Algunos ejercisios

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Algunos ejercicios

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Algunos ejercisios

  1. 1. DISTRIBUCIONES ALGUNOS EJERCISIOSMATERIA: PROBABILIDADPROFESOR: Lic. Gerardo Edgar Mata OrtizALUMNO: ROLANDO FERNANDO ECHAVARRIAGRADO: 2SECCION: C
  2. 2. Consideremos el siguiente juego, la apuesta a un número al arrojar un dado.Consideraremos un "éxito" si sale el número que eligimos, y un "fracaso" si saleotro número.Tenemos que:p = 1/6q = 1-p = 5/6Si hacemos una sola prueba donde P(k) es la probabilidad de k exitos.tenemos que:n=1P(0) = q = 5/6P(1) = p = 1/6Si hacemos dos pruebas, encontraremos lo siguiente:n=21era 2da descripcion No. Prob 1era Prob 2 prob.prueba prueba exitos 2ndaP Pierde 2 0 5/6 5/6 25/36 25/36 pruebasq Gana 1 1/6 5/6 25/36 5/36 primera pierda segundaTendremos cuatro diferentes formas de obtener resultados, estas cuatro formas las vemos en la columna "descripción" de la tabla anterior.La probabilidad para cada resultado, se calcula multiplicando las probabilidadesdel resultado de cada prueba, dado que estas son independientes.El número de "éxitos" lo hacemos contando las "p" de cada línea.Así podemos calcular la probabilidad desde cero hasta 2 éxitos.
  3. 3. Observa que para la P(1) sumamos dos veces cinco sextos que se encuentran en losrenglones verdes de la tabla anterior.Así podemos calcular la probabilidad desde cero hasta 2 éxitosObserva que parala P(1) sumamos dos veces cinco sextos que se encuentran enrenglonesde la tabla anterior.
  4. 4. Ley de poisson.Sea X ~(4). Determinara) P(X=1)b) P(X=0)c) P(X<2)d) P(X>1)e) μXf) σxa) P(X=1)= e-4 *P(X=1)= 0.018315638 *P(X=1)= 0.018315638 * 4P(X=1)= 0.073262555b) P(X=0) = e-4 *P(X=0)= 0.018315638 *P(X=0)= 0.018315638 * 1P(X=0)= 0.018315638c) P(X<2)P(X=1)= e-4 * P(X=0) = e-4 *P(X=1) = 0.018315638 * P(X=0)= 0.018315638 *P(X=1) = 0.018315638 * 4 P(X=0)= 0.018315638 * 1P(X=1) = 0.073262555 P(X=0)= 0.018315638P(X<2) =P(X=1)+P(X=0)P(X<2) =0.07326255+0.018315638P(X<2) =0.091578193
  5. 5. d) P(X>1)P(X=2)= e-4 * P(X=3)= e-4 *P(X=2)= 0.018315638 * P(X=3)= 0.018315638 *P(X=2)= 0.018315638 * 8 P(X=3)= 0.018315638 * 10.66666667P(X=2)= 0.146525111 P(X=3)= 0.195366814P(X=4)= e-4 * P(X>1)= P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)P(X=4)= 0.018315638 * P(X>1)= 0.146525111+0.195366814+ 0.195366814P(X=4)= 0.018315638 * 10.66666667P(X=4)= 0.195366814 P(X>1)=0.537258739e) μXμX= 4f) σxσx=σx= 2 suponga que 0.03 % de los contenedores plásticos producidos en cierto procesotiene pequeños agujeros que los dejan inservibles. X representa el numero decontenedores en una muestra aleatoria de 10 000 que tienen este defecto.Determine:a) P(X=3)b) P(X≤2)c) P(1≤X<4)d) μXe) σxa) P(X=3)= e-3*P(X=3)= 0.049787068 *P(X=3)= 0.049787068 * 4.5P(X=3)= 0.0224041807
  6. 6. b) P(X≤2)P(X=0)= e-3 * P(X=1)= e-3 *P(X=0)= 0.049787068 * P(X=1)= 0.049787068 *P(X=0)= 0.049787068 * 1 P(X=1)= 0.049787068 * 3P(X=0)= 0.049787068 P(X=1)= 0.149361205P(X=2)= e-3* P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)P(X=2)= 0.049787068 * P(X≤2)= 0.049787068+0.149361205+ 0.149361205P(X=2)= 0.049787068 * 4.5P(X=2)= 0.0224041807 P(X≤2)=0.42319008c) P(X<2)P(X=1)= e-3 * P(X=2)= e-3*P(X=1)= 0.049787068 * P(X=2)= 0.049787068 *P(X=1)= 0.049787068 * 3 P(X=2)= 0.049787068 * 4.5P(X=1)= 0.149361205 P(X=2)= 0.0224041807P(X=3)= e-3* P(X<2)= P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)P(X=3)= 0.049787068 * P(X<2)= 0.149361205+0.224041807+ 0.224041807P(X=3)= 0.049787068 * 4.5P(X=3)= 0.0224041807 P(X<2)= 0.597444819d) μXμX= 3e) σxσx=
  7. 7. σx= 1.7320308083.- el numero de mensajes recibidos por el tablero computado de anuncios es unavariable aleatoria de Poisson con una razón media de ocho mensajes por hora.a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco mensajes en una hora?b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5 horas?c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres mensajes en 11/2horas?a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco mensajes en una hora?P(X=3)= e-8*P(X=3)= 3.354626279x10-4 *P(X=3)= 3.354626279x10-4 * 273.0666667P(X=3)= 0.09160366b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5 horas?P(X=10)= e-12*P(X=10)= 6.144212353x10-6 *P(X=10)= 6.144212353x10-6 * 17062.76571P(X=10)= 0.104837255c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres mensajes en 11/2horas?P(X=0)= e-12* P(X=1)= e-12*P(X=0)= 6.144212353x10-6 * P(X=1)= 6.144212353x10-6 *P(X=0)= 6.144212353x10-6 * 1 P(X=1)= 6.144212353x10-6 * 12P(X=0)= 6.144212353x10-6 P(X=1)= 7.373054824x10-5P(X=2)= e-12* P(X<3)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)P(X=2)= 6.144212353x10-6 * P(X<3)= 6.144212353x10-6 + 7.373054824x10-5 +
  8. 8. P(X=2)= 6.144212353x10-6 * 72 4.423832894x10-4 =P(X=2)= 4.423832894x10-4 P(X<3)= 5.2225805x10-4 una variable aleatoria X tiene una distribucion binomial y una variable Y tiene unadistribucion de Poisson. Tanto X como Y tienen medias iguales a 3. ¿Es posibledeterminar que variable aleatoria tiene la varianza mas grande? Elija una de lassiguientes respuestas:i) Sí, X tiene la varianza mas grande.ii) Sí, Y tiene la varianza mas grandeiii) No, se necesita conocer el numero de ensayos,n, para X.iv) No, se necesita conocer la probabilidad de éxito, p, para X.v) No, se necesita conocer el valor de λ para Y.Fórmula para determinar la varianza en una distribución binomial:σ2x= (1-p)σ2x= (1-3)σ2x= -2Formula para determinar la varianza en una distribución Poisson:σ2y= λσ2y= 3Respuesta:ii) Sí, Y tiene la varianza más grande La concentración de partículas en una suspensión es 2 por mL. Se agita porcompleto la concentración, y posteriormente se extraen 3 mL. Sea X el numero departículas que son retiradas. Determine.a) P(X=5)b) P(X≤2)c) μXd) σxa) P(X=5)= e-6 *P(X=5)= 2.478752177x10-3 *P(X=5)= 2.478752177x10-3 * 64.8P(X=5)= 0.160623141
  9. 9. b) P(X≤2)P(X=0)= e-6 * P(X=1)= e-6 *P(X=0)= 2.478752177x10-3 * P(X=1)= 2.478752177x10-3 *P(X=0)= 2.478752177x10-3 * 1 P(X=1)= 2.478752177x10-3 * 6P(X=0)= 2.478752177x10-3 P(X=1)= 0.014872513P(X=2)= e-6 * P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)P(X=2)= 2.478752177x10-3 * P(X≤2)= 2.478752177+0.014872513+ 0.044617539P(X=2)= 2.478752177x10-3 * 18P(X=2)= 0.044617539 P(X≤2)= 0.061968804c) μXμX= 6d) σxσx=σx= 2.449489743Sea T ~ t(4,0.5):determinar b) Determinar
  10. 10. c) Determinar P(TP(T= 1- e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) -e(0.5)(1)=1- 0.60653 -0.30327 -0.075816 -0.012636=0.000175 d) Determinar P(TP(T= e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) -e(0.5)(3)=0.22313 + 0.33470+0.25102 +0.12551=0.9344 Sea T ~ Weibull(0.5,3) a) Determinar b) Determinar c) Determinar P(T P (T>5) =1-P(T 1) = 1 – e-En el articulo “Parameter Estimation with Only One Complete FailureObservation”se modela la duracion en horas, de cierto tipo de cojinete con ladistribucion de Weibull con parámetros
  11. 11. a) Determine la probabilidad de que un cojinete dure mas de 1000 horas b) Determine la probabilidad de que un cojinete dure menos de 2000 horas P(T<2000)= P(T c) La función de riesgo se definio en el ejercicio 4 ¿Cuál es el riesgo en T=2000 horas? h(t) =La duración de un ventilador, en horas , que se usa en un sistema computacionaltiene una distribución de Weibull con a) ¿Cuáles la probabilidad de que un ventilador dure mas de 10 000 horas? P(T>10 000 ) =1 –(1- =0.3679 b) ¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador dure menos de 5000 horas? P(t<5000) =P(T Un sistema consiste de dos componentes conectados en serie. El sistema fallaracuando alguno de los componentes falle. Sea T el momento en el que el sistemafalla. Sean X1 y X2 las duraciones de los dos componentes. Suponga que X1 y X2son independientes y que cada uno sigue una distribución Weibull con 2 a) determine P( P( b) determine P(T 5)
  12. 12. P(T =0.8647 c) T Tiene una distribución de Weibull= si es Asi ¿Cuáles son sus parametros? Si, T~ Weibull (2,Determine el área bajo la curva normal a) Ala derecha de z= -0.85. b) Entre z = 0.40 y z = 1.30. c) Entre z =0.30 y z = 0.90. d) Desde z = - 1.50 hasta z =-0.45Estos resultados se obtuvieron con las tablas anexas al final de los problemasA – 1 – 0.1977 = 0.8023B – 0.9032 – 0.6554 = 0.2478C – 0.8159 – 0.3821 = 0.4338D – 0.0668 + (1 – 0.3264) = 0.7404puntuaciones de una prueba estandarizada se distribuyen normalmente con mediade 480 y desviación estándar de 90. a) ¿Cual es la proposición de puntuaciones mayores a 700? b) ¿Cual es el 25º? ¿Percentil de las puntuaciones? c) Si la puntuación de alguien es de 600. ¿En que percentil se encuentra? d) ¿Qué proporción de las puntuaciones se encuentra entre 420 y 520?µ = 480 σ = 90 A - Z = (700-480)/90 = 2.44 el área a la derecha de Z es 0.0073 B – la puntuación de z en el 25 º percentil -0.67
  13. 13. El 25 º percentil es entonces 480 - 0.67 (90) = 419.7 C – z = (600-480)/90 = 1.33 el área a la derecha de z es 0.9082 Por lo que una puntuación de 600 esta en el percentil 91 D - z = (420 - 480)/90 = - 0.67 Z = (520 – 480)/90 = 0.44 El área entre z = - 0.67 y z = 0.44 es 0.6700 – 0.2514 = 0.4186La resistencia de una aleación de aluminio se distribuye normalmente con mediade 10 giga pascales (Gpa) a) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de esta aleación tenga resistencia mayor a 12 GPa? b) Determine el primer cuartil de la resistencia de esta aleación. c) Determine el 95º. Percentil de la resistencia de esta aleación.µ = 10 σ = 1.4A) z = (12 -10)/1.4 = 1.43 el área ala derecha de z = 1.43 es 1 – 0.9236 = 0.0764B) la puntuación de z en el 25 º percentil es -0.67 El 25 º percentil es entonces 10 - 0.67 (1.4) = 9.062 Gpa.C) la puntuación de z en el 95 º percentil es 1.645 El 25 º percentil es entonces 10 + 1.645(1.4) = 12.303 Gpa.La penicilina es producida por el hongo penicillium, que crece en un caldo, cuyocontenido de azúcar debe controlarse con cuidado. La concentración optima eazúcar es de 4.9 mg/mL. Si la concentración excede los 6 mg/mL, el hongo muerey el proceso debe suspenderse todo el día. a) ¿Si la concentración de azúcar en tandas de caldo se distribuye normalmente con media 4.9 mg/mL y desviación estándar 0.6 mg/mL en que proporción de días se suspenderá el proceso? b) El distribuidor ofrece vender caldo con una concentración de azúcar que se distribuye normalmente con medida de 5.2 mg/mL y desviación estándar de 0.4 mg/mL ¿este caldo surtirá efectos con menos días de producción perdida?
  14. 14. A) (6 – 4.9)/0.6 =1.83 1 – 0.9664 = 0.0336 B) Z = (6 – 5.2)/0.4 = 2.00 1 – 0.9772 = 0.0228 Con este caldo el proceso se suspendería el 2.28% de los díasEl volumen de las llantas llenadas por cierta maquina se distribuye con media de12.05 onzas y desviación estándar de 0.03 onzas.a) ¿Qué proporción de latas contiene menos de 12 onzas?b) La medida del proceso se puede ajustar utilizando calibración. ¿En que valor debe fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o mas?c) Si la media del procesos sigue siendo de 12.05 onzas. ¿En que valor debe fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o mas? A) (12 – 12.05)/0.03 = -1.67 la proporción es 0.0475 B) Z= -2.33 entonces -2.33=(12 - µ)/0.03 despejando µ = 12 .07 onzas C) – 2.33 = (12-12.05)/ σ despejando σ = 0.0215 onzas

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