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Sistemas Complejos, Sistemas Dinámicos y Redes

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Sistemas Complejos, Sistemas Dinámicos y Redes Presentation Transcript

  • 1. Vida ArtificialSistemas Complejos
  • 2. ¿Qué es un sistema complejo?• Concepto Multidisciplinar: biología, química, física, matemáticas, ciencias sociales…• Sin definición unificada ni rigurosa. 2
  • 3. ¿Qué es un sistema complejo?• Sistema formado por un número elevado de componentes elementales que interactúan de forma local entre ellos y con el entorno.• La evolución temporal es complicada de predecir. Las hormigas emiten más feromonas cuanta más• Aparecen comportamientos difíciles de densidad de feromonas explicar a partir de las reglas. exista.• Las interacciones no suelen ser lineales: existen procesos de retroalimentación o inhibición en las mismas.• Pueden variar su estructura con el tiempo: nuevos elementos, nuevos enlaces,…: son sistemas dinámicos.
  • 4. More is different! P.W. Anderson, Science 177 393-396 (1972)Sistemas cuantitativamente muy grandes soncualitativamente diferentes.Comportamientos microscópicos simplesdan lugar a comportamientos macroscópicoscomplejos. 4
  • 5. Ejemplos de Sistemas Complejos 5
  • 6. Colonias de insectosEn una colonia de hormigas podemos observar:• Toma de decisiones colectivas• Organización sin existencia de líderesMecanismos básicos:• Al moverse cada hormiga emite una señal química.• Las otras hormigas pueden detectar el rastro y seguir el gradiente químico.
  • 7. Colonias de insectosTenemos:• Reglas individuales de comportamiento.• Emergencia de comportamiento colectivo.• Sin líderes. Sin mapas del terreno.• Interacciones locales.• Transición de fase en el número crítico de hormigas.
  • 8. Movimientos en grupoPodemos observar:• Coordinación en el movimiento de cientos de individuos.• Significado adaptativo: defensa contra presas, incrementar eficiencia.Mecanismos Básicos:• Cada individuo ajusta la posición de acuerdo con sus vecinos más próximos.• Trata de mantener una separación.• Adopta una alineación con los vecinos 8
  • 9. Movimientos en grupoTenemos:• Reglas individuales simples• Emergencia de movimiento organizado colectivo.• No líder, no existencia de puntos de referencia.• Interacciones locales. 9
  • 10. SincronizaciónPodemos Observar:• Número elevado de individuos que comienza a emitir destellos de forma no sincronizada.• Al cabo de un tiempo los destellos se sincronizan.• La organización permite emitir destellos de mayor intensidad.Mecanismos Básicos:• Cada individuo emite un destello,• … tiene un ciclo interno regulador,• … trata de ajustar el momento del destello mirando a sus vecinos más próximos. 10
  • 11. SincronizaciónTenemos:• Reglas individuales simples.• Emergencia de sincronización colectiva.• Sin conductores (internos o externos).• Interacciones locales. 11
  • 12. Modelos de tráfico•Existen varios modelos aplicables alestudio de atascos en el tráfico de cochesen carreteras o de datos en redes deordenadores.•En todos ellos el tráfico está formadopor elementos discretos que se muevenen una determinada estructura. 12
  • 13. Modelos de tráficoEl modelo de Biham-Middleton-Levine es una de lasaproximaciones más simples a los procesos decirculación con atascos. •Dos tipos de coches en el retículo periódico: Rojos hacia el norte, Azules hacia el Este. •Dinámica del sistema: primero se mueven los azules, luego los rojos. •Totalmente determinista. 13
  • 14. Modelos de tráfico• p determina la densidad de coches en la configuración inicial.• Distintos comportamientos en función de p. Parámetro fundamental de estudio • Velocidad media de una partícula: nº de movimientos/ nº de pasos • Velocidad media del conjunto. p = 0.2 p = 0.8 14
  • 15. Modelos de tráficoAlgunos comportamientos: p=0.36 p=0.40 p=0.38 El sistema se ha auto- Ninguna partícula Situación intermedia: organizado y todos las puede moverse. algunas partículas se partículas se mueven mueven; aparecen libremente. La velocidad varios atascos de del sistema tiende a 1. carácter local. 15
  • 16. Modelos de tráfico• Solo hay aleatoriedad en la configuración inicial.• Cambio de comportamiento brusco en función de la densidad p.• Figuras de formación de atascos muy estructuradas.• Repetición del comportamiento para mismos valores de p. 16
  • 17. Emergencia de propiedades• En la dinámica del conjunto global surgen propiedades inesperadas que en principio no se deducen de las propiedades de los elementos aislados que forman el sistema.• Las propiedades que aparecen no son sencillas de predecir a priori.• La emergencia de propiedades aparece a diferentes escalas.• Aparecen propiedades emergentes distintas aunque se sigan las mismas reglas de evolución: moléculas de agua pueden formar gases, líquidos o sólidos cristalinos. 17
  • 18. Emergencia de propiedades• Una de las propiedades emergentes más interesante es la auto-organización.• En muchos sistemas la estructura macroscópica que se observa al evolucionar el sistema es altamente ordenada.• El orden es dinámico, no estático.• El orden aparece sin necesidad de intervención externa al sistema y sin la existencia de líderes dentro del propio sistema. 18
  • 19. Transiciones de fase• El modelo matemático del sistema depende de ciertos parámetros con los que podemos controlar pautas de comportamiento del mismo: temperatura, densidad, masa, velocidad, ...• Hay regiones de valores en el espacio de los parámetros que separan zonas muy diferenciadas de comportamientos en el sistema: el cambio de una región a otra ocasiona pérdida de simetrías o la transición de cambios de estado en el sistema. Una transición de fase conocida: Si la temperatura de un cazo con agua se incrementa de 99º a 101º grados, ¡la densidad decrece por un factor de 1600! 19
  • 20. Robustez• Fijados los valores de los parámetros, los sistemas complejos muestran la cualidad de ser muy estables incluso aunque exista aleatoriedad en la configuración inicial. 20
  • 21. Robustez• Aunque existan procesos aleatorios en la evolución temporal, el sistema tiende casi siempre a estados muy similares.• En muchos sistemas si realizamos ciertos cambios en medio de su evolución, éstos son asumidos por el sistema, que recupera su comportamiento habitual a pesar de ellos. 21
  • 22. Sistemas Dinámicos: Primera Formalización para la ComplejidadUn sistema dinámico es una 3-tupla (T,M,Φ), donde• T es el tiempo,• M es un conjunto de posibles estados del sistema• Φ es una función verificando:
  • 23. Sistemas Dinámicos: Primera Formalización para la ComplejidadEsencialmente, (T,M,Φ) produce una serie de aplicacionesde M en sí mismo.Dada una condición inicial x0= x(0), (T,M,Φ) produce unatrayectoria determinista, x(t), para cada t en T.Habitualmente, o bien T es un intervalo de la recta real (ysuele llamarse flujo), o bien los números naturales (y suelellamarse mapeado). Sistema Dinámico = Tiempo + Estados + Determinismo
  • 24. Expresiones habituales de SSDDCuando el sistema es continuo, suele ser habitualtenerlo representado por medio de ecuacionesdiferenciales:Si el sistema es discreto, suele venir dado por unaecuación iterativa:
  • 25. Ejemplo de flujo 2D
  • 26. Atractores y Puntos FijosDefinición: Un atractor, A, de un sistema dinámico(T,M,Φ) es un subconjunto de M tal que:1. A es invariante, es decir, T(A) A.2. A atrae un conjunto abierto de condiciones iniciales, U, es decir: existe un abierto, U, tal que si x(0) U, entonces x(t) se acerca a A con el tiempo. Al mayor abierto, U, verificando esta propiedad, se le llama basin de atracción.3. A is minimal, es decir, no tiene ningún subconjunto propio verificando las condiciones anteriores.Un punto fijo es un punto verificando: T(x)=x.
  • 27. Puntos fijos en 1DEn dimensión 1, y con un sistema dinámico continuo queproviene de una ecuación diferencial, la cosas son fáciles ytenemos, esencialmente, dos opciones: Los puntos fijos son atractores o repulsores
  • 28. Puntos fijos en 2DPunto Fijo Oscilante Punto de silla Mezcla de Varios tipos
  • 29. 2D: Más complicado todavía…Junto a las oscilaciones y los puntosfijos, los sistemas 2D puedenpresentar ciclos.Teorema de Poincare-Bendixon:En el plano, solo se presentan puntos fijos uórbitas cerradas.
  • 30. … ¿y qué ocurre en dimensiones superiores? • 2 ángulos y 2 velocidades angulares: 4 variables. • Se observa un movimiento caótico. • Los atractores no son ni puntos, ni líneas, ni áreas. Son atractores extraños (fractales).
  • 31. Determinismo Débil y Fuerte• Determinismo Débil: condiciones iniciales idénticas conllevan trayectorias idénticas.• Determinismo Fuerte: Débil + condiciones iniciales “similares” conllevan órbitas cercanasLos sistemas que verifican el determinismo fuerteson “sencillos”. Los que verifican únicamente eldeterminismo débil, a pesar de serdeterministas, pueden llegar a ser impredecibles.
  • 32. Determinismo Débil y Fuerte: Representación Geométrica
  • 33. Un ejemplo: Curva de LorenzE. Lorenz creó un modelo paraciertos fenómenosmeteorológicos.Observó dependencia crítica delas condiciones iniciales: primeraobservación “real” dedeterminismo débil.
  • 34. Atractor de Lorenz: efecto mariposa • Pequeñas variaciones tienen grandes efectos: relación lineal entre la precisión y el tiempo de predicción correcto. • Sistemas determinista, pero impredecible en varios sentidos.
  • 35. Redes Complejas: SegundaFormalización para la Complejidad
  • 36. Redes: antecedentes• Los sociólogos fueron los primeros en considerar el estudio de redes para aplicaciones reales: – Estudio de patrones de formación de conexiones para comprender la sociedad. – Personas=nodos, interacciones=lados. – Utilización de encuestas para recoger datos. – Interés en cuestiones de conectividad y centralidad. – Limitados a pequeños grafos. 36
  • 37. Redes: nueva visión• Redes enormes (web, internet, on-line social networks) con millones de nodos.• Preguntas tradicionales sin interés: – Antes: ¿Qué ocurre si quito un nodo? – Ahora: ¿Qué porcentaje de nodos debo quitar para que afecte a la conectividad de la red?• El interés pasa de estudiar nodos fijos a considerar propiedades estadísticas.• Imposibilidad de representar la red. 37
  • 38. Redes: nueva visión• ¿Qué forma puede tener la red aunque no podamos verla gráficamente?• Necesidad de modelos matemáticos para comprender el problema.• Queremos clasificar y analizar distintos tipos de redes.• Queremos encontrar predicciones de comportamiento de sistemas complejos basados en la medición de propiedades estructurales de la red y de reglas locales que afectan al comportamiento de los nodos. 38
  • 39. Redes en el mundo real• Redes de información: – World Wide Web: hyperlinks – Redes de citación – Redes de Noticias y Blogs• Redes sociales – Organizativas – Comunicativas Redes de amistad – Colaborativas – Contactos sexuales• Redes tecnológicas: – Energéticas – Transporte (aéreo, carreteras, fluviales,…) – Telefónicas – Internet Karate club network Redes de colaboración – Sistemas Autónomos 39
  • 40. Redes en el mundo real• Redes biológicas – Metabólicas – Cadenas alimenticias – Neuronales Interacciones Red semántica – Regulación Genética entre las proteínas de la• Redes de lenguaje levadura – Semánticas – Lingüísticas• Redes de software• … Red Lingüística 40
  • 41. Modelo de Representación unificado: Teoría de Grafos• Grafo como representación abstracta de carácter general.• Propiedades que lo hacen adecuado: – Flexibilidad en la representación. Sistema Real -> Multitud de posibles grafos (cada uno pudiendo resaltar una “visión” de la realidad) – Robustez del modelo matemático: • Posee resultados de gran potencia. • Permite mezclarlo con otras teorías matemáticas de gran potencia (probabilidad, computación, …)
  • 42. Fundamentos de Teoría de Grafos• Elementos sustanciales: Nodos y Aristas. arista 3 Nodo• Aristas dirigidas o no dirigidas.• Información (o no) en los nodos y/o aristas: pesos.
  • 43. Medidas usuales en Teoría de Grafos• Grado y Distribución de Grados.• Coeficiente de Clustering.• Conectividad: caminos, distancia y componentes.• Centralidad Betweenness.
  • 44. Medidas: Grado y Distribuciones de Grados• Grado de un nodo: número de nodos conectados a él. Lo denotaremos por k Caso Grafo no Dirigido k( ) 4 Friendship k( ) 2
  • 45. Medidas: Grado y Distribuciones de Grados• En el caso dirigido se distingue entre grado entrante y grado saliente: kin, kout Caso Grafo Dirigido kin ( ) 1 kout ( ) 3 Friendship kin ( ) 1 kout ( ) 1
  • 46. Medidas: Grado y Distribuciones de Grados• Distribución de Grados: P(k), probabilidad de que un nodo tenga grado k. 2 4 3 Caso Grafo no Dirigido 3 4 3 0,5 3 0,45 0,4 2 0,35 0,3 0,25 P(k) 0,2 0,15 0,1 0,05 0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5
  • 47. Medidas: Coeficiente de Clustering o de Transitividad• Probabilidad de que dos nodos vecinos a uno dado, sean vecinos entre sí. Ei 2 Ei ki 4 Ci 1 2 1 ki (ki 1) Ci 2 1 3 4 3 2 donde Ei es el número de aristas que conectan entre sí los nodos adyacentes al nodo i.• De igual forma, se trabaja con la distribución de clustering, C(k).
  • 48. Medidas: Conectividad• Componente Conexa: cada subfamilia de nodos que son accesibles entre sí.• En grafos dirigidos: fuertemente conexa. – Componente de entrada: nodos que pueden alcanzar la componente conexa, pero no pueden ser alcanzados desde ella. – Componente de salida: el recíproco.
  • 49. Medidas: distancia• Distancia entre dos nodos: menor longitud de los caminos que los unen. 3H nodo i 2 G A B C D E F G H I 3 A 0 2 2 1 1 2 3 3 1 F B 2 0 2 3 3 4 3 4 1 D 1 C 2 2 0 2 1 2 1 2 1 1E C 2 nodo j D 1 3 2 0 1 1 2 2 2 E 1 3 1 1 0 1 2 2 2 I F 2 4 2 1 1 0 1 1 3 0A 1 G 3 3 1 2 1 1 0 1 2 B 2 H 3 4 2 2 2 1 1 0 3 Distancia media: d 1.94 I 1 1 1 2 2 3 2 3 0 Diámetro: 4
  • 50. Medidas: Betweenness o Carga• Carga de un nodo i: proporción de caminos (más cortos) que van de un nodo s a un nodo t pasando a través del nodo i. – Dan idea de la conectividad relativa y de la capacidad de dirección de tráfico de un nodo. – También sobre aristas. Nodos coloreados en función de su carga: Rojo: menor carga Azul: mayor carga
  • 51. Modelos de RedesLa clase de topología de la red se determina apartir de su Distribución de Grados P(k), las másimportantes son: – Topología de Poisson. – Topología Libre de Escala.
  • 52. Topología de PoissonEn las redes de Poisson todos los nodos tienen un número similar de conexiones, esdecir, las conexiones están distribuidas homogéneamente entre sus nodos. El valor medio de los grados es representativo del grado de los vértices.
  • 53. Topología Libre de EscalaLas redes Libres de Escala poseen alta heterogeneidad, al contener nodos con pocas,medias y muchas conexiones. El valor medio de la distribución no es representativo de laconectividad de la red. La mayoría de los vértices tienen baja conectividad y alta solo unospocos: “muchos con poco, pocos con mucho” P( k ) Ak
  • 54. Robustez de las topologías Libres de Escala
  • 55. Modelos de construcción de Redes• Dos procedimientos principales: – Modelos Estadísticos • Modelo de Grafos aleatorios • Modelo de Wattz-Strogatz – Modelos Dinámicos • Enlace Preferencial • Duplicación
  • 56. Modelo de Grafos AleatoriosIniciador de la Teoría de Redes Complejas: Erdos-Renyi (50’s). – Construye la red enlazando nodos elegidos al azar según determinada probabilidad
  • 57. Modelo de Wattz-Strogatz(1998) Transforma un grafo regular en una red aleatoria al recablear enlaces añadiendo o moviendo los ya existentes.
  • 58. Características de los Mod. Est.• Permiten construir redes con homogeneidad en el conexionado.• Las redes originadas por el Modelo de Grafos Aleatorios tienen la propiedad Small World y bajo Coeficiente de Clustering• Las creadas a través del Modelo WS poseen característica Small World y alto Coeficiente de Clustering.• Estos modelos no logran reproducir las características de los sistemas complejos.
  • 59. Modelos Dinámicos• Consideran las redes como sistemas con interacciones que varían en el tiempo según determinadas leyes.• Se llaman también Modelos de Crecimiento o de Evolución ya que imitan los procesos de crecimiento mediante la adición gradual de nodos o enlaces.• Logran reproducir la heterogeneidad en el conexionado, la Distribución de Grados, el Coeficiente de Clustering y el efecto Small World observados en sistemas complejos.
  • 60. Modelo de Enlace PreferencialAsume que la conexión de los nuevos nodos añadidos al sistema está regulada por la cantidad de conexiones de los ya presentes. Es decir, los nuevos elementos se unirán con mayor probabilidad a los más conectados ya ubicados en la red: “el rico se vuelve más rico”.(Barabási y Albert, 1999)
  • 61. Modelo de DuplicaciónAsume que el origen de los nuevos elementos añadidos a la red es interno. Los nodos se duplican y se unen a los ya existentes según determinada probabilidad (Pastor Santorras et al, 2003).
  • 62. Redes Naturales vs. Redes Artificiales• Las redes naturales evolucionan por adaptación al entorno.• A diferencia de éstas, el origen de una red artificial, como Internet, está basado en un diseño humano inteligente.• Sin embargo, presentan características topológicas análogas. Red Internet Red de interacciones proteínicas
  • 63. Comparativa de algunas redes ePresentan:• estructura Libre de Escala, (e, exponente)• bajo valor de la Longitud Promedio (efecto Small World) entre nodos, L• alto Coeficiente de Clustering, C.