Teoria del campo electrico , capitulo 11

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Teoria del campo electrico , capitulo 11

  1. 1. 1 Capítulo 11. La teoría del campo eléctrico describe los fenómenos eléctricos. Durante el segundo viaje de Cristóbal Colón a América, sus naves fueron envueltas en una tormenta, y las puntas de los mástiles comenzaron a resplandecer con una fantasmal flama azulada. Los navegantes de ese tiempo interpretaron ese resplandor azul como un signo de que las naves estaban bajo la protección de San Elmo, el patrón de los navegantes, así que ellos llamaron a las "flamas" azules fuego de San Elmo (Figura 11.1). Figura 11.1 El espeluznante resplandor del fuego de San Elmo en los mástiles de una nave. A través de la historia la gente ha escrito acerca de ese extraño resplandor. Julio César reportó que "en el mes de febrero, cerca de la segunda guardia nocturna, súbitamente surgió una densa nube seguida por una lluvia de granizo, y la misma noche las puntas de las lanzas de la Quinta Legión parecieron encenderse". Los astronautas han visto resplandores similares sobre las naves espaciales. ¿Cuál es la causa de este escalofriante fenómeno? ¿Por qué se presenta más frecuentemente durante las tormentas? Descubrirás las respuestas a estas preguntas conforme continúes estudiando el fenómeno asociado con las cargas eléctricas. En este capítulo, comenzarás por aprender cómo el conocimiento de las fuerzas relacionadas con las cargas eléctricas conduce a la idea de campos, y compararás diferentes tipos de campos eléctricos. Luego aprenderás cómo la fuerza es utilizada para definir la intensidad de campos eléctricos. Finalmente, estudiarás el movimiento de cargas en el campo eléctrico y explicarás las interacciones eléctricas utilizando la ley de conservación de la energía. 11.1 Fuerzas y campos Los antiguos filósofos griegos explicaron la mayoría de los tipos de movimiento como el resultado de fuerzas "naturales" o "violentas". Ellos pensaban que las fuerzas violentas causan movimiento como resultado de una fuerza ejercida por un cuerpo en contacto con otro (Figura 11.2). Pensaron además que las fuerzas naturales causan el movimiento de objetos hacia su "elemento natural" (Figura 11.3). Sin embargo, los griegos encontraron otro tipo de movimiento más difícil de explicar. Observarás este tipo de movimiento en la siguiente actividad. Figura 11.2 Las fuerzas ejercidas por los caballos atados al carro causan el movimiento “violento” del carro.
  2. 2. 2  Carga una barra de goma o de plástico frotándola con piel o con tu pelo y acércala lentamente a los vellos de tu brazo. No toques los vellos de tu brazo. Observa lo que ocurre. 1.- ¿Cuál es la evidencia de que la barra cargada afecta los vellos de tu brazo aunque no haya contacto entre ellos? 2.- ¿Es la fuerza ejercida por la barra sobre los vellos de tu brazo atractiva o repulsiva? La barra de goma parece ser capaz de ejercer un tipo de fuerza violenta sobre los vellos de tu brazo, sin que haya contacto visible. Este tipo de fuerza, en el que un objeto puede ejercer una fuerza sobre otro objeto sin que estén en contacto, fue clasificada como "acción a distancia". Para explicar la "acción a distancia," los griegos propusieron la teoría del efluvio. De acuerdo con esta teoría, todos los objetos están rodeados por efluvio. Esta sustancia invisible está hecha de minúsculos átomos semejantes a cuerdas que son emitidos por el objeto y que pulsan atrás y adelante. Conforme el efluvio se extiende hacia otros cuerpos, los átomos de los diferentes objetos se entrelazan. Su efluvio eventualmente los arrastra uno hacia otro. La teoría del efluvio ayudó a explicar lo que parecía ser una "acción a distancia". Aunque el efluvio era invisible, continuaba siendo una forma de contacto entre los objetos. Campos En el siglo XVIII, los científicos, incluyendo a Newton, trataron de determinar por qué un objeto puede ejercer una fuerza sobre otro objeto sin tocarlo. Estos científicos intentaron explicar la "acción a distancia", tales como las trayectorias curvas de una pelota lanzada o el efecto de una pieza de ámbar cargada sobre el pelo del brazo de una persona. Al darse cuenta que ni las fuerzas "naturales" o "violentas" ni el "efluvio" podían explicar la gravedad o las fuerzas eléctricas, los científicos desarrollaron el concepto de campo para describir estas fuerzas. Un campo es definido como la región de influencia que rodea a un objeto. El concepto de campo ayuda a explicar la ley de gravitación universal, la cual se estudió en el Capítulo 4. Considera un módulo espacial viajando
  3. 3. 3 hacia la Luna (Figura 11.4). Acercándose a su destino lunar, el módulo comienza a experimentar el incremento de la influencia de la Luna. Como resultado, el movimiento del módulo comienza a seguir una trayectoria curva, similar al movimiento de un proyectil de un objeto lanzado horizontalmente a través del aire cerca de la superficie terrestre. Como establece la ley de Newton, el movimiento de cualquier objeto puede seguir una trayectoria curvada solamente cuando es afectado por una fuerza distinta de cero que tiene una componente perpendicular. En el espacio, esto le ocurre al módulo espacial cuando este está cerca de la Luna, de manera que el espacio próximo a la Luna debe ser distinto al espacio en el que no están presentes grandes objetos como la Luna. A partir de esto, podemos inferir que existe un campo alrededor de un gran objeto, tal como la Luna. Cuando otros objetos entran a este campo, interactúan con la Luna. Similarmente, la Tierra tiene un campo. La fuerza gravitacional actúa sobre otros objetos que entran a este campo. Recuerda del capítulo 4 que este campo alrededor de los objetos es llamado campo gravitacional. Michael Faraday (1791-1867) desarrolló el concepto de campos para explicar los fenómenos eléctricos. Él determinó que el espacio alrededor de una barra de goma debe ser distinto cuando la barra está cargada que cuando no lo está. Las cargas que están sobre la barra crean un campo eléctrico alrededor de ella. Una fuerza electrostática actúa sobre otro objeto cargado cuando es colocado en dicho campo. Existe un campo eléctrico rodeando toda carga u objeto eléctricamente cargado. El campo puede estar en el espacio vacío, independientemente de que en él se encuentre una carga u objeto cargado. Aunque la teoría del campo es una poderosa herramienta para describir fenómenos y predecir fuerzas, los físicos aún debaten cómo los objetos realmente ejercer fuerzas a distancia. En el capítulo 17 se describe cómo la teoría cuántica proporciona un modelo extremadamente preciso para describir tales fuerzas. Magnitud y dirección de un campo eléctrico. El campo eléctrico que rodea a un objeto cargado, tiene tanto magnitud como dirección. Por tanto, un campo eléctrico es clasificado como un campo vectorial. En todo punto que rodea a una carga, el campo puede ser representado mediante una flecha vectorial. La longitud del vector representa la magnitud del campo eléctrico y la punta de la flecha indica la dirección en tal punto. Por definición, la dirección del campo eléctrico alrededor de una carga es la dirección de la fuerza experimentada por una pequeña carga de prueba positiva colocada en el campo eléctrico (Figura 11.5). Una
  4. 4. 4 carga de prueba es una carga con una magnitud suficientemente pequeña de manera que no perturbe la carga de la carga fuente y por tanto su campo eléctrico. Podemos determinar la magnitud del campo eléctrico que rodea a una carga puntual, a partir del efecto sobre otra carga colocada en el campo eléctrico. Si una pequeña carga de prueba positiva es colocada en el campo, esta carga experimentará una fuerza mayor cuando está próxima a la carga que produce el campo, que cuando esta está alejada de ella. Por definición, el campo eléctrico E en un punto dado es la razón de la fuerza eléctrica ejercida sobre la carga colocada en tal punto, a la magnitud de tal carga. El campo eléctrico puede ser calculado utilizando la ecuación 𝐸= 𝐹𝑒 𝑞 ...donde 𝑞 es la magnitud de la carga de prueba en coulomb (C); 𝐹𝑒 es la fuerza eléctrica sobre la carga en newton (N); y 𝐸 es la intensidad del campo eléctrico en dicho punto, expresada en newton por coulomb (N/C), en la dirección que se definió previamente. Ejemplo 11.1 Una esfera con una carga negativa de 2.10 x 10-6 C experimenta una fuerza electrostática de repulsión de 5.60 x 10-2 N cuando está colocada en el campo eléctrico producido por una fuente de carga (Figura 11.7). Determinar la magnitud del campo eléctrico producido por la fuente de carga en el punto donde se localiza la esfera. Paráfrasis: La magnitud del campo eléctrico es 2.67 x 104 N/C en el punto dado.
  5. 5. 5 La ecuación para determinar la magnitud del campo eléctrico que rodea a una carga puntual, tal como la mostrada en la Figura 11.8, puede ser deducida matemáticamente como sigue: … donde es la magnitud de la carga fuente que produce el campo eléctrico, en coulomb (se ignora el signo de la carga); es la distancia desde el centro de la carga fuente a un punto específico en el espacio, en metros; es la constante de Coulomb (8.99 x 10 newton por coulomb. 9 N m2 /C2) y | | es la magnitud del campo eléctrico, en Ejemplo 11.2 Determinar el campo eléctrico en la posición P que está a 2.20 x 10-2 m desde el centro de una carga puntual negativa de 1.70 x 10-6 C. Análisis y solución: La carga fuente que genera el campo eléctrico es 𝑞. Por tanto, |𝐸 | = 𝑘 𝑞 = 𝑟2 9 × 109 𝑁 ∙ 𝑚2 1.70 × 10−6 𝐶 𝑁 𝐶2 = 3.16 × 107 −2 𝑚 2 2.20 × 10 𝐶 Puesto que la carga fuente es negativa y la dirección del campo se define como la dirección de la fuerza electrostática que actúa en una carga de prueba positiva, el campo eléctrico se dirige hacia la carga fuente. Paráfrasis: El campo eléctrico en el punto P es 3.16 x 107 N/C [hacia la carga fuente]. Frecuentemente, más de una carga crea un campo eléctrico en un punto particular en el espacio. En tales casos puede aplicarse el principio de superposición para vectores. De acuerdo con este principio, los campos constituidos por varias fuentes se superponen para formar un único campo total. El vector que especifica el campo total en cualquier punto es simplemente la suma vectorial de los campos de las fuentes individuales, como se muestra en los siguientes ejemplos. El ejemplo 11.3 muestra cómo calcular el campo eléctrico total en un punto en una situación unidimensional. Ejemplo 11.3 Dos esferas positivamente cargadas, A y B, con cargas de 1.50 x 10-6 C y 2.00 x 10-6 C, respectivamente, están separadas una distancia de 3.30 x 10-2 m. Determinar el campo eléctrico total en el punto P localizado a la mitad de la distancia entre los centros de las dos esferas (Figura 11.9).
  6. 6. 6 Análisis y solución Cómo se muestra en la Figura 11.10, el campo eléctrico creado por 𝑞 𝐴 en el punto P está dirigido hacia la derecha, mientras que el campo eléctrico en el punto P creado por 𝑞 𝐵 está dirigido hacia la izquierda. Consideremos positiva la dirección hacia la derecha. La distancia entre 𝑞 𝐴 y el punto P es: 3.30 × 10−2 𝑚 𝑟𝑞 𝐴 𝑎 P = = 1.65 × 10−2 𝑚 2 Para calcular el campo eléctrico en el punto P creado por 𝑞 𝐴 , usamos: 𝑁 ∙ 𝑚2 9 × 109 1.50 × 10−6 𝐶 𝑞𝐴 𝑁 𝐶2 |𝐸 𝑞 𝐴 | = = 4.96 × 107 2 = 1.65 × 10−2 𝑚 2 𝐶 𝑟 𝑎P 𝑞𝐴 Para calcular el campo eléctrico en el punto P creado por 𝑞 𝐵 , usamos: 𝑁 ∙ 𝑚2 9 × 109 2.00 × 10−6 𝐶 𝑞𝐵 𝑁 𝐶2 |𝐸 𝑞 𝐵 | = = 6.61 × 107 2 = −2 𝑚 2 1.65 × 10 𝐶 𝑟 𝑎P 𝑞𝐵 Sumando los vectores podemos determinar el campo eléctrico total en el punto P: 𝐸 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐸 𝑞 𝐴 + 𝐸 𝑞 𝐵 = 4.96 × 107 𝑁 𝐶 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 + 6.61 × 107 𝑁 𝐶 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 = 1.65 × 107 𝑁 𝐶 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 Paráfrasis: El campo eléctrico total en el punto P es 1.65 x 107 N/C hacia la izquierda. En el ejemplo 11.4 se muestra cómo determinar el campo eléctrico total en un punto, originado por dos cargas en una configuración bidimensional. Ejemplo 11.4 Calcular el campo eléctrico total en un P que está a 4.00 x 10-2 m de una pequeña esfera metálica A que tiene una carga negativa de 2.10 x 10-6 C y a 3.00 x 10-2 m de otra esfera similar B que tiene una carga positiva de 1.50 x 10-6 C (Figura 11.11).
  7. 7. 7 Análisis y solución: Puesto que 𝑞 𝐴 es una carga negativa, el campo eléctrico creado por dicha carga en el punto P, está dirigido desde tal punto hacia 𝑞 𝐴 . Puesto que 𝑞 𝐵 es una carga positiva, el campo eléctrico creado por 𝑞 𝐵 en el punto P está dirigido desde 𝑞 𝐵 hacia el punto P. Determinar el campo eléctrico creado por 𝑞 𝐴 en el punto P: |𝐸 𝑞 𝐴 | = 𝑞𝐴 𝑟𝑞 𝐴 𝑎 P 2 = 9 × 109 𝑁 ∙ 𝑚2 2.10 × 10−6 𝐶 𝑁 𝐶2 = 1.18 × 107 −2 𝑚 2 4.00 × 10 𝐶 Determinar el campo eléctrico creado por 𝑞 𝐵 en el punto P: 𝑁 ∙ 𝑚2 9 × 109 1.50 × 10−6 𝐶 𝑞𝐵 𝑁 𝐶2 |𝐸 𝑞 𝐵 | = = 1.50 × 107 2 = −2 𝑚 2 3.00 × 10 𝐶 𝑟 𝑎P 𝑞𝐵 Las direcciones de 𝐸 𝐴 y 𝐸 𝐵 se muestran en la Figura 11.12 Descomponer cada campo eléctrico en componentes x y y (ver Figuras 11.13 y 11.14). Utilizar adición vectorial para determinar el campo eléctrico resultante.
  8. 8. 8 En el capítulo 10, aprendiste que hay dos tipos de cargas eléctricas que interactúan y son afectadas por fuerzas eléctricas. En esta sección has aprendido que esas cargas están rodeadas por campos eléctricos regiones de influencia eléctrica alrededor de cada carga. Las fuerzas electrostáticas afectan las cargas colocadas en esos campos. Los campos explican cómo dos cargas pueden interactuar, aunque no haya contacto entre ellas. Puesto que los campos eléctricos son campos vectoriales, puede utilizarse la adición vectorial para determinar el campo eléctrico total en un punto en la presencia de más de una carga en situaciones unidimensionales y bidimensionales. 11.2 Líneas de campo eléctrico y potencial eléctrico. En la sección 11.1, aprendiste que el campo eléctrico de una carga en un punto P puede ser representado mediante una flecha vectorial, cómo se muestra en la figura 11.16. La longitud y dirección de la flecha vectorial representa la magnitud y dirección del campo eléctrico en ese punto. Midiendo la fuerza eléctrica ejercida sobre una carga de prueba en un número infinito de puntos alrededor de una carga fuente, puede ser asignado a cada punto en el espacio un valor vectorial del campo eléctrico alrededor de la carga fuente. Esto crea un mapa tridimensional del campo eléctrico alrededor de la carga fuente (Figura 11.16).
  9. 9. 9 Líneas de campo eléctrico. Para muchas aplicaciones, sin embargo, se utiliza un método mucho más simple para representar campos eléctricos. En lugar de trazar un número infinito de flechas, se pueden trazar líneas, llamadas líneas de campo eléctrico, para representar el campo eléctrico. Las líneas de campo eléctrico son trazadas de manera tal que exactamente una línea pase por cualquier punto dado dentro del campo, y la tangente a dicha línea de campo en tal punto, esté en la dirección del campo eléctrico vectorial en dicho punto. Puede asignarse a las líneas de campo una dirección tal, que la dirección de la línea tangente en un punto dado, concuerde con la dirección del campo eléctrico en tal punto, la cual, como se ha visto previamente, coincide con la dirección de la fuerza ejercida por el campo sobre una carga de prueba. Esto se ilustra en la figura 11.16 b, correspondiente a una imagen tridimensional de las líneas de campo de dos cargas de igual magnitud, pero de distinto tipo, configuración llamada dipolo eléctrico. Lo anterior puede conseguirse siguiendo las siguientes reglas al trazar líneas de campo eléctrico alrededor de una carga puntual: a) Las líneas de campo eléctrico debidas a una fuente de carga positiva, inician en la carga y se extienden radialmente desde la carga hacia infinito. b) Las líneas de campo eléctrico debidas a una fuente de carga negativa, vienen desde infinito e inciden radialmente y terminan en la fuente de carga negativa. c) La densidad de líneas representa la magnitud del campo eléctrico. En otras palabras, entre más cercanas y mayor sea el número de líneas, más intenso es el campo eléctrico. La Figura 11.17 muestra cómo trazar líneas de campo eléctrico alrededor de una y de dos cargas puntuales negativas. Las figuras fueron trazadas siguiendo las reglas anteriores.
  10. 10. 10 Raramente el campo eléctrico en un punto del espacio es influenciado por una sola carga. A menudo, se requiere determinar el campo eléctrico para un arreglo complicado de cargas. Pueden usarse líneas de campo eléctrico para desplegar estos campos eléctricos. En la Figura 11.18, se han esparcido semillas de césped en la superficie de un recipiente con aceite comestible. En cada caso, se ha puesto un objeto diferente cargado en el aceite. • En una hoja de papel, esboza las líneas de campo eléctrico en cada situación, usa las reglas para dibujar líneas de campo eléctrico dadas anteriormente. • Utiliza declaraciones concisas para justificar el modelo esbozado en cada uno de los bocetos. Conductores y líneas de campo eléctrico En un conductor, los electrones se mueven libremente hasta que alcanzan un estado de equilibrio estático. En tal estado de equilibrio estático, todas las cargas deben estar en reposo, experimentando una fuerza total nula. Al conseguir el equilibrio estático, se crean distribuciones de carga interesantes, que ocurren en objetos conductores, pero no en objetos no conductores. A continuación se describen cinco diferentes situaciones que involucran distribución de carga en conductores y sus líneas de campo eléctrico correspondientes. Esfera sólida conductora Cuándo una esfera metálica sólida se carga, ya sea negativa o positivamente, ¿se distribuye la carga uniformemente en toda la esfera? Para alcanzar el equilibrio estático, las cargas se apartan todo lo posible unas de otras, debido a las fuerzas electrostáticas de repulsión. Una carga dentro de la esfera en la posición A en la Figura 11.19(a), por ejemplo, experimenta una fuerza de repulsión electrostática total por parte de las otras cargas. Por consiguiente, las cargas que se depositan en una parte de la esfera sólida, se repelen
  11. 11. 11 entre sí. Estas cargas se distribuyen uniformemente en la superficie de la conductora. esfera metálica La Figura 11.19 (b) muestra las líneas de campo eléctrico creadas por la distribución de carga en la superficie de una esfera conductora sólida. Debido a que las líneas del campo eléctrico no pueden tener una componente tangencial a esta superficie, en la parte exterior de la superficie las líneas deben ser siempre perpendiculares a la superficie. Placa conductora sólida y plana ¿Cómo se distribuirá la carga en exceso, positiva o negativa, en una placa conductora sólida y plana, cómo la de la Figura 11.20(a)? En una superficie plana, las fuerzas de repulsión entre las cargas en exceso son a la vez paralelas y tangentes a la superficie. Así, las fuerzas electrostáticas de repulsión que actúan sobre las cargas causan que estas se dispersen y distribuyan uniformemente a largo de la superficie exterior de una placa cargada, como se muestra en Figura 11.20 (b). Las líneas de campo eléctrico se extienden perpendicularmente hacia una placa negativamente cargada. Las líneas de campo eléctrico son uniformes y paralelas, como se muestra en la Figura 11.20(c). Objeto sólido conductor de forma irregular En un conductor sólido de forma irregular, las cargas se rechazan y se acumulan en la superficie exterior. Pero, ¿se distribuyen las cargas uniformemente en la superficie exterior? La Figura 11.21(a) es un ejemplo de objeto de forma irregular, cargado eléctricamente. En la parte más plana de la superficie, las fuerzas de repulsión son casi paralelas o tangenciales a la superficie y causan que las cargas se aparten, como se muestra en la Figura 11.21 (b). En la parte
  12. 12. 12 puntiaguda de una superficie convexa, las fuerzas entre las cargas forman un ángulo con respecto a la superficie, que da lugar a una menor componente de fuerza paralela o tangencial a la superficie. Por tanto, la fuerza total de repulsión sobre las cargas de la parte puntiaguda es menor, lo cual permite que estén más cerca unas de otras. Esto trae como consecuencia que las cargas se acumulen en las puntas (partes convexas) de los objetos conductores de forma irregular. Recíprocamente, las cargas se apartarán en la concavidad (parte cóncava) de un objeto de forma irregular. En conductores de forma irregular, la densidad de carga es mayor donde la superficie se curva más (Figura 11.21(c)). También la densidad de líneas de campo eléctrico es mayor en estas regiones. Informativo: La acumulación de carga en una superficie puntiaguda, es la explicación para el fuego de San Elmo, sobre el cual leíste al principio de este capítulo. St. El fuego de San Elmo es un plasma (un gas caliente, ionizado) causado por el intenso campo eléctrico producido por la acumulación de carga en las puntas conductoras de los mástiles durante las tormentas. El fuego de San Elmo es conocido como descarga en forma de corona o descarga puntual. Objeto conductor hueco Cuándo un objeto hueco conductor se carga, ya sea negativa o positivamente, ¿se distribuye la carga uniformemente a lo largo de las superficies interior y exterior del objeto? Como se vio en las Figuras 11.19, 11.20, y 11.21, el exceso de carga se mueve para alcanzar el equilibrio estático, apartándose todo lo posible debido a las fuerzas electrostáticas de repulsión. En un objeto conductor hueco, todas las cargas en exceso son repelidas hacía afuera, como se muestra en la Figura 11.22(a). Sin embargo, estas sólo se distribuyen uniformemente en la superficie exterior del objeto conductor. No hay carga en exceso en la superficie interna del objeto hueco, independientemente de la forma del objeto. Las correspondientes líneas de campo eléctrico, creadas por la distribución de carga de la superficie exterior de un objeto hueco, se muestran en la Figura 11.22 (b). Las líneas de campo eléctrico en la superficie exterior, son siempre perpendiculares a dicha superficie.
  13. 13. 13 Sorprendentemente, el campo eléctrico es cero en todo punto dentro del conductor, de manera que ninguna línea de campo eléctrico alcanza el interior de un conductor hueco. Como previamente se describió, este efecto puede explicarse utilizando el principio de superposición. Los campos originados por muchas fuentes se sobreponen en un solo campo total. El vector que especifica la magnitud del campo total en cualquier punto, es simplemente la suma vectorial de los campos de cada fuente individual. En cualquier parte dentro del interior de un objeto hueco conductor, la suma vectorial de todos los campos eléctricos individuales es cero. Por esta razón, la persona dentro de la jaula de Faraday, mostrada en la fotografía de la página 508, no es afectada por la inmensa cantidad de carga depositada sobre la superficie externa de la jaula. Para transmitir señales a las casas, tales como las de televisión por cable, se utilizan cables coaxiales de alambre. Para prevenir interferencia eléctrica y magnética desde fuera del cable, los alambres coaxiales se recubren con una delgada lámina de material conductor. Cualquier carga que se depositara sobre la capa conductora, se acumula sobre su superficie externa. El campo creado por estas cargas en el interior del conductor es cero, de modo que no influye en las señales transmitidas en los alambres. Placas paralelas Si dos placas paralelas de metal, tal como las mostradas en la Figura 11.23(a), son cargadas con cargas de tipo opuesto, ¿cómo se distribuyen las cargas? Las fuerzas electrostáticas de repulsión entre cargas del mismo tipo, dentro de cada placa, causan que las cargas se distribuyan uniformemente en cada placa, y las fuerzas de atracción entre las cargas opuestas de las placas causan que las cargas se acumulen en las superficies internas de las placas. Así, las cargas se distribuyen uniformemente en las superficies internas de las placas cargadas. Debido a que la magnitud del campo eléctrico resultante, es la suma vectorial de cada campo individual, el campo eléctrico en cualquier parte entre las placas es uniforme, lo cual no ocurre en los extremos de las placas. Así, prácticamente entre dos placas paralelas muy cercanas y opuestamente cargadas, sólo existen líneas de campo eléctrico entre las placas. Estas líneas se extienden perpendicularmente a las placas, comenzando en la placa positivamente cargada y
  14. 14. 14 terminan en la placa negativamente cargada. Las líneas de campo eléctrico son uniformes tanto en dirección como en densidad entre las dos placas opuestamente cargadas, excepto cerca de los bordes de las placas. Este sistema se llama condensador o capacitor de placas paralelas. Este tipo de condensador se encuentra en muchos diferentes tipos de equipo eléctrico, incluyendo las copiadoras y televisores. También se usa en aceleradores de partículas, tales como tubos de rayos catódicos y espectrómetros de masa. Al inicio del siglo XIX, Michael Faraday realizó un experimento para investigar los campos eléctricos dentro de un recipiente de metal hueco. Utilizó cubetas para hielos, por lo que este experimento se llama a menudo “el experimento de la cubeta de hielo de Faraday.” Esta actividad se llama “experimento conceptual”, debido a que no realizarás el experimento. En cambio, predecirás y justificarás los resultados de un procedimiento experimental que reproduce la investigación de Faraday. El propósito del experimento es determinar qué tipo de campo eléctrico existe en el interior y en el exterior de un recipiente de metal hueco. Una barra positivamente cargada se coloca dentro del recipiente de metal, cerca del centro, como se muestra en la Figura 11.25. La barra se mueve entonces a una nueva posición dentro del recipiente de metal, cerca de una de las superficies internas. ¿Cuál de los electroscopios mostraría una desviación cuándo la barra está cerca del centro del recipiente de metal? • Explica claramente tu razonamiento y los principios físicos que utilizaste para determinar tus respuestas a estas preguntas. Energía potencial eléctrica y potencial eléctrico. Un generador Van de Graaff puede generar más de 250 kV. Tocar el domo produce los resultados espectaculares mostrados en la Figura 11.26, y también puede causar un susto debido a un toque no dañino. Por otro lado, tocar las terminales de un enchufe de pared, que tiene un voltaje de 120 V, puede ser fatal. Comprender esta diferencia dramática entre la magnitud del voltaje y su correspondiente efecto, requiere un estudio de los conceptos de energía potencial eléctrica y potencial eléctrico. Estos conceptos son importantes en el estudio de campos eléctricos. Aunque los términos parecen similares, son muy diferentes. Para entender la diferencia, es necesario estudiar estos conceptos en
  15. 15. 15 dos tipos de campos eléctricos: los campos eléctricos nouniformes alrededor de cargas puntuales, y los campos eléctricos uniformes entre dos placas paralelas cargadas. Energía Potencial eléctrica En estudios anteriores aprendiste acerca de la relación entre el trabajo y la energía potencial. Se realiza trabajo cuando al aplicar una fuerza, el objeto es movido en la dirección de la fuerza. El trabajo realizado es igual a =| | …donde es el trabajo, y | | y son las magnitudes de la fuerza y del desplazamiento del objeto, respectivamente. En un sistema gravitatorio, como el mostrado en la Figura 11.27(a), para alzar una masa una distancia vertical contra el campo gravitatorio de la Tierra, se requiere trabajo para estirar un “resorte gravitatorio” imaginario conectando entre la masa y la Tierra. Puesto que la fuerza requerida para realizar el trabajo es una fuerza conservativa, el trabajo realizado contra el campo gravitatorio aumenta la energía potencial gravitatoria del sistema en una cantidad igual al trabajo realizado. Por consiguiente: = = De manera semejante, en un sistema electrostático como el mostrado en Figura 11.27 (b), al mover una pequeña carga a través de una cierta distancia en un campo eléctrico no-uniforme producido por otra carga puntual, requiere trabajo para comprimir o estirar un imaginario “resorte electrostático” conectado entre las dos cargas. Puesto que la fuerza requerida para realizar este trabajo es también una fuerza conservativa, el trabajo realizado en el campo eléctrico debe incrementar la energía potencial eléctrica del sistema. La energía potencial eléctrica es la energía almacenada en el sistema de dos cargas separadas una cierta distancia (Figura 11.28). El cambio en la energía potencial eléctrica es igual al trabajo realizado para mover una pequeña carga eléctrica: =
  16. 16. 16 Ejemplo 11.5 Al mover una pequeña carga desde una posición en un campo eléctrico hasta otra posición, se requiere realizar un trabajo de 3.2 x10–19 J. ¿Cuál será el aumento en la energía potencial eléctrica de la carga? Análisis y solución El trabajo realizado contra las fuerzas electrostáticas es El aumento de energía potencial eléctrica es En un sistema conservativo: = . −19 Por tanto; = = 3.2 × 10 𝐽 . El aumento de energía potencial eléctrica de la carga es 3.2 × 10−19 𝐽 Eligiendo un punto de referencia En el Capítulo 7, aprendiste que normalmente los puntos de referencia tomados para el cero de la energía potencial gravitatoria, son la superficie de Tierra o el infinito. Elegir un punto de referencia cero es necesario para poder analizar la relación entre el trabajo y la energía potencial gravitatoria. Consideremos un punto de la referencia cero en la superficie de la Tierra. Un objeto en reposo en la superficie de la Tierra, tendría cero energía potencial gravitatoria en relación a la superficie de la Tierra. Si el objeto se alza hacia arriba, en dirección opuesta a la experimentada por la fuerza gravitatoria, entonces se está realizando trabajo sobre el objeto. En este caso estará aumentando la energía potencial gravitatoria del objeto (se dice que el objeto gana energía potencial). Si el objeto se mueve hacia la superficie, en la misma dirección que la fuerza gravitatoria, disminuye su energía potencial gravitatoria (se dice que el objeto pierde energía potencial). Al igual que ocurre con la energía potencial gravitatoria, el valor de la energía potencial eléctrica en una cierta posición carece de sentido, a menos que se le compare con un punto de referencia en el cual a la energía potencial eléctrica le sea asignado un valor igual a cero. La elección de un punto de referencia igual a cero para la energía potencial eléctrica es arbitrario. Por ejemplo, suponga un campo eléctrico producido por una carga negativa grande. Una carga positiva pequeña sería atraída y quedaría en reposo sobre la superficie de la carga negativa, donde tendría
  17. 17. 17 cero energía potencial eléctrica. Esta posición podría definirse como punto de referencia cero de energía potencial eléctrica (Figura 11.29(a)). Entonces, la carga de prueba tendría energía potencial eléctrica positiva en todas las demás posiciones. Alternativamente, la pequeña carga de prueba positiva puede ser movida tan lejos de la gran carga negativa hasta un punto en el que no haya ninguna atracción electrostática entre ellas. La distancia entre ellas sería infinita. Este punto, correspondiente a una posición en infinito de la carga de prueba, es a menudo escogido como el punto de referencia cero para la energía potencial eléctrica. Por tanto, la carga de prueba tiene energía potencial eléctrica negativa en todas las demás posiciones. Este texto utiliza el infinito como el punto de referencia igual a cero para la energía potencial eléctrica, al realizar cálculos (Figura 11.29 (b)). Trabajo y energía potencial eléctrica Siempre que el trabajo se realice para mover una carga contra la fuerza eléctrica causada por un campo eléctrico, la carga gana energía potencial eléctrica. Los ejemplos siguientes ilustran la relación entre el trabajo y la energía potencial eléctrica. Energía potencial eléctrica entre placas paralelas cargadas Excepto en los bordes, el campo eléctrico entre dos placas opuestamente cargadas es uniforme en magnitud y dirección. Supongamos que una carga positiva pequeña se mueve en el campo entre las placas, desde la placa negativa hasta la placa positiva, con una velocidad constante. Este movimiento requiere la aplicación de una fuerza externa que contrarreste las fuerzas electrostáticas que las placas cargadas ejercen sobre la carga positiva. El trabajo realizado sobre la carga incrementa la energía potencial eléctrica del sistema: = =| | Ejemplo 11.6 Cuándo una pequeña carga positiva se mueve desde una placa negativa hasta una placa negativa, se realiza un trabajo 2.3 x 10–19 J. ¿Cuánta energía potencial eléctrica ganará la carga? Análisis y solución En un sistema conservativo, = = 2.3 × 10−19 J = Paráfrasis: La energía potencial eléctrica ganada por la carga es 2.3 × 10−19 J Potencial eléctrico Supongamos que dos cargas positivas son empujadas hacia una placa positiva. En este caso, es realizado el doble de trabajo y en el sistema se almacena el doble de energía potencial eléctrica, en relación a cuando se empuja solamente una carga positiva. Sin embargo, la energía potencial eléctrica almacenada por carga, es la misma. Almacenar 20 J de energía en dos cargas, es igual que almacenar 10 J de energía en cada carga. En ocasiones, es necesario determinar la energía potencial eléctrica total en una cierta situación en un campo eléctrico. En otras ocasiones, es conveniente considerar solamente la energía potencial eléctrica por unidad de carga en una posición. La energía potencial eléctrica almacenada por unidad de carga en un punto dado, es la cantidad de trabajo requerido para mover una carga unitaria hasta dicho punto desde un punto de referencia cero (en infinito). Esta cantidad tiene un nombre especial: potencial eléctrico. Para determinar el potencial eléctrico en una posición determinada, se usa esta ecuación:
  18. 18. 18 P = = …donde V está en volt, está en joule, y q está en coulomb. Puesto que la energía potencial eléctrica es medida en joule y la carga es medida en coulomb, 1 1 = 1 Así, si el potencial eléctrico en un cierto punto es 10 V, una carga de 1 C poseerá 10 J de energía potencial eléctrica, una carga de 2 C poseerá 20 J de energía potencial eléctrica, y así sucesivamente. Aun cuando la energía potencial eléctrica total depende de la cantidad de carga colocada en determinada posición del campo eléctrico, el potencial eléctrico (V) en tal posición permanecerá constante. Puede utilizarse un globo como ejemplo para ayudar a explicar la diferencia entre los conceptos de energía potencial eléctrica y potencial eléctrico. Supongamos que frotamos un globo con pelo animal. El globo adquiere un potencial eléctrico de unos pocos miles de voltios. En otras palabras, la energía eléctrica guardada por coulomb de carga en el globo, es de unos pocos miles de voltios. Escrito en forma de ecuación, = Ahora supongamos que el globo adquiere una carga grande de 1 C durante el frotamiento. Para que el potencial eléctrico quede con el mismo valor, se necesitarían unos pocos miles de joule de trabajo para producir la energía eléctrica que permitiría al globo mantener ese potencial eléctrico. Sin embargo, la cantidad de carga que un globo adquiere durante el frotamiento normalmente es solamente del orden de unos pocos microcoulombios. Así, adquirir este potencial requiere una pequeña cantidad de trabajo para producir la energía necesaria. Aunque el potencial eléctrico es alto, la energía potencial eléctrica es baja, debido a que la carga es sumamente pequeña. Diferencia de potencial eléctrico Cuando una carga se mueve de un punto a otro en un campo eléctrico, experimenta un cambio en el potencial eléctrico. Este cambio en potencial eléctrico se llama la diferencia de potencial eléctrico, , entre los dos puntos, la cual es igual a: = Puesto que = , = …donde es la cantidad de trabajo requerido para mover la carga desde una posición hasta otra. La diferencia de potencial sólo depende del potencial en las dos posiciones. No depende de la carga o del camino o trayectoria seguido por la carga, cuando se mueve de una posición a otra. La diferencia de potencial eléctrica es comúnmente referida como justamente diferencia de potencial o voltaje.
  19. 19. 19 Un electrón volt (eV) es la cantidad de energía que un electrón gana o pierde al pasar por una región entre cuyos extremos hay una diferencia de potencial de exactamente 1 V. Un electrón volt es inmensamente menor que un joule: 1 = 1.60 × 10−19 J Aunque el electrón volt no sea una unidad del SI, a veces es conveniente utilizarlo para expresar cantidades diminutas de energía, sobre todo en situaciones que involucran una sola partícula cargada, como un electrón o un protón. La diferencia de energía en el caso del Ejemplo 11.6 podría expresarse como; 2.3 × 10−19 J ( 1.6 1 ×1 ) = 1.4 Ejemplo 11.7 Al mover una pequeña carga de 1.6 x 10–19 C entre dos placas paralelas, su energía potencial eléctrica se incrementa en 3.2 x 10–16 J. Determinar la diferencia de potencial eléctrico entre las dos placas paralelas. Análisis y solución Para determinar la diferencia potencial eléctrico entre las placas, usamos la ecuación = 𝑞 = 3.2 × 10–16 J 1.6 × 10–19 C = 2.0 × 103 𝑉 La diferencia de potencial eléctric0 entre las placas es 2.0 × 103 𝑉 Ejemplo 11.8 Una pequeña carga de 3.2 x 10-19 C es movida entre dos placas paralelas desde una posición dónde el potencial eléctrico es de 2.0 x 103 V, a otra posición dónde el potencial eléctrico es de 4.0 x 103 V (Figura 11.30). Determine: (a) La diferencia de potencial entre las dos posiciones. (b) La energía potencial eléctrica ganada por la carga, en joules (J) y en electrón volt (eV). Paráfrasis: (a) La diferencia potencial entre las dos posiciones es 2.0 x 103 V. (b) La energía ganada al mover la carga entre las dos posiciones es 6.4 x 10–16 J ó 4.0 x 103 eV = 4.0 keV.
  20. 20. 20 Información La anotación es ampliamente utilizada en lugar de para representar la diferencia de potencial en un punto A en relación al punto B. Cuando los puntos en cuestión son claros en el contexto, los subíndices generalmente se omiten. Por ejemplo, la ecuación para la ley de Ohm normalmente se escribe como = , donde se entiende que V representa la diferencia potencial entre los extremos de la resistencia R. El campo eléctrico entre placas cargadas Anteriormente, en esta sección, determinamos la intensidad del campo eléctrico que rodea a una carga puntual, usando las ecuaciones siguientes: | |= | |= 2 | | También vimos que el campo eléctrico alrededor de una carga puntual es un campo eléctrico no uniforme. Su magnitud depende de la distancia a la carga. Después, vimos un tipo especial de campo eléctrico existente entre dos placas paralelas cargadas. La magnitud del campo eléctrico entre las placas es uniforme entre las placas, y puede determinarse usando la ecuación general para el campo eléctrico, | | = No podemos usar la ecuación | |= | | porque sólo es apropiada para cargas puntuales. Ahora, después de estudiar la diferencia de potencial eléctrica, podemos ver cómo otra ecuación para determinar la fuerza del campo eléctrico entre las placas, se origina de una relación importante entre el campo eléctrico uniforme y la diferencia de potencial eléctrica entre dos placas paralelas cargadas (Figura 11.31). Para que una pequeña partícula positivamente cargada se mueva a través del campo eléctrico uniforme se requiere una fuerza, tal que = . Esta fuerza es ejercida sobre la partícula debido a la presencia del campo eléctrico. Si esta fuerza mueve a la partícula cargada una distancia entre las placas, entonces el trabajo realizado es: =| | = | | ó Puesto que este sistema es conservativo, el trabajo realizado se almacena en el sistema como energía potencial eléctrica: = = | | = La diferencia de potencial eléctrica entre las placas es: = | | =| | Para calcular la magnitud del campo eléctrico uniforme entre las placas cargadas, usamos la ecuación: | |= , dónde es la diferencia potencial eléctrica entre las placas cargadas, en voltios; distancia, en metros, entre las placas; y | | es la magnitud del campo eléctrico, en voltios por metro. Nótese que 1 = 1 , puesto que 1 = 1 ⁄ 1 = 1 =1 es la
  21. 21. 21 Ejemplo 11.9 El tubo de rayos catódicos (CRT) de un monitor de computadora acelera electrones entre placas paralelas cargadas (Figura 11.32). Estos electrones son después dirigidos hacia una pantalla para crear una imagen. Si las placas están separadas 1.2 x 10–2 m y entre ellas hay una diferencia potencial de 2.5 x 104 V, determina la magnitud del campo eléctrico entre las placas. Paráfrasis: La magnitud del campo eléctrico entre las placas es 2.1 x 106 V/m. 11.3 Interacciones eléctricas y la ley de conservación de la energía Una carga en un campo eléctrico experimenta una fuerza electrostática. Si la carga es libre para moverse, acelerará en la dirección de la fuerza electrostática, como lo describe la segunda ley de Newton. La aceleración de la carga en el campo eléctrico no uniforme alrededor de una carga puntual, es diferente del movimiento uniformemente acelerado que corresponde al de una carga en un campo eléctrico uniforme entre las placas cargadas. La Figura 11.33 muestra una carga en el campo no uniforme de un carga puntual. La fuerza electrostática sobre una carga puesta en el campo varía inversamente con el cuadrado de la distancia entre las cargas. Una fuerza variante causa un movimiento con aceleración no uniforme. Describir el movimiento de la carga en este tipo de situación, requiere aplicar el cálculo diferencial e integral a las leyes del movimiento de Newton, lo cual está más allá del alcance de este texto. Sin embargo, para determinar la rapidez de la partícula en un punto dado, se puede usar la ley de conservación de la energía. Si las fuerzas que actúan sobre un objeto son fuerzas conservativas, entonces el trabajo realizado sobre el sistema cambia la energía potencial del sistema. La energía potencial eléctrica puede convertirse, al igual que la energía potencial gravitatoria, en energía cinética. Una partícula cargada, puesta en un campo eléctrico, acelerará desde una región de mayor energía potencial hasta una región de menor energía potencial. De acuerdo con la ley de conservación de la energía, la carga en movimiento gana energía cinética a expensas de la energía potencial. Si se asume que ninguna energía se pierde por fricción y las fuerzas son conservativas, la energía cinética ganada iguala a la energía potencial perdida, de modo que las sumas de las dos energías siempre son iguales: + = +
  22. 22. 22 Ejemplo 11.10 Una pelotita muy ligera de masa 2.4 x 10-4 kg con una carga positiva de 1.2 x 10-8 C está inicialmente en reposo en la posición A en el campo eléctrico de un carga más grande (Figura 11.34). En esta posición, la pelotita cargada tiene 3.0 x 10-7 J de energía potencial eléctrica. Cuando se libera, la pelotita acelera hacia la carga mayor. En la posición B, la pelotita tiene 1.5 x 10-8 J de energía potencial eléctrica. Encontrar la rapidez de la pelotita cuando alcanza la posición B. Análisis y solución: La pelotita está en reposo en A, de modo que su energía cinética inicial es cero. Su energía potencial eléctrica en B es menor que en A. Puesto que este sistema es conservativo, la pérdida de energía potencial eléctrica cuando la pelota se mueve de A a B es igual a la ganancia en energía cinética, de acuerdo con la ley de conservación de la energía: Paráfrasis: La rapidez de la pelotita en la posición B es 4.9 x 10-2 m/s. Es más fácil describir el movimiento de una carga en un campo eléctrico uniforme entre dos placas paralelas, como se muestra en la Figura 11.35. En este caso, la aceleración es constante debido a la fuerza constante, por lo que pueden utilizarse tanto el teorema del trabajo y la energía como las
  23. 23. 23 leyes de la dinámica. (Puesto que el campo eléctrico es constante (uniforme), la fuerza que actúa sobre una carga, también es constante, puesto que = .) Ejemplo 11.11 Se conectan dos placas paralelas verticales a una fuente de suministro de DC (corriente directa), como se muestra en la Figura 11.36. El potencial eléctrico entre las placas es 2.0 x 103 V. Una esfera de masa 3.0 x 10-15 kg con una carga positiva de 2.6 x 10-12 C se coloca en la placa positiva y se suelta. La carga acelera hacia la placa negativa. Determinar la rapidez de la esfera justo antes de que golpee la placa negativa. Ignore cualquier efecto gravitatorio. Paráfrasis: La rapidez de la esfera al llegar a la placa negativa es 1.9 x 103 m/s.
  24. 24. 24 Ejemplo 11.12 Un electrón entra en el campo eléctrico entre dos placas paralelas cargadas, como se muestra en la Figura 11.37. (a) Esboza el movimiento del electrón entre las placas. (b) Si el electrón experimenta una aceleración hacia abajo de 2.00 x 1017 m/s2 debido al campo eléctrico entre las placas, determinar el tiempo requerido para que el electrón viaje 0.0100 m hacia la placa positiva. Análisis y Solución La aceleración del electrón es hacia abajo, por lo que el electrón se moverá siguiendo un camino parabólico hacia la placa positiva (Figura 11.38), similar al movimiento de un proyectil que inicialmente viaja paralelamente a la superficie de la Tierra y luego experimenta la aceleración hacia el suelo debida a la gravedad. (a) Paráfrasis (a) La trayectoria del electrón entre las placas paralelas es una parábola. (b) El tiempo tomado para el electrón caiga hacia la placa positiva es 3.16 x10-10 s.

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