Examen ecdi

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A continuacion se presentan una series de ejercicios los cuales contemplan el tema de ecuaciones diferenciales, sus diferentes metodos para la resolucion de las mismas

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Examen ecdi

  1. 1. UNIVERSIDAD FERMIN TOROVICERECTORADO ACADEMICO DECANATO DE INGENIERIA FERNANDO RAMIREZ
  2. 2. 1.) Determine si la función es solución de la ecuación diferencial. a.) y  3sen2 x  e  x ; y ,,  4 y  5e  x 1 1 b.) y  senx  cos x  10e  x ; y ,  y  senx 2 2 c) y  C1e  x  C2e x  C3e  2 x  C4e 2 x ; y 4   5 y ,,  4 y  02.) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al método correspondiente. a.) e y sen2 xdx  cos x e 2 y  y dy  0   b.) xy  y  x dx  x dy  0 2 2 2 c) y cos x dx  4  5 ysenx dy  0 2 2 d) y  y  x 2 cos x , x3.) Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N según el método correspondiente. a.) y ,,  3 y ,  2 y  3e  x  10 cos 3x b.) y 6   5 y 4   16 y ,,,  36 y ,,  16 y ,  32 y  0
  3. 3. Solución: para poder solucionar las partes a, b y c debemos derivar la funcióny, luego sustituir en la ED y si la igualdad coincide entonces si es solución:Veamos:a.) y  3sen2 x  e  x ; y ,,  4 y  5e  x .Para este primer problema debemos derivar 2 veces la función y luegosustituirla en la ecuación diferencial y realizamos los cálculoscorrespondientes. y = 3xsen2 x  e  x  y = 6 x cos 2 x  e x  y   12sen2 x  e  xEntonces: y” + 4y = 12sen2 x  e  x  43sen2 x  e  x  =  12sen2x  e x  12sen2x  4e x y”+ 4y = 5e  x 5e  x = 5e  xLa función es solución de la ecuación diferencial
  4. 4. 1 1b.) y  senx  cos x  10e  x ; y ,  y  senx 2 2Para esta ecuación se deriva la función y solo una vez y luego se sustituye enla ecuación diferencial. 1 1 1 1 y= senx  cos x  10e  x  y  cos x  senx  10e  x 2 2 2 2Entonces: 1 1 1 1 y’ +y = cos x  senx  10e  x  senx  cos x  10e  x 2 2 2 2 y’ +y = senxLa función es solución de la ecuación diferencialc) y  C1e x  C2e x  C3e2 x  C4e2 x ; y  4   5 y ,,  4 y  0Para este problema debemos derivar la función cuatro veces y luego sesustituye en la ED, de esta manera: y’ =  c1e  x  c2 e x  2c3e 2 x  2c4 e 2 x y” = c1e x  c2e x  4c3e2 x  4c4e2 x y’’’ = c1e x  c2e x  8c3e2 x  8c4e2 x y(4) = c1e  x  c2 e x  16c3e 2 x  16c4 e 2 x
  5. 5. Entonces: y(4) - 5 y” +4y = c1e  x  c2 e x  16c3e 2 x  16c4 e 2 x   c1e  x  c2 e x  16c3 e 2 x  16c4 e 2 x  5 c1e x  c2e x  4c3e2 x  c4e2 x +   4 c1e x  c2e x  c3e2 x  c4e2 x = c1e  x  c2 e x  16c3 e 2 x  16c4 e 2 x  0 c1e x  c2e x  16c3e2 x  16c4e2 x  5c1e x  5c2e x  20c3e2 x  20c4e2 x 4c1e x  4c2e x  4c3e2 x  4c4e2 x = 0 00 La función es solución de la ecuación diferencial. 2.) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al método correspondiente. a.) e y sen2 xdx  cos x e2 y  y dy  0La ecuación diferencial mostrada se resuelve por el método de variable separables,ya que como se puede notar las variables x y Y se pueden separar de igualdad aigualdad, una vez que se separen las variables se integra para poder eliminar losdiferenciales y nos quede la ecuación general de dicha función.   e y .sen2 x.dx  cos x e2 y  y dy  0  e y .sen2 x.dx   cos x e2 y  y dy  Usando variables separables
  6. 6. sen2 x e2 y  dx   y dy cos x e 2senx cos x  e2y y  dx   y  y dy e cos x  c   2senxdx   e y  ye  y dy Integrando tenemos que:  2 cos x  e y  e y  y  1  c Solución general  b.) xy  y 2  x 2 dx  x 2 dy  0La siguiente ecuación diferencial posee la forma de una ED homogénea ahorabien veremos si se cumple con la condición de las ED homogéneas: xy  y 2   x 2 dx  x 2 dy dy xy  y 2  x 2  dx x2Con lo cual: xy  y 2  x 2 t 2 xy  t 2 y 2  t 2 x 2 f x, y    f x, ty   x2 t2x  f tx, ty    t 2 xy  y 2  x 2  t 2 x2
  7. 7. xy  y 2  x 2  f tx, ty   x2 f tx, ty   f x, y Como f tx, ty   f x, y   la ecuación diferencial es homogénea, con lo vualpodemos hacer el cambio de variable y  vx Así: dy dv y  vx   .x  v dx dxSustituyendo y separando variables tenemos: dv xvx  v 2 x 2  x 2 .x  v  dx x2 dv .x   x2 v  v2 1  dx x2 dv .x  v 2  v  1 dx dx dv  2 x v  v 1Integrando: Ln x = 2 tg 1  2 y  1 +c  3  3Devolviendo el cambio de variable:
  8. 8. Ln x = 2 tg 1  2 y / x  x +c  3  3 Ln x = 2 tg 1  2 y  x  +c solución general 3  3xc) y 2  cos x dx  4  5 ysenx dy  0Para poder resolver esta ecuación diferencial, en primer lugar notamos queposee la forma de un ED exacta, primero lo comprobamos:y 2 cos xdx  (4  5 ysenx)dy  0Verifiquemos si es exacta: M M ( x, y)  y 2 cos x   2 y cos x y N N ( x, y)  4  5 ysenx   5 y cos x x M NComo   no es exacta, sin embargo podemos buscar el factor y xintegrante (FI) y luego multiplicar la ED por ese factor integrante y asi poderresolver la misma.  N M    x  y     ( y)  e  
  9. 9. 5 y cos x  2 y cos x  dy e y 2 cos x dy 3 y  e3 Lnly  y 3 3 =eEntonces ( y)  y 3 es el factor inteligente, multipliquemos ± por  (y) = y 3Y5 cosxdx + (4 y3 + 5 y4 senx) dy = 0La cual debe ser ahora exacta aMM = y5 cosx  = 5 y4 cosx ay aNN = 4 y3 + 5 y4 senx  = 5 y4 cosx ax aM aNComo =  es exacta y resolvemos usando ay ax x ya M ( xb)dx   N  ( xy )  0 b x yb cos xdx   (ay 4  5 y 4 senx)dy  0 5 a b x yb5senx   (y  y 5 senx)   0 4 a bb5senx - b5sena + y4 + y5 senx – b4 b5senx = 0
  10. 10. y4 + y5 senx +c = 0 c = -b5sena – b4 2d ) y,  y  x 2 cos x xLa Ed posee la Forma de la ecuación de Ricatti, por lo que la resolvemos porese método así: 2y´ - y = x2 cosx xLa ecuación tiene la estructura de una ecuación lineal de 1er orden con lo cualQ(x) = x2 cosx 2 dxP(x) = -   P( x)dx  2  2 ln x x xAsí la solución es de la formaBuscamos el factor integrante;  P ( x ) dx   P ( x ) dxdx  cY=e    Q ( x )e   Sustituyendo  P( x)dx , tenemosy=e 2 Ln x  x cos xe 2  2 Ln x dx  c 
  11. 11. 2 Ln x 2  x 2 cos xe 1n x2 dx  c y=e   y = x2  x cos x.x 2 2 dx  c y = x2  cos xdx  cy  x 2 senx  c 3.) Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N según el método correspondiente.a.) y ,,  3 y ,  2 y  3e x  10 cos 3xPara esta Ed utilizamos el método del anulador ya que la ecuación es no linealy no Homogenea.y” – 3y3 + 2y = 3e-x – 10cos3xUsaremos el método del anulador, entoncesR(x) = 3e-x -10cos3xL(D) = D2 – 3D + 2 = (D - 1) (D - 2)A (D) = (D + 1) (D2 + 9) anulador de R(x)Entonces la ecuación anterior se puede escribir como
  12. 12. (D2 – 3 D + 2) y = 3 e-x – 10cos 3xMultiplicando ambos lados de la igualdad por A(D)(D-1)(D+2)(D+1)(D2+9) y = (D+1)(D2+9)(3e-x-10cos3x)(D-1)(D-2)(D+1)(D2+9) = 0, polinômios característicosD -1 = 0, D - 2 = 0, D + 1 = 0 y D2 + 9 = 0D = 1, D = 2, D = -1 y D = ± 3La solución tiene formaY = c, ex + c2 e2x + c3 e-x + c4 sen3x + c5cos3xSustituyendo nos queda:(D2-3D+2)(c, ex+c2 e2x + c3e-x + c4sen3x + c5cos3x) = 3e-x-10cos3xDesarrollando tenemos que2c, ex + 2 c2 e2x + 2 c3 e-x + 2 c4 sem 3x + 2 c5 cos 3x-3(c, e2 + 2 c2 e-2x – c3 e-x + 3 c4 cos 3x – 3 c5 sem 3x)+ c, ex + 4 c2 e-2x + c, e-x – 9 c4 sen3x – 9 c5 cos 3x = 3 e-x – 10 cos 3x3c1 e2 + 6 c2 e-2x + 3 c3 e-x – 7 c4 sem 3x – 7 c5 cos 3x – 3 c, ex- 6 c2 e-2x + 3c3 e-x – 9 c4 cos3x + 9 c5 sem 3x = 3 e-x – 10 cos 3x
  13. 13. 6 c3 e-x + (-7 c4 + 9 c5) sem 3x – (9 c4 + 7 c5) cos 3x = 3 e-x – 10 cos 3xIgualando coeficientes6 c3 = 3  c3 = ½-7 c4 9 c5 = 0  c4 = 9/7 c5 99 c4 + 7 c5 = 10  9 c5 + 7 c5 = 10  130 c5 = 70 7  c5 = 7/13  c4 = 9/13Por lo tanto la solución es 1 -x 7 9y = c, ex + c2 e2x e + sen 3x + cos 3x 2 13 13b.) y 6   5 y 4   16 y ,,,  36 y ,,  16 y ,  32 y  0Esta Ed la resolvemosy(6) – 5 y(4) + 15 y”´ 35 y” 16 y´ - 32 y = 0el polinomio característico nos queda:Buscamos las raíces nos dan: ( )( )( )( )
  14. 14. La solución esy = c, ex + c2 e-x + c3 e-2x + c4 x e-2x + c5 e2x sem x + c5 e2x cos 2x

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