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Vectores y ejemplos
 

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    Vectores y ejemplos Vectores y ejemplos Document Transcript

    • Vectores: propiedades y operaciones básicas Una clasificación básica de las distintas propiedades físicas medibles, establece que estas pueden dividirse en dos tipos: a) Aquellas que quedan perfectamente determinadas cuando se expresa su cantidad mediante un número, seguido de la unidad correspondiente. A este tipo de magnitudes se les conoce como magnitudes escalares. Algunos ejemplos de ellas son: longitud, volumen, masa, temperatura, energía, carga eléctrica y corriente eléctrica. b) Las que precisan para su total definición que se especifique -además de un número y la unidad correspondiente-, una dirección o una línea (recta) de acción y un sentido. A tales magnitudes se les conoce como vectoriales o dirigidas. El ejemplo más claro y conocido es la fuerza, puesto que todos hemos experimentado cómo sus efectos al actuar sobre un cuerpo dependen no sólo de su intensidad, sino también de la línea a lo largo de la cual actúa. Otros ejemplos de propiedades o cantidades utilizadas en física de este tipo son: velocidad, aceleración, cantidad de movimiento, campo eléctrico y campo magnético. Las cantidades vectoriales requieren el empleo de elementos matemáticos con mayor capacidad de descripción. Estos elementos matemáticos se denominan vectores, y pueden representar además de la intensidad o magnitud, la dirección y sentido. Para referirse a ellos se emplean letras en negritas (minúsculas o mayúsculas) o letras con una flecha en su parte superior o letras negritas con una flecha encima de ellas. Los siguientes son ejemplos de representaciones de vectores: Al escribir de manera explícita el valor de un vector debemos referirnos tanto a su magnitud (también llamada módulo o norma), designada mediante la expresión como a su dirección expresada mediante el símbolo (llamado vector unitario, puesto que su magnitud es igual a uno). Este símbolo representa un vector con la misma dirección y sentido que de manera que Representación gráfica de un vector. Un vector se representa gráficamente mediante una línea recta orientada, que indica la magnitud (longitud de la línea en una escala convenida) y dirección (en relación a una dirección convenida), y por una flecha, la cual indica su sentido. Al primer punto en dirección opuesta a dónde se encuentra la flecha se le llama origen o cola del vector. Por ejemplo, si queremos indicar que la velocidad de un cuerpo, en relación con los puntos cardinales es de 50 m/s en dirección Norte-Este (o Noreste) a 30° con respecto al Norte, podemos utilizar el gráfico de la derecha. Representación gráfica de la cantidad 50 m/s en dirección Noreste a 30° de la dirección Norte. Cada unidad de longitud representa 5 m/s. 1
    • Relaciones entre vectores. Para comparar dos vectores debemos tomar en cuenta todas sus características, es decir, su magnitud, dirección y sentido. a).- Igualdad de vectores. Dos vectores son iguales si y solo si tienen la misma magnitud, dirección y sentido, esto es: solamente cuando y b).- Vectores opuestos: Se dice que dos vectores son opuestos si tienen la misma magnitud y dirección, pero sus sentidos son opuestos, esto es: en caso de que y c).- Vectores paralelos: Se dice que dos vectores son paralelos si tienen la misma dirección, independientemente de la relación entre sus magnitudes, esto es: siempre que d).- Vectores perpendiculares: Se dice que dos vectores son perpendiculares si tienen la misma dirección, independientemente de la relación entre sus magnitudes, esto es: si En la figura siguiente se ilustran las relaciones vectoriales anteriores. Suma o adición de vectores Cuando se suman dos vectores, se obtiene otro vector. La suma de dos vectores, llamada resultante, puede obtenerse deslizando el segundo vector de manera que su cola u origen toque la punta de flecha del primer vector. EL resultado (de ahí el nombre de resultante) es un vector que se extiende desde la cola u origen del primer vector hasta la flecha del segundo vector. Por ejemplo, encontremos la suma (o resultante ) de los vectores representados en la siguiente figura (izquierda). La representación gráfica del procedimiento consiste en desplazar el vector de manera que su origen coincida con la punta de (el vector o bien puede dejarse 2
    • dónde está o desplazarse para mayor claridad, como se muestra en el presente caso) y trazar el vector resultante con origen en el origen de y final en el final de (derecha de la siguiente figura). 3 Nótese que el diagrama de la adición o suma vectorial forma un triángulo, siempre que los vectores que se están sumando no sean paralelos. En general el triángulo obtenido no es un triángulo rectángulo (es decir, no tiene un ángulo recto). Aunque es posible obtener el valor de la magnitud de la resultante analizando el triángulo obtenido (las magnitudes de sus lados y los ángulos internos) mediante la aplicación de las leyes de los senos y de los cosenos, es preferible aprender un método más general que consiste en descomponer los vectores en componentes rectangulares entre sí (ver más adelante). Un vector puede ser sumado con él mismo, las veces n que se quiera, lo cual se expresa mediante el producto de n con el vector, es decir: Esta operación permite obtener un vector mayor que el original cuando n >1, uno menor cuando 0 < n <1 o uno en dirección contraria si n < 0. La siguiente figura ejemplifica estos casos. Propiedades de la suma vectorial Si son vectores, la suma de vectores tiene las siguientes propiedades. 1.- Propiedad conmutativa: 2.- Propiedad asociativa: 3.- Identidad: Existe un vector (llamado vector cero, cuya magnitud es cero y su dirección es
    • arbitraria), tal que: 4.- Elemento inverso: Para cualquier vector existe un vector - (llamado inverso aditivo de ) tal que: 5.- Sustracción de vectores: La siguiente figura ilustra gráficamente las propiedades anteriores. 4 Método del polígono: La suma es una operación binaria (es decir, entre dos elementos, en este caso vectores), sin embargo, en la gráfica trazada al ilustrar la propiedad asociativa, podemos observar un polígono que muestra en sus lados -seguidos uno de otro- a los vectores que están siendo sumados y a la resultante cerrando el polígono. La resultante aparece de la misma manera que cuando se suman dos vectores gráficamente, esto es, su origen parte de dónde lo hace el primer vector y termina dónde termina el último de los vectores sumados. Puesto que la suma de vectores es además conmutativa, esta forma de calcular la suma de varios de manera gráfica es útil y válida (al sumar los vectores en otro orden se obtiene un polígono con distinta apariencia, aunque la resultante es igual).La siguiente figura ilustra lo expuesto anteriormente.
    • Componentes de un vector Cualquier vector puede siempre expresarse como la suma de dos o más vectores (además del mismo vector sumado con el vector cero). A cualquier conjunto de vectores que al sumarse den como resultante dicho vector, se les llama las componentes del vector. Aunque es posible encontrar un conjunto infinito de vectores que cumplan este requisito (ver figura siguiente, izquierda), las componentes más comúnmente usadas son las cartesianas rectangulares. Para ello se ha convenido en asociar a cada eje coordenado cartesiano un vector unitario, designados comúnmente (aunque no siempre) mediante los símbolos , y a los cuales se les conoce como vectores unitarios cartesianos. Estos tres vectores -al igual que los ejes cartesianos-, son perpendiculares entre sí y están asociados a los ejes como muestra la figura siguiente (derecha). Los vectores unitarios tienen siempre la dirección de crecimiento del eje respectivo. En términos de los vectores unitarios, el vector puede ser expresado en términos de tres vectores (componentes cartesianos), cada uno de ellos paralelos a uno de los ejes X, Y y Z. Estos vectores son un múltiplo o submúltiplo positivo o negativo de uno de los vectores cartesianos . Así, el vector se expresa de la siguiente manera: Para evitar confusiones consideraremos vectores que están localizados no en el espacio, sino en un plano, específicamente en el plano XY (la inmensa mayoría de los problemas de mecánica pueden resolverse considerando el movimiento en un plano), de manera que la componente en Z del vector es nula, como se muestra en la figura anterior. Ahora bien, los vectores componentes de son perpendiculares entre si, de manera que al disponerlos como se muestra en la figura siguiente, obtenemos un triángulo rectángulo. Los lados que forman el ángulo recto son las magnitudes de los vectores componentes, en tanto que la longitud o magnitud del vector , es la hipotenusa. Utilizando el teorema de Pitágoras vemos que entre la magnitud del vector y la magnitud de sus componentes es válida la relación: Despejando, obtenemos la expresión que permite calcular el módulo de un vector expresado en coordenadas cartesianas: 5
    • Anteriormente hemos establecido que todo vector puede expresarse en términos de su magnitud y de su dirección, para la cual se emplea un vector unitario paralelo al vector en cuestión. Por ejemplo, el vector puede expresarse de la siguiente manera: Despejando obtenemos para el vector unitario: Sustituyendo las expresiones para el vector y su magnitud, obtenemos: 6 Ejemplo: Utilizando el sistema coordenado mostrado en la figura anterior (derecha), encuentre la expresión para , su magnitud , así como el valor de En la siguiente figura se muestra de manera gráfica la relación entre la magnitud del vector y la de sus componentes, así como el vector unitario. En términos de sus componentes, dos vectores son iguales solamente si lo son sus respectivas componentes, es decir: Si solamente si
    • Suma de vectores representados mediante componentes cartesianas. Sumar vectores expresados en términos de componentes cartesianas, es una tarea sencilla, puesto que las componentes de estos vectores (que también son vectores) forman dos grupos (para el caso de vectores en un plano) que o bien son paralelas al eje X o son paralelas al eje Y. Tomemos por ejemplo, los vectores . En términos de sus componentes cartesianas tenemos: Encontremos la suma o resultante de estos vectores. 7 Quitando los paréntesis obtenemos: Puesto que la suma de vectores es conmutativa, podemos acomodar las componentes de la siguiente manera: Asociando las componentes de cada eje obtenemos: Finalmente, tomando como factor común en cada paréntesis a los vectores unitarios cartesianos: Si repetimos este proceso para la suma del vector con el inverso del vector obtendremos: En general, la siguiente expresión nos permite obtener la suma o resultante de dos vectores, cuando estos están expresados en términos de sus componentes cartesianas:
    • Ejemplo: Dados los vectores ... encontrar el valor de las siguientes cantidades: …… encontrar a) b) c) d) e) f) g) 8
    • h) Dados los vectores: … encuentre las relaciones entre las componentes de las siguientes expresiones vectoriales: …dónde t es una variable. Recordemos que dos vectores son iguales solamente si lo son sus componentes. Por tanto, sustituyendo en la primera expresión, tenemos: 9 De manera que: , Para la segunda expresión: De manera que: , tenemos: y