Polígonos y poliedros: formas geométricas planas y sólidas

Al dibujar varios segmentos consecutivos
obtendremos una línea poligonal. Un polígono es la región
interior de una línea poligonal cerrada y no cruzada. Sus
elementos son: los lados, los vértices y las diagonales. A la
línea que lo rodea se la llama contorno del polígono.
Triángulo
3 lados
Pentágono
5 lados
Cuadrilátero
4 lados
Hexágono
6 lados
La palabra "polígono" procede del griego y quiere decir muchos (poly) y
ángulos (gwnos).

Un polígono se considera regular cuando tiene todos sus lados y ángulos
iguales, y por tanto puede ser inscrito y circunscrito en una circunferencia. El centro de
dicha circunferencia se denomina centro del polígono, y equidista de los vértices y lados
del mismo.
POLIGONOS REGULARES
En un polígono regular
convexo, se denomina apotema a
la distancia del centro del polígono
al punto medio de cada lado.
Suponiendo que:
A = Área
n = número de lados
l = longitud de uno de los lados
a = apotema
Se denomina ángulo central de un polígono regular el que tiene como vértice el
centro del polígono, y sus lados pasan por dos vértices consecutivos. Su valor en grados
resulta de dividir 360º entre el número de lados del polígono.
Se denomina ángulo interior, al formado por dos lados consecutivos. Su valor
es igual a 180º, menos el valor del ángulo central correspondiente.
Entonces:

Tipos de triángulos
Triángulo escaleno: Todos sus lados y todos sus ángulos son distintos.
equilátero isósceles escaleno
Por la longitud de sus lados se pueden clasificar en:
Triángulo equilátero: Sus tres lados tienen la misma longitud y los ángulos de sus
vértices miden lo mismo (60º)
Triángulo isósceles: Tiene dos lados y dos ángulos iguales.

Triángulo acutángulo: Es aquel cuyos tres ángulos son agudos. En particular, el
triángulo equilátero es un ejemplo de triángulo acutángulo.
rectángulo obtusángulo acutángulo
Por la medida de sus ángulos:
Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo recto (90º). A los dos lados que forman un
ángulo recto se les denomina catetos y al lado restante hipotenusa.
Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90º)

Cálculo de la superficie de un triángulo
La superficie o área de un
triángulo se obtiene multiplicando la base
por la altura (donde la altura es un
segmento perpendicular que parte de la
base hasta llegar al vértice opuesto) y
dividiendo en dos.
Suponiendo que:
S = superficie o área
b = base
h = altura
Entonces:

Propiedades de los triángulos.
- Para cualquier triángulo rectángulo cuyos catetos midan a y b, y cuya hipotenusa mida c,
se comprueba el “Teorema de Pitágoras” :
El Teorema de Pitágoras
establece que en un triángulo rectángulo
la suma de los cuadrados de los catetos
es igual al cuadrado de la hipotenusa.
- Una propiedad obvia de todos los triángulos es que la suma de las longitudes de dos
de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado.
- La suma de todos los ángulos de sus vértices, en un plano, es igual a 180º.
a² + b² = c²
Este teorema fue propuesto por
Pitágoras de Samos (582 a.C. – 496
a.C.), un filósofo y matemático griego.

Mediatriz
Su construcción comienza con
una amplitud del compás mayor que la
mitad del segmento y, pinchando en los
extremos de AB, trazar arcos a un lado y
otro del segmento. La recta CD definida
por los dos puntos de corte es la
mediatriz buscada.
Dado un segmento AB, su mediatriz se define como la recta
perpendicular que pasa por su punto medio.

Altura y Ortocentro
Si se trazan las tres
alturas de un triángulo estas rectas
vuelven a cortarse en un punto para
cualquier triángulo. Este punto se
llama ortocentro.
Se define una altura de un triángulo ABC como aquella
perpendicular a cada lado o su prolongación pasando por el vértice
opuesto a dicho lado.

Por otro lado, este baricentro tiene un
significado físico muy preciso por coincidir
con el centro de gravedad del triángulo o
lugar donde se considera aplicada la
fuerza derivada de su peso.
Mediana y Baricentro
Se llama mediana de un triángulo al segmento que une cada vértice
del mismo con el punto medio del lado opuesto.
Estas medianas también concurren en
un punto que se denomina baricentro y
que muestra dos propiedades que sólo
enunciaremos: En primer lugar, el
baricentro divide a la mediana en dos
partes, una de las cuales es el doble que la
otra.

Bisectriz
Dado un ángulo BAC se llama bisectriz del mismo a la semirrecta
con origen en A y que divide al ángulo en dos ángulos iguales.
Su construcción se realiza del
siguiente modo. Se pincha con el
compás en A y se marcan los puntos M
y N sobre los lados del ángulo a igual
distancia de A.
Por tanto, AM = AN
A continuación se pincha el
compás en M y luego en N, de manera
que se trazan arcos con una amplitud
cualquiera pero igual en ambos casos,
obteniéndose el punto L. La semirrecta
AL es la bisectriz del ángulo inicial.
La demostración de este hecho se
basa en la igualdad de los triángulos
Triángulo AML = Triángulo ANL

Cuadrilátero
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.
Convexo: Todos sus ángulos internos son
menores que 180 grados (todas las puntas
hacia afuera)
Tipos de cuadriláteros convexos regulares
Cuadrado
Rectángulo Rombo
Trapecio
Cóncavo: Uno de sus ángulos es mayor que
180 grados (no todas las puntas hacia afuera)

TRIÁNGULO, HEXÁGONO Y
DODECÁGONO (construcción exacta)
NOTA: Todas las construcciones de este
ejercicio se realizan con una misma abertura
del compás, igual al radio de la circunferencia
dada.
CONSTRUCCIONES DE POLÍGONOS REGULARES DADA LA
CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA
Comenzaremos trazando dos diámetros
perpendiculares entre sí, que nos determinarán,
sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-4
respectivamente.
A continuación, con centro en 1 y 4 trazaremos
dos arcos, de radio igual al de la circunferencia
dada, que nos determinarán, sobre ella, los
puntos 2, 6, 3 y 5. Por último con centro en B
trazaremos un arco del mismo radio, que nos
determinará el punto C sobre la circunferencia
dada.
Uniendo los puntos 2, 4 y 6, obtendremos el
triángulo inscrito. Uniendo los punto 1, 2, 3, 4, 5 y
6, obtendremos el hexágono inscrito. Y uniendo
los puntos 3 y C, obtendremos el lado del
dodecágono inscrito; para su total construcción
solo tendríamos que llevar este lado, 12 veces
sobre la circunferencia.

CUADRADO Y OCTÓGONO (construcción exacta)
NOTA: De esta construcción podemos
deducir, la forma de construir un polígono
de doble número de lados que uno dado.
Solo tendremos que trazar las bisectrices
de los ángulos centrales del polígono
dado, y estas nos determinarán, sobre la
circunferencia circunscrita, los vértices
necesarios para la construcción.
perpendiculares entre sí, que nos
determinarán, sobre la circunferencia dada,
los puntos 1-5 y 3-7 respectivamente.
A continuación, trazaremos las bisectrices
de los cuatro ángulos de 90º, formados por
las diagonales trazadas, dichas bisectrices
nos determinarán sobre la circunferencia los
puntos 2, 4, 6 y 8.
Uniendo los puntos 1, 3, 5 y 7,
obtendremos el cuadrado inscrito. Y uniendo
los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, obtendremos
el octógono inscrito.

PENTÁGONO Y DECÁGONO (construcción exacta)
Para la construcción del pentágono y el
decágono, solo resta llevar dichos lados, 5 y 10
veces respectivamente, a lo largo de la
circunferencia.
perpendiculares entre sí, que nos determinarán
sobre la circunferencia dada los puntos A-B y 1-C
respectivamente. Con el mismo radio de la
circunferencia dada trazaremos un arco de centro
en A, que nos determinará los puntos D y E sobre
la circunferencia, uniendo dichos puntos
obtendremos el punto F, punto medio del radio A-O.
Con centro en F trazaremos un arco de radio
F-1, que determinará el punto G sobre la diagonal
A-B. La distancia 1-G es el lado de pentágono
inscrito, mientras que la distancia O-G es el lado
del decágono inscrito.

HEPTÁGONO (construcción aproximada)
NOTA: Como puede apreciarse en la
construcción, el lado del heptágono inscrito en
una circunferencia, es igual a la mitad del lado
del triángulo inscrito.
Comenzaremos trazando una diámetro de la
circunferencia dada, que nos determinará sobre
ella los puntos A y B.
A continuación, con centro en A, trazaremos el
arco de radio A-O, que nos determinará, sobre la
circunferencia, los puntos 1 y C, uniendo dichos
puntos obtendremos el punto D, punto medio del
radio A-O. En 1-D habremos obtenido el lado del
heptágono inscrito.
Solo resta llevar dicho lado, 7 veces sobre la
circunferencia, para obtener el heptágono
buscado. Como se indicaba al principio de este
tema, partiendo del punto 1, se ha llevado dicho
lado, tres veces en cada sentido de la
circunferencia, para minimizar los errores de
construcción.

ENEÁGONO (construcción aproximada)
Procediendo como en el caso del heptágono,
llevaremos dicho lado, 9 veces sobre la
circunferencia, para obtener el heptágono
buscado.
perpendiculares, que nos determinarán, sobre la
circunferencia dada, los puntos A-B y 1-C
respectivamente.
Con centro en A, trazaremos un arco de radio
A-O, que nos determinará, sobre la
circunferencia dada, el punto D.
Con centro en B y radio B-D, trazaremos un
arco de circunferencia, que nos determinará el
punto E, sobre la prolongación de la diagonal 1-
C.
Por último con centro en E y radio E-B=E-A,
trazaremos un arco de circunferencia que nos
determinará el punto F sobre la diagonal C-1. En
1-F habremos obtenido el lado del eneágono
inscrito en la circunferencia.

CONSTRUCCIONES DE POLÍGONOS REGULARES DADO EL LADO
PENTÁGONO DADO EL LADO (construcción exacta)
Por triangulación, obtendremos los
vértices restantes, que uniremos
convenientemente, obteniendo así el
pentágono buscado.
Comenzaremos trazando la perpendicular
en el extremo 2 del lado, con centro en 2
trazaremos un arco de radio 1-2, que nos
determinará sobre la perpendicular anterior
el punto A.
A continuación, con centro en B,
trazaremos la circunferencia de radio A-B.
Trazaremos la mediatriz del segmento
A-2, que nos determinará su punto medio B.
Uniremos el punto 1 con el punto B, la
prolongación de esta recta, interceptará a la
circunferencia anterior en el punto C, siendo
1-C el lado del estrellado, o diagonal del
pentágono buscado.

HEPTÁGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción aproximada)
Solo resta construir dicha
circunferencia circunscrita, y obtener los
vértices restantes del heptágono, que
convenientemente unidos, nos
determinarán el polígono buscado.
Siendo el segmento 1-2 el lado del
heptágono, comenzaremos trazando la
mediatriz de dicho lado, y trazaremos la
perpendicular en su extremo 2.
A continuación, en el extremo 1
construiremos el ángulo de 30º, que
interceptará a la perpendicular trazada en
el extremo 2, en el punto D, la distancia 1-
D, es el radio de la circunferencia
circunscrita al heptágono buscado.
Con centro en 1 y radio 1-D, trazamos
un arco de circunferencia que interceptará
a la mediatriz del lado 1-2 en el punto O,
centro de la circunferencia circunscrita.

OCTÓGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción exacta)
Solo resta construir dicha
circunferencia circunscrita, y obtener los
vértices restantes del octógono, que
convenientemente unidos, nos
determinarán el polígono buscado.
Siendo el segmento 1-2 el lado del
octógono, comenzaremos trazando un
cuadrado de lado igual al lado del
octógono dado.
A continuación, trazaremos la mediatriz
del lado 1-2, y una diagonal del cuadrado
construido anteriormente, ambas rectas se
cortan en el punto C, centro del cuadrado.
Con centro en C trazaremos la
circunferencia circunscrita a dicho
cuadrado, dicha circunferencia intercepta
a la mediatriz del lado 1-2, en el punto O,
centro de la circunferencia circunscrita al
octógono buscado.

DECÁGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción exacta)
Solo resta trazar dicha circunferencia
circunscrita, y determinar sobre ella los
vértices restantes del polígono, que
convenientemente unidos nos determinarán
el decágono buscado.
Comenzaremos trazando la perpendicular
en el extremo 2 del lado, con centro en 2
trazaremos un arco de radio 1-2, que nos
determinará sobre la perpendicular anterior
el punto A, trazaremos la mediatriz del
segmento A-2, que nos determinará su punto
medio B, y con centro en B trazaremos la
circunferencia de radio B-A.
Uniendo el punto 1 con el B, en su
prolongación obtendremos el punto C sobre
la circunferencia anterior, siendo 1-C, el
radio de la circunferencia circunscrita al
polígono.
A continuación, trazaremos la mediatriz
del lado 1-2, y con centro en 1 un arco de
radio 1-C, que determinará sobre la mediatriz
anterior, el punto O, centro de la
circunferencia circunscrita.

Equiparticiones regulares del plano

Estructuras Poliédricas regulares o sólidos platónicos
Los sólidos platónicos, también conocidos como cuerpos platónicos o
cósmicos, sólidos pitagóricos o perfectos, poliedros de Platón o, con más precisión,
poliedros regulares convexos; son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros
convexos, cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el
mismo número de caras, la palabra viene del griego y quiere decir: muchos (poly), lados o
caras (edros).
Reciben estos nombres en honor del filósofo griego Platón (427–347 A.C.), al que
se atribuye haberlos estudiado en primera instancia.
Las particulares propiedades de estos poliedros son conocidas desde la
antigüedad clásica, hay referencias a unas Bolas Neolíticas de piedra labrada encontradas
en Escocia 1000 años antes de que Platón hiciera una descripción detallada de los mismos
en Los elementos de Euclides.
Esta lista es exhaustiva, ya que es geométricamente imposible construir otro
sólido diferente de los anteriores que cumpla todas las propiedades exigidas, es decir,
convexidad y regularidad.
Se les llegaron a atribuir incluso propiedades mágicas o mitológicas; Timeo de
Locri, en el diálogo de Platón dice:
«El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de
icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha
utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo».

Tetraedro

Hexaedro

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

Estructuras Poliédricas regulares o sólidos arquimedianos
Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son un grupo de poliedros
convexos cuyas caras son polígonos regulares de dos o más tipos.
Todos los sólidos de Arquímedes son de vértices uniformes.
La mayoría de ellos se obtienen truncando los sólidos platónicos. Arquímedes
describió ampliamente estos cuerpos en trabajos que fueron desapareciendo, fue sólo en el
renacimiento cuando artistas y matemáticos los redescubrieron.
Los sólidos arquimedianos son 13, y a continuación, veremos los más
importantes:

Tetraedro truncado

Cuboctaedro

Cubo truncado

Octaedro truncado

Rombicuboctaedro

Cuboctaedro truncado

Cuboctaedro romo

Icosidodecaedro

Dodecaedro truncado

Icosaedro truncado

Rombicosidodecaedro

Icosidodecaedro truncado

Dodecaedro romo

Ejercicio
Dibujar geométricamente (con instrumentos) en una hoja cada uno de los
siguientes POLIGONOS regulares con lados congruentes (misma medida, 4
cm.)
- Triángulo equilátero (3 lados)
- Cuadrado (4 lados)
- Pentágono (5 lados)
- Hexágono (6 lados)
- Octógono (8 lados)
- Decágono (10 lados)
Primera Parte

Segunda Parte
Reproducir cada una de las figuras en cartón forrado grueso “n” cantidad de
veces, y componer con ellas, combinándolas.
Usando como mínimo 3 de ellas construir una figura cerrada, “poliedros y
polígonos combinados” dodecaedro, icosaedro, etc.
Armarla pegando internamente sus lados con pegote o dejando aletas.
Luego, recubrir todas sus caras con papeles de color pegados con “Stick-
fix”, creando una combinación entre ellos que resalte las formas conjugadas.
Elegir uno de los poliedros como base, (pitagóricos o arquimedianos) y
recomponer tridimensionalmente sobre sus caras.
Ejercicio

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