El documento describe el diseño de filtros digitales pasa bajas derivados de un filtro Butterworth con diferentes frecuencias de corte. Se presentan los pasos para calcular los coeficientes del filtro y obtener las respuestas en frecuencia para frecuencias de corte de 10 Hz, 50 Hz, 100 Hz, 200 Hz y 450 Hz, a una frecuencia de muestreo de 500 Hz. Se muestran las gráficas de magnitud y fase de la función de transferencia para cada filtro.

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opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfgh
jklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvb
nmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer
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dfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx
cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq
wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuio
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klzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbn
mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf
ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc
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Universidad Autónoma de Baja
California
ECITEC Valle de las Palmas
Ingeniería en Electrónica
Procesamiento Digital de Señales
FILTROS DIGITALES
“Filtro Pasa Bajas de 2do Orden”
Medina Castro Paul
Marcos Marcos Fernando

2. 2
Universidad Autónoma de Baja California
Diseñar un Filtro Digital pasa bajas, derivado de un filtor Butterworth con una frecuencia de corte
(-3dB) de 10, 50, 100, 200, 250 y 450 Hz. La tasa de muestreo del sistema digital es de 500 Hz.
Filtro pasa-bajas Butterworth con frecuencia de corte de λr= 1 rad/seg de segundo orden
𝐻 𝑠 =
1
𝐵0 + 𝐵1 𝑠 + 𝐵2 𝑠2
=
1
1 + 𝐵1 𝑠 + 𝑠2
𝐻 𝑝 =
1
1 + 𝐵1 𝑝 + 𝑝2
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑝 → 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜𝑡𝑖𝑝𝑜
Frecuencia de corte
𝑓𝑟1 = 10 𝐻𝑧 𝑓𝑟2 = 50 𝐻𝑧 𝑓𝑟3 = 100 𝐻𝑧 𝑓𝑟4 = 200 𝐻𝑧 𝑓𝑟5 = 250 𝐻𝑧 𝑓𝑟6 = 450 𝐻𝑧
Frecuencia de doblez
𝑓𝑜 =
500 𝐻𝑧
2
= 250 𝐻𝑧
Frecuencia de corte normalizada
𝑉𝑟 =
𝑓𝑟
𝑓𝑜
𝑉𝑟 =
𝑓𝑟
𝑓𝑜
𝑉𝑟 =
10 𝐻𝑧
250 𝐻𝑧
𝑉𝑟 = 0.04
𝑉𝑟 =
𝑓𝑟
𝑓𝑜
𝑉𝑟 =
50 𝐻𝑧
250 𝐻𝑧
𝑉𝑟 = 0.2
𝑉𝑟 =
𝑓𝑟
𝑓𝑜
𝑉𝑟 =
100 𝐻𝑧
250 𝐻𝑧
𝑉𝑟 = 0.4
𝑉𝑟 =
𝑓𝑟
𝑓𝑜
𝑉𝑟 =
200 𝐻𝑧
250 𝐻𝑧
𝑉𝑟 = 0.8
𝑉𝑟 =
𝑓𝑟
𝑓𝑜
𝑉𝑟 =
250 𝐻𝑧
250 𝐻𝑧
𝑉𝑟 = 1
𝑉𝑟 =
𝑓𝑟
𝑓𝑜
𝑉𝑟 =
450 𝐻𝑧
250 𝐻𝑧
𝑉𝑟 = 1.8

3. 3
Universidad Autónoma de Baja California
Calculo de c
𝑐 =
𝜆 𝑟
tan⁡(
𝜋
2 𝑉𝑟)
Transformación
𝑝 = 𝑐
1 − 𝑧−1
1 + 𝑧−1
𝐻 𝑧 = 𝐻(𝑝)
𝑝=𝑐
1−𝑧−1
1+𝑧−1
𝐻 𝑧 =
1
1 + 𝐵1 𝑐
1 − 𝑧−1
1 + 𝑧−1 + 𝑐2 (1 − 𝑧−1)2
(1 + 𝑧−1)2
𝐻 𝑧 =
(1 + 𝑧−1
)2
(1 + 𝑧−1)2 + 𝐵1 𝑐 1 − 𝑧−1 (1 + 𝑧−1) + 𝑐2(1 − 𝑧−1)2
𝐻 𝑧 =
1
(1 + 𝐵1 𝑐 + 𝑐2)
(1 + 2𝑧−1
+ 𝑧−2
)
1 +
(2 − 𝑐2)
(1 + 𝐵1 𝑐 + 𝑐2)
𝑧−1 +
1 − 𝐵1 𝑐 + 𝑐2
(1 + 𝐵1 𝑐 + 𝑐2)
𝑧−2
Esta fórmula obtenida, se pasa a Matlab

4. 4
Universidad Autónoma de Baja California
Para la frecuencia de corte de 10 Hz la respuesta en frecuencia (Magnitud y Fase)
%FILTRO PASA BAJAS CON FRECUENCIA DE CORTE DE 50 Hz A UNA
%FRECUENCIA DE MUESTREO DE 500 Hz
C = 1/tan((pi/2)*0.04);
%Coeficiente de Butterworth
B1 = sqrt(2);
N = 1 / (1 + B1*C + C^2);
D1 = (2 - 2*C^2) * N;
D2 = (1 - B1*C + C^2) * N;
%Respuesta en Frecuencia
v_n = [0 : pi/1000 : pi];
num = N * (1 + 2*exp(-j*v_n) + exp(-j*2*v_n));
den = 1 + D1*exp(-j*v_n) + D2*exp(-j*2*v_n);
H_w = num./den;
subplot(2,1,1);
plot(v_n/pi,abs(H_w));
hold on
subplot(2,1,1);
plot(0.04,0.7,'*');
grid
subplot(2,1,2);
plot(v_n/pi,angle(H_w));
grid
El asterisco mostrado en la Grafica 1, denota la frecuencia de corte (eje X) y la ganancia (eje
y) de salida del filtro.
Grafica 1. Magnitud de la Función de transferencia en respuesta a la frecuencia
Grafica 2. Fase de la Función de transferencia en respuesta a la frecuencia
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-4
-3
-2
-1
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-4
-3
-2
-1
0

5. 5
Universidad Autónoma de Baja California
Para la frecuencia de corte de 50 Hz la respuesta en frecuencia (Magnitud y Fase)
%FILTRO PASA BAJAS CON FRECUENCIA DE CORTE DE 50 Hz A UNA
%FRECUENCIA DE MUESTREO DE 500 Hz
C = 1/tan((pi/2)*0.2);
%Coeficiente de Butterworth
B1 = sqrt(2);
N = 1 / (1 + B1*C + C^2);
D1 = (2 - 2*C^2) * N;
D2 = (1 - B1*C + C^2) * N;
%Respuesta en Frecuencia
v_n = [0 : pi/1000 : pi];
num = N * (1 + 2*exp(-j*v_n) + exp(-j*2*v_n));
den = 1 + D1*exp(-j*v_n) + D2*exp(-j*2*v_n);
H_w = num./den;
subplot(2,1,1);
plot(v_n/pi,abs(H_w));
hold on
subplot(2,1,1);
plot(0.2,0.7,'*');
grid
subplot(2,1,2);
plot(v_n/pi,angle(H_w));
grid
El asterisco mostrado en la Grafica 3, denota la frecuencia de corte (eje X) y la ganancia (eje
y) de salida del filtro.
Grafica 3. Magnitud de la Función de transferencia en respuesta a la frecuencia
Grafica 4. Fase de la Función de transferencia en respuesta a la frecuencia
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-4
-3
-2
-1
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-4
-3
-2
-1
0

6. 6
Universidad Autónoma de Baja California
Para la frecuencia de corte de 100 Hz la respuesta en frecuencia (Magnitud y Fase)
%FILTRO PASA BAJAS CON FRECUENCIA DE CORTE DE 100 Hz A UNA
%FRECUENCIA DE MUESTREO DE 500 Hz
C = 1/tan((pi/2)*0.4);
%Coeficiente de Butterworth
B1 = sqrt(2);
N = 1 / (1 + B1*C + C^2);
D1 = (2 - 2*C^2) * N;
D2 = (1 - B1*C + C^2) * N;
%Respuesta en Frecuencia
v_n = [0 : pi/1000 : pi];
num = N * (1 + 2*exp(-j*v_n) + exp(-j*2*v_n));
den = 1 + D1*exp(-j*v_n) + D2*exp(-j*2*v_n);
H_w = num./den;
subplot(2,1,1);
plot(v_n/pi,abs(H_w));
hold on
subplot(2,1,1);
plot(0.4,0.7,'*');
grid
subplot(2,1,2);
plot(v_n/pi,angle(H_w));
grid
El asterisco mostrado en la Grafica 1, denota la frecuencia de corte (eje X) y la ganancia (eje
y) de salida del filtro.
Grafica 5. Magnitud de la Función de transferencia en respuesta a la frecuencia
Grafica 6. Fase de la Función de transferencia en respuesta a la frecuencia
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-4
-3
-2
-1
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-4
-3
-2
-1
0

7. 7
Universidad Autónoma de Baja California
Para la frecuencia de corte de 200 Hz la respuesta en frecuencia (Magnitud y Fase)
%FILTRO PASA BAJAS CON FRECUENCIA DE CORTE DE 200 Hz A UNA
%FRECUENCIA DE MUESTREO DE 500 Hz
C = 1/tan((pi/2)*0.8);
%Coeficiente de Butterworth
B1 = sqrt(2);
N = 1 / (1 + B1*C + C^2);
D1 = (2 - 2*C^2) * N;
D2 = (1 - B1*C + C^2) * N;
%Respuesta en Frecuencia
v_n = [0 : pi/1000 : pi];
num = N * (1 + 2*exp(-j*v_n) + exp(-j*2*v_n));
den = 1 + D1*exp(-j*v_n) + D2*exp(-j*2*v_n);
H_w = num./den;
subplot(2,1,1);
plot(v_n/pi,abs(H_w));
hold on
subplot(2,1,1);
plot(0.8,0.7,'*');
grid
subplot(2,1,2);
plot(v_n/pi,angle(H_w));
grid
Grafica 3. Magnitud de la Función de transferencia en respuesta a la frecuencia
Grafica 4. Fase de la Función de transferencia en respuesta a la frecuencia
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-4
-3
-2
-1
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-4
-3
-2
-1
0

8. 8
Universidad Autónoma de Baja California
Para la frecuencia de corte de 250 Hz la respuesta en frecuencia (Magnitud y Fase)
%FILTRO PASA BAJAS CON FRECUENCIA DE CORTE DE 250 Hz A UNA
%FRECUENCIA DE MUESTREO DE 500 Hz
C = 1/tan((pi/2)*1);
%Coeficiente de Butterworth
B1 = sqrt(2);
N = 1 / (1 + B1*C + C^2);
D1 = (2 - 2*C^2) * N;
D2 = (1 - B1*C + C^2) * N;
%Respuesta en Frecuencia
v_n = [0 : pi/1000 : pi];
num = N * (1 + 2*exp(-j*v_n) + exp(-j*2*v_n));
den = 1 + D1*exp(-j*v_n) + D2*exp(-j*2*v_n);
H_w = num./den;
subplot(2,1,1);
plot(v_n/pi,abs(H_w));
hold on
subplot(2,1,1);
plot(1,0.7,'*');
grid
subplot(2,1,2);
plot(v_n/pi,angle(H_w));
grid
Grafica 3. Magnitud de la Función de transferencia en respuesta a la frecuencia
Grafica 4. Fase de la Función de transferencia en respuesta a la frecuencia
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.5
1
1.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-6
-4
-2
0
2
x 10
-14
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.5
1
1.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-6
-4
-2
0
2
x 10
-14

9. 9
Universidad Autónoma de Baja California
Para la frecuencia de corte de 450 Hz la respuesta en frecuencia (Magnitud y Fase)
%FILTRO PASA BAJAS CON FRECUENCIA DE CORTE DE 450 Hz A UNA
%FRECUENCIA DE MUESTREO DE 500 Hz
C = 1/tan((pi/2)*1.8);
%Coeficiente de Butterworth
B1 = sqrt(2);
N = 1 / (1 + B1*C + C^2);
D1 = (2 - 2*C^2) * N;
D2 = (1 - B1*C + C^2) * N;
%Respuesta en Frecuencia
v_n = [0 : pi/1000 : pi];
num = N * (1 + 2*exp(-j*v_n) + exp(-j*2*v_n));
den = 1 + D1*exp(-j*v_n) + D2*exp(-j*2*v_n);
H_w = num./den;
subplot(2,1,1);
plot(v_n/pi,abs(H_w));
hold on
subplot(2,1,1);
plot(1.8,0.7,'*');
grid
subplot(2,1,2);
plot(v_n/pi,angle(H_w));
grid
Grafica 3. Magnitud de la Función de transferencia en respuesta a la frecuencia
Grafica 4. Fase de la Función de transferencia en respuesta a la frecuencia
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.5
1
1.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
1
2
3
4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.5
1
1.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
1
2
3
4