oteses do Teorema de Fourier. De fato, F ´e peri´odica de per´ıodo 2L, poisF(t + 2L) =∫ t+2L0[f(x) −a02]dx =∫ t0[f(x) −a02]dx +∫ t+2Lt[f(x) −a02]dx= F(t) +∫ t+2Lt[f(x) −a02]dxe∫ t+2Lt[f(x) −a02]dx =∫ t+2Ltf(x) dx −a02∫ t+2Ltdx =∫ t+2Ltf(x) dx −12(1L∫ L−Lf(x) dx)2L=∫ L−Lf(x) dx −∫ L−Lf(x) dx = 0.Al´em disso, F ´e cont´ınua na reta toda, pois ´e a integral de uma fun¸c˜ao cont´ınua por partes, e F′= f ´econt´ınua por partes, por hip´otese. Portanto, F possui uma s´erie de Fourier que converge para F em todoponto:F(t) =A02+∞∑n=1(An cosnπtL+ Bn sennπtL).
    • Rodney Josu´e Biezuner 39Calculando os coeficientes da s´erie de Fourier de F, atrav´es de integra¸c˜ao por partes obtemosAn =1L∫ L−LF(t) cosnπtLdt =1L[LnπF(t) sennπtLL−L−Lnπ∫ L−LF′(t) sennπtLdt]= −1nπ[∫ L−L(f(t) −a02)sennπxLdt]= −1nπ[Lbn −a02∫ L−LsennπxLdt]= −Lnπbn,Bn =1L∫ L−LF(t) sennπtLdt =1L[−LnπF(t) cosnπtLL−L+Lnπ∫ L−LF′(t) cosnπtLdt]=1nπ[∫ L−L(f(t) −a02)cosnπxLdt]=1nπ[Lan −a02∫ L−LcosnπxLdt]=Lnπan.Falta calcular A0. Para isso, notamos que da defini¸c˜ao de F segue que F(0) = 0, logoA02= −∞∑n=1An =Lπ∞∑n=1bnn.Assim,∫ t0[f(x) −a02]dx =Lπ∞∑n=1bnn,donde∫ t0f(x) dx =∫ t0a02dx +Lπ∞∑n=1bnn+Lπ∞∑n=1(−bnncosnπtL+annsennπtL)=a02t +Lπ∞∑n=1[annsennπtL−bnn(cosnπtL− 1)].
    • Cap´ıtulo 2Equa¸c˜ao do Calor Unidimensional2.1 Condi¸c˜ao de Dirichlet homogˆenea: extremidades mantidas `atemperatura zeroDe acordo com o modelo matem´atico que obtivemos na Introdu¸c˜ao para a condu¸c˜ao do calor em umabarra homogˆenea de comprimento L, cuja superf´ıcie lateral ´e isolada termicamente e cujas extremidades s˜aomantidas `a temperatura inicial 0, a distribui¸c˜ao de temperaturas u(x, t) em um ponto x da barra no instantede tempo t ´e a solu¸c˜ao do problema de valor de fronteiraut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,u(0, t) = u(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = f(x) se 0 x L,(2.1)onde K ´e uma constante positiva e f : [0, L] → R ´e uma fun¸c˜ao dada.Em outras palavras, a distribui¸c˜ao de temperaturas na barra de acordo com o tempo ´e governada poruma equa¸c˜ao diferencial parcial, chamada a equa¸c˜ao do calor. Neste caso, a equa¸c˜ao diferencial parcial est´adefinida na regi˜ao aberta R = {(x, t) ∈ R2: 0 < x < L e t > 0} = (0, L) × (0, +∞), que ´e uma regi˜aoilimitada (uma faixa retangular ilimitada). Na fronteira (isto ´e, bordo ou contorno) desta regi˜ao, que ´econstitu´ıda pelo segmento de reta [0, L] × {0} e pelos raios {0} × [0, +∞) e {L} × [0, +∞), o valor de u(x, t)est´a fixado; este tipo de condi¸c˜ao de fronteira, em que o valor da solu¸c˜ao u ´e fixado na fronteira, ´e chamadauma condi¸c˜ao de Dirichlet, como vimos.Atrav´es do m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis e um argumento indutivo, chegamos ao seguinte candidatoa uma solu¸c˜ao deste problema:u(x, t) =∞∑n=1cne− n2π2L2 KtsennπxL, (2.2)onde os coeficientes cn s˜ao escolhidos de tal forma que podemos escrever a distribui¸c˜ao inicial de temperaturasf na s´erie de senosf(x) =∞∑n=1cn sennπxL.Pelo Teorema de Fourier, ser´a sempre poss´ıvel escrever f desta forma se f e sua derivada f′forem cont´ınuaspor partes; neste caso os coeficientes cn s˜ao exatamente os coeficientes de Fourier da extens˜ao peri´odica´ımpar de f:cn =2L∫ L0f(x) sennπxLdx.40
    • Rodney Josu´e Biezuner 41´E necess´ario provar que o nosso candidato `a solu¸c˜ao u definido em (2.2) ´e de fato uma solu¸c˜ao para oproblema de Dirichlet (2.1). Para isso precisamos definir mais precisamente o conceito de solu¸c˜ao. Talvezsurpreendentemente, a defini¸c˜ao deste conceito depende fortemente do tipo de aplica¸c˜ao que se tem emmente, ou seja, do tipo de resposta que se espera do modelo matem´atico. Por exemplo, a fun¸c˜aou(x, t) =f(x) se 0 x L e t = 0,0 se x = 0, L e t > 0,1000 se 0 < x < L e t > 0,satisfaz todas as condi¸c˜oes do problema (2.1), mas em princ´ıpio n˜ao parece ser uma solu¸c˜ao fisicamenteaceit´avel, pois os valores da fun¸c˜ao no interior da faixa retangular n˜ao tem qualquer rela¸c˜ao com os valoresna fronteira. Em geral, esperamos que a distribui¸c˜ao de temperaturas na barra varie de maneira cont´ınua como tempo, a partir da distribui¸c˜ao de temperaturas inicial, e que em qualquer instante de tempo considerado adistribui¸c˜ao de temperaturas ao longo da barra tamb´em seja cont´ınua e em particular que n˜ao haja um saltodescont´ınuo na temperatura da barra em seus extremos. Estas considera¸c˜oes levariam `a seguinte defini¸c˜aode solu¸c˜ao para o problema (2.1):Dizemos que uma fun¸c˜ao u : R → R ´e uma solu¸c˜ao de (2.1),se u ∈ C0(R), u ∈ C2(R) e u satisfaz todas as condi¸c˜oes de (2.1).R denota a regi˜ao fechada R = {(x, t) ∈ R2: 0 x L e t 0} = [0, L] × [0, +∞). Em particular, estadefini¸c˜ao exige que a distribui¸c˜ao inicial de temperaturas seja cont´ınua e que f(0) = f(L) = 0 (note que,como consequˆencia destes dois fatos, a extens˜ao peri´odica ´ımpar de f tamb´em ser´a uma fun¸c˜ao cont´ınua).No entanto, esta condi¸c˜ao sobre f pode ser uma restri¸c˜ao muito grande em certos problemas f´ısicos e n˜aocorresponder `a realidade observada. Um exemplo de uma situa¸c˜ao f´ısica em que isso n˜ao ocorre ´e quandoconsideramos duas barras homogˆeneas formadas de um mesmo material, inicialmente isoladas uma da outra(e do meio ambiente) e mantidas a temperaturas constantes mas diferentes (por exemplo, uma ´e mantida`a temperatura constante de 0◦C, enquanto que a outra ´e mantida `a temperatura constante de 100◦C); seelas forem colocadas imediatamente uma em contato com a outra atrav´es de uma de suas extremidades,ent˜ao temos um sistema que na pr´atica ´e uma ´unica barra com uma distribui¸c˜ao inicial de temperaturasdada por uma fun¸c˜ao descont´ınua (por´em cont´ınua por partes). Por outro lado, n˜ao ´e razo´avel que a solu¸c˜aou(x, t) esteja totalmente desconectada da distribui¸c˜ao de temperaturas inicial. Para evitar este problema,utilizaremos a seguinte defini¸c˜ao de solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao do calor:2.1 Defini¸c˜ao. Dizemos que uma fun¸c˜ao u : R → R ´e uma solu¸c˜ao de (2.1), se u ´e cont´ınua emR={(x, t) ∈ R2: 0 x L e t > 0}, u ∈ C2(R), limt→0u(x, t) = f(x) se f ´e cont´ınua em x, e u satisfaztodas as condi¸c˜oes de (2.1).Estas s˜ao condi¸c˜oes que a solu¸c˜ao do problema de valor de fronteira deve satisfazer. O pr´oprio problema devalor de fronteira deve ainda satisfazer duas condi¸c˜oes importantes para que ele seja considerado um modelomatem´atico v´alido para o problema f´ısico em quest˜ao: ele deve possuir uma ´unica solu¸c˜ao e esta ´unicasolu¸c˜ao deve ser est´avel. De fato, esperamos que se um problema f´ısico foi bem compreendido, com todasas vari´aveis levadas em considera¸c˜ao, ele deva ter uma ´unica solu¸c˜ao (se estivermos estudando um fenˆomenodetermin´ıstico); se o correspondente modelo matem´atico possuir mais de uma solu¸c˜ao, ´e sinal de que ele aindan˜ao ´e um modelo matem´atico correto para o problema em quest˜ao e que s˜ao necess´arias hip´oteses adicionaispara limitar o n´umero de solu¸c˜oes a uma ´unica solu¸c˜ao. Da mesma forma, na medi¸c˜ao experimental defenˆomenos f´ısicos, esperamos um certo grau de incerteza e que as medidas obtidas sejam apenas aproxima¸c˜oes.Por exemplo, a medi¸c˜ao da temperatura inicial da barra ´e uma aproxima¸c˜ao e certamente deve conter erros;analogamente, n˜ao ´e razo´avel esperar que as temperaturas nas extremidades da barra possam ser mantidaso tempo todo na temperatura exata 0. Consequentemente, a solu¸c˜ao do modelo matem´atico ´e apenas umaaproxima¸c˜ao da solu¸c˜ao real. Para que ela seja uma boa aproxima¸c˜ao deveremos requerer que a solu¸c˜aodependa continuamente das condi¸c˜oes de fronteira, isto ´e, pequenas mudan¸cas nas condi¸c˜oes de fronteira,acarretam apenas pequenas mudan¸cas na solu¸c˜ao. Um problema que satisfaz todas estas condi¸c˜oes, isto ´e,possui uma solu¸c˜ao ´unica est´avel, ´e chamado um problema bem-posto no sentido de Hadamard.
    • Rodney Josu´e Biezuner 422.2 Exemplo. Considere o problema de Dirichlet (condu¸c˜ao do calor em uma barra infinita, [Rothe, 1928]):{ut = Kuxx se − ∞ < x < ∞ e t > 0,u(x, 1) = f(x) se − ∞ < x < ∞.Este n˜ao ´e um problema bem-posto no sentido de Hadamard. De fato, se f ≡ 0, ent˜ao u ≡ 0 ´e a ´unicasolu¸c˜ao. Por´em, se c > 0 ef(x) = c senxc√K,ent˜ao a solu¸c˜ao ´eu(x, t) = ce1−tc2senxc√K.Embora, se escolhermos a constante positiva c suficientemente pequena, possamos tornar f t˜ao pr´oximada fun¸c˜ao identicamente nula quanto desejado, a solu¸c˜ao u acima n˜ao tende `a solu¸c˜ao identicamentenula no intervalo 0 < t < 1 . Ao contr´ario, quando c → 0, a solu¸c˜ao torna-se ilimitada. Logo, umapequena mudan¸ca na condi¸c˜ao inicial acarreta uma enorme mudan¸ca na solu¸c˜ao.2.1.1 Existˆencia de solu¸c˜ao para o problema de DirichletO problema de condu¸c˜ao do calor na barra finita ´e um problema bem-posto no sentido de Hadamard. Aunicidade e a estabilidade da solu¸c˜ao seguem do princ´ıpio do m´aximo para a equa¸c˜ao do calor, conformeveremos no final desta se¸c˜ao. A existˆencia da solu¸c˜ao, isto ´e, a confirma¸c˜ao de que o nosso candidato `asolu¸c˜ao ´e de fato a solu¸c˜ao para o problema segue do seguinte teorema:2.3 Teorema. Seja f : [0, L] → R uma fun¸c˜ao cont´ınua por partes tal que f′tamb´em ´e cont´ınua por partes.Ent˜aou(x, t) =∞∑n=1cne− n2π2L2 KtsennπxLcomcn =2L∫ L0f(x) sennπxLdx´e uma solu¸c˜ao para (2.1), cont´ınua em R e de classe C2em R. Al´em disso, u(x, t) → f(x) quandot → 0 se f ´e cont´ınua em x.Esbo¸co de Prova: Como vimos no cap´ıtulo anterior, quando estimamos os coeficientes de Fourier, existeuma constante M > 0 tal que |cn| < M. Portanto, para todo t > t0, qualquer que seja t0 > 0, vale∞∑n=1cne− n2π2L2 KtsennπxLM∞∑n=1e− n2π2L2 Kt0.A s´erie num´erica do lado direito converge, por exemplo pelo teste da raiz:limn→∞(e−π2Kt0L2 n2)1/n= limn→∞e−π2Kt0L2 n= 0.Segue do teste-M de Weierstrass que a s´erie do lado esquerdo converge uniformemente em {(x, t) : 0 x Le t t0} e portanto u(x, t) ´e cont´ınua a´ı. Mas t0 ´e arbitr´ario, logo conclu´ımos que u(x, t) ´e cont´ınua em R.Aplicando novamente o teste-M de Weierstrass, conclu´ımos que as s´eries obtidas diferenciando a s´erie deu(x, t) termo a termo, uma vez em rela¸c˜ao a t e duas vezes em rela¸c˜ao a x, s˜ao uniformemente convergentes,
    • Rodney Josu´e Biezuner 43de modo que podemos escreverut(x, t) = −π2L2K∞∑n=1n2cne− n2π2L2 KtsennπxL,uxx(x, t) = −π2L2∞∑n=1n2cne− n2π2L2 KtsennπxL,portanto ut(x, t) = Kuxx(x, t) para todo (x, t) ∈ R. Al´em disso,u(x, 0) =∞∑n=1cn sennπxL= f(x),u(0, t) = u(L, t) = 0.2.4 Corol´ario. (Regularidade da Solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao do Calor) A solu¸c˜ao obtida no teorema anterior ´e declasse C∞em R.Prova: De fato, nada nos impede de diferenciar termo a termo a solu¸c˜ao u (x, t) acima quantas vezesquisermos em rela¸c˜ao a x e t e usar o mesmo argumento do teorema (teste da raiz e teste-M de Weierstrass)para concluir a convergˆencia uniforme em cada etapa. Em linhas gerais, ao derivar a s´erie de u (x, t) termoa termo i vezes em rela¸c˜ao a t e j vezes em rela¸c˜ao a x obteremos a s´erieC (L, π)∞∑n=1cnnpe− n2π2L2 KtsennπxLonde p = 2i + j e C (L, π) ´e uma constante que depende apenas de L e π. LogoC (L, π)∞∑n=1cnnpe− n2π2L2 KtsennπxLM∞∑n=1npe− n2π2L2 Kt0.Pelo teste da raiz,lim(npe−π2Kt0L2 n2)1/n=(lim n1/n)plim e−π2Kt0L2 n= 0,logo o lado direito converge e podemos aplicar o teste-M de Weierstrass.O teorema anterior e seu corol´ario afirmam um resultado muito importante: mesmo que a distribui¸c˜aoinicial de temperaturas n˜ao seja cont´ınua, o calor se propaga t˜ao rapidamente de modo que quaisquerdescontinuidades inicialmente presentes s˜ao suavizadas de tal maneira que, imediatamente ap´os o instanteinicial (isto ´e, em qualquer instante de tempo t > 0), a distribui¸c˜ao de temperaturas j´a ´e cont´ınua; maisque isso, ela ´e suave! O motivo disso pode ser melhor compreendido se analizarmos a express˜ao em s´erie deu (x, t)u(x, t) =∞∑n=1cne− n2π2L2 KtsennπxLda seguinte forma. As exponenciais em t tendem a 0 rapidamente, como sabemos ser o comportamentode uma exponencial negativa. Assim, passado um instante de tempo t (por menor que seja), os termos das´erie a partir de uma certa ordem s˜ao arbitrariamente pequenos. ´E quase como se pud´essemos desprezarcompletamente os termos da s´erie a partir de uma certa ordem e a s´erie infinita transformasse-se em umas´erie finita. A descontinuidade presente na condi¸c˜ao inicial surge exatamente da presen¸ca de um n´umeroinfinito de termos da s´erie, pois uma s´erie finita (combina¸c˜ao linear finita) de senos ´e sempre uma fun¸c˜aocont´ınua, na verdade suave; `a medida que o tempo passa o efeito ´e sentido como se um n´umero infinito determos se anulasse e s´o restasse um n´umero finito de termos.
    • Rodney Josu´e Biezuner 442.1.2 Princ´ıpio do m´aximoPara mostrar que o problema de Dirichlet para a equa¸c˜ao do calor unidimensional ´e bem-posto no sentidode Hadamard, usaremos o Princ´ıpio do M´aximo, que ´e um resultado interessante e muito importante por sis´o:2.5 Lema. (Princ´ıpio do M´aximo para a Equa¸c˜ao do Calor) Considere o retˆangulo R = (x1, x2) × (t1, t2).Suponha que u(x, t) : R → R seja cont´ınua em R e satisfa¸ca a equa¸c˜ao do calor ut = Kuxx em R ∪ ℓ4onde ℓ4 = (x1, x2) × {t2}. Ent˜ao o m´aximo [m´ınimo] de u ´e assumido em um dos outros trˆes lados doretˆangulo :ℓ1 = {x1} × [t1, t2],ℓ2 = {x2} × [t1, t2],ℓ3 = [x1, x2] × {t1}.Prova: Suponha por absurdo quem := maxℓ1∪ℓ2∪ℓ3u < maxRu =: M.Ent˜ao existe um ponto (x0, t0) ∈ R ∪ ℓ4 tal que u(x0, t0) = maxR u. Defina a fun¸c˜aov(x, t) = u(x, t) +M − m4L2(x − x0)2,onde L = x2 − x1. Como em ℓ1 ∪ ℓ2 ∪ ℓ3 temosv(x, t) m +M − m4L2L2=34m +M4< M,e u(x0, t0) = v(x0, t0) = M, segue que o m´aximo de v tamb´em ´e assumido em um ponto de R ∪ ℓ4, digamosem (x, t) ∈ R ∪ ℓ4. Como (x, t) ´e um ponto de m´aximo para v, devemos tervt(x, t) 0,vxx(x, t) 0.Em particular,vt(x, t) Kvxx(x, t).Por outro lado, da defini¸c˜ao de v, para todo (x, t) obtemosvt(x, t) = ut(x, t),vxx(x, t) = uxx(x, t) +M − m4L2,e como u satisfaz a equa¸c˜ao do calor, segue quevt(x, t) = ut(x, t) = Kuxx(x, t) = Kvxx(x, t) − KM − m4L2< Kvxx(x, t)para todo (x, t), uma contradi¸c˜ao.Para provar que o m´ınimo de u tamb´em ´e atingido em ℓ1 ∪ℓ2 ∪ℓ3, basta observar que −u tamb´em satisfaza equa¸c˜ao do calor e que min u = − max(−u).No caso da equa¸c˜ao do calor, o princ´ıpio do m´aximo nada mais ´e que a express˜ao matem´atica do fato de queo calor flui de regi˜oes mais quentes para regi˜oes mais frias. Se a temperatura mais alta da barra estivesselocalizada em um ponto x0 com 0 < x0 < L em um instante t0 > 0, ent˜ao a temperatura estaria crescendoem x0 por algum tempo antes do instante t0 (a menos que a temperatura seja a mesma em todos os pontosda barra). Mas ent˜ao o calor necess´ario para aumentar a temperatura em x0 deveria vir de algum pontopr´oximo a x0 com temperatura maior em algum instante de tempo t < t0, logo a temperatura mais alta n˜aopode ocorrer em (x0, t0). O mesmo argumento vale para a temperatura m´ınima.
    • Rodney Josu´e Biezuner 452.1.3 Unicidade e estabilidade de solu¸c˜oes para o problema de Dirichlet geralUsando o princ´ıpio do m´aximo, vamos agora demonstrar que o problema de Dirichlet ´e bem-posto no sentidode Hadamard. Come¸camos provando a unicidade de solu¸c˜oes:2.6 Teorema. (Unicidade da Solu¸c˜ao do Problema de Dirichlet) Se existir uma solu¸c˜ao cont´ınua em Rpara o problema de Dirichletut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,u(x, 0) = f (x) se 0 x L,u(0, t) = g (t) se t 0,u(L, t) = h (t) se t 0,onde f, g, h s˜ao fun¸c˜oes quaisquer, ela ´e ´unica.Prova: Suponha que u1(x, t) e u2(x, t) sejam duas solu¸c˜oes cont´ınuas para (2.1). Ent˜ao, como a equa¸c˜aodo calor ´e uma equa¸c˜ao linear, a diferen¸ca u = u1 − u2 ´e uma solu¸c˜ao cont´ınua do problema de Dirichletut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,u(x, 0) = 0 se 0 x L,u(0, t) = u(L, t) = 0 se t 0.Em particular, em qualquer retˆangulo RT = {(x, t) ∈ R2: 0 x L e 0 t T} ⊂ R segue do princ´ıpiodo m´aximo para a equa¸c˜ao do calor queminRu = maxRu = 0,ou seja, u ≡ 0 em R. Como T > 0 ´e arbitr´ario, segue que u ≡ 0 em R.Al´em disso, outra consequˆencia imediata do princ´ıpio do m´aximo para a equa¸c˜ao do calor ´e que a solu¸c˜aode (2.1), quando existir, nunca assume valores negativos se f 0, o que ´e esperado se a temperatura formedida em graus Kelvin.Agora vamos estabelecer a dependˆencia cont´ınua da solu¸c˜ao do problema de Dirichlet geral com rela¸c˜aoaos dados iniciais e `as condi¸c˜oes de fronteira:2.7 Teorema. (Estabilidade da Solu¸c˜ao do Problema de Dirichlet) Se o problema de Dirichlet com condi¸c˜oesinicial e de fronteira cont´ınuas possuir uma solu¸c˜ao cont´ınua, ent˜ao ele ´e bem-posto no sentido deHadamard.Prova: J´a sabemos pelo teorema anterior que se existir solu¸c˜ao cont´ınua, ela ´e ´unica. Resta provar apenasa dependˆencia cont´ınua das solu¸c˜oes com as condi¸c˜oes iniciais e de fronteira. Mediremos a proximidade dascondi¸c˜oes inicial e de fronteira atrav´es da norma do sup. Sejam u1 e u2 solu¸c˜oes dos problemas de Dirichletut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,u(x, 0) = f1 (x) se 0 x L,u(0, t) = g1 (t) se t 0,u(L, t) = h1 (t) se t 0,e ut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,u(x, 0) = f2 (x) se 0 x L,u(0, t) = g2 (t) se t 0,u(L, t) = h2 (t) se t 0,
    • Rodney Josu´e Biezuner 46respectivamente, onde f1, f2, g1, g2, h1, h2, s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas e limitadas. Ent˜ao u = u1 − u2 ´e solu¸c˜aodo problema de Dirichletut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,u(x, 0) = f1 (x) − f2(x) se 0 x L,u(0, t) = g1 (t) − g2 (t) se t 0,u(L, t) = h1 (t) − h2 (t) se t 0.Pelo princ´ıpio do m´aximo para a equa¸c˜ao do calor, segue quesupR(u1 − u2) sup[0,L](f1 − f2) + sup[0,∞)(g1 − g2) + sup[0,∞)(h1 − h2)sup[0,L]|f1 − f2| + sup[0,∞)|g1 − g2| + sup[0,∞)|h1 − h2| .Analogamente, considerando u = u2 − u1, provamos quesupR|u1 − u2| sup[0,L]|f1 − f2| + sup[0,∞)|g1 − g2| + sup[0,∞)|h1 − h2| .Reunindo as duas desigualdades, obtemos o resultado desejado.Para concluir esta se¸c˜ao, analizaremos o comportamento assint´otico da solu¸c˜ao, isto ´e, o que acontecequando t → ∞ (isto ´e, o que acontece com a distribui¸c˜ao de temperaturas na barra depois que se transcorreuum intervalo de tempo suficientemente grande, o que em termos f´ısicos na maioria das situa¸c˜oes pode ser daordem de minutos, segundos ou muito menos que isso). Como os coeficientes da s´erie de Fourier de f s˜aolimitados, digamos |cn| M para algum M > 0, temos|u(x, t)|∞∑n=1|cn| e− n2π2L2 KtsennπxLM∞∑n=1e− n2π2L2 Kt.Definindo α =π2L2K, notando que e−n2αte−nαt= (e−αt)ncom e−αt< 1 para t > 0 e lembrando que∞∑n=1rn=r1 − rpara |r| < 1, conclu´ımos que|u(x, t)| Me−αt1 − e−αt,de modo quelimt→∞u(x, t) = 0.Isso era esperado: j´a que as extremidades da barra n˜ao est˜ao termicamente isoladas, a temperatura emtodos os pontos da barra deve decair at´e atingir a mesma temperatura que as suas extremidades, com ocalor escapando da barra atrav´es delas. Na verdade, a desigualdade acima mostra que a temperatura decairapidamente, com decaimento exponencial da ordem de e−αt.x32100.00.400.2z0.61.010.82t3453 4 5210tx0.00.2z0.61.00.80.4Figura 2.1. Solu¸c˜ao u(x, t) = e−tsen x para L = π, K = 1 e condi¸c˜ao inicial f(x) = sen x.
    • Rodney Josu´e Biezuner 470.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.00.00.10.20.3xyFigura 2.2. Gr´aficos de u(x, t) para t = 1 (azul), 2, 3, 4, 5 (laranja).2.2 Condi¸c˜ao de Dirichlet n˜ao homogˆenea: solu¸c˜ao de estado esta-cion´arioAgora consideraremos o problema da condu¸c˜ao de calor em uma barra homogˆenea de comprimento L,cuja superf´ıcie lateral ´e isolada termicamente e cujas extremidades s˜ao mantidas a temperaturas constantesT1, T2 0, respectivamente. O modelo matem´atico para esta situa¸c˜ao ´e o problema de Dirichletut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,u(0, t) = T1 se t 0,u(L, t) = T2 se t 0,u(x, 0) = f(x) se 0 x L.(2.3)Para este problema, o princ´ıpio de superposi¸c˜ao de solu¸c˜oes n˜ao funciona, pois apesar da equa¸c˜ao do calor serlinear, as condi¸c˜oes de contorno n˜ao s˜ao homogˆeneas. Vamos obter a solu¸c˜ao atrav´es de algumas considera¸c˜oesf´ısicas.´E de se esperar que, ap´os decorrido um tempo suficientemente longo, devido ao fato do calor se propagarrapidamente os efeitos da distribui¸c˜ao inicial de temperaturas na barra se dissipar˜ao e ser´a atingida umadistribui¸c˜ao de temperaturas permanente v(x), ou seja, independente do tempo t e da condi¸c˜ao inicial. Comov deve obedecer `a equa¸c˜ao do calor, mas vt ≡ 0, segue que v ´e uma solu¸c˜ao do problema{v′′(x) = 0 se 0 < x < L,v(0) = T1, v(L) = T2,(2.4)v ´e chamada a solu¸c˜ao de estado estacion´ario. Da equa¸c˜ao de v obtemos que v(x) = ax+b; os valores dasconstantes a, b s˜ao obtidos atrav´es das condi¸c˜oes de contorno, de modo que a solu¸c˜ao de estado estacion´ario´ev(x) =T2 − T1Lx + T1. (2.5)
    • Rodney Josu´e Biezuner 480T1T2LFigura 2.3. Solu¸c˜ao de estado estacion´ario.O fato da distribui¸c˜ao de temperaturas no estado estacion´ario ter a forma de uma reta ´e sugerida pela pr´opriaequa¸c˜ao do calor ut = Kuxx. O significado da equa¸c˜ao do calor ´e que a varia¸c˜ao da temperatura ut em umponto da barra com o passar do tempo ´e proporcional `a curvatura da fun¸c˜ao temperatura naquele ponto(isto ´e, uxx). Logo, se a curvatura da fun¸c˜ao temperatura ´e positiva (uxx > 0, concavidade para cima),ent˜ao ut ´e positiva tamb´em, e portanto a tendˆencia nesta regi˜ao da curva ´e que as temperaturas aumentem,diminuindo a concavidade e rectificando a curva na regi˜ao; se a curvatura da fun¸c˜ao temperatura ´e negativa(uxx < 0, concavidade para baixo), ent˜ao ut ´e tamb´em negativa, o que significa que a tendˆencia ´e que astemperaturas diminuam naquela regi˜ao, diminuindo a concavidade e rectificando a curva na regi˜ao.Para encontrar a solu¸c˜ao u(x, t) para (2.3), tentamos express´a-la como a soma da solu¸c˜ao de estadoestacion´ario v(x) e uma outra distribui¸c˜ao de temperatura w(x, t):u(x, t) = v(x) + w(x, t).A distribui¸c˜ao de temperatura w(x, t) ´e chamada transiente, porque ela desaparece `a medida que o tempopassa, ou seja, torna-se arbitrariamente pequena at´e o ponto de se tornar completamente irrelevante, per-manecendo apenas a solu¸c˜ao de estado estacion´ario. Como w(x, t) = u(x, t)−v(x), segue que w(x, t) satisfazo problema de Dirichlet homogˆeneowt = Kwxx se 0 < x < L e t > 0,w(0, t) = w(L, t) = 0 se t 0,w(x, 0) = f(x) −(T2 − T1Lx + T1)se 0 x L,cuja solu¸c˜ao j´a vimos na se¸c˜ao anterior:w(x, t) =∞∑n=1cne− n2π2L2 KtsennπxL,onde agora cn s˜ao os coeficientes da s´erie de Fourier de f −(T2 − T1Lx + T1), isto ´ecn =2L∫ L0[f(x) −(T2 − T1Lx + T1)]sennπxLdx.
    • Rodney Josu´e Biezuner 49Como vimos no final da se¸c˜ao anterior, de fato w(x, t) → 0 quando t → ∞. Portanto, a solu¸c˜ao do problema(2.3) ´e a soma da solu¸c˜ao de estado estacion´ario e a solu¸c˜ao transiente:u(x, t) =T2 − T1Lx + T1 +∞∑n=1cne− n2π2L2 KtsennπxL. (2.6)03x210026z 4182t345Figura 2.4. Solu¸c˜ao u(x, t) = v(x) + w(x, t).2.3 Condi¸c˜ao de Neumann homogˆenea: extremidades termica-mente isoladasNesta se¸c˜ao consideraremos o problema da condu¸c˜ao de calor em uma barra homogˆenea de comprimento L,cuja superf´ıcie lateral est´a isolada termicamente e cujas extremidades tamb´em est˜ao termicamente isoladas,de modo que n˜ao h´a transferˆencia de calor atrav´es delas e portanto ux(0, t) = ux(L, t) = 0. Este tipo decondi¸c˜ao de fronteira envolvendo as derivadas de u ´e chamada uma condi¸c˜ao de Neumann, como vimos. Omodelo matem´atico para a barra com extremidades isoladas ´e portanto o problema de Neumann homogˆeneout = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,ux(0, t) = ux(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = f(x) se 0 x L.(2.7)Vamos resolver este problema pelo m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis. Escrevendo u(x, t) = F(x)G(t),obtemos as equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias{F′′(x) − σF(x) = 0 se 0 < x < L,F′(0) = F′(L) = 0,(2.8)(a ´unica coisa que mudou aqui foi a condi¸c˜ao de contorno desta equa¸c˜ao diferencial) eG′(t) − σKG(t) = 0. (2.9)Novamente, para resolver (2.8), precisamos analizar o sinal de σ.1. σ > 0: A solu¸c˜ao geral de (2.8) ´e da formaF(x) = c1e√σx+ c2e−√σx,
    • Rodney Josu´e Biezuner 50de modo queF′(x) = c1√σe√σx+ c2√σe−√σx.A condi¸c˜ao inicial F′(x) = F′(L) = 0 implica que as constantes reais c1, c2 devem satisfazer o sistema{c1√σ + c2√σ = 0c1√σe√σL+ c2√σe−√σL= 0.cuja ´unica solu¸c˜ao ´e c1 = c2 = 0, mas F(x) ≡ 0 n˜ao nos interessa.2. σ = 0: A solu¸c˜ao geral de (2.8) ´e da formaF(x) = c1x + c2,de modo queF′(x) = c1.A condi¸c˜ao inicial F′(x) = F′(L) = 0 implica c1 = 0, mas desta vez podemos ter c2 ̸= 0 e portantouma solu¸c˜ao aceit´avel ´e a fun¸c˜ao constanteF(x) ≡ c0.3. σ < 0: Denotando λ =√−σ, a solu¸c˜ao geral de (2.8) ´e da formaF(x) = c1 cos λx + c2 sen λx,de modo queF′(x) = −c1λ sen λx + c2λ cos λx.A condi¸c˜ao inicial F′(x) = F′(L) = 0 implica que as constantes reais c1, c2 devem satisfazer o sistema{c2λ = 0−c1λ sen λL = 0.Logo c2 = 0 e como n˜ao queremos c1 = 0, devemos ter sen λL = 0, o que implica λL = nπ, onde n ∈ Npode ser um inteiro positivo qualquer. Portanto, para cada valor de n, uma solu¸c˜ao para (2.8) ´e afun¸c˜aoFn(x) = cosnπLx,chamada uma autofun¸c˜ao para o problema (2.8) associada ao autovalor−σ = λ2n =n2π2L2.A solu¸c˜ao de (2.9) continua sendoG(t) = ceσKt.Procedendo como fizemos antes, conclu´ımos que um candidato `a solu¸c˜ao do problema de Neumann ho-mogˆeneo (2.7) ´e a fun¸c˜aou(x, t) =12c0 +∞∑n=1cne− n2π2L2 KtcosnπxL, (2.10)onde cn s˜ao os coeficientes de Fourier da extens˜ao par de f, isto ´e,cn =2L∫ L0f(x) cosnπxLdx.
    • Rodney Josu´e Biezuner 510.00.501.0z1.512.02t34x5 01325432.01.51.0z0.50.030022x t11Figura 2.5. Solu¸c˜ao u(x, t) = 1 + e−tcos x para L = π, K = 1 e condi¸c˜ao inicial f(x) = 1 + cos x.De forma semelhante `a da primeira se¸c˜ao deste cap´ıtulo, ´e poss´ıvel provar que esta ´e de fato a ´unica solu¸c˜aode (2.7), e que (2.7) ´e um problema bem-posto no sentido de Hadamard.2.4 Condi¸c˜ao de Robin homogˆenea: condi¸c˜oes de fronteira mistasConsidere agora o problema da condu¸c˜ao de calor em uma barra homogˆenea de comprimento L, cuja superf´ıcielateral est´a isolada termicamente, uma das extremidades ´e mantida `a temperatura constante zero e a outraextremidade ´e termicamente isolada, digamos u(0, t) = ux(L, t) = 0. Esta ´e uma condi¸c˜ao de fronteira mista:em parte da fronteira impomos uma condi¸c˜ao de Dirichlet, e na outra parte uma condi¸c˜ao de Neumann(tamb´em chamada condi¸c˜ao de Robin, como vimos). O modelo matem´atico para esta situa¸c˜ao ´eut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,u(0, t) = ux(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = f(x) se 0 x L.(2.11)Resolveremos este problema tamb´em pelo m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis. Escrevendo u(x, t) =F(x)G(t), obtemos como de costume as equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias{F′′(x) − σF(x) = 0 se 0 < x < L,F(0) = F′(L) = 0,(2.12)eG′(t) − σKG(t) = 0.Para resolver (2.12), analizamos o sinal de σ:1. σ > 0: A solu¸c˜ao geral de (2.12) ´e da formaF(x) = c1e√σx+ c2e−√σx,de modo queF′(x) = c1√σe√σx+ c2√σe−√σx.A condi¸c˜ao inicial F(x) = F′(L) = 0 implica que as constantes reais c1, c2 devem satisfazer o sistema{c1 + c2 = 0c1√σe√σL+ c2√σe−√σL= 0.cuja ´unica solu¸c˜ao ´e c1 = c2 = 0, o que n˜ao nos interessa.
    • Rodney Josu´e Biezuner 522. σ = 0: A solu¸c˜ao geral de (2.12) ´e da formaF(x) = c1x + c2,de modo queF′(x) = c1.A condi¸c˜ao inicial F(x) = F′(L) = 0 implica c1 = c2 = 0, e novamente isto n˜ao ´e interessante.3. σ < 0: Denotando λ =√−σ, a solu¸c˜ao geral de (2.12) ´e da formaF(x) = c1 cos λx + c2 sen λx,de modo queF′(x) = −c1λ sen λx + c2λ cos λx.A condi¸c˜ao inicial F′(x) = F′(L) = 0 implica que as constantes reais c1, c2 devem satisfazer o sistema{c1 = 0c2λ cos λL = 0.Como n˜ao queremos c2 = 0, devemos ter cos λL = 0, o que implica λL =(2n − 1)π2, onde n ∈ N podeser um inteiro positivo qualquer. Portanto, para cada valor de n, uma solu¸c˜ao para (2.12) ´e a fun¸c˜aoFn(x) = sen(2n − 1)π2Lx,chamada uma autofun¸c˜ao para o problema (2.12) associada ao autovalor−σ = λ2n =(2n − 1)2π24L2.Portanto, um candidato `a solu¸c˜ao do problema com condi¸c˜oes de fronteira mistas (2.11) ser´a a fun¸c˜aou(x, t) =∞∑n=1c2n−1e−(2n−1)2π24L2 Ktsen(2n − 1)πx2Lse pudermos encontrar uma s´erie de Fourier para a condi¸c˜ao inicial f da formaf(x) =∞∑n=1c2n−1 sen(2n − 1)πx2Lo que n˜ao ´e imediatamente claro, pois2n − 12n˜ao ´e um inteiro. No entanto, podemos imaginar que 2L est´afazendo o papel de L na s´erie de Fourier, de modo que o que temos que obter ´e uma extens˜ao peri´odica ´ımparde per´ıodo 4L de f. Ainda assim, sobra o problema de que aparecem apenas os termos de coeficiente ´ımparnesta s´erie de senos de f. Precisamos determinar uma extens˜ao ´ımpar de f de tal modo que os coeficientesde Fourier de f correspondentes aos inteiros pares sejam iguais a zero. A solu¸c˜ao para este problema ´e definira seguinte extens˜ao para f:f(x) =f(x) se 0 x L,f(2L − x) se L x 2L,−f(−x) se − 2L x 0,f ´e peri´odica de per´ıodo 4L;observe que ao extendermos f no intervalo [L, 2L], o fizemos de tal modo que o gr´afico de f ´e sim´etrico emrela¸c˜ao `a reta x = L (veja a figura a seguir).
    • Rodney Josu´e Biezuner 53−4 −3 −2 −1 1 2 3 4−4−3−2−11234xyFigura 2.6. Gr´afico da extens˜ao f (L = 2).Os coeficientes de Fourier desta extens˜ao de f s˜ao dados poran = 0,bn =22L∫ 2L0f(x) sennπx2Ldx =1L∫ L0f(x) sennπx2Ldx +1L∫ 2LLf(2L − x) sennπx2Ldx=1L∫ L0f(x) sennπx2Ldx −1L∫ 0Lf(t) sennπ(2L − t)2Ldt=1L∫ L0f(x) sennπx2Ldx +1L∫ L0f(t) cos nπ sen(−nπt2L)dt=1L∫ L0f(x) sennπx2Ldx +1L∫ L0f(t)(−1)n+1sennπt2Ldt=0 se n ´e par,2L∫ L0f(x) sennπx2Ldx se n ´e ´ımpar.Com argumentos semelhantes aos utilizados anteriormente, pode-se provar que de fato a fun¸c˜aou(x, t) =∞∑n=1c2n−1e−(2n−1)2π24L2 Ktsen(2n − 1)πx2Lcomc2n−1 =2L∫ L0f(x) sen(2n − 1)πx2Ldx´e a ´unica solu¸c˜ao de (2.11), e que (2.11) ´e um problema bem-posto no sentido de Hadamard.
    • Rodney Josu´e Biezuner 54123t x00.20.00.400.62z0.81.046810Figura 2.7. Solu¸c˜ao u(x, t) = e− t4 senx2para L = π, K = 1 e condi¸c˜ao inicial f(x) = senx2.2.5 Equa¸c˜ao do calor n˜ao-homogˆenea: equa¸c˜ao de rea¸c˜ao-difus˜aoQuando h´a gera¸c˜ao ou perda interna de calor, a equa¸c˜ao diferencial parcial que modela a condu¸c˜ao de calorna barra ´e, como vimos na Introdu¸c˜ao,ut = Kuxx + q(x, t) se 0 < x < L e t > 0. (2.13)A equa¸c˜ao do calor ´e homogˆenea quando o termo-fonte q(x, t) ´e nulo:ut − Kuxx = 0;caso contr´ario, a equa¸c˜ao do calor ´e n˜ao-homogˆenea:ut − Kuxx = q(x, t).Esta equa¸c˜ao ´e tamb´em chamada de equa¸c˜ao de rea¸c˜ao-difus˜ao.Quando a gera¸c˜ao ou perda interna de calor independe do tempo, a resolu¸c˜ao ´e em geral mais simples.2.5.1 Fonte independente do tempo: m´etodo da solu¸c˜ao de estado estacion´arioNeste caso, a equa¸c˜ao diferencial parcial que modela a condu¸c˜ao de calor na barra ´e simplesmenteut = Kuxx + q(x) se 0 < x < L e t > 0. (2.14)A estrat´egia mais simples para resolver este tipo de problema ´e primeiro encontrar a solu¸c˜ao de estadoestacion´ario e depois encontrar a solu¸c˜ao transiente; a soma delas ser´a a solu¸c˜ao do problema. No entanto,dependendo das condi¸c˜oes de fronteira do problema, pode ser que uma solu¸c˜ao de estado estacion´ario n˜aoexista. Por exemplo, em um problema com gera¸c˜ao interna de calor em que as extremidades da barratamb´em est˜ao isoladas termicamente, como o calor n˜ao tem para onde escapar, a temperatura na barra deveaumentar constantemente sem limites (at´e a barra derreter e deixar de ser barra) e nunca ser´a atingida umasitua¸c˜ao de equil´ıbrio.
    • Rodney Josu´e Biezuner 552.8 Exemplo. Considere o seguinte problema de condu¸c˜ao de calor em uma barra uniforme, homogˆenea,cuja superf´ıcie lateral ´e isolada termicamente:ut = uxx + sen x se 0 < x < π e t > 0,u(0, t) = 1 se t 0,ux(π, t) = 2 se t 0,u(x, 0) = 1 + sen x se 0 x π.Observe que uma das extremidades da barra ´e mantida a uma temperatura constante, enquanto que aoutra extremidade tem uma taxa de fluxo de calor constante (condi¸c˜ao de fronteira de Robin). Al´emdisso, vemos que calor ´e gerado internamente na barra (a fun¸c˜ao seno ´e positiva no intervalo (0, π)),dependendo do ponto da barra, mas independente do tempo.Vamos encontrar primeiro a solu¸c˜ao de estado estacion´ario v(x). Embora, `a primeira vista, fisicamentetalvez n˜ao seja t˜ao claro que ela exista nestas condi¸c˜oes, se pudermos encontr´a-la matematicamenteisso por si s´o ser´a prova suficiente da sua existˆencia. Como v deve obedecer `a equa¸c˜ao do calor, masvt ≡ 0, segue que v satisfaz `a equa¸c˜ao 0 = v′′(x) + sen x, logo v ´e uma solu¸c˜ao do problemav′′(x) = − sen x se 0 < x < L,v(0) = 1,v′(π) = 2.(2.15)Por integra¸c˜ao simples, a solu¸c˜ao deste problema ´ev′(x) = cos x + c1,v(x) = sen x + c1x + c2.As constantes de integra¸c˜ao c1 e c2 s˜ao determinadas atrav´es das condi¸c˜oes de fronteira. A condi¸c˜ao defronteira v(0) = 1 permite concluir que c2 = 1, enquanto que a condi¸c˜ao v′(π) = 2 implica que c1 = 3.Assim, a solu¸c˜ao de estado estacion´ario ´ev(x) = sen x + 3x + 1.Escrevendo u(x, t) = v(x) + w(x, t), segue que a solu¸c˜ao transiente w satisfaz o problemawt = wxx se 0 < x < π e t > 0,w(0, t) = wx(π, t) = 0 se t 0,w(x, 0) = −3x se 0 x π.Como vimos antes, a solu¸c˜ao para este problema de condi¸c˜ao mista ´ew(x, t) =∞∑n=1c2n−1e−(2n−1)24 tsen(2n − 1)x2,comc2n−1 = −6π∫ π0x sen(2n − 1)x2dx =24(−1)nπ(2n − 1)2.Portanto, a solu¸c˜ao do problema ´eu(x, t) = sen x + 3x + 1 +24π∞∑n=1(−1)n(2n − 1)2e−(2n−1)24 tsen(2n − 1)x2.
    • Rodney Josu´e Biezuner 562.9 Exemplo. Considere uma barra homogˆenea, completamente isolada termicamente (ou seja, inclusivenas suas extremidades), feita de material radioativo, de modo que calor ´e gerado internamente `a umataxa constante. O modelo matem´atico para este problema ´eut = Kuxx + q se 0 < x < L e t > 0,ux(0, t) = ux(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = f(x) se 0 x L.Fisicamente, n˜ao deve haver uma temperatura de estado estacion´ario. Matematicamente, se supuser-mos que existe uma solu¸c˜ao de estado estacion´ario v(x) independente do tempo e tentarmos resolver ocorrespondente problema para v{v′′(x) = a se 0 < x < L,v′(0) = v′(L) = 0onde a = −q/K, obteremos por integra¸c˜ao simplesv′(x) = ax + c1,dondev(x) =a2x2+ c1x + c2.A condi¸c˜ao de fronteira v′(0) = 0 permite concluir que c1 = 0, mas ent˜ao a condi¸c˜ao de fronteirav′(L) = 0 implica que a = 0, uma contradi¸c˜ao (pois q ̸= 0); al´em disso, observe que a constante c2permanece indeterminada.Este problema pode ser resolvido pelo m´etodo de varia¸c˜ao dos parˆametros, como veremos na pr´oximasubse¸c˜ao.2.5.2 Fonte dependente do tempo: m´etodo de varia¸c˜ao dos parˆametrosQuando as condi¸c˜oes de fronteira do problema s˜ao homogˆeneas, podemos usar o m´etodo de varia¸c˜ao dosparˆametros. Para ilustrar este m´etodo, vamos considerar o problema de Dirichlet homogˆeneout = Kuxx + q (x, t) se 0 < x < L e t > 0,u(0, t) = u(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = f(x) se 0 x L.(2.16)A motiva¸c˜ao do m´etodo de varia¸c˜ao dos parˆametros ´e a seguinte. Se tiv´essemos q = 0 (isto ´e, equa¸c˜ao docalor homogˆenea), ent˜ao a solu¸c˜ao do problema seriau(x, t) =∞∑n=1cne− n2π2L2 KtsennπxL.Ent˜ao tentaremos uma solu¸c˜ao da formau(x, t) =∞∑n=1cn (t) e− n2π2L2 KtsennπxL(2.17)onde os parˆametros constantes cn s˜ao substitu´ıdos pelos parˆametros vari´aveis cn (t), que devem ser deter-minados. Observe que esta solu¸c˜ao j´a satisfaz as condi¸c˜oes de fronteira. Precisamos escolher os coeficientescn (t) de tal forma que u (x, t) satisfa¸ca a equa¸c˜ao do calor n˜ao-homogˆenea e a condi¸c˜ao inicial; esta ´ultimaobviamente ser´a satisfeita se tivermoscn (0) =2L∫ L0f(x) sennπxLdx. (2.18)
    • Rodney Josu´e Biezuner 57Temosut(x, t) =∞∑n=1[c′n (t) e− n2π2L2 Kt−n2π2L2Kcn (t) e− n2π2L2 Kt]sennπxL,uxx(x, t) =∞∑n=1cn (t) e− n2π2L2 Kt(−n2π2L2K)sennπxL.Substituindo estas express˜oes na equa¸c˜ao do calor n˜ao-homogˆenea, temos∞∑n=1[c′n (t) −n2π2L2Kcn (t)]e− n2π2L2 KtsennπxL=∞∑n=1(−n2π2L2K)cn (t) e− n2π2L2 KtsennπxL+ q (x, t) .Se para cada t > 0 fixado a fun¸c˜ao q (x, t) ´e representada por sua s´erie de Fourier de senosq (x, t) =∞∑n=1qn (t) sennπxL,segue que∞∑n=1[c′n (t) −n2π2L2Kcn (t)]e− n2π2L2 KtsennπxL=∞∑n=1[−n2π2L2Kcn (t) e− n2π2L2 Kt+ qn (t)]sennπxL.Igualando os termos da s´erie (pois a s´erie de Fourier de uma fun¸c˜ao definida na reta toda ´e ´unica), obtemospara cada n ∈ N a equa¸c˜ao diferencial ordin´aria[c′n (t) −n2π2L2Kcn (t)]e− n2π2L2 Kt= −n2π2L2Kcn (t) e− n2π2L2 Kt+ qn (t)ouc′n (t) = qn (t) en2π2L2 Kt, (2.19)sujeita `a condi¸c˜ao inicial (2.18). A solu¸c˜ao para este problema de valor inicial ´e obtida atrav´es de umasimples integra¸c˜ao:cn (t) = cn (0) +∫ t0qn (s) en2π2L2 Ksds. (2.20)Portanto, a solu¸c˜ao do problema de Dirichlet (2.16) ´eu(x, t) =∞∑n=1[cn (0) +∫ t0qn (s) en2π2L2 Ksds]e− n2π2L2 KtsennπxL. (2.21)Este m´etodo tamb´em funciona quando consideramos condi¸c˜oes de Neumann ou de Robin homogˆeneas.2.10 Exemplo. Como exemplo, vamos usar o m´etodo de varia¸c˜ao de parˆametros para resolver o problemade Neumann do Exemplo 2.9. Escrevemosu(x, t) =c0 (t)2+∞∑n=1cn (t) e− n2π2L2 KtcosnπxL.Comoq0 = q,qn = 0 para todo n > 1,
    • Rodney Josu´e Biezuner 58segue quec0 (t) = qt +c0 (0)2,cn (t) = cn (0) para todo n > 1,logou(x, t) = qt +c02+∞∑n=1cne− n2π2L2 KtcosnπxL,onde cn s˜ao os coeficientes da s´erie de Fourier de f. Note que quando t → ∞ a solu¸c˜ao se comportacomov (x, t) = qt +c02.Neste sentido, podemos chamar v (x, t) de solu¸c˜ao de estado estacion´ario. Observe como a temperaturaaumenta a uma taxa constante `a medida que o tempo passa tornando-se arbitrariamente grande, comoesper´avamos.2.5.3 O problema geralConsidere o problemaut = Kuxx + q (x, t) se 0 < x < L e t > 0,u(x, 0) = f(x) se 0 x L,a1u (0, t) − b1ux (0, t) = g (t) se t 0,a2u (L, t) + b2ux (L, t) = h (t) se t 0,(2.22)onde a1, b1, a2, b2 ∈ R s˜ao constantes n˜ao-negativas tais que a1, b1 n˜ao s˜ao simultaneamente nulas, a2, b2 n˜aos˜ao simultaneamente nulas e (La1 + b1) a2 + a1b2 ̸= 0 (esta ´ultima condi¸c˜ao exclui problemas de Neumann).Embora n˜ao fa¸ca sentido obter uma solu¸c˜ao de estado estacion´ario, j´a que o problema todo ´e dependentedo tempo, ainda assim podemos considerar escreveru (x, t) = v (x, t) + w (x, t) , (2.23)onde desta vez a “solu¸c˜ao de estado estacion´ario” v (x, t) satisfaz o problemavxx = 0 se 0 < x < L e t > 0,a1v (0, t) − b1vx (0, t) = g (t) se t 0,a2v (L, t) + b2vx (L, t) = h (t) se t 0,(2.24)e a “solu¸c˜ao transiente” satisfaz ent˜ao o problemawt = Kwxx + q (x, t) − vt (x, t) se 0 < x < L e t > 0,w(x, 0) = f(x) − v (x, 0) se 0 x L,a1w (0, t) − b1wx (0, t) = 0 se t 0,a2w (L, t) + b2wx (L, t) = 0 se t 0.(2.25)Em outras palavras, como no problema geral a equa¸c˜ao ´e n˜ao-homogˆenea e as condi¸c˜oes de fronteira tamb´ems˜ao n˜ao-homogˆeneas, dividimos o problema em dois problemas mais simples: no problema (2.24) a equa¸c˜ao ´ehomogˆenea e as condi¸c˜oes de fronteira s˜ao n˜ao-homogˆeneas; no problema (2.25) a equa¸c˜ao ´e n˜ao-homogˆeneamas as condi¸c˜oes de fronteira s˜ao homogˆeneas. A solu¸c˜ao do problema (2.24) ´e ainda uma fun¸c˜ao linear emx, mas desta vez os coeficientes lineares dependem de t:v (x, t) = A (t) x + B (t) . (2.26)
    • Rodney Josu´e Biezuner 59Os coeficientes A (t) e B (t) s˜ao determinados pelas condi¸c˜oes de fronteira. Resolvendo o sistema resultante{a1B (t) − b1A (t) = g (t)a2 [A (t) L + B (t)] + b2A (t) = h (t),obtemosv (x, t) =a1h (t) − a2g (t)(La1 + b1) a2 + a1b2x +b1h (t) + (La2 + b2) g (t)(La1 + b1) a2 + a1b2. (2.27)Observe que para resolvermos este sistema, a condi¸c˜ao (La1 + b1) a2 + a1b2 ̸= 0 ´e essencial.Para resolver o problema (2.25), como as condi¸c˜oes de fronteira s˜ao homogˆeneas, podemos usar o m´etodode varia¸c˜ao de parˆametros introduzido na subse¸c˜ao anterior, desde que tenhamos um problema de Dirichletou um problema de Robin do tipo tratado anteriormente. Caso contr´ario, a situa¸c˜ao fica mais complicada,como mostrado na pr´oxima se¸c˜ao.2.6 Alguns problemas espec´ıficos de condu¸c˜ao do calor2.6.1 Problema da barra com convec¸c˜ao de calor em um extremoConsidere uma barra uniforme homogˆenea de comprimento L, cuja superf´ıcie lateral est´a isolada termica-mente, uma das extremidades ´e mantida a uma temperatura constante T1, mas a outra extremidade n˜ao ´etermicamente isolada, de modo que ela pode trocar calor com o meio ambiente. Como vimos na Introdu¸c˜ao,pela lei de resfriamento de Newton esta extremidade perde ou ganha calor (atrav´es de radia¸c˜ao ou de con-vec¸c˜ao, ou ambos) a uma taxa que ´e proporcional `a diferen¸ca de temperatura entre este ponto da barra e oseu meio, isto ´e,ux(L, t) = −h[u(L, t) − T2],onde T2 ´e a temperatura do meio-ambiente e h ´e uma constante positiva. Portanto, o modelo matem´aticopara esta situa¸c˜ao ´e o problema com condi¸c˜ao de Robinut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,u(0, t) = T1 se t 0,ux(L, t) + hu(L, t) = hT2 se t 0,u(x, 0) = f(x) se 0 x L.(2.28)Para resolver este problema, primeiro procuramos a solu¸c˜ao de estado estacion´ario, j´a que as condi¸c˜oesnos extremos n˜ao s˜ao homogˆeneas. A solu¸c˜ao de estado estacion´ario v = v(x) deve satisfazer o problemav′′(x) = 0 se 0 < x < L,v(0) = T1,v′(L) + hv(L) = hT2.Obtemos v(x) = ax + b, com as constantes a, b sendo as solu¸c˜oes do sistema linear{b = T1a + h(aL + b) = hT2ou seja,v(x) =h(T2 − T1)1 + hLx + T1.Definindo w(x, t) = u(x, t) − v(x), segue que a solu¸c˜ao transiente w(x, t) satisfaz o problema homogˆeneowt = Kwxx se 0 < x < L e t > 0,w(0, t) = 0 se t 0,wx(L, t) + hw(L, t) = 0 se t 0,w(x, 0) = g(x) se 0 x L,
    • Rodney Josu´e Biezuner 60onde g(x) = f(x) − v(x). Usando o m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis, escrevendo w(x, t) = F(x)G(t),conclu´ımos que F e G devem satisfazerF′′(x) − σF(x) = 0 se 0 < x < L,F(0) = 0,F′(L) + hF(L) = 0,(2.29)eG′(t) − σKG(t) = 0.Como antes, ´e poss´ıvel verificar que apenas no caso σ < 0 temos solu¸c˜oes que n˜ao s˜ao identicamente nulas.Denotando λ =√−σ, a solu¸c˜ao geral de (2.29) ´e ent˜ao da formaF(x) = c1 cos λx + c2 sen λx,de modo queF′(x) = −c1λ sen λx + c2λ cos λx.A condi¸c˜ao F(0) = 0 implica que c1 = 0, enquanto que a condi¸c˜ao F′(L) + hF(L) = 0 implica quec2λ cos λL = −hc2 sen λL,ou seja,tan λL = −λh.Existem infinitas solu¸c˜oes para esta equa¸c˜ao transcendental em λ (pois a reta de inclina¸c˜ao −1/h interceptao gr´afico de tan λL infinitas vezes); de fato, para cada n ∈ N existe uma ´unica solu¸c˜ao λn satisfazendo(2n − 1)π2L< λn <(2n + 1)π2L.Portanto, generalizando, gostar´ıamos de escrever a solu¸c˜ao na formaw(x, t) =∞∑n=1cne−λ2nL2 Ktsen λnx, (2.30)assumindo que toda fun¸c˜ao razo´avel g pode ser escrita como uma s´erie de Fourier generalizadag(x) =∞∑n=1cn senλnLx.Os valores de λn podem ser obtidos atrav´es de m´etodos num´ericos (eles certamente n˜ao s˜ao uma constantevezes n, como no caso da s´erie de Fourier). A resolu¸c˜ao completa deste problema pede portanto uma teoriade s´eries de Fourier generalizadas, o que n˜ao faremos neste curso (para ver o desenvolvimento desta teoria,uma boa referˆencia ´e [5]).2.6.2 Condi¸c˜oes de fronteira de Robin geraisA mesma observa¸c˜ao da subse¸c˜ao anterior vale para um problema com condi¸c˜oes de fronteira de Robin maiscomplicadas: ut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,u(x, 0) = f(x) se 0 x L,a1u (0, t) − b1ux (0, t) = 0 se t 0,a2u (L, t) + b2ux (L, t) = 0 se t 0.(2.31)
    • Rodney Josu´e Biezuner 61Usando o m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis, ca´ımos em um problema de Sturm-Liouville da formaF′′(x) − σF(x) = 0 se 0 < x < L,a1F (0) − b1F′(0) = 0,a2F (L) + b2F′(L) = 0,(2.32)e ´e necess´ario determinar os autovalores σn e as correspondentes autofun¸c˜oes Fn deste problema. Admitindoque seja poss´ıvel encontr´a-los, poderemos verificar se existe uma s´erie de Fourier associada a este conjuntode autofun¸c˜oes (em outras palavras, ser´a que o conjunto de autofun¸c˜oes constitui um sistema ortogonal?) eescrever a solu¸c˜ao na formau (x, t) =∞∑n=1cneσnKtFn (x) .A partir da´ı, o correspondentes problema com a equa¸c˜ao do calor n˜ao-homogˆenea seria resolvido usandoo m´etodo de varia¸c˜ao de parˆametros como fizemos na se¸c˜ao anterior. Para ver se ´e realmente poss´ıvelfazer isso, como observado antes ter´ıamos que nos aprofundar mais no estudo da teoria de problemas deSturm-Liouville.2.6.3 Problema do anel circular finoConsidere um fio fino cuja superf´ıcie lateral ´e termicamente isolada (atrav´es de uma capa pl´astica ou fitaisolante, por exemplo), de comprimento 2L, e que ´e dobrado na forma de um anel circular, atrav´es dauni˜ao das duas extremidades em x = −L e x = L (escolhemos as coordenadas no fio de modo que o seuponto m´edio corresponde `a origem; esta escolha ´e feita para que as f´ormulas obtidas aqui tenham a mesmaaparˆencia que as anteriores). Se o fio ´e suficientemente fino, ´e razo´avel assumir que a temperatura no fio ´econstante ao longo de se¸c˜oes transversais, como no caso da barra, e que o calor se propaga uniformemente eperpendicularmente atrav´es das se¸c˜oes transversais. Neste caso, o modelo matem´atico para este problema ´eut = Kuxx se − L < x < L e t > 0,u(−L, t) = u(L, t) se t > 0,ux(−L, t) = ux(L, t) se t > 0,u(x, 0) = f(x) se − L x L,onde x ´e o comprimento de arco ao longo do fio. Observe que as condi¸c˜oes de fronteira s˜ao uma conseq¨uˆenciada hip´otese de que o contato entre as duas extremidades do fio ´e perfeito do ponto de vista t´ermico. Este ´eevidentemente um problema de condi¸c˜oes de fronteira mistas. Estas n˜ao s˜ao exatamente prescritas, mas s˜aocondi¸c˜oes de fronteira peri´odicas, j´a que podemos imaginar o problema definido para todo x (n˜ao apenas parax entre −L e L), com o ponto x sendo fisicamente igual ao ponto x + 2L, logo tendo a mesma temperatura.Resolvendo este problema pelo m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis, chegamos ao problema de Sturm-Liouville peri´odico F′′(x) − σF(x) = 0 se − L < x < L,F(−L) = F(L),F′(−L) = F′(L).(2.33)A ´unica solu¸c˜ao peri´odica para este problema, al´em da solu¸c˜ao constante F0(x) = c (correspondente `a σ = 0),´eF(x) = c1 cos λx + c2 sen λx.onde, como de costume, λ =√−σ. Usando a primeira condi¸c˜ao de fronteira, obtemosc1 cos(−λL) + c2 sen(−λL) = c1 cos(λL) + c2 sen(λL),donde2c2 sen(λL) = 0.
    • Rodney Josu´e Biezuner 62Usando a segunda condi¸c˜ao de fronteira, obtemos−λc1 sen(−λL) + λc2 cos(−λL) = −λc1 sen(λL) + λc2 cos(λL),donde2λc1 sen(λL) = 0.Se sen(λL) ̸= 0, ent˜ao c1 = c2 = 0. Portanto, teremos uma solu¸c˜ao n˜ao identicamente nula somente sesen(λL) = 0,o que corresponde a λ =nπL. Logo, σ = −n2π2L2eFn(x) = an cosnπxL+ bn sennπxL,Gn(t) = e− n2π2L2 Kt.Assim, a solu¸c˜ao do problema ´eu(x, t) =a02+∞∑n=1ane− n2π2L2 KtcosnπxL+∞∑n=1bne− n2π2L2 KtsennπxL, (2.34)onde an e bn s˜ao os coeficientes da s´erie de Fourier da extens˜ao peri´odica de f de per´ıodo 2L. Este ´e umexemplo de uma solu¸c˜ao que envolve ambos senos e cossenos.2.7 Exerc´ıciosNote que estes exerc´ıcios s˜ao apenas complementares aos exerc´ıcios do livro-texto.Exerc´ıcio 2.1. Resolva os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira. Encontre a solu¸c˜ao de estadoestacion´ario, se existir.(a)ut = uxx se 0 < x < 1 e t > 0,u(0, t) = 0, u(1, t) = 100 se t 0,u(x, 0) = 100x (1 − x) se 0 x 1.(b)ut = uxx se 0 < x < 10 e t > 0,u(0, t) = 0, u(10, t) = 100 se t 0,u(x, 0) ={0 se 0 x < 5,100 se 5 < x 10.(c)ut = uxx se 0 < x < π e t > 0,ux(0, t) = u(π, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = x se 0 x π.Exerc´ıcio 2.2. Usando algum software matem´atico (Scilab, Maple, Matlab, etc.) ou algum pacote gr´afico(OpenGL, Java2D, etc.), plote os gr´aficos de algumas das solu¸c˜oes do problema anterior e veja como asolu¸c˜ao evolui com o tempo.Exerc´ıcio 2.3. O problema de valor inicial e de fronteira para tempo negativout = Kuxx se 0 < x < L e t < 0,u(0, t) = u(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = f(x) se 0 x L,
    • Rodney Josu´e Biezuner 63´e bem-posto no sentido de Hadamard? (Sugest˜ao: determine a solu¸c˜ao correspondente af (x) =1nsennπxL,onde n ∈ N.)Exerc´ıcio 2.4. Determine se o princ´ıpio do m´aximo vale para a equa¸c˜ao do calor n˜ao homogˆeneaut = Kuxx + q,onde q ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua tal que q 0. (Sugest˜ao: considere a fun¸c˜ao u(x, t) = (1 − e−t) sen x.)Exerc´ıcio 2.5. Mostre que o problema de Neumannut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,ux(0, t) = 0 se t 0,ux(L, t) = ε se t 0,u(x, 0) = f(x) se 0 x L,onde ε ´e uma constante positiva, n˜ao possui uma solu¸c˜ao limitada em [0, L] × [0, +∞) (em outraspalavras, este problema n˜ao possui uma solu¸c˜ao de estado estacion´ario).Exerc´ıcio 2.6. (Equa¸c˜ao do Calor em uma Barra com Convec¸c˜ao na Superf´ıcie Lateral) Assuma que umabarra uniforme homogˆenea ´e isolada termicamente apenas em suas extremidades e que ela perde caloratrav´es de sua superf´ıcie lateral a uma taxa por unidade de comprimento diretamente proporcional`a diferen¸ca u (x, t) − T, onde T ´e a temperatura do meio ambiente ao redor da barra. Mostre que aequa¸c˜ao de propaga¸c˜ao do calor agora ´eut = Kuxx − h (u − T) ,onde h ´e uma constante positiva. Resolva o problema (de Neumann) associado, usando a fun¸c˜aov = eht(u − T)para reduzir o problema a um j´a resolvido.Exerc´ıcio 2.7. Mostre que ao introduzirmos as vari´aveis adimensionaisξ =xLe τ =K2L2t,a equa¸c˜ao do calorut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0´e transformada emut = uxx se 0 < x < 1 e t > 0.Exerc´ıcio 2.8. Encontre uma solu¸c˜ao para o problemaut = Kuxx + g (x, t) se 0 < x < L e t > 0,ux(0, t) = ux(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = f(x) se 0 x L.Exerc´ıcio 2.9. Resolva os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira. Encontre a solu¸c˜ao de estadoestacion´ario, se existir.
    • Rodney Josu´e Biezuner 64(a)ut = Kuxx + a se 0 < x < L e t > 0,u(0, t) = b, u(L, t) = c se t 0,u(x, 0) = 0 se 0 x L,onde a, b, c ∈ R.(b)ut = Kuxx + Ce−pxse 0 < x < L e t > 0,u(0, t) = u(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = f (x) se 0 x L,onde p, C s˜ao constantes positivas.Exerc´ıcio 2.10. Encontre o valor constante de q e o menor valor da constante M para os quais o problemaut = Kuxx + q se 0 < x < 1 e t > 0,ux(0, t) = 1, ux(1, t) = 3 se t 0,u(x, 0) = x (1 − 2x) + M se 0 x 1,possui uma solu¸c˜ao de estado estacion´ario e encontre esta solu¸c˜ao.Exerc´ıcio 2.11. Prove o seguinte princ´ıpio de compara¸c˜ao: Se u e v s˜ao duas solu¸c˜oes da equa¸c˜ao do calorque satisfazem as mesmas condi¸c˜oes de fronteira e tais queu (x, 0) v (x, 0)para todo 0 x L,ent˜aou (x, t) v (x, t)para todo 0 x L e para todo t 0.
    • Cap´ıtulo 3Equa¸c˜ao da Onda Unidimensional3.1 Modelo Matem´atico da Corda Vibrante3.1.1 Vibra¸c˜oes LivresNeste cap´ıtulo estudaremos o problema de descrever o movimento de uma corda sujeita a pequenas vibra¸c˜oestransversais. O modelo f´ısico ´e o seguinte:1. As vibra¸c˜oes ocorrem em um plano. Denotaremos as coordenadas deste plano por (x, u), de modo queu(x, t) denota a posi¸c˜ao do ponto x da corda no instante de tempo t.2. As vibra¸c˜oes s˜ao transversais. Ou seja, as part´ıculas constituintes da corda deslocam-se apenas nadire¸c˜ao do eixo u.3. A corda ´e flex´ıvel. Isso significa que a corda n˜ao oferece resistˆencia a ser dobrada (ou seja, resistˆenciaa flex˜ao, da´ı o nome). Como consequˆencia, a for¸ca atuando em cada ponto da corda ´e sempre tangente`a corda, chamada a tens˜ao da corda.T(x2,t)T(x1,t)Figura 3.1. Tens˜ao na corda vibrante nos pontos x1 e x2.Como n˜ao h´a movimento da corda na dire¸c˜ao do eixo x, isso significa que a resultante das componenteshorizontais das tens˜oes atuando em cada peda¸co da corda ´e nula. Portanto, se T(x1, t) e T(x2, t) s˜ao as65
    • Rodney Josu´e Biezuner 66tens˜oes atuando nos pontos x1 e x2 e θ(x1, t) e θ(x2, t) s˜ao os ˆangulos destas for¸cas com rela¸c˜ao `a horizontal(o eixo x), no instante de tempo t, segue queT(x1, t) cos θ(x1, t) = T(x2, t) cos θ(x2, t)para todos x1, x2. Portanto, a componente horizontal da tens˜ao ´e constante ao longo da corda, independentedo ponto x, embora ela possa depender do tempo t. Vamos denotar a componente horizontal da tens˜ao porτ(t):τ(t) := T(x, t) cos θ(x, t).T(x,t)T(x,t)senθ(x,t)θ(x,t)T(x,t) cos θ(x,t)Figura 3.2. Componentes da tens˜ao na corda vibrante em cada ponto.Para calcular a resultante vertical da tens˜ao atuando no peda¸co da corda compreendido entre x1 e x2,observamos primeiro que a for¸ca vertical atuando em um elemento infinitesimal da corda compreendido entreos pontos x e x + ∆x ´e dada por:T(x + ∆x, t) sen θ(x + ∆x, t) − T(x, t) sen θ(x, t) = τ(t) [tan θ(x + ∆x, t) − tan θ(x, t)] .Usando o fato de que tan θ(x, t) ´e a inclina¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico de u(x, t) no instante de tempo t,ou seja, a derivada ux(x, t) da fun¸c˜ao u com rela¸c˜ao a x, obtemosτ(t) [tan θ(x + ∆x, t) − tan θ(x, t)] = τ(t) [ux(x + ∆x, t) − ux(x, t)] = τ(t)uxx(x, t)∆xonde, pelo Teorema do Valor M´edio, x ´e algum ponto compreendido entre x e x+∆x. Portanto, a resultantevertical da tens˜ao atuando no peda¸co da corda compreendido entre x1 e x2 ´e dada porresultante vertical = τ(t)∫ x2x1uxx(x, t) dx. (3.1)Isso significa que em cada ponto x da corda, a for¸ca devida `a tens˜ao atuando nele no instante de tempo t´e dada por τ(t)uxx(x, t), o produto da tens˜ao horizontal naquele ponto pela curvatura da corda no ponto.Intuitivamente isso faz sentido, pois a tens˜ao atuando na corda ´e principalmente uma for¸ca horizontal equanto maior ´e a curvatura em um ponto na corda, maior deve ser a tens˜ao naquele ponto. Imagine umacorda presa nas suas extremidades. Ao tentarmos flexion´a-la, ela oferece resistˆencia exatamente por estarpresa (as extremidades presas “puxam” a corda em suas dire¸c˜oes), e quanto mais puxarmos a corda em umdeterminado ponto, o que significa que estamos cada vez aumentando mais a curvatura da corda naqueleponto, maior ´e a tens˜ao na corda, isto ´e, a sua resistˆencia a ser assim flexionada.
    • Rodney Josu´e Biezuner 67Al´em das for¸cas de tens˜ao (for¸cas internas `a corda), a corda pode tamb´em estar sujeitas a for¸cas externas,tais como a for¸ca da gravidade e a resistˆencia ao movimento da corda imposta pelo meio onde ela est´a situada(for¸cas de atrito ou fric¸c˜ao), mas assumiremos que a contribui¸c˜ao destas for¸cas ´e neglig´ıvel (por exemplo, acorda ´e feita de um material muito leve e o meio n˜ao oferece resistˆencia significativa). Em outras palavras,estamos assumindo que as vibra¸c˜oes s˜ao livres.Por outro lado, se utt(x, t) ´e a acelera¸c˜ao em um ponto x da corda no instante de tempo t (representadaapenas pelo seu componente vertical, j´a que o seu componente horizontal ´e nulo) e se a densidade linear dacorda no ponto x ´e ρ(x), segue da segunda lei de Newton que em cada elemento infinitesimal da corda afor¸ca atuando nele ´e dm utt(x, t) = ρ(x)dx utt(x, t), de modo queresultante vertical =∫ x2x1ρ(x)utt(x, t) dx. (3.2)Igualando (3.1) a (3.2), usando o fato de que x1 e x2 s˜ao arbitr´arios, e denotando c2= c2(x, t) = τ(t)/ρ(x),obtemos a equa¸c˜ao da onda:utt = c2uxx. (3.3)Fisicamente, ela significa que a acelera¸c˜ao em cada ponto da corda ´e proporcional `a curvatura da cordanaquele ponto. Pontos com concavidade para cima (isto ´e, uxx > 0) tendem a ser acelerados para cima(utt > 0), enquanto que pontos com concavidade para baixo (uxx < 0) tendem a ser acelerados para baixo(utt < 0); ´e claro que deve-se levar em conta tamb´em a velocidade e a dire¸c˜ao em que a corda est´a-se movendono momento.Quando a corda ´e homogˆenea, a densidade ´e constante: ρ(x) ≡ ρ. Se as vibra¸c˜oes s˜ao pequenas, demodo que θ(x, t) ∼ 0 e consequentemente cos θ(x, t) ∼ 1, a for¸ca de tens˜ao n˜ao varia com o tempo: τ(t) ≡ τ.Quando estas duas condi¸c˜oes s˜ao obedecidas, segue que o parˆametro c ´e uma constante. Observe que oparˆametro c tem dimens˜ao de velocidade, e o significado f´ısico disso ser´a explicado mais tarde.3.1.2 Condi¸c˜oes Iniciais e de FronteiraA equa¸c˜ao da onda ´e uma equa¸c˜ao de segunda ordem em ambas as vari´aveis x e t. Consequentemente, paraque o problema seja bem posto (isto ´e, tenha uma ´unica solu¸c˜ao), ´e necess´ario dar duas condi¸c˜oes iniciais: aposi¸c˜ao inicial da corda e a sua velocidade inicial, bem como as condi¸c˜oes de fronteira nas extremidades dacorda. No caso da corda, ´e ´obvio que as condi¸c˜oes iniciais devem ser fun¸c˜oes cont´ınuas.Por exemplo, o modelo matem´atico para uma corda homogˆenea de comprimento L, sujeita a pequenasvibra¸c˜oes e com as extremidades fixadas, seria o problema de Dirichletutt = c2uxx se 0 < x < L e t > 0,u(0, t) = u(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = f(x) se 0 x L,ut(x, 0) = g(x) se 0 x L,onde as condi¸c˜oes iniciais f e g s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas. Este ´e o caso de uma corda de viol˜ao, em que a corda´e deslocada e depois solta para come¸car a sua vibra¸c˜ao (f ̸= 0 e g ≡ 0) ou da corda de um piano, em que acorda em repouso ´e percurtida por um golpe de martelo (f ≡ 0 e g ̸= 0).Podemos tamb´em considerar o problema da corda com extremidades livres, em que as extremidadesda corda s˜ao presas a trilhos colocados perpendicularmente `a corda, no plano de vibra¸c˜ao:utt = c2uxx se 0 < x < L e t > 0,ux(0, t) = ux(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = f(x) se 0 x L,ut(x, 0) = g(x) se 0 x L.Este ´e um problema de Neumann
    • Rodney Josu´e Biezuner 68Podemos ainda considerar condi¸c˜oes de fronteira mistas (uma extremidade fixa, uma extremidade livre)ou um problema em que as extremidades da corda se movem transversalmente de acordo com uma leiconhecida: utt = c2uxx se 0 < x < L e t > 0,u(0, t) = a(t) se t 0,u(L, t) = b(t) se t 0,u(x, 0) = f(x) se 0 x L,ut(x, 0) = g(x) se 0 x L.3.1.3 Solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao da OndaO problema da corda vibrante ´e um problema bem posto no sentido de Hadamard se f ´e de classe C2e g ´ede classe C1.3.1 Defini¸c˜ao. Dizemos que uma fun¸c˜ao u : R → R ´e uma solu¸c˜ao do problema da corda vibrante,se u ´e cont´ınua em R={(x, t) ∈ R2: 0 x L e t 0}, u ∈ C2(R) e u satisfaz todas as condi¸c˜oesiniciais e de fronteira.3.1.4 Outros Tipos de Vibra¸c˜aoA equa¸c˜ao (3.3) descreve o movimento de uma corda vibrando livremente. No caso em que atuam for¸casexternas na corda, a resultante vertical das for¸cas atuando sobre a corda ´e modificada levando-se em contaestas for¸cas, de modo que obtemos diferentes equa¸c˜oes para descrever o movimento da corda:1. Vibra¸c˜oes for¸cadas: Se F(x, t) ´e uma for¸ca externa transversal atuando em cada ponto x da corda noinstante de tempo t, levando em conta este termo na dedu¸c˜ao da equa¸c˜ao da onda acima, vemos quea equa¸c˜ao que descreve o movimento da onda ´e dada porutt = c2uxx +F(x, t)ρ.Por exemplo, se a ´unica for¸ca externa que atua na corda ´e a for¸ca gravitacional, ent˜ao F(x, t) = −ρ(x)ge portantoutt = c2uxx − g2. Vibra¸c˜oes amortecidas: Se a corda estiver imersa em um fluido que op˜oe uma resistˆencia ao movimentoda corda, e esta for¸ca for proporcional `a velocidade da corda, temosutt = c2uxx − kut.Se o atrito depender do quadrado da velocidade da corda, ent˜ao teremos uma equa¸c˜ao n˜ao-linear:utt = c2uxx − ku2t .Neste curso n˜ao estudamos equa¸c˜oes n˜ao lineares.3. Vibra¸c˜oes sob a a¸c˜ao de uma for¸ca restauradora:utt = c2uxx − ku.
    • Rodney Josu´e Biezuner 693.2 Solu¸c˜ao pelo M´etodo de Separa¸c˜ao de Vari´aveis e S´eries deFourierVamos resolver o problema da corda vibrante com extremidades fixadas:utt = c2uxx se 0 < x < L e t > 0,u(0, t) = u(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = f(x) se 0 x L,ut(x, 0) = g(x) se 0 x L,(3.4)onde f(0) = f(L) = f′′(0) = f′′(L) = g(0) = g(L) = 0 e c ´e uma constante. Escrevendo u(x, t) = F(x)G(t),obtemos as equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias{F′′(x) − σF(x) = 0 se 0 < x < L,F(0) = F(L) = 0,(3.5)eG′′(t) − σc2G(t) = 0. (3.6)O problema de Sturm-Liouville (3.5) j´a foi estudado na Introdu¸c˜ao. Suas autofun¸c˜oes s˜aoFn(x) = sennπxL, (3.7)associadas respectivamente aos autovalores−σn =n2π2L2.Agora o problema (3.6) ´eG′′(t) +c2n2π2L2G(t) = 0,cuja solu¸c˜ao geral ´eGn(t) = cn coscnπtL+ dn sencnπtL. (3.8)Portanto, as solu¸c˜oes fundamentais da equa¸c˜ao da onda que satisfazem `as condi¸c˜oes de fronteira s˜ao asfun¸c˜oesun(x, t) = sennπxL(cn coscnπtL+ dn sencnπtL). (3.9)O candidato `a solu¸c˜ao de (3.4) ´e a s´erie infinitau(x, t) =∞∑n=1sennπxL(cn coscnπtL+ dn sencnπtL).Os seus coeficientes an, bn s˜ao determinados atrav´es das condi¸c˜oes iniciais. Como u(x, 0) = f(x), temosf(x) =∞∑n=1cn sennπxL,ou seja, cn s˜ao os coeficientes da s´erie de Fourier em senos de f:cn =2L∫ L0f(x) sennπxLdx.
    • Rodney Josu´e Biezuner 70Derivando termo a termo a s´erie acima em rela¸c˜ao a t, encontramosut(x, t) =∞∑n=1cnπLsennπxL(−cn sencnπtL+ dn coscnπtL).Como ut(x, 0) = g(x), segue queg(x) =∞∑n=1cnπLdn sennπxLecnπLdn s˜ao portanto os coeficientes da s´erie de Fourier em senos de g:dn =2cnπ∫ L0g(x) sennπxLdx.Mais uma vez, ´e poss´ıvel provar rigorosamente que este candidato ´e de fato a ´unica solu¸c˜ao para o problema(3.4) sob hip´oteses razo´aveis:3.2 Teorema. Sejam f, g : [0, L] → R fun¸c˜oes tais que f ´e de classe C2e g ´e de classe C1, satisfazendof(0) = f(L) = f′′(0) = f′′(L) = g(0) = g(L) = 0. Ent˜aou(x, t) =∞∑n=1sennπxL(cn coscnπtL+ dn sencnπtL)comcn =2L∫ L0f(x) sennπxLdx,dn =2cnπ∫ L0g(x) sennπxLdx,´e a ´unica solu¸c˜ao para (3.4), cont´ınua em R e de classe C2em R.3.3 Exemplo. Resolva o problemautt = uxx se 0 < x < π e t > 0,u(0, t) = u(π, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = sen x se 0 x π,ut(x, 0) = 0 se 0 x π.Pelo m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis, obtemosu(x, t) = sen x cos t.Observe que em cada instante de tempo t a forma da corda ´e uma senoidal, cuja amplitude varia demaneira peri´odica. Por exemplo,u(x, 0) = sen x, u(x, 5π/4) = −√22 sen x,u(x, π/4) =√22 sen x, u(x, 3π/2) = 0,u(x, π/2) = 0, u(x, 7π/4) =√22 sen xu(x, 3π/4) = −√22 sen x, u(x, 2π) = sen x.u(x, π) = − sen x,Veja tamb´em a Figura 3.3.
    • Rodney Josu´e Biezuner 71−1.0−0.8−0.6−0.4−0.20.00.20.40.60.81.0xuFigura 3.3. Vibra¸c˜oes da corda.Este exemplo ilustra de forma clara a diferen¸ca da equa¸c˜ao do calor para a equa¸c˜ao da onda. Na equa¸c˜aoda onda, o termo dependente de t tamb´em ´e uma fun¸c˜ao peri´odica, de modo que a corda vibra. Na equa¸c˜aodo calor, diferentemente, o termo dependente de t ´e um decaimento exponencial em t: o calor se propaga (ese dissipa) rapidamente.3.4 Exemplo. Resolva o problemautt = uxx se 0 < x < π e t > 0,u(0, t) = u(π, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = 0 se 0 x π,ut(x, 0) = sen x se 0 x π.Pelo m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis, obtemosu(x, t) = sen x sen t.Aqui tamb´em a forma da corda ´e uma senoidal em cada instante de tempo t, cuja amplitude varia demaneira peri´odica. Apenas o intervalo de tempo ´e deslocado de uma constante, porque a corda come¸cado repouso:u(x, 0) = 0, u(x, 5π/4) = −√22 sen x,u(x, π/4) =√22 sen x, u(x, 3π/2) = sen x,u(x, π/2) = sen x, u(x, 7π/4) = −√22 sen xu(x, 3π/4) =√22 sen x, u(x, 2π) = 0.u(x, π) = 0,3.3 A Solu¸c˜ao de D’Alembert3.3.1 Solu¸c˜ao Geral da Equa¸c˜ao da OndaEm geral, a existˆencia de uma solu¸c˜ao geral ´e t´ıpico das equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias e excepcional em setratando de equa¸c˜oes diferenciais parciais. Vamos agora ver que a equa¸c˜ao da onda ´e uma equa¸c˜ao diferencialparcial at´ıpica, no sentido de que ela possui uma solu¸c˜ao geral:
    • Rodney Josu´e Biezuner 723.5 Teorema. (Solu¸c˜ao de D’Alembert, 1747) Suponha que u ´e uma fun¸c˜ao de classe C2que satisfaz aequa¸c˜ao da ondautt = c2uxxonde c ´e uma constante. Ent˜ao existem fun¸c˜oes F, G : R → R de classe C2tais queu(x, t) = F(x + ct) + G(x − ct). (3.10)Al´em disso, esta ´e a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao da onda.Prova: Se u ´e da forma u(x, t) = F(x + ct) + G(x − ct), para algumas fun¸c˜oes F, G de classe C2, ent˜ao u ´euma solu¸c˜ao de classe C2da equa¸c˜ao da onda porqueux = F′(x + ct) + G′(x − ct),uxx = F′′(x + ct) + G′′(x − ct),ut = cF′(x + ct) − cG′(x − ct),utt = c2F′′(x + ct) + c2G′′(x − ct) = c2uxx.Reciprocamente, para provar que toda solu¸c˜ao da onda tem esta forma, vamos primeiro introduzir novasvari´aveisr = x + ct e s = x − cte definir uma nova fun¸c˜ao v(r, s) porv(r, s) = v(x + ct, x − ct) = u(x, t).Pela regra da cadeia, segue queux = vrrx + vssx = vr + vs,uxx = (ux)x = (vr + vs)x = vrrrx + vrssx + vsrrx + vsssx = vrr + 2vrs + vss,eut = vrrt + vsst = c(vr − vs),utt = (ut)t = c(vr − vs)t = c[vrrrt + vrsst − vsrrt − vssst] = c2(vrr − 2vrs + vss).Aqui usamos o fato de que v ´e de classe C2para garantir que vrs = vsr.Como utt = c2uxx, segue quec2(vrr − 2vrs + vss) = c2(vrr + 2vrs + vss)e, portanto,vrs = 0.´E f´acil resolver esta equa¸c˜ao por integra¸c˜ao simples. Por exemplo, (vr)s = 0 implica que vr ´e constante emrela¸c˜ao a s, isto ´e, vr ´e uma fun¸c˜ao apenas de r:vr(r, s) = f(r);em particular, f ´e de classe C1. Da´ı, integrando novamente obtemosv(r, s) =∫f(r)dr + G(s).
    • Rodney Josu´e Biezuner 73Definindo F(r) =∫f(r)dr, segue que F ´e de classe C2ev(r, s) = F(r) + G(s).Como G(s) = v(r, s) − F(r), temos que G tamb´em ´e de classe C2.Voltando `as vari´aveis originais x, t, conclu´ımos portanto queu(x, t) = v(x + ct, x − ct) = F(x + ct) + G(x − ct)com F e G de classe C2.A express˜ao F(x + ct) ´e chamada uma onda viajante movendo-se para a esquerda com velocidade c, porqueo gr´afico de F(x + ct) ´e o gr´afico de F(x) deslocado ct unidades para a esquerda. Analogamente, G(x − ct) ´euma onda viajante movendo-se para a direita com velocidade ct. A solu¸c˜ao da equa¸c˜ao da onda ´e portantoa soma de duas ondas viajantes, movendo-se com a mesma velocidade mas em sentidos opostos.xuxuxuxuxuxuxuxuxuFigura 3.4. Ondas viajantes.3.3.2 Corda InfinitaUsando a solu¸c˜ao de D’Alembert podemos resolver o problema da corda infinita:utt = c2uxx se x ∈ R e t > 0,u(x, 0) = f(x) se x ∈ R,ut(x, 0) = g(x) se x ∈ R,(3.11)onde f, g : R → R s˜ao fun¸c˜oes de classe C2e de classe C1, respectivamente. Este ´e um problema de valorinicial apenas, tamb´em chamado de problema de Cauchy. Ele pode ser pensado como o modelo matem´aticopara uma corda muito longa, de modo que as condi¸c˜oes sobre as suas extremidades podem ser desprezadas.Este problema n˜ao pode ser resolvido por s´eries de Fourier se as fun¸c˜oes f e g n˜ao forem peri´odicas, mas suasolu¸c˜ao pode ser obtida atrav´es do m´etodo de D’Alembert:
    • Rodney Josu´e Biezuner 743.6 Teorema. Sejam f, g : R → R fun¸c˜oes tais que f ´e de classe C2e g ´e de classe C1. Ent˜aou(x, t) =12[f(x + ct) + f(x − ct)] +12c∫ x+ctx−ctg(s) ds (3.12)´e uma solu¸c˜ao para (3.11) de classe C2em R2.Prova: Pelo Teorema 3.5, existem fun¸c˜oes F, G : R → R de classe C2tais queu(x, t) = F(x + ct) + G(x − ct).Observe que as fun¸c˜oes F e G n˜ao podem ser determinadas de maneira ´unica, porque se k ´e uma constantearbitr´aria, ent˜ao F + k e G − k levam `a mesma solu¸c˜ao para o problema.Das condi¸c˜oes iniciais do problema, obtemos o sistema{F(x) + G(x) = f(x)c [F′(x) − G′(x)] = g(x)para todo x ∈ R. Integrando a ´ultima express˜ao, escolhendo a constante de integra¸c˜ao como sendo 0 (poisbasta encontrar uma solu¸c˜ao), obtemos o sistemaF(x) + G(x) = f(x)F(x) − G(x) =1c∫ x0g(s) dsSomando as duas equa¸c˜oes do sistema, encontramosF(x) =12f(x) +12c∫ x0g(s) ds.Subtraindo a segunda equa¸c˜ao da primeira, obtemosG(x) =12f(x) −12c∫ x0g(s) ds.Portanto,u(x, t) = F(x + ct) + G(x − ct)=[12f(x + ct) +12c∫ x+ct0g(s) ds]+[12f(x − ct) −12c∫ x−ct0g(s) ds]=12[f(x + ct) + f(x − ct)] +12c[∫ 0x−ctg(s) ds +∫ x+ct0g(s) ds]=12[f(x + ct) + f(x − ct)] +12c∫ x+ctx−ctg(s) ds.3.7 Exemplo. A solu¸c˜ao de D’Alembert para o problemautt = uxx se x ∈ R e t > 0,u(x, 0) = e−x2se x ∈ R,ut(x, 0) =11 + x2se x ∈ R,´eu(x, t) =12[e−(x+t)2+ e−(x−t)2+∫ x+tx−t11 + s2ds]=12[e−(x+t)2+ e−(x−t)2+ arctan (x + t) − arctan (x − t)].
    • Rodney Josu´e Biezuner 753.3.3 Solu¸c˜ao da Corda Vibrante com Extremidades Fixas pelo M´etodo deD’AlembertA solu¸c˜ao que obtivemos para o problema da corda vibrante com extremidades fixadasu(x, t) =∞∑n=1sennπxL(cn coscnπtL+ dn sencnπtL)pode ser facilmente escrita na forma de D’Alembert. De fato, usando as identidades trigonom´etricas, temossennπxLcoscnπtL=12[sennπ(x + ct)L+ sennπ(x − ct)L],sennπxLsencnπtL=12[cosnπ(x − ct)L− cosnπ(x + ct)L],de modo queu(x, t) =∞∑n=1cn sennπxLcoscnπtL+∞∑n=1dn sennπxLsencnπtL=12∞∑n=1cn[sennπ(x + ct)L+ sennπ(x − ct)L]+12∞∑n=1dn[cosnπ(x − ct)L− cosnπ(x + ct)L]=12∞∑n=1[cn sennπ(x + ct)L− dn cosnπ(x + ct)L]+12∞∑n=1[cn sennπ(x − ct)L+ dn cosnπ(x − ct)L].Assim, definindoF(r) =12∞∑n=1[cn sennπrL− dn cosnπrL],G(s) =12∞∑n=1[cn sennπsL+ dn cosnπsL],temos u(x, t) = F(x + ct) + G(x − ct). F e G tamb´em podem ser determinadas de maneira direta em fun¸c˜aodas condi¸c˜oes iniciais, como fizemos para a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao da onda para a corda infinita:3.8 Teorema. Sejam f, g : [0, L] → R fun¸c˜oes tais que f ´e de classe C2e g ´e de classe C1, satisfazendof(0) = f(L) = f′′(0) = f′′(L) = g(0) = g(L) = 0. Ent˜aou(x, t) =12[f(x + ct) + f(x − ct)] +12c∫ x+ctx−ctg(s) ds, (3.13)onde f, g s˜ao as extens˜oes peri´odicas ´ımpares de f, g, respectivamente, com per´ıodo 2L, ´e a ´unicasolu¸c˜ao para (3.4), cont´ınua em R e de classe C2em R. Al´em disso, (3.4) ´e bem posto no sentido deHadamard.Prova: As condi¸c˜oes f(0) = f(L) = g(0) = g(L) = 0 seguem do fato das extremidades da corda estaremfixadas. A condi¸c˜ao f′′(0) = f′′(L) = 0 tamb´em segue indiretamente deste fato, pois utt (0, t) = utt (L, t) = 0e a equa¸c˜ao da onda implica uxx = utt/c2.J´a vimos queu(x, t) =12∞∑n=1cn[sennπ(x + ct)L+ sennπ(x − ct)L]+12∞∑n=1dn[cosnπ(x − ct)L− cosnπ(x + ct)L]=12∞∑n=1cn sennπ(x + ct)L+12∞∑n=1cn sennπ(x − ct)L+12∞∑n=1dn cosnπ(x − ct)L−12∞∑n=1dn cosnπ(x + ct)L.(3.14)
    • Rodney Josu´e Biezuner 76Mas, os coeficientes cn, dnnπcLs˜ao por defini¸c˜ao os coeficientes de Fourier que aparecem na s´erie de Fourierde senos de f e g, logof (x) =∞∑n=1cn sennπxL,g(x) =∞∑n=1dnnπcLsennπxL.Imediatamente vemos que12[f(x + ct) + f(x − ct)] =12∞∑n=1cn sennπ(x + ct)L+12∞∑n=1cn sennπ(x − ct)L. (3.15)Integrando a segunda express˜ao termo a termo obtemos12c∫ x+ctx−ctg(s) ds =12c∞∑n=1dnnπcL∫ x+ctx−ctsennπsLds=12∞∑n=1dnnπL−Lnπ[cosnπsLx+ctx−ct=12∞∑n=1dn cosnπ(x − ct)L−12∞∑n=1dn cosnπ(x + ct)L.Portanto,12c∫ x+ctx−ctg(s) ds =12∞∑n=1dn cosnπ(x − ct)L−12∞∑n=1dn cosnπ(x + ct)L. (3.16)Reunindo (3.14), (3.15) e (3.16), provamos (3.13).Prova alternativa: ´E poss´ıvel obter (3.13) sem usar s´eries de Fourier. Al´em disso, a unicidade da solu¸c˜ao´e obtida de maneira mais simples. Sejam F, G : R → R de classe C2tais queu(x, t) = F(x + ct) + G(x − ct).Como vimos antes, as fun¸c˜oes F e G n˜ao podem ser determinadas de maneira ´unica porque se k ´e umaconstante arbitr´aria, ent˜ao F + k e G − k levam `a mesma solu¸c˜ao para o problema. Mas por este mesmomotivo, n˜ao h´a perda de generalidade se impusermos a condi¸c˜aoF(0) = 0.Al´em disso, o problema envolve apenas os valores de x e t tais que 0 x L e t 0, logo apenas osvalores de F em [0, +∞) e de G em (−∞, L] s˜ao relevantes para a solu¸c˜ao. Estes valores ser˜ao unicamentedeterminados pelas condi¸c˜oes iniciais e de fronteira.Das condi¸c˜oes iniciais do problema, obtemosF(x) + G(x) = f(x),cF′(x) − cG′(x) = g(x),se 0 x L. Como f(0) = F(0) = 0, segue que G(0) = 0. Integrando a ´ultima express˜ao, obtemosF(x) − G(x) =1c∫ x0g(s) ds
    • Rodney Josu´e Biezuner 77se 0 x L. Conclu´ımos queF(x) =12f(x) +12c∫ x0g(s) ds,G(x) =12f(x) −12c∫ x0g(s) dspara x ∈ [0, L]. Para encontrar os valores de F e G al´em deste intervalo, usamos as condi¸c˜oes de fronteira.De u(0, t) = 0 para todo t 0, obtemos F(ct) + G(−ct) = 0 para todo t 0, isto ´e,F(x) + G(−x) = 0 para todo x 0, (3.17)e de u(L, t) = 0 para todo t 0, obtemos F(L + ct) + G(L − ct) = 0 para todo t 0, isto ´e,F(L + x) + G(L − x) = 0 para todo x 0. (3.18)Em particular, de (3.17) segue que G(x) = −F(−x) para todo x 0, logoG(x) = −F(−x) = −12f(−x) −12c∫ −x0g(s) ds para todo − L x 0.(Em outras palavras, G em [−L, 0] ´e a extens˜ao ´ımpar da restri¸c˜ao de F ao intervalo [0, L].) Agora, se f, gs˜ao as extens˜oes peri´odicas ´ımpares de f, g, respectivamente, com per´ıodo 2L, ent˜ao para x 0 temosf(x) = −f(−x),∫ −x0g(s) ds = −∫ −x0g(−s) ds =∫ x0g(s) ds,de modo queG(x) =12f(x) −12c∫ x0g(s) ds para todo − L x L.De (3.17), segue queF(x) =12f(x) +12c∫ x0g(s) ds para todo − L x L.Por outro lado, de (3.18) e (3.17) segue queG(L − x) = −F(L + x) = −G(−L − x) para todo x 0,ou, tomando x = −y + L,G(y) = G(y − 2L) para todo y L,o que significa que G ´e a restri¸c˜ao a (−∞, L] de uma fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo 2L. Segue ent˜ao de (3.17)que o gr´afico de F em [0, +∞) ´e obtido do gr´afico de G em (−∞, 0] por simetria com respeito `a origem, demodo que F ´e a restri¸c˜ao a [0, +∞) de uma fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo 2L. Portanto,F(x) =12f(x) +12c∫ x0g(s) ds para todo x 0,G(x) =12f(x) −12c∫ x0g(s) ds para todo x L.(3.19)Para que F e G sejam de classe C2, precisamos que f seja de classe C2e que g seja de classe C1. Al´emdisso, como f ´e ´ımpar, derivando f(x) = −f(−x) duas vezes produz f′′(x) = −f′′(−x) para todo x; em
    • Rodney Josu´e Biezuner 78particular, f′′(0) = −f′′(0), o que implica f′′(0) = 0, e f′′(L) = −f′′(−L) = −f′′(L) (porque f tem per´ıodo2L), logo f′′(L) = 0 tamb´em.Como F e G foram determinadas de maneira ´unica nos intervalos [0, +∞) e (−∞, L], respectivamente,segue que a ´unica solu¸c˜ao para o problema ´eu(x, t) =12[f(x + ct) + f(x − ct)] +12c∫ x+ctx−ctg(s) ds.´E f´acil verificar a partir desta express˜ao que a solu¸c˜ao depende continuamente dos valores iniciais, poisse u1 e u2 s˜ao solu¸c˜oes de (3.4) correspondentes aos valores iniciais f1, g1 e f2, g2, respectivamente, ent˜ao|u1(x, t) − u2(x, t)|12f1(x + ct) + f1(x − ct) − f2(x + ct) − f2(x − ct) +12c∫ x+ctx−ct[g1(s) − g2(s)] ds12f1(x + ct) − f2(x + ct) +12f1(x − ct) − f2(x − ct) +12cmax[x−ct,x+ct]|g1 − g2|∫ x+ctx−ctds,Comof1(x + ct) − f2(x + ct) max[0,L]|f1 − f2| ,f1(x − ct) − f2(x − ct) max[0,L]|f1 − f2| ,porque f1 − f2 tem per´ıodo 2L e ´e ´ımpar, e∫ x+ctx−ct[g1(s) − g2(s)] ds∫ L0[g1(s) − g2(s)] ds∫ L0|g1(s) − g2(s)| dsmax[0,L]|g1 − g2|∫ L0ds = L max[0,L]|g1 − g2|porque g1 − g2 tem per´ıodo 2L e ´e ´ımpar, segue que|u1 − u2| max[0,L]|f1 − f2| +L2cmax[0,L]|g1 − g2| .Compare a express˜ao obtida em (3.19) com a express˜ao para F e G obtida atrav´es de s´eries de Fourier.3.4 Harmˆonicos, Energia da Corda e Unicidade de Solu¸c˜ao paraa Equa¸c˜ao da Onda3.4.1 HarmˆonicosA solu¸c˜ao de D’Alembert ´e simples, se comparada com a solu¸c˜ao usando s´eries de Fourier (solu¸c˜ao dada porBernoulli), mas ela tem um inconveniente s´erio: ´e muito dif´ıcil enxergar as vibra¸c˜oes atrav´es dela, pois aperiodicidade da solu¸c˜ao com respeito `a vari´avel t n˜ao ´e vis´ıvel, a n˜ao ser nos casos mais simples.A vantagem da solu¸c˜ao em s´erie de Fourier ´e que as vibra¸c˜oes da corda s˜ao facilmente discern´ıveis. Con-sidere a solu¸c˜ao para o problema da corda livremente vibrante em pequenas amplitudes, com extremidadesfixadas, que obtivemos anteriormente:u(x, t) =∞∑n=1sennπxL(cn coscnπtL+ dn sencnπtL).
    • Rodney Josu´e Biezuner 79Esta express˜ao pode ser simplificada se definirmosθn = arctancndneαn =√c2n + d2n,de modo que podemos escrevercn coscnπtL+ dn sencnπtL= αn sen(cnπtL+ θn)porqueαn sen(cnπtL+ θn)= αn sencnπtLcos θn + αn coscnπtLsen θn= αn sencnπtLcn√c2n + d2n+ +αn coscnπtLdn√c2n + d2n= cn coscnπtL+ dn sencnπtL.Portanto,u(x, t) =∞∑n=1αn sennπxLsen(cnπtL+ θn). (3.20)Esta ´e a chamada solu¸c˜ao de Bernoulli e ´e imediatamente pass´ıvel de interpreta¸c˜oes f´ısicas. Para cada n,as vibra¸c˜oes individuais (isto ´e, solu¸c˜oes da equa¸c˜ao da onda sob as mesmas condi¸c˜oes de fronteira (i.e.,extremidades fixas), mas sem especificar a condi¸c˜ao inicial)un(x, t) = αn sennπxLsen(cnπtL+ θn)s˜ao chamados harmˆonicos. A vibra¸c˜ao da corda ´e a superposi¸c˜ao destes infinitos harmˆonicos. Se consider-armos apenas o harmˆonico un cada ponto da corda se moveria com as seguintes caracter´ısticas:amplitude αn sennπxL,fase θn,per´ıodo2Lcn,frequˆenciacn2L.Em particular, a frequˆencia em todos pontos da corda para cada harmˆonico ´e a mesma, e aumenta linearmentecom n. A frequˆencia do primeiro harmˆonico, chamado o harmˆonico fundamental, ´e a chamada a frequˆenciafundamental da corda:ω1 =c2L=12L√τρ.Note ainda que para cada harmˆonico existem pontos da corda que n˜ao se movem (os zeros da fun¸c˜ao sen nπxL );estes s˜ao chamados pontos nodais.O ouvido humano ´e capaz de distinguir poucos harmˆonicos. Isso se deve n˜ao s´o pelo fato da frequˆencia dosharmˆonicos aumentar linearmente com o ´ındice n, como tamb´em porque a amplitude e, consequentemente,a energia destes harmˆonicos decrescer com n. Para ver isso, vamos calcular a energia de cada harmˆonico.
    • Rodney Josu´e Biezuner 803.4.2 Energia da CordaA energia de uma corda vibrante, em cada instante de tempo, tem duas componentes: a energia potencial,devida `a tens˜ao da corda, e a energia cin´etica, devida `a sua velocidade. Se a densidade ρ e a tens˜ao τ s˜aoconstantes, estas s˜ao dadas, respectivamente, porU (t) =τ2∫ L0u2x(x, t) dx, (3.21)K (t) =ρ2∫ L0u2t (x, t) dx. (3.22)A segunda ´e clara. Para ver como foi obtida a primeira, observe que o trabalho da for¸ca de tens˜ao verticalna dire¸c˜ao transversal em um ponto x da corda ´e dado porT (x) = τuxx(x, t)dx du = τuxx(x, t)ut dxdtde modo que o trabalho total realizado pela for¸ca de tens˜ao na corda desde o instante 0 at´e o instante t0 ´eT =τ∫ t00∫ L0uxx(x, t)ut dxdt.Integrando por partes, obtemosT =τ∫ t00[ux(x, t)ut(x, t)|L0 −∫ L0ux(x, t)uxt(x, t) dx]dt= −τ∫ t00∫ L0ux(x, t)uxt(x, t) dxdt,se as extremidades da corda est˜ao fixadas de modo que ut(0, t) = ut(L, t) = 0, ou se as condi¸c˜oes de fronteiras˜ao tais que ux(0, t) = ux(L, t) = 0. Logo,T = −τ∫ t0012ddt(∫ L0u2x(x, t) dx)dt=τ2∫ L0u2x(x, 0) dx −τ2∫ L0u2x(x, t0) dx,o que mostra que o trabalho da tens˜ao para levar a corda da configura¸c˜ao inicial para a configura¸c˜ao finaldepende apenas destas duas e portanto independe das configura¸c˜oes intermedi´arias, o que nos permite definiresta express˜ao como uma energia potencial.Portanto, a energia total da corda ´eE (t) = U (t) + K (t) =τ2∫ L0u2x(x, t) dx +ρ2∫ L0u2t (x, t) dx. (3.23)Na verdade, como a corda vibrante nesta situa¸c˜ao ´e um sistema conservativo (n˜ao h´a for¸cas dissipadoras deenergia e o sistema ´e isolado de influˆencias externas ou estas s˜ao desprez´ıveis), a energia total da corda ´econstante e igual `a sua energia no instante 0 (este fato ´e rigorosamente demonstrado no Teorema 3.10) ouseja,E (t) = E (0) =τ2∫ L0u2x(x, 0) dx +ρ2∫ L0u2t (x, 0) dx.Se u (x, 0) = f (x) e ut (x, 0) = g (x), segue que a energia total da corda pode ser expressa em fun¸c˜ao dascondi¸c˜oes iniciais comoE =τ2∫ L0[f′(x)]2dx +ρ2∫ L0[g(x)]2dx. (3.24)
    • Rodney Josu´e Biezuner 81Em particular, para cada n, a energia total do harmˆonico un ´e (supondo τ e ρ constantes)En = Un + Kn =12∫ L0τ[(un)x]2dx +12∫ L0ρ(x)[(un)t]2dx=τ2α2nn2π2L2∫ L0cos2 nπxLsen2(cnπtL+ θn)dx +ρ2α2nc2n2π2L2∫ L0sen2 nπxLcos2(cnπtL+ θn)dx=τ2α2nn2π2L2sen2(cnπtL+ θn) ∫ L0cos2 nπxLdx +ρ2α2nc2n2π2L2cos2(cnπtL+ θn) ∫ L0sen2 nπxLdx=τ2α2nn2π2L2sen2(cnπtL+ θn)L2+ρ2α2nc2n2π2L2cos2(cnπtL+ θn)L2=α2nn2π24L[τ sen2(cnπtL+ θn)+ ρc2cos2(cnπtL+ θn)].Como c2= τ/ρ, segue queEn =α2nρc2n2π24L= Mπ2α2nω2n,onde M = Lρ ´e a massa total da corda, αn ´e a amplitude m´axima do harmˆonico e ωn =cn2La frequˆencia doharmˆonico. Desta express˜ao, n˜ao parece ´obvio que a energia de cada harmˆonico decresce, mas a observa¸c˜aoseguinte prova que isso tem que acontecer.A energia total da corda ´e soma das energias dos harmˆonicos. De fato, para uma fun¸c˜ao arbitr´aria h quesatisfaz as hip´oteses do teorema de Fourier vale a identidade de Parseval1L∫ L−L[h (x)]2dx =a204+∞∑n=1(a2n + b2n)(3.25)onde an, bn s˜ao os coeficientes de Fourier de h. Como vimos antes, se u (x, 0) = f (x) e ut (x, 0) = g (x), oscoeficientes cn e dn s˜ao tais quef(x) =∞∑n=1cn sennπxL,g(x) =∞∑n=1cnπLdn sennπxL,de modo quef′(x) =∞∑n=1nπLcn cosnπxL,e a identidade de Parseval implica portanto queE =τ2∫ L0[f′(x)]2dx +ρ2∫ L0[g(x)]2dx = ρc2L∞∑n=1n2π2L2c2n + ρL∞∑n=1c2n2π2L2d2n= Mπ2∞∑n=1ω2n(c2n + d2n)= Mπ2∞∑n=1α2nω2n =∞∑n=1En.Assim, como a s´erie ´e convergente, conclu´ımos que En → 0.3.9 Exemplo. No caso da corda dedilhada (por exemplo, a corda de um viol˜ao), o movimento da corda ´edescrito pelo problemautt = c2uxx se 0 < x < L e t > 0,u(0, t) = u(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = f(x) se 0 x L,ut(x, 0) = 0 se 0 x L,
    • Rodney Josu´e Biezuner 82ondef(x) =hax se 0 x a,hL − xL − ase a x L.(Sup˜oe-se que o m´usico dedilha a corda em um ponto distante a da extremidade 0 a uma altura h.) Osharmˆonicos deste problema s˜ao encontrados diretamente encontrando a s´erie de Fourier de f (j´a quedn = 0, pois n˜ao h´a velocidade inicial, o m´usico simplesmente solta a corda):un(x, t) =(2ha(L − a)L2n2π2sennπaL)sennπxLcoscnπtL.A vibra¸c˜ao total da corda ´e a superposi¸c˜ao destes harmˆonicos. Observe que, dependendo do pontoa, alguns harmˆonicos podem estar ausentes (correspondentes a sen nπaL = 0); estes s˜ao os chamadosharmˆonicos mudos. Por exemplo, se a = L/2, todos os harmˆonicos pares s˜ao mudos. Em geral, se oponto a for um ponto nodal do n-´esimo harmˆonico, este ser´a mudo. O primeiro harmˆonico (que n˜aopossui pontos nodais) nunca ´e mudo.A altura do som ´e medida pela frequˆencia, e em geral ela ´e dada pelo harmˆonico fundamentalω1 =12L√τρ.Assim, quanto menor o comprimento da corda, maior ´e a frequˆencia, recurso utilizado nos instrumentosmusicais e pelos m´usicos. Al´em disso, a frequˆencia depende da tens˜ao, da´ı a necessidade de se afinaros instrumentos musicais, pois com o passar do tempo a tens˜ao em suas cordas varia.A intensidadedepende da energia, j´a o timbre ´e uma qualidade que depende da forma global de u(x, t) e portantopermite distinguir entre instrumentos diferentes.xuxuxuxuxu xuxu xu xuFigura 3.5. Gr´aficos de u(x, t) desde t = 0 at´e t = 2π (c = 1, h = 2, a = L/3, L = 2π).
    • Rodney Josu´e Biezuner 833.4.3 Unicidade de Solu¸c˜ao para a Equa¸c˜ao da OndaApesar de termos obtido a unicidade para a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao da onda um caso particular acima, no casogeral isso pode ser obtido atrav´es do princ´ıpio de conserva¸c˜ao de energia (diferentemente da equa¸c˜ao docalor, obviamente n˜ao existe um princ´ıpio do m´aximo para a equa¸c˜ao da onda).3.10 Teorema. (Princ´ıpio de Conserva¸c˜ao da Energia) Suponha que u(x, t) seja uma solu¸c˜ao para a equa¸c˜aoda ondautt = c2uxxonde c2= τ/ρ eux(0, t) = ux(L, t) = 0ouut(0, t) = ut(L, t) = 0.Se a energia da solu¸c˜ao u no instante t ´e definida porE(t) =τ2∫ L0u2x(x, t) dx +ρ2∫ L0u2t (x, t) dx,ent˜ao ela ´e constante.Prova: TemosE′(t) =ddt[τ2∫ L0u2x(x, t) dx +ρ2∫ L0u2t (x, t) dx]= τ∫ L0ux(x, t)uxt(x, t) dx + ρ∫ L0ut(x, t)utt(x, t) dx= τ[∫ L0ux(x, t)uxt(x, t) dx +∫ L0ut(x, t)uxx(x, t) dx].Integrando por partes a ´ultima integral, obtemos∫ L0ut(x, t)uxx(x, t) dx = ux(x, t)ut(x, t)|L0 −∫ L0utx(x, t)ux(x, t) dx = −∫ L0uxt(x, t)ux(x, t) dx,e portanto conclu´ımos que E′(t) = 0 para todo t.3.11 Teorema. A solu¸c˜ao do problema a seguir, se existir, ´e ´unica:utt = c2uxx + k(x, t) se 0 < x < L e t > 0,u(0, t) = h1(t) se t 0,u(L, t) = h2(t) se t 0,u(x, 0) = f(x) se 0 x L,ut(x, 0) = g(x) se 0 x L.Prova: Suponha que u1 e u2 sejam duas solu¸c˜oes do problema acima. Ent˜ao u = u1 − u2 ´e solu¸c˜ao doproblema utt = c2uxx se 0 < x < L e t > 0,u(0, t) = u(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = ut(x, 0) = 0 se 0 x L.´E claro que a energia inicial ´e E(0) = 0. Logo, pelo princ´ıpio de conserva¸c˜ao da energia,E(t) =τ2∫ L0u2x(x, t) dx +ρ2∫ L0u2t (x, t) dx = 0para todo t. Segue que ux(x, t) = ut(x, t) = 0, portanto u ´e constante. Mas u(0, t) = 0, logo esta constante´e a constante nula, isto ´e, u ≡ 0 e portanto u1 = u2.
    • Rodney Josu´e Biezuner 843.5 Exerc´ıciosExerc´ıcio 3.1. Use o m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis para resolver os seguintes problemas de valor ini-cial e de fronteira (em alguns problemas, pode ser necess´ario encontrar antes a solu¸c˜ao de “estadoestacion´ario”).(a)utt = c2uxx se 0 < x < L e t > 0,ux(0, t) = 0, ux(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = f (x) , ut(x, 0) = g (x) se 0 x L.(b)utt = c2uxx se 0 < x < L e t > 0,u(0, t) = 0, ux(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = f (x) , ut(x, 0) = g (x) se 0 x L.(c)utt = c2uxx se 0 < x < L e t > 0,u(0, t) = A, u(L, t) = B se t 0,u(x, 0) = f (x) , ut(x, 0) = g (x) se 0 x L.(d)utt = c2uxx se 0 < x < L e t > 0,u(0, t) = A + Bt, u(L, t) = C + Dt se t 0,u(x, 0) = f (x) , ut(x, 0) = g (x) se 0 x L.(e) (Corda sujeita `a a¸c˜ao da gravidade)utt = c2uxx − g se 0 < x < L e t > 0,u(0, t) = 0, u(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = f (x) , ut(x, 0) = g (x) se 0 x L.(f) (Corda sujeita `a a¸c˜ao de uma for¸ca restauradora)utt = c2uxx − αu se 0 < x < L e t > 0, α > 0,u(0, t) = 0, u(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = f (x) , ut(x, 0) = g (x) se 0 x L.(g) (Corda sujeita `a a¸c˜ao de uma for¸ca dissipativa)utt = c2uxx − 2but se 0 < x < L e t > 0, b > 0,u(0, t) = 0, u(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = f (x) , ut(x, 0) = g (x) se 0 x L.(h) (Corda Dedilhada)utt = c2uxx se 0 < x < L e t > 0,u(0, t) = u(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = f(x) se 0 x L,ut(x, 0) = 0 se 0 x L,com f(x) =hax se 0 x a,hL − xL − ase a x L.(i) (Corda percurtida por um martelo plano) Para 0 < a < L e δ > 0 pequeno:utt = c2uxx se 0 < x < L e t > 0,u(0, t) = u(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = 0 se 0 x L,ut(x, 0) = g (x) se 0 x L,com g(x) ={v se |x − a| δ,0 se |x − a| > δ.
    • Rodney Josu´e Biezuner 85(j) (Corda percurtida por um martelo convexo) Para 0 < a < L e δ > 0 pequeno:utt = c2uxx se 0 < x < L e t > 0,u(0, t) = u(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = 0 se 0 x L,ut(x, 0) = g (x) se 0 x L,com g(x) ={v cosπ (x − a)2δse |x − a| δ,0 se |x − a| > δ.Exerc´ıcio 3.2. Usando algum software matem´atico (Scilab, Mupad, Maple, Matlab, Mathematica, etc.) oualgum pacote gr´afico (OpenGL, Java2D, etc.), plote os gr´aficos de algumas das solu¸c˜oes do exerc´ıcioanterior e veja como a solu¸c˜ao evolui com o tempo.Exerc´ıcio 3.3. (Princ´ıpio de Duhˆamel) Mostre que a solu¸c˜ao do problema de Dirichlet para a equa¸c˜ao daonda n˜ao-homogˆenea com condi¸c˜oes iniciais homogˆeneasutt = c2uxx + q(x, t) se 0 < x < L e t > 0,u(0, t) = u(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = 0 se 0 x L,ut(x, 0) = 0 se 0 x L,´e dada poru(x, t) =∫ t0u(x, t; s) ds,onde u (x, t, s) ´e a solu¸c˜ao do problema de Dirichlet para a equa¸c˜ao da onda homogˆeneautt (x, t; s) = c2uxx (x, t; s) se 0 x L e t > s,u(0, t; s) = u(L, t; s) = 0 se t s,u(x, s; s) = 0 se 0 x L,ut(x, s; s) = q(x, s) se 0 x L.Exerc´ıcio 3.4. Use o exerc´ıcio anterior para resolver o problemautt = c2uxx + q(x, t) se 0 < x < L e t > 0,u(0, t) = u(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = f (x) se 0 x L,ut(x, 0) = g (x) se 0 x L.Exerc´ıcio 3.5. Usando algum software matem´atico (Scilab, Mupad, Maple, Matlab, Mathematica, etc.) oualgum pacote gr´afico (OpenGL, Java2D, etc.), crie uma anima¸c˜ao para ver como as fun¸c˜oes F e G sesobrep˜oe para criar a solu¸c˜ao u para o problema de Dirichlet da equa¸c˜ao da onda em um intervalo[0, L]. Escolha v´arios pares de fun¸c˜oes F e G que satisfa¸cam as condi¸c˜oes do Teorema 3.5.Exerc´ıcio 3.6. Mostre que a solu¸c˜ao geral para a equa¸c˜ao da onda n˜ao-homogˆeneautt = c2uxx − g´eu (x, t) =g2c2x (x − 1) + F(x + ct) + G(x − ct),onde F e G s˜ao fun¸c˜oes arbitr´arias de classe C2.Exerc´ıcio 3.7. Encontre a solu¸c˜ao de D’Alembert do problema de Neumann homogˆeneo para a equa¸c˜ao daonda.Exerc´ıcio 3.8. Encontre a solu¸c˜ao de D’Alembert do problema de Robin homogˆeneo para a equa¸c˜ao daonda com condi¸c˜oes de fronteira u(0, t) = 0, ux(L, t) = 0.
    • Rodney Josu´e Biezuner 86Exerc´ıcio 3.9. Mostre que a solu¸c˜ao geral para a equa¸c˜ao da onda n˜ao-homogˆeneautt = c2uxx + q (x, t)´eu (x, t) = F(x + ct) + G(x − ct) +12c∫Tq (r, s) drds,onde F e G s˜ao fun¸c˜oes arbitr´arias de classe C2e T ´e o triˆangulo de v´ertices (x − ct, 0), (x + ct, 0) e(x, t).3.6 Apˆendice 1: A Equa¸c˜ao da Onda de Primeira Ordem3.6.1 Lei de Conserva¸c˜ao UnidimensionalA deriva¸c˜ao da equa¸c˜ao do calor que fizemos na Introdu¸c˜ao ´e um caso especial de uma situa¸c˜ao mais geral.Muitas equa¸c˜oes diferenciais parciais podem ser obtidas a partir de leis de conserva¸c˜ao.Leis de conserva¸c˜ao s˜ao essencialmente leis de balanceamento, expressando o fato de que alguma substˆancia´e balanceada (ou seja, conservada). Aqui, o termo substˆancia pode indicar uma substˆancia realmente mate-rial, ou at´e mesmo um conceito abstrato, tal como energia ou uma popula¸c˜ao de animais. Por exemplo, aprimeira lei da termodinˆamica ´e a lei de conserva¸c˜ao da energia: a varia¸c˜ao de energia interna de um sistema´e igual ao calor total adicionado ao sistema mais o trabalho realizado sobre o sistema. Como outro exem-plo, considere um fluido escoando em alguma regi˜ao do espa¸co, consistindo de substˆancias sofrendo rea¸c˜oesqu´ımicas: para cada substˆancia qu´ımica individual, a taxa de varia¸c˜ao da quantidade total da substˆancia naregi˜ao ´e igual `a taxa com que a substˆancia flui para dentro da regi˜ao, menos a taxa com que ela flui para forada regi˜ao, mais a taxa com que ela ´e criada, ou consumida, pelas rea¸c˜oes qu´ımicas. Como ´ultimo exemplo,a taxa de varia¸c˜ao de uma dada popula¸c˜ao de animais em uma regi˜ao ´e igual `a taxa de nascimentos, menosa taxa de mortes, mais a taxa de migra¸c˜ao para dentro ou fora da regi˜ao.Matematicamente, leis de conserva¸c˜ao traduzem-se em equa¸c˜oes integrais, de onde podem ser deduzidasequa¸c˜oes diferenciais, na maior parte dos casos. Estas equa¸c˜oes descrevem como o processo evolui com otempo. Por este motivo, elas s˜ao tamb´em chamadas de equa¸c˜oes de evolu¸c˜ao.Seja u = u(x, t) a densidade ou concentra¸c˜ao de alguma substˆancia, por unidade de volume, que dependeapenas de uma vari´avel espacial x ∈ R e do tempo t > 0. Novamente enfatizamos que a substˆancia cujadensidade estamos medindo pode ser massa, momento, energia, popula¸c˜ao, ou qualquer outra coisa, materialou abstrata. Por exemplo, no caso da equa¸c˜ao do calor, a temperatura u ´e uma medida da densidade deenergia t´ermica. De fato, se e(x, t) denota a densidade de energia t´ermica, isto ´e, a quantidade de energiat´ermica por unidade de volume, ent˜ao a densidade de energia t´ermica e a temperatura est˜ao relacionadasatrav´es da equa¸c˜aoe(x, t) = cρu(x, t),cujo significado ´e: a energia t´ermica por unidade de volume ´e igual `a energia t´ermica por unidade de massapor unidade de temperatura (i.e., o calor espec´ıfico), vezes a temperatura, vezes a densidade volum´etrica demassa.Imaginamos que a substˆancia est´a distribu´ıda em um tubo uniforme com se¸c˜ao transversal constantede ´area A. Por hip´otese, u ´e constante em cada se¸c˜ao transversal do tubo, variando apenas na dire¸c˜ao x.Considere um segmento arbitr´ario do tubo, entre as se¸c˜oes transversais localizadas em x = a e em x = be Chamamos este segmento de volume de controle. Assumiremos que existe movimento da substˆanciaatrav´es do tubo na dire¸c˜ao axial, portanto atrav´es do volume de controle, e que a substˆancia pode ser criadaou destru´ıda dentro do volume de controle por uma fonte interna ou externa.. A lei de conserva¸c˜ao para
    • Rodney Josu´e Biezuner 87a substˆancia pode ent˜ao ser formulada de maneira simples na seguinte forma:Taxa de varia¸c˜aoda quantidade de substˆanciadentro do volume de controle=Taxa de transferˆencia l´ıquida de substˆanciapara dentro do volume de controleatrav´es de sua fronteira+Taxa de cria¸c˜ao da substˆanciadentro do volume de controleVamos agora obter uma formula¸c˜ao matem´atica para cada termo que aparece na express˜ao acima.A quantidade total da substˆancia dentro do volume de controle no instante de tempo t ´eQuantidade total da substˆanciadentro do volume de controle=∫ bau(x, t)A dx.Definimos o fluxo ϕ(x, t) da substˆancia no tempo t como sendo a quantidade da substˆancia fluindo atrav´esda se¸c˜ao transversal em x no tempo t por unidade de ´area, por unidade de tempo. Assim as dimens˜oes deϕ s˜ao [ϕ] = quantidade da substˆancia / (´area × tempo). Por conven¸c˜ao, ϕ ser´a positivo se a substˆanciaestiver se movendo na dire¸c˜ao positiva do eixo x, e negativo se ela estiver se movendo na dire¸c˜ao negativado eixo x. Portanto, no tempo t, a quantidade l´ıquida de substˆancia permanecendo no volume de controleser´a a diferen¸ca entre a quantidade da substˆancia entrando em x = a e a quantidade da substˆancia saindoem x = b:Taxa de transferˆencia l´ıquida da substˆanciapara dentro do volume de controle= ϕ(a, t)A − ϕ(b, t)A.A taxa de cria¸c˜ao ou destrui¸c˜ao da substˆancia, que chamaremos de termo fonte e denotaremos porf(x, t, u), tem dimens˜oes [f] = quantidade da substˆancia / (volume × tempo), tendo sinal positivo se asubstˆancia ´e criada dentro do volume de controle e negativa se a substˆancia for destru´ıda dentro do volumede controle. Observe que ela pode depender da pr´opria quantidade da substˆancia dispon´ıvel, medida peladensidade u. A taxa de cria¸c˜ao ou destrui¸c˜ao da substˆancia dentro do volume de controle ´e ent˜ao dada porTaxa de cria¸c˜ao da substˆanciadentro do volume de controle=∫ baf(x, t, u)A dx.Assim, ap´os cancelar o termo comum A, a lei de conserva¸c˜ao pode ser matematicamente escrita na formaddt∫ bau(x, t) dx = ϕ(a, t) − ϕ(b, t) +∫ baf(x, t, u) dx. (3.26)Esta ´e a lei de conserva¸c˜ao na forma integral, valendo mesmo se u, ϕ ou f n˜ao forem fun¸c˜oes diferenci´aveis(o que pode ocorrer em certos fenˆomenos f´ısicos, como por exemplo naqueles que envolvem ondas de choqueou outros tipos de descontinuidade). Se estas fun¸c˜oes forem continuamente diferenci´aveis, podemos derivarsob o sinal de integra¸c˜ao na primeira integralddt∫ bau(x, t) dx =∫ baut(x, t) dxe usar o Teorema Fundamental do C´alculo para escreverϕ(a, t) − ϕ(b, t) = −∫ baϕx(x, t) dx,obtendo a equa¸c˜ao diferencial parcialut + ϕx = f(x, t, u) (3.27)que ´e a lei de conserva¸c˜ao na forma diferencial.
    • Rodney Josu´e Biezuner 883.6.2 Rela¸c˜oes ConstitutivasA lei de conserva¸c˜ao na forma diferencial ´e uma equa¸c˜ao diferencial parcial em duas inc´ognitas, u e ϕ.Precisamos, portanto, de uma segunda equa¸c˜ao para obter um sistema bem determinado. A equa¸c˜ao adicional´e frequentemente baseada nas propriedades f´ısicas do meio, as quais frequentemente decorrem de observa¸c˜oesemp´ıricas. Tais equa¸c˜oes s˜ao chamadas de rela¸c˜oes constitutivas ou equa¸c˜oes de estado.3.12 Exemplo. (Equa¸c˜ao do Calor) No caso da equa¸c˜ao do calor, a rela¸c˜ao constitutiva ´e a lei de Fourier:ϕ(x, t) = −kux(x, t).Sem a presen¸ca de termo fonte, a lei de conserva¸c˜ao na forma diferencial ´eet + ϕx = 0.Como e(x, t) = cρu(x, t), substituindo a rela¸c˜ao constitutiva obtemoscρut − kuxx = 0,e da´ı, definindo K = k/cρ, a equa¸c˜ao do calorut = Kuxx.3.13 Exemplo. (Equa¸c˜ao da Difus˜ao) N˜ao apenas na difus˜ao do calor, mas em muitos outros processosf´ısicos observa-se que a substˆancia flui a uma taxa diretamente proporcional ao gradiente de densidade,de regi˜oes de maior densidade para regi˜oes de menor densidade. Esta rela¸c˜ao geral ´e chamada de leide Fick:ϕ(x, t) = −Dux(x, t), (3.28)onde D ´e a constante de difus˜ao. Se o termo fonte ´e independente de u, obtemos de maneira an´aloga`a equa¸c˜ao do calor a equa¸c˜ao da difus˜aout = Duxx. (3.29)O nome difus˜ao vem do fato de que a substˆancia difunde-se para regi˜oes adjacentes por causa degradientes (i.e., diferen¸cas) de concentra¸c˜ao, e n˜ao porque ´e transportada pela corrente (i.e., n˜aoatrav´es de convec¸c˜ao). Por este motivo, o termo Duxx ´e chamado de termo difusivo.Al´em do calor, exemplos de outras substˆancias que se comportam assim s˜ao substˆancias qu´ımicasdissolvidas em algum fluido (neste caso, u representa a concentra¸c˜ao qu´ımica) e at´e mesmo popula¸c˜oesde insetos. Al´em de ser confirmada atrav´es de observa¸c˜oes emp´ıricas, a lei de Fick que governa estese v´arios outros fenˆomenos f´ısicos e biol´ogicos pode ser justificada teoricamente atrav´es de argumentosbaseados em modelos probabil´ısticos e caminhos aleat´orios.3.14 Exemplo. (Equa¸c˜ao da Continuidade) Se ρ denota a densidade de um fluido e c ´e a velocidade deescoamento do fluido, o fluxo de massa (taxa de transferˆencia de massa, medida em quantidade demassa / (´area)×(tempo)) ´e dado porϕ(x, t) = ρ(x, t)c(x, t).A lei de conserva¸c˜ao de massa implica ent˜ao a equa¸c˜ao da continuidadeρt + (ρc)x = 0.A equa¸c˜ao da continuidade ´e a primeira das equa¸c˜oes de Navier-Stokes que governam a dinˆamicados fluidos.
    • Rodney Josu´e Biezuner 893.15 Exemplo. (Equa¸c˜ao do Transporte) Quando a velocidade do fluido ´e constante, o fluxo de massa´e dado por uma rela¸c˜ao linear simples. No caso unidimensional (por exemplo, quando o fluido est´arestrito a um tubo ou cano), o fluxo ´eϕ = cρ, (3.30)onde c ´e a velocidade do fluido e denotamos a densidade por u. Neste caso, a equa¸c˜ao da continuidadetorna-seρt + cρx = 0. (3.31)Esta ´e a chamada equa¸c˜ao do transporte ou equa¸c˜ao da advec¸c˜ao. Advec¸c˜ao refere-se ao movi-mento horizontal de uma propriedade f´ısica. Este ´e o modelo mais simples de convec¸c˜ao.3.6.3 Solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao do TransporteConsidere a equa¸c˜ao do transporte, vista no Exemplo 3.13 (substitu´ımos a letra ρ por u):ut + cux = 0,onde (x, t) ∈ R × R e c ´e a velocidade escalar do fluido: convencionamos c > 0 se o fluido est´a movendo-separa a direita e c < 0 se o fluido est´a movendo-se para a esquerda. Esta ´e uma equa¸c˜ao diferencial parcialde primeira ordem linear e ´e a equa¸c˜ao diferencial parcial mais simples.Uma solu¸c˜ao para esta equa¸c˜ao ´e uma fun¸c˜ao u : R × R −→ R de classe C1. Voltando ao modelof´ısico, onde u representa a densidade de massa, fica claro qual deve ser o aspecto geral da solu¸c˜ao destaequa¸c˜ao. Dada uma distribui¸c˜ao de massa u(x, t0) em um certo instante de tempo t0, a distribui¸c˜ao dedensidade de massa u(x, t1) no instante de tempo posterior t1 ser´a exatamente a distribui¸c˜ao de densidadede massa anterior deslocada espacialmente pela distˆancia percorrida pelo fluido no intervalo de tempo ∆t =t1 − t0. Dado que o fluido se move com velocidade constante c, esta distˆancia ´e c∆t. Portanto, devemoster u(x, t1) = u(x − c(t1 − t0), t0). A distribui¸c˜ao de densidade u(x, t) ´e transportada horizontalmente pelomovimento do fluido, da´ı o nome equa¸c˜ao do transporte ou equa¸c˜ao da advec¸c˜ao. Esta expectativa intuitiva´e demonstrada rigorosamente no teorema a seguir. Nele vemos que a equa¸c˜ao do transporte linear comcoeficientes constantes possui uma solu¸c˜ao geral, o que n˜ao ´e usual para equa¸c˜oes diferenciais parciais,mesmo lineares. Esta solu¸c˜ao geral permite resolver o problema de existˆencia e unicidade para o problemade valor inicial da equa¸c˜ao do transporte.3.16 Teorema. A solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao do transporteut + cux = 0 em R × R´eu(x, t) = f(x − ct) (3.32)para alguma fun¸c˜ao f : R −→ R de classe C1.Prova. Se f : R −→ R ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel, ent˜ao ´e f´acil ver queu(x, t) = f(x − ct)´e uma solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao do transporte. De fato, pela regra da cadeia,ut(x, t) = f′(x − ct) ·ddt(x − ct) = −cf′(x − ct) = −cux(x, t).Reciprocamente, se u(x, t) ´e uma solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao do transporte, podemos obter uma fun¸c˜aodiferenci´avel f : R −→ R tal que u(x, t) = f(x − ct). Com efeito, suponha que u(x, t) ´e uma solu¸c˜ao para aequa¸c˜ao do transporte. Fixe um ponto (x0, t0) ∈ R × R e defina uma fun¸c˜ao v : R −→ R porv(s) = v(x0,t0)(s) = u(x0 + cs, t0 + s).
    • Rodney Josu´e Biezuner 90Pela regra da cadeia, segue quev′(s) =∂u∂x(x0 + cs, t0 + s) ·∂∂s(x0 + cs) +∂u∂t(x0 + cs, t0 + s)∂∂s(t0 + s)= cux(x0 + cs, t0 + s) + ut(x0 + cs, t0 + s) = 0.Isso significa que v ´e uma fun¸c˜ao constante. Defina uma fun¸c˜ao diferenci´avel f : R −→ R porf(x) = u(x, 0).Segue quef(x − ct) = u(x − ct, 0) = v(x,t)(−t) = v(x,t)(0) = u(x, t).3.17 Corol´ario. Seja f : R −→ R uma fun¸c˜ao de classe C1. O problema de valor inicial{ut + cux = 0 se x ∈ R e t ∈ R,u(x, 0) = f(x) se x ∈ R,(3.33)possui a solu¸c˜ao ´unicau(x, t) = f(x − ct). (3.34)Na demonstra¸c˜ao do Teorema 3.16, vimos que v ´e uma fun¸c˜ao constante. Em particular, isso implica quepara cada ponto fixado (x0, t0), u ´e constante ao longo da reta que passa por (x0, t0) e tem inclina¸c˜ao c (esta´e precisamente a reta s → (x0 + cs, t0 + s), ou s → (x0, t0) + s(c, 1)); estas s˜ao as retasx − ct = constante.Portanto, se soubermos o valor de u em qualquer ponto desta reta, saberemos o valor de u em todos ospontos da reta. Expressamos este fato atrav´es de uma analogia f´ısica, dizendo que a informa¸c˜ao sobre ovalor de u em um ponto da reta ´e transmitida para todos os pontos da reta; se o parˆametro t ´e interpretadocomo representando o tempo decorrido, ent˜ao podemos dizer que a informa¸c˜ao ´e transmitida com velocidadec. Esta reta ´e chamada uma reta caracter´ıstica do problema.Podemos tamb´em enxergar a solu¸c˜ao como o gr´afico de f (a onda) movendo-se com velocidade c para adireita, se c > 0, ou para a esquerda, se c < 0.Observe que faz sentido atribuir ao problema de valor inicial{ut + cux = 0 se x ∈ R e t ∈ R,u(x, 0) = f(x) se x ∈ R,uma solu¸c˜ao mesmo se a condi¸c˜ao inicial f n˜ao for de classe C1. Isto ´e claro se f for diferenci´avel, mas mesmose f ´e apenas cont´ınua, ainda assim u(x, t) = f(x − ct) deve ser a solu¸c˜ao do problema (imagine f comorepresentando a concentra¸c˜ao inicial de uma substˆancia qu´ımica em um fluido, incapaz de se difundir nestefluido: esta concentra¸c˜ao inicial, mesmo que apenas cont´ınua, ´e deslocada, para a direita ou para a esquerda,com o movimento do fluido). Na verdade, isto faz sentido mesmo se f for descont´ınua (as descontinuidadess˜ao igualmente transportadas pelo movimento do fluido). Neste caso, dizemos que u(x, t) = f(x − ct) ´e umasolu¸c˜ao fraca para o problema; quando u(x, t) ´e de classe C1, o que ocorre se e somente se f for de classeC1, u ´e chamada uma solu¸c˜ao cl´assica.
    • Rodney Josu´e Biezuner 913.7 Apˆendice 2: Corda SuspensaO problema que descreve uma corda sujeita `a a¸c˜ao da gravidade ´eutt = c2uxx − g se 0 < x < L e t > 0,u(0, t) = u(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = f(x) se 0 x L,ut(x, 0) = g(x) se 0 x L.Se as oscila¸c˜oes s˜ao pequenas, temos que c ´e uma constante e a solu¸c˜ao independente do tempo ´ev(x) =g2(x2− Lx).Isso n˜ao corresponde `a situa¸c˜ao observada na realidade, em que a forma de uma corda suspensa ´e umacaten´aria (isto ´e, o gr´afico de uma fun¸c˜ao do tipo cosseno hiperb´olico). Isso mostra os limites do nossomodelo f´ısico. O seu maior limite ´e neste caso ´e que o cabo suspenso est´a sujeito a grandes oscila¸c˜oes. Paraobter a equa¸c˜ao diferencial correta que modela uma corda ou cabo suspenso, ´e necess´ario ter um modelof´ısico mais acurado que permita grandes oscila¸c˜oes.Observe a situa¸c˜ao mostrada na figura abaixo:TPHFigura 3.5. Corda suspensa.Nela consideramos a por¸c˜ao do cabo suspenso entre os dois pontos marcados na figura, onde um dos pontos´e o ponto mais baixo do cabo e o outro ponto est´a situado `a sua direita. Denote por H a for¸ca da tens˜aohorizontal atuando no ponto mais baixo da curva e por T a tens˜ao atuando no ponto `a direita. Se entreestes dois pontos o comprimento do cabo for s e a sua densidade linear for ρ, de modo que o seu peso ´eP = mg = (ρs)g, e a tens˜ao T faz um ˆangulo θ com a horizontal, do equil´ıbrio das for¸cas resultantes segueque:T cos θ = H,T sen θ = gρs.Da´ı,v′(x) = tan θ =gρHs.Denotando a constante a = gρ/H, e derivando esta express˜ao uma segunda vez, obtemosv′′(x) = as′(x).Por outro lado, como s = s(x) nada mais ´e que a fun¸c˜ao comprimento de arco, temoss′(x) =√1 + [v′(x)]2.
    • Rodney Josu´e Biezuner 92Portanto, a equa¸c˜ao diferencial ordin´aria que o cabo suspenso satisfaz ´ev′′(x) = a√1 + [v′(x)]2, (3.35)bem diferente da equa¸c˜ao anterior v′′(x) = a. Note que esta ´e uma equa¸c˜ao diferencial n˜ao-linear. A solu¸c˜aogeral desta equa¸c˜ao diferencial ordin´aria de segunda ordem ´ev(x) = a cosh(xa+ c1)+ c2.Substituindo as condi¸c˜oes v(0) = 0 e v(L) = 0, obtemos os valores das constantes c1 e c2.
    • Cap´ıtulo 4Equa¸c˜ao do Calor e da Onda emDom´ınios RetangularesNeste cap´ıtulo iniciamos o estudo das equa¸c˜oes da onda e do calor em dimens˜oes 2 e 3. Isso nos levar´anaturalmente ao estudo da equa¸c˜ao de Laplace no pr´oximo cap´ıtulo. Aqui nos restringiremos a dom´ıniosretangulares.4.1 S´eries de Fourier Duplas4.1.1 Defini¸c˜ao e C´alculo dos CoeficientesSeja f : [0, a] × [0, b] → R uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis. Gostar´ıamos de representar f atrav´es de umas´erie infinita de senos e cossenos, da mesma forma que fizemos para fun¸c˜oes de uma vari´avel, para com issoconstruir uma ferramenta que nos ajude a resolver equa¸c˜oes diferenciais parciais bidimensionais.Primeiro fixe y, de modo a produzir uma fun¸c˜ao de uma vari´avel fy(x) = f(x, y). Suponha que para caday fixado a fun¸c˜ao fy : [0, a] → R seja regular o suficiente (por exemplo, satisfaz as hip´oteses de regularidadedo teorema de Fourier). Se estendermos fy a uma fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo 2a, ent˜ao podemos escreverf(x, y) = fy(x) =a0(y)2+∞∑n=1[an(y) cosnπxa+ bn(y) sennπxa],onde, para cada y ∈ [0, b], os coeficientes de Fourier s˜ao dados poran(y) =1a∫ a−af(x, y) cosnπxadx para n 0,bn(y) =1a∫ a−af(x, y) sennπxadx para n 1.Em seguida, suponha que cada um dos coeficientes an, bn : [0, b] → R, que na verdade s˜ao fun¸c˜oes de y, tenharegularidade suficiente, de modo que se estendermos cada um deles a uma fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo 2b,podemos escreveran(y) =an02+∞∑m=1(anm cosmπyb+ bnm senmπyb)para n 0,bn(y) =cn02+∞∑m=1(cnm cosmπyb+ dnm senmπyb)para n 1,onde93
    • Rodney Josu´e Biezuner 94anm =1b∫ b−ban(y) cosmπybdy para m 0,bnm =1b∫ b−ban(y) senmπybdy para m 1,ecnm =1b∫ b−bbn(y) cosmπyLdy para m 0,dnm =1b∫ b−bbn(y) senmπyLdy para m 1.Em outras palavras,f(x, y) =12[a002+∞∑m=1(a0m cosmπyb+ b0m senmπyb)]+∞∑n=1[an02+∞∑m=1(anm cosmπyb+ bnm senmπyb)]cosnπxa+∞∑n=1[cn02+∞∑m=1(cnm cosmπyb+ dnm senmπyb)]sennπxa,de modo quef(x, y) =a004+12∞∑n=1(an0 cosnπxa+ cn0 sennπxa)+12∞∑m=1(a0m cosmπyb+ b0m senmπyb)+∞∑n,m=1(anm cosnπxacosmπyb+ bnm cosnπxasenmπyb+ cnm sennπxacosmπyb+ dnm sennπxasenmπyb)ondeanm =1ab∫ a−a∫ b−bf(x, y) cosnπxacosmπybdxdy para n, m 0,bnm =1ab∫ a−a∫ b−bf(x, y) cosnπxasenmπybdxdy para n 0, m 1,cnm =1ab∫ a−a∫ b−bf(x, y) sennπxacosmπybdxdy para n 1, m 0,dnm =1ab∫ a−a∫ b−bf(x, y) sennπxasenmπybdxdy para n, m 1.(4.1)O teorema a seguir d´a as condi¸c˜oes que f precisa satisfazer para que a s´erie definida acima seja convergentee convirja para f:4.1 Teorema Seja f : R2−→ R uma fun¸c˜ao de classe C1, peri´odica de per´ıodo 2a na vari´avel x e peri´odicade per´ıodo 2b na vari´avel y e tal que existe a derivada parcial mista fxy em cada ponto. Ent˜ao a s´eriede Fourier de f definida acima converge uniformemente para f.De maneira completamente an´aloga ´e poss´ıvel definir s´eries de Fourier triplas e vale um teorema semel-hante para elas.
    • Rodney Josu´e Biezuner 954.1.2 Fun¸c˜oes de Duas Vari´aveis Pares e ´ImparesSuponha que f : R2−→ R seja uma fun¸c˜ao peri´odica nas duas vari´aveis, de per´ıodo 2a na vari´avel x e deper´ıodo 2b na vari´avel y, que possui uma s´erie de Fourier dupla. Considere as seguintes situa¸c˜oes:• f ´e par com rela¸c˜ao a ambas as vari´aveis x e y, isto ´e,f (x, y) = f (−x, y) ,f (x, y) = f (x, −y) .Ent˜ao,anm =1ab∫ a−a[∫ b−bf(x, y) cosmπyb]cosnπxadxdy =1ab∫ a−a[2∫ b0f(x, y) cosmπybdy]cosnπxadx=2ab∫ b0[∫ a−af(x, y) cosnπxadx]cosmπybdy =2ab∫ b0[2∫ a0f(x, y) cosnπxadx]cosmπybdy=4ab∫ a0∫ b0f(x, y) cosnπxacosmπybdxdy,bnm =1ab∫ a−a[∫ b−bf(x, y) senmπybdy]cosnπxadx = 0,cnm =1ab∫ b−b[∫ a−af(x, y) sennπxadx]cosmπybdy = 0,dnm =1ab∫ b−b[∫ a−af(x, y) sennπxadx]senmπybdy = 0.• f ´e ´ımpar com rela¸c˜ao a ambas as vari´aveis x e y, isto ´e,f (x, y) = −f (−x, y) ,f (x, y) = −f (x, −y) .Ent˜ao,anm =1ab∫ a−a[∫ b−bf(x, y) cosmπyb]cosnπxadxdy = 0,bnm =1ab=1ab∫ b−b[∫ a−af(x, y) cosnπxadx]senmπybdy = 0,cnm =1ab∫ a−a[∫ b−bf(x, y) cosmπybdy]sennπxadx = 0,dnm =1ab∫ a−a[∫ b−bf(x, y) sennπxadx]senmπybdy =1ab∫ b−b[2∫ a0f(x, y) sennπxadx]senmπybdy=2ab∫ a0[∫ b−bf(x, y) senmπybdy]sennπxadx =2ab∫ a0[2∫ b0f(x, y) senmπybdy]sennπxadx=4ab∫ a0∫ b0f(x, y) sennπxasenmπybdxdy.
    • Rodney Josu´e Biezuner 96´E claro que outras situa¸c˜oes s˜ao poss´ıveis, por exemplo f par em uma vari´avel e ´ımpar na outra. Em cadacaso, o c´alculo dos coeficientes de Fourier pode ser simplificado usando os argumentos acima. Propriedadessemelhantes tamb´em podem ser usadas para simplificar o c´alculo dos coeficientes de Fourier de s´eries deFourier triplas.4.2 Lei de Conserva¸c˜ao no Espa¸co TridimensionalNo Apˆendice 1 do cap´ıtulo anterior vimos as formula¸c˜oes integral e diferencial de leis de conserva¸c˜ao em umadimens˜ao, ou seja, quando o fenˆomenos era assumido ocorrer apenas ao longo de uma dimens˜ao. Veremosagora a situa¸c˜ao geral, em que o fenˆomeno pode ocorrer em princ´ıpio ao longo de v´arias dire¸c˜oes no espa¸cotridimensional.Considere uma regi˜ao limitada Ω ⊂ R3e um volume de controle V ⊂ Ω, em que a densidade ouconcentra¸c˜ao u = u(x, t) de alguma substˆancia por unidade de volume depende de 3 vari´aveis espaciaisx = (x1, x2, x3) e do tempo t > 0. Lembramos a formula¸c˜ao de lei de conserva¸c˜ao para a substˆancia dentrodo volume de controle:Taxa de varia¸c˜aoda quantidade de substˆanciadentro do volume de controle=Taxa de transferˆencia l´ıquida de substˆanciapara dentro do volume de controleatrav´es de sua fronteira+Taxa de cria¸c˜ao da substˆanciadentro do volume de controleNo nosso caso n-dimensional agora temosQuantidade total da substˆanciadentro do volume de controle=∫Vu(x, t) dve, se f(x, t, u) denota o termo fonte,Taxa de cria¸c˜ao da substˆanciadentro do volume de controle=∫Vf(x, t, u) dv.Aqui dv denota o elemento de volume dx dy dz. Em 3 dimens˜oes, o fluxo pode ser em qualquer dire¸c˜ao, logoele ´e uma grandeza vetorial que denotaremos por ϕ(x, t). Se η(x) denota o vetor unit´ario normal apontandopara fora da regi˜ao V , a taxa de transferˆencia l´ıquida da substˆancia para fora do volume de controle atrav´esde sua fronteira ∂V ´e dada porTaxa de transferˆencia l´ıquida da substˆanciapara fora do volume de controle=∫∂Vϕ(x, t) · η(x) ds,onde ds denota o elemento de ´area da superf´ıcie do volume de controle. A lei de conserva¸c˜ao ´e, portanto,ddt∫Vu(x, t) dv = −∫∂Vϕ(x, t) · η(x) ds +∫Vf(x, t, u) dv. (4.2)Se u, ϕ e f forem todas de classe C1(assim como a fronteira do volume de controle), podemos derivar sobo sinal de integra¸c˜ao e usar o Teorema da Divergˆencia∫∂Vϕ(x, t) · η(x) ds =∫Vdiv ϕ(x, t) dv,para obter a lei de conserva¸c˜ao em forma diferencial (o volume de controle foi escolhido arbitrariamente):ut + div ϕ = f(x, t, u). (4.3)
    • Rodney Josu´e Biezuner 974.2.1 Rela¸c˜oes ConstitutivasComo no caso unidimensional, a lei de conserva¸c˜ao na forma diferencial ´e uma equa¸c˜ao diferencial parcialem duas inc´ognitas, u e ϕ, e precisamos de uma rela¸c˜ao constitutiva para obter uma equa¸c˜ao com uma ´unicainc´ognita.4.2 Exemplo. (Equa¸c˜ao do Calor) Em 3 dimens˜oes, a lei de Fourier assume a formaϕ(x, t) = −k∇u(x, t). (4.4)De fato, para materiais isotr´opicos (isto ´e, materiais em que n˜ao existem dire¸c˜oes preferenciais) verifica-se experimentalmente que o calor flui de pontos quentes para pontos frios na dire¸c˜ao em que a diferen¸cade temperatura ´e a maior. O fluxo de calor ´e proporcional `a taxa de varia¸c˜ao da temperatura nestadire¸c˜ao, com a constante de proporcionalidade k sendo a condutividade t´ermica do meio. Comosabemos, a dire¸c˜ao onde uma fun¸c˜ao cresce mais r´apido ´e exatamente aquela dada pelo vetor gradienteda fun¸c˜ao, e o m´odulo do gradiente fornece a magnitude da taxa de varia¸c˜ao da fun¸c˜ao nesta dire¸c˜ao.O sinal negativo ocorre, como no caso unidimensional, porque o vetor gradiente aponta na dire¸c˜ao decrescimento da temperatura, enquanto que o fluxo do calor se d´a na dire¸c˜ao oposta (da temperaturamaior para a temperatura menor). O fluxo do calor em uma regi˜ao bi ou tridimensional pode serfacilmente visualizado quando se lembra que o gradiente de uma fun¸c˜ao ´e perpendicular `as superf´ıciesde n´ıvel da fun¸c˜ao. No caso em que a fun¸c˜ao ´e a temperatura, as superf´ıcies de n´ıvel s˜ao chamadassuperf´ıcies isot´ermicas ou, simplesmente, isotermas. Assim, o calor flui das isotermas mais quentespara as isotermas mais frias, e em cada ponto da isoterma perpendicularmente `a isoterma. Em outraspalavras, as linhas de corrente do fluxo de calor correspondem `as linhas de fluxo do campo gradienteda temperatura.Sem a presen¸ca de termo fonte, a lei de conserva¸c˜ao na forma diferencial ´eet + div ϕ = 0.onde e(x, t) = cρu(x, t) ´e a densidade de energia t´ermica. Substituindo a rela¸c˜ao constitutiva obtemoscρut − k div (∇u) = 0.Denotamos por ∆u o laplaciano de u definido por∆u = div ∇u =∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2.Definimos a difusividade t´ermica K = k/cρ como no caso unidimensional. Conclu´ımos que a equa¸c˜aodo calor em dimens˜oes 2 e 3 ´e dada porut = K∆u. (4.5)4.3 A Equa¸c˜ao do Calor em Dom´ınios RetangularesConsidere uma chapa homogˆenea Ω, cuja superf´ıcie est´a isolada termicamente, exceto possivelmente pelasmargens. Como o calor n˜ao flui na dire¸c˜ao perpendicular `a chapa, que tomamos como sendo o eixo z, segueque uzz = 0 e podemos desprezar esta vari´avel no estudo da condu¸c˜ao do calor na chapa. Segue que aequa¸c˜ao do calor para esta regi˜ao tem a formaut = K(uxx + uyy) (4.6)ouut = K∆u, (4.7)
    • Rodney Josu´e Biezuner 98definindo o laplaciano em duas dimens˜oes por∆u = uxx + uyy. (4.8)Para que o problema da condu¸c˜ao do calor em uma placa bidimensional Ω ⊂ R2possua uma solu¸c˜ao ´unica,´e necess´ario dar a condi¸c˜ao inicial e a condi¸c˜ao de fronteira, como no caso unidimensional. Por exemplo,podemos ter um problema de Dirichlet homogˆeneo:ut = k∆u se (x, y) ∈ Ω e t > 0,u(x, y, t) = 0 se (x, y) ∈ ∂Ω e t 0,u(x, y, 0) = f(x, y) se (x, y) ∈ Ω,(4.9)ou um problema de Neumann homogˆeneo:ut = k∆u se x ∈ Ω e t > 0,∂u∂η(x, y, t) = 0 se x ∈ ∂Ω e t 0,u(x, y, 0) = f(x, y) se x ∈ Ω.(4.10)Tamb´em podemos ter problemas n˜ao-homogˆeneos ou com condi¸c˜ao de Robin (condi¸c˜oes de Dirichlet empor¸c˜oes da fronteira ∂Ω e condi¸c˜oes de Neumann em outras por¸c˜oes da fronteira).De agora em diante assumiremos que Ω ´e um retˆangulo R = (0, a) × (0, b) (chapa retangular). No casoem que Ω ´e um retˆangulo, a condi¸c˜ao inicial se escreve comou(x, y, 0) = f(x, y) se 0 x a e 0 y b, (4.11)a condi¸c˜ao de Dirichlet homogˆenea se escreve comou(x, 0, t) = u(x, b, t) = u(0, y, t) = u(a, y, t) = 0 se 0 x a, 0 y b e t 0.e a condi¸c˜ao de Neumann homogˆenea se escreve comouy(x, 0, t) = uy(x, b, t) = ux(0, y, t) = ux(a, y, t) = 0 se 0 x a, 0 y b e t 0.4.3.1 Solu¸c˜ao do problema da condu¸c˜ao do calor na chapa retangular com mar-gens mantidas `a temperatura zero por separa¸c˜ao de vari´aveis e s´eries deFourierQueremos resolver o problema de Dirichlet homogˆeneout = K(uxx + uyy) se 0 < x < a, 0 < y < b e t > 0,u(x, 0, t) = u(x, b, t) = u(0, y, t) = u(a, y, t) = 0 se 0 x a, 0 y b e t 0,u(x, y, 0) = f(x, y) se 0 x a e 0 y b.(4.12)Desta vez, usando o m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis, vamos tentar encontrar uma solu¸c˜ao para o problemaque seja o produto de trˆes fun¸c˜oes de uma vari´avel:u(x, y, t) = F(x)G(y)H(t).Temosut = F(x)G(y)H′(t),uxx = F′′(x)G(y)H(t),uyy = F(x)G′′(y)H(t).
    • Rodney Josu´e Biezuner 99Substituindo estas express˜oes na equa¸c˜ao bidimensional do calor, obtemosF(x)G(y)H′(t) = K[F′′(x)G(y)H(t) + F(x)G′′(y)H(t)].Dividindo ambos os lados por KF(x)G(y)H(t), obtemos1KH′(t)H(t)=F′′(x)F(x)+G′′(y)G(y).Como o lado esquerdo desta equa¸c˜ao ´e uma fun¸c˜ao somente de t e o lado direito ´e uma fun¸c˜ao apenas dex, y, segue que ambos os lados s˜ao constantes:1KH′(t)H(t)=F′′(x)F(x)+G′′(y)G(y)= σ,dondeF′′(x)F(x)= −G′′(y)G(y)+ σ = ρ.Pelo m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis, chegamos portanto `as seguintes equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias:F′′(x) − ρF(x) = 0,G′′(y) + (ρ − σ)G(y) = 0,H′(t) − σKH(t) = 0.As condi¸c˜oes de fronteira implicam queu(0, y, t) = 0 =⇒ F(0)G(y)H(t) = 0 =⇒ F(0) = 0,u(a, y, t) = 0 =⇒ F(a)G(y)H(t) = 0 =⇒ F(a) = 0,u(x, 0, t) = 0 =⇒ F(x)G(0)H(t) = 0 =⇒ G(0) = 0,u(x, b, t) = 0 =⇒ F(x)G(b)H(t) = 0 =⇒ G(b) = 0,a menos que u seja a solu¸c˜ao identicamente nula (porque as solu¸c˜oes das equa¸c˜oes diferenciais ordin´ariasde F, G e H n˜ao produzem nenhuma solu¸c˜ao que se anula em conjuntos diferentes de pontos isolados).Obtemos, portanto, os problemas de Sturm-Liouville{F′′(x) − ρF(x) = 0,F(0) = F(a) = 0,e{G′′(y) − (σ − ρ)G(y) = 0,G(0) = G(b) = 0,que tˆem como autofun¸c˜oes, respectivamente,Fn(x) = sennπxapara ρ = −n2π2a2,eGm(y) = senmπybpara σ − ρ = −m2π2b2.Segue queσ = ρ −m2π2b2= −n2π2a2−m2π2b2= −π2(n2a2+m2b2)e o problema em t ´eH′(t) − Kπ2(n2a2+m2b2)H(t) = 0,
    • Rodney Josu´e Biezuner 100cujas solu¸c˜ao geral ´eHnm(t) = Anme−π2(n2a2 + m2b2)Kt.A solu¸c˜ao do problema de calor da chapa com margens mantidas `a temperatura zero ´e, portanto,u(x, y, t) =∞∑n,m=1Anme−π2(n2a2 + m2b2)Ktsennπxasenmπyb, (4.13)onde os coeficientes Anm s˜ao os coeficientes da s´erie de Fourier dupla da extens˜ao de f a uma fun¸c˜ao peri´odica´ımpar de per´ıodo 2a na vari´avel x e a uma fun¸c˜ao peri´odica ´ımpar de per´ıodo 2b na vari´avel y:f(x, y) = u(x, y, 0) =∞∑n,m=1Anm sennπxasenmπyb,ou seja,Anm =4ab∫ a0∫ b0f(x, y) sennπxasenmπybdxdy. (4.14)4.3.2 Solu¸c˜ao do problema da condu¸c˜ao do calor na chapa retangular termica-mente isolada por separa¸c˜ao de vari´aveis e s´eries de FourierAgora resolveremos o problema de Neumann homogˆeneout = K(uxx + uyy) se 0 < x < a, 0 < y < b e t > 0,uy(x, 0, t) = uy(x, b, t) = ux(0, y, t) = ux(a, y, t) = 0 se 0 x a, 0 y b e t 0,u(x, y, 0) = f(x, y) se 0 x a e 0 y b.(4.15)Escrevendou(x, y, t) = F(x)G(y)H(t)encontramos, como antes,1KH′(t)H(t)=F′′(x)F(x)+G′′(y)G(y)= σeF′′(x)F(x)= −G′′(y)G(y)+ σ = ρ.As condi¸c˜oes de fronteira desta vez implicamuy(x, 0, t) = 0 =⇒ F(x)G′(0)H(t) = 0 =⇒ G′(0) = 0,uy(x, b, t) = 0 =⇒ F(x)G′(b)H(t) = 0 =⇒ G′(b) = 0,ux(0, y, t) = 0 =⇒ F′(0)G(y)H(t) = 0 =⇒ F′(0) = 0,ux(a, y, t) = 0 =⇒ F′(a)G(y)H(t) = 0 =⇒ F′(a) = 0.Temos portanto os seguintes problemas{F′′(x) − ρF(x) = 0,F′(0) = F′(a) = 0,e{G′′(y) − (σ − ρ)G(y) = 0,G′(0) = G′(b) = 0.As autofun¸c˜oes correspondentes s˜ao, respectivamente,F0(x) = c para ρ = 0,Fn(x) = cosnπxapara ρ =n2π2a2,
    • Rodney Josu´e Biezuner 101eG0(x) = c para σ = ρ,Gm(y) = cosmπybpara σ − ρ = −m2π2b2.Segue que o problema em t ´eH′(t) − K(n2π2a2+m2π2b2)H(t) = 0,cujas solu¸c˜ao geral ´eH00(t) = c,Hn0(t) = e−π2 n2a2 Kt,H0m(t) = e−π2 m2a2 Kt,Hnm(t) = e−π2(n2a2 + m2b2)Kt.A solu¸c˜ao do problema de calor da chapa com margens termicamente isoladas ´e, portanto,u(x, y, t) =∞∑n,m=0Anme−π2(n2a2 + m2b2)Ktcosnπxacosmπyb, (4.16)o que ´e equivalente a escrever (redefinindo os coeficientes, de forma a obter uma mesma f´ormula integralpara todos os coeficientes)u(x, y, t) =A004+12∞∑n=1An0e−π2 n2a2 Ktcosnπxa+12∞∑m=1A0me−π2 m2a2 Ktcosmπyb+∞∑n,m=1Anme−π2(n2a2 + m2b2)Ktcosnπxacosmπyb,onde os coeficientes Anm s˜ao os coeficientes da s´erie de Fourier dupla da extens˜ao de f a uma fun¸c˜ao peri´odicapar de per´ıodo 2a na vari´avel x e a uma fun¸c˜ao peri´odica par de per´ıodo 2b na vari´avel y:f(x, y) = u(x, y, 0) =A004+12∞∑n=1An0 cosnπxa+12∞∑m=1A0m cosmπyb+∞∑n,m=1Anm cosnπxacosmπyb,ou seja,Anm =4ab∫ a0∫ b0f(x, y) cosnπxacosmπybdxdy, n, m 0. (4.17)4.4 A Equa¸c˜ao da Onda em Dom´ınios Retangulares4.4.1 Problema da Membrana VibranteA equa¸c˜ao da onda tamb´em se generaliza para dimens˜ao 2 e 3. Vamos estudar neste cap´ıtulo apenas o casobidimensional e somente em dom´ınios retangulares. Considere uma membrana fina e el´astica, esticada sobreuma arma¸c˜ao retangular com dimens˜oes a e b. Suponha que as margens da membrana s˜ao fixadas aos bra¸cosda arma¸c˜ao e a membrana possa vibrar livremente na dire¸c˜ao normal `a arma¸c˜ao (ou seja, estamos assumindoque n˜ao existem for¸cas externas ou dissipativas atuando sobre a membrana e que todas as suas vibra¸c˜oes
    • Rodney Josu´e Biezuner 102s˜ao transversais, o que quer dizer, que cada ponto da membrana vibra apenas na dire¸c˜ao perpendicular aoplano do retˆangulo). ´E poss´ıvel mostrar que as vibra¸c˜oes desta membrana s˜ao ent˜ao governadas pela equa¸c˜aobidimensional da ondautt = c2(uxx + uyy),onde u(x, y, t) ´e o deslocamento com rela¸c˜ao ao plano do retˆangulo no instante de tempo t e c(x, y, t) =τ(t)/ρ(x, y). A equa¸c˜ao da onda tamb´em pode ser escrita na forma compactautt = c2∆u.As condi¸c˜oes de fronteira s˜ao (margens fixadas)u(x, 0, t) = u(x, b, t) = u(0, y, t) = u(a, y, t) = 0 se 0 x a, 0 y b e t 0.O movimento da membrana depender´a evidentemente das condi¸c˜oes iniciaisu(x, y, 0) = f(x, y) se 0 x a e 0 y b,ut(x, y, 0) = g(x, y) se 0 x a e 0 y b.4.4.2 Solu¸c˜ao do Problema da Membrana Vibrante pelo M´etodo de Separa¸c˜aode Vari´aveis e S´eries de FourierVamos resolver o problema da membrana vibrante no retˆangulo pelo m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis.Queremos portanto encontrar uma solu¸c˜ao para o problema de Dirichlet homogˆeneo:utt = c2(uxx + uyy) se 0 < x < a, 0 < y < b e t > 0,u(x, 0, t) = u(x, b, t) = u(0, y, t) = u(a, y, t) = 0 se 0 x a, 0 y b e t 0,u(x, y, 0) = f(x, y) se 0 x a e 0 y b,ut(x, y, 0) = g(x, y) se 0 x a e 0 y b.(4.18)Pelo m´etodo de separa¸c˜ao das vari´aveis, tentamos encontrar uma solu¸c˜ao da forma:u(x, y, t) = F(x)G(y)H(t).Temosutt = F(x)G(y)H′′(t),uxx = F′′(x)G(y)H(t),uyy = F(x)G′′(y)H(t).Substituindo estas express˜oes na equa¸c˜ao bidimensional da onda, obtemosF(x)G(y)H′′(t) = c2[F′′(x)G(y)H(t) + F(x)G′′(y)H(t)].Dividindo ambos os lados por c2F(x)G(y)H(t), obtemos1c2H′′(t)H(t)=F′′(x)F(x)+G′′(y)G(y).Como o lado esquerdo desta equa¸c˜ao ´e uma fun¸c˜ao somente de t e o lado direito ´e uma fun¸c˜ao apenas dex, y, segue que ambos os lados s˜ao constantes:1c2H′′(t)H(t)=F′′(x)F(x)+G′′(y)G(y)= σ.
    • Rodney Josu´e Biezuner 103Agora, podemos escreverF′′(x)F(x)= −G′′(y)G(y)+ σe, novamente, j´a que o lado esquerdo depende apenas de x, enquanto que o lado direito depende apenas dey, conclu´ımos que os dois lados desta equa¸c˜ao tamb´em s˜ao constantes:F′′(x)F(x)= −G′′(y)G(y)+ σ = ρ.Pelo m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis, chegamos portanto `as equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias:F′′(x) − ρF(x) = 0,G′′(y) + (ρ − σ)G(y) = 0,H′′(t) − σc2H(t) = 0.As condi¸c˜oes de fronteira de Dirichlet homogˆeneas produzem os mesmos problemas de Sturm-Liouville daequa¸c˜ao do calor com condi¸c˜ao de Dirichlet homogˆenea{F′′(x) − ρF(x) = 0,F(0) = F(a) = 0,e{G′′(y) − (σ − ρ)G(y) = 0,G(0) = G(b) = 0,cujas autofun¸c˜oes s˜aoFn(x) = sennπxapara ρ = −n2π2a2,eGm(y) = senmπybpara σ − ρ = −m2π2b2,de modo queσ = ρ −m2π2b2= −n2π2a2−m2π2b2= −π2(n2a2+m2b2).O problema em t desta vez ´eH′′(t) + c2π2(n2a2+m2b2)H(t) = 0,cujas solu¸c˜ao geral ´eHnm(t) = Anm cos λnmt + Bnm sen λnmtparaλnm = cπ√n2a2+m2b2. (4.19)Estas s˜ao as chamadas frequˆencias caracter´ısticas da membrana, enquanto que as solu¸c˜oesunm(x, y, t) = sennπxasenmπyb(Anm cos λnmt + Bnm sen λnmt) (4.20)s˜ao chamados os modos normais de vibra¸c˜ao da membrana (correspondentes aos harmˆonicos no caso da cordavibrante). Note que as frequˆencias caracter´ısticas n˜ao s˜ao m´ultiplos inteiros da freq¨uˆencia fundamental, oque torna a membrana vibrante in´util para a maioria dos prop´ositos musicais (al´em de manter um ritmo debatidas), j´a que por causa disso o som do tambor n˜ao ´e t˜ao agrad´avel (t˜ao harmonioso) quanto o de outrosinstrumentos musicais, porque ´e dif´ıcil ao ouvido humano distinguir entre os seus harmˆonicos ou orden´a-losem uma escala em tempo real.
    • Rodney Josu´e Biezuner 104A solu¸c˜ao do problema ´eu(x, y, t) =∞∑n,m=1sennπxasenmπyb(Anm cos λnmt + Bnm sen λnmt) . (4.21)onde os coeficientes Anm, Bnm s˜ao determinados como sendo os coeficientes das s´eries de Fourier duplas dasfun¸c˜oes apropriadas. Temosf(x, y) = u(x, y, 0) =∞∑n,m=1Anm sennπxasenmπyb,de modo que, estendendo f a uma fun¸c˜ao peri´odica ´ımpar de per´ıodo 2a na vari´avel x e a uma fun¸c˜aoperi´odica ´ımpar de per´ıodo 2b na vari´avel y, obtemosAnm =4ab∫ a0∫ b0f(x, y) sennπxasenmπybdxdy. (4.22)Do mesmo modo, derivando a s´erie de u com rela¸c˜ao a t termo a termo, temosut(x, y, t) =∞∑n,m=1λnm sennπxasenmπyb(−Anm sen λnmt + Bnm cos λnmt)e, portanto,g(x, y) = ut(x, y, 0) =∞∑n,m=1λnmBnm sennπxasenmπyb,logo, procedendo de modo an´alogo estendendo f a uma fun¸c˜ao peri´odica ´ımpar de per´ıodo 2a na vari´avel xe a uma fun¸c˜ao peri´odica ´ımpar de per´ıodo 2b na vari´avel y, obtemosBnm =4abλnm∫ a0∫ b0g(x, y) sennπxasenmπybdxdy. (4.23)4.4.3 Linhas NodaisNo caso de uma corda vibrante, quando ela vibra como um harmˆonico, aparecem pontos que n˜ao se movem,os chamado pontos nodais, como vimos no cap´ıtulo anterior. No caso de uma membrana retangular vibrante,aparecem retas onde a membrana n˜ao se move (uma maneira de ver isso ´e espalhar areia na membrana: aareia se acumula precisamente ao longo destas retas onde n˜ao h´a vibra¸c˜ao). Estas retas s˜ao chamadas retasnodais.Para entender porque este fenˆomeno ocorre, considere o modo normal unm de vibra¸c˜ao da membrana:unm(x, y, t) = sennπxasenmπyb(Anm cos λnmt + Bnm sen λnmt) .Os pontos (x, y) que permanecem fixos s˜ao os pontos que resolvem a equa¸c˜aosennπxasenmπyb= 0,o que ´e equivalente asennπxa= 0 ou senmπyb= 0.Por exemplo, quando a = b = 1, as retas nodais de u22 correspondem a x = 1/2 e y = 1/2.
    • Rodney Josu´e Biezuner 105−0.5−1.01.00.80.40.40.60.81.00.6y x0.20.20.00.00.0z0.51.0−0.5−1.00.61.00.80.4y1.00.80.2x0.60.40.20.00.0z 0.00.51.00.0−0.5z−1.01.00.80.6y0.40.20.81.00.00.2 x0.60.40.00.51.00.0z−0.51.0−1.00.80.6y1.00.4 0.40.80.6x0.2 0.20.00.00.51.0−0.5z 0.0−1.01.0y0.60.80.40.21.00.80.2x0.60.40.00.00.51.01.0z 0.0−0.5−1.01.00.8y0.60.40.80.6x0.2 0.20.40.00.01.00.5z 0.0−0.50.81.0−1.00.6y0.61.00.8x0.20.20.4 0.40.00.00.51.0−0.5z 0.0−1.01.00.81.00.80.6y0.4x0.60.20.40.20.0 0.00.51.0Figura 4.1. Gr´aficos de u12, u21, u22, u13, u23, u32, u31, u33.
    • Cap´ıtulo 5A Equa¸c˜ao de Laplace5.1 A Equa¸c˜ao de LaplaceA solu¸c˜ao de estado estacion´ario para a equa¸c˜ao do calor bidimensional em um dom´ınio Ω ⊂ R2sem gera¸c˜aoou absor¸c˜ao de calor internaut = K∆u(ou seja, ut = 0) se reduz `a equa¸c˜ao homogˆenea∆u = 0. (5.1)Esta ´e chamada a equa¸c˜ao de Laplace (ou equa¸c˜ao de Laplace homogˆenea). Como n˜ao h´a dependˆenciacom o tempo, problemas envolvendo a equa¸c˜ao de Laplace n˜ao possuem condi¸c˜oes iniciais, mas apenas umacondi¸c˜ao de fronteira, que pode ser uma condi¸c˜ao de Dirichlet{∆u = 0 se (x, y) ∈ Ω,u(x, y) = f(x, y) se (x, y) ∈ ∂Ω,(5.2)uma condi¸c˜ao de Neumann ∆u = 0 se (x, y) ∈ Ω,∂u∂η(x, y) = f(x, y) se (x, y) ∈ ∂Ω,(5.3)ou uma condi¸c˜ao de Robin∆u = 0 se (x, y) ∈ Ω,a (x, y) u(x, y) + b (x, y)∂u∂η(x, y) = f(x, y) se (x, y) ∈ ∂Ω.(5.4)Quando h´a gera¸c˜ao ou absor¸c˜ao de calor interna independente do tempout = K∆u + q(x),a solu¸c˜ao de estado estacion´ario ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Laplace n˜ao-homogˆenea, conhecida como a equa¸c˜aode Poisson∆u = f (x) . (5.5)Al´em de descrever a distribui¸c˜ao de temperaturas no estado estacion´ario, a equa¸c˜ao de Laplace descreveas solu¸c˜oes de estado estacion´ario em diversos outros fenˆomenos f´ısicos, tais como propaga¸c˜ao de ondas,escoamento de fluidos, potencial el´etrico e gravitacional, entre outros.106
    • Rodney Josu´e Biezuner 1075.1.1 Solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao de Laplace no RetˆanguloComo exemplo, vamos resolver o problema de Dirichlet para a equa¸c˜ao de Laplace em um dom´ınio retangularatrav´es do m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis e s´eries de Fourier. As mesmas id´eias podem ser aplicadas emproblemas de Neumann e de Robin. Em um retˆangulo, R = [0, a] × [0, b], o problema de Dirichlet geral paraa equa¸c˜ao de Laplace se escreve na forma:uxx + uyy = 0 se 0 < x < a e 0 < y < b,u(x, 0) = f1(x), u(x, b) = f2(x) se 0 x a,u(0, y) = g1(y), u(a, y) = g2(y) se 0 y b.(5.6)Por linearidade, se u1, u2, u3, u4 s˜ao respectivamente solu¸c˜oes dos problemas de Dirichlet particularesuxx + uyy = 0u(x, 0) = f1(x), u(x, b) = 0u(0, y) = u(a, y) = 0,uxx + uyy = 0u(x, 0) = 0, u(x, b) = f2(x)u(0, y) = u(a, y) = 0,uxx + uyy = 0u(x, 0) = u(x, b) = 0u(0, y) = g1(y), u(a, y) = 0,uxx + uyy = 0u(x, 0) = u(x, b) = 0u(0, y) = 0, u(a, y) = g2(y),ent˜aou = u1 + u2 + u3 + u4.Para obter a solu¸c˜ao geral do problema de Dirichlet, basta portanto resolver cada um dos quatro problemasacima. A t´ıtulo de exemplo, vamos resolver o segundo explicitamente:uxx + uyy = 0 se 0 < x < a e 0 < y < b,u(x, 0) = 0, u(x, b) = f2(x) se 0 x a,u(0, y) = u(a, y) = 0 se 0 y b.Escrevendou(x, y) = F(x)G(y),segue que F′′(x)G(y) + F(x)G′′(y) = 0 e portantoF′′(x)F(x)= −G′′(y)G(y)= σ.As condi¸c˜oes de fronteira implicam as seguintes condi¸c˜oes sobre as equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias acima:u(x, 0) = 0 =⇒ F(x)G(0) = 0 =⇒ G(0) = 0,u(0, y) = 0 =⇒ F(0)G(y) = 0 =⇒ F(0) = 0,u(a, y) = 0 =⇒ F(a)G(y) = 0 =⇒ F(a) = 0.Logo, {F′′(x) − σF(x) = 0,F(0) = F(a) = 0,e {G′′(y) + σG(y) = 0,G(0) = 0.As autofun¸c˜oes do primeiro problema s˜aoFn(x) = sennπxapara σn =n2π2a2.
    • Rodney Josu´e Biezuner 108A solu¸c˜ao geral do segundo problema (de valor inicial) ´e conveniente escrever na formaG(y) = c1 coshnπya+ c2 senhnπyaporque a condi¸c˜ao G(0) = 0 implica que c1 = 0. Assim, as solu¸c˜oes obtidas atrav´es de separa¸c˜ao de vari´aveiss˜ao os produtossennπxasenhnπya.A solu¸c˜ao u2 do segundo problema ser´a a fun¸c˜aou2(x, y) =∞∑n=1bn sennπxasenhnπya,ondebn =2a senhnπba∫ a0f2(x) sennπxadx,poisf2(x) = u2(x, b) =∞∑n=1(bn senhnπba)sennπxa.´E mais conveniente, para efeitos de memoriza¸c˜ao, incorporar a constante senhnπbana solu¸c˜ao, escrevendo-ana formau2(x, y) =∞∑n=1bn sennπxasenhnπyasenhnπba(5.7)de modo quebn =2a∫ a0f2(x) sennπxadx (5.8)tem a forma padr˜ao dos coeficientes da s´erie de Fourier.De maneira an´aloga, obtemos as solu¸c˜oes para os outros problemas:u1(x, y) =∞∑n=1an sennπxasenhnπ(b − y)asenhnπba, an =2a∫ a0f1(x) sennπxadx, (5.9)u3(x, y) =∞∑n=1cnsenhnπ(a − x)bsenhnπabsennπyb, cn =2b∫ b0g1(y) sennπybdy, (5.10)u4(x, y) =∞∑n=1dnsenhnπxbsenhnπabsennπyb, dn =2b∫ b0g2(y) sennπybdy. (5.11)Portanto, a solu¸c˜ao do problema de Dirichlet (5.6) no retˆangulo ´eu(x, y) =∞∑n=1an sennπxasenhnπ(b − y)asenhnπba+∞∑n=1bn sennπxasenhnπyasenhnπba(5.12)+∞∑n=1cn sennπybsenhnπ(a − x)bsenhnπab+∞∑n=1dn sennπybsenhnπxbsenhnπab,
    • Rodney Josu´e Biezuner 109com os coeficientes an, bn, cn, dn dados pelas express˜oes acima.5.1.2 O Princ´ıpio do M´aximo e Unicidade de Solu¸c˜ao para a Equa¸c˜ao de Laplace5.1 Lema. (Princ´ıpio do M´aximo para a Equa¸c˜ao de Laplace) Seja Ω ⊂ R2uma regi˜ao limitada. Seu : Ω → R ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua que satisfaz a equa¸c˜ao de Laplace em Ω, isto ´e, ∆u = 0 em Ω, ent˜aou atinge o seu m´aximo e o seu m´ınimo na fronteira de Ω.Prova: SejamM = maxΩu e m = max∂Ωue suponha por absurdo que m < M. Ent˜ao existe um ponto (x0, y0) ∈ Ω−∂Ω tal que u(x0, y0) = M. Definaa fun¸c˜aov(x, y) = u(x, y) +M − m4d2[(x − x0)2+ (y − y0)2],onde d = diam Ω. Se (x, y) ∈ ∂Ω, temosv(x, y) m +M − m4d2d2=34m +M4< M,e como u(x0, y0) = v(x0, y0) = M, segue que o m´aximo de v tamb´em ´e assumido em um ponto de Ω − ∂Ω,digamos em (x, y). Mas, como (x, y) ´e um ponto de m´aximo para v, devemos ter∆v(x, y) 0,enquanto que, pela defini¸c˜ao de v e pelo fato de u satisfazer a equa¸c˜ao de Laplace, para todo (x, y) temos∆v(x, y) = ∆u(x, y) +M − m4d2=M − m4d2> 0,uma contradi¸c˜ao. Isso mostra que u atinge o seu m´aximo em ∂Ω. Para provar que o m´ınimo de u tamb´em ´eatingido em ∂Ω, basta observar que −u tamb´em satisfaz a equa¸c˜ao de Laplace e que min u = − max(−u).5.2 Teorema. (Unicidade de Solu¸c˜ao para o Problema de Dirichlet) Se o problema de Poisson{∆u = f(x, y) se (x, y) ∈ Ω,u(x, y) = g(x, y) se (x, y) ∈ ∂Ω,tiver solu¸c˜ao, ent˜ao ele possui uma ´unica solu¸c˜ao.Prova: Se u1 e u2 s˜ao duas solu¸c˜oes para o problema de Poisson acima, ent˜ao u = u1 − u2 ´e uma solu¸c˜aopara o problema de Laplace com condi¸c˜ao de fronteira homogˆenea{∆u = 0 se (x, y) ∈ Ω,u(x, y) = 0 se (x, y) ∈ ∂Ω.Em particular, u satisfaz o princ´ıpio do m´aximo e portanto, como u = 0 na fronteira ∂Ω,maxΩu = max∂Ωu = 0,minΩu = min∂Ωu = 0,logo u ≡ 0 em Ω, o que significa que u1 = u2.
    • Rodney Josu´e Biezuner 1105.2 A Equa¸c˜ao de Laplace no Disco´E uma conseq¨uˆencia do princ´ıpio do m´aximo que as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Laplace em dom´ınios sim´etricoscom uma condi¸c˜ao de fronteira sim´etrica s˜ao sim´etricas. Em vista disso as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Laplaceno disco s˜ao radialmente sim´etricas, o que transforma o problema de Laplace no disco em um problemaessencialmente unidimensional, isto ´e, a equa¸c˜ao diferencial parcial transforma-se em uma ´unica equa¸c˜aodiferencial ordin´aria. Para obtermos esta equa¸c˜ao diferencial ordin´aria, precisamos obter uma express˜aopara o Laplaciano em coordenadas polares.5.2.1 A Equa¸c˜ao de Laplace em Coordenadas PolaresA rela¸c˜ao entre coordenadas cartesianas retangulares e coordenadas polares ´e dada pelas seguintes rela¸c˜oes:{x = r cos θy = r sen θ(5.13)e {r =√x2 + y2,θ = arctanyx.(5.14)Para obter a express˜ao para o Laplaciano em coordenadas polares, usamos estas rela¸c˜oes e a regra dacadeia. Comoux = urrx + uθθx,segue queuxx =∂∂x[urrx + uθθx] =∂∂x(ur) rx + urrxx +∂∂x(uθ) θx + uθθxx= urrr2x + urθθxrx + urrxx + urθrxθx + uθθθ2x + uθθxx,dondeuxx = urrr2x + uθθθ2x + 2urθrxθx + urrxx + uθθxx. (5.15)Trocando x por y, obtemos tamb´emuyy = urrr2y + uθθθ2y + 2urθryθy + urryy + uθθyy. (5.16)Diferenciando r2= x2+ y2implicitamente com rela¸c˜ao a x, obtemos 2rrx = 2x, logorx =xr.Da´ı,rxx =r − xrxr2=r −x2rr2=r2− x2r3=y2r3.Similarmente,ry =yre ryy =x2r3.Por outro lado, diferenciando θ = arctanyxcom rela¸c˜ao a x, obtemosθx =11 +(yx)2(−yx2)= −yx2 + y2= −yr2,
    • Rodney Josu´e Biezuner 111e com rela¸c˜ao a y obtemosθy =11 +(yx)2(1x)=xx2 + y2=xr2.Diferenciando estas express˜oes uma segunda vez com rela¸c˜ao a x e y, respectivamente, encontramosθxx =y (2rrx)r4=2xyr4eθyy =−x (2rrx)r4= −2xyr4.Em particular, valem as seguintes identidades:θxx + θyy = 0 e rxθx + ryθy = 0.Usando as rela¸c˜oes obtidas, temosuxx + uyy = urr(r2x + r2y) + uθθ(θ2x + θ2y) + 2urθ(rxθx + ryθy) + ur(rxx + ryy) + uθ(θxx + θyy)=x2+ y2r2urr +x2+ y2r4uθθ +x2+ y2r3ur= urr +1r2uθθ +1rur.Em outras palavras, o Laplaciano de u em coordenadas polares ´e dado por∆u(r, θ) = urr +1rur +1r2uθθ. (5.17)5.2.2 Solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao de Laplace no Disco pelo M´etodo de Separa¸c˜ao deVari´aveis e S´eries de FourierEm coordenadas polares, a equa¸c˜ao de Laplace no disco D = [0, R) × [0, 2π) se torna{urr +1rur +1r2uθθ = 0 se 0 < r < R e 0 < θ < 2π,u(R, θ) = f(θ) se 0 θ 2π,onde f ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua que satisfaz f(0) = f(2π). Resolver este problema nestas coordenadas significaencontrar uma fun¸c˜ao u(r, θ) cont´ınua em D e de classe C2em (0, R)×(0, 2π) tal que u(r, 0) = u(r, 2π) paratodo 0 < r < R.Escrevendou(r, θ) = F(r)G(θ),obtemosF′′(r)G(θ) +1rF′(r)G(θ) +1r2F(r)G′′(θ) = 0,donder2 F′′(r)F(r)+ rF′(r)F(r)= −G′′(θ)G(θ)= σ.Do fato de G(θ) satisfazer a equa¸c˜ao diferencial ordin´ariaG′′(θ) + σG(θ) = 0
    • Rodney Josu´e Biezuner 112e ser uma fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo 2π, conclu´ımos queσ = n2para algum n 0, eGn(θ) = an cos nθ + bn sen nθ. (5.18)Em particular, F satisfaz a equa¸c˜ao diferencial ordin´ariar2F′′(r) + rF′(r) − n2F(r) = 0.Esta ´e a equa¸c˜ao de Euler, cuja solu¸c˜ao geral ´eF(r) ={c1 + c2 log r se n = 0,c1rn+ c2r−nse n 1.Como a solu¸c˜ao u ´e cont´ınua, devemos ter F(r) limitada pr´oximo a r = 0, o que implica que c2 = 0. Portanto,as solu¸c˜oes de F admiss´ıveis para este problema s˜aoFn(r) = rnpara n 0.As solu¸c˜oes produto s˜ao ent˜aou0(r, θ) =a02,un(r, θ) = rn[an cos nθ + bn sen nθ] para n 1.A solu¸c˜ao do problema ´eu(r, θ) =a02+∞∑n=1rnRn[an cos nθ + bn sen nθ], (5.19)onde an, bn s˜ao os coeficientes de Fourier de f (lembre-se que f est´a definida no intervalo [0, 2π], satisfazf(0) = f(2π) e ´e natural supor que ela ´e per´ı´odica de per´ıodo 2π)an =1π∫ 2π0f(θ) cos nθ dθ, n 0,bn =1π∫ 2π0f(θ) sen nθ dθ, n 1.(5.20)5.3 Exemplo. Encontre a distribui¸c˜ao de temperatura de estado estacion´ario em um disco de raio 1, se ametade superior da circunferˆencia ´e mantida a uma temperatura constante igual a 100◦e a metadeinferior ´e mantida `a temperatura constante 0.Solu¸c˜ao. Em outras palavras, queremos resolver o problema de Dirichlet em coordenadas polares{∆u = 0 se 0 < r < R e 0 < θ < 2π,u(1, θ) = f(θ) se 0 θ 2π,ondef(θ) ={100 se 0 < θ < π,0 se π < θ < 2π.Temosan =100π∫ π0cos nθ dθ ={100 se n = 0,0 se n 1,
    • Rodney Josu´e Biezuner 113ebn =100π∫ π0sen nθ dθ =100nπ(1 − cos nπ) ={0 se n ´e par,200nπse n ´e ´ımpar..Logo, a solu¸c˜ao ´eu(r, θ) = 50 +200π∞∑n=1(−1)n+12n − 1r2n−1sen(2n − 1)θ.Esta solu¸c˜ao pode ser escrita em forma fechada com o aux´ılio da identidade∞∑n=1rn sen nθn= arctanr sen θ1 − r cos θ. (5.21)De fato, usando a identidade cos nπ sen nθ = sen n(θ − π) e reescrevendo a solu¸c˜ao anterior, obtemosu(r, θ) = 50 +100π∞∑n=11 − cos nπnrnsen nθ= 50 +100π∞∑n=1rn sen nθn−100π∞∑n=1rn sen n(θ − π)n= 50 +100πarctanr sen θ1 − r cos θ−100πarctanr sen(θ − π)1 − r cos(θ − π)de modo queu(r, θ) = 50 +100π(arctanr sen θ1 − r cos θ+ arctanr sen θ1 + r cos θ). (5.22)Esta solu¸c˜ao ´e prontamente escrita em coordenadas cartesianas:u(x, y) = 50 +100π(arctany1 − x+ arctany1 + x). (5.23)Em particular torna-se f´acil determinar as isotermas (isto ´e, curvas de temperatura constante) destasolu¸c˜ao. Igualando o lado direito a um valor T, temosarctany1 − x+ arctany1 + x=π(T − 50)100.Aplicando tan a ambos os lados desta equa¸c˜ao e usando a identidade trigonom´etricatan(a + b) =tan a + tan b1 − tan a tan b,obtemos y1−x + y1+x1 −(y1−x) (y1+x) = tan(πT100−π2)= − cotπT100,donde2y1 − x2 − y2= − cotπT100,oux2+ y2− 12y= tanπT100.
    • Rodney Josu´e Biezuner 114Portanto, a isoterma correspondente `a temperatura T ´e o c´ırculox2+(y − tanπT100)2= 1 + tan2 πT100= sec2 πT100,centrado em(0, tanπT100)e de raio secπT100. Em particular, os centros destes arcos isotermais est˜aocentrados no eixo y. Por exemplo, T = 100 corresponde ao semic´ırculo superior, T = 50 correspondeao segmento do eixo x e T = 0 corresponde ao semic´ırculo inferior; os outros arcos isotermais ocupamposi¸c˜oes intermedi´arias, deformando-se continuamente de uma destas posi¸c˜oes para a outra.5.3 A Equa¸c˜ao de Helmholtz: Autovalores e Autofun¸c˜oes do Lapla-cianoA equa¸c˜ao de Helmholtz ou problema de autovalor para o laplaciano com condi¸c˜ao de Dirichlet ´e o problema{−∆u = λu se (x, y) ∈ Ω,u(x, y) = 0 se (x, y) ∈ ∂Ω.Se o dom´ınio Ω ´e suficientemente regular, pode-se provar que existe um n´umero infinito de autovalores,todos eles positivos (da´ı o sinal negativo na frente do laplaciano). Al´em disso, eles s˜ao discretos, podendoser enumerados em uma sequˆenciaλ1 < λ2 λ3 . . .comλn → ∞.A importˆancia de se obter os autovalores e os autovetores do laplaciano ´e que eles permitem resolver facilmentea equa¸c˜ao de Poisson em Ω, como veremos na pr´oxima se¸c˜ao, e tamb´em os problemas da equa¸c˜ao do calor eda onda em Ω.Nesta se¸c˜ao obteremos os autovalores e as correspondentes autofun¸c˜oes do laplaciano no retˆangulo. Antesdisso, observe que o correspondente problema de autovalor para o laplaciano no intervalo [0, L] ´e o problemade Sturm-Liouville {−u′′= λu se 0 < x < L,u (0) = u (L) = 0,cujos autovalores (como vimos na Introdu¸c˜ao) s˜aoλn =n2π2L2e cujas correspondentes autofun¸c˜oes s˜aoun (x) = sennπxL.Considere agora o problema de autovalor no retˆangulo:−uxx − uyy = λu se 0 < x < a e 0 < y < b,u(x, 0) = u(x, b) = 0 se 0 x a,u(0, y) = u(a, y) = 0 se 0 y b.(5.24)Vamos obter os autovalores e autofun¸c˜oes do laplaciano pelo m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis e s´eries deFourier. Escrevendou(x, y) = F(x)G(y),
    • Rodney Josu´e Biezuner 115segue que−F′′(x)G(y) − F(x)G′′(y) = λF(x)G(y)e portanto−F′′(x)F(x)−G′′(y)G(y)= λ,donde−F′′(x)F(x)= λ +G′′(y)G(y)= σAs condi¸c˜oes de fronteira implicam as seguintes condi¸c˜oes sobre as equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias acima:u(x, 0) = 0 =⇒ F(x)G(0) = 0 =⇒ G(0) = 0,u(x, b) = 0 =⇒ F(x)G(b) = 0 =⇒ G(b) = 0,u(0, y) = 0 =⇒ F(0)G(y) = 0 =⇒ F(0) = 0,u(a, y) = 0 =⇒ F(a)G(y) = 0 =⇒ F(a) = 0.Logo, obtemos os problemas de Sturm-Liouville{−F′′(x) = σF(x),F(0) = F(a) = 0,e {−G′′(y) = (λ − σ) G(y),G(0) = G(b) = 0.A solu¸c˜ao do primeiro problema ´eσn =n2π2a2com Fn (x) = sennπxa,enquanto que a solu¸c˜ao do segundo problema ´eλ − σn =m2π2b2com Gm (x) = senmπyb.Portanto, os autovalores do laplaciano com condi¸c˜ao de Dirichlet no retˆangulo s˜aoλnm = π2(n2a2+m2b2)(5.25)com correspondentes autofun¸c˜oesunm (x, y) = sennπxasenmπyb. (5.26)Da mesma forma, pode-se obter os autovalores e autofun¸c˜oes do laplaciano com condi¸c˜ao de Neumann ede Robin. Observe que 0 sempre ´e um autovalor para o problema de Neumann, pois as fun¸c˜oes constantess˜ao sempre solu¸c˜oes.5.4 A Equa¸c˜ao de Poisson: o M´etodo de Expans˜ao em Auto-fun¸c˜oesVamos resolver o problema de Dirichlet para a equa¸c˜ao de Poisson em um dom´ınio retangular atrav´es dom´etodo de expans˜ao em autofun¸c˜oes. Em um retˆangulo, R = [0, a] × [0, b], o problema de Dirichlet geralpara a equa¸c˜ao de Laplace se escreve na forma:
    • Rodney Josu´e Biezuner 116uxx + uyy = f (x, y) se 0 < x < a e 0 < y < b,u(x, 0) = f1(x), u(x, b) = f2(x) se 0 x a,u(0, y) = g1(y), u(a, y) = g2(y) se 0 y b.(5.27)A solu¸c˜ao deste problema pode ser escrita como a soma das solu¸c˜oes de dois problemasu = u1 + u2onde u1 ´e a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Laplace com a condi¸c˜ao de Dirichlet n˜ao-homogˆeneauxx + uyy = 0 se 0 < x < a e 0 < y < b,u(x, 0) = f1(x), u(x, b) = f2(x) se 0 x a,u(0, y) = g1(y), u(a, y) = g2(y) se 0 y b,(5.28)que j´a sabemos resolver, e u2 ´e a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Poisson com condi¸c˜ao de Dirichlet homogˆeneauxx + uyy = f (x, y) se 0 < x < a e 0 < y < b,u(x, 0) = u(x, b) = 0 se 0 x a,u(0, y) = u(a, y) = 0 se 0 y b.(5.29)que ´e um problema que resolveremos atrav´es da t´ecnica da expans˜ao em autofun¸c˜oes.De fato, tentamos escrever a solu¸c˜ao como uma s´erie das autofun¸c˜oes do laplaciano com condi¸c˜ao deDirichletu (x, y) =∞∑n,m=1anm sennπxasenmπyb, (5.30)onde os coeficientes anm devem ser determinados. Substituindo esta express˜ao na equa¸c˜ao de Poisson, temosque−∞∑n,m=1anmπ2(n2a2+m2b2)sennπxasenmπyb= f (x, y) .Isto nada mais ´e que uma s´erie de Fourier dupla. Portanto,anm = −4abπ2(n2a2+m2b2)∫ a0∫ b0f (x, y) sennπxasenmπybdxdy. (5.31)
    • Cap´ıtulo 6A Equa¸c˜ao da Onda no Disco:Vibra¸c˜oes de uma Membrana Circular6.1 A Membrana Circular Vibrante: Vibra¸c˜oes RadiaisConsidere uma membrana el´astica fina, com densidade uniforme, esticada sobre uma arma¸c˜ao circular deraio R e vibrando na dire¸c˜ao perpendicular ao disco D definido pelo c´ırculo em um meio que n˜ao op˜oeresistˆencia ao seu movimento. As vibra¸c˜oes desta membrana s˜ao descritas pelo seguinte problema de valorinicial e de fronteira: utt = c2∆u se (x, y) ∈ D e t > 0,u(x, y, t) = 0 se (x, y) ∈ ∂D e t 0,u(x, y, 0) = f(x, y) se (x, y) ∈ D,ut(x, y, 0) = g(x, y) se (x, y) ∈ D,com f(x, y) = g(x, y) = 0 se (x, y) ∈ ∂D. Em coordenadas polares, este problema se tornautt = c2(urr +1rur +1r2uθθ)se 0 < r < R, 0 < θ < 2π e t > 0,u(R, θ, t) = 0 se 0 θ 2π e t 0,u(r, θ, 0) = f(r, θ) se 0 r R e 0 θ 2π,ut(r, θ, 0) = g(r, θ) se 0 r R e 0 θ 2π,com f(R, θ) = g(R, θ) = 0 para todo 0 θ 2π. Se restringirmos nossa aten¸c˜ao aos casos em que a posi¸c˜aoinicial f e a velocidade inicial g s˜ao fun¸c˜oes radialmente sim´etricas f(r, θ) = f(r) e g(r, θ) = g(r) (ou seja, aposi¸c˜ao e velocidade iniciais de um ponto da membrana dependem apenas da distˆancia dele ao centro e n˜aodo ˆangulo polar θ), a simetria da situa¸c˜ao implica que a solu¸c˜ao u tamb´em dever´a ser radialmente sim´etrica,isto ´e, u(r, θ, t) = u(r, t) (a posi¸c˜ao de um ponto da membrana em qualquer instante de tempo n˜ao dependar´ado ˆangulo θ). Ent˜ao o problema se simplifica consideravelmente:utt = c2(urr +1rur)se 0 < r < R, 0 < θ < 2π e t > 0,u(R, t) = 0 se t 0,u(r, 0) = f(r) se 0 r R,ut(r, 0) = g(r) se 0 r R,(6.1)com f(R) = g(R) = 0.Vamos tentar resolver este problema pelo m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis. Suponha que possamosescreveru(r, t) = F(r)G(t).117
    • Rodney Josu´e Biezuner 118Ent˜aoF(r)G′′(t) = c2(F′′(r)G(t) +1rF′(r)G(t)),donde1c2G′′(t)G(t)=F′′(r)F(r)+1rF′(r)F(r)= −λ2.Aqui, decidimos que a constante de separa¸c˜ao de vari´aveis ´e negativa porque esperamos obter solu¸c˜oes de Gperi´odicas, pois as vibra¸c˜oes de uma membrana que n˜ao est´a sujeita a for¸cas externas ou dissipativas devemser peri´odicas no tempo. Isso nos leva `as seguintes equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias:{rF′′(r) + F′(r) + λ2rF(r) = 0 se 0 < r < R,F(R) = 0,(6.2)eG′′(t) + c2λ2G(t) = 0.A primeira equa¸c˜ao ´e conhecida como a equa¸c˜ao de Bessel (de ordem 0) e parˆametro λ. Ela n˜ao possuisolu¸c˜oes em forma fechada. No entanto, ela aparece t˜ao freq¨uentemente nas aplica¸c˜oes que as suas solu¸c˜oesreceberam um nome especial: as fun¸c˜oes de Bessel.Observa¸c˜ao: Poder´ıamos em princ´ıpio tamb´em ter λ = 0, pois fun¸c˜oes constantes tamb´em s˜ao peri´odicascom per´ıodo 2π, e neste caso ter´ıamos uma equa¸c˜ao de Euler. No entanto, a solu¸c˜ao geral para esta equa¸c˜aode Euler seria F(r) = c1 + c2 log r e a condi¸c˜ao F(R) = 0 implicaria que F ≡ 0.6.2 Fun¸c˜oes de BesselPara facilitar o estudo da equa¸c˜ao de Bessel, vamos nos livrar do parˆametro λ atrav´es da mudan¸ca de vari´avelx = λr, considerando a fun¸c˜aoy(x) = F(xλ). (6.3)Ent˜aoy′(x) =1λF′(r) e y′′(x) =1λ2F′′(r),de modo que a equa¸c˜ao de Bessel de ordem 0 torna-sex2y′′+ xy′+ x2y = 0.Mais geralmente, vamos estudar a equa¸c˜ao de Bessel de ordem p 0, j´a que esta equa¸c˜ao surgir´a nosproblemas da membrana circular vibrante sem simetria radial:x2y′′+ xy′+ (x2− p2)y = 0. (6.4)Como observado antes, esta equa¸c˜ao n˜ao possui uma solu¸c˜ao em forma fechada. Para resolvˆe-la, usaremosum m´etodo que estende o m´etodo de s´eries de potˆencias (chamado m´etodo de Frobenius).6.2.1 Solu¸c˜ao Geral da Equa¸c˜ao de Bessel: Fun¸c˜oes de Bessel do Primeiro TipoEscrevendoy(x) = xc∞∑n=0anxn=∞∑n=0anxn+c,onde c ´e uma constante n˜ao necessariamente inteira, diferenciando termo a termo e substituindo na equa¸c˜aodiferencial, obtemos∞∑n=0(n + c)(n + c − 1)anxn+c+∞∑n=0(n + c)anxn+c+∞∑n=0(x2− p2)anxn+c= 0
    • Rodney Josu´e Biezuner 119que ´e a s´erie[c(c−1)+c−p2]a0+[(1+c)(1+c−1)+(1+c)−p2]a1x1+c+∞∑n=2{[(n + c)(n + c − 1) + (n + c) − p2]an + an−2}xn+c= 0,ou seja,(c2− p2)a0 + [(1 + c)2− p2]a1x1+c+∞∑n=2{[(n + c)2− p2]an + an−2}xn+c= 0.Da´ı, obtemos as rela¸c˜oes(c2− p2)a0 = 0,[(1 + c)2− p2]a1 = 0,[(n + c)2− p2]an = an−2,(6.5)a ´ultima rela¸c˜ao valendo para n 2. Assumindo a0 ̸= 0, obtemos a chamada equa¸c˜ao indicial c2− p2= 0,dondec = p ou c = −p.Isso implica que a1 = 0 (exceto no caso p = −1/2). Escolhendo c = p, a ´ultima rela¸c˜ao dentre as rela¸c˜oesacima d´a a f´ormula recursivaan = −an−2n(n + 2p)se n 2. (6.6)Como a1 = 0, todos os coeficientes com ´ındices ´ımpares s˜ao iguais a 0:a2k−1 = 0 para todo k 1. (6.7)Escrevendo n = 2k, encontramos os coeficientes com ´ındices pares:a2k = −122k(k + p)a2(k−1),ou seja,a2 = −122(1 + p)a0,a4 = −1222(2 + p)a2 =1242(1 + p)(2 + p)a0,a6 = −1223(3 + p)a4 = −1263!(1 + p)(2 + p)(3 + p)a0,e assim por diante, de maneira quea2k =(−1)k22kk!(1 + p)(2 + p) · · · (k + p)a0. (6.8)Usando a fun¸c˜ao gama Γ(x) (se vocˆe n˜ao conhece esta fun¸c˜ao, veja o apˆendice no final desta se¸c˜ao) podemossimplificar a nota¸c˜ao. Utilizando a propriedade Γ(x + 1) = xΓ(x), segue queΓ(1 + p)[(1 + p)(2 + p) · · · (k + p)] = Γ(2 + p)[(2 + p) · · · (k + p)] = Γ(3 + p)[(4 + p) · · · (k + p)] = . . .= Γ(k + p + 1),logo(1 + p)(2 + p) · · · (k + p) =Γ(k + p + 1)Γ(1 + p). (6.9)
    • Rodney Josu´e Biezuner 120Escolhendoa0 =12pΓ(1 + p), (6.10)temos que a primeira solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Bessel pode ser escrita na formay(x) =∞∑k=0(−1)kk!Γ(k + p + 1)(x2)2k+p. (6.11)As fun¸c˜oesJp(x) =∞∑k=0(−1)kk!Γ(k + p + 1)(x2)2k+p(6.12)s˜ao chamadas fun¸c˜oes de Bessel de ordem p de primeiro tipo. Se p ´e um inteiro n˜ao-negativo, temossimplesmenteJp(x) =∞∑k=0(−1)kk!(k + p)!(x2)2k+p.Para obter a solu¸c˜ao geral para a equa¸c˜ao de Bessel, precisamos obter uma segunda solu¸c˜ao linearmenteindependente de Jp (pois a equa¸c˜ao de Bessel ´e uma equa¸c˜ao diferencial ordin´aria linear de segunda ordem).Para isso, quando p n˜ao ´e um inteiro, basta fazer a segunda escolha poss´ıvel para c, ou seja, c = −p. Nestecaso obtemosJ−p(x) =∞∑k=0(−1)kk!Γ(k − p + 1)(x2)2k−p. (6.13)Observe que, embora esta defini¸c˜ao fa¸ca sentido se p ´e um inteiro negativo (mesmo que Jp e J−p n˜ao sejamlinearmente independentes neste caso) se p ´e um inteiro positivo ent˜ao Γ(k − p + 1) n˜ao est´a definido parak = 0, . . . , p−1. Para ter uma defini¸c˜ao para J−p mesmo quando p ´e um inteiro negativo, costuma-se definirJ−n(x) = (−1)nJn(x) se n ´e um inteiro 0.6.1 Exemplo. (As fun¸c˜oes de Bessel de ordem p = ±1/2.) TemosJ12(x) =√2πxsen x e J− 12(x) =√2πxcos x.De fato,J12(x) =∞∑k=0(−1)kk!Γ(k + 12 + 1)!(x2)2k+ 12,e pode ser provado queΓ(k +12+ 1) =(2k + 1)!22k+1k!√π,de modo queJ12(x) =√2πx∞∑k=0(−1)k(2k + 1)!(x2)2k+1=√2πxsen x .Similarmente, utilizando o fato queΓ(k +12) =(2k)!22kk!√π,obt´em-se a forma apresentada acima para J−1/2.
    • Rodney Josu´e Biezuner 1216.2.2 Solu¸c˜ao Geral da Equa¸c˜ao de Bessel: Fun¸c˜oes de Bessel do Segundo TipoSe p n˜ao ´e um inteiro, definaYp(x) =Jp(x) cos pπ − J−p(x)sen pπ. (6.14)Se p ´e um inteiro, definaYp = limq→pYq.As fun¸c˜oes Yp s˜ao chamadas fun¸c˜oes de Bessel de ordem p do segundo tipo e s˜ao tamb´em solu¸c˜oespara a equa¸c˜ao de Bessel, linearmente independente de Jp quando p ´e um inteiro.Com isso, obtemos a solu¸c˜ao geral para a equa¸c˜ao de Bessel:6.2 Teorema. A solu¸c˜ao geral para a equa¸c˜ao de Bessel de ordem p ´ey(x) = c1Jp(x) + c2J−p(x).se p n˜ao ´e um inteiro. Se p ´e um inteiro, ent˜ao a solu¸c˜ao geral para a equa¸c˜ao de Bessel de ordem p ´ey(x) = c1Jp(x) + c2Yp(x).6.2.3 Apˆendice: A Fun¸c˜ao GamaA fun¸c˜ao gama ´e definida pra x > 0 porΓ(x) =∫ ∞0tx−1e−tdt. (6.15)A propriedade mais importante da fun¸c˜ao gama ´eΓ(x + 1) = xΓ(x). (6.16)Esta propriedade ´e f´acil de ser verificada atrav´es de integra¸c˜ao por partes:Γ(x + 1) =∫ ∞0txe−tdt = − txe−t ∞0+ x∫ ∞0tx−1e−tdt = x∫ ∞0tx−1e−tdt = xΓ(x).Como Γ(1) =∫ ∞0e−tdt = 1, esta propriedade aplicada sucessivas vezes implica que se n ´e um n´umeronatural, ent˜aoΓ(n + 1) = nΓ(n) = n(n − 1)Γ(n − 2) = n(n − 1)(n − 2)Γ(n − 3) = . . . = n(n − 1)(n − 2) . . . 3 · 2 · Γ(1) = n!Assim, a fun¸c˜ao gama pode ser vista como uma extens˜ao da fun¸c˜ao fatorial, que ´e definida apenas paran´umeros naturais, a uma fun¸c˜ao definida para todos os n´umeros reais positivos. Por este motivo, ela ´e `asvezes chamada de fun¸c˜ao fatorial generalizada.´E poss´ıvel tamb´em defini-la para n´umeros reais negativos que n˜ao sejam inteiros negativos (isto ´e, parax < 0, exceto para x = 0, −1, −2, ...). De fato, basta aplicar a propriedadeΓ(x) =1xΓ(x + 1)sucessivamente. Como os limites laterais desta fun¸c˜ao em inteiros negativos s˜ao infinitos, n˜ao faz sentidodefini-la nestes n´umeros.
    • Rodney Josu´e Biezuner 1226.3 S´eries de Fun¸c˜oes de Bessel e a Solu¸c˜ao do Problema da Mem-brana Circular Vibrante6.3.1 Ortogonalidade das Fun¸c˜oes de BesselPara entender as rela¸c˜oes de ortogonalidade das fun¸c˜oes de Bessel, recorde as rela¸c˜oes de ortogonalidade dasfun¸c˜oes sennπxL:∫ L0sennπxLsenmπxLdx ={2L se n = m,0 se n ̸= m.A chave aqui ´e notar que as fun¸c˜oes sennπxLforam constru´ıdas a partir de uma ´unica fun¸c˜ao, a fun¸c˜ao sen xe seus zeros nπ escalados pelo fator 1/L. Da mesma forma, para construir sistemas ortogonais de fun¸c˜oesde Bessel, escolhemos uma fun¸c˜ao de Bessel e tomamos os seus zeros escalados.Fixe uma ordem p 0 e considere a fun¸c˜ao de Bessel Jp(x). A fun¸c˜ao de Bessel Jp(x) tem um n´umeroinfinito de zeros positivos tendendo para +∞, como a fun¸c˜ao sen x (o que aceitaremos sem demonstra¸c˜ao,apesar de n˜ao ser ´obvio). Denotamos estes zeros em ordem crescente por0 < αp,1 < αp,2 < . . . < αp,n < . . . (6.17)Diferentemente da fun¸c˜ao seno, n˜ao h´a uma f´ormula para os zeros das fun¸c˜oes de Bessel; estes devem serdeterminados por m´etodos num´ericos.Consideramos as fun¸c˜oes de Bessel escaladasJp(αp,nxR).S˜ao v´alidas as seguintes rela¸c˜oes de ortogonalidade para as fun¸c˜oes de Bessel (n˜ao ser˜ao provadas):∫ R0Jp(αp,nxR)Jp(αp,mxR)x dx =R22J2p+1(αp,n) se n = m,0 se n ̸= m.Dizemos que as fun¸c˜oes Jp(αp,nxR)s˜ao ortogonais no intervalo [0, R] com respeito ao peso x.6.3.2 S´eries de Bessel de ordem pPor causa da ortogonalidade das fun¸c˜oes de Bessel, da mesma forma que podemos escrever fun¸c˜oes razoavel-mente regulares em s´eries de Fourier, da mesma forma podemos escrever estas mesmas fun¸c˜oes em s´eries deBessel:f(x) =∞∑n=1anJp(λpn x). (6.18)Esta s´erie ´e chamada a s´erie de Bessel de ordem p de f. Para encontrar os coeficientes an, multiplicamosambos os lados por Jp(αp,mxR)x e integramos termo a termo no intervalo (0, R). Devido `as rela¸c˜oes deortogonalidade que vimos na se¸c˜ao anterior, segue que∫ R0f(x)Jp(αp,mxR)x dx =∞∑n=1an∫ R0Jp(αp,nxR)Jp(αp,mxR)x dx = am∫ R0J2p(αp,mxR)x dx= amR2J2p+1(αp,m)2.Portanto,an =2R2J2p+1(αp,n)∫ R0f(x)Jp(αp,nxR)x dx. (6.19)
    • Rodney Josu´e Biezuner 1236.3 Teorema. Se f : [0, R] → R ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua por partes tal que sua derivada tamb´em ´e cont´ınuapor partes, ent˜ao f tem uma s´erie de Bessel de ordem p no intervalo (0, R). No intervalo (0, R), as´erie converge para f(x) se f ´e cont´ınua em x, e paraf(x+) + f(x−)2nos pontos de descontinuidadede f.6.3.3 Solu¸c˜ao do Problema da Membrana Circular Vibrante RadialRetornando ao problema da membrana circular vibrante, observamos que a equa¸c˜ao de Bessel que aparece´e de ordem 0: {rF′′(r) + F′(r) + λ2rF(r) = 0 se 0 < r < R,F(R) = 0.Logo, a sua solu¸c˜ao geral ´e da formaF(r) = c1J0(λr) + c2Y0(λr) (6.20)ondeJ0(x) =∞∑k=0(−1)k(k!)2(x2)2keY0 = limq→0Jq(x) cos qπ − J−q(x)sen qπ.No entanto, a fun¸c˜ao Y0 n˜ao ´e limitada perto de 0 e esperamos que as solu¸c˜oes da membrana vibrante sejamcont´ınuas e, portanto, limitadas. Assim, devemos ter c2 = 0. Segue queF(r) = c1J0(λr). (6.21)Da condi¸c˜ao F(R) = 0, temos queλR = α0,ne da´ıλn =α0,nR. (6.22)As solu¸c˜oes desta equa¸c˜ao de Bessel s˜ao portantoFn(r) = J0(α0,nRr)(6.23)para n = 1, 2, . . . As solu¸c˜oes da equa¸c˜ao diferencial de G s˜ao ent˜aoGn(t) = cn cosα0,nctR+ dn senα0,nctR. (6.24)A solu¸c˜ao do problema da membrana circular vibrante deve ser da formau(r, t) =∞∑n=1J0(α0,nRr) [cn cosα0,nctR+ dn senα0,nctR]. (6.25)Os coeficientes cn, dn s˜ao determinados da seguinte forma:f(r) = u(r, 0) =∞∑n=1cnJ0(α0,nRr),dondecn =2R2J21 (α0,n)∫ R0f(r)J0(α0,nrR)r dr, (6.26)
    • Rodney Josu´e Biezuner 124eg(r) = ut(r, 0) =∞∑n=1dnα0,ncRJ0(α0,nRr),dondedn =2cRα0,nJ21 (α0,n)∫ R0g(r)J0(α0,nrR)r dr. (6.27)6.4 A Membrana Circular Vibrante: Vibra¸c˜oes GeraisConsideremos agora o problema geral da membrana circular vibrante:utt = c2(urr +1rur +1r2uθθ)se 0 < r < R, 0 < θ < 2π e t > 0,u(R, θ, t) = 0 se 0 θ 2π e t 0,u(r, θ, 0) = f(r, θ) se 0 r R e 0 θ 2π,ut(r, θ, 0) = g(r, θ) se 0 r R e 0 θ 2π,com f(R, θ) = g(R, θ) = 0 para todo 0 θ 2π. Pelo m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis, tentamos escreveru(r, t) = F(r)G(θ)H(t),de modo queF(r)G(θ)H′′(t) = c2(F′′(r)G(θ)H(t) +1rF′(r)G(θ)H(t) +1r2F(r)G′′(θ)H(t)),e da´ı1c2H′′(t)H(t)=F′′(r)F(r)+1rF′(r)F(r)+1r2G′′(θ)G(θ)= −λ2.Mais uma vez, tomamos a constante de separa¸c˜ao de vari´aveis negativa porque esperamos obter solu¸c˜oesperi´odicas no tempo. Obtemos, ent˜ao,H′′(t) + c2λ2G(t) = 0 (6.28)eF′′(r)F(r)+1rF′(r)F(r)= −λ2−1r2G′′(θ)G(θ),donder2 F′′(r)F(r)+ rF′(r)F(r)+ λ2r2= −G′′(θ)G(θ)= µ2,onde, mais uma vez, escolhemos o sinal da constante de separa¸c˜ao de vari´aveis de acordo com a nossaexpectativa que G(θ) ´e peri´odica de per´ıodo 2π. Portanto, usando as condi¸c˜oes de fronteira, obtemos asequa¸c˜oes diferenciais {G′′(θ) + µ2G(θ) = 0 se 0 < θ < 2π,G(0) = G(2π),donde conclu´ımos que µ = m e as sua solu¸c˜ao geral ´eGn(θ) = an cos nθ + bn sen nθ (6.29)para n = 0, 1, 2, . . ., e{r2F′′(r) + F′(r) + (λ2r2− n2)F(r) = 0 se 0 < r < R,F(R) = 0.(6.30)
    • Rodney Josu´e Biezuner 125Esta ´ultima ´e uma equa¸c˜ao de Bessel na forma param´etrica. Fazendo a mudan¸ca de vari´aveis y(r) = F (r/λ),como no caso radial, conclu´ımos que as suas solu¸c˜oes s˜ao da formaF(r) = Jn(λr), n = 0, 1, 2, . . .(pois as solu¸c˜oes Yn s˜ao ilimitadas e podem ser descartadas atrav´es de argumentos f´ısicos). Como F(R) = 0,segue que λR = αn,m ´e um zero da fun¸c˜ao de Bessel Jn, logoλ =αn,mR.Assim, as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Bessel acima s˜aoFnm = Jn(αn,mrR)(6.31)para n = 0, 1, 2, . . . , m = 1, 2, . . ., e as solu¸c˜oes de H s˜aoHnm(t) = Anm cosαn,mctR+ Bnm senαn,mctR(6.32)para n = 0, 1, 2, . . . , m = 1, 2, . . . A solu¸c˜ao geral ´e, portanto,unm(r, θ, t) = Jn(αn,mrR)(an cos nθ + bn sen nθ)(Anm cosαn,mctR+ Bnm senαn,mctR), (6.33)e da´ı a solu¸c˜ao do problema deve seru(r, θ, t) =∞∑n=0∞∑m=1Jn(αn,mrR)(an cos nθ + bn sen nθ)(Anm cosαn,mctR+ Bnm senαn,mctR)(6.34)com os coeficientes a serem determinados.6.4.1 Uso do Princ´ıpio de Superposi¸c˜aoComo no caso da equa¸c˜ao de Laplace no retˆangulo, ´e mais f´acil resolver o problema geral (isto ´e, encontraros coeficientes da solu¸c˜ao em s´erie acima) se usarmos a sua linearidade decompondo-no em dois problemasmais f´aceis, cada um com uma das condi¸c˜oes iniciais nulas.O primeiro problema ´eutt = c2(urr +1rur +1r2uθθ)se 0 < r < R, 0 < θ < 2π e t > 0,u(R, θ, t) = 0 se 0 θ 2π e t 0,u(r, θ, 0) = f(r, θ) se 0 r R e 0 θ 2π,ut(r, θ, 0) = 0 se 0 r R e 0 θ 2π,cuja solu¸c˜ao ´eu1(r, θ, t) =∞∑n=0∞∑m=1Jn(αn,mrR)(anm cos nθ + bnm sen nθ) cosαn,mctR, (6.35)devido `a condi¸c˜ao inicial ut(r, θ, 0) = 0. Usando a outra condi¸c˜ao inicial, obtemosf(r, θ) = u1(r, θ, 0) =∞∑n=0∞∑m=1Jn(αn,mrR)(anm cos nθ + bnm sen nθ).
    • Rodney Josu´e Biezuner 126Para obter os coeficientes, fixamos r de modo que fr(θ) = f(r, θ) ´e uma fun¸c˜ao apenas da vari´avel θ,escrevemosfr(θ) =∞∑m=1a0mJ0(α0,mrR)+∞∑n=1( ∞∑m=1anmJn(αn,mrR))cos nθ+∞∑n=1( ∞∑m=1bnmJn(αn,mrR))sen nθ.Definindoa0(r) = 2∞∑m=1a0mJ0(α0,mrR),an(r) =∞∑m=1anmJn(αn,mrR),bn(r) =∞∑m=1bnmJn(αn,mrR),segue quea0m =1R2J21 (α0,m)∫ R0a0(r)J0(α0,mrR)r dr,anm =2R2J2n+1(αn,m)∫ R0an(r)Jn(αn,mrR)r dr,bnm =2R2J2n+1(αn,m)∫ R0bn(r)Jn(αn,mrR)r dr.Por outro lado, comofr(θ) =a0(r)2+∞∑n=1(an(r) cos nθ + bn(r) sen nθ) ,temos que 2a0(r), an(r) e bn(r) s˜ao os coeficientes de Fourier da fun¸c˜ao fr(θ), logoa0(r) =1π∫ 2π0f(r, θ) dθ,an(r) =1π∫ 2π0f(r, θ) cos nθ dθ,bn(r) =1π∫ 2π0f(r, θ) sen nθ dθ.Portanto,a0m =1πR2J21 (α0,m)∫ R0∫ 2π0f(r, θ)J0(α0,mrR)r dθdr,anm =2πR2J2n+1(αn,m)∫ R0∫ 2π0f(r, θ) cos nθJn(αn,mrR)r dθdr, (6.36)bnm =2πR2J2n+1(αn,m)∫ R0∫ 2π0f(r, θ) sen nθJn(αn,mrR)r dθdr,
    • Rodney Josu´e Biezuner 127para m = 1, 2, . . .O segundo problema ´eutt = c2(urr +1rur +1r2uθθ)se 0 < r < R, 0 < θ < 2π e t > 0,u(R, θ, t) = 0 se 0 θ 2π e t 0,u(r, θ, 0) = 0 se 0 r R e 0 θ 2π,ut(r, θ, 0) = g(r, θ) se 0 r R e 0 θ 2π,cuja solu¸c˜ao ´eu2(r, θ, t) =∞∑n=0∞∑m=1Jn(αn,mrR)(cnm cos nθ + dnm sen nθ) senαn,mctR, (6.37)devido `a condi¸c˜ao inicial u(r, θ, 0) = 0. Usando um argumento similar ao usado no primeiro caso, obtemosc0m =1πcα0,mRJ21 (α0,m)∫ R0∫ 2π0g(r, θ)J0(α0,mrR)r dθdr,cnm =2πcαn,mRJ2n+1(αn,m)∫ R0∫ 2π0g(r, θ) cos nθJn(αn,mrR)r dθdr, (6.38)dnm =2πcαn,mRJ2n+1(αn,m)∫ R0∫ 2π0g(r, θ) sen nθJn(αn,mrR)r dθdr,para m = 1, 2, . . .Portanto a solu¸c˜ao do problema geral ´e u = u1 + u2, ou seja,u(R, θ, t) =∞∑n=0∞∑m=1Jn(αn,mrR)(anm cos nθ + bnm sen nθ) cosαn,mctR+∞∑n=0∞∑m=1Jn(αn,mrR)(cnm cos nθ + dnm sen nθ) senαn,mctR,com os coeficientes anm, bnm, cnm, dnm definidos como acima.
    • Cap´ıtulo 7Equa¸c˜ao de Laplace em Dom´ıniosTridimensionais Sim´etricosNeste cap´ıtulo desenvolveremos a teoria da equa¸c˜ao de Laplace tridimensional em dom´ınios sim´etricos taiscomo o cilindro e a bola. N˜ao desenvolveremos a teoria para dom´ınios c´ubicos tais como paralelep´ıpedos,pois esta ´e uma extens˜ao trivial da teoria para dom´ınios retangulares: ao inv´es de s´eries de Fourier duplas eseus coeficientes expressos como integrais duplas, basta considerar s´eries de Fourier triplas cujos coeficientess˜ao integrais triplas.7.1 A Equa¸c˜ao de Laplace em um Cilindro7.1.1 A Equa¸c˜ao de Laplace em Coordenadas Cil´ındricasA rela¸c˜ao entre coordenadas cartesianas (x, y, z) e coordenadas cil´ındricas (r, θ, z) ´e dada pelas seguintesrela¸c˜oes: x = r cos θ,y = r sen θ,z = z.(7.1)e r =√x2 + y2,θ = arctanyx,z = z.(7.2)O Laplaciano em trˆes dimens˜oes ´e dado por∆u(x, y, z) = uxx + uyy + uzz.Como no plano xy as coordenadas cil´ındricas s˜ao exatamente as coordenadas polares, aproveitamos osc´alculos que realizamos para obter o Laplaciano em coordenadas polares para concluir que o Laplaciano emcoordenadas cil´ındricas ´e dado por∆u(r, θ, z) = urr +1rur +1r2uθθ + uzz. (7.3)7.1.2 Solu¸c˜ao de um Problema de Laplace no CilindroConsidere o problema de encontrar a temperatura de estado estacion´ario em um cilindro cujas superf´ıcieslateral e inferior s˜ao mantidas `a temperatura inicial 0 com condi¸c˜oes de fronteira na superf´ıcie superior128
    • Rodney Josu´e Biezuner 129radialmente sim´etricas. Em particular, n˜ao existe dependˆencia da vari´avel θ: ou seja, u = u(r, z). Considereum cilindro com raio da base R e altura H. Este problema ´e modelado pela seguinte equa¸c˜ao diferencialparcial e pelas seguintes condi¸c˜oes de fronteira:urr +1rur + uzz = 0 se 0 < r < R e 0 < z < h,u(r, 0) = u(R, z) = 0 se 0 r R e 0 z h,u(r, H) = f(r) se 0 r R.Escrevendou(r, z) = F(r)G(z),obtemosF′′(r)G(z) +1rF′(r)G(z) + F(r)G′′(z) = 0.Dividindo a equa¸c˜ao por F(r)G(z), segue quer2 F′′(r)F(r)+ rF′(r)F(r)= −G′′(z)G(z)= σ.As condi¸c˜oes de fronteira implicam as seguintes condi¸c˜oes sobre F e G:u(r, 0) = 0 =⇒ F(r)G(0) = 0 =⇒ G(0) = 0,u(R, z) = 0 =⇒ F(R)G(z) = 0 =⇒ F(R) = 0.Logo temos dois problemas de Sturm-Liouville:{r2F′′(r) + rF′(r) + σr2F(r) = 0,F(R) = 0,e {G′′(z) + σG(z) = 0,G(0) = 0.Se σ = 0, a equa¸c˜ao em F seria uma equa¸c˜ao de Euler com solu¸c˜ao geral F(r) = c1 + c2 log r, e a condi¸c˜aoF(R) = 0 implicaria portanto que F ≡ 0. Esta possibilidade deve ser ent˜ao descartada. A possibilidadeσ > 0 tamb´em deve ser ignorada, porque a equa¸c˜ao resultante seria a forma param´etrica da equa¸c˜ao deBessel modificada:r2F′′(r) + rF′(r) − λ2r2F(r) = 0,onde escrevemos σ = λ2. Esta possibilidade deve ser descartada porque as solu¸c˜oes desta equa¸c˜ao, chamadasas fun¸c˜oes de Bessel modificadas de primeiro e segundo tipos, n˜ao podem satisfazer a condi¸c˜ao F(R) = 0, an˜ao ser que F ≡ 0 (veja a pr´oxima subse¸c˜ao).Portanto, σ = −λ2e os problemas s˜ao{r2F′′(r) + rF′(r) + λ2r2F(r) = 0,F(R) = 0,onde a equa¸c˜ao diferencial ordin´aria ´e uma equa¸c˜ao de Bessel de ordem 0, e{G′′(z) − λ2G(z) = 0,G(0) = 0.Levando em conta que F deve ser limitada na origem, as autofun¸c˜oes do primeira problema s˜aoFn(r) = J0(α0,nRr),
    • Rodney Josu´e Biezuner 130com λ =α0,nR. Levando em conta que G(0) = 0, as autofun¸c˜oes do segundo problema s˜ao (aqui ´e maisconveniente escrever a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao diferencial ordin´aria de G na forma G(z) = c1 cosh λz +c2 senh λz)Gn(z) = senh(α0,nRz).Assim, a solu¸c˜ao do problema ´eu(r, z) =∞∑n=1anJ0(α0,nRr)senh(α0,nRz). (7.4)Comof(r) = u(r, H) =∞∑n=1[an senh(α0,nRH)]J0(α0,nRr),segue quean =2R2 senh(α0,nRH)J21 (α0,n)∫ R0f(r)J0(α0,nrR)r dr. (7.5)7.1.3 Fun¸c˜oes de Bessel ModificadasA equa¸c˜ao de Bessel modificada de ordem p ´e definida porx2y′′+ xy′− (x2+ p2)y = 0. (7.6)Se p n˜ao ´e um inteiro, a sua solu¸c˜ao geral ´ey(x) = c1Ip(x) + c2I−p(x), (7.7)onde Ip ´e a chamada fun¸c˜ao de Bessel modificada de ordem p do primeiro tipo, definida porIp(x) =∞∑k=01k!Γ(k + p + 1)(x2)2k+p. (7.8)Para ver que Ip ´e a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Bessel modificada de ordem p note queIp(x) =Jp(ix)ip, (7.9)onde i =√−1. De fato,Jp(ix) =∞∑k=0(−1)kk!Γ(k + p + 1)(ix2)2k+p= ip∞∑k=0(−1)ki2kk!Γ(k + p + 1)(x2)2k+p= ip∞∑k=0(−1)k(i2)kk!Γ(k + p + 1)(x2)2k+p= ip∞∑k=0(−1)k(−1)kk!Γ(k + p + 1)(x2)2k+p= ip∞∑k=01k!Γ(k + p + 1)(x2)2k+p= ipIp(x).Assim,x2I′′p (x) + xI′p(x) − (x2+ p2)Ip(x) =1ip[x2i2J′′p (ix) + xiJ′p(x) − (x2+ p2)Jp(ix)]=1ip[(ix)2J′′p (ix) + ixJ′p(x) − (−(ix)2+ p2)Jp(ix)]=1ip[z2J′′p (z) + zJ′p(z) + (z2− p2)Jp(z)]= 0,
    • Rodney Josu´e Biezuner 131onde denotamos z = ix.Para resolver a equa¸c˜ao de Bessel modificada de ordem p quando p ´e um inteiro, definimos a fun¸c˜ao deBessel modificada de ordem p do segundo tipo (`as vezes chamada do terceiro tipo)Kp(x) =π2 sen pπ[I−p(x) − Ip(x)] (7.10)se p n˜ao ´e um inteiro, eKp(x) = limq→pKq(x) (7.11)quando p ´e um inteiro. A solu¸c˜ao geral para a equa¸c˜ao de Bessel modificada de ordem p ´e ent˜aoy(x) = c1Ip(x) + c2Kp(x). (7.12)A fun¸c˜ao de Bessel modificada I0 ´e estritamente crescente para x > 0, logo n˜ao pode satisfazer I0(R) = 0,enquanto que as fun¸c˜oes de Bessel modificadas pr´oximas `a origem s˜ao ilimitadas.7.1.4 Solu¸c˜ao de outro Problema de Laplace no CilindroConsidere o problema de encontrar a temperatura de estado estacion´ario em um cilindro cujas superf´ıciesinferior e superior s˜ao mantidas `a temperatura constante 0 com condi¸c˜oes de fronteira na superf´ıcie lateraldependendo apenas da altura z. A situa¸c˜ao ´e a de uma barra cil´ındrica com as extremidades mantidas `atemperatura constante 0, mas cuja superf´ıcie lateral n˜ao ´e isolada termicamente. Neste problema tamb´emn˜ao h´a dependˆencia da vari´avel θ e ele ´e modelado pela seguinte equa¸c˜ao diferencial parcial e pelas seguintescondi¸c˜oes de fronteira:urr +1rur + uzz = 0 se 0 < r < R e 0 < z < h,u(r, 0) = u(r, H) = 0 se 0 r R ,u(R, z) = f(z) se 0 z h.Escrevendou(r, z) = F(r)G(z),obtemos como antesr2 F′′(r)F(r)+ rF′(r)F(r)= −G′′(z)G(z)= σ.As condi¸c˜oes de fronteira implicam as seguintes condi¸c˜oes sobre G:u(r, 0) = 0 =⇒ F(r)G(0) = 0 =⇒ G(0) = 0,u(r, H) = 0 =⇒ F(r)G(H) = 0 =⇒ G(H) = 0.Logo temos o problema de Sturm-Liouville{G′′(z) + σG(z) = 0,G(0) = G(H) = 0,cujas autofun¸c˜oes s˜aoGn(z) = sennπzH,associadas aos autovaloresσ = −n2π2H2,
    • Rodney Josu´e Biezuner 132e conseq¨uentemente a equa¸c˜ao de Bessel modificada de ordem 0 e parˆametronπH:r2F′′(r) + rF′(r) +n2π2H2r2F(r) = 0.Como a fun¸c˜ao de Bessel modificada do segundo tipo ´e ilimitada na origem, a solu¸c˜ao geral desta equa¸c˜aopertinente ao nosso problema ´eFn(z) = I0(nπrH).Assim, a solu¸c˜ao do problema ´eu(r, z) =∞∑n=1bnI0(nπrH)sennπzH. (7.13)Comof(z) = u(R, z) =∞∑n=1[bnI0(nπRH)]J0(α0,nRr),segue quebn =2H I0(nπRH)∫ H0f(z) sennπzHdz. (7.14)7.2 A Equa¸c˜ao de Laplace em uma Bola7.2.1 A Equa¸c˜ao de Laplace em Coordenadas Esf´ericasA rela¸c˜ao entre coordenadas cartesianas (x, y, z) e coordenadas esf´ericas (r, θ, ϕ) ´e dada pelas seguintesrela¸c˜oes: x = r cos ϕ sen θ,y = r sen ϕ sen θ,z = r cos θ.(7.15)e r =√x2 + y2 + z2,ϕ = arctanyx,θ = arctan√x2 + y2z.(7.16)Introduzindo a vari´avelρ =√x2 + y2 = r sen θ,segue que {x = ρ cos ϕ,y = ρ sen ϕ.Fazendo a analogia com coordenadas polares, temosuxx + uyy = uρρ +1ρuρ +1ρ2uϕϕ. (7.17)Por outro lado, tamb´em temos {z = r cos θ,ρ = r sen θ.Da´ı, novamente fazendo a analogia com coordenadas polares, segue queuzz + uρρ = urr +1rur +1r2uθθ. (7.18)
    • Rodney Josu´e Biezuner 133Portanto, somando as duas express˜oes obtidas, obtemos∆u(x, y, z) = uxx + uyy + uzz= urr +1rur +1r2uθθ +1ρuρ +1ρ2uϕϕ= urr +1rur +1r2uθθ +1ρuρ +1r2 sen2 θuϕϕ. (7.19)Falta apenas expressar uρ em coordenadas esf´ericas. Pela regra da cadeia,uρ = urrρ + uθθρ + uϕϕρ = urrρ + uθθρ,pois ϕ n˜ao depende de ρ (ρ est´a definida em termos das vari´aveis r, θ apenas) e portanto ϕρ = 0. Diferenciandoθ = arctanρz, obtemosθρ =11 +(ρz)21z=zz2 + ρ2=r cos θr2 cos2 θ + r2 sen2 θ=cos θr.Diferenciando ρ = r sen θ implicitamente com rela¸c˜ao `a ρ, temos1 = rρ sen θ + r cos θθρ = rρ sen θ + cos2θ,donderρ =1 − cos2θsen θ= sen θ.Logo,uρ = sen θur +cos θruθe1ρuρ =1r sen θ(sen θur +cos θruθ)=1rur +cot θr2uθConclu´ımos que o Laplaciano em coordenadas esf´ericas ´e dado por∆u(r, θ, ϕ) = urr +2rur +1r2(uθθ + cot θ uθ + csc2θuϕϕ). (7.20)7.2.2 A Equa¸c˜ao de Legendre e Polinˆomios de LegendreNa resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Laplace na bola, como veremos a seguir, aparece a equa¸c˜ao de Legendre:(1 − x2)y′′(x) − 2xy′(x) + σy(x) = 0,onde −1 < x < 1. Vamos obter as suas solu¸c˜oes usando o m´etodo de s´eries de potˆencias, escrevemosy(x) =∞∑m=0amxme substitu´ımos na equa¸c˜ao de Legendre para obter os coeficientes am:(1 − x2)∞∑m=2amm(m − 1)xm−2− 2x∞∑m=1ammxm−1+ σ∞∑m=0amxm= 0,
    • Rodney Josu´e Biezuner 134donde∞∑m=2amm(m − 1)xm−2−∞∑m=2amm(m − 1)xm− 2∞∑m=1ammxm+ σ∞∑m=0amxm= 0.Podemos escrever estes somat´orios na forma∞∑m=0am+2(m + 2)(m + 1)xm−∞∑m=0amm(m − 1)xm− 2∞∑m=0ammxm+ σ∞∑m=0amxm= 0,porque os termos adicionados aos dois somat´orios intermedi´arios s˜ao todos nulos e reindexando o primeirosomat´orio. Segue que∞∑m=0[(m + 2)(m + 1)am+2 + (−m(m − 1) − 2m + σ) am] xm= 0.Logo,(m + 2)(m + 1)am+2 − (m(m + 1) − σ) am = 0,donde obtemos a rela¸c˜ao recursivaam+2 =m(m + 1) − σ(m + 2)(m + 1)am. (7.21)As duas solu¸c˜oes linearmente independentes da equa¸c˜ao de Legendre s˜ao obtidas escolhendo a0 = 0, a1 = 1e a0 = 1, a1 = 0. No primeiro caso obtemos uma s´erie consistindo apenas dos termos ´ımpares, enquanto queno segundo caso obtemos uma s´erie consistindo apenas dos termos pares. Assim, estas duas solu¸c˜oes podemser respectivamente escritas nas formasy1(x) =∞∑k=02(k + 1)(2k + 1) − σ2(k + 1)(2k + 3)x2k+1(7.22)ey2(x) =∞∑k=02k(2k + 1) − σ2(k + 1)(2k + 1)x2k. (7.23)Estas s´eries s˜ao chamadas fun¸c˜oes de Legendre.Se σ = n(n + 1) 0, ent˜ao an+2 = 0, logo uma das fun¸c˜oes de Legendre ´e um polinˆomio de grau n(qual delas depender´a se n ´e par ou ´ımpar). Caso contr´ario, para qualquer outro valor de σ ambas as s´eriesde Legendre s˜ao s´eries infinitas e qualquer s´erie infinita de Legendre divergem em um ou ambos os pontosx = ±1, e portanto s˜ao ilimitadas na vizinhan¸ca deles. Como nas nossas aplica¸c˜oes estamos interessadosapenas em solu¸c˜oes limitadas, vamos considerar apenas o caso σ = n(n + 1):(1 − x2)y′′(x) − 2xy′(x) + n(n + 1)y(x) = 0, (7.24)e a sua solu¸c˜ao polinomial. Para σ = n(n + 1), a rela¸c˜ao recursiva torna-seam+2 =m(m + 1) − n(n + 1)(m + 2)(m + 1)am,ouam+2 = −(n − m)(n + m + 1)(m + 2)(m + 1)am. (7.25)
    • Rodney Josu´e Biezuner 135Da´ı obtemosa2 = −n(n + 1)2a0,a4 =(n − 2)n(n + 1)(n + 3)4 · 3 · 2a0,a6 = −(n − 4)(n − 2)n(n + 1)(n + 3)(n + 5)6 · 5 · 4 · 3 · 2a0,...ea3 = −(n − 1)(n + 2)3 · 2a1,a5 =(n − 3)(n − 1)(n + 2)(n + 4)5 · 4 · 3 · 2a1,a7 =(n − 5)(n − 3)(n − 1)(n + 2)(n + 4)(n + 6)7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2a1,...Assim, a solu¸c˜ao geral desta equa¸c˜ao de Legendre ´ey(x) = a0y1(x) + a1y2(x),ondey1(x) = 1 −n(n + 1)2x2+(n − 2)n(n + 1)(n + 3)4!x4−(n − 4)(n − 2)n(n + 1)(n + 3)(n + 5)6!x6+ . . .ey2(x) = x−(n − 1)(n + 2)3!x3+(n − 3)(n − 1)(n + 2)(n + 4)5!x5−(n − 5)(n − 3)(n − 1)(n + 2)(n + 4)(n + 6)7!x7+. . .Se n ´e par, ent˜ao a s´erie y1 ´e na verdade o polinˆomioy1(x) = 1 −n(n + 1)2x2+(n − 2)n(n + 1)(n + 3)4!x4−(n − 4)(n − 2)n(n + 1)(n + 3)(n + 5)6!x6+ . . . +(−1)n2n2 −1∏k=0(n − 2k)n2 −1∏k=0(n + 2k + 1)n!xn.Se n ´e ´ımpar, ent˜ao a s´erie y2 ´e na verdade o polinˆomioy2(x) = x −(n − 1)(n + 2)3!x3+(n − 3)(n − 1)(n + 2)(n + 4)5!x5−(n − 5)(n − 3)(n − 1)(n + 2)(n + 4)(n + 6)7!x7+ . . . +(−1)n−12n−12 −1∏k=0(n − 2k − 1)n−12∏k=0(n + 2k)n!xn.No entanto, ´e costume normalizar as solu¸c˜oes, escolhendoan =(2n)!2n(n!)2. (7.26)
    • Rodney Josu´e Biezuner 136Os outros coeficientes s˜ao ent˜ao determinados por uma rela¸c˜ao recursiva reversa. Temosam = −(m + 2)(m + 1)(n − m)(n + m + 1)am+2,ou (trocando m por m − 2)am−2 = −m(m − 1)(n − m + 2)(n + m − 1)am. (7.27)Assim,an−2 = −n(n − 1)2(2n − 1)an = −n(n − 1)2(2n − 1)(2n)!2n(n!)2= −(2n − 2)!2n(n − 1)!(n − 2)!,an−4 = −(n − 2)(n − 3)4(2n − 3)an−2 =(2n − 4)!2n2!(n − 2)!(n − 4)!,e, em geral,an−2m = (−1)m (2n − 2m)!2nm!(n − m)!(n − 2m)!. (7.28)Tomando M =n2, se n ´e par, e M =n − 12, se n ´e ´ımpar, o n-´esimo polinˆomio de Legendre ´ePn(x) =12nM∑m=0(−1)m (2n − 2m)!m!(n − m)!(n − 2m)!xn−2m. (7.29)Por exemplo, os primeiros polinˆomios de Legendre s˜ao:P0(x) = 1,P1(x) = x,P2(x) =12(3x2− 1),P3(x) =12(5x3− 3x),P4(x) =18(35x4− 30x2+ 3),P5(x) =18(63x5− 70x3+ 15x),P6(x) =116(231x6− 315x4+ 105x2− 5),P7(x) =116(429x7− 693x5+ 315x3− 35x).7.2.3 S´eries de Polinˆomios de LegendreOs polinˆomios de Legendre satisfazem as seguintes rela¸c˜oes de ortogonalidade:∫ 1−1Pn(x)Pm(x) dx ={0 se n ̸= m,22n + 1se n = m.(7.30)Usando esta propriedade, ´e poss´ıvel provar que toda fun¸c˜ao razoavelmente regular possui uma s´erie deLegendre:
    • Rodney Josu´e Biezuner 1377.1 Teorema. Se f ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua por partes cuja derivada ´e cont´ınua por partes no intervalo[−1, 1], ent˜ao f tem uma expans˜ao em s´erie de Legendref(x) =∞∑n=0AnPn(x)comAn =2n + 12∫ 1−1f(x)Pn(x) dx.Al´em disso, a s´erie de Legendre de f em x converge para f(x) se f ´e cont´ınua em x e para a m´ediados limites lateraisf(x+) + f(x−)2, caso contr´ario.7.2.4 Solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao de Laplace na Bola com Simetria RadialConsidere o problema de encontrar a temperatura de estado estacion´ario em uma bola de raio R cujasuperf´ıcie exterior (casca esf´erica) ´e mantida a uma temperatura f(θ), independente do ˆangulo azimutal ϕ.Neste problema n˜ao h´a dependˆencia da vari´avel ϕ e ele ´e modelado pela seguinte equa¸c˜ao diferencial parciale pelas seguintes condi¸c˜oes de fronteira:{urr +2rur +1r2(uθθ + cot θ uθ) = 0 se 0 < r < R e 0 < θ < π,u(R, θ) = f(θ) se 0 θ π.Usando o m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis, escrevemosu(r, θ) = F(r)G(θ).Substituindo esta express˜ao na equa¸c˜ao de Laplace acima, temosF′′(r)G(θ) +1rF′(r)G(θ) +1r2[F(r)G′′(θ) + cot θ F(r)G′(θ)] = 0.Dividindo a ´ultima express˜ao por F(r)G(θ), segue querF′′(r)F(r)+F′(r)F(r)= −[G′′(θ)G(θ)+ cot θG′(θ)G(θ)]= σ.Temos ent˜ao a equa¸c˜ao de Euler:r2F′′(r) + 2rF′(r) − σF(r) = 0e a seguinte equa¸c˜ao em θ:G′′(θ) + cot θG′(θ) + σG(θ) = 0.Esta pode ser reduzida `a equa¸c˜ao de Legendre atrav´es da seguinte mudan¸ca de vari´avel:s = cos θ.Note que −1 < s < 1. De fato, pela regra da cadeia,G′(θ) = G′(s)dsdθ= − sen θG′(s),G′′(θ) = −ddθ[sen θG′(s)] = − cos θG′(s) − sen θG′′(s)dsdθ= − cos θG′(s) + sen2θG′′(s)= (1 − s2)G′′(s) − sG′(s).
    • Rodney Josu´e Biezuner 138Portanto,G′′(θ) + cot θG′(θ) + σG(θ) = (1 − s2)G′′(s) − sG′(s) +cos θsen θ[− sen θG′(s)] + σG(s)= (1 − s2)G′′(s) − sG′(s) − sG′(s) + σG(s)= (1 − s2)G′′(s) − 2sG′(s) + σG(s),e a equa¸c˜ao transforma-se na equa¸c˜ao de Legendre(1 − s2)G′′(s) − sG′(s) + σG(s) = 0.Como vimos acima, esta equa¸c˜ao s´o possui solu¸c˜oes limitadas seσ = n(n + 1) (7.31)e as solu¸c˜oes s˜ao dadas pelos polinˆomios de Legendre Pn(s). Logo,Gn(θ) = Pn(cos θ). (7.32)A equa¸c˜ao de Euler torna-se ent˜aor2F′′(r) + 2rF′(r) − n(n + 1)F(r) = 0,cuja solu¸c˜ao geral ´eF(r) = c1rn+ c2r−(n+1).As ´unicas solu¸c˜oes aceit´aveis s˜ao as solu¸c˜oes limitadas, logoFn(r) = rn. (7.33)Portanto,un(r, θ) = rnPn(cos θ).Levando em considera¸c˜ao a condi¸c˜ao de fronteira, obtemosu(r, θ) =∞∑n=0An( rR)nPn(cos θ) (7.34)comAn =2n + 12∫ π0f(θ)Pn(cos θ) sen θ dθ. (7.35)Para obter esta express˜ao para os coeficientes An, multiplique a s´erie de u(R, θ) = f(θ) por Pm(cos θ) sen θ,integre termo a termo e use a substitui¸c˜ao x = cos θ nas integrais resultantes sob o somat´orio. Isso produz∫ π0f(θ)Pm(cos θ) sen θ dθ =∞∑n=0An∫ π0Pn(cos θ)Pm(cos θ) sen θ dθ=∞∑n=0An(−∫ −11Pn(x)Pm(x) dx)=2m + 12Am.
    • Cap´ıtulo 8Transformada de Fourier8.1 A Integral de FourierSe f : R → R ´e uma fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo 2L, suave por partes, ent˜aof(x) =a02+∞∑n=1(an cosnπxL+ bn sennπxL)(8.1)nos pontos de continuidade de f, coman =1L∫ L−Lf(t) cosnπtLdt, n 0,bn =1L∫ L−Lf(t) sennπtLdt, n 1.(8.2)Se f n˜ao ´e uma fun¸c˜ao peri´odica, ent˜ao ela n˜ao pode ser representada por uma s´erie de Fourier. Podemos,no entanto, representar f por uma integral de Fourier, se f for pelo menos suave por partes e satisfizer al´emdisso a condi¸c˜ao ∫ ∞−∞|f(x)| dx < ∞,ou seja, se f for absolutamente integr´avel. Neste caso, podemos escreverf(x) =∫ ∞0(A(ω) cos xω + B(ω) sen xω) dω (8.3)para todo x ∈ R que seja um ponto de continuidade de f, comA(ω) =1π∫ ∞−∞f(t) cos ωt dt, ω 0,B(ω) =1π∫ ∞−∞f(t) sen ωt dt, ω 0.(8.4)Mais precisamente,8.1 Teorema. Seja f : R → R uma fun¸c˜ao suave por partes, absolutamente integr´avel. Ent˜ao f tem umarepresenta¸c˜ao por integral de Fourier que converge para f(x) nos pontos de continuidade de f e paraa m´edia dos limites laterais nos pontos de descontinuidade de f.139
    • Rodney Josu´e Biezuner 140Esta representa¸c˜ao integral para f pode ser motivado da seguinte forma: restrinja f ao intervalo fechado[−L, L] e estenda ela periodicamente fora deste intervalo. Ent˜ao, no intervalo [−L, L], f tem a representa¸c˜aoem s´erie de Fourier dada em (8.1) com os coeficientes dados em (8.2). Fazendo L → ∞, como a fun¸c˜ao f´e integr´avel em R, segue que necessariamente a0 → 0. Al´em disso, a integrabilidade de f tamb´em implicaque a integral de f em R pode ser aproximada pela integral de f no intervalo [−L, L], desde que L sejasuficientemente grande. Assim, temos que os coeficientes an e bn podem ser aproximados poran ≈1L∫ ∞−∞f(t) cosnπtLdt =πLA(nπL),bn ≈1L∫ ∞−∞f(t) sennπtLdt =πLB(nπL).Logo,f(x) ≈∞∑n=1[A(nπL)cosnπxL+ B(nπL)sennπxL] πL.Mas, se denotarmos ωn = nπ/L e ∆ω = π/L, o que equivale a fazer uma parti¸c˜ao do intervalo [0, ∞) emsubintervalos de comprimento ∆ω, reconhecemos uma soma de Riemann:f(x) ≈∞∑n=1[A(ωn) cos ωnx + B(ωn) sen ωnx] ∆ω.Fazendo L → ∞, o que corresponde a fazer a norma da parti¸c˜ao ∆ω → 0, esta soma de Riemann convergepara a integral de Fourier de f.8.2 Exemplo. Obtenha a representa¸c˜ao integral de Fourier da fun¸c˜aof(x) ={1 se |x| 1,0 se |x| > 1.TemosA(0) =1π∫ ∞−∞f(t) dt =1π∫ 1−1dt =2π,A(ω) =1π∫ ∞−∞f(t) cos ωt dt =1π∫ 1−1cos ωt dt =sen ωtπω1−1=2πsen ωω,B(ω) =1π∫ ∞−∞f(t) sen ωt dt =1π∫ 1−1sen ωt dt =cos ωtπω1−1= 0.Observe que limω→0A(ω) = A(0) (ou seja, obtivemos neste caso a fun¸c˜ao A(ω) cont´ınua) e a fun¸c˜ao B ´ea fun¸c˜ao identicamente nula, o que era de se esperar, porque f ´e uma fun¸c˜ao par. Logof(x) =2π∫ ∞0sen ωωcos xω dω.Em particular, segue do teorema da integral de Fourier que∫ ∞0sen ωωcos xω dω =π/2 se |x| < 1,π/4 se |x| = 1,0 se |x| > 1,e, escolhendo x = 0, obtemos o valor da integral de Dirichlet∫ ∞0sen ωωdω =π2.
    • Rodney Josu´e Biezuner 141Como vemos no exemplo acima, quando uma fun¸c˜ao ´e par ou ´ımpar, sua integral de Fourier ´e maissimples (da mesma forma e pelo mesmo motivo que a s´erie de Fourier de uma fun¸c˜ao peri´odica par ou ´ımpar´e mais simples):• Se f ´e par, ent˜ao B(ω) ≡ 0 e a integral de Fourier de f ´e dada simplesmente porf(x) =∫ ∞0A(ω) cos xω dω,tamb´em chamada a integral de Fourier cosseno de f.• Se f ´e ´ımpar, ent˜ao A(ω) ≡ 0 e a integral de Fourier de f ´e dada simplesmente porf(x) =∫ ∞0B(ω) sen xω dω,tamb´em chamada a integral de Fourier seno de f.8.1.1 Exerc´ıcios1. Encontre a representa¸c˜ao integral de Fourier das fun¸c˜oes dadas (em todos os casos, a > 0).a) f(x) ={1 se 0 < x < 1,0 caso contr´ario.h) f(x) ={x se 0 < x < a,0 caso contr´ario.b) f(x) ={1 se − a < x < a,0 caso contr´ario.i) f(x) ={x2se 0 < x < a,0 caso contr´ario.c) f(x) =−1 se − 1 < x < 0,1 se 0 < x < 1,0 caso contr´ario.j) f(x) ={1 − |x| se − 1 < x < 1,0 caso contr´ario.d) f(x) =0 se − 1 < x < 1,1 se 1 < |x| < 2,0 caso contr´ario.k) f(x) ={1 − x2se − 1 < x < 1,0 caso contr´ario.e) f(x) ={x se − 1 < x < 1,0 caso contr´ario.l) f(x) = e−|x|.f) f(x) ={cos x se −π2< x <π2,0 caso contr´ario.m) f(x) = e−x2.g) f(x) ={sen x se 0 < x < π,0 caso contr´ario.n) f(x) =x se 0 < x < 1,2 − x se 1 < x < 2,0 caso contr´ario.2. (a) Use o Exemplo 1 para mostrar que∫ ∞0sen ω cos ωωdω =π4.(b) Use integra¸c˜ao por partes e o item anterior para obter∫ ∞0sen2ωω2dω =π2.
    • Rodney Josu´e Biezuner 142(c) Use a identidade trigonom´etrica sen2ω + cos2ω = 1 e o item anterior para obter∫ ∞0sen4ωω2dω =π4.(Sugest˜ao: sen2ω = sen4ω + sen2ω cos2ω = sen4ω + 14 sen22ω.)3. Usando a representa¸c˜ao integral de Fourier, prove que as seguintes integrais impr´oprias tˆem os valoresespecificados abaixo.a)∫ ∞0cos xω + w sen xω1 + ω2dω =0 se x < 0,π/2 se x = 0,πe−xse x > 0.b)∫ ∞01 − cos πωωsen xω dω ={π/2 se 0 < x < π,0 se x > π.c)∫ ∞0cos xω1 + ω2dω =π2e−xse x > 0.d)∫ ∞0cosπw2cos xω1 − ω2dω =π2cos x se |x| <π2,0 se |x| >π2.e)∫ ∞0sen πω sen xω1 − ω2dω ={ π2sen x se 0 x π,0 se x > π.f)∫ ∞0ω3sen xωω4 + 4dω =π2e−xcos x se x > 0.8.2 A Transformada de Fourier8.2.1 Defini¸c˜aoRecordamos a f´ormula de Euler:eiθ= cos θ + i sen θ.Dela segue quecos θ =eiθ+ e−iθ2e sen θ =eiθ− e−iθ2i.
    • Rodney Josu´e Biezuner 143Vamos escrever a integral de Fourier na forma complexa. Temosf(x) =∫ ∞0(A(ω) cos xω + B(ω) sen xω) dω=1π∫ ∞0∫ ∞−∞f(t)(cos ωt cos xω + sen ωt sen xω) dtdω=1π∫ ∞0∫ ∞−∞f(t) cos ω(x − t) dtdω=12π∫ ∞0∫ ∞−∞f(t)(eiω(x−t)+ e−iω(x−t)) dtdω=12π∫ ∞0∫ ∞−∞f(t)eiω(x−t)dtdω +12π∫ ∞0∫ ∞−∞f(t)e−iω(x−t)dtdω=12π∫ ∞0∫ ∞−∞f(t)eiω(x−t)dtdω +12π∫ 0−∞∫ ∞−∞f(t)eiω(x−t)dtdω=12π∫ ∞−∞∫ ∞−∞f(t)eiω(x−t)dtdω.onde no ´ultimo passo fizemos a mudan¸ca de vari´avel −ω. Portanto, a forma complexa da integral deFourier ´ef(x) =12π∫ ∞−∞∫ ∞−∞f(t)eiω(x−t)dtdω. (8.5)Por sua vez, a forma complexa da integral de Fourier pode ser escrita comof(x) =1√2π∫ ∞−∞[1√2π∫ ∞−∞f(t)e−iωtdt]eiωxdω.Defina a fun¸c˜ao f : R → C porf(ω) =1√2π∫ ∞−∞f(t)e−iωtdt. (8.6)Observe que apesar da fun¸c˜ao f ser uma fun¸c˜ao definida na reta (isto ´e, uma fun¸c˜ao de uma vari´avel real)tomando valores reais, em geral a fun¸c˜ao f ´e uma fun¸c˜ao definida na reta tomando valores complexos. Defato, a fun¸c˜ao f pode ser escrita mais explicitamente, usando a f´ormula de Euler, na formaf(ω) =1√2π(∫ ∞−∞f(t) cos ωt dt − i∫ ∞−∞f(t) sen ωt dt).A parte complexa de f ser´a nula e portanto f ser´a uma fun¸c˜ao real se e somente se a integral∫ ∞−∞f(t) sen ωt = 0.Isso ocorrer´a se e somente se a fun¸c˜ao f for par. Portanto, no estudo da transformada de Fourier ´e inevit´avelo aparecimento de fun¸c˜oes de R em C, j´a que a maioria das fun¸c˜oes n˜ao s˜ao pares. Diremos que uma fun¸c˜aode R em C ´e absolutamente integr´avel se as suas partes real e imagin´aria (que s˜ao fun¸c˜oes de de R em R)forem absolutamente integr´aveis. O espa¸co de tais fun¸c˜oes ser´a denotado por L1(R, C). Na nota¸c˜ao acima,temos quef(x) =1√2π∫ ∞−∞f(ω)eiωxdω. (8.7)Isso nos leva `a seguinte defini¸c˜ao. Definimos a transformada de Fourier de f, como sendo a fun¸c˜ao Fque associa a cada fun¸c˜ao absolutamente integr´avel f : R → R a fun¸c˜ao f : R → C definida pela express˜ao
    • Rodney Josu´e Biezuner 144(8.6); a sua inversa, chamada a transformada de Fourier inversa, ´e a fun¸c˜ao F−1que associa a cadafun¸c˜ao f : R → C que perten¸ca ao conjunto imagem de F a fun¸c˜ao absolutamente integr´avel f : R → Rdefinida pela express˜ao (8.7). Assim, se f ´e cont´ınua,F−1(F(f)) = f. (8.8)Isso ´e uma conseq¨uˆencia imediata das defini¸c˜oes acima:F−1(F(f))(x) =1√2π∫ ∞−∞F(f)(ω)eiωxdω =1√2π∫ ∞−∞[1√2π∫ ∞−∞f(t)e−iωtdt]eiωxdω=12π∫ ∞−∞∫ ∞−∞f(t)eiω(x−t)dtdω = f(x).8.3 Exemplo. A transformada de Fourier de uma fun¸c˜ao absolutamente integr´avel, apesar de ser umafun¸c˜ao cont´ınua, n˜ao ´e em geral uma fun¸c˜ao absolutamente integr´avel. O contra-exemplo cl´assico ´e afun¸c˜ao pulsof(x) ={1 se |x| 1,0 se |x| > 1.De fato, calculando a transformada de Fourier de f, obtemosf(ω) =1√2π∫ ∞−∞f(t)e−iωtdt =1√2π∫ 1−1e−iωtdt = −1√2πiωe−iωt 1−1= −1√2πiω(e−iω− eiω)= −1√2πiω(cos ω − i sen ω − cos ω − i sen ω)=2i sen ω√2πiω=2 sen ω√2πω.Segue que a transformada de Fourier de f ´e a fun¸c˜aof(ω) =√2πsen ωω,que n˜ao ´e uma fun¸c˜ao absolutamente integr´avel, como pode ser verificado. Observe por´em que adescontinuidade da fun¸c˜ao pulso foi suavizada pela sua transformada de Fourier, j´a que f ´e umafun¸c˜ao cont´ınua. Com efeito,f(0) =1√2π∫ ∞−∞f(t)e−iω0dt =1√2π∫ 1−1dx =2√2π=√2πe portanto limω→0f(ω) = f(0). Isso n˜ao foi um acidente e ´e sempre verdade.8.4 Teorema. Se f : R → R ´e uma fun¸c˜ao absolutamente integr´avel, ent˜ao sua transformada de Fourierf : R → C ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua e limitada. Se, al´em disso, f for absolutamente integr´avel, ent˜ao f´e cont´ınua.A transformada de Fourier da fun¸c˜ao pulso no Exemplo 2 ´e uma fun¸c˜ao real porque ela ´e uma fun¸c˜aopar. Em geral, a transformada de Fourier de uma fun¸c˜ao real ´e uma fun¸c˜ao complexa, como no pr´oximoexemplo.8.5 Exemplo. Encontre a transformada de Fourier da fun¸c˜aof(x) ={e−xse x > 0,0 se x 0.
    • Rodney Josu´e Biezuner 145Temosf(ω) =1√2π∫ ∞−∞f(t)e−iωtdt =1√2π∫ ∞0e−t−iωtdt =1√2π∫ ∞0e−(1+iω)tdt= −1√2π(1 + iω)e−(1+iω)t∞0.Como e−iωt= 1, segue quelimt→∞e−(1+iω)t= limx→∞e−te−iωt= limt→∞e−t= 0,logof(ω) =1√2π(1 + iω)=1 − iω√2π(1 + ω2).8.2.2 Propriedades OperacionaisA transformada de Fourier se comporta muito bem com rela¸c˜ao a v´arias das opera¸c˜oes comumente efetu-adas em fun¸c˜oes: combina¸c˜oes lineares, transla¸c˜ao, dilata¸c˜ao, diferencia¸c˜ao, multiplica¸c˜ao por polinˆomios econvolu¸c˜ao.Propriedade 1 (Linearidade). Se f, g : R → C s˜ao fun¸c˜oes absolutamente integr´aveis e a, b ∈ R, ent˜aoF(af + bg) = aF(f) + bF(g).Prova. Segue direto da defini¸c˜ao e da propriedade de linearidade da integral.Propriedade 2 (Transformadas de Fourier de Derivadas). Se f : R → C ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avelabsolutamente integr´avel tal que f′tamb´em ´e uma fun¸c˜ao absolutamente integr´avel, ent˜aoF(f′)(ω) = iωF(f)(ω).Se f : R → C ´e uma fun¸c˜ao duas vezes diferenci´avel absolutamente integr´avel tal que f′e f′′tamb´ems˜ao fun¸c˜oes absolutamente integr´aveis, ent˜aoF(f′′)(ω) = iωF(f′)(ω) = −ω2F(f)(ω).Em geral, se f : R → C ´e uma fun¸c˜ao k vezes diferenci´avel absolutamente integr´avel tal que as suasderivadas at´e a ordem k tamb´em s˜ao fun¸c˜oes absolutamente integr´aveis, ent˜aoF(f(k))(ω) = (iω)kF(f)(ω).Prova. Integrando por partes, temos queF(f′)(ω) =1√2π∫ ∞−∞f′(t)e−iωtdx =1√2π[f(t)e−iωt ∞−∞− (−iω)∫ ∞−∞f(t)e−iωtdt]= iω∫ ∞−∞f(t)e−iωtdt = iωF(f),porque, como f′´e absolutamente integr´avel, necessariamente limt→±∞|f′(t)| = 0, logo limt→±∞f′(t)e−iωt=0.As f´ormulas para as transformadas de Fourier de derivadas de ordem superior seguem da aplica¸c˜aoiterada desta f´ormula.
    • Rodney Josu´e Biezuner 146Propriedade 3 (Derivadas de Transformadas de Fourier). Se f : R → C ´e uma fun¸c˜ao absoluta-mente integr´avel tal que xf(x) tamb´em ´e uma fun¸c˜ao absolutamente integr´avel, ent˜aoF(xf(x))(ω) = iF(f)′(ω).Se f : R → C ´e uma fun¸c˜ao absolutamente integr´avel tal que x2f(x) tamb´em ´e uma fun¸c˜ao absoluta-mente integr´avel, ent˜aoF(xf(x))(ω) = −F(f)′′(ω).Em geral, se f : R → C ´e uma fun¸c˜ao absolutamente integr´avel tal que xkf(x) tamb´em ´e uma fun¸c˜aoabsolutamente integr´avel, ent˜aoF(xkf(x))(ω) = ikF(f)(k)(ω).Prova. Passando a derivada para dentro do sinal de integra¸c˜ao, temosddωF(f(x))(ω) =1√2πddω∫ ∞−∞f(t)e−iωtdt =1√2π∫ ∞−∞ddω[f(t)e−iωt] dt=1√2π∫ ∞−∞(−it)f(t)e−iωtdt = (−i)1√2π∫ ∞−∞tf(t)e−iωtdt= −iF(xf(x))(ω).Multiplicando ambos os lados por −i obtemos a primeira f´ormula. As outras f´ormulas seguem daaplica¸c˜ao iterada da primeira.Propriedade 4 (Transformada de Fourier de uma Transla¸c˜ao). Se f : R → C ´e uma fun¸c˜ao absolu-tamente integr´avel, ent˜aoF(f(x − a))(ω) = e−iωaF(f(x))(ω).Reciprocamente,F(eiaxf(x))(ω) = F(f(x))(ω − a).Prova. Mudando vari´aveis, temosF(f(x − a))(ω) =1√2π∫ ∞−∞f(t − a)e−iωtdt =1√2π∫ ∞−∞f(t)e−iω(t+a)dt= e−iωa∫ ∞−∞f(t)e−iωtdt = e−iωaF(f(t)).A segunda f´ormula ´e obtida diretamente:F(eiωxf(x))(ω) =1√2π∫ ∞−∞eiatf(t)e−iωtdt =1√2π∫ ∞−∞f(t)e−i(ω−a)tdt= F(f(x))(ω − a).Propriedade 5 (Transformada de Fourier de uma Dilata¸c˜ao). Se f : R → C ´e uma fun¸c˜ao absolu-tamente integr´avel e a ̸= 0, ent˜aoF(f(ax))(ω) =1|a|F(f)(ωa).Em particular,F(f(−x))(ω) = F(f) (−ω) .
    • Rodney Josu´e Biezuner 147Prova. Mudando vari´aveis, se a > 0 temos queF(f(ax))(ω) =1√2π∫ ∞−∞f(at)e−iωtdt =1√2π∫ ∞−∞f(t)e−i ωa t 1adt=1a1√2π∫ ∞−∞f(t)e−i ωa tdt =1|a|F(f(x))(ωa).Se a < 0, temosF(f(ax))(ω) =1√2π∫ ∞−∞f(at)e−iωtdt =1√2π∫ −∞∞f(t)e−i ωa t 1adt=1−a1√2π∫ ∞−∞f(t)e−i ωa tdt =1|a|F(f(x))(ωa).A convolu¸c˜ao de duas fun¸c˜oes absolutamente integr´aveis f, g ´e definida como sendo a fun¸c˜ao(f ∗ g)(x) =∫ ∞−∞f(x − t)g(t) dt. (8.9)Podemos assegurar que ela est´a bem definida (isto ´e, a integral impr´opria que a define converge para todox), se as fun¸c˜oes f e g, al´em de serem absolutamente integr´aveis, s˜ao tamb´em quadrado-integr´aveis, isto ´e,seus quadrados tamb´em s˜ao absolutamente integr´aveis:∫ ∞−∞|f(t)|2dt,∫ ∞−∞|g(t)|2dt < ∞.De fato, utilizando a desigualdade de Schwarz|ab|a22+b22,v´alida para todos a, b ∈ R, segue que∫ ∞−∞f(x − t)g(t) dt∫ ∞−∞|f(x − t)g(t)| dt12∫ ∞−∞|f(x − t)|2dt +12∫ ∞−∞|g(t)|2dt < ∞.Denotamos o espa¸co das fun¸c˜oes quadrado-integr´aveis na reta por L2(R). Al´em disso, a convolu¸c˜ao defun¸c˜oes absolutamente integr´aveis, quando est´a definida, ´e tamb´em uma fun¸c˜ao absolutamente integr´avel,de modo que a sua transformada de Fourier est´a definida:∫ ∞−∞|(f ∗ g)(x)| dx∫ ∞−∞∫ ∞−∞|f(x − t)| |g(t)| dt dx =∫ ∞−∞|g(t)|(∫ ∞−∞|f(x − t)| dx)dt=∫ ∞−∞|g(t)|(∫ ∞−∞|f(x)| dx)dt =(∫ ∞−∞|f(x)| dx) (∫ ∞−∞|g(t)| dt)< ∞.A transformada de Fourier comporta-se extremamente bem em rela¸c˜ao a convolu¸c˜oes: ela transforma con-volu¸c˜ao de fun¸c˜oes essencialmente em produto de fun¸c˜oes:Propriedade 6 (Transformada de Fourier de uma Convolu¸c˜ao). Se f, g : R → C s˜ao fun¸c˜oes abso-lutamente integr´aveis, ent˜aoF(f ∗ g) =√2πF(f)F(g).
    • Rodney Josu´e Biezuner 148Prova. Mudando a ordem de integra¸c˜ao e usando a Propriedade 4, temosF(f ∗ g)(ω) =1√2π∫ ∞−∞(f ∗ g)(t)e−iωtdt =1√2π∫ ∞−∞[∫ ∞−∞f(t − s)g(s) ds]e−iωtdt=∫ ∞−∞[1√2π∫ ∞−∞f(t − s)e−iωtdt]g(s) ds =∫ ∞−∞[e−iωsF(f)(ω)]g(s) ds= F(f)(ω)∫ ∞−∞g(s)e−iωsds = F(f)(ω)√2πF(g)(ω).8.2.3 Transformada de Fourier da Fun¸c˜ao GaussianaA transformada de Fourier da fun¸c˜ao gaussiana desempenha um papel fundamental na resolu¸c˜ao da equa¸c˜aodo calor na barra infinita, conforme veremos mais tarde. Aqui vamos calcul´a-la. Recordamos a integralimpr´opria ∫ ∞−∞e−x2dx =√π.O seu valor pode ser obtido da seguinte forma:(∫ ∞−∞e−x2dx)2=(∫ ∞−∞e−x2dx) (∫ ∞−∞e−y2dy)=∫ ∞−∞∫ ∞−∞e−x2e−y2dxdy=∫ ∞−∞∫ ∞−∞e−(x2+y2)dxdy =∫ 2π0∫ ∞0e−r2rdrdθ =∫ 2π0[−12e−r2]∞0dθ=12∫ 2π0dθ = π.8.6 Teorema. Seja a > 0. Ent˜ao,F(e− ax22 ) =1√ae− ω22a .Em particular,F(e− x22 ) = e− ω22 ,isto ´e, a transformada de Fourier da fun¸c˜ao e− x22 ´e ela pr´opria.Prova. Seja f(x) = e− ax22 . Ent˜ao f satisfaz a equa¸c˜ao diferencialf′(x) + axf(x) = 0.Aplicando a transformada de Fourier a ambos os lados desta equa¸c˜ao, obtemos (usando as Propriedades1, 2 e 3)iωf(ω) + aif′(ω) = 0ouf′(ω) +ωaf(ω) = 0.Resolvendo esta equa¸c˜ao atrav´es de uma integra¸c˜ao simples, obtemosf(ω) = Ce− ω22a
    • Rodney Josu´e Biezuner 149para alguma constante C. [Em uma nota¸c˜ao mais usual, a equa¸c˜ao diferencial ´e y′+ωay = 0, dondey′= −ωay ouy′y= −ωa; integrando ambos os lados desta equa¸c˜ao obtemos log y = −ω22a + C e da´ıo resultado acima.] A constante C pode ser determinada atrav´es da integral impr´opria relembradaacima:C = f(0) =1√2π∫ ∞−∞f(t) dt =1√2π∫ ∞−∞e− at22 dt =1√2π√2a∫ ∞−∞e−s2ds =1√a.A fun¸c˜ao gaussiana e− x22 n˜ao ´e a ´unica fun¸c˜ao cuja transformada de Fourier ´e ela pr´opria.
    • Rodney Josu´e Biezuner 1508.2.4 Tabela de Transformadas de Fourierf(x) F(f)(ω)1.{1 se |x| < a,0 se |x| > a.√2πsen(aω)ω2.{1 se a < x < b,0 caso contr´ario.i(e−ibω− e−iaω)√2πω3.{1 −|x|ase |x| < a,0 se |x| > a,, a > 0. 2√2πsen2 aω2aω24.{x se |x| < a,0 se |x| > a,, a > 0. i√2πaω cos(aω) − sen(aω)ω25.{sen x se |x| < π,0 se |x| > π,i√2πsen(πω)ω2 − 16.{sen(ax) se |x| < b,0 se |x| > b,, a, b > 0.−i√2π(sen[(ω − a)b]ω − a+sen[(ω + a)b]ω + a)7.{cos(ax) se |x| < b,0 se |x| > b,, a, b > 0.1√2π(sen[(ω − a)b]ω − a+sen[(ω + a)b]ω + a)8.1x2 + a2, a > 0.√π2e−a|ω|a9.√2πa1 + a2x2, a > 0. e−|ω|a10.4√2πsen2 ax2ax2, a > 0.{1 −|ω|ase |ω| < a,0 se |ω| > a.11. e−a|x|, a > 0.√2πaa2 + ω212.{e−axse x > 0,0 se x < 0,, a > 0.1√2π1a + iω13.{0 se x > 0,eaxse x < 0,, a > 0.1√2π1a − iω14. |x|ne−a|x|, a > 0, n > 0.Γ(n + 1)√2π(1(a − iω)n+1+1(a + iω)n+1)15. e− a2 x2, a > 0.1√ae− ω22a
    • Rodney Josu´e Biezuner 1518.2.5 Exerc´ıcios1. Calcule a transformada de Fourier das fun¸c˜oes a seguir (em todos os casos, a > 0).a) f(x) ={1 se |x| < a,0 se |x| > a.g) f(x) ={x se |x| < 1,0 caso contr´ario.b) f(x) = e−|x|. h) f(x) ={x2se |x| < 1,0 caso contr´ario.c) f(x) ={e−|x|se |x| < 1,0 se |x| > 1.i) f(x) ={1 − |x| se |x| < 1,0 caso contr´ario.d) f(x) ={exse x < 0,0 se x > 0.j) f(x) ={1 − x2se |x| < 1,0 caso contr´ario.e) f(x) ={sen x se |x| < π,0 caso contr´ario.k) f(x) ={1 −xase |x| < a,0 se |x| > a.f) f(x) ={cos x se |x| <π2,0 caso contr´ario.2. (Rela¸c˜ao de Reciprocidade para a Transformada de Fourier)(a) Use a defini¸c˜ao das transformadas para provar queF(f)(x) = F−1(f)(−x).(b) Use o item anterior para obter a seguinte rela¸c˜ao de reciprocidade:F2(f)(x) = f(−x).(c) Conclua que f ´e uma fun¸c˜ao par se e somente se F2(f) = f; f ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar se e somentese F2(f) = −f.(d) Mostre que para qualquer fun¸c˜ao f temos F4(f) = f.3. Usando a Propriedade 4, conclua as identidades a seguir:F(cos(ax)f(x)) =F(f)(ω − a) + F(f)(ω + a)2,F(sen(ax)f(x)) =F(f)(ω − a) − F(f)(ω + a)2i.4. Use o exerc´ıcio anterior e transformadas de Fourier de fun¸c˜oes conhecidas para calcular as transfor-madas de Fourier das seguintes fun¸c˜oes:a) f(x) =cos xex2 . b) f(x) =sen 2xe|x|.c) f(x) =cos x + cos 2xx2 + 1. d) f(x) =sen x + cos 2xx2 + 4.e) f(x) ={cos x se |x| < 1,0 se |x| > 1.f) f(x) ={sen x se |x| < 1,0 se |x| > 1.
    • Rodney Josu´e Biezuner 1525. Use uma transformada de Fourier conhecida e as propriedades operacionais para calcular a transfor-mada de Fourier das fun¸c˜oes a seguir.a) f(x) ={x se |x| 1,0 se |x| > 1.f) f(x) =x2(1 + x2)2.b) f(x) = xe−x2. g) f(x) = (1 − x2)e−x2.c) f(x) = x2e−|x|. h) f(x) = (1 − x)2e−|x|.d) f(x) ={xe−xse x < 0,0 se x > 0.i) f(x) = xe− 12 (x−1)2.e) f(x) =x1 + x2. j) f(x) = (1 − x)e−|x−1|8.3 O M´etodo da Transformada de FourierSuponha que u(x, t) seja uma fun¸c˜ao das vari´aveis x ∈ R e t 0. Se fixarmos a vari´avel temporal t, au(x, t) torna-se uma fun¸c˜ao apenas da vari´avel espacial x, definida na reta toda, e podemos tomar a suatransformada de Fourier com rela¸c˜ao `a vari´avel x. Denotaremos esta transformada por u(ω, t). Em outraspalavras,u(ω, t) = F(u(x, t)) =1√2π∫ ∞−∞u(x, t)e−iωxdx. (8.10)Agora, da Propriedade 3 da transformada de Fourier, segue queuxx(ω, t) = iωu(ω, t),uxx(ω, t) = (iω)2u(ω, t) = −ω2u(ω, t),ou seja, derivadas espaciais s˜ao transformadas em express˜oes que envolvem apenas a fun¸c˜ao u(ω, t) multi-plicada por um monˆomio em ω. Por outro lado, derivando dentro do sinal de integra¸c˜ao com rela¸c˜ao a t,temos queut(ω, t) =1√2π∫ ∞−∞ut(x, t)e−iωxdx =ddt(1√2π∫ ∞−∞u(x, t)e−iωxdx)= ut(ω, t),o que significa que a derivada temporal ´e preservada pela transformada de Fourier. Assim, vemos que quandoaplicamos a transformada de Fourier a uma equa¸c˜ao diferencial parcial em duas vari´aveis, as derivadasparciais espaciais desaparecem e apenas as derivadas temporais permanecem. Em outras palavras, aplicandoa transformada de Fourier transformamos a equa¸c˜ao diferencial parcial em uma equa¸c˜ao diferencial ordin´ariaem t. Esta observa¸c˜ao ´e a essˆencia do m´etodo da transformada de Fourier para resolver equa¸c˜oes diferenciaisparciais. Em resumo, o m´etodo funciona da seguinte maneira:Passo 1: Obtenha a transformada de Fourier de todas as equa¸c˜oes envolvidas (i.e., a equa¸c˜ao diferencialparcial e a condi¸c˜ao inicial).Passo 2: Resolva a equa¸c˜ao diferencial ordin´aria, obtendo a solu¸c˜ao u(ω, t).Passo 3: Aplique a transformada de Fourier inversa a u(ω, t) para obter u(ω, t).`A t´ıtulo de exemplo, vamos aplicar este m´etodo `as equa¸c˜oes do calor e da onda.
    • Rodney Josu´e Biezuner 1538.3.1 A Equa¸c˜ao do Calor para uma Barra InfinitaVamos resolver o problema de condu¸c˜ao de calor em uma barra homogˆenea, isolada termicamente e infinita.Este ´e o problema de valor inicial (problema de Cauchy){ut = kuxx se − ∞ < x < ∞ e t > 0,u(x, 0) = f(x) se − ∞ < x < ∞.(8.11)Assumimos que a fun¸c˜ao f ´e cont´ınua, limitada e absolutamente integr´avel. A ´ultima condi¸c˜ao garante quea energia t´ermica total da barra ´e finita, mesmo a barra sendo infinita (lembre-se que temperatura ´e umamedida de densidade t´ermica). Aplicando a transformada de Fourier a este problema, obtemos a equa¸c˜aodiferencial ordin´aria em t {ut(ω, t) = −kω2u(ω, t)u(ω, 0) = f(ω).A solu¸c˜ao geral desta equa¸c˜ao ´eu(ω, t) = C(ω)e−kω2t.Para obter o valor de C(ω), usamos a condi¸c˜ao inicial:f(ω) = u(ω, 0) = C(ω).Portanto,u(ω, t) = f(ω)e−kω2t. (8.12)Tomando transformadas de Fourier inversas de ambos os lados da equa¸c˜ao, obtemosu(x, t) =1√2π∫ ∞−∞f(ω)eixω−kω2tdω.Esta solu¸c˜ao n˜ao ´e conveniente para as aplica¸c˜oes pr´aticas, j´a que o integrando ´e complexo, enquanto quea solu¸c˜ao para o problema de Cauchy ´e real. Al´em disso, o integrando envolve a transformada de Fourierda condi¸c˜ao inicial, ao inv´es dela pr´opria, o que dificulta a an´alise de como a solu¸c˜ao depende desta ´ultima(j´a que, como vimos nos exemplos, a transformada de Fourier de uma fun¸c˜ao ´e muito diferente da fun¸c˜ao).Usando a propriedade da transformada de Fourier com rela¸c˜ao a uma convolu¸c˜ao, podemos obter uma solu¸c˜aoreal e em termos da condi¸c˜ao inicial f(x). De fato, voltando `a equa¸c˜ao que d´a a solu¸c˜ao u(ω, t), observamosque a segunda fun¸c˜ao do lado direito ´e uma gaussiana em ω que, conforme vimos anteriormente, a menos deuma constante ´e a transformada de Fourier dela pr´opria. Mais precisamente,F(e− a2 x2) =1√ae− ω22a .Da´ı, seg(x) =√12kte− x24kt ,ent˜aog(ω) = e−kω2t.[Tome a = 1/(2kt).] Logo, podemos escreveru(ω, t) = f(ω)g(ω).Lembrando agora que a transformada de Fourier de uma convolu¸c˜ao ´e o produto das transformadas deFourier das fun¸c˜oes multiplicadas por√2π, ou sejaf(ω)g(ω) =1√2πf ∗ g(ω),
    • Rodney Josu´e Biezuner 154segue queu(ω, t) =1√2πf ∗ g(ω).Portanto, aplicando a transformada de Fourier inversa, obtemosu(x, t) =1√2π(f ∗ g)(x)ouu(x, t) =12√πkt∫ ∞−∞f(s)e−(x−s)24kt ds. (8.13)Esta ´e a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao do calor em uma barra infinita, e al´em disso a ´unica solu¸c˜ao do problema, seentendermos por solu¸c˜ao uma fun¸c˜ao cont´ınua, limitada em t 0 e absolutamente integr´avel (existem outrassolu¸c˜oes, mas elas n˜ao s˜ao limitadas, e do ponto de vista f´ısico esperamos que a solu¸c˜ao do problema sejauma distribui¸c˜ao de temperaturas limitada).8.7 Exemplo. Resolva o problemaut =14uxx se − ∞ < x < ∞ e t > 0,u(x, 0) = e−x2se − ∞ < x < ∞.Solu¸c˜ao: Denotando f(x) = e−x2, segue queu(ω, t) = f(ω)e−kω2t=1√2e− ω24 e− ω2t4 =1√2e−(1+t)ω24 .Logo,u(x, t) =1√2F−1(e−(1+t)ω24 ) =1√2√21 + te− x21+t =1√1 + te− x21+t .pois fazendo 1+t4 = 12a , segue que a = 21+t . Observe que como n˜ao h´a termo fonte, nem perda deenergia, a energia t´ermica ´e conservada, o que ´e confirmado pelo fato que∫ ∞−∞u (x, t) dx =1√1 + t∫ ∞−∞e− x21+t dx =√πpara todo t 0.8.3.2 A Equa¸c˜ao da Onda em uma Corda InfinitaVamos resolver o problema das vibra¸c˜oes transversais de uma corda infinita, homogˆenea e de peso desprez´ıvel:utt = c2uxx se − ∞ < x < ∞ e t > 0,u(x, 0) = f(x) se − ∞ < x < ∞,ut(x, 0) = g(x) se − ∞ < x < ∞.(8.14)Assumimos que as fun¸c˜oes f, g s˜ao cont´ınuas, limitadas e absolutamente integr´aveis. Aplicando a transfor-mada de Fourier a este problema, obtemos a equa¸c˜ao diferencial ordin´aria em tutt(ω, t) = c2ω2u(ω, t)u(ω, 0) = f(ω),ut(ω, 0) = g(ω).
    • Rodney Josu´e Biezuner 155A solu¸c˜ao geral desta equa¸c˜ao ´eu(ω, t) = A(ω) cos cωt + B(ω) sen cωt.Para obter os valores de A(ω) e B(ω), usamos a condi¸c˜oes iniciais:f(ω) = u(ω, 0) = A(ω),g(ω) = ut(ω, 0) = cωB(ω).Portanto,u(ω, t) = f(ω) cos cωt +g(ω)cωsen cωt. (8.15)Aplicando a transformada de Fourier inversa, obtemos a solu¸c˜ao do problema:u(x, t) =1√2π∫ ∞−∞[f(ω) cos cωt +g(ω)cωsen cωt]eiωxdω. (8.16)Para obter uma solu¸c˜ao real, usamos a tabela da transformada de Fourier e suas propriedades. Pela pro-priedade da transformada de Fourier de uma transla¸c˜ao temosf(ω) cos cωt = f(ω)eicωt+ e−icωt2=12[eicωtf(ω) + e−icωtf(ω)],de modo queF−1(f(ω) cos cωt)=12[f (x + ct) + f (x − ct)] . (8.17)Pelo item (1) da tabela de transformadas de Fourier temosg(ω)sen cωtω=√π2g(ω)h(ω),ondeh (x) ={1 se |x| < ct,0 se |x| > ct,de modo queF−1(g(ω)cωsen cωt)=1c1√2π√π2(g ∗ h)(x) =12c∫ ∞−∞g (s) h (x − s) ds=12c∫ x+ctx−ctg (s) ds. (8.18)Portantou (x, t) =12[f (x + ct) + f (x − ct)] +12c∫ x+ctx−ctg (s) ds. (8.19)Esta nada mais ´e que a solu¸c˜ao de d’Alembert.8.8 Exemplo. Resolva o problemautt = uxx se − ∞ < x < ∞ e t > 0,u(x, 0) =11 + x2se − ∞ < x < ∞,ut(x, 0) = 0. se − ∞ < x < ∞.
    • Rodney Josu´e Biezuner 156Solu¸c˜ao: Denotando f(x) =11 + x2, segue queu(ω, t) = f(ω) cos ωt =√π2e−|ω|cos ωt.Logo,u(x, t) =√π2F−1(e−|ω|cos ωt) =√π2F−1(eiωθ+ e−iωθ2e−|ω|)=12F−1(eiωθ√π2e−|ω|)+12F−1(e−iωθ√π2e−|ω|)=12(11 + (x + t)2+11 + (x + t)2),usando a propriedade da transformada de Fourier de uma transla¸c˜ao, pois F−1(√π2e−|ω|)=11 + x2.8.3.3 A Equa¸c˜ao de Laplace em um SemiplanoVamos resolver o problema de Dirichlet para a equa¸c˜ao de Laplace no semiplano superior:{uxx + uyy = 0 se − ∞ < x < ∞ e y > 0,u(x, 0) = f(x) se − ∞ < x < ∞.Como a condi¸c˜ao de fronteira est´a expressa em termos da vari´avel x, faremos a transformada de Fourier emrela¸c˜ao `a vari´avel x, ou seja, consideraremosu(ω, y) = F(u(x, y)) =1√2π∫ ∞−∞u(x, y)e−iωxdx. (8.20)Aplicando a transformada de Fourier `a equa¸c˜ao de Laplace, obtemosF (uxx + uyy) = F (uxx) + F (uyy) = (iω)2u(ω, y) + uyy(ω, y)= −ω2u(ω, y) + uyy(ω, y),de modo que o problema de Dirichlet ´e transformado na fam´ılia de problemas de valor inicial{uyy(ω, y) = ω2u(ω, y) se − ∞ < x < ∞ e y > 0,u(ω, 0) = f(ω) se − ∞ < x < ∞.A solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao diferencial ordin´aria ´eu(ω, y) = A(ω)eωy+ B(ω)e−ωy.Assumindo que buscamos uma solu¸c˜ao u(ω, y) limitada, devemos terA(ω) = 0 se ω > 0,B(ω) = 0 se ω < 0.Podemos escrever ent˜aou(ω, y) = C(ω)e−y|ω|. (8.21)
    • Rodney Josu´e Biezuner 157A fun¸c˜ao C(ω) ´e obtida atrav´es da condi¸c˜ao de fronteira, fazendo y = 0:u(ω, y) = f(ω)e−y|ω|.Aplicando a transformada de Fourier inversa, obtemos a solu¸c˜ao do problema:u(x, y) =1√2π∫ ∞−∞f(ω)eiωx−y|ω|dω. (8.22)Para obter uma solu¸c˜ao real, usamos a tabela da transformada de Fourier e suas propriedades. Pelo item(9) da tabela, temosF(e−y|ω|)=√2πyy2 + x2.Portanto,u(ω, y) = f(ω)Py (ω) ,onde a fun¸c˜aoPy(x) =√2πyx2 + y2(8.23)´e chamada n´ucleo de Poisson. Pela propriedade da convolu¸c˜ao, segue queu(x, y) =1√2π(f ∗ Py)(x) =1√2π√2π∫ ∞−∞f (s)y(x − s)2+ y2dsou,u(x, y) =yπ∫ ∞−∞f (s)(x − s)2+ y2ds. (8.24)Esta f´ormula ´e chamada a f´ormula integral de Poisson.8.9 Exemplo. Resolva o problema de Dirichlet para a equa¸c˜ao de Laplace no semiplano direito{∆u = 0 se − ∞ < y < ∞ e x > 0,u(0, y) = g(y) se − ∞ < y < ∞,ondeg (y) ={0 se |y| > 1,100 se |y| < 1,Solu¸c˜ao: Como a condi¸c˜ao em fronteira ´e na vari´avel y, ao aplicarmos a transformada de Fourier navari´avel y chegamos `a seguinte f´ormula integral de Poisson:u(x, y) =xπ∫ ∞−∞g (s)x2 + (y − s)2 ds.Portanto,u(x, y) =100xπ∫ 1−11x2 + (y − s)2 ds =100xπ∫ 1−11x2[1 +(y−sx)2]ds=100πx∫ 1−111 +(y−sx)2 ds = −100πxx arctany − sxs=1s=−1=100π[arctany + 1x− arctany − 1x]=100π[arctan1 + yx+ arctan1 − yx].
    • Rodney Josu´e Biezuner 158Podemos obter as isotermas da solu¸c˜ao, isto ´e, as curvas de n´ıvel u (x, y) = T:arctan1 + yx+ arctan1 − yx=πT100.Aplicando tan a ambos os lados desta equa¸c˜ao e usando a identidade trigonom´etricatan(a + b) =tan a + tan b1 − tan a tan b,obtemos1 + yx+1 − yx1 −(1 + yx) (1 − yx) = tanπT100,donde2xx2 + y2 − 1= tanπT100,oux2+ y2− 12x= cotπT100.Portanto, a isoterma correspondente `a temperatura T ´e o arco contido no semiplano direito do c´ırculo(x − cotπT100)2+ y2= 1 + cot2 πT100= csc2 πT100,centrado em(cotπT100, 0)e de raio cscπT100. Em particular, os centros destes arcos isotermais est˜aocentrados no eixo x. Quando T = 50, a isoterma est´a no c´ırculo de centro na origem e raio 1.8.3.4 Exerc´ıcios1. Resolva a equa¸c˜ao do calor ou da onda dada. Em todos os casos, assuma −∞ < x < ∞ e t > 0.a)utt = uxxu(x, 0) =14 + x2ut(x, 0) = 0.b)utt = uxxu(x, 0) ={cos x se −π2xπ2,0 caso contr´ario,ut(x, 0) = 0.c){ut = uxx se − ∞ < x < ∞ e t > 0,u(x, 0) = e−x2se − ∞ < x < ∞.d)ut = 1100 uxxu(x, 0) ={100 se − 1 x 1,0 se x > 1..e)utt = uxxu(x, 0) =√2πsen xxut(x, 0) = 0.f)ut = uxxu(x, 0) ={1 −|x|2se − 2 x 2,0 se x > 1..g)ut = 14 uxxu(x, 0) ={20 se − 1 x 1,0 se x > 1.h)ut = 1100 uxxu(x, 0) =100 se − 2 < x < 0,50 se 0 < x < 1,0 caso contr´ario.i){ut = uxxu(x, 0) =1001 + x2.j){ut = uxxu(x, 0) = e−|x|.
    • Rodney Josu´e Biezuner 1592. Usando o m´etodo da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos oscasos, assuma −∞ < x < ∞ e t > 0.a)uxt = uxxu(x, 0) =√π2e−|x| b){utt = uxxxxu(x, 0) = f(x).c){3ut + ux = 0u(x, 0) = f(x).d){aut + bux = 0u(x, 0) = f(x).e){ut + tux = 0u(x, 0) = f(x).f){ut = t2uxu(x, 0) = 3 cos x.g){ut + a(t)ux = 0u(x, 0) = f(x),h){ut + (sen t)ux = 0u(x, 0) = sen x.i){ut = uxu(x, 0) = f(x).j){ut = tuxxu(x, 0) = f(x),k){ut = a(t)uxxu(x, 0) = f(x),, a(t) > 0. l)utt + 2ut = −uu(x, 0) = f(x),ut(x, 0) = g(x).m){ut = e−tuxxu(x, 0) = 100,n){ut = tuxxxxu(x, 0) = f(x),o)utt = uxxtu(x, 0) = f(x),ut(x, 0) = g(x).p)utt − 4uxxt + 3uxxxxu(x, 0) = f(x),ut(x, 0) = g(x).3. Resolva o problema do calor com convec¸c˜ao na barra infinita (isto ´e, existe troca de calor da barra como meio ambiente): {ut = c2uxx + kux se − ∞ < x < ∞ e t > 0,u(x, 0) = f(x) se − ∞ < x < ∞.4. Resolva o problema da vibra¸c˜ao da corda infinita com amortecimento (b > 0):utt = c2uxx − 2but se − ∞ < x < ∞ e t > 0,u(x, 0) = f(x) se − ∞ < x < ∞,ut(x, 0) = g(x) se − ∞ < x < ∞.5. Resolva o problema da vibra¸c˜ao na viga infinita:utt = c2uxxxx se − ∞ < x < ∞ e t > 0,u(x, 0) = f(x) se − ∞ < x < ∞,ut(x, 0) = g(x) se − ∞ < x < ∞.6. Resolva a equa¸c˜ao de Korteweg-de Vries linearizada:{ut = c2uxxx se − ∞ < x < ∞ e t > 0,u(x, 0) = f(x) se − ∞ < x < ∞.Encontre a solu¸c˜ao para f(x) = e−x2/2e quando f ´e a fun¸c˜ao pulso (em ambos os casos tome c = 1).
    • Rodney Josu´e Biezuner 1607. Usando a transformada de Fourier, mostre a propriedade de semigrupo do n´ucleo de Poisson:(Py1 ∗ Py2 )(x) = Py1+y2 (x).De posse desta propriedade resolva o problema de Dirichlet para f(x) =11 + x2. Quais s˜ao as isotermasneste caso?
    • Referˆencias Bibliogr´aficas[1] ASMAR, Nakhl´e, Partial Differential Equations and Boundary Value Problems, Prentice Hall, NewJersey, 2000.[2] BOYCE, William E. e DI PRIMA, Richard, Equa¸c˜oes Diferenciais Elementares e Problemas de Valoresde Contorno, 7a. Ed., LTC, Rio de Janeiro, 2002.[3] EDWARDS, C. H. e PENNEY, D. E., Equa¸c˜oes Diferenciais Elementares com Problemas de Contorno,3a. Ed., Prentice-Hall do Brasil, Rio de Janeiro, 1995.[4] FIGUEIREDO, Djairo Guedes de, An´alise de Fourier e Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais, Projeto Eu-clides, IMPA, Rio de Janeiro, 1987.[5] GONZ´ALEZ-VELASCO, Enrique A., Fourier Analysis and Boundary Value Problems, Academic Press,San Diego, 1995.[6] HABERMAN, R., Elementary Applied Partial Differential Equations, with Fourier Series and BoundaryValue Problems, Prentice Hall, New Jersey, 1998.161