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Galileo Galilei

  1. 1. GALILEO GALILEI 1564-1642 EL MOVIMIENTO ACELERADO Galileo Galilei, académico línceo, mártir de la ciencia y de su implacable capacidad polémica, adulador, terco como una mula, propagandista chapucero de su doctrina, dueño de una inteligencia aguda y desbordante, capaz de atraer sobre sí, gracias a su inhabilidad, los odios de sus enemigos, de despertar la admiración de los más lúcidos de sus contemporáneos y de ser un soberbio amigo de sus amigos, veleidoso amante de Marina Gamba, con quien tuvo tres hijos, y, sin duda, espléndido catador de los cálidos caldos de su tierra, reúne en sí todos los buenos y orgullosos vicios de un renacentista, junto con una visión filosófica de la naturaleza capaz de sentar las bases de una nueva ciencia relativa a un tema muy antiguo: el movimiento local. Enriquecido con la memorable poesía de Dante y Petrarca, la comedia satírica de Machiavelli, y el arte incomparable de da Vinci, Rafael y Miguel Ángel, el renacimiento italiano fue el escenario de la evolución de la física moderna 1. Antes del siglo XVII se desarrollaba muy poco la física, y en forma distinta a como se hace actualmente. Galileo fue el primer físico moderno. El brillante trabajo realizado por Arquímedes, hace unos 2000 años, implicó un nivel de abstracción y de sofisticación menor que el que generalmente asociamos con el periodo moderno. Aunque en sus métodos de comprobación debe ser considerado un científico moderno, su trabajo en física no se El término se utiliza aquí en referencia al periodo moderno, iniciando en el siglo XVI, y no en relación a los desarrollos recientes del siglo XX. 1
  2. 2. 2 extendió mas allá del estudio de los objetos en reposo (estática), en tanto que para el desarrollo de ésta, era esencial un claro entendimiento del movimiento. Sin duda, Galileo obtuvo gran provecho de los trabajos2 de Arquímedes, ya que fueron estudiados ávidamente por él, y le inspiraron la combinación de experimento y demostración matemática que aplicó posteriormente. Galileo Galilei nació en Pisa, el 15 de febrero de 1564, año del nacimiento de Shakespeare y el mismo día en que murió Miguel Ángel. Su padre Vincencio Galilei, que era un experto en teoría de la música, inculcó en el hijo su amor por el estudio y una fuerte repugnancia por la dependencia de la autoridad clásica. Es evidente que Galileo adoptó la actitud intelectual de su padre, ya que su extraordinaria carrera se caracterizó siempre por su espíritu independiente. Casi un siglo antes, el talento universal de Leonardo da Vinci había brillado en el escenario italiano. Verdaderamente moderno es su enfoque sobre los problemas físicos, de hecho, él enunció el principio de la inercia mucho ante de que Galileo lo demostrará experimentalmente y de que descubriera que es el fundamento de la ciencia de la dinámica. Es difícil testificar cuánta influencia tuvo el trabajo científico de da Vinci en Galileo, ya que el famoso pintor nunca publicó sus notas, lo cual fue probablemente sensato en vista de la atmósfera política de entonces. Podemos afirmar, sin embargo, que a través de amigos y admiradores algunas de sus ideas fueron preservadas y que eventualmente llamaron la atención de Galileo. A los 17 años, después de varios años de instrucción clásica en una abadía Benedictina, ( El Monasterio de Santa María de Vallombrosa ) Galileo ingresó en la Universidad de Pisa. El deseo de su padre era que estudiara medicina, pero el joven Galileo estaba cansado de los textos doctrinarios de Aristóteles y Galeno, y en cambio, estaba interesado en el estudio de las matemáticas y de la física. Mostraba poco respeto por los libros como fuentes autoritarias de conocimiento y rápidamente fue conocido entre sus maestros por sus intrépidos ataques sobre la visión aristotélica, que entonces era ampliamente sostenida. Dejó la universidad sin haber obtenido un grado, pero con una gran reputación por su extraordinario talento en matemáticas. Con la ayuda de amigos influyentes, obtuvo el nombramiento, a la edad de 25 años, de profesor ( mal pagado ) de matemáticas en la universidad. Ahí dedicó tres años a sus primeras investigaciones sobre el movimiento acelerado. Fue ahí donde experimentó con balines rodando en planos inclinados; como no podía realizar mediciones de cuerpos en caída libre con su reloj de agua, pensó en este medio para "retardar" el movimiento lo suficiente para realizar observaciones. Durante este periodo alcanzó un entendimiento claro de la aceleración, así como del concepto de inercia. En efecto, fue en Pisa donde Galileo construyó el marco de referencia para la física del movimiento (dinámica). Según la tradición, refutó la doctrina aristotélica sobre el movimiento -que los cuerpos caen con rapidez proporcional a sus pesos- soltando dos objetos diferentes simultáneamente desde la torre inclinada de Pisa. Pero, aunque esto es tentador para la imaginación, no se tiene certeza de que haya ocurrido. Galileo no hizo mención de ello en sus notas. En cambio, el hecho fue relatado brevemente por uno de sus estudiantes, Viviani, unos 60 años después. Dicho 2 Algunos de los trabajos de Arquímedes habían sido traducidos al latín por el matemático Tartaglia (1500 - 1557).
  3. 3. 3 experimento fue realizado por el físico alemán Simon Stevin (1548-1620), o Stevinus ( la forma latinizada de su nombre ). La predilección galileana por la argumentación (expresada en los diálogos de los personajes que aparecen en sus obras), lo hizo impopular entre sus colegas tradicionistas, y esta fue aparentemente la razón para que, con mutuo sentimiento de alivio, dejara Pisa en 1592 por el cargo de matemático en la Universidad de Padua. Ahí permaneció durante 18 años, el periodo más feliz de su vida, como recordaría más tarde, y uno de los más productivos, en el que completó sus trabajos de mecánica, aunque estos no fueron publicados hasta mucho después. Fue en Padua donde Galileo tuvo su primera experiencia con la composición polémica (la cual se desarrolla en los diálogos de los personajes), un estilo que evidentemente asentó su temperamento, y el cual utilizó de modo efectivo a través de su carrera. Concibió una mejor forma de proyectar un instrumento, conocido como Sector, el cual construyó para su venta en Europa, y preparó un manual de instrucciones, en italiano, para usuarios de dicho instrumento. Baldassar Capra, un estudiante de Padua, preparó un trabajo similar pero en Latín, para uso de los académicos de fuera de Italia, el cual fue básicamente una traducción del libro de Galileo, pero reclamó ser el autor original, haciendo creer que Galileo le había robado el invento. Considerablemente molesto, Galileo presentó cargos contra el estudiante antes de que la administración de la universidad tuviera éxito en suprimir el libro. No obstante, por si algunas copias hubieran escapado a la confiscación, Galileo intentó aclarar el incidente publicando una descripción completa de las circunstancias que rodearon el acontecimiento 3. Aunque su mayor contribución a la física estuvo en la mecánica, Galileo es quizá más conocido por sus logros -desafortunados- en el campo de la astronomía. Fue un firme defensor de la teoría de Copérnico, favoreciéndola públicamente durante la aparición de una estrella brillante (una supernova) en 1604, la cual sacudió a la doctrina Aristotélica sobre la inmutabilidad de los cielos. En 1609 Joahnnes Kepler (1571-1630) publicó su famoso trabajo (Astronomía Nueva) sobre astronomía, y Galileo se encontró con un invento holandés; "el telescopio". El trabajo de Kepler tuvo poco impacto en Galileo4, ya que se encontraba muy sorprendido con el telescopio, y procedió de inmediato a realizar observaciones astronómicas. Al año siguiente publicó sus descubrimientos en un panfleto titulado, El Mensajero de las Estrellas. Con la intención de que pronto estuviera al alcance de los filósofos europeos, fue escrito en el lenguaje de los eruditos, lo cual dio origen a un encarnizado ataque por parte de los seguidores de Aristóteles. Esto fue agravado dos años después por su Discurso sobre los Cuerpo Flotantes, un tratado sobre hidrostática ( escrito en italiano ) en el que atacaba sarcásticamente los principios de la física aristotélica. Mientras tanto, Galileo había retornado a Florencia como filósofo y matemático con el Gran Duque de Toscana, y matemático principal de la Universidad de Pisa sin 3 Defensa Contra las Calumnias e Imposturas de Baldassar Capra (1607) Correspondió a Newton encontrar en el trabajo de Kepler sobre el movimiento planetario, la confirmación de su ley de la gravitación universal. 4
  4. 4. 4 obligación para enseñar. A pesar del hecho de haber ganado titularidad en Padua, y de que el clima político era considerado saludable para él en la república Veneciana, Galileo añoró regresar a la provincia de sus ancestros. En la ciudad de Florencia se convirtió en blanco de ataques por parte de varios teólogos por sus puntos de vista, a los cuales respondía astutamente sin comprometerse, con espíritu animoso y lleno de lógica. Finalmente, fue llamado a Roma para responder ante la inquisición por sus puntos de vista, y en 1616 fue advertido de no "enseñar, sostener, o defender " la teoría de Copérnico. Galileo regresó a Florencia, desilusionado, dedicándose por completo a su trabajo, completando su obra maestra, Diálogo Concerniente a los dos sistemas principales del mundo, el Ptolomeico y el Copernicano, en 1630. El libro, publicado en 1632 era un ataque, finamente velado, a la visión aristotélica de los cielos y defendía claramente a la teoría Copernicana. El estilo en que se escribió fue el diálogo, para lo cual tal vez halla influido la gran admiración que Galileo tenía por las obras literarias de Platón. O tal vez este estilo indirecto de Galileo se debía a su deseo de ser precavido, ante el tormentoso clima político. En cualquier caso, de los tres personajes de los diálogos, dos representan la visión galileana, defendiendo la teoría Copernicana, en tanto que el tercero, Simplicio 5, era el desconfiado defensor de la tradición aristotélica. Galileo utiliza los tres mismos interlocutores en su trabajo posterior sobre mecánica. Innecesario es decir que el libro no era totalmente imparcial, haciendo, "parecer necio" a Simplicio en varios argumentos. Como era su costumbre, Galileo escribió el dialogo para el lego; lo escribió en italiano en un estilo notable por su legibilidad y elegancia literaria. Demolió puntos de vista opuestos con una mezcla de mordaz sarcasmo y lógica consistente. Este fue un estilo que pronto fue puesto fuera de moda, por el estilo científico formal de escribir al que estamos acostumbrados, en el que la discusión se reduce a reportes de experiencias e inferencias. Con la publicación del Diálogo, el cual fue autorizado por el censor oficial, la furia del Santo Oficio cayó sobre Galileo. Fue acusado de ridiculizar al Papa, poniendo la defensa de su visión aristotélica en boca del torpe Simplicio y de violar el anterior mandato contra la defensa de la teoría Copernicana. Fue interrogado por la Inquisición, forzado a retractarse de su punto de vista, y detenido por un periodo indefinido. Sus Diálogos fueron inscritos en el índice de libros prohibidos, donde permanecieron, junto con otros trabajos de Copérnico, hasta tiempos recientes. Después de varios meses de arresto6, se le permitió retornar a su Villa en Arcetri, cerca de Florencia, y se le condenó a vivir el resto de su vida en aislamiento. Ahí se dedicó por completo a su trabajo final, Diálogos Concernientes a dos Nuevas Ciencias (Dialoghi delle Nuove Scienze). El manuscrito fue terminado en 1636, pero como la Inquisición había prohibido los trabajos de Galileo, este fue pasado de contrabando a Holanda, donde fue publicado por The Elzevirs en 1638. El mismo año Galileo fue visitado por el famoso poeta John Milton, quien lo encontró viejo y ciego, pero trabajando aún con sus estudiantes Viviani y Torricelli. 5 Literalmente, simplón. Permaneció con el Arzobispo de Siena, bajo condiciones que pueden considerarse arresto domiciliario. 6
  5. 5. 5 Milton escribió de su visita : “…. Encontré y visite al famoso Galileo envejecido, un prisionero de la Inquisición por pensar en la Astronomía de modo diferente que los censores Franciscanos y Dominicos” Galileo murió el 8 de enero de 1642. Había encausado la física a su propio curso y establecido para siempre un monumento al empeño del intelecto humano. Los Diálogos Concernientes a dos Nuevas Ciencias, generalmente conocidos como Discursos Concernientes a dos Nuevas Ciencias, fueron la mayor realización de Galileo. Sus contribuciones a la astronomía y la libertad de pensamiento en general, fueron muy importantes por supuesto, pero juzgados sólo desde el punto de vista de la física, no se igualan a los Discursos. En cartas escritas a un amigo respecto a sus planes para los Discursos, Galileo los considero "superiores a cualquier joya hasta ahora publicada" y dijo que " contenían resultados que consideraba los más importantes de todos sus estudios". Desarrolló la ciencia sobre el movimiento de los cuerpos razonando a partir de experiencias, utilizando las matemáticas como el método de deducción y tomando como punto de partida la definición de aceleración. Utilizó -enfáticamente- el experimento como prueba de la teoría física, aunque estaba consciente de que el experimento solo no es ciencia, de que el concepto de aceleración por ejemplo, trasciende la experiencia de laboratorio. Aunque su talento no se extendió a los principios básicos de la dinámica (estos fueron establecidos por Newton) su procedimiento o método científico era completamente moderno . Las dos nuevas ciencias contenidas en el libro tratan sobre la resistencia de los cuerpos sólidos a la rotura7 y sobre el movimiento (movimenti locali). El libro fue dividido en cuatro partes o días, de los cuales el tercero se ocupa del movimiento acelerado y el cuarto de proyectiles, o movimiento violento. Los siguientes extractos, referentes a las leyes de la caída de los cuerpos, fueron tomados del tercer y del cuarto día. Los interlocutores son Salviati, a través de quien Galileo presenta su propia visión, permitiéndole leer en voz alta un manuscrito de otro autor no identificado o académico, Sagredo; otro erudito especializado en mecánica, y Simplicio, el antagónico que expone la visión aristotélica. Sin embargo en nuestra selección no aparecen propiamente los diálogos de los personajes ya que consideramos más importante mostrar los teoremas o enunciados de las leyes del movimiento y algunas demostraciones (las más sencillas). 7 Esencialmente la resistencia de materiales y estructuras.
  6. 6. SOBRE EL MOVIMIENTO LOCAL Expongamos, ahora, una ciencia nueva acerca de un tema muy antiguo. No hay, tal vez, en la naturaleza nada más viejo que el movimiento y no faltan libros voluminosos sobre tal asunto, escritos por los filósofos. A pesar de todo esto, muchas de sus propiedades, muy dignas de conocerse, no han sido observadas ni demostradas hasta el momento. Se suelen poner de manifiesto algunas más inmediatas, como la que se refiere, por ejemplo, al movimiento natural [naturalem motum] de los cuerpos que al descender se aceleran continuamente, pero no se ha demostrado hasta el momento la proporción según la cual tiene lugar tal aceleración. En efecto, que yo sepa nadie ha demostrado que un móvil que cae partiendo de una situación de reposo recorre, en tiempos iguales, espacios que mantienen entre sí la misma proporción que se da entre los números impares sucesivos comenzando por la unidad. Se ha podido observar que los cuerpos lanzados, es decir, los proyectiles, describen una línea curva de cierto tipo; ahora bien, que tal línea es una parábola no lo ha demostrado nadie. Que esto es así lo demostraré juntamente con otras muchas cosas, también dignas de ser conocidas; y lo que es todavía más importante, se abren las puertas de una inmensa e importantísima ciencia, de la que estas investigaciones nuestras pondrán los fundamentos. Otras mentes, más agudas que la mía, penetrarán, después, hasta sus lugares más recónditos. Dividiremos lo que vamos a tratar en tres partes. En la primera, consideraremos aquello que atañe al movimiento constante o uniforme. En la segunda parte trataremos del movimiento uniformemente acelerado. En la tercera, finalmente, del movimiento violento, es decir, de los proyectiles.
  7. 7. SOBRE EL MOVIMIENTO UNIFORME Sobre el movimiento constante o uniforme necesitamos una sola definición, que formulo así: Definición Por movimiento igual o uniforme entiendo aquel en el que los espacios recorridos por un móvil en tiempos iguales, cualesquiera que éstos sean son iguales entre sí. Advertencia Nos ha perecido oportuno añadir a la vieja definición (que habla simplemente del movimiento igual en cuanto que en tiempos iguales se recorren espacios iguales) la expresión cualesquiera, es decir, para todos los tiempos que sean iguales. En efecto, puede suceder que un móvil recorra espacios iguales en determinados tiempos iguales, mientras que distancias recorridas en fracciones de tiempo más pequeñas pueden no ser iguales, aunque lo sean dichos intervalos más pequeños. De la definición que acabamos de dar se siguen cuatro axiomas; a saber: Axioma I En el caso de uno y el mismo movimiento uniforme, el espacio recorrido en un tiempo mayor es mayor que el espacio recorrido durante un intervalo de tiempo menor. Axioma II En el caso de uno y el mismo movimiento uniforme, el tiempo durante el cual se recorre un espacio mayor es también mayor que el tiempo empleado para recorrer un espacio menor. Axioma III El espacio recorrido en un tiempo dado a mayor velocidad, es mayor que el espacio recorrido, en el mismo tiempo, a menor velocidad. Axioma IV La velocidad con la que se recorre en un tiempo dado un espacio mayor, es mayor, a su vez, que aquella con la que se recorre, en el mismo tiempo, un espacio menor. ..................................................... Teorema III, Proposición III Si la misma distancia es recorrida con velocidades desiguales, entonces los intervalos de tiempo de los móviles son inversamente proporcionales a sus velocidades. Supongamos (ver figura) que A sea la mayor de las dos velocidades distintas y B, la más pequeña. Supongamos también que el movimiento que corresponde a las dos atraviesa el espacio dado CD. Afirmo, entonces, que el tiempo que se requiere para atravesar la distancia CD a la velocidad A es al tiempo necesario para atravesar la misma distancia a la velocidad B, como la velocidad B es a la velocidad A. Supongamos, además, que CD sea a CE como A es a B. Ahora bien, de lo dicho anteriormente se sigue que el tiempo que se necesita para atravesar la distancia entera CD a la velocidad A es el mismo que el que se necesita para recorrer enteramente CE a la velocidad B. Pero el tiempo requerido para atravesar la distancia CE a la
  8. 8. velocidad B es al tiempo que se necesita para atravesar la distancia CD, a la misma velocidad, como CE es a CD; luego el tiempo en el que se cubre CD, a la velocidad A, es al tiempo en el que se cubre CD, a la velocidad B, como CE es a CD, es decir, como la velocidad B es a la velocidad A. A C E D B SOBRE EL MOVIMIENTO NATURALMENTE ACELERADO Hemos tratado en el apartado precedente de las propiedades del movimiento uniforme. Debemos, ahora, tratar del movimiento acelerado. Ante todo, es necesario investigar y explicar la definición que corresponde con exactitud al movimiento acelerado que nos brinda la naturaleza. En efecto, aunque sea lícito imaginar arbitrariamente ciertas formas de movimiento e investigar las propiedades que de ellas se derivan (así, aquellos que se imaginaron líneas espirales o cóncavas originadas por determinados movimientos, han conseguido demostrar, de hecho, cosa que es digna de admirarse, sus propiedades, argumentando ex suppositione, a pesar de que la naturaleza no haga uso de tales movimientos), no obstante, y desde el momento que la naturaleza se sirve de una determinada forma de aceleración, en los cuerpos pesados en caída libre, hemos decidido estudiar sus propiedades, haciendo que la definición que hemos de dar acerca del movimiento acelerado en cuestión corresponda a la esencia del movimiento acelerado. Esta correspondencia creemos haberla logrado al fin, después de largas reflexiones, especialmente si tenemos en cuenta que las propiedades que hemos ido demostrando sucesivamente [a partir de nuestra definición] parece que corresponden y coinciden exactamente con lo que los experimentos naturales nos ponen delante de nuestros sentidos. En suma, al estudio del movimiento naturalmente acelerado nos ha llevado, como agarrados de la mano, la observación de las costumbres y reglas que sigue la misma naturaleza en todas sus obras restantes, para cuya ejecución suele hacer uso de los medios más inmediatos, más simples y más fáciles. No puedo por menos de estar seguro de que no hay nadie que crea que se pueda nadar o volar de una manera más simple y más fácil que la que usan, por instinto natural, los peces y los pájaros. Cuándo observo, por tanto, una piedra que cae desde cierta altura, partiendo de una situación de reposo, que va adquiriendo poco a poco, cada vez más velocidad, ¿por qué no he de creer que tales aumentos de velocidad no tengan lugar según la más simple y evidente proporción? Ahora bien, si observamos con cierta atención el problema, no encontraremos ningún aumento o adición más simple que aquel que va aumentando siempre de la misma manera. Esto lo entendemos fácilmente si consideramos la relación tan estrecha que se da entre tiempo y movimiento: del mismo modo que la igualdad y uniformidad del movimiento se define y se concibe sobre la base de la igualdad de los tiempos y de los espacios (en efecto, llamamos movimiento uniforme al movimiento que en tiempos iguales recorre espacios iguales), así también, mediante una subdivisión uniforme del tiempo, podemos imaginarnos que los aumentos de velocidad tengan lugar con [la misma] simplicidad. [Podremos hacer esto] en cuanto determinemos teóricamente que un movimiento es uniformemente y, del mismo modo, continuamente acelerado, cuando, en tiempos iguales, se los tome de la forma que se quiera, adquiera incrementos iguales de velocidad. De este modo, si consideramos un número
  9. 9. cualquiera de fracciones de tiempo iguales, a partir del primer instante en el que el cuerpo en movimiento abandona la posición de reposo y comienza a descender, el grado de velocidad adquirido en la primera y segunda fracción de tiempo, tomadas conjuntamente, es doble del grado de velocidad adquirido por el móvil en la primera fracción; mientras que el grado que se obtiene en tres fracciones de tiempo es el triple y el adquirido en cuatro, cuádruple del grado alcanzado en el primer tiempo..., de modo que (para que quede más claro) si el móvil continuara su movimiento según el grado de intensidad [momento] de velocidad adquirido en la primera fracción de tiempo y prosiguiera uniformemente con tal grado, este movimiento sería dos veces más lento que el que obtendría [el móvil] con el grado de velocidad adquirido en dos fracciones de tiempo. Por eso, creo que no nos apartamos en absoluto de la recta razón si admitimos que la intensidad de la velocidad crece según el incremento del tiempo [la velocidad es proporcional al tiempo]. Podemos, en consecuencia, admitir la siguiente definición del movimiento del cual hemos de tratar: llamo movimiento igualmente, o lo es lo mismo, uniformemente acelerado a aquel que, partiendo del reposo, adquiere en tiempos iguales, iguales incrementos de velocidad. ........................................................................ Una vez establecida tal definición, el autor supone y postula como verdadero un solo principio, que es el siguiente: Doy por supuesto que los grados de velocidad alcanzados por un mismo móvil, en planos diversamente inclinados, son iguales cuando las alturas de los mismos planos son también iguales. ........................................................................... Teorema I, Proposición I El tiempo en el cual un espacio dado es recorrido por un móvil que parte del reposo con movimiento uniformemente acelerado, es igual al tiempo en el que aquel mismo espacio habría sido recorrido por el mismo móvil con un movimiento uniforme cuyo grado de velocidad fuese la mitad del grado de velocidad máximo alcanzado al final del movimiento uniformemente acelerado precedente. Teorema II, Proposición II Si un móvil cae, partiendo del reposo, con un movimiento uniformemente acelerado, los espacios por él recorridos en cualquier tiempo que sea están entre sí como el cuadrado de la proporción entre los tiempos, o lo que es lo mismo, como los cuadrados de los tiempos. Corolario I ....cuando los grados de velocidad aumentan, en tiempos iguales, según la serie de los números naturales, los espacios recorridos, en los mismos tiempos, adquieren incrementos según la serie de los números impares. Teorema III, Proposición III Si uno y el mismo móvil se mueve, partiendo del reposo, sobre un plano inclinado y a lo largo de uno vertical, teniendo ambos la misma altura, los tiempos de los movimientos estarán entre sí como las longitudes [respectivas] del plano y de la vertical.
  10. 10. SOBRE EL MOVIMIENTO DE LOS PROYECTILES. En las páginas anteriores hemos estudiado tanto las propiedades que se dan en el movimiento uniforme como las que tienen lugar en el movimiento uniformemente acelerado a lo largo de planos de cualquier inclinación. En lo que ahora comienzo a tratar, intentaré presentar y establecer, apoyándome en demostraciones rigurosas, algunos fenómenos interesantes y dignos de conocerse y que son propios de un móvil cuando se mueve con un movimiento compuesto de otros dos, es decir, un movimiento uniforme y otro naturalmente acelerado: tal parece ser, precisamente, eso que llamamos movimiento de los proyectiles. Su origen lo concibo de la manera siguiente: Imaginémonos un móvil proyectado sobre un plano horizontal del que se ha quitado el más mínimo roce; sabemos ya que en tal caso, y según lo que hemos expuesto detenidamente en otro lugar, dicho movimiento se desenvolverá sobre tal plano con un movimiento uniforme y perpetuo, en el supuesto de que este plano se prolongue hasta el infinito. Si, por el contrario, nos imaginamos un plano limitado y en declive, el móvil, que suponemos dotado de gravedad, una vez que ha llegado al extremo del plano y continúe su marcha, añadirá al movimiento precedente, uniforme e inagotable, esa tendencia hacia abajo, debida a su propia gravedad. Nace de aquí un movimiento compuesto de un movimiento horizontal uniforme más un movimiento descendente naturalmente acelerado. Pues bien, a este tipo de movimiento lo llamo proyección y hemos de demostrar algunas de sus propiedades, la primera de las cuales es la siguiente: Teorema I, Proposición I Un proyectil que se desliza con un movimiento compuesto por u movimiento horizontal y uniforme y por un movimiento descendente, naturalmente acelerado, describe, con dicho movimiento, una línea semiparabólica. Teorema II, Proposición II Si un móvil se mueve con un movimiento compuesto de dos movimientos uniformes, el uno horizontal y el otro perpendicular, entonces el [cuadrado del] impulso o intensidad de la velocidad compuesto de los dos será igual a la suma de los cuadrados de las intensidades de los dos movimientos primeros. a c b Supongamos que un móvil avance uniformemente con un doble movimiento, correspondiendo al movimiento perpendicular el espacio ab, mientras que bc corresponde al movimiento horizontal que tiene lugar en el mismo tiempo. En tal caso, puesto que los espacios ab y bc son recorridos en el mismo tiempo, con movimientos uniformes, las intensidades [momenti] de tales movimientos estarán entre sí como ab y bc mismos; pero el móvil que se desplaza según estos dos movimientos describe la diagonal ac, siendo la intensidad de su velocidad, por tanto, ac. Ahora bien, el cuadrado de ac es igual a ab al cuadrado más bc al cuadrado. De ahí que el cuadrado de la intensidad compuesta por las dos intensidades ab y bc sea igual a los cuadrados de éstos tomados juntamente, que es lo que había que demostrar.

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