1. Dpto. MAT El hotel de Hilbert. Jvh
- ¿Podría reservarme la habitación previa a la última?
- Por supuesto señor; le queda reservada la habitación -1
La paradoja del hotel de Hilbert
La historia siguiente ilustra por qué los cardinales infinitos han parecido absurdos
durante tanto tiempo. Consideremos -¿imaginemos?- el Hotel del infinito:
cuyas infinitas habitaciones están numeradas con los enteros 1, 2, 3, 4, 5...; la recepción
está al comienzo del pasillo y lleva el cartel R. (correspondería a la habitación nº cero)
Por dentro,
suponiendo que la
curva del edificio es
muy ligera, su “largo”
pasillo –con su “fría”
apariencia- podría
parecernos algo así

Resulta que el hotel está completo para esta noche (cada habitación tiene un
ocupante). Llega un viajero: "No hay problema", le responde el recepcionista. "Instálese en

2. la habitación 1. Yo le pediré a su ocupante que pase a la habitación 2, al que ocupa ésta,
que pase a la habitación número 3, y así sucesivamente." La recepción dispone,
insólitamente, de un teléfono especial que permite telefonear simultáneamente a todas las
habitaciones y solicitar al ocupante de la habitación n que, dado el caso, pase a otra
habitación, por ejemplo a la n+1. El nuevo cliente (C) ha podido ser alojado:
1  2  3  4  5 …
C 1 2 3 4 …
Ahora está “claro” que también se puede alojar a otro nuevo cliente que llegara, y
a otro, y a otro, y así sucesivamente. Diez minutos más tarde llega un autocar (infinito,
claro está) con nuevos viajeros que desean pasar la noche en el hotel. "No hay problema",
responde el recepcionista al conductor del autocar. Recurre de nuevo a su teléfono especial
para pedir al ocupante de la habitación n que se mude a la de número 2n. Después, le
indica al conductor del autocar que el cliente del asiento número i (Ci) de su vehículo debe
ir a la habitación 2i-1 (que ha quedado efectivamente libre, pues todas las habitaciones de
número impar han sido desalojadas).
1 2 3 4 5 6 7 …
C1 1 C2 2 C3 3 C4 …
Por tanto, al contrario que en el caso de conjuntos finitos, puede ocurrir que un
subconjunto propio de un conjunto infinito M tenga el mismo número nº de elementos -el
mismo cardinal- que M. De hecho, esta propiedad caracteriza el “tamaño” infinito: un
conjunto tiene un cardinal infinito si y sólo si tiene el mismo número de
elementos que alguno de sus subconjuntos propios. El conjunto infinito con menor
cardinal es N. El cardinal de este conjunto es el infinito numerable y se representa por
0 (alef subcero). Media hora más tarde llega un grupo más importante aún, compuesto
por una infinidad de autocares, cada uno con infinitos viajeros. "No hay problema,
enseguida lo arreglo", responde el recepcionista. Telefonea al huésped de la habitación n y
le ruega que se mude a la 2n-1 (lo que deja libres todas las habitaciones de número par) y
le da al responsable del grupo de autocares la siguiente instrucción: el cliente del asiento
número i del coche j (Cij) debe ocupar la habitación 2i
(2j-1). Todo va bien, pues se cubren

3. Dpto. MAT El hotel de Hilbert. Jvh
- ¿Podría reservarme la habitación previa a la última?
- Por supuesto señor; le queda reservada la habitación -1
todas las vacías y nunca les es asignada una misma habitación a distintos viajeros
(demostraremos estos resultados en clase). Estudiemos con un poco más de detalle esta
asignación. Para ello completa la tabla siguiente:
Autobús
1 2 3 4 5 ... j ...
1 ... ...
2 ... ...
3 ... ...
4 ... ...
     ...
i 12 i
32 i
 122  ji
...
Asiento
      
Unidades 1
0
1
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
...
Medios 2
1
2
1
2
3
2
3
2
5
2
5
...
Tercios 3
1
3
1
3
2
3
2
3
4
3
4
...
Cuartos 4
1
4
1
4
3
4
3
4
5
4
5
...
Quintos 5
1
5
1
5
2
5
2
5
3
5
3
...
Sextos ...
Abandonemos el hotel de Hilbert
y volvamos a nuestros familiares
conjuntos de números. Acabamos
de ver el “infinito” de N. El
conjunto Z de los enteros
también es numerable, ya que
podemos ponerlo de la forma Z =
{0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ... }. Lo
que resulta más sorprendente es
que el conjunto de los
números racionales Q también
se puede enumerar de una
forma similar. Actividad:
completa y traza la línea de
enumeración         
Tarea para casa: busca en internet una demostración de que el conjunto R de los
números reales NO es numerable (argumento de la diagonal de Cantor) y apunta la
dirección:
 Referencias
“El libro de las demostraciones”. M. Aigner, G.M. Ziegler. Ed. Nivola.
“El carácter paradójico del infinito”. J.P. Delahaye. Investigación y Ciencia
“El camino a la realidad”. R. Penrose. Ed. Debate

4.  Re-flexiones in-finitas. Re-finitas in-flexiones.
“El infinito se hace largo,
sobre todo hacia el final”
Alphonse Allais
“¿No se haría más corto
saltando de dos en dos?”
¿Galileo Galilei?
“Por largo que sea, lo
recorreré saltando de n en n,
aunque quede exhausto”
¿Arquímedes?
“Creo que se haría, más
corto aún, duplicando el
alcance de cada salto”
¿John Neper?
“Ahora que lo pienso, el
infinito se hace largo tanto al
inicio como al final”
¿Alphonse Allais?
“Empezaré diciendo que el
infinito se me hace largo
tortuosamente hacia el
sureste”
¿Georg Cantor?
“Además, si salto de punto
en punto, se me hace largo
por doquier”
¿Georg Cantor?
“Incluso peor, puede ser que
cada salto sea ya
infinitamente largo”
¿Georg Cantor?
“Ni con forcing soy capaz de
desentrañar el paso del
infinito numerable al
continuo”
¿Paul Cohen?
 8,6,4,2,0P  ,4,3,2,,0 nnnnn 

 ,4,3,2,1,0N
   ppEx p ,,
210 ,,  c 0
2
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1
   ,8,4,2,12 Nn
n
  2,1,0,1,2Z