1. UNIVERSIDAD “FERMIN TORO
VICE RECTORADO ACADEMICO
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE INGENERIA EN MANTENIMIENTO
MECANICO
Métodos numéricos para determinar la
solución de sistemas de ecuaciones
lineales de Gauss
Autores:
Félix Velásquez 26.267.439
SAIA B
CABUDARE, NOVIEMBRE 2015
2. Métodos de eliminación Gaussiana
El proceso de eliminación de Gaussiana o de Gauss, consiste en realizar
transformaciones elementales en el sistema inicial (intercambio de filas,
intercambio de columnas, multiplicación de filas o columnas por constantes,
operaciones con filas o columnas), destinadas a transformarlo en un sistema
triangular superior, que resolveremos por remote. Además, la matriz de partida
tiene el mismo determinante que la matriz de llegada, cuyo determinante es el
producto de los coeficientes diagonales de la matriz.
Uno de los problemas de la eliminación del mismo es que debemos dividir entre
el pivote; si este es un número muy pequeño, entonces un error de redondeo
puede arrojar serias dudas sobre la respuesta final.
En forma general este método propone la eliminación progresiva de variables
en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita.
Una vez resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los
valores de todas las variables.
Métodos de Gauss-Jordán
El proceso de eliminación de Gauss - Jordán consiste en realizar
transformaciones elementales en el sistema inicial, destinadas a transformarlo en
un sistema diagonal. El número de operaciones elementales de este método, es
superior al del método de Gauss (alrededor de un 50% más).
Sin embargo, a la hora de resolver el sistema de llegada por remonte, el
número de operaciones es menor, motivo por el cual el método de gauss-Jordán
es un método computacionalmente bueno cuando tenemos que resolver varios
sistemas con la misma matriz A y resolver simultáneamente, utilizando el algoritmo
de gauss-Jordán.
En base a lo anteriormente expuesto, solo haríamos un proceso de eliminación
en la matriz y la resolución de un sistema con esta matriz es muy fácil. Un ejemplo
seria en el que se suele usar gauss-Jordán es en el cálculo de la matriz inversa,
ya que calcular la inversa de A es calcular N sistemas con la misma matriz.
3. Descomposición LU
Su nombre se deriva de las palabras inglesas "Lower" y "Upper", que
en español se traducen como "Inferior" y "Superior".
El método de Descomposición LU se basa en demostrar que una matriz A se
puede factorizar como el producto de una matriz triangular inferior L con una
matriz triangular superior U, donde en el paso de eliminación sólo se involucran
operaciones sobre los coeficientes de la matriz, permitiendo así evaluar los
términos independientes bi de manera eficiente.
La implementación del algoritmo de la Descomposición LU tiene sus variantes
en cuanto a los valores iníciales de la diagonal que tomen las matrices L y U,
es decir si los valores de la diagonal de la matriz L tiene números 1, formalmente
esto se refiere a la Descomposición de Doolitle. Pero si los valores de la
diagonal de la matriz U tiene números 1, formalmente esto se refiere a
la Descomposición de Crout .
Primeramente se debe obtener la matriz [L] y la matriz [U].
[L] Es una matriz diagonal inferior con números 1 sobre la diagonal.
[U] Es una matriz diagonal superior en la que sobre la diagonal no necesariamente
tiene que haber números 1.
El primer paso es descomponer o transformar [A] en [L] y [U], es decir obtener la
matriz triangular inferior [L] y la matriz triangular superior [U].
PASOS PARAENCONTRAR LAMATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR (MATRIZ [U])
1. Hacer cero todos los valores abajo del pivote sin convertir este en 1.
2. Para lograr lo anterior se requiere obtener un factor el cual es necesario para
convertir a cero los valores abajo del pivote.
3. Dicho factor es igual al número que se desea convertir en cero entre el número
pivote.
4. Este factor multiplicado por -1 se multiplica luego por el pivote y a ese resultado
se le suma el valor que se encuentra en la posición a cambiar (el valor en la
posición que se convertirá en cero). Esto es:
- factor * pivote + posición a cambiar
PASOS PARAENCONTRAR LAMATRIZ TRIANGULAR INFERIOR(MATRIZ [L])
Para encontrar la matriz triangular inferior se busca hacer ceros los valores de
arriba de cada pivote, así como también convertir en 1 cada pivote. Se utiliza el
4. mismo concepto de "factor" explicado anteriormente y se ubican todos los
"factores" debajo de la diagonal según corresponda en cada uno.
Métodos de gauss Seidel
El método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para
resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los
matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es
similar al método de Jacobi.
Aunque este método puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones
lineales que produzca una matriz (cuadrada, naturalmente pues para que exista
solución única, el sistema debe tener tantas ecuaciones como incógnitas) de
coeficientes con los elementos de su diagonal no-nulos, la convergencia del
método solo se garantiza si la matriz es diagonalmente dominante o si es simétrica
y, a la vez, definida positiva.
Método de Jacobi
El método de Jacobi es un método iterativo, usado para resolver sistemas de
ecuaciones lineales del tipo . El algoritmo toma su nombre del matemático
alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consiste en usar fórmulas
como iteración de punto fijo.
La sucesión se construye descomponiendo la matriz del sistema en la forma
siguiente:
Donde:
, es una matriz diagonal.
, es una matriz triangular inferior.
, es una matriz triangular superior.
5. Partiendo de , podemos reescribir dicha ecuación como:
Luego,
Si aii ≠ 0 para cada i. Por la regla iterativa, la definición del Método de
Jacobi puede ser expresado de la forma:
Donde es el contador de iteración, Finalmente tenemos:
Cabe destacar que al calcular xi
(k+1)
se necesitan todos los elementos en x(k)
,
excepto el que tenga el mismo i. Por eso, al contrario que en el método Gauss-
Seidel, no se puede sobreescribir xi
(k)
con xi
(k+1)
, ya que su valor será necesario
para el resto de los cálculos. Esta es la diferencia más significativa entre los
métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. La cantidad mínima de almacenamiento es de
dos vectores de dimensión n, y será necesario realizar un copiado explícito.
