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Notas de Aula - Métodos Matemáticos para Física
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  1. 1. Notas de AulaEqua¸c˜oes Diferenciais ParciaisLinearesRodney Josu´e Biezuner 1Departamento de Matem´aticaInstituto de Ciˆencias Exatas (ICEx)Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)Notas de aula da disciplina Equa¸c˜oes Diferenciais B do Ciclo B´asico do ICEx.23 de novembro de 20101E-mail: rodney@mat.ufmg.br; homepage: http://www.mat.ufmg.br/∼rodney.
  2. 2. Sum´ario0 Introdu¸c˜ao: Condu¸c˜ao do Calor em uma Barra 40.1 Modelagem F´ısica e Matem´atica do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.1.1 A Equa¸c˜ao do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.1.2 Algumas Formas mais Gerais para a Equa¸c˜ao do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80.1.3 Condi¸c˜ao Inicial e Condi¸c˜ao de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.2 Solu¸c˜ao do Modelo Matem´atico: M´etodo de Separa¸c˜ao de Vari´aveis e S´eries de Fourier . . . . 100.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 S´eries de Fourier 151.1 Propriedades das Fun¸c˜oes Seno e Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.1 Periodicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.2 Rela¸c˜oes de Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.3 Produto Interno no Espa¸co das Fun¸c˜oes Quadrado-Integr´aveis . . . . . . . . . . . . . . 181.2 C´alculo dos coeficientes da s´erie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3 Teorema de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.1 Fun¸c˜oes Cont´ınuas por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.2 O Teorema de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4 S´eries de Fourier de Fun¸c˜oes Pares e ´Impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.1 Fun¸c˜oes Pares e ´Impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.2 Extens˜oes Peri´odicas Pares e ´Impares de Fun¸c˜oes Definidas em Intervalos . . . . . . . 301.5 Estimativa dos Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.6 Diferencia¸c˜ao e Integra¸c˜ao Termo a Termo da S´erie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 Equa¸c˜ao do Calor Unidimensional 402.1 Condi¸c˜ao de Dirichlet homogˆenea: extremidades mantidas `a temperatura zero . . . . . . . . . 402.1.1 Existˆencia de solu¸c˜ao para o problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.1.2 Princ´ıpio do m´aximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.1.3 Unicidade e estabilidade de solu¸c˜oes para o problema de Dirichlet geral . . . . . . . . 452.2 Condi¸c˜ao de Dirichlet n˜ao homogˆenea: solu¸c˜ao de estado estacion´ario . . . . . . . . . . . . . 472.3 Condi¸c˜ao de Neumann homogˆenea: extremidades termicamente isoladas . . . . . . . . . . . . 492.4 Condi¸c˜ao de Robin homogˆenea: condi¸c˜oes de fronteira mistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.5 Equa¸c˜ao do calor n˜ao-homogˆenea: equa¸c˜ao de rea¸c˜ao-difus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.5.1 Fonte independente do tempo: m´etodo da solu¸c˜ao de estado estacion´ario . . . . . . . . 542.5.2 Fonte dependente do tempo: m´etodo de varia¸c˜ao dos parˆametros . . . . . . . . . . . . 562.5.3 O problema geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.6 Alguns problemas espec´ıficos de condu¸c˜ao do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.6.1 Problema da barra com convec¸c˜ao de calor em um extremo . . . . . . . . . . . . . . . 592.6.2 Condi¸c˜oes de fronteira de Robin gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.6.3 Problema do anel circular fino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
  3. 3. Rodney Josu´e Biezuner 22.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623 Equa¸c˜ao da Onda Unidimensional 653.1 Modelo Matem´atico da Corda Vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.1 Vibra¸c˜oes Livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.2 Condi¸c˜oes Iniciais e de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.1.3 Solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.1.4 Outros Tipos de Vibra¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.2 Solu¸c˜ao pelo M´etodo de Separa¸c˜ao de Vari´aveis e S´eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 693.3 A Solu¸c˜ao de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3.1 Solu¸c˜ao Geral da Equa¸c˜ao da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3.2 Corda Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.3.3 Solu¸c˜ao da Corda Vibrante com Extremidades Fixas pelo M´etodo de D’Alembert . . . 753.4 Harmˆonicos, Energia da Corda e Unicidade de Solu¸c˜ao para a Equa¸c˜ao da Onda . . . . . . . 783.4.1 Harmˆonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.4.2 Energia da Corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.4.3 Unicidade de Solu¸c˜ao para a Equa¸c˜ao da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.6 Apˆendice 1: A Equa¸c˜ao da Onda de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.6.1 Lei de Conserva¸c˜ao Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.6.2 Rela¸c˜oes Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.6.3 Solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao do Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.7 Apˆendice 2: Corda Suspensa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914 Equa¸c˜ao do Calor e da Onda em Dom´ınios Retangulares 934.1 S´eries de Fourier Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.1.1 Defini¸c˜ao e C´alculo dos Coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.1.2 Fun¸c˜oes de Duas Vari´aveis Pares e ´Impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2 Lei de Conserva¸c˜ao no Espa¸co Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.2.1 Rela¸c˜oes Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.3 A Equa¸c˜ao do Calor em Dom´ınios Retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.3.1 Solu¸c˜ao do problema da condu¸c˜ao do calor na chapa retangular com margens mantidas`a temperatura zero por separa¸c˜ao de vari´aveis e s´eries de Fourier . . . . . . . . . . . . 984.3.2 Solu¸c˜ao do problema da condu¸c˜ao do calor na chapa retangular termicamente isoladapor separa¸c˜ao de vari´aveis e s´eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.4 A Equa¸c˜ao da Onda em Dom´ınios Retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.4.1 Problema da Membrana Vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.4.2 Solu¸c˜ao do Problema da Membrana Vibrante pelo M´etodo de Separa¸c˜ao de Vari´aveise S´eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.4.3 Linhas Nodais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045 A Equa¸c˜ao de Laplace 1065.1 A Equa¸c˜ao de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.1.1 Solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao de Laplace no Retˆangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.1.2 O Princ´ıpio do M´aximo e Unicidade de Solu¸c˜ao para a Equa¸c˜ao de Laplace . . . . . . 1095.2 A Equa¸c˜ao de Laplace no Disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.2.1 A Equa¸c˜ao de Laplace em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.2.2 Solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao de Laplace no Disco pelo M´etodo de Separa¸c˜ao de Vari´aveis eS´eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.3 A Equa¸c˜ao de Helmholtz: Autovalores e Autofun¸c˜oes do Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . 1145.4 A Equa¸c˜ao de Poisson: o M´etodo de Expans˜ao em Autofun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
  4. 4. Rodney Josu´e Biezuner 36 A Equa¸c˜ao da Onda no Disco: Vibra¸c˜oes de uma Membrana Circular 1176.1 A Membrana Circular Vibrante: Vibra¸c˜oes Radiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.2 Fun¸c˜oes de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.2.1 Solu¸c˜ao Geral da Equa¸c˜ao de Bessel: Fun¸c˜oes de Bessel do Primeiro Tipo . . . . . . . 1186.2.2 Solu¸c˜ao Geral da Equa¸c˜ao de Bessel: Fun¸c˜oes de Bessel do Segundo Tipo . . . . . . . 1216.2.3 Apˆendice: A Fun¸c˜ao Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.3 S´eries de Fun¸c˜oes de Bessel e a Solu¸c˜ao do Problema da Membrana Circular Vibrante . . . . 1226.3.1 Ortogonalidade das Fun¸c˜oes de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.3.2 S´eries de Bessel de ordem p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.3.3 Solu¸c˜ao do Problema da Membrana Circular Vibrante Radial . . . . . . . . . . . . . . 1236.4 A Membrana Circular Vibrante: Vibra¸c˜oes Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.4.1 Uso do Princ´ıpio de Superposi¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257 Equa¸c˜ao de Laplace em Dom´ınios Tridimensionais Sim´etricos 1287.1 A Equa¸c˜ao de Laplace em um Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.1.1 A Equa¸c˜ao de Laplace em Coordenadas Cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.1.2 Solu¸c˜ao de um Problema de Laplace no Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.1.3 Fun¸c˜oes de Bessel Modificadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.1.4 Solu¸c˜ao de outro Problema de Laplace no Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.2 A Equa¸c˜ao de Laplace em uma Bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.2.1 A Equa¸c˜ao de Laplace em Coordenadas Esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.2.2 A Equa¸c˜ao de Legendre e Polinˆomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.2.3 S´eries de Polinˆomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.2.4 Solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao de Laplace na Bola com Simetria Radial . . . . . . . . . . . . . . 1378 Transformada de Fourier 1398.1 A Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1398.1.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.2 A Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.2.1 Defini¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.2.2 Propriedades Operacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458.2.3 Transformada de Fourier da Fun¸c˜ao Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.2.4 Tabela de Transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1508.2.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.3 O M´etodo da Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1528.3.1 A Equa¸c˜ao do Calor para uma Barra Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.3.2 A Equa¸c˜ao da Onda em uma Corda Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1548.3.3 A Equa¸c˜ao de Laplace em um Semiplano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1568.3.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
  5. 5. Cap´ıtulo 0Introdu¸c˜ao: Condu¸c˜ao do Calor emuma Barra0.1 Modelagem F´ısica e Matem´atica do Problema0.1.1 A Equa¸c˜ao do CalorConsidere uma barra uniforme de comprimento L, feita de material homogˆeneo condutor de calor. Porbarra uniforme entendemos que a sua se¸c˜ao transversal ´e sempre igual a uma determinada figura geom´etricaplana e portanto tem ´area constante, que denotaremos por A; al´em disso, a barra pode ser imaginadacomo sendo formada atrav´es da transla¸c˜ao desta figura na dire¸c˜ao perpendicular ao seu plano (em outraspalavras, um cilindro reto cuja base pode ser qualquer figura geom´etrica, como por exemplo um disco [cilindrocircular reto], uma elipse [cilindro el´ıptico reto], um triˆangulo [prisma reto], um retˆangulo [paralelep´ıpedoreto], ou qualquer outra figura geom´etrica plana). Suponha que a superf´ıcie lateral da barra esteja isoladatermicamente, de modo a n˜ao permitir transferˆencias de calor atrav´es dela com o ambiente. Transferˆenciasde calor, se ´e que ocorrem, podem ocorrer apenas atrav´es das extremidades da barra.A uniformidade da barra, a homogeneidade do material e o isolamento t´ermico lateral implicam que ofluxo de calor acontece somente na dire¸c˜ao longitudinal, isto ´e, ao longo do comprimento da barra. Portanto,este ´e um problema de condu¸c˜ao de calor unidimensional. Em outras palavras, as vari´aveis f´ısicas s˜aoconstantes em cada se¸c˜ao transversal da barra, podendo variar apenas de uma se¸c˜ao para outra.Consideremos a barra posicionada no eixo x, com uma das extremidades na origem x = 0; a outraextremidade ocupa portanto a posi¸c˜ao x = L. Queremos determinar como a temperatura em cada pontoda barra varia `a medida que o tempo passa. Para isso, vamos analisar o fluxo de calor ao longo da barra.Inicialmente, considere duas se¸c˜oes transversais da barra, localizadas em x e x + ∆x, delimitando uma fatiada barra (veja a Figura 0.1 na p´agina seguinte). Atrav´es destas se¸c˜oes, calor flui (entra ou sai) para estafatia. Denotaremos o fluxo de calor, isto ´e, a quantidade de calor por unidade de tempo fluindo para adireita por unidade de ´area, por ϕ(x, t); no S.I., o fluxo de calor tem como unidades Joules/m2s.ϕ(x, t) = fluxo de calor (quantidade de calor por unidade de tempofluindo para a direita por unidade de ´area).Se ϕ(x, t) < 0, o calor est´a fluindo para a esquerda. A quantidade total de calor que entra na fatia porunidade de tempo ´e dada pela diferen¸ca entre a quantidade de calor que entra pela se¸c˜ao transversal em xe a quantidade de calor que sai pela se¸c˜ao transversal em x + ∆x, isto ´e,ϕ(x, t)A − ϕ(x + ∆x, t)A.4
  6. 6. Rodney Josu´e Biezuner 5´E claro que calor pode sair da fatia pela se¸c˜ao transversal em x (se ϕ(x, t) < 0), assim como calor podeentrar na fatia pela se¸c˜ao transversal em x + ∆x (se ϕ(x + ∆x, t) < 0); se a diferen¸ca acima for negativa,ent˜ao o resultado final ´e que calor sai da fatia.Figura 0.1Esta quantidade de calor total que entra ou sai da fatia por instante de tempo pode ser calculada emfun¸c˜ao das temperaturas nas se¸c˜oes transversais que delimitam a fatia atrav´es da Lei de Condu¸c˜ao do Calorde Fourier (esta lei foi empiricamente observada por Fourier no in´ıcio do s´eculo XIX):Lei de Condu¸c˜ao do Calor de Fourier. Sejam P1 e P2 duas placas formadas de um mesmo materiale de mesma ´area igual a A, mantidas respectivamente a temperaturas constantes T1 e T2. Se elasforem colocadas paralelamente a uma distˆancia d uma da outra, haver´a passagem de calor da placamais quente para a placa mais fria e a quantidade de calor transferida de uma placa para a outra porunidade de tempo (ou seja, a taxa de transferˆencia de calor, medida em Joules/s) ´e dada porΦ = kA|T2 − T1|d,onde k ´e uma constante espec´ıfica do material entre as placas, chamada condutividade t´ermica domaterial.Denotemosu(x, t) = temperatura do ponto x da barra no instante de tempo t.As se¸c˜oes transversais da barra, localizadas em x e x + ∆x, fazem o papel das duas placas P1 e P2. Denoteas temperaturas nestas se¸c˜oes no instante de tempo t por T1 = u(x, t) e T2 = u(x + ∆x, t). Ent˜ao, pela Leide Fourier, o fluxo de calor na dire¸c˜ao positiva do eixo x que passa pela se¸c˜ao transversal localizada em x ´edado por (lembre-se que o fluxo de calor ´e definido por unidade de ´area)ϕ(x, t) = − lim∆x→0ku(x + ∆x, t) − u(x, t)∆x= −kux(x, t),de modo que quando a temperatura cresce com x, ux ´e positivo, mas o calor flui para a esquerda, portanto ϕ´e negativo; se a temperatura decresce com x, ux ´e negativo e o calor flui para a direita, portanto ϕ ´e positivo.
  7. 7. Rodney Josu´e Biezuner 6Agora fixe um segmento qualquer da barra entre as posi¸c˜oes x = a e x = b. Vamos calcular a quantidadetotal de calor Q que entra neste segmento no per´ıodo de tempo que vai de t0 at´e t1. Esta ´e a diferen¸ca entreo calor que entra na se¸c˜ao transversal que ocupa a posi¸c˜ao x = a e o calor que sai pela se¸c˜ao transversal queocupa a posi¸c˜ao x = b durante o per´ıodo de tempo considerado:Q =∫ t1t0ϕ(a, t)A dt −∫ t1t0ϕ(b, t)A dt=∫ t1t0kA[ux(b, t) − ux(a, t)] dt.Usando o Teorema Fundamental do C´alculo, podemos escreverux(b, t) − ux(a, t) =∫ bauxx(x, t) dx.Logo, como k ´e constante (pois assumimos que a barra ´e feita de um ´unico material homogˆeneo), temosQ = kA∫ t1t0∫ bauxx(x, t) dxdt. (1)Por outro lado, tamb´em ´e observado experimentalmente que a quantidade de calor absorvida por umasubstˆancia em um per´ıodo de tempo ´e diretamente proporcional `a massa desta substˆancia e `a varia¸c˜ao m´ediade sua temperatura durante o intervalo de tempo considerado:Q = cm∆u.A constante de proporcionalidade, denotada por c, depende de cada substˆancia e ´e chamada o calor espec´ıficoda substˆancia; em outras palavras, o calor espec´ıfico nada mais ´e que a quantidade de calor necess´aria paraelevar em um grau a temperatura de uma unidade de massa da substˆancia; no S.I., o calor espec´ıfico temcomo unidades Joules/kgK. Embora o calor espec´ıfico de uma substˆancia em geral varie com a temperaturaem que ela se encontra (isto ´e, c = c(u)), para diferen¸cas de temperaturas n˜ao muito grandes o calor espec´ıfico´e aproximadamente constante.Aplicamos esta lei emp´ırica novamente a um segmento qualquer da barra entre as posi¸c˜oes x = a e x = b.A varia¸c˜ao m´edia da temperatura neste segmento da barra no intervalo de tempo que vai de t0 at´e t1 ´eobtida tomando-se a m´edia das varia¸c˜oes m´edias das temperaturas de todos os pontos da barra, ou seja∆u =1b − a∫ ba[u(x, t1) − u(x, t0)] dx.Pelo Teorema Fundamental do C´alculo segue que∆u =1b − a∫ ba[∫ t1t0ut(x, t) dt]dx.Logo, a quantidade de calor absorvida por este segmento ´e dada porQ = cm∆u =cmb − a∫ ba∫ t1t0ut(x, t) dt dx.sendo m a massa deste segmento e c o calor espec´ıfico do material que constitui a barra. Escrevendom = ρA(b − a), onde ρ ´e a densidade da barra, e trocando a ordem dos limites de integra¸c˜ao, obtemosQ = cρA∫ t1t0∫ baut(x, t) dxdt. (2)
  8. 8. Rodney Josu´e Biezuner 7Igualando as duas express˜oes obtidas em (1) e (2) para a quantidade total de calor Q que entra nosegmento da barra entre x = a e x = b no per´ıodo de t0 at´e t1, obtemos a equa¸c˜ao do calor em sua formaintegral:cρ∫ t1t0∫ baut(x, t) dxdt = k∫ t1t0∫ bauxx(x, t) dxdt.Mas a, b, t0, t1 s˜ao arbitr´arios, logo os integrandos s˜ao necessariamente iguais e assim obtemos a equa¸c˜ao docalor na sua forma diferencialut = Kuxx, (3)onde K =kcρ´e chamada a difusividade t´ermica do material. A equa¸c˜ao (3) ´e chamada simplesmentea equa¸c˜ao do calor e representa a lei de varia¸c˜ao da temperatura u(x, t) de uma barra uniforme comsuperf´ıcie lateral termicamente isolada. Ela descreve como o calor se espalha ou se difunde com o passar dotempo, um processo f´ısico conhecido como difus˜ao. Outras quantidades f´ısicas tamb´em se difundem seguindoesta mesma equa¸c˜ao diferencial parcial (em situa¸c˜oes unidimensionais), como por exemplo a concentra¸c˜ao desubstˆancias qu´ımicas, tais como perfumes ou polutantes, e por este motivo a equa¸c˜ao (3) tamb´em ´e chamadamais geralmente de equa¸c˜ao de difus˜ao.Observa¸c˜ao: A forma diferencial da equa¸c˜ao do calor tamb´em pode ser obtida mais diretamente. De fato,diferenciando a lei de Fourierϕ(x, t) = −kux(x, t)em rela¸c˜ao a x obtemosϕx = −kuxx. (4)Por outro lado, vimos acima queQ = −∫ t1t0[ϕ(b, t) − ϕ(a, t)]A dt = cρA∫ ba∫ t1t0ut(x, t) dt dx.Agora, ao inv´es de usar a lei de Fourier na integral do lado esquerdo como fizemos acima para obter (1),usamos o Teorema Fundamental do C´alculo para escrevˆe-la na forma∫ t1t0[ϕ(b, t) − ϕ(a, t)]A dt =∫ t1t0[∫ baϕx(x, t) dx]A dt.Logo,−∫ ba∫ t1t0ϕx(x, t) dt dx = cρ∫ ba∫ t1t0ut(x, t) dt dx.Como a, b, t0, t1 s˜ao arbitr´arios, os integrandos devem ser iguais e portanto obtemos a equa¸c˜aoϕx = −cρut. (5)Igualando as express˜oes (4) e (5) para ϕx, obtemos novamente a equa¸c˜ao do calor. No entanto, ´e sempreprefer´ıvel obter a formula¸c˜ao integral, como fizemos anteriormente, e a partir dela obter a formula¸c˜ao difer-encial. A formula¸c˜ao integral tem a vantagem de valer mesmo em situa¸c˜oes em que u n˜ao ´e diferenci´avel, oumesmo descont´ınua.
  9. 9. Rodney Josu´e Biezuner 80.1.2 Algumas Formas mais Gerais para a Equa¸c˜ao do CalorPode acontecer que a condutividade t´ermica ao longo da barra n˜ao seja constante, mas dependa de x. Estasitua¸c˜ao pode ocorrer, por exemplo, se tivermos uma barra formada por v´arias barras, cada uma delasconstitu´ıda por um material diferente. Neste caso, usando a lei de Fourier como fizemos para obter (1),desta vez segue queQ =∫ t1t0A[k(b)ux(b, t) − k(a)ux(a, t)] dt,e usamos o Teorema Fundamental do C´alculo para escreverk(b)ux(b, t) − k(a)ux(a, t) =∫ ba[k(x)ux(x, t)]x dx,de modo queQ = A∫ t1t0∫ ba[k(x)ux(x, t)]x dxdt.Do mesmo modo, pode ocorrer que o calor espec´ıfico do material que constitui a barra varie com x, assimcomo a sua densidade (o que certamente ocorrer´a na situa¸c˜ao dada acima como exemplo). Logo,Q = A∫ t1t0∫ bac(x)ρ(x)ut(x, t) dxdtPortanto, nesta situa¸c˜ao, a equa¸c˜ao do calor que descreve a varia¸c˜ao da temperatura da barra com o passardo tempo se tornac(x)ρ(x)ut = [k(x)ux]x, (6)Esta equa¸c˜ao ´e chamada a equa¸c˜ao do calor na forma divergente.Pode tamb´em ocorrer que exista uma fonte interna de calor em regi˜oes da barra, devida por exemplo area¸c˜oes qu´ımicas, nucleares ou aquecimento el´etrico. Denotemosq(x, t) = quantidade de calor gerada por unidade de volume por unidade de tempo.`A quantidade total de calor Q que entra no segmento da barra entre x = a e x = b no per´ıodo de t0 at´e t1devido ao fenˆomeno de condu¸c˜ao do calor ao longo da barra, deve ser somada a quantidade de calor geradainternamente no segmento durante este per´ıodo, antes de igualar `a express˜ao obtida em (2) (isso nada mais´e que a lei de conserva¸c˜ao do calor, um caso particular da lei de conserva¸c˜ao da energia). Pela defini¸c˜ao deq(x, t), este calor gerado internamente ´e dado por∫ t1t0∫ baq(x, t)A dxdt.Portanto, temos que∫ t1t0∫ ba[kuxx(x, t) + q(x, t)] dxdt = cρ∫ t1t0∫ baut(x, t) dxdte da´ı obtemos a equa¸c˜aout = Kuxx + q(x, t). (7)Esta equa¸c˜ao ´e um exemplo de uma equa¸c˜ao de rea¸c˜ao-difus˜ao.´E claro que nada impede que as duas situa¸c˜oes acima ocorram simultaneamente. Neste caso, a equa¸c˜aocompleta que descreve o fenˆomeno da condu¸c˜ao de calor na barra ser´ac(x)ρ(x)ut = [k(x)ux]x + q(x, t). (8)
  10. 10. Rodney Josu´e Biezuner 90.1.3 Condi¸c˜ao Inicial e Condi¸c˜ao de FronteiraA equa¸c˜ao do calor (3) tem um n´umero infinito de solu¸c˜oes. Por exemplo, qualquer fun¸c˜ao constanteu(x, t) = C ou afim u(x, t) = Ax + B, onde A, B, C s˜ao quaisquer constantes reais, satisfaz (3). Umproblema fisico real, no caso obter a distribui¸c˜ao de temperaturas em uma barra, deve ter uma solu¸c˜ao´unica. Portanto, ´e necess´ario impor restri¸c˜oes adicionais sobre o problema, de modo que possamos obteruma solu¸c˜ao ´unica para a equa¸c˜ao do calor.Intuitivamente, parece ´obvio que a distribui¸c˜ao de temperaturas na barra ao longo do tempo depende dadistribui¸c˜ao inicial de temperaturas, chamada a condi¸c˜ao inicial do problema:u(x, 0) = f(x).Esta ´e a ´unica condi¸c˜ao inicial necess´aria. Matematicamente, esta necessidade ´e expressa pelo fato da equa¸c˜aodiferencial parcial (3) possuir uma derivada parcial em rela¸c˜ao ao tempo de primeira ordem (como no caso deequa¸c˜oes diferenciais ordin´arias de primeira ordem, em que ´e necess´ario saber apenas uma condi¸c˜ao inicial,o valor da fun¸c˜ao no instante inicial, para se conhecer a solu¸c˜ao ´unica da equa¸c˜ao).Al´em disso, a distribui¸c˜ao de temperaturas na barra ao longo do tempo tamb´em deve depender do quese passa nas extremidades da barra, que podem n˜ao estar isoladas termicamente e portanto podem permitira entrada ou sa´ıda de calor, influindo na distribui¸c˜ao de temperaturas da barra com o passar do tempo. Ascondi¸c˜oes nas extremidades da barra s˜ao chamadas de condi¸c˜oes de fronteira. Matematicamente, isso sedeve ao fato da equa¸c˜ao diferencial parcial (3) depender tamb´em da vari´avel x. Podemos imaginar v´ariostipos de condi¸c˜oes de fronteira para o problema da barra:1. Extremidades mantidas a temperaturas constantes:u(0, t) = T1 e u(L, t) = T2.2. Temperaturas nas extremidades variando com o tempo de acordo com fun¸c˜oes conhecidas:u(0, t) = g1(t) e u(L, t) = g2(t).3. Extremidades isoladas termicamente (ou seja, o fluxo de calor atrav´es das extremidades ´e nulo e abarra est´a completamente isolada):ux(0, t) = ux(L, t) = 0.4. Fluxo de calor atrav´es das extremidades ´e conhecido:ux(0, t) = h1(t) e ux(L, t) = h2(t).5. Combina¸c˜ao de quaisquer duas das condi¸c˜oes acima:u(0, t) = 0 e ux(L, t) = 0.Com uma condi¸c˜ao inicial e qualquer uma destas condi¸c˜oes de fronteira o problema matem´atico est´abem posto, admitindo uma ´unica solu¸c˜ao, conforme veremos em detalhes em um cap´ıtulo posterior. Umacondi¸c˜ao do tipo 1 ou 2, em que s˜ao dados valores para a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial parcial na fronteira,´e chamada uma condi¸c˜ao de Dirichlet. Uma condi¸c˜ao do tipo 3 ou 4, em que s˜ao dados valores para aderivada da solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial parcial na fronteira em rela¸c˜ao `a vari´avel espacial, ´e chamadauma condi¸c˜ao de Neumann. Uma condi¸c˜ao mista, envolvendo tanto o valor da solu¸c˜ao como o de suaderivada espacial na fronteira, exemplificada pela condi¸c˜ao do tipo 5, ´e chamada uma condi¸c˜ao de Robin.
  11. 11. Rodney Josu´e Biezuner 10Observa¸c˜ao: O fato da equa¸c˜ao do calor (3) ter uma derivada parcial em rela¸c˜ao `a vari´avel x de segundaordem n˜ao tem nada a ver com o fato de precisarmos de duas condi¸c˜oes de fronteira. Este fato ´e simples-mente uma conseq¨uˆencia da fronteira de um segmento ser formada por dois pontos (no caso, a fronteira dosegmento [0, L] ´e formada pelos pontos 0 e L). Na verdade, essencialmente temos apenas uma condi¸c˜ao defronteira; o que ocorre ´e que, no caso de um segmento, a fronteira ´e desconexa e esta condi¸c˜ao de fronteira´e mais facilmente expressa por duas senten¸cas. Este conceito ficar´a mais claro quando estudarmos equa¸c˜oesdiferenciais parciais em regi˜oes do plano e do espa¸co.Uma condi¸c˜ao de fronteira de grande interesse pr´atico ocorre quando a barra est´a em contato com umfluido em movimento, como ar ou ´agua. Como exemplo desta situa¸c˜ao, imagine uma barra quente emcontato com ar mais frio em movimento. Calor deixa a barra, aquecendo o ar, que leva o calor embora,sendo substituido por ar mais frio, no conhecido processo de convec¸c˜ao. Experimentos mostram que o fluxodo calor que deixa a barra ´e proporcional `a diferen¸ca de temperatura entre a barra e a temperatura exterior:Kux(0, t) = H[u(0, t) − T];T ´e a temperatura externa e a constante de proporcionalidade H ´e chamada o coeficiente de transferˆencia decalor ou coeficiente de convec¸c˜ao. Esta ´e a chamada lei de resfriamento de Newton. Note que esta condi¸c˜aode fronteira envolve uma combina¸c˜ao linear entre u e ux e ´e uma condi¸c˜ao de Robin. Como pela lei deFourier o fluxo de calor ´e dado por ϕ = −kux, temos que ϕ(0, t) = −kH[u(0, t) − T], de modo que se a barraest´a mais quente que o ambiente exterior (u(0, t) > T), o fluxo ´e negativo, isto ´e, na dire¸c˜ao negativa do eixox, saindo da extremidade da barra localizada em x = 0 para o ambiente externo, e vice-versa. Por causadisso, no caso da outra extremidade, localizada no ponto x = L, a lei de resfriamento de Newton deve ent˜aoser escrita na formaKux(L, t) = −H[u(L, t) − T].A constante H depende do material que forma a barra e das propriedades do fluido (tais como sua velocidade).0.2 Solu¸c˜ao do Modelo Matem´atico: M´etodo de Separa¸c˜ao deVari´aveis e S´eries de FourierO modelo matem´atico que obtivemos para a distribui¸c˜ao de temperaturas em uma barra cuja superf´ıcielateral est´a isolada termicamente com o passar do tempo ´e uma equa¸c˜ao diferencial parcial com condi¸c˜aoinicial e condi¸c˜ao de fronteira. Vamos tentar resolver o problema espec´ıfico em que as extremidades dabarra est˜ao mantidas `a temperatura constante igual a 0 (correspondente `a condi¸c˜ao de Dirichlet 1 da se¸c˜aoanterior, chamada de condi¸c˜ao de Dirichlet homogˆenea):ut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,u(x, 0) = f(x) se 0 x L,u(0, t) = u(L, t) = 0. se t 0.(9)Tentaremos resolver este problema pelo chamado m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis. No m´etodo desepara¸c˜ao de vari´aveis, supomos que a solu¸c˜ao u(x, t) do problema pode ser escrita como o produto de duasfun¸c˜oes de uma vari´avel, uma dependendo apenas de x e a outra dependendo apenas de t:u(x, t) = F(x)G(t). (10)Esta ´e apenas uma suposi¸c˜ao, que pode ou n˜ao ser correta (na verdade, veremos que em geral esta suposi¸c˜aoest´a errada, mas ainda assim ela nos ajudar´a a encontrar a solu¸c˜ao correta para o problema). A vantagemde fazer esta suposi¸c˜ao ´e que ela simplifica consideravelmente o problema, transformando um problema deresolver uma equa¸c˜ao diferencial parcial, que n˜ao sabemos como fazer, em um problema de resolver uma
  12. 12. Rodney Josu´e Biezuner 11equa¸c˜ao diferencial ordin´aria, que sabemos como fazer. De fato, substituindo (10) na equa¸c˜ao do calor,obtemosF(x)G′(t) = KF′′(x)G(t)dondeF′′(x)F(x)=1KG′(t)G(t).Note que o lado esquerdo desta equa¸c˜ao depende apenas de x, enquanto que o lado direito depende apenasde t. Isso s´o pode ser poss´ıvel se na verdade ambos os lados forem independentes de x e t, isto ´e,F′′(x)F(x)= σ e1KG′(t)G(t)= σonde σ ∈ R ´e uma constante. Portanto o problema se reduz a resolver duas equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias:• A equa¸c˜ao diferencial de segunda ordemF′′(x) − σF(x) = 0 (11)para 0 < x < L.• A equa¸c˜ao diferencial de primeira ordemG′(t) − σKG(t) = 0 (12)para t > 0.Vamos resolver primeiro (11). Fazemos isso, apesar dela ser uma equa¸c˜ao mais complexa que (12), porqueas condi¸c˜oes de fronteira de (9) implicam que F satisfaz as condi¸c˜oesF(0) = F(L) = 0. (13)De fato, a condi¸c˜ao de fronteira u(0, t) = 0 implica que F(0)G(t) = 0 para todo t > 0, o que por sua vezimplica que F(0) = 0 (a menos que G(t) = 0 para todo t, o que significaria que u ≡ 0, uma solu¸c˜ao que n˜aonos interessa, exceto no caso raro em que a condi¸c˜ao inicial seja tamb´em f ≡ 0); similarmente a condi¸c˜aode fronteira u(L, t) = F(L)G(t) = 0 implica que F(L) = 0. A condi¸c˜ao (13) restringe as solu¸c˜oes de (11), oque ultimamente limitar´a os valores poss´ıveis de σ. Em princ´ıpio, h´a trˆes solu¸c˜oes poss´ıveis, dependendo dosinal de σ:1. σ > 0 : Neste caso, a solu¸c˜ao geral de (11) ´e da formaF(x) = c1e√σx+ c2e−√σx.Logo, a condi¸c˜ao (13) implica que as constantes reais c1, c2 devem satisfazer o sistema{c1 + c2 = 0c1e√σL+ c2e−√σL= 0.Mas a ´unica solu¸c˜ao deste sistema ´e c1 = c2 = 0, o que levaria a F ≡ 0 e portanto u ≡ 0, solu¸c˜ao quen˜ao nos interessa.2. σ = 0 : A solu¸c˜ao geral de (11) neste caso ´e da formaF(x) = c1x + c2.A condi¸c˜ao (13) implica que as constantes reais c1, c2 devem satisfazer o sistema{c2 = 0c1L + c2 = 0.cuja ´unica solu¸c˜ao tamb´em ´e c1 = c2 = 0 e novamente F ≡ 0, o que n˜ao nos interessa.
  13. 13. Rodney Josu´e Biezuner 123. σ < 0 : Denotando λ =√−σ, a solu¸c˜ao geral de (11) neste ´ultimo caso ´e da formaF(x) = c1 cos λx + c2 sen λx.A condi¸c˜ao (13) implica que as constantes reais c1, c2 devem satisfazer o sistema{c1 = 0c2 sen λL = 0.Como n˜ao queremos c2 = 0, devemos ter sen λL = 0, o que implica λL = nπ, onde n ∈ N pode ser uminteiro positivo qualquer.Portanto, para cada valor de n uma solu¸c˜ao n˜ao nula para o problema (11), (13) ´e da formaFn(x) = sennπLx, (14)por este motivo chamada uma autofun¸c˜ao para o problema (11),(13) associada ao autovalor−σ = λ2n =n2π2L2. (15)A equa¸c˜ao (12) ´e imediatamente resolvida atrav´es de uma integra¸c˜ao simples. A solu¸c˜ao de (12) ´e daformaG(t) = ceσKt,onde c ∈ R ´e uma constante real. Como os valores de σ para que o problema (9) tenha solu¸c˜oes n˜ao nulass˜ao os dados em (15), segue que para cada valor de n temos uma solu¸c˜ao relevante de (12) dada por (a menosda constante)Gn(x) = e− n2π2L2 Kt. (16)Segue que para cada n = 1, 2, 3, . . ., temos uma fun¸c˜aoun(x, t) = e− n2π2L2 KtsennπLxque ´e uma solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao diferencial parcial do problema (9) satisfazendo `as suas condi¸c˜oes defronteira.Por outro lado, precisamos de uma solu¸c˜ao que tamb´em satisfa¸ca `a condi¸c˜ao inicial u(x, 0) = f(x). Logo,as solu¸c˜oes que encontramos s´o funcionam se a fun¸c˜ao f(x) tem uma forma muito particular, ou seja, sef(x) for um m´ultiplo escalar da fun¸c˜ao seno. Por exemplo,se f(x) = 3 senπLx, ent˜ao (9) tem solu¸c˜ao u(x, t) = 3u1;se f(x) = 17 sen5πLx, ent˜ao (9) tem solu¸c˜ao u(x, t) = 17u5.´E ´obvio que isso raramente ocorre.Na verdade, por´em, ainda podemos obter solu¸c˜oes para o problema (9) a partir destas solu¸c˜oes se f(x)for apenas uma combina¸c˜ao linear de senos. Por exemplo,se f(x) = 3 senπLx + 25 sen9πLx, ent˜ao (9) tem solu¸c˜ao u(x, t) = 3u1 + 25u9;se f(x) = 4 sen2πLx −23sen22πLx +√5 sen901πLx, ent˜ao (9) tem solu¸c˜ao u(x, t) = 4u2 −23u22 +√5u901.Isso ´e verdade porque a equa¸c˜ao do calor ´e uma equa¸c˜ao linear, o que significa que combina¸c˜oes linearesde solu¸c˜oes da equa¸c˜ao diferencial s˜ao tamb´em solu¸c˜oes da equa¸c˜ao diferencial e, al´em disso, as condi¸c˜oes
  14. 14. Rodney Josu´e Biezuner 13de fronteira de (9) s˜ao homogˆeneas, logo combina¸c˜oes lineares de solu¸c˜oes que satisfazem as condi¸c˜oesde fronteira continuam satisfazendo as condi¸c˜oes de fronteira (isso pode ser imediatamente verificado e ´edeixado para o leitor se convencer). Assim, qualquer express˜ao da forma (isto ´e, qualquer combina¸c˜ao linearde solu¸c˜oes)u(x, t) =N∑n=1cnun(x, t)´e uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao do calor satisfazendo as condi¸c˜oes de fronteira em (9). Em particular, sef(x) =N∑n=1cn sennπLx,segue queu(x, t) =N∑n=1cne− n2π2L2 KtsennπLx (17)´e uma solu¸c˜ao do problema (9).Mas, na maioria dos casos, f n˜ao ´e uma combina¸c˜ao linear de senos. Ent˜ao Fourier teve a id´eia brilhantede tomar “combina¸c˜oes lineares infinitas”, isto ´e, s´eries infinitas, assumindo que toda fun¸c˜ao pode ser escritacomo uma s´erie infinita de senos. Em outras palavras, assumindo que podemos escrever toda fun¸c˜ao f naformaf(x) =∞∑n=1cn sennπLxpara certos coeficientes bem determinados cn, o que atualmente chamamos a s´erie de Fourier de f, ent˜ao ocandidato para solu¸c˜ao do problema de valor inicial e de condi¸c˜ao de fronteira (9) seria a fun¸c˜aou(x, t) =∞∑n=1cne− n2π2L2 KtsennπLx. (18)Isso nos leva imediatamente `as seguintes indaga¸c˜oes:1. Ser´a que toda fun¸c˜ao f(x) realmente pode ser escrita como uma s´erie de Fourier?2. Se a resposta `a pergunta anterior for negativa, quais s˜ao as fun¸c˜oes que possuem s´eries de Fourier?Ser´a que elas formam uma classe suficientemente grande para abranger todas ou uma quantidadesignificativa das fun¸c˜oes que surgem nos problemas pr´aticos?3. Mesmo que f(x) possa ser representada por uma s´erie de Fourier, ser´a que a s´erie definida acima parau(x, t) converge para uma fun¸c˜ao diferenci´avel em t e duas vezes diferenci´avel em x que ´e a solu¸c˜ao de(9)?Estas perguntas mostram a necessidade de se desenvolver uma teoria para as s´eries de Fourier. Faremos issono pr´oximo cap´ıtulo.Observa¸c˜ao: Note que nem o candidato `a solu¸c˜ao (18), e nem mesmo a solu¸c˜ao (17), s˜ao produtos de duasfun¸c˜oes de uma vari´avel, uma dependendo apenas de x e outra dependendo apenas de t (elas s˜ao na realidadesomas de produtos de fun¸c˜oes de uma vari´avel, soma finita em um caso, soma infinita no outro). Portanto asuposi¸c˜ao inicial de que partimos no m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis ´e errada para a maioria das condi¸c˜oesiniciais, a n˜ao ser que elas sejam m´ultiplos de sen(nπx/L). Mas, usando a linearidade da equa¸c˜ao do calor,pudemos usar as solu¸c˜oes obtidas atrav´es do m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis e a partir delas construir asolu¸c˜ao para o problema geral. Este ´e um m´etodo frequentemente usado em ciˆencias exatas: simplificar umproblema complexo atrav´es de uma suposi¸c˜ao simplificadora que em geral n˜ao ´e v´alida, mas, a partir dasolu¸c˜ao para o problema simplificado, construir a solu¸c˜ao correta para o problema complicado.
  15. 15. Rodney Josu´e Biezuner 140.3 Exerc´ıcios1. Mostre que a equa¸c˜ao do calor ´e linear, isto ´e, se u1(x, t) e u2(x, t) s˜ao solu¸c˜oes da equa¸c˜ao diferencialparcial ut = Kuxx, ent˜ao au1(x, t) + bu2(x, t) tamb´em ´e, quaisquer que sejam a, b ∈ R. Al´em disso, seelas satisfazem as condi¸c˜oes de fronteira homogˆeneas u(0, t) = u(L, t) = 0, ent˜ao au1(x, t) + bu2(x, t)tamb´em satisfaz.2. Mostre que a equa¸c˜ao mais geral do calor, c(x)ρ(x)ut = [K(x)ux]x + q(x, t), tamb´em ´e uma equa¸c˜aolinear.3. Proceda como fizemos no texto e encontre um candidato `a solu¸c˜ao para o seguinte problema de valorinicial com condi¸c˜ao de fronteira de Neumann homogˆenea:ut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,ux(0, t) = ux(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = f(x) se 0 x L.
  16. 16. Cap´ıtulo 1S´eries de FourierPara determinar a possibilidade de uma determinada fun¸c˜ao poder ser expressa como uma s´erie de Fourier,bem como para obter os coeficientes da s´erie de Fourier da fun¸c˜ao quando isso ocorrer, precisamos estudarcertas propriedades das fun¸c˜oes seno e cosseno.1.1 Propriedades das Fun¸c˜oes Seno e Cosseno1.1.1 Periodicidade1.1 Defini¸c˜ao. Uma fun¸c˜ao f : R −→ R ´e peri´odica se existe T ∈ R, T ̸= 0, tal que f(x + T) = f(x) paratodo x ∈ R. O n´umero real T ´e chamado um per´ıodo para a fun¸c˜ao f.Claramente, se T ´e um per´ıodo para a fun¸c˜ao f, ent˜ao qualquer m´ultiplo inteiro de T tamb´em ´e um per´ıodopara f: 2T, −2T, 3T, −3T, 4T, −4T, etc. Por exemplo,f(x + 3T) = f((x + 2T) + T) = f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).1.2 Defini¸c˜ao. O menor per´ıodo positivo de uma fun¸c˜ao peri´odica f ´e chamado o per´ıodo fundamentalde f.Em geral, o per´ıodo fundamental de uma fun¸c˜ao peri´odica ´e chamado simplesmente de o per´ıodo da fun¸c˜ao.1.3 Exemplo. a) As fun¸c˜oes seno e cosseno s˜ao peri´odicas e ambas tˆem per´ıodo 2π.b) Fun¸c˜oes constantes s˜ao fun¸c˜oes peri´odicas que n˜ao possuem per´ıodo fundamental, pois qualquern´umero real n˜ao nulo ´e um per´ıodo para a fun¸c˜ao constante, logo n˜ao existe um menor per´ıodo positivo.Do mesmo modo, a fun¸c˜aof(x) ={1 se x ´e racional,0 se x ´e irracional,´e uma fun¸c˜ao peri´odica que n˜ao possui per´ıodo fundamental, pois todo n´umero racional n˜ao nulo ´e umper´ıodo para f (mas observe que n´umeros irracionais n˜ao s˜ao per´ıodos para f).c) A fun¸c˜ao f(x) = x − [x], onde [x] ´e a fun¸c˜ao piso, isto ´e, [x] ´e maior inteiro menor que ou igual ax, ´e peri´odica de per´ıodo 1.15
  17. 17. Rodney Josu´e Biezuner 16−3 −2 −1 0 1 2 3−1−0.500.511.52Figura 1.1. f(x) = x − [x].d) Podemos encontrar uma infinidade de exemplos de fun¸c˜oes peri´odicas, simplesmente definindo umafun¸c˜ao em um intervalo de comprimento T e declarando que ela ´e peri´odica de per´ıodo T, desta formadefinindo ela na reta toda. Ou seja, suponha que a fun¸c˜ao f foi inicialmente definida no intervalo Ide comprimento T; dado x ∈ R, se x /∈ I determine um inteiro k tal que x + kT ∈ I (k ´e positivo se xest´a localizado `a esquerda do intervalo I e negativo se x est´a `a direita de I) e definaf(x) = f(x + kT).Desta forma, definimos uma fun¸c˜ao f na reta toda que ´e automaticamente peri´odica de per´ıodo T. Porexemplo, podemos definir uma fun¸c˜ao g porg(x) ={−x se − L x < 0,x se 0 x < L,e declar´a-la peri´odica de per´ıodo 2L.−6 −4 −2 0 2 4 6−10123Figura 1.2. L = 2.Para que a defini¸c˜ao desta extens˜ao peri´odica seja consistente, observe que o intervalo I deve ser fechadoem um extremo e aberto no outro ou, se o intervalo I for fechado nos dois extremos, a fun¸c˜ao deve teros mesmos valores nestes extremos.Com rela¸c˜ao aos per´ıodos das fun¸c˜oes que constituem a s´erie de Fourier, fazemos a seguinte importanteobserva¸c˜ao:1.4 Proposi¸c˜ao. As fun¸c˜oes sennπxLe cosnπxLtˆem per´ıodo fundamental igual a2Ln.Prova. De fato, na verdade vale a seguinte afirma¸c˜ao mais geral: para qualquer valor α ∈ R, α ̸= 0,sen αx e cos αx tˆem per´ıodo fundamental igual a2πα.
  18. 18. Rodney Josu´e Biezuner 17Isso pode ser determinado atrav´es do argumento a seguir. Queremos encontrar o menor valor positivo de Tpara o qual valesen α(x + T) = sen αx para todo x ∈ R,ou seja,sen αx cos αT + cos αx sen αT = sen αx para todo x ∈ R.Para determinar αT, o que consequentemente determinar´a T, basta obter os valores de sen αT e cos αT,pois um ˆangulo fica completamente determinado quando se conhece os valores de seu seno e de seu cosseno,a menos de m´ultiplos de 2π. Para isso, observamos que a equa¸c˜ao acima ´e v´alida para qualquer valor de x.Em particular, substituindo o valor x = 0 na express˜ao acima, obtemos (j´a que sen 0 = 0 e cos 0 = 1)sen αT = 0,e conclu´ımos que αT deve ser um m´ultiplo de π. Agora, substituindo o valor x =π2αna express˜ao acima,obtemos (j´a que senπ2= 1 e cosπ2= 0)cos αT = 1.Logo, αT ´e necessariamente um m´ultiplo de 2π. Como queremos o menor valor positivo de T, segue queαT = 2πe, portanto,T =2πα.A mesma conclus˜ao vale para a fun¸c˜ao cos αx, j´a que a fun¸c˜ao cosseno nada mais ´e que a fun¸c˜ao seno defasadaπ/2.1.5 Corol´ario. As fun¸c˜oes sennπxLe cosnπxLtˆem um per´ıodo em comum, igual a 2L.Prova. Como qualquer m´ultiplo inteiro do per´ıodo fundamental ´e um per´ıodo, segue do resultado anteriorque n ·2Ln= 2L ´e um per´ıodo comum para sennπxLe cosnπxL.sin(x)sin(2*x)sin(3*x)1 2 3 4 5 6−1.0−0.50.00.51.0xycos(x)cos(2*x)cos(3*x)1 2 3 4 5 6−1.0−0.50.00.51.0xyFigura 1.3. Gr´aficos de sen nx e cos nx para n = 1, 2, 3 (L = π).
  19. 19. Rodney Josu´e Biezuner 181.1.2 Rela¸c˜oes de OrtogonalidadePara o c´alculo dos coeficientes da s´erie de Fourier de uma fun¸c˜ao (quando existir), as seguintes rela¸c˜oes deortogonalidade entre as fun¸c˜oes sennπxLe cosnπxLdesempenham um papel fundamental:∫ L−LcosnπxLsenmπxLdx = 0 para todos n, m;∫ L−LcosnπxLcosmπxLdx ={L se n = m,0 se n ̸= m;∫ L−LsennπxLsenmπxLdx ={L se n = m,0 se n ̸= m.Estas rela¸c˜oes podem ser obtidas atrav´es de integra¸c˜ao direta e uso das identidades trigonom´etricas. Porexemplo, se n ̸= m, escrevemos∫ L−LsennπxLsenmπxLdx =12∫ L−L[cos(n − m)πxL− cos(n + m)πxL]dx=121π[1n − msen(n − m)πxL−1n + msen(n + m)πxLL−L= 0.Se n = m, escrevemos∫ L−LsennπxLsenmπxLdx =∫ L−L(sennπxL)2dx =12∫ L−L[1 − cos2nπxL]dx=12[x −L2nπsen2nπxLL−L= L.1.1.3 Produto Interno no Espa¸co das Fun¸c˜oes Quadrado-Integr´aveisO nome rela¸c˜oes de ortogonalidade deve-se ao fato de que as express˜oes acima significam que as fun¸c˜oessennπxLe cosnπxLs˜ao ortogonais no espa¸co vetorial das fun¸c˜oes quadrado-integr´aveis definidas no intervalo[−L, L]. De fato, no espa¸coL2([a, b]) ={u : [a, b] −→ R :∫ bau2(x) dx < ∞}das fun¸c˜oes definidas no intervalo [a, b] cujo quadrado ´e integr´avel, podemos definir um produto interno por⟨u, v⟩ =∫ bau(x)v(x) dx.Porque as fun¸c˜oes s˜ao quadrado-integr´aveis, a integral acima est´a bem definida e ´e finita. De fato, comopara quaisquer A, B ∈ R vale a desigualdade 2AB A2+ B2, segue que∫ bau(x)v(x) dx12∫ bau2(x) dx +12∫ bav2(x) dx < ∞.
  20. 20. Rodney Josu´e Biezuner 19Como o ˆangulo entre dois vetores ´e definido por(u, v) = arccos⟨u, v⟩∥u∥ ∥v∥,segue que duas fun¸c˜oes s˜ao ortogonais se∫ bau(x)v(x) dx = 0.1.2 C´alculo dos coeficientes da s´erie de FourierSuponha que possamos expressar uma fun¸c˜ao f : R → R na formaf(x) =a02+∞∑n=1(an cosnπxL+ bn sennπxL), (1.1)ou seja, que a s´erie no lado direito seja convergente e convirja para a fun¸c˜ao f em todo ponto x ∈ R. Olado direito da express˜ao acima ´e chamado a s´erie de Fourier de f. [O motivo de termos escrito a02 aoinv´es de simplesmente a0 ficar´a claro a seguir.] Em particular, f tem que ser peri´odica com per´ıodo 2L,pois este ´e o per´ıodo comum das fun¸c˜oes sennπxLe cosnπxL; portanto, fun¸c˜oes definidas na reta toda quen˜ao satisfazem esta condi¸c˜ao n˜ao possuem s´eries de Fourier. Suponha, al´em disso, que a fun¸c˜ao f sejaintegr´avel no intervalo [−L, L] e que a s´erie do lado direito possa ser integrada termo a termo. Das rela¸c˜oesde ortogonalidade (observando que a fun¸c˜ao identicamente 1 corresponde a cosnπxLpara n = 0) segue que∫ L−Lf(x) dx =a02∫ L−Ldx +∞∑n=1(an∫ L−LcosnπxLdx + bn∫ L−LsennπxLdx)= a0L,dondea0 =1L∫ L−Lf(x) dx. (1.2)Os outros coeficientes tamb´em podem ser obtidos facilmente explorando as rela¸c˜oes de ortogonalidade. Mul-tiplicando ambos os lados da equa¸c˜ao (1.1) por cosnπxLe integrando de −L a L, obtemos∫ L−Lf(x) cosnπxLdx =a02∫ L−LcosnπxLdx +∞∑m=1(am∫ L−LcosmπxLcosnπxLdx + bm∫ L−LsenmπxLcosnπxLdx)= anL,dondean =1L∫ L−Lf(x) cosnπxLdx. (1.3)[Por este motivo escrevemos o termo constante da s´erie de Fourier na forma a02 : deste modo, a f´ormula paraos coeficientes an ´e a mesma, independente se n = 0 ou n ̸= 0.] Analogamente, multiplicando ambos os ladosda equa¸c˜ao (1.1) por sennπxLe integrando de −L a L, obtemosbn =1L∫ L−Lf(x) sennπxLdx. (1.4)
  21. 21. Rodney Josu´e Biezuner 201.6 Exemplo. Admitindo que existe uma s´erie de Fourier que convirja para a fun¸c˜ao abaixo, calcule os seuscoeficientes.f(x) =−x se − L x 0,x se 0 x < L,´e peri´odica de per´ıodo 2L.Solu¸c˜ao. Temosa0 =1L∫ L−Lf(x) dx =1L[−∫ 0−Lx dx +∫ L0x dx]=1L(L22+L22)= L.Os outros coeficientes podem ser calculados atrav´es de integra¸c˜ao por partes. Temosan =1L∫ L−Lf(x) cosnπxLdx =1L[−∫ 0−Lx cosnπxLdx +∫ L0x cosnπxLdx]=1L[(−Lnπx sennπxL0−L+Lnπ∫ 0−LsennπxLdx)+(Lnπx sennπxLL0−Lnπ∫ L0sennπxLdx)]=1L[−L2n2π2cosnπxL0−L+L2n2π2cosnπxLL0]=1L[−L2n2π2+L2n2π2cos nπ +L2n2π2cos nπ −L2n2π2]=2Ln2π2(cos nπ − 1)={0 se n ´e par,−4Ln2π2se n ´e ´ımpar.ebn =1L∫ L−Lf(x) sennπxLdx =1L[−∫ 0−Lx sennπxLdx +∫ L0x sennπxLdx]=1L[(Lnπx cosnπxL0−L−Lnπ∫ 0−LcosnπxLdx)+(−Lnπx cosnπxLL0+Lnπ∫ L0cosnπxLdx)]=1L[L2nπcos nπ −L2n2π2sennπxL0−L−L2nπcos nπ +L2n2π2sennπxLL0]= 0.Portanto,f(x) =L2−4Lπ2∞∑n=11(2n − 1)2cos(2n − 1)πxL.Observe que a s´erie do lado direito ´e convergente em todo ponto x, j´a que os coeficientes diminuem naraz˜ao de1(2n − 1)2, cos(2n − 1)πxL1 e a s´erie∑∞n=11n2 ´e sabidamente convergente.Veja na Figura 1.3 a seguir os gr´aficos das somas parciais da s´erie de Fourier de f desde n = 1 at´en = k para k = 1, 2, 3, 4, 5 e 10. Observe como a convergˆencia ´e bastante r´apida. Para k = 10 a somaparcial da s´erie de Fourier de f ´e virtualmente indistinguivel de f dentro da resolu¸c˜ao utilizada.
  22. 22. Rodney Josu´e Biezuner 21−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 500.20.40.60.811.21.41.61.82k = 1−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 500.20.40.60.811.21.41.61.82k = 2−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 500.20.40.60.811.21.41.61.82k = 3−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 500.20.40.60.811.21.41.61.82k = 4−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 500.20.40.60.811.21.41.61.82k = 5−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 500.20.40.60.811.21.41.61.82k = 10Figura 1.4. Somas parciais da s´erie de Fourier da fun¸c˜ao f.Por outro lado, a convergˆencia ´e mais lenta nas quinas, isto ´e, nos pontos onde f n˜ao ´e diferenci´avel.Para perceber isso melhor, considere x = L = π, de modoπ =π2−4π∞∑n=11(2n − 1)2cos(2n − 1)πouπ28=∞∑n=11(2n − 1)2= 1 +19+125+149+ . . .
  23. 23. Rodney Josu´e Biezuner 22Enquanto que π = 3.1415926536 ´e uma aproxima¸c˜ao para π com 10 casas decimais, temos:8k∑n=11(2n − 1)2=3.141274327 se k = 1000,3.141589470 se k = 100000,3.141592335 se k = 1000000.1.3 Teorema de FourierVamos determinar condi¸c˜oes suficientes para que uma fun¸c˜ao f possua uma s´erie de Fourier e para que estaconvirja para f na maioria dos pontos de seu dom´ınio.Primeiramente, a condi¸c˜ao para que a s´erie de Fourier de f exista (mesmo que ela possa n˜ao convergirpara f em nenhum ponto). Considere uma fun¸c˜ao f : R −→ R peri´odica de per´ıodo 2L e absolutamenteintegr´avel no intervalo [−L, L]. Ent˜ao os coeficientes de Fourier de fan =1L∫ L−Lf(x) cosnπxLdx, n = 0, 1, 2, . . . ,bn =1L∫ L−Lf(x) sennπxLdx, n = 1, 2, . . . ,est˜ao bem definidos, pois∫ L−L|f(x)| dx < ∞e∫ L−Lf(x) cosnπxLdx∫ L−L|f(x)| cosnπxLdx <∫ L−L|f(x)| dx < ∞,∫ L−Lf(x) sennπxLdx∫ L−L|f(x)| sennπxLdx <∫ L−L|f(x)| dx < ∞.Podemos portanto formalmente construir a s´eriea02+∞∑n=1(an cosnπxL+ bn sennπxL).A pr´oxima quest˜ao ´e saber para que pontos x esta s´erie converge e se nestes pontos ela converge para o valorf(x).1.3.1 Fun¸c˜oes Cont´ınuas por Partes1.7 Defini¸c˜ao. Uma fun¸c˜ao real f ´e cont´ınua por partes no intervalo [a, b] se existir um n´umero finitode pontos a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b tais que(i) f ´e cont´ınua em cada subintervalo [xi−1, xi], i = 1, . . . , n;(ii) existem os limites laterais `a esquerda e `a direita nos extremos de cada subintervalo.1.8 Exemplo. a) A fun¸c˜aof(x) =−1 se n < x < n + 1 e n ´e ´ımpar,0 se x = n ∈ Z,1 se n < x < n + 1 e n ´e par.
  24. 24. Rodney Josu´e Biezuner 23´e cont´ınua por partes em qualquer intervalo fechado da reta. Seus pontos de descontinuidade s˜ao ospontos com valores inteiros e os limites laterais nestes pontos s˜ao −1 e 1.−3 −2 −1 1 2 3−1.0−0.50.51.0xyFigura 1.5b) A fun¸c˜aog(x) =1 se x < 0,0 se x = 0,sen1xse x > 0,n˜ao ´e cont´ınua por partes no intervalo [−1, 1] pois n˜ao existe o limite lateral `a direita em x = 0.−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−1.0−0.8−0.6−0.4−0.20.20.40.60.81.0xyFigura 1.6c) Similarmente, a fun¸c˜aoh(x) =1|x|se x < 0,0 se x = 0,1 se x > 0,n˜ao ´e cont´ınua por partes no intervalo [−1, 1], pois n˜ao existe o limite lateral `a esquerda em x = 0.
  25. 25. Rodney Josu´e Biezuner 24−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5246810121416xyFigura 1.71.3.2 O Teorema de Fourier1.9 Teorema. (Teorema de Fourier) Seja f : R −→ R uma fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo 2L, tal que f e f′s˜ao cont´ınuas por partes no intervalo [−L, L]. Ent˜ao a s´erie de Fourier de fa02+∞∑n=1(an cosnπxL+ bn sennπxL)ondean =1L∫ L−Lf(x) cosnπxLdx, n = 0, 1, 2, . . . ,bn =1L∫ L−Lf(x) sennπxLdx, n = 1, 2, . . . ,converge para f(x) se f ´e cont´ınua em x e para a m´edia dos limites lateraisf(x+) + f(x−)2se f ´edescont´ınua em x.Observe que se f ´e cont´ınua em x, ent˜ao a m´edia dos limites laterais de f em x ´e exatamente igual a f(x); oteorema poderia ter sido enunciado em uma forma mais compacta simplesmente afirmando que se f satisfazas condi¸c˜oes do enunciado, ent˜ao a s´erie de Fourier de f converge sempre para a m´edia dos limites lateraisf(x+) + f(x−)2.1.10 Exemplo. a) Definaf(x) ={x2sen1xse x ̸= 0,0 se x = 0.Observe que f ´e cont´ınua (limx→0x2sen1x= 0), mas f′n˜ao ´e cont´ınua por partes, pois apesar da derivadaexistir em x = 0, n˜ao existe nenhum dos limites laterais da derivada em x = 0:f′(x) ={2x sen1x− cos1xse x ̸= 0,0 se x = 0.
  26. 26. Rodney Josu´e Biezuner 25−0.3 −0.2 −0.1 0.1 0.2 0.3−0.05−0.04−0.03−0.02−0.010.010.020.030.040.05xy−0.3 −0.2 −0.1 0.1 0.2 0.3−1.0−0.8−0.6−0.4−0.20.20.40.60.81.0xyFigura 1.8: Gr´aficos de f (acima) e f′(abaixo).b) (Onda quadrada) Defina f : R −→ R porf(x) ={0 se − L < x < 0,L se 0 < x < L,e f peri´odica de per´ıodo 2L. Observe que f satisfaz as hip´oteses do teorema de Fourier, j´a que suaderivada ´e a fun¸c˜ao identicamente nula, exceto nos pontos m´ultiplos de L, onde a derivada n˜ao existe.
  27. 27. Rodney Josu´e Biezuner 26−3 −2 −1 0 1 2 30.51.0xyFigura 1.9: L = 1.Vamos calcular a s´erie de Fourier de f. Temosa0 =1L∫ L−Lf(x) dx =∫ L0dx = L,an =1L∫ L−Lf(x) cosnπxLdx =∫ L0cosnπxLdx =LnπsennπxLL0= 0,bn =1L∫ L−Lf(x) sennπxLdx =∫ L0sennπxLdx = −LnπcosnπxLL0=Lnπ(1 − cos nπ)={0 se n ´e par,2Lnπse n ´e ´ımpar.Portanto,f(x) =L2+2Lπ∞∑n=112n − 1sen(2n − 1)πxL.−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5123xyFigura 1.10: Gr´afico das somas parciais desde n = 1 at´e n = k para k = 1, 2, 3, 4, 5 (L = π).
  28. 28. Rodney Josu´e Biezuner 27−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5123xyFigura 1.11: Gr´afico da soma parcial desde n = 1 at´e n = 10 (L = π).Para os valores de descontinuidade (x = kL, k ∈ Z), os senos se anulam e a s´erie de Fourier de f temvalor igual a L/2, exatamente a m´edia dos limites laterais nestes pontos. Nos demais pontos, a s´eriede Fourier converge para f, mas com uma convergˆencia lenta, j´a que os seus coeficientes s˜ao da ordemde 1/(2n − 1).c) (Onda triangular) Defina g : R −→ R porg(x) ={−x se − L x < 0,x se 0 x < L,e g peri´odica de per´ıodo 2L. Observe que g ´e cont´ınua e diferenci´avel por partes (isto ´e, g′´e cont´ınuapor partes), logo a s´erie de Fourier de g converge para g em todo ponto. A s´erie de Fourier de g foicalculada no Exemplo 1.6.1.4 S´eries de Fourier de Fun¸c˜oes Pares e ´Impares1.4.1 Fun¸c˜oes Pares e ´ImparesFun¸c˜oes pares e fun¸c˜oes ´ımpares tˆem s´eries de Fourier mais simples que as de outras fun¸c˜oes.1.11 Defini¸c˜ao. Uma fun¸c˜ao real f : R −→ R ´e par se f(−x) = f(x); f ´e ´ımpar se f(−x) = −f(x).1.12 Exemplo. a) As fun¸c˜oes constantes, |x|, x2, x4, x2ne cosnπxLpara qualquer n ∈ N, ex2, s˜ao fun¸c˜oespares.b) As fun¸c˜oes x, x3, x2n+1e sennπxLpara qualquer n ∈ N, s˜ao fun¸c˜oes ´ımpares.c) As fun¸c˜oes ex, x2+ x + 1 n˜ao s˜ao nem pares, nem ´ımpares.1.13 Proposi¸c˜ao. (Propriedades elementares das fun¸c˜oes pares e ´ımpares)(i) A soma de duas fun¸c˜oes pares ´e uma fun¸c˜ao par; a soma de duas fun¸c˜oes ´ımpares ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar.(ii) A soma de uma fun¸c˜ao par e uma fun¸c˜ao ´ımpar n˜ao ´e par, nem ´ımpar (a n˜ao ser que uma delas seja afun¸c˜ao nula).(iii) O produto de duas fun¸c˜oes pares ´e uma fun¸c˜ao par; o produto de duas fun¸c˜oes ´ımpares ´e uma fun¸c˜aopar.
  29. 29. Rodney Josu´e Biezuner 28(iv) O produto de uma fun¸c˜ao par e uma fun¸c˜oes ´ımpar ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar.Prova: A verifica¸c˜ao destas propriedades ´e muito f´acil: por exemplo, se f e g s˜ao ´ımpares, ent˜ao(f + g)(−x) = f(−x) + g(−x) = −f(x) + (−g(x)) = −(f + g)(x),(fg)(−x) = f(−x)g(−x) = (−f(x))(−g(x)) = f(x)g(x) = (fg)(x).As demais propriedades s˜ao deixadas para o leitor verificar.1.14 Proposi¸c˜ao. (Integra¸c˜ao de fun¸c˜oes pares e ´ımpares)(a) Seja f : R −→ R uma fun¸c˜ao par, integr´avel em qualquer intervalo limitado. Ent˜ao, para todo L ∈ Rvale ∫ L−Lf(x) dx = 2∫ L0f(x) dx.(b) Seja f : R −→ R uma fun¸c˜ao ´ımpar, integr´avel em qualquer intervalo limitado. Ent˜ao, para todo L ∈ Rvale ∫ L−Lf(x) dx = 0.Prova: Temos ∫ L−Lf(x) dx =∫ 0−Lf(x) dx +∫ L0f(x) dx.Fazendo a mudan¸ca de vari´avel t = −x na primeira integral, se f for par temos∫ L−Lf(x) dx =∫ 0Lf(−t) (−dt) +∫ L0f(x) dx = −∫ 0Lf(t) dt +∫ L0f(x) dx=∫ L0f(t) dt +∫ L0f(x) dx = 2∫ L0f(x) dx,e se f for ´ımpar temos∫ L−Lf(x) dx =∫ 0Lf(−t) (−dt) +∫ L0f(x) dx =∫ 0Lf(t) dt +∫ L0f(x) dx= −∫ L0f(t) dt +∫ L0f(x) dx = 0.Como conseq¨uˆencia destas duas proposi¸c˜oes, obtemos que a s´erie de Fourier para uma fun¸c˜ao par ´e umas´erie de cossenos, enquanto que a s´erie de Fourier para uma fun¸c˜ao ´ımpar ´e uma s´erie de senos:1.15 Proposi¸c˜ao. (S´eries de Fourier de fun¸c˜oes pares e ´ımpares)(a) Seja f : R −→ R uma fun¸c˜ao par que satisfaz as hip´oteses do Teorema de Fourier. Ent˜ao,an =2L∫ L0f(x) cosnπxLdx, n = 0, 1, 2, . . . ,bn = 0 para todo n,logof(x) =a02+∞∑n=1an cosnπxL.
  30. 30. Rodney Josu´e Biezuner 29(b) Seja f : R −→ R uma fun¸c˜ao ´ımpar que satisfaz as hip´oteses do Teorema de Fourier. Ent˜ao,an = 0 para todo n,bn =2L∫ L0f(x) sennπxLdx, n = 1, 2, . . . ,logof(x) =∞∑n=1bn sennπxL.1.16 Exemplo. (Onda em dente de serra) Considere a fun¸c˜ao f(x) = x, se −L < x < L, f(−L) = f(L) =0, peri´odica de per´ıodo 2L.−3 −2 −1 1 2 3−1.0−0.8−0.6−0.4−0.20.20.40.60.81.0xyFigura 1.12Como f ´e ´ımpar, temos an = 0 ebn =2L∫ L0f(x) sennπxLdx =2L∫ L0x sennπxLdx =2L[−Lnπx cosnπxLL0+Lnπ∫ L0cosnπxLdx]=2nπ[−L cos nπ +LnπsennπxLL0]= −2Lnπcos nπ=2Lnπ(−1)n+1,logo a s´erie de Fourier de f ´e a s´erie de senosf(x) =2Lπ∞∑n=1(−1)n+1nsennπxL.
  31. 31. Rodney Josu´e Biezuner 30−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5−3−2−1123xyFigura 1.13: Gr´afico das somas parciais desde n = 1 at´e n = k para k = 1, 2, 3, 4, 5 (L = π).−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5−3−2−1123xyFigura 1.14: Gr´afico da soma parcial desde n = 1 at´e n = 10 (L = π).1.4.2 Extens˜oes Peri´odicas Pares e ´Impares de Fun¸c˜oes Definidas em IntervalosDada uma fun¸c˜ao f : [0, L] −→ R definida em um intervalo fechado, diferenci´avel por partes, podemos obterv´arias s´eries de Fourier diferentes para f. De fato, para obter uma s´erie de Fourier para f, precisamosextender f a uma fun¸c˜ao definida na reta toda e que seja peri´odica, de per´ıodo 2L. No entanto, estaextens˜ao pode ser realizada de uma infinidade de maneiras diferentes, desde que a fun¸c˜ao resultante satisfa¸caas hip´oteses do Teorema de Fourier. As extens˜oes mais utilizadas na pr´atica s˜ao as extens˜oes de f a umafun¸c˜ao par, de modo que a s´erie de Fourier de f ´e uma s´erie exclusivamente de cossenos, e de f a uma fun¸c˜ao´ımpar, de modo que a s´erie de Fourier de f ´e uma s´erie exclusivamente de senos. Qual delas ´e escolhidadepende da aplica¸c˜ao pr´atica que se tem em mente, como veremos mais tarde, embora `as vezes a escolhatamb´em ´e ditada pela diferen¸ca da velocidade de convergˆencia entre as s´eries obtidas (veja o exemplo aseguir).1. Extens˜ao peri´odica par de f:Defina f(x) = f(−x) para x ∈ [−L, 0] e declare f peri´odica de per´ıodo 2L.
  32. 32. Rodney Josu´e Biezuner 31−4 −3 −2 −1 1 2 3 4−2020406080100xyFigura 1.15: Extens˜ao par.2. Extens˜ao peri´odica ´ımpar de f:Defina f(x) = −f(−x) para x ∈ [−L, 0) e declare f peri´odica de per´ıodo 2L.−4 −3 −2 −1 1 2 3 4−100−80−60−40−2020406080100xyFigura 1.16: Extens˜ao ´ımpar.1.17 Exemplo. Considere a fun¸c˜ao f(x) = x se 0 x L. Se tomarmos a extens˜ao peri´odica par de f,obteremos a fun¸c˜aof(x) ={−x se − L x < 0,x se 0 x < L,f(x) = f(x + 2L),que ´e a onda triangular, cuja s´erie de Fourier ´e a s´erie de cossenos que j´a obtivemos anteriormente:f(x) =L2−4Lπ2∞∑n=11(2n − 1)2cos(2n − 1)πxL.Por outro lado, se tomarmos a extens˜ao peri´odica ´ımpar de f (redefinindo f(L) = 0), obteremos afun¸c˜aof(x) = x se − L < x < L,f(x) = f(x + 2L), f(−L) = f(L) = 0,
  33. 33. Rodney Josu´e Biezuner 32que ´e a onda em dente de serra, cuja s´erie de Fourier ´e a s´erie de senos calculada acima:f(x) =2Lπ∞∑n=1(−1)n+1nsennπxL.Os coeficientes de Fourier da s´erie de cossenos de f decrescem na ordem de1n2, enquanto que oscoeficientes de Fourier da s´erie de senos de f decrescem na ordem de1n. Portanto, a convergˆencia daexpans˜ao em cossenos de f ´e muito mais r´apida do que a convergˆencia da expans˜ao em senos de f. Issose deve ao fato de que a extens˜ao de f a uma fun¸c˜ao par ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua na reta toda, enquantoque a extens˜ao de f a uma fun¸c˜ao ´ımpar ´e uma fun¸c˜ao que possui descontinuidades nos pontos daforma x = 2kL, k ∈ Z. Em geral, como veremos na se¸c˜ao a seguir, quanto maior a regularidade de f,mais r´apida ´e a convergˆencia da sua s´erie de Fourier.1.5 Estimativa dos Coeficientes de FourierA rapidez da convergˆencia da s´erie de Fourier depende dos coeficientes de Fourier. Seja f peri´odica deper´ıodo 2L. Suponha que1. f ´e absolutamente integr´avel em [−L, L].Neste caso, podemos obter a seguinte estimativa simples para os coeficientes de Fourier:|an| =1L∫ L−Lf(x) cosnπxLdx1L∫ L−L|f(x)| cosnπxLdx1L∫ L−L|f(x)| dx,|bn| =1L∫ L−Lf(x) sennπxLdx1L∫ L−L|f(x)| sennπxLdx1L∫ L−L|f(x)| dx.Definindo a constanteM0 =1L∫ L−L|f(x)| dx,obtemos portanto as seguintes estimativas para os coeficientes de Fourier:|an| , |bn| M0 para todo n. (1.5)Como a fun¸c˜ao ´e apenas integr´avel, tudo o que conseguimos obter ´e que os coeficientes de Fourier s˜aolimitados. A s´erie de Fourier pode nem mesmo convergir. Suponha agora que2. f ´e cont´ınua e sua derivada f′´e absolutamente integr´avel em [−L, L].Desta vez podemos integrar por partes para obteran =1L∫ L−Lf(x) cosnπxLdx =1nπf(x) sennπxLL−L−1nπ∫ L−Lf′(x) sennπxLdxde modo quean = −1nπ∫ L−Lf′(x) sennπxLdx. (1.6)Analogamente,bn =1L∫ L−Lf(x) sennπxLdx = −1nπf(x) cosnπxLL−L+1nπ∫ L−Lf′(x) cosnπxLdx= −1nπ(f(L) cos nπ − f(−L) cos(−nπ)) +1nπ∫ L−Lf′(x) cosnπxLdx
  34. 34. Rodney Josu´e Biezuner 33de modo quebn =1nπ∫ L−Lf′(x) cosnπxLdx. (1.7)Denotando os coeficientes de Fourier da derivada f′de f pora′n =1L∫ L−Lf′(x) cosnπxLdx,b′n =1L∫ L−Lf′(x) sennπxLdx,segue quean = −Lnπb′n, (1.8)bn =Lnπa′n.Como j´a vimos antes (no passo 1), temos que|a′n| , |b′n| M1 para todo n, (1.9)ondeM1 =1L∫ L−L|f′(x)| dx. (1.10)Portanto, se M1 =LπM1, segue que|an| , |bn|M1npara todo n ̸= 0. (1.11)Desta vez, com as hip´oteses adicionais sobre f (f mais regular, mais suave), obtivemos que os coeficientesde Fourier convergem para zero quando n tende a infinito. Isso ainda n˜ao assegura que a s´erie de Fourierconverge, ´e claro. Suponha agora que3. f e f′s˜ao cont´ınuas e a derivada segunda f′′´e absolutamente integr´avel em [−L, L].Usando o passo 2 acima, temosa′n = −Lnπb′′n,b′n =Lnπa′′n,dondean = −Lnπb′n = −Lnπ(Lnπa′′n)= −Ln2π2a′′n, (1.12)bn =Lnπa′n =Lnπ(−Lnπb′′n)= −Ln2π2b′′n.Do passo 1, temos que|a′′n| , |b′′n| M2 para todo n ̸= 0, (1.13)ondeM2 =1L∫ L−L|f′′(x)| dx. (1.14)
  35. 35. Rodney Josu´e Biezuner 34Portanto, se M2 =L2π2M2, segue que|an| , |bn|M2n2para todo n ̸= 0. (1.15)Nestas condi¸c˜oes, sem usar o Teorema de Fourier conclu´ımos pelo teste da compara¸c˜ao que a s´erie de Fourierconverge, pois a s´erie∞∑n=11n2´e convergente (mas ´e claro que isso n˜ao permite concluir que a s´erie de Fourierconverge para f). Al´em disso, a velocidade de convergˆencia ´e relativamente r´apida, de ordem quadr´atica.Procedendo por indu¸c˜ao, vemos que quanto mais regular ou suave f for, mais rapidamente os coeficientesde Fourier convergem para zero e, consequentemente, maior ser´a a velocidade de convergˆencia da s´erie deFourier.Os c´alculos acima mostram tamb´em que ´e poss´ıvel calcular os coeficientes de Fourier das derivadas deuma fun¸c˜ao a partir dos coeficientes de Fourier da pr´opria fun¸c˜ao.Todos estes resultados s˜ao resumidos no teorema a seguir:1.18 Teorema. (Coeficientes de Fourier das derivadas de uma fun¸c˜ao) Seja f : R −→ R uma fun¸c˜aoperi´odica de per´ıodo 2L, k vezes diferenci´avel, tal que f, f′, f′′, ..., f(k−1)s˜ao cont´ınuas em R e f(k)´eabsolutamente integr´avel em [−L, L]. Ent˜ao, se a(j)n , b(j)n denotam os coeficientes de Fourier de f(j),temos para 2 j ka′n =nπLbn b′n = −nπLana′′n = −n2π2L2an b′′n = −n2π2L2bna′′′n = −n3π3L3bn, b′′′n =n3π3L3an,a(4)n =n4π4L4an, b(4)n =n4π4L4bn,......a(j)n =σjnjπjLjan se n ´e par,σjnjπjLjbn se n ´e ´ımpar,b(j)n =σj+1njπjLjbn se n ´e par,σj+1njπjLjan se n ´e ´ımpar,ondeσj ={1 se j = 0 mod 4 ou j = 1 mod 4,−1 se j = 2 mod 4 ou j = 3 mod 4.Al´em disso, existe uma constante Mk > 0 tal que|an| , |bn|Mknkpara todo n ̸= 0.Prova: Dos resultados que obtivemos acima segue quean = −1nπ∫ L−Lf′(x) sennπxLdx = −Lnπ1L∫ L−Lf′(x) sennπxLdx = −Lnπb′n,bn =1nπ∫ L−Lf′(x) cosnπxLdx =Lnπ1L∫ L−Lf′(x) cosnπxLdx =Lnπa′n.
  36. 36. Rodney Josu´e Biezuner 35dondea′n =nπLbn e b′n = −nπLan.O resultado geral segue por indu¸c˜ao:a′′n =nπLb′n =nπL(−nπLan)= −n2π2L2an,b′′n = −nπLa′n = −nπL(nπLbn)= −n2π2L2bn,a′′′n =nπLb′′n =nπL(−n2π2L2bn)= −n3π3L3bn,b′′′n = −nπLa′′n = −nπL(−n2π2L2an)=n3π3L3an,a(4)n =nπLb′′′n =nπL(n3π3L3an)=n4π4L4an,b(4)n = −nπLa′′′n = −nπL(−n3π3L3bn)=n4π4L4bn,a(5)n =nπLb(4)n =nπL(n4π4L4bn)=n5π5L5bn,b(5)n = −nπLa(4)n = −nπL(n4π4L4an)= −n5π5L5bn,e assim por diante.A constante Mk ´e dada porMk =Lkπk(1L∫ L−Lf(k)(x) dx).1.6 Diferencia¸c˜ao e Integra¸c˜ao Termo a Termo da S´erie de FourierQuando formos resolver equa¸c˜oes diferenciais parciais atrav´es de s´eries de Fourier, ser´a importante poderdiferenciar as s´eries de Fourier termo a termo (por exemplo, para calcular uxx para o candidato `a solu¸c˜ao daequa¸c˜ao do calor obtida na Introdu¸c˜ao), portanto ´e necess´ario saber em que condi¸c˜oes isso pode ser feito:1.19 Teorema. (Diferencia¸c˜ao Termo a Termo da S´erie de Fourier) Seja f : R −→ R uma fun¸c˜ao peri´odicade per´ıodo 2L, tal que f ´e cont´ınua em R e f′e f′′s˜ao cont´ınuas por partes, de modo que vale oTeorema de Fourier e a s´erie de Fourier de f ´e dada porf(x) =a02+∞∑n=1(an cosnπxL+ bn sennπxL).Ent˜ao a s´erie de Fourier de f′´e a s´erie obtida derivando termo a termo a s´erie de Fourier de f:f′(x) =∞∑n=1(−nπLan sennπxL+nπLbn cosnπxL).Prova: Pelo Teorema de Fourier, sabemos que f′possui uma s´erie de Fourier que converge para f′nospontos de continuidade de f′e para a m´edia dos limites laterais de f′nos pontos de descontinuidade:f′(x) =A02+∞∑n=1(An cosnπxL+ Bn sennπxL).
  37. 37. Rodney Josu´e Biezuner 36Para provar este teorema, basta provar queA0 = 0,An =nπLbn,Bn = −nπLan.TemosA0 =1L∫ L−Lf′(x) dx =1L(f(L) − f(−L)) = 0porque f tem per´ıodo 2L, logo f(L) = f(−L). Assumindo, para simplificar a demonstra¸c˜ao, que f′´econt´ınua, podemos integrar por partes para obter os outros coeficientes:An =1L∫ L−Lf′(x) cosnπxLdx =1L[Lnπf(x) cosnπxLL−L+Lnπ∫ L−Lf(x) sennπxLdx]=Lnπ[1L(f(L) cos nπ − f(−L) cos(−nπ)) +1L∫ L−Lf(x) sennπxLdx]=Lnπbn.Bn =1L∫ L−Lf′(x) sennπxLdx =1L[Lnπf(x) sennπxLL−L−Lnπ∫ L−Lf(x) cosnπxLdx]= −Lnπ[1L∫ L−Lf(x) cosnπxLdx]= −Lnπan.1.20 Exemplo. Se f ´e descont´ınua, ent˜ao a conclus˜ao deste teorema falha: mesmo que f possua uma s´eriede Fourier que converge para f em seus pontos de continuidade, n˜ao podemos derivar a s´erie de Fourierde f termo a termo para encontrar a s´erie de Fourier de f′. Por exemplo, se f : R −→ R ´e a onda emdente de serra, isto ´e, a fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo 2L definida no intervalo fechado [−L, L] porf(x) ={x se − L < x < L,0 se x = L, −L,ent˜ao a s´erie de Fourier de f ´e a s´erie de senos dada porf(x) =2Lπ∞∑n=1(−1)n+1nsennπxL,como vimos anteriormente. Como f′satisfaz tamb´em as hip´oteses do Teorema de Fourier, sabemosque f′tamb´em possui uma s´erie de Fourier que converge para f′nos pontos de continuidade e para am´edia dos limites laterais nos pontos de descontinuidade. No entanto, como f n˜ao ´e cont´ınua, ocorreque esta s´erie de Fourier n˜ao pode ser obtida atrav´es da deriva¸c˜ao termo a termo da s´erie de Fourierde f. De fato, a derivada termo a termo da s´erie de Fourier de f2∞∑n=1(−1)n+1cosnπxL
  38. 38. Rodney Josu´e Biezuner 37n˜ao ´e nem mesmo uma s´erie convergente em nenhum ponto, divergindo tanto nos pontos de descon-tinuidade como em pontos de continuidade de f. Por exemplo, no ponto x = 0, a s´erie ´e2∞∑n=1(−1)n+1= 2(1 − 1 + 1 − 1 + ...)que oscila entre os valores 2 e 0, enquanto que no ponto x = L, a s´erie ´e2∞∑n=1(−1)n+1= 2(−1 + 1 − 1 + 1 − ...)que oscila entre os valores −2 e 0. Em geral, a s´erie diverge em qualquer ponto porquelimn→∞cos nx ̸= 0para todo x ∈ R. Para provar isso, suponha por absurdo que limn→∞cos nx = 0 para algum x. Issoimplica evidentemente que limn→∞cos2nx = 0 tamb´em, pois limn→∞cos2nx =(limn→∞cos nx)2. Tamb´emsegue que limn→∞cos 2nx = 0, pois {cos 2nx} ´e uma subseq¨uˆencia de {cos nx}. Mas ent˜ao, tomando olimite quando n → ∞ em ambos os lados da identidade trigonom´etricacos2nx =1 + cos 2nx2,obteremos o absurdo 0 = 1/2. Isso prova que limn→∞cos nx ̸= 0 para todo x ∈ R e portanto a s´eriediverge em todos os pontos.Podemos calcular a s´erie de Fourier de f′diretamente a partir da defini¸c˜ao de f′: temos que f′(x) = 1se −L < x < L, f′n˜ao est´a definida nos pontos m´ultiplos de L (mas podemos redefinir nestes pontoscomo valendo 1) e ´e peri´odica de per´ıodo 2L, logo seus coeficientes de Fourier (note que f′´e par) s˜aoa0 =1L∫ 2L0f(x) dx =1L∫ 2L0dx = 2,an =1L∫ 2L0cosnπxLdx = 0,bn = 0,e sua s´erie de Fourier ´e, portanto,f′(x) ≡ 1.Poder´ıamos ter chegado a este resultado imediatamente, sem precisar de calcular os coeficientes deFourier de f′, porque a s´erie de Fourier de uma fun¸c˜ao definida na reta ´e ´unica.No caso da quest˜ao de se ´e permitido integrar termo a termo a s´erie de Fourier de f, as hip´oteses sobref para que isso seja poss´ıvel s˜ao muito mais fracas. Podemos integrar a s´erie de Fourier de f termo a termopara obter a integral de f mesmo quando a s´erie de Fourier de f n˜ao converge uniformemente para f. De fato,podemos integrar a s´erie de Fourier de f mesmo quando a s´erie de Fourier de f n˜ao converge pontualmentepara f, e mesmo quando ela n˜ao ´e uma s´erie convergente! Para mostrarmos isso, necessitaremos do seguinteresultado elementar:1.21 Proposi¸c˜ao. Seja f : R −→ R uma fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo T. Ent˜ao, para qualquer a ∈ R vale∫ T0f(x) dx =∫ a+Taf(x) dx.
  39. 39. Rodney Josu´e Biezuner 38Prova: Definindo uma fun¸c˜ao F : R −→ R porF(a) =∫ a+Taf(x) dx,basta provar que F ´e constante. Para isso, mostraremos que F′≡ 0. De fato, escrevendoF(a) =∫ 0af(x) dx +∫ a+T0f(x) dx = −∫ a0f(x) dx +∫ a+T0f(x) dxsegue do teorema fundamental do c´alculo queF′(a) = −f(a) + f(a + T) = 0.Em outras palavras, este resultado diz que a integral de uma fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo T tem o mesmovalor em qualquer intervalo de comprimento T.1.22 Teorema. (Integra¸c˜ao Termo a Termo da S´erie de Fourier) Seja f : R −→ R uma fun¸c˜ao peri´odica deper´ıodo 2L, tal que f ´e cont´ınua por partes. Ent˜ao, mesmo se a s´erie de Fourier de fa02+∞∑n=1(an cosnπxL+ bn sennπxL)n˜ao for convergente, ainda assim temos∫ t0f(x) dx =a02t +Lπ∞∑n=1[annsennπtL−bnn(cosnπtL− 1)]para todo t ∈ R.Prova: DefinaF(t) =∫ t0[f(x) −a02]dx.Observe que F satisfaz as hip´oteses do Teorema de Fourier. De fato, F ´e peri´odica de per´ıodo 2L, poisF(t + 2L) =∫ t+2L0[f(x) −a02]dx =∫ t0[f(x) −a02]dx +∫ t+2Lt[f(x) −a02]dx= F(t) +∫ t+2Lt[f(x) −a02]dxe∫ t+2Lt[f(x) −a02]dx =∫ t+2Ltf(x) dx −a02∫ t+2Ltdx =∫ t+2Ltf(x) dx −12(1L∫ L−Lf(x) dx)2L=∫ L−Lf(x) dx −∫ L−Lf(x) dx = 0.Al´em disso, F ´e cont´ınua na reta toda, pois ´e a integral de uma fun¸c˜ao cont´ınua por partes, e F′= f ´econt´ınua por partes, por hip´otese. Portanto, F possui uma s´erie de Fourier que converge para F em todoponto:F(t) =A02+∞∑n=1(An cosnπtL+ Bn sennπtL).
  40. 40. Rodney Josu´e Biezuner 39Calculando os coeficientes da s´erie de Fourier de F, atrav´es de integra¸c˜ao por partes obtemosAn =1L∫ L−LF(t) cosnπtLdt =1L[LnπF(t) sennπtLL−L−Lnπ∫ L−LF′(t) sennπtLdt]= −1nπ[∫ L−L(f(t) −a02)sennπxLdt]= −1nπ[Lbn −a02∫ L−LsennπxLdt]= −Lnπbn,Bn =1L∫ L−LF(t) sennπtLdt =1L[−LnπF(t) cosnπtLL−L+Lnπ∫ L−LF′(t) cosnπtLdt]=1nπ[∫ L−L(f(t) −a02)cosnπxLdt]=1nπ[Lan −a02∫ L−LcosnπxLdt]=Lnπan.Falta calcular A0. Para isso, notamos que da defini¸c˜ao de F segue que F(0) = 0, logoA02= −∞∑n=1An =Lπ∞∑n=1bnn.Assim,∫ t0[f(x) −a02]dx =Lπ∞∑n=1bnn,donde∫ t0f(x) dx =∫ t0a02dx +Lπ∞∑n=1bnn+Lπ∞∑n=1(−bnncosnπtL+annsennπtL)=a02t +Lπ∞∑n=1[annsennπtL−bnn(cosnπtL− 1)].
  41. 41. Cap´ıtulo 2Equa¸c˜ao do Calor Unidimensional2.1 Condi¸c˜ao de Dirichlet homogˆenea: extremidades mantidas `atemperatura zeroDe acordo com o modelo matem´atico que obtivemos na Introdu¸c˜ao para a condu¸c˜ao do calor em umabarra homogˆenea de comprimento L, cuja superf´ıcie lateral ´e isolada termicamente e cujas extremidades s˜aomantidas `a temperatura inicial 0, a distribui¸c˜ao de temperaturas u(x, t) em um ponto x da barra no instantede tempo t ´e a solu¸c˜ao do problema de valor de fronteiraut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,u(0, t) = u(L, t) = 0 se t 0,u(x, 0) = f(x) se 0 x L,(2.1)onde K ´e uma constante positiva e f : [0, L] → R ´e uma fun¸c˜ao dada.Em outras palavras, a distribui¸c˜ao de temperaturas na barra de acordo com o tempo ´e governada poruma equa¸c˜ao diferencial parcial, chamada a equa¸c˜ao do calor. Neste caso, a equa¸c˜ao diferencial parcial est´adefinida na regi˜ao aberta R = {(x, t) ∈ R2: 0 < x < L e t > 0} = (0, L) × (0, +∞), que ´e uma regi˜aoilimitada (uma faixa retangular ilimitada). Na fronteira (isto ´e, bordo ou contorno) desta regi˜ao, que ´econstitu´ıda pelo segmento de reta [0, L] × {0} e pelos raios {0} × [0, +∞) e {L} × [0, +∞), o valor de u(x, t)est´a fixado; este tipo de condi¸c˜ao de fronteira, em que o valor da solu¸c˜ao u ´e fixado na fronteira, ´e chamadauma condi¸c˜ao de Dirichlet, como vimos.Atrav´es do m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis e um argumento indutivo, chegamos ao seguinte candidatoa uma solu¸c˜ao deste problema:u(x, t) =∞∑n=1cne− n2π2L2 KtsennπxL, (2.2)onde os coeficientes cn s˜ao escolhidos de tal forma que podemos escrever a distribui¸c˜ao inicial de temperaturasf na s´erie de senosf(x) =∞∑n=1cn sennπxL.Pelo Teorema de Fourier, ser´a sempre poss´ıvel escrever f desta forma se f e sua derivada f′forem cont´ınuaspor partes; neste caso os coeficientes cn s˜ao exatamente os coeficientes de Fourier da extens˜ao peri´odica´ımpar de f:cn =2L∫ L0f(x) sennπxLdx.40
  42. 42. Rodney Josu´e Biezuner 41´E necess´ario provar que o nosso candidato `a solu¸c˜ao u definido em (2.2) ´e de fato uma solu¸c˜ao para oproblema de Dirichlet (2.1). Para isso precisamos definir mais precisamente o conceito de solu¸c˜ao. Talvezsurpreendentemente, a defini¸c˜ao deste conceito depende fortemente do tipo de aplica¸c˜ao que se tem emmente, ou seja, do tipo de resposta que se espera do modelo matem´atico. Por exemplo, a fun¸c˜aou(x, t) =f(x) se 0 x L e t = 0,0 se x = 0, L e t > 0,1000 se 0 < x < L e t > 0,satisfaz todas as condi¸c˜oes do problema (2.1), mas em princ´ıpio n˜ao parece ser uma solu¸c˜ao fisicamenteaceit´avel, pois os valores da fun¸c˜ao no interior da faixa retangular n˜ao tem qualquer rela¸c˜ao com os valoresna fronteira. Em geral, esperamos que a distribui¸c˜ao de temperaturas na barra varie de maneira cont´ınua como tempo, a partir da distribui¸c˜ao de temperaturas inicial, e que em qualquer instante de tempo considerado adistribui¸c˜ao de temperaturas ao longo da barra tamb´em seja cont´ınua e em particular que n˜ao haja um saltodescont´ınuo na temperatura da barra em seus extremos. Estas considera¸c˜oes levariam `a seguinte defini¸c˜aode solu¸c˜ao para o problema (2.1):Dizemos que uma fun¸c˜ao u : R → R ´e uma solu¸c˜ao de (2.1),se u ∈ C0(R), u ∈ C2(R) e u satisfaz todas as condi¸c˜oes de (2.1).R denota a regi˜ao fechada R = {(x, t) ∈ R2: 0 x L e t 0} = [0, L] × [0, +∞). Em particular, estadefini¸c˜ao exige que a distribui¸c˜ao inicial de temperaturas seja cont´ınua e que f(0) = f(L) = 0 (note que,como consequˆencia destes dois fatos, a extens˜ao peri´odica ´ımpar de f tamb´em ser´a uma fun¸c˜ao cont´ınua).No entanto, esta condi¸c˜ao sobre f pode ser uma restri¸c˜ao muito grande em certos problemas f´ısicos e n˜aocorresponder `a realidade observada. Um exemplo de uma situa¸c˜ao f´ısica em que isso n˜ao ocorre ´e quandoconsideramos duas barras homogˆeneas formadas de um mesmo material, inicialmente isoladas uma da outra(e do meio ambiente) e mantidas a temperaturas constantes mas diferentes (por exemplo, uma ´e mantida`a temperatura constante de 0◦C, enquanto que a outra ´e mantida `a temperatura constante de 100◦C); seelas forem colocadas imediatamente uma em contato com a outra atrav´es de uma de suas extremidades,ent˜ao temos um sistema que na pr´atica ´e uma ´unica barra com uma distribui¸c˜ao inicial de temperaturasdada por uma fun¸c˜ao descont´ınua (por´em cont´ınua por partes). Por outro lado, n˜ao ´e razo´avel que a solu¸c˜aou(x, t) esteja totalmente desconectada da distribui¸c˜ao de temperaturas inicial. Para evitar este problema,utilizaremos a seguinte defini¸c˜ao de solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao do calor:2.1 Defini¸c˜ao. Dizemos que uma fun¸c˜ao u : R → R ´e uma solu¸c˜ao de (2.1), se u ´e cont´ınua emR={(x, t) ∈ R2: 0 x L e t > 0}, u ∈ C2(R), limt→0u(x, t) = f(x) se f ´e cont´ınua em x, e u satisfaztodas as condi¸c˜oes de (2.1).Estas s˜ao condi¸c˜oes que a solu¸c˜ao do problema de valor de fronteira deve satisfazer. O pr´oprio problema devalor de fronteira deve ainda satisfazer duas condi¸c˜oes importantes para que ele seja considerado um modelomatem´atico v´alido para o problema f´ısico em quest˜ao: ele deve possuir uma ´unica solu¸c˜ao e esta ´unicasolu¸c˜ao deve ser est´avel. De fato, esperamos que se um problema f´ısico foi bem compreendido, com todasas vari´aveis levadas em considera¸c˜ao, ele deva ter uma ´unica solu¸c˜ao (se estivermos estudando um fenˆomenodetermin´ıstico); se o correspondente modelo matem´atico possuir mais de uma solu¸c˜ao, ´e sinal de que ele aindan˜ao ´e um modelo matem´atico correto para o problema em quest˜ao e que s˜ao necess´arias hip´oteses adicionaispara limitar o n´umero de solu¸c˜oes a uma ´unica solu¸c˜ao. Da mesma forma, na medi¸c˜ao experimental defenˆomenos f´ısicos, esperamos um certo grau de incerteza e que as medidas obtidas sejam apenas aproxima¸c˜oes.Por exemplo, a medi¸c˜ao da temperatura inicial da barra ´e uma aproxima¸c˜ao e certamente deve conter erros;analogamente, n˜ao ´e razo´avel esperar que as temperaturas nas extremidades da barra possam ser mantidaso tempo todo na temperatura exata 0. Consequentemente, a solu¸c˜ao do modelo matem´atico ´e apenas umaaproxima¸c˜ao da solu¸c˜ao real. Para que ela seja uma boa aproxima¸c˜ao deveremos requerer que a solu¸c˜aodependa continuamente das condi¸c˜oes de fronteira, isto ´e, pequenas mudan¸cas nas condi¸c˜oes de fronteira,acarretam apenas pequenas mudan¸cas na solu¸c˜ao. Um problema que satisfaz todas estas condi¸c˜oes, isto ´e,possui uma solu¸c˜ao ´unica est´avel, ´e chamado um problema bem-posto no sentido de Hadamard.
  43. 43. Rodney Josu´e Biezuner 422.2 Exemplo. Considere o problema de Dirichlet (condu¸c˜ao do calor em uma barra infinita, [Rothe, 1928]):{ut = Kuxx se − ∞ < x < ∞ e t > 0,u(x, 1) = f(x) se − ∞ < x < ∞.Este n˜ao ´e um problema bem-posto no sentido de Hadamard. De fato, se f ≡ 0, ent˜ao u ≡ 0 ´e a ´unicasolu¸c˜ao. Por´em, se c > 0 ef(x) = c senxc√K,ent˜ao a solu¸c˜ao ´eu(x, t) = ce1−tc2senxc√K.Embora, se escolhermos a constante positiva c suficientemente pequena, possamos tornar f t˜ao pr´oximada fun¸c˜ao identicamente nula quanto desejado, a solu¸c˜ao u acima n˜ao tende `a solu¸c˜ao identicamentenula no intervalo 0 < t < 1 . Ao contr´ario, quando c → 0, a solu¸c˜ao torna-se ilimitada. Logo, umapequena mudan¸ca na condi¸c˜ao inicial acarreta uma enorme mudan¸ca na solu¸c˜ao.2.1.1 Existˆencia de solu¸c˜ao para o problema de DirichletO problema de condu¸c˜ao do calor na barra finita ´e um problema bem-posto no sentido de Hadamard. Aunicidade e a estabilidade da solu¸c˜ao seguem do princ´ıpio do m´aximo para a equa¸c˜ao do calor, conformeveremos no final desta se¸c˜ao. A existˆencia da solu¸c˜ao, isto ´e, a confirma¸c˜ao de que o nosso candidato `asolu¸c˜ao ´e de fato a solu¸c˜ao para o problema segue do seguinte teorema:2.3 Teorema. Seja f : [0, L] → R uma fun¸c˜ao cont´ınua por partes tal que f′tamb´em ´e cont´ınua por partes.Ent˜aou(x, t) =∞∑n=1cne− n2π2L2 KtsennπxLcomcn =2L∫ L0f(x) sennπxLdx´e uma solu¸c˜ao para (2.1), cont´ınua em R e de classe C2em R. Al´em disso, u(x, t) → f(x) quandot → 0 se f ´e cont´ınua em x.Esbo¸co de Prova: Como vimos no cap´ıtulo anterior, quando estimamos os coeficientes de Fourier, existeuma constante M > 0 tal que |cn| < M. Portanto, para todo t > t0, qualquer que seja t0 > 0, vale∞∑n=1cne− n2π2L2 KtsennπxLM∞∑n=1e− n2π2L2 Kt0.A s´erie num´erica do lado direito converge, por exemplo pelo teste da raiz:limn→∞(e−π2Kt0L2 n2)1/n= limn→∞e−π2Kt0L2 n= 0.Segue do teste-M de Weierstrass que a s´erie do lado esquerdo converge uniformemente em {(x, t) : 0 x Le t t0} e portanto u(x, t) ´e cont´ınua a´ı. Mas t0 ´e arbitr´ario, logo conclu´ımos que u(x, t) ´e cont´ınua em R.Aplicando novamente o teste-M de Weierstrass, conclu´ımos que as s´eries obtidas diferenciando a s´erie deu(x, t) termo a termo, uma vez em rela¸c˜ao a t e duas vezes em rela¸c˜ao a x, s˜ao uniformemente convergentes,
  44. 44. Rodney Josu´e Biezuner 43de modo que podemos escreverut(x, t) = −π2L2K∞∑n=1n2cne− n2π2L2 KtsennπxL,uxx(x, t) = −π2L2∞∑n=1n2cne− n2π2L2 KtsennπxL,portanto ut(x, t) = Kuxx(x, t) para todo (x, t) ∈ R. Al´em disso,u(x, 0) =∞∑n=1cn sennπxL= f(x),u(0, t) = u(L, t) = 0.2.4 Corol´ario. (Regularidade da Solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao do Calor) A solu¸c˜ao obtida no teorema anterior ´e declasse C∞em R.Prova: De fato, nada nos impede de diferenciar termo a termo a solu¸c˜ao u (x, t) acima quantas vezesquisermos em rela¸c˜ao a x e t e usar o mesmo argumento do teorema (teste da raiz e teste-M de Weierstrass)para concluir a convergˆencia uniforme em cada etapa. Em linhas gerais, ao derivar a s´erie de u (x, t) termoa termo i vezes em rela¸c˜ao a t e j vezes em rela¸c˜ao a x obteremos a s´erieC (L, π)∞∑n=1cnnpe− n2π2L2 KtsennπxLonde p = 2i + j e C (L, π) ´e uma constante que depende apenas de L e π. LogoC (L, π)∞∑n=1cnnpe− n2π2L2 KtsennπxLM∞∑n=1npe− n2π2L2 Kt0.Pelo teste da raiz,lim(npe−π2Kt0L2 n2)1/n=(lim n1/n)plim e−π2Kt0L2 n= 0,logo o lado direito converge e podemos aplicar o teste-M de Weierstrass.O teorema anterior e seu corol´ario afirmam um resultado muito importante: mesmo que a distribui¸c˜aoinicial de temperaturas n˜ao seja cont´ınua, o calor se propaga t˜ao rapidamente de modo que quaisquerdescontinuidades inicialmente presentes s˜ao suavizadas de tal maneira que, imediatamente ap´os o instanteinicial (isto ´e, em qualquer instante de tempo t > 0), a distribui¸c˜ao de temperaturas j´a ´e cont´ınua; maisque isso, ela ´e suave! O motivo disso pode ser melhor compreendido se analizarmos a express˜ao em s´erie deu (x, t)u(x, t) =∞∑n=1cne− n2π2L2 KtsennπxLda seguinte forma. As exponenciais em t tendem a 0 rapidamente, como sabemos ser o comportamentode uma exponencial negativa. Assim, passado um instante de tempo t (por menor que seja), os termos das´erie a partir de uma certa ordem s˜ao arbitrariamente pequenos. ´E quase como se pud´essemos desprezarcompletamente os termos da s´erie a partir de uma certa ordem e a s´erie infinita transformasse-se em umas´erie finita. A descontinuidade presente na condi¸c˜ao inicial surge exatamente da presen¸ca de um n´umeroinfinito de termos da s´erie, pois uma s´erie finita (combina¸c˜ao linear finita) de senos ´e sempre uma fun¸c˜aocont´ınua, na verdade suave; `a medida que o tempo passa o efeito ´e sentido como se um n´umero infinito determos se anulasse e s´o restasse um n´umero finito de termos.
  45. 45. Rodney Josu´e Biezuner 442.1.2 Princ´ıpio do m´aximoPara mostrar que o problema de Dirichlet para a equa¸c˜ao do calor unidimensional ´e bem-posto no sentidode Hadamard, usaremos o Princ´ıpio do M´aximo, que ´e um resultado interessante e muito importante por sis´o:2.5 Lema. (Princ´ıpio do M´aximo para a Equa¸c˜ao do Calor) Considere o retˆangulo R = (x1, x2) × (t1, t2).Suponha que u(x, t) : R → R seja cont´ınua em R e satisfa¸ca a equa¸c˜ao do calor ut = Kuxx em R ∪ ℓ4onde ℓ4 = (x1, x2) × {t2}. Ent˜ao o m´aximo [m´ınimo] de u ´e assumido em um dos outros trˆes lados doretˆangulo :ℓ1 = {x1} × [t1, t2],ℓ2 = {x2} × [t1, t2],ℓ3 = [x1, x2] × {t1}.Prova: Suponha por absurdo quem := maxℓ1∪ℓ2∪ℓ3u < maxRu =: M.Ent˜ao existe um ponto (x0, t0) ∈ R ∪ ℓ4 tal que u(x0, t0) = maxR u. Defina a fun¸c˜aov(x, t) = u(x, t) +M − m4L2(x − x0)2,onde L = x2 − x1. Como em ℓ1 ∪ ℓ2 ∪ ℓ3 temosv(x, t) m +M − m4L2L2=34m +M4< M,e u(x0, t0) = v(x0, t0) = M, segue que o m´aximo de v tamb´em ´e assumido em um ponto de R ∪ ℓ4, digamosem (x, t) ∈ R ∪ ℓ4. Como (x, t) ´e um ponto de m´aximo para v, devemos tervt(x, t) 0,vxx(x, t) 0.Em particular,vt(x, t) Kvxx(x, t).Por outro lado, da defini¸c˜ao de v, para todo (x, t) obtemosvt(x, t) = ut(x, t),vxx(x, t) = uxx(x, t) +M − m4L2,e como u satisfaz a equa¸c˜ao do calor, segue quevt(x, t) = ut(x, t) = Kuxx(x, t) = Kvxx(x, t) − KM − m4L2< Kvxx(x, t)para todo (x, t), uma contradi¸c˜ao.Para provar que o m´ınimo de u tamb´em ´e atingido em ℓ1 ∪ℓ2 ∪ℓ3, basta observar que −u tamb´em satisfaza equa¸c˜ao do calor e que min u = − max(−u).No caso da equa¸c˜ao do calor, o princ´ıpio do m´aximo nada mais ´e que a express˜ao matem´atica do fato de queo calor flui de regi˜oes mais quentes para regi˜oes mais frias. Se a temperatura mais alta da barra estivesselocalizada em um ponto x0 com 0 < x0 < L em um instante t0 > 0, ent˜ao a temperatura estaria crescendoem x0 por algum tempo antes do instante t0 (a menos que a temperatura seja a mesma em todos os pontosda barra). Mas ent˜ao o calor necess´ario para aumentar a temperatura em x0 deveria vir de algum pontopr´oximo a x0 com temperatura maior em algum instante de tempo t < t0, logo a temperatura mais alta n˜aopode ocorrer em (x0, t0). O mesmo argumento vale para a temperatura m´ınima.

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