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  • 1. Movimiento circular uniforme. En este tipo de movimiento el cuerpo: a) Tiene una trayectoria circular. b) Su rapidez v es constante. Aunque el vector de posición del cuerpo puede expresarse en términos de las coordenadas cartesianas en la forma 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗, es más sencillo describir el movimiento en términos de las coordenadas R y φ, siendo estas la magnitud del radio-vector de posición y el ángulo que este forma con el eje X, respectivamente. Cuando el cuerpo tiene un desplazamiento ∆𝑟, las relaciones entre estas coordenadas y la distancia recorrida ΔS se indican en la figura de la derecha. La rapidez media media del cuerpo, que en este caso (por ser constante) es igual a la instantánea e igual a la magnitud de la velocidad instantánea del cuerpo, será igual a: vm = v = v = ∆S ∆t = ∆(R ∙∆φ) ∆t =R ∆φ ∆t =Rω La cantidad ω es llamada rapidez angular. Las unidades en que se mide generalmente son 𝑠 −1 aunque también se utilizan las rpm (revoluciones por minuto), sobre todo en cálculos sencillos o cualitativos (de comparación). Así la relación entre la rapidez v (que al referirnos a este tipo de movimiento llamaremos rapidez lineal), el radio de la trayectoria R y la rapidez angular está dado por dado por: v = R ω. En la figura de la derecha se muestra la relación que guardan entre si los vectores de posición, velocidad instantánea y el vector aceleración instantánea, cuya magnitud está relacionada de la siguiente manera con las magnitudes de los parámetros del movimiento circular: v2 Rω a =a= = R R 2 = ω2 R 1
  • 2. Observe que la aceleración instantánea es anti paralela al vector de posición, esto es, está dirigida hacia el centro de la trayectoria circular, razón por la cual recibe el nombre de centrípeta. La magnitud de la aceleración centrípeta será entonces: ac = v2 R aceleración = ω2 R Ejemplo: ¿Cuál es la rapidez lineal de cada uno de los siguientes los siguientes balines? ¿Si los hilos se rompieran, cuál de los balines ellos saldría disparado con mayor rapidez? ¿En qué dirección saldría disparado cada uno de ellos? De acuerdo con la Segunda Ley de Newton para que un cuerpo de masa constante m se mueva en una trayectoria circular, se requiere que sobre él sea ejercida una fuerza total igual a: mv 2 𝐹𝑐 = m 𝑎 𝑐 = = m𝜔2 𝑅 𝑅 Entonces, siempre que observemos que un cuerpo se mueve en una trayectoria circular (o aproximadamente circular) encontraremos que está presente una fuerza centrípeta, es decir, que actúa hacia el centro de la trayectoria. Ejemplo: ¿Cuál es la aceleración centrípeta de cada uno de los balines del ejemplo anterior? Cuando atamos una cuerda a una piedra, a un balín, etc., y la hacemos girar en círculos la fuerza que actúa sobre la piedra es ejercida por la cuerda atada a ella, como muestra la ilustración siguiente (izquierda). En la ilustración (a la derecha) también se muestra la utilidad de la fuerza centrípeta en deportes como el patinaje en un tubo de sección circular, o de una motocicleta en el interior de una esfera. 2
  • 3. Los planetas se mueven en círculos alrededor del Sol, la Luna lo hace en torno a la Tierra, las estrellas lo hacen en torno al centro de las galaxias, los electrones en torno a los núcleos atómicos, etc., de manera que en la naturaleza las fuerzas centrípetas parecen ser muy comunes. Ley de la Gravitación Universal Teniendo como base los resultados obtenidos por Copérnico y Kepler con respecto al movimiento de los cuerpos celestes, Newton pudo describir el movimiento de los cuerpos celestes (planetas y cometas) en torno al Sol, y el de la Luna en torno a la Tierra en base a la acción de una hipotética fuerza (centrípeta) actuando entre cada par de cuerpos, conocida como fuerza de Gravitación Universal. La magnitud de dicha fuerza es proporcional al producto de las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los centros de los cuerpos en cuestión. Así, considerando dos cuerpos de masas m1 𝑦 m2 cuyos centros se encuentran separados una distancia d, tendremos que entre ellos actúan fuerza de magnitud… 𝐹 ∝ Introduciendo una contante de proporcionalidad G, (cuyo valor es 𝐺 = 6.67 × 10 𝑚1 𝑚2 𝑑2 −11 𝑁𝑚2 2 𝑘𝑔 ) conocida como constante de gravitación universal, tendremos que la magnitud de tal fuerza entre dos cuerpos será igual a: 𝐹= 𝐺 𝑚1 𝑚2 𝑑2 No debe olvidarse que esta fuerza es mutuamente ejercida entre dos cuerpos, como indica la siguiente figura: Ejemplo: Fuerza ejercida por la Tierra sobre un cuerpo de masa m 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 que se encuentra sobre su superficie. 3
  • 4. En este caso, la distancia que hay entre los centros de ambos cuerpos es prácticamente igual al radio de la Tierra, ( R t = 6.37 × 106 m ). La masa de la Tierra es: Mt = 5.98 × 1024 𝑘𝑔 La fuerza sobre el cuerpo de masa m, será entonces: 𝐹 = m 𝐺 Mt m = R2 t 6.67 × 10−11 = 9.83 𝑚 𝑠2 m 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑁𝑚2 5.98 × 1024 𝑘𝑔 m 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑘𝑔2 6.37 × 106 𝑚 2 = 𝑔 m 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 = m 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑔 Conclusión, la aceleración que tiene un cuerpo cuando cae libremente cerca de la superficie terrestre es numéricamente igual a la cantidad 𝐺 Mt m R2 t ...la cual recibe el nombre de Campo Gravitatorio o Gravitacional. Entonces, la fuerza que actúa sobre un cuerpo en presencia de otro, depende del valor del campo gravitacional de ese otro cuerpo en la posición en que se encuentre el primero. Ejemplo: ¿Cuál será el valor de la fuerza que actúa sobre un satélite de masa igual a 100 kg por parte de la Tierra, si dicho satélite se encuentra a una altura de dos veces el radio terrestre sobre la superficie terrestre? ¿Cuánto pesaría el satélite en la superficie terrestre? ¿Cuál será su masa del satélite en la superficie terrestre? 𝐹 ms 𝐺 Mt ms = = R2 t 𝑁𝑚2 5.98 × 1024 𝑘𝑔 𝑘𝑔2 3 × 6.37 × 106 𝑚 2 6.67 × 10−11 = 1.1 𝑚 𝑠2 𝑚𝑠 = 9.83 9 𝑚 𝑠2 𝑚𝑠 100𝑘𝑔 = 110 𝑁 A la fuerza de gravitación ejercida sobre un cuerpo (sobre todo cuando se encuentra cerca de la superficie de otro de mayor tamaño) se le llama peso –en similitud con la fuerza ejercida por la Tierra sobre un cuerpo que se encuentra en su superficie-. Se dice, por ejemplo que una sandía que se encuentra cerca de la superficie de la Tierra tiene un peso de 100 N en el campo gravitatorio de la Tierra. a) ¿Cuál será el peso de la Tierra en el campo gravitatorio de la sandía? ¿Cuál es la masa de la sandía (en la superficie terrestre)? 4
  • 5. b) ¿Cuál será la masa de la sandía en la superficie de un planeta que tiene una masa igual a 5 veces el radio terrestre y una masa igual a cuatro veces la masa terrestre? c) ¿Cuál será la el peso de la sandía en la superficie de un planeta que tiene una masa igual a 5 veces el radio terrestre y una masa igual a cuatro veces la masa terrestre? Movimiento Planetario La Tierra y los demás planetas giran en trayectorias elípticas en torno al Sol (la trayectoria de la Tierra es muy próxima a un círculo).La fuerza que los mantiene en tales trayectorias es la fuerza ejercida por el Sol, así como la Luna permanece en una trayectoria muy aproximadamente circular en torno a la Tierra. Desde un sistema de referencia inercial externo a la Tierra, la fuerza sobre los planetas puede ser considerada como una fuerza centrípeta, lo cual permite realizar una gran cantidad de estimaciones sobre su movimiento, a partir de algunos pocos datos astronómicos. Por ejemplo: si la distancia entre la Tierra y Sol es 𝑑 𝑠𝑡 = 1.5 × 1011 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠, ¿cuál es la masa del Sol? La expresión para la fuerza centrípeta de la Tierra en su movimiento circular en torno al Sol es: 𝐹𝑐 = Mt 𝜔2 dst Puesto que es la fuerza de atracción gravitacional la que mantiene en órbita a la Tierra, tendremos: 𝐺 Ms Mt 𝑑2 𝑠𝑡 2 = Mt 𝜔 dst Sustituyendo Ms = Despejando tendremos 3 Ms = 2𝜋 360 ×24×60×60 𝑠 𝑁 𝑚2 6.67×10 −11 𝑘𝑔 2 1.5 ×10 11 𝑚 𝑑3 𝜔2 𝑠𝑡 𝐺 2 ≈ 2 × 1030 𝑘𝑔 Cuando un cuerpo –un satélite por ejemplo-es alejado de la Tierra, se requiere realizar trabajo. En este caso, el trabajo se transforma en energía potencial. Sin embargo, si el satélite se soltara después de simplemente alejarlo de la Tierra, al soltarlo regresaría (caería) a la Tierra. Para que permanezca en una órbita circular en torno a ésta es necesario imprimirle una velocidad en dirección tangencial a dicha trayectoria, lo cual implica realizar otro trabajo, el cual en este caso 5
  • 6. se transforma en energía cinética. Por lo tanto, un cuerpo que orbita en torno a otro (por ejemplo la Luna en torno a la Tierra, la Tierra y los planetas en torno al Sol, un satélite en torno a un planeta o un cometa en torno al Sol) tienen energía potencial y energía cinética. Tanto cuando las órbitas son circulares como cuando son elípticas, el total de la energía, esto es la suma de la energía cinética y de la energía potencial permanece constante, aunque cada una de ellas puede variar. Por ejemplo, la energía potencial de un cometa disminuye se acerca al Sol, en tanto que su energía cinética aumenta en la misma cantidad (su velocidad aumenta). Colisiones Llamamos colisión a la interacción de dos cuerpos, lo cual puede ocurrir aunque no haya contacto físico entre los cuerpos. En general, los efectos dinámicos de las colisiones pueden estudiarse empleando las leyes de Newton, ya que durante la interacción sobre cada cuerpo se ejercerá una fuerza igual en magnitud, pero de sentido opuesto (Tercera Ley de Newton), y el cabio de velocidad de cada cuerpo será proporcionales a la fuerza que se ejerza sobre él e inversamente proporcional a su masa (Segunda Ley de Newton). Durante una colisión (además de cambiar de velocidad) los cuerpos se deforman, debido a la acción de las fuerzas. Dependiendo de su estructura física, estos cambios o deformaciones pueden ser permanentes o temporales. Cuando los cambios en ambos cuerpos son permanentes, hablamos de colisiones inelásticas. Cuando los cambios son temporales (ocurren solamente durante la colisión) decimos que se trata de colisiones elásticas. Por ejemplo, la colisión de una pelota con el suelo es aproximadamente elástica, en tanto que la colisión de un trozo de plastilina con una pared, es inelástica. En general, durante una colisión se conserva la cantidad de movimiento lineal total (es decir la suma vectorial) de los dos cuerpos. Sin embargo, la energía cinética solamente se conserva durante las colisiones elásticas, ya que durante las colisiones inelásticas, parte de la energía cinética de los cuerpos es transformada en el trabajo realizado durante la deformación de los cuerpos, y si tal deformación es permanente, esa energía ya no es recuperada en forma de energía cinética. 6
  • 7. La siguiente figura trata de representar una colisión elástica: Cómo podemos observar, durante una colisión elástica, la fuerza que actúa entre los cuerpos, es siempre igual en magnitud y opuesta en sentido, de manera que podemos escribir: 𝐹12 = −𝐹21 …dónde la fuerza de la izquierda es la fuerza que actúa sobre el cuerpo de masa m1 por parte del cuerpo de masa m2 y la de la derecha es la fuerza que actúa sobre la masa del cuerpo de masa m2 por parte del cuerpo de masa m1 Escribiendo la expresión de la segunda ley de Newton para cada una de las fuerzas, tenemos. ∆𝑃1 ∆𝑡 1 ∆𝑝 = − ∆𝑡 2 2 ∆𝑃1 = −∆𝑝2 y puesto que ∆𝑡1 = ∆𝑡2 ó 𝑃1𝑓 − 𝑃1𝑖 = − 𝑃2𝑓 − 𝑃2𝑖 𝑃1𝑓 − 𝑃1𝑖 = −𝑃2𝑓 + 𝑃2𝑖 𝑃1𝑖 + 𝑃2𝑖 = 𝑃1𝑓 + 𝑃2𝑓 La expresión anterior recibe el nombre de “Conservación de la Cantidad de Movimiento”, e implica que no importa lo que ocurra durante la colisión de dos cuerpos, la cantidad de movimiento total de ambos cuerpos, será igual antes y después de la colisión, es decir. 𝑃 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑠𝑖 ó𝑛 = 𝑃 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢 é𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑠𝑖 ó𝑛 7
  • 8. Sistemas de referencia no inerciales Supongamos a un viajero en el interior de un camión de amplias y transparentes ventanas que se mueve con velocidad constante, y a un observador que permanece de pie fuera del camión, como indica la figura siguiente: En estas condiciones ambos observarán que un mismo fenómeno tiene semejanzas y diferencias para ambos. Supongamos que un objeto cuelga del pasamanos ubicado en el techo del camión (en la vida real tal objeto es un zapatito de niño). Según el observador que viaja en el camión, el zapato está en reposo. Según el observador que está fuera del camión, el zapato se mueve a velocidad constante, junto con el camión. Ambos observadores concluyen que puesto que la fuerza total que actúa sobre el zapato es cero, este o bien permanece en reposo (observador que viaja en el camión) o bien se mueve a velocidad constante (observador que permanece fuera del camión), como afirma la Primera Ley de Newton. ¿Qué ocurre si el camión frena? 8
  • 9. El observador que se encuentra fuera del camión observa que el zapato –al no estar rígidamente unido al camión- continúa moviéndose un instante con la velocidad que llevaba, hasta que es detenido por la cuerda, de manera que forma un cierto ángulo φ con la vertical. Su observación coincide con lo que dice la Primera Ley de Newton: Todo cuerpo permanece en su estado de movimiento, mientras la fuerza total que actúe sobre él sea cero. Por su parte, el observador que se encuentra en el interior del camión observa que el zapato se aleja de él y se levanta un poco, esto es, acelera con respecto a él (en dirección contraria a la que lo hace el camión, según el observador que está fuera de él). Según este observador la única forma de explicar el movimiento acelerado del zapato, es la acción de una fuerza sobre este en la dirección en que originalmente se movía el camión. Ahora bien, este observador ahora no se encuentra en un sistema de referencia inercial, ya que él y todo el camión están acelerando. A la fuerza que debe introducir un observador que no está en un sistema de referencia inercial para explicar el movimiento acelerado de un cuerpo se le llama fuerza inercial. 9