• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Llibri-i-mesuesit-matematika-11
 

Llibri-i-mesuesit-matematika-11

on

  • 10,122 views

 

Statistics

Views

Total Views
10,122
Views on SlideShare
10,122
Embed Views
0

Actions

Likes
5
Downloads
0
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Llibri-i-mesuesit-matematika-11 Llibri-i-mesuesit-matematika-11 Document Transcript

    • LIBËR PËR MËSUESINMATEMATIKA 11Edmond Lulja Neritan Babamusta Prof.dr.Shpëtim BozdoPër klasën e 11-të të arsimit të mesëm të përgjithshëm
    • PërmbajtjaUdhëzime të përgjithshme 5Kreu 1 431.1 Ekuacioni i drejtëzës në plan 431.2 Drejtëza paralele me një vektor. Kushtet e paralelizmit e të pingultisë së dy drejtëzave 441.3 Këndi midis dy drejtëzave 451.4 Ekuacioni i drejtëzës që kalon nga një pikëe dhënë, paralel a pingul me një drejtëztë dhënë 461.5 Largesa e pikës nga drejtëza 471.6 Ushtrime 48Kreu 2 502.1 Funksioni numerik (Përsëritje) 502.2 Grafiku i funksionit numerik.Monotonia e funksionit (Përsëritje). 512.3 Grafikët e funksioneve të dhënë meformula të ndryshme në pjesë tëndryshme të bashkësisë së përcaktimit. Elemente të tjera të monotonisësë funksionit 532.4 Vlera më e madhe (më e vogël) enjë funksioni numerik. Ekstremumet 542.5 Krahasimi i funksioneve numerike 562.6 Veprime me funksione numerike.Kufizueshmëria e funksionit 572.7 Çiftësia e funksionit. Funksionet periodike 592.8 Studimi i variacionit të funksionevetë thjeshta 602.9 Ndërtimi i grafikëve të funksioneve të tjerë,duke u nisur nga grafiku i funksionit f 612.10 Përbërja e funksioneve numerike 622.11 Ushtrime për përsëritje 64Kreu 3 663.1 Përsëritje 663.2 Radiani. Rrethi trigonometrik.Harqe trigonometrike 673.3 Përkufizimet e funksioneve trigonometrike. Vetitë e sinusit e të kosinusit 683.4 Variacioni i sinusit dhe i kosinusit 703.5 Vetitë dhe variacioni i funksionit y=tgx 713.6 Identitete trigonometrike 733.7 Ushtrime 743.8 Formulat e reduktimit 753.9 Zbatime 763.10 Ekuacione trigonometrike elementare 783.11 Ushtrime 793.12 Formulat për sinusin (kosinusin) e shumësdhe diferencës së dy këndeve 803.13 Zbatime 813.14 Funksionet trigonometrike të dyfishittë këndit 823.15 Kthimi në prodhim i shumës apo ndryshesëssë dy sinuseve apo dy kosinuseve 843.16 Përsëritje 853.17 Ushtrime për përsëritje 86Kreu 4 904.1 Drejtëzat dhe planet 904.2 Rrjedhime nga aksiomat 924.3 Pozicioni reciprok i dy drejtëzavenë hapësirë 944.4 Pingulja dhe e pjerrëta me planin 964.5 Teorema e tri pinguleve 984.6 Ushtrime 994.7 Drejtëza paralele me planin 1014.8 Plane paralelë 1024.9 Ushtrime 1044.10 Këndi dyfaqësh 1054.11 Plane pingule 1074.12 Ushtrime 1084.13 Ushtrime për kreun 4 109Kreu 5 1115.1 Shumëfaqëshat. Prizmi 1115.2 Piramida. Sipërfaqja anësore e piramidëssë rregullt 1125.3 Ushtrime 1135.4 Vëllimet e trupave 1145.5 Ushtrime 115
    • 5.6 Vëllimi i piramidës 1165.7 Ushtrime 1175.8 Cilindri 1185.9 Koni 1195.10 Vëllimi i cilindrit dhe i konit 1205.11 Ushtrime 1215.12 Sipërfaqja sferike. Sfera 1225.13 Vëllimi i rruzullit dhe sipërfaqja e sferës 1235.14 Ushtrime 1245.15 Ushtrime për kreun 124Kreu 6 1266.1 Funksione që kanë limit +∞ kur x→+∞ 1266.2 Disa teorema. Funksione që kanë limit-∞ kur x→ +∞ 1276.3 Funksione që kanë limit 0 kur x→+∞ 1296.4 Limiti i polinomit kur x→∞ 1316.5 Funksione që kanë limit l kur x→+∞ 1326.6 Limite të funksionit kur x→∞ 1336.7 Ushtrime 1356.8 Asimptota horizontale. Disa teorema mbilimitet 1366.9 Limiti i funksionit racional thyesor,kur x→+∞ (x→-∞) 1376.10 Ushtrime për përpunim të njohurive 1396.11 Funksione që kanë limit zero në zero 1406.12 Funksione që kanë limit 0 kur x→a. P.m.v. 1426.13 Limiti i funksionit kur x→a 1436.14 Teoremat themelore mbi limitin 1456.15 Teoremat themelore mbi limitin 1466.16 Funksione pambarimisht të mëdhenj (p.m.m.)kur x→a 1476.17 Asimptotat vertikale 1496.18 Format e pacaktuara. Forma 1506.19 Format e pacaktuara (vazhdim) 1526.20 Format e pacaktuara (vazhdim) 1546.21 Ushtrime për përpunimin e njohurive 1556.22 Përsëritje 156Përmbledhje për kreun“Limitet” 157Kreu 7 1607.1 Parimi i mbledhjes. Parimi i shumëzimit 1607.2 Përkëmbimet 1617.3 Dispozicionet 1627.4 Kombinacionet 1637.5 Ushtrime 1647.6 Probabiliteti 1647.7 Probabiliteti i bashkimit të ngjarjeve 1667.8 Ushtrime 1677.9 Informacioni statistikor 1677.10 Analiza e të dhënave 1697.11 Ushtrime për kreun 170 171Kreu 8 171MATEMATIKA DHE FINANCA NË JETËN E PËRDITSHME 1718.1 Depozitat dhe normat e interesit.Interesi i thjeshtë 1718.2 Huaja 1728.3 Interesi i përbërë 1748.4 Ushtrime 1758.5 Interesi dhe progresionet 1768.6 Kredia bankare 177
    • 5LIBËR PËR MËSUESITDISA ORIENTIME PËR ZBATIMIN NË PRAKTIKË TË PROGRAMITDHE TEKSTIT”MATEMATIKA 11”Përpara se të planifikojë punën vjetore në lëndën Matematika 11 (pjesa e kurrikulës bërthamë),është e domosdoshme që secili mësues të njohë në thellësi programin përkatës, si dhe programete klasave paraardhëse (e në mënyrë të veçantë atë të klasës së dhjetë). Në këtë planifikim mësuesiduhet të udhëhiqet nga këto parime.Së pari, programet e matematikës, duke filluar nga klasa e parë fillore, janë tanimë të unifikuara.Ato shtjellohen jo sipas kapitujve, por sipas linjave që janë të njëjta për të gjitha klasat. Ngaana tjetër programet janë të materializuara në tekste alternative. Teksti që ju keni përzgjedhur,i autorëve Edmond Lulja, Neritan Babamusta dhe Prof. Dr. Shpëtim Bozdo është i ndarë në 8kapituj. Në të, e njëjta linjë është ndarë në disa kapituj; ka edhe kapituj që përmbajnë pjesë ngadisa linja të ndryshme. Kjo shpërndarje si dhe ndërthurja e tyre, është realizuar me synimin ekonceptimit tërësor të lëndës, duke zbatuar në këtë mënyrë një nga kërkesat themelore tëprogrameve të matematikës.Programi mësimor për lëndën e matematikës në klasën 11 (kurrikula bërthamë) përmban këtëdetajim për linjat e përmbajtjes:1. Linja 1 (Numri dhe veprimet me numra) 7 orë2. Linja 2 (Matja) 24 orë3. Linja 3 (Gjeometria) 28 orë4. Linja 4 (Algjebra, funksioni dhe njehsimi diferencial dhe integral) 38 orë5. Linja 5 (Statistikë, kombinatorikë, probabilitet) 11 orë6. Proceset matematike (integruar në linjat e mësipërme)Shpërndarja e orëve në tekst, sipas kapitujve dhe linjave, jepet në tabelën emëposhtme:KREUORËT SIPASKREUTLINJA PËRKATËSEORËT SIPASLINJAVE1. Drejtëza në planin kartezian 7 Linja 3 72. Funksioni 12 Linja 4 123. Funksione trigonometrike 18Linja 4Linja 24144. Plani dhe drejtëza në hapësirë 14 Linja 3 145. Shumëfaqëshat dhe trupat errumbullakët16Linja 2Linja 3976. Limitet e funksioneve 23Linja 4Linja 22217. Statistikë, kombinatorikë, probabilitet 11 Linja 5 118. Matematika në jetën e përditshme dhenë financë7 Linja 17SHUMA E ORËVE SIPAS KRERËVE 108SHUMA E ORËVESIPAS LINJAVE108
    • 6 / Matematika 11Udhëzime të përgjithshmeSë dyti, theksimi hap pas hapi i karakteritdeduktiv, pa synuar vërtetimin e plotë të tëgjitha teoremave apo pohimeve.Gjatë gjithë shtjellimit të lëndës, janë vërtetuarvetëm disa teorema ose fjali, ndërsa disa tëtjera pranohen pa vërtetim. Në varësi të nivelittë klasës, vetë mësuesi duhet të vendosë secilat teorema të vërtetojë e cilat të pranohenpa vërtetim. Por kjo nuk do të thotë në asnjëmënyrë që asnjë teoremë të mos vërtetohet!•Sëtreti,përparësiaekuptimittëkonceptevenëraport me aspektet algoritmike. Në këtë kuptimmësuesi nuk duhet të kënaqet (e madje të mose stimulojë) mbajtjen mend ose përsëritjene formulave, apo riprodhimin mekanik tëvërtetimit të një teoreme, duke e shkëputuratë nga zbatimet e shumta e të larmishme.Ai duhet të ngulë këmbë në përvetësimin ekonceptit, fillimisht nëpërmjet të kuptuarit etij, e më pas nëpërmjet zbatimeve të shumtae të larmishme. Mjaft ushtrime të përfshira nëtekst kanë të bëjnë pikërisht me këtë aspekt.• Së katërti, lënda e matematikës, për nga vetëspecifika e saj ka një avantazh në krahasimme lëndët e tjera. Ky avantazh konsiston nëzgjidhjen e ushtrimeve e problemeve, kunxënësi “zbulon” në mënyrë të pavarur varësindërmjet madhësive të ndryshme të panjohurapër të më parë. Në këtë mënyrë ai zhvillonveprimtari krijuese e zbuluese, që pa gabuar,mund ta konsiderojmë si një punë shkencorenë miniaturë.Matematika ka privilegjin që në mësimdhënierealizohet zgjidhja e problemeve, fillimisht sizbatime (për të kuptuar konceptin) dhe më passi modele të punës së pavarur. Në mënyrë tëveçantë vetë zgjidhja e problemeve duhet tëstimulojë debatin dhe pjesëmarrjen e të gjithënxënësve në mësim.Është e njohur tendenca e mjaft mësuesve qënë klasë të zgjidhin sa më shumë ushtrime.Kjo tendencë, në parim nuk ka pse të qortohet,sidomos në rastet kur kërkohet përvetësimii saktë i një procedure. Por në mjaft raste,përvojat më të mira rekomandojnë që më erëndësishme nuk është numri i problemeve tëzgjidhura, por mënyrat e ndryshme të zgjidhjessë tyre. Parimi i njohur: “më mirë të zgjidhetnjë problem në tri mënyra se sa të zgjidhen triprobleme të ndryshme” tashmë e ka fituar tëdrejtën e qytetarisë në shkolla.• Së pesti, teksti i matematikës është njëmjet për të realizuar synimet dhe objektivate programit. Këto objektiva janë për të gjithënxënësit, por ato realizohen në nivele tëndryshme nga nxënës të ndryshëm. Ky fakt ingarkon mësuesit që të programojnë objektivatë niveleve të ndryshme dhe njëkohësisht tëplanifikojnë detyra të niveleve të ndryshme.Teksti ka material të bollshëm në këtë drejtim.• Së gjashti, për të lehtësuar planifikiminvjetor të mësuesit, teksti është i ndarë pikërishtnë 108 njësi mësimore (aq sa janë edhe orët nëdispozicion).Por mësuesi, duke gjykuar nga niveli i arritjevetë nxënësve dhe në mbështetje të UdhëzimitNr. 35, datë 09.10.2007 të Ministrisë sëArsimitdhe Shkencës për “Lirinë e mësuesit përorët mësimore të parashikuara në programinlëndor”, ka të drejtë ta zhvillojë një kapitullose linjë lëndore deri në 10% më shumë osederi 10% më pak orë mësimore, kundrejtnumrit të orëve të parashikuara në programinpërkatës lëndor, por pa ndryshuar totalin eorëve mësimore që programi përcakton përlëndën, pra 108 orë.• Së shtati, në tekst janë përfshirë disa modeletestesh. Edhe në këtë drejtim, mësuesi është ilirë të planifikojë ose realizojë vetëm disa prejtyre apo edhe të tjerë.Testet janë dhënë për vlerësim me pikë, dukerealizuar në këtë mënyrë një përqasje meprovimet e pjekurisë. Koha e planifikuar përnjë testim në varësi të mundësive konkreteedhe mund të zgjatet.Objektivat e linjave i përmban programi.
    • 7LIBËR PËR MËSUESITPër të lehtësuar planifikimin vjetor të punës së mësuesit, po japim objektivatsipas krerëve në tri nivele. Kjo ndarje presupozon që niveli më i lartë përfshinnivelin më të ulët.• Niveli bazë, merr në konsideratë syniminqë ai mundësisht të arrihet nga të gjithënxënësit. Nxënësit e arrijnë këtë nivel kur janënë gjendje të zbatojnë procedurat rutinë qëndeshen shpesh në orën e mësimit. Këta nxënëspërkufizojnë konceptet, rregullat dhe teorematkryesore; zgjidhin ushtrime të thjeshta, dukeimituar modele të ndryshme; riprodhojnëpjesë nga materiali mësimor teorik; përdorinmetoda tradicionale arsyetimi dhe të zgjidhjessë problemeve; realizojnë detyra pa synuarzgjerim e thellim të mëtejshëm; komunikojnëe bashkëveprojnë me shokët dhe mësuesin.• Niveli mesatar, merr në konsideratë synimetej procedurave rutinë ose imituese. Nxënësit ekëtij niveli marrin përsipër zgjidhjen e detyravemëkomplekse,dukekombinuarnjohuritëqëatadisponojnë. Këta nxënës jo vetëm riprodhojnëtërësisht materialin e mësuar, por edheshqyrtojnë ligjësitë, identifikojnë problemet,duke bërë dallimin ndërmjet njohuriveesenciale nga ato të dorës së dytë. Këta nxënëspërdorin njohuritë teorike, duke zgjidhurdetyra jo vetëm sipas modeleve, por edhe mëkomplekse. E rëndësishme është që me këtanxënës të synohet që ata të mund të nxjerrinvetë konkluzione. Këta nxënës njëkohësishtdemonstrojnë aftësi të komunikimit afektivdhe të bashkëveprimit.• Niveli i lartë, ka për objektiv jo vetëmtë kuptuarit ose riprodhimin e materialitmësimor, por përpunimin e tij, zbatimin nëmënyrë të pavarur e krijuese, në situata të reja,të panjohura më parë për ta.Këta nxënës duhet të jenë në gjendje tësintetizojnë njohuritë, shkathtësitë, tëpërcaktojnë rrugët e mënyrat e veprimit, tëparashikojnë pasojat, të vlerësojnë qëndrimetnga këndvështrime të ndryshme.Përshkrimi i niveleve të arritjeve sipas komponentëveKomponenti Përshkrimi i komponentitNiveli I-rë iarritjeveNiveli i II-të iarritjeveNiveli i III-të iarritjeveNjohuritëmatematikeTerminologjia dhe simbolika.Përkufizimet e koncepteve.Faktet matematike (aksioma,teorema, formula, rregulla).Metodat matematike (tëzgjidhjes, njehsimit, ndërtimit,vërtetimit).Zotërim injohurivebazë nëshkallënminimale;zotërim ipjesshëm injohurive,ilustrim me1-2 shembujZotërim solidi njohurive,ilustruar meshembuj tëshumtë.Zotërimnjohurish tëgjëra, të plota,ilustruar meshembuj tëlarmishëm ngakontekste tëndryshme.AftësitëmatematikePër identifikim, përshkrim,shpjegim, zbatim, analizë,sintezë, vlerësim, formulimhipoteze, vërtetim.Shfaqje ekufizuar eaftësive.Shfaqjeaftësish tëzhvilluaranë situata tënjohura.Shfaqje tëaftësive tëzhvilluara nësituata të reja,në mënyrë tëpavarur.
    • 8 / Matematika 11Udhëzime të përgjithshmeZotësitë,shkathtësitë,shprehitëmatematikePër të kryer:Njehsime, matje, ndërtime,skicime, zgjidhje, përdorimtë burimeve të informacionit,përdorim të teknologjisë,lexim të modeleve numerike ehapësinore, krijim të modelevenumerike dhe hapësinoreShfaqje tëkufizuara.Shfaqje solide.Shfaqje tëavancuara.Qëndrimet dhevleratPjesëmarrje në diskutim,bashkëpunim, kërkim e dhëniendihme, verifikim, respektim imendimit të të tjerëve, marrjee përgjegjësive personale,vëmendje, demonstrimvullneti, respektim i rregullave,përmbushje e detyrave.Tentativa përtë mbajturqëndrimetë caktuara;zotërimminimal ivlerave.Arritje përtë mbajturqëndrimetë caktuara;zotërimi vleravekryesore.Mbajtjeqëndrimeshtë pavarura;marrja epërgjegjësivembi vete;zotërim itërësisë sëvlerave.Tri nivelet e arritjeve të nxënësve në matematikë, sipas tri kategorive kryesore(zgjidhja problemore, arsyetimi matematik, komunikimi matematik)Niveli INxënësi zgjidh probleme: - me ndihmën e mësuesit;- me anën e një numri të kufizuar metodash;- me gabime ose me mangësi të shumta.Nxënësi përdor arsyetime matematike:- me ndihmën e mësuesit;- që janë nga më të thjeshtat;- me gabime ose mangësi.Nxënësi i komunikon njohuritë matematike:- me ndihmën e mësuesit;- me një mënyrë të paqartë dhe të pasaktë;- duke përdorur rrallë terminologjinëe përshtatshme matematike.Niveli IINxënësi zgjidh probleme: - me ndihmë të kufizuar të mësuesit;- me anën e një numri jo të madh strategjish bazale;- me gabime ose me mangësi të pjesshme.Nxënësi përdor arsyetime matematike:- me një ndihmë të kufizuar të mësuesit;- të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve;- me disa gabime ose mangësi të vogla.Nxënësi i komunikon njohuritë matematike:- në mënyrë të pavarur;- me një farë qartësie e saktësie në terminologji;- duke përdorur herë pas here simbolikëne përshtatshme matematike.
    • 9LIBËR PËR MËSUESITNiveli IIINxënësi zgjidh probleme: - në mënyrë të pavarur;- duke zgjedhur strategji e duke krijuar strategji që janëtë reja për të;- zakonisht me saktësi.Nxënësi përdor arsyetime matematike:- në mënyrë të pavarur;- të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve madjeduke shpjeguar zgjidhjen që jep vetë.Nxënësi i komunikon njohuritë matematike:- në mënyrë të pavarur;- qartë dhe saktë;- duke përdorur terminologjinë dhe simbolikëne përshtatshme matematike.Ndarja e krerëve në njësi mësimoreNdarja e krerëve në njësi mësimoreKREU 1 Drejtëza në planin kartezian1.1 Ekuacioni i drejtëzës në plan1.2 Drejtëza paralele me një vektor1.3 Këndi ndërmjet dy drejtëzave1.4 Ekuacioni i drejtëzës që kalon nga një pikë e dhënë paralel ose pingul me një drejtëz të dhënë1.5 Largesa e pikës nga drejtëza1.6 Ushtrime1.7 Test për kreun 1KREU 2 Funksioni numerik2.1 Përsëritje. Funksioni numerik2.2 Përsëritje. Grafiku i funksionit numerik2.3 Grafikët e funksioneve të dhënë me formula të ndryshme në pjesë të ndryshmetë bashkësisë së përcaktimit. Monotonia e funksionit.2.4 Vlera më e madhe (më e vogël) e funksionit numerik. Ekstremumet2.5 Krahasimi i funksioneve numerike2.6 Veprime me funksione numerike. Kufizueshmëria e funksionit2.7 Çiftësia e funksionit. Funksionet periodike2.8 Studimi i variacionit të funksioneve të thjeshta2.9 Ndërtimi i grafikut të funksioneve të tjera, duke u nisur nga grafiku ifunksionit f2.10 Përbërja e funksioneve numerike2.11 Ushtrime për përsëritje2.12 Test për kreun 2
    • 10 / Matematika 11Udhëzime të përgjithshmeKreu 3 Funksionet trigonometrike3.1 Përsëritje3.2 Radiani. Rrethi trigonometrik. Harqe dhe kënde trigonometrike3.3 Përkufizimet e funksioneve trigonometrikë3.4 Variacioni i sinusit dhe kosinusit3.5 Vetitë dhe variacioni i funksionit y=tgx3.6 Identitete trigonometrike3.7 Ushtrime për përpunim të njohurive3.8 Formulat e reduktimit3.9 Zbatime për përpunimin e njohurive3.10 Ekuacione trigonometrike elementarë3.11 Ushtrime për përpunimin e njohurive3.12 Formulat për sinusin dhe kosinusin e shumës dhe diferencës së dy këndeve3.13 Zbatime3.14 Funksionet trigonometrike të dyfishit të këndit.3.15 Kthimi në prodhim i shumës apo ndryshesës së dy sinuseve ose dy kosinuseve3.16 Përsëritje për kreun3.17 Ushtrime për përsëritje3.18 Test për kreun 3KREU 4 Plani dhe drejtëza në hapësirë4.1 Drejtëzat dhe planet4.2 Rrjedhime nga aksiomat4.3 Pozicioni reciprok i dy drejtëzave në hapësirë4.4 Pingulja dhe e pjerrëta me planin4.5 Teorema e tri pinguleve4.6 Ushtrime4.7 Drejtëza paralele me planin4.8 Plane paralele4.9 Ushtrime4.10 Këndi dyfaqësh4.11 Plane pingulë4.12 Ushtrime4.13 Ushtrime për kreun4.14 Test për kreun 4 KREU 5 Shumëfaqëshat dhe trupat e rrumbullakët5.1 Shumëfaqëshat. Prizmi5.2 Piramida5.3 Ushtrime5.4 Vëllimi i trupave5.5 Ushtrime5.6 Vëllimi i piramidës5.7 Ushtrime
    • 11LIBËR PËR MËSUESIT5.8 Cilindri5.9 Koni5.10 Vëllimi i cilindrit dhe i konit5.11 Ushtrime5.12 Sipërfaqja sferike. Sfera5.13 Vëllimi dhe sipërfaqja e sferës5.14 Ushtrime5.15 Ushtrime për kreun5.16 Test për kreun 5Kreu 6 Limitet e funksioneve6.1 Funksione që kanë limit + ∞ kur x→+∞6.2 Disa teorema6.3 Funksione që kanë limit 0, kur x→+∞6.4 Limiti i polinomit kur x→+∞6.5 Funksione që kanë limit l kur x→+∞6.6 Limite të funksionit kur x→-∞6.7 Ushtrime për përpunimin e njohurive6.8 Asimptota horizontale6.9 Limiti i funksionit racional thyesor kur x→+∞ (x→-∞)6.10 Ushtrime për përpunimin e njohurive6.11 Funksione që kanë limit zero në zero6.12 Funksione që kanë limit 0 kur x→a. (Funksionet p.m.v.)6.13 Limiti i funksionit kur x→a6.14 Teoremat themelore për limitin e funksionit6.15 Teoremat themelore mbi limitin (vazhdim)6.16 Funksione pambarimisht të mëdha (p.m.m.) kur ax →6.17 Zbatime. Asimptotat vertikale6.18 Format e pacaktuara6.19 Ushtrime për format e pacaktuara6.20 Format e pacaktuara (vazhdim)6.21 Ushtrime për përpunimin e njohurive6.22 Përsëritje për kreun6.23 Test për kreun 6KREU 7 Statistikë, kombinatorikë, probabilitet7.1 Parimi i mbledhjes dhe shumëzimit7.2 Përkëmbimet7.3 Dispozicionet7.4 Kombinacionet7.5 Ushtrime7.6 Probabiliteti7.7 Probabiliteti i bashkimit të ngjarjeve7.8 Ushtrime7.9 Informacioni statistikor
    • 12 / Matematika 11Udhëzime të përgjithshme7.10 Analiza e të dhënave7.11 Ushtrime për kreunKREU 8 Matematika dhe financa në jetën e përditshme8.1 Depozitat dhe normat e interesit. Interesi i thjeshtë8.2 Huaja8.3 Interesi i përbërë8.4 Ushtrime8.5 Interesi dhe progresionet8.6 Kredia bankare8.7 UshtrimeOBJEKTIVAT SIPAS KRERËVEKREU 1Niveli INë mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të përshkruajnë me fjalë kuptimet e koordinatave të pikës e të vektorit në planinkartezian.• Të përshkruajnë kuptimin e ekuacionit të vijës në planin kartezian.• Të përcaktojnë nëse një pikë me koordinata të njohura ndodhet në një vijë me ekuacion tënjohur të fuqisë I ose II.• Të dallojnë drejtëzën si vijë që paraqitet me ekuacion të fuqisë së parë me dy ndryshore.• Të gjejnë largesën midis dy pikave me koordinata të njohura në plan.• Të shkruajnë ekuacionin e drejtëzës në planin xoy, kur jepen:a) Një pikë dhe koeficienti këndor i saj.b) Dy pika.c) Një pikë dhe ekuacioni i drejtëzës paralele me të.ç) Një pikë dhe ekuacioni i drejtëzës pingule me të.• Të paraqesin drejtëzën në planin koordinativ kur njihet ekuacioni i saj.• Të gjejnë pikën e prerjes së dy drejtëzave me ekuacione të dhëna.• Të gjejnë koeficientin këndor të drejtëzës kur jepet ekuacioni i saj.• Të përcaktojnë nëse dy drejtëza me ekuacione të dhëna janë paralele apo pingule.• Të gjejnë largesën e një pike nga një drejtëz, duke përdorur formulën përkatëse.Niveli IINë mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të japin përkufizime të sakta të koordinatave të pikës e të vektorit në plan, duke përdorurdrejt simbolikën.• Të vërtetojnë formulën për largesën midis pikave me koordinata të njohura në plan.• Të identifikojnë grafikun e funksionit numerik f me bashkësi përcaktimi A si vijë meekuacion y=f(x).• Të identifikojnë gjysmëplanin kartezian nëpërmjet inekuacionit përkatës .
    • 13LIBËR PËR MËSUESIT• Të argumentojnë mënyrën për të gjetur pikën e prerjes së dy vijave me ekuacione tëdhëna.• Të gjejnë pikat e prerjes së drejtëzës me ekuacion të dhënë me boshtet koordinative.• Të vërtetojnë fjalitë për trajtat e ekuacionit të drejtëzës, kur jepen elemente gjeometrikepërcaktues të saj.• Të gjejnë largesën midis dy drejtëzave paralele.• Të nxjerrin me vërtetim formulën për këndin midis dy drejtëzave me ekuacione të dhëna.• Të gjejnë në trekëndësh ekuacionet e lartësive, mesoreve, përmesoreve.• Të gjejnë, duke njohur ekuacionin e drejtëzës, vektorë paralelë apo pingulë me të.• Të gjejnë projeksionin e një pike mbi një drejtëz.•Tëpërdorinrregullatdhevetitëpërzgjidhjeneproblemevetëthjeshtanësituatamatematikoree nga shkencat e përafërta.Niveli IIINë mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të shkruajnë në trajtë vektoriale kushtin që pika M(x, y) të ndodhet në drejtëzën (M1M2).• Të përcaktojnë nëse katërkëndëshi ABCD, ku kulmet kanë koordinata të njohura ështëtrapez, paralelogram, drejtkëndësh, romb, katror.• Të nxjerrin formulën për këndin midis dy drejtëzave të dhëna me ekuacione tëpërgjithshme.• Të nxjerrin formulën për largesën e një pike nga një drejtëz.• Të gjejnë ekuacionin e shëmbëllimit të një drejtëze gjatë zhvendosjes paralele, simetrisëqendrore a boshtore.• Të nxjerrin ekuacione drejtëzash të dhëna me veti të tjera gjeometrike (ekuidistantja,përgjysmorja e këndit).• Të zgjidhin problema matematikore a reale, në situata të reja për ta, duke përdorur njohuritëpër ekuacionin e drejtëzës në plan.KREU 2Niveli INë mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të paraqesin relacionet midis bashkësive të fundme me tabelë, diagram shigjetor, graf,grafik, duke kaluar edhe nga një mënyrë e dhënies në një tjetër.• Të dallojnë nëse një relacion midis dy bashkësive të fundme është funksion.• Të gjejnë vlerën e y kur njihet vlera e x, për funksionet e studiuar teorikisht, direkt ose memakinë llogaritëse të thjeshtë.• Të dallojnë nëse një pikë e dhënë ndodhet në grafikun e ndonjërit nga funksionet e studiuaratë dhënë me formulë.• Të dallojnë nëse një vijë e dhënë në planin xOy shërben si grafik funksioni numerik.• Të skicojnë grafikët e funksioneve të studiuar në R ose në segmente të R.• Të gjejnë, kur është dhënë grafiku i funksionit numerik në A:a) bashkësinë e përcaktimit;b) bashkësinë e vlerave;c) vlerën më të madhe (më të vogël);ç) kufizueshmërinë;d) intervalet e monotonisë;e) ekstremumet.
    • 14 / Matematika 11Udhëzime të përgjithshme• Të gjejnë bashkësinë e përcaktimit për funksionet e dhëna me formula të trajtave:( )( )f xyg x= ; ( )y f x= , [ ( )]ay og f x= l ,ku f(x), g(x) janë binome të fuqisë së parë a trinome të fuqisë së dytë me koeficientë të plotë.• Të skicojnë grafikë funksionesh të trajtave( )( )f x për x Ayg x për x B∈= ∈,ku f(x), g(x) janë të trajtave ax+b, ax2,ax.• Të gjejnë vlerën më të madhe (më të vogël) të funksionit y=ax2+bx+c.• Të krahasojnë me rrugë algjebrike a grafike dy funksione të dhënë me formulat:y=ax+b, y=ax2,ayx= .• Të krahasojnë dy funksione të dhënë grafikisht.• Të shkruajnë formulën që jep shumën, prodhimin, raportin e dy funksioneve elementare tëdhënë me formula.• Të dallojnë nëse një funksion i dhënë grafikisht është çift (tek) apo periodik në R.• Të gjykojnë për çiftësinë e funksioneve të studiuar teorikisht.• Të skicojnë grafikun e funksionit Rxxy ∈= ,3dhe të nxjerrin nga grafiku vetitë kryesoretë tij.• Të skicojnë grafikët e funksioneve –f, |f|, y=f(x)+b, y=f(x-m), kur njihet grafiku i funksionity=f(x), ],[ bax ∈• Të gjejnë përbërjen fog , kur funksionet f, g jepen me tabela.• Të gjejnë përbërjen fog kur f, g janë funksione të studiuar teorikisht, dhënë me formula.Niveli IINë mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të paraqesin në planin xOy grafin e një relacioni të dhënë me fjali, ekuacion a inekuacionme dy ndryshore• Të dallojnë varësinë e çfarëdoshme nga ajo funksionale në situata të thjeshta konkrete.• Të gjejnë vlerën e njërës nga ndryshoret x, y kur jepet tjetra, (duke diskutuar sipas vlerës sëparametrit) në formulat:, ,y , , .• Të zgjidhin grafikisht inekuacionin , ku f është funksion i studiuar teorikisht, idhënë me formulë.• Të riprodhojnë tabelat e variacionit për funksionet e studiuara teorikisht, të dhëna meformula.• Të gjejnë bashkësitë e përcaktimit të funksioneve të dhëna me formula, kur kjo çon nëzgjidhjen e inekuacioneve të fuqisë së parë a të dytë apo të sistemeve të tyre.• Të nxjerrin formulën për funksionin kur njihet tipi i saj dhe elemente të mjaftueshme përpërcaktimin e koeficientëve.• Të shpjegojnë me mjete algjebrike veti të funksioneve:
    • 15LIBËR PËR MËSUESIT, , .• Të gjejnë pikëprerjen e grafikëve të funksioneve të njohur algjebrikë, të dhënë meformula.• Të studiojnë monotoninë e një funksioni të thjeshtë me anë të raportit2 12 1( ) ( )f x f xx x−−.• Të ndërtojnë grafikët e funksioneve të thjeshtë të dhënë në trajtën y=( )( )f x për x Ag x për x B∈∈, kuy=f(x), y=g(x) janë funksione të studiuar teorikisht.• Të studiojnë monotoninë e funksioneve të thjeshtë, duke i shkruar ata si shumë a prodhimdy funksionesh me monotoni të njëjtë.• Të tregojnë nëse një funksion është i kufizuar, duke e shkruar si shumë a prodhim dyfunksionesh të kufizuar.• Të zbatojnë rregullin për gjetjen e vlerës më të madhe (më të vogël) të funksionit y=ax2+bx+cnë situata të thjeshta praktike.• Të zbatojnë njohuritë për krahasimin e funksioneve numerike në situata të thjeshtapraktike.• Të gjejnë bashkësinë e përcaktimit të shumës, prodhimit, herësit të dy funksioneve tënjohura, të dhënë me formula.• Të skicojnë grafikun e një funksioni çift (tek) kur është dhënë pjesa e tij për x>0.• Të skicojnë grafikun e një funksioni periodik kur është dhënë pjesa e tij në [0, T].• Të vërtetojnë vetitë e funksionit y=x3.• Të vërtetojnë rregullat për marrjen e grafikëve të funksioneve–f, |f|, y=f(x)+b, y=f(x-m) prej grafikut të f.• Të kontrollojnë nëse ekziston fog, kur f, g janë funksione të studiuar teorikisht, të dhënë meformula.• Të modelojnë me anë të klasave të shqyrtuara të funksioneve përvoja të jetës së përditshmedhe situata të thjeshta nga lëndët e përafërta, duke dhënë zgjidhje të argumentuara.Niveli IIINë mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të dallojnë varësinë e çfarëdoshme nga ajo funksionale në situata të reja për ta.• Të gjejnë vlerën e njërës ndryshore në një formulë, duke e thjeshtuar formulën me futjen enjë ndryshoreje të re.• Të gjejnë bashkësinë e përcaktimit të një funksioni të dhënë me formulë, kur kjo çon nëzgjidhje inekuacionesh të thjeshtë eksponencialë a logaritmikë.• Të ndërtojnë grafikë funksionesh të dhënë në trajtën y=( )( )( )f x për x Ag x për x Bh x për x C∈∈ ∈, ku f, g, h janëfunksione të studiuar teorikisht.• Të vërtetojnë nëse një funksion i dhënë me formulë të thjeshtë është i pakufizuar në A.• Të shqyrtojnë me argumentim periodicitetin e funksioneve të studiuar teorikisht.• Të gjejnë bashkësinë e vlerave për një funksion të thjeshtë të dhënë me formulë.• Të nxjerrin rregullin për të marrë nga grafiku i f, grafikun e funksionit y=f(|x|).• Të shqyrtojnë nëse grafiku i funksionit të dhënë me formulë të thjeshtë ka një qendër simetrie(bosht simetrie) të caktuar.• Të diskutojnë, sipas vlerave të parametrit m, sasinë dhe shenjën e rrënjëve të ekuacionit
    • 16 / Matematika 11Udhëzime të përgjithshmef(x)=m, duke pasur të njohur grafikun e funksionit f.• Të zbatojnë përfundimet për vlerën më të madhe (më të vogël) të funksionit y=ax2+bx+c nësituata praktike të reja, jo standarde.• Të shqyrtojnë ekzistencën e fog dhe ta japin atë, kur f, g jepen me formula të ndryshme nëpjesë të ndryshme të bashkësisë së përcaktimit.• Të modelojnë situata të reja dhe rezultate eksperimentesh për të bërë deduksione eparashikime.VërejtjeJanë funksione teorikisht të studiuar:y=ax+b, y=ax2+bx+c,ayx= , y=ax,y=logax, y=sinx dhe y=cosx (për 02x< <π).KREU 3Niveli INë mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje:• Të zbatojnë formulat për gjetjen e vlerave të funksioneve trigonometrikë të një këndi në[0o, 180o], kur jepen funksionet trigonometrikë të këndit shtues (plotësues) të tij.• Të përdorin tabelën e vlerave të funksioneve trigonometrikë të këndit a për .• Të përdorin teoremën e kosinusit për gjetjen e brinjës së tretë të trekëndëshit, kur njihen dybrinjët e tjera dhe këndi ndërmjet tyre.• Të përdorin teoremën e sinusit për të gjetur R, kur jepen a,a.• Të gjejnë sipërfaqen e trekëndëshit, kur jepen dy brinjë dhe këndi ndërmjet tyre.• Të njehsojnë masën në gradë të këndit, kur jepet masa në radian e tij dhe anasjellas.• Të tregojnë kuadrantin ku mbaron harku trigonometrik , kur njihet vlera e tij x.• Të japin formulën për kur njihet vlera a e njërit nga harqet me fillim A e me mbarim M.• Të përcaktojnë shenjën e sinx, cosx, tgx, kur njihet kuadranti ku mbaron x.• Të riprodhojnë tabelat e variacionit të sinx, cosx për x∈[0,2π].• Të skicojnë grafikët e funksioneve y=sinx, y=cosx për x∈[0,2π].• Të përdorin formulën themelore sin2x+cos2x=1, për të gjetur vlerat e funksionevetrigonometrikë të x kur njihet sinx (cosx).• Të vërtetojnë identitete shumë të thjeshta trigonometrike, duke kryer shndërrime në njërënanë.• Të gjejnë periodën e funksioneve y=sinkx, y=coskx.• Të fiksojnë në kujtesë rregullin mnemonik për , .• Të kryejnë reduktimin e një këndi në [0o, 90o].• Të zgjidhin ekuacione trigonometrike elementare: sinx=a, cosx=b, tgx=c në R.• Të zgjidhin në R ekuacione trigonometrike shumë të thjeshta, që sillen në elementarë meshndërrime identike a të njëvlershme.• Të fiksojnë në kujtesë formulat për , e t’i përdorin ato për njehsime,vërtetime identitetesh e zgjidhje inekuacionesh në raste shumë të thjeshta.• Të nxjerrin formulat për sin2x, cos2x e t’i përdorin ato në raste shumë të thjeshta.
    • 17LIBËR PËR MËSUESITNiveli IINë mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje:• Të gjejnë këndet e një trekëndëshi kur jepen brinjët e tij.• Të zbatojnë teoremën e sinusit (teoremën e kosinusit) për gjetjen e elementeve të panjohuratë trekëndëshit, kur njihen disa prej tyre, në situata të thjeshta problemore.• Të gjejnë, duke zbatuar përkufizimin, me rrugë gjeometrike vlerat e sinx, cosx për disakënde të veçantë (p.sh. 120o, 225o, 330o).• Të përdorin në raste të thjeshta veti të funksioneve y=sinx, y=cosx, y=tgx (periodicitetin,çiftësinë, kufizueshmërinë).• Të kryejnë studimin e variacionit të y=sinx, y=cosx, y=tgx për secilin kuadrant.• Të nxjerrin tabelën e variacionit për funksionin y=tgx dhe të skicojnë grafikun e tij për,2 2x ∈ −  π π.• Të nxjerrin me vërtetim formulat:sin2x+cos2x=1, cos2x= 211 tg x+, sin2x=221tg xtg x+=dhe t’i përdorin ato për gjetjen e vlerave të funksioneve trigonometrike të x, kur njihet njëraprej tyre.• Të vërtetojnë identitete të thjeshta trigonometrike, duke kryer shndërrime në të dyja anët.• Të përcaktojnë periodën dhe të skicojnë grafikun e një funksioni trigonometrik të trajtës)( α+= kxfy .• Të përcaktojnë, për një lëvizje lëkundëse harmonike me ekuacion të njohur, amplitudën,periodën, frekuencën, pozicionin fillestar.• Në bazë të rregullit mnemonik për të kryejnë shndërrime identike shprehjeshtrigonometrike.• Të zgjidhin në R, a në pjesë të saj ekuacione të thjeshta trigonometrike (përfshirë edheekuacione me ndryshore në emërues).• Të vërtetojnë formulat për )sin( 21 xx ± , )cos( 21 xx ± e t’i përdorin për vërtetimeidentitetesh a zgjidhje ekuacionesh.• Të vërtetojnë formulat për .• Të kryejnë shndërrime të trajtës xbxa cossin + = sin( )cosax + αα.• Të vërtetojnë formulat për sin2x, cos2x, tg2x e t’i përdorin për shndërrime të thjeshta,vërtetime identitetesh e zgjidhje ekuacionesh.• Të nxjerrin formulat për ba sinsin ± , ba coscos ± e t’i përdorin për shndërrime tëthjeshta, vërtetime identitetesh e zgjidhje ekuacionesh.• Të mbledhin dy lëvizje lëkundëse harmonike me të njëjtën periodë.• Të zbatojnë njohuritë në situata të thjeshta në lëndët e përafërta dhe në jetën e përditshme.Niveli IIINë mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të përdorin teoremën e sinusit, teoremën e kosinusit dhe shprehjet për sipërfaqen etrekëndëshit në situata të reja jo standarde.• Të nxjerrin nga teorema e sinusit dhe nga teorema e kosinusit teorema të reja (p.sh. teoremën
    • 18 / Matematika 11Udhëzime të përgjithshmee anasjellë të Pitagorës).• Të vërtetojnë që perioda e funksioneve y=sinx, y=cosx është tamam 2π.• Të gjejnë bashkësinë e vlerave të lejuara të ndryshoreve në shprehje trigonometrike tëthjeshta.• Të zgjidhin inekuacione të thjeshta trigonometrike (si1sin2x > − ).• Të zgjidhin ekuacione trigonometrike jo standarde.• Të vërtetojnë identitete të kushtëzuara në trekëndësh (p.sh. atë për cosA+cosB+cosC, kurA+B+C=π).• Të japin, në raste të thjeshta bashkësinë e zgjidhjeve të ekuacioneve trigonometrike me njëformulë të vetme.• Të gjejnë vlerën më të madhe dhe më të vogël të shprehjeve të trajtësasinx+bcosx; asin2x+bsinx+c.• Të tregojnë ndryshimet që pësojnë grafikët e funksioneve y=Asin(Bx+C), y=Acos(Bx+C)me ndryshimin e vlerave të parametrave A B, C.• Të përdorin njohuritë për modelimin e situatave të reja problemore me karakter periodik nëjetën e përditshme dhe në lëndët e përafërta.KREU 4Niveli INë mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje:• Të tregojnë aksiomat kryesore të gjeometrisë euklidiane në hapësirë.• Të përshkruajnë kuptimin e teoremës si implikim logjik i vërtetë për çdo element tëmjedisit.• Të dallojnë në çdo teoremë mjedisin, kushtin, përfundimin.• Të japin formulimet e teoremave të thjeshta që shprehin vetitë kryesore të planit e drejtëzësnë hapësirë.• Të përdorin në raste të thjeshta kundërshembullin.• Të japin saktë përkufizimin e dy drejtëzave paralele në hapësirë.• Të dallojnë në situata të thjeshta praktike segmente që ndodhen në drejtëza prerëse, paralelea të kithëta.• Të dallojnë tri rastet për pozitën reciproke të një drejtëze dhe të një plani në hapësirë.• Të zbatojnë në raste shumë të thjeshta vetitë e drejtëzës paralele me planin.• Të dallojnë rastet për pozicionin reciprok të dy planeve në hapësirë.• Të zbatojnë në raste shumë të thjeshta vetitë e planeve paralele.• Të dallojnë drejtëza pingule e të pjerrëta ndaj një plani.• Të përdorin në raste shumë të thjeshta teoremën mbi drejtëzën pingule me dy drejtëzaprerëse të një plani.• Të zbatojnë në raste shumë të thjeshta teoremën e tri pinguleve e të anasjellën e saj.• Të ndërtojnë prerjen e drejtë të një dyfaqëshi nga një pikë e brinjës.• Të ndërtojnë këndin me kulm të caktuar, të barabartë me një kënd të dhënë.• Të gjejnë projeksionin e një drejtëze në një plan, duke projektuar dy pika të saj.• Të ndërtojnë planin pingul me një plan të dhënë, që kalon nga një pikë e dhënë.• Të gjejnë, në raste të thjeshta, largesën e një pike nga një plan, largesën e një drejtëze nganjë plan paralel me të, largesën midis dy planeve paralele.• Të shfaqin në figurë këndin e një drejtëze nga një plan.
    • 19LIBËR PËR MËSUESITNiveli IINë mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të japin saktë përkufizimet kryesore.• Të vërtetojnë teorema të thjeshta, duke kombinuar analizën me sintezën apo me metodën evërtetimit nga e kundërta.• Të shqyrtojnë vërtetësinë e fjalive të anasjella të teoremave kryesore të njohura.• Të bazojnë (argumentojnë) zgjidhjen e problemave me njehsim, duke përdorur teorematkryesore të njohura.• Të zgjidhin problema të thjeshta me vërtetim, me ndihmë të paktë të shokëve a tëmësuesit.• Të përcaktojnë sa plane mund të kalojnë nëpër dy drejtëza të dhëna.• Të zbatojnë teoremën mbi pingulen e të pjerrëtat ndaj planit në situata praktikekomplekse.• E njëjta gjë, për teoremën e drejtë dhe të anasjellë të tri pinguleve.• Të ndërtojnë drejtëzën që kalon nga një pikë e dhënë, paralele me një plan të dhënë.• Të gjejnë këndin e një drejtëze me një plan në situata praktike komplekse.• Të gjejnë këndin midis dy planeve në situata praktike komplekse.• Të zbatojnë vetitë e planeve pingulë në situata praktike komplekse.Niveli IIINë mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të zbatojnë teoremat në situata praktike jo standarde.• Të formulojnë në trajtë të njëvlershme disa nga teoremat kryesore, duke bërë vërtetimetpërkatëse.• Të vërtetojnë me rrugë të reja disa nga teoremat e njohura.• Të formulojnë mohimin e një teoreme edhe kur në të ka një sasor.• Të zgjidhin problema gjeometrike me vërtetim në situata të reja për ta.• Të përcaktojnë sa plane kalojnë nëpër katër pika të dhëna.• Të përcaktojnë sa plane kalojnë nëpër tri drejtëza, ku dy janë paralele.• Të gjejnë bashkësinë e pikave që kanë largesë të njëjtë nga një plan i dhënë.• Të vërtetojnë që:a) Largesa e pikës A nga plani P është min (AM) ku PM ∈ .b) Largesa midis dy planeve paralele P1, P2është min (M1M2), ku 11 PM ∈ ; 22 PM ∈ .• Të zbatojnë teoremën e drejtë e të anasjellë të tri pinguleve në situata praktike të reja, jostandarde.• Të gjejnë këndin e një drejtëze me një plan, këndin midis dy planeve në situata të reja, jostandarde.KREU 5Niveli INë mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të dallojnë në ambientin rrethues shumëfaqëshat; brinjët dhe faqet e tyre.• Të dallojnë midis shumëfaqëshave prizmin dhe piramidën.• Të dallojnë midis prizmave kuboidin.• Të përdorin vetitë e thjeshta të kuboidit, prizmit, piramidës, në zbatime direkte.
    • 20 / Matematika 11Udhëzime të përgjithshme• Të njehsojnë sipërfaqen anësore të prizmit të drejtë, kur njohin veti të thjeshta të bazës dhetë lartësisë.• Të përdorin formulën për sipërfaqen anësore të piramidës së rregullt, kur njihen veti tëthjeshta të bazës dhe apotema.• Të vërtetojnë formulën për vëllimin e kuboidit V=abc, ku a, b, c, janë numra të plotë.• Të njehsojnë vëllimin:a) e kuboidit, kur njohin brinjët.b) e prizmit të drejtë, kur njohin veti të thjeshta të bazës dhe të lartësisë.c) e piramidës së rregullt trekëndore, katërkëndore, kur njihet brinja e bazës dhe lartësia.• Të përshkruajnë në prizëm a në piramidë pozitën reciproke të dy brinjëve, të një brinje dhetë një faqeje, të dy faqeve.• Të dallojnë në ambientin rrethues trupa cilindrikë, konikë, sferikë dhe elementet përcaktuesetë tyre.• Të zbatojnë, në raste direkte formulat për sipërfaqet anësore të cilindrit të drejtë rrethor, tëkonit të drejtë rrethor, të sferës.• Të shkruajnë e të përdorin lidhjen midis R, h, l në konin e drejtë rrethor.• Të njehsojnë në raste të thjeshta, duke përdorur formulat vëllimet e cilindrit të drejtë rrethor,konit të drejtë rrethor, rruzullit.• Të dallojnë pozitën reciproke të një plani dhe të një sfere; planin tangjent me sipërfaqensferike.• Të njehsojnë madhësi në trupa që mund të ndahen dukshëm në trupa më të thjeshtëreferencialë (prizëm, rruzulli).• Të zgjidhin problema të thjeshta me njehsim në situata praktike.Niveli IINë mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të bëjnë paraqitje tridimensionale të një objekti të thjeshtë hapësinor (prizëm, piramidë,cilindër, kon, sferë).• Të njohin vetitë e prerjeve kryesore referenciale në prizëm, piramidë, cilindër, kon, rruzulldhe t’i përdorin ato në zgjidhjen e problemave të thjeshta.•Të përdorin vetitë e pozitës reciproke të dy drejtëzave, të një drejtëze a një plani, të dy planevepër argumentime, gjatë zgjidhjes së problemave me njehsim sipërfaqesh a vëllimesh.• Të njehsojnë sipërfaqet e anshme dhe vëllimet e shumëfaqëshave dhe trupave të rrotullimit,në bazë të formulave, duke gjetur më parë elementet që figurojnë në to, në bazë të teoremavembi marrëdhëniet metrike.• Të vërtetojnë vetitë e thjeshta të shumëfaqëshave dhe trupave të rrumbullakët.• Të vërtetojnë disa nga formulat që japin sipërfaqet anësore dhe vëllimet eshumëfaqëshave.• Të përdorin formulat për sipërfaqet anësore dhe vëllimet e shumëfaqëshave e trupave tërrumbullakët në situata praktike komplekse.• Të gjejnë vëllimet e trupave të kombinuar, duke i ndarë në pjesë më të thjeshta.• Të përcaktojnë nëse janë të mjaftueshme të dhënat për zgjidhjen e problemave për njehsimsipërfaqesh a vëllimesh.• Të zgjidhin problema të thjeshta njehsimi, duke përdorur simetrinë boshtore a qendrore tëprizmit të rregullt, piramidës së rregullt, cilindrit a konit të drejtë rrethor, rruzullit.• Të përdorin gjatë arsyetimeve e njehsimeve prerjet boshtore a qendrore të trupave.
    • 21LIBËR PËR MËSUESITNiveli IIINë mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të paraqesin situata të thjeshta, por jo standarde, problemore me modele gjeometrike (dukebërë përllogaritjet dhe argumentimet gjatë modelimit) e t’i zgjidhin ato.• Të nxjerrin formula të reja për matjet indirekte (p.sh. kur njihen prerjet).• Të gjejnë vëllimin dhe sipërfaqen e prizmit të pjerrët trekëndor e të piramidës trekëndoreçfarëdo (kur janë dhënë elemente kryesore të mjaftueshme).• Të njehsojnë madhësi në trupa, që mund të ndahen në trupa më të thjeshtë, me mënyra jostandarde.• Të zbulojnë veti të tilla si simetria në trupa kompleksë, që shqyrtohen për herë të parë.• Të nxjerrin me vërtetim veti të posaçme të tetraedrit të rregullt.• Të përdorin njohuritë trigonometrike për njehsimet e sipërfaqeve dhe vëllimeve të trupave.• Të shqyrtojnë cilindrin e drejtë rrethor, konin e drejtë rrethor dhe rruzullin, si truparrotullimi.• Të shqyrtojnë trungun e piramidës së rregullt dhe trungun e konit të drejtë rrethor, e tënxjerrin formulat për sipërfaqet dhe vëllimet e tyre.• Të shqyrtojnë cilindra të drejtë rrethorë e kone të drejtë rrethorë, të brendashkruar nërruzull.KREU 6Niveli INë mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të dallojnë qartë midis tyre shprehjet: “shumë afër”, “sa të duam afër”.• Të përdorin saktë shprehjet: “vlerat e f(x) bëhen sa të duam …, mjafton të merren vlera tëx …”.•Të dallojnë nga grafiku nëse kemi lim ( )xf x→=αβ ,(ku a është +∞,-∞, 0,a, kurse b është + ∞,-∞0, l≠0).• Të skicojnë grafikë funksionesh që gëzojnë vetinë e mësipërme.• Të përdorin në zbatime direkte faktet e mëposhtme:xn=+∞, nx = +∞ ,1nx=0,1nx=0,xn=0; nx =0;(x-a)n=0; c=c; x=a (n∈N).• Të përdorin në raste të thjeshta përkufizimet:lim ( )xf x→+∞ = −∞  ⇔ lim [ ( )]xf x→+∞ − = +∞   dhef(x)= f(-x).• Të gjejnë limitin kur x→+∞ (x→+∞ ) të një polinomi a funksioni racional thyesor konkret.
    • 22 / Matematika 11Udhëzime të përgjithshme• Të dallojnë nga grafiku nëse një drejtëz është asimptotë horizontale (vertikale) efunksionit.• Të gjejnë asimptotat horizontale (vertikale) të funksionit homografik.• Të përdorin në raste të thjeshta (p.sh. për funksionet e trajtës y=c+(x-a)n) njëvlershmërinë[ ]l=→)(lim xfax⇔ [ )( l−f është p.m.v. kur x→a].• Të gjejnë limitin e një polinomi kur x→a.• Të gjejnë bashkësinë e përcaktimit të funksionit racional thyesor dhe limitin e tij në një pikëtë bashkësisë së përcaktimit.• Të përdorin në raste të thjeshta teoremat themelore mbi limitin.• Të gjejnë limitin e funksionit të zakonshëm në një pikë të bashkësisë së përcaktimit.• Të kontrollojnë plotësimin e kushteve për teoremën mbi limitin e raportit.• Të përdorin në raste të thjeshta faktin që:lim ( )xf x→ = ∞  α⇒1lim 0( )x f x→ =  α .• Të përcaktojnë në raste të thjeshta të dhëna, nëse kemi të bëjmë me formë të pacaktuar.• Të gjejnë limitin e raportit të dy trinomeve të fuqisë II, kur x→a, edhe kur kemi formë tëpacaktuar00 .• Të gjejnë limite të trajtësax→limsin axtgbx.• Të gjejnë limite të trajtës2ax bcx dx ex f++ + +.Niveli IINë mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të formulojnë saktë përkufizimet.• Të vërtetojnë sipas përkufizimeve që:nx = nx = +∞;nx1=1nx=0;0lim→xnx =0lim→xnx =0;ax→lim (x-a)n=0;ax→lim c=c;ax→lim x=a.• Të japin shembuj funksionesh që nuk kanë limit (+∞,-∞, 0,l) kur x shkon në +∞,-∞, 0, a.• Të gjejnë, në raste të thjeshta, f(x) duke bërë zëvendësim t=-x.• Të vërtetojnë, në raste të thjeshta, që:f(x)= -∞, duke shqyrtuar [-f(x)].
    • 23LIBËR PËR MËSUESIT• Të gjejnë me argumentim limitin e një polinomi (funksioni racional thyesor) kur x→+∞dhe kur x→a.• Të formulojnë saktë teoremat kryesore.• Të riprodhojnë vërtetimin e teoremës mbi limitin e shumës dhe të rrjedhimeve të teoremësmbi limitin e prodhimit.• Të gjejnë limitin e funksionit të zakonshëm në një pikë, pasi të kenë gjetur bashkësinë e tijtë përcaktimit.• Të gjejnë asimptotat horizontale e vertikale për funksionet racionale thyesore.• Të gjejnë asimptotat horizontale e vertikale për funksionet kryesore të studiuara teorikisht.• Të kontrollojnë, në raste të thjeshta, nëse një funksion është p.m.m. me shenjë (+) (-) kurx→a.• Të vërtetojnë teoremat mbi vetitë e p.m.m.• Të përdorin, në raste të thjeshta mënyrat e njohura (pjesëtimi me x-a, zëvendësimi indryshores, shumëzimi me të konjuguarën) për gjetje limitesh funksionesh të thjeshtaracionale apo irracionale, kur kemi formën00.• Të vërtetojnë që:0lim→xsin kxx=k;0lim→x 21 cos xx−=21e t’i përdorin ato për gjetje limitesh funksionesh trigonometrike të thjeshta kur x→0.• Të gjejnë limite të formës ( 2ax bx c+ + - )2ex fx g+ + .Niveli IIINë mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të vërtetojnë që (a>1); 1aog x = −∞l .• Të japin me vërtetim shembuj funksionesh për të cilët nuk ekziston f(x)=b(ku a është +∞, -∞, 0, a dhe b është +∞, -∞, 0, l≠0).• Të vërtetojnë teoremat që janë dhënë në tekst pa vërtetim.• Të zbatojnë teoremat mbi rregullat e kalimit në limit në situata komplekse të reja.• Të gjejnë asimptotat vertikale e horizontale të funksioneve të zakonshme të thjeshta.• Të vërtetojnë që0lim→xsin xx=1.• Të gjejnë limite funksionesh trigonometrikë me zëvendësimin x-a=t.• Për një funksion f me parametra, të diskutohet sipas vlerave të parametrave ekzistenca ef(x) (a është gjithashtu parametër).KREU 7Niveli INë mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të gjejnë AXB kur A, B, janë bashkësi të mundme.• Të zbatojnë parimin e mbledhjes për situata të thjeshta.• Të zbatojnë parimin e shumëzimit për situata të thjeshta.
    • 24 / Matematika 11Udhëzime të përgjithshme• Të njehsojnë n! për vlera konkrete të n.• Të japin përkufizimin e përkëmbimit, dispozicionit, kombinacionit.• Në situata të thjeshta konkrete, të kuptojnë kur kërkohet numri i sistemeve të radhitura tëelementeve, që janë përkëmbime e ta njehsojnë atë, sipas formulës Pk=k!• E njëjta gjë për dispozicionet, duke përdorur formulën për Dn,k.• Në situata të thjeshta konkrete, të kuptojnë kur bëhet fjalë për grupe elementesh ku s’karëndësi radhitja (kombinacioni) e ta njehsojnë këtë numër duke përdorur formulën për Cn,k.• Të dallojnë ngjarjen e sigurt dhe ngjarjen e pamundur.• Të dallojnë dy ngjarje të papajtueshme në situata konkrete të thjeshta.• Në raste shumë të thjeshta (p.sh. një hedhje zari) të dallojnë numrin e rezultateve tëbarasmundshme të provës.• Të gjejnë në raste të tilla probabilitetin e ngjarjes A, sipas formulës( )( )( )n AP An H= .• Në situata shumë të thjeshta të përdorin metodën e pemës.• Të dallojnë, për ngjarje të thjeshta, prerjen e tyre dhe bashkimin e tyre.• Të gjejnë për dy ngjarje të papajtueshme P(A∪B).• T’u japin përgjigje pyetjeve të thjeshta për një informacion statistikor të dhënë.• Të gjejnë për ndryshoren e rastit diskrete mesataren aritmetike, shmangien mesatare katrore,dispersionin.Niveli IINë mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të formulojnë parimin e mbledhjes dhe të japin bazimin e tij nëpërmjet formulësn(A∪B)=n(A)+n(B) kur A∩B=Φ.• Të formulojnë parimin e shumëzimit, duke e bazuar atë nëpërmjet formulësn(AXB)=n(A)Xn(B).• Të zbatojnë parimin e shumëzimit në situata praktike komplekse.• Të zbatojnë vetinë n!=(n-1)!n.• Të gjejnë numrin e sistemeve të radhitur të elementeve, kur ato janë përkëmbime që gëzojnënjë veti plotësuese apo dispozicione që gëzojnë një veti plotësuese.• Të gjejnë numrin e grupimeve të paradhitura të elementeve që gëzojnë një veti plotësuese.• Të vërtetojnë formulën për Dn,k.• Të nxjerrin me vërtetim formulën për Cn,knë një rast konkret (p.sh. të vërtetojnë formulënpër C5,2).• Të gjejnë numrin e kombinacioneve në situata të thjeshta.• Të dallojnë ngjarjet e kundërta e të zbatojnë formulën .• Të gjejnë P(A)=( )( )n An Hnë situata të thjeshta, kur për gjetjen e n(A), n(H) duhen përdorurarsyetime kombinatorike.• Të gjejnë P(A∪B) në raste të thjeshta ngjarjesh që nuk janë të papajtueshme, duke gjeturmë parë P(A∩B).• T’u japin përgjigje pyetjeve që kërkojnë sistemim e përpunim paraprak të informacionitstatistikor.• Të përdorin mënyra të shpejta për njehsimin e σ2dhe të dispersionit.
    • 25LIBËR PËR MËSUESITNiveli IIINë mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të vërtetojnë barazimin n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B).• Të zbatojnë parimin e shumëzimit në situata të reja jo standarde.• Të vërtetojnë formulën Pn=n!.• Të gjejnë, në situata praktike, numrin e përkëmbimeve të një bashkësie, që gëzojnë disakushte plotësuese.• Të gjejnë, në situata praktike, numrin e dispozicioneve që gëzojnë disa kushte të tjeraplotësuese.• Të gjejnë, në situata praktike, numrin e kombinacioneve që gëzojnë disa kushteplotësuese.• Të nxjerrin formula të tjera nga formula për Dn,k.• Të vërtetojnë formulën për Cn,knë rastin e përgjithshëm.• Të nxjerrin formula të tjera nga formula për Cn,k.• Të zbatojnë formulën P(A)=)()(HnAnnë situata jo standarde.• Të vërtetojnë formulën P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).• Të vërtetojnë formulën për P(A∪B∪C), kur ngjarjet janë dy nga dy të papajtueshme.• Të gjejnë P(A∪B) në situata reale jo standarde.• T’u japin përgjigje pyetjeve jo standarde për një informacion statistikor.• Të nxjerrin konkluzione për shpërhapjen e ndryshores së rastit diskrete, në bazë të studimittë dispersionit.KREU 8Niveli INë mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të dallojnë qartë kuptimet kapital, periodë, interes, normë interesi.• Të njehsojnë, në raste të thjeshta praktike interesin e thjeshtë, sipas formulës I=100k t r⋅ ⋅.• Të njehsojnë, në raste të thjeshta praktike, shumën e huasë, sipas formulës M= 1100t r⋅ −  .•Tëzbatojnë,nërastetëthjeshtapraktike,formulënpërinteresinepërzierIn= 1 1100nrk  + −     .• Të përdorin, në raste të thjeshta, formulën për interesin e kredisë bankare I=100 360k r n⋅ ⋅⋅, dukepasur një kuptim të saktë të ndryshoreve.• Të nxjerrin nga kjo formulë, sipas rastit, njërën nga ndryshoret në varësi të të tjerave.Niveli IINë mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të njehsojnë, në situata praktike, njërën nga ndryshoret në formulën e interesit të thjeshtëdhe huasë, kur njihen tri të tjerat.
    • 26 / Matematika 11Udhëzime të përgjithshme• E njëjta gjë, për formulën për shumën e huasë.• Të nxjerrin me arsyetim formulën për interesin e përzier In= 1 1100nrk  + −     .• Të nxjerrin nga kjo formulë, në raste praktike njërën nga ndryshoret, kur njihen tri ndryshorete tjera.• Të kuptojnë lidhjen midis interesit të thjeshtë dhe progresionit aritmetik; midis interesit tëpërzier e progresionit gjeometrik.• Të përdorin formulën për interesin e kredisë bankare I=100 360k r n⋅ ⋅⋅në situata praktike tëkombinuara.Niveli IIINë mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të planifikojnë depozitimet dhe huatë, duke bërë zgjidhjen optimale për buxhetin e familjessë vet.• Të bëjnë parashikime për situatën financiare familjare.PLANIFIKIMI I MËSIMITPlani mësimor ditor është një detajim iparapërgatitur i elementeve të mësimit ditor,të renditura sipas radhës në të cilën do tëkryhen.Mësuesi që e nënvlerëson planin e mësimitdhe improvizon vazhdimisht është shumë iekspozuar ndaj rrezikut për të zhvilluar mësimetë cekëta, pa cilësi e rendiment.Një ditë mësimi e suksesshme nuk arrihet panjë plan të mirë. Nuk ka rëndësi formati qëdo të zgjidhet për hartimin e planit, por faktiqë plani i mësimit të ketë një ndërtim logjik,të jetë i qartë e i lehtë për t’u zbatuar.Suksesi (e mos-suksesi) i një ore mësimi varetnga planifikimi i mirë (i keq) dhe nga aftësia(pa-aftësia) e mësuesit për realizimin e planit.Nganjëherë mësuesit me përvojë enënvlerësojnë planin e mësimit. Por asnjëmësues nuk mund të përballojë mirë një orëmësimore pa menduar thellë që më parë seçfarë do të mësojnë nxënësit në orën e mësimitdhe si do ta mësojnë atë.Mësuesi detyrimisht duhet të dijë mirë secilat janë objektivat e mësimit, cila ështëpërmbajtja që do të trajtohet, cilat do tëjenë procedurat që do të ndiqen dhe si do tëzbatohen ato.Ka mësues që mendojnë se janë më tësuksesshme mësimet e pastrukturuara, tëpaplanifikuara. Ata besojnë se nxënësit egjejnë rrugën e tyre drejt të mësuarit të vërtetëmë mirë në situata të tilla. Kjo tezë ështëshumë e diskutueshme. Veçanërisht mësuesite rinj, duhet t’u shmangen mendimeve të tilla,sepse mësimet të zhvilluara ashtu, shpeshpërfundojnë në rastësi të padëshirueshme dheherë-herë në kaos.Studiuesit sugjerojnë që edhe mësuesit mepërvojë duhet t’i kushtojnë kujdes planeve tëtyre mësimore, nëse duan të vazhdojnë të jenëtë suksesshëm. Por ata mund të mos e shkruajnëplanin e mësimit në mënyrë të hollësishme.Planifikimi i kujdesshëm siguron njëfamiljarizim të mirë me përmbajtjen dhe i jeppër këtë arsye mësuesit besim e siguri tek vetja.Duke e ditur mirë atë që po bën, ai ballafaqohetlirshëm me nxënësit, i jep mësimit strukturë,organizim e vijueshmëri, përdor në mënyrëracionale kohën.
    • 27LIBËR PËR MËSUESITFunksionet e planit të mësimitPlani i mësimit:- ndihmon veprimin,- jep strukturën, organizimin e mësimit,- ndihmon të shfrytëzohet drejt koha sipas hapave dhe detyrave të parashikuara,- ndihmon mësuesin për të qartësuar tipin e të mësuarit e të nxënies për çdo mësim,- përqendron mësuesin në çështjet kryesore,- ndihmon mësuesin të përzgjedhë mirë mjetet mësimore,- e familjarizon mësuesin me përmbajtjen,- tregon përgatitje të mirë të mësuesit para nxënësve,- ndihmon për planifikimet e ardhshme (sidomos për zhvillimin e të njëjtit mësim me një gruptjetër nxënësish) nëpërmjet mbajtjes së shënimeve.Elementet kryesore të planifikimit e përgatitjes së mësimit1. Përzgjedhja e objektivave mësimorëObjektivat mësimorë (të programit lëndor, të kreut, të mësimit) janë tri llojesh:a) Për njohuritë (p.sh. “të gjejnë prodhimin kartezian të dy bashkësive të fundme”). Foljet qëpërdoren më shpesh për t’i karakterizuar këto objektiva, janë: të gjejnë, të përshkruajnë, tënjehsojnë, të tregojnë, të dallojnë etj.b) Për aftësitë (p.sh. “të zbatojnë njohuritë mbi njëvlershmërinë për të zgjidhur ekuacioneqë sillen në trajtën ax+b=0”). Foljet që përdoren më shpesh për t’i karakterizuar, janë: tëpërdorin, të zbatojnë, të krahasojnë, të mbledhin informacion etj.c) Për qëndrimet (p.sh. “të vlerësojnë rolin e metodës për gjetjen e vlerave ekstremale tëfunksionit në praktikë”). Foljet që përdoren më shpesh për t’i karakterizuar janë: të vlerësojnë,të diskutojnë, të debatojnë etj.2. Përzgjedhja e përmbajtjes së mësimit3. Përzgjedhja e veprimtarive në mësim4. Përzgjedhja e mjeteve dhe krijimi i kushteve për mësim4. Parashikimi i mënyrës së drejtimit dhe të vlerësimit të nxënësve.Etapat për të përgatitur një plan ditor mësimiI. Para se të ulet për të shkruar një plan ditor, mësuesi duhet të mendojë e të shënojë:- qartësimin e qëllimit dhe të objektivave të mësimit;- zbulimin e vlerave kryesore të mësimit (për t’ia paraqitur klasës);- qartësimin e veprimtarive në orën e mësimit, duke veçuar veprimtarinë kulmore;- përzgjedhjen e metodave më të përshtatshme që do të përdoren;- përzgjedhjen e materialeve ilustruese më të përshtatshme që ka në dispozicion;- përzgjedhjen e teknikave më të mira të vlerësimit;- parashikimin e punës me grupe a individë të veçantë;- parashikime për lidhjen e mësimit me temat e tjera të lëndës ose me lëndët e tjera;- parashikimin e përdorimit të T.I.K.II.Gjatëhartimittëplanittëmësimit,mësuesiduhettëmbajëparasyshkëtoparime(pavarësishtnga formati i zgjedhur për planin):- qëllimi është në përshtatje me objektivat lëndore dhe objektivat e kreut;- çdo objektiv mësimor synon një arritje të të nxënit;- mësimi i planifikuar të jetë i realizueshëm;
    • 28 / Matematika 11Udhëzime të përgjithshme- veprimtaritë mësimore të mbështesin objektivat e vëna;- çdo veprimtarie i duhet lënë kohë e mjaftueshme.Klasifikimi i mësimeveMësimet ndahen në dy lloje të mëdha:- Me shtjellim të njohurive të reja;- Për përpunim të njohurive (këtu hyjnë mësimet për ushtrime, për punë laboratori, përpërsëritje, për testime, për projekte kurrikulare etj.).Shkurt për përsëritjenNëpërmjet mësimeve të përsëritjes mësuesi indihmonnxënësittëvendosinrregullnëmorinëe njohurive të sapo mësuara d.m.th. të nxjerrinnë pah konceptet e metodat përshkuese tëkapitullit dhe ato njohuri që duhet të ngulitenfort në kujtesë.Ka rëndësi shumë të madhe metodologjiae përsëritjes. Disa mësues u parashtrojnëvetë nxënësve një përmbledhje të kreut,duke besuar se ata e bëjnë këtë më mirë sesa vetë nxënësit dhe në këtë mënyrë nxënësitpërfitojnë më mirë. Të tjerë mësues përpiqentë stërvitin nxënësit që të përmbledhin ata vetëatë që kanë mësuar për disa orë mësimore; ujapin detyrë të kalojnë “diagonalisht” faqet etekstit, të mbajnë shënim gjërat themelore, tëmbajnë shënim atë çka nxënësit nuk e kanëfort të qartë.Përsëritja e një kreu nuk ka qëllim vetëm njërimarrje përmbledhtas të tij. Ajo ka vlerë tëmadhe për të vërejtur lidhjet midis njohurive,për të qartësuar strukturën e kreut. Dihet qëfaktet mbahen mend më gjatë e konceptetrishqyrtohen më thellë duke i këqyrur ato nëlidhjet e tyre të brendshme. Por, përsëritjashkon më tej, sepse shqyrtimi i strukturëssë brendshme të kreut është i mirë, por jo imjaftueshëm.Dihet që njohuritë e reja të një kreu janë tëlidhura me njohuritë e kreut paraardhës, melëndën e zhvilluar në atë vit, me lëndën ezhvilluar në vitet e mëparshme, bile me lëndëne zhvilluar në vitet e tjera. Është kryesishtpërsëritja ajo që e vendos çdo njohuri të renë mozaikun e njohurive të lëndës, të fushëskurrikulare dhe të kurrikulës në tërësi. Nëmënyrë të gabuar disa mësues e shkurtojnëkohën e përsëritjes ose e kthejnë atë në njëfarë konsultimi para testimit për një apo disakapituj.Përsëritja është përherë e domosdoshme, pasivetëm nëpërmjet saj nxënësit:- nxjerrin në pah konceptet e faktet themelore,- përvijojnë strukturën e kreut (d.m.th. lidhjenmidis koncepteve e fakteve themelore),- integrojnë njohuritë e fituara me njohuritë emëparshme.Më poshtë do të flasim kryesisht për planifikime mësimeve me shtjellim të njohurive të reja.Përshtatja e veprimtarive me nevojat mësimorePas caktimit dhe përshkrimit të objektivave mësimore përcaktohen veprimtaritë mësimore, sëbashku me mënyrën për organizimin dhe drejtimin e tyre.Për zgjedhjen e veprimtarive udhëhiqemi nga këto parime:1. Mësuesi ta zgjedhë llojin e veprimtarisë në përputhje me objektivat. Këshillohet të mosmbështetet në një metodë të vetme, por në strategji e taktika që kombinojnë modelet, metodate procedurat.2. Dallohen veprimtari hyrëse, veprimtari motivuese për të filluar mësimin, veprimtarizhvilluese për ta mbajtur mësimin në proces, veprimtari kulmor edhe veprimtari vlerësuese.Veprimtari të ndryshme mund të luajnë role të ndryshme në procesin e mësimit (disa
    • 29LIBËR PËR MËSUESITjanë të mira për motivim, disa për sqarim, disa për zhvillimin e aftësive e disa janë multi-funksionale).3.Veprimtaritënëmësimduhettëzgjidhennëpërshtatjememundësitëenxënësve,elasticitetine tyre, stilin e të nxënit sepse nxënës të ndryshëm reagojnë në mënyra të ndryshme ndajmetodave të ndryshme.4. Veprimtaritë mësuesi t’i zgjedhë duke marrë në konsideratë edhe mundësitë e pëlqimet etij.5. Për organizimin e veprimtarive duhen mbajtur parasysh edhe faktorë të tillë si koha,hapësira, pajisjet, shëndeti dhe siguria.6. Strategjitë e taktikat e mësimdhënies, që mishërohen në veprimtaritë, të jenë të përshtatshmepër çështjen dhe lëndën që mësohet.7. Secila veprimtari të synojë të paktën njërin nga objektivat e mësimi dhe për çdo objektivtë ketë të paktën një veprimtari që synon tek ai objektiv.Veprimtaritë sipas strukturës E.R.R (Evokim; Realizim;Reflektim)EvokimiNë këtë fazë të mësimdhënies nxënësit rikujtojnë çfarë dinë rreth temës. Është faza ku nxënësimotivohet për atë çfarë do të ndodhë më pas. Shërben si urë lidhëse e njohurive që ka nxënësime njohuritë e reja që do të merren.Realizimi i kuptimitNë këtë fazë merren njohuritë e reja. Mësuesi drejton dhe orienton drejt të nxënit. Të gjithaveprimtaritë kanë të bëjnë me të kuptuarit e njohurive të reja. Nxënësi vëzhgon, eksperimenton,diskuton, bën pyetje, shkëmben mendime etj.ReflektimiËshtë faza ku nxënësi do të shprehë idetë, mendimet dhe përmbajtjen me fjalët e tij. Ështëfaza ku njohuritë vihen në një kontekst të ri. Aktivitetet këtu kanë karakter krijues, analizues,përgjithësues, reflektues, vlerësues etj. Në këtë fazë konsolidohet informacioni i ri.Formati i planit mësimitNë përgjithësi çdo plan ditor përbëhet nga katër blloqe:- Objektivat- Metodologjia- Burimet e mësimdhënie-mësimnxënies- VlerësimiKëto blloqe mund të zbërthehen në disa formateModeli i propozuar nga Instituti i Zhvilimit të Arsimit (IZHA)1. Tema e orës së mësimit2. Objektivi përkatës i programit mësimor3. Objektivi (objektivat) e orës së mësimit4. Procedurat që do të ndiqen5. Vlerësimi6. Detyrat e shtëpisë7. Refleksione
    • 30 / Matematika 11Udhëzime të përgjithshmeZbatimi i planit të mësimitRekomandohet përgjithësisht që të zbatohet me përpikmëri plani i hartuar i mësimit, dukeshmangur improvizimet. Frymëzimet impulsive vërtet të mira janë shumë të rralla.Por plani është një mjet për të arritur një qëllim. Nëse diçka më e mirë lind gjatë zhvillimit tëmësimit, mësuesi është i lirë ta përdorë atë.Ekzistojnë së paku tre lloj situatash ku mund e duhet shkëputur nga plani i parapërgatitur.1. Kur mësimi i planifikuar shkon keq dhe duhet bërë diçka për ta shpëtuar atë.2. Kur ka ndodhur (ose ndodh) diçka e rëndësishme para (ose gjatë mësimit).3. Kur vetë nxënësit e kërkojnë ndryshimin.Mësuesi e sheh në fytyrat e nxënësve nëse mësimi po ndiqet e po kuptohet. Nëse kjo nuk ndodh,ai duhet të ndryshojë metodën, duke e thjeshtuar trajtimin.Disa herë të tjera nxënësit shtrojnë pyetje për çështje që ia vlen të ndiqen në detaje; në rrethanatë tilla mësuesi mund të braktisë planin e parapërgatitur dhe të merret me problemin e pozuar.Herë të tjera, brenda ose jashtë klasës ndodhin ngjarje me rëndësi, që imponojnë heqjen dorënga plani i parapërgatitur. Në rastin e një ngjarje me rëndësi kombëtare apo për shkollën, mundtë ndërpritet zhvillimi i mësimit duke biseduar për të, ndonëse ajo mund të mos ketë lidhje tëdrejtpërdrejtëe me mësimin që zhvillohet. Për një ngjarje shumë emocionale, mund të lihennxënësit të shprehen rreth saj për disa minuta në fillim të mësimit, që të shkarkojnë emocionetpara se t’i përvishen punës.Kriteret mbi të cilat ju mund të bazoni vendimet tuaja lidhur me zbatimin e planit, janë tëthjeshta:- çfarë do të ishte dobiprurëse për nxënësit,- çfarë do ta çonte përpara të mësuarit,- ç’domethënie ka ndryshimi për lëndën që zhvillohet?MBI ORGANIZIMIN E PUNËS NË KLASËMësuesi ka të drejtë të zgjedhë metodat dhemekanizmatmëtëpërshtatshmepërorganizimine mësimdhënies dhe mësimnxënies, me tëvetmin kusht: respektimin e programit dherealizimin e synimeve të tij. Është detyra e tijtë organizojë klasën për realizimin e aspektevetë ndryshme të veprimtarisë së nxënësve nëklasën e vet.Sa herë që është e mundur, çështjet e reja duhettë futen në kuadrin e një konteksti të caktuar(real apo matematik) dhe nëpërmjet një metodeqë parashikon hetimin e situatave. Ky kontekstduhet të zgjidhet i tillë që të ngjallë interesimine masës së nxënësve. Hetimi i situatës sëparashtruar nxënësve, duhet të kombinohetme fjalën e mësuesit dhe diskutimin në klasë.Në hapin e parë kjo situatë duhet të jetë estrukturuar prej mësuesit, në mënyrë që tësigurohet përfshirja e masës së nxënësve nëmësim. Një pjesë e kësaj pune rekomandohettë zhvillohet në grupe të vogla (2-3 nxënës).Mësuesi duhet t’i bashkojë këto grupe herëpas here, që ata të bëjnë përshkrimet dheargumentimet e tyre për detyrat e vëna dhepër zbatimet e tyre, pa e mbyllur diskutimin aiduhet t’i udhëheqë nxënësit kur ka moskuptimeose gabime.Gjatë përvetësimit të lëndës nxënësit duhettë ndjehen të shpenguar e të inkurajuar që tëjapin mendime, të diskutojnë e të bëjnë pyetje.Ata duhet të edukohen si me shprehitë e punëssë pavarur individuale, po ashtu edhe me ato tëpunës së përbashkët d.m.th të punës me grup.Nxënësve duhet t’u jepet kohë e mjaftueshmepër t’u menduar mirë; të vazhdojë edukimi ityre me zakonin që të mos nguten, të mos
    • 31LIBËR PËR MËSUESITpërgjigjenpërciptas,tëndalenkurnukkuptojnë.Mësuesi nuk duhet të ngutet të korrigjojë e t’ipresë fjalën nxënësit që gabon; pa mohuarrëndësinë e përgjigjes së saktë, e rëndësishmeështë të evidentohet se si ka menduar nxënësipër të dhënë përgjigjen, prandaj mësuesi duhettë hapë butë-butë shtigje për vetëkorrigjim përnxënësin që gabon.Gjatë punës mësuesi duhet të mbajë parasyshqë çdo nxënës të mos ngarkohet më tepërsesa mund të mbajë, të mos detyrohet që tëkopjojë.Rekomandohet që parashtrimi i materialitmësimor në temat ku merr njohuri të reja, tëndjekë këtë ecuri didaktike: një shembull osenjë ushtrim përgatitor synon të krijojë teknxënësit, nëpërmjet hetimit të situatës, njëhamendje të caktuar. Kjo kontrollohet më tejnëpërmjet shembujsh (a kundërshembujsh)dhe ushtrimesh (shpesh gjysmë të zgjidhura).Pas konsolidimit të hamendjes dhe formulimittë saj, në trajtën e një përfundimi përgjithësues,në lëndë si matematika, kalohet në vërtetimine tij (këtu parashikohen shkallë të ndryshmerigoroziteti në profile të ndryshme). Më tejkalohet në zbatime, fillimisht të thjeshta, portë larmishme. Duhet mbajtur mirë parasysh sepër zotërimin e koncepteve dhe të metodavelëndore ka rëndësi të madhe larmia einterpretimeve dhe zbatimeve të tyre. Për këtëqëllim dhe në kuadrin e organizimit të punës sëpavarur a në grup të nxënësve, një rol qendrorluan zgjedhja e çështjeve dhe problemeve që uparashtrohen atyre. Për të realizuar me sukseskëtë zgjedhje duhet të mbahet parasysh.:a. A kanë të bëjnë ato më aftësitë qëkërkohet të zhvillohen tek nxënësit?b. A është i kuptueshëm konteksti i tyre përnjë nxënës të klasës së shqyrtuar?c. Nëse jo, a janë dhënë tërë udhëzimet enjohurive për t’i zgjidhur?d. A ka zgjidhja e tyre vlera në pikëpamjetë metodës?Nxënësve duhet t’u jepet mundësia të ushtrojnëdendur veprimtari të ndryshme, si krahasimi(për të zbuluar vetitë e përgjithshme dhe atotë veçantat), klasifikimi dhe modelimi si formatë abstragimit. Ata duhet të inkurajohen tëvëzhgojnë dhe të përshkruajnë me modele tëlarmishme lëndore, situata e modele të botëspërreth si p.sh. nga botanika, arkitektura, botae kristaleve etj. Theksi kryesor do të vihet nëlidhjen e lëndës me botën në të cilin nxënësitjetojnë; duhet të evidentohet që lënda është ezhvilluar nga nevojat e botës reale dhe ajo lëndëqë ata mësojnë ka zbatime të dobishme në njëgamë të gjerë kontaktesh dhe për një kohë tëgjatë. Në këtë mënyrë puna për përvetësimine lëndës do të bëhet interesante për ta, sepsedo të mbajë parasysh interesat e tashme dhe tëardhshme të nxënësve.PUNA MBI PROJEKTET KURRIKULAREProjekti kurrikular është një përpjekje për t’idhënë zgjidhje një situate për të cilën nxënësitnuk kanë një përgjigje të gatshme dhe për tëcilën duhet të rrëmojnë në njohuritë e nxënashkollore e më tej.Projekti kurrikular nuk reduktohet thjesht nësistemimin e informacioneve të qëmtuaranë tekstin shkollor e në burime të tjera; aipërmban edhe punë origjinale, ku shfaqetqëndrimi vetjak i nxënësit. Sensi i një projektikurrikular është zbatimi i informacioneve,por niveli më i lartë i zbatimit është nxitja osearritja e ndryshimeve përmirësuese.Projekti kurrikular mund të jetë të paktën trillojesh:Njëri lloj i takon planit të shkollës. Secilinxënës gjatë tri viteve të gjimnazit duhet tëmarrë pjesë në projekte të tilla në të paktën 36orë mësimore.Dy llojet e tjera të projektit kurrikular i takojnëplanit mësimor të mësuesit dhe llogariten nëngarkesën totale të tij në orë mësimore.Projekti kurrikular mund të jetë thjesht lëndorose të përfshijë më tepër se një lëndë; ai mund
    • 32 / Matematika 11Udhëzime të përgjithshmet’i përkasë një fushe të nxëni ose të shtrihet nëdisa fusha.Projekti kurrikular mund të zgjasë disa ditë,javë ose muaj, por mbyllet kryesisht brendanjë viti shkollor. Projekti kurrikular mund tëmerret përsipër nga një ose disa mësues.Mësuesi mund të zgjedhë projektin kurrikularsi një metodë pune për të shtjelluar njohuritë ereja ose për përpunimin e njohurive.Tema e një projekti kurrikular përzgjidhetnëpërmjet bashkëpunimit të mësuesve menxënësit. Mirë është që të ketë propozime nganxënësit për këtë përzgjedhje, por mësuesiduhet të ketë një fond temash, ndër të cilat ulihet nxënësve të përzgjedhin. Në përzgjedhjene temave është mirë që të përfshihen edheprindërit.Në projektin kurrikular mësuesi është në roline lehtësuesit të veprimtarisë së nxënësve. Ainuk duhet të jetë anëtar a kryetar i grupit tënxënësve. Ai nuk duhet t’u diktojë nxënësve seçfarë të bëjnë, as t’u japë atyre informacione epërgjigje të gatshme.Nxënësveduhett’ubëheteqartësepërgjegjësiapër suksesin e projektit kurrikularu takon atyre, por mësuesi do t’u qëndrojëpranë për çfarëdo pyetje a shqetësim.Asistenca e mësuesit gjatë viteve të shkollimitnë këtë veprimtari shkon sipas një kurbezbritëse.Mësuesi duhet që vazhdimisht t’i inkurajojënxënësit gjatë punës së tyre, të vërë në dukjeanët pozitive që vëren.Nga mësuesi, për realizimin e projektit kurrikular, kërkohet që:- Të planifikojë dhe të realizojë orët mësimore të projektit kurrikular.- Të lehtësojë nxënësit në menaxhimin e projektit.- Të vëzhgojë mirëkryerjen nga nxënësit të veprimtarive të planifikuara.- Të vlerësojë nxënësit.Hartimi i një projekti kurrikular nga mësuesiFormati tip për një plan të tillë ka këto zëra:- Titulli i projektit- Objektivat e projektit- Lista e njohurive kryesore lëndore që do të përvetësohen a rimerren- Kontributi i çdo mësuesi bashkëpunues, me orët mësimore përkatëse- Partnerët në projekt (prindër, OJF etj.)- Numri i nxënësve ose i klasave që përfshihen në projekt- Përshkrimi përmbledhës i veprimtarive kryesore (me hapat kryesore, afatet e personatpërgjegjës)- Burimet kryesore të informacionit- Përshkrimi i produktit të projektit- Tematika e secilës orë mësimore në kuadrin e projektit- Mënyra e vlerësimit të nxënësveNë ditarin e mësuesit shënohet çdo orë mësimore që i takon një projekti kurrikularNjë nga synimet kryesore të projektit kurrikular është stërvitja e nxënësve për kërkimin einformacioneve nga burime të tjera sa më të larmishme (internet, kabinet i TIK, bibliotekëshkolle, qyteti, familjare, media e shkruar a vizive). Një rëndësi të posaçme kanë edheinformacionet e gjalla-bisedat.Secili nxënës i përfshirë në projekt plotëson dora-dorës portofolin e projektit; ai duhet ta ketëtë qartë qysh në fillim se do të vlerësohet dhe i duhen bërë të njohura kriteret e vlerësimit.
    • 33LIBËR PËR MËSUESITVlerësimi i nxënësve në projektin kurrikularBëhet duke pasur parasysh këto elemente:- plani i paraqitur- zbatimi i planit- menaxhimi i informacionit- etika e punës në grup- kontributi në raportin përfundimtar- prezantimi i punë së kryerMënyra më e mirë e vlerësimit është ajo që kombinon vlerësimin e punës së grupit (notë mepeshën 50%) me atë të nxënësit si individ (notë me peshën 50%).Nota që merr nxënësi si individ vendoset në bazë të vëzhgimeve të mësuesit dhe të portofolittë nxënësit.Projektet kurrikulare si pjesë e përpunimit të njohuriveProjektet kurrikulare mund të përdoren përpërsëritjen (e integruar) të njohurive të një osedisa kapitujve. Por, në projektin kurrikular nukka objektiva për përvetësimin e njohurive tëreja; në të ka objektiva vetëm për përforcimine njohurive të mësuara më parë.Kombinimi i njohurive të disa kapitujve për tëzgjidhur një situatë problemore, transferimi injohurive të një lënde për të zgjidhur problemetë një lënde tjetër e sidomos në situata reale, istërvit nxënësit të kuptojnë më thellë konceptete metodat kryesore të lëndës.Mund të ndodhë që nxënësit, në procesin ekërkimit të informacioneve, të hasen edhe menjohuri që nuk i kanë hasur më parë. Por, atyrenuk duhet t’u kërkohet të mbajnë mend njohuriqë nuk përmbahen në program dhe sidomosnuk duhet të vlerësohen me notë për to.Projekti kurrikular në planin mësimor vjetor të mësuesitProjekti kurrikular shënohet në këtë plan po ashtu si edhe kapitujt lëndorë. Por, mësuesi nuk ështëi detyruar t’i paracaktojë të gjitha temat e projektit kurrikular, qysh në fillim të vitit shkollor.Të gjitha orët mësimore që janë parashikuar për projekte kurrikulare zhvillohen sikurse orët etjera lëndore, d.m.th. me të gjithë klasën, në praninë e mësuesit.Disa orë janë të përbashkëta për secilin projekt kurrikular. Të tilla janë orët për:- të lehtësuar nxënësit në përzgjedhjen e temës (temave);- të këshilluar nxënësit gjatë zhvillimit të punës me projektin;- prezantim nga nxënësit të gjetjeve të ndërmjetme të projektit;- përgatitje për përfundimin e projektit.Një pjesë të mirë të kohës për punën me projektin, nxënësit e harxhojnë në klasë, ku shtrojnëpyetje për mësuesin etj.Orët brenda në klasë shënohen në regjistër nga secili mësues, krahas orëve të tjera të lëndës.Shembull projekti kurrikularLënda: Matematikë, Klasa XITitulli: Veçimi i një shkronje në një formulëSasia e orëve të planifikuara në planin mësimor: 5Koha: 1 muaj e gjysmë (1 Mars - 15 Prill)Objektivat:1. Të gjithë nxënësit e klasës të jenë të aftë të veçojnë sipas kërkesës njërën nga shkronjat(ndryshore reale) në formulat e trajtës y=ax+b;y=(a+b)x+c;y= ; y=ax2; y=ax3; në
    • 34 / Matematika 11Udhëzime të përgjithshmesituata matematikore, të lëndëve të tjera mësimore ose në situata jetësore, direkt apo dukepërdorur makinën llogaritëse të thjeshtë.2. Të gjithë nxënësit të gjejnë vlerën e y kur njihet x në formulat y=sinx;y=cosx (02x< <π); y=ax;y=logax(a>1), duke përdorur makinën llogaritëse shkencore.3. 90% e nxënësve të klasës të jenë të aftë të veçojnë njërën nga shkronjat (ndryshore racionale)sipas kërkesës në formulat e trajtës2 2 2; ( ) ;y ax n y a x m n y ax bx c= + = − + = + + në situata matematikore, të lëndëve të tjeramësimore ose situata jetësore.4. 70% e nxënësve të klasës gjejnë vlerën e ndryshores x;y kur njihet tjetra (duke diskutuar përmundësinë e kryerjes së këtij procesi sipas vlerës së parametrit) në formulat y=asinx;y=acosx;; logxay ca y d x= = .5. 50% e nxënësve të klasës gjejnë vlerën e njërës ndryshore kur njihet tjetra në formulëny=asinx+bcosx.Njohuritë kryesore lëndore që do të përdoren1. Njëvlershmëria e ekuacioneve me një ndryshore.2. Zgjidhja e ekuacionit të fuqisë së parë me një ndryshore.3. Zgjidhja e ekuacionit të fuqisë së dytë me një ndryshore.4. Zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale e logaritmikë5. Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike elementare.6. Njohuritë e marra në klasat e mëparshme lidhur me veçimin e një shkronje në njëformulë.Kontributet e mësuesve bashkëpunues1. Mësuesi i fizikës (2 orë)- Evidentimi i formulave të lëndës në klasat 10,11- Shtrim situatash që hasen dendur në këtë lëndë, duke kërkuar veçimin e një shkronje nënjë formulë.2. Mësuesi i kimisë dhe i biologjisë (2 orë)- Evidentimi i formulave të lëndës në klasat 10,11- Shtrim situatash që hasen dendur në këtë lëndë, duke kërkuar veçimin e një shkronje nënjë formulë.Partnerë në projektPrindërit e nxënësve të shkollës me profesione të tilla, si: inxhinierë, teknikë, ekonomistë etj.Numri i nxënësve të përfshirë në projekt: Të gjithë nxënësit e klasës.Veprimtaritë kryesoreNr Veprimtaria Afati Përgjegjësi1Hartimi i një liste paraprake formulash të njohura (ngatë gjitha fushat)Java I Mësuesit2Hartimi i një liste paraprake burimesh informacioni (tëtë gjitha llojeve)Java IMësuesi menxënësit3 Përcaktimi i detyrës konkrete për secilin nxënës Java I Mësuesi
    • 35LIBËR PËR MËSUESIT4Përdorimi nga nxënësit i literaturës mësimore tërekomanduarJava II Secili nxënës5Takime për hapje horizonti me mësuesit e lëndëvetekniko-shkencoreJava IIMësuesit6 Kërkim në burime të tjera informacioni Java III Secili nxënës7 Fillim i plotësimit të portofolit me gjetjet kryesore Java III Secili nxënës8Diskutim në klasë i gjetjeve kryesore, me evidentimin emangësive dhe të rrugëve për plotësimJava IIIMësuesi dhenxënësit9Hartimi i draftit përfundimtar individual nga secilinxënësJava IV Secili nxënës10Puna për hartimin e draftit përfundimtar përmbledhësme gjetjet kryesoreJava VMësuesi menxënësit11Dorëzimi produktit përfundimtar (raportit) si edhe iportofoleve të secilit nxënësJava VI Nxënësit12 Prezantimi i raportit Java VI2-3 nxënës tëpërzgjedhur ngaklasaBurimet kryesore të informacionit1. Tekstet mësimore të matematikës (për klasat 9,10,11).2. Tekstet mësimore të lëndëve tekniko-shkencore (për klasat 9,10,11).3. Biseda me specialistë të profileve të ndryshme tekniko-shkencore dhe ekonomike.4. Vëzhgime të dukurive natyrore, teknike e sociale5. Ndjekje emisionesh televizive adekuate (Discovery; Explorer etj)6. Përdorim CD të posaçme7. Biseda me prindër për probleme jetësore (buxheti i familjes, depozitat, huatë, kreditë etj.).Produkti i pritshëm i projektitRaport i argumentuar ku të përshkruhen formulat kryesore me të cilat nxënësit e kësaj moshehasen në këtë fazë të përvojës së tyre mësimore e jetësore, së bashku me rrugët optimale për tëshprehur në këto formula njërën nga ndryshoret në varësi të tjetrës.Tematika e orëve të planifikuara në planin mësimor1. Ndarja e detyrave për secilin nxënës, së bashku me literaturën e rekomanduar mësimore.2. Realizimi i bisedave me mësuesit e lëndëve tekniko-shkencore3. Diskutimi në klasë i rezultateve kryesore paraprake të arritura nga nxënësit4. Përzgjedhja e rezultateve kryesore për raportin përfundimtar.5. Prezantimi i raportitMënyra e vlerësimit të nxënësveBëhet sipas kritereve të pranuara e të shpallura, duke nxjerrë notën e nxënësit sipas formulësku nkështë nota e klasës si grup niështë nota e nxënësit si individ
    • 36 / Matematika 11Udhëzime të përgjithshmeMBI VLERËSIMIN FORMUES NË MATEMATIKË NË KLASËN XITri llojet më të përdorshme të vlerësimit nëklasë (pa përfshirë vlerësimin me qëllimklasifikimi a vendosje) janë:•Vlerësimi diagnostikues, që synon të zbulojëshkaqet njohëse, fizike, emocionale, shoqëroretë problemeve që kanë nxënësit, në mënyrë qëtë përcaktohen teknikat korrigjuese.• Vlerësimi formues, i cili mbikëqyrpërparimin gjatë procesit të të nxënit, siguronnjë feed-back për të lehtësuar nxënësit dhe përtë korrigjuar gabimet.•Vlerësimi përmbledhës, që përcakton arritjetnë përfundim të kreut, të vitit a të ciklit përtë vendosur notat dhe për të bërë çertifikimin.Vlerësimi përmbledhës mund të përdoret përtë gjykuar efektshmërinë e mësimdhënies osetë procesit mësimor.Vlerësimi formues është vlerësimi i përditshëmdhe i vazhdueshëm që u bëhet nxënësve (eqë shprehet me notë) për pyetjet, kërkesate detyrat që u jepen në klasë, për detyrat eshtëpisë, për përgjigjet, për testet kohëshkurtëretj. Ai ka për qëllim kryesor përmirësimin ecilësisë së të mësuarit dhe jo thjesht kontrollinose diferencimin e nxënësve. Ky vlerësimduhet përdorur për feed-back gjatë procesit tëmësimdhënies e të nxënies, sepse gjatë këtijlloj vlerësimi mësuesi nxjerr në pah dhe ndreqnë mënyrë të shpejtë dobësitë dhe të metat enxënësve. Përdorimi i këtij vlerësimi diktohetedhe nga fakti që, siç pranohet gjerësisht, orae mësimit nuk është e motivuar dhe shpeshherë bëhet e pakëndshme, kur nuk përdoretvlerësimi formues, por pritet të mbarojë kreudhe pastaj të bëhet vlerësimi (qoftë edhe meteste) i nxënësve.Gjatë vlerësimit formues, duke përdorur nëmënyrë të vazhdueshme një numër teknikashvlerësimi të thjeshta e të shpejta, mësuesitmund e duhet të marrin informacion për atë qënxënësit kanë mësuar aktualisht, për atë që umbetet të mësojnë dhe të përforcojnë. Duke umbështetur në rezultatet e vlerësimit formues,mësuesit duhet t’i këshillojnë nxënësit se si tëpërmirësojnë të nxënit.Format më të përdorshme të vlerësimit formuesnë matematikë, në gjimnaz janë:- vlerësimi me notë për pyetjet në tabelë,- vlerësimi për aktivizim në klasë, gjatëzbatimit të materialit të kaluar dheparashtrimit të materialit të ri,- vlerësim për aktivizimin me punën nëgrupe,vlerësim me teste kohëshkurtër përpërvetësimin e një teme të caktuar,- vlerësim për kryerjen e detyrave tështëpisë.- Vlerësimi formues nuk këshillohet tëbëhet me të njëjtën teknikë vlerësimi,sepse nxënësit familjarizohen me të dhe ipërgatisin përgjigjet pa i kuptuar çështjet.Mendojmë se është e dobishme praktikae të mësuarit të nxënësve të teknikave përvetëvlerësim, që nxisin integrimin e të mësuaritnë klasë dhe të mësuarit jashtë saj. Praktikimi iteknikave të vetëvlerësimit i ndihmon nxënësitgjithashtu të fitojnë shprehi për të menduaritdhe për të vlerësuarit vetjak.Në lëndën e matematikës në gjimnaz konceptetsynohet të formohen nëpërmjet trajtimit tësituatave problemore. Itinerari i zotërimit tënjohurive është menduar të jetë spiral dhe jolinear; ato mendohen të përvetësohen jo meparaqitjen e tyre të parë dhe as me përsëritjetë thjeshtë, por pas plotësimeve dhe thellimevenëpërmjet rimarrjes aktive.Gjatë vlerësimit formues duhet mbajturparasysh se aktiviteti matematik i nxënësve nësecilin profil përfshin observimin (vëzhgimin),abstragimin, eksperimentimin dhe vërtetimin.Parashtrimi i përmbajtjes së re si rregull duhet tëartikulohetmestudiminesituatavetëlarmishme,që shërbejnë si motivim, si çështje që kërkojnëzgjidhje apo si mbështetje e zbatim i këtijparashtrimi dhe nxënësi duhet të vlerësohet, nëmënyrë të vazhdueshme për sasinë dhe cilësinëe aktivizimit të tij në këto aspekte (të paktën njëherë në 6-7 orë mësimi).
    • 37LIBËR PËR MËSUESITGjatë vlerësimit formues kujdes duhet t’ikushtohet përvetësimit të koncepteve dhemetodave kryesore të lëndës, si bazë e formimitmatematik të nxënësve. Në këtë kuadër, gjatëvlerësimit formues duhet të mbajmë parasyshse nuk ka rëndësi riprodhimi i vërtetimit të njëteoreme dhe zbatimi mekanik i saj në një situatëstandarde, nëse nxënësi nuk ka të qartë thelbine saj dhe nuk është i aftësuar për ta zbatuar atënë situata të larmishme, qoftë edhe të thjeshta.Si rregull, në çdo orë mësimi kryhen ushtrime(në radhë të parë zbatime të thjeshta) për tëkuptuar thelbin e koncepteve dhe metodavematematike dhe si modele të punës së pavarurnë shtëpi. Puna e pavarur me ushtrimet dhezbatimet në klasë duhet të zërë jo më pak se40% të kohës së mësimit. Gjatë shtjellimit tëmaterialit mësimor mësuesi duhet të krijojësituata problemore të strukturuara për të vënënë lëvizje mendimin e pavarur të nxënësit.Strukturimi i pyetjeve të shtruara klasës, bënqë secili nxënës të angazhohet në punë tëpavarur, sipas mundësive të veta, me një kohëtë mjaftueshme për të përvetësuar përmbajtjenderi në një nivel të caktuar arritjeje, për të cilinai mund të vlerësohet edhe në vend.Konceptimi i lëndës dhe mënyra e realizimit tësaj duhet të thyejë kornizat tradicionale të orëssë mësimit. Trajtimi i materialit të ri mësimorjo rrallë duhet të bëhet me tekst përpara, sepsenxënësit duhet të plotësojnë në të kërkesat qëjanë lënë qëllimisht pa u plotësuar, të zgjidhinushtrimet apo të analizojnë shembujt.Në shumicën e temave, ora e mësimit duhet tëpërbëjë një sintezë të dhënies e të kontrollit tënjohurive, të vlerësimit të dijeve e shkathtësive(shprehive) dhe vlerave tek nxënësit. Në këtëkëndvështrim format tradicionale të kontrollite të vlerësimit të nxënësve, që janë mbështeturnë riprodhimin gojor të materialit mësimor, tëlidhur me binomin mësues-nxënës (në tabelë)dhe me një numër të vogël nxënësish tëvlerësuar janë të papranueshme.Kontrolli dhe vlerësimi formues i nxënësveduhet të jetë i larmishëm, i lidhur më tepër meveprimtarinë matematike të nxënësve në klasë,joimbështeturkryesishtnëriprodhimingojortëmaterialit mësimor, jo i kufizuar në një intervalkohor të caktuar. Ai përfytyrohet i shkrirë meveprimtarinë matematike të nxënësve, dukesiguruar pjesëmarrje të plotë të tyre në punë.Mësuesi duhet të jetë vazhdimisht në kontaktme punën e nxënësve në bankë gjatë gjithë orëssë mësimit.Ai duhet të vrojtojë e të vlerësojë jovetëm çka di nxënësi, por si e mëson, si vepronpër ta zbatuar, si nxjerr përfundime etj. Në këtëmënyrë, gjatë këtij lloj vlerësimi, nxënësi ështëmë i çliruar nga emocionet dhe nga ana tjetërkrijohen mundësi më të mëdha për kontakte endihmë të diferencuar tek nxënësit.Natyrisht, format e larmishme të kontrollittë shtrirë në trajtimin e materialit të ri (dhevlerësimipërkatës)nukpërjashtojnëvlerësimine nxënësit të ngritur në tabelë ose vlerësiminmasiv të pjesshëm (me teste të shkurtra).Nxënësi duhet të regjistrojë në kujtesë një sërëfaktesh të rëndësishme matematike. Por kjonuk do të thotë që në të mësuarit e matematikëskujtesa e tij të ngarkohet tej mase me rregulla eformula të ndryshme, kur këto mund të gjendennga manualet, tabelat dhe tekstet. Prandajvlerësimi nuk duhet të bazohet në kujtesënmekanike; të mbahet parasysh se aftësimi inxënësve për të kërkuar në këto materialendihmëse, formulat dhe faktet që nevojitenpër zgjidhjen e ushtrimeve ose për vërtetimine pohimeve të ndryshme, veçanërisht kurato i përkasin temave të zhvilluara më parë,pasqyron shkallën e formimit matematik të tijdhe duhet vlerësuar.PROCEDURA E VLERËSIMITSistemi i vlerësimit që rekomandohet të zbatohet në gjimnaz është krahasimi me standardete vendosura.
    • 38 / Matematika 11Udhëzime të përgjithshmeNjë nga problemet më të shpeshta dhe më të ndërlikuara me të cilat ndeshen aktualisht dhedo të ndeshen deri në një të ardhme të afërt mësuesit në gjimnaz është gjykimi i statusit dhe ipërparimit të nxënësit në intervale të ndryshme kohe, vënia e notave. Është e qartë që vlerësimiduhet të ndjekë qëllimet arsimore, objektivat mësimore, objektivat e vlerësimit. Vlerësimi duhettë mbështetet mbi një sasi të mjaftueshme të dhënash në të cilat duhet të përfshihen edhe këtoelemente:- vlerësimi me notë për përgjigjet në tabelë- vlerësimi i aktivizimit nga vendi- vlerësimi i ndihmesës gjatë punës nëgrup- testet në fund të kapitullit- testet në fund të semestrit- testet në fund të vitit- provimet vjetore- provimi i pjekurisëVlerësimi me notëSiç dihet, nota përdoret për të paraqitur rezultatin e arritjeve dhe të përparimit akademik tënxënësit. Ajo ka për qëllim të dëshmojë për arritjet e nxënësit, për të drejtuar te nxënësit e tij, përtë drejtuar zhvillimin vetjak të nxënësit deri në diplomimin e tij, për të informuar prindërit përnivelin e përparimit të fëmijëve të tyre etj. Për këto arsye mendojmë që vlerësimi me notë ështëi domosdoshëm në gjimnaz.Nota nuk duhet vendosur si rezultante e arritjeve akademike dhe sjelljeve disiplinore të nxënësit,por vetëm e arritjeve akademike. Ajo duhet bazuar në standarde të caktuara dhe në burime tëshumta.Vlerësimi me notë mund të përdoret edhe për të matur punën në grup dhe aktiviziminnë klasë gjatë trajtimit të materialit mësimor. Për të bërë vlerësimin e punës në grup dheaktivizimin në klasë shërben listë-kontrolli.Vlerësimi me notë mund të përdoret edhe për të matur punën në grup dhe aktiviziminnë klasë gjatë trajtimit të materialit mësimor. Për të bërë vlerësimin e punës në grup dheaktivizimin në klasë shërben vetëkontrolli.Vlerësimi i punës në grup duhet të mbajë parasysh këto elemente:- ndarja e informacionit me të tjerët;- ndihmesa në ide;- ndjekja e udhëzimeve;- shfaqja e iniciativës gjatë zgjidhjes së problemeve në grup;- dhënia e vlerësimeve për pikëpamjet e të tjerëve.Vlerësimi i përgjigjeve me gojë të nxënësve ka qenë dhe mbetet një sfidë për mësuesin.Për të vlerësuar përgjigjen për një pyetje të strukturuar duhet të mbahen parasysh të gjithakërkesat në të cilat është ndarë ajo dhe peshën e secilës kërkesë. Në hapin e mëtejshëm vlerësohetrealizimi i secilës kërkesë, duke përdorur metodën analitike dhe duke u bazuar në një përgjigjeideale të parapërgatitur (e cila gjithashtu strukturohet sipas kërkesave të pyetjes, duke parashikuarpikët e plota të mundshme për secilën kërkesë). Gjatë vlerësimit, elementet e të shkruarit duhenvlerësuar jo të ndara nga përmbajtja.Nxjerrja e notës përfundimtare. Jemi të mendimit se nota përfundimtare për një semestërnë matematikë duhet të bëhet duke marrë parasysh vlerësimet për pyetjet në tabelë, testet,vlerësimin për punën në klasë, vlerësimin për punën me detyrat e shtëpisë, por me pesha të
    • 39LIBËR PËR MËSUESITndryshme. Konkretisht propozojmë këtë skemë:Vlerësimi për pyetjet në tabelë 20%Testet 50%Vlerësimi i punës në klasë 20%Vlerësimi për detyrat e shtëpisë 10%.Teknika dhe instrumente të matjes gjatë vlerësimit formuesJo gjithçka që nxënësit nxënë gjatë viteve të gjimnazit në matematikë, mund të matet me anë tëtesteve me shkrim. Kështu, gjatë vlerësimit formues, përgjigja e nxënësit në tabelë, aktiviziminga vendi, ndihmesa gjatë punës me grup nuk mund të matet me anë të testeve me shkrim, porme teknika dhe instrumente të tjera.Vrojtimi i drejtpërdrejtë është një teknikë e përshtatshme, që përdoret në të gjitha nivelete shkollimit, pra edhe në shkollën e mesme, sidomos për të vlerësuar aktivizimin nga vendi dhendihmesën gjatë punës me grup. Ai ka si anë të mirë që siguron një kontroll për përparimin epërditshëm të nxënësit, siguron të dhëna pa cënuar kohën mësimore. Ka si kufizim faktin qëështë i vështirë të planifikohet, ka besueshmëri të diskutueshme të dhënash (këto më shpesh janëcilësore ose përshkruese) dhe nuk shmang dot plotësisht të gjykuarit subjektiv.Buletini i pjesëmarrjes është një instrument që mund të përdoret gjatë vrojtimit të ndihmesësnë punën me grupe të vogla. Nëpërmjet tij tregohet se kush jep ndihmesë dhe sa të vlefshmejanë ndihmesat. Ai mund të hartohet për një periudhë relativisht të gjatë (një semestër) por dukebërë shënime të herëpashershme në një tabelë ku janë shënuar emrat e nxënësve të klasës (sipasvrojtimeve në orët e mësimit).Shembull: Buletini i pjesëmarrjes në punën me grupe gjatë semestrit të parë të vitit shkollor2010-2011, në klasën XI të gjimnazit A, është:Nr. NxënësiTipi i ndihmësShumë i mirë I mirë I mjaftueshëm I dobët1 A.H. III III III II II -2 B.SH. I II IIII III III3 B.K. - II IIII II4 E.L. - - II IIII III5 E.K. I IIII I IIII II I6 E.M. - - II IIII IIII7 E.D. - II IIII III II8 H.D. - I IIII II IIII I9 J.B. - II IIII IIII IIII II10 M.R. - I IIII III I11 R.A. - I IIII IIII IIII I12 R.M. IIII I IIII IIII - -13 R.L. IIII IIII IIII IIII14 R.K. - I IIII IIII I
    • 40 / Matematika 11Udhëzime të përgjithshmeÇdo vijë vertikale në një kuti përfaqëson një pjesëmarrje. P.sh. nxënësi A.H. ka tre pjesmarrjeshumë të mira. tetë pjesëmarrje të mira, dhe dy të mjaftueshme.Mbi bazën e këtij buletini, në bazë të një shkalle vlerësimi të caktuar, mund të vendoset një notëpër pjesëmarrjen në punën me grupe në fund të semestrit.Shkalla e vlerësimit që mund të përdoret është kjo:Nota semestrale për punën me grupe gjendet nga formula:1 2 3 41 2 3 410 8 6 4gx x x xnx x x x ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅=  + + + ku x1, x2, x3, x4,janë denduritë e ndihmesave të vërejtura gjatë semestrit(x1- denduria e ndihmesës shumë të mirë etj.) duke rrumbullakuar.P.sh. për nxënësin A.H. kemi ng=Listë-kontrolli është një instrument që përmban një listë konceptesh, shkathtësish (shprehish)dhe vlerash për të vrojtuar dhe matur p.sh. aktivizimin e nxënësit gjatë punës së pavarur ngavendi në klasë. Ai lejon të regjistrohet në vazhdimësi përparimi i nxënësit, duke dëshmuar se sii ka përvetësuar nxënësi njohuritë, shkathtësitë e vlerat që kanë të bëjnë me një pjesë të caktuartë materialit mësimor (temë, grup temash, kapitull). Nxirren për pjesën e vrojtuar të lëndësnjohuritë, shkathtësitë (shprehitë) e vlerat kryesore që duhet të përvetësojë nxënësi. Për secilinnxënës, sa herë vrojtohet një element nga kjo listë, bëhet shënimi përkatës:*shumë mirë, + mirë, x mjaftueshëm, - dobëtPër të bërë vlerësimin me notë mbi bazën e kësaj liste kontrolli, ajo duhet të shoqërohet ngapesha (në përqindje) që do t’i jepet çdo elementi që do të vlerësohet dhe nga shkalla e vlerësimitqë do të përdoret.ShembullKl. XI e gjimnazit AListë kontrolli për temën “Grafiku i funksionit”Njohuritë, shkathtësitë (shprehitë) e vlerat, me peshat përkatësea) Përkufizimi i grafikut të funksionit (20%)b) Ndërtimi i grafikut të funksionit të dhënë me tabelë (15%)c) Ndërtimi me pika i grafikut të funksionit të dhënë me formulë (25%)d) Gjetja e vlerës së funksionit, për një vlerë të caktuar të ndryshores,kur njihet grafiku i tij (10%)e) Gjetja e bashkësisë së përcaktimit të funksionit kur njihet grafiku i tij (20%)f) Gjetja e bashkësisë së vlerave të funksionit kur njihet grafiku i tij (10%)Vlerësimi i nxënësve të kl. XI të gjimnazit A për aktivizimin nga vendi për këtë temë:Nr. NxënësiElementet e notësNotaa b c d e f1 A.H.2 B.SH. + + -3 B.K. + + - -* *
    • 41LIBËR PËR MËSUESIT4 E.L. - -5 E.K + +6 E.M. + -7 E.D + - -8 H.D + x x x9 J.B. + x -10 M.R x x -11 R.A. x x - x12 R.M. +13 AR.L.14 R.K. - x xPër vlerësimin e nxënësve me notë është përdorur kjo shkallë vlerësimi:............a a a b b b f f fa va a b b f fx p n x p n x p nnx p x p x p⋅⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅=⋅ + ⋅ + + ⋅(na·v= nota e aktivizimit nga vendi)ku: ni- nota e vendosur për çështjen “i”pi- pesha e kësaj çështjexi= 1 ose 0, sipas rastit nëse kemi vlerësim apo jo për çështjen “i”.P.sh. për nxënësin A.H. kemi: për çështjen a: 1· 0,2 · 10 (shifra 1 tregon se për këtë çështjekemi një vlerësim; shifra 0,2 pasqyron peshën prej 20% të kësaj çështje; shifra 10 tregonnotën përkatëse (shumë mirë). Kështu veprohet edhe për çështjet e tjera. Pra kemi:Vlerësimi i nxënësit të pyetur në tabelëNëse kërkojmë që të pyeturit e një nxënësi në tabelë në lëndën e matematikës të plotësojë synimete një vlerësimi formues për të, duke qenë edhe në dobi të formimit matematik të klasës, duhet tëmbahen parasysh disa kërkesa:1. Pyetja (çështja që pyetet) duhet të jetë e ndryshme nga ajo që punon klasa në mënyrë tëpavarur, por të ketë lidhje me ato çështje që po kontrollohen për klasën.2. Të kërkojë kohë jo të madhe për t’u zgjidhur (jo më shumë së 10-15 minuta).3. Të paraqesë interes për klasën dëgjimi i përgjigjes.4. Të ketë kërkesa jo vetëm për kontrollin e njohurive të kaluara, por të trajtohen edheelemente të materialit të ri (në trajtën e punës krijuese të nxënësit).5. Disa elemente të përgjigjes së nxënësit në tabelë duhet të ndiqen (të dëgjohen) nga klasa(edhe sikur për këtë asaj t’i duhet të ndërpresë punën e vet).6. Korrigjimet eventuale t’i kërkohen nxënësit për t’i kthyer vetë fillimisht.7. Vlerësimi i nxënësit me notë mund të bëhet për këtë ushtrim ose duke i dhënë akoma pyetjeplotësuese në bangë.Vlerësimi i përgjigjes së nxënësit të pyetjeve në tabelë bëhet në bazë të gjykimit vetjak tëmësuesit, por mbi bazën e standardeve të arritjes. Për të pasur një vlerësim objektiv është****
    • 42 / Matematika 11Udhëzime të përgjithshmemirë që pyetja të strukturohet në një numër të kufizuar kërkesash.Vlerësimi i përgjigjes së dhënë nga nxënësi që pyetet në tabelë ka anë pozitive sepse lejontë maten aftësitë për arsyetim matematik (evidentimi i marrëdhënieve shkak-pasojë; zbatimii aksiomave, teoremave dhe përdorimi i përkufizimeve gjatë argumentimit; aftësimi për tëngritur hipoteza dhe për t’i kontrolluar ato; nxjerrja e përfundimeve; vetëvlerësimi i arsyetimittë ndjekur) si dhe aftësitë për të komunikuar me gojë dhe me shkrim.
    • 43LIBËR PËR MËSUESIT1.1 Ekuacioni i drejtëzës në planNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Koordinatat e pikës në plan. Ekuacioni i vijës në plan. Këndi i drejtëzës meboshtin Ox. Koeficienti këndor.b) Veti. Largesa midis dy pikave. Trajta e përgjithshme e ekuacionit të drejtëzës në plan.Ekuacioni y-y0=k(x-x0). Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër dy pika të dhëna.c) Metoda. Metoda koordinative në plan.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të dallojnë ç’lloj vije paraqet ekuacioni ax+by+c=0 (a2+b2>0).• Të gjejnë koeficientin këndor të kësaj drejtëze dhe këndin që ajo formon me boshtin Ox.• Të shkruajnë ekuacionin e drejtëzës kur njihet një pikë dhe koeficienti këndor i saj.• Të shkruajnë ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër dy pika të dhëna.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMësimipërqendrohetnëpërsëritjenenjohurivetë trajtuara në klasën X dhe në zhvillimin eaftësive të fituara. Rekomandohet që mësuesit’u vërë si detyrë paraprake nxënësve rikujtesëne këtyre njohurive, duke bërë përmbledhjenme shkrim të fakteve kryesore.Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur.Shembujt e zgjidhur që janë në tekst tëdiskutohen me klasën, duke kërkuar edhemënyra të tjera zgjidhjeje e duke veçuarracionalen.Nxënësit duhet të aktivizohen në punë tëpavarur a me grupe për zgjidhje ushtrimeshnga ato të tekstit ose të ngjashme me shembujt,duke bërë më pas edhe analizën e punës sëkryer.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohenato me numrat 1, 2, 4, 6, 8.Ushtrime plotësueseKREU 11. Gjeni koeficientin këndor dhe pikën eprerjes me boshtin Ox për drejtëzën që kalonnëpër pikat P(2; -8) dhe Q(-1; +7).2. Çfarë vije është grafiku i lëvizjes drejtvizoretë njëtrajtshme S=S0+vt në sistemin kënddrejtëkoordinativ tOs?3. Katrori me brinjë 24 njësi ka si diagonaleboshtet koordinative Ox, Oy. Shkruaniekuacionet e brinjëve të katrorit.4. Shkruani ekuacionin e drejtëzës që formonme boshtin Ox këndin 60odhe e pret boshtinOx në pikën me abshisë 5.5. Rrezja e dritës është drejtuar sipas drejtëzës243y x= − . Pasi mbërrin në boshtin Ox, ajoreflektohet prej tij. Gjeni:a) Pikën ku rrezja prek boshtin Ox.b) Ekuacionin e drejtëzës për rrezen ereflektuar.
    • 44 / Matematika 11Kreu 16. a) Të njehsohen gjatësitë e mesoreve tëtrekëndëshit me kulme në pikatA(3; -2), B(5; 1) C(-1; 4).b) Të shkruhen ekuacionet e drejtëzave kushtrihen mesoret.7. Të vërtetohet në tre mënyra që pikat A(1; 3),B(0; 2), C(-3; -1) janë në një vijë të drejtë.1.2. Drejtëza paralele me një vektor. Kushtet e paralelizmit e tëpingultisë së dy drejtëzaveNjohuri kryesore teorikea) Kuptime. Ekuacioni i drejtëzës. Vektori drejtues i saj. Koordinatat e vektorit në plan.Drejtëza paralele ose pingule në plan.b) Veti. Ekuacioni i drejtëzës kur njihet një pikë dhe vektori drejtues. Vektori drejtues i njëdrejtëze me ekuacion të dhënë. Kushti që dy drejtëza me ekuacione të dhëna të jenë paralele(pingule).c) Metoda. Metoda koordinative në plan.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të shkruajnë ekuacionin e një drejtëze kur njohin një pikë dhe vektorin drejtues të saj.• Të gjejnë vektor drejtues për një drejtëz me ekuacion të dhënë.• Të përcaktojnë nëse dy drejtëza me ekuacione me koeficientë këndorë a të përgjithshëmjanë paralele ose pingule.• Të zbatojnë njohuritë në situata të thjeshta praktike.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMateriali mësimor, i parashikuar për këtë orë mundëson aktivizimin e gjerë të nxënësve nëpunë të pavarur a me grupe për nxjerrjen e përfundimeve përgjithësuese. Mësuesi t’u shtrojë sidetyrë nxënësve nxjerrjen e ekuacionit të drejtëzës kur jepen pika e saj M0(x0, y0) dhe një vektordrejtues i saj (d.m.th. vektor paralel me drejtëzën a i shtrirë në të).Të kërkohet argumentimi për njëvlershmëritë:dM ∈ ⇔ 0 ||M M OP→ →   ⇔ 0M M k OP→ → = ⋅  ⇔00x x ky y k− = ⋅− = ⋅αβ.Të mbahet parasysh se në tekst është paraqitur një sintezë e përmbledhur e përfundimeve.Kur shqyrtohen kushtet e paralelizmit (pingultisë) së dy drejtëzave është mirë të trajtohen (mepunë të pavarur a me grupe të nxënësve) dhe këto dy raste:1. Drejtëzat kanë të dyja ekuacione të trajtave x=a1; x=a2.2. Njëra nga drejtëzat ka ekuacion y=kx+t, kurse tjetra x=a.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1; 2/a, d; 3; 5; 7; 8/a, b.Ushtrime plotësuese1. Janë dhënë kulmet e trekëndëshitA(-1; 2), B(3; -1), C(0; 4). Të gjenden ekuacionet e drejtëzaveqë hiqen nga këto pika, paralele me brinjët përballë.
    • 45LIBËR PËR MËSUESIT2. a) Të vërtetohet se katër pikat A(-2; -2), B(-3; 1), C(7; 7) dhe D(3; 1) janë kulme të njëtrapezi.b) Të shkruhet ekuacioni i vijës së mesme të trapezit.3. Janë dhënë pikat A(3; 2) dhe B(-1; 4). Të gjenden koordinatat e pikës M nëse:a) AM MB→ →= ; b) 2AM MB→ →= .4. Ç’kusht duhet të kënaqin koeficientët a dhe b që drejtëzatax+by+1=0, 2x-3y+5=0 dhe x-1=0 të kalojnë nëpër të njëjtën pikë?5. Për ç’vlerë të parametrit a:a) Drejtëzat ax+2y-3=0 dhe 3x-4y=0 janë paralele?b) Drejtëzat ax+4y-5=0 dhe –x+ay+3=0 janë pingule?6. A mund të shërbejnë drejtëzat 2x-4y+3=0 dhe –x+y=5 si brinjë të kundërta të njëparalelogrami?7. A mund të shërbejnë si diagonale të një rombi drejtëzat:a) 2x-3y+5=0 dhe 3x+2y-4=0;b) y=x+5 dhe y=-x+2.8. Pika që del nga origjina e koordinatave merr pjesë njëkohësisht në dy lëvizje: sipas boshtitOx me shpejtësi konstante v1dhe sipas boshtit Oy me shpejtësi konstante v2. Gjeni ekuacionin etrajektores së lëvizjes së pikës.1.3. Këndi midis dy drejtëzaveNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Prodhimi numerik i dy vektorëve. Këndi midis dy vektorëve.b) Veti. Formula për ϕcos për dy drejtëza të dhëna me ekuacione me koeficient këndor.Formula për .c) Metoda. Përdorimi i trigonometrisë për zgjidhjen e problemeve gjeometrike.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të njehsojnë tangentin e këndit të ngushtë të dy drejtëzave të dhëna me koeficient këndor.• Të zbatojnë njohuritë në situata të thjeshta matematikore e reale.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMësuesi duhet t’u japë paraprakisht nxënësve, si detyrë, përsëritjen në shtëpi të njohurive përprodhimin numerik të dy vektorëve, shprehjen e tij në koordinata dhe njehsimin e kosinusit tëkëndit midis dy vektorëve në koordinata. Mbi këtë premisë, pavarësisht nga trajtimi sintetik imaterialit në tekst, mund të organizohet në klasë një veprimtari frytdhënëse (e pavarur a megrupe) e nxënësve, për nxjerrjen e përfundimeve dhe formulave.Mësuesi, nëpërmjet pyetjeve të strukturuara, t’u parashtrojë nxënësve kërkesën për gjetjen ekosinusit të këndit midis dy drejtëzave me ekuacione y = k1x + t1; y = k2x + t2.Për nxënësit e mirë mund të shtrohet detyra për drejtëzat e dhëna me ekuacione të përgjithshmea1x+b1y+c1=0; a2x+b2y+c2=0. Po këta nxënës me punë të pavarur mund të nxjerrin formulën
    • 46 / Matematika 11Kreu 1tg2ϕ=22 11 21k kk k − + , ndërsa nxënësit e tjerë punojnë (me grupe) ushtrimin 1 të vendosur nëmaterialin teorik. Rezultatet e punës së pavarur a me grupe të nxënësve duhet të analizohen e tëdiskutohen me klasën.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 5, 8.Ushtrime plotësuese1. Vërtetoni që drejtëzat y=3x-1, x-7y=7 dhex+y-7 shërbejnë si brinjë të një trekëndëshidybrinjënjëshëm.2. Shkruani ekuacionin e drejtëzës simetrike tëdrejtëzës 3x-2y+1=0 në lidhje me pikën M(5; 1).3. Jepen tri kulme të trekëndëshit O(0; 0),A(1; 3), B(2; 7). Gjeni tangentin e këndittë trekëndëshit.4. Gjeni ekuacionin e drejtëzës simetriketë drejtëzës y=2x kundrejt përgjysmores sëkuadrantit të parë dhe të tretë.5. A mundet që dy brinjë të trekëndëshitbarabrinjës të jenë në drejtëzat33y x= −dhe33y x= ?6. Drejtëza kalon nëpër pikën (2; -1) dheformon me boshtin Ox këndin që është dy herëmë i madh se këndi që formon me këtë boshtdrejtëza43xy+= . Gjeni ekuacionin e saj.7.Nëtrekëndëshinkënddrejtëdybrinjënjëshëmnjihen koordinatat e kulmit të një këndi tëngushtë (5; 7) dhe ekuacioni i katetit përballë6x+4y-9=0. Gjeni ekuacionet e dy brinjëve tëtjera të trekëndëshit.8. Janë dhënë qendra A(-1; 0) e katrorit dheekuacioni i njërës brinjë x+3y-5=0. Gjeniekuacionet e diagonaleve të katrorit.1.4 Ekuacioni i drejtëzës që kalon nga një pikë e dhënë, paralel a pingulme një drejtëz të dhënëNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Ekuacioni i drejtëzës. Koeficienti këndor. Drejtëza paralele a pingule në plan.b) Veti. Ekuacioni i drejtëzës që kalon nga pika M0(x0, y0) dhe është paralele (pingule) medrejtëzën me ekuacion y=kx+t (x=a; ax+by+c=0).c) Metoda. Analiza dhe deduksioni.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të shkruajnë ekuacionin e drejtëzës që kalon nga një pikë e dhënë dhe është paralel (pingule)me një drejtëz me ekuacion të njohur.• Të zbatojnë këto njohuri në situata të thjeshta matematikore a praktike.Udhëzime për zhvillimin e mësimitTë gjitha përfundimet përgjithësuese mund të nxirren nëpërmjet punës së pavarur a me grupe
    • 47LIBËR PËR MËSUESITbrenda orës së mësimit. Për të realizuar këtë, mësuesi të shtrojë para grupeve të nxënësve nëfillim dy detyra:1. Të gjendet ekuacioni i drejtëzës që kalon nga pika M0(x0, y0) dhe është paralele me drejtëzëny=kx+t.2. Të gjendet ekuacioni i drejtëzës që kalon nga pika M0(x0, y0) dhe është pingule me drejtëzëny=kx+t.(Nëse është e nevojshme të jepet udhëzimi për të gjetur fillimisht koeficientin këndor të drejtëzëssë kërkuar.)Pasi analizohen rezultatet e punës me grupe, shtrohen dy detyra analoge, për rastin kur drejtëzae dhënë ka ekuacionin x=a.Më tej shqyrtohet rasti i përgjithshëm, duke shtruar detyrat analoge për drejtëzën e dhënë meekuacionin ax+by+c=0.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1; 2/a; 4; 5; 7/a, b.Ushtrime plotësuese1. Shkruani ekuacionin e drejtëzës që kalonnga pika A(3; -1) dhe është paralele me:a) boshtin Ox; b) boshtin Oy; c) përgjysmorene kuadrantit II dhe IV.2. Nga pika M(1; 2) të hiqet drejtëza që gjendetnë largësi të njëjtë nga pikat A(3; 3) dheB(5; 2) (2 zgjidhje).3. Të gjendet bashkësia e pikave të planit qëjanë të baraslarguara nga pikat A(1; 3) dheB(3; 1).4.Sipascilësvijëduhettëlëvizëpikamateriale,duke u nisur nga pozicioni fillestar M0(3; 5)për të arritur me rrugën më të shkurtër deri tekdrejtëza112y x= − ? Sa është kjo rrugë?5. Jepen dy pika A(-3; 1) dhe B(3; -7). Nëboshtin Oy të gjendet pika M(0; m) që drejtëzat(AM) dhe (BM) të jenë pingule.6. Nga pikat ku drejtëza 3x+5y-15=0 pretboshtet koordinative janë hequr pingulet ndajkësaj drejtëze. Gjeni ekuacionet e tyre.7. Është dhënë pika A(2; 4) dhe drejtëzad:x-y=0. Gjeni:a) Projeksionin e pikës A mbi drejtëzën d.b) Pikën simetrike të A ndaj drejtëzës d.8. Në një rreth ndodhen pikat A(4; 3) dheB(3; 4). Gjeni qendrën e rrethit, duke ditur qëajo ndodhet në boshtin Ox.1.5 Largesa e pikës nga drejtëzaNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Largesa e një pike nga një drejtëz. Largesa midis dy drejtëzave paralele. Largesamidis dy pikave.b) Veti. Formula për largesën e një pike nga një drejtëz me ekuacion të dhënë.c) Metoda. Induksioni.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të fiksojnë në kujtesë formulën për largesën e një pike nga një drejtëz.• Ta zbatojnë atë në situata të thjeshta matematikore e reale.
    • 48 / Matematika 11Kreu 1Udhëzime për zhvillimin e mësimitProgrami parashikon dhënien pa vërtetim të formulës për largesën e një pike, me koordinata tënjohura, nga një drejtëz me ekuacion të njohur dhe kjo është mbajtur parasysh në trajtimin ematerialit mësimor në tekst.Është zgjidhur në fillim problemi për gjetjen e largesës së një pike konkrete nga një drejtëzkonkrete. Ky problem mund të strukturohet në këto kërkesa më të thjeshta:- Ç’quajmë largesë të një pike nga një drejtëz?- Shkruani ekuacionin e drejtëzës p, që kalon nga pika e dhënë A, pingule me drejtëzën edhënë d.- Gjeni pikën B të prerjes së drejtëzave p, d.- Njehsoni largesën AB.- Sa është largesa e A nga d?Pastaj të jepet pa vërtetim formula për largesën e pikës M0(x0, y0) nga drejtëza me ekuacionax+by+c=0.Më tej kalohet në mënyrë graduale në zbatim; në fillim direkte (si p.sh. largesa e pikës A(2; 1)nga drejtëza 3x+4y-7=0), e më tej të kombinuara (si p.sh. largesa midis dy drejtëzave paralelex-3y+5=0, x-3y=0).Me interes do të ishte edhe analiza e problemit për gjetjen e sipërfaqes së trekëndëshit me trikulme të dhëna.Si ushtrime të nivelit minimal do të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 5/a, b.Ushtrime plotësuese1.Tëgjendetlargesaeorigjinëssëkoordinatavenga drejtëza që kalon nëpër pikat A(1; 3) dheB(0; 2).2. Jepen kulmet e trekëndëshit A(-3; -4),B(3; 4), C(0; 5). Gjeni:a) Lartësinë e trekëndëshit mbi brinjën [AB].b) Sipërfaqen e trekëndëshit.3. Në boshtin Oy gjeni pikën që është ebaraslarguar nga origjina dhe nga drejtëza3x-4y+12=0.4. Në boshtin Ox gjeni pikën që e ka largesëna nga drejtëza 1x ya b+ = (a,b≠0).5. Diagonalet e rombit, me gjatësi 30 dhe16 njësi, janë marrë si boshte Ox, Oy. Gjenilargesën midis brinjëve paralele të rombit.6. Nëpër pikën P(-2; 1) është hequr drejtëzay=kx+t, që e ka largesën 4 njësi nga pikaC(3; 1). Gjeni k.7. Nga gjithë drejtëzat paralele me drejtëzën13 4x y− = , gjeni ato që kalojnë 5 njësi larg ngapika (2; 3).8. Është dhënë drejtëza 12x+5y-52=0. Gjeniekuacionin e drejtëzës që është paralele me tëdhe ndodhet në largesën d=2 prej saj.1.6 UshtrimeSynimi i mësuesit për organizimin e kësaj ore mësimi duhet të jetë përpunimi i njohurive dhezhvillimi i aftësive të fituara në mësimet e mëparshme të kreut. Ai duhet t’u japë nxënësveparaprakisht, si detyrë, përsëritjen në shtëpi dhe sistemimin në mënyrë të përmbledhur meshkrim të fakteve e vetive të mësuara në orët paraardhëse.
    • 49LIBËR PËR MËSUESITNë orën e mësimit të alternohet e kombinohet puna e pavarur a me grupe e nxënësve të klasës përzgjidhjen e disa ushtrimeve të tekstit, me zgjidhjen e ushtrimeve të tjera nga nxënës të ndryshëmnë tabelë. Secili nga ushtrimet që jepen për t’u punuar duhet të diskutohet e të analizohet meklasën në tërësi.Kujdes duhet treguar ndërkaq për t’u lënë nxënësve kohë të mjaftueshme për t’u menduar, përt’u shprehur e për t’u vetëkorrigjuar.Si ushtrime të nivelit minimal (pra prioritare për t’u punuar nga klasa me punë të pavarur a megrupe) do të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 4, 12, 16, 18.Ushtrime plotësuese1. Jepen kulmet e trekëndëshit A(2, 3),B(0, -3), C(5, -2).a) Gjeni pikën e prerjes së përmesoreve të tij.b) Gjeni pikën e prerjes së mesoreve të tij.2. Jepen kulmet e katërkëndëshit A(-9, 0),B(-3, 6), C(3, 4), D(6, -3). Gjeni pikën eprerjes së diagonaleve të tij dhe këndin midisdiagonaleve.3. Gjeni kulmet e rombit, kur njihen ekuacionete dy brinjëve të tij 2x-5y-1=0,2x-5y-34=0 dhe ekuacioni i njërës diagonalex+3y-6=0.4. Gjeni ekuacionet e brinjëve të rombit, dukeditur dy kulme të kundërta të tij A(-3, 1), B(5,2) dhe ekuacionin e njërës brinjë x+3y=0.5. Jepen ekuacionet e dy brinjëve fqinjëtë paralelogramit x-y-1=0, x-2y=0 dhepika e prerjes së diagonaleve M(3, -1).Gjeni ekuacionet e dy brinjëve të tjera tëparalelogramit.6. Shkruani ekuacionin e njërës nga lartësitë etrekëndëshit, duke ditur tri kulmet e tij A(1; 1),B(3; 3), C(2; 4).7. Në trekëndëshin ABC njihen: brinja(AB): 4x+y-12=0, lartësia (BH):5x-4y-15=0 dhe lartësia (AH): 2x+2y-9=0.Gjeni ekuacionet e dy brinjëve të tjera dhelartësinë e tretë.8. Nëpër pikën A(1; 2) të hiqet drejtëza, e tillëqë segmenti i saj i përfshirë ndërmjet boshteveOx, Oy ta ketë mesin e vet në pikën A.
    • 50 / Matematika 11Kreu 2KREU 2FUNKSIONI NUMERIK2.1 Funksioni numerik (Përsëritje)Njohuri teorike kryesorea) Kuptime: Funksioni numerik. Bashkësia e përcaktimit. Bashkësia e vlerave. Barazimi ifunksioneve numerikeb) Metoda: Mënyrat e zgjidhjes së inekuacioneve algjebrike me një ndryshore e të sistemevetë tyre.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:- Të dallojnë relacione që janë funksione numerike.- Të kalojnë nga një mënyrë e dhënies së funksionit në një tjetër.- Të zgjidhin inekuacione të thjeshta algjebrike me një ndryshore e sisteme të tyre.- Të dallojnë kushtet për bashkësinë e përcaktimit në funksione konkrete.Udhëzime për zhvillimin e mësimitDuke u nisur nga parimi “të dish do të thotë të jesh në gjendje të zbatosh”, vëmendja e mësuesitduhet të përqendrohet në zgjidhjen e ushtrimeve që përpunojnë konceptet kryesore: funksion,funksion numerik, bashkësi përcaktimi, bashkësi vlerash, barazim funksionesh numerike. Sintezae njohurive teorike që figuron në tekst mund të rekomandohet për lexim të pavarur paraprak nganxënësit në shtëpi, para orës së mësimit. Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur; nxënësit tëlexojnë në të shembujt e zgjidhur e të aktivizohen, me punë të pavarur e me grupe, për zgjidhjene ushtrimeve që figurojnë në të. Grupi më i përshtatshëm për punë është ai i nxënësve të njëbange.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 2/a,b; 3; 5; 6/a; 8/a,b,c; 10/a.Ushtrime plotësuese1. Gjeni bashkësinë e vlerave të shprehjeve:a) x+4; b)1x; c) x2-1; nëse x∈[1,2].2. Gjeni kufijtë e shprehjeve:a) x3nëse x∈[-2,-1].b) 311x −nëse x∈[-2;-1].3. Nëse për funksionin numerik f kemif(x+1)=x2+1, ∀x∈R, atëherë gjeni f(x).4. a) Për funksionin f: y=3x-1, x∈R gjeni përç’vlera të x-it kemi f(x2)>f(x).b) Për funksionin f: y= sin x, x∈R gjeni përç’vlera të x kemi f(2x)=2·f(x)5. Për ç’vlera të x∈R:a) vlerat e funksionit y=(13)x–9 janëpozitive?b) vlerat e funksionit y=log3(x-1) janënegative?
    • 51LIBËR PËR MËSUESIT6. Për funksionin g: x→ 221 1x xx x+ + + ,x∈R* tregoni që g(1x)=g(x).7. Për ç’vlera të x∈R:a) Vlera e funksionit y=4xështë12?b) Vlera e funksionit y=(0, 4)2x+3është0,064?c) Vlera e funksionit y=ax(0<a ≠ 1) është?8. Gjeni bashkësinë e përcaktimit tëfunksioneve:a) b) c) 1)21( −= xy d) xy 441−=9. Gjeni bashkësinë e përcaktimit tëfunksioneve:a) 4log5 −→ xxb) xx 2log3 −→10. A janë të njëjta bashkësitë e përcaktimit tëfunksioneve:a) )5( −= xxy dhe c) )ln( 2xy = dhe y=2 lnxb)xxy−−=67dhexxy−−=67 d) )ln( 3xy = dhe11. Gjeni bashkësinë e përcaktimit tëfunksioneve:a)25log( )4x xy−= b)13 2yx x=− −12.Gjenibashkësinëepërcaktimittëfunksionity= 3 24 3x x x+ + .13. A janë të barabartë funksionet e dhënë meformulat:a) y=x, b) y=3 3logx, c) y=log5(5x),d) y= 2x ?2.2 Grafiku i funksionit numerik. Monotonia e funksionit (Përsëritje).Njohuri teorike kryesorea) Kuptime. Grafiku i funksionit numerik.Funksioni rritës (zbritës) në A.b) Veti. Trajtat e grafikëve të funksioneve të njohura. Monotonia e tyre.c) Metoda. Mënyra e ndërtimit të grafikëve të dhënë me formulë. Leximi i një grafikutë dhënë. Mënyra për studimin e monotonisë së funksionit me anë të shenjës së raportit2 12 1( ) ( )f x f xx x−−.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:- Të dallojnë nëse një vijë e dhënë në planin xOy është grafik funksioni numerik.- Të skicojnë grafikët e funksioneve të thjeshtë të njohur.- Të nxjerrin nga grafikët e dhënë ose të njohur përfundime për monotoninë.- Të nxjerrin përfundime për monotoninë e funksioneve të thjeshtë duke studiuar shenjën eraportit 2 12 1( ) ( )f x f xx x−−.
    • 52 / Matematika 11Kreu 2Udhëzime për zhvillimin e mësimitEdhe për këtë mësim është mirë që materiali teorik i përsëritjes të lexohet paraprakisht prejnxënësve në shtëpi. Mësimi në klasë të zhvillohet me libër hapur, duke aktivizuar nxënësit qëme punë të pavarur a me grupe të zgjidhin ushtrimet që figurojnë në materialin teorik. Pasit’u lënë nxënësve kohën e mjaftueshme për zgjidhje, mësuesi duhet të organizojë analizën dhediskutimin e mënyrave të zgjidhjes. Nxënësve u duhet lënë kohë e mjaftueshme të mendohen, tëshprehen, të vetëkorrigjohen e të korrigjojnë gabimet e shokëve.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1/a; 2/a,b; 4; 5/a.Ushtrime plotësuese1. Funksioni numerik është dhënë në tabelë:x -1 0 1 2 3 4y -5 -3 -1 1 3 5x -2 -1 0 1 2 3y 4 3 2 1 0 1Ndërtoni grafikun e funksionit dhe jepenifunksionin me formulë të trajtës y=ax+b.2. Përcaktoni pozicionin e secilës nga pikatA( ,12π), B( ,14π), C(1, )2−π në lidhje megrafikët e funksioneve y=sinx, y=cos x.3. Është dhënë funksioni y=x2-4x+3.a) Ndërtoni grafikun e funksionit dukegjetur kulmin dhe pikat e prerjes me boshtinOx.b) Zgjidhni grafikisht inekuacioninx2-4x+3≤-1.4. Gjeni bashkësinë e pikave të planit xOy qëplotësojnë kushtin:a) x<y<x2, b) log2x<y<2x5. Për funksionin e mëposhtëm gjenibashkësinë e përcaktimit, ndërtoni grafikundhe gjeni bashkësinë e vlerave:a) y=2255xx−−, b) y=( x )2,c) y=ln(x2)-lnx, d) y=cosx xx.6. E njëjta kërkesë për funksionin:a) y=|1-x|, b) y= 2( 2)x − ,c) y= 26 9x x− + , d) y=| |xx,e) y=E(x-1).7. Gjeni bashkësinë e përcaktimit tëfunksionit:a) y= sin x , b) y=log(-cosx),c) y= 2sin 1x − , d) y= 2 cos x− .8. a) Ndërtoni grafikun e funksionit f, të tillëqë:b) Gjeni bashkësinë e vlerave tëfunksionit.9. Ndërtoni grafikun e funksionit y=|1-x2|Udhëzim. Kemi |1-x2|= d.m.th. |1-x2|=
    • 53LIBËR PËR MËSUESIT2.3 Grafikët e funksioneve të dhënë me formula të ndryshme në pjesëtë ndryshme të bashkësisë së përcaktimit. Elemente të tjera tëmonotonisë së funksionitNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Grafiku i funksionit numerik. Funksioni rritës (zbritës) në A.b) Veti. Teoremat mbi shumën e prodhimin e dy funksioneve me monotoni të njëjtë.c) Metoda. Mënyra e ndërtimit të grafikëve të funksioneve të dhënë në trajtën( ) për x Ag(x) për x Bf xy∈= ∈.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:- Të ndërtojnë grafikë të thjeshtë të trajtës së mësipërme.- Të studiojnë monotoninë e funksioneve të thjeshta duke i shkruar ato në mënyrë tëpërshtatshme si shumë a prodhim funksionesh me monotoni të njëjtë.Udhëzime për zhvillimin e mësimitShtjellimi i materialit të ri është mirë të fillojë me shqyrtimin e një situate reale që kërkonstudimin e funksioneve të tilla, p.sh. me zgjidhjen e ushtrimit 12 të mësimit 2.1. Mësuesi mundtë skicojë vetë në tabelë grafikun e funksionit në të cilin çon problema. Më tej ai i vë nxënësit tëlexojnë në tekst shembullin e zgjidhur për grafikun e funksionit2për x 0-x për x<0xy ≥= .Pastaj kërkohet nga nxënësit që, me punë të pavarur a me grupe, të zgjidhin ushtrimin 1 dheorganizohet diskutimi i punës së kryer prej tyre. Është e rëndësishme të kuptohet mirë seushtrimet që janë vënë në tekst në materialin teorik janë pjesë përbërëse e tij, të nevojshme përdhënien e përpunimin e koncepteve e të metodave dhe prandaj zgjidhja e diskutimi i tyre nukduhet të anashkalohen. Nëpërmjet shembujve e ushtrimeve të pazgjidhura synohet që nxënësit tëpërgjithësojnë, duke nxjerrë përfundimet e teoremave 1 dhe 2, të cilat në tekst janë formuluar pavërtetim. Nxënësit duhet të kuptojnë thelbin e metodës së re të paraqitur në tekst për studimin emonotonisë së një funksioni dhe të aftësohen në përdorimin e saj. Si ushtrime të nivelit minimaltë konsiderohen ato me numrat 1; 4; 5; 7/a,b.Ushtrime plotësuese1. Ndërtoni grafikun e funksionit f të tillë që:a) y= b) y=2. Ndërtoni grafikun e funksionit f të tillë që:a) y= b) y=3. Për funksionin e mëposhtëm të gjendetbashkësia e përcaktimit dhe pastaj të ndërtohetgrafiku:
    • 54 / Matematika 11Kreu 2a)211xyx−=+, b)| |xyx= , c) | |y x x= ⋅ .4. Në trekëndëshin ABC jepen AB=10 cm,BC=4cm.Hiqetlartësia[CH]⊥[AB];segmenti[AH] e ka gjatësinë 3 cm. Nga një pikë M esegmentit [AB] ngrihet pingulja [MN] me[AB], e cila pret ndonjë nga brinjët e tjera nëpikën N. (N ndodhet në [AC] ose në [BC]).Shënojmë AM=x (cm).a) Shprehni gjatësinë l të segmentit MNnëpërmjet x: (l:y=f1(x)).b) Shprehni syprinën S të katërkëndëshitMNCH nëpërmjet x: (S: y=f2(x)).c) Gjeni bashkësinë E të vlerave të x.d) Ndërtoni grafikët e funksioneve y=f1(x),y=f2(x), x∈E5. Për prodhimin e një artikulli të ri fabrikashpenzoi 200000 lekë për teknologjinë. Përveçkëtyre, për të prodhuar një copë të këtij artikullishpenzon 60 lekë (për lëndë të parë, për fuqinëpunëtore etj.).a)Kurprodhohenxcopë,sajanëshpenzimetgjithsej?b) Sa është kostoja C(x) e prodhimit përcopë?Paraqitni grafikisht funksionin y=C(x),mbasi të gjeni bashkësinë e vlerave tëmundshme të x.c) A mund të bëhet kostoja më e vogël se100 lekë? Po më e vogël se 50 lekë?6. Ndërtoni grafikun e funksionit të mëposhtëmf, me bashkësi përcaktimi R dhe zgjidhnigrafikisht inekuacionin f(x)≥0.a) y=b) y= c) y=x2-2.|x|+17. Skiconi grafikun e funksionit të mëposhtëmdhe nxirrni nga grafiku përfundime përmonotoninë e funksionit:a) y=x2-4x+5; b) y=-x2+6x-88. Funksioni f është rritës në intervalin ]-a,a[.Vërtetoni që:a) Funksioni c·f është rritës në ]-a,a[ kurc<0.b) Funksioni c·f është zbritës në ]-a,a[ kurc<0.9. Funksioni f është rritës në intervalin ]-a,a[.Vërtetoni që:a) Funksioni y=f(-x) është zbritës në[-a,a[.b) Funksioni y=-f(x) është zbritës në]-a,a[.2.4 Vlera më e madhe (më e vogël) e një funksioni numerik.EkstremumetNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Vlera më e madhe (më e vogël) e një funksioni në bashkësinë A. Maksimumi(minimumi) i një funksioni në një pikë a.b)Veti. Vlera më e madhe e funksionit2y ax bx c= + + arrihet për2bxa= −c) Metoda. Metoda grafike për gjetjen e M; m dhe të ekstremumeve të funksionit.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:- Të gjejnë M;m për një funksion të dhënë grafikisht.
    • 55LIBËR PËR MËSUESIT- Të gjejnë M;m për funksionet e thjeshta të njohura në bashkësi që janë pjesë të R.- Të gjejnë ekstemumet e një funksioni të dhënë grafikisht.- Të zbatojnë njohuritë në situata praktike reale.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMësimi ka ngarkesë të konsiderueshme konceptuale e vëllimore, prandaj shtjellimit të materialittë ri, me synim formimin e koncepteve e përvetësimin e metodave, i duhet kushtuar e gjithë orae mësimit, duke hequr dorë nga format tradicionale të kontrollit të dijes me nxënës të ngritur nëtabelë. Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Ushtrimet 1; 2; 3 që janë vendosur në materialinteorik, janë pjesë përbërëse e rëndësishme e tij, prandaj duhet të kërkohet që të punohen nganxënësit dhe zgjidhja e tyre të diskutohet. Mësuesi, pas analizës së punës së nxënësve, të bëjësintezën e rezultateve të arritura, duke dalë natyrshëm në përfundime përgjithësuese.Nuk duhet kërkuar nga nxënësit formulimi i përkufizimeve (për M;m; ekstremumet). Nxënësitduhet të fiksojnë në kujtesë rregullin për gjetjen e M;m për funksionin e fuqisë së dytë e tëaftësohen për zbatimin e tij në situata reale. Ata duhet të aftësohen gjithashtu për gjetjen e M;mdhe të ekstremumeve të një funksioni të dhënë grafikisht në një bashkësi A. Si ushtrime të nivelitminimal të konsiderohen ato me numrat 1; 6; 7; 8; 9.Ushtrime plotësuese1. Ndërtoni grafikun e funksionit dhe gjenibashkësinë e vlerave të tij.a)2 53xy−= x∈[-2,4]; b) y=4-x2, x∈R-2. E njëjta kërkesë për funksionet:a) y= ;b) y=3. E njëjta kërkesë për funksionet:a) y= ; b) y=4. Ndërtoni grafikun e një funksioni mebashkësi përcaktimi segmentin[-1,9] që të ketë maksimume për x=2, x=5, x=8dhe minimume për x=0, x=4.5. Është dhënë funksioni f: y=Ndërtoni grafikun dhe gjeni nga grafikuekstremumet e tij.6. Bashkësia e vlerave të funksionit y=3-xështë:a) R; b) ]- ∞,0[; c) ]0,+ ∞[; d) [0, +∞[ .Rrethoni përgjigjen e saktë.7. Nga shitja e x kv të një produkti bujqësorarkëtohen R(x) dollarë, kuR(x)=-0,4x2+8x.a) Gjeni bashkësinë e përcaktimit tëfunksionit y=R(x).b) Gjeni vlerën më të madhe të këtijfunksioni.8. Në kushtet e problemës 15, shpenzimet përtë prodhuar x kv janë c(x)=x+15 dollarë.a) Gjeni vlerat e x për të cilat kemi fitim.b) Gjeni për ç’vlerë të x fitimi është më imadhi.9. Gjeni, pa përdorur grafikun, bashkësinë evlerave të funksionit:a)11, [0,2]3y x x= + ∈ ,b) 3, [ 1,2]y x x= ∈ − ,c) , [1,4]y x x= ∈Zgjidhjeb) Kemi 21 ≤≤− x . Ngremë të gjitha
    • 56 / Matematika 11Kreu 2gjymtyrët në fuqi të njëjtë me eksponent3. Marrim mosbarazimin e njëvlershëm:(-1)3≤x3≤23d.m.th. -4≤x3≤8. Kështu, bashkësiae vlerave të këtij funksioni është [-1;8].10. Tregoni që:a) Funksioni 211yx=−ka një maksimumnë pikën x=0.b) Funksioni y=sin2x-cos2x ka minimum nëpikën x=0.2.5 Krahasimi i funksioneve numerikeNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Mosbarazime f>g;f<g në bashkësinë A. Grafiku i funksionit numerik.b) Metoda. Mënyrat e zgjidhjes së inekuacioneve me një ndryshore. Interpretimi i grafikutShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:- Të zgjidhin inekuacione të thjeshta algjebrike me një ndryshore, për të krahasuar funksionetnumerike.- Të skicojnë grafikët e funksioneve të thjeshta e të bëjnë krahasimin e pozicioneve të tyre.- Të “projektojnë” pjesë grafikësh në boshtin Ox.- Të zbatojnë njohuritë në situata të thjeshta reale.Udhëzime për zhvillimin e mësimitKrahasimi i funksioneve numerike f;g në një bashkësi A mund të bëhet në dy mënyra:1. Algjebrikisht, duke studiuar shenjën e diferencës f(x)-g(x)2. Grafikisht, duke ndërtuar grafikët e funksioneve e duke përcaktuar se cili është vendosurmbi tjetrin.Rekomandojmë të ndiqet ecuria metodike e paraqitur në tekst. Në të sinteza teorike e materialitështë e shkurtër; vend kryesor i është lënë shembujve të zgjidhur a gjysmë të zgjidhur dheushtrimeve që janë pjesë përbërëse e teorisë.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1; 2; 4; 5Ushtrime plotësuese1. Krahasoni funksionet f, g në rast sekemi:a) f:34xy−= g: y=1-xb) f: y= 4x+1 g: y=x2+4c) f: 25 3 2y x x= − + g: y=x2-5x+1d) f: y=2x3 g: y=x2. E njëjta kërkesë për funksionet:a)12 4xyx−=− y=4x-1b) 2( 1)y x= − 2y x=c) 2( 1) 4y x= − − 211yx= −−d)1(4 )2y x x= − 43xyx−=−3. E njëjta kërkesë për funksionet:a) 3( 1) ;y x= − 11yx=−b) 3)1( += xy 161yx=+
    • 57LIBËR PËR MËSUESIT4. Krahasoni grafikisht funksionet f, g në rastse:a) f: 2xy = g: y x=b) f: xy 2log= g: 1−= xyc) f: xy = g: xy 2log=d) f: xy 2= g: xy 2=e) f:x21+ g: 24 xy −=5. Jepen funksionet f:a) Gjeni bashkësinë e përcaktimit të secilitprej tyre.b) A janë të barabarta këto funksione?6. a) Vërtetoni që, kur 0<x<1, kemi0<x3<x2<x< x <1.b) Interpretoni grafikisht këtë rezultat.7. a) Vërtetoni që kur x>1,kemi x3>x2>x> >1.b) Interpretoni grafikisht këtë rezultat.8. Krahasoni grafikisht funksionet y=sin x,y=cos x.a) Në [π,2π] b) Në [ ,0]2−π.9. Zgjidhni grafikisht inekuacionin:a) 342−> xx c) e) 233−> xxb) 122−≤ xx d)2 21xx+ > f) - 3xx ≤10. Është dhënë funksioni f:y=x2-5x+6a) Vërtetoni që për çdo x∈R kemif(x)14≥ − .b) Vërtetoni që për çdo x∈]2,3[ kemi14( )f x≤ − .2.6 Veprime me funksione numerike. Kufizueshmëria e funksionitNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Shuma, prodhimi, herësi i dy funksioneve numerike. Funksioni i kufizuar (ikufizuar nga lart, nga poshtë) në një bashkësi.b) Veti. Bashkësia e përcaktimit e shumës, prodhimit, herësit të dy funksioneve numerike.c) Metoda. Dhënia e funksionit me formulë. Gjetja e bashkësisë së përcaktimit të funksionittë dhënë me formulë.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:- Të gjejnë shumën, prodhimin, herësin e shprehjeve algjebrike të thjeshta.- Të zgjidhin inekuacione të thjeshta me një ndryshore a sisteme të tyre.- Të skicojnë grafikë funksionesh të kufizuar.- Të dallojnë nga grafiku nëse një funksion i dhënë është i kufizuar (i kufizuar nga lart, ikufizuar nga poshtë) në R apo në ndonjë pjesë të saj.Udhëzime për zhvillimin e mësimitShtjellimi i mësimit është mirë të fillojë me shqyrtimin e shembujve, për të dalë më pas nëpërfundime përgjithësuese. Mësuesi nuk duhet të këmbëngulë në përcaktimin teorik të bashkësisësë përcaktimit të funksionit shumë (prodhim, herës) të dy funksioneve, sepse nëse këto funksione
    • 58 / Matematika 11Kreu 2janë dhënë me formula (gjë që ndodh në shumicën e rasteve të shqyrtuara), gjetja e bashkësisësë përcaktimit për funksionin që është rezultat veprimi (p.sh. për funksionin f.g) bëhet dukeshqyrtuar formulën që e jep atë (y=f(x)·g(x)).Trajtimi i kuptimit të funksionit të kufizuar është mirë të bëhet (si në tekst) duke shqyrtuargrafikun. Në tekst nuk është dhënë metodë për studimin e kufizueshmërisë së funksionit. Përnxënësit e mirë, mësuesi mund të vërë në dukje se shuma dhe prodhimi i dy funksioneve tëkufizuar është funksion i kufizuar.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1; 2; 3/a,b; 7.Ushtrime plotësuese1. Është dhënë funksioni f:2 34xy−= .a) Gjeni funksionin f2=f·f dhe funksionin –f.b) Ndërtoni grafikët e funksioneve f2dhe –f.2. Janë dhënë funksionet f:2( 2)xyx x+=−dheg: 24xyx=−.a) Gjeni bashkësitë e përcaktimit tëfunksioneve f, g.b) Gjeni funksionet –3f; f-g; f.g.c) A është i barabartë funksioni f·g mefunksionin 21?( 2)yx=−3. Jepen funksionet f: x x→ dheg:31xxx→+.a) Gjeni bashkësinë e përcaktimit të g.b) Gjeni f2, -f, g-f, f·g dhe bashkësitë e tyretë përcaktimit.c) Gjeni numrat realë a, b të tillë që për çdox>0 të kemi( . )( )1bf g x ax= ++.4. Jepen funksionet f:22 5 32 1x xyx+ +=+dhexy 5= .a) Tregoni se në [1,+ ∞[ kemi f≤g.b) Nëse h:23y x= tregoni se në [1,+ ∞[,kemi f≥h.c) Interpretoni grafikisht këtë rezultat.5. Jepet funksioni f: 1y x x= + − . Tregoniqë në ]0,+ ∞[, kemi 0≤f(x) ≤1.6. Jepen funksionet: f: 21y x= + dheg: y=2x. Tregoni se në ]0,+ ∞ [, kemi f>g.7. Një ndërmarrje i propozon një shitësi dymënyra pagese mujore.I. Një pagë fikse prej 15 000 lekë dhe njëshpërblim 2% mbi fitimin mujor të shitjes.II. Një pagë fikse 10 000 lekë dhe një shpërblimsa 3% e fitimit mujor, kur ky fitim është mbi300 000 lekë.a) Shprehni dy pagesat mujore y1, y2nëvarësi të fitimit mujor x.b) Paraqitni grafikisht funksionet e dhëname këto formula.c) Përcaktoni grafikisht dhe algjebrikishtvlerën e x për të cilën dy llojet e pagesavejanë të barabarta.d) Cila është pagesa më e mirë?8. Mbas studimesh të gjata, një firmë përcaktoiqë lidhja midis ofertës S dhe kërkesës d për njëartikull jepet nga barazimet:10.000 25,000S p= − dhe90.000dp=ku p është çmimi për copë (në dollarë).Gjeni vlerën e p, për të cilën oferta është enjëjtë me kërkesën.9. a) Nëse funksioni është rritës në A, a mundtë themi që është i pakufizuar nga lart në A?b) Nëse funksioni është zbritës nëA, a mund tëthemi që është i pakufizuar nga poshtë në A?
    • 59LIBËR PËR MËSUESIT10. Vërtetoni që funksioni y= 21xështë i kufizuar nga poshtë dhe i pakufizuar nga lartnë ]0,+∞[.2.7 Çiftësia e funksionit. Funksionet periodikeNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Funksioni çift (tek) në E. Funksioni periodik në E. Perioda.b)Veti. Veti të grafikut të funksionit çift (tek) në E. Veti të grafikut të funksionit periodik nëE.c) Metoda. Shndërrime të shprehjeve me ndryshore. Mënyrat e ndërtimit të grafikutShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:- Të dallojnë nëse një funksion i dhënë me grafik a formulë është çift (tek) në E,- Të plotësojnë grafikun e një funksioni të tillë, duke njohur vetëm pjesën e tij për x>0,- Të skicojnë grafikun e një funksioni periodik, duke njohur pjesën e tij për një segment megjatësi sa perioda,- Të gjykojnë për çiftësinë a periodicitetin e funksioneve të thjeshta të njohur.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMësimi ka ngarkesë të konsiderueshme konceptuale e vëllimore, prandaj trajtimit të materialit tëri i duhet kushtuar e gjithë ora e mësimit, duke hequr dorë nga format tradicionale të kontrollit tëdijes, me nxënës të ngritur në tabelë. Trajtimi i kuptimit të funksionit çift (tek) dhe po ashtu edheatij periodik, të nisë me shqyrtimin e shembujve, si në tekst, e pastaj të dilet në përkufizimet etyre. Nuk është e rëndësishme që nxënësit të formulojnë përkufizimet (kjo mund të kërkohet përnxënësit e mirë); e rëndësishme është që ata të dallojnë nëse një funksion i dhënë me formulëa grafik është çift (tek) a periodik. Nxënësit duhet të aftësohen për ndërtimin e grafikut të njëfunksioni çift (tek) kur njihet pjesa e tij për x>0; po ashtu të aftësohen për skicimin e grafikut tëplotë të funksionit periodik duke njohur pjesën e tij në segmentin me gjatësi sa perioda [0.T].Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1; 2/a,b; 3/a; 5; 6; 7.Ushtrime plotësuese1. a) Jepni 3 shembuj funksionesh që nuk janëas çift, as tek.b) Jepni një shembull funksioni që ështëedhe çift edhe tek.2. f është një funksion numerik i përcaktuar nëR. Shqyrtoni çiftësinë e funksionit.a) y = f(x) + f(-x) b) y = f(x) - f(-x).3. Ndërtoni grafikun e funksionit f, dukeshqyrtuar në fillim çiftësinë e tij:4. A është periodik funksioni:5.Tregoniqëfunksionif:y=10për xracionalpër xirracional
    • 60 / Matematika 11Kreu 2gëzon vetinë f(x+a) = f(x) për çdo a racional.6. Tregoni që funksioni i mëposhtëm nuk ështëperiodik.7. Funksioni është periodik me periodë 2 dhe ipërcaktuar në R. Skiconi grafikun e tij nëse nësegmentin [-1,1] ai jepet me formulën:a) y = 1-x2b) y=|x|8. Vërtetoni që:Nëse funksionet f, g janë tek në bashkësinë A,atëherë funksioni f + g është tek në A, ndërsafunksioni f ⋅ g është çift në A.2.8 Studimi i variacionit të funksioneve të thjeshtaNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Variacioni i funksionit numerik. Funksioni y=x3.b) Veti. Vetitë e funksionit y=x3.Trajta e grafikut të tij.c) Metoda. Metoda (ecuria) prej hapash për studimin e variacionit të funksionit numerik.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:- Të nxjerrin vetitë kryesore të funksionit y=x3.- T’i përdorin ato për skicimin e grafikut të këtij funksioni.- T’i përdorin ato për studimin e vetive të funksioneve të trajtës y=x3+a; y=ax3.- Të nxjerrin vetitë dhe të skicojnë grafikun e funksionit .Udhëzime për zhvillimin e mësimitNë tabelë të paraqiten hapat për studimin e variacionit të funksioneve të thjeshta. Vetitë efunksionit y=x3të nxirren nga nxënësit me punë të pavarur a me grupe, duke diskutuar zgjidhjete dhëna dhe duke fiksuar rezultatet përfundimtare. Nxënësve u duhet vënë në dukje dobia eplotësimit të tabelës së variacionit edhe me pika të tjera, veç pikave karakteristike, për të pasurnjë trajtë sa më të mirë të grafikut. Kalimi nga tabela e plotësuar në skicimin e grafikut është jo ilehtë e duhet përpunuar mirë. Nxënësve është mirë t’u vihet në dukje se për studimin e variacionittë funksionit ka metoda më të fuqishme, me të cilat ata do të njihen gjatë studimit të njehsimitdiferencial. Është mirë t’u vihet gjithashtu në dukje se ekzistojnë programe kompjuterike speciale(p.sh. “Geogebra”) për skicimin e grafikëve të dhënë me formula. Nëse ekziston mundësia tëbëhet një demonstrim i tyre. Njëkohësisht, u duhet theksuar nevoja për shkathtësimin vetjak tëtyre për skicimin e grafikëve të funksioneve të thjeshtë.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1; 2; 5; 7.Ushtrime plotësuese1. Studioni variacionin e funksionit.3 33) ) )a y x b y x c y x= − = =2. a) Gjeni koeficientin a që grafiku i funksionity a x= ⋅ 3të kalojë nëpër pikën M(1; 1).b) Skiconi grafikun e këtij funksioni.
    • 61LIBËR PËR MËSUESIT3. Zgjidhni grafikisht inekuacionet4. Zgjidhni grafikisht inekuacionet.5. Nëse funksioni f është çift dhe rritës në R+,atëherë funksioni -f është:a) Tek dhe zbritës në R+b) Çift dhe zbritës në R+c) Tek dhe rritës në R+d) Çift dhe rritës në R+Rrethoni përgjigjen e saktë.6. f është një funksion çift, i përcaktuar në Rdhe i tillë që për:1( ) .1x R kemi f xx+∈ =+a) Përcaktoni f në R- b) Ndërtoni grafikun7. Duke e shkruar funksionin në trajtë shume,shqyrtoni monotoninë e tij.8.Dukeeshkruarfunksioninnëtrajtëprodhimi,studioni variacionin e tij.2.9 Ndërtimi i grafikëve të funksioneve të tjerë, duke u nisur nga grafiku i funksionit fNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Veprimet me funksionet numerike. Grafiku i funksionitb) Metoda. Mënyrat e ndërtimit të grafikëve të funksioneve –f;f ,y=f(x)+b;y=f(x-m) kurnjihet grafiku i funksionit f.ShkathtësiNë mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:- Të lexojnë grafikë, duke nxjerrë prej tyre veti të funksionit përkatës.- Të skicojnë grafikë funksionesh të thjeshtë, të dhënë me një a dy formula në A R⊂ .- Të skicojnë grafikët e funksioneve të shënuara më lart, kur njihet grafiku i funksionit y=f(x),x∈A.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMateriali i parashikuar në tekst për këtë mësim ka ngarkesë vëllimore, prandaj shtjellimit të tiji duhet kushtuar e gjithë ora e mësimit. Mësimi të zhvillohet me libër të hapur, duke aktivizuarnxënësit në punë të pavarur a me grupe, nëpërmjet pyetjesh të strukturuara, për të nxjerrëpërfundimet përgjithësuese.Si ushtrime të nivelit minimal, të konsiderohen ata me numrat 1; 2; 3; 4; 5; 6.
    • 62 / Matematika 11Kreu 2Ushtrime plotësuese1.Dukepërdorurgrafikunefunksionit y x=ndërtoni grafikët e funksioneve:a) y x= − b) y x= c) 1y x= + d)12y x= − .2. Duke përdorur grafikun e funksionit y =2x,ndërtoni grafikët e funksioneve:a) y=2-x b) y=2x c) y=-22 d) y=1-2x e) y=2+2x f)3. Me anë të grafikut të funksionit y=lnxndërtoni grafikët e funksioneve:a) y=1n(-x) b) y=1nx  c) y=-1nx d) y=1nx+1 e) f) y=1n(ex)4. Ndërtoni grafikët e funksioneve.a) y x= −1 b) y x= −1 c) y x x= − +22 15. a) Ndërtoni grafikun e funksionit f:y=x2-4xb) Zgjidhni grafikisht inekuacioninx x24 3− >c) E njëjta kërkesë për inekuacionetx2+4x>-3; x2-4x+1>x6. a) Ndërtoni grafikun e funksionit y=x-x2b) Diskutoni, duke përdorur këtë grafik,për sasinë dhe shenjat e rrënjëve realetë ekuacionit x2-x=m, sipas vlerave tëparametrit mc) E njëjta kërkesë për ekuacionet2 2; .x x m x x m+ = − =7. Funksioni f është rritës në intervalin ]a, b[.Shqyrtoni monotoninë e funksionit:a) y = f(x)+b b) y=f(-x), x∈]-b,-a[8. Funksioni është çift në intervalin ]-a,a[.Ç’mund të thoni për çiftësinë e funksionit:a) y=f(x) b) y=f(-x)c) y=f(x)+b?9.Meanëtëgrafikuttëfunksionity=x2ndërtonigrafikët e funksioneve:a) y=(x-1)2 b) y =(x-2)2+110. Ndërtoni grafikun e funksionit:a)61yx=− b)63yx=− 11. Duke përdorur grafikë të njohur, ndërtonigrafikët e funksioneve:a)122xy = ⋅ b)1log( )1yx=−c) y=x3+3x2+3x+1 d) y=log2(4x) 2.10 Përbërja e funksioneve numerikeNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Përbërjet fog; gof të funksioneve f;g.b)Veti. fog në përgjithësi është e ndryshme nga gof.c) Metoda. Mënyrat e dhënies së fog kur funksionet f;g janë dhënë me tabela ose formula.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:- Të gjejnë përbërjen fog;gof kur f;g jepen me tabela ose grafe.
    • 63LIBËR PËR MËSUESIT- Të gjejnë duke dhënë me formulën y=f[g(x)], përbërjen fog të funksioneve numerikë tëdhënë me formulat y=f(x);y=g(x).- Të zbërthejnë një funksion të thjeshtë si përbërje dy funksionesh të tjera.Udhëzime për zhvillimin e mësimitShtjellimi i materialit të ri duhet të fillojë, si në tekst, me shqyrtimin e shembujve që çojnënë kuptimin e funksionit të përbërë. Është i rëndësishëm trajtimi i shembullit 1, që zbërthenmënyrën e gjetjes së përbërjes së dy funksioneve të dhëna me formula. Mësuesi duhet të shtrojëpara klasës pyetje dhe të dëgjojë e të analizojë me nxënësit përgjigjet e dhëna, për të nxjerrëpërfundime përgjithësuese. Praktika ka treguar se nxënësit kuptojnë më mirë e përdorin më saktëdhënien e përbërjes fog me formulën y=f [g(x)]. Këtu aktivizohen (dhe përforcohen) shkathtësitëe fituara për shndërrimin e shprehjes me një ndryshore dhe shënimin simbolik të vlerës së saj nëpikën x.Shembulli 4 të punohet me nxënësit e mirë.Është shumë e rëndësishme vërejtja e dhënë në tekst për gjetjen e bashkësisë së përcaktimit tëfog, në rastin e dhënies së f;g me formula.Si ushtrime të nivelit minimal, të konsiderohen ato me numrat 1; 2; 4; 6/a,b; 8.Ushtrime plotësuese1.f,gjanëdyfunksionemebashkësipërcaktimiR, të tillë që:1( ) 3 2; ( )4xf x x g x−= − =a) Gjeni shëmbëllimin e numrit 5 nëfunksionin fog; gof.b) Shkruani g[f(x)], f[g(x)]c) Jepni funksionet fog; gof.2. Janë dhënë funksionet f. g. Jepni në formulëfunksionet fog, gof dhe gjeni bashkësitë epërcaktimit të tyre në rast se:a) 4: 3 :f x x g x x→ − →b) 2 1: :3 2x xf x g xx−→ →−c) 2: 4 :1xf x x g xx→ − →+3. f, g, h janë tri funksione me bashkësipërcaktimi R. Duke përdorur skemën emëposhtme (fig. 2.9) vërtetoni qëfo(goh) = (fog) oh.4. Jepen funksionet f:2 2 3: :3 1x xf x g xx x− +→ →− +a) Gjeni bashkësitë e përcaktimit tëfunksioneve f, g.b) Jepni me formulë funksionet fog, gof.c) Gjeni bashkësitë e përcaktimit të fog,gof.d) A mund të themi që fog = i?5. Jepni me formulë funksionet fog, gof; gjenibashkësitë e përcaktimit dhe ndërtoni grafikëte tyre në rast se:a) f: x→3x g: x →log3xb) f: x→x5g: x → x5c) f: x →x2g:x → xd) f: x →1x g:x → x26. Përdorni një ndryshore të re u, duke shprehury nëpërmjet u dhe u nëpërmjet x në rast se:a) y = cos (2x)b) y = ln(sinx)c) y= sin(2x-π)d) y tgx=e) y x= +1 3
    • 64 / Matematika 11Kreu 27. Zbërtheni secilin nga funksionet e mëposhtme si përbërje, me anë të funksionevey x y x yx= = =2 1, , dhe shqyrtoni monotoninë e tij në intervalin e dhënë.a) y = (x-3)2 në ]3, + ∞[b) y = 2 8x − në [4, +∞[c) y =23x −në ] - ∞[d) y = 21( 1)x −në ] 1,+∞[ 2.11 Ushtrime për përsëritjePara zhvillimit të kësaj ore, mësuesi duhet të kërkojë nga nxënësit që, me punë të pavarur nështëpi, të hartojnë në mënyrë të përmbledhur me shkrim, pasqyrën e njohurive kryesore teoriketë kreut (përkufizime konceptesh, teorema, metoda e rregulla, skica grafikësh të rëndësishëm).Në tekst, në materialin e propozuar për këtë orë mësimi ka bollëk ushtrimesh. Është e dëmshmekërkesa e synimi për t’i zgjidhur të gjitha ushtrimet (brenda e jashtë orës së mësimit). Nuk ështëe rëndësishme që nxënësit të njohin skemat e zgjidhjes për shumë ushtrime, por të aftësohen përtë përdorur metodat e njohura në situata të larmishme, duke filluar nga ato më të thjeshtat e dukevazhduar më tej me situata komplekse e me situata jo-standarde.Ora e mësimit duhet të organizohet duke kombinuar punën me grupe të nxënësve, për zgjidhjene disa ushtrimeve (që diskutohen pastaj me gjithë klasën), me punën në tabelë të disa nxënësvetë ndryshëm, që zgjidhin ushtrime të tjera të tekstit (këto zgjidhje gjithashtu analizohen meklasën).Për punë të pavarur a me grupe mund të punohen ushtrimet me numrat 1; 3; 6; 9/a,b; 10; 11/a.Mësuesi t’u japë nxënësve si detyrë për shtëpi punimin e ushtrimeve të testit (mësimi 2.12), nëmënyrë që ata të bëjnë vetëkontroll dhe vetëvlerësim të gjendjes së tyre.Ushtrime plotësuese1. Ndërtoni grafikët e funksioneve tëmëposhtme, duke u bazuar në grafikëfunksionesh të njohur.a) y = e-x b) yxe= ln( ) c) y=log(1-x) d) 32 1y x= + −2. Pa i ndërtuar grafikët, tregoni se në ç’pjesëtë R grafikut i funksionit f është sipër grafikuttë g, në rast se:a) f:y=x3 dhe g:y = -2xb) 26 2: :9f y dhe g y xx= =c) f:y = 3x - 3 dhe g:y = x3-1 3. Ndërtoni grafikun e funksionit: a) 24y x x= − b) 24 4y x x= − + c)y=ln(x2-4x+4)4. Është dhënë funksioni f:y = x2-5x+4.Shënojmë me l vijën që është grafiku i tij nëplanin koordinativ xOy.
    • 65LIBËR PËR MËSUESITa) Ndërtoni me dy mënyra vijën l.b) Ndërtoni vijat l1, l2që janë përkatësishtgrafikët e funksioneve:y = -f(x)+2; y =f(-x+2)c) Gjeni koordinatat e pikës së prerjes së lme l1; të l me l2(me rrugë algjebrike).5. Për të nxjerrë një lloj të ri produkti, njëndërmarrje shpenzoi 50000 dollarë përteknologjinë. Përveç këtyre, për të prodhuar njënjësi të produktit, shpenzohen 25 dollarë (përlëndë të parë, pagesë të fuqisë punëtore etj.).Shënojmë me x numrin e njësive të fabrikuaranga ky produkt.a) Gjeni shpenzimet e përgjithshme nëvarësi të x.b) Gjeni koston e një njësie të produktit nëvarësi të x.c) Paraqitni grafikisht funksionin p = f(x).d) Në rast se çmimi i shitjes së një njësietë produktit është 40 dollarë, nga ç’sasiprodhimi ndërmarrja del me fitim?6. Grafiku i funksionit1ln( )yx= merret prejgrafikut të funksionit y = lnx me anë të:a) një homotetie, b) një zhvendosje paralele,c) një simetrie ndaj boshtit Ox,d) një simetrie ndaj boshtit Oy?Rrethoni përgjigjen e saktë.7. Dihet që grafiku i funksionit y=x2+3x+mështë tangent me drejtëzën y= -3. Atëherë mështë e barabartë mea) -5 b)-3 c) -1 d) Rrethoni përgjigjen e saktë.8. Vërtetoni që:a) Nëse f është funksion tek dhe xoështëpikë minimumi, atëherë (-xo) është pikëmaksimumi e tij.b) Nëse f është funksion çift dhe është rritësnë intervalin ]a, b[, atëherë f është zbritësnë ]-b, -a[.
    • 66 / Matematika 11Kreu 3KREU 33.1 PërsëritjeNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Funksionet trigonometrike të këndit të ngushtë; funksionet trigonometrike tëkëndit x, ]180,0[ oox ∈ .b) Veti. Teorema e sinusit; teorema e kosinusit; lidhjet midis këndeve dhe brinjëve nëtrekëndëshin kënddrejtë; shprehjet për sipërfaqen e trekëndëshit.c) Metoda. Përdorimi i formulave të njohura për përcaktimin e një elementi në trekëndëshkur njihen elemente të tjera. Përdorimi i formulave për njehsimin e sipërfaqes së trekëndëshitkur jepen elemente përcaktuese të tij.ShkathtësiNë mbarim të orës së mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të gjejnë elementet e trekëndëshit kënddrejtë në rast se njohin dy prej tyre (nga të cilat tëpaktën, njëra brinjë).• Të njehsojnë vlerat e funksioneve trigonometrike të këndit x, 0o<x<180o, duke përdorurtabelën për këndin ose për shtuesin e tij.• Të gjejnë me anë të teoremave të sinusit dhe kosinusit, elementet e panjohura në njëtrekëndësh çfarëdo.• Të njehsojnë sipërfaqen e trekëndëshit çfarëdo, duke pasur të dhënë elemente përcaktuesetë tij.• Të zbatojnë njohuritë në situata të thjeshta reale.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMësuesi mund t’u japë paraprakisht si detyrë nxënësve ta lexojnë në mënyrë të pavarur mësiminnë shtëpi dhe të hartojnë një përmbledhje të formulave (të shumta) që përmbahen në të. Dukezbatuar parimin “të dish do të thotë në gjendje të zbatosh”, mësuesi duhet të përqendrohet nëzgjidhjen nga nxënësit, me punë të pavarur ose me grupe, të ushtrimeve si edhe në diskutimin ezgjidhjeve të propozuara.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen numrat 2/a; 3; 4; 5; 6; 7/a.Ushtrime plotësuese1. Duke shënuar a,b,c brinjët e trekëndëshitkënddrejtë (c-hipotenuza) dhe A,B këndet engushta përballë a,b (përkatësisht), vërtetoniqë;a)asinB=bsinA b) 2 2 2 2( )(1 )c c b tg B= − +c) sin cosa bB Bc+= +
    • 67LIBËR PËR MËSUESIT2. Me të njëjtat të dhëna,vërtetoni që:3. Gjeni elementet e tjera të trekëndëshitkënddrejtë, duke njohur:a) a=6 dhe B= 030 b) a=2 3 dhe b=2c) c=4 dhe b=2 34. Vërtetoni që, midis elementeve të njëtrekëndëshi çfarëdo ekzistojnë lidhjet emëposhtme:a)sin( ) sin( ) sin( )a b cB C A C A B= =+ + +b)sin sin sin sinA B C Aa b c a+ +=+ +5. Vërtetoni që:6. Vërtetoni që:7. Vërtetoni që:(2p=perimetri)8. Vërtetoni që:3.2 Radiani. Rrethi trigonometrik. Harqe trigonometrikeNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Radiani. Rrethi trigonometrik. Harku trigonometrik. Këndi trigonometrik. Vlerae harkut (këndit) trigonometrik. Kuadranti.b) Veti. Formula që lidh masën në gradë të këndeve me masën në radian. Formula për vlerëne një harku trigonometrik = k · 3600+ a.c) Metoda. Rrotullimi rreth një pike.ShkathtësiNë mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:• Të njehsojnë masën në gradë të këndit, kur njihet masa në radian dhe anasjellas.• Të shkruajnë formulën për vlerat e harqeve trigonometrike , kur njihet vlera a e njëritprej tyre.• Të tregojnë kuadrantin në të cilin mbaron harku trigonometrik , kur njihet vlera e tijx∈R.• Të zbatojnë njohuritë e fituara në situata të thjeshta reale.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMësuesi duhet t’i shmanget paraqitjes së njohurive në mënyra të gatshme. Në varësi të gjendjessë klasës ai duhet të shtrojë para nxënësve pyetje të strukturuara e të presë përgjigje prej tyre,për të dalë në rezultatet përgjithësuese. P.sh., “Vlera e harkut trigonometrik që merret pasi pika e
    • 68 / Matematika 11Kreu 3lëvizshme, duke u nisur nga A arrin në M, e më pas bën një xhiro të plotë në kahun kundërorar,është 3600+a. Sa do të jetë kjo vlerë kur M ka bërë në kahun kundërorar 2, 3, 4, n xhiro të plota?”Edhe shembujt, që në tekst jepen të zgjidhur, mund të trajtohen në klasë në formë gjysmë tëzgjidhur, duke e kërkuar plotësimin e zgjidhjes prej nxënësve.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen numrat 1; 2; 3; 4; 5; 6.Ushtrime plotësuese1. a) Gjeni një kënd pozitiv që e ka brinjën embarimit të njëjtë me këndin –45o.b) Gjeni dy kënde negativë që e kanë brinjën embarimit të njëjtë me këndin 370o.2. Në cilin kuadrant ndodhet pika M kur harkutrigonometrik e ka vlerën –1100o?Sa është ora nëse pas mesit të natës akrepi iminutave është rrotulluar me kënd –840o.4. a) Shkruani formulën e harqevetrigonometrike, për të cilat pika e mbarimit Mpërputhet me pikën B’.b)Shkruaniformulënekëndevetrigonometrike,për të cilat brinja e mbarimit është OB.5.Shkruaniformulënekëndevetrigonometrikeme brinjë të dytë:a) përgjysmoren e kuadrantit II. b) përgjysmoren e kuadrantit III.6. Cilat nga formulat e mëposhtme tregojnëharqe me mbarim të njëjtë (k∈Z).a) x = k.360o+45ob) x = k.360o+135oc) x = k.360o-225od) 24x kππ= − e)924x kππ= + .7. Gjashtëkëndëshi i rregullt ABCDEF ështëbrendashkruar në rrethin trigonometrik.Shkruani formulën që jep masat e harqeve membarim në kulmet e tij.8. Shprehni në gradë dhe në radian këndin qëka përshkruar akrepi i minutave pas kalimit tënjë kohe të barabartë me: a)1e orës4b)2e orës3c)3e orës89.9. Njehsoni, në gradë e në radian, këndet ebrendshme të një trekëndëshi, duke ditur qëata janë të përpjesshëm me numrat 1; 2; 3.3.3 Përkufizimet e funksioneve trigonometrike. Vetitë e sinusit e tëkosinusitNjohuri teorike kryesorea)Kuptime.Sinusi,kosinusi,tangentiikënditmevlerëxnërrethintrigonometrik.Koordinatate pikës e të vektorit. Funksioni çift; funksioni tek në R.b) Veti. Kufizueshmëria dhe periodiciteti i funksioneve y=sinx; y=cosx. Çiftësia e tyre.Shenjat e funksioneve y=sinx; y=cosx sipas kuadranteve.c) Metoda. Metoda e koordinatave.ShkathtësiNë mbarim të orës së mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:• Të përcaktojnë shenjën e sinusit (kosinusit) në varësi të kuadrantit ku mbaron harku.• Të njehsojnë në raste të veçanta vlerat e sinx, cosx, duke u nisur nga përkufizimet e tyre.
    • 69LIBËR PËR MËSUESIT• Të përdorin në situata të thjeshta matematikore periodicitetin, kufizueshmërinë dhe çiftësinëe funksioneve y=sinx, y=cosx.• Të zbatojnë njohuritë e fituara në situata të thjeshta.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMateriali i parashikuar në tekst për këtë orë mësimi ka ngarkesë konceptuale e vëllimore, prandajshtjellimit të tij i duhet kushtuar e gjithë ora e mësimit, duke hequr dorë nga format tradicionaletë kontrollit të dijes me nxënës të ngritur në tabelë.Përkufizimet e sinx, cosx, tgx, cotgx të jepen si në tekst, por nxënësve t’u kërkohen t’i nxjerrinme punë të pavarur lidhjet:tgx=sincosxx, cotgx=cossinxx, tgx·cotgx=1.Pas punimit të shembullit 1, klasa me punë të pavarur apo me grupe të punojë ushtrimin përgjetjen e sin225o, cos225o.Përfundimet për shenjat e sinx, cosx sipas kuadranteve të nxirren nga nxënësit me punë tëpavarur ose me grupe.Është e rëndësishme të vihet në dukje se, duke treguar që sin(2π+x)=sinx, ne kemi treguar qëfunksioni y=sinx është periodik dhe perioda mund të jetë 2π ose numër pozitiv më i vogël se 2π.Pas vërtetimit të faktit që 1|sin| ≤x , nxënësit të vërtetojnë vetë që 1|cos| ≤x e më tej tëzgjidhet ushtrimi që figuron në tekst.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen numrat 1; 4; 7; 10.Ushtrime plotësuese1. Gjeni vlerën e funksioneve të mëposhtmepër x = 3π.a) y = cos2x; b) y = cos(x-2π);c)y = sin2x.2. Gjeni shenjën e numrave:a) sin(-70o); b) cos160o;c) sin56π; d) cos(45π− ).3. Gjeni shenjën e numrave:a) tg110o; b) tg45π; c) cotg(-34π).4. Gjeni shenjën e numrave:a) sin2; b) cos2; c) sin3; d) cos4.5. Në cilin kuadrant mbaron harkutrigonometrik kur masa e tij x plotësonkushtet:a) cosx>0 dhe sinx = -31;b) sinx<0 dhe cosx = -72.6. Gjeni vlerën më të vogël dhe më të madhetë funksionit:a) y = sin(2x-40o); b) y =31cosx;c) y = 2sin2x.7. Gjeni vlerën më të vogël dhe më të madhetë funksionit:a) y = 1-sinx; b) y =13 sin x+;c) y =57 4sin x−.8. Zgjidhni ekuacionet (inekuacionet) në[0,2π].a) cosx+cosy = 2; b) sinx-siny = 2;c) sinx+siny≥2.
    • 70 / Matematika 11Kreu 39. Në cilin kuadrant mbaron këndi me vlerë xkur është dhënë:sinx · cosx>0 dhe sinx+cosx<0.10. Krahasoni sinx me x për ]0, [2xπ∈ .3.4 Variacioni i sinusit dhe i kosinusitNjohuri teorike kryesorea)Kuptime.Rrethitrigonometrik.Koordinatatepikës.Funksionety=sinx,y=cosx.Variacionii funksionit.b) Veti. Tabelat e variacionit për funksionet y=sinx; y=cosx. Grafikët e tyre për ]2,0[ π∈x.c) Metoda. Metoda e koordinatave. Metoda e ndërtimit të grafikut në bazë të tabelës sënjohur të variacionit.ShkathtësiNë mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:• Të studiojnë variacionin e sinusit (kosinusit) në një kuadrant të çfarëdoshëm, në bazë tëparaqitjes gjeometrike të tij në rrethin trigonometrik.• Të riprodhojnë tabelat e variacionit të sinusit (kosinusit).• Të skicojnë në bazë të tabelave, grafikët e funksioneve y=sinx, y=cosx për ]2,0[ π∈x .Udhëzime për zhvillimin e mësimitEdhe për këtë mësim, materiali i paraqitur në tekst është mjaft i ngjeshur, prandaj trajtimit të tiji duhet kushtuar gjithë ora e mësimit.Rekomandojmë të ndiqet shtjellimi i materialit siç është paraqitur në tekst. Janë shumë merëndësi skicat që tregojnë si ndryshon gjatësia e OQ (ordinata e pikës M) kur lëviz pika M nënjë kuadrant, sepse në bazë të tyre nxirren përfundimet për variacionin e sinx, kur x rritet nësegmentet 0,2π   , ,2ππ   ,3,2ππ   ,3, 22ππ   .Variacioni i sinx kur x rritet nga23πdrejt π2 të kryhet nga nxënësit me punë të pavarur osepunë me grupe, siç është parashikuar në tekst.Është hap i rëndësishëm skicimi i grafikut në bazë të tabelës së variacionit. Për këtë, në fillimndërtohen pikat karakteristike dhe më tej bashkohen ato me vijë të lëmuar. Duhet të mbahetparasysh (e t’u theksohet nxënësve) që merret π≈3,14, sepse përndryshe do të kishim cenim tëtrajtës së grafikut.Studimi i variacionit të funksionit y=cosx, që duhet të konfirmojë saktësinë e tabelës së variacionittë dhënë në tekst, të kryhet nga nxënësit me punë të pavarur apo me grupe.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen numrat 1, 4, 6, 7, 8/a, b, c.
    • 71LIBËR PËR MËSUESITUshtrime plotësuese1. Skiconi grafikët e funksioneve të mëposhtmepër ]2,[ ππ−∈xa) y = cosx; b) y= sin2x; c) y = 1+sinx.2. Krahasonia) cos1 me cos1o; b) sin2 me sin2o;c) cos4 me cos4o.3. Zgjidhni inekuacionin cosx<sinx për:a) [0, ]2xπ∈ ; b)3[ , ]2xππ∈ .4. Plotësoni: a) cos(-780o) = …b) sin(930o) = …5. Gjeni periodën T për x∈[0, T] dhe skiconigrafikun e funksionit:a) y =21sinx; b) y = cos(x+60o);c) y = 1-2sinx.6. Gjeni periodën T dhe për x∈[0, T] skiconigrafikun e funksionit:a) y = sin2x; b) y = cos2x;c) y = cos4x; d) y = sin2xe) y = sin xπ2 ; f) y = cos xπ ;g) y = sin2πx.7. Të vërtetohet që perioda e funksionit y=sinxështë 2π.8. a) Nëse për çdo vlerë të plotë të k njehsojmënumrin sin( )30kπ, sa numra të ndryshëm do tëmarrim?b) Si duhet të jetë numri a që bashkësia enumrave të trajtës cos (πna), ku n është numëri plotë, të jetë e fundme?3.5 Vetitë dhe variacioni i funksionit y=tgxNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Funksioni y=tgx. Koordinatat e pikës e të vektorit.b) Veti. Paraqitja e tgx nëpërmjet vektorit . Shenja e funksionit y=tgx sipas kuadrantevesipassincosxx. Periodiciteti i tangentit. Tabela e variacionit e tangentit për ,2 2xπ π ∈ −  .Grafiku i tij.c) Metoda. Metoda e koordinatave. Metoda e ndërtimit të grafikut sipas tabelës së dhënë tëvariacionit.ShkathtësiNë mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:• Të përcaktojnë shenjën e tangentit sipas kuadrantit ku mbaron harku.• Të përdorin në situata të thjeshta matematikore periodicitetin dhe çiftësinë e funksionity=tgx.• Të riprodhojnë tabelën e variacionit të funksionit y=tgx në ,2 2π π −  .• Të skicojnë në bazë të tabelës së variacionit grafikun e y=tgx për ,2 2xπ π ∈ −  .
    • 72 / Matematika 11Kreu 3Udhëzime për zhvillimin e mësimitShtjellimi i materialit të ri duhet të zërë të gjithë orën e mësimit, për shkak të ngarkesëskonceptuale dhe vëllimore që ka. Ndër vetitë e funksionit y=tgx, mësuesi të trajtojë vetë shkurtgjetjen e bashkësisë së përcaktimit dhe paraqitjen gjeometrike në rrethin trigonometrik, meanë të vektorit . Për studimin e shenjës së tgx sipas kuadranteve dhe për vërtetimin e faktittg(180o+x)=tgx, është mirë të aktivizohet klasa për punë të pavarur ose me grupe.Për studimin e variacionit të funksionit y=tgx rekomandohet të ndiqet ecuria metodike eparashtruar në tekst, duke përdorur skicat që tregojnë si ndryshon AT (pra, ordinata e T) kur pikaM lëviz në rrethin trigonometrik (pra, kur ndryshon x).Mësuesi nuk duhet të ndalet gjatë në shënimet:( )2( )2limxxππ→<tgx=+∞,( )2( )2limxxππ→>=-∞dhe nuk duhet të kërkojë nga nxënësit riprodhimin e tyre e sqarime për to.Për shënimin e parë mjafton të kuptohet që “kur vlerat e x, duke mbetur më të vogla se2πiafrohen pambarimisht2π, atëherë tgx rritet pambarimisht”.Kuptimi i limitit që haset këtu do të trajtohet gjerësisht në kreun VI.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen numrat 2, 3, 4, 7, 8.Ushtrime plotësuese1. Vërtetoni se në rrethin trigonometriktgx = yT.2. Për cilën vlerë të x arrin vlerën më të madhefunksionia) y = sin(cosx); b) y = tg(sinx)?3. Vërtetoni që perioda e funksionit y=tgxështë π.4. a) Vërtetoni që funksioni y=tgx ështëfunksion tek.b) Duke përdorur këtë fakt, skiconi grafikun efunksionit y=tgx për ] ,0[2xπ∈ −5. Skiconi, për ]0, [x π∈ , grafikun efunksionit:a) y=-tgx b) y=1+tgxc) y=2tgx d) y= tgx6. Në rrethin trigonometrik është dhënëharku AM me vlerë x. Shënojmë me S pikënku gjysmëdrejtëza OM pret tangjenten ehequr ndaj rrethit trigonometrik në pikën Btë tij. Vërtetoni që cotgx është i barabartë meabshisën e pikës S.7. Duke pasur parasysh se cotgx=xS,shqyrtonivariacionin e funksionit y=cotgx për x∈]0,π[8. Në një rreh trigonometrik ndërtoni këndinmë të vogël pozitiv AOM, për të cilin tangentiështë: a)5 2b)-2 3
    • 73LIBËR PËR MËSUESIT3.6 Identitete trigonometrikeNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Bashkësia e vlerave të lejuara të shprehjes me ndryshore. Identiteti.b) Veti. Formula themelore sin2x+cos2x=1. Lidhjet cos2x= 211 tg x+; sin2x=221tg xtg x+.c) Metoda. Metoda e vërtetimit të identiteteve trigonometrike, duke bërë shndërrime nënjërën anë.ShkathtësiNë mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:• Të riprodhojnë nxjerrjen e formulës themelore.• Të gjejnë, duke përdorur atë, vlerën e sinx (cosx), kur njihet cosx (sinx) dhe kuadranti kumbaron këndi x.• Të gjejnë me anë të formulave x2sin =221tg xtg x+; x2cos = 211 tg x+vlerën e sinx (cosx)kur njihet tgx dhe kuadrantin ku mbaron këndi x.• Të vërtetojnë identitete të thjeshta trigonometrike, duke bërë shndërrime në njërën anë.Udhëzime për zhvillimin e mësimitSi formula themelore sin2x+cos2x=1, ashtu edhe identitetet x2cos = 211 tg x+; x2sin =221tg xtg x+,për të cilat në tekst janë dhënë vërtetime sintetike, është mirë të kërkohet të nxirren nga nxënësitme punë të pavarur ose me grupe. Kjo punë diskutohet me klasën.Mësuesi të drejtojë punën e nxënësve edhe në vërtetimin e identiteteve të thjeshta. Rëndësi kakuptimi i saktë i identitetit në bashkësinë e vlerave të lejuara të ndryshoreve që figurojnë në anëte tij.Të dobishme janë edhe barazimet shkronjore që nuk janë identitete; për konstatime të tilla tëpërdoret metoda e kundërshembullit.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen numrat 1, 2, 3, 4, 6/a, b.Ushtrime plotësuese1. Harku me masë x i përket kuadrantit IV.a) Gjeni cosx, kur sinx = - .b) Gjeni sinx, kur cosx =53.2. Dihet që y∈]90o, 180o[.a) Gjeni siny, kur cosy = -22.b) Gjeni tgy, kur siny =23.3. Dihet që -2π<x<2π.a) Gjeni cosx, kur sinx = 0,8.b) Gjeni cosx, kur tgx = -43.4. Zgjidhni ekuacionin:a) 2sin2x = 3cosx; b) 2cos2x – sinx = 1;c) cos2x = sin2x; d) sin4x = cos4x.5. Tregoni se për çdo vlerë të lejueshme të xka vend barazimi:a) cos4x+sin4x = 1-2sin2x·cos2x;b) cos2x+sin2x·cos2x+sin4x = 1.
    • 74 / Matematika 11Kreu 3c) 1+cotg2x =x2sin1;d) sin6x+cos6x = 1-3sin2x·cos2x.6. Gjeni shenjën e prodhimit sinx·cosx·tgx7. a) Shndërroni shprehjen,në mënyrë që të përmbajë vetëm sinx.b) Shndërroni shprehjen,në mënyrë që të përmbajë vetëm cosx.8. Shndërroni shprehjen e mëposhtme nëmënyrë që të përmbajë vetëm tgx:9. Gjeni, për këndin e ngushtë x, sinx dhe cosx,duke ditur që sinx+cosx= 2 .3.7 UshtrimeSynimi i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë përforcimi i njohurive dhe përmirësimi ishkathtësive të zhvilluara në orët paraardhëse të kreut. Mësuesi mund t’u japë më parë nxënësvepër detyrë përgatitjen në shtëpi të përmbledhjes së sistemuar të fakteve kryesore të trajtuara nëmësimet 3.1-3.6.Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit mund të lexojnë në të në mënyrë të pavarur(kjo i shërben edhe aftësimit për menaxhimin e informacionit prej tyre) shembujt nr. 1, nr. 2, tëdhënë të zgjidhur në tekst. Më tej mund të organizohet një diskutim për të nxjerrë përfundimepërgjithësuese prej tyre dhe pastaj të kalohet në zgjidhjen me punë të pavarur të kërkesave 1, 2të ushtrimit.Në të njëjtën mënyrë procedohet për trajtimin e shembujve të zgjidhura nr. 3, nr. 4, nr. 5. Mëtej vazhdohet me zgjidhje me punë të pavarur apo me grupe të ushtrimeve të pazgjidhura qëfigurojnë në tekst.Për organizimin e punës së diferencuar në klasë të mbahet parasysh se ushtrime të nivelit minimaljanë ato me numër 1; 2/a,b; 3; 4/a,b; 6.Ushtrime plotësuese1. Gjeni pozicionin fillestar, periodën dheamplitudën për lëkundjen e përshkruar ngafunksioni:a) y = sin2t; b) y = 3sin2t;c) y = sin(t+4π); d) y = sinπt;e) y = 2sin(3t-π).2. Krahasoni çiftet e lëkundjeve:a) y = sint; y = cost.b) y = sinπt; y = 3sinπt.c) y = cos(t+2π); y = -sint.3. Për lëvizjen lëkundëse janë dhënë (sipasradhës):- pozicioni fillestar i pikës- perioda- amplitudaJepni lëvizjen lëkundëse me një ekuaciontë formës y = f(t).a) 0; 2π; 3 b) 1; π; 5 c) 2; 4; 3.Gjeni periodën dhe vlerën më të madhe.
    • 75LIBËR PËR MËSUESIT4. Jepni tabelën e variacionit të funksionity = 5sin(6πt).5. Të dy akrepat e sahatit janë të mbivendosuranë orën 12. Pas sa kohe do të mbivendosenpërsëri për herën e parë?6. Studioni variacionin e funksionit y=sinx(y=cosx),për ] 2 ,0[x π∈ − .7. Thjeshtoni shprehjen:a)b)0 2 02 0 0 2 0( )cos0 ( ) sin 270cos90 2 sin90 180a b a ba ab b tg+ + −+ +.8. Studioni shenjën e shprehjes sinx·cosx nëintervalin ]0,2 [π .9. Duke u nisur nga paraqitja gjeometrike esinx, cosx në rrethin trigonometrik, vërtetoniqë:a) sinx+cosx>1 , për ]0, [2xπ∈b) .10. Vërtetoni që, për ]0. [2xπ∈ , kemitgx+cotgx 2≥ .3.8 Formulat e reduktimitNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Këndi trigonometrik, rrethi trigonometrik, kuadranti i mbarimit, radiani.b) Veti. Formulat për sin2πα ±  , cos2πα ±  , ( )απ ±sin , ( )απ ±cos , ( )απ ±2sin ,( )απ −2cos .c) Metoda. Përdorimi i formulave të reduktimit për njehsimin e vlerave të funksionevetrigonometrike nga 0onë 360o, nëpërmjet vlerave të funksioneve trigonometrike të këndevetë ngushtë.ShkathtësiNë mbarim të orës së mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:• Të shkruajnë një kënd të dhënë në mënyrë të përshtatshme nëpërmjet një këndi të ngushtëpër të përdorur formulat e reduktimit.• Të zbatojnë rregullin mnemonik që lejon mbajtjen mend të formulave.• Të shndërrojnë shprehje të thjeshta trigonometrike duke përdorur formulat e reduktimit.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMateriali mësimor i parashikuar për këtë orë mësimi lejon aktivizim të masës së nxënësve nështjellimin e tij.Mësuesi të shpjegojë vetë mënyrën se si nxirren formulat për sin2πα −  e cos2πα −  .Nxënësit më tej, me punë të pavarur ose me grupe, të drejtuar nga mësuesi, të nxjerrin formulatpër sin2πα +  , cos2πα +   .
    • 76 / Matematika 11Udhëzime të përgjithshmeMësuesi tregon se si mund të merren formulat për )sin( απ + nga ajo për sin2πα +  , dukeshkruar π+a =2π+2πα +  =2uπ+ .Nxënësit zgjidhin me punë të pavarur ose me grupe ushtrimin për nxjerrjen e formulave për)cos( απ + , )sin( απ − , )cos( απ − .Mësuesi trajton shkurt si në tekst nxjerrjen e formulave për )2sin( απ − , )2cos( απ − .Nxënësve u duhet vënë në dukje dobia e rregullës për mbajtjen mend të formulave. Sqarimit tëpërmbajtjes dhe mënyrës së zbatimit të tij i duhet kushtuar koha dhe vëmendja e duhur nëpërmjettrajtimit të shembujve dhe zgjidhjes së ushtrimeve.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numër 1, 2, 3, 4, 5.Ushtrime plotësuese1. Vërtetoni që: a) sin(360o-x) = -sinxb) cos(360o-x) = cosx2. Paraqitni më thjesht shprehjet:a) sin(x-90o) + cos(x+90o) + sin(2π+x) ++ cos(2π-x)b) sin(180o+x) + sin(90o+x) ++ sin(-x) · tg(90o-x)c) cos(π-x) · cos(x+2π) ++ cos(180o+x) · cotg(2π-x).3. Skiconi grafikun e funksionit:a) y = cos(90o-x); b) y = cos(180o-x);c) y = cos(-2x).4. Gjeni:a) sin(270o+x); b) cos(270o-x);c) sin(x-270o); d) cos(x-270o).5. Vërtetoni identitetin (për vlera të lejuara tëa):2( )cos( )a bα+−+43sin( )2abπα−=2( )sin( )2a bπα−+.6. Vërtetoni identitetet:a) cos(45o+x) = sin(45o-x);b) tg(4π-x) = cotg(4π+x).7.∧A ,∧B ,∧C janë kënde të një trekëndëshi.Vërtetoni që:a) sin∧A = sin(∧B +∧C ) ;b) sin2∧A= cos(2B C∧ ∧+)8. Gjeni vlerën e shprehjes:a) ;b) tg5o·tg10o·tg15o…tg85o3.9 ZbatimeNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Vlera e harkut (këndit) trigonometrik. Funksionet trigonometrike.b) Veti. Formulat për2tg nπα ±  .
    • 77LIBËR PËR MËSUESITc) Metoda. Reduktimi i problemit të gjetjes së vlerave të funksioneve trigonometrike tëkëndit x, në gjetjen e vlerave të funksioneve trigonometrike të një këndi në [0o, 90o].ShkathtësiNë mbarim të orës së mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:• Të përdorin formulat për2tg nπα ±  për njehsimin e vlerës së tgx, kuroox 3600 <≤ .• Të përdorin për vlerat e funksioneve trigonometrike të këndeve nga [0o, 90o] tabelën evlerave dhe makina llogaritëse të përshtatshme.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMateriali mësimor i parashikuar për këtë orë mësimi lejon aktivizim të mirë të masës sënxënësve si në nxjerrjen e formulave, ashtu edhe në zbatimet e tyre. Të ndiqet shtjellimi metodiki propozuar në tekst. Është me rëndësi të theksohet fakti që për të mbajtur mend formulat mundtë adoptohet rregulli mnemonik, i ngjashëm me atë për formulat për sinusin e kosinusin.Në tekst ka disa shembuj të cilët është mirë të trajtohen si gjysmë të zgjidhur, për të siguruarpjesëmarrjen aktive të nxënësve në procesin e zgjidhjes.Reduktimi në [0o, 90o] është efikas nëse nxënësit janë në gjendje të kryejnë gjetjen e vlerave tëfunksioneve trigonometrike në këtë segment nëpërmjet tabelës reale të vlerave (“Matematika10”, faqe 181) dhe përdorimit të makinave llogaritëse të përshtatshme.Ushtrime për përforcimin e këtyre aftësive duhet të punohen detyrimisht në klasë.Si ushtrime të nivelit minimal, të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3, 4, 5.Ushtrime plotësuese1. Vërtetoni që “Nëse njohim vlerat e sinx,cosx për x∈[0, 45o], mund të gjejmë edhevlerat e tyre për x∈[45o, 90o]”.2. Radhitni numrat e mëposhtëm sipas radhësrritëse, pa gjetur vlerat e tyre.a) sin(-15o), sin115o, sin165o, sin205ob) sin25o, cos50o, sin95o, cos345o.3. Krahasoni:a) log3(sin150o) me log3(sin135o)b) log0,5(cos330o) me log0,5(cos20o)c) 2cos 60me cos260o.4. Thjeshtoni shprehjet:a) sin(270 0 0) sin(450 )α α− + −b)5. Njehsoni vlerën e shprehjes:a)b)6. Vërtetoni barazimet:a) 0 0sin(70 ) cos(20 )α α+ = −b)7. Vërtetoni identitetin:2 222 22 2[1 cot ( )]4 2 1(1 ) [1 cot ( )]2gtgtg gπααπα α− −+ =+ + −8. Reduktoni në kuadrantin e parë:a)b) .
    • 78 / Matematika 11Udhëzime të përgjithshme3.10 Ekuacione trigonometrike elementareNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Ekuacioni me një ndryshore. Rrënja e tij. Ekuacione të njëvlershme. Rrethitrigonometrik. Funksionet trigonometrike.b) Veti. Formulat që japin bashkësitë e zgjidhjeve të ekuacioneve trigonometrike elementaresinx=a, cosx=b, tgx=c.c) Metoda. Paraqitja e funksioneve trigonometrike në rrethin trigonometrik.• Shndërrime të njëvlershme të ekuacioneve me një ndryshore.ShkathtësiNë mbarim të orës së mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:• Të zgjidhin ekuacione trigonometrike elementare sinx=a, cosx=b, tgx=c në R.• Të zgjidhin ekuacione trigonometrike që sillen në elementare me shndërrime të thjeshtaidentike e të njëvlershme.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMësimi është mirë të zhvillohet me tekst të hapur. Shtjellimi i materialit në tekst synon qënëpërmjet shembullit të arrihet në përfundimin përgjithësues për bashkësinë e zgjidhjeve tëekuacionit sinx=a. Është mirë që shembulli të trajtohet në klasë gjysmë i zgjidhur, duke shtruarpara nxënësve pyetje të strukturuara dhe të ndiqet nga punimi i një ushtrimi, para se të kalohetnë sintezën për ecurinë e zgjidhjes së ekuacionit sinx=a.Për zgjidhjen e ekuacioneve cosx=b, tgx=c të ndiqet ecuria metodike e parashtruar në tekst.Shembulli për3tg xππ −  = 3− mund të lihet për lexim të pavarur nga nxënësit.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 6, 7, 11.Ushtrime plotësuese1. Paraqitni zgjidhjet e ekuacionit me njëformulë të vetme.a) sinx = 0; b) sinx = 1; c) sinx = -1;d) cosx = 0; e) cosx = 1; f) cosx = -1.2. Zgjidhni ekuacionin:a) sin3x = -22; b) sin52x= 1;c) sin(x-30o) =23 ; d) sin(2x-1) =21;e) cos2x = 0; f) cos(2x-60o) = -21.3. Zgjidhni ekuacionin:a) sin2πy = 0; b) sinπt = 1;c) sin2πt = -1; d) cos2πt = 1.4. Për ç’vlera të x janë të vërteta barazimet:a) sin(π+x) =22; b) sin(2π-x) = -21;c) cos(π-x) = -21; d) cos(π+3x) =21.5. Zgjidhni ekuacionet:a) tg3x = 0; b) tg(2x-10o) = -33 ;c) tg(π-2x) = -1.6. Zgjidhni ekuacionet:a) cosx = sinx; b) sinx+cosx = 0;c) sinx+ 3 cosx = 0.
    • 79LIBËR PËR MËSUESIT7. Zgjidhni ekuacionin: a)111 cos x=+b)211 sin x=+c) 23 0tg x tgx+ =8. Zgjidhni ekuacionin:a) (2sinx+1)(tgx+1)=0b) 22cos 3 2 cos 2 0x x− + =9. Zgjidhni ekuacionin: a)2cos2(1 sin )sinxxx= −b) 2 21 12sin 1 cosx x+ =+.3.11 UshtrimeSynimi i mësuesit në trajtimin e materialit të vendosur në tekst për këtë orë mësimi duhet tëjetë përpunimi i njohurive dhe forcimi i aftësive për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike tëthjeshta, në vazhdim të punës së nisur në mësimin 3.10.Mësimi të zhvillohet me tekst hapur, duke gërshetuar shqyrtimin e shembujve dhe zgjidhjen eushtrimeve të vendosura në tekst.Pasi të trajtohet nga mësuesi në tabelë zgjidhja e ushtrimit 1, nxënësit me punë të pavarur e megrupe zgjidhin ushtrimet 2 dhe 3/a.Trajtohet nga mësuesi në tabelë ushtrimi i zgjidhur nr. 4, e më pas nxënësit zgjidhin me punë tëpavarur e me grupe ushtrimin 5/a e më pas ushtrimin 6/a, b.Mësuesi trajton ushtrimin e zgjidhur nr. 8 dhe vë nxënësit në punë për zgjidhjen e ushtrimit9/a.Mësuesi zgjidh në tabelë ushtrimin 12 e më pas nxënësit, me punë të pavarur, zgjidhin ushtrimin13/a.Të mbahet parasysh se ushtrime të nivelit minimal konsiderohen ato me numrat 2, 3, 5, 7/a,b,9.Ushtrime plotësuese1.Paraqitnimenjëformulëtëvetmebashkësinëe zgjidhjeve të ekuacionit:a) cosx·sinx = 0; b) (sinx-1)·cosx = 0;c) sin2x· sinx = 0; d) cosx·cos2x = 0.2. Zgjidhni ekuacionet:a) 2cosx+1 = 0; b) sin2x+sinx = 0;c) 3 tg2x - tgx = 0; d) 4sin2x – 1 = 0.3. Zgjidhni ekuacionet:a) 2sin25x - 1 = 0;b) 2sin2x – sinx – 1 = 0;c) 2cos2x – 3cosx+1 = 0;d) cos4x+2 = 3cos2x.4. Zgjidhni ekuacionet:a) 2sinx = tgx; b) 2(sinx – 1) =4sin x;c) cos x = cosx;d) 2sinx · cotgx+1 = cosx.5. Gjeni vlerën më të vogël të funksionit në[0, 2π]a) y = 2 - cosx; b) y =51 2sin2x−;c) y = cos2x – 2cosx – 5.6. Zgjidhni sistemin e ekuacioneve për]2,0[, π∈vu
    • 80 / Matematika 11Udhëzime të përgjithshmea) cos cos 0cos cos 1u vu v+ =− =;b)cos 3 0cos 3 0tgu vtgu v + + =− + =.7. Zgjidhni ekuacionin:a)coscosxx= 0; b)xxsinsin= 1.8. Zgjidhni në [0, 2π] inekuacionet:a) cosx<21; b) sinx>-21; c) |sinx|<22.9. Zgjidhni ekuacionin:a) 0 0sin(3 10 ) cos(80 3 ) 1x x+ + − =b) 2 0 02sin ( 30 ) 3cos( 60 ) 1 0x x+ − − + =3.12 Formulat për sinusin (kosinusin) e shumës dhe diferencës së dykëndeveNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Funksionet trigonometrike të një këndi në rrethin trigonometrik. Prodhiminumerik i dy vektorëve.b) Veti. Formulat për )sin( 21 xx ± , )cos( 21 xx ± .ShkathtësiNë mbarim të orës së mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:•Të përdorin formulat për )sin( 21 xx ± , )cos( 21 xx ± për njehsimin e vlerave të funksionevetrigonometrike të këndeve, që shkruhen si shumë a diferencë e këndeve 30o, 45o, 60o, 90o.• Të përdorin këto formula për thjeshtimin e shprehjeve trigonometrike.• Të përdorin këto formula për të zgjidhur ekuacione trigonometrike të thjeshta.Udhëzime për zhvillimin e mësimitUshtrimi që jep, nëpërmjet krahasimit të cos(90o-60o) me cos90o-cos60o, idenë që kosinusi(sinusi) i shumës nuk është kurdoherë i barabartë me shumën e kosinuseve (sinuseve) ështëmjaft i rëndësishëm për të paraprirë gabime të mundshme të nxënësve, që për fat të keq vihenre shpesh.Nxjerrja e formulës për cos(x1-x2) të bëhet nga mësuesi, duke kërkuar herë pas here mendimine nxënësve. Pas punimit të shembullit për cos15o, të kërkohet që nxënësit me punë të pavarur tënjehsojnë cos150o(pa përdorur paraqitjen në rrethin trigonometrik).Formula për cos(x1+x2) të nxirret nga nxënësit me punë të pavarur ose me grupe, duke u dhënëvetëm sugjerimin “të bëhet me formulën e njohur për cos(x1-x2), zëvendësimi i x2me –x2”. Këtudo të ishte me vend sqarimi paraprak se formula për cos(x1-x2) është një identitet me dy ndryshorereale dhe prandaj mbetet e vërtetë nëse zëvendësojmë x1, x2me kënde të çfarëdoshme.Pasi trajtohet shembulli për cos105o, të kërkohet nga nxënësit që të njehsojnë me punë të pavarurcos225o(pa paraqitje në rrethin trigonometrik). Diskutimi i kësaj pune mund të përdoret për tëvënë në dukje se formula për )180cos( α+omund të nxirret nga formula për cos(x1+x2).Formulat për sin(x1+x2) (me sugjerimin për zëvendësimin e x1me (90o-x1) në identitetin për
    • 81LIBËR PËR MËSUESITsin(x1+x2)) dhe ajo për sin(x1-x2) të nxirren nga nxënësit me punë të pavarur ose me grupe.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 3, 5, 8, 9.Ushtrime plotësuese1. Vërtetoni formulën për sin(x1-x2) dukenjohur atë për sin(x1+x2).2. Paraqitni më thjesht shprehjet:a) sin2x·cosx = cos2x·sinx;b) sinx·sin2x+cosx · cos2x.3. Gjeni saktë:a) sin75o; b) cos15o; c) cos105o.4. Paraqitni më thjesht shprehjet:a) sin(x+y) + sin(x-y);b) cos(x-y) – cos(x+y).5. Paraqitni më thjesht shprehjet:a) cos(x+30o) + sin(x+60o);b) sin(4π+x) · sin(4π-x).6. Harku me masë x i përket kuadrantit tëdytë.a) Gjeni sin(60o+x), kur cosx = -54;b) Gjeni cos(x-135o), kur sinx =22.7. Zgjidhni ekuacionin:a) cos3x · cosx + sin3x · sinx = 1;b) sin(x+35o) + sin(x-35o) = 0;c) sinx·cos2x- cosx·sin2x= -21;d) 2cos(4π+x)· cos(4π-x) + sin2x = 0.8. Kosinuset e dy këndeve të një trekëndëshijanë:3 12;5 13.Gjeni kosinusin e këndit të tretë.9. Vërtetoni që:tg2x – tgx =sincos cos2xx x⋅;3.13 ZbatimeNjohuri teorike kryesorea) Veti. Formulat për , .b) Metoda. Shndërrimi i shprehjes asinx+bcosx në trajtën .ShkathtësiNë mbarim të orës së mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:• Të përdorin formulat për për njehsim vlerash të funksionit tangent.• Të përdorin këto formula për thjeshtimin e shprehjeve trigonometrike jo të ndërlikuara.• Të përdorin këto formula për zgjidhje ekuacionesh trigonometrike të thjeshta.• Të përdorin shndërrimin asinx+bcosx= në situata të thjeshta matematikore.• Të gjejnë amplitudën dhe periodën kur mblidhen dy lëvizje lëkundëse harmonike me tënjëjtën periodë.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMateriali i parashikuar në tekst për këtë orë mësimi krijon hapësira të gjera për pjesëmarrjenaktive të nxënësve.
    • 82 / Matematika 11Udhëzime të përgjithshmeMësuesi trajton nxjerrjen e formulës për tg (a+b) dhe në kërkesa që nxënësit, me punë të pavarura me grupe, të nxjerrin formulën e ngjashme për tg (a-b).Pasi trajton shndërrimin e shprehjes asinx+bcosx në trajtën sin( )cosax αα+ , mësuesi (pavarë-sisht se në tekst është dhënë zgjidhja) kërkon që nxënësit të zbatojnë këtë lloj shndërrimi dukekryer, me punë të pavarur a me grupe, zgjidhjen e ekuacionit 3sinx- cosx=3.Mbledhja e dy lëvizjeve lëkundëse harmonike është mirë të trajtohet me aktivizimin e nxënësve,duke shtruar fillimisht para tyre ushtrimin për gjetjen e ekuacionit të lëvizjes rezultante të pikës,që merr pjesë njëherësh në dy lëvizje me ekuacion y=3sin2t; y=4cos2t.Më tej nxirret rezultati përgjithësues për rezultanten e dy lëvizjeve lëkundëse harmonike meekuacione tay ωsin= ; tby ωcos= (me të njëjtën periodë).Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 2, 3, 6, 7.Ushtrime plotësuese1. Gjeni vlerat e funksioneve trigonometrike tëkëndit: a) 0105 b) 0165 .2. Duke ditur tgx=2; tgy=1dhe 0 0 0 00 90 ;0 90x y< < < < gjeni:a) tg(x+y); tg(x-y); sin(x+y); sin(x-y).3. Gjeni sin( 090 α β+ + ) duke njohur:.4. Vërtetoni që5. Vërtetoni që, nëse x dhe y janë kënde tëngushta, atëherë sinx+siny<16. Duke ditur që tga; tgb janë rrënjët eekuacionittëfuqisësëdytëx2+px+q=0,shprehninëpërmjet p;q vlerat e .7. Vërtetoni identitetin:a)b)( ) ( ) cot( ) ( ) cottg x y tg x y gy tgytg x y tg x y gx tgx+ + − +=+ − − +.8. Vërtetoni identitetin:a) sinx·sin(y-z)+siny·sin(z-x)++ sinz · sin(x-y)=0b) sin(x+y) · sin(x-y)+sin(y+z) · sin(y-z)+sin(z+x)sin(z-x)=0.9. Vërtetoni identitetin:a)b) .3.14 Funksionet trigonometrike të dyfishit të kënditNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. sin2x; cos2x.b) Veti. Formulat sin2x=2sinx·cosx; cos2x=cos2x-sin2x.ShkathtësiNë mbarim të orës së mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:• Të nxjerrin formulat për sin2x, cos2x prej formulave të njohura.
    • 83LIBËR PËR MËSUESIT• Të përdorin këto formula për njehsim vlerash të funksioneve trigonometrike; për thjeshtimshprehjesh trigonometrike; për zgjidhje ekuacionesh trigonometrikë të thjeshtë.• Të përdorin këto formula në situata të thjeshta reale.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMateriali i paraqitur në këtë orë mësimi mund dhe duhet të sigurojë një pjesëmarrje aktive tënxënësve në trajtimin e tij.Është domethënës ushtrimi 1, që synon nxjerrjen nga nxënësit me punë të pavarur të formulavepër sin2x, cos2x.Në tekst është dhënë më tej një vërtetim sintetik për këto formula, duke u bazuar në formulat enjohura për sin(x1+x2), cos(x1+x2).Shembulli për vlerën më të madhe të funksionit y=sin2x-cos2x është mirë të shtrohet fillimisht siushtrim para nxënësve.Pasi mësuesi të vërtetojë formulën x2sin =22cos1 x−, është mirë të pozohet problemi analogpër shprehjen e cos2x nëpërmjet cos2x para nxënësve.Po kështu me punë me grupe mund të kërkohet vërtetimi i formulës për tg2x me dy rrugë:a) tg(2x)=tg(x+x)=1tgx tgxtgx tgx+− ⋅;b) tg(2x)=sin 2cos2xx= 2 22sin coscos sinx xx x−=22 222sin coscoscos sincosx xxx xx−.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3, 5, 6/a, b.Ushtrime plotësuese1. Paraqitni më thjesht shprehjet:a) 2sin2xcos2x; b) 4sin4ucos4u;c) cos28x- sin28x; d) 4sin2v cos2v;e)cos2cos sinxx x−; f) cos4a- sin4a;g) (sin2x+cos2x)2.2. Zgjidhni ekuacionet:a) 2siny cosy = 1;b)21- (cosx-sinx) (cosx+sinx) = 0;c) (sinu-cosu)2= 1; d) sin4x = tg2x.3. Për ç’vlerë të ],0[ π∈x merr vlerën më tëmadhe (më të vogël) funksioni:a) y = sin2x – cos2x;b) y = 4sin23x cos23x;c) y = sinx cosx; d) y = (1-sinx cosx)2.4. Shprehnia) tg2a nëpërmjet tga;b) cotg2x nëpërmjet cotgx.5. Trekëndëshi kënddrejtë me hipotenuzë c,njërin kënd të ngushtë e ka x. Për ç’vlerë të xsyprina e trekëndëshit është më e madhja?6. Është dhënë që x∈]90o, 180o[a) Gjeni sin2x, kur sinx =54;b) Gjeni cos2x, kur cosx = -23;c) Gjeni sin2x, kur cosx = -31.
    • 84 / Matematika 11Udhëzime të përgjithshme7. Vërtetoni që për gjithë vlerat e lejuara tëndryshores ka vend barazimi:a)sin 21 cos2αα+= tga;b) tgx + cotgx =x2sin2.8. Zgjidhni ekuacionet:a) 1 – cos2x = 2sinx; b) cos4x + sin2x = 1;c) 1 + cosx = 2cos2x.9. Është dhënë x∈]270o, 360o[.a) Gjeni cosx, kur cos2x =21;b) Gjeni sin2x, kur cosx = +21.10. Në një trekëndësh dybrinjënjëshëmkosinusi i këndit në bazë është53.a) Gjeni kosinusin e këndit në kulm.b) Cili është lloji i trekëndëshit?3.15 Kthimi në prodhim i shumës apo ndryshesës së dy sinuseve apo dykosinuseveNjohuri teorike kryesorea) Veti. Formulat për ba sinsin ± , ba coscos ± .b) Metoda. Zëvendësimi i ndryshores për sjelljen e një shprehjeje në trajtë të përshtatshme.ShkathtësiNë mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:• Të përdorin formulat për ba sinsin ± , ba coscos ± për thjeshtime të shprehjevetrigonometrike dhe për të zgjidhur ekuacione trigonometrike të thjeshta.• T’i përdorin ato për të modeluar situata reale të thjeshta, si p.sh. për mbledhjen e dy lëvizjevelëkundëse harmonike me perioda të ndryshme.Udhëzime për zhvillimin e mësimitParaqitja e materialit në tekst i ka lënë shumë vend vërtetimeve sintetike. Por brendia e këtijmateriali është e tillë që mund (dhe duhet) të sigurojë pjesëmarrjen aktive të nxënësve nështjellimin e tij.Pas nxjerrjes së formulës për cosa+cosb, ku nxënësit njihen me dobinë që paraqet futja endryshoreve të reja x1, x2të tilla që: 1 21 2x x ax x b+ =− =, është mirë që më tej formula për cosa-cosb tënxirret nga nxënësit me punë të pavarur a me grupe.E njëjta linjë të mbahet edhe për nxjerrjen e formulës për sina+sinb.Pas nxjerrjes së formulave, duke mos u kufizuar me shembujt e dhënë në tekst, rekomandohet tëkalohet në zbatime të thjeshta të formulave për shndërrime shprehjesh e zgjidhje ekuacionesh tëthjeshta trigonometrike, duke përdorur këto formula.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3, 6.Ushtrime plotësuese1. Vërtetoni formulat për kthimin në prodhimtë sina + sinb; cosa - cosb duke përdorurformulën për cosa + cosb.2. Zgjidhni ekuacionet:a) sin4x + sin2x = 0;b) sin5x + sin3x = cosx;
    • 85LIBËR PËR MËSUESITc) sin7x – sin5x = sinx;d) cos4x + cos2x = cosx.3. Gjeni vlerën më të madhe të funksionit:a) y = cos(30o-x) + sinx;b) y = sinx + cosx;4. Gjeni periodën, amplitudën dhe pozicioninfillestar në lëkundjen që jepet me formulën:a) y = sin(t+60o) + sint;b) y = cost + cos(t+4π); c) y = cost – sint.5. Ktheni në prodhim:a) 1 + sinx; b)21+ cosx;c) sinx + 2sin2x; d) 1 + 2cosx + cos2x.6. Ktheni në prodhim: cotga+ cotgb.7. Të zgjidhet ekuacioni:a) 0 0sin( 45 ) sin( 45 ) 1x x+ + − =b) .8. Të zgjidhet ekuacioni:a) sin7x+sin3x=sin5x+sinxb) sinx+2sin3x+sin5x=09. Të zgjidhet ekuacioni:a) sin4x+cos4x=b) sin2x+cos2x=sinx+cosx3.16 PërsëritjeSynimi i mësuesit në këtë orë duhet të jetë strukturimi i njohurive kryesore teorike të kreut dhezhvillimi i mëtejshëm i aftësive të fituara gjatë trajtimit të tij.Nxënësit, nën drejtimin dhe me porosi të mësuesit, duhet të bëjnë një punë të konsiderueshmepërgatitore për këtë orë mësimi, duke përmbledhur, sistemuar e hedhur në letër në mënyrësintetike njohuritë teorike kryesore (e jo vetëm formulat).Zhvillimi i mësimit të bëhet me tekst hapur. Pyetjet e shkurtra me karakter teorik që figurojnë nëtë kërkojnë përgjigje individuale nga secili nxënës. Pas tyre ka ushtrime me karakter zbatimesh,duke filluar nga ato më të thjeshtat.Mësuesi, për trajtimin e tyre, duhet të kombinojë punën e pavarur a me grupe të nxënësve mbidisa nga këto zbatime, me punën në tabelë të nxënësve të ndryshëm që zgjidhin të tjera ushtrime.I duhet kushtuar kohë paraqitjes së zgjidhjes së secilit ushtrim (si nga grupi në bankë, ashtu edhenga nxënësi në tabelë) dhe analizës së saj.Mësuesi duhet t’i lërë nxënësit të shprehen, të kontrollojnë përgjigjet që japin, të bëjnëvetëkorrigjimin e gabimeve eventuale; ai duhet të kërkojë argumentimin e gjykimeve tëshprehura.Si ushtrime të nivelit minimal (prioritare në trajtimin me punë të pavarur prej nxënësve) tëkonsiderohen ato me numrat 1/b, c; 2/b, c; 3/b, c; 4/b; 6; 7/b; 11/a, b; 13/b; 14/b; 18/b.Mësuesi nuk duhet të synojë e as të kërkojë zgjidhjen me punë të pavarur (qoftë edhe në shtëpi,pas mësimit) të të gjitha ushtrimeve që figurojnë në tekst, duke u kujdesur të mos shkaktojëmbingarkesë lëndore e të pafrytshme tek nxënësit.Ushtrime plotësuese1. Gjeni me disa mënyra sin510o.2. Zgjidhni me mënyra të ndryshme ekuacionin:a) cosx = sinx; b) sinx = sin2x.3. Zgjidhni ekuacionin:a) sin2x = 1 – sinx cosx;b) tgx + cotgx – 2 = 0;c) 1 – sin2x sinx = cos2x cosx.d) sinx + cos2x = 0; e) 1 – cosx - sin2x= 0;
    • 86 / Matematika 11Udhëzime të përgjithshmef) 1 – cos(3π+x) + sin2x+π= 0.4. Zgjidhni ekuacionet:a)cos1 sinxx−= 0; b)1 sincosxx−= 0;c) sinx.cotgx+1 = 0.5. Vërtetoni që për të gjitha vlerat e lejuara tëndryshores x ka vend barazimi:a)2sin1 cosxx+= 1 – cosx;b) (cosx+sinx) (cosy+siny) = cos(x+y) ++ cos(x-y);c) sin24x – sin22x = sin6x·sin2x;d)1 cossin2tgααα−= .6. Të zgjidhet ekuacioni:a) 2sin5x-sin9x=sinxb) sin(nx)+cos(nx)=sinx+cosx7. Të zgjidhet ekuacioni:a)1 3sin cos sin3 02 2x x x+ + =b) 2 2cos 2 sin 1x x+ =8. Të vërtetohet identiteti:2sin(x+y)·sin(x-y)=cos2y-cos2x9. Të vërtetohet që, nëse x;y;z janë kënde tënjë trekëndëshi, atëherë ka vend barazimi:a)b)10. Të zgjidhet sistemi:a)030cos sin 1x yx y − =+ =b) 0145tgx tgyx y+ =+ =c)3.17 Ushtrime për përsëritjeMateriali i paraqitur për këtë mësim është vendosur pas risistemimit e ristrukturimit të njohurivekryesore teorike të kreut dhe përmban zbatime më komplekse të tyre. Në organizimin e orës sëmësimit, sikurse edhe në orën e mëparshme, mësuesi është mirë të kombinojë punën e pavarur eme grupe të nxënësve mbi disa nga këto zbatime, me zgjidhjen në tabelë nga nxënës të ndryshëmtë disa ushtrimeve të tjera. E rëndësishme është që kjo punë të vlerësohet, të paraqitet e tëdiskutohet pa lejuar rrëmujë në klasë.Si ushtrime të nivelit minimal, të përshtatshme për punë të pavarur a me grupe të nxënësve, tëkonsiderohen ushtrimet me numrat 1, 3, 7, 8, 14, 15.Punimi i ushtrimeve të testit (mësimi 3.18) t’u lihet nxënësve për punë individuale në shtëpi, përtë bërë vetëkontrollin.Përmbledhje për kreun III1. Lidhjet midis këndeve dhe brinjëve në trekëndëshin kënddrejtë:ca=αsin ;cb=αcos ; ;abg =αcot .
    • 87LIBËR PËR MËSUESIT2. Shprehjet për sipërfaqen e trekëndëshit:12bS b h= ⋅ ;12S P r= ⋅ ; ( )( )( )S p p a p b p c= − − − ;1sin2S bc α= ;4abcSR= .3. Këndi qendror e ka masën 1 radian kur harku përkatës e ka gjatësinë sa rrezja e rrethit. 1radian ≈ 57o17’.Lidhja e masës b në radian me masën a të këndit është180oβ απ= .4. Rreth trigonometrik quhet rrethi me qendër në O(0, 0) me rreze 1 dhe me pikë fillimi tëharqeve A(1; 0).5. Vlerat e gjithë harqeve trigonometrike të rrethit trigonometrik jepen nga formula, ku a është masa e njërit prej tyre, kurse k∈Z gëzon dy veti:a) |k| është numri i rrotullimeve të plota të kryera nga M.b) k është pozitiv kur rrotullimet bëhen në kahun antiorar dhe negativ kur ato bëhen në kahunorar.6. Nëse është hark trigonometrik në rrethin trigonometrik dhe x është vlera e tij, atëherëme përkufizim:Myx =sin ; Mxx =cos ; MMytgxx= ; cot MMxgxy= .Kemisincosxtgxx= ;coscotsinxgxx= ;1cot gxtgx= .tgx është ordianta e pikës T, ku drejtëza (OM) pret tangjenten ndaj rrethit trigonometrik,hequr në pikën A.7. Për çdo Rx ∈ kemi:1|sin| ≤x ; 1|cos| ≤x ; sin(-x)=-sinx; cos(-x)=cosx; tg(-x)=-tgx.8. Funksionet y=sinx, y=cosx janë periodikë me periodë π2 .Funksioni y=tgx është periodik me periodë π . Sidoqoftë Zk ∈ kemi:xkx sin)2sin( =⋅+ π ; xkx cos)2cos( =⋅+ π ; .9. Tabelat e variacionit për sinusin dhe kosinusin për ]2,0[ π∈x janë:xsinx00 1 0 -1p2 p02p3p2 xcosx01 0 -1 0p2 p12p3p210. Tabela e variacionit për tangentin për ,2 2xπ π ∈ −  është:xtgx -∞ 0 ∞p2 pp2-11. Për çdo Rx ∈ kemi, sin2x+cos2x=1.Kemi222sin1tg xxtg x=+; 221cos1xtg x=+(2x kππ≠ + ).
    • 88 / Matematika 11Udhëzime të përgjithshme12. Rregulli mnemonik për formulat e reduktimit:a) Formulat e reduktimit për këndet απ ± , απ ±2 nuk e ndryshojnë emrin e funksionit.Për këndet2πα± ,32πα± emri i funksionit ndryshon në ko-funksion.b) Shenja në anën e djathtë të formulës së reduktimit është e njëjtë me shenjën e funksionit qëreduktohet në kuadrantin përkatës, duke e menduar a kënd të ngushtë ( ).13. Për të zgjidhur ekuacionin sinx=a, kur 11 ≤≤− a veprojmë kështu:a) Gjejmë një kënd a që e ka sinusin a ( a=αsin ).b) Të gjitha zgjidhjet e ekuacionit sinx=a jepen nga formulat:α+⋅= okx 360 ose )180(360 α−+⋅= ookx ( Zk ∈ ).14. Për të zgjidhur ekuacionin cosx=b, kur 11 ≤≤− b veprojmë kështu:a) Gjejmë një kënd a që e ka kosinusin të barabartë me b ( b=αcos ).b) Të gjitha zgjidhjet e ekuacionit cosx=b jepen nga formulat:α+⋅= okx 360 ose α−⋅= okx 360 ( Zk ∈ ).15. Për të zgjidhur ekuacionin tgx=c ( Rc ∈ ) veprojmë kështu:a) Gjejmë një kënd α që e ka tangjenten të barabartë me c.b) Të gjitha zgjidhjet e ekuacionit tgx=c jepen nga formula:α+⋅= okx 180 ( Zk ∈ ).16. Për çdo x1, x2nga R kemi:cos(x1-x2)=cosx1·cosx2+sinx1·sinx2; cos(x1+x2)=cosx1·cosx2-sinx1·sinx2;sin(x1+x2)=sinx1·cosx2+cosx1·sinx2; sin(x1-x2)=sinx1·cosx2-cosx1·sinx2.17. Për vlerat e lejuara të x1, x2kemi:tg(x1+x2)= 1 21 21tgx tgxtgx tgx+−.18. Për çdo Rx ∈ kemi:sin2x=2sinx·cosx; cos2x=cos2x-sin2x; x2sin =1 cos22x−; x2cos =1 cos22x+.19. Për çdo a, b nga R kemi:cosa+cosb= 2cos2a b+cos2a b−; cosa-cosb= 2sin2a b+− sin2a b−;sina+sinb= 2sin2a b+cos2a b−; sina-sinb= 2sin2a b−cos2a b+.20. Teorema e sinusit në trekëndëshin çfarëdo:sinaα=sinbβ=sincγ=2R. (R-rrezja e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit).21. Teorema e kosinusit në trekëndëshin çfarëdo:2 2 22 cosa b c bc α= + − .
    • 89LIBËR PËR MËSUESITKREU 4PLANI DHE DREJTËZA NË HAPËSIRËE quajmë të këshillueshme që në fillim të këtij kreu, mësuesi të zhvillojë me nxënësit një bisedëlidhur me përmbajtjen e kursit të gjeometrisë në hapësirë, duke vënë në dukje veçoritë që ai kanë krahasim me gjeometrinë në plan.Në hyrje të këtij kreu në tekst thuhet se “gjeometria në hapësirë studion figurat gjeometrike,pikat e të cilave nuk ndodhen të gjitha në një plan. Kjo do të thotë se pohime të caktuara tëgjeometrisë në plan e ruajnë vërtetësinë e dhe në gjeometrinë në hapësirë. (Teorema e Pitagorës,vetitë e paralelogramit, shuma e këndeve të trekëndëshit etj).Por, nisur nga kjo veçori, që në fillim duhet t’u jepen nxënësve shembuj të tillë figurash të cilattregojnë se të njëjtës pyetje mund t’u jepen përgjigje të ndryshme në gjeometrinë në plan dhegjeometrinë në hapësirë.Disa teorema duhen “plotësuar” madje edhe “ndryshuar”. P.sh.: në gjeometrinë në plan,përcaktohen dy raste të pozicionit të drejtëzave: drejtëzat ose janë paralele, ose priten; ndërsa nëgjeometrinë në hapësirë janë tri pozicione të mundshme të dy drejtëzave. Ato janë ose paralele,ose prerëse ose të kithëta.Akoma edhe një shembull tjetër: në gjeometrinë në plan vërtetohet se ekzistojnë dy drejtëzaparalele më një drejtëz të dhënë dhe që ndodhen në një largesë të caktuar prej saj. Në gjeometrinënë hapësirë është e qartë që ekzistojnë një numër i pafundmë drejtëzash të tilla. (P.sh. të gjithapërftueset e cilindrit janë paralele me boshtin e tij dhe ndodhen në të njëjtën largesë prej tij.)Elementet e para të kreut plani dhe drejtëza në hapësirë nxënësi i njeh që nga shkolla 9 vjeçare.Ky fakt shtron domosdoshmërinë e njohjes së këtij programi nga ana e mësuesit. Kështu nxënësinjihet që në shkollën 9 vjeçare me koncepte apo veti lidhur me pikën, drejtëzën e planin,pozicionin reciprok të tyre (drejtëza paralele, prerëse e të kithëta), plane paralelë, drejtëzaparalele dhe pingule me planin, pingulja dhe e pjerrëta me planin, këndi i drejtëzës më planin,plane pingulë).Në shkollën 9 vjeçare mjaft koncepte e njohuri, janë dhënë në mënyrë empirike e duke u bazuarkryesisht në vëzhgim e përvojë.Objektivi në trajtimin e këtij kreu në shkollën e mesme konsiston në afrimin me sisteminaksiomatik të pranuar në gjeometri. Por theksojmë se programi nuk merr në konsideratë idenëe ndërtimit të plotë aksiomatik të gjeometrisë në hapësirë. Në këtë mënyrë në të gjithë kreun,krahas vërtetimeve deduktive ka edhe përfytyrime apo përfundime induktive. Madje herë-herëedhe teoremat e domosdoshme për ecurinë e lëndës vetëm sa formulohen e nuk vërtetohen.Në ndonjë rast kur mësuesi e konsideron të arsyeshme e të mundshme (në varësi të kohës,nivelit të nxënësve etj) mund të realizojë vërtetimin e tyre duke i trajtuar si ushtrime (me tëgjithë klasën apo me nxënës të veçantë). Nga ana tjetër edhe vërtetimi i ndonjë teoreme, nëqoftë se konsiderohet i vështirë për nxënësit, mund të mos realizohet duke u mjaftuar vetëm meformulimin e sajTheksojmë se qëllimi kryesor i këtij kreu është aftësimi i nxënësve në zgjidhjen e problemeve si
    • 90 / Matematika 11Kreu 4dhe parapërgatitja e tyre për kreun e ardhshëm (shumëfaqëshat dhe trupat e rrumbullakët) dhe jopërfshirja e tyre në një sistem të tërë përkufizimesh, aksiomash e teoremash që vetëm sa mundta “hutojnë “ nxënësin.Është e udhës që mësuesi që në mësimet e para t’i njohë nxënësit me specifikën e trajtimit tëgjeometrisë në hapësirë.Në gjeometrinë në hapësirë, figura paraqet raportet hapësinore në një pamje të caktuar dhemundësia për ta plotësuar atë është shumë më e kufizuar se sa në gjeometrinë në plan. Madjevetë plotësimi i figurës mundëson zhvillimin e imagjinatës hapësinore sepse kërkon përfytyrimeparaprake mjaft të qarta të figurave të paraqitura.Vëmë në dukje dhe një veçori tjetër të gjeometrisë në hapësirë. Rolin e madh të modeleve.Vështirësitë e lidhura me përfytyrimet e pamjaftueshme hapësinore, na detyrojnë në një farëmase përdorimin e mjeteve vizuale. Është i njohur roli i madh i modeleve, por nga ana tjetërmësuesi nuk duhet të udhëhiqet nga ideja e përdorimit të tepruar të tyre. Në këtë drejtim duhetinkurajuar ndërtimi i modeleve nga vetë nxënësit.Duke mos ulur rolin e modeleve theksojmë rolin e madh të figurës.Përvoja tregon se ndeshemi jo rrallë me dukurinë e mospërfilljes nga ana e mësuesve të ndërtimittë figurës. Pasioni për modelet nuk duhet të përligjet me cilësinë e dobët të figurës. Kjo na bën qët’i japim preferencë një modeli të mirë në krahasim me një figurë të keqe.Nga ana tjetër një figurë e ndërtuar mirë është një mjet tepër i vlefshëm, ndërsa ndërtimi ifigurave të mira nga ana e nxënësve, në fakt është një ushtrim që u jepet atyre, i cili ndikon nëpërvetësimin më të mirë të lëndës. Çdo mësues, i cili e ndjek mirë këtë aspekt dhe i kushtonfigurës vëmendje maksimale, ai vetë e ngre mësimdhënien në një nivel më të lartë.4.1 Drejtëzat dhe planetNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Pika, drejtëza, plani.b) Veti. Aksiomat e planit.c) Metoda. Vëzhgim, demonstrim, përgjithësim, formulim.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:- Të formulojnë saktë tri aksiomat e planit.- Të ndërtojnë plane që kanë një drejtëz të përbashkët.- Të japin shembuj të përdorimit të aksiomave në praktikë. (P.sh. të verifikojnë me anën evizores nëse një sipërfaqe është apo jo plan etj.)Udhëzime për zhvillimin e mësimitAshtu si edhe në gjeometrinë në plan, në gjeometrinë në hapësirë përcaktohen objektet themeloretë saj: pika, drejtëza, plani, të cilat nuk përkufizohen. Fakti që me këto objekte nxënësit njihen qënë shkollën 9 vjeçare, e lehtëson punën e mësuesit.Duke u mbështetur në trupa të njohur gjeometrikë (kubi, kuboidi) si edhe në mjedisin e klasës,jepen shembuj pikash, drejtëzash dhe planesh. Në mënyrë të veçantë insistohet në vetitë e tyre,të cilat shprehen me anën e aksiomave.Mbi bazën e pyetjeve të mirëmenduara, mësuesi duhet të ngulë këmbë në aktivizimin e nxënësveqë mundësisht të formulohet prej tyre aksioma e parë. Në qoftë se dy pika të një drejtëze
    • 91LIBËR PËR MËSUESITndodhen në një plan, atëherë të gjitha pikat e saj ndodhen në këtë plan.Lidhur me këtë aksiomë, veç shembullit të tekstit, u tregohet nxënësve se si nëpërmjet sajshpjegohen disa metoda pune në veprimtarinë praktike të njerëzve.Kështu marangozi, kur ndërton një tryezë të sheshtë, interesohet që sipërfaqja e saj të jetë plan.Për këtë qëllim ai përdor një vizore të drejtë (të kontrolluar). Kontrolli realizohet në këtë mënyrë:Ai e mbështet vizoren mbi tavolinë dhe sheh nëse depërton drita ndërmjet saj dhe tavolinës.Nëse drita depërton, rezulton që tavolina nuk është e sheshtë. Pas kësaj u propozohet nxënësveqë të gjejnë shembuj trupash, drejtëzat e të cilave kanë dy pika të përbashkëta me planin dhe qështrihen në plan.Aksioma e dytë. Në qoftë se dy plane kanë një pikë të përbashkët, atëherë ato priten sipasnjë drejtëze që kalon nga kjo pikë.Veç shembullit të tekstit ajo mund të ilustrohet edhe me shembuj të tjerë. Dyshemeja dhe murianësor kanë një pikë të përbashkët (në dysheme). Atëherë ato kanë një drejtëz të përbashkët qëështë drejtëza sipas të cilës priten dyshemeja me murin anësor. Po kështu në qoftë se marrimdy drejtkëndësha prej kartoni dhe i vendosim në mënyrë të tillë që njeri prej tyre të ketë vetëmnjë kulm në planin e drejtkëndëshit tjetër, atëherë duke i konsideruar drejtkëndëshat si pjesëplanesh, arrihet në përfundimin se ato kanë një drejtëz të përbashkët, e cila kalon nga kjo pikë.Theksojmë se ky shembull duhet trajtuar me shumë kujdes sepse jo të gjithë nxënësit menjëherëarrijnë në përfytyrimin se planet kanë një drejtëz të përbashkët.Është e këshillueshme që në këtë rast nxënësit të arrijnë në njëvlershmërinë e dy gjykimeve:1) Planet priten;2) Planet kanë një drejtëz të përbashkët dhe nuk kanë asnjë pikë tjetër të përbashkëtjashtë kësaj drejtëze.Që këtej mund të arrihet në këtë përkufizim: Bashkësia e pikave të përbashkëta të dy planeveqë priten është drejtëza e ndërprerjes së tyre.Përmbajtja e aksiomës së tretë, nëpër tri pika që nuk ndodhen në një drejtëz kalon një dhevetëm një plan, mund të ilustrohet me shembullin e tekstit.Bazuar në këtë aksiomë, realizohet pozicioni horizontal i disa instrumenteve matës (teodoliti).Ato kanë tri këmbë të cilat zgjaten ose shkurtohen. Në këtë mënyrë ato përcaktojnë një plan dhearrihet krijimi i pozicionit të duhur horizontal.Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1, 2, 3, dhe 4.Ushtrime plotësuese1. Në Fig. 4.1 jepet kubi ABCDMNPQ. (Ushtrimi zgjidhet mëlehtë në qoftë se disponohet një model kubi me tela.)a) Cila është drejtëza e përbashkët e faqes së sipërme dhefaqes së majtë të kubit?b) Ku ndodhen pikat e përbashkëta të faqes së poshtme dhefaqes ballore të kubit?c) Cilat faqe i takojnë brinjës së poshtme të djathtë tëkubit?ç) Cilave faqe u përket pika e marrë prapa në brinjën e majtëtë kubit?d) Sa faqeve u përket secila brinjë e kubit? Secila pikë emarrë në brinjën e kubit?Fig. 4.1A BCPQMDN
    • 92 / Matematika 11Kreu 4dh) Sa faqeve u përkasin të gjitha brinjët e kubit? Të gjithë kulmet e kubit?P. [d) Në përgjithësi dy, por në qoftë se pika është skaj i brinjës edhe tri]2. Ç’mund të thuhet për pozicionin reciprok të dy drejtëzave në hapësirë, në qoftë se ato kanëdy pika të përbashkëta?3. A është e mundur që dy drejtëza në hapësirë të kenë më shumë se një pikë të përbashkët?4. Në cilin rast tri pika të hapësirës nuk përcaktojnë një plan të vetëm që i përmban ato?5. A është e mundur që dy plane të ndryshëm të kenë vetëm një pikë të përbashkët? Vetëm dypika të përbashkëta? Tri pika të përbashkëta?6. Kulmet A, B, C dhe D të katërkëndëshit ABCD ndodhen në planin α. Ç’mund të thuhet përbrinjët dhe diagonalet e këtij katërkëndëshi në lidhje me planin α?7. Pika M ndodhet në zgjatimin e brinjës AB të paralelogramit ABCD. Të vërtetohet se pikat M,C dhe D ndodhen në një plan.4.2 Rrjedhime nga aksiomatNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Mënyrat e përcaktimit të planit.b) Veti. Plani përcaktohet në mënyrë të vetme nga:1) Një drejtëz dhe një pikë jashtë saj.2) Dy drejtëza paralele.3) Dy drejtëza prerëse.c) Metoda. Vërtetim i teoremave përkatëse.ShkathtësiNë përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:- Të përdorin saktë lidhëzat logjike “ose”; “dhe”; “sjell”; “në qoftë se-atëherë” etj.- Të zbatojnë aksiomat dhe teoremat për zgjidhjen e problemeve dhe vërtetimin e pohimeve(teoremave) të thjeshta.Udhëzime për zhvillimin e mësimitTë tri teoremat kanë formulime të ngjashme: ekzistencën e planit dhe unicitetin e tij: “Ekzistonnjë dhe vetëm një plan…”. Një trajtimi i mundshëm i mësimit është:1) Mësuesi shkruan në tabelë kushtin dhe përfundimin e teoremës.2) Mësuesi vërteton teoremën e parë duke bërë në tabelë ndërtimet përkatëse. Në ndonjë rastmund të rekomandohet që nxënësit të shkruajnë në fletore.Në vërtetimin e teoremës 2, në tekst disa përfundime shoqërohen me pyetjen pse? Ështëe domosdoshme që përgjigja e tyre të realizohet detyrimisht dhe duke nxitur të menduarit enxënësve për të dhënë përgjigje.Po japim një shembull se si mund të realizohet skematikisht shtjellimi i teoremës 2.Kushti: Jepen drejtëza d dhe pika C jashtë saj
    • 93LIBËR PËR MËSUESITPërfundimi: Të vërtetohet se: a) Nëpër d dhe C mund të ndërtohet një plan α;b) Plani α është i vetëm.Vërtetimi- Shënojmë A dhe B dy pika në d.- Nëpër A, B dhe C kalon një plan α. (Aksioma 3)- α kalon nga d dhe C. (Aksioma 1)- Plani që kalon nga d dhe C duhet të kalojë nga A, B dhe C.- Nëpër A,B dhe C kalon një plan i vetëm. (Aksioma 3)- α është plani i vetëm që kalon nga d dhe C.Në mënyrë analoge mund të veprohet edhe për teorema të tjera.Është e udhës të jepen disa shembuj që tregojnë se si bazuar në këto teorema shpjegohen disamënyra të veprimtarisë praktike të njerëzve. P.sh. të gjithë e dimë se një trekëndësh prej plastmasi,prej druri, apo metalik, i vendosur me një nga anët e tij në dysheme, dhe me kulmin përballë tekmuri anësor, është në pozicion të qëndrueshëm. (Teorema 1)Po kështu kujtojmë se për të ndërtuar një gardh me hunj prej druri, kërkohet që ai të jetë vertikaldhe me formë të sheshtë. Për këtë ndërmjet dy hunjve të ngulur vertikalisht në tokë, vendosimdy dërrasa paralele njëra me tjetrën, dhe pastaj hunjtë që formojnë gardhin mbështeten tekdërrasa.Rrjedhimi i tretë përdoret edhe për t’i dhënë hartave apo pllakateve të ndryshme formë të sheshtë(plan). Për këtë arsye në pjesën e sipërme dhe të poshtme të hartës, fiksohen dy listela druriparalele me njëra-tjetrën. Duke u varur ato në mur, pesha e tyre bën që listelat të largohen nganjera tjetra dhe harta merr një pozicion të qëndrueshëm, atë të planit.Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1, 2, 3 e 6.Ushtrime plotësuese1. Të vërtetohet se trekëndëshi është figurë plane.2. Në Fig. 4.2 jepen tri drejtëza a, b dhe c. A ndodhen këto drejtëza në një plan? P. [po]bCaFig. 4.2AM2M1d1d2N1N2Fig. 4.3 Fig. 4.4SABCM3. Në Fig. 4.3 drejtëzat d1dhe d2priten në pikën A. Pikat M1dhe N1ndodhen në d1, ndërsapikat M2dhe N2ndodhen në d2. Ç’mund të thuhet për drejtëzat M1M2dhe N1N2?P. [ Ndodhen në një plan, pra janë ose paralele ose prerëse]4. Verifikoni saktësinë e pohimeve të mëposhtme:a) Në qoftë se segmentet AB dhe CD janë të barabartë, atëherë pika D ndodhet në planin ABC. P. [ jo]
    • 94 / Matematika 11Kreu 4b) Planet ABC dhe BCA puthiten. P. [ po]c) Në qoftë se pika A ndodhet në planin α dhe pika B ndodhet në planin β, atëherë planet αdhe β, priten sipas drejtëzës AB. P. [ jo]ç) Në qoftë se trekëndëshat ABC dhe AMP kanë vetëm pikën A të përbashkët, atëherë planetABC dhe AMP kanë vetëm pikën A të përbashkët. P. [jo]d) Në qoftë se drejtëzat AB dhe CD priten në pikën M, atëherë planet AMD dhe ABCputhiten. P. [ po]5. Në Fig. 4.4 jepet katërfaqëshi SABC, të gjitha brinjët e të cilit janë të barabarta me a. Pika Mështë mesi i brinjës BC. Të gjendet sipërfaqja e vijëzuar. 2aP. [ ]24.3 Pozicioni reciprok i dy drejtëzave në hapësirëNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Drejtëza paralele, drejtëza prerëse, drejtëza të kithëta.b) Veti. Lidhur me pozicionin reciprok të dy drejtëzave në hapësirë ekzistojnë këto mundësi.1) Drejtëzat d1dhe d2ndodhen në një plan. Në këtë rast:a) Drejtëzat kanë një pikë të përbashkët. Ato janë prerëse.b) Ato nuk kanë asnjë pikë të përbashkët. Ato janë paralele.2) Drejtëzat d1dhe d2nuk ndodhen në një plan (rrjedhimisht nuk kanë asnjë pikë të përbashkët).Ato janë të kithëta.c) Metoda. Vëzhgimi, klasifikimi, përkufizimi.ShkathtësiNë përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:- Të dallojnë pozicionet e mundshme reciproke ndërmjet dy drejtëzave në hapësirë (paralele,prerëse, të kithëta) në modele të paraqitur, në mjedisin rrethues apo në figura në ndërtuara nëtabelën e zezë.- Të ndërtojnë vetë modele për raste të ndryshme të pozicionit reciprok të dy drejtëzave nëhapësirë.- T’i përdorin këto njohuri në zgjidhjen e problemeve.Udhëzime për zhvillimin e mësimitFillimisht rekomandohet të jepen disa ushtrime përgatitore (p.sh.bazuar në figurën e një kuboidi apo në një model kuboidi me tela).(Fig. 4.5)Mund të ndërtohen pyetje të tilla:1. Cilat brinjë të kuboidit ndodhen në një plan me brinjën CD?2. Cili është pozicioni reciprok i këtyre brinjëve në lidhje me CD?3. Cilat janë pozicionet e mundshme të dy drejtëzave në një plan?4. A është e mundur të ndërtohet një plan nëpër brinjët DC dhe AA1?A BCA1D1B1C1DFig. 4.5
    • 95LIBËR PËR MËSUESITPasiiështëdhënëpërgjigjekëtyrepyetjeve,bashkëmeshpjegimetpërkatësediletnëpërkufizimin:Drejtëzat që nuk ndodhen në një plan quhet të kithëta. (Me fjalë të tjera drejtëza të kithëtaquhen drejtëzat, nëpër të cilat nuk mund të ndërtohet një plan).Duhet ngulur këmbë në faktin që përfundimi për pamundësinë e ndërtimit të planit që kalonnëpër brinjët CD dhe AA1është hipotetik. Programi nuk e përfshin vërtetimin e tij.Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1, 4, 5 e 6.Ushtrime plotësuese1. Jepet drejtëza d. Sa drejtëza paralele me të dhe në largesë a prej saj mund të ndërtohen?P. [numër i pafundëm]2. Cili mund të jetë pozicioni reciprok i dy drejtëzave d1dhe d2, të cilat e presin planin αpërkatësisht në pikat A dhe B? (Fig. 4.6).P. [paralele, ose prerëse ose të kithëta]3. Në fig. 4.7 MN është drejtëza sipas të cilës priten planet α dhe β. Pika A ndodhet në planinα dhe pika B ndodhet në planin β. (Pikat A dhe B nuk ndodhen në drejtëzën MN sipas të cilëspriten planet α dhe β).Cili është pozicioni reciprok i drejtëzave AB dhe MN? P. [të kithëta]Fig. 4.7βMABNd1d2αFig. 4.64. Në Fig. 4.8 jepet kuboidi ABCDMNPQ. Të vërtetohet se diagonalet AC dhe BD janë paralele.A BCPQMDNFig. 4.8 Fig. 4.9SABNPCM Q5. Në Fig. 4.9 jepet katërfaqëshi SABC, të gjitha brinjët e të cilit janë të barabarta me a. Shënojmëme M, N, P dhe Q, përkatësisht meset e brinjëve SA, AB ,BC dhe SC. Cila është natyra ekatërkëndëshit MNPQ? P. [romb]
    • 96 / Matematika 11Kreu 44.4 Pingulja dhe e pjerrëta me planinNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Drejtëz pingule me planin; drejtëz e pjerrët me planin; projeksion i të pjerrëtës meplanin; largesa e pikës nga plani; këndi i të pjerrëtës me planin.b) Veti- Drejtëza pingule me dy drejtëza të planit që kalojnë nga pika e ndërprerjes është pingule meçdo drejtëz të planit që kalon nga kjo pikë.- Gjatësia e pingules me planin është më e vogël se gjatësia e çdo të pjerrëte të hequr nga ajopikë mbi atë plan.- Të pjerrëtat e barabarta kanë projeksione të barabarta dhe anasjellas.Metoda: Vëzhgim, konkretizim, formulim, vërtetimShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:- Të provojnë nëse një drejtëz është apo jo pingule me një plan.- Të gjejnë projeksionin e të pjerrëtës me planin.- Të gjejnë largesën e një pike nga një plan.- Të zbatojnë në probleme marrëdhëniet ndërmjet të pjerrëtave dhe projeksioneve të tyre.Udhëzime për zhvillimin e mësimitPothuaj të gjithë nxënësit kanë një përfytyrim intuitiv lidhur me drejtëzën pingule me një plan.Ata mund të japin mjaft shembuj nga mjedisi rrethues të drejtëzës pingule me planin. (P.sh.këmba e tavolinës është pingule me planin e dyshemesë; drejtëza ku priten dy faqet anësore tëmureve të klasës është pingule me dyshemenë etj.Por vëmë në dukje se, si rregull ato dallojnë vetëm rastet e veçanta, kur plani ndaj të cilit ndërtohetpingulja është plani horizontal. Nxënësit e kanë më të vështirë të gjejnë drejtëza pingule memuret anësore të klasës, me faqet anësore të kuboidit etj.Prandaj në këtë rast mësuesi duhet të kërkojë nga nxënësit, gjetjen e drejtëzës pingule me njëplan, kur ky merr pozicione të ndryshme.Kalimi nga përfytyrimi intuitiv lidhur me pingultinë e drejtëzës me planin, në konceptin e saktëmatematik mund ta realizojmë siç është shtjelluar në tekst, pra nëpërmjet konkretizimit.Në këtë mënyrë mund të inkurajohen nxënësit ta formulojnë vetë përkufizimin e drejtëzëspingule me planin.Teorema e ekzistencës së drejtëzës pingule me planin, nuk vërtetohet, ajo vetëm sa formulohet.Por këtu duhet ngulur këmbë në të kuptuarit e raportit ndërmjet përkufizimit dhe teoremës, sepsenë mjaft raste ato ngatërrohen dhe përdoren në vend të njëra-tjetrës. Si përfundim pingultia edrejtëzës me planin rrjedh nga fakti i pingultisë së kësaj drejtëze me dy drejtëza të planit,të cilat kalojnë nga pika e prerjes.Zbatime praktike të kësaj teoreme, mund të gjenden mjaft. P.sh. për të vendosur një fidan pemenë pozicionin vertikal mbi një sipërfaqe të sheshtë, mjafton të marrim dy trekëndësha vizatimi,të cilët me njërin katet të mbështeten në tokë dhe me tjetrin të mbështeten tek pema. (Fig. 4.10)Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1, 2 e 3.
    • 97LIBËR PËR MËSUESITFig. 4. 11M NQDPCBAFig. 4.10Ushtrime plotësuese1. Sa brinjë të kubit, pingule me brinjën AB të tij kalojnë nga pika A?2. A është e mundur që një drejtëz d, e cila e pret planin α në pikën A dhe nuk është pingule metë, të jetë pingule:a) Vetëm me një drejtëz të planit? P. [po]b) Me dy drejtëza të planit që kalojnë nga pika A? P. [ jo]3. Në fig. 4.11 jepet kuboidi ABCDMNPQ në të cilin AB = 3 cm; AD= 3 cm dheAM= 2 cm. Të gjendet këndi që diagonalja BQ formon me planin e bazës. P.[ 300]4. Nga pika A janë ndërtuar pingulja AO me planin α dhe dy të pjerrëta të barabarta AB dheAC.(Fig.4.12)Projeksionetetyrenëplaninαformojnëkëndtëdrejtë.JepetAO=bdheAB=AC=a.Çfarë lidhje ekziston ndërmjet a dhe b në mënyrë që trekëndëshi ABC të jetë barabrinjës? P. [ a=b 2]Fig. 4.13A BCPQMDNEABαOCFig.4.125. Në fig. 4.13 ABCDMNPQ është kub me brinjë a. Pika E është mesi i brinjës NB. Të gjendetsipërfaqja e trekëndëshit MEP.
    • 98 / Matematika 11Kreu 4P. [2a 64]6. Nga pikaA, e cila ndodhet në largesë a nga plani α, është ndërtuar pinguljaAO dhe të pjerrëtatAB dhe AC. AB formon me AO këndin 450dhe AC formon me AO këndin 600. Duke ditur seAB⊥AC, të gjendet largesa ndërmjet pikave B dhe C. P. [ a 6]7. Brinja AD e rombit ABCD ndodhet në planin α, ndërsa brinja përballë DC ndodhet në largesëa nga plani α. Këndi i ngushtë i rombit është 600. Dy brinjët e tjera të rombit formojnë me planinα këndin 450. Të gjendet sipërfaqja e katërkëndëshit, i cili është projeksion i rombit ABCD nëplanin α. P. [a2]4.5 Teorema e tri pinguleveNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Drejtëz pingule me planin; drejtëz e pjerrët me planin; projeksion i të pjerrëtësme planin; drejtëza pingule.b) Veti. Teorema e drejtpërdrejtë dhe e anasjellë e tri pinguleve.c) Metoda. Vërtetimi i teoremës së drejtpërdrejtë; Përdorimi i teoremës së tri pinguleve nëzgjidhjen e problemeve; Teorema e anasjellë iu lihet nxënësve si punë e pavarur. Zgjidhja eproblemeve shembuj, ku gjen zbatim teorema e tri pinguleve.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:- Të formulojnë teoremën e drejtpërdrejtë dhe të anasjellë të tri pinguleve.- T’i zbatojnë këtë teorema në zgjidhjen e problemeve.Udhëzime për zhvillimin e mësimitËshtë i njohur fakti që një numër tepër i madh problemesh të gjeometrisë në hapësirë, zgjidhenduke u bazuar në teoremën e tri pinguleve. Ky fakt shtron domosdoshmërinë e përvetësimit tësaktë të saj, dhe sidomos të përdorimit të saj në zgjidhjen e problemeve.Përvoja tregon se nxënësit nuk e kanë të lehtë të përfytyrojnë në mënyrë vizuale të pjerrëtënndaj planit dhe njëkohësisht drejtëzën e planit e cila është pingule me këtë të pjerrët. Nga kyfakt rezulton që në shumë raste, përvetësimi i teoremës realizohet formalisht dhe nxënësit nukdallojnë zbatimin e saj në probleme të ndryshme. Është kjo arsyeja që mësuesi duhet t’i kushtojëvëmendje të veçantë vërtetimit të saj (duke nisur që nga ndërtimi i figurës). Mirë do të ishte qëtë krijohej një model me tela për ilustrimin e saj.Vërtetimi i teoremën është relativisht i thjeshtë dhe përvetësohet nga nxënësit.Duhet përqendruar vëmendja e nxënësve në faktin që drejtëza b, pingule me projeksionin e tëpjerrëtës është drejtëz e planit α. Në qoftë se ajo nuk është drejtëz e planit α, nuk është pinguleme të pjerrëtën.Teorema e anasjellë mund të trajtohet si ushtrim, ose t’u jepet vetëm disa nxënësve si punë epavarur.Kujdes i veçantë i duhet kushtuar shembujve të zgjidhur ku nxënësit të gjejnë modelin e
    • 99LIBËR PËR MËSUESITteoremës.Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë numrat 1, 3 dhe 4Ushtrime plotësuese1. Në fig. 4.14, OB është pingule me planin e qarkut me rreze OA= 3 cm. AC është tangente merrethin në pikën A dhe AC= 2 cm. Të gjendet BC. P. [ 7 cm]OBACFig. 4.14BMCA H BFig. 4.15 Fig. 4.16ABFSCO2. Në Fig. 4.15 jepet MC⊥(ABC); CA⊥CB; MH⊥AB dhe AH=HB. Të gjendet këndi ∠CAB. P. [ 450]3. Në Fig. 4.16, SABC është piramidë trekëndëshe e rregullt. Jepet ∠SFO=450.Të gjendet raporti ABCBSCSS. 3 2P. [ ]24. Brinjët e një trekëndëshi janë 15cm; 37cm dhe 44 cm. Në kulmin e këndit më të madh,ndërtohet pingulja më planin e trekëndëshit me gjatësi 16 cm. Të gjenden largesat e skajeve tëkësaj pinguleje nga brinja më e madhe e trekëndëshit. P. [ 12cm; 20 cm]5. Në planin α merren dy pika A dhe B. Nga këto pika, në njërën anë të planit α, ndërtohenpingulet me këtë plan dhe në to merren pikat M dhe N të tilla që AM= m dhe BN= n. Tëvërtetohet se drejtëzat AN dhe BM priten dhe të gjendet largesa e pikës së prerjes së tyre ngaplani α. ⋅m nP. [ ]m+n4.6 UshtrimeNë këtë orë mësimi, synimi i mësuesit është përpunimi i njohurive të mësimeve të mëparshme.Këtu, para se të zgjidhen të dy ushtrimet e tekstit ( ose ndonjë ushtrim tjetër i menduar ngamësuesi), duhet ngulur këmbë në përsëritjen që duhet bërë për konceptet themelore të trajtuaraderi në këtë kohë. Madje rekomandohet që në orën e mëparshme nxënësit të njoftohen për tëpërsëritur këto mësime në shtëpi. Para se të fillojë zgjidhja e problemave, mësuesi rikujton këtokoncepte. (Sigurisht nëpërmjet pjesëmarrjes së nxënësve).
    • 100 / Matematika 11Kreu 4Njëkohësisht mësuesi trajton dy teoremat e tekstit të cilat janë dhënë pa vërtetim dhe që janë tëdomosdoshme për zgjidhjen e problemave.Gjatë zgjidhjes së problemave mund të punohet me grupe të ndryshme nxënësish, disa duke izgjidhur në tabelë, e disa në fletore.Është e këshillueshme që ushtrimet më tipikë të diskutohen me të gjithë nxënësit.Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ato me numër 3, 5 e 6.Ushtrime plotësuese1. Brinja e trekëndëshit barabrinjës është a. Të gjendet largesa e planit të trekëndëshit nga njëpikë e cila ndodhet në largesë b nga secili kulm i trekëndëshit. −22 aP. [ b ]32. Në planin α ndodhet rombi ABCD me brinjë a dhe kënd të ngushtë 300. Nga kulmi i këndit tëgjerë B, ndërtohet pingulja BM me planin e tij dhe në të merret pika M e tillë qëa 3BM= .2Tëgjendet largesa e pikës M nga brinjët e rombit. a 3P. [ ;a]23. Në Fig. 4.17 jepet prizmi i rregullt trekëndor me brinjë të bazës 2 cm. Sipërfaqja e vijëzuarështë cm2. Të gjendet këndi që PE formon me planin e bazës ku E është mesi i AB.P. [ 450]AEBCMNPSFig. 4.17OABCSFig. 4.18 Fig. 4.19OAEBCS4. Nga qendra O e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit ABC ngrihet pingulja me planin e tij.(Fig. 4.18). Jepet AB=BC=AC=OS = 6 cm. Të gjendet këndi që formojnë brinjët SA, SB dheSC me planin e bazës. P. [ 600]5. Në Fig. 4.19, ABC është trekëndësh dybrinjënjëshëm me bazë AB=6 cm dhe lartësiEC= 9 cm. Pika S është e baraslarguar nga kulmet e këtij trekëndëshi dhe në largesë SO= 12 cmnga plani i trekëndëshit. Të gjendet largesa e pikës S nga brinjët e trekëndëshit.P. [4 10 cm]
    • 101LIBËR PËR MËSUESIT4.7 Drejtëza paralele me planinNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Përkufizimi i drejtëzës paralele me planin. Ekzistenca e drejtëzës paralele meplanin.b) Veti. Teoremat 1 dhe 2 për drejtëzën paralele me planin.c) Metoda. Vërtetimi i të dy teoremave. Në teoremën e parë realizohet vërtetimi dhe më pasbëhet formulimi. Është mirë që formulimi i saj mundësisht të dalë nga vetë nxënësit. Teoremae dytë formulohet e më pas vërtetohet.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:- Të formulojnë teoremat 1 dhe 2 lidhur me drejtëzën paralele me planin.- Të përdorin përfundimet e këtyre teoremave në zgjidhjen e problemave.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMësuesi u kujton nxënësve, se duke u bazuar në modelin e kuboidit ata kanë presupozuarekzistencën e drejtëzave të cilat nuk kanë pika të përbashkëta me një plan. Drejtëza të tilla iquajmë paralele me planin.Për t’u bindur në vërtetësinë e një supozimi të tillë, duhet vërtetuar ekzistenca e tyre. Kjorealizohet me anën e teoremës 1.Fillimisht jepet përkufizimi: Drejtëza d dhe plani α quhen paralelë në qoftë se nuk kanëasnjë pikë të përbashkët. Pas kësaj vërtetohet teorema.Metoda e përdorur në tekst (ku fillimisht kryhen arsyetimet dhe veprimet), e më pas bëhetformulimi rekomandohet të përdoret herë pas here. Veprohet kështu, sepse në mënyrë tënatyrshme teorema fillimisht është vërtetuar e më pas, duke vëzhguar ecurinë e përdorur janëvendosur kushtet përkatëse.Ushtrimi 1 mund të zgjidhet në tabelë nga një nxënës, ndërsa ushtrimi 2 mund e duhet zgjidhurnga mësuesi (sigurisht me pjesëmarrjen e nxënësve).Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ato me numër 1, 2, 4 dhe 5.Ushtrime plotësuese1. Brinja e bazës e një prizmi trekëndësh të rregullt është a dhe brinja anësore e tij është b. Tëgjendet sipërfaqja e prerjes që kalon nga njëra brinjë anësore e prizmit dhe nga boshti i tij. ab 3P. [ ]22. Brinjët e përkundrejta të një rombi ndodhen në dy plane paralelë me largesë 16 cm nga njeritjetri. Projeksionet e diagonaleve të rombit në njërin plan janë 32 cm dhe 8 cm. Të gjendet brinjae rombit. P. [20 cm]3. Në Fig. 4. 20 jepet prizmi gjashtëkëndësh i rregullt me brinjë të bazës 3 cm dhe brinjë anësore13 cm. Të gjendet sipërfaqja e vijëzuar. P. [ 2a2]
    • 102 / Matematika 11Kreu 4Fig. 4.20AαE CDBFig. 4.21 Fig. 4.22α CA1A BB14. Në Fig. 4.21, ABCDE është pesëkëndësh i rregullt. Brinja AB e tij ndodhet në planin α,ndërsa kulmet e tjerë ndodhen jashtë planit α. Të vërtetohet se EC//α.5. Në Fig. 4.22, ABC është trekëndësh kënddrejtë ( ∠C=900). Pika C ndodhet në planin α dheAB//α. Projeksionet e kateteve të trekëndëshit në planin α janë përkatësisht A1C=3 dm dheB1C= dm. Largesa e hipotenuzës nga plani α është 1 dm.Të gjendet projeksioniA1B1i hipotenuzësAB në planin α. P. [ 6 cm]6. Brinja AD e rombit ABCD ndodhet në planin α, ndërsa brinja përballë BC ndodhet në largesëa nga plani α. Këndi i ngushtë i rombit është 600. Dy brinjët e tjera të rombit formojnë me planinα këndin 450. Të gjendet sipërfaqja e katërkëndëshit, i cili është projeksion i rombit ABCD nëplanin α. P. [ a2]4.8 Plane paralelëNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Plane paralele. Teorema e ekzistencës e planeve paralelë. Largesa e drejtëzësnga plani paralel me të. Largesa ndërmjet dy planeve paralele.b) Veti. Planet pingule me një drejtëz janë paralelë (Teorema 1). Ndërprerja e dy planeveparalelë me një plan të tretë. (Teorema 2).c) Metoda. Përkufizimi i planeve paralelë; Formulimi dhe vërtetimi i teoremës. Zgjidhja eshembujve.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:- Të formulojnë dy teoremat e planeve paralele.- Të japin përkufizimin e largesës së drejtëzës nga plani paralel me të dhe të largesës ndërmjet dy planeve paralele.- Të përdorin përkufizimet dhe teoremat në zgjidhjen e problemave.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMësuesi u kujton nxënësve (edhe nëpërmjet modeleve) disa situata lidhur me pozicionin reciprok
    • 103LIBËR PËR MËSUESITtë planeve, të cilat njihen nga nxënësit më parë, por që është e domosdoshme të sistemohen.1) Nisur nga aksioma e tretë, rezulton se planet, të cilët kanë tri pika të përbashkëta që nukndodhen në një drejtëz puthiten.2) Planet prerësDy plane quhen prerës, në qoftë se kanë një dhe vetëm një drejtëz të përbashkët. Nisur ngaaksioma e dytë e planit, në qoftë se dy plane kanë një pikë të përbashkët, atëherë ato kanëedhe një drejtëz të përbashkët e cila kalon nga kjo pikë.3) Pas kësaj kalohet në përkufizimin e planeve paralelë. (Dy plane quhen paralelë nëqoftë se nuk kanë asnjë pikë të përbashkët) dhe më pas vërtetohen teoremat 1 dhe 2. Gjatëvërtetimit të teoremës 1 duhet bërë diskutim me nxënësit lidhur me pyetjet që shtrohen gjatëkëtij vërtetimi (p.sh. pse d ⊥α⇒ d ⊥a dhe ⇒ d ⊥b)?Siç është vënë në dukje edhe në mësimet e mëparshme, vërtetimi i teoremës duhet shoqëruar meshënimet përkatëse në tabelë.Më pas jepen përkufizimet për largesën e drejtëzës nga plani paralel me të dhe të largesësndërmjet dy planeve paralelë. Të dy këta largesa është e udhës të konkretizohen në modele(kubi, klasa etj).Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ato me numër 1, 3 dhe 5.Ushtrime plotësuese1. Të vërtetohet se të gjitha drejtëzat, paralele me një plan të dhënë, e që kalojnë nga e njëjtapikë, ndodhen në planin paralel me planin e dhënë që kalon nga ajo pikë.2. Gjykoni vërtetësinë e pohimeve:a) Dy drejtëza paralele me të njëjtin plan, janë paralele ndërmjet tyre.b) Dy plane paralelë me të njëjtën drejtëz, janë paralelë ndërmjet tyre.[ Të dy pohimet janë të gabuar. Të jepen kundërshembuj nga modeli i kuboidit)3. Në fig. 4.23 jepet α//β. Plani γ pret planet α dhe β sipas drejtëzave d1dhe d2. Plani δ pretplanet α dhe β sipas drejtëzave d1dhe d3. Të vërtetohet se d2//d3.Fig. 4.24BAMQDEFPNCd1d2 d3αγδβFig. 4.234. Në Fig. 4.24, ABCDMNPQ është kub me brinjë a. Pikat E dhe F janë përkatësisht meset ebrinjëve MN dhe NP. Të gjenden perimetri dhe sipërfaqja i katërkëndëshit ACEF.
    • 104 / Matematika 11Kreu 45. Dy segmente AB= 15 cm dhe CD= 41 cm i kanë skajet e tyre në dy plane paralelë. (Pikat Adhe D ndodhen në njërin plan). Projeksioni i segmentit CD është 28 cm më i gjatë se projeksionii segmentit AB. Të gjendet largesa ndërmjet këtyre planeve). P. [ 9 cm]6. Nga pika M, e cila ndodhet jashtë dy planeve paralele, ndërtohen dy drejtëza, që presin këtoplane përkatësisht në pikat A, B , A1dhe B1. Jepet BB1=28 cm; MA:AB=5:2. Të gjendet AA1.P. [ 20 cm]4.9 UshtrimeNë këtë orë mësimi duhet të synohet në përpunimin e njohurive teorike dhe zbatimeve tëmësimeve 4.7 e 4.8.Ky përpunim do të realizohet nëpërmjet zgjidhjes së ushtrimeve dhe duke bërë argumentimetpërkatëse që kanë të bëjnë me këto njohuri teorike.Është e këshillueshme që mësuesi të porositë nxënësit që në shtëpi të përsëritin përkufizimet dheteoremat që kanë të bëjnë me paralelizmin e drejtëzës më planin dhe paralelizmin e dy planeve.Si gjithmonë ai kujdeset edhe për konkretizimin dhe zbatimin e këtyre njohurive.Gjatë zgjidhjes të problemeve që janë marrë si shembull në tekst mësuesi aktivizon nxënësitgjatë zgjidhjes dhe herë pas herë bën pyetjen “pse”? Është e domosdoshme që këto pyetje tësqarohen në mënyrë që nxënësit të mos mësojnë në mënyrë mekanike por me argumentime.Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ato me numër 2, 3, 6.Ushtrime1. Në fig. 4.25, pikat E dhe F janë meset e brinjëve AM dhe CP të kubit me brinjë a.a) Të gjenden brinjët e katërkëndëshit EBFQ. a 5P. [ EB=BF=FQ=QE= ]2b) Të gjenden diagonalet e tij. Fig. 4.27SCEOBAMQ PCBAENFDFig. 4.25ADSCBOFig. 4.262. Në Fig. 4.26 jepet SA=SB=SC=SD=16 3 cm dhe ∠SCO=300. Të gjendet largesa e pikës Snga brinjët e katrorit. P. [ 8 21 cm]
    • 105LIBËR PËR MËSUESIT3. Në Fig. 4.27 jepet ∠SEO=450; SO=6 cm. Të gjendet ABCAESSS. P. [ 2 3 cm]4. Në qendrën O të rrethit me rreze 17 cm ngrihet pingulja OS =5 cm me planin e tij. Të gjendetlargesa e pikës S nga korda me gjatësi 16 cm e këtij rrethi. P. [ 5 10 cm]5. Pika S është jashtë planit të drejtkëndëshit ABCD dhe e baraslarguar nga kulmet e tij. JepetAB= 8 cm dhe BC= 6 cm. Largesa e pikës A nga brinja BC është 5 cm. Të gjendet largesa e pikësS nga brinja AB. P. [ 3 2 cm]6. Në një piramidë katërkëndëshe të rregullt brinja anësore është 13 cm dhe apotema është12 cm. Të gjendet largesa e kulmit S nga plani i bazës së piramidës. P. [ 119 cm] 4.10 Këndi dyfaqëshNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Këndi dyfaqësh; elementet e dyfaqëshit (brinja, faqet); prerja e drejtë edyfaqëshit; këndet me brinjë paralele; këndi ndërmjet dy planeve.b) Veti. Prerjet e drejta të dyfaqëshave janë të barabarta. Këndet me brinjë paralele (me kahtë njëjtë) janë të barabartë.c) Metoda. Vëzhgim; përvojë; Përkufizimi i dyfaqëshit; Vërtetimi i teoremës lidhur meprerjet e drejta të dyfaqëshit; Zgjidhje problemash ku zbatohen njohuritë teorike të këtijmësimi si dhe të mësimeve të mëparshmeShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:- Të përkufizojnë dyfaqëshin dhe të emërtojnë elementet e tij.- Të gjejnë prerjen e drejtë të dyfaqëshit në të dy mënyrat e paraqitura në tekst.- Të formulojnë teoremën përkatëse.- Të zbatojnë njohuritë e mësimit për zgjidhjen e problemave.Udhëzime për zhvillimin e mësimitSiç tregon praktika, zhvillimi i kësaj ore mësimi dhe realizimi i objektivave të saj nuk është ilehtë. Çështja qëndron në faktin se mësimi përmban disa përkufizime, shumica e të cilave janëkoncepte krejtësisht të reja për nxënësin. Së fundi, edhe teorema e vërtetuar nuk rezulton e lehtëpër nxënësit. Për të shmangur këtë mbingarkesë propozojmë këtë ecuri të orës së mësimit:1) përkufizohet këndi dyfaqësh dhe elementet e tij;2) përkufizohet prerja e drejtë e dyfaqëshit;3) përkufizohet dyfaqëshi i drejtë;4) formulohet dhe vërtetohet teorema;5) formulohet e njëjta teoremë lidhur me këndet me brinjë paralele. (Shtojmë se kjo teoremë
    • 106 / Matematika 11Kreu 4nuk lidhet drejtpërdrejtë me këtë mësim, por është e rëndësishme të theksohet sepse do tëpërdoret në mësimet e ardhshme);6) përkufizohet këndi ndërmjet dy planeveShumë e rëndësishme në këtë orë mësimi konsiderohen shembujt e zgjidhur në tekst. Nëqoftë se mësuesi (në varësi të gjendjes e nivelit të klasës) e gjykon të arsyeshme, mundet qëteorema të mos vërtetohet por vetëm të ilustrohet me shembuj.Si ushtrime të nivelit minimal në këtë orë mësim janë ushtrimet me numra 1,3,4.Ushtrime plotësuese1. Në njërën faqe të dyfaqëshit merren dy pika M dhe N. (Fig. 4.28). Largesat e këtyre pikavenga faqja tjetër janë MC= 2 cm dhe ND= 3 cm. Largesat e këtyre pikave nga brinja e dyfaqëshitjanë MA= 5cm dhe NB. Të gjendet NB. P. [ 7, 5 cm]Fig. 4.30CABEDABDNCMFig, 4.28AP DMACBNFig. 4.292. Jepet prizmi i drejtë me bazë trekëndëshin ABC në të cilin AB=BC= 10 cm dhe AC= 12 cm.(Fig. 4.29). Plani i trekëndëshit DAC formon me planin e bazës ABC këndin 450. Të gjendetsipërfaqja e vijëzuar. 2P. [48 2 cm ]3. Trekëndëshi kënddrejtë ABC ( ∠C=900), e ka katetin AC në planin α. Plani i trekëndëshitABC formon me planin α këndin 450. Jepet AC= 6 cm dhe BC= 10 cm. Të gjendet largesa ekulmit B nga plani α. P. [4 2 cm]4. Në fig. 4.30, ABC dhe ABD janë trekëndësha dybrinjënjëshëm me bazën AB të përbashkët,planet e të cilëve formojnë këndin 600. Jepet AB= 16 cm; DA=DB= 17 cm dhe ∠CAB= 900. Tëgjendet largesa CD ndërmjet kulmeve C dhe D të tyre.P. [ 13 cm]
    • 107LIBËR PËR MËSUESIT4.11 Plane pinguleNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Plane pingulë; dyfaqëshi i drejtëb) Veti. Teorema e ekzistencës e planeve pingulë (teorema e drejtë dhe e anasjellë).c) Metoda. Përkufizimi i planeve pingulë. Vërtetimi i teoremës dhe zbatimi i saj praktik.Zbatime në zgjidhjen e problemaveShkathtësiNë përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:- Të formulojnë përkufizimin e planeve pingulë.- Të formulojnë teoremat përkatëse.- Të zbatojnë këto teorema në zgjidhjen e problemave.Udhëzime për zhvillimin e mësimitPërvoja tregon se nxënësit janë në gjendje të japin shembuj planesh që janë pingulë njeri metjetrin (muret anësore të klasës janë pingule më dyshemenë; faqet anësore të kuboidit janë pinguleme bazat e tij etj). Mësuesi duhet të ngulë këmbë në gjetjen e shembujve ku njëra nga faqet tëmos jetë horizontale. P.sh. të insistohet edhe në shembullin ku muret anësore të njëpasnjëshëmtë klasës janë pingulë njeri me tjetrin.Mjaft i rëndësishëm është edhe zbatimi praktik i teoremës (pe plumbi i muratorit). Me prova tëdrejtpërdrejta nxënësit të binden praktikisht që çdo plan që kalon nga këmba e tavolinës ështëpingul me dyshemenë.Vërtetimi i teoremës së dytë mund të bëhet nga nxënësit në klasë ose në mënyrë të pavarur nështëpi.Mjaft i rëndësishëm është shembulli i zgjidhur në tekst, i cili duhet të trajtohet me shumëvëmendje. Është e rekomandueshme që për të, të realizohet një model i thjeshtë prej teli, që tëkuptohet më mirë figura.Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ato me numër 1,3, 5.Ushtrime plotësuese1. Në planet pingulë α dhe β merren pikat M dhe N (M∈α dhe N∈β); MA dhe NB janë pinguleme drejtëzën e ndërprerjes së planeve α dhe β. Jepet AB= 6 cm; AM= 3 cm; BN= 2 cm.Të gjendet MN. P. [7 cm]2.Trekëndëshat dybrinjënjëshëm kanë bazënAB të përbashkët por shtrihen në plane të ndryshme.Të vërtetohet se drejtëzat AB dhe CD janë pingule.3. Baza e piramidës katërkëndore SABCD është trapezi ABCD (AB//CD). Të gjitha brinjëtanësore të piramidës formojnë kënde të barabartë me planin e bazës. Të vërtetohet se trapeziABCD është dybrinjënjëshëm.4. Baza e një piramide është trekëndëshi kënddrejtë ABC me katete AB= 8 cm dheAC = 6 cm. Dihet se kulmi S ka largesa të barabarta nga pikat A, B dhe C.Jepet SA=SB=SC= 13 cm. Heqim lartësinë SO të piramidës.
    • 108 / Matematika 11Kreu 4a) Ku ndodhet këmba O e pingules?b) Të gjendet SO.5. Në Fig. 4.31 planet α dhe β janë pingulë. Largesat AE dhe BFtë pikave A dhe B nga brinja e MN e dyfaqëshit janë të barabarta.Të gjendet raporti i këndeve që formon AB me planet α dhe β. P. [ 1]4.12 UshtrimeNë këtë orë mësimi synim kryesor duhet të jetë përsëritja e të gjithë koncepteve që kanë tëbëjnë me dyfaqëshat dhe planet pingule. Kjo njëkohësisht i aftëson nxënësit për zgjidhjen eproblemave.Shembulli 1, i zgjidhur në tekst konsiderohet mjaft i rëndësishëm. Por nga ana tjetër përvojatregon se edhe nxënësit e mirë me vështirësi orientohen në figurën e ndërlikuar. Për këtë arsyesugjerojmë që për këtë problem të ndërtohet një model modest (qoftë edhe prej kartoni e telash).I njëjti model mund të përdoret edhe për shembullin e dytë.Gjithsesi sugjerojmë që në qoftë se mësuesi (duke u nisur nga niveli i klasës), i konsideron si tëvështira këto ushtrime, mund të përzgjedhë të tjerë ushtrime më të lehtë.Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ato me numër 2 e 4.Ushtrime plotësuese1. Në fig. 4.32 jepet katërfaqëshi SABC të gjitha brinjët e të cilit janë të barabarta. Të gjendetkëndi që formojnë faqet anësore me bazën. 1P. [cos = ]3αSABEOCFig. 4.32 Fig. 4.33SBCEA2. Në piramidën SABC ( Fig. 4.33) jepet SA=SB=SC=a; ∠BSC=900; ∠ASB=∠ASC=600.Të vërtetohet se planet (SCA) dhe (ABC) janë pingule.Fig. 4.31βαEABF
    • 109LIBËR PËR MËSUESIT3.JepettrekëndëshibarabrinjësABCmebrinjë12cm.PikaSndodhetjashtëplanittëtrekëndëshit.Segmentet SA; SB dhe SC formojnë me planin e trekëndëshit kënde 600. Të gjenden largesat epikës S nga kulmet dhe brinjët e trekëndëshit.P. [ 4 6 cm; 2 15 cm]4. Në planin α jepen drejtëzat paralele AB dhe CD në largesë 28 cm nga njëra tjetra. EF ështënjë drejtëz jashtë planit α, paralele me AB, në largesë 17 cm nga AB. Drejtëza EF ndodhet nëlargesë 15 cm nga plani α. Të gjendet largesa ndërmjet drejtëzave EF dhe CD. (2 raste). P. [ 25 cm ose 39 cm]5. Jepet plani α dhe segmenti AB= 2 cm paralel me të, në largesë 7 cm nga plani α. AB dhe CDjanë dy të pjerrëta me planin α, me gjatësi secila 8 cm, pingule me AB dhe në anë të ndryshmetë AB. Të gjendet CD. P. [8 cm]4.13 Ushtrime për kreun 4Në këtë orë mësimi zhvillohet përsëritje e koncepteve themelore të kreut. Nuk është ekëshillueshme që mësuesi të trajtojë të gjithë përkufizimet apo teoremat, sepse kjo do të rëndontesë tepërmi orën e mësimit, do të kërkonte shumë kohë dhe efektiviteti i saj do të ishte minimal.Ne jemi të mendimit se nëpërmjet ushtrimeve mund të përsëriten ato koncepte të cilat janë tëdomosdoshme për kreun e ardhshëm. Të tillë janë teorema e tri pinguleve, këndi i të pjerrëtës mëplanin, largesa e pikës nga plani, prerja e drejtë e dyfaqëshit, planet pingulë etj.Mjaft e rëndësishme për këtë orë mësimi është edhe parapërgatitja për testin. Testi model i dhënë nëtekst nuk presupozon që do te jepen detyrimisht ato ushtrime. Ai vetëm se është një orientim lidhurme ngarkesën që do te jepet. Mësuesi mund të përzgjedhë ushtrime të tjerë e t’i kombinojë ato.Ushtrime plotësuese1. Pika M ndodhet jashtë planit të këndit të drejtë ABC në largesa MA=MC=m, nga brinjëte këndit dhe MB= n nga kulmi i këndit. ( Fig. 4.34). Të gjendet largesa e pikës M nga plani ikëndit. −2 2P. [ 2m n ]Fig.4.36BADC dαBACMOFig. 4.34HABC dαFig. 4.35
    • 110 / Matematika 11Kreu 42. Në Fig. 4.35 jepet AH⊥α; AB ⊥d; AB= 10 cm; AH=6 cm; BC= 2 cm. Të gjendet CH.P. [ 2 17 cm]3. Në Fig. 4.36 jepetAB⊥α; BC⊥CD; BC= 2 cm; CD= 5cm ; AB=2 3cm . Të gjendet sipërfaqjae trekëndëshit ACD. P. [ 10 cm2]4. Në Fig. 4.37 jepet AB⊥α; BC⊥CD; AB= 12 cm; BC= 5 cm; CD= 4 cm. Të gjendet sipërfaqjae trekëndëshit ACD. P. [ 26 cm2]ABCDαFig. 4.37 Fig. 4.38αAA1B1B5. Në Fig. 4.38, A1dhe B1janë projeksione të pikave A dhe B në planin α.a) Të gjendet këndi që formon me planin α drejtëza BA në qoftë se jepet 1 11A B AB2=b) Të gjendet sipërfaqja e katërkëndëshit AA1B1B në qoftë se drejtëza BA formon me planinα këndin 450dhe AB=10 2 cm ; AA1= 8 cm. P. [ a) 600; b) 90cm2]
    • 111LIBËR PËR MËSUESIT5.1 Shumëfaqëshat. PrizmiNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Shumëfaqëshi. Prizmi; prizmi i drejtë, prizmi i rregullt. Kuboidi. Kubi. Bazadhe lartësia e prizmit.b) Veti. Prerjet e prizmit me plane paralele me bazat janë shumëkëndësha të barabartë.Sipërfaqja anësore e prizmit të drejtë është Pb·h.c) Metoda. Prerjet e shumëfaqëshave me plane.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të dallojnë shumëfaqëshat (në veçanti prizmat) në mjedisin rrethues.• Të dallojnë llojet e ndryshme të prizmave (të drejtë, të rregullt).• Të nxjerrin nga përkufizimet e llojeve të prizmave veti të thjeshta të tyre.• Të përdorin në situata të thjeshta matematikore a reale formulën për sipërfaqen anësore tëprizmit të drejtë.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMësimi është një sintezë përgjithësuese e njohurive mbi prizmin, që nxënësit kanë marrënga klasat e mëparshme. Mësuesi duhet të përdorë për ilustrim modele ose trupa nga mjedisirrethues. Është me rëndësi pjesëmarrja aktive e nxënësve në mësim. Pas sqarimit të brendisë sëçdo përkufizimi, nxënësit mund dhe duhet, që me punë të pavarur a me grupe, të vërtetojnë vetitë thjeshta për lloje të ndryshme prizmash.Edhe formula për sipërfaqen anësore të prizmit të drejtë mund të nxirret nga nxënësit (me punëtë pavarur a me grupe), dhe më tej të diskutohet rezultati i arritur me të gjithë klasën.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 4, 5, 6/a.Ushtrime plotësuese1. a) Sa faqe e sa dyfaqësha ka prizmi pesëkëndor?b) Sa prerje diagonale mund të hiqen nga një brinjë anësore e tij?c) Sa diagonale ka ai?2. Dy prej faqeve anësore fqinjë të një prizmi janë pingule me bazën. A është ky prizëm idrejtë?3. Vërtetoni se ndërprerja e dy planeve diagonalë të prizmit është drejtëz paralele me brinjënanësore të tij.4. Në prizmin e rregullt gjashtëkëndor, njehsoni raportin e sipërfaqeve të prerjeve diagonale, qënuk janë të barabarta.KREU 5
    • 112 / Matematika 11Kreu 55. Në një prizëm të drejtë, baza është romb dhe njëra nga prerjet diagonale është kongruente menjërën nga faqet anësore. Gjeni këndet e rombit.6. Sipërfaqja e përgjithshme e kubit është 54 cm2. Njehsoni diagonalen e tij.7. Dy nga faqet anësore të një prizmi të pjerrët trekëndor janë pingul ndërmjet tyre. Brinja epërbashkët e këtyre dy faqeve është 48 cm dhe largesat e saj nga dy brinjët e tjera anësore janë24 cm dhe 70 cm. Njehsoni sipërfaqen anësore të prizmit.5.2 Piramida. Sipërfaqja anësore e piramidës së rregulltNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Piramida. Piramida e rregullt. Apotema e saj. Baza dhe lartësia e piramidës.b) Veti. Vetitë e piramidës së rregullt. Sipërfaqja anësore e piramidës së rregullt është aPb ⋅21c) Metoda. Prerjet e shumëfaqëshave me plane.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të dallojnë piramidën midis shumëfaqëshave të tjerë.• Të japin përkufizimin për piramidën e rregullt.• Të nxjerrin nga përkufizimi veti të thjeshta të piramidës së rregullt (p.sh. faqet anësore janëtë barabarta).• Të nxjerrin formulën për Satë piramidës së rregullt.• Ta përdorin këtë formulë në situata të thjeshta matematikore a reale.Udhëzime për zhvillimin e mësimitDuke vlerësuar komponenten epistemiologjike të të mësuarit të matematikës, mësuesi t’usqarojë nxënësve prejardhjen e termit “piramidë” (nga greqishtja e vjetër “pirema”=lartësi, fjalëqë rrjedh nga fjala e lashtë egjiptiane “pero”=shtëpi e lartë).Materiali mësimor përmbledh e sistemon njohuritë, që nxënësit kanë nga klasat e kaluara dheështë paraqitur në mënyrë sintetike. Mësuesi mund dhe duhet të kërkojë nga nxënësit që, mepunë të pavarur a me grupe, të nxjerrin me vërtetim veti të thjeshta (por të rëndësishme) tëpiramidës së rregullt, si edhe formulën për sipërfaqen anësore të saj. Më tej, ai të organizojëzbatimin e këtyre njohurive në zgjidhjen, brenda orës së mësimit, të ushtrimeve që kanë të bëjnëme situata të thjeshta matematikore a reale.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 3, 5.Ushtrime plotësuese1. Është dhënë piramida KABCD, me bazë katrorin ABCD dhe me lartësi KD.a) Vërtetoni që KC⊥BC dhe KA⊥AB.b) Ç’kënd formojnë faqet anësore KDC dhe KBC.2. Në kushtet e ushtrimit 1, njehsoni sipërfaqen e bazës, kur brinja anësore më e madhe është 6cm dhe formon me planin e bazës këndin 45o.
    • 113LIBËR PËR MËSUESIT3. Piramida ka sipërfaqen e bazës 150 cm2dhe pritet me një plan paralel me bazën, në largësinë14 cm prej saj. Sipërfaqja e prerjes është 54 cm2. Gjeni lartësinë e piramidës.4. Ndërtoni prerjen e piramidës trekëndore me planin që kalon në meset e dy brinjëve të bazës,paralele me njërën nga brinjët anësore. Cili është lloji i figurës që formohet?5. a) Të gjitha brinjët e një piramide trekëndore e kanë gjatësinë a. Njehsoni sipërfaqen epërgjithshme të saj.b) E njëjta kërkesë për piramidën katërkëndore, të gjitha brinjët e të cilës janë a.6. Është dhënë piramida me bazë katrorin me brinjë 12 cm. Njëra nga brinjët anësore, që ështëpingule me bazën është 16 cm. Njehsoni sipërfaqen e përgjithshme të piramidës.7. Baza e një piramide është trekëndëshi dybrinjënjëshëm me bazë 6 cm dhe lartësi 9 cm. Brinjëtanësore të piramidës janë 13 cm.a) Vërtetoni që këmba e lartësisë bie në qendrën e rrethit të jashtëshkruar bazës.b) Njehsoni sipërfaqen e përgjithshme të piramidës.5.3 UshtrimeSynimi i mësuesit për këtë orë mësimi duhet të jetë përpunimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësivetë fituara nga nxënësit në dy mësimet e mëparshme (5.1 dhe 5.2). Kjo arrihet duke angazhuarnxënësit në veprimtari për zgjidhjen e ushtrimeve, sipas mundësive të tyre, me punë të pavarura me grupe. Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë individualisht (melaps në dorë) dy shembujt e zgjidhur, të dhënë në tekst. Më tej organizohet diskutim me klasënpër mënyrën e zgjidhjes së tyre, duke veçuar ato ecuri që kanë vlerë në pikëpamje të metodës.Pastaj kombinohet puna me grupe e nxënësve të klasës për zgjidhjen e disa prej ushtrimeve tëtekstit, me zgjidhjen e ushtrimeve të tjera nga nxënës të ndryshëm të ngritur në tabelë. Secili ngaushtrimet e dhëna për zgjidhje të diskutohet me klasën.Si ushtrime të nivelit minimal, të përshtatshme për t’u punuar nga nxënësit e klasës, tëkonsiderohen ata me numrat 2, 3, 4.Ushtrime plotësuese1. Vërtetoni se ndërprerja e dy planeve diagonale të prizmit është paralele me brinjën anësoretë tij.2. Njehsoni forcën rezultante të tri forcave prej 3N, 4N, 12N, që ushtrohen në një kulm tëkuboidit dhe janë të drejtuara sipas tri brinjëve të tij.3. Në ç’largesë prej kulmit të një piramide, me lartësi 12 cm, duhet të hiqet një plan paralel meplanin e bazës, në mënyrë që sipërfaqja e prerjes të jetë 4 herë më e vogël se sipërfaqja e bazës.4. Vërtetoni se tri pohimet e mëposhtme janë të njëvlershme.I. ”Brinjët anësore të piramidës kanë gjatësi të barabarta”.II. “Lartësia e piramidës bie në qendrën e rrethit të jashtëshkruar bazës”.III. “Brinjët anësore caktojnë me planin e bazës kënde me masa të barabarta”.5. Baza e një piramide është një trekëndësh (katërkëndësh, gjashtëkëndësh) i rregullt, me gjatësi
    • 114 / Matematika 11Kreu 5brinje a dhe të gjitha faqet anësore të saj formojnë me planin e bazës kënde të barabartë α .a) Vërtetoni se lartësia e piramidës bie në qendrën e bazës.b) Gjeni sipërfaqen anësore të piramidës.6. Prizmi i rregullt trekëndor e ka brinjën anësore a. Plani që kalon nga njëra brinjë e bazësdhe nga mesi i brinjës anësore përballë saj, formon me planin e bazës këndin 45o. Njehsonisipërfaqen e përgjithshme të prizmit.7. Baza e piramidës është katror me brinjë a. Dy nga faqet anësore të piramidës janë pinguleme bazën, kurse dy të tjerat formojnë këndin a midis tyre. Njehsoni sipërfaqen anësore tëpiramidës.5.4. Vëllimet e trupaveNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Vëllimi i trupit. Masa e vëllimit. Prizmi; lartësia e tij.b) Veti. Vëllimi i kuboidit është sa prodhimi i përmasave të tij. Vëllimi i prizmit është ibarabartë me Sb·h.c) Metoda. Parimi i Kavalierit.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të kuptojnë mënyrën e lidhjes midis trupave dhe vëllimeve të tyre.• Të riprodhojnë formulimin e parimit të Kavalierit.• Të nxjerrin me anë të tij formulën V=Sb·h për vëllimin e prizmit.• Të përdorin këtë formulë (e në veçanti formulën për vëllimin e kuboidit V=a·b·c) në situatatë thjeshta matematikore a reale.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMësimi ka ngarkesë konceptuale e vëllimore, prandaj shtjellimit të materialit të ri i duhetkushtuar e gjithë ora e mësimit, duke hequr dorë nga format tradicionale të kontrollit të dijes. Iduhet kushtuar kujdes parimeve (që në fakt janë aksioma), sipas të cilave vendoset lidhja midistrupave dhe vëllimeve të tyre (duke theksuar faktin që kubit me brinjë njësinë e gjatësisë i lidhetnumri 1). Mësuesi t’u kërkojë nxënësve, në punë me grupe, që të nxjerrin me vërtetim formulënpër vëllimin e kuboidit. Sqarimi i brendisë së parimit të Kavalierit dhe vërtetimi (mbi bazën e tij)i formulës V=Sb·h për vëllimin e prizmit, të bëhet si në tekst. Dy shembujt e zgjidhur që pasojnë,mund të lexohen nga nxënësit individualisht në libër. Më tej të kalohet në zgjidhjen (me punë tëpavarur a me grupe) të ushtrimeve, që janë zbatime të thjeshta me karakter praktik.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 2, 3, 4, 5, 6.Ushtrime plotësuese1. Duke përdorur parimin e Kavalierit, vërtetoni se prerja diagonale e ndan prizmin katërkëndor,që e ka bazën paralelogram në dy pjesë të njëvlershme.2. Përmasat e kuboidit formojnë progresion gjeometrik me kufizë të dytë 10 cm. Gjeni vëllimine kuboidit.
    • 115LIBËR PËR MËSUESIT3. Brinjët e bazës së një kuboidi janë a dhe b. Diagonalja e kuboidit formon me planin e bazëskëndin me masë a. Njehsoni vëllimin e kuboidit.4. Duke ditur brinjën e bazës a dhe brinjën anësore b të një prizmi të rregullt (trekëndor,katërkëndor, gjashtëkëndor), njehsoni vëllimin e tij.5. Baza e një prizmi të drejtë katërkëndor është paralelogram, me diagonale 8 cm dhe 15 cm,që priten duke formuar këndin 60o. Diagonalja më e vogël e prizmit formon me planin e bazëskëndin 30o. Njehsoni vëllimin e prizmit.6. Njehsoni vëllimin e prizmit të rregullt katërkëndor nëse jepen:a) Gjatësia l e diagonales dhe masa a e këndit, që ajo formon me planin e bazës.b) Gjatësia l e diagonales dhe masa b e këndit, që ajo formon me faqen anësore.7. Baza e një prizmi të pjerrët është katrori me brinjë a. Brinja anësore ka gjatësi 2a dhe formonme planin e bazës këndin me masë a. Njehsoni vëllimin e prizmit.5.5 UshtrimeSynimi i mësuesit për këtë orë mësimi duhet të jetë përpunimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësivetë fituara në mësimin e mëparshëm (për vëllimin e prizmit).Kjo arrihet duke organizuar mirë veprimtarinë e pavarur a me grupe për diskutimin dhezgjidhjen e ushtrimeve, që janë zbatime të thjeshta, por të larmishme. Dy shembujt që janëdhënë të zgjidhur në tekst, nxënësit t’i lexojnë individualisht në tekst (mësimi të zhvillohetme libër hapur) me laps në dorë. Pas një intervali kohor të mjaftueshëm, mësuesi të organizojëdiskutim me klasën për mënyrën e dhënë të zgjidhjes, duke veçuar ato ecuri që kanë vlera nëpikëpamje të metodës. Pastaj të kombinohet puna me grupe e nxënësve të klasës për zgjidhjen edisa ushtrimeve të tekstit, me zgjidhjen në tabelë, nga nxënës të ndryshëm, të disa ushtrimeve tëtjera. Secili nga ushtrimet e dhëna për zgjidhje duhet të diskutohet e analizohet me klasën.Si ushtrime të nivelit minimal, të përshtatshme për t’u punuar me klasën, të konsiderohen atame numrat 3, 4, 8.Ushtrime plotësuese1. Kuboidi ka përmasat 3 cm, 4 cm dhe 12 cm. Njehsoni gjatësinë e brinjës së kubit që është injëvlershëm me të.2. Në një kuboid sipërfaqet e faqeve janë S1, S2, S3. Vërtetoni që vëllimi i kuboidit është1 2 3S S S⋅ ⋅ .3. Diagonalja e bazës së një kuboidi e ka gjatësinë l, këndi i ngushtë midis diagonaleve të bazësështë a, kurse diagonalja e faqes anësore më të vogël formon me planin e bazës këndin b. Gjenivëllimin e kuboidit.4. Prizmi me vëllim 160 cm3ka për bazë trapezin dybrinjënjëshëm me baza 21 cm, 13 cm dhebrinjë anësore 5 cm. Njehsoni lartësinë e prizmit.5. Baza e një prizmi të pjerrët është trekëndëshi barabrinjës me brinjë a. Njëra nga faqet anësoretë prizmit është pingule me planin e bazës dhe është romb me diagonalen e vogël b. Njehsonivëllimin e prizmit.
    • 116 / Matematika 11Kreu 56. Baza e prizmit ABCA1B1C1është trekëndëshi kënddrejtë dybrinjënjëshëm me hipotenuzëAB=2a. Brinja anësore e prizmit është 2a. Kulmi C1është i baraslarguar nga kulmet A, B, C.Njehsoni vëllimin e prizmit.7. Baza e një prizmi të drejtë është romb. Brinja anësore e prizmit është 2 cm. Diagonalet eprizmit janë 5 cm, 8 cm. Njehsoni vëllimin e prizmit.8. Brinja anësore e një prizmi të rregullt trekëndor është l. Diagonalja e faqes anësore formonme faqen tjetër anësore këndin 30o. Njehsoni sipërfaqen anësore dhe vëllimin e prizmit.5.6 Vëllimi i piramidësNjohuri teorike kryesorea) Kuptime .Piramida. Baza; lartësia e saj.b) Veti .Dy piramida trekëndore me baza të njëvlershme e lartësi të barabarta kanë vëllime tëbarabarta. Vëllimi i piramidës është hSb ⋅31.c) Metoda. Parimi i Kavalierit.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të riprodhojnë vërtetimin e lemës.• Të nxjerrin formulën hSV b ⋅=31për piramidën katërkëndore.• Të përdorin formulën për vëllimin e piramidës në situata të thjeshta matematikore e reale.Udhëzime për zhvillimin e mësimitDy teoremat e rëndësishme, që trajtohen në këtë mësim, kanë vërtetime jo të thjeshta, qëkuptohen me vështirësi nga nxënësit. Prandaj trajtimit të materialit mësimor të tekstit i duhetkushtuar e gjithë ora e mësimit. Vërtetimi të bëhet me metodën e bisedës, duke shtruar në çdofazë para nxënësve pyetje të strukturuara, e duke i shpënë nxënësit, nëpërmjet tyre drejt nxjerrjessë përfundimeve.Në tekst është thënë shkurt se formula hSV b ⋅=31vlen edhe për piramidën me bazë çfarëdo,por nuk është bërë vërtetimi. Mësuesi mund të aktivizojë nxënësit për të bërë vërtetimin, me punëtë pavarur a me grupe, për piramidën katërkëndore (duke e ndarë atë në dy piramida trekëndoreme anë të një plani diagonal).Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 5.Ushtrime plotësuese1. Njehsoni vëllimin e piramidës së rregullt trekëndore që i ka të gjitha brinjët të barabarta me a.2. Baza e një piramide katërkëndore është rombi me diagonale 8 cm dhe 6 cm. Të gjitha faqetanësore formojnë me planin e bazës kënde të barabartë me 60o.a) Tregoni që këmba e lartësisë bie në qëndrën e rombit.b) Njehsoni vëllimin e piramidës.
    • 117LIBËR PËR MËSUESIT3. Baza e një piramide është trekëndëshi barabrinjës me brinjë a. Të gjitha faqet anësore formojnëme planin e bazës kënde nga 45o. Njehsoni vëllimin e piramidës.4. Baza e piramidës është katrori me brinjë a. Të gjitha faqet anësore formojnë me planin e bazëskënde nga 60o. Njehsoni vëllimin e piramidës.5. Baza e një piramide është drejtkëndëshi me brinjë 12 cm dhe 16 cm. Të gjitha brinjët anësoretë piramidës formojnë me planin e bazës kënde nga 45o. Njehsoni vëllimin e piramidës.6. Baza e një piramide është trekëndëshi dybrinjënjishëm me brinjë anësore 10 cm dhe bazë16 cm. Të gjitha faqet anësore formojnë me planin e bazës këndin α . Njehsoni vëllimin epiramidës.7. Vëllimi i një piramide të rregullt katërkëndore është 16m3. Njehsoni vëllimin e piramidës metë njëjtin kulm dhe me bazë katërkëndëshin, që i ka kulmet në meset e brinjëve të katrorit tëbazës së piramidës së dhënë.5.7 UshtrimeSynimi i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë përpunimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësive,të mësuara në mësimin e mëparshëm (vëllimi i piramidës). Këtu kalohet në zbatime të larmishmekomplekse. Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur. Në fillim mësuesi kërkon nga nxënësitqë të studiojnë individualisht (“me laps në dorë”) dy shembujt, që janë dhënë të zgjidhur nëtekst. Më pas organizohet diskutimi me klasën i mënyrës së zgjidhjes, duke veçuar ato ecuriqë përbëjnë metoda për zbatime të mëtejshme. Pastaj kombinohet puna e pavarur a me grupe eklasës për zgjidhjen e disa ushtrimeve të tekstit, me punën në tabelë të disa nxënësve, që zgjidhintë tjera ushtrime. Secili nga ushtrimet e dhëna për zgjidhje analizohet me klasën.Si ushtrime të nivelit minimal, të përshtatshme për t’u punuar me klasën, të konsiderohen ata menumrat 1, 2, 3, 5.Ushtrime plotësuese1. Piramida KABCD ka për bazë katrorin ABCD me brinjë a dhe si lartësi KD. Këndi që formonbrinja anësore KB me planin e bazës është a. Gjeni vëllimin e piramidës.2. Sipërfaqja e bazës së një piramide është 100 cm2. Hiqet një plan paralel me bazën me largesë6 cm nga baza. Sipërfaqja e prerjes është 25 cm2. Gjeni vëllimin e piramidës.3. Baza e një piramide është një trekëndësh me brinjë a dhe kënd përballë kësaj brinje a. Tëgjitha brinjët anësore të piramidës formojnë me planin e bazës kënde me masë b. Gjeni vëllimine piramidës.4. Baza e një piramide është trekëndëshi dybrinjënjëshëm me bazë a dhe kënd në kulm a. Tëgjitha brinjët anësore të piramidës e kanë gjatësinë a.a) Njehsoni lartësinë e piramidës dhe vëllimin e saj.b) Për ç’vlerë të këndit a ekziston kjo piramidë?5. Është dhënë piramida me bazë trekëndëshin dybrinjënjëshëm që ka brinjët 9 cm, 9 cm, 6 cm.Brinjët anësore të piramidës janë nga 13 cm. Njehsoni lartësinë dhe vëllimin e piramidës.6. Është dhënë piramida trekëndore me brinjët e bazës 39 cm, 28 cm, 17 cm. Të gjitha brinjëtanësore janë nga 22,9 cm. Njehsoni vëllimin e piramidës.
    • 118 / Matematika 11Kreu 57. Vëllimi i një piramide trekëndore është 40 cm3. Brinjët e bazës janë 7 cm, 8 cm, 9 cm. Të gjithafaqet anësore formojnë kënde të barabarta me planin e bazës. Gjeni lartësinë e piramidës.5.8 CilindriNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Sipërfaqja cilindrike; vija drejtuese; përftuesja. Cilindri i drejtë rrethor; boshtii tij; baza.b) Veti. Prerjet e cilindrit me plane paralelë me bazat e tij janë rrathë të barabartë. Prerja ecilindrit me plan, që kalon nga boshti i tij është drejtkëndësh. Sipërfaqja anësore e cilindritështë 2πR ·l.c) Metoda. Përftimi i trupave me rrotullim figurash plane. Prerjet boshtore të trupave.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të nxjerrin veti të thjeshta të cilindrit të drejtë rrethor.• Të përdorin përftimin e cilindrit të drejtë rrethor nga rrotullimi i drejtkëndëshit në situatatë thjeshta.• Të dallojnë veti të prerjeve të cilindrit me plane që kalojnë nga boshti apo janë pingulë meboshtin.• Të përdorin formulën Sa=2πR ·l në situata të thjeshta matematikore apo reale.Udhëzime për zhvillimin e mësimitParaqitja e materialit në tekst shfrytëzon njohuritë që nxënësit kanë për cilindrin nga klasat emëparshme dhe prandaj ka trajtë sintetike. Mësuesi duhet të nxisë veprimtarinë e nxënësve përnxjerrjen prej tyre, me punë të pavarur a me grupe, të fakteve kryesore mbi vetitë e cilindrit tëdrejtë rrethor. Nxënësve u duhet vënë në dukje se nxjerrja e formulës Sa=2πR ·l me anë të prerjessë cilindrit sipas përftueses nuk është vërtetim rigoroz (nuk jemi të sigurt që hapja e përftuarështë tamam drejtkëndësh). Nxënësit duhet të zgjidhin në klasë, në mënyrë të pavarur a megrupe, ushtrime zbatimi të thjeshta të formulës Sa=2πR ·l .Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 2; 3; 5; 6/a, b.Ushtrime plotësuese1. Cilindri i drejtë rrethor pritet me një plan paralel me lartësinë. Ç’figurë merret nga prerja?2. Në një cilindër të drejtë rrethor lartësia është 6 cm dhe rrezja e bazës 5 cm. Njehsoni sipërfaqene prerjes së cilindrit me planin, që është paralel me boshtin dhe në largësi 4 cm prej tij.3. Prerja boshtore e një cilindri të drejtë rrethor është një katror me sipërfaqe S. Njehsonisipërfaqen e përgjithshme të cilindrit.4. Drejtkëndëshi me përmasa a, b rrotullohet rreth njërës pastaj rreth tjetrës ndër dy brinjë fqinje.Njehsoni raportin e sipërfaqeve të përgjithshme të dy cilindrave të përftuar.5. Në një cilindër është brendashkruar një prizëm i rregullt gjashtëkëndor. Njehsoni raportin esipërfaqeve anësore të cilindrit dhe të prizmit.
    • 119LIBËR PËR MËSUESIT6. Në një kazan avulli cilindrik me diametër 1 m dhe lartësi 3 m, trysnia e avullit është 5N/m2.Njehsoni forcën që ushtron avulli mbi sipërfaqen anësore të kazanit.5.9 KoniNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Sipërfaqja konike, kulmi, vija drejtuese. Koni i drejtë rrethor, baza, përftuesja,lartësia.b) Veti. Prerja e konit të drejtë rrethor me plan paralel me bazën është rreth. Prerja e konit tëdrejtë rrethor me plan që kalon nga boshti i tij është trekëndësh dybrinjënjëshëm. Sipërfaqjaanësore e konit të drejtë rrethor është aR ⋅π .c) Metoda. Marrja e trupave nëpërmjet rrotullimit të figurave plane. Prerjet e trupave sipasplaneve, që kalojnë nga boshti apo janë pingule me të.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të nxjerrin veti të thjeshta të konit të drejtë rrethor, duke e shqyrtuar atë si trup rrotullimi.• Të përdorin në situata të thjeshta, vetitë e prerjeve boshtore apo pingule me boshtin përkonin e drejtë rrethor.• Të përdorin formulën për sipërfaqen anësore të konit të drejtë rrethor Sa=πR·a në situata tëthjeshta matematikore a praktike.Udhëzime për zhvillimin e mësimitParaqitja e materialit mësimor në tekst është bërë në mënyrë sintetike. Duke e shqyrtuar konin edrejtë rrethor si trup rrotullimi, mund të nxirren thjeshtë shumë veti të konit a të prerjeve të tij.Mësuesi duhet të ngulmojë që kjo të realizohet në klasë nga nxënësit, me punë të pavarur a megrupe. Ai duhet t’u vërë në dukje atyre se mënyra e nxjerrjes së formulës Sa=πR·a, duke bërëprerjen e konit të drejtë rrethor sipas përftueses, nuk përbën një vërtetim rigoroz (nuk jemi tësigurt që nga hapja përftohet pikërisht sektor qarkor). Si është nxjerrë formula, duhet të kalohetnë zgjidhje ushtrimesh, që janë zbatime të thjeshta të saj, me punë të pavarur a me grupe.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 4, 6, 8.Ushtrime plotësuese1. Ç’vijë formon bashkësia e pikave në sipërfaqen anësore të një koni rrethor të drejtë, të cilatjanë të baraslarguara nga kulmi i tij?2. Lartësia e konit rrethor të drejtë është e barabartë me rrezen R të bazës. Në bazën e konit ështëbrendashkruar katrori. Nga njëra brinjë e katrorit dhe nga kulmi i konit hiqet plani. Njehsonisipërfaqen e prerjes.3. Koni rrethor i drejtë me përftuese 13 cm dhe lartësi 12 cm pritet me një plan paralel me bazëndhe në largësi 6 cm nga baza. Njehsoni sipërfaqen e prerjes dhe raportin e saj me sipërfaqen epërgjithshme të konit.4. Koni i drejtë rrethor e ka rrezen e bazës R. Lartësia e tij formon me përftuesen këndin a.Gjeni sipërfaqen anësore të konit.
    • 120 / Matematika 11Kreu 55. Koni i drejtë rrethor e ka lartësinë h dhe përftuesja e tij formon me planin e bazës këndin α .Njehsoni sipërfaqen e përgjithshme të konit.6. Trekëndëshi dybrinjënjëshëm me bazë 30 cm dhe me brinjë anësore 25 cm rrotullohet rrethnjërës brinjë. Njehsoni sipërfaqen e trupit të formuar, nëse rrotullimi bëhet:a) rreth bazës;b) rreth brinjës anësore.5.10 Vëllimi i cilindrit dhe i konitNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Vëllimi i trupit. Cilindri i drejtë rrethor. Koni i drejtë rrethor.b) Veti. Vëllimi i cilindrit të drejtë rrethor është πR2· h. Vëllimi i konit të drejtë rrethor ështëhR ⋅231π .c) Metoda. Parimi i Kavalierit. Analogjia.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të përdorin formulën për vëllimin e cilindrit të drejtë rrethor në situata të thjeshtamatematikore reale.• Të përdorin formulën për vëllimin e konit të drejtë rrethor në situata të tilla.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMateriali mësimor në tekst është paraqitur në mënyrë sintetike. Mësuesi mund dhe duhet tëangazhojë nxënësit në veprimtari për nxjerrjen e përfundimeve përgjithësuese. Mund të nxirretnë fillim formula për vëllimin e konit të drejtë rrethor dhe pastaj të kërkohet që nxënësit, me punëtë pavarur a me grupe, duke përdorur analogjinë, të nxjerrin formulën për vëllimin e cilindrit tëdrejtë rrethor.Pastaj të trajtohen shembujt e zgjidhur të dhënë në tekst; nxënësit lexojnë në libër zgjidhjen etyre e më pas organizohet diskutimi me klasën mbi mënyrën e propozuar të zgjidhjes. Më tejkalohet në zgjidhje ushtrimesh, që janë zbatime të thjeshta, me punë të pavarur a me grupe.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 4, 9.Ushtrime plotësuese1. Katrori me brinjë a rrotullohet në hapësirë sipas një drejtëze, që ndodhet në planin e tij dhe nëlargesë b nga njëra brinjë, paralel me të. Njehsoni vëllimin e trupit të formuar.2. Njehsoni vëllimin e cilindrit të brendashkruar në një prizëm të rregullt gjashtëkëndor, nësebrinja e bazës së prizmit është 6 cm dhe lartësia e tij 10 cm.3. Rrezja e bazës së një koni rrethor është R. Sa është rrezja e prerjes paralele me bazën, që endan konin në dy pjesë me vëllime të barabarta?4. Trekëndëshi kënddrejtë me katete 6 cm dhe 8 cm rrotullohet në hapësirë rreth hipotenuzës sëtij. Njehsoni vëllimin e trupit të formuar.
    • 121LIBËR PËR MËSUESIT5. Trapezi dybrinjënjëshëm me baza 14 cm, 6 cm dhe me kënd të ngushtë 600rrotullohet rrethbazës së madhe. Gjeni vëllimin e trupit të formuar.6. Drejtkëndëshi me përmasa a, b rrotullohet sipas njërës brinjë, pastaj sipas brinjës tjetër. Gjeniraportin e vëllimeve të trupave të formuar.5.11 UshtrimeSynimi i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë përpunimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësivetë fituara në dy mësimet e mëparshme (5.10 dhe 5.11). Nxënësit të lexojnë individualisht dyshembujt e zgjidhur të paraqitur në tekst.Më pas të organizohet diskutimi me klasën i mënyrës së zgjidhjes, duke theksuar ato ecuri qëkanë vlera në pikëpamje të metodës.Pastaj të kombinohet puna e pavarur a me grupe e nxënësve të klasës për zgjidhjen e disa ushtrimevetë tekstit, me zgjidhjen në tabelë të disa ushtrimeve të tjera nga nxënës të ndryshëm. Secili ngaushtrimet e dhëna për zgjidhje duhet të analizohet me klasën. Si ushtrime të nivelit minimal, tëpërshtatshme për t’u zgjidhur nga klasa, të konsiderohen ata me numrat 2, 3, 4, 6, 8.Ushtrime plotësuese1. Në konin e drejtë rrethor, përftuesja l cakton me bazën këndin me masë a. Njehsoni vëllimine konit.2. Njehsoni vëllimin e konit të brendashkruar në katërfaqëshin e rregullt me brinjë a.3. Trapezi dybrinjënjëshëm ka bazën e vogël dhe brinjën anësore të barabarta me a. Këndi ingushtë i tij është 45o. Njehsoni vëllimin e trupit që përftohet nga rrotullimi i trapezit:a) rreth bazës së vogël;b) rreth brinjës anësore.4. Trekëndëshi dybrinjënjëshëm ka lartësi 6 cm dhe brinjë anësore 10 cm. Njehsoni vëllimin etrupit që përftohet nga rrotullimi i trekëndëshit:a) rreth brinjës anësore të tij;b) rreth drejtëzës që kalon nga kulmi dhe është paralele me bazën e trekëndëshitdybrinjënjëshëm.5. Njehsoni sipërfaqen e cilindrit të jashtëshkruar kubit me brinjë a (kulmet e kubit ndodhen nëbazat e cilindrit).6. Cilindri me lartësi h është brendashkruar në konin e drejtë rrethor me lartësi H dhe rreze tëbazës R. Gjeni raportin e vëllimeve të cilindrit dhe të konit.7. Është dhënë trekëndëshi barabrinjësABC me brinjë a. Drejtëza d kalon nga plani i trekëndëshitdhe ka me të vetëm pikën A të përbashkët, duke formuar me (AB) këndin e ngushtë 30o. Gjenivëllimin e tupit që formohet nga rrotullimi i trekëndëshit ABC rreth drejtëzës d.
    • 122 / Matematika 11Kreu 55.12 Sipërfaqja sferike. SferaNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Sipërfaqja sferike (sfera). Korda, diametri i sferës.. Rrethi i madh. Plani tangentndaj sferës.b) Veti. Sfera është sipërfaqja e përftuar nga rrotullimi i një gjysmërrethi rreth diametrit të tij.Sfera është bashkësia e pikave të hapësirës të baraslarguara nga një pikë fikse. Prerja e sferësme plan është rreth, ose pikë ose boshe.c) Metoda. Përftimi i trupave me anë të rrotullimit të figurave. Prerja e trupave me plane.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të japin përkufizimin e sferës si sipërfaqe rrotullimi.• Të tregojnë njëvlershmërinë me konceptimin si bashkësi pikash të baraslarguara nga qendra.• Të karakterizojnë vijën e prerjes së sferës me plan, në varësi të largesës së planit nga qendra.Udhëzime për zhvillimin e mësimitNë tekst sfera është përkufizuar si sipërfaqe rrotullimi dhe më tej është vënë në dukje vetiakarakteristike si bashkësi pikash të hapësirës, të baraslarguara nga qendra. Ky është fakti rëndësishëm dhe mësuesi duhet të këmbëngulë në evidentimin e njëvlershmërisë së dykonceptimeve. Më tej, të trajtohet në mënyrë problemore aspekti i prerjes (pikave të përbashkëta)të sferës me planin. Përfundimi përgjithësues (teorema) të nxirret nga nxënësit me punë tëpavarur a me grupe, duke shqyrtuar edhe rastet d=0 e d>R.Në të njëjtën mënyrë të veprohet për dy teoremat:1) Plani tangent me sferën është pingul me rrezen që kalon nga pika e takimit.2) Plani pingul me rrezen e sferës në skajin e kësaj rreze është plan tangent me sferën.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 5, 6.Ushtrime plotësuese1. Ç’vija janë prerjet e dy sferave bashkëqendrore me një plan?2. Vërtetoni se prerjet e sferës me dy plane, të baraslarguara nga qendra e saj, kanë rreze tëbarabarta.3. Në sferën me rreze 13 cm janë dhënë tri pika A, B, C, largesat midis të cilave janë 6 cm, 8 cm,10 cm. Njehsoni largesën e qendrës së sferës nga plani i trekëndëshit ABC.4. Dy plane pingulë e presin sferën me rreze 7 cm sipas rrathëve me rreze të njëjtë. Njehsonirrezet e këtyre rrathëve, duke ditur se korda e përbashkët e tyre është 2 cm.UdhëzimShqyrtoni katërkëndëshin e formuar nga qendra e sferës, qendrat e dy rrathëve dhe mesi i kordës sëpërbashkët.5. Sa plane tangjente me sferën mund të hiqen:a) nga një pikë e saj;b) nga një pikë jashtë sferës.
    • 123LIBËR PËR MËSUESIT6. Është dhënë rombi me diagonale 15 cm dhe 20 cm. Sfera me rreze 10 cm takon brinjët e këtijrombi. Gjeni largesën e qendrës së sferës nga plani i rombit.5.13 Vëllimi i rruzullit dhe sipërfaqja e sferësNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Sfera. Rruzulli. Cilindri dhe koni (i drejtë rrethor).b) Veti. Vëllimi i rruzullit është 334Rπ ; sipërfaqja e sferës është 4πR2.c) Metoda. Parimi i Kavalierit.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të përdorin formulat për vëllimin e rruzullit dhe sipërfaqen e sferës në situata të thjeshtamatematikore a reale.Udhëzime për zhvillimin e mësimitTë ndiqet mënyra e trajtimit, e dhënë në tekst, për nxjerrjen e formulës për vëllimin e rruzullit,duke përdorur parimin e Kavalierit.Mund të përdoret metoda e bisedës, duke i drejtuar klasës pyetje të strukturuara, për të nxjerrëpërfundimin përgjithësues 334RV π= .Në tekst, formula për sipërfaqen e sferës është dhënë pa vërtetim.Mësuesi të aktivizojë më tej nxënësit për të zgjidhur, me punë të pavarur a me grupe, ushtrimetqë janë zbatime të thjeshta, por të larmishme. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen atame numrat 1, 2, 3, 5, 7, 8.Ushtrime plotësuese1. Ndryshesa e vëllimeve të dy rruzujve është 156π cm3, ndërsa ndryshesa e rrezeve është 3 cm.Njehsoni rrezet e tyre.2. Në një sferë janë dhënë dy korda pingule me një skaj të përbashkët e me gjatësi të barabarta. Qendra e sferës ndodhet 4 cm larg nga plani i trekëndëshit ABC. Njehsonivëllimin e rruzullit që kufizon kjo sferë.3. Përmasat e një kuboidi janë 4 m, 6 m, 12 m. Njehsoni sipërfaqen e sferës së jashtëshkruarkëtij kuboidi.4. Është dhënë prizmi i drejtë me lartësi 4 cm dhe me bazë trekëndëshin kënddrejtë me katete 2cm dhe 4 cm. Njehsoni sipërfaqen e sferës së jashtëshkruar këtij prizmi.5. Në konin rrethor të drejtë me rreze 12 cm dhe përftuese 20 cm, brendashkruhet rruzulli. Tëgjendet vëllimi i rruzullit.6. Vërtetoni se raporti i vëllimeve të rruzullit dhe konit të jashtëshkruar atij, është i barabartë meraportin e sipërfaqeve të tyre.
    • 124 / Matematika 11Kreu 55.14 UshtrimeSynimi i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë përpunimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësivetë fituara në dy mësimet e mëparshme (5.12-5.13).Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë individualisht (me laps në dorë)dy shembujt që janë dhënë të zgjidhur në tekst. Pastaj mësuesi të organizojë diskutimin e tyre meklasën, duke evidentuar ato ecuri që kanë vlera në pikëpamje të metodës. Më tej, të kombinohetpuna e pavarur a me grupe e nxënësve të klasës për zgjidhjen e disa ushtrimeve të tekstit, mezgjidhjen në tabelë të disa ushtrimeve të tjera nga nxënës të ndryshëm. Secili nga ushtrimet edhëna për zgjidhje duhet të analizohet e diskutohet me klasën.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 5, 7.Ushtrime plotësuese1. Një sferë pritet nga dy plane paralelë, me largesë 21 cm njëri nga tjetri. Rrezet e rrathëve tëpërftuar nga prerja janë 12 cm dhe 9 cm. Njehsoni sipërfaqen e sferës.2. Sa drejtëza tangjente me sferën mund të hiqen:a) nga një pikë e saj;b) nga një pikë jashtë saj.3. Në një katërfaqësh të rregullt brendashkruhen dhe jashtëshkruhen sferat. Gjeni raportin esipërfaqeve të këtyre sferave.4. Shqyrtohen një cilindër rrethor i drejtë, me lartësi të barabartë me rrezen e bazës; gjysmërruzullii brendashkruar në të dhe koni i drejtë rrethor, me bazë bazën e cilindrit dhe me kulm në qendrëne bazës tjetër. Vërtetoni se vëllimet e tyre formojnë progresion aritmetik.5. Qendra e një sfere me rreze r ndodhet në brinjën e një dyfaqëshi me prerje të drejtë ao. Saështë sipërfaqja e pjesës së sferës që ndodhet ndërmjet faqeve të dyfaqshit?6. Prizmit të drejtë, me bazë trekëndëshin kënddrejtë ABC ( ), ku BC=a dhe , ibrendashkruhet rruzulli. Njehsoni vëllimin e rruzullit.5.15 Ushtrime për kreunKy mësim ka natyrë përsëritje. Rekomandohet që mësuesi t’u japë paraprakisht, si detyrë shtëpienxënësve, hartimin e një përmbledhje të njohurive dhe fakteve kryesore të kreut. Kjo bashkëme punën për zgjidhjen e ushtrimeve në klasë, do të bëjë të mundur realizimin e rimarrjes ethellimit të njohurive kryesore, kuptimin e lidhjeve midis tyre (struktura e kreut) dhe integrimine njohurive të kreut në kuadrin e vetë lëndës mësimore. Dy shembujt e zgjidhur, të dhënë nëtekst, të lexohen individualisht (me laps në dorë) nga nxënësit. Pastaj të organizohet me klasëndiskutimi i tyre, duke veçuar ecuritë që kanë vlerë në pikëpamje të metodës.Më tej, organizohet kombinimi i punës së nxënësve për zgjidhjen (me punë të pavarur a me grupe)të disa ushtrimeve të tekstit, me punën për zgjidhjen në tabelë, nga nxënës të ndryshëm, të disaushtrimeve të tjera. Secili nga ushtrimet e dhëna për zgjidhje të analizohet e diskutohet me klasën.
    • 125LIBËR PËR MËSUESITSi ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 3, 5, 6.Ushtrime plotësuese1. Kemi një fletë letre drejtkëndore, ku diagonalja formon me bazën këndin α . Fleta mbështilletnë formën e cilindrit, njëherë me përftuese brinjën më të madhe dhe një herë tjetër me përftuesebrinjën më të vogël. Gjeni raportin e vëllimeve të cilindrave të formuar.2. Prerja plane e një cilindri rrethor të drejtë me një plan, që është paralel me boshtin e cilindritdhe në largesë d prej tij, cakton në rrethin e bazës harkun me masë α . Sipërfaqja e kësaj prerjeështë S. Njehsoni vëllimin e cilindrit.3. Njehsoni vëllimin e konit rrethor të drejtë, duke ditur sipërfaqen e bazës S1dhe sipërfaqenanësore S2.4. Në një kon rrethor të drejtë përftuesja formon me bazën këndin α . Rrezja e sferës sëjashtëshkruar konit është R. Gjeni vëllimin e konit.5. Në cilindrin rrethor të drejtë, të brendashkruar në rruzull, brendashkruhet rruzull. Gjeniraportin e vëllimeve të këtyre rruzujve.6. Në konin rrethor të drejtë, që është brendashkruar në sferë, brendashkruhet sferë. Gjeniraportin e sipërfaqeve të sferave, duke ditur që përftuesja e konit formon me planin e bazës sëtij këndin α .7. Në konin me përftuese sa diametri i bazës është brendashkruar sfera dhe në këtë sferë ështëbrendashkruar kubi. Gjeni gjatësinë e brinjës së kubit, duke ditur se përftuesja e konit është a.8. Dy rrathë nuk ndodhen në të njëjtin plan, por kanë të përbashkëta dy pika A, B. Në qendrat ekëtyre rrathëve hiqen pingulet me planet e tyre.a) Vërtetoni se këto pingule ndodhen në planin që kalon nga mesi i [AB] pingul me [AB].b) Tregoni qendrën dhe rrezen e sipërfaqes sferike që përmban dy rrathët e dhënë.
    • 126 / Matematika 11Kreu 5KREU 66.1 Funksione që kanë limit +∞ kur x→+∞Njohuri teorike kryesorea) Kuptime. Limiti +∞ i funksionit, kur x→+∞. Grafiku.b) Veti. = +∞; = +∞ (n∈N);ax= +∞; = +∞ (a>1).c) Metoda. Metoda grafike për të konstatuar nëse f(x)= +∞.ShkathtësiNë mbarim të orës së mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të dallojnë nëse një funksion me grafik të njohur ka limit +∞ kur x→+∞.• Të tregojnë në bazë të përkufizimit që xn= +∞; = +∞.• Të japin shembuj funksionesh që nuk kanë limit +∞ kur x→+∞.Udhëzime për zhvillimin e mësimitKuptimi i limitit rezulton historikisht i vështirë për nxënësit e kësaj moshe, aq më tepër që kursi imëparshëm matematikor që ata kanë ndjekur nuk i ka përgatitur për këtë kuptim. Prandaj i duhetkushtuar kujdes daljes në këtë kuptim nëpërmjet situatave të thjeshta, duke përdorur gjerësishtpërfytyrimet grafike. Është me rëndësi që nxënësit të bëjnë mirë dallimin midis shprehjeve “xmerr vlera shumë të mëdha” dhe “x merr vlera sa të duam të mëdha”. Të ndiqet më tej ecuriametodike e paraqitur në tekst. Trajta e thjeshtë e përkufizimit të f(x)=+∞ është “vlerat e fbëhen sa të duam të mëdha, me kusht që të shqyrtohen vlera të x mjaft të mëdha”. Nënvizimetjanë të rëndësishme sepse shprehin thelbin e kërkesës.Në tekst jepet pastaj edhe përkufizimi i saktë për f(x)= +∞ “për çdo numër M>0 të dhënë,ekziston një x0>a e tillë që për x>x0të kemi f(x)>M”.Ky përkufizim është përdorur për të vërtetuar që 3x = +∞ e do të përdoret më tej edhenë disa raste të tjera (p.sh. për të vërtetuar që ax= +∞ kur a>1). Por vëmendja duhetpërqendruar në kuptimin e thelbit të faktit që f(x)= +∞, sipas përkufizimit të parë dhe nëinterpretimin grafik të tij.Nxënësit duhet të fiksojnë në kujtesë rezultatet e rëndësishme:nx = +∞; nx = +∞ (n∈N);xa = +∞; = +∞ (a>1).
    • 127LIBËR PËR MËSUESITSi ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3, 7/a,b,c.Ushtrime të zgjidhuraNr. 5/c. Të vërtetohet që për k>0, n∈N kemi nxk ⋅ = +∞.ZgjidhjeLe të jetë M>0 një numër i dhënë. Mosbarazimi Mxk n>⋅ është i njëvlershëm me n Mxk>d.m.th. me n nx > nkMpra |x|> nkM. Marrim x0= nkM.Atëherë për x>x0kemi x> nkM, prandaj edhe |x|> nkM, që ku rrjedh Mxk n>⋅ .Kjo do të thotë, në bazë të përkufizimit, që = +∞.Nr. 6/c. Të vërtetohet që = ∞+ .ZgjidhjeLe të jetë M>0 një numër i dhënë. Mosbarazimi x2 -1>M është i njëvlershëm mex2 >M+1, d.m.th. me x >21+M, d.m.th. (për x>0) është i njëvlershëm me x>212M +   .Marrim x0=212M +   . Atëherë për x>x0kemi x>212M +   , që ku del12Mx+> ,pra x2 -1>M. Kjo do të thotë, sipas përkufizimit që = ∞+ .Nr. 7/c. Të vërtetohet që funksioni y=cosx nuk ka limit ∞+ kur x→+∞.ZgjidhjePër çdo Rx ∈ kemi 1cos ≤x . Nëse marrim M=2, nuk ekziston asnjë x0>0 që për x>x0të kemicosx>M. Prandaj funksioni y=cosx nuk ka limit ∞+ kur x→+∞.Nr. 7/b. Të vërtetohet që funksionixy1= nuk ka limit ∞+ kur x→+∞.ZgjidhjePër 1≥x kemi 11≤x. Po të marrim M=0 nuk ekziston asnjë 10 ≥x që për x>x0të kemi Mx>1Prandaj funksionixy1= nuk ka limit ∞+ kur x→+∞.6.2 Disa teorema. Funksione që kanë limit -∞ kur x→ +∞Njohuri teorike kryesorea) Kuptime. Limiti ∞− i funksionit kur x→+∞.b) Veti. Katër teorema për funksionet që kanë limit ∞+ kur x→+∞.c) Metoda. Metoda e krahasimit për funksionet që kanë limit ∞+ kur x→+∞.
    • 128 / Matematika 11Kreu 5ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të përdorin katër teorema për gjetjen e limiteve ∞+ të funksioneve të thjeshta, kurx→+∞.• Të tregojnë nëse një funksion ka limit ∞− kur x→+∞, duke zbatuar përkufizimin dheteoremat e njohura.Udhëzime për zhvillimin e mësimitNga katër teorema të paraqitura është vërtetuar vetëm e para , kurse për tre të tjerat është thënë qëpranohen pa vërtetim. Me këtë jepet një indikacion për mësuesin, që nuk duhet të përqendrohetnë vërtetime, por kryesisht në zbatime në raste të thjeshta të këtyre teoremave.Shqyrtimi i shembullit për funksionin y=-x2është i nevojshëm për të dalë natyrshëm tekpërkufizimi:lim ( )xf x→+∞ = −∞  ⇔ lim [ ( )]xf x→+∞ − = +∞   .Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 4, 6, 9, 10.Ushtrime të zgjidhuraNr. 3. Duke përdorur teoremën 1 tregoni që funksioni y=x2+cosx ka limit ∞+ kur x→+∞.ZgjidhjePër çdo Rx ∈ (pra edhe për x>0) kemi 1cos −≥x , prandaj x2+cosx≥x2-1.Meqenëse (x2-1)= ∞+ , nga teorema 1 rrjedh që edhe (x2+cosx)= ∞+ .Nr. 5. Duke krahasuar me funksion të përshtatshëm, tregoni që funksioni i mëposhtëmka limit ∞+ kur x→+∞.a) y=4x-1; b) y=3x+x1.Zgjidhjea) Për x>1 kemi 4x-1>3x. Meqenëse 3x= ∞+ , nga teorema 1 rrjedh që edhe(4x-1)= ∞+ .b) Për x>0 kemi 3x+x1>3x. Meqenëse 3x= ∞+ , nga teorema 1 rrjedh që edhe13xx +  = ∞+ .Nr. 8. Dihet që f(x)= ∞+ , por funksioni y=f(x)+g(x) nuk ka limit kur x→+∞.Ç’mund të thuhet për funksionin y=g(x)?ZgjidhjeNëse do të kishim g(x)= ∞+ , atëherë nga teorema 2 do të dilte që edhe[f(x)+g(x)]= ∞+ , në kundërshtim me kushtin. Mbetet që funksioni y=g(x) nuk ka limit∞+ kur x→+∞.
    • 129LIBËR PËR MËSUESITNr. 13.a) Tregoni që për x>3 kemi –x2+2x<3-2x.b) Tregoni që (3-2x)= ∞− .c) Tregoni që (-x2+2x)= ∞− .Zgjidhjea) Mosbarazimi –x2+2x<3-2x është i njëvlershëm me –x2+4x-3<0,d.m.th. me x2-4x+3>0. Duke zgjidhur këtë inekuacion të fuqisë së dytë gjejmë që ai vërtetohetpër x<1 ose x>3, çfarë deshëm të vërtetojmë.b) Kemi (3-2x)= ∞− , sepse (2x-3)= ∞+ .c) Nga mosbarazimi –x2+2x<3-2x (për x>3) dhe fakti që(3-2x)= ∞− rrjedh që (-x2+2x)= ∞− .6.3 Funksione që kanë limit 0 kur x→+∞Njohuri teorike kryesorea) Kuptime. Limiti 0 i funksionit kur x→+∞.b) Veti. nx1=0; nx1=0 (n∈N).c) Metoda. Interpretimi grafik i faktit që f(x)=0.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të dallojnë nga grafiku nëse një funksion ka limit 0 kur x→+∞.• Të japin shembuj funksionesh që nuk kanë limit 0 kur x→+∞.• Të tregojnë, sipas përkufizimit, që nx1=1nx=0 për vlera të caktuara natyroretë n.Udhëzime për zhvillimin e mësimitTë ndiqet ecuria metodike e paraqitur në tekst. Zgjidhja e ushtrimit të propozuar synon të krijojëidenë që ka funksione, vlera absolute e të cilëve bëhet sa të duam e vogël me kusht që tëshqyrtohen vlera të x mjaft të mëdha. Përkufizimi i faktit që f(x)=0 jepet në dy trajta:1. ”|f(x)-0| të bëhet sa të duam ne e vogël, me kusht që të shqyrtohen vlera të x mjaft tëmëdha”.2. ”sidoqoftë numri ε>0, ekziston një numër pozitiv M, i tillë që për x>M të kemiε<− |0)(| xf ”.Trajta e dytë e përkufizimit (që është më e thelluara) është ajo që përdoret për vërtetime rigoroze(p.sh. që 31x=0).Por operimi me të mund të kërkohet vetëm për nxënësit e mirë; për masën e nxënësve mjafton të
    • 130 / Matematika 11Kreu 5kuptohet mirë trajta e parë dhe sidomos interpretimi grafik i faktit që f(x)=0.Nxënësit duhet të fiksojnë në kujtesë dhe të përdorin në raste të thjeshta faktet:nx1=0;nx1=0.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3/a,5.Ushtrime të zgjidhura1. Të vërtetohet që 3xe=0.ZgjidhjeLe të jetë 0>ε një numër i dhënë çfarëdo. Mosbarazimi 30ex− ε< është i njëvlershëmme ε<3xe, d.m.th. me3 | |exε< , pra me3 | |xe>ε1d.m.th.εex >3 || d.m.th. |x|>3εe.Nëse marrim M=3εe, për x>M kemi |x|>M d.m.th. |x|>3εe, që ku rrjedh mosbarazimi injëvlershëm ε<− 03xe.Kjo do të thotë, sipas përkufizimit që 03=xe.Nr. 4/b. Të vërtetohet që122+x=0.VërtetimLe të jetë ε>0 një numër i dhënë. Shqyrtojmë vlera të x>0.Kemi102 1xε− <+⇔12 1xε<+⇔ε112 >+x (kemi 2x+1>0) ⇔⇔ (2x+1)>21ε⇔ 2x>21ε-1 ⇔ x>21 211ε  −     .Marrim M=21−112ε. Për x>M kemi x>21−112ε, d.m.th. marrim mosbarazimin enjëvlershëm102 1xε− <+.Kjo do të thotë, sipas përkufizimit, që12 1x +=0.
    • 131LIBËR PËR MËSUESITNr. 6/b. Të vërtetohet që10ogx−l=0.ZgjidhjeLe të jetë ε>0 një numër i dhënë. Mosbarazimi10ogxε−<lështë i njëvlershëm me ,d.m.th. me ⇔ . Marrim M= .Për x>M kemi , prandaj , që ku del10ogxε−<l.Kjo do të thotë, sipas përkufizimit, që10ogx−l=0.6.4 Limiti i polinomit kur x→∞Njohuri teorike kryesorea) Kuptime. Polinomi, monomi, fuqia.b) Veti. “Limiti i polinomit, kur x→+∞ është sa limiti i monomit me fuqi më të lartë”.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të gjejnë limitin e një monomi kur x→+∞.• Të gjejnë limitin e një polinomi të trajtës kanonike kur x→+∞.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMësimi të nisë nga shqyrtimi i gjetjes së limitit të monomit kur x→+∞, duke shqyrtuar monomeme koeficientë e fuqi konkrete.Ushtrimi i dhënë në tekst, për gjetjen e limitit të funksionit y=2x3+x2+x+1, duke ditur që(2x3)= ∞+ , synon të ngjallë tek nxënësit një hamendje të caktuar.Megjithatë mësuesi nuk duhet të presë shumë prej tij, sepse ka të ngjarë që shumë nxënës të mosarrijnë ta zgjidhin. Prandaj është i dobishëm shqyrtimi i shembullit vijues, ku vërtetohet saktë që(x3-x2-x+1)= (x3).Pas kësaj të kërkohet zgjidhja nga nxënësit me punë të pavarur e me grupe e ushtrimit, kuvërtetohet që (-2x4-x3-x2-x)= (-2x4).Këta dy raste janë të mjaftueshëm për të nxjerrë përfundimin përgjithësues që shpreh tema. Mëtej të kalohet në zbatimet e thjeshta, si në ushtrimin (e pazgjidhur) që figuron në tekst.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3/a, b.
    • 132 / Matematika 11Kreu 6Ushtrime të zgjidhuraNr. 3/c. Të gjendet (x+1)5(x-1)3.ZgjidhjeDuke shkruar (x+1)5=(x+1)2(x+1)2(x+1) bindemi që kemi një polinom, monomi i të cilit mefuqinë më të lartë është x5. Meqenëse (x-1)3=x3-3x2+3x-1 (monomi me fuqinë më të lartë ështëx3), rrjedh që monomi me fuqinë më të lartë i polinomit (x+1)5(x-1)3është x5·x3=x8. Prandaj(x+1)5(x-1)3= x8= ∞+ .Nr. 5a) Gjeni m që grafiku i funksionit y=mx3-4x2+5x-1 të kalojë nëpër pikën A(1; 7).b) Gjeni pastaj limitin e këtij funksioni kur x→+∞.Zgjidhjea) Duhet e mjafton të kemi 7=m·13-4·12+5·1-1, dmth 7=m-4+5-1; del m=7.b) (7x3-4x2+5x-1)= (7x3)= ∞+ .6.5 Funksione që kanë limit l kur x→+∞Njohuri teorike kryesorea) Kuptime. Limiti l i funksionit kur x→+∞. Limiti 0 i funksionit kur x→+∞.b) Metoda. Zëvendësimi i shprehjes f(x) me shprehjen l−)(xf për të arritur në njëpërfundim të caktuar.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të tregojnë sipas përkufizimit nëse limiti i një funksioni të thjeshtë kur x→+∞ është 0.• Të përdorin këtë shkathtësi për të treguar sipas përkufizimit nëse limiti i një funksioni tëthjeshtë kur x→+∞ është l.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMësuesi mund t’u japë nxënësve si detyrë të lexojnë në tekstin e hapur shembullin, ku bëhetkrahasimi i vlerave të funksioneve y=2 11xx+−dhe y= 2112−−+xx.Më tej, para se të jepet përkufizimi, ai mund të trajtojë vetë një shembull të ngjashëm, p.sh.për funksionet y= 221xx +dhe y= 1122−+xx(d.m.th. y= 21x). Kështu, dilet natyrshëm tekpërkufizimi⇔ .Pastaj nxënësit me punë të pavarur e me grupe të punojnë ushtrimin e vendosur në materialinteorik të tekstit: +x15 =5.
    • 133LIBËR PËR MËSUESITSi ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3/a, 7/b.Ushtrime të zgjidhuraNr. 4/a. Të vërtetohet që 0)1(32=−xx.ZgjidhjeMjaftontëvërtetojmëqë23(1 )xx= +∞−.Përx>1kemi0<3(1-x)<4xdmth|3(1-x)<4|x|=4x.Prandaj për x>1 kemi|)1(3|1x−>x41dhe2| 3(1 ) |xx−>xx412Por4x= ∞+ , prandaj nga teorema 1 rrjedh|)1(3|2xx−= ∞+ ,Që nga 2)1(3xx−=0.Nr. 6/a. Të gjendet limiti kur x→+∞ i funksionit y= 321xxx ++.ZgjidhjeShohim321xx x+ +=321xx x+ +(sepse x>0).Për 2≥x kemi x2+x+1<2x2, prandaj112++ xx> 221xd.m.th.321xx x+ +> 232xx. Por2x= ∞+ , prandaj nga teorema 1 del edhe123++ xxx= ∞+ , që nga231x xx+ +=0.6.6 Limite të funksionit kur x→∞Njohuri teorike kryesorea) Kuptime. Limiti ( ∞−∞+ ,,,0 l ) i funksionit kur x→+∞.b) Metoda. Zëvendësimi i ndryshores.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të gjejnë (nëse ekziston) limitin e një funksioni të thjeshtë y=f(x), kur x→+∞, duke gjeturlimitin f(-t).
    • 134 / Matematika 11Kreu 6• Të dallojnë grafikisht funksione që kanë limit ( ∞−∞+ ,,,0 l ) kur x→+∞.• Të japin shembuj funksionesh që nuk kanë limite kur x→+∞.Udhëzime për zhvillimin e mësimitTë ndiqet ecuria metodike e paraqitur në tekst. Ka rëndësi kuptimi i saktë i faktit “kur vlerat e xrriten pambarimisht, vlerat e ndryshores t=-x bëhen më të vogla se çdo numër pozitiv i dhënë”.Pastaj të trajtohen, duke ngjallur diskutim në klasë, shembujt me funksionet y=2+x1, y=2xkurx→+∞.Mbi këtë bazë të dilet në përfundimin përgjithësues që fut kuptimin e limitit të funksionit kurx→-∞.lim ( )xf x→−∞ =  l ⇔ .Më tej të punohet shembulli për (x3-2x2+x-3) dhe pastaj nxënësit të zgjidhin, me punë tëpavarur, (2x4-x3+x+1).Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 3, 4/a, 6, 8.Ushtrime të zgjidhuraNr. 2/b. Të vërtetohet qëxx3=0.ZgjidhjeZëvendësojmë x=-t dhe shqyrtojmëtt−−3=tt3.Ky limit është zero, sepse3tt= 3 2t = ∞+ .Nr. 4/b. Të vërtetohet që12| |n x +  l=2.VërtetimZëvendësojmë x=-t dhe shqyrtojmë12| |n t + − l=12nt +  l.Kemi , prandaj =0.Meqenëse diferenca12nt +  l-2 e ka limitin 0, del12nt +  l=2.Nr. 5/a. Të vërtetohet që)(5xn −l=0.VërtetimShënojmë x=-t dhe marrim5( )n x−l= .
    • 135LIBËR PËR MËSUESITKemi , prandaj = ∞+ , prej ku =0.6.7 UshtrimeKëto ushtrime synojnë përpunimin e njohurive dhe zhvillimin e aftësive të përvetësuara nëmësimet 6.1-6.6. Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke kombinuar zgjidhjen me punë tëpavarur a me grupe të disa ushtrimeve nga nxënësit në banka, me zgjidhjen e disa ushtrimeve tëtjera nga nxënës të ngritur në tabelë.E rëndësishme është që nxënësit të marrin pjesë aktive në zgjidhjen dhe diskutimin e ushtrimeve.Përgjigjja e nxënësit nga banka ose nga tabela për zgjidhjen e një ushtrimi duhet të dëgjohetnga klasa (duke ndërprerë përkohësisht, po qe e nevojshme edhe punën e vet), duke bërë edhekorrigjimet e nevojshme.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 2; 4; 6; 11/a, b; 13.Ushtrime të zgjidhuraNr. 1. Të vërtetohet që (ax+b)= ∞+ kur a>0.ZgjidhjeLe të jetë M>0 një numër i dhënë. Mosbarazimi ax+b>M është i njëvlershëm me ax>M-b dheme x>abM −(duke pasur parasysh që a>0).Shënojmë x0=abM −.Atëherë për x>x0kemi x>abM −, që ku rrjedh mosbarazimi i njëvlershëmax+b>M, çfarë deshëm të vërtetojmë.Nr. 5. Dihet që)()(xgxf= ∞+ dhe g(x)= ∞+ .Ç’mund të thuhet për funksionin y=f(x)?ZgjidhjeKemi f(x)=)()(xgxf·g(x). Meqenëse)()(xgxf= ∞+ dhe g(x)= ∞+ , nga teorema 3(mësimi 6.2) rrjedh f(x)= ∞+ .Nr. 7. Të vërtetohet që, kur a>1, .VërtetimTë vërtetojmë në fillim që = . Shënojmë , atëherë x=ta 1, që kutax −= , prandaj , d.m.th. .
    • 136 / Matematika 11Kreu 6Kështu = .Por (sepse a>1), prandaj = ∞− .Nr. 8. Të vërtetohet që:a) Nëse f(x)= ∞− dhe g(x)= ∞− , atëherë [f(x)+g(x)]= ∞− .b) Nëse )()( xgxf ≤ dhe g(x)= ∞− , atëherë f(x)= ∞− .Zgjidhjea) Meqenëse f(x)= ∞− dhe g(x)= ∞− , kemi[-f(x)]= ∞+ dhe [-g(x)]= ∞+ .Nga teorema 2 (mësimi 6.2) rrjedh që [-f(x)-g(x)]= ∞+ . Por kjo do të thotë që[f(x)+g(x)]= ∞− .b) Nga )()( xgxf ≤ rrjedh )()( xgxf −≥− .Por [-g(x)]= ∞+ (sepse g(x)= ∞− ).Nga mosbarazimi )()( xgxf −≥− rrjedh, sipas teoremës 1 të mësimit 6.2,që [-f(x)]= ∞+ . Por kjo do të thotë që f(x)= ∞− .6.8 Asimptota horizontale. Disa teorema mbi limitetNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Grafiku. Limiti l i funksionit kur x→+∞ (x→-∞). Asimptota horizontaleb) Veti. Teoremat mbi limitin e shumës, prodhimit, herësit të dy funksioneve kur x→+∞(x→-∞). Teorema e dy policëve.c) Metoda. Metoda grafike për studimin e vetive të funksionit.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të gjejnë asimptotat horizontale për funksionet homografike.• Të gjejnë asimptotat horizontale për funksione të thjeshtë, për të cilët f(x)=l .• Të përdorin në raste të thjeshta teoremat mbi shumën, prodhimin, herësin e dy funksioneve,që kanë limit kur x→+∞ (x→-∞).• Të përdorin teoremën e “dy policëve” kur x→+∞ (x→-∞).Udhëzime për zhvillimin e mësimitTë ndiqet ecuria metodike e propozuar në tekst. Tek kuptimi i asimptotës horizontale të diletnëpërmjet shembullit të funksionit y=x1. Pastaj të trajtohet ushtrimi për funksionin y=1+x1.Pasi të shqyrtohet rasti i përgjithshëm për funksionin y=f(x) dhe drejtëzën y=l , kur x→+∞ dhetë jepet përkufizimi i asimptotës horizontale kur x→+∞, duhet ndalur në shqyrtimin e rastitkur x→-∞.
    • 137LIBËR PËR MËSUESITTë punohet, lidhur me këtë, nga nxënësit (me punë të pavarur apo me grupe) ushtrimi përasimptotën horizontale të grafikut të funksionit y=112−+xxkur x→-∞.Teoremat mbi limitet e funksioneve kur x→+∞ (x→-∞) në tekst janë dhënë pa vërtetim, nëpërputhje me kërkesat e programit. Mësuesi mund të kërkojë nga nxënësit që të lexojnë në tekstformulimet e teoremave dhe shembujt përkatës që janë dhënë.Më tej duhet të kalohet në ushtrime të thjeshta zbatuese.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1; 2; 3/a, b; 4.Ushtrime të zgjidhuraNr. 3/a. Të gjendet asimptota horizontale e grafikut të funksionit y=xxsin1+.ZgjidhjeKemi 1sin1 ≤≤− x , prandaj 2sin10 ≤+≤ x .Për x>0 (sepse x→+∞) kemixxx 2sin10 ≤+≤ .Por 0=0 dhex2=0, prandaj nga teorema e “dy policëve” rrjedh që edhexxsin1+=0. Asimptotë horizontale e grafikut kur x→+∞ është drejtëza y=0.Nr. 5/b. Të gjendet asimptota horizontale e grafikut të funksionit y=2 13 4xx+−.ZgjidhjeDuke pjesëtuar numëruesin dhe emëruesin me x, marrim y=1243xx+−.Kemix1=0 dhe −x4=0, prandaj +x12 =2 dhe −x43 =3( 0≠ ). Në bazë të teoremës 3/c (mësimi 6.8) del1243xx+−=32.Asimptotë horizontale e grafikut, kur x→+∞ është drejtëza y=32.6.9 Limiti i funksionit racional thyesor, kur x→+∞ (x→-∞)Njohuri teorike kryesorea) Kuptime. Funksioni racional thyesor. Limiti i funksionit kur x→+∞.b) Veti. Teorema që pohon se limiti i funksionit racional thyesor, kur x→+∞ (x→-∞) është sa
    • 138 / Matematika 11Kreu 6limiti i raportit të monomeve me fuqi më të lartë të x në numërues e në emërues.c) Metoda. Shndërrime identike të shprehjeve thyesore racionale. Rregullat e kalimit nëlimit, kur x→+∞ (x→-∞).ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të gjejnë limitin e funksionit racional thyesor kur x→+∞ (x→-∞).• Të shkruajnë ekuacionin e asimptotës horizontale të tij.Udhëzime për zhvillimin e mësimitNë paraqitjen e materialit në tekst është ndjekur rruga induktive; nëpërmjet shembujve të nxirretpërfundimi përgjithësues. Është e rëndësishme që nxënësit, me punë të pavarur a me grupe, tëzgjidhin ushtrimin hyrës, ku trajtohen disa funksione të thjeshtë racionalë. Mësuesi mund tëbëjë sugjerimin “të pjesëtohet numëruesi dhe emëruesi me fuqinë më të lartë të x”. Në klasë tëtrajtohet hollësisht shembulli 1 (duke aktivizuar nxënësit nëpërmjet strukturimit të pyetjeve).Shembujt 2, 3 nxënësit mund t’i lexojnë brenda orës së mësimit në tekst. Në këtë mënyrë arrihetnë rrugë të natyrshme tek përfundimi përgjithësues, që shprehet nga teorema. Pasi trajtohetshkurt shembulli i dhënë i zgjidhur, më tej në tekst është e rëndësishme që nxënësit të kryejnë,me punë të pavarur a me grupe, zgjidhjen e ushtrimit të vënë në tekst (me 3 kërkesa), që përbënnjë zbatim direkt të teorisë.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 4.Ushtrime të zgjidhuraNr. 5/b. Të gjendet109( 5)( 1)xx+−.ZgjidhjeDuke shkruar (x+5)10= 2)5( +x 2)5( +x 2)5( +x 2)5( +x 2)5( +x bindemi që monomi i tijme fuqi më të lartë është 22222xxxxx ⋅⋅⋅⋅ = x10.Duke shkruar 9)1( −x = 3)1( −x 3)1( −x 3)1( −x bindemi që monomi i tij me fuqi më të lartëështë 333xxx ⋅⋅ = 9x .Prandaj 910)1()5(−+xx= = x= ∞+ .Nr. 7. Është dhënë funksioni y= 2)(12mxx−−.a) Gjeni m që grafiku i funksionit të kalojë nëpër pikën A(0; -1).b) Gjeni asimptotat horizontale të grafikut të funksionit .Zgjidhjea) Koordinatat e pikës A duhet e mjafton të vërtetojnë ekuacioniny= 2)(12mxx−−, pra të kemi –1= 2)(1m−−, që nga m2=1, dmth m=1 ose m=-1.
    • 139LIBËR PËR MËSUESITb) Për m=1 kemi funksionin y= 22 1( 1)xx−−.2)1(12−−xx= 22xx=x2=0.Edhe 2)1(12−−xx=0.Drejtëza y=0 është asimptotë horizontale e grafikut të funksionit kur x→+∞ ose x→-∞. Kurm=-1 kemi funksionin y= 2)1(12+−xx.Edhe për grafikun e tij drejtëza y=0 është asimptotë horizontale (kur x→+∞, kur x→-∞).Nr. 8. Është dhënë funksioni y= .a) Gjeni a, b që grafiku të kalojë nëpër pikat A(0; 1) dhe B(1; 3).b) Gjeni pastaj limitet e funksionit kur x→+∞, x→-∞.Zgjidhjea) Duhet e mjafton që koordinatat e pikës A dhe koordinatat e pikës B të vërtetojnë ekuacioniny=22 3x xax b+ ++, d.m.th. të kemi3163ba b= = +që ku b=3 dhe a=-1.Funksioni është y=3322+−++xxx.b)22 33x xx+ +− +=2xx−= ∞− ;3322+−++xxx=xx−2= ∞+ .6.10 Ushtrime për përpunim të njohuriveSynimi i mësuesit për këtë orë mësimi duhet të jetë përforcimi i aftësive të përvetësuara nëmësimet e mëparshme të kreut, sidomos në mësimet 6.8-6.9. Është e këshillueshme që tëkombinohet puna në banka (e pavarur a në grupe) e nxënësve të klasës për zgjidhjen e disaushtrimeve të tekstit, me zgjidhjen në tabelë të disa ushtrimeve të tjera nga nxënës të veçantë.Zgjidhja e secilit ushtrim duhet të analizohet e të diskutohet me klasën.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1; 2; 3/a, b; 4; 5.Ushtrime të zgjidhuraNr. 3/a. Të gjenden asimptotat horizontale të grafikut të funksionit y=a+ nx1( Nn ∈ )
    • 140 / Matematika 11Kreu 6ZgjidhjeDimë se për Nn ∈ , kemi nx1=0. Por a=a.Prandaj (teorema 1/a e mësimit 6.8) kemi1nax +  =a+0=0.Drejtëza y=a është asimptotë horizontale e grafikut, kur x→+∞.(Njëlloj arsyetohet edhe për rastin kur x→-∞.)Nr. 6/b.ZgjidhjeSidoqoftë m, grafiku i funksionit y=173−−xmxka si asimptotë horizontale, kur x→+∞, drejtëzëny=73, sepse173−−xmx=xx73=73.Nr. 8/b.ZgjidhjePër 0≠a , grafiku i funksionit y= ka si asimptotë horizontale, kur x→+∞. (x→-∞.)drejtëzën y=a2, sepse = =a2.Për a=0 ( 0≠b ), grafiku i funksionit nuk ka asimptotë horizontale, sepse(sipas shenjës së b).6.11 Funksione që kanë limit zero në zeroNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Limiti 0 i funksionit në zero. Grafiku i funksionit.b) Veti.0lim→xxn=0 (n∈N).c) Metoda. Metoda grafike për gjetjen e limitit zero të funksionit kur 0→x .ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të dallojnë nga grafiku nëse funksioni ka limit zero kur 0→x .• Të japin shembuj funksionesh që nuk kanë limit zero kur 0→x .• Të vërtetojnë sipas përkufizimit që0lim+→xxn=0 (n∈N).Udhëzime për zhvillimin e mësimitKuptimi i limitit zero të funksionit kur 0→x nuk është aspak një kuptim i thjeshtë dhe përvoja
    • 141LIBËR PËR MËSUESITshumëvjeçare botërore ka treguar që ai nuk intervizohet lehtë në të menduarit e nxënësit. Prandajnë tekst është proceduar me kujdes, duke filluar nga shembujt më të thjeshtë (funksioni f:y=x2), nëata më pak të thjeshtë (g:y==≠0102xpërxpërx; h:y=xx2) duke përdorur edhe ilustrimet grafike,për të kuptuar mirë dy gjëra esenciale:a) Vlerat e funksionit mund të bëhen sa të duam afër numrit zero, kur vlerat e x (x≠0) zgjidhenmjaft afër zeros.b) Pika e lëvizshme M(x, y) e grafikut i afrohet pambarimisht origjinës, kur vlerat e x iafrohen pambarimisht zeros.Trajta e dytë e përkufizimit për0lim→xf(x)=0 (në gjuhën r−ε ) është dhënë për të krijuar njëbazament teorik rigoroz për disa vërtetime të para.Mësuesi nuk duhet t’i vërë kësaj gjuhe theks të posaçëm në trajtimin e lëndës pasardhëse e nukduhet të kërkojë zotërimin e saj nga masa e nxënësve. Mjafton vërtetimi në këtë gjuhë i faktit që0lim→xnx =0 ( Nn ∈ ).Pas dhënies së përkufizimit e trajtimit të shembujve, është mirë të zhvillohen ushtrime përinterpretimin grafik të0lim→xf(x)=0.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1; 2/a, b; 3; 4; 9.Ushtrime të zgjidhura1. Të vërtetohet që0lim→x3− x=0.ZgjidhjeLe të jetë 0>ε një numër i dhënë, sado i vogël. Kemi 3| − x|=| 3− ||x|= ||3 x .Për të pasur ε<− |3| x , mjafton të marrim ε<||3 x , d.m.th. |x|<3εMarrim r=3εdhe për [,] rrx −∈ ( 0≠ ) kemi |x|<3εd.m.th. ε<− |3| x , çfarë deshëm tëvërtetojmë.Nr. 5. Të vërtetohet që0lim→x|x|=0.ZgjidhjeLe të jetë 0>ε një numër i dhënë. Mjafton të marrim ε=r , sepse për [,] rrx −∈ ( 0≠x )kemi rx <|| d.m.th. ε<|| x , çfarë deshëm të vërtetojmë.Nr. 7/b. Të gjendet limiti kur 0→x i funksionit y=xx3.ZgjidhjeKy funksion nuk është i përcaktuar për x=0, megjithatë ka limit zero kur 0→x .
    • 142 / Matematika 11Kreu 6Le të jetë 0>ε një numër i dhënë. Mosbarazimi ε<|)(| xf është ε<xx3dhe për 0≠xështë i njëvlershëm me ε<|| 2x ⇔ ε<2|| x ⇔ ε<|| x .Mjafton të marrim ε=r . Për 0≠x nga ]-r, r[ kemi 0<|x|<r d.m.th. ε<< ||0 x , që ku delε<xx3, çfarë deshëm të vërtetojmë.Nr. 7/a. Tregoni që funksioni y=2 01 0x për xpër x≠=ka limit 0 kur 0→x .ZgjidhjeNdonëse f(0)=1, kemi0lim→xf(x)=0. Le të jetë 0>ε një numër i dhënë.Për x≠0, mosbarazimi ε<|)(| xf ka pamjen ε<|2| x ⇔2||ε<x .Marrim2ε=r . Atëherë për 0<|x|<r kemi 0<|x|<2ε, që ku del ε<|2| x d.m.th. ε<|)(| xf ,çfarë deshëm të vërtetojmë.6.12 Funksione që kanë limit 0 kur x→a. P.m.v.Njohuri teorike kryesorea) Kuptime. Limiti 0 i funksionit kur ax → . Funksione p.m.v kur ax → .b) Veti. Katër teorema mbi vetitë e funksionit p.m.v.c) Metoda. Interpretimi grafik i limitit të funksionit.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të dallojnë nga grafiku nëse një funksion ka limit 0 kur x→a.• Të japin grafikisht shembuj funksionesh që nuk janë p.m.v kur x→a..• Të përdorin në raste të thjeshta faktin qëax→lim (x-a)n=0.• Të përdorin në raste të thjeshta teoremat që shprehin vetitë e funksioneve p.m.v.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMateriali i paraqitur për këtë orë mësimi ka ngarkesë konceptuale e vëllimore, prandaj trajtimittë tij i duhet kushtuar e gjithë ora e mësimit, duke hequr dorë nga format tradicionale të kontrollittë dijes. Të ndiqet ecuria metodike e propozuar në tekst, duke e zhvilluar mësimin me libërhapur, duke punuar me punë me grupe për ushtrimet e vëna në materialin teorik dhe duke lexuarshembujt. Ka rëndësi që nxënësit të kuptojnë saktë shprehjet:“Vlerat e funksionit mund të bëhen sa të duam afër numrit zero, kur vlerat e x zgjidhen mjaftafër numrit a (x≠0)”.“Pika M(x, y) në grafik i afrohet pambarimisht pikës A(a; 0), kur vlerat e x ( ax ≠ ) i afrohenpambarimisht numrit a”.
    • 143LIBËR PËR MËSUESITTrajta e dytë e përkufizimit përax→lim f(x)=0 (ajo në gjuhën r−ε ) nuk konsiderohet kryesore nëtrajtimin e materialit (sepse është e vështirë për t’u përdorur nga nxënësit). Roli i saj do të jetëvetëm në ndonjë vërtetim të thjeshtë në hapat e para.Teoremat që shprehin vetitë e p.m.v. janë dhënë pa vërtetim; vëmendja të përqendrohet nëzbatimet e tyre.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1; 2; 3; 5/a; 6/a; 7/a, b.Ushtrime të zgjidhuraNr. 3. Tregoni që1lim→x|x-1|=0.ZgjidhjeLe të jetë 0>ε një numër pozitiv i dhënë. Mjafton të marrim ε=r , sepse për 1≠x dhe)1,1( rrx +−∈ vërtetohet mosbarazimi |x-1|<r, d.m.th. ε<− |1| x .Nr. 7/a. Vërtetoni që0lim→xx·sin2x=0.ZgjidhjePër çdo Rx ∈ kemi 1|2sin| ≤x , që ku |||2sin||| xxx ≤⋅ , prandaj |||2sin|0 xxx ≤≤ .Por0lim→x0=0 dhe0lim→x|x|=0.Nga teorema e dy policëve rrjedh0lim→x|x·sin2x|=0.Meqenëse |2sin|2sin|2sin| xxxxxx ≤≤− rrjedh, po nga ajo teoremë që0lim→xx·sin2x=0.Nr. 8/c. Të vërtetohet (sipas vetive të p.m.v.) që13x −  11x +   x1=0.VërtetimDuke kryer shumëzimet marrim:13x −  11x +   x1 = 23 1x x −  11x +  = 23 1x x−+ 2 33 1x x− .Të gjitha kufizat brenda kllapës së fundit e kanë limitin 0 kur +∞→x , prandaj nga teorema 1del 23 1x x−+ 2 33 1x x− =0.6.13 Limiti i funksionit kur x→aNjohuri teorike kryesorea) Kuptime Limiti i funksionit kur ax → . P.m.v. kur ax → .b) Veti. Teorema: ⇔ [f(x)-l p.m.v. kur ax → ].ax→lim c=c;ax→lim x=ac) Metoda. Zëvendësimi i shprehjes me një më të përshtatshme.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të dallojnë nga grafiku nëse një funksion ka limit l kur ax → .
    • 144 / Matematika 11Kreu 6• Të gjejnë në raste shumë të thjeshta limitin e f kur x→a, duke treguar që l−)(xf ështëp.m.v. kur x→a.• Të përdorin në raste të thjeshta faktet qëax→lim c=c;ax→lim x=a.Udhëzime për zhvillimin e mësimitEdhe trajtimit të materialit të këtij mësimi i duhet kushtuar ora e plotë.Në pjesën e parë të mësimit synohet që nëpërmjet shembujve dhe ilustrimeve grafike të sqarohetpërmbajtja e përkufizimit që vijon:“Vlerat e f mund të bëhen sa të duam afër numrit l, kur vlerat e x zgjidhen mjaft afër numrit a”.Përkufizimi iax→lim f(x)=l në gjuhën ε, r nuk do të luajë rol në trajtimin e mëtejshëm të lëndës,prandaj mësuesi nuk duhet të ndalet gjatë në përpunimin e tij. Përkundrazi është shumë erëndësishme (në vetvete dhe për zbatimet) teorema:“ ⇔ [f(x)- l p.m.v. kur x→a].Po kështu, shumë të rëndësishëm janë faktetax→lim c=c dheax→lim x=a. Mësuesi të kërkojë qënxënësit me punë të pavarur a me grupe të zgjidhin ushtrimin për grafikun e funksionity=242−−xxdhe limitin e tij, kur x→2, i cili ka mjaft vlera formuese.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3, 9.Ushtrime të zgjidhuraNr. 4/b. Të vërtetohet që1lim→x 2522+− xx=2.ZgjidhjeMarrim diferencën 22522−+− xx=2122+− xx=2)1( 2−x.Funksioni y=(x-1)2është p.m.v. kur x→1, prandaj edhe funksioni y=21(x-1)2është p.m.v. kurx→1 (teorema 3 tek vetitë e p.m.v.).Nr. 5/b. Të vërtetohet qëcos2xx −  =-2.ZgjidhjeMarrim diferencëncos2xx −  -(-2)=xxcos. Porxxcos=0 (sepse mund të shkruajmëxxxx1cos1≤≤− ). Kjo tregon që − 2cosxx=-2.Nr. 8/ç. Vërtetoni sipas përkufizimit që2lim→x 4242−−xx=2.
    • 145LIBËR PËR MËSUESITZgjidhjeLe të jetë ε një numër pozitiv i dhënë. Për x≠2 mosbarazimi |f(x)-2|<ε merr pamjen222x +−ε< ⇔2|2| −xε< ⇔ |x-2|<2ε.Marrim ε2=r . Atëherë për 2≠x nga (2-r, 2+r) kemi |x-2|<r, dmth |x-2|<2ε, që ku rrjedhmosbarazimi i njëvlershëm ε<− |2)(| xf .6.14 Teoremat themelore mbi limitinNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Funksioni p.m.v. kur x→a. Limiti l i funksionit kur x→a.b) Veti. Teoremat mbi shumën dhe prodhimin e disa funksioneve që kanë limit kur x→a.Dy rrjedhime prej tyre.c) Metodë. Zëvendësimi i shprehjes me një tjetër më të përshtatshme.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të përdorin teoremat mbi limitin e shumës dhe të prodhimit në raste të thjeshta për gjetjelimitesh kur x→a.• Të përdorin lirisht nxjerrjen e konstantes jashtë shenjës së limitit.• Të gjejnë limitin e një fuqie kur njihet limiti i bazës së saj.Udhëzime për zhvillimin e mësimitTeorema mbi limitin e shumës është vërtetuar duke përdorur ekuivalencën logjikelim ( )x af x→ =  l ⇔ [f(x)-l p.m.v. kur x→a].E rëndësishme është që nxënësit ta zbatojnë atë në raste të thjeshta (duke ditur qëax→lim c=c dheax→lim x=a), edhe kur numri i të mbledhshmëve është më i madh se dy.Teorema për limitin e prodhimit është dhënë pa vërtetim; përkundrazi janë vërtetuar thjeshtërrjedhimet e saj (rasti i fuqisë për n=2). Edhe këtu është e rëndësishme që nxënësit të vihen nëpunë të pavarur e me grupe në zbatime të thjeshta të saj fillimisht, duke kaluar më tej në zbatimeme kombinim të dy teoremave, si p.sh.5lim→x(x2-x).Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3, 4, 5.Ushtrime të zgjidhuraNr. 6/a. Të gjendet2lim→x(x2-5x+7).ZgjidhjeKemi2lim→x(x2-5x+7)=2lim→x(x2)-2lim→x(5x)+2lim→x7=22-52lim→xx+7=22-5·2+7=1.Nr. 7/a. Nëse funksioni g ka limit kur x→a, kurse funksioni f nuk ka limit kur x→a, ç’mund tëthemi për funksionin f-g?
    • 146 / Matematika 11Kreu 6Zgjidhje(f-g) nuk ka limit kur x→a. Me të vërtetë, nëse funksioni (f-g) do të kishte limit, atëherë edhefunksioni f që shkruhet si shumë f=(f-g)+g do të kishte limit kur x→a, gjë që është në kundërshtimme kushtin.Nr. 7/b. Nëse funksioni g nuk ka limit, kurse funksionigfka limit kur x→a, ç’mund të thonipër funksionin f?ZgjidhjeMund të ndodhë që f të ketë limit. P.sh. f=x, g=x1dhe a=0.( f(x)=0;)()(xgxf= x2=0; g(x) nuk ekziston.)Mund të ndodhë që f të mos ketë limit. P.sh. f(x)=g(x)=x1, kur x→0.6.15 Teoremat themelore mbi limitinNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Polinomi. Funksioni racional thyesor. Funksioni i zakonshëm.b) Veti.ax→lim P(x)=P(a);ax→lim( )( )P xQ x=( )( )P aQ akur 0)( ≠aQ . Teorema mbi limitin e raportit.ax→lim f(x)=f(a) kur f është funksion i zakonshëm dhe a është pikë e bashkësisë së përcaktimit.c) Metoda. Përgjithësimi.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të zbatojnë, duke respektuar kushtet, teoremën mbi limitin e raportit.• Të gjejnë limitin e polinomit në një pikë a.• Të gjejnë limitin e funksionit racional thyesor në pikat ku emëruesi është ≠0.• Të dallojnë nëse një funksion i dhënë është funksion i zakonshëm.• Të gjejnë limitin e funksionit të zakonshëm në një pikë të bashkësisë së përcaktimit.Udhëzime për zhvillimin e mësimitTë ndiqet ecuria metodike e propozuar në tekst. Sipas saj, një shembull i zgjidhur, i ndjekur ngashembuj gjysmë të zgjidhur apo ushtrime të posaçme synon të lindë tek nxënësit një hamendje ecaktuar. Pasi formulohet përfundimi përgjithësues dhe merret konfirmimi që ai qëndron, kalohetnë zbatime të larmishme, duke filluar nga ato më të thjeshtat. Duhet theksuar fort fakti që teoremambi limitin e raportit mund të zbatohet vetëm kur limiti i emëruesit është i ndryshëm nga zero.Të jepet shembull kur teorema nuk mund të zbatohet. Kuptim i rëndësishëm e përmbledhës ështëai i funksionit të zakonshëm. Sqarimit të këtij kuptimi, mësuesi duhet t’i kushtojë vëmendjen eduhur, duke treguar edhe shembuj funksionesh që nuk janë të tillë, si y=211x për xx për x ≥<.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1; 2; 3; 4/a; 5/a; 8.
    • 147LIBËR PËR MËSUESITUshtrime të zgjidhuraNr. 5/b. Të gjendet1lim→x72++ xx .ZgjidhjeFunksioni y= 72++ xx është funksion i zakonshëm dhe është i përcaktuar në pikën x=1.Prandaj limiti i tij kur 1→x do të jetë sa vlera e funksionit në pikën x=1.Kështu,1lim→x72++ xx = 7112++ = 9 =3.Nr. 6/b. Të gjendet3lim−→x32211xx + − .ZgjidhjeFunksioni y=32211xx + − është funksion i zakonshëm dhe i përcaktuar për x=-3. Prandaj limitii tij kur 3−→x është i barabartë me vlerën e tij në pikën x=-3.Kështu3lim−→x32211xx + − =39 19 1+   −=1000512=102= 585.6.16 Funksione pambarimisht të mëdhenj (p.m.m.) kur x→aNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Funksioni p.m.m. (p.m.m. me shenjë +, p.m.m. me shenjë -) kur x→a. Funksionip.m.v. kur x→a.b) Veti. Njëvlershmëria [f është p.m.m. kur x→a] ⇔ [f1është p.m.v. kur x→a]. Vetitë efunksioneve p.m.m.c) Metodë. Shqyrtimi i inversit të një funksioni.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të dallojnë nga grafiku nëse një funksion është p.m.m. kur x→a.• Të dallojnë nëse një funksion është p.m.m. (p.m.m. me shenjë +, p.m.m. me shenjë -) dukeshqyrtuar inversin e tij, në raste të thjeshta.• Të zbatojnë vetitë e funksioneve p.m.m në raste të thjeshta.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMateriali i parashikuar për këtë orë mësimi ka ngarkesë konceptuale dhe vëllimore, prandajtrajtimit të tij i duhet kushtuar e gjithë ora e mësimit.Shtjellimi në tekst nis me shqyrtimin e grafikut të një funksioni (y= 21xpër x=0), duke evidentuarfaktin që kur vlerat e x i afrohen pambarimisht numrit 0, pika M(x, y) e grafikut largohet
    • 148 / Matematika 11Kreu 6pambarimisht nga origjina. Më tej, me rrugën analitike, tregohet që në këtë rast ne mund t’ibëjmë vlerat e funksionit sa të duam të mëdha, mjafton të marrim vlera të x mjaft afër zeros,(x≠0). Më tej konstatohet se inversi i funksionit të shqyrtuar (y=x2) është p.m.v. në pikën x=0.Ky fakt vihet në themel të përkufizimit të funksionit p.m.m. në pikën x=a.Pas shqyrtimit të një shembulli tjetër, kuax→lim f(x)= ∞+ , jepen përkufizimet e p.m.m. me shenjë+ apo – kur x→a.Nga vetitë e funksioneve p.m.m. që janë listuar në tekst është vërtetuar vetëm teorema 1 (mbiprodhimin e dy p.m.m.). Është mirë që mësuesi të aktivizojë nxënësit që me punë të pavarur ame grupe të vërtetojnë ndonjë nga vetitë pasuese për p.m.m. me shenjë + ose -. Si ushtrime tënivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1; 2/a; 3/a; 4; 5; 6/a, b; 7.Ushtrime të zgjidhuraNr. 3/b. Të tregohet që funksioni y=|| axc−, ku c<0, është p.m.m. me shenjë – kur x→a.ZgjidhjePër x≠a kemi |x-a|>0, pra||1ax −>0 dhe|| axc−<0 (sepse c<0). Veç kësaj funksioniy=cax || −(inversi i funksionit tonë) është p.m.v. kur x→a,sepseax→limcax || −=caa || −=0.Si përfundim, funksioni y=|| axc−(kur c<0) është p.m.m. me shenjë (–) kur x→a.Nr. 6/c. Të gjendet4lim→x |4| −xx.ZgjidhjeShkruajmë|4| −xx=|4|1−xx . Funksioni y=|4|1−xështë p.m.m. (me shenjë +)kur x→4, sepse inversi y=|x-4| është p.m.v. kur x→4.Nga ana tjetër funksioni y= x ka limit të ndryshëm nga zero kur 4→x ,4lim→xx = 4 =2. Prandaj në bazë të teoremës 4 të vetive të p.m.m. themi që funksioniy=|4| −xxështë p.m.m. me shenjë + kur x→4.Nr. 8/c. Ç’mund të themi për funksionin f+g në rast selim f(x)= ∞+ dhe lim g(x)= ∞− ?ZgjidhjeApriori-asgjë. Mund të ndodhin raste të ndryshme në varësi të trajtës konkrete të f, g.
    • 149LIBËR PËR MËSUESITP.sh. f: y=x2dhe g: y=-x2 [f(x)+g(x)]=0.f: y=2x2dhe g: y=-x2 [f(x)+g(x)]= +∞.f: y=x2dhe g: y=-2x2 [f(x)+g(x)]= -∞.f: y=x2+5 dhe g: y=-x2 [f(x)+g(x)]=5.f: y=x2+sinx dhe g: y=-x2 Nuk ekziston limiti i f+g kur x→ +∞.6.17 Asimptotat vertikaleNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Asimptota vertikale. Asimptota horizontale.b) Veti. Drejtëza x=a është asimptotë nëseax→lim f(x)=∞. Që drejtëza të jetë asimptotë vertikalee grafikut të funksionit racional thyesor y=)()(xQxP, duhet që Q(a)=0.c) Metoda. Leximi i grafikut të funksionit. Gjetja e pikave ku funksioni është p.m.m.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të dallojnë nga grafiku nëse drejtëza x=a (y=b) është asimptotë vertikale (horizontale) e tij.• Të gjejnë asimptotat horizontale dhe vertikale të grafikut të funksionit racional thyesor.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMësuesi duhet të japë përsëritje për nxënësit mësimin 2.8 (Asimptota horizontale). Kjolehtëson punën për kuptimin e asimptotës vertikale dhe të kuptimit të asimptotës në përgjithësi.Rekomandohet të ndiqet ecuria metodike e propozuar në tekst, që siguron pjesëmarrje aktivetë nxënësve në mësim gjatë gjithë shtjellimit të materialit mësimor. Për funksionet racionalethyesore, krahas kërkimit të asimptotave vertikale të grafikut, është mirë të shqyrtohet edheproblemi i asimptotave horizontale të tij.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1; 2; 4; 6/a, b.Ushtrime të zgjidhuraNr. 5/b. Të gjenden asimptotat vertikale të grafikut të funksionit y=12sin2−xxπ.ZgjidhjeEmëruesi bëhet 0 kur x=1 ose x=-1.Kemi1lim→x 112−x= ∞ (sepse1lim→x(x2-1)=0) dhe1lim→xx2sinπ= ⋅12sinπ=1.
    • 150 / Matematika 11Kreu 6Nga teorema 4 (vetitë e p.m.m.) del1lim→x= ∞.Drejtëza x=1 është asimptotë vertikale e grafikut të funksionit y= .(E njëjta gjë del edhe për drejtëzën x=-1.)Nr. 6/c. Të gjenden asimptotat vertikale të grafikut të funksionit y= 113+x.ZgjidhjeE vetmja pikë që nuk i përket bashkësisë së përcaktimit të funksionit është x=0.Kemi0lim→x3x =0, prandaj0lim→x 31x=∞. Si pasojë, edhe0lim→x 311x + = +∞  .(Teorema 3; vetitë e p.m.m.)Prandaj drejtëza x=0 është asimptotë vertikale e grafikut të funksionit.6.18 Format e pacaktuara. Forma00Njohuri teorike kryesorea) Kuptime. “Forma e pacaktuar00”. Limiti i funksionit. Funksioni p.m.m.b) Veti. Rregullat e kalimit në limit. Skema e Hornerit. Teorema Bezu.c) Metoda. Metoda e thjeshtimit me (x-a). Metoda e zëvendësimit të ndryshores. Metoda ekalimit të rrënjës nga një gjymtyrë e thyesës në tjetrën (shumëzimi me të konjuguarën).ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të dallojnë nëse në raportin( )( )f xg xkemi formë të pacaktuar00.• Të zbatojnë drejt rregullat e kalimit në limit në raste të thjeshta.• Të gjejnë limitin e raportit të dy polinomeve kur x→a, duke pjesëtuar me (x-a), nëse kemiformë të pacaktuar00.• Të gjejnë limite të rasteve të thjeshta të formës së pacaktuar00, duke bërë zëvendësim tëndryshores.• Të gjejnëax→lim)()(xgxfkur kemi formën e pacaktuar00, nëse f(x), g(x) janë të trajtave(ax+b) apo .Udhëzime për zhvillimin e mësimitTë ndiqet ecuria metodike e propozuar në tekst, duke punuar me libër hapur.Nëpërmjet ushtrimit të hyrjes, synohet të dilet në kuptimin e formës së pacaktuar00. Tre rastet
    • 151LIBËR PËR MËSUESITe këtij ushtrimi analizohen gjerësisht më poshtë, duke treguar se si veprohet për të gjetur limitinnë rastin kur nuk përdoren dot teoremat e njohura.Të sqarohet mirë, siç është bërë në tekst, që nëseax→lim f(x)=0 dheax→lim g(x)=0, ne themi që kemitë bëjmë me formën e pacaktuar00, por kjo nuk do të thotë që limiti është00(sepse simboli00nuk ka kuptim); thjesht kjo është një mënyrë të shprehuri për të vënë në dukje se në këtë rast nukmund të përdorim teoremat e njohura.Në këtë orë mësimi trajtohen nëpërmjet shembujve tre mënyra të posaçme për gjetjen e limitit, kurkemi të bëjmë me formë të pacaktuar00: mënyra e thjeshtimit me (x-a), mënyra e zëvendësimittë ndryshores, mënyra e kalimit të rrënjës nga emëruesi në numërues dhe anasjellas. Shembujtjanë të shumtë, prandaj trajtimit të materialit të ri duhet t’i kushtohet e gjithë ora e mësimit, dukehequr dorë nga format tradicionale të kontrollit të dijes. Pas punimit të shembujve nxënësveduhet t’u kërkohet të zgjidhin ushtrime zbatime, me punë të pavarur a me grupe.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3.Ushtrime të zgjidhuraNr. 5/c.8lim→x32264xx−−. Kemi formën e pacaktuar00(pse?)ZgjidhjeShkruajmë823−−xx81+x. Kemi8lim→x 81+x= (pse?)Për të gjetur8lim→x 823−−xxzëvendësojmë tx =3. Kur 8→x , 2→t dhe anasjellas.Atëherë8lim→x 823−−xx=2lim→t 823−−tt=2lim→t=2lim→t 412++ tt=(kemi thjeshtuar me t-2).Atëherë8lim→x 823−−xx·81+x= · =1601.Nr. 6/b.2limπ→x3sin5sin2sin12+−−xxx.ZgjidhjeKemi formën e pacaktuar00. Zëvendësojmë sinx=t. Kur2π→x , t→1.Atëherë marrim1lim→t 35212+−−ttt.Duke pjesëtuar 2t2-5t+3, sipas skemës së Hornerit, marrim 2t2-5t+3=(t-1)(2t-3).
    • 152 / Matematika 11Kreu 6Prandaj marrim1lim→t=1lim→t 321−−t=1.6.19 Format e pacaktuara (vazhdim)Njohuri teorike kryesorea) Kuptime. Funksionet trigonometrike. Forma e pacaktuar ∞⋅0 .b) Veti.0lim→x=k;0lim→x xtgx=1;0lim→x 2cos1xx−=21.c) Metoda. Përdorimi i0lim→x xxsin=1 për gjetjen e limiteve të funksioneve trigonometrikë.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të dallojnë për funksione trigonometrikë nëse kemi të bëjmë me format e pacaktuara00apo 0 · ∞.• Të riprodhojnë vërtetimet për0lim→x=k;0lim→x 2cos1xx−=21.• Të përdorin këto përfundime për gjetjen e limiteve të funksioneve trigonometrike në rastetë thjeshta të formave të pacaktuara00apo ∞⋅0 .Udhëzime për zhvillimin e mësimitMësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur ecurinë metodike të propozuar në tekst.T’u vihet në dukje nxënësve se detyrimisht kur kërkohet një limit funksioni, duhet kontrolluarfillimisht nëse kemi të bëjmë apo jo me një formë të pacaktuar.Limitet exxsin, , 2cos1xx−,xtgxkur x→0 duhen konsideruar si rezultate të teorisë eduhen fiksuar në kujtesë për t’u përdorur në zbatime të tjera.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3.Ushtrime të zgjidhuraNr. 4/a.0lim→x xxxxsin2sin++. Kemi formën e pacaktuar00.Duke pjesëtuar tek shprehjaxxxxsin2sin++numëruesin dhe emëruesin me x, marrimxxxxsin12sin1++.
    • 153LIBËR PËR MËSUESITMeqenëse0lim→x+xx2sin1 =1+2=3 dhe0lim→x+xxsin1 =1+1=2, kemi0lim→xxxxxsin12sin1++=23.Nr. 4/b.0lim→x 3sinxxtgx −. Kemi 3sinxxtgx −= 3sinsincosxxxx−= 3sin sin coscosx x xxx−==xxxxcos)cos1(sin3−=xxsin· 2cos1xx−·xcos1.Kemi0lim→x xxsin=1;0lim→x 2cos1xx−=21;0lim→x xcos1=0cos1=1, prandaj del0lim→x 3sinxxtgx −=1·21·1=21.Nr. 5/b.0lim→x 22cos1xx−. Kemi 1-cos2x=2sin2x.Prandaj0lim→x 22cos1xx−=0lim→x2 22sinxx= =20lim→x xxsin·xxsin=2.1·1=2.Nr. 6/a.0lim→x 23cos5cosxxx −. Kemi cos5x-cos3x=-2sin4x·sinx.Prandaj0lim→x 23cos5cosxxx −=0lim→x 2sin4sin2xxx−= =-20lim→x xx4sin·xxsin=-2·4·1=-8.Nr. 7/a.4limπ→xxxxsincos2cos−=4limπ→xxxxxsincossincos 22−−==4limπ→x(cosx+sinx)=4cosπ+4sinπ= 2 .Nr. 7/b.2limπ→x xx23cossin1−=2limπ→x==2limπ→xxxxsin1sinsin1 2+++=2sin12sin2sin1 2πππ+++=11111+++=23.
    • 154 / Matematika 11Kreu 66.20 Format e pacaktuara (vazhdim)Njohuri teorike kryesorea) Kuptime. Funksioni p.m.m. Format e pacaktuara∞∞dhe ∞−∞ .b) Veti. Limiti i polinomit kur x →± ∞ është sa limiti i monomit me fuqi më të lartë.c) Metoda. Kalimi i rrënjës nga emëruesi në numërues; thjeshtimi me fuqinë më të lartë të x.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të dallojnë rastet e thjeshta kur kemi forma të pacaktuara∞∞apo ∞−∞ .• Të përdorin për zhdukjen e papërcaktueshmërisë sipas rastit, pjesëtimin me fuqinë më tëlartë të x, shumëzimin me të konjuguarën.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur ecurinë metodike që propozohet në tekst.Nxënësit duhet të vihen të punojnë të pavarur a me grupe për zgjidhjen e ushtrimeve të vendosuranë materialin teorik pas shembujve.Kujdes duhet treguar për rastin kur x→-∞. Në këtë rast 2x =|x|=-x (sepse x<0).Si ushtrime të nivelit minimal do të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 4, 7, 8.Ushtrime të zgjidhuraNr. 5/b.xxxx7312+−−. Kemi formën e pacaktuar∞∞.Pjesëtojmë numëruesin dhe emëruesin me x, duke pasur parasysh se x=- 2x (sepse x<0).xxxx7312+−−=21 37xxx x xx−− +=223171xx xx−++=223171xx xx−++=3171 1xx−+ +.Kemi −x31 =1 dhe++x711 = 11+ =2.Prandajxxxx7312+−−=21.Nr. 9/a. 2 11 cosxx −  . Kemi formën e pacaktuar ∞⋅0 .Bëjmë zëvendësimin tx=1. Kur x→+∞, 0→t .Marrim0lim→t21t(1-cost)=0lim→t 21 costt−=21.
    • 155LIBËR PËR MËSUESIT6.21 Ushtrime për përpunimin e njohuriveMësimi synon përforcimin e njohurive dhe zhvillimin e aftësive të fituara nga nxënësit nëmësimet 6.11-6.20. Rekomandohet që të punohet me libër hapur, duke kombinuar zgjidhjen eushtrimeve nga nxënësit në banka, me punë të pavarur a me grupe, me zgjidhjen e ushtrimeve tëtjera nga nxënës të ndryshëm në tabelë.Secili nga këto ushtrime të analizohet e diskutohet me të gjithë klasën.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1; 4; 5; 6; 8/a, b; 10/a, b, c; 14; 15/b.Ushtrime të zgjidhuraNr. 3. Të gjendet1lim→x 113−−xxnë dy mënyra.ZgjidhjeMënyra I. Bëjmë zëvendësimin tx =3. Kur 1→x , 1→t .Kemi1lim→x 113−−xx=1lim→t 113−−tt==1lim→t=1lim→t 112++ tt=31.Mënyra II.1lim→x 113−−xx=1lim→x3 23 33 2 3( 1)( 1)( 1)( 1)x x xx x x− + +− + +==1lim→x=1lim→x 3 2 311x x+ +=31.Nr. 10/d.0lim→x xxx 4sin−=0lim→x−xxxx 4sin=1-4=-3.Nr. 12/a.ax→limaxax−− coscos=ax→lim2sin sin2 2x a x ax a− +−−.Zëvendësojmë x-a=t. Kur ax → , 0→t dhe anasjellas.Marrim0lim→t2sin sin( )2 2t tat− +=-20lim→tsin2tt 0lim→t+2sinta = =-2·21· sina=-sina.Nr. 12/b.1lim→x xx−1sinπ. Zëvendësojmë 1-x=t (x=1-t).
    • 156 / Matematika 11Kreu 6Kur 1→x , 0→t dhe anasjellas. Marrim0lim→t tt+− )1(sinπ=0lim→t tt+− )sin( ππ==0lim→t tt++ πsin=π .6.22 PërsëritjeMësuesi paraprakisht duhet t’u ketë dhënë si detyrë nxënësve të bëjnë përmbledhjen e njohuriveteorike kryesore të kapitullit (përkufizime, teorema, veti). Ky është një kusht e premisë për njëorganizim efektiv të kësaj ore mësimi.Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke kombinuar zgjidhjen nga nxënësit në banka, me punëtë pavarur a me grupe, të disa ushtrimeve të tekstit, me zgjidhjen në tabelë të disa ushtrimeve tëtjera nga nxënës të ndryshëm.Çdo ushtrim që jepet për zgjidhje duhet të analizohet e diskutohet me klasën.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1; 2; 3/a; 5/a, b; 6; 9; 10; 11/a,b,c;12; 13.Ushtrime të zgjidhuraNr. 8. Është dhënë funksioni y=63−xxn.a) Të përcaktohet n që grafiku të kalojë nga pika A(2; 4).b) Të gjendet asimptota horizontale e grafikut.Zgjidhjea) Duhet e mjafton të ketë vend barazimi 4=682−n, d.m.th. 82 =n⇔ 322 =n⇔ n=3.b) Kemi633−xx=1. Pra drejtëza y=1 është asimptotë horizontale e grafikut, si kurx→+∞, ashtu edhe kur x→-∞.2.a) Sa raste paraqiten përax→limaxx−− 42?ZgjidhjeNëse a është rrënjë e trinomit (x2-4) (d.m.th. a=2 ose a=-2) kemi të bëjmë me formë të pacaktuar00. Limiti është 4 kur a=2 dhe –4 kur a=-2.Nëse−≠≠22aakemi prodhim të një funksioni, që ka limit të ndryshëm nga zero me një p.m.m.
    • 157LIBËR PËR MËSUESITFunksioni është p.m.m.Nr. 18/b. Të gjendet0lim→x3cos 1cos 1xx−−.ZgjidhjeDuke shënuar cosx=t, kemi që kur x→0, t→1.Marrim1lim→t 113−−tt=1lim→t2( 1)( 1)1t t tt− + +−=3.Mënyra II. Bëjmë direkt thjeshtimin1cos1cos3−−xx=cos2x+cosx+1.Përmbledhje për kreun“Limitet”• Themi që f(x)= +∞, nëse për çdo numër të dhënë M >0 ekziston një x0i tillë që përx>x0të kemi f(x)>M.• nx = nx = ∞+ .Për a>1 kemi ax= ∞+ dhe .• Nëse për x≥a kemi )()( xfxg ≥ dhe , atëherë edhe .• Nëse dhe ∞+)(xg , atëherë ,)()( xgxf ⋅ = ∞+ dhe )(xfk ⋅ = ∞+ (k>0).• Themi që )(xf = ∞− , nëse = ∞+ .• Themi që f(x)=0, nëse për çdo 0>ε të dhënë, ekziston një numër pozitiv M i tillë qëpër x>M të kemi ε<|)(| xf .• nx1= nx1=0.• Limiti i polinomit, kur x→+∞ është i barabartë me limitin e monomit të tij që ka fuqinë më tëlartë.• Themi që l=)(xf , nëse ])([ l−xf =0.• Për të shqyrtuar limitin e funksionit y=f(x) kur x→-∞, shqyrtojmë limitin e funksionit y=f(-x)kur x→+∞.
    • 158 / Matematika 11Kreu 6• Drejtëza d quhet asimptotë e vijës l në një drejtim të caktuar, nëse largesa e pikës M e vijës ngadrejtëza shkon në zero, kur pika M largohet pambarimisht mbi vijën l në këtë drejtim.• Nëse l=)(xf , atëherë drejtëza y= l është asimptotë horizontale e grafikut të funksionitf kur x→+∞.• Limiti i funksionit racional thyesor, kur x→+∞ (x→-∞) është i barabartë me limitin e raportittë monomeve me fuqi më të lartë të x në numërues dhe në emërues.• Themi që0lim→xf(x)=0, nëse për çdo numër ε>0 të dhënë, gjejmë një r>0 të tillë që për),( rrx −∈ ( 0≠x ) të kemi ε<|)(| xf .•0lim→xxn=0;0lim→xnx =0.• Themi qëax→lim f(x)=0, nëse për çdo 0>ε të dhënë, ekziston një r>0 që për [,] rarax +−∈( ax ≠ ) të kemi ε<|)(| xf . Në këtë rast funksioni quhet p.m.v. kur x→a.•ax→lim 0=0;ax→lim nax )( − =0 ( Nn ∈ ).• Shuma dhe prodhimi i dy funksioneve p.m.v kur ax → është p.m.v kur ax → . Prodhimi injë p.m.v. me një funksion që ka limit kur ax → është p.m.v kur ax → .Nëse për ax ≠ nga një interval ]a-r, a+r[ kemi )()()( xhxgxf ≤≤ dheax→lim f(x)=ax→lim h(x)=0, atëherë edheax→lim g(x)=0 (Teorema e dy policëve).• Themi qëax→lim l=)(xf , nëse për çdo 0>ε të dhënë ekziston një r>0 e tillë që për ax ≠nga ]a-r, a+r[, kemi ε<− |)(| lxf .• Qëax→lim l=)(xf duhet e mjafton qëax→lim 0])([ =− lxf , d.m.th. funksioni l−f të jetëp.m.v. kur ax → .•ax→lim c=c;ax→lim x=a.• Nëse funksionet f1, f2kanë limite 21, ll kur ax → , atëherë:ax→lim [f1(x)+f2(x)]= 21 ll + ;ax→lim f1(x)·f2(x)= 21 ll ⋅ ;ax→lim)()(21xfxf=21ll(kur 02 ≠l );
    • 159LIBËR PËR MËSUESITax→lim = n1l ( Nn ∈ );ax→lim [c·f1(x)]= 1l⋅c .• Nëse P(x) është polinom me ndryshore x, atëherëax→lim P(x)=P(a).• Nëse)()(xQxPështë shprehje thyesore racionale, atëherëax→lim)()(xQxP=)()(aQaP(kur 0)( ≠aQ ).• Nëse f është një funksion i zakonshëm dhe a është një numër që ndodhet në bashkësinë epërcaktimit të f, atëherë funksioni f ka limit kur x→a dhe ky limit është sa vlera f(a).• Funksioni f quhet pambarimisht i madh (p.m.m.) kur x→a, nëse funksionif1është p.m.v kurx→a. Shënohetax→lim f(x)=∞.• Prodhimi i dy funksioneve p.m.m. kur x→a është p.m.m. kur x→a.• Prodhimi i një funksioni që ka limit të ndryshëm nga zero kur x→a, me një p.m.m. kur x→a,është p.m.m. kur x→a.• Shuma e një funksioni që ka limit kur x→a, me një funksion p.m.m. kur x→a, është funksionp.m.m. kur x→a.• Shuma e disa funksioneve p.m.m. me të njëjtën shenjë, kur x→a është p.m.m. me po atë shenjëkur x→a.• Nëseax→lim ∞=)(xf , atëherë drejtëza x=a është asimptotë vertikale e grafikut të funksionity=f(x).Për funksionin racional thyesor y=)()(xQxP, që drejtëza x=a të jetë asimptotë vertikale e grafikutduhet që Q(a)=0.•0lim→x xxsin=1;0lim→x xtgx=1;0lim→x=a;0lim→x 21cos12=−xx.
    • 160 / Matematika 11Kreu 7KREU 77.1 Parimi i mbledhjes. Parimi i shumëzimitNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Çifti i radhitur. Prodhimi kartezian i dy bashkësive. Sistemi i radhitur ielementëve nga një bashkësi.b) Veti. Parimi i mbledhjes, bazuar në n(A∪B)=n(A)+n(B) kur A∩B=Φ.Parimi i shumëzimit, bazuar në n(AxB)=n(A)·n(B).c) Metoda. Përdorimi i bashkësive.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të formulojnë parimin e mbledhjes dhe atë të shumëzimit.• Të bëjnë argumentimin për bazimin e tyre.• Të zbatojnë parimin e mbledhjes dhe atë të shumëzimit në situata të thjeshta reale.Udhëzime për zhvillimin e mësimitRekomandohet që mësuesi t’u japë detyrë nxënësve të përsërisin paraprakisht njohuritë etrajtuara në klasat e mëparshme për A∩B, A∪B, AXB dhe formulat për n(A∩B), n(AxB).Në formulimin e parimit të mbledhjes dhe të atij të shumëzimit të arrihet nëpërmjet shqyrtimittë shembujve të zgjidhur, a gjysmë të zgjidhur, që synojnë formimin e hamendjes së duhur. Kjopërforcohet më tej nëpërmjet ushtrimeve, për të arritur në përfundimet përgjithësuese.Më tej kalohet në zgjidhjen e ushtrimeve të tjera me karakter zbatues në situata të larmishme,nëpërmjet punës së pavarur a me grupe të nxënësve në klasë.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 3, 4, 5, 7/a.Ushtrime plotësuese1. Të caktohet numri i elementëve të AxB dhe të jepet me emërtim BxA, nëse A={a, b} dheB={1, 2, 3, 4}.2. Sa numra dyshifrorë mund të formohen? Po numra treshifrorë?3. a) Sa numra dyshifrorë çift mund të formohen?b) Sa numra dyshifrorë mund të formohen me shifrat {6, 7, 8}?4. Një fabrikë tekstili prodhon disa variante basme, nga 5 lloje endje, secila në tre vizatime tëmundshme. Sa variante basmash mund të prodhohen?5. Një fener sinjalesh e ka të ndarë pjesën që ndriçohet në 2 zona; në secilën zonë mund të vendosetllambë ndriçimi e bardhë, e kuqe, blu e verdhë. Sa sinjale të ndryshme mund të formohen?6. Një nxënës mban mend shifrën e parë të përgjigjes së një ushtrimi, që është një numër dyshifror.
    • 161LIBËR PËR MËSUESITMidis sa numrave të ndryshëm është përgjigjja e saktë?7. Sa dokumente të ndryshëm mund të emërtohen me dy shenja, ku njëra ose të dyja shenjat janëzanore të alfabetit shqip dhe shenja tjetër, nëse s’është zanore, është shifër e sistemit dhjetor.7.2 PërkëmbimetNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Faktoriali. Përkëmbimet e një bashkësie me n elementë.b) Veti. Numri i përkëmbimeve të një bashkësie me n elementë është n!.c) Metoda. Kombinimi i induksionit me deduksionin.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të njehsojnë n! për vlera të dhëna të n.• Të formulojnë përkufizimin e përkëmbimit.• Të dallojnë në situata praktike, nëse bëhet fjalë për sisteme të radhitura elementësh, që janëpërkëmbime.•Të përdorin skemën njehsuese me kutiza, për të gjetur përkëmbime të një bashkësie konkrete,që kënaqin një kusht plotësues.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMësimi mund të zhvillohet me libër hapur. Mësuesi duhet të organizojë me nxënësit diskutimine shembujve të zgjidhur, punën për plotësimin e shembujve gjysmë të zgjidhur dhe zgjidhjene ushtrimeve të tekstit. E gjithë kjo të synojë që me rrugë induktive të arrihet në nxjerrjen epërfundimit përgjithësues. Më tej kalohet në shqyrtimin e situatave të larmishme praktike, dukefilluar nga ato më të thjeshtat. Në praktikë rrallë kërkohet numri i sistemeve të radhitur të gjithëelementëve të një bashkësie, pa ndonjë kusht plotësues. Prandaj nxënësit duhet të ushtrohen nëpërballimin e situatave të tilla. E rëndësishme për zbatimet është skema njehsuese me kutiza, qëplotësohet sipas situatës konkrete.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 3, 4, 5, 6.Ushtrime plotësuese1. Sa përkëmbime të shkronjave të fjalës FIER mbarojnë me zanore?2. Sa përkëmbime të bashkësisë {1, 2, 3, 4, 5} mund të shkruhen si numra pesëshifrorë tek?3. a) Gjashtë nxënës vendosen në një rresht. Në sa mënyra të ndryshme mund të vendosen?b) Një punëtor vajis tre makina. Në sa mënyra të ndryshme mund të kryejë radhën e vajisjes sëtyre?4. a) Sa numra treshifrorë formohen me shifrat 1, 2, 3, 4, 5 (pa përsëritje të shifrave)?b) E njëjta kërkesë, kur përdoren shifrat 0, 1, 2, 3, 4.5. a) Sa numra katërshifrorë të plotpjesëtueshëm me 5 mund të formohen me shifrat 3, 4, 5, 6?(pa përsëritje shifrash).b) Sa numra treshifrorë çift, pa përsëritje të shifrave, formohen me shifrat 1, 2, 3?
    • 162 / Matematika 11Kreu 76. Sa numra të plotpjesëtueshëm me 5, pa përsëritje të shifrave, mund të formohen me numrat1, 2, 3, 4, 5, 6?7. Sa përkëmbime të shkronjave të fjalës VLORA kanë bashkëtingëllore në vendin e parë dhetë dytë?7.3 DispozicionetNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Dispozicionet. Dispozicionet me përsëritje.b) Veti. Formula Dn,k=n(n-1)(n-2)···(n-k+1).c) Metoda. Skema njehsuese me kutiza.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të njehsojnë Dn,ksipas formulës përkatëse, për vlera të dhëna të n dhe k.• Të dallojnë në situata të thjeshta praktike nëse kemi të bëjmë me dispozicione.• Të përdorin skemën njehsuese me kutiza për të gjetur, në raste të thjeshta praktike, numrine sistemeve të radhitur me k elementë, me përsëritje, nga n elementë të dhënë gjithsej.Udhëzime për zhvillimin e mësimitPër shtjellimin e materialit të ndiqet ecuria metodike e propozuar në tekst. Për të dalë në kuptimine dispozicionit si një sistem i radhitur k elementësh, të ndryshëm nga n të dhënë gjithsej, tëdiskutohen të dy shembujt.Formula për Dn,knxirret me arsyetim, në fillim për një rast të veçantë e më pas bëhet vërtetimii saj për rastin e përgjithshëm. Riprodhimi i këtij vërtetimi të kërkohet vetëm nga nxënësit emirë. Është me rëndësi shqyrtimi i shembujve (e më pas zgjidhja e ushtrimeve) nga situatapraktike, ku kërkohet numri i sistemeve të radhitur, ku ka përsëritje të elementëve. Zgjidhja etyre bëhet me anë të skemës njehsuese me plotësim kutizash; nxënësit duhet të ushtrohen nëmënyrë të mjaftueshme në përdorimin e saj. Të shqyrtohen edhe shembuj, ku plotësimi i skemësnuk fillon nga kutiza e parë (shpesh p.sh. ka kërkesa plotësuese për elementin e fundit të sistemittë radhitur, prandaj duhet nisur nga plotësimi i kutizës së fundit).Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 4, 6, 8.Ushtrime plotësuese1. Në sa mënyra të ndryshme mund të kryejmë një radhitje saksish në 4 dritare, kur kemi 6 saksidhe në çdo dritare mund të vendoset vetëm nga një saksi.2. Në një të diel organizohen tre ndeshje sportive jo njëkohësisht.Agimi ka në program të ndjekëdy prej tyre. Sa variante zgjidhjesh ka ai?3. Sa numra me katër shifra mund të formohen, duke i përdorur të gjitha shifrat pa i përsëritur?4. Sa numra tek me katër shifra mund të formohen duke përdorur të gjitha shifrat, papërsëritje?5. Sa numra çift me tre shifra mund të formohen, duke përdorur shifrat 1, 2, 3, 4, 5 me kushtin
    • 163LIBËR PËR MËSUESITqë asnjë shifër të mos përsëritet?6. Sa numra më të vegjël se 8000 formohen me shifrat 3, 5, 6, 7.7. Vërtetoni që:a) 3,54,6 6 DD ⋅= ; b) 3,14, −⋅= nn DnD ; c) 3,4, nn DD − = 3,)4( nDn − .7.4 KombinacionetNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Nënbashkësia. Kombinacione të n elementëve të marrë k në një herë.b) Veti. Formula Cn,k=!,kD kn.c) Metoda. Gjetja e numrit të nënbashkësive të një bashkësie.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të njehsojnë Cn,kpër vlera konkrete të n, k.• Të dallojnë kombinacionin si nënbashkësi të një bashkësie.• Të dallojnë në situata praktike, kur kërkohet numri i grupeve të elementëve të një bashkësiepa i dhënë rëndësi radhitjes, që kemi të bëjmë me kombinacione.Udhëzime për zhvillimin e mësimitSynimi kryesor i mësuesit duhet të jetë dallimi qartas, nga nxënësit i grupimeve (sistemeve)të radhitura të elementëve nga një bashkësi (me apo pa përsëritje elementësh) prej grupimevetë krijuara nga kjo bashkësi elementësh, pa i dhënë rëndësi radhitjes. Pikërisht, këta të funditjanë kombinacione. Shtjellimi i mësimit të fillojë pikërisht me shqyrtimin e dy situatave të tilla.Pastaj të jepet përkufizimi i kombinacionit. Më tej të shqyrtohen disa situata të thjeshta praktike,ku kemi të bëjmë me kombinacione. Formula për numrin e kombinacioneve të nxirret për njërast konkret, duke bërë krahasimin me numrin e dispozicioneve, siç është bërë në tekst.Pasi jepet formula në trajtën e përgjithshme Cn,k=!,kD kntë kalohet në shqyrtim situatash tëlarmishme me kombinacione, nga matematika (përfshirë situata gjeometrike) dhe praktika.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 4, 5/a.Ushtrime plotësuese1. Sa grupe pune prej katër vetash mund të krijohen në një klasë që ka 20 nxënës.2. Gjashtë pika ndodhen në një rreth. Sa korda formohen duke i bashkuar ato dy nga dy? Povektorë?3. Pesë pika ndodhen në një rreth. Sa trekëndësha të brendashkruar rrethit, me kulme në këtopika, mund të formohen?4. Sa është numri i diagonaleve të një pesëkëndëshi të mysët? Të një gjashtëkëndëshi të mysët?
    • 164 / Matematika 11Kreu 75. Do të kontrollohen 5 llamba në një parti prej 100 llambash, që ndodhen në magazinë. Në samënyra të ndryshme mund të bëhet kontrolli?6. Një nxënës do të fusë në çantën e vet 3 prej 7 fletoreve që ka. Në sa mënyra të ndryshme mundtë mbushet çanta?7. Një nxënës zgjedh dy bileta teatri nga një bllok me 100 bileta. Në sa mënyra të ndryshmemund ta bëjë ai zgjedhjen?7.5 UshtrimeMësuesi t’u japë si detyrë paraprake nxënësve, shqyrtimin me punë të pavarur të tre shembujvetë zgjidhur në tekst, në hyrje të materialit.Në klasë mund të diskutohet një situatë praktike e ngjashme me atë të shembullit 1, ku të kemitë bëjmë me gjetjen e numrit të kombinacioneve me grupe.Për përpunim të njohurive e zhvillim të mëtejshëm të aftësive të nxënësve, mësuesi më tej tëkombinojë punën (e pavarur a me grupe) të nxënësve në banka, për zgjidhjen e disa ushtrimevenga ato të tekstit, me zgjidhjen në tabelë, nga nxënës të ndryshëm të disa ushtrimeve të tjera.Si ushtrime të nivelit minimal, të përshtatshme për punën e nxënësve në banka, të konsiderohenata me numrat 1, 3, 4.Ushtrime plotësuese1. Një klasë ka 15 vajza dhe 10 djem. Në sa mënyra të ndryshme mund të zgjidhet këshilli iklasës, që të përmbajë 2 vajza dhe 1 djalë?2. Kemi 5 sfera të kuqe dhe 4 të bardha. Në sa mënyra të ndryshme mund të krijojmë një grupme katër sfera, dy të kuqe dhe dy të bardha?3. Kemi 3 trëndafila dhe 5 zambakë. Në sa mënyra të ndryshme mund të krijohet një tufë lulesh,që të ketë 2 trëndafila dhe 1 zambak.4. Në testin e matematikës do të jepen 9 ushtrime. Katër prej tyre do të zgjidhen ndër 20 ushtrimegjeometrie dhe 5 të tjerat ndër 30 ushtrime algjebre. Në sa mënyra të ndryshme mund të hartohet testi?5. Grupi artistik i shkollës përgatit një koncert me 3 valle (ndër 10 që njeh) dhe 5 këngë (ndër 15që njeh). Në sa mënyra të ndryshme mund të hartohet repertori i koncertit?7.6 ProbabilitetiNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Barasmundësia e rezultateve të një prove. Hapësira e ?. Ngjarja. Probabiliteti ingjarjes. Ngjarja e sigurt, e pamundur, e kundërt.b) Veti. Formulat P(A)=( )( )n An H, )(AP = )(1 AP− .c) Metoda. Përdorimi i kombinatorikës. Pema.
    • 165LIBËR PËR MËSUESITShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të dallojnë barasmundësinë e rezultateve të një prove.• Të njehsojnë, në raste të thjeshta duke përdorur kombinatorikën, n(H) dhe n(A).• Të njehsojnë mbi këtë bazë P(A).• Të dallojnë në situata praktike ngjarjen e sigurt, ngjarjen e pamundur.• Të dallojnë në situata praktike të thjeshta të kundërtën e një ngjarjeje dhe të zbatojnëformulën )(1)( APAP −= .Udhëzime për zhvillimin e mësimitVendin kryesor këtu e zënë njohuritë e trajtuara në klasën X, prandaj mësuesi paraprakisht t’uvërë si detyrë nxënësve të përsërisin njohuritë probabilitare të kësaj klase. Mësimi mund tëzhvillohet me libër hapur, duke ia kushtuar gjithë orën e mësimit punës me materialin mësimortë tekstit.Mësuesi mund të kërkojë që nxënësit në klasë të lexojnë në libër sintezën e shkurtër teorikedhe shembujt 1, 2. Të trajtohet hollësisht, duke u diskutuar me nxënësit, shembulli 3. Këtu tëkërkohet krahasimi i dy mënyrave të ndryshme të zgjidhjes.Më pas të kalohet në trajtimin e disa ushtrimeve të pazgjidhura të tekstit, duke organizuar punëne pavarur a me grupe të nxënësve, me kalim gradual nga zbatimet e thjeshta, por të larmishmepraktike, në ato komplekset.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 6, 8.Ushtrime plotësuese1. Në një qese janë tri sfera të kuqe dhe 5 të bardha. Sa është probabiliteti i ngjarjes që, në dysfera të nxjerra njëherësh nga qesja, të jenë të dyja të kuqe?2. Në një parti 100 llambash, 5 janë me defekt. Zgjedhim rastësisht një llambë. Sa ështëprobabiliteti i ngjarjes që ajo të jetë pa defekt?3. Klasa ka 30 nxënës, të ulur në tre kolona bankash, nga një djalë e një vajzë në çdo bankë.Mësuesi do të pyesë rastësisht një nxënës.a) Sa është probabiliteti i ngjarjes që ky të jetë djalë nga kolona e parë?b) Sa është probabiliteti i ngjarjes që kjo të jetë vajzë nga bankat e para?c) Sa është probabiliteti i ngjarjes që të pyeteni ju?4. Tezat e provimit me gojë janë shënuar me numra, nga 1 deri në 35. Tërhiqet rastësisht një tezë.Sa është probabiliteti i ngjarjes që numri i saj të jetë i thjeshtë?5. Në një çantë ndodhen 10 sfera, nga të cilat 3 janë të biruara. Nxirren rastësisht 3 sfera njëherësh.Sa është probabiliteti i ngjarjes që të jenë të trija të biruara?6. Në mbjelljen e fidanëve, në çdo dhjetëshe një fidan nuk zë. Sa është probabiliteti i ngjarjes që,kur zgjidhen rastësisht 7 fidanë, të zënë që të gjithë.7. Hidhen njëherësh 2 zare, në faqet e të cilëve janë shënuar shifrat nga 1 në 6. Sa ështëprobabiliteti i ngjarjes që numri që shfaqet nga hedhja të jetë i plotpjesëtueshëm me 3?
    • 166 / Matematika 11Kreu 77.7 Probabiliteti i bashkimit të ngjarjeveNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Prerja e ngjarjeve. Bashkimi i ngjarjeve. Ngjarje të papajtueshme.b) Veti. Formulat P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B);P(A∪B) = P(A)+P(B), kur A dhe B janë të papajtueshme.c) Metoda. Përdorimi i koncepteve e metodave bashkësiore.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të dallojnë në situata të thjeshta praktike prerjen e dy ngjarjeve.• Të dallojnë në situata të thjeshta praktike dy ngjarje të papajtueshme.• Të dallojnë në situata të thjeshta praktike bashkimin e dy ngjarjeve.• Të zbatojnë për ngjarjet e papajtueshme formulënP(A∪B)=P(A)+P(B).Udhëzime për zhvillimin e mësimitKëtu kemi të bëjmë kryesisht me rimarrjen dhe thellimin e disa njohurive të trajtuara në klasënX. Prandaj rekomandohet, që mësuesi të kërkojë paraprakisht që nxënësit të përsërisin mësimetpërkatëse nga teksti i klasës X, dhe konkretisht ato mbi prerjen, bashkimin e ngjarjeve dhengjarjet e papajtueshme. Mbi këtë bazë mund të organizohet një veprimtari efektive, e pavarura me grupe e nxënësve në orën e mësimit, gjatë shtjellimit të materialit mësimor të parashtruarnë tekst.Ushtrimet, që në tekst janë dhënë si shembuj (të zgjidhur), është mirë të shtrohen si problemapara nxënësve e të analizohen zgjidhjet e propozuara, duke organizuar diskutime.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 6/a.Ushtrime plotësuese1. Në një qese ndodhen 10 sfera, nga të cilat 3 të kuqe, 2 të bardha e të tjerat blu. Nxirretrastësisht një sferë. Sa është probabiliteti i ngjarjes që ajo të jetë e bardhë ose blu?2. Nga 10 djem e 15 vajza të klasës do të formohet këshilli i klasës prej 4 personash. Sa ështëprobabiliteti i ngjarjes që ky këshill të ketë më tepër se dy vajza?3. Hidhen njëherësh dy zare. Sa është probabiliteti i ngjarjes që shuma e numrave të jetë 5 osetë jetë 6?4. Hidhen njëherësh dy zare. Sa është probabiliteti i ngjarjes që shuma e dy numrave të jetë 5ose të dy numrat të jenë 4?5. Në një klasë me 20 vajza e 15 djem, pyeten në një orë mësimi rastësisht dy nxënës. Sa ështëprobabiliteti i ngjarjes që të dy nxënësit të jenë djem ose të dyja vajza?6. Hidhen njëri pas tjetrit dy zare. Sa është probabiliteti i ngjarjes që numri i formuar të jetë 5ose të jetë numër çift?7. Në një makinë tekstile përdoren 20 fije, nga 5 për secilën nga ngjyrat: e kuqe, e verdhë, blu,e bardhë. Fijet janë në dy përmasa: të bardhat e të verdhat janë të shkurtuara dhe të tjerat janë të
    • 167LIBËR PËR MËSUESITgjata. Mundësia e këputjes për të gjitha fijet është e njëjtë. Sa është probabiliteti i ngjarjes që kurkëputen dy fije në makinë, ato të jenë të dyja të shkurtra ose të dyja të bardha?7.8 UshtrimeSynimi i mësuesit duhet të jetë përpunimi i njohurive të trajtuara dhe zhvillimi i shkathtësivetë fituara në dy mësimet paraardhëse. Ai mund t’u vërë nxënësve si detyrë leximin paraprak nështëpi të dy shembujve, që janë të zgjidhur në tekst, dhe të diskutojnë në klasë, duke tërhequrmendimet e ndryshme të nxënësve, mënyrën e zgjidhjes së tyre dhe të nxisë kërkimin e mënyravetë tjera të zgjidhjes.Më tej organizohet puna e pavarur a me grupe e nxënësve për të zgjidhur disa nga ushtrimet (epazgjidhura) të tekstit, duke e kombinuar atë me zgjidhjen në tabelë, nga nxënës të ndryshëm,të ushtrimeve të tjera.Secili nga ushtrimet e dhëna analizohet me të gjithë klasën.Si ushtrime të nivelit minimal, që këshillohet të jepen për t’u zgjidhur nga nxënësit në banka, tëkonsiderohen ata me numrat 1; 2/a; 4; 7; 8.Ushtrime plotësuese1. Në 30 ditë pune të një makine, dy janë me defekt. Sa është probabiliteti i ngjarjes që në 15ditë, të zgjedhura rastësisht, asnjëra të mos jetë me defekt?2. Në një seri detalesh të prodhuara, 47 janë të mira dhe 3 defektoze. Nëse marrim rastësisht 5prej tyre, sa është probabiliteti që asnjë të mos jetë me defekt?3. Në një qese ndodhen 7 sfera të bardha dhe 3 të kuqe. Nëse nxjerrim rastësisht tri sfera, sa ështëprobabiliteti i ngjarjes që sferat të jenë:a) të gjitha të kuqe; b) jo të gjitha të kuqe; c) asnjëra e kuqe?4. Në kushtet e ushtrimit plotësues 5 të mësimit 7.7, sa është probabiliteti i ngjarjes:a) vetëm njëri të jetë djalë; b) asnjëri të mos jetë djalë?5. Hidhen njëherësh dy zare. Sa është probabiliteti i ngjarjes:a) shuma e numrave të jetë 10; b) asnjë nga numrat të mos jetë 6?6. Në kushtet e ushtrimit plotësues 7 të mësimit 7.7, sa është probabiliteti i ngjarjes që kurkëputen tri fije:a) të jenë të tria të kuqe; b) të paktën njëra të jetë e kuqe;c) të shumtën dy të jenë të shkurtra.7.9 Informacioni statistikorNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Informacioni statistikor. Përqindja. Diagramat. Histogramat. Karakteristikat eshpërndarjes.b) Metoda. Përdorimi i grafikëve dhe i teknikës llogaritëse.Shkathtësi
    • 168 / Matematika 11Kreu 7Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të sistemojnë në mënyrë të përshtatshme një informacion statistikor të dhënë.• Të nxjerrin prej tij të dhëna për karakteristikat e shpërndarjes së një ndryshore të rastit,diskrete a të vazhdueshme.Udhëzime për zhvillimin e mësimitKy mësim përfaqëson një rimarrje të njohurive të thjeshta për sistemimin e informacionevestatistikore, mesataret dhe karakteristikat e shpërndarjes, të trajtuara në klasat e mëparshme.Rekomandohet që shtjellimi i materialit të bëhet me libër hapur. Me nxënësit diskutohet përshembujt e zgjidhur, të paraqitur në tekst dhe pastaj organizohet puna e pavarur a me grupe etyre për të zgjidhur ushtrime, duke analizuar rezultatet e arritura e duke u dhënë nxënësve kohëtë mjaftueshme për tu menduar, për tu shprehur dhe për tu vetëkorrigjuar. Të gjitha ushtrimet epazgjidhura të tekstit mund të konsiderohen të një niveli të pranueshëm për masën e nxënësve.Ushtrime plotësuese1. Një klasë me 30 nxënës ka 60% vajza, kurse një tjetër me 40 nxënës ka 70% vajza. Sa për qinde numrit të nxënësve, në të dyja klasat janë vajza?2. Në një detyrë me shkrim në një klasë me 35 nxënës u morën këto nota:Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Nr. inxënësve0 0 0 0 2 7 10 5 5 3 3Gjeni: a) Mesataren aritmetike të notës. b) Mesoren e notës.3. Janë bërë matjet e shtatlartësive për 50 nxënës të arsimit të detyruar.Shtatlartësia [150, 155[ [155, 160[ [160, 165[ [165, 170[ [170, 175[ [175, 180[Nr. inxënësve6 6 9 8 12 9a) Ndërtoni histogramin. b) Gjeni mesataren aritmetike dhe mesoren.4. Popullsia e një qyteti, sipas grup-moshave, në vitet 1990 dhe 2010, ka qënë:Grupmosha (vjeç) [0, 10[ [10, 20[ [20, 30[ [30, 40[ [40, 50[ [50, 60[ [60, 70[ [70, 80[ [80, 90[Nr. i personave(në mijë) në 19903,8 3,9 3,8 2,7 2,5 2,0 1,5 1,1 0,8Nr. i personave(në mijë) në 20104,0 4,0 3,8 3,7 2,6 2,1 1,6 1,0 0,7a) Vizatoni histogramat. b) Gjeni mesataren aritmetike dhe mesoren për secilin varg.
    • 169LIBËR PËR MËSUESIT7.10 Analiza e të dhënaveNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Shmangia mesatare katrore. Dispersioni.b) Veti. Formulat për njehsimin σ2dhe σ për ndryshoren e rastit diskrete e të vazhdueshme.c) Metoda. Përdorimi i teknikës llogaritëse.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:• Të njehsojnë σ2dhe σ për një ndryshore të rastit diskrete me shpërndarje të njohur tëvlerave.• Të gjykojnë në bazë të njehsimit të dispersionit, për shpërhapjen e vlerave nga mesatarjaaritmetike.• Të zbatojnë njohuritë në situata të thjeshta praktike.Udhëzime për zhvillimin e mësimitSynimi i mësimit është rimarrja e njohurive për karakteristikat e shpërhapjes së ndryshoressë rastit diskrete, që janë trajtuar në klasën X. Për të siguruar efektivitetin e orës së mësimit,mësuesi paraprakisht t’u vërë si detyrë nxënësve përsëritjen në shtëpi të mësimeve për shmangienmesatare katrore dhe për dispersionin, të trajtuar në klasën X. Mbi këtë bazë mund të sigurohetnjë pjesëmarrje aktive dhe e frytshme e nxënësve në mësim.Fillimisht diskutohen me ta shembujt e zgjidhur në tekst dhe pastaj organizohet puna e pavarura me grupe e nxënësve në banka, për zgjidhjen e ushtrimeve të tekstit. Analizohen rezultatet earritura. Për një eficiencë të dëshirueshme, nxënësit duhet të jenë të gjithë të pajisur me makinallogaritëse të thjeshta.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 5.Ushtrime plotësuese1. Sasia e fletoreve në çantat e 20 nxënësve të një klase jepet nga vargu1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6.a) Gjeni mesataren aritmetike m dhe shmangien mesatare katrore σ2.b) Sa për qind e popullimit ndodhet ndërmjet vlerave m-σ dhe m + σ.2. Gjatë një detyre me shkrim me 30 nxënës të një klase, u morën këto nota:Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Nxënës 0 0 0 0 3 7 6 4 4 3 3a) Gjeni mesataren aritmetike m dhe shmangien mesatare katrore σ2.b) Sa % e kufizave të vargut ndodhen në intervalin ]m-σ, m +σ[?3. Për ushtrimet plotësuese të mësimit 7.8 gjeni në secilin:a) σ2; b) Përqindjen e kufizave të vargut që ndodhen në ]m-σ, m +σ[ .
    • 170 / Matematika 11Kreu 77.11 Ushtrime për kreunMësuesi duhet të ketë si synim përpunimin e njohurive dhe zhvillimin e aftësive të fituara gjatëtrajtimit të kreut. Për këtë qëllim, ai të kombinojë punën e pavarur a me grupe të nxënësve nëbanka për zgjidhjen e disa prej ushtrimeve të tekstit, me punën në tabelë të disa nxënësve tëndryshëm, të zgjidhin të tjera ushtrime.Secili nga ushtrimet dhënë për zgjidhje (në bankë a në tabelë) duhet të analizohet e të diskutohetme klasën.Si ushtrime të nivelit minimal, të përshtatshme për t’u zgjidhur nga nxënësit në banka, tëkonsiderohen ata me numrat 1/a, b; 2; 3; 4; 5.Ushtrime plotësuese1. Hidhni një zar dhe një monedhë.a) Njehsoni probabilitetin e ngjarjes “bien më pak se 5 pikë dhe stema”.b) Njehsoni probabilitetin e ngjarjes “bie numër çift”.2. Në një qese ka 8 sfera, 5 të kuqe e 3 të bardha. Nxirren rastësisht dy sfera njëherësh. Sa ështëprobabiliteti i ngjarjes:a) ”Të dy sferat janë të bardha”. b) Asnjëra nga sferat nuk është e bardhë.c) Të paktën njëra nga sferat është e bardhë.3. Në një tavolinë ndodhen 6 lapsa shkrimi dhe 4 lapsa me ngjyra. Merren rastësisht 3 lapsa. Saështë probabiliteti i ngjarjes që të jenë:a) Të gjithë lapsa me ngjyra. b) Të shumtën dy lapsa me ngjyra.4. Një klasë ka 15 djem e 20 vajza. Sa është probabiliteti që në ekipin përfaqësues të klasës, nënjë konkurs (përbërë nga 7 nxënës) të jenë 3 djem e 4 vajza.5. Kur hedhim një zar, sa është probabiliteti i ngjarjes që të bjerë:a) Numër më i madh se 7. b) Numër shumëfish i dyshit ose numër i thjeshtë.6. Hidhen njëherësh dy zare. Sa është probabiliteti i ngjarjes:a) Shuma e dy numrave të dhënë është shumëfish i 6.b) Shuma e dy numrave të dhënë të jetë shumëfish i treshit ose i katrës.7. Hidhen njëri pas tjetrit dy zare.a) Tregoni hapësirën e rezultateve.b) Sa është probabiliteti i ngjarjes, që diferenca e shifrave të rëna të jetë 2?c) Sa është probabiliteti i ngjarjes, që të kemi numër dyshifror shumëfish të gjashtës ose tëkatrës.8. Në 1000 të shtëna me një pushkë sportive, 150 prej tyre nuk godasin në qendër. Gjeniprobabilitetin që në 10 prej këtyre të shtënave, të gjitha të godasin në qendër.
    • 171LIBËR PËR MËSUESITKREU 8MATEMATIKA DHE FINANCA NË JETËN E PËRDITSHMEQëllimi i mësimeve të këtij kreu është njohja me disa nga operacionet financiare që realizohennë veprimtarinë e përditshme. Këto mësime për herë të parë përfshihen për përdorim masivnë të gjitha kategoritë e shkollave të mesme. Ky fakt nuk ka të bëjë me vështirësinë e aparatitmatematik për kryerjen e veprimeve. Përkundrazi në shtjellimin e njohurive të reja nuk kërkohetaparat matematik i sofistikuar. Të gjitha teknikat realizohen me anën e veprimeve aritmetike tënjohura.Trajtimi i njohurive të reja ka drejtim kryesisht empirik. Ato realizohen me anën e shembujve,të cilave për lehtësi veprimesh i është dhënë karakter mësimor, në kuptimin që në shumicën erasteve të dhënat dhe koeficientet janë caktuar të tillë që të mos çojnë në veprime të gjata e tëndërlikuara me të cilat operojnë bankat, gjë që do të spostonte vëmendjen nga objektivi themelori kreut, që është rruga dhe mënyra e llogaritjeve dhe jo aspektet njehsuese.Kreu përfshin disa njohuri fillestare lidhur me operacionet financiare më të thjeshta.Kur një kapital financiar shfrytëzohet, presupozohet se ai jepet borxh ose depozitohet nëbankë. Personi që jep borxh këtë kapital përfiton të drejtën e një kompensimi të quajtur interes.Përcaktimi i normave të interesit për kapitale të caktuara realizohet me marrëveshje dypalëshe.Kontrata e përcaktuar në këtë rast (dhënia e përkohshme e kapitalit dhe kthimi më pas i tijsipas disa kushteve të caktuara) quhet operacion financiar. Në këtë operacion marrin pjesë dysubjekte: kreditori dhe debitori. Koha ndërmjet dhënies së kapitalit dhe kthimit të plotë të tijështë kohëzgjatja e operacionit financiar.Është e natyrshme që interesi të varet nga shuma e kapitalit të përfshirë në operacion si dhekohëzgjatja e tij.Në këtë kre, ne do të operojmë në kushte të sigurisë së plotë të operacioneve d.m.th. nuk dotë marrim në konsideratë elemente të tillë subjektivë si mosrealizimi i kontratave, mbijetesa epersonave etj.Vëmë në dukje edhe një veçori tjetër të këtij kreu. Në qoftë se problemet trajtohen me kujdese pa mbingarkesë, janë interesante për nxënësit sepse në shumë raste lidhen me veprimtarinëkonkrete në familjet e tyre. Ky fakt duhet shfrytëzuar nga mësuesi, për punë grupi të pavarur etë diferencuar duke iu dhënë nxënësve mundësinë të shprehen për detyra konkrete që hasin nëfamiljet e tyre8.1 Depozitat dhe normat e interesit. Interesi i thjeshtëNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Kapitali, interesi, perioda, norma e interesit.b) Veti. Formula e interesit të thjeshtë.c) Metoda. Nxjerrja e formulës së interesit të thjeshtë (me induksion). Zgjidhje problemesh.
    • 172 / Matematika 11Kreu 8ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:- Nga formula e interesit të thjeshtë të veçojnë njërën të panjohur kur njihen tri të tjerat.- Të zgjidhin problema që kanë të bëjnë me interesin e thjeshtë.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMe interesin e thjeshtë nxënësit njihen që në shkollën 9 vjeçare, kështu që mësuesi duhet tashfrytëzojë këtë fakt në organizimin e orës së mësimit.Çështja e parë që duhet të diskutohet së bashku me nxënësit është ajo që depozitimi i parave nëbankë është domosdoshmëri. Arsyet për këtë janë të shumta, por mësuesi mund të ndalet vetëmnë ato që janë trajtuar në tekst. Shembujt e tekstit duhet të përvetësohen mirë nga nxënësit, gjëqë do të shërbejë për t’u orientuar më mirë në mësimet e ardhshme.Ushtrimet e këtij kreu janë relativisht të lehtë e mund të përvetësohen nga nxënësit.Ushtrime plotësuese1. Për sa kohë kapitali prej 360.000 lekë, jep një interes prej 45.000 lekë me normë vjetoreinteresi prej 5%? P. [ 2,5 vjet]2. Të gjendet norma e interesit për të cilën kapitali prej 100.000 lekë, për 81 ditë jep interesinprej 1350 lekë. P. [ 6%]3. Kapitali prej 60.000 lekë, me normë interesi prej 3,5%, vendoset në bankë për 8 muaj. Sa dotë jetë ai në fund të kësaj periudhe? P. [ 61.400 lekë]4. Të gjendet kapitali fillestar, i cili për 15 muaj, me normë interesi vjetor prej 5%, bëhet 340.000lekë. P. [320.000 lekë]5. Të gjendet perioda, për të cilën kapitali prej 200.000 lekë, me normë interesi prej 4% bëhet204.000 lekë. P. [ 6 muaj]6. Sa është norma e interesit, për të cilën për 45 ditë, kapitali prej 80.000 lekë bëhet 80.700lekë. P. [ 7 %]8.2 HuajaNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Huaja, kambiali.b) Veti. Formula e shumës që merr debitori kur nga banka i akordohet borxhi prej K lekë.c) Metoda. Zgjidhje problemesh kur kërkohet njëra nga madhësitë në varësi të madhësivetë tjera.
    • 173LIBËR PËR MËSUESITShkathtësiNë mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:- Të veçojnë njërën nga të panjohurat që marrin pjesë në formulë në varësi të të tjerave.- Të zbatojnë formulën në forma të ndryshme në varësi të të dhënave dhe kërkesavetë problemit.Udhëzime për zhvillimin e mësimitKjo orë mësime në thelb nuk ka ndryshim me orën e mëparshme. Në të dy këto raste kemi tëbëjmë me formulën e interesit të thjeshtë. Vetëm se operacioni financiar që kryhet në këtë rast kadrejtim të kundërt me operacionin financiar të mësimit të mëparshëm. Në mësimin e mëparshëmkreditor është klienti dhe në rastin e dytë kreditor është banka. Në këtë mënyrë, në rastin e parëklienti përfiton nga banka interesin, ndërsa në rastin e dytë, banka i mban personit interesin.Veprimet matematike që kryhen në të dy rastet janë të njëjta.Në varësi të nivelit të nxënësve, po ta gjykojë të arsyeshme, mësuesi mund të bëjë një interpretimgjeometrik të formulës.KemiK t r K r K rI= t=m t ku m=100 100 100⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ .Vëmë re se I është funksion linear i periodës t. Grafikisht ai paraqitet në Fig. 8.1Fig. 8.2tM1M=K(1- )tr100r100O 1 tII= ∙ tKr100Fig. 8.1Kemit r t rM=K(1 ) K(1 p t) ku p=100 100⋅ ⋅− = − ⋅ . Grafikisht funksioni M paraqitet në Fig. 8.2Ushtrime plotësuese1. Pasi u rrit me 5% çmimi i një produkti u bë 89,25 lekë. Sa ishte çmimi në fillim? P. [ 85 lekë]2. Çmimi i një produkti u rrit nga 120 lekë, në 134,4 lekë. Me sa për qind u rrit çmimi? P. [ 12%]3. Një person mori në bankë borxhin prej 200.000 lekë me normë vjetore interesi prej 8%. Ai eshleu këtë borxh për 5,5 vjet. Sa lekë i dha ai bankës? P. [357.142 lekë]4. Kapitali prej 250.000 lekë i vendosur për 8 muaj dhe kapitali prej 400.000 lekë i vendosur për5 muaj së bashku japin interesin prej 10.000 lekë. Sa ishte norma e interesit?P. [ 3%]
    • 174 / Matematika 11Kreu 85. Një person fut në bankë shumën prej 800.000 lekë për 9 muaj me normë interesi 4%. Sa lekëduhet të fusë në bankë një person i dytë në mënyrë që pas 10 muajsh, me normë interesi prej 5%të përfitojë të njëjtën shumë? P. [576.000 lekë]8.3 Interesi i përbërëNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Interesi i përbërë; shuma e kapitalizuar; faktori i interesit (shkalla e përqindjessë interesit).b) Veti. Formula e interesit të përbërë dhe kapitalit përkatës.c) Metoda. Nxjerrja e formulave përkatëse duke përdorur metodën e induksionit.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje;- Të operojnë me formulat për Kndhe Inpër të gjetur njërën të panjohur kur jepen të tjerat.- Të bëjnë llogaritje me makinën llogaritëse.Udhëzime për zhvillimin e mësimitNë rastin e kapitalit të thjeshtë, interesi mbetet vazhdimisht i ndarë nga kapitali dhe i shtohetatij vetëm në fund të periudhës. Zakonisht ky lloj kapitalizimi përdoret për intervale të shkurtrakohe, jo më shumë se një vit.Kur kohëzgjatja e angazhimit është relativisht e gjatë, ajo ndahet në periudha më të shkurtrakohore, të barabarta, ku në përfundim të secilës prej tyre llogariten interesat, të cilat i shtohenkapitalit fillestar.Me këtë procedurë, e cila quhet kapitalizim i përbërë, thuhet që interesat në fund të çdo periudhekapitalizohen.Është e kuptueshme që në kapitalizimin e thjeshtë, kapitali frytdhënës është gjithmonë ai fillestar,ndërkohë që në kapitalizimin e përbërë, kapitali frytdhënës shtohet në fund të çdo periudhe, sirrjedhojë e interesave që i shtohen kapitalit.Kapitalizimi i përbërë është vjetor ose i tërë, në qoftë se periudha është një vit, ose i fraksionuarnë qoftë se periudha është nënfish i vitit ( gjashtëmujor, tremujor apo mujor).Në formulat n nn nr rK K(1+ ) dhe I K[(1+ ) 1]100 100= = − marrin pjesë katër madhësi.Rrjedhimisht kur jepen tri prej tyre, mund të gjendet e katërta..Formula e interesit të përbërë përdoret jo vetëm në veprimet financiare. P.sh. ajo përdoretveçanërisht edhe në problemet që kanë të bëjnë me ndryshimet në popullatën e një vendi.Duhet theksuar se në rastet kur si e panjohur është n, ekuacionet që përftohen janë ekuacioneeksponenciale, të cilët mund të jenë të vështirë për t’u zgjidhur. Ndodh kështu sepse kemi tëbëjmë me numra dhjetorë të ngritur në fuqi. Praktikisht këto raste, ashtu siç është vënë në dukjeedhe në tekst, bankat operojnë me tabela të gatshme.Mësuesi duhet të kujdeset që të evitohen shembuj veprimesh të gjatë e të ndërlikuar.Ushtrime plotësuese1. Kapitali prej x lekë, i vendosur me normë interesi prej 4% dhe kapitali prej y lekë, i vendosur
    • 175LIBËR PËR MËSUESITme normë interesi prej 5% për dy vjet japin së bashku interesin prej 54.498 lekë.Kapitali prej y lekë, i vendosur me normë interesi prej 4% dhe kapitali prej x lekë, i vendosurme normë interesi prej 5% për dy vjet japin së bashku interesin prej 54.707 lekë. Të gjendenkapitalet x dhe y.P. [x= 30.000 lekë; y=20.000 lekë]2. Një person vendos në bankë shumën prej m lekë me normë vjetore interesi 8%. Pas sa viteshkapitali i tij do të dyfishohet? P. [≈ 9 vjet]3. Bankës i kemi hua shumën prej 2000 euro, e cila duhet kthyer pas tri vitesh me normë interesiprej 4%. Në qoftë se këtë borxh do ia kthejmë menjëherë, sa lekë duhet t’ japim bankës? P. [1778 euro]4. Një person fut në bankë shumën prej 1000 euro, me normë vjetore interesi të përbërë prej 10%për dy vjet. Sa euro duhet të futë në bankë një person i dytë, në mënyrë që me normë interesi tëpërbërë 6 mujor prej 5%, pas dy viteve të ketë të njëjtin kapital me personin e parë?P. [ ≈ 995 euro]8.4 UshtrimeUdhëzime për zhvillimin e mësimitNë këtë orë mësimi mësuesi bën një përsëritje të koncepteve të zhvilluara në tri mësimet emëparshme. Dy ushtrimet e zgjidhur në tekst, në dukje nuk kanë lidhje të drejtpërdrejtë meinteresin. Por, siç e kemi thënë edhe më lart, rruga e zgjidhjes së tyre është e njejtë me atëtë interesit të përbërë. Është e rëndësishme që probleme të kësaj natyre të trajtohen herë pashere në mësim, sepse kanë të bëjnë me situata me të cilat nxënësit ndeshen në shumë fusha tëveprimtarisë së përditshme.Ushtrime plotësuese1. Një makinë kushton A lekë. Pas 5 vitesh përdorimi, vlera e saj është sa35e vlerës fillestare.Me sa për qind është zvogëluar vlera e kësaj makine çdo vit? P. [ 9,28%]2. Vlera e një makine zvogëlohet çdo vit me 6%. Pas sa vitesh ajo do të përgjysmohet? P. [ ≈ 11 vjet]3. Një person ka 100.000 lekë dhe mund t’i depozitojë në këto banka:1) në bankën A me normë interesi vjetor prej 8%.2) në bankën B me normë interesi 6 mujor prej 4%.3) në bankën C me normë interesi 3 mujor prej 2%.Sa është kapitali i këtij personi pas 2 vitesh në secilën bankë?Ku ka përfituar më shumë interes?
    • 176 / Matematika 11Kreu 84. Kapitali prej 1.500.000 lekë, me normë interesi të thjeshtë 6 mujor prej 1% jep interes 30.000lekë më pak se sa me normë interesi prej 1,25%. Të gjendet periudha kohore. P. [ 4 vjet]8.5 Interesi dhe progresionetNjohuri teorike kryesorea) Kuptime. Interesi i thjeshtë dhe i përzier; Progresioni aritmetik dhe gjeometrik. Kufiza epërgjithshme dhe shuma e kufizave.b) Veti. Raportet e dyanshme:interes i thjeshtë ⇔ progresion aritmetik.Interes i përbërë ⇔ progresion gjeometrik.c)Metoda. Interpretim analitikisht dhe grafikisht i varësisë reciproke ndërmjet interesave dheprogresioneve.ShkathtësiNë mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:- Të argumentojnë varësinë reciproke: interes i thjeshtë ⇔ progresion aritmetik dheinteres i përbërë ⇔ progresion gjeometrik.Duke gjykuar mbi progresionet, të arrihet në përfundimin e preferencës së interesit të përbërëndaj atij të thjeshtë kur periudha kohore është më shumë se një vit.Udhëzime për zhvillimin e mësimitMësuesi duhet të kujdeset që me anën e shembujve të thjeshtë të përcaktojë kapitalin pas n viteshtë llogaritur me interes të thjeshtë dhe të përbërë.Në rastin e interesit të thjeshtë kemi të bëjmë me kufizën e çfarëdoshme dhe shumën e kufizavetë progresionit aritmetik dhe në rastin e interesit të përbërë me kufizën e çfarëdoshme dheshumën e kufizave të progresionit gjeometrik.Mjaft i rëndësishëm është interpretimi grafik sipas Fig. 8.2 të tekstit. Në të duhet theksuar se për0<t<1 grafiku i interesit të përbërë është nën grafikun e interesit të thjeshtë, çka tregon se ai ështëmë i vogël. Për t=0 dhe t=1 të dy interesat përputhen, ndërsa për t>1, interesi i përbërë është mëi madh se interesi i thjeshtë.Më pas zgjidhen 2 ushtrimet e dhëna në tekst.Shtojmë se në të gjithë ushtrimet, mësuesi duhet të evitojë veprimet e gjata dhe mundësisht tëmos përdorë logaritmet (vetëm se iu duhet treguar nxënësve rruga e llogaritjeve).Ushtrime plotësuese1. Një familje planifikon të kalojë pushimet në një udhëtim turistik me kosto 4000 euro. Për këtëajo dy vjet para, çdo tre muaj, ajo fut në bankë shumën prej 500 euro me normë interesi 3 mujorprej 2% . Sa lekë do të marrë kjo familje në bankë pas dy vitesh? P. [ 4377 euro]2. Një makinë kushton a lekë.Rasti i parë: Çmimi i saj rritet me 10% dhe më pas ulet me 10%.Rasti i dytë: Çmimi i saj ulet me 10% dhe më pas rritet me 10%.
    • 177LIBËR PËR MËSUESITNë cilin rast çmimi përfundimtar bëhet më i madh? Përgjigja të argumentohet me llogaritje!3. Një person i punësuar në një firmë, veç rrogës merr edhe 5% të shitjeve që ai bën. Sa lekë merrky person në një muaj në qoftë se shet 200.000 lekë mall dhe rrogën mujore e ka 25.000 lekë?4. Një qytet kishte 218.707 banorë në vitin 1990 dhe 243.705 në vitin 2000.a) Sa është përqindja e rritjes së popullsisë së tij?b) Sa do të jetë popullsia e këtij qyteti në vitin 2020?8.6 Kredia bankareNjohuri teorike kryesorea) KuptimeMarrëveshje financiare; huadhënësi ( kreditori); huamarrësi ( debitori); Kufiri i kredisë.b) VetiFormulat përkatëse për llogaritjen e interesit në dhënien e kredisë.c) MetodaZgjidhje ushtrimesh me të dhëna për qëllime mësimore.ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:- Të bëjnë llogaritje të thjeshta për gjetjen e njërës nga të panjohurat I, K, r; n kur jepen tëtjerat.Udhëzime për zhvillimin e mësimitSikurse edhe në mësimet e mëparshme nëpërmjet shembujve të zgjidhur si edhe ushtrimeve tëtekstit u jepen përgjigje kërkesave të problemit.Në rastet kur ka shumë veprime, mësuesi cakton grupe të ndryshme nxënësish, të cilët dukepunuar në mënyrë të pavarur gjejnë rezultate që ia japin grupit tjetër.Ushtrimet plotësuese të propozuara në këtë mësim, mund të përdoren edhe në orën e ardhshmedhe duhet të trajtohen vetëm me nxënës të nivelit mbi mesatar.Ushtrime plotësuese1. Një person duhet t’i paguaj bankës shumën prej 200.000 lekë për një periudhë 5 vjeçare. Nëqoftë se ai dëshiron t’ia paguajë bankës këtë shumë menjëherë, sa lekë do të paguajë? Normavjetore e interesit r=5%.2. Ndërtimi i një objekti ka zgjatur me ndërprerje 4 vjet. Para fillimit të tij janë depozituar100.000 euro dhe në fund të çdo viti janë paguar për punët e kryera 10.000 euro. Normavjetore e interesit 5%. Sa është vlera e këtij objekti?3. Për 10 vitet e fundit popullsia e një qyteti është rritur nga 70.000 në 95.000 banorë. Pas savitesh ky qytet do të ketë 130.000 banorë?4. Fondi për dhurata i një shkolle është 1000 euro. Ajo e fut këtë shumë në bankë me normëinteresi vjetor prej 5% dhe vendos që çdo fund viti të japë shpërblime në masën 200 euro, porpa e prekur fondin fillestar. Pas sa vitesh do të fillojë shpërndarja e dhuratave?