• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Integral(5) Mr imam Awaludin
 

Integral(5) Mr imam Awaludin

on

  • 6,054 views

 

Statistics

Views

Total Views
6,054
Views on SlideShare
6,054
Embed Views
0

Actions

Likes
1
Downloads
81
Comments
2

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft Word

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel

12 of 2 previous next

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Integral(5) Mr imam Awaludin Integral(5) Mr imam Awaludin Document Transcript

    • INTEGRAL DAN PENERAPANNYA DI BIDANG EKONOMIPENGERTIANPengintegrasian adalah kebalikan dari penurunan suatufungsi. Jika turunan suatu fungsi : Y = f (X) ; maka untukmenentukan fungsi asalnya melakukan pengintegrasian.F (X) = ∫ f (x) dx ;Keterangan: ∫ : Tanda Integral f (x) : Integran (fungsi yang diintegralkan) dx : Operator penurunan yang mengikat operasi yang dibentuk terhadap variabel X.dF(X) / dx = f (x) ; maka : ∫ f(x) dx = F (X) + CContoh :F(X) = 2X2 + 3X + 5 .......dY/dX = Y’ = f (x) = 4X + 3F(X) = 2X2 + 3X + 10…. dY/dX = Y’ = f (x) = 4X + 3F(X) = 2X2 + 3X + 100….dY/dX = Y’ = f (x) = 4X + 3Dengan demikian :∫ (4X +3) dX = 2X2 + 3X + C
    • Nilai ”C” mungkin 5 ; mungkin ”C” = 10 ; dan Mungkin ”C” =100.Jika nilai C didefinisikan (tertentu atau dapat ditentukan) dan nilaiX ditentukan berarti membicarakan Integral Tertentu (IntegralDefinit)Sebaliknya jika nilai C tidak didefinisikan (tidak ditentukan)berarti membicarakan Integral Tak Tentu (Integral In-definit).II. ATURAN-ATURAN INTEGRASI(1). HUKUM PANGKAT: ∫ Xn dx = 1 / (n+1) X(n+1) + C Contoh (1) : ∫ X3 dx = 1 / (3+1) X (3+1) + C; ∫ 2 dx = 2X + C;∫ X3/2 dx = 1/ (3/2 + 1) X (3/2 + 1) + C = 1/(5/2) X (5/2) + C;(2). ATURAN EKSPONENSIAL: ∫ e X dx = ex + C; ∫ a X dx = ax / ln a + C ;Contoh (2): ∫ 2 X dx = 2x / ln 2 + C ;
    • (3). ATURAN LOGARITMA: ∫ 1/X dx = ln X + C; dan X > 0Bentuk : 1/X tidak dapat dianalogkan menjadi bentuk X-1Sehingga tidak dapat diintegralkan dengan menggunakanaturan integrasi bentuk pangkat Xn (seperti contoh no. 1);melainkan harus tetap menggunakan aturan di atas (aturanlogarirma)Contoh (3): ∫ 1/(2X). dx = ∫ (½). 1/X. dx = ½ ∫ (1/X) dx = ½ Ln X+C.(4). INTEGRAL DARI SUATU PERKALIAN: ∫ k. f(X) dx = k. ∫ f(X) dx; Contoh (4): ∫ 2X2 dx = 2 ∫ X2 dx = 2 ( 1/3 X3 ) + C = 2/3 X3 + C ; ∫ 2X2 - 3X + 5 dx = 2/3 X3 – 3/2 X2 + 5X + C ;
    • (5). HUKUM PENGGANTIAN :5.1. PENGERTIAN DAN CONTOH SOALSebelum melakukan integrasi dari suatu integran, maka sukuatau sebagian suku dari suatu integran dimisalkan menjadi“U”; selanjutnya baru melakukan proses integrasi denganmenggunakan aturan-atruran integrasi.Contoh (5.1.1): ∫ X (X2 + 6) dx = …..? X2 + 6 dimisalkan = U …….. U = X2 + 6; dU/dX = 2X……dX = dU/2X Sehingga : ∫ X (X2 + 6) dx = ∫ X .(U). dU/2X = ∫ 1/2.(U). dU = (1/2).(1/2). U2 + C = ¼ U2 + C = ¼. (X2 + 6 )2 + C; (Ingat bahwa: U = X2 + 6 ).Contoh (5.1.2): ∫ 2X (X2 + 1) dx = …..? X2 + 1 dimisalkan = U …….. U = X2 + 1; dU/dX = 2X……dX = dU/2X
    • Sehingga : ∫ 2X (X2 + 1) dx = ∫ 2X .(U). dU/2X = ∫ (U). dU = (1/2). U2 + C = 1/2 (X2 + 1)2 + C = 1/2. (X4 +2X2 + 1 )+ C; = 1/2X4 +X2 + ½ + C. (Ingat bahwa: U = X2 + 1 ).5.2. ATURAN INTEGRASI DALAM HUKUM PENGGANTIANAturan Pertama : ∫ Un dU = 1/(n+1) U (n+1) + C; Contoh (5.2.1): ∫ (2X+1) 3 dx = …..? Misalkan : 2X + 1 = U ..........U = 2X + 1 dU/dX = 2 ....dX = dU/2; ∫ (2X+1) dx = ∫ U dU/2 = ∫ ½ U 3 dU = ......? 3 3 = ½. ¼. U4 + C; = 1/8. (2X+1)4 + CAturan Kedua:
    • ∫ 1/U dU = ln U + C; Contoh: ∫ X / (X2+1) dx = .......? Misalkan : U = X2 + 1........dU/dX = 2X ....dX = dU/2X ∫ X. 1/U.dU/2X = ∫ 1/2. 1/U.dU = ½ (ln U) + C = ½.ln (X2+1) + C. Jika X = 5 dan C = 10 ;tentukan Nilai fungsi asal tersebut....?Aturan Ketiga: ∫ aU dU = aU/ ln a + C ; Contoh: ∫ a(2X-1) dx = ……? Misalkan : U = 2X-1 …..dU/dX = 2 ….dX = dU/2. ∫ aU dU/2 = ∫ ½. aU dU = ½.(aU / lna) + C (2x-1) = ½. { a / ln a} + C. Nilai ”a” adalahbilangan nyata.
    • Aturan Keempat: ∫ eU dU = eU + C; Contoh: ∫ e(2x+1) dx = ……? Misal: U = 2X + 1 ….dU/dX = 2…..dX = dU/2. ∫ eU dU/2 = ∫ ½. eU .dU = ½ (eU) + C = ½.e (2x+1) + C .Aturan Kelima: ∫ ln U. dU = (U.ln U – U ) + C. Contoh: ∫ ln (x+1). dx = ......? Misal: U = x + 1 ......dU/dx = 1 .....dx = dU/1. ∫ ln U. dU = U.ln U – U + C; = { x+1 (ln x+1) – (x+1) } + C.
    • Aturan Keenam:∫ Un. Ln U. dU = U n+1{ln U/(n+1) – 1/(n+1)2}+ C;Aturan Ketujuh: ∫ 1/ (U. Ln U). dU = ln (ln U) + C;Aturan Kedelapan: ∫ U. eU. dU = eU (U-1) + C.5.3. ATURAN PENGINTEGRASIAN BAGIANF (X) = U. V .......................Fungsi Semula;Y’ = f (x) = U’.V + U.V’........Fungsi Turunan; ∫ f(x). dx = ∫ U’.V + ∫ U.V’ F (X) = ∫ U’.V + ∫ U.V’.... F(X) berbentuk : F(X) =U.V. U.V = ∫ U’.V + ∫ U.V’ Jadi: ∫ U’.V = U.V - ∫ U.V’
    • Contoh: ∫ X. (X+1) ½ . dX = ......? Misalkan : V = X .....................V’ = 1 U’ = (X+1) ½ ......... U = ∫ (X+1) ½. dx U = 1 / (1/2+1). (X+1)1/2+1 U = 2/3 (X+1)3/2Ingat bahwa : ∫ U’.V = U.V - ∫ U.V’ ∫ X. (X+1) ½ . dX = ...... ? = {2/3 (X+1)3/2 }. (X) - ∫ {2/3 (X+1)3/2}. (1). dX = (2/3 X.(X+1)3/2 ) - 2/3.{1/(5/2). (X+1) 5/2 } + C. = 2/3 X (X+1)3/2 - 4/15 (X+1)5/2 + C .
    • III. INTEGRAL DEFINIT (INTEGRAL TERTENTU)Integral Definit mempunyai nilai definit karena nilai Xdibatasi yaitu antara Xa dan Xb, serta Xa < Xb.Xa : Batas terendah dari integrasi;Xb : Batas tertinggi dari integrasi. Xa ∫Xb f(X). dX = F(X) Xa /Xb = F(b) – F (a). Contoh: 1 ∫5 3X2. dx = ………? = 3. 1/3 X3 1 /5 = X3 1/5 = (5)3 – (1)3 = 125 – 1 = 124.
    • IV. KEGUNAAN INTEGRAL 1. Mengembalikan fungsi Turunan menjadi fungsi semula (fungsi asalnya); 2. Menentukan luas bangun fungsi dalam susunan salib sumbu. Kegunaan Pertama : Mengembalikan Fungsi Turunan Menjadi Fungsi Semula (Fungsi Asalnya):Contoh (1):Diketahui : MC = Q + 5 ; jika diproduksi 10 unit Biaya total 125;Tentukan Fungsi Biaya Total (TC) ....?TC = ∫ MC. dQ = ½ Q2 + 5Q + C ;125 = ½ (10)2 + 5(10) + C ....... C = 25.TC = ½ Q2 + 5Q + 25.Contoh (2):Diketahui Fungsi peneriaan marginal : MR = 5 – 3Q; Tentukanfungsi TR dan AR .....?TR = ∫ MR. dQ = ∫ (5-3Q) dQ = 5Q – 3/2Q2 + C dan C =0TR = 5Q -3/2Q2 dan AR = TR/Q = 5 – 3/2Q.
    • Contoh (3):Diketahui fungsi Produk marginal : MP = 9 + 16X -3X 2; TentukanFungsi Produksi Total (TP)....?TP = ∫ MP. dX = 9X + 16/2 X2 – 3/3 X3 + CTP = 9X + 8X2 – X3 + C ; dan C = 0.TP = 9X + 8X2 – X3.Contoh (4):Diketahui Kecenderungan konsumsi marginal (MarginalPropensity to Save): MPC = 0,8 ; dan Konsumsi pada saatpendapatan Nol (Y=0) adalah Rp 15, - ; Tentukan Fungsi konsumsi( C* ) ......?Funsi Konsumsi C* = f (Y) ……. dC*/dY = MC = f (Y).Dan MC = 0,8C* = ∫ MC. dY = ∫ 0,8. dYC* = 0,8 Y + C;.......... 15 = 0,8 (0) + C ......C = 15.Jadi fungsi konsumsi : C* = 0,8 Y + 15.
    • Contoh (5):Diketahui fungsi kecenderungan tabungan marginal (MarginalPropensity to Save) : MPS = 0,3 – 0,1 Y-1/2 ; diwaktu TabunganNol (S = 0) Pendapatan ( Y = 81); Tentukan Fungsi Tabungan....?S = ∫ MPS. dY = ∫ (0,3-0,1Y-1/2) dY = 0,3Y – 0,2 Y1/2 + C.S = 0,3Y – 0,2 Y1/2 + C.S = 0 maka: Y = 8;0 = 0,3 (61) – 0,2 (81)1/2 + C…….jadi: C = -22,5.S = 0,3Y – 0,2 Y1/2 - 22,5.Contoh (6):Diketahui Fungsi Marginal Cost : MC = 2.e 0,2Q ; Biaya produksi(TC = 90) diwaktu produksi Nol (Q=0) . Bentuklah fungsi TC….?TC = ∫ MC.dQ = ∫ 2.e 0,2Q .dQ ; Misalkan : 0,2 Q = U.U = 0,2 Q ….dU/dQ = 0,2 ……dQ = dU/0,2.TC = ∫ 2.e U . dU/0,2 = ∫ 2/0,2. e U . dU = = ∫ 10. e U . dUTC = 10.eU + C ....TC = 10. e 0,2Q + C;90 = 10. e 0,2(0) + C ......C = 80. Jadi : TC = 10. e 0,2Q + 80.
    • Kegunaan Kedua: Menentukan Luas Bangun Bungsi Dalam Susunan Salib SumbuI. Cara Menentukan Luas Bangun Fungsi:Tentukan Luas bangun fungsi yang dibatasi : Y = X + 1dan Xa =1 dan Xb = 5 …..? Y Y=X+1 X 0 0 Xa=1 Xb=5LA = (½ X2 + X ) 1/5 = {½ (5)2 + (5)} – {1/2(1)2 +(1)} = 16LA = 16.II. Penerapan Dibidang Ekonomi:
    • 2.1. Menghitung Surplus Konsumen (SK)Diketahui Fungsi Permintaan : P = -Q + 6; Kuantitas dan HargaKeseimbangan Pasar ( Qe = 2 dan Pe = 4 ). Tentukan BesarnyaSurplus Konsumen …..? Y S ( 2, 4) D…P= -Q+6 Sb XSurplus Konsumen (Consumers Surplus) :Dari Gambar di atas fungsi permintaan menunjukkan persamaanyang menunjukkan hubungan antara jumlah barang yang dibelidengan haraga barang tersebut. Harga keseimbangan pasar yangterjadi adalah Pe (Pe=4), dan jumlah barang yang diminta Qe(Qe=2).Apabila kemampuan daya beli konsumen perunit barang di atasdari harga pasar (Pe) atau Harga pasar dalam kenyataannya dibawah kemampuan daya beli konsumen berarti konsumenmendapat keuntungan utilitas (bukan keuntungan yangsebenarnya).
    • Oleh karena itu Surplus Konsumen sebagai keuntungan utilitasyang diperoleh konsumen sebagai dampak dari kenyataan bahwaharga pasar (Pe) lebih rendah dari kemampuan daya beli konsumenper unit barang (P).Untuk Menentukan Besarnya Surplus Konsumen (KeuntunganUtilitas Total Konsumen) menggunakan rumus:SK = Q0∫Qe f(D). dQ - Qe.Pe ;Dari Contoh soal diatas dapat dihitung surplus Konsumen sebagaiberikut:SK = 0∫2 (-Q+6)). dQ - Qe.PeSK = -1/2 Q2 + 6Q 0/2 – (2.4)SK = {-1/2 (2)2 + 6(2)} - {-1/2 (0)2 + 6(0)} – (8)…..SK = 2.Contoh Soal (1):Diketahui Fungsi Permintaan : P = -Q + 10; Jika HargaKeseimbangan Pasar (Pe = 4 ). Tentukan Besarnya SurplusKonsumen …..?Contoh Soal (2):
    • Diketahui Fungsi Permintaan : P = -Q2 + 16; Jika HargaKeseimbangan Pasar (Pe = 12 ). Tentukan Besarnya SurplusKonsumen …..?Contoh (3):Diketahui Fungsi Permintaan : P = -Q2 + 16; Jika HargaKeseimbangan Pasar (Pe = 12 ). Tentukan Besarnya SurplusKonsumen …..?2.2. Menghitung Surplus Produsen (SP)Fungsi penawaran menunjukkan kuantitas barang yang ditawarkanpada berbagai tingkat harga. Jika harga pasar Pe dan jumlahpenawaran Qe. Produsen sebenarnya bersedia menawarkanbarangnya dengan harga di bawah harga pasar Pe. Dalam posisiseperti ini berarti penjual/produsen beruntung (produsen mendapatkeuntungan utilitas).Surplus Produsen adalah keuntungan utilitas yang diperolehprodusen sebagai dampak dari harga pasar di atas harga kesediaanpenjual untuk menjual barangnnya.Contoh (1):Diketahui Fungsi Penawaran : P = Q + 4 ; jika harga keseimbanganpasar diketahui Pe = 7 ; Tentukan besarnya Surplus Produsen....?
    • Y S …P= Q + 4 ( 3, 7 ) Sb XSP = Qe.Pe - Q0∫Qe f(Q). dQSP = Qe.Pe - Q0∫Qe f(S). dQ.Dari Cotoh Soal di atas dapat ditentukan surplus produsen sebagaiberikut:SK = 3.7 - 0∫3 (4 + Q). dQSP = 21 – { 4Q + ½ Q2} 0/3SP = 21 – {(4.3 + ½. 32 ) – (4.0 + ½. 02 ) =….SP = 21 – 7,5 = 13,5.
    • Contoh Soal (2):Diketahui fungsi permintaan P = 36 – Q2 dan fungsi penawaran :P 6 + ¼ Q2.Tentukan : a. Harga dan Kuantitas keseimbangan pasar; b. Besarnya Surplus Konsumen; c. Besarnya Surplus Produsen.2.3. Menghitung Laba Maksimum Dengan Integral╥ Total maksimum = ∫Q* MR.dQ - Q0 Q0 ∫Q* MC .dQ Sb.Y ╥ mak MC MR Sb. X 00 Q*
    • Contoh :MR = 25 – 5Q -2Q2 dan MC = 15 -2Q – Q2; TentukanKeuntungan Total Maksimum ….?Laba Maksimum: MR = MC25 – 5Q -2Q2 = 15 – 2Q -Q2Q2 + 3Q – 10 = 0…….(Q+5) (Q-2) = 0….Q* = 2.╥ maksimum = Q0∫Q* (25 – 5Q -2Q2).dQ - ∫Q* (15 -2Q – Q2 ). dQ Q0╥ maksimu = {25Q-5/2Q2-2/3Q3} 0/2 - { 15Q –Q2- 1/3 Q3} 0/2╥ maksimum = {25.2 – 5/2.22- 2/3.23 } – { 15.2- 22 – 1/3.23}╥ maksimum = 34/32.4. Investasi dan Pembentukan Modal.Persediaan modal, besarnya akan tergantung dengan waktu, ataupersediaan modal fungsi dari waktu. Tingkat pembentukan modalatau derivatif dK/dT.dK/dT = I (t) = 3 t1/2.
    • K(t) = ∫ I(t).dt. = ∫ dK/dT.dtK(t) = ∫ 3 t1/2.dt = 2 t 3/2 + CDi awal waktu (t=0); K(0) = 2.0 3/2 + C .....C = K(0);misal modal awal/modal periode awal: K(0) = 1000.....C = 1000.Fungsi persediaan modal :K(t) = 2 t3/2 + 1000 . (Alpha Chiang:927).Berdasarkan contoh ini kita dapat menyatakan bahwa jumlahakumulasi modal selama interval waktu 0 s.d. t dengan integraldefinit : 0 ∫t I (t). dt = K(t) 0/t 0 ∫t I (t). dt = K(t) – K(0) atau K(t) = K(0) + 0∫t I(t).dt.
    • Sb .I I= I (t) 0 ∫t I (t). dt = K(t) – K(0) Sb. tKeterangan:  dK/dt : Pertambahan modal persatuan waktu;  Tingkat pembentukan modal (dKdt) pada waktu t adalah identik dengan tingkat aliran investasi Netto (Net Investment) pada waktu ”t” (tingkat investasi netto pertahun;  Persediaan modal awal pada waktu t = 0 adalah K(0);  K(t) menunjukkan jumlah K yang ada pada setiap titik waktu;Contoh (1):Bila investasi netto merupakan aliran konstan pada I(t) = 1000satuan pertahun; berapakah total investasi netto (pembentukanmodal) selama satu tahun dari t = 0 s.d. t =1.Jawab: 0 ∫1 I (t). dt = ∫1 1000. dt = 1000 t 0/1 = 1000. 0
    • Contoh (2):Bila Investasi netto pada tahun ke t : I(t) = 3 t1/2 (ribuan dollarpertahun) yaitu aliran yang tidak konstan. Apa yang terjadi denganpembentukan modal selama interval waktu (1, 4), yaitu selamatahun kedua, ketiga, dan keempat.Jawab: 0 ∫4 I (t). dt = 0∫4 3 t1/2. dt = 2 t 3/2 1/4 = 16-2 = 14.Berdasarkan contoh di atas, kita dapat menyatakan jumlahakumulasi modal selama interval waktu (0, t), untuk setiap tingkatinvestasi I(t). 0 ∫t I (t). dt = /t = K(t) – K(o) K(t) 0 atau : K(t) = K(0) + 0∫t I (t). dt.Keterangan:  K(t): menunjukkan jumlah K yang ada pada setiap titik waktu;  dK/dt : pertambahan modal (K) persatuan waktu atau disebut tingkat pembentukan modal pada waktu ”t”;  K(0) : Persediaan modal awal atau persediaan modal pada waktu t = 0;  Jadi: K(t) = K(0) + 0 ∫t I (t). dt. (Lihat gambar terdahulu).