Grupos - Algebra 1

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Notas sobre grupos - análise algébrica

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Grupos - Algebra 1

  1. 1. GruposRodrigo Carlos Silva de Lima ‡Universidade Federal Fluminense - UFF-RJrodrigo.uff.math@gmail.com‡
  2. 2. 1
  3. 3. Sum´ario1 Grupos 41.1 Conceitos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.1 Propriedades b´asicas de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 Grupo das bije¸c˜oes-Permuta¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Grupo sim´etrico de grau n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 O grupo S3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 Subgrupos de S3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3 Para n ≥ 3, Sn n˜ao ´e abeliano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.4 Grupo S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.1 Normalizador de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.2 Conjunto gerado por um elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4 Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.1 Congruˆencia m´odulo H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.2 Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5 Grupos c´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5.1 Homomorfismos e automorfismos de Grupos c´ıclicos . . . . . . . . . 371.6 Grupos diedrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.7 Homomorfismo de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.7.1 Automorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.7.2 f : G → G com f(x) = axa−1´e automorfismo . . . . . . . . . . . . 471.7.3 Determina¸c˜ao de homomorfismo entre dois grupos . . . . . . . . . . 501.7.4 Teorema de Cayley - G ´e isomorfo a um subgrupo de SG. . . . . . . 511.7.5 Teorema dos isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
  4. 4. SUM ´ARIO 31.8 O grupo Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.8.1 Ciclos de S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.8.2 Ciclos de S4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
  5. 5. Cap´ıtulo 1Grupos1.1 Conceitos b´asicosDefini¸c˜ao 1 (Grupo). Um grupo ´e uma estrutura (G, ∗), formada por um conjunto Gmunido de uma opera¸c˜ao ∗, que satisfaz as seguintes propriedades1. Associatividade(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).2. Existe um elemento neutro e ∈ G tal que a ∗ e = a = e ∗ a.3. Existˆencia de inverso. Para qualquer elemento a ∈ G existe a−1∈ G tal quea ∗ a−1= e = a−1∗ a. Para quaisquer a, b e c ∈ G. Denotamos o grupo por (G, ∗),caso esteja subentendida a opera¸c˜ao ∗, podemos denotar o grupo apenas por G .Propriedade 1. Poder´ıamos pedir apenas que houvesse um elemento neutro a direita e,tal que a ∗ e = a e isso implica e tamb´em ´e um elemento neutro a esquerda, poisa = a ∗ e = a ∗ (a−1∗ a) = (a ∗ a−1) ∗ a = e ∗ a,da mesma maneira poder´ıamos definir apenas elemento neutro a esquerda.Defini¸c˜ao 2 (Semi-grupo). Em um semi-grupo vale apenas a associatividade.4
  6. 6. CAP´ITULO 1. GRUPOS 5Defini¸c˜ao 3 (Mon´oide). E um semigrupo onde existe elemento neutro .Defini¸c˜ao 4 (Magma ou grup´oide). Vale apenas que a opera¸c˜ao ´e fechada .Defini¸c˜ao 5 (Ordem de um grupo). Dado um grupo (G, ∗), existem duas possibilidades• G ´e um conjunto finito, digamos, com n elementos. Nesse caso dizemos que o grupo(G, ∗) ´e finito e simbolizamos |G| = n (lˆe-se: ordem de G ´e n ou ordem de G ´e iguala n ).• G ´e um conjunto infinito, nesse caso simbolizamos |G| = ∞, dizemos que a ordemdo grupo ´e infinita.Defini¸c˜ao 6 (Grupo abeliano). Um grupo ´e dito abeliano quando vale a propriedadea ∗ b = b ∗ a para todos a, b ∈ G. Grupos abelianos s˜ao tamb´em chamados de gruposcomutativos. Grupos n˜ao abelianos s˜ao chamados de grupos n˜ao comutativos.Exemplo 1. Para n ≥ 1, (Zn, +) ´e um grupo abeliano com n elementos.Exemplo 2. Para n ≥ 2 (Z∗n, ×) ´e um grupo abeliano com ϕ(n) elementos.Corol´ario 1. Se um grupo G n˜ao ´e abeliano, ent˜ao existem x, y ∈ G tais que x∗y = y∗x.Exemplo 3. • Se (A, +, .) ´e um anel, ent˜ao (A, +) ´e um grupo abeliano.• Se (K, +, .) ´e um corpo, ent˜ao (K, +) ´e um grupo abeliano e (K {0}, .) tamb´em.Podemos tomar K como R, Q, C ou Zp.• (Z, +) ´e grupo abeliano infinito .Propriedade 2. Seja G = {e, g1, g2, · · · , gn} um grupo abeliano de ordem n + 1. Se Gpossui um ´unico elemento de ordem 2 ent˜aonk=1gk = g1.
  7. 7. CAP´ITULO 1. GRUPOS 6Demonstra¸c˜ao. x = e ´e de ordem 2 ⇔ x2= e. Al´em de g1 n˜ao h´a outro elementode ordem 2 ent˜ao o inverso de cada gk deve pertencer ao conjunto {gs, s = k, 1, s ∈ In}portantonk=2gk = e,pois cada elemento ´e multiplicado pelo seu inverso, da´ınk=1gk = g1.Defini¸c˜ao 7 (Grupo linear). Definimos o grupo GL(N, K) chamado grupo linear geralsobre K, como (Mn×n(K)∗, .) onde K ´e um corpo.1.1.1 Propriedades b´asicas de gruposPropriedade 3 (Unicidade do elemento neutro). Existe um ´unico elemento neutro e.Demonstra¸c˜ao. Suponha dois elementos neutros e e e , vale e ∗ e = e e e ∗ e = e ,da´ı e = e .Para demonstrar essa propriedade precisamos apenas da opera¸c˜ao e da defini¸c˜ao deelemento neutro, a demonstra¸c˜ao n˜ao depende das outras propriedades de grupo, ent˜aooutras estruturas alg´ebricas que possuem elemento neutro ainda possuem unicidade dele.Propriedade 4 (Lei do corte `a esquerda). Se a ∗ b = a ∗ c ent˜ao b = c.Demonstra¸c˜ao.b = e ∗ b = (a−1∗ a) ∗ b = a−1∗ (a ∗ b) = a−1∗ (a ∗ c) = (a−1∗ a) ∗ c = e ∗ c = c.Nesse caso usamos a existˆencia do elemento neutro, existˆencia do inverso e associatividade,todas as propriedades que pedimos para um grupo. Ent˜ao em grupos vale a lei do corte.Propriedade 5 (Lei do corte `a direita). Se b ∗ a = c ∗ a ent˜ao b = c.Demonstra¸c˜ao.b = b ∗ e = b ∗ (a ∗ a−1) = (b ∗ a) ∗ (a−1) = (c ∗ a) ∗ a−1= c ∗ (a ∗ a−1) = c ∗ e = c.Ent˜ao em grupos vale a lei do corte `a direita e `a esquerda.Propriedade 6 (Unicidade do inverso). Para cada elemento a ∈ G existe um ´unico a−1tal que a ∗ a−1= e.
  8. 8. CAP´ITULO 1. GRUPOS 7Demonstra¸c˜ao. Suponha que existam dois elementos a e b que sejam inversos deum dado a, ent˜ao valea ∗ a = e = a ∗ bpor lei do corte segue que a = b , fica assim provada a unicidade.Demonstra¸c˜ao.[2] Outra demonstra¸c˜ao pode ser feita como se segue a = a .e =a (a.b ) = (a a)b = b .Propriedade 7. (a−1)−1= a.Demonstra¸c˜ao. Como vale a.a−1= e segue que (a−1)−1= a, por unicidade doinverso.Propriedade 8. (a.b)−1= b−1.a−1.Demonstra¸c˜ao. (a.b)(b−1.a−1) = a.e.a−1= e, por unicidade do inverso segue que oinverso de a.b ´e (a.b)−1= b−1.a−1.Propriedade 9. Se a, b ∈ G ent˜ao xa = b ⇔ x = ba−1, isto ´e, a equa¸c˜ao xa = b tem uma´unica solu¸c˜ao x = ba−1. De maneira similar ax = b ⇔ x = a−1b.Demonstra¸c˜ao.⇒).xa = b ⇒ multiplicando por a−1a direita tem-se x = ba−1.O mesmo para ax = b, multiplicando por a−1a esquerda tem-se x = a−1b.⇐).Tomando x = ba−1ent˜ao ba−1a = b.Para ax = b, tomamos x = a−1b segue a(a−1b) = b.Propriedade 10. Sejam a, b ∈ R com a = 0. Definindo σ(a,b) : R → R por σ(a,b)(x) =ax + b para cada x ∈ R. Ent˜ao o conjunto G = {σ(a,b), a, b ∈ R, a = 0} com a opera¸c˜aode composi¸c˜ao de fun¸c˜oes ´e um grupo.Demonstra¸c˜ao. Primeiro vamos mostrar que a opera¸c˜ao ´e fechada sobre G, vamossimbolizar (a, b) ao inv´es de σ(a,b), temos que(a, b) ◦ (a , b )(x) = a(a x + b ) + b = a.a x + a.b + b = (a.a , a.b + b)(x)
  9. 9. CAP´ITULO 1. GRUPOS 8Escrevemos ent˜ao(a, b) ◦ (a , b ) = (a.a , a.b + b)a opera¸c˜ao ´e fechada, pois como a = 0 e a = 0 s˜ao reais temos a.a = 0 e a.b + b ´e umn´umero real.Existˆencia de elemento neutro . Existe elemento neutro para a opera¸c˜ao (1, 0),tal elemento ´e realmente neutro pois(a, b)(1, 0) = (a.1, a.0 + b) = (a, b).Existˆencia de inverso. Para cada elemento (a, b) existe um inverso (a−1, −b.a−1)tal que (a, b)(a−1, −b.a−1) = (1, 0), a propriedade realmente vale , pois(a, b)(a−1, −b.a−1) = (aa−1, a.(−b).a−1+ b) = (1, 0).Associatividade. Segue da associatividade de composi¸c˜ao de fun¸c˜oes. Ent˜ao temosrealmente um grupo .O grupo ´e n˜ao abeliano pois(2, 3) ◦ (3, 4) = (6, 11) = (3, 4) ◦ (2, 3) = (6, 13).O centro de G (conjunto dos elementos que comutam com todos os outros elementos)cont´em apenas a identidade, pois dado um elemento diferente da identidade (x, y), x = 1 ey = 0 existe um elemento que n˜ao comuta com ele da forma (1, w) com w > 0 se 1−x > 0(logo w(1 − x) > 0) e w < 0 se 1 − x < 0 (logo tamb´em w(1 − x) > 0), pois(x, y)(1, w) = (x, xw + y), (1, w)(x, y) = (x, y + w)da´ı vale sempre y + w > y + xw pois equivale `a w > xw ⇔ w(1 − x) > 0 que sempre valepelo que observamos anteriomente
  10. 10. CAP´ITULO 1. GRUPOS 9Propriedade 11 (Produto direto). Sejam (Gk, ∗k)n1 grupos, ent˜ao o produto cartesianonk=1Gk ´e um grupo com a opera¸c˜ao ∗ definida por(xk)n1 ∗ (yk)n1 = (xk ∗k yk)n1Demonstra¸c˜ao.• Existe elemento neutro (ek)n1 onde ek ´e o elemento neutro de Gk, tal que(ek)n1 ∗ (xk)n1 = (ek ∗k xk)n1 = (xk)n1• Existe inverso para cada (xk)n1 que ´e (x−1k )n1 pois(xk)n1 ∗ (x−1k )n1 = (xk ∗k x−1k )n1 = (ek)n1 .• Vale a associatividade((xk)n1 ∗ (yk)n1 ) ∗ (zk)n1 = (xk ∗k yk)n1 ∗ (zk)n1 = (xk ∗k yk ∗k zk)n1(xk)n1 ∗ ((yk)n1 ∗ (zk)n1 ) = (xk)n1 ∗ (yk ∗k zk)n1 = (xk ∗k yk ∗k zk)n1Defini¸c˜ao 8 (Produt´orio). Definimos dois tipos de produt´orios, o produt´orio `a direitank=1,dak = a1. · · · .ane o produt´orio `a esquerdank=1,eak = an. · · · .a1eles podem ser definidos indutivamenten+1k=1,dak = [nk=1,dak]an+1com1k=1,dak = a1 e0k=1,dak = e.n+1k=1,eak = an+1[nk=1,eak]com1k=1,eak = a1 e0k=1,eak = e.
  11. 11. CAP´ITULO 1. GRUPOS 10Propriedade 12 (Produto telesc´opico). Valem as identidadesnk=1,df(k)−1f(k + 1) = f(1)−1f(n + 1)nk=1,ef(k + 1)f(k)−1= f(n + 1)f(1)−1Demonstra¸c˜ao. Por indu¸c˜ao sobre n, para n = 1 ambas valem1k=1,df(k)−1f(k + 1) = f(1)−1f(2)1k=1,ef(k + 1)f(k)−1= f(2)f(1)−1supondo para n, vamos provar para n + 1n+1k=1,df(k)−1f(k + 1) = [nk=1,df(k)−1f(k + 1)][f(n + 1)−1f(n + 2)] == f(1)−1f(n + 1)[f(n + 1)−1f(n + 2)] = f(1)−1f(n + 2)n+1k=1,ef(k + 1)f(k)−1= [f(n + 2)f(n + 1)−1]nk=1,ef(k + 1)f(k)−1== [f(n + 2)f(n + 1)−1]f(n + 1)f(1)−1= f(n + 2)f(1)−1Corol´ario 2.nk=1,ef(k + 1)f(k)−1nk=1,df(k)−1f(k + 1) = f(n + 1)f(1)−1f(1)−1f(n + 1) = f(n + 1)2Propriedade 13. Se cada Gk ´e abeliano, ent˜aonk=1Gk ´e abeliano.Demonstra¸c˜ao.(xk)n1 ∗ (yk)n1 ) = (xk ∗k yk)n1 = (yk ∗k xk)n1 = (yk)n1 ∗ (xk)n1 .Propriedade 14. Se existe um s ∈ In tal que Gs n˜ao ´e abeliano, ent˜aonk=1Gk n˜ao ´eabeliano.
  12. 12. CAP´ITULO 1. GRUPOS 11Demonstra¸c˜ao. Existem xs e ys ∈ Gs tais que xs ∗s ys = ys ∗s xs e da´ı(xk)n1 ∗ (yk)n1 ) = (xk ∗k yk|s−11 , xs ∗s ys, xk ∗k yk|ns+1) = (yk ∗k xk|s−11 , ys ∗s xs, yk ∗k xk|ns+1)pois s˜ao distintos na s-´esima coordenada.1.1.2 Grupo das bije¸c˜oes-Permuta¸c˜oesDefini¸c˜ao 9 (Grupo das bije¸c˜oes-Permuta¸c˜oes). Seja A um conjunto n˜ao vazio . Defini-mos a estrutura (SA, ◦), como o conjuntoSA = {f : A → A | f ´e bije¸c˜ao}munido da opera¸c˜ao de composi¸c˜ao de fun¸c˜oes. Podemos denotar SA tamb´em por P(A).Propriedade 15. (SA, ◦) ´e um grupo.Demonstra¸c˜ao. Sabemos que a composi¸c˜ao de fun¸c˜oes bijetoras ainda ´e uma fun¸c˜aobijetora, logo o conjunto ´e fechado em rela¸c˜ao a opera¸c˜ao de composi¸c˜ao. A composi¸c˜ao´e associativa. Possui elemento neutro que ´e a fun¸c˜ao I : A → A definida comoI(x) = x, ∀x ∈ A, essa fun¸c˜ao ´e realmente o elemento neutro pois dada uma f ∈ SA ex ∈ A arbitr´ario , valef(I(x)) = f(x) = I(f(x))logo I ◦ f = f ◦ I.Dada uma fun¸c˜ao bijetora f : A → A, podemos sempre definir a inversa de f, f−1, talquef(f−1(x)) = x = f−1(f(x))logo para qualquer f em SA existe f−1em SA tal que f ◦ f−1= I = f−1◦ f, logo temos aexistˆencia de inverso. Assim (SA, ◦) ´e um grupo. Denotaremos o grupo (SA, ◦) apenascomo SA .1.2 Grupo sim´etrico de grau nDefini¸c˜ao 10 (Grupo sim´etrico de grau n). Em SA, se tomamos A = In = {1, · · · , n} ogrupo SIn ser´a denotado por Sn e ser´a chamado de grupo sim´etrico de grau n.
  13. 13. CAP´ITULO 1. GRUPOS 12Defini¸c˜ao 11 (Permuta¸c˜ao). Todo elemento de Sn ´e chamado de permuta¸c˜ao e Sn ´echamado de grupo das permuta¸c˜oes de n elementos.Propriedade 16. |Sn| = n!.1.2.1 O grupo S3.Grupo S3 elementosI =1 2 31 2 3, f6 = σ ◦ τ =1 2 31 3 2, f5 = σ ◦ τ2=1 2 33 2 1σ =1 2 32 1 3, f4 = τ2=1 2 33 1 2, τ =1 2 32 3 1Todos os elementos podem ser gerados pelos elementos σ e τf4 = τ2=1 2 32 3 1◦1 2 32 3 1=1 2 33 1 2f6 = σ ◦ τ =1 2 32 1 3◦1 2 32 3 1=1 2 31 3 2f5 = σ ◦ τ2=1 2 32 1 3◦1 2 33 1 2=1 2 33 2 1σ2= I =1 2 32 1 3◦1 2 32 1 3=1 2 31 2 3Por σ2= I o inverso de σ ´e σ. O inverso de f4 ´e τ, poisf4 ◦ τ =1 2 33 1 2◦1 2 32 3 1=1 2 31 2 3e como f4 = τ2, temos que f4 ◦ τ = τ2◦ τ = τ3= I. f6 ◦ f6 = I, poisf6 ◦ f6 =1 2 31 3 2◦1 2 31 3 2=1 2 31 2 3e finalmente f5 ◦ f5 = I, pois
  14. 14. CAP´ITULO 1. GRUPOS 13f5 ◦ f5 =1 2 33 2 1◦1 2 33 2 1=1 2 31 2 3Ent˜ao temos os inversosσ ◦ σ = If4 ◦ τ = If6 ◦ f6 = If5 ◦ f5 = II ◦ I = Iσ ◦ σ = Iτ2◦ τ = I(σ ◦ τ2) ◦ (σ ◦ τ2) = I(σ ◦ τ) ◦ (σ ◦ τ) = II ◦ I = IO conjunto dos elementos de S3S3 = {I, σ, τ, τ2, σ ◦ τ, σ ◦ τ2}1.2.2 Subgrupos de S3.Propriedade 17. Os subgrupos n˜ao triviais de S3 s˜ao• {I, σ}.• {I, σ ◦ τ}.• {I, σ ◦ τ2}.• {I, τ, τ2}.Demonstra¸c˜ao.
  15. 15. CAP´ITULO 1. GRUPOS 14• Temos que σ2= I logo existe o subgrupo {I, σ2}.• Como f6 = σ ◦ τ e f6 ◦ f6 = I, ent˜ao temos o subgrupo {I, σ ◦ τ}.• Temos que f5 ◦ f5 = I e f5 = σ ◦ τ2, ent˜ao {I, σ ◦ τ2} ´e subgrupo.•O subconjunto K = {I, τ, τ2} ´e um subgrupo de S3.Exemplo 4. Seja a fun¸c˜ao definida por ϕ(x) = x−1de S3 em S3, mostrar que n˜ao ´eum automorfismo. Para ser um homomorfismo precisamos que para todo elemento x e yem S3, ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), logo (xy)−1= x−1y−1. vamos tomar x = f4 e y = f5, temosf4f5 = σ, poisf4 ◦ f5 =1 2 33 1 2 ◦1 2 33 2 1 =1 2 32 1 3 = σmas sabemos que σ−1= σ, e temos ϕ(f4f5) = [f4f5]−1= [σ]−1= σ e ϕ(f4) = [f4]−1=τ, ϕ(f5) = [f(5)]−1= f5), assim ϕ(f4)ϕ(f5) = τf5τ ◦ f5 =1 2 32 3 1 ◦1 2 33 2 1 =1 2 31 3 2 = f6 = σlogo n˜ao ´e um homomorfismo, n˜ao podendo ser um automorfismo tamb´em.1.2.3 Para n ≥ 3, Sn n˜ao ´e abeliano.Propriedade 18. Para n ≥ 3, Sn n˜ao ´e abeliano.Demonstra¸c˜ao. Vamos mostrar bije¸c˜oes f e g tais que f ◦ g = g ◦ f. Sejamf =1 2 3 · · ·1 3 2 · · ·e g =1 2 3 · · ·2 1 3 · · ·f ◦ g =1 2 3 · · ·3 1 2 · · ·e g ◦ f =1 2 3 · · ·2 3 1 · · ·sao diferentes, logo o grupo n˜ao ´e comutativo.
  16. 16. CAP´ITULO 1. GRUPOS 151.2.4 Grupo S4Grupo S4 elementosI =1 2 3 41 2 3 4f1 =1 2 3 42 1 4 3f2 =1 2 3 43 4 1 2f3 =1 2 3 44 3 2 1f4 =1 2 3 42 3 4 1f5 =1 2 3 43 4 2 1f6 =1 2 3 44 1 2 3f7 =1 2 3 42 1 3 4f8 =1 2 3 42 3 1 4f9 =1 2 3 42 4 3 1f10 =1 2 3 42 4 1 3f11 =1 2 3 43 2 4 1f12 =1 2 3 43 2 1 4f13 =1 2 3 43 1 2 4f14 =1 2 3 43 1 4 2f15 =1 2 3 44 3 1 2f16 =1 2 3 44 1 3 2f17 =1 2 3 44 2 1 3f18 =1 2 3 44 2 3 1f19 =1 2 3 41 2 4 3f20 =1 2 3 41 3 4 2f21 =1 2 3 41 3 2 4f22 =1 2 3 41 4 2 3f23 =1 2 3 41 4 3 2Defini¸c˜ao 12 (Estrutura dos quat´ernios). Definimos a estrutura dos quat´ernios como oconjunto1.3 SubgruposPropriedade 19 (Subgrupo). Um subconjunto H n˜ao-vazio de um grupo G ´e um sub-grupo de G quando• Se a ∈ H ent˜ao a−1∈ H.
  17. 17. CAP´ITULO 1. GRUPOS 16• Se a ∈ H e b ∈ H ent˜ao a.b ∈ H.Se H ´e subgrupo de G, denotamos tal fato por H < G.Corol´ario 3. e o elemento neutro pertence a um subgrupo , pois a ∈ H implica a−1∈ He pela segunda propriedade aa−1= e ∈ H.Exemplo 5. D4 = {I, f4, f2, f6, f3, f1, f23, f12} ⊂ S4 ´e subgrupo n˜ao abeliano .Propriedade 20. H n˜ao vazio ´e um subgrupo de G ⇔ com a opera¸c˜ao de G, H ´e umgrupo.Demonstra¸c˜ao.⇒).• O produto ´e fechado em H.• O elemento neutro pertence a H.• O inverso de cada elemento est´a em H.• A propriedade associativa vale, pois os elementos de H s˜ao elementos de G ondevale a associatividade.Com isso conclu´ımos que H ´e um grupo.⇐).Seja H ´e um grupo contido em G.• O produto ´e fechado em H, pois H ´e grupo.• O elemento neutro e de H ´e o mesmo elemento neutro e de G, pois dado a ∈ H ⊂ Gtem-se a.e = a que podemos ver como opera¸c˜ao em G, como o elemento neutro ´e´unico tem-se e = e.• O inverso a de um elemento a ∈ H ⊂ G ´e o mesmo inverso de a em G, pois valeaa = e, essa opera¸c˜ao vista em G, como temos a unicidade de inverso em G segueque a = a−1.. O inverso de cada elemento a ∈ H est´a contido em H, pois H ´egrupo.
  18. 18. CAP´ITULO 1. GRUPOS 17Exemplo 6 (Subgrupos triviais). Os subconjuntos {e} e H de um grupo H s˜ao chamadossubgrupos triviais. H ´e grupo, ent˜ao satisfaz as condi¸c˜oes de ser subgrupo, {e} tamb´em ´esubgrupo, pois e.e = e, logo ´e fechado, o elemento neutro est´a no conjunto {e} e o inversode e tamb´em ´e e, logo ele ´e um subgrupo de H.Propriedade 21. Se Hk ´e subgrupo de Gk ent˜aonk=1Hk ´e subgrupo denk=1Gk.Demonstra¸c˜ao.• O elemento neutro denk=1Gk ´e (ek)n1 , mas como Hk ´e subgrupo de Gk ent˜ao ek ∈ Hke da´ı (ek)n1 ∈nk=1Hk.• Dado (ak)n1 ∈nk=1Hk ent˜ao cada ak ∈ Hk, implicando que a−1k ∈ Hk, pois Hk ´esubgrupo, da´ı (a−1k )n1 ∈nk=1Hk e pelo que j´a demonstramos (a−1k )n1 ´e o inverso de(ak)n1 .• Dados (ak)n1 , (bk)n1 ∈nk=1Hk ent˜ao ak, bk ∈ Hk, como s˜ao subgrupos vale ak.bk ∈ Hke da´ı (ak.bk)n1 ∈nk=1Hk.Propriedade 22. Se H ⊂ G ´e um subconjunto finito fechado com a opera¸c˜ao de G,ent˜ao H ´e subgrupo de G.Demonstra¸c˜ao. Se H = {e} ent˜ao ele ´e subgrupo. Se n˜ao tomamos um elementoarbitr´ario a = e ∈ H, como ele ´e finito, ent˜ao existem s > t ∈ N tais que as= at, coms > t, existe p natural tal que t + p = s e da´ı at+p= atap= at, pela lei do corte segue queap= e ∈ H. Ent˜ao o elemento neutro est´a nele. Tal p deve ser maior que 1, pois a = e.Vale p > 1 da´ı p ≥ 2, p − 1 ≥ 1 natural e aap−1= ap= e logo existe inverso para todoelemento de H, ent˜ao ele ´e subgrupo.Propriedade 23. Se H e K s˜ao subgrupos de G ent˜ao H ∩ K ´e subgrupo de G.Demonstra¸c˜ao. e ∈ H ∩ K pois H e K s˜ao subgrupos ent˜ao e ∈ H, K. Suponhaa, b ∈ H ∩ K ent˜ao a.b ∈ H, K da´ı a.b ∈ H ∩ K. Da mesma maneira a−1∈ H, K logoa−1∈ H ∩ K .
  19. 19. CAP´ITULO 1. GRUPOS 18Propriedade 24. Em geral se cada Hk, k ∈ A ´e uma fam´ılia qualquer de subgrupos deG ent˜aok∈AHk´e um subgrupo de G.Demonstra¸c˜ao.• Se h1, h2 emk∈AHk ent˜ao h1, h2 ∈ Hk ∀ k ∈ A, ent˜ao pelo fato de serem subgrupostem-se h1h2 ∈ Hk o que implica h1h2 ∈k∈AHk.• Se h ∈k∈AHk ent˜ao h ∈ Hk para cada k, por isso h−1∈ Hk pelo fato de cada Hkser subgrupo, ent˜ao h−1∈∈k∈AHk. Com essas duas propriedades mostramos quek∈AHk ´e subgrupo de G.Propriedade 25. H ∪ K ´e subgrupo de G sse H ⊂ K ou K ⊂ H.Demonstra¸c˜ao. ⇒ . Temos que provar que H ∪ K ´e subgrupo de G ent˜ao H ⊂ Kou K ⊂ H. Vamos usar a contrapositiva e mostrar que H ⊂ K e K ⊂ H ent˜ao H ∪ Kn˜ao ´e subgrupo de G. Existem elementos a ∈ H, a /∈ K e b ∈ K, b /∈ H, por´em valea, b ∈ H ∪ K, se H ∪ K fosse subgrupo de G ent˜ao teria que valer a.b ∈ H ∪ K, ent˜ao a.bteria que pertencer a um dos conjuntos. Suponha sem perda de generalidade que a.b ∈ H, como H ´e subgrupo e a ∈ H, ent˜ao a−1∈ H, pelo fechamento de produto em subgrupoter´ıamos que ter a−1.a.b = b ∈ H o que ´e absurdo! Ent˜ao H ∪ K n˜ao pode ser subgruponessas condi¸c˜oes.⇐. Suponha que K ⊂ H, ent˜ao H ∪ K = H que ´e subgrupo de G.Defini¸c˜ao 13. Sendo H um subconjunto qualquer de um grupo G, definimosaHa−1= {aha−1| h ∈ H}.Corol´ario 4.eHe−1= {ehe−1= h | h ∈ H} = Hent˜ao eHe−1= H.
  20. 20. CAP´ITULO 1. GRUPOS 19Propriedade 26. Sejam H um subgrupo de G e a ∈ G fixo. Ent˜aoaHa−1= {aha−1| h ∈ H}´e subgrupo de G.Demonstra¸c˜ao.• O elemento neutro est´a no conjunto. e ∈ aHa−1, pois e ∈ H, da´ı aea−1= e ∈aHa−1.• O produto ´e fechado . Dados aha−1e aya−1ent˜ao aha−1aya−1= a (hy)∈Ha−1∈aHa−1.• O inverso pertence ao conjunto . Dado aha−1ent˜ao ah−1a−1∈ aHa−1pois h−1∈ H,da´ı o produto aha−1ah−1a−1= e, ent˜ao aHa−1´e subgrupo de G.Propriedade 27 (Subgrupos de (Z, +)). A ´e subgrupo de (Z, +) ⇔ A = (nZ, +) paraalgum n ∈ N.Onde nZ = {nx | x ∈ Z} .Demonstra¸c˜ao.⇐). Sendo n fixo nZ ´e subgrupo de Z.• Dados a, b ∈ nZ, existem x, y ∈ Z tais que nx = a e ny = b, logo sua soma ´enx + ny = n(x + y) ∈ nZ, a adi¸c˜ao ´e fechada.• Dado a ∈ nZ existe x ∈ Z tal que a = nx, da mesma maneira n(−x) = −nx =−a ∈ nZ sua soma ´e 0.⇒).Seja H < Z. Se H = {0} ent˜ao H = 0Z. Se H = {0}, seja n = {x ∈ H, x > 0} da´ınZ ⊂ H, pois dado m fixomk=1n = mn ∈ Hpois H ´e subgrupo e tamb´em mn ∈ H. Seja t ∈ H ent˜ao t = nq + r com 0 ≤ r < n pordivis˜ao euclidiana, da´ı t − nq = r ∈ H ent˜ao r = 0. pois caso contr´ario ir´ıamos contrariara minimalidade de n, portanto qualquer tzinH ´e da forma nq e H ⊂ nZ o que implicaA = nZ.
  21. 21. CAP´ITULO 1. GRUPOS 201.3.1 Normalizador de HDefini¸c˜ao 14 (Normalizador de H). Seja H um subgrupo de (G, .). O normalizador deH ´e o conjuntoN(H) = {x ∈ G|xHx−1= H}.Propriedade 28. N(H) ´e subgrupo de G.Demonstra¸c˜ao.• e ∈ N(H) como j´a provamos.• Suponha a, b ∈ N(H), vamos provar que a.b ∈ N(H), isto ´e a.bH(ab)−1= H. Temosque axa−1∈ H e byb−1∈ H ∀x, y ∈ H da´ı a (byb−1)=x∈Ha−1∈ H. Com isso mostramosque a.bH(ab)−1⊂ H.Vamos mostrar agora que H ⊂ a.bH(ab)−1. Como vale H ⊂ aHa−1e H ⊂ bHb−1ent˜ao para qualquer y ∈ H existem v, u ∈ H tal que y = ava−1e v = bub−1, da´ıy = a.bub−1a−1provando que H ⊂ a.bH(ab)−1.• Vamos provar que se a ∈ N(H) ent˜ao a−1∈ N(H), isto ´e aHa−1= H implicaa−1Ha = H.De aHa−1⊂ H implica que ∀y ∈ H ∃t ∈ H tal que aya−1= t e da´ı y = a−1ta deonde segue H ⊂ a−1Ha.De H ⊂ aHa−1tem-se que ∀y ∈ H, ∃t ∈ H tal que y = ata−1que implica a−1ya = te da´ı a−1Ha ⊂ H. Como vale a−1Ha ⊂ H. e H ⊂ a−1Ha. ent˜ao H = a−1Ha .Propriedade 29. Se (G, .) ´e um grupo abeliano e a e b ∈ G vale(a.b)n= an.bnpara todo n ∈ Z.Demonstra¸c˜ao. Para n natural temos, por indu¸c˜ao, n = 0(a.b)0= e = a0.b0= e.e.
  22. 22. CAP´ITULO 1. GRUPOS 21Supondo para n(a.b)n= an.bntemos que provar(a.b)n+1= an+1.bn+1da defini¸c˜ao temos(a.b)n+1= (a.b)(a.b)n= a.b.an.bn= a.an.b.bn= an+1.bn+1com isso provamos para n natural. Para n inteiro, temos(a.b)−n(a.b)n= e = (a.b)−n.an.bn= emultiplicando por b−n.a−n(a.b)−n= b−n.a−n.1.3.2 Conjunto gerado por um elementoDefini¸c˜ao 15 (Conjunto gerado por um elemento). Seja a ∈ G (G um grupo), o conjunto< a >= {an| n ∈ Z}´e chamado de conjunto gerado por a.Propriedade 30. O conjunto < a > munido da opera¸c˜ao do conjunto G ´e um subgrupode G.Demonstra¸c˜ao. A opera¸c˜ao ´e fechada, pois sendo b ∈< a > vale b = ampara algumm e c ∈< a > implica c = an, para algum n, o produto b.c = am.an= am+n∈< a > .O elemento neutro e = a0pertence ao conjunto.O inverso de um elemento b = am∈< a > pertence ao conjunto pois a−m∈< a > evalea−mam= a0= e = ama−m.Ent˜ao < a > ´e um subgrupo de G, chamado de subgrupo gerado por a.Defini¸c˜ao 16 (Ordem de um elemento). Se < a > ´e finito, chamamos | < a > | de ordemde a e escrevemos o(a) = | < a > |. Quando < a > ´e infinito, dizemos que a ordem de a´e infinita e escrevemos o(a) = ∞.
  23. 23. CAP´ITULO 1. GRUPOS 22Propriedade 31. Seja H um subgrupo de (Z, +) ent˜ao existe n ∈ N tal que H =< n > .Demonstra¸c˜ao. Se H = {0} ent˜ao ´e gerado por 0. Se H = {0} ent˜ao existe a = 0 ∈ He da´ı a > 0 ou −a > 0, ent˜ao o conjunto A = {x > 0 ∈ H} ´e n˜ao vazio limitadoinferiormente, logo possui menor elemento n, tem-se que < n >⊂ H agora vamos mostrarque H ⊂< n > . Dado m ∈ H tem-se por divis˜ao euclidiana m = qn + r onde 0 ≤ r < nda´ı m − qn = r ∈ H se r > 0 ir´ıamos contrariar a minimalidade de n, ent˜ao r = 0 e todoelemento ´e da forma q.n.Exemplo 7. (Z, +) ´e um grupo c´ıclico, que possui geradores 1 e −1.Propriedade 32. Para todo n ∈ N existe um grupo c´ıclico com n elementos.Demonstra¸c˜ao. Zn ´e grupo c´ıclico com n elementos, gerado por 1.Exemplo 8. Seja f4 ∈ S4 como definido anteriormente ent˜ao < f4 >= {I, f4, f24 , f34 }.Exemplo 9. Existem grupos c´ıclicos com n elementos tanto para a multiplica¸c˜ao, quantopara a adi¸c˜ao. O modelo aditivo ´e dado pelas ra´ızes n-´esimas da unidadewk = cos(kπn) + isen(kπn)com k ∈ [0, n − 1]N .Propriedade 33. Se a ∈< b > e b ∈< a > ent˜ao < a >=< b > .Demonstra¸c˜ao. Se a ∈< b > ent˜ao as∈< b > para todo s ≥ 0, por < b > ser grupo,da mesma maneira a−s∈< b > pois a−s´e inverso de as, isso implica que < a >⊂< b >,da mesma maneira < b >⊂< a > mostrando que < a >=< b > .Corol´ario 5. o(a) = o(a−1) pois a ∈< a−1> e a−1∈< a > logo < a >=< a−1>,implicando o(a) = o(a−1).1.4 Teorema de LagrangeVamos considerar sempre H um subgrupo de um grupo G.
  24. 24. CAP´ITULO 1. GRUPOS 231.4.1 Congruˆencia m´odulo HDefini¸c˜ao 17 (Congruˆencia m´odulo H). Sejam a, b ∈ H, dizemos quea ≡ b mod H ⇔ a.b−1∈ H., caso contr´ario denotamos a /≡ b mod H .Propriedade 34. A congruˆencia m´odulo H ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia.Demonstra¸c˜ao.• Vale a propriedade reflexiva a ≡ a mod H, pois a.a−1= e ∈ H, pois H ´e subgrupo .• Vale a propriedade de simetria, pois a ≡ b mod H significa que a.b−1∈ H, comoH ´e subgrupo ent˜ao o inverso de a.b−1que ´e b.a−1tamb´em pertence `a H, da´ıb ≡ a mod H.• Vale a transitividade, se a ≡ b mod H e b ≡ c mod H devemos mostrar quea ≡ c mod H, das hip´oteses tem-se a.b−1= h e b.c−1= h multiplicando a primeirapor h a direita segue a.b−1b.c−1= h.h = a.c−1= h.h como H ´e subgrupo temos oproduto h.h = h ∈ H logo vale a ≡ c mod H .Defini¸c˜ao 18 (Classes `a direita e `a esquerda.). Classe de equivalˆencia de a em G ´ea = {x ∈ G| x ≡ a mod H} = {x ∈ G| x.a−1∈ H} == {x ∈ G| x.a−1= h ∈ H} = {x ∈ G| x = ha, h ∈ H} = Ha.Ha ´e chamado classe `a direita de H. Da mesma maneira definimos a classe a esquerdade aaH = {x ∈ G| x = a.h, h ∈ H}.As nota¸c˜oes aH e Ha podem ser boas por dar a ideia intuitiva de que , por exemplo,aH ´e o conjunto formado pelo produto de a por todos os elementos de H.Corol´ario 6. Quando o grupo ´e abeliano as classes `a direita s˜ao tamb´em classes `a es-querda.
  25. 25. CAP´ITULO 1. GRUPOS 24Propriedade 35. As classes `a direita Ha e `a esquerda aH tem a mesma cardinalidadede H.Demonstra¸c˜ao. A fun¸c˜ao f de H em Ha definida como f(h) = ha ´e uma bije¸c˜ao.Suponha f(h) = f(h ) logo ha = h a, multiplicando por a−1a direita segue h = h logo afun¸c˜ao ´e injetora. Agora f ´e sobrejetora, pois dado y em Ha ele ´e da forma ha = f(h).A fun¸c˜ao ψ de H em aH dada por f(h) = ah ´e uma bije¸c˜ao, pois f(h) = f(h ) logoah = ah multiplicando a esquerda por a−1segue h = h e tamb´em sobrejetora pois dadoy ∈ aH ele ´e da forma a.h = f(h).Conclu´ımos ent˜ao que |H| = |Ha| = |aH|.1.4.2 Teorema de LagrangeTeorema 1 (Teorema de Lagrange). Se G ´e um grupo finito e H um subgrupo qualquerde G ent˜ao |H| divide |G|.Demonstra¸c˜ao. Existe um n´umero finito de classes de congruˆencia de H em G, ent˜aoG =k∈AHkonde A ´e finito e a uni˜ao ´e disjunta , ent˜ao de propriedade de somat´orios sobre conjuntos1vale que|G| =k∈A|Hk|=|H|=k∈A|H| = |H||A||A| = (G : H) ´e o n´umero de classes distintas ent˜ao(G : H) =|G||H|.Corol´ario 7. Se |G| = p, com p primo, ent˜ao os ´unicos subgrupos de G s˜ao os triviais Ge {e}.Propriedade 36. Se H, K s˜ao subgrupos finitos de G tais que mdc(|H|, |G|) = 1 ent˜aoH ∩ K = {e}.1Ver texto sobre somat´orio sobre conjuntos.
  26. 26. CAP´ITULO 1. GRUPOS 25Demonstra¸c˜ao. H ∩ K ´e subgrupo de G, pois H e K s˜ao subgrupos de G. Suponhaque exista a = e ∈ H ∩ K, ent˜ao < a > ´e subgrupo de H ∩ K. Por´em o(a) ≥ 2 e peloteorema de Lagrange o(a)| |H|, |K| logo mdc(|H|, |G|) n˜ao poderia ser 1 contradizendo ahip´otese. Temos ent˜ao que H ∩ K = {e}.Defini¸c˜ao 19 (Sistema de representantes). Dada uma parti¸c˜ao de um conjunto, umsistema de representantes ´e um conjunto S =a∈Γ{xa} que tem exatamente um elementoem cada subconjunto da parti¸c˜ao. A cardinalidade de qualquer sistema de representantesdas classes laterais `a esquerda de H em G ´e igual a (G : H).1.5 Grupos c´ıclicosDefini¸c˜ao 20 (Grupo c´ıclico). G ´e c´ıclico ⇔ ∃ a ∈ G | G =< a >, a ´e dito gerador deG, ou a gera G.Propriedade 37. Se a gera G ent˜ao a−1tamb´em gera.Demonstra¸c˜ao. Todo elemento de G ´e da forma at, que tamb´em ´e da forma (a−1)s,com s = −t.Propriedade 38. Todo grupo c´ıclico ´e abeliano.Demonstra¸c˜ao. Seja G =< a > . Tomamos dois elementos b, c ∈ G arbitr´arios, logoeles s˜ao da forma an, ape temosanap= an+p= ap+n= ap.anisso mostra que o grupo ´e abeliano.Propriedade 39. < a > ´e finito ⇔ ∃ m ≥ 1 tal que am= e.Demonstra¸c˜ao. ⇒ < a > ´e finito ent˜ao ∃m ≥ 1 tal que am= e. Se < a > ´e finito,ent˜ao o conjunto {an| n > 0 ∈ N} ´e finito, ent˜ao existem s > r ∈ N tais que as= ar,da´ı as−r= e, tomamos m = s − r .⇐ Dado um elemento qualquer de < a > ele ´e da forma atpara algum t inteiro, pordivis˜ao euclidiana de t por m, tem-se t = mq + r com 0 ≤ r < m , logoat= amq+r= ar
  27. 27. CAP´ITULO 1. GRUPOS 26logo os elementos de < a > pertencem ao conjunto {ar| 0 ≤ r < m} que ´e um conjuntofinito.Propriedade 40. Sendo < a > finitoo(a) = min{n ≥ 1 | an= e} e < a >= {ak| 0 ≤ k < o(a)}.Demonstra¸c˜ao. Como < a > ´e finito, existe m > 0 ∈ N tal que< a >= {ak| 0 ≤ k < m}com am= e. Seja A = {s | as= e}, tal conjunto ´e n˜ao vazio, pelo princ´ıpio da boaordena¸c˜ao ele possui um m´ınimo, digamos t. Vamos mostrar que t = o(a). Suponha porabsurdo que existam elementos repetidos no conjunto {ak| 0 ≤ k < t}, da´ı existem0 ≤ u < v < t tal que au= avlogo a(v−u)= e, mas 0 < v − u < t o que comprometeria aminimalidade de t.Corol´ario 8. Se o(a) = ∞ ent˜ao am= e, ∀m ≥ 1 pois caso contr´ario < a > seria finito.Tem-se tamb´em que ak= ajse k = j, pois se n˜ao aj−k= e e o grupo seria finito. Estesfatos implicam que an= e ⇔ n = 0 para grupos c´ıclicos infinitos.Propriedade 41. Se o(a) ´e finito ent˜ao am= e ⇔ o(a)|m.Demonstra¸c˜ao. Seja I = {n ∈ Z | an= e} ent˜ao I ´e um ideal de Z, pois:• 0 ∈ I, a0= e.• Se m, t ∈ I ent˜ao am.at= am+t= e, implicando que m + t ∈ I.• Se m ∈ I e p ∈ Z, ent˜ao am.p= (am)p= e, logo m.p ∈ I mostrando que I ´e umideal de Z. Como todo ideal de Z ´e principal e o(a) ∈ I, logo I = {0}, vale queI = In0 onde n0 = min{n ≥ 1 | an= e}, n0 = o(a), ent˜ao am= e ⇔ m ∈ I(o(a)) ⇔m = k.o(a) ⇔ o(a)|m.Demonstra¸c˜ao.[2]⇐). Se O(a)|m, existe t tal que m = tO(a) da´ı am= (aO(a))t= et= e.⇒).
  28. 28. CAP´ITULO 1. GRUPOS 27Tomamos a divis˜ao euclidiana de m por O(a), temos m = qo(a)+r, onde 0 ≤ r < O(a),suponha por absurdo que r = 0, ent˜aoam= (aO(a))q.ar= ar= eo que contraria minimalidade de O(a), pois 0 < r < O(a) o que n˜ao pode acontecer, logoO(a) divide m .Propriedade 42. Se O(a) = n e O(b) = m ent˜ao o(ab)|mmc(n, m). Em G um grupoabeliano.Demonstra¸c˜ao. Sabemos que m.n = mmc(m, n).mdc(m, n)(a.b)mn= (an)m(bm)n= ecomo mdc(n, m) divide n e divide m, ent˜ao(an)mmdc(m,n) (bm)nmdc(m,n) = e = (ab)mmc(m,n)ent˜ao O(ab) divide mmc(n, m).Corol´ario 9. Seja G um grupo finito, ent˜ao para todo a ∈ G vale a|G|= e.Demonstra¸c˜ao. < a > ´e subgrupo de G, ent˜ao pelo teorema de Lagrange o(a)||G| epela propriedade anterior segue a|G|= e.Corol´ario 10 (Pequeno teorema de Fermat). Seja p primo , ent˜aoap−1≡ 1 mod p.Basta fazer as contas em Zp {0} com o produto, temos um grupo com p−1 elementoslogo ap−1≡ 1 mod p.Corol´ario 11. Para qualquer a ∈ Z e p primo valeap≡ a mod p.Essa identidade vale se a = 0 se a = 0 ent˜ao usamos que ap−1≡ 1 mod p e multiplicamospor a de ambos lados.
  29. 29. CAP´ITULO 1. GRUPOS 28Corol´ario 12 (Euler). Sejam x e n primos entre si, ent˜aoxϕ(n)≡ 1 mod n.Tal propriedade vale pois |Zn ∗ | = ϕ(n).Propriedade 43. Seja G um grupo abeliano. Se a, b tem ordem finita e mdc(O(a), O(b)) =1 ent˜ao O(a.b) = O(a)O(b).Demonstra¸c˜ao. Sejam O(a) = n, O(b) = m, z = O(a.b), vale que(a.b)nm= elogo z|(n.m), (a.b)z= e logo az= b−z∈< a > ∩ < b >, como | < a > | e | < b > |s˜ao primos entre si, ent˜ao < a > ∩ < b >= {e}, se tivessem mais um elemento a maisem comum, ent˜ao a ordem da interse¸c˜ao dividiria os n´umeros primos entre si, o que ´eabsurdo, logo az= e = bz, z ´e m´ultiplo de n e de m, logo ´e m´ultiplo de n.m pois n e ms˜ao primos entre si, z|(nm) e mn|z logo z = mn.Propriedade 44. Se a, b ∈ G abeliano tem ordem finita ent˜ao existe c ∈ G tal queO(c) = mmc(O(a), O(b)).Demonstra¸c˜ao. Sejam n = O(a), m = O(b) se mdc(n, m) = 1 ent˜ao tomando c = ab,temos O(c) = O(a)O(b) = n.m = mmc(n, m). mdc(n, m)=1= mmc(n, m).Se mdc(n, m) = 1 ent˜aon =ks=1pαssts=k+1pαssm =ks=1pβssts=k+1pβssonde enumeramos os primos de forma que 0 ≤ αs < βs com s ∈ [1, k] e αs ≥ βs ≥ 0 coms ∈ [k + 1, t].Tomando a1 = aks=1pαsse b1 = bts=k+1pβsstemos O(a1) =ts=k+1pαss e O(b1) =ks=1pβss , logoO(a1) e O(b1) s˜ao primos entre si, portantoO(a1b1) = O(a1)O(b1),podemos tomar c = a1.b1 tem a ordem desejada.
  30. 30. CAP´ITULO 1. GRUPOS 29Propriedade 45. Se r = max{O(x), x ∈ G} (G abeliano) ´e finito ent˜ao O(x)|r ∀x ∈ G.Demonstra¸c˜ao. Existe y ∈ G tal que O(y) = r, suponha que exista x ∈ G tal queO(x) |r, ent˜ao temos s = mmc(O(x), O(y)) > r, da´ı existe c tal que O(c) = s > r peloresultado anterior, o que contraria o fato de r ser m´aximo.Propriedade 46. Se K < H < G ent˜ao(G : K) = (G : H)(H : K).Demonstra¸c˜ao.Se |G| < ∞ ent˜ao1. H < G implica |G| = |H|(G : H)2. K < H implica |H| = |K|(K : K)3. K < G implica |G| = |K|(G : K)da substitui¸c˜ao de 2 em 1 tem-se |G| = |K|(G : H)(H : K) comparando com 3 tem-sefinalmente (G : K) = (G : H)(H : K).Propriedade 47. Se H e K s˜ao subgrupos de G ent˜ao vale (G : H∩K) ≤ (G : H)(G : K).Demonstra¸c˜ao. Seja A = {g(H ∩ K) | g ∈ G} que ´e o conjunto das classes lateraisda interse¸c˜ao e C = {gH | g ∈ G} × {gK | g ∈ G} que ´e o produto cartesiano das classeslaterais de H e K respectivamente, vamos definir uma fun¸c˜ao f : A → C que seja injetora,antes observamos queg(H ∩ K)H = Hg(H ∩ K)K = Kpois H ∩ K ⊂ K e H ∩ K ⊂ H. Com isso podemos definir a fun¸c˜ao com f(g(H ∩ K)) =(gH, gK), ela ´e injetora, pois sef(g(H ∩ K)) = (gH, gK) = f(g (H ∩ K)) = (g H, g K) ⇒ gH = g H egK = g Kisso implica que g−1g ∈ H e g−1g ∈ K por isso g−1g ∈ H∩K e da´ı g(H∩K) = g (H∩K)disso segue(G : H ∩ K) ≤ (G : H)(G : K).
  31. 31. CAP´ITULO 1. GRUPOS 30Corol´ario 13. Se (G : H) e (G : K) s˜ao finitos ent˜ao (G : H ∩ K) tamb´em ´e finito nascondi¸c˜oes da propriedade anterior.Propriedade 48 (Classifica¸c˜ao dos grupos de ordem prima). Se |G| = p com p primoent˜ao G ´e c´ıclico e qualquer elemento a = e ∈ G gera o grupo.Demonstra¸c˜ao. Tomando um elemento a = e ∈ G, < a > ´e subgrupo de G, como aordem de p ´e um n´umero primo, ent˜ao pelo teorema de lagrange o(a) = p, n˜ao podendo ser1 pois < a > possuiria pelo menos dois elementos {e} e {a},isso implica que < a >= G.Corol´ario 14. Todo grupo de ordem prima ´e abeliano, pois ´e c´ıclico.Propriedade 49. Seja a ∈ G com o(a) < ∞ ent˜ao o(as) =o(a)mdc(o(a), s).Demonstra¸c˜ao. Sejam s > 0, n = o(a) e m = o(as) ent˜ao m = min{t > 0, t ∈N | ast= e}. Sabemos que n|s.m ent˜ao sm = mmc(n, s), usando que mmc(n, s).mdc(n, s) =n.s e a identidade anterior tem-sem =mmc(n, s)s=n.smdc(n, s)1s=nmdc(n, s)ent˜aoo(as) =o(a)mdc(o(a), s).Propriedade 50. Sejam o(a) = n e t = mdc(s, n) ent˜ao < as>=< at> .Demonstra¸c˜ao. Existe m ∈ Z tal que s = m.mdc(s, n) logo as= (at)massimas∈< at>, implicando que < as>⊂< at> .Existem n´umeros inteiros α, β tais que mdc(s, n) = α.s + β.n, da´ıat= (aα)s(aβ)n=e= (aα)slogo < at>⊂< as>.Como vale < as>⊂< at> e < at>⊂< as> ent˜ao < as>=< at> .Propriedade 51. Se |G| = m n ∈ N tal que mdc(n, m) = 1, ent˜ao para todo g ∈ G,g = xnpara algum x ∈ G.
  32. 32. CAP´ITULO 1. GRUPOS 31Demonstra¸c˜ao. Como mdc(n, m) = 1 ent˜ao existem x0, y0 ∈ Z tais que nx0 +my0 =1 da´ıg = gnx0gmy0= (gx0)n= xn.Propriedade 52. Todo subgrupo de um grupo c´ıclico ´e c´ıclico.Demonstra¸c˜ao. Seja G o grupo c´ıclico e H um subgrupo de G. Se H = {e} ent˜ao H´e c´ıclico, se n˜ao, existe as∈ H para algum s ∈ Z, como H ´e subgrupo de G ent˜ao a−s∈ H,existe um deles que ´e positivo s ou −s. Definimos o conjunto A = {k > 0, k ∈ N|ak∈ H}.Tal conjunto ´e n˜ao vazio, logo possui um elemento m´ınimo t. Dado um elemento qualquerde H ele ´e da forma ap, por divis˜ao euclidiana de p por t, existe q e 0 ≤ r < t tal quep = qt + r, da´ıap= (at)q.ar⇒ ap.(at)−q= ar∈ Hda´ı r = 0 pela minimalidade de t, implicando que ap= aq.tda´ı p = q.t, H =< at> .Al´em disso tal subgrupo possuintelementos, pois a ordem de at´ent.Exemplo 10. (Q, +) n˜ao ´e um grupo c´ıclico . Suponha que fosse c´ıclico, ent˜ao teria umgerador positivomn. Com t ≥ 1 temos tmn≥mn, com t ≤ −1 temos tmn≤ −mn, da´ı oconjunto gerado aditivamente pormnn˜ao possui elementos em (−mn, 0)∪(0,mn), conjuntoque possui racionais, ent˜ao chegamos num absurdo!Exemplo 11. O menor grupo n˜ao c´ıclico possui ordem 4, ´e o grupo Z2 × Z2 com adi¸c˜ao. Grupos de ordem 2 e 3 s˜ao c´ıclicos pois s˜ao grupos de ordem prima. {e} o grupo deordem 1 tamb´em ´e c´ıclico.Propriedade 53. Todo grupo quociente de um grupo c´ıclico ´e c´ıclico.Demonstra¸c˜ao. Seja H < G onde < g >= G ent˜ao < gH >= G/H.Seja xH ∈ G/H, temos x = gkpara algum k ∈ Z da´ı(gH)k= gkH = xHent˜ao gH gera G/H.
  33. 33. CAP´ITULO 1. GRUPOS 32Propriedade 54. Seja (K, +, ×) corpo e (G, ×) subgrupo finito de (K∗, ×) ent˜ao G ´ec´ıclico.Demonstra¸c˜ao. Seja r = max{O(g), g ∈ G}, por teorema de Lagrange temos quer ≤ |G|, G ´e abeliano pois (K∗, ×) ´e abeliano. Vale por proposi¸c˜ao j´a demonstrada queO(x)|r ∀ x ∈ G logo todos elementos de G s˜ao ra´ızes de Xr− 1 ∈ K[x], isto implica que|G| ≤ r logo |G| = r, um elemento de ordem r gera G, logo ele ´e c´ıclico.Propriedade 55. Seja G = {e}, tal que seus ´unicos subgrupos sejam {e} e G. Ent˜ao G´e c´ıclico finito de ordem prima.Demonstra¸c˜ao. Tomamos a = e ∈ G, < a > ´e subgrupo de G da´ı < a >= G, poisn˜ao pode ser < a >= {e}, pois < a > possui pelo menos dois elementos e < e > apenasum. Se a2= e ent˜ao o grupo ´e finito de ordem prima, se n˜ao < a2>= G =< a >, logoa ∈< a2>, implicando que existe n ∈ Z tal que a2n= a da´ı a2n−1= e, logo o grupo´e finito. Seja p a ordem do grupo, para todo 0 < s < p, < as> gera o grupo e da´ıo(as) = o(a) implicando pela identidadeo(as) =o(a)mdc(o(a), s)que mdc(p, s) = 1 da´ı nenhum n´umero menor que p divide p, implicando que ele ´e primo.Propriedade 56. Um grupo c´ıclico com n elementos possui ϕ(n) geradores.Demonstra¸c˜ao. o(as) =o(a)mdc(o(a), s), o(as) = o(a) ⇔ mdc(o(a), s) = 1, a quanti-dade de elementos s tais que isso acontece ´e ϕ(n).Propriedade 57. Seja G um grupo c´ıclico com n elementos, gerado por a. Para cadad ≥ 1 divisor de n existe um ´unico subgrupo de G com d elementos , a saber, Hd =< and > .Demonstra¸c˜ao. Para cada d divisor de n, existe o subgrupo < and >, al´em disso|Hd| = o(and ) =o(a)mdc(o(a), o(a)d)= dlogo possui d elementos.Agora vamos provar a unicidade. Seja H um subgrupo de G com d elementos, tal qued|n. Como G ´e c´ıclico ent˜ao H ´e c´ıclico, logo existe s ∈ N | < as>= H =< amdc(n,s)>d = |H| = o(as) =nmdc(n, s)da´ı mdc(n, s) =nd, logo H =< and > .
  34. 34. CAP´ITULO 1. GRUPOS 33Propriedade 58. Se z∗n ´e c´ıclico ent˜ao possui ϕ(ϕ(n)) = ϕ2(n) geradores.Demonstra¸c˜ao. Suponha que z∗n seja c´ıclico, ent˜ao ele possui ϕ(n) elementos e a ∈ z∗ntal que < a >= z∗n e da´ıo(as) =o(a)mdc(o(a), s)se o(as) = o(a) ent˜ao mdc(o(a), s) = 1, isso acontece para ϕ(o(a)) elementos, ent˜ao z∗npossui ϕ2(n) geradores.Exemplo 12. Z∗10 ´e um grupo c´ıclico. Z∗10 , possui ϕ(10) = 4 elementos, eles s˜ao 1, 3, 7, 9pois 1.1 = 1, 3.7 = 21 ≡ 1 e 9.9 = 81 ≡ 1. O grupo ´e gerado por 3, pois• 32= 9.• 33= 9.3 = 27 ≡ 7• 34= 33.3 = 7.3 = 21 ≡ 1Ent˜ao < 3 >= Z∗10. O n´umero de divisores de 4 ´e 3, que s˜ao os n´umeros 1, 2 e 4. Ent˜aoele possui apenas um grupo n˜ao trivial com 2 elementos, que ´e < 9 >, da´ı segue tamb´emque < 3 >=< 7 >= Z∗10.Exemplo 13. Z∗8 n˜ao ´e um grupo c´ıclico. O n´umero de elementos desse grupo ´e ϕ(8) = 4,ent˜ao ele possui subgrupos com 1, 2, 4 elementos. Os elementos do grupo s˜ao• Triviais 1 e 7.• N˜ao triviais: 3 pois 3.3 = 9 ≡ 1.• 5 pois 5.5 = 25 ≡ 1.• Logo o grupo ´e {1, 3, 5, 7} = Z∗8 n˜ao ´e c´ıclico.Exemplo 14. Z∗17 ´e um grupo c´ıclico. Tal grupo possui ϕ(17) = 16 elementos, os divisoresde 16 s˜ao 1, 2, 4, 8, 16, ele possui ent˜ao 5 subgrupos, com respectivamente 1, 2, 4, 8, 16elementos.• < 1 >= {1} ´e subgrupo trivial
  35. 35. CAP´ITULO 1. GRUPOS 34• 3 gera o grupo pois32= 933= 1034= 1335= 536= 1537= 1138= 1639= 14310= 8311= 7312= 4313= 12314= 2315= 6• Possui ϕ2(17) = 8 geradores. Que s˜ao dados por 3scom mdc(16, s) = 1.33= 1035= 537= 1139= 14311= 7313= 12315= 6
  36. 36. CAP´ITULO 1. GRUPOS 35• Subgrupos de ordem 8, temos que saber s tal que mdc(16, s) = 2, tais valores s˜ao2, 6, 10, 1432= 936= 15310= 11314= 2.• Subgrupos de ordem 4, temos que saber os valores de s tais que mdc(16, s) = 4, taisvalores s˜ao 4 e 12 os elementos s˜ao34= 13312= 4.• Subgrupos de ordem 2, mdc(16, s) = 8, apenas para s = 8 e o elemento ´e38= 16.Propriedade 59. a = e possui ordem 2 ⇔ a = a−1.Demonstra¸c˜ao.⇒).Se a tem ordem 2 ent˜ao a2= e , isto ´e a.a = e logo a ´e inverso de si mesmo porunicidade do inverso.⇐)Se a = a−1ent˜ao multiplicando por a tem-se a2= e logo a possui ordem 2.Propriedade 60. Se O(a) = mn ent˜ao O(am) = n.Demonstra¸c˜ao. A ordem de am´e o menor valor natural s, tal que ams= e, suponhaque seja s < n ent˜ao ms < mn e a ordem de a seria ms, absurdo o que contraria aminimalidade de mn. Logo O(am) = n.Propriedade 61. Vale que O(a) = O(a−1).
  37. 37. CAP´ITULO 1. GRUPOS 36Demonstra¸c˜ao. Suponha que O(a) = m ent˜ao am= e o que implica a−m= e,portanto m ´e um candidato a ordem de a−1, suponha que ordem fosse n < m ent˜aoa−n= e o que implica an= e contrariando a minimalidade de m, portanto a ordem dea−1´e m.Propriedade 62. Se x2= e para todo x em G ent˜ao G ´e abeliano.Demonstra¸c˜ao. Temos (xy)(xy) = e multiplicando por x a esquerda yxy = x multi-plicando por y a direita yx = xy logo abeliano.Corol´ario 15. Se O(a) = 2 ∀ a = e ∈ G ent˜ao G ´e abeliano.Defini¸c˜ao 21 ( Tor¸c˜ao). O subconjuntoT(G) = {a ∈ G | O(a) < ∞}´e chamando de subconjunto de tor¸c˜ao de G.Propriedade 63. Se G ´e abeliano ent˜ao T(G) ´e um subgrupo de G chamado de subgrupode tor¸c˜ao de G.Demonstra¸c˜ao.• O conjunto n˜ao ´e vazio pois e ∈ T(G), e possui ordem 1.• Dados a, b ∈ G com ordens finitas, digamos n e m, ent˜ao a.b possui ordem finita ,pois (a.b)nm= anmbnm= e.• Se a possui ordem finita ent˜ao a−1tem a mesma ordem como j´a mostramos.Conclu´ımos ent˜ao que T(G) < G.Exemplo 15. T(C {0}) ´e o conjunto das ra´ızes da unidade.Propriedade 64. nZ ⊂ mZ ⇔ m|n e temos (mZ : nZ) =nm.Demonstra¸c˜ao. ⇒).Se nZ ⊂ mZ ent˜ao m|n.n ∈ mZ logo existe t ∈ Z tal que n = mt que implica m|n.⇐).
  38. 38. CAP´ITULO 1. GRUPOS 37Se m|n ent˜ao existe t ∈ Z tal que n = mt logo < n >= nZ ⊂< m >= mZ.Usando a propriedade de que, se temos K < H < G ent˜ao (G : K) = (G : H)(H : K),usando K = nZ, H = mZ e G = Z temos(Z : nZ)n= (Z : mZ)m(mZ : nZ) ⇒ (mZ : nZ) =nm.1.5.1 Homomorfismos e automorfismos de Grupos c´ıclicosPropriedade 65. Sejam a ∈ G, b ∈ B.1. Se O(a) < ∞ ent˜ao existe homomorfismo f :< a >→ B tal que f(a) = b ⇔O(b) | o(a). Tal morfismo se existir ´e ´unico e tem-se f(ar) = br∀r ∈ N.2. Se o(a) = ∞ e O(b) qualquer, ent˜ao existe um ´unico morfismo f :< a >→ B talque f(a) = b. O morfismo ´e dado por f(ar) = br∀r ∈ Z.Demonstra¸c˜ao.• ⇒). Se r = O(a) < ∞ e O(b) n˜ao divide O(a) n˜ao existe morfismo f :< a >→ Bcom f(a) = b, pois se existisse f(ar) = f(a)r= br= e logo O(b)|O(a). ⇐). SeO(b) |O(a) tomamos f :< a >→ B com f(ar) = br. Se r e s s˜ao tais que ar= asvamos mostrar que br= bs. Temos ar−s= e logo r − s ´e m´ultiplo de O(a) e comoO(b) divide O(a) ent˜ao r − s ´e m´ultiplo de O(b) e da´ı br−s= e ⇒ br= bs.• Se O(a) = ∞ ent˜ao todo elemento x ∈< a > tem uma ´unica representa¸c˜ao x = arpois caso contr´ario < a > seria finito.A fun¸c˜ao definida ´e um morfismo poisf(xy) = f(aras) = f(ar+s) = br+s= brbs= f(ar)f(as) = f(x)f(y).Unicidade. O homomorfismo em qualquer dos casos ´e ´unico pois se g ´e morfismo comg(a) = b ent˜ao g(ar) = g(a)r= br∀r ∈ Z da´ı g = f.Propriedade 66. Seja G finito, f : G → Z com f(g) = 0 ∀g ∈ G ´e o ´unico homomorfismode G em Z.
  39. 39. CAP´ITULO 1. GRUPOS 38Demonstra¸c˜ao. Suponha que fosse f(g) = n = 0 para g = e ent˜ao | < a > | = r = 0e gr= e, da´ı 0 = f(gr) = rf(g) = r=0. n=0= 0 o que ´e absurdo, da´ı deve valer paratodo g ∈ G f(g) = 0.Exemplo 16. Seja G = Z8 e B = Z10. Procuramos todos os morfismos f : G → B.Os elementos b ∈ B tais que O(b)|O(1) = 8 s˜ao b = 5 ou b = 0, logo os morfismos s˜aof1 : Z8 → Z10 f1(n) = 5n ou f2 : Z8 → Z10 com f2(n) = 0.Propriedade 67. Seja G =< a > e f : G → G morfismo de grupos, f ´e automorfismo⇔ < f(a) >= G.Demonstra¸c˜ao.⇒).Suponha f isomorfismo, f(a) = b, f(ar) = br, f ´e bije¸c˜ao ent˜ao dado y ∈ G existex ∈ G tal que f(x) = y, por´em x = arpara algum r ∈ Z, da´ı f(x) = f(ar) = f(a)r= yportanto G ⊂< f(a) >, como < f(a) >⊂ G ent˜ao < f(a) >= G.⇐).Suponha que < f(a) >= G. Temos que mostrar que f ´e injetora e sobrejetora.• f ´e sobrejetora pois dado y ∈ G temos r ∈ Z tal que y = f(a)r= f( arx∈G) = f(x).•Propriedade 68 (Teorema Chinˆes dos restos). Sejam (mk)r1 inteiros dois a dois distintosentre si, ent˜ao a aplica¸c˜ao diagonal∆ : Z →rk=1Zmkcom f(z) = (z + mkZ)r1 ´e sobrejetiva ou de maneira equivalente, existe z ∈ Z tal que(z ≡ zk mod mk)r1.Demonstra¸c˜ao. Seja α = (1+mkZ)r1 ∈ (Zmk)r1, vale que |rk=1Zmk| = O(α) = |rk=1mk|pois
  40. 40. CAP´ITULO 1. GRUPOS 39αrk=1mk = (0)r1α ´e um gerador derk=1Zmkportanto ∀(zk)r1 existe z ∈ Z tal quezα = (zk + mkZ)r1isto ´e(zk + mkZ)r1 = (z + mkZ)r1.Corol´ario 16. Sejam (mk)r1 inteiros dois a dois primos entre si, ent˜ao∆ : Z/([rk=1mk]Z) →rk=1Zmkcom f(z + [rk=1mk]Z) = (Z + mkZ)r1 ´e um isomorfismo de grupos.Pois ∆ : Z →rk=1Zmk´e um homomorfismo de grupos com Kernel [rk=1mk]Z, aaplica¸c˜ao ´e sobrejetiva, logo ∆ ´e isomorfismo pelo Teorema do isomorfismo.Propriedade 69. Se P ´e um primo ´ımpar ent˜ao• Z/(ptZ) Z/([pt− pt−1]Z) para cada t ≥ 1.• Z/(2tZ) Z/(2Z) × Z/(2t−2Z) para cada t ≥ 2.Demonstra¸c˜ao.1.6 Grupos diedraisDefini¸c˜ao 22 (Grupo diedral Dn).1.7 Homomorfismo de gruposDefini¸c˜ao 23 (Homomorfismo de grupos). Sejam (G, ∗) e (B, ×) grupos. A fun¸c˜aoϕ : G → B ´e chamada de homomorfismo de grupos ⇔ϕ(a ∗ b) = ϕ(a) × ϕ(b)
  41. 41. CAP´ITULO 1. GRUPOS 40para todos a, b em G.O Homomorfismo ´e uma fun¸c˜ao que preserva as opera¸c˜oes dos grupos. Um homo-morfismo tamb´em pode ser chamado de morfismo. A mesma defini¸c˜ao para semi-grupo.Exemplo 17. N˜ao existe homomorfismo injetor multiplicativo entre Z e nZ, com n ≥ 2natural .Supondo que exista, temosf(1) = nkf(1.1) = f(1)f(1) = n2k2= nkda´ı nk = 0 ou nk = 1 logo k = 0 da´ı f(1) = 0 e portanto f(s) = f(s.1) = f(s) f(1)0= 0 ea fun¸c˜ao n˜ao ´e injetora. Caso nk = 1 ent˜ao k =1ne f(1) = 1 em nZ o que n˜ao ´e poss´ıvel.Defini¸c˜ao 24. Dado grupo A, denotamos o conjunto dos elementos invert´ıveis dessegrupo como A∗.Exemplo 18.R∗= R {0}.C∗= C {0}.Q∗= Q {0}.Z∗= {1, −1}.Z∗p = Zp {0}.N∗= {1}.Propriedade 70. R+= {x ∈ R | x > 0} com a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao ´e um subgrupode R∗.Demonstra¸c˜ao.
  42. 42. CAP´ITULO 1. GRUPOS 41• O elemento neutro 1 ∈ R+.• Dado x ∈ R+e y ∈ R+ent˜ao x.y ∈ R+pois o produto de positivos ´e positivo.• Dado x ∈ R+ent˜ao x−1∈ R+, pois o inverso de um n´umero positivo tamb´em ´epositivo. Logo R+´e subgrupo de R∗.Propriedade 71. A fun¸c˜ao f : C∗→ R+dada por f(z) = |z| ´e um homomorfismo degrupos. Onde estamos considerando C∗e R+com a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao.Demonstra¸c˜ao. Vale f(z.y) = |z.y| = |z|.|y| = f(z).f(y).Corol´ario 17 (Homomorfismo trivial). A fun¸c˜ao ϕ : G → B definida comoϕ(a) = eB ∀a ∈ G´e um homomorfismo, chamado homomorfismo trivial. Pois valeϕ(a ∗ b) = eB = eB × eB = ϕ(a) × ϕ(b).Exemplo 19 (Identidade). A fun¸c˜ao I : G → G com f(x) = x ´e um homomorfismochamado de identidade. Tal fun¸c˜ao ´e homomorfismo pois f(xy) = xy = f(x)f(y).Exemplo 20. Dado um grupo abeliano G ent˜ao f : G → G com f(x) = xncom n ∈ Nfixo ´e um homomorfismo, poisf(xy) = (xy)n= xnyn= f(x)f(y).Em especial se G = Z com a adi¸c˜ao ent˜ao f(x) = nx ´e homomorfismoDefini¸c˜ao 25 (Proje¸c˜ao canˆonica). Seja H G ent˜ao f : G → G/H com f(x) = xH ´eum homomorfismo chamado de proje¸c˜ao canˆonica.Tal fun¸c˜ao ´e realmente um homomorfismo poisf(xy) = xyH = xHyH = f(x)f(y).
  43. 43. CAP´ITULO 1. GRUPOS 42Exemplo 21. Sejam G = (V, +) e H = (W, +) espa¸cos vetoriais, ent˜ao qualquer trans-forma¸c˜ao linear T : V → W ´e um homomorfismo de grupos, pois por defini¸c˜ao de trans-forma¸c˜ao linear temosT(v + u) = t(v) + T(u).Propriedade 72.ϕ(eG) = eB.Demonstra¸c˜ao.ϕ(eG ∗ eG) = ϕ(eG) = ϕ(eG) × ϕ(eG)operando ϕ(eG) em ambos lados temoseB = ϕ(eG).Propriedade 73. A composi¸c˜ao de homomorfismos ´e um homomorfismo.Demonstra¸c˜ao. Sejam (G, ∗), (G , ∗ ), (G , ∗ ) grupos. Se f : G → G e g : G → Gs˜ao homomorfismos de grupos, ent˜ao g ◦ f : G → G ´e um homomorfismo de grupos, poissendo a, b ∈ G vale(g ◦ f)(a ∗ b) = g(f(a ∗ b)) = g(f(a) ∗ f(b)) = g(f(a)) ∗ g(f(b)).Propriedade 74.ϕ(a−1) = ϕ(a)−1.Demonstra¸c˜ao. Temosϕ(a ∗ a−1) = ϕ(eG) = eB = ϕ(a) × ϕ(a−1)operando com ϕ(a)−1a esquerda segueϕ(a)−1= ϕ(a−1)Propriedade 75. Se H < G ent˜ao ϕ(H), ´e subgrupo de B.Demonstra¸c˜ao. Temos que eB ∈ ϕ(H) pois ϕ(eG) = eB.Se a ∈ ϕ(H) existe c1 ∈ H tal que ϕ(c1) = a e b ∈ ϕ(H) ent˜ao existe c2 ∈ H tal queϕ(c2) = b de onde segue c1 ∗ c2 ∈ H e ϕ(c1 ∗ c2) = ϕ(c1) × ϕ(c2) = a × b logo a.b ∈ ϕ(H).Se a ∈ ϕ(H) existe c ∈ H tal que ϕ(c) = a e temos tamb´em ϕ(c−1) = ϕ(c)−1= a−1logo a−1∈ ϕ(H), mostrando que ϕ(H) ´e subgrupo de B .
  44. 44. CAP´ITULO 1. GRUPOS 43Corol´ario 18.Em especial o resultado anterior vale se H = G, logo Im(f) < B.Defini¸c˜ao 26 (N´ucleo). O n´ucleo de ϕ ´e o conjuntoKer(ϕ) = {x ∈ G|ϕ(x) = eB}.Propriedade 76. Ker(ϕ) ´e um subgrupo de G.Demonstra¸c˜ao. Temos que ϕ(eG) = eB, logo eG ∈ Ker(ϕ).Se a ∈ Ker(ϕ) e b ∈ Ker(ϕ) segue ϕ(a ∗ b) = ϕ(a) × ϕ(b) = eB × eB = eB logoa ∗ b ∈ Ker(ϕ).Se a ∈ Ker(ϕ) temos ϕ(a) = eB e ϕ(a−1) = ϕ(a)−1= e−1B = eB assim a−1∈ Ker(ϕ)o que implica Ker(ϕ) ser subgrupo de G.Propriedade 77. Ker(ϕ) G.Demonstra¸c˜ao. Temos que mostrar que gKer(ϕ)g−1⊂ Ker(ϕ), para g ∈ G ar-bitr´ario. Seja ent˜ao x ∈ Ker(ϕ), vamos demonstrar que gxg−1∈ Ker(ϕ), por issoaplicamos ϕ, de onde segueϕ(gxg−1) = ϕ(x)ϕ(x)ϕ(g−1) = ϕ(x)eϕ(g)−1= epor isso gxg−1∈ Ker(ϕ).Propriedade 78. ϕ ´e injetora ⇔ Ker(ϕ) = {eG}.Demonstra¸c˜ao.⇒). Considere ϕ injetora, ent˜ao temos ϕ(a) = ϕ(b) ⇔ a = b, como temos ϕ(eG) = eBsegue Ker(ϕ) = {eG}.⇐). Seja agora Ker(ϕ) = {eG}, temos ϕ(a) = eB implica a = eG, suponhamosϕ(a) = ϕ(b) logo ϕ(a) × ϕ(a)−1= eB = ϕ(b) × ϕ(a)−1= ϕ(b ∗ a−1) assim temos que terb ∗ a−1= eG, implicando b = a, logo a fun¸c˜ao ´e injetora.Propriedade 79. Se H G ent˜ao f(H) < B e f−1(f(H)) = HKer(f), sendo f homo-morfismo.Observamos que f−1(f(H)) ´e o conjunto dos y ∈ G tais que f(y) ∈ f(H), y fixo poden˜ao pertencer a H.
  45. 45. CAP´ITULO 1. GRUPOS 44Demonstra¸c˜ao.• HKer(f) ⊂ f−1(f(H)). Dado hk ∈ HKer(f) temosf(hk) = f(h)f(k) = f(h) ∈ F(H)logo vale a inclus˜ao HKer(f) ⊂ f−1(f(H)).• f−1(f(H)) ⊂ HKer(f). Seja y ∈ f−1(f(H)) ent˜ao f(y) ∈ f(H) , logo existeh ∈ H tal que f(y) = f(h) ⇒ f(h−1y) = e, por isso h−1y ∈ Ker(f), que implicay = h(h−1y) ∈ Hker(f).Corol´ario 19. Dado H < G ent˜ao f−1(f(H)) = HKer(f) implica que f−1(f(H)) < Gpois Ker(f) G e H < G.Propriedade 80. Se T < B ent˜ao f−1(T) < G e Ker(f) ⊂ f−1(T).Demonstra¸c˜ao.• Ker(f) ⊂ f−1(T). Pois como T < B ent˜ao eB ∈ T e da´ıKer(f) = f−1(eB) ⊂ f−1(T).• f−1(T) < G.1. Produto ´e fechado . Sejam x, y ∈ f−1(T) ent˜ao f(x), f(y) ∈ f(T) logo existemt1, t2 ∈ T tais que f(x) = f(t1) , f(y) = f(t2) portanto f(x.y) = f(t1t2) ∈ f(T)da´ı xy ∈ f−1(T).2. Inverso est´a no conjunto. Se x ∈ f−1(T) ent˜ao f(x) = f(t1) da´ı f(t1)f(t1)−1=f(x)f(t1)−1, por unicidade do inverso segue que x−1∈ f−1(t).Propriedade 81. Seja T < B ent˜ao f(f−1(T)) = T ∩ Im(f).Demonstra¸c˜ao.• Vale f(f−1(T)) ⊂ T ∩ Im(f) . f−1(T) = A ´e o conjunto dos x ∈ G tais quef(x) ∈ T, da´ı temos claramente f(A) ⊂ T e por defini¸c˜ao f(A) ⊂ Im(f) ent˜aof(f−1(T)) ⊂ T ∩ Im(f).
  46. 46. CAP´ITULO 1. GRUPOS 45• T ∩ Im(f) ⊂ f(f−1(T)). Seja y ∈ T ∩ Im(f), como y ∈ Im(f) existe g ∈ G tal quef(g) = y, como y ∈ T ent˜ao g ∈ f−1(T) = A e da´ı y = f(g) ∈ f(A) = f(f−1(T)).Corol´ario 20. Se f : G → B ´e sobrejetiva ent˜ao f(f−1(T)) = T, pois T ⊂ Im(f) logoT ∩ Im(f) = T.Propriedade 82. Se O(x) < ∞ ent˜ao O(f(x))|o(x).Demonstra¸c˜ao. Seja n = O(x) ent˜aoeB = f(e) = f(xn) = f(x)nO(f(x)) ´e o menor valor m tal que f(x)n= eB portanto m ≤ n. Suponha por absurdoque m n˜ao divide n, ent˜ao por divis˜ao euclidiana temos n = mq + r com r > 0 e da´ıf(x)n= e = (f(x)m)qf(x)r= f(x)ro que contradiz a minimalidade de m, portanto m|n.Propriedade 83. Sejam H, K, HK < G ent˜ao(HK : K) = (H : H ∩ K),isto ´e, a quantidade de classes laterais de K em KH ´e a mesma quantidade de classeslaterais de H ∩ K em H.Demonstra¸c˜ao. Seja A = {ha}a∈B um sistema de representantes das classes laterais`a esquerda de H ∩ K em H. Seja C o conjunto das classes laterais `a esquerda de Kem HK, definimos uma fun¸c˜ao f : A → C com f(ha) = haK e vamos mostrar que f ´ebije¸c˜ao.• f ´e injetora. Sabemos que ha = hb ⇔ a = b. Suponha a = b, vamos mostrar quef(ha) = haK = f(hb) = hbK, pois se fosse hbK = haK ent˜ao ha = hbl com l ∈ K eda´ı l = h−1b ha ∈ H portanto l ∈ H ∩ K de onde segue que ha = hb ⇒ a = b, o que ´eabsurdo.
  47. 47. CAP´ITULO 1. GRUPOS 46• A fun¸c˜ao ´e sobrejetora, isto ´e, toda classe lateral `a esquerda de K em HK ´e do tipohaK, para algum a ∈ B. Seja tK, t ∈ HK uma classe lateral, escrevemos t = hk,temostK = hkK = hKescolhemos a ∈ B tal que h ∈ ha, logo h = ha.s com s ∈ H ∩ K e da´ıtK = hK = ha.sK = haK,logo a fun¸c˜ao ´e sobrejetiva, como quer´ıamos demonstrar.Como a fun¸c˜ao ´e sobrejetiva e injetiva, temos bije¸c˜ao da´ı (HK : K) = (H : H ∩ K).Defini¸c˜ao 27 (Isomorfismo de Grupos). ψ ´e um isomorfismo de grupos ⇔ ψ ´e um ho-momorfismo bijetor.Defini¸c˜ao 28 (Grupos isomorfos). Dois grupos G e B s˜ao isomorfos ⇔ existe um iso-morfismo ψ entre eles. Nesse caso denotamos A B.Propriedade 84. (R+, .) e (R, +) s˜ao isomorfos.Demonstra¸c˜ao.Considere a fun¸c˜ao f : R+→ R definida como f(x) = ln x. Ent˜ao vale• f ´e bijetora, pois dado y ∈ R, existe x = eytal que ln ey= y ent˜ao ´e sobrejetora.Al´em disso ´e injetora pois f (x) =1x> 0.• f ´e um homomorfismo pois ln(x.y) = ln x + ln y.Propriedade 85. A fun¸c˜ao inversa de um isomorfismo ´e um isomorfismo.Demonstra¸c˜ao. Considere os grupos isomorfos (G, ∗) e (G , ∗) com o isomorfismof : G → G. Como f ´e bijetora ela possui uma ´unica inversa g : G → G que tamb´em´e bijetora, vamos mostrar que g tamb´em ´e um homomorfismo, mostrando que tomandox2, y2 ∈ G quaisquer vale g(x2∗ y2) = g(x2)∗g(y2). Existem x1, y2 ∈ G tais que f(x1) = x2e g(y1) = y2, da´ıg(x2 ∗ y2) = g(f(x1) ∗ f(x2)) = g(f(x1 ∗ x2)) = x1 ∗ x2 = g(x2)(g(y2) .
  48. 48. CAP´ITULO 1. GRUPOS 471.7.1 AutomorfismoDefini¸c˜ao 29 (Automorfismo). Um automorfismo de G ´e um isomorfismo de G em G.1.7.2 f : G → G com f(x) = axa−1´e automorfismoPropriedade 86. Sejam G um grupo e a ∈ G fixo. Se f : G → G tem lei f(x) = axa−1,ent˜ao f ´e um automorfismo.Demonstra¸c˜ao. Temos que mostrar que a fun¸c˜ao ´e um homomorfismo bijetor. Talfun¸c˜ao ´e um homomorfismo pois f(c.b) = a(c.b)a−1= a(ca−1ab).a−1= f(c).f(b). Ela ´einjetora pois se f(c) = f(b) ent˜ao aca−1= aba−1, implica c = b por lei do corte. A fun¸c˜aotamb´em ´e sobrejetora pois axa−1= b ent˜ao x = a−1b.a.Defini¸c˜ao 30. Definimos o conjunto Aut(G) comoAut(G) = {f : G → G | f ´e automorfismo}.Propriedade 87. A estrutura (Aut(G), ◦) ´e um grupo, onde ◦ ´e a composi¸c˜ao de fun¸c˜oes.Demonstra¸c˜ao.• A composi¸c˜ao ´e fechada.• A composi¸c˜ao de bije¸c˜oes ´e bije¸c˜ao.• A composi¸c˜ao de homomorfismos ´e um homomorfismo. Ent˜ao tem-se que a opera¸c˜ao´e fechada.• A identidade ´e um automorfismo.• Existe inverso pra um automorfismo pois as fun¸c˜oes s˜ao bijetoras.• A composi¸c˜ao ´e associativa.Propriedade 88. Seja I(G) com composi¸c˜ao de fun¸c˜oes, ent˜ao I(G) Aut(G).Demonstra¸c˜ao. Primeiro mostramos que ´e subgrupo.• I(G) ´e n˜ao vazio, pois temos nele a fun¸c˜ao identidade Ie(x) = exe−1= x.
  49. 49. CAP´ITULO 1. GRUPOS 48• Sejam Ig1 e Ig2 automorfismos internos ent˜aoIg1 ◦ Ig1 (x) = Ig1 (g2xg−12 ) = g1g2xg−12 g−11 = g1g2x(g1g2)−1= Ig1g2 (x).• Dado Ig ent˜ao (Ig)−1tamb´em ´e automorfismo interno, pois Ig−1 ´e autormorfismointerno e Ig−1 (x) = g−1xgIg ◦ Ig−1 (x) = g(g−1xg)g−1= x = I´e a identidade, logo (Ig)−1= Ig−1 .Agora vamos mostrar finalmente que I(G) Aut(G), isto ´e, f ◦ I(G) ◦ f−1⊂ I(G)onde f ∈ Aut(G). Sejam f ∈ Aut(G) e Ig ∈ I(G) quaisquer ent˜aof ◦ Ig ◦ f−1(x) = f(gf−1(x)g−1) = f(g)xf(g)−1∈ I(G)como quer´ıamos demonstrar.Propriedade 89. G ´e abeliano ⇔ I(G) = {I}.Demonstra¸c˜ao. ⇒). Se G ´e abeliano ent˜ao Ig(x) = gxg−1= x = I ∀g ∈ G ´e afun¸c˜ao identidade, logo todos automorfismos internos s˜ao iguais a fun¸c˜ao identidade e da´ıI(G) = {I}.⇐).Se ∀g, x ∈ G vale Ig(x) = x ent˜ao gxg−1= x ⇒ gx = xg logo o grupo ´e abeliano.Propriedade 90. H G ⇔ Ig(H) ⊂ H, ∀g ∈ G , isto ´e, H ´e est´avel por todos automor-fismos internos de G.Demonstra¸c˜ao.H G ⇔ ∀g ∈ G gHg−1⊂ H ⇔ Ig(H) ⊂ H.Defini¸c˜ao 31 (Subgrupo caracter´ıstico). H < G ´e um subgrupo caracter´ıstico de G,que se denota por H G, se ele ´e est´avel por todos os automorfismos de G, isto ´e,f(H) ⊂ H ∀f ∈ Aut(G).Exemplo 22. S˜ao subgrupos caracter´ısticos de G, {e}, G, Z(G), G .
  50. 50. CAP´ITULO 1. GRUPOS 49• {e} ´e subgrupo caracter´ıstico pois para qualquer automorfismo f de G tem-se f(e) =e.• ´E claro que f(G) ⊂ G para qualquer f.• Z(G) ´e subgrupo caracter´ıstico . Dado qualquer automorfismo f : G → G e qualquerg ∈ Z(G), temos que mostrar que ∀ x ∈ G tem-se xf(g) = f(g)x. Como f : G → G´e bije¸c˜ao, ent˜ao existe y tal que f(y) = x, portantoxf(g) = f(y)f(g) = f(yg) = f(gy) = f(g)f(y) = f(g)x .• Por fim G ´e subgrupo caracter´ıstico . Dado z ∈ G z = xyx−1y−1, logo f(z) =f(x)f(y)f(x)−1f(y)−1∈ G pois a fun¸c˜ao assume valor em G .Corol´ario 21. Se H G ent˜ao H G pois em especial fg(H) = gHg−1´e automorfismopara todo g.Propriedade 91. Se H ´e o ´unico subgrupo de G de ordem n ent˜ao H G.Demonstra¸c˜ao.Temos que mostrar que para qualquer f automorfismo de G em G tem-se f(H) ⊂ H.f(H) ´e subgrupo de G , pois f ´e homomorfismo e H < G, al´em disso possui n elementos,pois f ´e fun¸c˜ao bijetora, disso segue que f(H) = H.Propriedade 92. Seja K H G ent˜ao K G, isto ´e, vale um tipo de transitividade.Demonstra¸c˜ao. Sejam g ∈ G arbitr´ario, Ig : G → G com Ig(x) = gxg−1conside-ramos a restri¸c˜ao Ig|H, como H G ent˜ao Ig(H) = H, I|H ´e um automorfismo de H.K H implica Ig|H(K) ⊂ K, isto ´e, gKg−1⊂ K ∀g ∈ G da´ı K G.Propriedade 93. Sejam (G, .) e (G , ∗) grupos e f : G → G um isomorfismo de gruposvale:• Se o(a) ´e finito ent˜ao o(f(a)) ´e finito.• Se o(a) ´e infinito ent˜ao o(f(a)) ´e infinito.
  51. 51. CAP´ITULO 1. GRUPOS 50Demonstra¸c˜ao. Suponha que o(a) seja infinito, ent˜ao o(f(a)) ´e finito ou infinito,suponha por absurdo que seja finito, logo existe n ∈ N tal que [f(a)]n= e = f(an) comoa fun¸c˜ao ´e injetora ent˜ao an= e que implicaria que o(a) ´e finita, um absurdo.Se o(a) ´e finita, existe n ∈ N tal que an= e e da´ı f(an) = f(a)n= f(e) = e, ent˜aoordem de f(a) ´e finita.Propriedade 94. Seja (G, .) um grupo c´ıclico infinito gerado por a, ent˜ao f : (z, +) →(G, .) definida por f(n) = an´e um isomorfismo de grupos.O elemento azgera G ⇔ z = 1 ou z = −1.Demonstra¸c˜ao. f ´e um homomorfismo pois f(n + m) = an+m= anam= f(n)f(m).Vamos mostrar que a fun¸c˜ao ´e injetora, suponha f(n) = f(m) ent˜ao an= ame da´ıan−m= e, se n = m ent˜ao o grupo seria finito, segue ent˜ao que n = m e a fun¸c˜ao ´einjetora. Pelo fato do grupo ser c´ıclico infinito gerado por a tem-se que f ´e sobrejetora.azgera G ⇔ z gera Z, os ´unicos elementos que geram Z s˜ao 1 e −1.Corol´ario 22. Quaisquer dois grupos c´ıclicos infinitos s˜ao isomorfos.Propriedade 95. Se (G, .) ´e um grupo c´ıclico de ordem n gerado por a ent˜ao G ´e isomorfoao grupo (zn, + mod n).Um elemento amgera G ⇔ mdc(m, n) = 1.Demonstra¸c˜ao. Seja a fun¸c˜ao Zn → G, definida como f(n) = an. Tal fun¸c˜ao ´e umhomomorfismo pois f(n + m) = an+m= an.am= f(n)f(m). f deve ser injetora, poisdados n ≥ m ≥ s ≥ 0 com am= assegue am−s= e ent˜ao de 0 ≤ m − s < n segue m = s.A fun¸c˜ao tamb´em ´e sobrejetiva.amgera G ⇔ m gera Zn ⇔ mdc(m, n) = 1.1.7.3 Determina¸c˜ao de homomorfismo entre dois gruposDefini¸c˜ao 32. Denotamos por Hom(G, B) o conjunto dos homomorfismos de G em B.Corol´ario 23.Hom(G, B) =H G{f : G → B, morfismo | Ker(f) = H}pois Ker(f) G.
  52. 52. CAP´ITULO 1. GRUPOS 511.7.4 Teorema de Cayley - G ´e isomorfo a um subgrupo de SG.Propriedade 96 (Cayley). G ´e isomorfo a um subgrupo de SG.Demonstra¸c˜ao. Para cada a ∈ G definimos a fun¸c˜ao fa : G → G tal que fa(x) = a.x,fa ´e injetora pois fa(x) = a.x = a.y ent˜ao x = y por lei do corte, f tamb´em ´e sobrejetorapois dado b ∈ G existe x = a−1b tal que fa(x) = aa−1b = b. Ent˜ao fa ´e uma bije¸c˜ao,fa ∈ G ∀a ∈ G.Definimos ent˜ao g : G → SG como g(a) = fa. Vamos mostrar que G ´e um homomor-fismo injetor.g(a.b)(x) = fa.b(x) = a.b.x = a(b.x) = (fa ◦ fb)(x)da´ı g(a.b) = g(a) ◦ g(b). Logo g ´e um homomorfismo de grupos, vamos mostrar que ´einjetoraker(G) = {a ∈ G | g(a) = IG} = {a ∈ G | ax = x} = {e}logo ´e injetora, ent˜ao est´a em bije¸c˜ao com sua imagem g(G) ⊂ SG sendo um isomorfismo.Corol´ario 24. Um grupo com n elementos ´e isomorfo a um subgrupo de Sn.Propriedade 97. Seja f : G → G com f(x) = x−1. G ´e abeliano ⇔ f ´e morfismo.Demonstra¸c˜ao.⇒). Supondo G abeliano. f(xy) = (xy)−1= y−1x−1= x−1y−1= f(x)f(y).⇐). Supondo que f seja morfismo. ∀x, y ∈ G tem-sef(x−1y−1) = f(x−1)f(y−1) = xy = yx.Corol´ario 25. Se ∀ a ∈ G a2= e ent˜ao G ´e abeliano. a ´e inverso dele mesmo a = a−1,portanto(xy)−1= y−1x−1= yx = xy.1.7.5 Teorema dos isomorfismosTeorema 2 (Teorema dos isomorfismos-1). Seja f : G → B um homomorfismo ent˜ao• h : G/(ker(f)) → f(G) com h(gker(f)) = f(g) ´e um isomorfismo.
  53. 53. CAP´ITULO 1. GRUPOS 52Demonstra¸c˜ao.• h ´e fun¸c˜ao. Se gKer(f) = g Ker(f) ent˜ao f(g) = f(g ) pois g = g k onde k ∈Ker(f) e da´ıf(g) = f(g k) = f(g )f(k) = f(g ).• h ´e morfismo.h(gKer(f)g Ker(f)) = h(gg Ker(f)) = f(gg ) = f(g)f(g ) = h(gKer(f))h(g Ker(f)).• f ´e injetiva pois se h(gKer(f)) = h(gKer(f)) ⇒ f(g) = f(g ) ⇒ f(g g−1) = eBent˜ao g = gk com k no n´ucleo portanto gKer(f) = g Ker(f).• h ´e sobrejetiva por defini¸c˜ao.h ´e bije¸c˜ao e homomorfismo, ent˜ao h ´e isomorfismo.Propriedade 98 (Teorema dos isomorfismos-2). Seja A = {H | H < G, ker(f) ⊂ H},isto ´e, o conjunto dos subgrupos de G que contem ker(f) e C = {T | T < f(G)} oconjunto dos subgrupos de f(G), ent˜ao g : A → C com2g(H) = f(H) ´e bije¸c˜ao quepossui inversa g−1(T) = f−1(T). Al´em disso• H G implica f(H) f(G).• T f(G) implica f−1(T) G.A ultima proposi¸c˜ao diz que g preserva a propriedade de subgrupos normais, isto ´e, levasubgrupos normais de um conjunto em subgrupos normais do outro conjunto. g pode servista como o morfismo f restrito ao conjunto A.Demonstra¸c˜ao.Sabemos que f−1(f(H)) = Hker(f) ∀H < G e f(f−1(T)) = T ∩ f(G), ∀ T < B, da´ıKer(f) ⊂ H implica f−1(f(H)) = H e T ⊂ f(G) que f(f−1(T)) = T, ent˜ao g possuiinversa , logo ´e bije¸c˜ao.2Usamos a nota¸c˜ao g para fun¸c˜ao no lugar de f, pois f, homomorfismo ´e definido de G em B.
  54. 54. CAP´ITULO 1. GRUPOS 53• H G implica f(H) f(G).Dado y ∈ f(g) e x ∈ f(H), temos que ter yxy−1∈ f(H). y = f(g), x = f(h),g, h ∈ G, H, logoyxy−1= f(g)f(h)f(g−1) = f(ghg−1∈H) ∈ f(H)a parte sublinha acontece pois H G.• T f(G) implica f−1(T) G.Dado g ∈ G e a ∈ f−1(T) (logo f(a) ∈ T), vamos mostrar que gag−1∈ f−1(T).Temosf(gag−1) = f(g) f(a)∈Tf(g)−1∈ Tpois T f(G) logo gag−1∈ f−1(T).Propriedade 99. Sejam f : G → T morfismo , H < G ent˜ao g : H/H ∩ Ker(f) → f(H)com g(h.H ∩ Ker(f)) = f(h) ´e um isomorfismo.Demonstra¸c˜ao. Considere o morfismo f|H : H → B, isto ´e, a restri¸c˜ao de f `a H,vale que f|H(H) = f(H) e Ker(f|H) = Ker(f) ∩ H, pois Ker(f) = {x ∈ G | f(x) = eB}e Ker(f|H) = {x ∈ H | f(x) = eB}, aplicando a parte 1 do teorema dos isomorfismo `af|H, basta substituir Ker(f) por Ker(f) ∩ H e provamos o resultado.Propriedade 100. Seja H G ent˜ao f : A → C ´e uma bije¸c˜ao onde A = {V | V G, V ⊂H}, C = {T | T G/H}.Demonstra¸c˜ao. Considere o homomorfismo l : G → G/H dado por l(g) = gH, l ´eum morfismo sobrejetor e Ker(l) = H, aplicamos a parte (2) do teorema dos isomorfismosa l, substituindo Ker(l) por H, f(G) por l(G) = G/H.Propriedade 101. Sejam G um grupo, A G, B C < G ent˜ao AB AC.Demonstra¸c˜ao. Como A G e B G ent˜ao AB G e em especial vale que AB = BA.• De A G temos ∀ g ∈ G e a ∈ A tem-se gag−1∈ A.• De B C segue ∀ c ∈ C e b ∈ B temos cbc−1∈ B.
  55. 55. CAP´ITULO 1. GRUPOS 54Queremos mostrar que AB AC, isto ´e, ∀ ac ∈ AC e a b ∈ AB tem-seaca b (ac)−1∈ AB, isto ´e , aca b c−1a−1∈ ABpor´em podemos escrevera (ca c−1)a1∈A(cb c−1)b1∈Ba−1= aa1b1a−1∈ ABa ´ultima passagem ´e verdadeira pois AB G.Propriedade 102. Se H G e K < G ent˜ao K/(H ∩ K) ´e isomorfo a KH/H.Demonstra¸c˜ao. Como H G e K < G temos que KH < G e KH = HK. H Gent˜ao H KH da´ı podemos considerar o quociente KH/H. Tomamos o morfismo canˆonicof : KH → KH/H com f(kh) = khH = kH. Consideramos a restri¸c˜ao f|K : K →KH/H, f(k) = kH. Temos Ker(f|k) = {k ∈ K | kH = k} = H ∩ K, f|K ´e sobrejetora,pelo teorema dos 1 segue o resultado.Propriedade 103. Sejam K < H < G com K G e H G ent˜aoG/KH/K´e isomorfo aG/H.Demonstra¸c˜ao. Seja f : G/K → G/H com f(gK) = gH.• f ´e fun¸c˜ao pois se gK = g K ent˜ao g = g K para algum k ∈ K da´ı f(g K) = g H ef(gK) = gH = g kH = g Hpois K ⊂ H.• f ´e sobrejetora por defini¸c˜ao.• Ker(f) = {gK | f(gk) = g∈HH = H} = H/K pois os elementos de H/K s˜ao daforma gK onde g ∈ H.Aplicando o primeiro teorema dos isomorfismo segue o resultado.
  56. 56. CAP´ITULO 1. GRUPOS 551.8 O grupo SnDefini¸c˜ao 33 (Congruˆencia m´odulo σ). Sejam σ ∈ Sn (σ ´e uma fun¸c˜ao bijetora que levaelementos de In em In.) , a, b ∈ In, dizemos que a ´e congruente a b m´odulo σ sse existek ∈ Z | b = σk(a), nesse caso escrevemosa ≡σ b ⇔ ∃k ∈ Z | σk(a) = b.Propriedade 104. A congruˆencia m´odulo σ ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em In.Demonstra¸c˜ao.• Vale a reflexividade pois σ0(a) = a.• Vale a simetria. Se σk(a) = b ent˜ao σ−kb = a da´ı a ≡σ b implica b ≡σ a.• Vale a transitividade. De σk(a) = b e σs(b) = c segue que σ(k+s)(a) = c da´ı a ≡σ c.Ent˜ao ≡σ ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em In.Defini¸c˜ao 34 (´Orbita de a por σ). A ´orbita de a por σ ´e o conjuntoO(a) := {σk(a) | k ∈ Z}, sendo a classe de equivalˆencia de a m´odulo σ.Propriedade 105. ∀a ∈ In existe l ≥ 1 tal que σl(a) = a.Demonstra¸c˜ao. O(a) ⊂ In, ent˜ao O(a) ´e um conjunto finito, logo existem inteiros1 ≤ n < m tais que σm(a) = σn(a), da´ı σm−n(a) = σ0(a) = a. O conjuntoA = {k ∈ Z | k ≥ 1 σk(a) = a}´e um conjunto de inteiros limitado inferiormente, logo pelo PBO ele possui um menorelemento l tal que σl(a) = a. Denotaremos sempre l como esse menor elemento.Propriedade 106. O(a) = {σk(a) | 0 ≤ k < l.}Demonstra¸c˜ao. Tomando m ∈ Z pela divis˜ao euclidiana por l temos m = q.l + r eda´ı σm(a) = σr(σq.l(a)) = σr(a).
  57. 57. CAP´ITULO 1. GRUPOS 56Defini¸c˜ao 35 (Ciclo de a por σ.). Chamamos (σk(a))l−11 ou qualquer permuta¸c˜ao circularde um ciclo de σ.Defini¸c˜ao 36 (r-Ciclo). Sejam r ≥ 1, Ar = {ak, 1 ≤ k ≤ r} ⊂ In. Definimos um r-ciclocomo uma permuta¸c˜ao σ : In → In definida como• σ(ak) = ak+1, se 1 ≤ k < r.• σ(ar) = a1.• σ(x) = x, ∀x ∈ In Ar E denotada como (ak)r= (a1, · · · , ar).Corol´ario 26. Se r = 1 ent˜ao σ ´e a identidade de In → In.Defini¸c˜ao 37 (Multiplica¸c˜ao de ciclos). Definimos o produto dos ciclos σ = (ak)reC = (bk)scomo a composi¸c˜ao das permuta¸c˜oes que eles representam(ak)r.(bk)s:= σ ◦ C.Defini¸c˜ao 38 (Ciclos disjuntos). Dizemos que (ak)re (bk)sciclos de In s˜ao disjuntos sse{ak, k ∈ Ir} ∩ {bk, k ∈ Is} = ∅.Propriedade 107 (Propriedade dos ciclos disjuntos). Se σ = (ak)re τ = (bk)ss˜ao ciclosdisjuntos de Sn, ent˜ao σ ◦ τ = τ ◦ σ.Demonstra¸c˜ao. Seja A = {ak, | k ∈ Ir} e B = {bk, | k ∈ Is}, A e B s˜ao conjuntosdisjuntos.• Se existe t ∈ In (A ∪ B) ent˜ao, σ e τ fixam t, valendoσ(τ(t)) = σ(t) = tτ(σ(t)) = τ(t) = tlogo s˜ao iguais.
  58. 58. CAP´ITULO 1. GRUPOS 57• Seja x ∈ A, da´ı x = ak para algum k e σ(ak) = at ∈ A para algum t, como at, ak /∈ Bs˜ao fixos por τ logoτ(σ(ak)) = τ(at) = atσ(τ(ak)) = σ(ak) = atlogo ´e comutativa.Propriedade 108. Toda permuta¸c˜ao σ ∈ Sn se escreve de modo ´unico como produto deseus ciclos (a menos da ordem).Propriedade 109. (ak)r=rk=2(a1, ak) onderk=2(a1, ak) = [rk=3(a1, ak)].(a1, a2) produtoaberto pelo limite inferior `a direita, isto ´e, todo r-ciclo se escreve como produto de 2-ciclos.Demonstra¸c˜ao. Para a1 temos σ(a1) = a2 e pelo ciclork=2(a1, ak) =rk=3(a1, ak).(a1, a2),pelo primeiro ciclo σ(a1) = a2 e a2 n˜ao aparece em nenhum outro ciclo , logo os outrosciclos fixam a2. Tomando agora 2 ≤ k < r, abrimos comork=2(a1, ak) =rk=s+2(a1, ak)(a1, as+1)(a1, as)s−1k=0(a1, ak)as ´e fixo no primeiro produto da direita, em (a1, as) temos σ(as) = a1 e em (a1, as+1)tem-se σ(a1) = as+1 sendo que as+1 ´e fixo porrk=s+2(a1, ak), logo o resultado d´a as+1. Nocaso de ar abrimos o produto comork=2(a1, ak) = (a1, ar)r−1k=2(a1, ak)ar ´e fixo no produt´orio e no ciclo (a1, ar) tem-se σ(ar) = a1. Ent˜ao em todo caso (ak)rerk=2(a1, ak) coincidem, sendo portanto iguais.Propriedade 110. Toda permuta¸c˜ao em Sn pode ser escrita como produto de 2-ciclos.Demonstra¸c˜ao. Escrevemos a permuta¸c˜ao como produto dos seus r-ciclos, que porsua vez podem ser escritos como produtos de 2-ciclos.Defini¸c˜ao 39 (Transposi¸c˜oes). Os 2-ciclos em sn s˜ao chamados de transposi¸c˜oes, emespecial um 2 − ciclo qualquer ´e chamado de transposi¸c˜ao.
  59. 59. CAP´ITULO 1. GRUPOS 58Corol´ario 27. Todo r-ciclo pode ser escrito comork=2(a1, ak) logo pode ser escrito comoproduto de r + 1 − 2 = r − 1 transposi¸c˜oes.Defini¸c˜ao 40 (Permuta¸c˜ao par ou´ımpar). Uma permuta¸c˜ao σ ´e chamada de par sse ´e umproduto de um n´umero par de transposi¸c˜oes, caso contr´ario ´e chamada de transposi¸c˜ao´ımpar.Defini¸c˜ao 41 (Grupo alternado). Definimos o grupo alternado de An comoAn = {σ ∈ Sn | σ ´e permuta¸c˜ao}.Propriedade 111.|An| =n!2.1.8.1 Ciclos de S3I =1 2 31 2 3f6 =1 2 31 3 2f5 =1 2 33 2 1σ =1 2 32 1 3f4 =1 2 33 1 2τ =1 2 32 3 1Os ciclos dos elementos s˜ao• f6 = (2, 3), ´ımpar.• f5 = (1, 3), ´ımpar.• σ = (1, 2), ´ımpar.• f4 = (1, 3, 2) = (1, 2)(1, 3), par.• τ = (1, 2, 3) = (1, 3)(1, 2), par.An = {I, f4, τ}.
  60. 60. CAP´ITULO 1. GRUPOS 591.8.2 Ciclos de S4.• f1 = (1, 2)(3, 4) par.• f2 = (1, 3)(2, 4) par.• f3 = (1, 4)(2, 3) par.• f4 = (1, 2, 3, 4) = (1, 4)(1, 3)(1, 2) ´ımpar.• f5 = (1, 3, 2, 4) = (1, 4)(1, 2)(1, 3) ´ımpar.• f6 = (1, 4, 3, 2) = (1, 2)(1, 3)(1, 4) ´ımpar.• f7 = (1, 2) ´ımpar.• f8 = (1, 2, 3) = (1, 3)(1, 2) par.• f9 = (1, 2, 4) = (1, 4)(1, 2) par.• f10 = (1, 2, 4, 3) = (1, 3)(1, 4)(1, 2) ´ımpar.• f11 = (1, 3, 4) = (1, 4)(1, 3) par.• f12 = (1, 3) ´ımpar.• f13 = (1, 3, 2) = (1, 2)(1, 3) par.• f14 = (1, 3, 4, 2) = (1, 2)(1, 4)(1, 3) ´ımpar.• f15 = (1, 4, 2, 3) = (1, 3)(1, 2)(1, 4) ´ımpar.• f16 = (1, 4, 2) = (1, 2)(1, 4) par.• f17 = (1, 4, 3) = (1, 3)(1, 4) par.• f18 = (1, 4) ´ımpar.• f19 = (3, 4) ´ımpar.• f20 = (2, 3, 4) = (2, 4)(2, 3) par.• f21 = (2, 3) ´ımpar.• f22 = (2, 4, 3) = (2, 3)(2, 4) par.
  61. 61. CAP´ITULO 1. GRUPOS 60• f23 = (2, 4) ´ımpar.A4 = {f1, f2, f3, f8, f9, f11, f13, f16, f17, f20, f22, I}.Propriedade 112. Se |G| = p2ent˜ao G possui no m´aximo p + 1 subgrupos com pelementos.Demonstra¸c˜ao. Vamos considerar elementos distintos da identidade e do grupo.Dado um a qualquer, vale que | < a > | = p ou p2se | < a > | = p dado b seb ∈< a >, ent˜ao < b >⊂< a >, logo n˜ao pode valer | < b > | = p2, como ambosconjuntos tem p elementos segue que < b >=< a >, logo se subgrupos de ordem p temum elemento em comum eles s˜ao iguais nesse caso. Isso implica que podemos ter nom´aximo p + 1 subgrupos de ordem p, pois caso fosse uma quantidade maior, algum dossubgrupos deveria ter elemento em comum logo seriam iguais.Exemplo 23. z2 × z2 com adi¸c˜ao possui 3 subgrupos de ordem 2, que s˜ao< (0, 1) >= {(0, 1), (0, 0)}< (1, 0) >= {(1, 0), (0, 0)}< (1, 1) >= {(1, 1), (0, 0)}.Exemplo 24. Z4 com adi¸c˜ao possui os seguintes subgrupos{0} =< 0 >{1, 2, 3, 0} =< 1 >< 2 >= {2, 0}< 3 >= {3, 2, 1, 0}n˜ao chega a possuir 3 subgrupos de ordem 2, pois se um grupo cont´em 3 gera o grupo, secont´em 1 tamb´em a ´unica possibilidade do subgrupo ter ordem 2 ´e conter 2 e 0 apenas.

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